勾股定理练习题及答案
数学勾股定理试题含答案
数学勾股定理试题含答案一、选择题1．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为( )A ．121B ．110C ．100D ．902．如图，四边形ABCD 中，AC ⊥BD 于O ，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝5，则AD 的长为（ ）A ．1B ．32C ．4D ．233．将6个边长是1的正方形无缝隙铺成一个矩形，则这个矩形的对角线长等于（ ） A ．37B ．13C ．37或者13D ．37或者1374．已知一个直角三角形的两边长分别为1和2，则第三边长是（ ） A ．3B ．3C ．5D ．3或55．如图所示，有一个高18cm ，底面周长为24cm 的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底1cm 的点S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm 的点F 处有一只苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是（ ）A ．16cmB ．18cmC ．20cmD ．24cm6．已知,,a b c 是ABC ∆的三边，且满足222()()0a b a b c ---=，则ABC ∆是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形7．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知90A ∠=︒正方形ADOF 的边长是2，4BD =，则CF 的长为（ ）A．6B．42C．8D．10 8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则点C到AB的距离是（）A．34B．35C．45D．1259．如图，已知AB是线段MN上的两点，MN＝12，MA＝3，MB＞3，以A为中心顺时针旋转点M，以点B为中心顺时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，当△ABC为直角三角形时AB的长是（）A．3 B．5 C．4或5 D．3或5110．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两直角边长分别为5和3，则小正方形的面积为（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题11．如图，AB＝12，AB⊥BC于点B， AB⊥AD于点A，AD＝5，BC＝10，E是CD的中点，则AE的长是____ ___．12．如图，在四边形ABCD中，AB =AD，BC=DC，点E为AD边上一点，连接BD、CE，CE 与BD交于点F，且CE∥AB，若 A =60°，AB=4，CE=3，则BC的长为_______．13．如图，这是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为 1S ，2S ，3S ，若123144S S S ++=，则2S 的值是__________．14．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，矩形内一动点P 使得S △PAD ＝13S 矩形ABCD ，则点P 到点A 、D 的距离之和PA +PD 的最小值为_____．15．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝7.5cm ，AC ＝4.5cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以2cm/s 的速度移动，设运动的时间为t 秒，当△ABP 为等腰三角形时，t 的取值为_____．16．如图，已知△DBC 是等腰直角三角形，BE 与CD 交于点O ，∠BDC=∠BEC=90°，BF=CF ，若BC=8，2，则OF=______.17．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=，DE 垂直平分AC ，垂足为F ，//AD BC ，且3AB =，4BC =，则AD 的长为______．18．Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，以 AC 为一边．在△ABC 外部作等腰直角三角形ACD ，则线段 BD 的长为_____．19．如图，在等边△ABC 中，AB ＝6，AN ＝2，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，则BM +MN 的最小值是_____．20．如图，在ABC 中，AB AC =，点D 在ABC 内，AD 平分BAC ∠，连结CD ，把ADC 沿CD 折叠，AC 落在CE 处，交AB 于F ，恰有CE AB ⊥.若10BC =，7AD =，则EF =__________.三、解答题21．如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米． （1）此时梯子顶端离地面多少米？（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？22．定义：如图1，平面上两条直线AB 、CD 相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线AB 、CD 的距离分别为p 、q ，则称有序实数对(p ，q )是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”为（0，0）的点有1个，即点O ． （1）“距离坐标”为(1，0)的点有 个；（2）如图2，若点M 在过点O 且与直线AB 垂直的直线l 上时，点M 的“距离坐标”为(p ，q )，且∠BOD = 150︒，请写出p 、q 的关系式并证明；（3）如图3，点M 的“距离坐标”为(1,3)，且∠DOB = 30︒，求OM 的长．23．我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在ABC ∆中，AO 是BC 边上的中线，AB 与AC 的“广益值”就等于22AO BO -的值，可记为22AB AC OA BO ∇=-（1）在ABC ∆中，若90ACB ∠=︒，81AB AC ∇=，求AC 的值．（2）如图2，在ABC ∆中，12AB AC ==，120BAC ∠=︒，求AB AC ∇，BA BC ∇的值．（3）如图3，在ABC ∆中，AO 是BC 边上的中线，24ABC S ∆=，8AC =，64AB AC ∇=-，求BC 和AB 的长．24．如图所示，已知ABC ∆中，90B ∠=︒，16AB cm =，20AC cm =，P 、Q 是ABC ∆的边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C A →→方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为ts ．（1）则BC =____________cm ；（2）当t 为何值时，点P 在边AC 的垂直平分线上？此时CQ =_________? （3）当点Q 在边CA 上运动时，直接写出使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间．25．已知ABC ∆中，AB AC =.（1）如图1，在ADE ∆中，AD AE =，连接BD 、CE ，若DAE BAC ∠=∠，求证：BD CE =（2）如图2，在ADE ∆中，AD AE =，连接BE 、CE ，若60DAE BAC ∠=∠=，CE AD ⊥于点F ，4AE =，5EC =，求BE 的长；（3）如图3，在BCD ∆中，45CBD CDB ∠=∠=，连接AD ，若45CAB ∠=，求ADAB的值.26．已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，过顶点A 作射线AP .（1）当射线AP 在BAC ∠外部时，如图①，点D 在射线AP 上，连结CD 、BD ，已知21AD n =-，21AB n =+，2BD n =（1n >）.①试证明ABD ∆是直角三角形；②求线段CD 的长.（用含n 的代数式表示）（2）当射线AP 在BAC ∠内部时，如图②，过点B 作BD AP ⊥于点D ，连结CD ，请写出线段AD 、BD 、CD 的数量关系，并说明理由.27．如图，点A是射线OE：y＝x（x≥0）上的一个动点，过点A作x轴的垂线，垂足为B，过点B作OA的平行线交∠AOB的平分线于点C．（1）若OA＝52，求点B的坐标；（2）如图2，过点C作CG⊥AB于点G，CH⊥OE于点H，求证：CG＝CH．（3）①若点A的坐标为（2，2），射线OC与AB交于点D，在射线BC上是否存在一点P 使得△ACP与△BDC全等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．②在（3）①的条件下，在平面内另有三点P1（2，2），P2（2，22），P3（2+2，2﹣2），请你判断也满足△ACP与△BDC全等的点是．（写出你认为正确的点）28．如图1，已知△ABC是等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，且CD＝AE，AD与BE相交于点F．（1）求证：∠ABE＝∠CAD；（2）如图2，以AD为边向左作等边△ADG，连接BG．ⅰ）试判断四边形AGBE的形状，并说明理由；ⅱ）若设BD＝1，DC＝k（0＜k＜1），求四边形AGBE与△ABC的周长比（用含k的代数式表示）．29．阅读下列材料，并解答其后的问题：我国古代南宋数学家秦九韶在其所著书《数学九章》中，利用“三斜求积术”十分巧妙的解决了已知三角形三边求其面积的问题，这与西方著名的“海伦公式”是完全等价的．我们也称这个公式为“海伦•秦九韶公式”，该公式是：设△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，△ABC的面积为S＝()()()()4a b c a b c a c b b c a+++-+-+-．（1）（举例应用）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a＝4，b ＝5，c＝7，则△ABC的面积为；（2）（实际应用）有一块四边形的草地如图所示，现测得AB＝（26+42）m，BC＝5m，CD＝7m，AD＝46m，∠A＝60°，求该块草地的面积．30．（发现）小慧和小雯用一个平面去截正方体，得到一个三角形截面（截出的面），发现截面一定是锐角三角形．为什么呢？她们带着这个疑问请教许老师．（体验）（1）从特殊入手许老师用1个铆钉把长度分别为4和3的两根窄木棒的一端连在一起（如图，）,保持不动，让从重合位置开始绕点转动，在转动的过程，观测的大小和的形状，并列出下表：的大小的形状…直角三角形…直角三角形…请仔细体会其中的道理，并填空：_____，_____；（2）猜想一般结论在中，设，，（），①若为直角三角形，则满足；②若为锐角三角形，则满足____________；③若为钝角三角形，则满足_____________．（探索）在许老师的启发下，小慧用小刀在一个长方体橡皮上切出一个三角形截面（如图1），设，，，请帮助小慧说明为锐角三角形的道理．（应用）在小慧的基础上，小雯又切掉一块“角”，得到一个新的三角形截面（如图2），那么的形状是（）A．一定是锐角三角形B．可能是锐角三角形或直角三角形，但不可能是钝角三角形C．可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，可得四边形AOLP 是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ 的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：如图，延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，则四边形OALP 是矩形．