角平分线定理2证明

角平分线定理2证明
角平分线定理2是指在一个三角形中，如果一个角的平分线上某个点到另外两边的距离比另外一个点到两边的距离大，则该角的平分线所对应的两个小角的角平分线也相应地实现这个条件。

下面我们来证明这个定理。

设在三角形ABC中，点D和E分
别是角BAC的平分线上的两个点，且满足AD > AE；点F和
G分别是角BAC的平分线所对应的两个小角的角平分线上的
两个点。

首先，连接BD、BE、CD、CE、AF和AG。

要证明FG是角BAC的平分线所对应的两个小角的角平分线，我们需要证明FG与AB和AC平分的两个小角分别相等。

根据角平分线的定义，我们可以得到以下等式：
∠BDA = ∠ADE
∠CDA = ∠AED
∠CGA = ∠AGE
∠CFA = ∠AFE
接下来，我们要使用一些三角形的性质，来推导出角BFG和
角BAG的等式，以及角CGF和角CAF的等式。

由于∠BDA = ∠ADE，且∠DEA是角DAE的平分线，根据角BDA和角ADE平分线定理，我们可以得到：
∠BDA = ∠EDA
由于∠CGA = ∠AGE，且∠AGE是角AEG的平分线，根据角CGA和角AGE平分线定理，我们可以得到：
∠CGA = ∠EGA
同样地，由于∠CFA = ∠AFE，且∠AFE是角AEF的平分线，根据角CFA和角AFE平分线定理，我们可以得到：
∠CFA = ∠EFA
再由于∠BFD = ∠DFA，且∠BFD是角BDF的平分线，根据
角BFD和角DFA平分线定理，我们可以得到：
∠BFD = ∠AFD
类似地，由于∠CGE = ∠EGA，且∠CGE是角CTE的平分线，根据角CGE和角EGA平分线定理，我们可以得到：
∠CGE = ∠AGE
最后，由于∠CFE = ∠EFA，且∠CFE是角CEF的平分线，
根据角CFE和角EFA平分线定理，我们可以得到：
∠CFE = ∠AFE
综上所述，我们可以得出以下结论：
∠BDA = ∠EDA
∠CGA = ∠EGA
∠CFA = ∠EFA
∠BFD = ∠AFD
∠CGE = ∠AGE
∠CFE = ∠AFE
因此，根据角等于其对应的平分线所对应的两个小角之和的性质，我们可以得到：
∠BDF + ∠BFD = ∠ADF
∠CGE + ∠EGA = ∠CGA
∠CFE + ∠EFA = ∠CFA
进一步地，我们可以得到：
∠BDF + ∠AFD = ∠ADF
∠CGE + ∠AGE = ∠CGA
∠CFE + ∠AFE = ∠CFA
由于∠BDF = ∠AGE，∠AFD = ∠CGA，以及∠EFA =
∠CFA，我们可以得到：
∠ADF = ∠CGA
∠CGA = ∠CFA
从而可以得出结论：FG是角BAC的平分线所对应的两个小角的角平分线。

以上是角平分线定理2的证明过程，通过使用角平分线的性质以及平分线定理，我们成功地证明了该定理。