武汉大学数值分析分章复习(数值积分)
数值分析-第4章 数值积分和数值微分
A0+A1=2 A0x0+A1x1=0 A0x02+A1x12=2/3 A0x03+A1x13=0
A0 A1 1 解得: 1 x 0 x1 3
求积公式为
1 1 1 f ( x)dx f ( ) f ( ) 3 3
x f(x)
数值分析
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
1
一、数值积分的基本概念 求积节点 数值积分定义如下：是离散点上的函数值的线性组合
I [ f ] f ( x)dx I n [ f ] Ai f ( xi )
b a i 0 n
称为数值积分公式
称为求积系数,与f (x)无关,与积分区间和求积节点有关
b a
Rn ( x) dx
定理：形如 Ak f ( xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度
A 该公式为插值型（即： k a l k ( x)dx ）
数值分析
b
5
例1 试确定参数A0,A1,A2,使求积公式
1 f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
证明 因为Simpson公式对不高于三次的多项式精确成立。即
b
a
p 2 ( x)dx
ba ab [ p 2 (a) 4 p 2 ( ) p 2 (b)] 6 2
构造三次多项式H3(x),使满足 H3(a)=(a) ,H3(b)=(b),
H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), 这时插值误差为
1
武汉大学数值分析分章复习(误差)
101
故假设 x 具有 p 位有效数字，则应成立：
| xx| 1 1 1 101 p 101 p | x| 4 2 8
令 101 p 10 3
1 8
由条件
104 | xx| 103 , 可得： p lg( ) 3.09691 8 | x|
可见当取 4 位有效数字时，近似数可达精度要求
因为
1 999 dx
0
1
3
1
0
10、数值计算中，影响算法优劣的主要因素有哪些？ 解：数值计算中算法的优劣主要从算法的可靠性、稳定性、准确性、时间和空间复杂性 几个方面考虑。一个算法如果有可靠的理论分析，且计算复杂性好，这样的算法就是好算法
8、分析下面 Matlab 程序所描述的数学表达式，并给出运行结果
a=[1 2 3 4]; n=length(a); t=a(n); x=10; for i=n:-1:2 t=x*t+a(i-1); end
解：程序实现了秦九韶算法的多项式求值，即 p (10) 103 2 102 3 10 4 9、对于积分 I n
101
1 1 103 101 4 2 2
| e x | 0.00008128
可见 x 具有 4 位有效数字
4、要使 20 的近似值的相对误差小于 0.1%，至少要取多少位有效数字 解：记精确值 x
20 ，近似数 x , 注意到 x 20 4.47
0.447
故得递推式： I n 2997 I n 1
3 n
I0 3ln x 999 999
注意到实际计算中初值 I 0 总有误差，设初值 I 0 的近似值为 I 0 （ I 0 I 0 0 ）
数值分析复习要点
y((7u5)u3)u18(u1) x1
1 10 99
3、设 x 0.01458663 为真值 xT 0.01451845 的近
似，则 x 有 2 位有效数字。
设 近 似 数 x0.a1a2 an10p的 绝 对 误 差 限 是 第 n位 的 半 个 单 位 ， 则 数 x有
n位 有 效 数 字 。 (a10,ai 0,1,...,9)
三. Householder变换
Householder变换阵 H I 2wwT ,其中|| w ||2 1
定理 : 设n维向量x, y, x y, 但 || x ||2 || y ||2 , u x y, 则存在Householder变换阵 H I 2wwT , w u ,
|| u ||2 使Hx y.
习题
已知向量x (2, 0, 2,1)T , 试构造Householder阵H
使Hx ke3,其中e3 0, 0,1, 0T , k R.
四.矩阵的正交分解
(1) Schmidt正交化法（P40，第二章第2节）
(2) 用Housholder方法正交化（P142，第四章第4节）
例：用Householder方法求矩阵A的正交分解，
2. 已 知 向 量 x(1,4,3,0)T,y(3,6,1,2)T,
求 x,y之 间 的 距 离 (x,y).