90CBF ∠=︒，90ABC OBF ∴∠+∠=︒，又直角ABC ∆中，90ABC ACB ∠+∠=︒，OBF ACB ∴∠=∠，在OBF ∆和ACB ∆中，BAC BOF ACB OBF BC BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()OBF ACB AAS ∴∆≅∆，AC OB =∴，同理：ACB PGC ∆≅∆，PC AB ∴=， OA AP ∴=，所以，矩形AOLP 是正方形， 边长347AO AB AC =+=+=，所以，3710KL =+=，4711LM =+=， 因此，矩形KLMJ 的面积为1011110⨯=， 故选B ．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，作出辅助线构造出正方形是解题的关键．2．B解析：B 【分析】设OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，OD ＝d ，根据勾股定理求出a 2+b 2＝AB 2＝9，c 2+b 2＝BC 2＝16，c 2+d 2＝CD 2＝25，即可证得a 2+d 2＝18，由此得到答案. 【详解】设OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，由勾股定理得，a2+b2＝AB2＝9，c2+b2＝BC2＝16，c2+d2＝CD2＝25，则a2+b2+c2+b2+c2+d2＝50，∴a2+d2+2（b2+c2）＝50，∴a2+d2＝50﹣16×2＝18，∴AD＝221832+==，a d故选：B．【点睛】此题考查勾股定理的运用，根据题中的已知条件得到直角三角形，再利用勾股定理求出未知的边长，解题中注意直角边与斜边.3．C解析：C【分析】如图1或图2所示，分类讨论，利用勾股定理可得结论．【详解】当如图1所示时，AB=2，BC=3，∴AC=22+；23=13当如图2所示时，AB=1，BC=6，∴AC=221+6=37；故选C．【点睛】本题主要考查图形的拼接，数形结合，分类讨论是解答此题的关键．4．D解析：D【解析】当一直角边、斜边为1和2时，第三边==；当两直角边长为1和2时，第三边==；故选：D．解析：C【分析】首先画出圆柱的侧面展开图，进而得到SC=12cm，FC=18-2=16cm，再利用勾股定理计算出SF长即可．【详解】将圆柱的侧面展开，蜘蛛到达目的地的最近距离为线段SF的长，由勾股定理，SF2=SC2+FC2=122+(18-1-1)2=400，SF=20 cm，故选C.【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．6．D解析：D【分析】由（a-b）（a2-b2-c2）=0，可得：a-b=0，或a2-b2-c2=0，进而可得a=b或a2=b2+c2，进而判断△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．【详解】解：∵（a-b）（a2-b2-c2）=0，∴a-b=0，或a2-b2-c2=0，即a=b或a2=b2+c2，∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理以及等腰三角形的判定，解题时注意：有两边相等的三角形是等腰三角形，满足a2+b2=c2的三角形是直角三角形．7．A解析：A【分析】设CF=x，则AC=x+2，再由已知条件得到AB=6，BC=6+x，再由AB2+AC2=BC2得到62+（x+2）2=（x+4）2，解方程即可．设CF=x ，则AC=x+2，∵正方形ADOF 的边长是2，BD=4，△BDO ≌△BEO ，△CEO ≌△CFO ，∴BD=BE ，CF=CE ，AD=AF=2，∴AB=6，BC=6+x ，∵∠A=90°，∴AB 2+AC 2=BC 2，∴62+（x+2）2=（x+4）2，解得：x=6，即CF=6，故选：A ．【点睛】考查正方形的性质、勾股定理，解题关键是设CF=x ，则AC=x+2，利用勾股定理得到62+（x+2）2=（x+4）2．8．D解析：D【解析】在Rt △ABC 中 ∠C=90°，AC=3，BC=4，根据勾股定理求得AB=5，设点C 到AB 的距离为h ，即可得12h×AB=12AC×BC ，即12h×5=12×3×4，解得h=125，故选D. 9．C解析：C【分析】设AB ＝x ，则BC ＝9－x ，根据三角形两边之和大于第三边，得到x 的取值范围，再利用分类讨论思想，根据勾股定理列方程，计算解答．【详解】解：∵在△ABC 中，AC ＝AM ＝3，设AB ＝x ，BC ＝9－x ，由三角形两边之和大于第三边得：3939x x x x+-⎧⎨+-⎩＞＞， 解得3＜x ＜6，①AC 为斜边，则32＝x 2＋（9－x ）2，即x 2－9x ＋36＝0，方程无解，即AC 为斜边不成立，②若AB 为斜边，则x 2＝（9－x ）2＋32，解得x ＝5，满足3＜x ＜6，③若BC 为斜边，则（9－x ）2＝32＋x 2，解得x ＝4，满足3＜x ＜6，∴x ＝5或x ＝4；故选C ．【点睛】本题考查三角形的三边关系，勾股定理等，分类讨论和方程思想是解答的关键．10．A解析：A【分析】根据直角三角形的两直角边长分别为5和3，可计算出正方形的边长，从而得出正方形的面积.【详解】解：3和5为两条直角边长时，小正方形的边长=5-3=2，∴小正方形的面积22=4；综上所述：小正方形的面积为4；故答案选A ．【点睛】本题考查了勾股定理及其应用，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键．二、填空题11．5【详解】解：如图，延长AE 交BC 于点F ，∵点E 是CD 的中点,∴DE=CE ，,∵AB ⊥BC ，AB ⊥AD,∴AD ∥BC,∴∠ADE=∠BCE 且DE=CE ，∠AED=∠CEF,∴△AED ≌△FEC （ASA ）,∴AD=FC=5，AE=EF,∴BF=BC-FC=5,∴在Rt △ABF 中，2213AF AB BF =+=,6.52AF AE == 故答案为：6.5． 127【分析】连接AC 交BD 于点O ，由题意可证AC 垂直平分BD ，△ABD 是等边三角形，可得∠BAO ＝∠DAO ＝30°，AB ＝AD ＝BD ，BO ＝OD ，通过证明△EDF 是等边三角形，可得DE ＝EF ＝DF ，由勾股定理可求OC ，BC 的长．【详解】连接AC ，交BD 于点O ，∵AB ＝AD ，BC ＝DC ，∠A ＝60°，∴AC 垂直平分BD ，△ABD 是等边三角形，∴∠BAO ＝∠DAO ＝30°，AB ＝AD ＝BD ＝4，BO ＝OD ＝2，∵CE ∥AB ，∴∠BAO ＝∠ACE ＝30°，∠CED ＝∠BAD ＝60°，∴∠DAO ＝∠ACE ＝30°，∴AE ＝CE ＝3，∴DE ＝AD−AE ＝1，∵∠CED ＝∠ADB ＝60°，∴△EDF 是等边三角形，∴DE ＝EF ＝DF ＝1，∴CF ＝CE−EF ＝2，OF ＝OD−DF ＝1，22OC CF OF 3∴-=22BC=OB +OC =7∴ 7【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．13．48【分析】用a 和b 表示直角三角形的两个直角边，然后根据勾股定理列出正方形面积的式子，求出2S 的面积．【详解】解：本图是由八个全等的直角三角形拼成的，设这个直角三角形两个直角边中较长的长度为a ，较短的长度为b ，即图中的AE a =，AH b =，则()221S AB a b ==+，2222S HE a b ==+，()223S TM a b ==-， ∵123144S S S ++=，∴()()2222144a b a b a b ++++-= 22222222144a b ab a b a b ab ++++++-=2233144a b +=2248a b +=，∴248S =．故答案是：48．【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是要熟悉赵爽弦图中勾股定理的应用．14．82 【分析】 根据S △PAD ＝13S 矩形ABCD ，得出动点P 在与AD 平行且与AD 的距离是4的直线l 上，作A 关于直线l 的对称点E ，连接DE ，BE ，则DE 的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ADE 中，由勾股定理求得DE 的值，即可得到PA+PD 的最小值．【详解】设△PAD 中AD 边上的高是h ．∵S △PAD ＝13S 矩形ABCD ， ∴12 AD •h ＝13AD •AB ， ∴h ＝23AB ＝4， ∴动点P 在与AD 平行且与AD 的距离是4的直线l 上，如图，作A 关于直线l 的对称点E ，连接BE ，DE ，则DE 的长就是所求的最短距离．在Rt △ADE 中，∵AD ＝8，AE ＝4+4＝8，DE 22228882AE AD ++=即PA +PD 的最小值为2 ．故答案2．【点睛】本题主要考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．15．75或6或9 4【分析】当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP 时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．【详解】在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝7.52﹣4.52＝36，∴BC＝6（cm）；①当AB＝BP＝7.5cm时，如图1，t＝7.52＝3.75（秒）；②当AB＝AP＝7.5cm时，如图2，BP＝2BC＝12cm，t＝6（秒）；③当BP＝AP时，如图3，AP＝BP＝2tcm，CP＝（4.5﹣2t）cm，AC＝4.5cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，所以4t2＝4.52+（4.5﹣2t）2，解得：t＝94，综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝3.75或t＝6或t＝94．故答案为：3.75或6或94．【点睛】此题是等腰三角形与动点问题，考查等腰三角形的性质，勾股定理，解题中应根据每两条边相等分情况来解答，不要漏解.1610【分析】过点F作FG⊥BE，连接OF、EF，先根据等腰直角三角形的性质得出DC的值，再用勾股定理求出OE的值，然后根据中位线定理得出FG的的值，最后再根据勾股定理得出OF的值即可.【详解】过点F作FG⊥BE，连接OF、EF，如下图所示：∵DBC ∆是等腰直角三角形，且BF CF =，8BC = ∴422DC DB ===∵2OD =∴32OC DC OD =-= ∴2234OB BD DO +=设OE x =，∵∠BEC=90°则()2222OC OE BC OB OE -=-+ ∴33417OE = ∴22123417EC OC EO =-=∵BF CF =，FG ⊥BE ，∠BEC=90° ∴1634217FG EC == ∴2034BE BO OE =+=∴17342GO GE OE BE OE =-=-= ∴22=10OF GO GF -=【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形、中位线定理、勾股定理等，综合度比较高，准确作出辅助线是关键.17．258【分析】先根据勾股定理求出AC 的长，再根据DE 垂直平分AC 得出FA 的长，根据相似三角形的判定定理得出△AFD ∽△CBA ，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．