青岛版数学八年级上册专题突破讲练：分式化简求值及有条件求值
分式化简求值(50题2022-2023学年八年级数学上册重要考点精讲精练(人教版)(原卷版)
【专题】分式化简求值（50题）一、解答题1．先化简，再求值：(1−1a 1)÷aa 2−1，其中a =−12．2．先化简，再求值：a a−2+(a a−2−4aa 2−2)，其中a =3．3．先化简，再求值：a a 2−1÷(1+1a−1)，其中a=π0．4．先化简，再求值：(1−1a−2)÷a−3a 2−4，其中a =−3．5．先化简，再求值：a−1a 22a 1÷a−1a 1−1a−1，其中6．÷(3a 1−a +1)，其中a ＝8．7．先化简，再求值：(2x +2)÷(x +1+)，其中x =−2．8．先化简，再求值：)÷a 2−b 2a 2−ab ，其中a ＝﹣2，b ＝3．9．先化简，再求值：(1−2x−1)⋅x2−xx2−6x9，其中x=2．10．先化简再求值：−1x)÷1x1，再在−1，0，1，2中选择一个合适的数代入求值．11．先化简，再求值：(xx−1−1)，其中x=-212．2xx2x2−1，其中x=3．13．先化简，再代入求值：x2x−2·(4x+x−4)，其中x2−2x−2=014．先化简，再求值：(1+1x−2)÷x−1x2−2x+4，其中x=6．15．÷a2−aba−2a b，其中a＝2，b＝﹣1．16．先化简，再求值：(xx1+1x−1)÷1x2−1，其中x是6的平方根．17．先化简，再求值：+1)÷−2x ，其中x ＝4．18．先化简，再求值：(1x 1−11−x )÷1x 2−1，其中x =12．19．先化简，再求值：÷（x +2﹣5x−2 ），其中x ＝ −12 ．20．先化简，再求值：(2m 2−4m 2−1)其中m =(12)−1+(3.14−π)0．21．先化简 1a 1÷a a 22a 1 ，然后在0，1，-1中挑选一个合适的数代入求值． 22．÷(1+2x−1) ，再任选一个你喜欢的数作为x 的值代入求值.23．先化简(1−1a )÷a 2−1a 22a 1，再从−1，0，1，2中选择一个合适的数作为a 的值代入求值．24．先化简，再求值：b 2a 2−ab ÷(a 2−b 2a 2−2ab b 2+a b−a )，其中a =(2022−π)0，b =13.25．先化简分式(1−1x−2)÷2≤x≤4中选一个合适的整数代入求值．26．先化简(1−1x−1)÷0，－2，－1，1中选择一个合适的数代入并求值．27．先化简(1−3a 2)2，2，－1，1中选取一个恰当的数作为a 的值代入求值.28．÷(1−3x 1)，其中x 与2，3构成等腰三角形．29．先化简，再求值： a a 1 ÷（a ﹣1﹣ 2a−1a 1 ），并从﹣1，0，1，2四个数中，选一个合适的数代入求值 30．先化简，再求值： −a−1a 2−4a 4)÷a−4a ，其中a 满足 a 2−4a +1=0 ． 31．先化简，再求值：(1−2x−1)÷，其中x 从0，1，2，3四个数中适当选取.32．先化简，再求值： (1−4a 2)÷，其中a ＝ 2−1+(π−2022)0 . 33．先化简，再求值 ： (1−1a 1)÷aa 2−1 并在1，-1，2，0这四个数中取一个合适的数作为a 的值代入求值．34．先化简，再求值： mm 2−9÷[(m +3)0+3m−3] ，其中 m =−2 ． 35．已知分式A =1−m m 2−1÷(1+1m−1)．先化简A ，再从−1、0、1、2中选一个合适的数作为m 的值代入A 中，求A 的值．36．先化简：÷ ，再从 −2 ，0，1，2中选取一个合适的 x 的值代入求值. 37．先化简：x−3x 2−1⋅−(1x−1+1)，其中0≤x ≤3，且x 为整数，请选择一个你喜欢的数x 代入求值．38．先化简，再求值：(aa2+9−4aa2−4)÷a−3a−2，其中a是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，且a是整数．39．先化简，再求值：+1−aa2−4a4)÷a−4a，并从0<a<4中选取合适的整数代入求值．40．先化简，再求值：b2a2−ab ÷(a2−b2a2−2ab b2+ab−a)，其中a=−2，b=13．41．先化简，再求值：（1＋1x2）÷ x2−9x−3，其中x＝﹣2.42．先化简x2−2xx2−4÷(x−2−2x−4x2)，然后从－2，2，5中选取一个的合适的数作为x的值代入求值．43．先化简，再求值：(2a−4aa−2)÷a−4a2−4a4，其中a与2，3构成△ABC的三边长，且a为整数.44．有一道题：“先化简，再求值：(x−2x 2+4xx 2−4)÷1x 2−4，其中x= -6．”小张做题时把x= -6错抄成x=6，但是他的计算结果却是正确的．请你阐明原因．45．先化简，再求值：÷−2x x 为不等式组2(2x +3)−x <12，x ≥−2的整数解，挑一个合适的x 代入求值.46．先化简： (a 2−1a 2−2a 1−a−1)÷，然后在 a ≤2 的非负整数集中选取一个合适的数作为a 的值代入求值． 47．先化简，再求值： ÷(x +1−3x−1) ，其中实不等x 式 2x <3(x +1) 的非正整数解. 48．先化简分式：（1﹣ xx−1 ）÷ ，然后在﹣2，﹣1，0，1，2中选一个你认为合适的x 的值，代入求值．49．先化简，再求值： (x x 2x −1)÷x 2−1x 22x 1 ，其中x 的值从不等式组 −x ≤12x−1<4 的整数解中选取．50．有这样一道题：先化简再求值，÷x−1x2x−x+1，其中x=2021．”小华同学把条件“x=2021”错抄成“x=2012”，但他的计算结果也是正确的，请通过计算说明这是怎么回事．。
专题训练(一) 分式化简求值常见题型归纳
专题训练(一) 分式化简求值常见题型归纳► 类型一 代入求值型一、直接代入型1．先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a －1＋11－a ·1a，其中a ＝－12. 二、选择代入型2．先化简：x 2＋x x 2－2x ＋1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1－1x ，再从－2＜x ＜3的范围内选取一个你喜欢的x 值代入求值．3．若a 满足－3≤a≤3，请你选取一个合适的数a 使得代数式a 2－1a ÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 的值是一个奇数．三、整体代入型4．已知x ，y 满足x ＝5y ，求分式x 2－2xy ＋3y 24x 2＋5xy －6y 2的值． 5．已知a ＋b b ＝52，求a －b b的值． 6．若1a －1b ＝12，求a －b ab －ab a －b的值． 7．已知1x ＋1y ＝5，求2x －3xy ＋2y x ＋2xy ＋y的值． 8．已知a 满足a 2＋2a －15＝0，求1a ＋1－a ＋2a 2－1÷（a ＋1）（a ＋2）a 2－2a ＋1的值． 9．已知t ＋1t ＝3，求t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2的值． 10．已知x ＋1x ＝4，求x 2x 4＋x 2＋1的值． ► 类型二 设比例系数或用消元法求值11．已知2a －3b ＋c ＝0，3a －2b －6c ＝0，abc ≠0，则a 3－2b 3＋c 3a 2b －2b 2c ＋3ac 2＝________． 12．已知x 2＝y 3＝z 4≠0，求xy ＋yz ＋zx x 2＋y 2＋z 2的值．► 类型三 利用非负数的性质挖掘条件求值13．已知x 2－4x ＋4与|y －1|互为相反数，则式子⎝ ⎛⎭⎪⎫x y －y x ÷(x ＋y)的值为________． 14．已知⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12x －3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3y ＋1y ＋42＝0，求32x ＋1－23y －1的值． ► 类型四 值恒不变形15．已知y ＝x 2＋6x ＋9x 2－9÷x ＋3x 2－3x－x ＋3，试说明不论x 为任何使原式有意义的值，y 的值均不变． 详解详析1．解：原式＝⎝⎛⎭⎫a 2a －1－1a －1·1a ＝a 2－1a －1·1a ＝（a ＋1）（a －1）a －1·1a ＝a ＋1a . 当a ＝－12时，a ＋1a ＝－12＋1－12＝－1. 2．