二. Gauss变换与矩阵的三角分解
Gauss变换阵
1
1
Lj
l j1, j 1
ln, j
1
对x
T
x1,..., x j ,..., xn 0,
xj 0
构造Gauss变换阵G，使Gx
F
(
f
( x),1( x))
武汉大学2011工程硕士数值分析考试复习题
武汉大学2011工程硕士数值分析考试复习题预览说明:预览图片所展示的格式为文档的源格式展示,下载源文件没有水印,内容可编辑和复制1、设()0f x =有根，且'0(),m f x M x <≤≤-∞<<+∞，试证明由1()k k k x x f x λ+=-产生的序列{}k x 对任意的0x 和02M λ<<均收敛。
2、对3*(),0()x x x x x φφ=+=为的一个不动点，验证10()0k k x x x φ+=≠对不收敛，但改用steffen 方法却收敛。
3、设*x 是()0f x =的根，且()()'''*0,f x f x x ≠在领域上连续，试证明：Newton 迭代序列{}n x 满足''*12'*12()lim ()2()k k k k k x x f x x x f x -→∞---=-4、给定方程组的雅可比迭代矩阵为022101220J B =----??，试证明雅可比迭代收敛而高斯迭代不收敛。
5、设二阶方程组为12630321x x = ? ? ?-????，取(0)00x ??= （1）用最快速下降法迭代两次求近似解(2)x ；（2）用共轭梯度法迭代两次求近似解(2)x ；（3）与精确解进行比较分析。
6、设方程组AX=B 系数矩阵A 非奇异，条件数cond （A ），设A 有扰动A δ，且11A A δ-<，分析解的扰动X δ的相对变化XX δ。
7、设2()[,],()()0f x c a b f a f b ?==且，试证明：2''()max ()max ()8a xb a x b b a f x f x ≤≤≤≤-≤8、试证明两点三次Hermite 插值余项(4)2231()()()()4!k k f R x x x x x ξ+=--，并求此分段三次Hermite 插值的误差限。
《数值分析》复习笔记
始向量 x(0) = (0, 0, 0)T，用该迭代方法求近似解 x(k+1)（取小数点后四位） ，使 x
( k 1)
x(k )
10 3 。
7、 （某考题）为求方程 x3-x2-1=0 在初始值 x0=1.5 邻近的一个根，把方程改写成一下等价形式：
（1）求 f (x)的二次牛顿（Newton）插值多项式； （2）求 f (0.25)的近似值（取小数点后五位） ，并写出余项。 5、 （06 期末）给出 f (x)=3.6/x 的数值表： x f (x ) （1）求均差表； （2）写出三次牛顿插值多项式 N3 (x)； （3）利用上述插值多项式 N3 (x)计算 f (2.5)的近似值，并估算其误差大小。 6、 （12 期末）确定 a、b、c、d、e 的取值，使得下列函数是以： x y 0 1 1 1 2 0 3 10 1 3.60 2 1.80 3 1.20 4 0.90
1
-1
f ( x)dx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 ) A2 f ( x2 ) 中的高斯点 x0、x1、x2
和求积系数 A0、A1、A2 的值，并指明该求积公式的代数精度； （2）用上述求积公式求积分
3
1
dx 的近似值。 x
4、 （03 期末） （1）写出数值积分梯形法的递推化算法； （2）用龙贝格（Romberg）算法计算积分 I
★ 小明哥说要考的题型
填空题（15 分）、选择题（15 分）、计算及证明题（70 分）
一、插值与逼近（§2、3 章）
☆ 计算题： 1、 （05 期末）已知 y=sinx 的下列数据： x y π/6 0.5000 π/4 0.7071 π/3 0.8660
武汉大学《数值分析》课件-第7章
，
b
n
a
可知 t [ 0, n] ．
由Lagrange插值基函数有
lk
(x)
lk
(a
th)
n i0,ik
x xk
xi xi
n ti i0,ik k i
(1)nk
n
ti
k !(n k )! i0,ik
而 dx hd t b a dt，所以
n
b a
lk
(x)dx
n 0
再用 h/2 代替 h , 使(6)式变为
F*
F2
(h)
1 8
k2h2
3 32
k3h3
(7..).
用4乘(7)式减去(6)式,消去含 h2的项,得
F*
[
F2
(
h 2
)
F2 (h
/
2) 3
F2 (h)]
1 8
(k83)h3
...
同样记
而 I 3( f ) b 6 a (1 4 1) (b a )
有 R ( ,1) 0
I(
f
)
I3(
f
)
R( ,
f
)
b a{ f 6
(a) 4
f
(a
b) 2
f
(b)}
R( ,
f
)
（1）当 f ( x) x时 ， I ( f ) b 2 a2 I3( f ) b 6 a ( a 22a 2b b ) b2 2 a2
| R(1, f ) | M n1 hn2 n n (t i)dt
(n 1)!