【详解】∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴=5；∵DE垂直平分AC，垂足为F，∴FA=12AC=52，∠AFD=∠B=90°，∵AD∥BC，∴∠A=∠C，∴△AFD∽△CBA，∴ADAC=FABC，即AD5=2.54，解得AD=258；故答案为258．【点睛】本题考查的是勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．18．4或【分析】分三种情况讨论：①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC；②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD；③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC．分别画图，并求出BD．【详解】①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC，如图1．∵∠DAC=90°，且AD=AC，∴BD=BA+AD=2+2=4；②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD，如图2．连接BD，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于E．∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACD=90°，∴∠DCE=45°．又∵DE⊥CE，∴∠DEC=90°，∴∠CDE=45°，∴CE=DE=22=在Rt△BAC中，BC==BD===③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC，如图3．∵∠ADC=90°，AD=DC，且AC=2，∴AD=DC=AC sin45°=22=又∵△ABC、△ADC是等腰直角三角形，∴∠ACB=∠ACD=45°，∴∠BCD=90°．又∵在Rt△ABC中，BC2222=+=22，∴BD222222210BC CD=+=+=（）（）．故BD的长等于4或25或10．故答案为4或25或10．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识．解题的关键是分情况考虑问题，19．7【解析】【分析】通过作辅助线转化BM，MN的值，从而找出其最小值求解．【详解】解：连接CN，与AD交于点M．则CN就是BM+MN的最小值．取BN中点E，连接DE，如图所示：∵等边△ABC的边长为6，AN＝2，∴BN＝AC﹣AN＝6﹣2＝4，∴BE＝EN＝AN＝2，又∵AD是BC边上的中线，∴DE是△BCN的中位线，∴CN＝2DE，CN∥DE，又∵N为AE的中点，∴M为AD的中点，∴MN是△ADE的中位线，∴DE＝2MN，∴CN＝2DE＝4MN，∴CM＝34 CN．在直角△CDM 中，CD ＝12BC ＝3，DM ＝12AD ＝2，∴CM =∴CN ＝43=． ∵BM +MN ＝CN ，∴BM +MN 的最小值为．故答案是：【点睛】考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．20．4913【解析】【分析】如图（见解析），延长AD ，交BC 于点G ，先根据等腰三角形的三线合一性得出AG BC ⊥，再根据折叠的性质、等腰三角形的性质（等边对等角）得出2345∠+∠=︒，从而得出CDG ∆是等腰直角三角形，然后根据勾股定理、面积公式可求出AC 、CE 、CF 的长，最后根据线段的和差即可得．【详解】如图，延长AD ，交BC 于点G AD 平分BAC ∠，,10AB AC BC ==,B ACB AG BC ∴∠=∠⊥，且AG 是BC 边上的中线1123,52B CG BC ∴∠=∠+∠+∠== 由折叠的性质得12,CE AC ∠=∠=123223B ∠=∠+∠+∠=∠+∠∴CE AB ⊥，即90BFC ∠=︒390B ∴∠+∠=︒230239+∴∠∠=∠+︒，即2345∠+∠=︒CDG ∴∆是等腰直角三角形，且5DG CG ==7512AG AD DG ∴=+=+=在Rt ACG ∆中，13AC ===13CE AB AC ==∴= 由三角形的面积公式得1122ABC S BC AG AB CF ∆=⋅=⋅即1110121322CF⨯⨯=⨯⋅，解得12013CF=12049131313EF CE CF∴=-=-=故答案为：49 13．【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，通过作辅助线，构造一个等腰直角三角形是解题关键．三、解答题21．（1）梯子顶端离地面24米（2）梯子底端将向左滑动了8米【解析】试题分析：（1）构建数学模型，根据勾股定理可求解出梯子顶端离地面的距离；（2）构建直角三角形，然后根据购股定理列方程求解即可.试题解析：（1）如图，∵AB=25米，BE=7米，梯子距离地面的高度AE=22257-=24米．答：此时梯子顶端离地面24米；（2）∵梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度CE=（24﹣4）=20米，∴22CD CE-222520-，∴DE=15﹣7=8（米），即下端滑行了8米．答：梯子底端将向左滑动了8米．22．(1)2；(2)32q p =；(3)27OM = 【分析】 （1）根据“距离坐标”的定义结合图形判断即可；（2）过M 作MN ⊥CD 于N ，根据已知得出MN q =，OM p =，求出∠MON ＝60°，根据含30度直角三角形的性质和勾股定理求出2232MN MO NO p =-=即可解决问题；（3）分别作点M 关于AB 、CD 的对称点F 、E ，连接EF 、OE 、OF ，连接MF 、ME 分别交AB 、CD 于P 点、Q 点，首先证明OM OE OF EF ===，求出2MF =，23ME =，然后过F 作FG QM ⊥，交QM 延长线于G ，根据含30度直角三角形的性质求出1FG =，3MG =，再利用勾股定理求出EF 即可．【详解】解：（1）由题意可知，在直线CD 上，且在点O 的两侧各有一个，共2个，故答案为：2；（2）过M 作MN CD ⊥于N ，∵直线l AB ⊥于O ，150BOD ∠=︒，∴60MON ∠=︒，∵MN q =，OM p =，∴1122NO MO p ==， ∴2232MN MO NO p =-=， ∴32q p =； （3）分别作点M 关于AB 、CD 的对称点F 、E ，连接EF 、OE 、OF ，连接MF 、ME 分别交AB 、CD 于P 点、Q 点．∴OFP OMP △≌△，OEQ OMQ △≌△，∴FOP MOP ∠=∠，EOQ MOQ ∠=∠，OM OE OF ==，∴260EOF BOD ∠=∠=︒，∴△OEF 是等边三角形，∴OM OE OF EF ===，∵1MP =，3MQ =， ∴2MF =，23ME =，∵30BOD ∠=︒，∴150PMQ ∠=︒，过F 作FG QM ⊥，交QM 延长线于G ，∴30FMG ∠=︒，在Rt FMG △中，112FG MF ==，则3MG =，在Rt EGF 中，1FG =，33EG ME MG =+=，∴22(33)127EF =+=，∴27OM =．【点睛】本题考查了轴对称的应用，含30度直角三角形的性质，勾股定理以及等边三角形的判定和性质等，正确理解题目中的新定义是解答本题的关键．23．(1)AC=9;(2)AB ∇AC =-72,BA ∇BC =73【分析】(1)在Rt AOC ∆中,根据勾股定理和新定义可得AO 2-OC 2=81=AC 2;(2)①先利用含30°的直角三角形的性质求出AO =2,OB =23再用新定义即可得出结论; ②先构造直角三角形求出BE ,AE ,再用勾股定理求出BD ,最后用新定义即可得出结论;(3)作BD ⊥CD,构造直角三角形BCD,根据三角形面积关系求出BD,根据新定义和勾股定理逆定理得出三角形AOD 是直角三角形,根据中线性质得出OA 的长度,根据勾股定理求出OC,从而得出BC,再根据勾股定理求出CD,再求出AD,再运用勾股定理求出AB.【详解】(1)已知如图:AO 为BC 上的中线,在Rt AOC ∆中,AO 2-OC 2=AC 2因为81AB AC ∇=所以AO 2-OC 2=81所以AC 2=81所以AC=9.(2)①如图2,取BC 的中点D ,连接AO ,∵AB =AC ,∴AO ⊥BC ,在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =120°,∴∠ABC =30°,在Rt △AOB 中,AB =12,∠ABC =30°,∴AO =6,OB =2222126AB AO -=-=63,∴AB ∇AC =AO 2﹣BO 2=36﹣108=﹣72, ②取AC 的中点D ,连接BD ,∴AD =CD =12AC =6,过点B 作BE ⊥AC 交CA 的延长线于E ,在Rt △ABE 中,∠BAE =180°﹣∠BAC =60°,∴∠ABE =30°, ∵AB =12,∴AE =6,BE =222212663AB AE -=-=, ∴DE =AD +AE =12,在Rt △BED 中,根据勾股定理得,BD =()2222631267BE DE +=+=∴BA ∇BC =BD 2﹣CD 2=216;(3)作BD ⊥CD,因为24ABC S ∆=,8AC =,所以BD=26ABC S AC ∆÷=,因为64AB AC ∇=-,AO 是BC 边上的中线,所以AO 2-OC 2=-64,所以OC 2-AO 2=64,由因为AC 2=82=64,所以OC 2-AO 2= AC 2所以∠OAC=90°所以OA=24228322ABC S AC ∆⨯÷=⨯÷= 所以OC=22228373AC OA +=+=所以BC=2OC=273,在Rt △BCD 中,CD=()2222276163BC BD -=-=所以AD=CD-AC=16-8=8所以AB=22228610AD BD +=+=【点睛】考核知识点:勾股定理逆定理,含30°直角三角形性质.借助辅助线构造直角三角形,运用勾股定理等直角三角形性质解决问题是关键.24．（1）12；（2）t=12.5s 时，13 cm ；（3）11s 或12s 或13.2s【分析】（1）由勾股定理即可得出结论；（2）由线段垂直平分线的性质得到PC = PA =t ，则PB =16-t ．在Rt △BPC 中，由勾股定理可求得t 的值，判断出此时，点Q 在边AC 上，根据CQ =2t -BC 计算即可；（3）用t 分别表示出BQ 和CQ ，利用等腰三角形的性质可分BQ =BC 、CQ =BC 和BQ =CQ 三种情况，分别得到关于t 的方程，可求得t 的值．【详解】（1）在Rt △ABC 中，BC 2222212016AC AB =-=-=(cm )．故答案为：12；（2）如图，点P 在边AC 的垂直平分线上时，连接PC ，∴PC = PA =t ，PB =16-t ． 在Rt △BPC 中，222BC BP CP +=，即2221216)t t +-=（，解得：t=25 2．∵Q从B到C所需的时间为12÷2=6(s)，252＞6，∴此时，点Q在边AC上，CQ=25212132⨯-=(cm)；（3）分三种情况讨论：①当CQ=BQ时，如图1所示，则∠C=∠CBQ．∵∠ABC=90°，∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°，∴∠A=∠ABQ，∴BQ=AQ，∴CQ=AQ=10，∴BC+CQ=22，∴t=22÷2=11(s)．②当CQ=BC时，如图2所示，则BC+CQ=24，∴t=24÷2=12(s)．③当BC=BQ时，如图3所示，过B 点作BE ⊥AC 于点E ，则BE 121648205AB BC AC ⋅⨯===， ∴CE 2222483612()55BC BE =-=-==7.2． ∵BC =BQ ，BE ⊥CQ ，∴CQ =2CE =14.4，∴BC +CQ =26.4，∴t =26.4÷2=13.2(s )．综上所述：当t 为11s 或12s 或13.2s 时，△BCQ 为等腰三角形．