因式分解的十二种方法

因式分解的十二种方法01、提公因法：如果一个多项式的各项都含有公因式，那么可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

【例1】分解因式32

2

x x x

--(2003

淮安市中考题) 解：原式()

221

x x x

=--02、应用公式法：由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。

【例2】分解因式22

44

a a

b b

++(2003

南通市中考题)

解：原式()22a b

=+

03、分组分解法：要把多项式am an bm bn

+++分解因式，可先把它前两项

分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组并提出公因式b，从

而得到()()

a m n

b m n

+++，又可以提出公因式

()

m n

+，从而得到()()

a b m n

++。

【例3】分解因式255

m n mn m

+--

解：原式

()()()() 25555 m m m n n m =--+= 04、十字相乘法：

对于2m x p x q

++形式的多项式，若ab m cd q

==

、

且ac bd p+=，则2m x p x q++可

因式分解为()()

ax d bx c

++

【例4】分解因式2

7196

x x

--

解：原式()()

372

x x

=-+ 05、配方法：对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。【例5】分解因式2340

x x

+-

解：原式

222 2

333 340

222

x x x

⎛⎫⎛⎫

=++-- ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭06、拆、添项法：可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。【例6】分解因式()()()

bc b c ca c a ab a b

++--+

解：原式()()()

b c a b c a =++-+ 07、换元法：有时在分解因式时，可以选择多项式中

的相同的部分换

成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。

【例7】分解因式432262

x x x x ---+

解

：

原

式

()()()

()

2

4

2

2

2

2

221

1

6211

1x x

x x x x x x

=+-

+-

=

+

-+

令21

y x =+，则原式

()()

22210225y xy x y x y x =--=+-

∴原式()()()()()222

122151221x x x x x x x ⎡⎤=+++-=+--⎣⎦

08、求根法：令多项式

()0

f x =，求出其根123n

x x x x 、、、…、，则多项

式

()

f x 可因式分解

为

()()()()()

123n f x x x x x x x x x =----…。

【例8】分解因式

432272136

x x x x +--+

解

：

令

()4

3

2

2

7

2

f

x x

=+-，

通过综合除

法可知()0

f x =的根分别为

13212

--、、、， 则

原式()(

)(

)(

)21321

x

x x

x

=-++-

09、图象法：令

()

y f x =，做出函数

()

y f x =的图象，找到它与

x

轴的交点

12n

x x x 、、…、，则多项式()

f x 可因式

分

解

为()()()()12n

f x x x x x x x =---…

【例9】分解因式

32256

x x x +--

解：令

32256

y x x x =+--，

作出其图象，

如右图所示，

∵与x

轴的交

点分别为

312

--、、， ∴

原式

()()()

312x x x =++-

10、主元法：先选

定一个字母为主元，再把各项按这

个字母次数从高

到低排列，然后进

行因式分解。 【例10】分解因式

()()()

222a b c b c a c a b -+-+-

分析：此题可选定a

为主元，将其按a

的次数从高到低排列 解

：

原

式(

)

()

(

)(

)22

2

2

2

2

22

a b c b c a

b

a c

b c

a =-

+

-

+-=---

11、利用特殊值

法：将2

或10代入x

，

求出数p

，将数p

分

解质因数，将质因数适当的组合，并

将组合后的每一

个因数写成2或

10

的和与差的形式，将2

或10还原成x

，即

得因式分解式。

【例11】分解因

式3292315

x x x +++ 解：令2

x =，则原式105

=，将105

分解