0 i0
(5)
验证求积公式(3)的代数精确度，不用误差估计的(4)式，
武汉大学数值分析分章复习(数值积分)
（2）若使其具有最高的代数精度，试确定求积系数与求积结点？代数精度为多少？ 注：本题不用考虑 3、分别用梯形公式和二点 Gauss 公式计算积分 解：利用梯形公式，
e dx ，比较二者的精度
x 0
1
e dx 2 (e
x 0
1
1
0
e1 ) 1.8592
注：Gauss 公式部分不要 4、对于积分
2h
2 h
f ( x)dx Af (h) Bf (0) Cf (h)
8 16 h , B 4 h 3 3
解：解题过程与上题类同，所得结果 A C 代数精确度为 p 3
7、试设计求积公式，使之代数精度尽量高，并指出其所具有的代数精度。
2
0
f ( x)dx 0 f (0) 1 f (1) 2 f (2)
8 16 h , B 4 h 3 3
解：解题过程与上题类同，所得结果 A C 代数精确度为 p 3
8、求积公式
f ( x)dx 3 f ( 4 ) 3 f ( 2 ) 3 f ( 4 ) 具有多少次代数精确度
0
2 3
1
2
1
1
1
2
3
解：依次取 f ( x) 1, x, x , x 代入积分公式，得左端=右端 当取 f ( x ) x 时，左端 右端，故公式的代数精确度为 p 3
2
解：依次取 f ( x) 1, x, x , x , x 代入积分公式，令左端=右端，得
A B C 4 A C 0 16 2 2 A C 3 3 A C 0 4 A 4C 64 5
数值分析--第4章数值积分与数值微分[1]详解
![数值分析--第4章数值积分与数值微分[1]详解](https://img.taocdn.com/s3/m/9edd6ad82f60ddccdb38a082.png)
第4章 数值积分与数值微分1 数值积分的基本概念实际问题当中常常需要计算定积分。
在微积分中，我们熟知，牛顿-莱布尼兹公式是计算定积分的一种有效工具,在理论和实际计算上有很大作用。
对定积分()ba I f x dx =⎰，若()f x 在区间[,]ab 上连续，且()f x 的原函数为()F x ,则可计算定积分()()()baf x dx F b F a =-⎰似乎问题已经解决，其实不然。
如1）()f x 是由测量或数值计算给出数据表时,Newton-Leibnitz 公式无法应用。
2)许多形式上很简单的函数，例如222sin 1(),sin ,cos ,,ln x x f x x x e x x-= 等等，它们的原函数不能用初等函数的有限形式表示。
3）即使有些被积函数的原函数能通过初等函数的有限形式表示，但应用牛顿—莱布尼兹公式计算，仍涉及大量的数值计算，还不如应用数值积分的方法来得方便，既节省工作量，又满足精度的要求。
例如下列积分241arc 1)arc 1)1dx tg tg C x ⎡⎤=+++-+⎣⎦+⎰ 对于上述这些情况,都要求建立定积分的近似计算方法—-数值积分法。
1。
1 数值求积分的基本思想根据以上所述,数值求积公式应该避免用原函数表示，而由被积函数的值决定.由积分中值定理：对()[,]f x C a b ∈，存在[,]a b ξ∈，有()()()baf x dx b a f ξ=-⎰表明,定积分所表示的曲边梯形的面积等于底为b a -而高为()f ξ的矩形面积（图4-1）。
问题在于点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以准确算出()f ξ。
我们将()f ξ称为区间[,]a b 上的平均高度。
这样，只要对平均高度()f ξ提供一种算法，相应地便获得一种数值求积分方法.如果我们用两端的算术平均作为平均高度()f ξ的近似值，这样导出的求积公式[()()]2b aT f a f b -=+ (4—1） 便是我们所熟悉的梯形公式（图4-2）。
武汉大学研究生课程数值分析期末考试
武汉大学研究生课程《数值分析》半开卷考试资料
姓名： 学号： 第 1 章 绪论 1.1 误差的基本概念 绝对误差：∆ ������ = ������ ∗ − ������ ; ∆f(x) = ������������(������) = ������ ′ (������)������������ ; 绝对误差：∆������ ������ = 有效数字：������ = (0. ������1 ������2 … ������������ × 10−������ ) × 10������ ,则有 n 位有效数字。 1 1 误差限：|∆ ������| = |������ ∗ − ������| ≤ × 10������−������ ; |∆������ ������| ≤ × 10−(������−1)