解：原式＝x （x ＋1）（x －1）2÷2x －（x －1）x （x －1）＝x （x ＋1）（x －1）2·x （x －1）x ＋1＝x 2x －1. 由题意，可取x ＝2代入上式，得x 2x －1＝222－1＝4.(注意：x 不能为0和±1) 3．解：原式＝a ＋1.由原代数式有意义，得a ≠0且a ≠1，又代数式的值是奇数，且－3≤a ≤3，所以a ＝±2.4．解：由已知可得y ≠0，将分式的分子、分母同除以y 2，得原式＝⎝⎛⎭⎫x y 2－2·x y ＋34·⎝⎛⎭⎫x y 2＋5·x y－6. 又已知x ＝5y ，变形得x y ＝5，将其代入原式，得⎝⎛⎭⎫x y 2－2·x y ＋34·⎝⎛⎭⎫x y 2＋5·x y －6＝52－2×5＋34×52＋5×5－6＝18119. 5．[解析] 由a －b b ＝a ＋b －2b b ＝a ＋b b－2，再将已知条件代入该式即可求解． 解：a －b b ＝a ＋b －2b b ＝a ＋b b －2，又知a ＋b b ＝52，将其代入上式，得 a －b b ＝52－2＝12. 6．解：由1a －1b ＝12， 得b －a ab ＝12， 所以a －b ab ＝－12，ab a －b＝－2， 所以a －b ab －ab a －b＝－12＋2＝32. 7．[解析] 由条件1x ＋1y ＝5，通分化简，得x ＋y ＝5xy ，代数式可化为2（x ＋y ）－3xy x ＋2xy ＋y，从而整体代入求值．解：∵1x ＋1y ＝x ＋y xy＝5， ∴x ＋y ＝5xy ，∴2x －3xy ＋2y x ＋2xy ＋y ＝2（x ＋y ）－3xy x ＋2xy ＋y ＝10xy －3xy 5xy ＋2xy＝1. 8．[解析] 对要求的式子进行计算，先进行因式分解，再把除法转化成乘法，然后进行约分，得到一个最简分式，最后把a 2＋2a －15＝0进行配方，得到a ＋1的值，再把它整体代入即可求出答案．解：1a ＋1－a ＋2a 2－1÷（a ＋1）（a ＋2）a 2－2a ＋1＝1a ＋1－a ＋2（a ＋1）（a －1）·（a －1）2（a ＋1）（a ＋2）＝1a ＋1－a －1（a ＋1）2＝2（a ＋1）2. ∵a 2＋2a －15＝0，∴(a ＋1)2＝16，∴原式＝216＝18.9．[解析] 利用t 2＋⎝⎛⎭⎫1t 2＝⎝⎛⎭⎫t ＋1t 2－2的形式，将已知条件整体代入求解． 解：因为t 2＋⎝⎛⎭⎫1t 2＝⎝⎛⎭⎫t ＋1t 2－2， 又t ＋1t＝3，将其代入上式，得原式＝32－2＝7. 10．解：因为x ＋1x＝4，所以⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＝42， 即x 2＋2＋1x 2＝16，所以x 2＋1x 2＝14. 因为x 4＋x 2＋1x 2＝x 2＋1＋1x 2＝x 2＋1x 2＋1＝14＋1＝15， 所以x 2x 4＋x 2＋1＝115. 11.1142[解析] 由已知条件不能求出a ，b ，c 的具体值，但是我们可以把已知等式组成方程组，用其中一个字母(如c)来表示另两个字母，把分式转化为只含一个字母的分式，再约分．由已知，得⎩⎨⎧2a －3b ＝－c ，3a －2b ＝6c ， 解这个方程组得 ⎩⎨⎧a ＝4c ，b ＝3c ，代入原式，得a 3－2b 3＋c 3a 2b －2b 2c ＋3ac 2＝ （4c ）3－2·（3c ）3＋c 3（4c ）2·3c －2·（3c ）2c ＋3×4c·c 2＝11c 342c 3＝1142. 12．解：设x 2＝y 3＝z 4＝k ，则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ，所以xy ＋yz ＋zx x 2＋y 2＋z 2＝6k 2＋12k 2＋8k 24k 2＋9k 2＋16k 2＝2629. 13.12[解析] 代数式x 2－4x ＋4＝(x －2)2.因为x 2－4x ＋4与|y －1|互为相反数，所以由非负数的性质，得x －2＝0，y －1＝0，解得x ＝2，y ＝1，所以⎝⎛⎭⎫x y －y x ÷(x ＋y)＝⎝⎛⎭⎫21－12÷(2＋1)＝12.14．解：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12x －3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3y ＋1y ＋42＝0，得x －12x －3＝0，3y ＋1y ＋4＝0，所以x ＝1，y ＝－13， 所以原式＝32×1＋1－23×⎝⎛⎭⎫－13－1＝2. 15．[解析] 先化简分式，再通过分析化简结果得出结论．解：y ＝x 2＋6x ＋9x 2－9÷x ＋3x 2－3x－x ＋3 ＝（x ＋3）2（x ＋3）（x －3）·x （x －3）x ＋3－x ＋3 ＝x －x ＋3＝3.由化简结果，可知y 的值为常数3，与x 的取值无关，故不论x 为任何使原式有意义的值，y 的值均不变．。
八年级数学培优辅导讲义竞赛训练导学案 分式的运算 分式的化简与求值 含答案解析
八年级数学培优辅导讲义竞赛训练导学案分式的化简与求值典例剖析【例l 】 已知2310a a -+=，则代数式361a a +的值为 ．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：目前不能求出a 的值，但可以求出13a a+=，需要对所求代数式变形含“1a a +”．【例2】 已知一列数1234567,,,,,,,a a a a a a a 且18a =，75832a =，356124234567a a a a a a a a a a a a =====，则5a 为（ ） A ．648 B ．832 C ．1168 D ．1944（五城市联赛试题） 解题思路：引入参数k ，把17a a 用k 的代数式表示，这是解决等比问题的基本思路．【例3】 3(0)x y z a a ++=≠．求222()()()()()()()()()x a y a y a z a z a x a x a y a z a --+--+---+-+-． （宣州竞赛试题） 解题思路：观察发现，所求代数式是关于x a y a z a ---、、的代数式，而条件可以拆成x a y a z a ---、、的等式，因此很自然的想到用换元法来简化解题过程．【例4】 已知1,2,3,xy yz zxx y y z z x===+++求x 的值． （上海市竞赛试题）解题思路：注意到联立等式得到的方程组是一个复杂的三元一次方程组，考虑取倒数，将方程组化为简单的形式．【例5】 不等于0的三个正整数,,a b c 满足1111a b c a b c++=++，求证：,,a b c 中至少有两个互为相反数．解题思路：,,a b c 中至少有两个互为相反数，即要证明()()()0a b b c c a +++=．（北京市竞赛试题）【例6】 已知,,a b c 为正整数，满足如下两个条件：①32;a b c ++=②14b c a c a b a b c bc ac ab +-+-+-++= 解题思路：本题熟记勾股定理的公式即可解答．（全国初中数学联赛试题）能力训练1．若a b c d b c d a ===，则a b c d a b c d-+-+-+的值是 ．（“希望杯”邀请赛试题）2．已知2131xx x =-+，则24291x x x =-+ ． （广东竞赛试题）3．若2221998,1999,2000a x b x c x +=+=++=且24abc =，则111c a b ab bc ac a b c++--- 的值为 ．（“缙云杯”竞赛试题）4．已知232325x xy y x xy y +-=--，则11x y -= ．5．如果111,1a b b c+=+=，那么1c a +=（ ）．A ．1B ．2C ．12D ．14（“新世纪杯”竞赛试题）6．设有理数,,a b c 都不为0，且0a b c ++=，则222222222111b c a c a b a b c+++-+-+-的 值为（ ）．A ．正数B ．负数C ．零D ．不能确定7．已知4360,270(0)x y z x y z xyz --=+-=≠，则22222223657x y z x y z++++的值为（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．不能确定8．已知211xx mx =-+，则36331x x m x -+的值为（ ） A ．1 B ．313m + C ．2132m - D ．2131m + 9．