【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t 表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．25．（1）详见解析；（241；（33【分析】（1）证∠EAC=∠DAB.利用SAS 证△ACE ≌△ABD 可得；（2）连接BD ，证1302FEA AED ∠=∠=，证△ACE ≌△ABD 可得30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5，利用勾股定理求解；（3）作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=，利用勾股定理得AE 2AB =，3AB ，根据（1）思路得3AB .【详解】(1) 证明：∵∠DAE=∠BAC ，∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD ，即∠EAC=∠DAB.在△ACE 与△ABD 中，AD AE EAC BAB AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACE ≌△ABD(SAS)，∴BD CE =；(2)连接BD因为AD AE =， 60DAE BAC ∠=∠=，所以ADE ∆是等边三角形因为60DAE DEA EDA ∠=∠=∠=,ED=AD=AE=4因为CE AD ⊥ 所以1302FEA AED ∠=∠= 同(1)可知△ACE ≌△ABD(SAS)，所以30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5所以90BDE BDA ADE ∠=∠+∠=所以BE=22225441BD DE +=+=(3)作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=所以222AB AC AC +因为AB AC =所以AE 2=又因为45CAB ∠=所以90ABE ∠= 所以()222223BE AE AB AB AB AB =+=+= 因为45CBD CDB ∠=∠=所以BC=CD, 90BCD ∠=因为同(1)可得△ACD ≌△ECB(SAS)所以3AB所以33AD AB AB==【点睛】考核知识点:等边三角形;勾股定理.构造全等三角形和直角三角形是关键.26．（1）①详见解析；（2）222222CD n n =+-（1n >）；（2）2AD BD CD -=，理由详见解析.【分析】（1）①根据勾股定理的逆定理进行判断；②过点C 作CE ⊥CD 交DB 的延长线于点E ，利用同角的余角相等证明∠3=∠4，∠1=∠E ，进而证明△ACD ≌△BCE ，求出DE 的长，再利用勾股定理求解即可.（2）过点C 作CF ⊥CD 交BD 的延长线于点F ，先证∠ACD=∠BCF ，再证△ACD ≌△BCF ，得CD=CF ，AD=BF ，再利用勾股定理求解即可.【详解】（1）①∵()()()22222222212214AD BD n n n n n +=-+=-++()()22222211n n n =++=+ 又∵()2221AB n =+∴222AD BD AB +=∴△ABD 是直角三角形②如图①，过点C 作CE ⊥CD 交DB 的延长线于点E ，∵∠3+∠BCD=∠ACD=90°，∠4+∠BCD=∠DCE=90°∴∠3=∠4由①知△ABD 是直角三角形∴1290∠+∠=︒又∵290E ∠+∠=︒∴∠1=∠E在ACD ∆和BCE ∆中，A 34E AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△BCE∴CD CE =，AD BE =∴221DE BD BE BD AD n n =+=+=+-又∵CD CE =，90DCE ∠=︒ ∴由勾股定理得222DE CD DE CD =+=∴22CD =222222n n =+-（1n >） （2）AD 、BD 、CD 的数量关系为：2AD BD CD -=，理由如下：如图②，过点C 作CF ⊥CD 交BD 的延长线于点F ，∵∠ACD=90°+∠5，∠BCF=90°+∠5∴∠ACD=∠BCF∵BD ⊥AD∴∠ADB=90°∴∠6+∠7=90°∵∠ACB=90°∴∠9=∠8=90°又∵∠6=∠8∴∠7=∠9ACD ∆和BCF ∆中97AC BCACD BCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ACD ≌△BCF∴CD=CF ，AD=BF又∵∠DCF=90°∴由勾股定理得222=+=DF CD CF CD又DF=BF-BD=AD-BD∴2-=AD BD CD【点睛】本题考查的是三角形全等、勾股定理及其逆定理，掌握三角形全等的判定方法及勾股定理及其逆定理是关键.27．（1）（5，0）；（2）见解析；（3）①P（4，2），②满足△ACP与△BDC全等的点是P1、P2，P3．理由见解析【分析】（1）由题意可以假设A（a，a）（a＞0），根据AB2+OB2=OA2，构建方程即可解决问题；（2）由角平分线的性质定理证明CH=CF，CG=CF即可解决问题；（3）①如图3中，在BC的延长线上取点P，使得CP=DB，连接AP．只要证明△ACP≌△CDB（SAS），△ABP是等腰直角三角形即可解决问题；②根据SAS即可判断满足△ACP与△BDC全等的点是P1、P2，P3；【详解】解：（1）∵点A在射线y＝x（x≥0）上，故可以假设A（a，a）（a＞0），∵AB⊥x轴，∴AB＝OB＝a，即△ABO是等腰直角三角形，∴AB2+OB2＝OA2，∴a2+a2＝（52）2，解得a＝5，∴点B坐标为（5，0）．（2）如图2中，作CF⊥x轴于F．∵OC平分∠AOB，CH⊥OE，∴CH＝CF，∵△AOB是等腰直角三角形，∴∠AOB＝45°，∵BC∥OE，∴∠CBG＝∠AOB＝45°，得到BC平分∠ABF，∵CG⊥BA，CF⊥BF，∴CG＝CF，∴CG＝CH．（3）①如图3中，在BC的延长线上取点P，使得CP＝DB，连接AP．由（2）可知AC平分∠DAE，∴∠DAC＝12∠DAE＝12（180°﹣45°）＝67.5°，由OC平分∠AOB得到∠DOB＝12∠AOB＝22.5°，∴∠ADC＝∠ODB＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠ADC＝∠DAC＝67.5°，∴AC＝DC，∠BDC＝∠OBD+∠DOB＝90°+22.5°＝112.5°，∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠ADC＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，∠OCB＝45°﹣22.5°＝22.5°，∠ACP＝180°﹣∠ACD﹣∠OCB＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，在△ACP和△CDB中，AC ADACP DB CP DB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP≌△CDB（SAS），∴∠CAP＝∠DCB＝22.5°，∴∠BAP＝∠CAP+∠DAC＝22.5°+67.5°＝90°，∴△ABP是等腰直角三角形，∴AP＝AB＝OB＝2，∴P（4，2）．②满足△ACP与△BDC全等的点是P1、P2，P3．理由：如图4中，由题意：AP1＝BD，AC＝CD，∠CAP1＝∠CDB，根据SAS可得△CAP1≌△CDB；AP2＝BD，AC＝CD，∠CAP2＝∠CDB，根据SAS可得△CAP2≌△CDB；AC＝CD，∠ACP3＝∠BDC，BD＝CP3根据SAS可得△CAP3≌△DCB；故答案为P1、P2，P3．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．28．（1）详见解析；（2）ⅰ）四边形AGBE是平行四边形，证明详见解析；ⅱ）2+++k k k221.【解析】【分析】（1）只要证明△BAE≌△ACD；（2）ⅰ）四边形AGBE是平行四边形，只要证明BG=AE，BG∥AE即可；ⅱ）求出四边形BGAE的周长，△ABC的周长即可；【详解】（1）证明：如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAE＝∠C＝60°，∵AE＝CD，∴△BAE≌△ACD，∴∠ABE＝∠CAD．（2）ⅰ）如图2中，结论：四边形AGBE是平行四边形．理由：∵△ADG，△ABC都是等边三角形，∴AG＝AD，AB＝AC，∴∠GAD＝∠BAC＝60°，∴△GAB≌△DAC，∴BG＝CD，∠ABG＝∠C，∵CD＝AE，∠C＝∠BAE，∴BG＝AE，∠ABG＝∠BAE，∴BG∥AE，∴四边形AGBE是平行四边形，ⅱ）如图2中，作AH⊥BC于H．∵BH＝CH＝1 (1) 2k+∴1113 1(1),3(1) 2222DH k k AH BH k =-+=-==+∴222AH DH k k1AD=+=++∴四边形BGAE的周长＝22k k1k+++,△ABC的周长＝3（k+1），∴四边形AGBE与△ABC2221 k k k+++【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．29．（1）6（2）（310）m2【分析】（1）由已知△ABC的三边a=4，b=5，c=7，可知这是一个一般的三角形，故选用海伦-奏九韶公式求解即可；（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接BD.将所求四边形的面积转化为三个三角形的面积的和进行计算．【详解】（1）解：△ABC的面积为S ()()()() a b c a b c a c b b c a +++-+-+-。
勾股定理练习题目及问题详解(共6套)
勾股定理课时练（1）1. 在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB222ACBC++的值是（）A.2B.4C.6D.82.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10 cm，∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是______ cm（结果不取近似值）.3. 直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．4.一根旗杆于离地面12m处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m，旗杆在断裂之前高多少m？5.如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米.6. 飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米?7. 如图所示，无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度. 8. 一个零件的形状如图所示，已知AC=3cm，AB=4cm，BD=12cm。