|������ ∗ −������������+1 | ������→∞ |������ ∗ −������������|������
= C (对于收敛的迭代格式，当|������′(������)| = 0，则是线性收敛)
������(������ )
������
若碰到求收敛阶：迭代公式是个方程，准确解带进去是个方程，两方程相减，然后适当变形利用微分中值定理。 3.3 Newton 法 (二阶收敛)：������������+1 = ������������ − ������′(������������ ) ; 假设������ ∗ 是 f(x) = 0 的单根, f(x)在������ ∗ 的邻域内具有连续的二阶导数且 f ′(������ ∗ ) ≠ 0 , 则牛顿公式具有局部收敛性；若 f′′(������ ∗ ) ≠ 0 且������0 ≠ ������ ∗ , 则序列{������������ }是平方收敛。 第 4 章 矩阵特征值特征向量 (略) Householder 变换（H=I-2wwT） 、 Givens 变换、幂法 第 5 章 插值与逼近 5.1 插值多项式的唯一性 Pn (x) = ������0 + ������1 ������ + ������2 ������ 2 + ⋯ + ������������ ������ ������ ; |������| = ∏(������������ − ������������ ) ≠ 0
数值分析 第二章 数值积分
2013-10-2
24
The error is En ( f )
b a b 1 Rn ( x)dx f (n 1)! a ( n 1)
( ( x)) ( x xi )dx
i 0
n
(L.)
or E n ( f ) Rn ( x)dx f [ x, x 0 , x1 , , x n ] ( x xi )dx
k 0
n
该公式为插值型（即：Ak lk ( x )dx ）
b a
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26
注 插 值 求 积 公 式 f ( x)dx Ak f ( xk ) ， 其 系 数
b a k 0
n
Ak lk ( x )dx .
a
b
（1） 复杂函数 f ( x) 积分转化为计算多项式积分。 （2） 求积系数 Ak a lk ( x)dx 只与区间和节点有关， 而
a b
在几何上可解释为由x=a, x=b, y=0和 y=f (x)所围成的 曲边梯形的面积. 积分计算之所以有困难，就是因为 这个曲边梯形有一条边 y=f (x)是曲的.
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8
依据积分中值定理,对于连续函数f(x) ,在[a,b] 内存在一点ξ,使得
I ( f ) f ( x )dx (b a ) f ( )
2013-10-2
6
3) f (x)没有解析表达式，只有数表形式:
x
f (x)
1
4
2
4.5
3
6
4
8
5
8.5
这些都说明,通过原函数来计算积分有它的局限 性,因而,研究关于积分的数值方法具有很重要的实 际意义.
数值分析总复习
样条插值；整体连续光滑，且不需知导数值。
插值问题提法：已知
x y f(x)
x0 y
x1 y
xn y
0
1
n
求一个三次分段函数 S(x) 使
1,
S(
xi
)
y i
x x 2, 在 [ , ] 上是三次多项式
i
i 1
C 3, S(x) 2 ( a,b )
i 0, 1, , n
计算三次样条算法
由边界条件 i , i , , i 0 ,1,, n
插值基函数方法
插值问题解的一般形式 ：
n (x) a0 a1 x an xn
(1 )
实质上是在求多项式的 自然基底 Bn Span{1, x , ,xn}
张成的线性空间中的一 个点 —一个多项式 (1) ,由(2 18)
式知,解存在唯一 ,只要解方程组求出线 性组合系数 {ai}
就可以了 , 但计算量太大 .
定理2.5(余项) .
(2 - 35)
设H (x)是过 x0 , x1 的 Hermite 插值多项式 , C f f(x) 3 , ( 4 )(x)在 (a,b) 内存在, (a,b)是
(a,b)
含点 x0 , x1 的任一区间, 则对任意给定的
x (a,b) 总存在一点ξ (x)使
R(x)
f(x) H(x)
f
( 4 )(ξ
4!