设0a b c ++=，求222222222a b c a bc b ac c ab+++++的值．10．已知111x y z y z x+=+=+其中,,x y z 互不相等，求证2221x y z =． （天津市竞赛试题）11．设,,a b c 满足1111a b c a b c++=++， 求证2121212121211111n n n n n n a b c a b c ------++=++．（n 为自然数）（波兰竞赛试题）12．三角形三边长分别为,,a b c ．（1）若a a b cb c b c a ++=+-，求证：这个三角形是等腰三角形； （2）若1111a b c a b c-+=-+，判断这个三角形的形状并证明．13．已知1ax by cz ===，求444444111111111111a b c x y z+++++++++++的值． （“华杯赛”试题）14．解下列方程（组）： （1）18272938x x x x x x x x +++++=+++++； （江苏省竞赛试题）（2）596841922119968x x x x x x x x ----+=+----； （“五羊杯”竞赛试题）（3）111211131114x y z y z x z x y ⎧+=⎪+⎪⎪+=⎨+⎪⎪+=⎪+⎩．（北京市竞赛试题）B 级1．设,,a b c 满足0a b c ++=，0abc >，若a b c x a b c=++， 111111()()()y a b c b c c a a b=+++++，则23x y xy ++= ．2．若0abc ≠，且a b b c c a c a b+++==，则()()()a b b c c a abc +++= ． 3．设,,a b c 均为非零数，且2(),3(),4()ab a b bc b c ac a c =+=+=+，则a b c ++= ．4．已知,,x y z 满足1x y z y z x z y x ++=+++，则222x y z y z x z y x+++++的值为 ． 5．设,,a b c 是三个互不相同的正数，已知a c c bb a b a-==+，那么有（ ）． A ．32b c = B ．32a b = C ．2b c = D ．2a b =6．如果0a b c ++=，1114a b c ++=-，那么222111a b c++的值为（ ）．A ．3B ．8C ．16D ．207．已知2519910x x --=，则代数式42(2)(1)1(1)(2)x x x x -+----的值为（ ）．A ．1996B ．1997C ．1998D ．199998．若615325x y x y y x y x -==-，则222245623x xy y x xy y-+-+的值为（ ）． A ．92 B ．94C ．5D ．6 （全国初中数学联赛试题）9．已知非零实数,,a b c 满足0a b c ++=． （1）求证：3333a b c abc ++=； （2）求()()a b b c c a c a bc a b a b b c c a---++++---的值． （北京市竞赛试题）10．已知2410a a ++=，且42321322a ma a ma a++=++．求m 的值． （北京市竞赛试题）11．完成同一件工作，甲单独做所需时间为乙、丙两人合做所需时间的p 倍，乙单独做所需时间为甲、（天津市竞赛试题）12．设222222222,,222b c a a c b b a c A B C bc ac ab+-+-+-===，当3A B C ++=-时，求证：2002200220023A B C ++=．（天津市竞赛试题）13．某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩和一女孩同时从自动扶梯上走到二楼（扶梯行驶，两人也走梯）．如果两人上梯的速度都是匀速的，每次只跨1级，且男孩每分钟走动的级数是女孩的2倍．已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达顶部． （1）扶梯露在外面的部分有多少级？（2）现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道，台阶的级数与自动扶梯的级数相等，两人各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘自动扶梯上楼（不考虑扶梯与楼梯间的距离）．求男孩第一次追上女孩时走了多少级台阶？（江苏省竞赛试题）专题07 分式的化简求值例1 181提示：3363111aa a a +=+例2 A 提示：7665544332216a a a a a a a a a a a a k •••••==71a a =58328，得k=31±，又25443322151k a a a a a a a a a a =•••= 例3油x+y+z=3a ，得（x-a ）+（y-a ）+（z-a ）=0.设x-a=m ，y-a=n ，z-a=p ，则m+n+p=0，即p=-（m+n ）.原式=222p n m pm np mn ++++=()222p n m n m p mn ++++=()()2222n m n m n m mn ++++-=-21 例4 x=512 提示：由已知条件知xy ≠0，yz ≠0，取倒数，得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++,31,21,1zx x z zx z y xy y x 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+,3111,2111,111x z z y y x ①+②+③，得1211111=++z y x 例5 提示：由已知条件，得()()a bc acb abc bc ac b ab +++++++22=()()[]()c a b a c b a b ++++=()()()0=+++a c c b b a例6 由勾股定理，结论可表示为等式：a=b+c ，①或b=a+c ，②或c=b+a ，③，联立①③，只需证a=16或或b ＝16或c ＝16，即（a －16）（b －16）（c －16）＝0. ④ 展开只需证明0＝abc －16（ab ＋bc ＋ac ）＋162（a ＋b ＋c ）－163＝abc －16（ab ＋bc ＋ac ）＋163 ⑤ 将①平方、移项，有a 2＋b 2＋c 2＝322－2（ab ＋bc ＋ca ），⑥ 又将②移项、通分，有 0＝14－（++b c a bc ＋+c a b ac －＋a b c ab ++）①② ③＝14－（2+ab ac aabc-＋2+bc ab babc-＋2ac bc cabc+-）＝222 8()4()4abc ab bc ac a b cabc-+++++＝28()4[322()]4abc ab bc ac ab bc caabc-+++-++把⑥代入等式中，0＝3 16()164abc ab bc acabc-+++＝23 16()16()164abc ab bc ac a b cabc-+++++-＝(16)(16)(16)4a b cabc---当a－16＝0时，由①有a＝16＝b＋c为斜边的直角三角形.同理，当b＝16或c＝16时，分别有b＝a＋c或c＝b＋a 个直角三角形.A级1. 0或－22. 15∵231x xx-+＝1，∴x＋1x＝4.又∵42291x xx-+＝5，∴24291xx x-+＝153. 184.35. A6. C 提示：b 2＋c 2－a2＝－2bc7.B8. C 提示：取倒数，得x＋1x＝1＋m，原式的倒数＝x3＋31x－m39. 1 提示：2a2＋bc＝2a2＋b（－a－b）＝a2－ab＋a2－b2＝（a－b）（a＋a＋b）＝（a－b）（a－c）10. 提示：由x＋1y＝y＋1z，得x－y＝1z－1y，得zy＝y zx y--11. 提示：参见例5得（a＋b）（b＋c）（a＋c）＝012. （1）∵()a b cbc+＝()b cb c a++-，∴（b＋c）（ab＋ac－a2－bc）＝0.∴（b＋c）（a－b）（c－a）＝0.∵b＋c≠0，∴a＝b或c＝a.∴这个三角形为等腰三角形.（2）∵1a＋1c＝1+a b c-＋1b，∴a cac+＝()a ca b c b+-+∴（a－b＋c）＝ac，∴（a－b）（b－c）＝0, a＝b或b＝c，∴这个三角形为等腰三角形.13. 