求CD的长.9. 如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB的长.10. 如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？11如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱?12. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？“路”4m3m第2题图第5题图第7题图第9题图第8题图5m13m第11题第一课时答案：1.A ，提示：根据勾股定理得122=+AC BC，所以AB 222AC BC ++=1+1=2；2.4，提示：由勾股定理可得斜边的长为5m ，而3+4-5=2m ，所以他们少走了4步.3.1360 ，提示：设斜边的高为x ，根据勾股定理求斜边为1316951222==+ ，再利用面积法得，1360,132112521=⨯⨯=⨯⨯x x ；4. 解：依题意，AB=16m ，AC=12m ，在直角三角形ABC 中,由勾股定理,222222201216=+=+=AC AB BC ,所以BC=20m ,20+12=32(m ), 故旗杆在断裂之前有32m 高. 5.86. 解:如图,由题意得,AC=4000米,∠C=90°,AB=5000米,由勾股定理得BC=30004000500022=-(米),所以飞机飞行的速度为5403600203=(千米/小时) 7. 解：将曲线沿AB 展开，如图所示，过点C 作CE ⊥AB 于E. 在R 90,=∠∆CEF CEF t ，EF=18-1-1=16（cm ），CE=)(3060.21cm =⨯，由勾股定理，得CF=)(3416302222cm EF CE =+=+8.解：在直角三角形ABC 中，根据勾股定理，得254322222=+=+=AB AC BC在直角三角形CBD 中，根据勾股定理，得CD 2=BC 2+BD 2=25+122=169，所以CD=13.9. 解：延长BC 、AD 交于点E.（如图所示）∵∠B=90°，∠A=60°，∴∠E=30°又∵CD=3，∴CE=6，∴BE=8， 设AB=x ，则AE=2x ，由勾股定理。
勾股定理练习题及答案
勾股定理练习题及答案勾股定理练习题及答案勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
下面小编给大家带来勾股定理练习题及答案，欢迎大家阅读。
勾股定理练习题：1、在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝15，AC＝17，以AB为直径作半圆，则此半圆的面积为__________2、已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为__________．3、某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要 __________元．4、如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m．同时梯子的顶端B 下降至B′，那么BB′（）．A．小于1m B．大于1m C．等于1m D．小于或等于1m5、将一根24cm的.筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（）．A．h≤17cm B．h≥8cmC．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm6、如图，某公园内有一棵大树，为测量树高，小明C处用侧角仪测得树顶端A的仰角为30°，已知侧角仪高DC＝1。
4m，BC＝30米，请帮助小明计算出树高AB．（取1。
732，结果保留三个有效数字）◆典例分析如图1，一个梯子AB长2。
5m，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1。
5m，梯子滑动后停在DE的位置上，如图2，测得BD长为0。
5m，求梯子顶端A下落了多少米．解法指导：直角三角形中，已知一直角边和斜边是勾股定理的重要应用之一．勾股定理：a2＋b2＝c2的各种变式：a2＝c2－b2，b2＝c2－a2．应牢固掌握，灵活应用．分析：先利用勾股定理求出AC与CE的长，则梯子顶端A下落的距离为AE＝AC－CF．解：在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2∴2.52＝AC2＋1。
勾股定理练习题答案
勾股定理练习题答案
1. 已知直角三角形的两条直角边长分别为3cm和4cm，求斜边的长度。
答案：斜边长度为5cm。
2. 若一个直角三角形的斜边长为10cm，一条直角边长为6cm，求另一
条直角边的长度。
答案：另一条直角边的长度为8cm。
3. 一个直角三角形的两条直角边长分别为9cm和12cm，求斜边的长度。
答案：斜边长度为15cm。
4. 已知直角三角形的斜边长为13cm，一条直角边长为5cm，求另一条
直角边的长度。
答案：另一条直角边的长度为12cm。
5. 一个直角三角形的斜边长为20cm，一条直角边长为8cm，求另一条
直角边的长度。
答案：另一条直角边的长度为16cm。
6. 已知直角三角形的两条直角边长分别为7cm和24cm，求斜边的长度。
答案：斜边长度为25cm。
7. 若一个直角三角形的斜边长为26cm，一条直角边长为10cm，求另
一条直角边的长度。
答案：另一条直角边的长度为24cm。
8. 一个直角三角形的两条直角边长分别为11cm和60cm，求斜边的长度。
答案：斜边长度为61cm。
9. 已知直角三角形的斜边长为17cm，一条直角边长为8cm，求另一条直角边的长度。
答案：另一条直角边的长度为15cm。
10. 一个直角三角形的斜边长为19cm，一条直角边长为5cm，求另一条直角边的长度。
答案：另一条直角边的长度为12cm。
中考数学复习《勾股定理》专项练习题-附带有答案
中考数学复习《勾股定理》专项练习题-附带有答案一、单选题1．线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形的是（）A．a=7，b=24，c=25 B．Ba= √41，b=4，c=5C．a= 34，b=1，c= 54D．a=40，b=50，c=602．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（）A．65B．95C．125D．1653．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为7和9，则b的面积为（）A．16 B．2 C．32 D．1304．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在图中找出格点C，使得△ABC是腰长为无理数的等腰三角形，点C的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．75．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中S A=10，S B=8，S C=9，S D=4则下列判断不正确的是（）A．S E=18B．S F=13C．S M=31D．S M−S E=176．如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（）A．2.1B．√5C．2√2D．2√37．我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a、b，那么(a+b)2的值为（）.A．49 B．25 C．13 D．18．如图，在△ABC中∠C=60°，AC=4，BC=3 .分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧交于M、N两点，作直线MN交AC于点D，则CD的长为（）A．1 B．75C．32D．3二、填空题9．如图，△ABC中AB=AC=10，BC=16，△ABC的面积是.10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，以AB为一边向三角形外作正方形ABEF，正方形的中心为O，且OC＝4 √2，则BC＝．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AB上，AD＝AC，AF⊥CD交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是12．某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子底端A到左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的距离DE为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为2m，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE为m．13．活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.如已知△ABC中∠A=30°，AC=3，∠A所对的边为√3，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为三、解答题14．如图，点C在∠DAB内部，CD⊥AD于点D，CB⊥AB于点B，CD＝CB，若AD＝5，求AB的长．15．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．AD＝1，BD＝4，CD＝2．求证：∠ACB＝90°．16．如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度AB=20米，A点到地面C点（B、C两点处于同一水平面）的距离AC=25米．若小鸟竖直下降12米到达D点（D点在线段AB上），求此时小鸟到地面C 点的距离．17．如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，E为AC边上一点，且满足∠AED＝2∠DCB．（1）求证：DE∥BC；（2）若∠B＝90°，AD＝6，AE＝9，求CE的长．18．如图，在正△ABC的AC，BC上各取一点D，E，使AD=CE，AE，BD相交于点M（1）如图1，求∠BME的度数；（2）如图2，过点B作直线AE的垂线BH，垂足为H①求证：2MH+DM=AE；②若BE=2EC=2，求BH的长．答案1．D2．C3．A4．C5．D6．B7．A8．B9．4810．511．1.512．2.213．2√3或√314．解：解法一：连结AC∵CD⊥AD于点D，CB⊥AB于点B∴∠CDA=∠CBA=90°在Rt△ABC与Rt△ADC中有AC=AC，CD=CB∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）∴AB=AD=5解法二：连结AC∵CD⊥AD于点D，CB⊥AB于点B∴∠CDA=∠CBA=90°∵CD=CB∴由勾股定理得：AB= √AC2−BC2 = √AC2−CD2 =AD=515．证明：∵CD是△ABC的高∴∠ADC=∠BDC=90°．∵AD=1，BD=4，CD=2∴AC2=AD2+CD2=12+22=5，BC2=BD2+CD2=42+22=20，AB2=（1+4）2=25．∴AC2+BC2=AB2．∴△ABC是直角三角形∴∠ACB=90°．16．解：由勾股定理得；BC2=AC2−AB2=252−202=225∴BC=15（米）∵BD=AB−AD=20−12=8（米）∴在Rt△BCD中，由勾股定理得CD=√DB2+BC2=√82+152=17∴此时小鸟到地面C点的距离17米．答；此时小鸟到地面C点的距离为17米．17．（1）证明：∵CD平分∠ACB∴∠ACD=∠DCB即∠ACB=2∠DCB又∵∠AED=2∠DCB∴∠ACB=∠AED∴DE//BC；（2）解：∵DE//BC∴∠EDC=∠BCD，∠B=∠ADE=90°∵∠BCD=∠ECD∴∠EDC=∠ECD∴ED=CE∵AD=6，AE=9∴DE=√AE2−AD2=√92−62=3√5∴CE=3√5．18．（1）解：∵△ABC是等边三角形∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°又∵AD=CE ∴△ABD≌△CAE(SAS)∴∠BME=∠ABD+∠BAE=∠CAE+∠BAE=∠BAC=60°（2）解：①∵BH⊥AE ∠BME=60°∴∠HBM=30°∴BM=2MH∵△ABD≌△CAE ∴AE=BD=BM+MD=2MH+MD②过点E作EG⊥AB于点GBE=2EC=2 ∴AB=BC=3∴使用ABC=60°∴BG=1，AG=2，由勾股定理可得，GE= √3，AE= √7设HE=x，则AH= √7 -x由勾股定理得32-（√7 -x）2=22-x2解得x= √77再由勾般定理可得：BH= 3√21.7。