)
(x
x0
)2(x
x1
)2
分段三次 Hermite 插值多项式及余项
∑ y h m H n
H (x) [ (x)
( x)]
i0
ii
ii
定理2.7(余项) :
数值分析4 - 数值积分
从 而该公式对次数 n的代数多项式精确成立 。 故有m n。
(充 分 性 ) “”
若m n,由lk ( x)的次数为 n, 对f ( x) lk ( x) (lk ( x)为n次Lagrange插值
有 ( x ) f ( x )dx ( x )l k ( x )dx ， 基函数 )， a a
说明：不研究一般的求积公式。 ( n1) 推论2：若 f C [a, b] ，(3)式是插值型求积公式，则有余项公式
R[ f ]
b a
f ( n1) ( ( x )) ( x) n1 ( x )dx， ( n 1)!
(4)
其中 n1 ( x) ( x x0 )( x x1 )( x xn )。
1 f ( x )dx [ f ( 1) 4 f (0) f (1)]的代数精度. 3
分析：由等价定义， 求代数精度，只对最简单的函数xm来验证。
k为 奇 数 0, k 1 1 ( 1 ) k 2 解： I k 1x dx k 1 , k为 偶 数 k 1 1 1 当f ( x ) 1时(k 0), f ( 1) 4 f (0) f (1) (1 4 1 1) 2 I 0 ; 3 3 1 1 当f ( x) x时(k 1), f ( 1) 4 f (0) f (1) ( 1 4 0 1) 0 I1; 3 3
1
1 1 2 当f ( x ) x 时( k 2), f ( 1) 4 f (0) f (1) (1 0 1) I 2 ; 3 3 3 1 1 当f ( x ) x 3 时( k 3), f ( 1) 4 f (0) f (1) ( 1 0 1) 0 I 3 ; 3 3 1 1 2 2 4 当f ( x ) x 时( k 4), f ( 1) 4 f (0) f (1) (1 0 1) I 4。 3 3 3 5
数值分析复习题答案
数值分析复习题答案数值分析复习题答案数值分析是一门研究数值计算方法和数值计算误差的学科。
在实际问题中，我们经常需要通过数值计算方法来求解数学模型，这就需要我们掌握数值分析的基本概念和方法。
下面是一些数值分析复习题的答案，希望能对你的复习有所帮助。
一、差分法与数值微分1. 差分法是一种数值计算方法，通过计算函数在一点的导数来近似计算函数在该点的值。
常用的差分法有前向差分法、后向差分法和中心差分法。
2. 前向差分法的近似公式为：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x))/h，其中h为步长。
3. 后向差分法的近似公式为：f'(x) ≈ (f(x) - f(x-h))/h，其中h为步长。
4. 中心差分法的近似公式为：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x-h))/(2h)，其中h为步长。
5. 数值微分是使用差分法来近似计算函数的导数。
通过选取合适的步长，可以使数值微分的误差最小化。
二、插值法与数值积分1. 插值法是一种通过已知数据点来估计未知数据点的方法。
常用的插值方法有拉格朗日插值法和牛顿插值法。
2. 拉格朗日插值法通过构造一个多项式来逼近已知数据点，然后利用该多项式来估计未知数据点的值。
3. 牛顿插值法是利用差商的概念来构造一个多项式，然后利用该多项式来估计未知数据点的值。
4. 数值积分是一种通过数值计算来近似计算函数的定积分。
常用的数值积分方法有梯形法则和辛普森法则。
5. 梯形法则通过将积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上使用梯形面积来近似计算积分。
6. 辛普森法则是在梯形法则的基础上进一步改进的方法，它使用抛物线来逼近函数的曲线，从而提高了积分的精度。
三、数值方程求解1. 数值方程求解是通过数值计算方法来求解非线性方程或线性方程组的方法。
2. 常用的数值方程求解方法有二分法、牛顿法和高斯消元法。
3. 二分法是一种通过不断缩小区间范围来逼近方程的根的方法。
武汉大学数值分析考试重点
1、矩阵范数、条件数
2、计算题：顺序高斯消去法（LU分解）求解线性方程组AX=b
3、经典迭代格式掌握Jacob\Gauss-Seidel\ SOR三种迭代格式
4、经典迭代格式的收敛性，谱半径（判断题）
5、Newton迭代格式的掌握，会写收敛阶
6、计算题：Householder变换Givens变换基本QR算法