3 x＝1a，y＝1b，c＝1z，∴411a+＋411x+＝411a+＋4111a+＝1，∴原式＝3.14. （1）x＝－11 2（2）x＝123 14（3）（x，y，z）＝（2310，236，232）提示：原方程组各方程左端通分、方程两边同时取倒数.B级1. 22. －1或8 提示：设a bc+＝b ca+＝c ab+＝k，则k＝－1或2 3.1128354. 0 提示：由xy z+＝1－yz x+－zx y+，得：14＝x－xyz x+－xzx y+5. A6. C7. D 提示：原式＝4(2)(2)(1)(2)x x xx x-+---＝3(2)1x xx-+-＝3261281x x x xx-+-+-＝2(1)5(1)8(1)1x x x x xx---+--＝x2－5x＋88. A 提示：由已知条件得x＝3y9. （1）由a ＋b ＋c ＝0，得a ＋b ＝－c ∴a 3＋b 3＋c 3＝－3ab （a ＋b ）＝3abc（2）∵（a b c -＋b c a -＋c a b -）·ca b-＝1＋22c ab ， ∴同理：（a b c -＋b c a -＋c ab -）·a bc -＝1＋22a bc ，（a b c -＋b c a -＋c a b -）·bc a -＝1＋22b ac ，∴左边＝3＋22c ab ＋22a bc＋22c ab ＝3＋3332()a b c abc ++＝910. ∵a 2＋4a ＋1＝0，∴a 2＋1＝－4a ，①a ≠0. 4232122a ma a ma a++++＝2222(1)(2)2(1)a m a a a ma ++-++＝3.把①代入上式中，222216(2)8a m a a ma +--+＝3，消元得1692)8m m+--+＝3，解得m ＝19.11. 设甲、乙、丙三人单独完成此项工作分别用a 天、b 天、c 天，则,,bc a p b c ac b q a c ab c x a b ⎧=⋅⎪+⎪⎪=⋅⎨+⎪⎪=⋅⎪+⎩即111,111,111p a b c q b a c x c a b ⋅=+⋅=+⋅=+解得x ＝14. 12. 由A ＋B ＋C ＝－3得（2222b c a bc+-＋1）＋222222(1)(1)0.22c a b a b c ac ab +-+-+++=即222222()()()0222b c a c a b a b c bc ac ab+-+-+-++=分解因式，得(b ＋c －a )(a ＋b －c )(a －b ＋c )＝0b ＋c －a ， a ＋b －c ，a －b ＋c 中至少有一个为0，不妨设b ＋c －a ＝0，代入式中， A 2002＋B 2002＋C 2002＝(－1)2002＋12002＋12002＝3．13．（1）设女孩速度x 级/分，电梯速度y 级/分，男孩速度2x 级/分，楼梯S 级，则27271818.S x y S xy -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，得13.5271818S S -=-，327418S S -=-，∴S ＝54． （2）设男孩第一次追上女孩时走过扶梯m 编，走过楼梯n 编，则女孩走过扶梯(m －1)编，走过楼梯(n －1)编，男孩上扶梯4x 级/分，女孩上扶梯3x 级/分．545454(1)54(n 1)423m m m x x x x --+=+，即114231m n m n --+=+，得6n ＋m ＝16，m ，n 中必有一个是正整数，且0≤︱m －n ︱≤1．①16m n -=，m 分别取值，则有②m ＝16－6n ，分别取值，则有 显然，只有m ＝3，n ＝126满足条件，故男孩所走的数＝3×27＋126×54＝198级． ∴男孩第一次追上女孩时走了198级台阶．。
青岛版八年级数学上册3.2分式的约分(预学+精讲)
3.2分式的约分预学+精讲案一、学习目标1、经历观察、类比、抽象等活动过程，探索分式约分和最简分式的概念，理解约分的依据是分式的基本性质.积累数学活动的经验.2、能运用约分的意义对分式进行约分.3、能利用分式的意义和分式的约分进行整式的除法运算.二、精讲点拨（一）知识点一：分式的约分认真阅读课本第75页“交流与发现”的内容，完成下列问题：1、约分： ； .2、分数的分子和分母含有1以外的 时，通常要约去这样的 ，把分数化成 或 ；3、仿照分数约分的意义，约去分式的分子和分母中除1以外的公因式：① ； ②4、上面变形的依据是： ；【总结】利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母中1以外的约去，叫做分式的 ；【例1】（1） （2）进行约分时，应注意：1、当分式的分子与分母都是单项式时，可直接约分.24=8=232=a a 24=xy y 2324-x yaxy 222++a b ab a ab2、当分子、分母是多项式时，先对分子、分母进行因式分解，把分子、分母化为几个因式的积后，再找出分子、分母的公因式因式分解：①2x xy +； ②224m n -； ③2816a a ++.3、当分式的分子或分母的系数有负数时，可利用分式的基本性质，最多只让分式的前面出现符号.4、约分的结果应化为 .（二）知识点二：最简分式与最简分数类似，当一个分式的分子与分母，除去1以外没有其它 时，这样的分式叫做 ；分式约分的结果应当是 或 .【例2】（1）222-9a(3)b ab ÷- （2）22a -4÷（）（a -4a+4）三、精讲检测（时间：10分钟 满分20分）1、计算：（15分） （1）()ax b ab 24÷- （2）222210522yx ab b a y x -•+ （3）a bc bc a 85322•2、（5分）化简求值：如果x 的倒数等于其本身，求分式96339622+-+÷-++x x x x x x 的值四、展示学习对子互改互签，展示反馈。
青岛版数学八年级上册专题突破讲练：分式化简求值及有条件求值-文档资料
年 级 八年级 学 科 数学 版 本 通用版课程标题 分式化简求值及有条件求值 编稿老师李朝华一校付秋花二校黄楠审核郭莹一、化简求值在分式这部分中分式的化简求值是重要的题型，是中考的热点，在进行分式化简时，我们需要寻找分式的规律，分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化简后求值是解分式的化简与求值的基本策略。
如：计算：2262a a a a ++＋22444a a a -++分析：分子、分母先分解因式，约分后再通分求值计算解：2262a a a a ++＋22444a a a -++＝(6)(2)a a a a ++＋2(2)(2)(2)a a a +-+＝62a a ++＋22a a -+＝242a a ++＝2二、有条件求值解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标，又要抓住条件，既要根据目标变换条件，又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识外，还常常用到如下技巧： 1. 拆项变形或拆分变形； 2. 整体代入； 3. 利用比例性质；4. 恰当引入参数：在解某些含多个字母的代数式问题时，如果已知与未知之间的联系不明显，为了沟通已知与未知之间的联系，则可考虑引入一个参数，参数的引入，可起到沟通变元、消元的功能；5. 取倒数或利用倒数关系：有些分式的分母比分子含有更多的项，我们可以把分子和分母颠倒位置再进行求解。
如：已知：22421,311xxx x x x 则的值为=++++______。
解：由题意得0x ¹，由2131xx x =++得：21132,x x x x x ++==即得：+， 所以42222211111413()x x x x xxx++=++=+-=-= 即：242131xx x =++ 6. 把未知数当成已知数法如：已知3a －4b －c ＝0，2a ＋b －8c ＝0，计算：222a b c ab bc ac++++解：把c 当作已知数，用c 表示a ，b 得，a ＝3c ，b ＝2c 注意：解数学题是运用已知条件去探求未知结论的一个过程。
八年级数学上册专题突破讲练分式方程的实际应用试题青岛版(2021年整理)
八年级数学上册专题突破讲练分式方程的实际应用试题（新版）青岛版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八年级数学上册专题突破讲练分式方程的实际应用试题（新版）青岛版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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分式方程的实际应用一、分式方程的应用分式方程的应用主要是列方程解应用题，它与学习一元一次方程时列方程解应用题的基本思路和方法是一样的。
