浅谈范德蒙行列式的构造和应用问题

浅谈范德蒙行列式的构造和应用问题

摘要：主要介绍范德蒙行列式的定义及其性质，研究范德蒙行列式的几种构造方法和其在多项式理论中的应用问题，最后对应用方法技巧作出概括和总结。

关键词：范德蒙行列式多项式线性变换

行列式的研究是伴随着线性代数的发展而发展起来的,它最早出现在16世纪关于求解线性方程组的问题中。18世纪,法国著名的数学家范德蒙（Van de monde）将行列式的理论脱离线性方程组，作为专门的理论进行研究，并在此基础上确立了行列式的一些性质，使行列式逐步成为一门独立的数学研究课题。

范德蒙行列式是范德蒙在1772年提出的一种著名的行列式，具有重要的理论研究意义和广泛的应用价值。自上世纪50年代以来，数学工作者对范德蒙行列式的计算方法和一些应用进行了研究，但是对其构造方法和应用技巧的总结、归纳还比较欠缺，系统性和规范性也存在不足。

一、范德蒙行列式的定义及其性质

定义1：形如的行列式，称为x1，

x2，…，xn的n阶范德蒙行列式，记作Vn（x1，x2，…，xn）。

定理1：n阶范德蒙行列式Vn（x1，x2，…，xn）=

=（xi-xj）（1）

定理2：范德蒙行列式（1）为零的充分必要条件是x1，x2，…，xn这n个数中至少有两个相等。

二、范德蒙行列式的构造

1.利用行列变换法构造范德蒙行列式。

2.利用加边法构造范德蒙行列式。

三、范德蒙行列式在多项式理论中的应用

例：设f（x）=a0+a1x+a2x2+…+anxn，证明如果f（x）有n+1个不同的根，则f（x）为零多项式，即f（x）=0。

证明：由题设知f（x）有n+1个不同的根，不妨设为x1，…，xn+1，其中xi≠xj，i≠j，将其分别代入函数f（x）表达式，得n+1个方程如下：

a0+a1x1+a2a12+…+anx1n=0

a0+a1x2+a2a22+…+anx2n=0

a0+a1xn+1+a2an+12+…+anxn+1n=0

将a0，a1，a2，…an看作未知量得上述方程组的系数行列式为Dn+1=（xi-xj），由于xi≠xj（i≠j），因此Dn+1≠0，由克莱姆法则知，该方程组只有零解，也即

a0=a1=a2=…=an=0，因此f（x）=0。

四、范德蒙行列式在线性变换理论中的应用

例：如果λ1，λ2，…λs是线性变换的两两不同的特征值ai∈Vλ （1，2，…s），则当时

a1+a2+…+as=0时，必有a1=a2=…=as=０。

证明：注意到ai=λiai（1≤i≤s）（设是Vλ 的线性变换)，对等式a1+a2+…+as=0两边逐次作用，

得用矩阵表示为

式，由于λ1，λ2，…λs两两不同，从而B是可逆矩阵。

在上式两边右乘B-1得a1=a2=…=as=0。

五、结语

范德蒙行列式为问题的求解提供了十分有效的手段，对范德蒙行列式的应用不仅需要对范德蒙行列式的形式、特点及性质熟练掌握，而且要能灵活地运用。只有打好数学基础，不断地分析和解决典型的题目，找出内在的规律，日积月累，对范德蒙行列式的应用才能得到进一步的掌握。

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