第一章 行列式(习题)有答案

练 习 题
(一)填空题
1．设 D n =| aij |= a , 则 | −a ij |= .
x 1 −1 2 2 1 2. f ( x ) = −7 1 4 1 −7 1
x x 为_______次 3 x
2 3 2 7 − x2 3. 方程 5 3 5 3 1 2 1 2 =0 8 6 8 15 − x 2
3
α α + β +γ = 0.
103 100 204 例 3. 行列式 199 200 395 = ____ 301 300 600 2 3 1 0 0 3 例 4．设 D = 1 1 −1 −1 −1 −1
β
γ
0 5 ，则 A21 + A22 + A23 + A24 = _____________, 2 1
多项式， x 2 的系数是_________，常数项是
的全部根为 __________ __ . 4．设 α , β , γ 是方程 x 3 + px + q = 0 的三个根，
α β γ 则行列式： β γ α = ________ . γ α β
0 0 0 2 9 0 0 0 1 4 13 −7 −1 22 2 0 2 4 33 1 0 0 4 = ___________________ 43 −9
.
3 −1 1 1 7.设 D = −2 7 0 2
2 1 5 6
.
其中 Aij 表示元素 a ij 的代数余子式（ i , j = 1,2,3,4 ）.
1 x 8. 方程 1 a1 L L 1 an −1
x2 a12 L a 2 n −1
L x n −1 L a1n −1 = 0 （其中 a i (i = 1,2,3L , n) 为互不相等的实常数） L L n −1 L an −1
线 性 代 数 A 补充题
第一章 行列式
例
x −1 1 x 例 1. 设 f ( x) = −5 9 0 −7
系数为 ______
题
0 2x 3 0 ，则 f ( x) 的常数项为 7 3 1 x 1 β
3
,
x3 的
1 例 2. 设 α , β , γ 为互不相等的实数，证明： α
1 γ
3
= 0 的充分必要条件是：
则方程的全部解为 __________ __
⎧λx1 + x 2 + x3 = 0 ⎪ 9.如果方程组 ⎨ x1 + λx 2 + x3 = 0 有非零解 ⎪ x + x + λx = 0 ⎩ 1 2 3
则常数 λ = .
（二）.计算题
1．计算下列行列式
0 246 427 327 a1 (1). 1014 543 443 ; (2). 0 − 342 721 621 c1
L b x12 + 1 L b x2 x1 L b ; (2). M L L xn x1 L a
x1 x 2 x +1 M xn x2
2 2
L L
x1 xn x2 xn M x2 2 +1
3
a + b ab 0 L 0 0 1 a + b ab L 0 0 (3). D n = L L L L L L 0 0 0 L a + b ab 0 0 0 L 1 a +b
ln a ln b = 0 1 ξ
Βιβλιοθήκη Baidu
1 −e
答
(一)填空题
1. ( −1) n a ; 2.二次，36，-45；3. 8. a1 , a 2 , L , an −1 ; (9). 1 或
案
± 2, ± 3 ；4. 0; 5. − 104 ; 6.
3 k ; 7. − 112; 2
−2.
（二）.计算题
1.(1). − 294× 105 ; (2). (b1c 2 − a 2 d1 )( a1d 2 − b2 c1 ) ; (3). 1− a + a 2 − a3 + a4 − a 5
A31 + A32 + 2 A33 = _____________ . x−2 2x − 2 例 5. 设 f ( x ) = 3x − 3 4x
问
x −1 x − 2 2x −1 2x − 2 3x − 2 4 x − 5 4x − 3 5x − 7
x −3 2x − 3 3x − 5 4x − 3
(a ≠ b)
（三）证明题
1 3 1． 已知 1854,3798,7236,5778 都可被 18 整除， 证明： 4 阶行列式、 7 5
整除。 2. 设 e < a < b ，证明：存在 ξ ∈ (a , b) 使
8 5 4 7 9 8 也可被 18 2 3 6 7 7 8
a b
e −a e
−b −ξ
2. (1).
1 a n +1 − b n +| 2 2 ( a + b ) n + (a − b ) n ; (2). 1 + x12 + x 2 + L + xn . （3）. 2 a −b
[
]
4
f (x) = 0 有几个根，并求 f (x) 的表达式。
例 7. 计算下列 n 阶行列式
1
a0 1 （1） 1 L 1
1 1 a1 0 0 a2 L L 0 0
L 1 L 0 L 0 ,其中所有 a i ≠ 0 . L L an L
a1 + b1
(2).
a2
an
a1 M a1
a2 + b2 L a n , 其中 b1 b2 L bn ≠ 0 . M M a2 a n + bn
2. 计算行列式
a2 0 c2 0
b1 0 d1 0
1− a a 0 0 0 0 −1 1− a a 0 0 b2 .（3） 0 −1 1 − a a 0 0 0 0 −1 1− a a d2 0 0 0 −1 1 − a
a b b −b a b (1). − b − b a L L L −b − b − b
5.行列式
2
a1 a1
6. √ 行列式 b1
3(a1 + a 3 ) 3( b1 + b3 ) 3( c1 + c3 )
a2 b2 c2
a3 b3 = k , 则行列式 b1 c3 c1
4 1 ,则 A21 + A22 + A23 + A24 = 3 2
c1
1 a 2 2 1 b = 2 2 1 c2 2