提示：(1）在实际问题中,有时题目中包含多个相等的数量关系；在列方程时一定要选择一个能够体现全部（或大部分)题意的相等关系列方程。
（2)在一些实际问题中,有时直接设出题中所求的未知数可能比较麻烦，需要间接地设未知数，或设一个未知数不好表示相等关系，还可设多个未知数，即设辅助未知数。
在上述过程中，关键步骤是根据题意寻找“等量关系”,同时，解出分式方程后注意必须检验求出的值是不是所列分式方程的解，且是否符合实际意义。
二、列分式方程解应用题的步骤审清题意，弄清已知量和未知量审找出等量关系找设未知数设列出分式方程列解这个分式方程解检验，既要检验根是否为所列分式方程的根，又要检验根是否符合验实际问题的要求三、常见题型及相等关系1。
行程问题基本量之间的关系：路程=×速度时间，即s=vt常见的相等关系：（1)相遇问题:甲行程+乙行程=全路程（2)追及问题：（设甲的速度快)①同时不同地：甲用的时间=乙用的时间甲的行程-乙的行程=甲乙原来相距的路程②同地不同时：甲用的时间=乙用的时间-时间差甲走的路程=乙走的路程③水（空）航行问题：顺流速度=静水中航速+水速逆流航速=静水中速度-水速2。
八年级数学上册3.7可化为一元一次方程的分式方程分式求值五技巧素材青岛版(new)
分式求值五技巧求分式的值这种题型在《分式》一章中经常出现。
有些求值题用一般方法直接可以解答，但有些求值题用一般的方法解起来很困难。
所以我们要善于总结，寻找技巧,这样才能顺利解题。
以下向同学们介绍了几种常用的技巧.一、巧用整体代换例1：已知：x+x 1=2,求x 2+21x的值。
分析:用x+x 1表示x 2+21x，用已知式整体代换所求式。
解: 由x+x 1=2可得 ⎝⎛⎪⎭⎫+21x x =4 所以x 2+21x = ⎝⎛⎪⎭⎫+21x x —2•x •x 1 =4—2=2二、巧用变形代入：例2：已知：n m =4 求 2222nmn m mn m +--的值 分析：先将求值式化简，再把已知条件变形代入. 解：由n m=4可得m=4n 代入原式,原式=)()(2n m n m m --=n m m -=n n n -44=n n 34=34 三、巧设比值代入例3：已知：2a =3b =4c 求分式222cb a ac bc ab ++++的值 分析：已知条件2a =3b =4c 为等比形式时，常设比值为k ，把a,b ，c 都用K 来表示，这样就可以求值了。
解:设2a =3b =4c =k 则a=2k b=3k c=4k 代入求值式：原式=2221694424332kk k k k k k k k ++•+•+•=222926k k =2926 四、巧用倒数：例4：已知：a+a 1=5 则1242++a a a 为________ 分析：由a+a1=5求出a 的值式代入1242++a a a 明显比较复杂，对求值式取倒数，并向已知条件靠拢有下列解法. 解：把1242++a a a 的分子、分母倒过来 即2241a a a ++=24a a +22a a +21a=a 2+21a +1 = ⎝⎛⎪⎭⎫+21a a -2+1 = ⎝⎛⎪⎭⎫+21a a —1 =52-1=24所以,原式1242++a a a =241 五、巧选特殊值代入：例5：若 x 1-y 1=31，求y xy x y xy x ---+3232的值 分析：通过条件式的一组特殊值来计算求值式的值。
八年级数学上册专项24 分式化简求值(四大类型)(解析版)
专项24 分式化简求值（四大类型）【典例1】（2021秋•北碚区校级期中）先化简再求值：÷（x﹣1+），其中x＝2．【答案】x＝2时，原式＝1【解答】解：原式＝÷＝÷＝•＝，当x＝2时，原式＝1【变式1】（2021秋•雨花区校级月考）先化简，再求值：，其中a＝2022．【答案】﹣．【解答】解：原式＝（）÷＝（）×＝＝﹣．当a＝2022时，原式＝﹣＝﹣．【典例2】（2021•射阳县二模）先化简，再求值：（）÷，其中x从1，2，3中取一个你认为合适的数代入求值．【答案】1【解答】解：原式＝[]＝＝＝，∵x（x+1）（x﹣1）≠0，∴x≠0且x≠±1，∴x可以取2或3，当x＝2时，原式＝，当x＝3时，原式＝＝1．【变式2】（2022•南京模拟）先化简，再求值：，然后x在﹣1，0，1，2四个数中选一个你认为合适的数代入求值．【解答】解：＝＝x2+2，∵分式有意义，∴x≠﹣1且x≠1，当x＝0时，原式＝2，当x＝2时，原式＝6．【典例3】（2021•潍城区二模）先化简，再求值：（﹣）÷（x+2﹣），其中x是不等式组的整数解．【答案】2【解答】解：原式＝[+]÷[﹣]＝（+）÷（﹣）＝÷＝•＝，由，解得：﹣1＜x≤2，∵x是整数，∴x＝0，1，2，由分式有意义的条件可知：x不能取0，1，故x＝2，∴原式＝＝2．【变式3】（2021•苍溪县模拟）先化简：，再从不等式组的解集中取一个合适的整数值代入求值．【答案】1【解答】解：原式＝＝＝2（x+1）﹣（x﹣1）＝2x+2﹣x+1＝x+3．解不等式组，得﹣3＜x≤1．由分式有意义的条件可知：x不能取﹣1，0，1，且x是整数，∴x＝﹣2．当x＝﹣2时，原式＝1．【典例4】（2021秋•兴宁区校级月考）先化简，再求值：，其中a满足a2+2a﹣3＝0．【答案】6【解答】解：原式＝•＝•＝•＝2a（a+2）＝2（a2+2a），∵a满足a2+2a﹣3＝0，∴a2+2a＝3，当a2+2a＝3时，原式＝2×3＝6．【变式4】（2021秋•沭阳县校级月考）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x2﹣x﹣6＝0．【答案】﹣．【解答】解：原式＝[﹣]÷＝•＝•＝•＝，∵x2﹣x﹣6＝0，∴x＝3或x＝﹣2，由分式有意义的条件可知：x不能取﹣2，故x＝3，∴原式＝＝﹣．1．（2022•丰顺县校级开学）先化简，再求值：，其中x＝2．【解答】解：原式＝•＝，当x＝2时，原式＝＝．2．（2022•牟平区校级开学）化简求值：，再从﹣1≤x＜2中选一个整数值，对式子进行代入求值．【解答】解：原式＝÷＝•＝﹣，∵﹣1≤x＜2且x为整数，∴x＝﹣1，0，1，2，当x＝1时，原式没有意义，舍去；当x＝﹣1时，原式＝；当x＝0时，原式＝1；当x＝2时，原式＝﹣．3．（2022春•涟源市校级期末）先化简，再求值：，然后从﹣1，1，2是选一个合适的代入求值．【解答】解：原式＝＝＝＝．∵x≠±1，∴x＝2．当x＝2时，原式＝．4．（2022秋•房山区期中）已知：x2﹣3x＝4，求代数式的值．【解答】解：∵x2﹣3x＝4，∴x2﹣3x﹣4＝0，∴（x+1）（x﹣4）＝0，解得x1＝﹣1（不合题意舍去），x2＝4，∴＝+﹣＝++1＝++1＝++1＝．5．（2022秋•岳阳县期中）先化简，再求值已知a2+3a﹣1＝0，求的值．【解答】解：＝﹣＝＝＝，∵a2+3a﹣1＝0，∴a2+3a＝1，∴原式＝＝1．6．（2022秋•北碚区校级期中）先化简，再求值：，其中a．b满足．【解答】解：＝[﹣]•＝（）•＝•＝，∵．∴a﹣＝0，b+1＝0，解得a＝，b＝﹣1，当a＝，b＝﹣1时，原式＝＝﹣．7．（2022秋•丰城市期中）化简：（﹣x﹣1）÷，并从不等式组的解集中选择一个合适的整数解代入求值．【解答】解：原式＝•＝•＝•＝﹣（x+2）（x﹣1）＝﹣x2﹣x+2，∵，∴﹣1＜x≤2，由分式有意义的条件可知：x不能取1和2，故x＝0，原式＝0+0+2＝2．8．（2022秋•随县月考）先化简、再求值：（1﹣）÷﹣，其中x2+2x﹣13＝0．【解答】解：原式＝•﹣＝﹣＝﹣＝，∵x2+2x﹣13＝0，∴x2+2x＝13，∴原式＝．。
初中数学专题： 分式的运算及化简求值
7．(黔南中考)先化简再求值：(x－1 y－x＋1 y)÷x2－yy，其中 x，y 满足 |x－1|＋(y＋2)2＝0.
解：∵x，y 满足|x－1|＋(y＋2)2＝0， ∴x－1＝0，y＋2＝0.∴x＝1，y＝－2. 原式＝（xx－＋yy）－（x＋ x＋yy）·x－ 2yy＝x＋1 y. 当 x＝1，y＝－2 时，原式＝1－1 2＝－1.
8．(毕节中考)先化简，再求值：(x2－x2－2x＋ x 1＋xx22＋－24x)÷1x，且 x 为满 足－3＜x＜2 的整数．
解：原式＝[x（（xx－－11））2＋（x＋x（2）x＋（2x）－2）]·x＝(x－x 1＋ x－x 2)·x＝2x－3.
∵x 为满足－3＜x＜2 的整数， ∴x＝－2，－1，0，1. ∵x 要使原分式有意义， ∴x≠－2，0，1. ∴x＝－1. 当 x＝－1 时，原式＝2×(－1)－3＝－5.
