概率、期望与方差的计算和性质

概率与统计

知识点一：常见的概率类型与概率计算公式； 类型一：古典概型；

1、 古典概型的基本特点：

（1） 基本事件数有限多个；

（2） 每个基本事件之间互斥且等可能； 2、 概率计算公式：

A 事件发生的概率()A P A =

事件所包含的基本事件数

总的基本事件数

;

类型二：几何概型；

1、 几何概型的基本特点：

（1） 基本事件数有无限多个；

（2） 每个基本事件之间互斥且等可能； 2、 概率计算公式：

A 事件发生的概率()A P A =

构成事件的区域长度（或面积或体积或角度）

总的区域长度（或面积或体积或角度）

；

注意：

（1） 究竟是长度比还是面积比还是体积比，关键是看表达该概率问题需要几个变量，如

果需要一个变量，则应该是长度比或者角度比；若需要两个变量则应该是面积比；当然如果是必须要三个变量则必为体积比；

（2） 如果是用一个变量，到底是角度问题还是长度问题，关键是看谁是变化的主体，哪

一个是等可能的； 例如：等腰ABC ∆中，角C=

23

π

，则： （1） 若点M 是线段AB 上一点，求使得AM AC ≤的概率； （2） 若射线CA 绕着点C 向射线CB 旋转，且射线CA 与线段AB 始终相交且交点是M ，求

使得AM AC ≤的概率；

解析：第一问中明确M 为AB 上动点，即点M 是在AB 上均匀分布，所以这一问应该是长度

之比，所求概率：

13P =; 而第二问中真正变化的主体是射线的转动，所以角度的变化是均匀的，所以这一问应该是角度之比的问题，所以所求的概率：2755

=

=1208

P ︒； 知识点二：常见的概率计算性质； 类型一：事件间的关系与运算； A+B （和事件）：表示A 、B 两个事件至少有一个发生； A B ∙（积事件）：表示A 、B 两个事件同时发生；

A （对立事件）：表示事件A 的对立事件；

类型二：复杂事件的概率计算公式； 1、 和事件的概率：

()=()()()P A B P A P B P A B ++-∙

（1）特别的，若A 与B 为互斥事件，则：

()=()()P A B P A P B ++

（2）对立事件的概率公式：

()1()P A P A =-

2、 积事件的概率：

（1）若事件12n A A A 、、、相互独立，则：

1212()()()()n n P A A A P A P A P A ∙∙∙=∙∙∙

（2）n 次独立重复的贝努利实验中，某事件A 在每一次实验中发生的概率都为p ，则在n 次试验中事件A 发生k 次的概率：

()(1)

k k k n k

n n P A C p p -=- 类型三：条件概率；

1、 条件概率的定义：我们把在事件A 发生的条件下事件B 发生的概率记为：(|)P B A ；

且()

(|)()

P A B P B A P A ∙=

2、 三个常见公式：

（1） 乘法公式：()()(|)P A B P A P B A ∙=∙

（2） 全概率公式：设123,,,

,n A A A A 是一组互斥的事件且1

n

k k A ==Ω∑，则对于任何

一个事件B 都有：1

1

()()()(|)n

n

k

i i k k P B P A

B P A P B A ===

∙=∙∑∑

（3） 贝叶斯公式：设123,,,

,n A A A A 是一组互斥的事件且1

n

k k A ==Ω∑

则对于任何一个事件B 都有：1

()(|)

(|)()(|)

j j j n

i

i

k P A P B A P A B P A P B A =∙=

∙∑

知识点三：求解一般概率问题的步骤；

第一步：确定事件的性质：等可能事件、互斥事件、相互独立事件、n 次独立重复实验等； 第二步：确定事件的运算：和事件、积事件、条件概率等；

第三步：运用相应公式，算出结果；

知识点三：常见的统计学数字特征量及其计算； 特征量一：平均数（数学期望） 计算公式一：1231

()n x x x x x n

=

++++；

计算公式二：1

()n

x i

i

k E x P x x ==

∙=∑；

计算公式三：（若随机变量x 是连续型随机变量，且函数()f x 是它的密度函数）

()Ex xf x dx +∞

-∞

=⎰

特征量二：中位数

将所有的数从大到小排或者从小到大排，若共有奇数个数，则正中间的那个数叫做这一列数的中位数；若共有偶数个数，那么正中间那两个数的平均数叫做这一列数的中位数。

特征量三：众数

将所有数中出现次数最多且次数超过1次的数叫做这一列数的众数。一列数的众数可以有多个，也可以没有。

特征量四：方差

方差反映一组数或者一个统计变量的稳定程度，方差越小数值越稳定，方差越大则数值波动越大。

计算公式一：21

1[()]n

x k k D x x n ==-∑；

计算公式二：21

1[()()]n

x k k x k D P x x x E n ===∙-∑；

计算公式三：22()x D Ex Ex =-； 注：期望和方差的性质: 性质1：()E c c =；

性质2：()E ax b aEx b +=+； 性质3：1212()n n E x x x Ex Ex Ex ++

+=+++；

性质4：若,x y 相互独立，则：()()()E x y Ex Ey ∙=∙； 性质5：222

()(())()(())D x E x E x E x E x =-=-；