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第五章流动的转捩和稳定性

1883年，O.Reynolds的圆管流动染色实验揭示出有两种典型流态：层流和湍流。实验表明，流速达到一定值，流动由层流转变为湍流，见图5.1。流动由层流转变为湍流的过程，被称为流动转捩。影响流动转捩的因素，除流速外还有很多，例如，流体的粘性和惯性，管道的截面形状和尺寸，管道入口流动条件等等。从转捩现象发现至今，大量的实验研究表明，转捩过程，内容丰富而复杂，有许多问题尚需要进一步的研究。

在实验研究的同时，人们试图建立理论来解释或理解流动转捩。借助固体动力学的稳定性概念，逐渐提出并形成了流动稳定性理论。其基本观点是，流动参数在一定范围，层流是不稳定的，在外界扰动作用下流动偏离原层流状态而演化成一个新的流动状态，进而最终演化成湍流。不过，直到现在，流动稳定性理论尚

不能完全解释层流到湍流的转捩机理。尽管如

此，在其自身发展过程中，流动稳定性理论献出

了不少研究问题的思想、方法和理论，其意义和

作用并非只限于流动转捩问题的研究。在自然界

和工程技术中，许多问题和现象本身就涉及流动

稳定性，或者能用到流动稳定性理论中的一些概

念和方法。因此，关于流动稳定性的研究，早已

不是纯理论、纯学术问题，对理解某些自然现象

和解决某些工程实际问题可起到重要的促进作

用。

本章的主要内容有，流动稳定性的一些基本

概念，线性稳定性理论大意，层流边界层稳定性

分析的一些经典结果，边界层转捩的基本现象和影响转

图5.1 管流染色实验示意图

捩的因素及其影响趋势。

§5.1 稳定性的概念和数学提法

设一个系统处于某一状态（称为原始状态）。这里我们讲该系统的稳定与否，是针对系统的状态而言。意思如下：由于外界的作用（该作用常称为对系统的干扰或扰动），系统偏离原来所处的状态、而进入一个新状态；当干扰或扰动去除后，如果系统能从新状态回复到原来的状态，那么系统所处状态对这个干扰是稳定的；否则，是不稳定的。换言之，外界作用去除后，如果系统的新状态与原来状态间的差异——干扰的结果——趋于消失，系统受扰前所处状态对这个干扰是稳定的。讲到系统稳定性时，应该明确指出系统的某个状态对具体的扰动是稳定或不稳定。图5.2给出静止小球所处的各种状态稳定性的可能情况：(a)对大扰动和小扰动都稳定；(b)对任意扰动都不稳定；(c)这是中间情形，差异既不消失也不增长，而是保持；(d)对某些较小的扰动是稳定的，当扰动较大时不稳定的，或说失去稳定。

图5.2 静止小球的稳定性示意图

依上述含义，对流动系统，其稳定性的数学提法可以如下：

设NS(·) = 0、BC(·) = 0分别代表流动基本方程组和定解条件，那么流体系统的状态，可以认为是这样的Φ：

⎭

⎬⎫

=Φ=Φ0)(0)(BC NS （5.1）

设系统的原来所处状态为Φ0 ，受扰后所处的新状态为Φ1 ，那么它们都是（5.1）的解，即，

⎭

⎬⎫

=Φ=Φ0)(0)(00BC NS （5.1a ）

⎭

⎬⎫

=Φ=Φ0)(0)(11BC NS （5.1b ）

而且差异（或扰动量）就是

01Φ-Φ=φ （5.1c ）

它的时空演化由下面的方程组和定解条件控制，

⎭

⎬⎫

=Φ-Φ+≡Φ=Φ-Φ+≡Φ0)()();(0)()();(000000BC BC dBC NS NS dNS φφφφ （5.2）

简单讲，如对任意的φ都有0→φ,则系统状态 Φ0 是稳定的。这就是稳定性问题的基本数学提法。

一般而言，稳定性方程（5.2）很难分析求解。许多问题的稳定性分析，属于所谓的线性稳定性分析范畴。其中，只考虑干扰量φ很小的情形，即1/0<<Φφ。此时稳定性分析方程（5.2）可以线性化近似。由此得出的分析结论：对一切小扰动都稳定，就是线性稳定的；只要对一个小扰动不稳定，就是线性不稳定。这种分析判定，在实际中很有用。本章，就限定在线性稳定性分析范围内。

下面一节，简要介绍最简单的稳定性理论——平行流（速度剖面）线性稳定性分析作。

§5.2 平行流线性稳定性理论

5.2.1 O-S 方程及色散关系式

以平面二维、不可压、平行流动状态为例，并只考虑二维扰动情形。用U 、V 、W 、P 表示流动原来状态的流速、压强，受扰后的新状态相应的量由小写字母u 、v 、w 、p 表示，而扰动量（差异量）均带有撇“'”，则

p P p w w W w v V v u U u y x P P W V y U U '

+==''+='+='+=====,

)0(,,

)

,(,0,

)( 。

扰动量满足的线性方程为

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎪⎬⎫=∂'

∂+∂'∂'∇=∂'

∂+∂'∂+∂'∂'∇=∂'

∂+'+∂'∂+∂'∂01122y v x u v y p x v U t v u x p dy dU v x u U t u νρνρ （5.3） 为减少分析变量，引入扰动流函数),,(t y x ψ：

y u ∂∂='ψ， x v ∂∂-='ψ 。

显然，流函数适合分解成关于x 、t 的Fourier 级数。其中任一项可以写为，

)](exp[)(),,(t x i y t y x ωαϕψ-⋅= （5.4） 这是行波形式，常称为扰动波。（5.4）式中 ϕ(y ) 是复值函数，包含波幅和初相位；α、ω一般可为复数，分别是复波数和复频率，

i

r i

r i i ωωωααα+=+= 。

它们的实部，就是波的波数和频率，虚部为增长因子。

如果设0=i ω，即复频率 ω 为实数，稳定性分析称为空间模式。此时，如有复波数的虚部0

如果设0=i α，即复波数 α 为实数，稳定性分析称为时间模式。此时，如有复频率的虚部0>i ω，则扰动量将随时间 t 而增长，流动时间不稳定。

线性稳定性分析中，在判别稳定与否时，通常采用时间模式。关于更一般的时空模式在本节最后再作介绍。

下面以时间模式为例，导出线性稳定性分析中有名O-S 方程和所谓的色散关系。 引入复波速（相速度）（注意α = αr 为实数）

i r i r iC C i C +=⋅+==αωαωαω （5.5）

则扰动波（5.4）化为，

)](exp[)exp()(),,(t C x i t C y t y x r i -⋅⋅=ααϕψ （5.6）

显然，0=i C 对应中性稳定；0>i C ，不稳定。

选定特征尺寸L 、特征流速V 0 ，引入如下无量纲化：

0V U U =，0V C C =，

L αα=，L y y =，