勾股定理练习题及答案(共6套)
勾股定理课时练（1）1.在直角三角形ABC 中，斜边AB=1，则AB 222AC BC ++的值是（）A.2B.4C.6D.82.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD ，AD ∥BC ，斜腰DC 的长为10cm ，∠D=120°，则该零件另一腰AB 的长是______cm （结果不取近似值）.3.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．4.一根旗杆于离地面12m 处断裂，犹如装有铰链那样倒向地6.飞机在空中水平飞行上方4000米处,过了209.如图，在四边形CD=3，求AB 的长10.如图，一个牧童在小河的南的小屋B 的西8km 2m 的楼道上铺地毯,已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱?12.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？ 第一课时答案：1.A ，提示：根据勾股定理得122=+AC BC ，所以AB222AC BC ++=1+1=2；2.4，提示：由勾股定理可得斜边的长为5m ，而3+4-5=2m ，所以他们少走了4步.3.1360，提示：设斜边的高为x ，根据勾股定理求斜边为1316951222==+，再利用面积法得，136011米,由勾所以飞机飞行的速度为CE=60.2⨯，由勾股定理，得CF=)(3416302222cm EF CE =+=+8.解：在直角三角形ABC 中，根据勾股定理，得在直角三角形CBD 中，根据勾股定理，得CD 2=BC 2+BD 2=25+122=169，所以CD=13. 9.解：延长BC 、AD 交于点E.（如图所示）第5题图第8题∵∠B=90°，∠A=60°，∴∠E=30°又∵CD=3，∴CE=6，∴BE=8， 设AB=x ，则AE=2x ，由勾股定理。
勾股定理练习试题附答案
勾股定理练习附答案一、相信你的选择1、如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝15，AC ＝17，以AB 为直径作半圆，则此半圆的面积为（ ）．A ．16πB ．12πC ．10πD ．8π2、已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（ ）．A ．12B ．7＋7C ．12或7＋7D ．以上都不对3、如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2m ，梯子的顶端B 到地面的距离为7m ，现将梯子的底端A 向外移动到A ′，使梯子的底端A ′到墙根O 的距离等于3m ．同时梯子的顶端B 下降至B ′，那么BB ′（ ）．A ．小于1mB ．大于1mC ．等于1mD ．小于或等于1m4、将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm ，则h 的取值范围是（ ）．A ．h ≤17cmB ．h ≥8cmC ．15cm ≤h ≤16cmD ．7cm ≤h ≤16cm二、试试你的身手5、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，且2a ＝3b ，c ＝213，则a ＝_____，b ＝_____．6、如图，矩形零件上两孔中心A 、B 的距离是_____（精确到个位）．7、如图，△ABC 中，AC ＝6，AB ＝BC ＝5，则BC 边上的高AD ＝______．8、某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要 元．三、挑战你的技能9、如图，设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去．（1）记正方形ABCD 的边长为a 1=1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a 2，a 3，a 4，……，a n ，请求出a 2，a 3，a 4的值； 150o20米30米（2）根据以上规律写出a n的表达式．10、如图，某公园内有一棵大树，为测量树高，小明C处用侧角仪测得树顶端A的仰角为30°，已知侧角仪高DC＝1.4m，BC＝30米，请帮助小明计算出树高AB．（3取1.732，结果保留三个有效数字）11、如图，甲船以16海里/时的速度离开港口，向东南航行，乙船在同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B、A两点，且知AB＝30海里，问乙船每小时航行多少海里？12、去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2km的A、B两地之间修筑一条笔直公路（即图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向、B地的西偏北45°方向C处有一个半径为0.7km的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？（3≈1.732）参考答案一、相信你的选择1、D2、C3、A4、D二、试试你的身手5．a ＝b ，b ＝4（提示：设a ＝3k ，b ＝2k ，由勾股定理，有（3k ）2＋（2k ）2＝（213）2，解得a ＝b ，b ＝4．）；6．43（提示：做矩形两边的垂线，构造Rt △ABC ，利用勾股定理，AB 2＝AC 2＋BC 2＝192＋392＝1882，AB ≈43）；7．3.6（提示：设DC ＝x ，则BD ＝5－x ．在Rt △ABD 中，AD 2＝52－（5－x ）2，在Rt △ADC中，AD 2＝62－x 2，∴52－（5－x ）2＝62－x 2，x ＝3.6．故AD ＝226.36-＝4.8）；8、150a ．三、挑战你的技能9、解析：利用勾股定理求斜边长．（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝1，∠B ＝90°．∴在Rt △ABC 中，AC ＝22BC AB +＝2211+＝2．同理：AE ＝2，EH ＝22，…，即a 2＝2，a 3＝2，a 4＝22．（2）a n ＝12-n （n 为正整数）．10、解析：构造直角三角形，利用勾股定理建立方程可求得．过点D 作DE ⊥AB 于点E ，则ED ＝BC ＝30米，EB ＝DC ＝1.4米．设AE ＝x 米，在Rt △ADE 中，∠ADE ＝30°，则AD ＝2x ．由勾股定理得：AE 2＋ED 2＝AD 2，即x 2＋302＝（2x ）2，解得x ＝103≈17.32．∴AB ＝AE ＋EB ≈17.32＋1.4≈18.7（米）．答：树高AB 约为18.7米．11、解析：本题要注意判断角的大小，根据题意知：∠1＝∠2＝45°，从而证明△ABC 为直角三角形，这是解题的前提，然后可运用勾股定理求解．B 在O 的东南方向，A 在O 的西南方向，所以∠1＝∠2＝45°，所以∠AOB ＝90°，即△AOB 为Rt △．BO ＝16×23＝24（海里），AB ＝30海里，根据勾股定理，得AO 2＝AB 2－BO 2＝302－242＝182，所以AO ＝18．所以乙船的速度＝18÷23＝18×32＝12（海里/时）．答：乙船每小时航行12海里．12、解 如图所示，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点D ，由题意可得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝45°，在Rt △CDB 中，∠BCD ＝45°，∴∠CBA ＝∠BCD ，∴BD ＝CD ．在Rt △ACD 中，∠CAB ＝30°，∴AC ＝2CD ．设CD ＝DB ＝x ，∴AC ＝2x ．由勾股定理得AD ＝22CD AC -＝224x x -＝3x ．∵AD ＋DB ＝2， ∴3x ＋x ＝2，∴x ＝3－1．即CD ＝3－1≈0.732＞0.7，∴计划修筑的这条公路不会穿过公园．。
数学数学勾股定理试题含答案
数学数学勾股定理试题含答案数学勾股定理试题含答案1. 已知直角三角形的斜边长为10cm，一直角边长为6cm，求另一直角边的长度。
解析：根据勾股定理，直角三角形中，斜边的平方等于两直角边平方和。
设另一直角边为x，则有10^2 = 6^2 + x^2，化简得 x^2 = 64，所以 x = 8。
答案为8cm。
2. 已知一个直角三角形的两直角边分别为5cm和12cm，求斜边的长度。
解析：根据勾股定理，设斜边的长度为x，则有 x^2 = 5^2 + 12^2，化简得 x^2 = 25 + 144，所以x = √169。
答案为13cm。
3. 若一个直角三角形的两直角边分别为a和b，斜边长度为c，求证：a^2 + b^2 = c^2。
解析：设直角边为a和b，斜边长度为c。
根据勾股定理，有 c^2 =a^2 + b^2。
此式即为勾股定理的数学表达。
证毕。
4. 已知一个直角三角形的斜边长为5√2cm，一直角边长为4cm，求另一直角边的长度。
解析：设另一直角边为x，则根据勾股定理，有(5√2)^2 = 4^2 + x^2，即 50 = 16 + x^2，化简得 x^2 = 34，所以x = √34。
答案为√34 cm。
5. 已知一个直角三角形的两直角边分别为3m和4m，求斜边的长度。
解析：设斜边的长度为x。
根据勾股定理，有 x^2 = 3^2 + 4^2，即x^2 = 9 + 16，化简得 x^2 = 25，所以 x = 5。
答案为5m。
6. 若一个直角三角形的两直角边分别为m和n，斜边长度为p，求证：m^2 + n^2 = p^2。
解析：设直角边为m和n，斜边长度为p。
根据勾股定理，有 p^2 = m^2 + n^2。
此式即为勾股定理的数学表达。
证毕。
综上所述，数学勾股定理是描述直角三角形中三条边之间关系的重要定理。
通过勾股定理，我们可以计算直角三角形中未知边长的长度，解决与直角三角形相关的数学问题。
掌握勾股定理的应用，对于数学学习和实际问题的解决都具有重要意义。
勾股定理测试题及答案
勾股定理测试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 勾股定理适用于哪种三角形？A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 钝角三角形答案：B2. 如果直角三角形的两条直角边长分别为3和4，那么斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A3. 一个直角三角形的斜边长度为13，一条直角边为5，另一条直角边的长度是多少？A. 12B. 10C. 8D. 6答案：A4. 勾股定理的公式是什么？A. a + b = cB. a * b = cC. a^2 + b^2 = c^2D. a^2 - b^2 = c^2答案：C5. 如果一个三角形的三边长分别为7、24和25，那么这个三角形是直角三角形吗？A. 是B. 不是答案：A二、填空题（每题2分，共10分）6. 直角三角形中，如果一条直角边长为x，另一条直角边长为y，斜边长为z，根据勾股定理，我们有________。
答案：x^2 + y^2 = z^27. 如果一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，那么斜边的长度是________。
答案：108. 在一个直角三角形中，如果斜边的长度是20，一条直角边长为15，另一条直角边的长度是________。
答案：5√3 或25√3/39. 勾股定理的发现归功于古希腊数学家________。
答案：毕达哥拉斯10. 勾股定理在数学中也被称为________定理。
答案：毕达哥拉斯定理三、解答题（每题5分，共20分）11. 一个直角三角形的斜边长度为17，一条直角边长为8，求另一条直角边的长度。