3．计算： (1)(x＋1 1＋x－1 1)·(x2－1)； 解：原式＝（xx＋－11）＋（x＋ x－11）·(x＋1)(x－1) ＝2x.
(2)(x＋3 1－1x)÷x22＋x22－x＋x 1； 解：原式＝[x（x3＋x 1）－x（xx＋＋11）]·x22＋x22－x＋x 1 ＝x3（x－x＋x－1）1 ·x（（x2＋x－1）1）2 ＝x（2xx－＋11）·x（（x2＋x－1）1）2 ＝x＋x2 1.
(3)m2＋m2m2 ＋1÷(1－m＋1 1)； 解：原式＝（mm＋21）2÷mm＋＋1－1 1 ＝（mm＋21）2·mm＋1 ＝mm＋1.
(4)(2－1 x＋1)÷xx2－－34·x2＋4xx＋4. 解：原式＝32－－xx·（x＋2）x－（3x－2）·（x＋x 2）2 ＝x＋x 2.
4．(遵义中考)先化简，再求值：x－x y÷(x－2xyx－y2)，其中 x＝2，y ＝－1.
八年级数学上册第3章分式求值用巧法(青岛版)
分式求值用巧法根据所给条件求分式的值，是分式这部分内容中的一个重点．一般的题目可采用先化简、后求值的方法，但对于一些特殊情况，若采用适当的方法，就会收到意想不到的效果．1． 整体代入法所谓“整体代入法”，就是把条件式或其中的一部分视为一个整体，整体代入求值式求值．例1 若实数,a b 满足：2a b b a+=，则22224a ab b a ab b ++++的值为 ． 分析：本题可有两种解法．解法1：根据分式的基本性质，把求值式的分子和分母分别除以ab ，再进行适当的变形，使之出现条件式，把条件式整体代入即可得解；解法2：对条件式进行变形，可得222a b ab +=，整体代入求值式即可．解：法1：由2a b b a+=知0ab ≠， ∴22224a ab b a ab b ++++=1()1211.2424()4a b a b b a b a a b a b b a b a+++++===+++++ 法2：由2a b b a+=知0,0,a b ≠≠ ∴222a b ab +=． ∴22224a ab b a ab b ++++=2222()21.()4242a b ab ab ab a b ab ab ab +++==+++ 2． 设参法当条件式中含有多元比例关系时，可引进辅助未知数（即参数）k ，使之转化为一元的问题，最后消掉k 而得解．例2 已知234x y z ==，求222423x yz zx x xy z -+-+的值． 解：设234x y z ===k ，则2,3,4x k y k z k ===，∴222423x yz zx x xy z -+-+=22222222222(2)43442448836 6.2(2)323(4)818166k k k k k k k k k k k k k k k k k -⨯⨯+⨯-+-===--⨯⨯+-+ 3． 倒数法例3已知111,,345ab bc ac a b b c a c ===+++，求abc ab ac bc++的值． 分析：由已知条件取倒数可得111a b c ++的值，把求值式取倒数化成111a b c++的代数式，进而求值．解：将已知条件的两边分别取倒数，得3,4,5.a b ab b c bc a c ac +⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩即113,114,11 5.a b b ca c ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩①②③ ①＋②＋③，得111a b c++=6． 把求值式取倒数，得ab bc ac abc ++=111a b c++=6， ∴abc ab ac bc ++=1.64． 特值法例4 若27x y =，则分式222232257x xy y x xy y -++-的值等于 ． 分析：既然27x y =，我们就“将计就计”，认定2,7x y ==，把它们代入求值式即可得解． 解：由27x y =，不妨令2,7x y ==，则 222232257x xy y x xy y -++-=442986012.87034326553-+==-+-- 注：本题也可以用设参法（设2,7x k y k ==），或整体代入法（分子、分母同除以xy ），同学们不妨试一试．。
八年级上册数学《分式-化简求值》专题
1．先化简，再求值：12112---x x ，其中x ＝－2．2、先化简，再求值：，其中a=﹣1．3、（2011•綦江县）先化简，再求值：，其中x=．4、先化简，再求值：，其中．5先化简，再求值，其中x 满足x 2﹣x ﹣1=0．6、化简：ba ba b a b 3a -++--7、（2011•曲靖）先化简，再求值：，其中a=．8、（2011•保山）先化简211111x x x x -÷-+-（），再从﹣1、0、1三个数中，选择一个你认为合适的数作为x 的值代入求值．9、（2011•新疆）先化简，再求值：（+1）÷，其中x=2．10、先化简，再求值：3x –3 – 18x 2 – 9，其中x = 10–311、（2011•雅安）先化简下列式子，再从2，﹣2，1，0，﹣1中选择一个合适的数进行计算．．12、先化简，再求值：12-x x (xx 1--2),其中x =2.13、（2011•泸州）先化简，再求值：，其中．14、先化简22()5525x x xx x x -÷---，然后从不等组23212x x --≤⎧⎨<⎩的解集中，选取一个你认为符合题意的x 的值代入求值．15、先化简，再求值：62296422+-÷++-a a a a a ，其中5-=a ．16、（2011•成都）先化简，再求值：232()111x x x x x x --÷+--，其中x =17先化简.求值：2222121111a a a a a a a +-+⋅---+，其中12a =-。
18．先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －2÷x 2－2x ＋1x 2－4，其中x ＝－5．19. 先化简再计算：22121x x x x x x --⎛⎫÷- ⎪+⎝⎭，其中x 是一元二次方程2220x x --=的正数根.20 化简，求值： 111(11222+---÷-+-m m m m m m ） ，其中m =． 21、（1）化简：÷．（2）化简：22a b ab b a (a b )a a ⎛⎫--÷-≠ ⎪⎝⎭22、先化简，再求值：，其中．23请你先化简分式2223691,x 1211x x x x x x x +++÷+--++再取恰的的值代入求值.24、（本小题8分）先化简再求值()121112222+--++÷-+a a a a a a 其中a=3+1 25、化简，其结果是．326．（11·辽阜新）先化简，再求值：(xx －2－2)÷x 2－16x 2－2x，其中x ＝3－4．27、先化简，再求值：x 2＋4x ＋4x 2－16÷x ＋22x －8－2xx ＋4，其中x ＝2.28、先化简，再求值：232()224x x xx x x -÷-+-，其中4x =．29.先化简，再求值：2()11a aa a a+÷--，其中 1.a =30、先化简，再求值：2211()11a a a a++÷--，其中a31、（1）化简：．（2）2111x x x -⎛⎫+÷ ⎪⎝⎭（3）aa a a 1)1(-÷-32．（1）aba b a b b a +⋅++-)(2。
八年级数学上册第3章解读几类特殊的分式求值题(青岛版)
解读几类特殊的分式求值题分式求值题是分式部分重要的题型，灵活运用前面学习的数学知识和思想方法，是解决分式求值问题的关键. 现举几例分类解析，以供同学们学习参考.一.巧用分式的基本性质例1：若b a b a +=-111，求3--ba ab 的值. 解析：因为0≠+b a ，在已知等式两边同乘以b a +得1=+-+bb a a b a ， 整理得1=-ba ab ， 所以2313-=-=--b a a b . 小结：分式的分子、分母同乘或除同一个不为0的整式，分式的值不变，这是分式的基本性质. 将这条性质灵活运用于分式求值题中，往往会给解题带来意想不到的效果.二.巧设参数例2：已知0643≠==z y x ，求z y z z y x +--+的值. 解析：由0643≠==z y x ，可设其比值为k ，则k x 3=，k y 4=，k z 6=，所 以原式＝k k k k k k 643643+--+＝k k 5＝51. 小结：一般遇到等比式，都可设其比值为k ，即设参数k ，将x ，y ，z 化为由常数和参数k 表示的式子，然后代入所求式子化简较简单. 本题也可将已知条件的两个未知数用第三个未知数表示出来，如x ＝y 43，z ＝y 23，然后代入所求式子中计算，显然第二种方法没有第一种设参数法简单.三.活用数学公式例3：已知61=+a a ，求2)1(aa -的值. 解析：将已知条件61=+a a 的两边平方并展开得362122=++a a ，即有 221232a a +-=，于是得（a －a12)＝32.小结：巧用完全平方公式的变形，使本题解决的简单而巧妙. 本题在解题过程中要充分观察分析已知条件，发掘出隐含其间的条件，即a 与a 1的乘积为常数，为使用完全平方公式及其变形提供了重要的条件.。
部编版人教初中数学八年级上册《分式混合运算 专题突破习题(含答案)》最新精品优秀实用
5.把分式 中a，b的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A．不变B．扩大为原来的2倍
C．扩大为原来的4倍D．缩小为原来的
