7.4 二项分布与超几何分布(精讲)(解析版)

7.4 二项分布与超几何分布（精讲）

考法一 二项分布

【例1】（2020·全国高二课时练习）高尔顿(钉)板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行､水平间隔相等的圆柱形铁钉(如图)，并且每一排铁钉数目都比上一排多一个，一排中各个铁钉恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗铁钉间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球.

（1）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？

（2）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球的个数为X ，求X 的分布列. 【答案】（1）

1

4

；（2）分布列答案见解析. 【解析】（1）记“小球落入4号容器”为事件A ，

若要小球落入4号容器，则需要在通过的四层中有三层向右，一层向左，

∴理论上，小球落入4号容器的概率4

3

411()C 24

P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭. （2）落入4号容器的小球的个数X 的所有可能取值为0，1，2，3，

3

03127(0)C 1464P X ⎛⎫∴==⨯-= ⎪⎝⎭， 2

13

1127

(1)C 14464

P X ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭，

21

23119(2)C 14464P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，

3

33

11(3)C 464

P X ⎛⎫==⨯=

⎪⎝⎭， X ∴的分布列为

【一隅三反】

1．（2020·重庆市第七中学校高二月考）若随机变量14,2X B ⎛

⎫ ⎪⎝⎭

～，则()21E X +=（ ） A ．2 B ．3

C ．4

D ．5

【答案】D

【解析】因为14,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭

～，所以1

422

EX =⨯

=，所以()21215E X EX +=+=.故选：D. 2．（多选）（2020·全国高二单元测试）已知随机变量120,3X B ⎛

⎫ ⎪⎝

⎭，若使()P X k =的值最大，则k 等于

（ ） A ．5 B ．6

C ．7

D ．8

【答案】BC

【解析】令()()1201

120

20201212033122

1233k k k k k k C P X k k

P X k k C +--+-⎛⎫⎛⎫

⋅ ⎪ ⎪

=+-⎝⎭⎝⎭==

>=+⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

，得k 6<，

即当k 6<时，()1()P X k P X k =+>=； 当6k =时，()()76P X P X ===； 当6k >时，()1()P X k P X k =+<=， 所以(6)P X =和()7P X =的值最大. 故选：BC .

3．（2020·江苏淮安市·淮阴中学高二期末）江苏实行的“新高考方案：312++”模式，其中统考科目：“3”指语文、数学、外语三门，不分文理：学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，“1”指首先在在物理、历史2门科目中选择一门；“2”指再从思想政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门某校，根据统计选物理的学生占整个学生的

34

；并且在选物理的条件下，选择地理的概率为2

3；在选历史的条件下，

选地理的概率为

4

5

． （1）求该校最终选地理的学生概率；

（2）该校甲、乙、丙三人选地理的人数设为随机变量X ． ①求随机变量2X =的概率； ②求X 的概率分布列以及数学期望． 【答案】（1）

710；（2）①441

1000；②分布列见解析，()2110

E X =. 【解析】（1）该校最终选地理的学生为事件A ，()32147

434510

P A =

⨯+⨯=； 因此，该校最终选地理的学生为7

10

； （2）①由题意可知，73,10X

B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以，()2

2373441210101000

P X C ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭； ②由于73,10X

B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()3

3270101000

P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()1

2

1

3

73189110101000

P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2

2373441210101000P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭， ()3

3373433101000

P X C ⎛⎫=== ⎪

⎝⎭， 所以，随机变量X 的分布列如下表所示：

()72131010

E X ∴=⨯

=．

4．（2020·陕西渭南市）已知某植物种子每粒成功发芽的概率都为

1

3

，某植物研究所分三个小组分别独立进行该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，每次试验结果相互独立.假设某次试验种子发芽，则称该次试验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次试验是失败的. （1）第一小组做了四次试验，求该小组恰有两次失败的概率；

（2）第二小组做了四次试验，设试验成功与失败的次数的差的绝对值为X ，求X 的分布列及数学期望. 【答案】（1）

827；（2）答案见解析；148

81

. 【解析】（1）记“该小组有两次失败”为事件A ，

22

2412248()338127

P A C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭. （2）由题意可知X 的可能取值为0，2，4.

22

24

128(0)3327

P X C ⎛⎫⎛⎫===

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1

331

1344121232840(2)33338181P X C C +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+== ⎪ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭⎝⎭⎝⎭

， 4

4

44

42116117(4)338181P X C C +⎛⎫⎛⎫==+== ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

. 故X 的分布列为：

84017148()024********

E X =⨯

+⨯+⨯=. 考点二 超几何分布

【例2】（2020·全国高二单元测试）现对某高校16名篮球运动员在多次训练比赛中的得分进行统计，将每位运动员的平均成绩所得数据用频率分布直方图表示如下．(如：落在区间[10，15)内的频率/组距为0.0125)规定分数在[10，20)，[20，30)，[30，40)上的运动员分别为三级篮球运动员、二级篮球运动员、一级篮球运动员，现从这批篮球运动员中利用分层抽样的方法选出16名运动员作为该高校的篮球运动员代表．