答案：根据勾股定理，另一条直角边的长度为√(17^2 - 8^2) =√(289 - 64) = √225 = 15。
12. 如果一个直角三角形的两条直角边长分别为9和12，求斜边的长度。
答案：根据勾股定理，斜边的长度为√(9^2 + 12^2) = √(81 + 144) = √225 = 15。
13. 一个直角三角形的斜边长度为25，一条直角边长为15，求另一条直角边的长度。
(完整版)勾股定理经典题目及答案
勾股定理1．勾股定理是把形的特征（三角形中有一个角是直角），转化为数量关系（a 2＋b 2=c 2），不仅可以解决一些计算问题，而且通过数的计算或式的变形来证明一些几何问题，特别是证明线段间的一些复杂的等量关系. 在几何问题中为了使用勾股定理，常作高（或垂线段）等辅助线构造直角三角形.2．勾股定理的逆定理是把数的特征（a 2＋b 2=c 2）转化为形的特征（三角形中的一个角是直角），可以有机地与式的恒等变形，求图形的面积，图形的旋转等知识结合起来，构成综合题，关键是挖掘“直角”这个隐含条件.△ABC 中 ∠C ＝Rt ∠a 2＋b 2=c 2⇔3．为了计算方便，要熟记几组勾股数：①3、4、5； ②6、8、10； ③5、12、13； ④8、15、17；⑤9、40、41.4．勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一.一般地说，在平面几何中，经常利用直线间的位置关系，角的相互关系而判定直角，从而判定直角三角形，而勾股定理则是通过边的计算的判定直角三角形和判定直角的. 利用它可以判定一个三角形是否是直角三角形，一般步骤是：（1）确定最大边；（2）算出最大边的平方，另外两边的平方和；（3）比较最大边的平方与另外两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形； 5．勾股数的推算公式①罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）任取两个正整数m 和n(m>n),那么m 2-n 2，2mn, m 2+n 2是一组勾股数。
②如果k 是大于1的奇数，那么k, ,是一组勾股数。
212-k 212+k ③如果k 是大于2的偶数，那么k, ,是一组勾股数。
122-⎪⎭⎫ ⎝⎛K 122+⎪⎭⎫⎝⎛K ④如果a,b,c 是勾股数，那么na, nb, nc (n 是正整数)也是勾股数。
典型例题分析例1 在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图1所示)，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1+S 2+S 3+S 4=____ 依据这个图形的基本结构，可设S 1、S 2、S 3、S 4的边长为a 、b 、c 、d 则有a 2+b 2=1，c 2+d 2=3，S 1=b 2，S 2=a 2，S 3=c 2，S 4=d 2 S 1+S 2+S 3+S 4=b 2+a 2+c 2+d 2=1+3=4例2 已知线段a ，求作线段 a5分析一：a ＝＝525a 224a a +∴a 是以2a 和a 为两条直角边的直角三角形的斜边。
勾股定理练习题及答案
勾股定理练习题及答案一、选择题1、直角三角形的两直角边分别为 5 厘米、12 厘米，则斜边长是（）A 13 厘米B 14 厘米C 15 厘米D 16 厘米答案：A解析：根据勾股定理，直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
所以斜边的平方＝ 5²＋ 12²＝ 25 ＋ 144 ＝ 169，斜边长为 13 厘米。
2、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A 3，4，6B 5，12，13C 5，11，12D 2，3，4答案：B解析：对于选项 A，3²＋ 4²＝ 9 ＋ 16 ＝ 25，6²＝ 36，因为25 ≠ 36，所以不能组成直角三角形；对于选项 B，5²＋ 12²＝ 25 ＋ 144 ＝169，13²＝ 169，因为 169 ＝ 169，所以能组成直角三角形；对于选项C，5²＋ 11²＝ 25 ＋ 121 ＝ 146，12²＝ 144，因为146 ≠ 144，所以不能组成直角三角形；对于选项 D，2²＋ 3²＝ 4 ＋ 9 ＝ 13，4²＝ 16，因为13 ≠ 16，所以不能组成直角三角形。
3、一个直角三角形的三边长分别为 2，3，x，则 x 的值为（）A √13B √5C √13 或√5D 无法确定答案：C解析：当 x 为斜边时，x ＝√（2²＋ 3²) ＝√13；当 3 为斜边时，x ＝√（3² 2²) ＝√5。
所以 x 的值为√13 或√5 。
4、已知直角三角形的两条边长分别是 5 和 12，则第三边的长为（）A 13B √119C 13 或√119D 不能确定答案：C解析：当 12 为斜边时，第三边的长为√（12² 5²) ＝√119；当 5 和12 为直角边时，第三边的长为√（5²＋ 12²) ＝ 13。
(完整版)勾股定理测试题及参考答案
勾股定理测试题一、选择题(每小题4分，共40分）1．以下列各组数为边长能组成直角三角形的是( ）A ．567，，B ．1084，，C ．91517，，D ．72425，，2． 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为6 cm ，则它的斜边长( ）(A ）4 cm （B ）8 cm (C ）10 cm（D ）12 cm3. 已知一个Rt △的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是（ ） （A)25（B ）14 （C ）7 （D ）7或254.已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足(a 2－b 2)(a 2+b 2－c 2)＝0,则它的形状为（ )A 。
直角三角形B.等腰三角形C 。
等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形5．五根小木棒，其长度分别为7，15，20,24，25,现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)6.如图，一个梯子AB 长2.5米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 的位置上，测得BD 长为0.5米，则梯子顶端A 下落了（ ）米EA BCDA ．0.5B ．1C ．1.5D ．2DCBA5米3米7．一只蚂蚁沿如图所示折线从A点爬到D点，共爬行了（)（图中方格边长为1cm）A．12cm B．10cmC．14cm D．以上答案都不对8．△ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮,按每平方米草皮a元计算,那么共需要资金（）.(A）50a元（B)600a元（C）1200a元（D）1500a元9．如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米,两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（）米A．8米B．10米C．12米D．14米10.如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C/处，B C/交AD于E，AD=8,AB=4，则DE的长为（）．A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题（每小题4分,共16分)11. 如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米，计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要____________米.12. 在直角三角形ABC中,斜边AB=2，则222AB AC BC++=______。
八年级勾股定理题
1、在直角三角形中，若一条直角边长为3，斜边长为5，则另一条直角边的长可能是？A、1B、2C、4D、6（答案）C。
解析：根据勾股定理，直角三角形的两条直角边a、b和斜边c满足a² + b² = c²。
已知一条直角边为3，斜边为5，设另一条直角边为x，则3² + x² = 5²，解得x = 4。
2、小明想要检测一个三角形的三边是否满足勾股定理，他量得三边分别为6、8、10，这个三角形是？A、锐角三角形，但不满足勾股定理B、直角三角形，且满足勾股定理C、钝角三角形，且满足勾股定理D、无法确定（答案）B。
解析：6² + 8² = 36 + 64 = 100，而10² = 100，两边相等，满足勾股定理，且为直角三角形。
3、若一个直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为5，则另一条直角边的长是？A、8B、10C、12D、15（答案）C。
解析：设另一条直角边为x，根据勾股定理，5² + x² = 13²，解得x = 12。
4、下列哪组数不能作为直角三角形的三边长？A、3、4、5B、5、12、13C、7、24、25D、8、12、20（答案）D。
解析：验证各组数是否满足勾股定理。
A项：3² + 4² = 5²；B项：5² + 12² = 13²；C项：7² + 24² = 25²；D项：8² + 12²≠ 20²，所以D项不能构成直角三角形。
5、一个直角三角形的两条直角边分别长为6和8，那么它的斜边上的中线长是？A、3B、4C、5D、6（答案）C。
解析：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
由勾股定理，斜边长为√(6² + 8²) = 10，所以中线长为10/2 = 5。
勾股定理练习题(含答案)
勾股定理练习题【1】一、基础达标:1. 下列说法正确的是（ ）A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；B.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；C.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2；D.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 2． 2. Rt △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（ ）A ．c b a =+ B. c b a >+ C. c b a <+ D. 222c b a =+3． 如果Rt △的两直角边长分别为k 2－1，2k （k >1），那么它的斜边长是（ ）A 、2kB 、k+1C 、k 2－1D 、k 2+14. 已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足(a 2－b 2)(a 2+b 2－c 2)＝0，则它的形状为（ ）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形5． 直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ）A ．121B ．120C ．90D ．不能确定6． △ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ）A ．42B ．32C ．42 或 32D ．37 或 337.※直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（ ）（A 2d （B d（C ）2d （D ）d8、在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为（ ）A ：3 B ：4 C ：5 D ：79．