6.把分式 中x，y的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A．不变B．扩大为原来的2倍
C．扩大为原来的4倍D．缩小为原来的
7.已知 ，则A=_______，B=_______．
（）先化简 ，然后在
的范围内选取一个合适的整数x代入求值．
（4）已知 ．
①化简A；
②当x满足不等式组 ，且x为整数时，求A的值．
3.不改变分式 的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是（ ）
A． B．
C． D．
4.把分式 中的分子、分母的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A．不变B．扩大为原来的2倍
【参考答案】
巩固练习
1.（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
2.（1）原式 ，当 时，原式
（2）原式=3xy，当 ， 时，原式=3
（3）原式 ，当x=2时，原式=0
（4）① ；②1
3.B
4.A
5.D
6.A
7.3，1
前言：
该专题突破习题由多位一线国家特级教师针对当前最新的热点、考点、重点、难点、知识点，精心编辑而成。以高质量的专题突破习题助力考生查漏补缺，在原有基础上更进一步。
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分式混合运算（习题）
例题示范
例1：混合运算： ．
【过程书写】
例2：先化简 ，然后在 的范围内选取一个你认为合适的整数x代入求值．
最新初二数学分式化简求值练习题及答案优秀名师资料
精品文档初二数学分式化简求值练习题及答案2、先化简，再求值:12?2，其中x,,2( x?1x?1，其中a=,1(3、先化简，再求值:4、先化简，再求值:5先化简，再求值6、化简:7、先化简，再求值:，其中(，其中x=(，其中x满足x,x,1=0(2a?3ba?b? a?ba?b，其中a=(先化简x11?)?2，再从,1、0、1三个数中，选择一个你认x?1x?1x?1为合适的数作为x的值代入求值(1 / 26精品文档9、先化简，再求值:先化简下列式子，再从2，,2，1，0，,1中选择一个合适的数进行计算(12、先化简，再求值:13、先化简，再求值:，其中((318+1)?，其中x=2(x?1x,其中x=2.xx?1??x?2?3xx2x?)?14、先化简?2x?1x?1x?12a?1a2?2a?111a????值:2，其中。
2a?1a2?aa?11x,2x，118(先化简，再求值:??1，x,2?x2,4x,,5(??x2?1?2x?1?22 / 26精品文档??x?19. 先化简再计算:2?，其中x是一元二次方程x?2x?2?0的正数根. x?x?x?2m2?2m?1m?120 化简，求值: )其中m=( ? aa??x?3x2?6x?91?2?,再取恰的x的值代入求值.3请你先化简分式2x?1x?2x?1x?12a?2a2?1??a?1??224、先化简再求值其中a=+1 a?1a?2a?125、化简，其结果是(x2,16x26(先化简，再求值:?，其中x3,4(x,2x,2xx2，4x，4x，22x27、先化简，再求值:,x,2.x,162x,8x，428、先化简，再求值:?2，其中x?4( x?2x?2x?42aa3 / 26精品文档?)?a，其中a?1. a?11?a30、先化简，再求值:?a，其中aa2?11?a2?1?x?1(?1???x?x?1a?1?aab2a?b)?32(?a2?b2a?bb?a2??233先化简，再求值:?a?1???a?1，其中a1( a?1????34化简:(35(先化简，再求值:11?a2a?，其中( ?221-a1?a4 / 26精品文档x2，2x，1x36、.先化简,x值代入求值.x,1x,1x22x?1?39(当x??2时，求的值( x?1x?1x2?42?xx?)?40先化简，再把x取一个你最喜欢的数代入求值:42、先化简，再求值:43、先化简:先化简，再求值(+x(其中45、先化简，再求值，?(再从1，2，3中选一个你认为2(+)?，其中x=2(1化简，再从,1，1两数中选取一个适当的数作为x的值代x?1入求值(全国初中数学竞赛辅导第四讲分式的化简与求值分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义;也像分数一样，分式的分子与分母都乘以同一个不等于5 / 26精品文档零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据(在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值(除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答(本讲主要介绍分式的化简与求值(例1 化简分式:分析直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多(,,--+,说明本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式(例求分式当a=2时的值(分析与解先化简再求值(直接通分较复杂，注意到平方差公式:a-b=，可将分式分步通分，每一步只通分左边两项(22例若abc=1，求分析本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂(下面介绍几种简单的解法(解法1 因为abc=1，所以a，b，c都不为零(解法因为abc=1，所以a?0，b?0，c?0(6 / 26精品文档例化简分式:分析与解三个分式一齐通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简(说明互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧(例化简计算:似的，对于这个分式，显然分母可以分解因式为，而分子又恰好凑成+，因此有下面的解法(解说明本例也是采取“拆项相消”法，所不同的是利用例已知:x+y+z=3a，求分析本题字母多，分式复杂(若把条件写成++=0，那么题目只与x-a，y-a，z-a有关，为简化计算，可用换元法求解(解令x-a=u，y-a=v，z-a=w ，则分式变为u+v+w+2=0(由于x，y，z不全相等，所以u，v，w不全为零，所以u+v+w?0，从而有7 / 26精品文档222222说明从本例中可以看出，换元法可以减少字母个数，使运算过程简化(下例同:例化简分式:变形，化简分式后再计算求值(适当22=3，即x-8x+13,0(原式分子=+++10432322分式练习题及答案初二1、当x为何值时，分式x2 8 / 26精品文档?1x2?x?2有意义,当x为何值时，分式x2?1 x2?x?2的值为零,2、计算: a2?4x2a?2??a?2??1a?22x?x?2?x? ??1??1?x??xx?2??? x2?2x ?22?x?y??x?y?1124?3x?x?y??x?y?3x????9 / 26精品文档?x1?x?1?x?1?x2?1?x43、计算已知x2x2?2?1，求11??x的值。
分式有意义的条件及基本性质试题-八年级数学上册专题讲练突破
分式有意义的条件及基本性质1. 分式有意义的条件分式有意义的条件：分式的分母不等于零。
分式的值为零的条件：（1）分子为0；（2）分母不为0。
这两个条件缺一不可。
2. 分式的基本性质分式的分子与分母都乘（或除）以同一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示为：C B C A B A ⋅⋅=，CB C A B A ÷÷=，()0≠C ，其中A 、B 、C 都是整式。
注意条件：①C 是一个不等于0的整式，如14121212-+=-x x x ，其中必须满足012≠+x ； ②要深刻理解“都”“同一个”两个关键的含义，避免犯只乘分子（或分母）的错误； ③若分式的分子或分母是多项式，要先用括号把分子或分母括上，再乘（或除）以同一整式C ； ④分式的基本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依据。
3. 分式的约分、通分例题1 若分式11-+x x 的值为零，则x 的值为________。
解析：分式的值为零的条件是：（1）分子＝0；（2）分母不等于零；两个条件需要同时具备，缺一不可，从而可以解答本题。
答案：解：101-=+x x 则10x -=，即1x =±， 且10x +≠，即1x ≠-， 故x ＝1。
所以若分式11-+x x 的值为零，则x 的值为1。
点拨：本题考查了分式值为零的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念： （1）分式无意义⇔分母为零； （2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零。
例题2 22411241111--+++---+a a a a a ＝_____________。
解析：先将前两个分式通分，将所得的结果再与后面的式子通分，依次计算即可。
答案：解：原式＝22411241111---+-++a a a a a2224224468224111441181-=---++-=--+=--aa a a aaa a aa点拨：本题考查了通分，解决此题的关键是找到各分母的最简公分母。