7、用Newton/Lagrange插值计算函数值；求Hermite插值多项式及其截断误差余项性质
8、三次样条插值（基本了解）判断题，不会出计算题
9、计算题：最佳平方逼近、正交多项式曲线拟合的最小算法（解法方程）
10、复化梯形公式复化Simpson公式梯形公式Simpson公式的阶数余项及代数精度
11、Gaoss型求积公式（判断题）
12、改进Euler格式相容性
13、稳定性和收敛性
14、刚性问题（概念了解）可能判断题。
数值分析复习之数值积分与数值微分
辛甫森求积公式的余项估计为：
Cotes求积公式的余项估计为：
5、 当用Newton-Cotes求积公式的时，当很大时一样存在数值不稳定性。为 了使用低阶求积公式，并且能达到较高的计算精度，可以将区间做若干 等分，在每个子区间上使用低阶求积公式，这样的方法称为复化求积方 法。次代数精度 证明：梯型求积公式为，取时，有 取时 取时，积分真值为 梯型求积公式的值为 故，即梯型求积公式只具有1次代数精度。
３、分别应用梯型求积公式、Simpson求积公式、Cotes求积公式计算积分，并 估计各种方法的误差（要求小数点后至少保留5位） 解：运用梯形求积公式 其误差 应用Simpson求积公式， 其误差为 应用Cotes求积公式，有 其误差为：
４、推导下列三种矩形求积公式
解：将在处Taylor展开，得 两边在上积分，得 将在处Taylor展开，得 两边在上积分，得 将在处Taylor展开，得 两边在上积分，得
５、已知， （１）推导以这三个点作为求积节点在上的插值型求积公式， （２）指明求积公式所具有的代数精度 （３）用所求公式的计算 解：由构造Lagrange插值多项式 并用近似表示，可得插值型求积公式： ，其中
为数值微分。
三、例题 １、确定下列求积公式中的待定系数，使其代数精度尽量高，并指出求积公式 所具有的代数精度。
解：这是的Newton－Cotes求积公式，至少具有三次代数精度。由此可以确定它 的系数，取可得以下方程组： 如果取，它的积分真值为，如果用积分公式来计算则得到它的近似值为，所 以，求积公式只具有3次代数精度。
构造出来的求积公式称为Newton-Cotes求积公式它的一般表达式可以写 为：
其中称为Cotes系数。特别地当时Newton-Cotes求积公式称为梯型求积公 式，写为：
数值分析-第六章-数值积分
k 0
而对应的误差为
b
b f (n1) ( )
I In
(
a
f
(
x)
Ln
(
x))dx
a (n 1)! wn1(x)dx
Newton-Cotes公式
当节点为等距节点时，对应的插值型求积公式称为 Newton-Cotes 公式。
梯形公式：最简单的 Newton-Cotes 公式
a
2
梯形公式的误差
梯形公式的误差为：
b f ( )
E I T a 2 (x a)(x b)dx
注意到对任意的 x [a,b] ，有 (x a)(x b) 0，根据积分中值定理，
若 f "(x) C[a,b] ，有
E f ()
b
(x a)(x b)dx
第六章 数值积分
数值积分的基本概念 数值积分的基本思想 代数精度 插值型求积公式
Newton-Cotes 求积公式 梯形公式、辛普森公式、一般的 Newton-Cotes 公式 复化积分公式：复化梯形公式、复化辛普森公式 区间逐次分半法
Romberg（龙贝格）积分
高斯型求积公式
数值积分的基本概念
微积分中定积分的定义为：b Nhomakorabean
a
f
(x
)dx
lim
n m a xxk
k01
xk
f
k( ，)
n
b
n
可用 xk f (xk ) 作为原积分的近似： a f (x)dx xk f (xk ) 。
k 1
k 1
进一步推广得到更一般的公式：
数值分析讲义第四章数值积分
方法的选取
不同的数值积分方法具有不同 的收敛性和稳定性，应根据具 体问题选择合适的方法。
初值和边界条件
初值和边界条件对数值积分的 收敛性和稳定性也有影响，不 合理的初值和边界条件可能导 致数值积分发散或误差增大。
05
数值积分的应用实例
在物理模拟中的应用
01
流体动力学模拟
数值积分被广泛应用于流体动力 学模拟中，如计算流体速度、压 力、温度等的分布。
02
数值积分方法
矩形法
总结词：简单直观
详细描述：矩形法是一种基本的数值积分方法，它将积分区间划分为若干个小的矩形，然后求和近似计算积分值。由于计算 简单直观，适用于初学者理解数值积分的基本思想。
梯形法
总结词：易于理解
详细描述：梯形法是另一种数值积分方法，它将积分区间划分为若干个小的梯形，然后求和近似计算 积分值。与矩形法相比，梯形法更接近于真实曲线下面积的形状，因此误差相对较小。