若△ABC 中，AB=25cm ，AC=26cm 高AD=24,则BC 的长为（ ）A ．17 B.3 C.17或3 D.10．已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足2(6)100a c --=则三角形的形状是（ ）A ：底与边不相等的等腰三角形B ：等边三角形C ：钝角三角形D ：直角三角形11．斜边的边长为cm 17，一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是．12. 等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则顶角的平分线为＿＿.13. 一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为14．一个三角形三边之比是6:8:10，则按角分类它是三角形．15. 一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是＿＿＿.16. 在Rt △ABC 中，斜边AB=4，则AB 2＋BC 2＋AC 2=_____．18．如图，已知ABC ∆中，︒=∠90C ，15=BA ，12=AC ，以直角边BC 为直径作半圆，则这个半圆的面积是．19． 一长方形的一边长为cm 3，面积为212cm ，那么它的一条对角线长是． 二、综合发展: 1．如图，一个高4m 、宽3m 的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长．2、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？3.一个三角形三条边的长分别为cm 15，cm 20，cm 25，这个三角形最长边上的高是多少？4．如图，要修建一个育苗棚，棚高h=3m ，棚宽a=4m ，棚的长为12m ，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？5．如图，有一只小鸟在一棵高13m 的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m ，高8m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s 的速度飞向小树树梢，它最短要飞多远？这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？15．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图，，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m 处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m ，这辆小汽车超速了吗？答案:一、基础达标1. 解析:利用勾股定理正确书写三角形三边关系的关键是看清谁是直角．答案: D.2. 解析：本题考察三角形的三边关系和勾股定理.答案：B.3．解析：设另一条直角边为x ，则斜边为（x+1）利用勾股定理可得方程，可以求出x ．然后再求它的周长.答案：C ．4．解析：解决本题关键是要画出图形来，作图时应注意高AD 是在三角形的内部还是在三角形的外部，有两种情况，分别求解.答案：C.5． 解析: 勾股定理得到：22215817=-，另一条直角边是15， 小汽车 小汽车 B C 观测点A CB EC D所求直角三角形面积为21158602cm ⨯⨯=．答案:260cm ．6． 解析：本题目主要是强调直角三角形中直角对的边是最长边,反过来也是成立．答案:222c b a =+，c ，直角，斜，直角．7． 解析:本题由边长之比是6:8:10可知满足勾股定理，即是直角三角形．答案：直角．8． 解析：由三角形的内角和定理知三个角的度数,断定是直角三角形．答案：︒30、︒60、︒90，3．9．解析：由勾股定理知道：22222291215=-=-=AC AB BC ，所以以直角边9=BC 为直径的半圆面积为10.125π．答案：10.125π．10． 解析:长方形面积长×宽，即12长×3，长4=，所以一条对角线长为5．答案：cm 5．二、综合发展11．解析：木条长的平方=门高长的平方+门宽长的平方．答案：5m ．12解析：因为222252015=+，所以这三角形是直角三角形，设最长边（斜边）上的高为xcm ，由直角三角形面积关系，可得1115202522x ⨯⨯=⨯⋅，∴12=x ．答案：12cm 13．解析：透阳光最大面积是塑料薄膜的面积，需要求出它的另一边的长是多少，可以借助勾股定理求出.答案：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为5m,所以矩形塑料薄膜的面积是：5×20=100(m 2) ．14．解析：本题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求斜边的值是13m ，也就是两树树梢之间的距离是13m ，两再利用时间关系式求解.答案：6.5s ．15．解析：本题和14题相似，可以求出BC 的值，再利用速度等于路程除以时间后比较.BC=40米，时间是2s ，可得速度是20m/s=72km/h ＞70km/h ．答案：这辆小汽车超速了．。
勾股定理练习题精华(含答案)
勾股定理练习题一、填空题1、若直角三角形的两边长分别是3、4，则第三边的长为 ；2、若等腰三角形的一边长为6，则另两边的长分别是3、如图：AC ⊥BC 于C ，CD ⊥AB 于D （1）若BC=8，AC=15，则CD= （2）若AB=29，AC=21，则CD=4、如图∠C=30°，AD ⊥BC ，AB ⊥AC ，BE=EC （1）若AE=4，则AD=（2）若DE=3,则BC= ；AB=；AC=5、如图，正方形ABCD ，若OD=3，OC ⊥OD ，OC=OD ，则BD= ，正方形ABCD 的面积=6、直角三角形ABC 中，若周长为30，斜边上中线长为6.5，则该三角形的面积为7、若两条线段长分别是20，25，则当第三条线段的长为时，这三条线段首尾连结可以组成直角三角形。
8、若2224618a b c a c ++=++-，则△ABC 的形状是 二、写出下列命题的逆命题，并判断真假。
1、两条直线平行，同旁内角互补。
2、若x=-3，则2230x x +-=。
3、直角三角形中，30°锐角所对直角边等于斜边的一半。
4、若一个整数的末位数字是0，则这个数能被5整除。
三、解答题1、如图：RtABC中，CA=，AM=AC=12, BN=BC=5, 求MN的长。
2、RtABC中，C=，AD平分C,AC=10cm,AB=26cm,求BD长。
3、RtABC中，C=，AC=BC, BDAB,，AD=12,求BC长。
4、直角三角形中，两条直角边的差为cm,斜边长为。
5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，AB=17，BD=9，AD=10，求AC的长B6.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线交BC于D，且CD=1.5，BD=2.5，求AC的长A7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD=AC且DE∥AC，BE=，求AC，AB的长C8.在△ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，求△ABC 的周长9、已知：如图四边形ABCD 中对角线AC 、BD 互相平分，相交于O ，且AC ⊥BD 。
(完整版)勾股定理经典例题(含答案)
经典例题透析种类一：勾股定理的直接用法1、在 Rt△ ABC 中，∠ C=90 °(1)已知 a=6， c=10，求 b， (2)已知 a=40， b=9 ，求 c； (3)已知 c=25， b=15，求 a.思路点拨 : 写解的过程中，必定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。
分析： (1) 在△ ABC 中，∠ C=90 °， a=6， c=10,b=(2)在△ ABC 中，∠ C=90°， a=40， b=9,c=(3)在△ ABC 中，∠ C=90°， c=25， b=15,a=贯通融会【变式】 :如图∠ B=∠ ACD =90 ° , AD =13,CD=12, BC=3,则 AB 的长是多少 ?【答案】∵∠ ACD =90 °AD = 13, CD=12∴AC 2 =AD 2－CD2 =132－ 122=25∴AC=5又∵∠ ABC=90 °且 BC=3∴由勾股定理可得AB 2= AC 2－BC2=52－ 32=16∴AB= 4∴AB 的长是 4.种类二：勾股定理的结构应用2、如图，已知：在中，，，. 求： BC 的长 .思路点拨：由条件，想到结构含角的直角三角形，为此作于D，则有，，再由勾股定理计算出AD 、DC 的长，从而求出BC 的长 .分析：作于D，则因，∴（的两个锐角互余）∴（在中，假如一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.依据勾股定理，在中，..∴.贯通融会【变式 1】如图，已知：，，于P.求证：.分析：连结 BM ，依据勾股定理，在中，.而在中，则依据勾股定理有.∴又∵（已知），∴.在中，依据勾股定理有，∴.【变式 2】已知：如图，∠B=∠ D=90 °，∠ A=60 °， AB=4 ， CD=2 。
求：四边形ABCD 的面积。
剖析：怎样结构直角三角形是解本题的重点，能够连结 AC ，或延伸 AB 、DC 交于 F，或延伸 AD 、BC 交于点 E，依据本题给定的角应选后两种，进一步依据本题给定的边选第三种较为简单。
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勾股定理练习题及答案
问题一：
已知直角三角形的两条直角边分别为3cm和4cm，求斜边的长度。
解答一：
根据勾股定理，斜边的平方等于两条直角边的平方和。
设斜边的长度为c，则有：
c^2 = 3^2 + 4^2
c^2 = 9 + 16
c^2 = 25
取平方根得到c = 5cm。
所以，斜边的长度为5cm。
问题二：
已知直角三角形的斜边长度为10cm，一条直角边的长度为6cm，求另一条直角边的长度。
解答二：
设另一条直角边的长度为a。
根据勾股定理，可得：
a^2 + 6^2 = 10^2
a^2 + 36 = 100
a^2 = 100 - 36
a^2 = 64
取平方根得到a = 8cm。
所以，另一条直角边的长度为8cm。
问题三：
已知直角三角形的一条直角边的长度为5cm，另一条直角边的长度为12cm，求斜边的长度。
解答三：
设斜边的长度为c。
根据勾股定理，可得：
c^2 = 5^2 + 12^2
c^2 = 25 + 144
c^2 = 169
取平方根得到c = 13cm。
所以，斜边的长度为13cm。
问题四：
已知直角三角形的斜边长度为15cm，一条直角边的长度为9cm，求另一条直角边的长度。
解答四：
设另一条直角边的长度为a。
根据勾股定理，可得：
a^2 + 9^2 = 15^2
a^2 + 81 = 225
a^2 = 225 - 81
a^2 = 144
取平方根得到a = 12cm。
所以，另一条直角边的长度为12cm。
问题五：
已知直角三角形的一条直角边的长度为7cm，另一条直角边的长度为24cm，求斜边的长度。
解答五：
设斜边的长度为c。
根据勾股定理，可得：
c^2 = 7^2 + 24^2
c^2 = 49 + 576
c^2 = 625
取平方根得到c = 25cm。
所以，斜边的长度为25cm。
以上是五道勾股定理练习题及答案的解答过程。
通过这些练习题，我们可以加深对勾股定理的理解，熟练掌握如何在已知条件下求解三角形的边长。
勾股定理在几何学和实际应用中都有广泛的应用，是数学中的重要概念之一。
希望大家能够通过实际操作加强对勾股定理的记忆和运用。