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年 级 八年级 学 科 数学 版 本 通用版课程标题 分式化简求值及有条件求值 编稿老师李朝华一校付秋花二校黄楠审核郭莹一、化简求值在分式这部分中分式的化简求值是重要的题型，是中考的热点，在进行分式化简时，我们需要寻找分式的规律，分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化简后求值是解分式的化简与求值的基本策略。
如：计算：2262a a a a ++＋22444a a a -++分析：分子、分母先分解因式，约分后再通分求值计算解：2262a a a a ++＋22444a a a -++＝(6)(2)a a a a ++＋2(2)(2)(2)a a a +-+＝62a a ++＋22a a -+＝242a a ++＝2二、有条件求值解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标，又要抓住条件，既要根据目标变换条件，又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识外，还常常用到如下技巧： 1. 拆项变形或拆分变形； 2. 整体代入； 3. 利用比例性质；4. 恰当引入参数：在解某些含多个字母的代数式问题时，如果已知与未知之间的联系不明显，为了沟通已知与未知之间的联系，则可考虑引入一个参数，参数的引入，可起到沟通变元、消元的功能；5. 取倒数或利用倒数关系：有些分式的分母比分子含有更多的项，我们可以把分子和分母颠倒位置再进行求解。
如：已知：22421,311xxx x x x 则的值为=++++______。
解：由题意得0x ¹，由2131xx x =++得：21132,x x x x x ++==即得：+， 所以42222211111413()x x x x xxx++=++=+-=-= 即：242131xx x =++ 6. 把未知数当成已知数法如：已知3a －4b －c ＝0，2a ＋b －8c ＝0，计算：222a b c ab bc ac++++解：把c 当作已知数，用c 表示a ，b 得，a ＝3c ，b ＝2c 注意：解数学题是运用已知条件去探求未知结论的一个过程。
如何运用已知条件是解题顺畅的重要前提，对已知条件的运用有下列途径：（1）直接运用条件；（2）变形运用条件；（3）综合运用条件；（4）挖掘隐含条件。
例题1 （遵义中考）已知实数a 满足22150a a +-=，求2212(1)(2)1121a a a a a a a +++-÷+--+的值。
解析：先把要求的式子进行计算，先进行因式分解，再把除法转化成乘法，然后进行约分，得到一个最简分式，最后把22150a a +-=进行配方，得到一个a ＋1的值，再把它整体代入即可求出答案。
答案：解：22212(1)(2)12(1)11(1)(1)(1)(2)121a a a a a a a a a a a a a a ++++--÷=-⋅+++-+---+ ∴原式＝21168= 点拨：此题考查了分式的化简求值，关键是掌握分式化简的步骤，先进行通分，再因式分解，然后把除法转化成乘法，最后约分；化简求值题要将原式化为最简后再代值。
例题 2 （枣庄中考）先化简，再求值：235(2)236m m m m m-÷+---，其中m 是方程2310x x +-=的根。
解析：先通分计算括号里的，再计算括号外的，化为最简，由于m 是方程2310x x +-=的根，那么2310m m +-=，可得23m m +的值，再把23m m +的值整体代入化简后的式子，计算即可。
答案：解：原式＝2393(2)2m m m m m --÷--m 是方程2310x x +-=的根。
即231mm +=，∴原式＝13。
点拨：本题考查了分式的化简求值、一元二次方程的解，解题的关键是通分、约分，以及分子分母的因式分解、整体代入。
比例性质在分式求值中的应用有些分式求值题，若按常规方法求解可能比较麻烦甚至无法求解，然而若能转换思路，从整体上考虑问题，把一些彼此独立，但实质上又紧密联系的量作为整体来处理，往往可以化繁为简，变难为易，轻松解决问题。
例题 已知a ，b ，c 为非零实数，且0a b c ++≠。
若a b c a b c a b c c b a +--+-++==，则()()()a b b c c a abc+++等于（ ） A. 8B. 4C. 2D. 1解析：本题可以把已知连等式中的每一个比值式为一个整体，通过换元法间接求解。
答案：设a b c a b c a b ck c b a+--+-++===，又0a b c ++≠， 即k ＝1。
∴a ＋b ＝2c ，b ＋c ＝2a ，a ＋c ＝2b 。
∴原式＝2228c a babc⋅⋅=，故选A 。
（答题时间：45分钟）一、选择题*1. 若x ＝－1，y ＝2，则2221864xx yx y---的值等于（ ）A.117-B.117C.116D.115**2. 已知a 是方程210x x +-=的一个根，则22211a a a---的值为（ ）A.152-+ B. 152-±C. －1D. 1**3. 已知1112a b -=，则aba b-的值是（ ） A.12B.12- C. 2D. －2*4. 设m>n>0，224,m n mn +=则22m nmn-＝（ ）A. 23B.3C. 6D. 3二、填空题5. 若x ＝a －b ，y ＝a ＋b ，则2()y x xy--等于 。
**6. 已知a 与b 互为相反数，且|2|2,0a b b +=>，则代数式221a aba ab b -++-的值是__________。
**7. （宝坻区二模）由于a 、b 、c 均为实数，且abc ＝1，则111111a ab b bc c ca ++++++++的值为___________。
三、解答题**8.（自贡中考）先化简211()1122a a a a -÷-+-，然后从1、2、－1中选取一个你认为合适的数作为a 的值代入求值。
**9. 已知x ＝2019，y ＝2019，求代数式22()x y xy yx x x --÷-的值。
**10. 先化简，再求值：2214(1)144x x x x --÷-++，其中1113()x -=+。
**11.（曲靖中考）化简：222222()1211x x x x xx x x x +--÷--++并解答：（1）当x ＝1＋2时，求原代数式的值。
（2）原代数式的值能等于－1吗？为什么？*12. （重庆中考）先化简，再求值：22226951(2)22a ab b b a b a ab a b a-+÷-----，其中a b 、满足42a b a b +=⎧⎨-=⎩。
1. D 解析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x 、y 的值代入进行计算即可。
原式＝282818888888()()()()()()x x y x x y x y x y x y x y x y x y x y+---==+-+-+-+， 当x ＝－1，y ＝2时，原式＝1111615=-+，故选D 。
2. D 解析：先化简22211a a a---，由a 是210x x +-=的一个根，得210aa +-=，即21a a +=，再整体代入即可，故选D 。
3. D 解析：观察已知和所求的关系，容易发现把已知通分后，再求倒数，11b aa b ab--=12=，则2abb a=-，∴2ab a b =--，故选D 。
4. A 解析：先根据224mn mn +=可得出2222216()m n m n+=，由m>n>0可知，220m n mn ->，故可得出22222()m nm n mnmn--=，再把222()m n -化为222()m n +224m n -＝2212m n ，2223m n mn-∴=，故选A 。
5.2224ba b- 解析：直接把x 、y 的值代入即可.把x ＝a －b ，y ＝a ＋b ，代入得：6. 0 解析：∵a 与b 互为相反数，0a b ∴+=，即a b =-， 又|2|2a b +=，即22a b +=或22,0a b b +=->， 则222(2)2(2)014421a ab a ab b -⨯--⨯-==++--+-。
故答案为：07. 1 解析：由于a 、b 、c 均为实数，且abc ＝1，则1ac b= ∴原式＝11111abc a ab abc b bc c b++++++++ ＝1。
8. 解：211()1122a a a a -÷-+- 由于1a ≠±，所以当2a =时，原式＝4222=。
9. 解：先对分式进行化简，再代入求值。
把x ＝2019，y ＝2019，代入得：－１10. 解：222142(2)2(1)11(2)(2)144x x x x x x x x x x x --++-÷=⋅=--+--++， 因为11143()x -=+=，所以代入原分式等于623= 11. 解：（1）原式＝22(1)(1)1[](1)(1)(1)x x x x x x x x x+-+-⋅+--当12x =+时，原式＝12112121++=++-；（2）若原式的值为－1，即111x x +=--， 去分母得：x ＋1＝－x ＋1， 解得：x ＝0，代入原式检验，分母为0，不合题意， 则原式的值不可能为－1。
12. 解：原式＝222(3)91(2)2a b b a a a b a b a--÷---∴原式＝213133-=-⨯+。