衍生品定价
通过数值积分方法，可以 对复杂的衍生品进行定价， 如期权、期货等。
蒙特卡洛模拟
蒙特卡洛模拟是一种基于 随机抽样的数值积分方法， 常用于估计预期收益和风 险。
在图像处理中的应用
图像滤波
通过数值积分方法，可以 对图像进行滤波处理，如 平滑、锐化等。
图像重建
在图像重建中，数值积分 常用于从部分图像数据中 恢复完整的图像。
辛普森法
总结词：精度较高
详细描述：辛普森法是数值积分的一种改进方法，它利用了被积 函数在积分区间的端点和中心点的函数值进行近似计算，因此精 度相对较高。辛普森法是数值积分中常用的方法之一。
高斯法
总结词：高精度
VS
详细描述：高斯法是一种基于高斯积 分的数值积分方法，它利用了被积函 数在积分区间内的高斯点的函数值进 行近似计算，具有很高的精度。高斯 法适用于需要高精度计算的情况，但 计算过程相对复杂。
数值分析复习总结
数值分析复习总结数值分析课本重点知识点第一章P4定义一P5定义二P6定理1P7例题3P10条件数（1）绝对误差（限）和相对误差（限）公式（2）有效数字（3）条件数及其公式第二章P26定理2（以及余项推导过程）P36两个典型的埃尔米特插值（1）拉格朗日插值多项式（包括其直线公式和抛物线公式）（2）插值余项推导及误差分析（估计）（3）两个典型的埃尔米特插值（4）三次样条插值的概念第三章P63例题3（1）最佳平方逼近公式的计算（2）T3（x）的表达式第四章P106复合梯形公式P107复合辛普森求积公式P108例题3（1）复合公式及其余项（2）判断一个代数的精确度第五章P162定义3向量的范数P165定理17P169定义8（1）左中右矩形公式（2）LU分解（3）谱半径和条件数（4）向量的范数第六章P192定理9第1条P192例题8第七章P215不动点和不动点迭代法P218定理3P228弦截法P229定理6第九章P280欧拉法与后退欧拉法P283改进欧拉公式数值分析课后点题答案第一章数值分析误差第二章插值法第三章函数逼近所以无解19。
观测物体的直线运动，得出以下数据：时间t(s) 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 距离s(m)10305080110求运动方程。
解：被观测物体的运动距离与运动时间大体为线性函数关系，从而选择线性方程 s a bt =+ 令{}1,span t Φ=22012201016,53.63,(,)14.7,(,)280,(,)1078,s s =====则法方程组为614.728014.753.631078a b = ??? ?从而解得7.85504822.25376a b =-??=? 故物体运动方程为22.253767.855048S t =-20。
已知实验数据如下：i x 19 25 31 38 44 j y19.032.349.073.397.8用最小二乘法求形如2s a bx =+的经验公式，并计算均方误差。
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相应求积公式： 2 2 f ( xdx 10 12 8 10 12 f ( f (0 f( 3 5 3 3 5 取 f ( x x 5 代入公式，有左端=右端取 f ( x x 6 代入公式，有左端右端可见求积公式代数精确度 p 5 而公式具有节点数 n 3 ，而 p 2n 1 所以，该求积公式为 Gauss 型求积公式 1 1 e x2 1 2 u 1 10 12 8 10 12 dx e 4 du f ( f (0 f ( 2 2 2 3 5 3 3 5 2 15、求积公式 f
1的代数精确度为多少阶0 f x dx 4 f 3 4 1 3 1 1 解：依次取 f ( x 1, x, x 2 代入积分公式，得左端=右端当取 f ( x x 3 时，左端右端，故公式的代数精确度为 p 2 16、利用复合梯形公式近似计算定积分 I 试估计区间等分数 n 解：根据复合辛普森公式的余项 RSn [ f ] 这里 f (4 e 0 1 x2 1 dx ，要求计算误差不小于 10 6 ， 2 (b a5 (4 f (4 ( f ( 2880n4 2880n4 ( x 4ex (4 x4 12x2 3 x[0,1] 2 注意到 max | f (4 ( x | f (4 (1 76e 故有 RSn [ f ] 令 76e 76 3 19 4 4 2880n 2880n 240n 4 19 1 10 6 ，解得 n 19.95 4 240n 2 可见当取 n 20 时，对应的复合辛普森公式 S n 可满足精度要求。