(完整版)相似三角形基础训练
相似三角形基础模型练习题(带答案))
相似三角形基础模型-题集1.如图，矩形内接于，且边落在上．若，，，那么的长为．【答案】【解析】如图，设与的交点为，∵四边形是矩形，∴，∴，∵，∴，设，则，，∴，解得：，则．【标注】【知识点】三角形内接四边形问题2.如图，在中，点、分别在边、上，且，则的值为四边形（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】，，，，故选．【标注】【知识点】相似反A字型四边形A. B. C. D.3.如图，已知、、都与垂直，垂足分别是、、，且，，那么的长是（）．【答案】C【解析】∵、、都与垂直，∴，∴，，∴，，∴．∵，，∴，∴．故选．【标注】【知识点】相似A字型A. B.C. D.4.已知是斜边上的高，则下列各式中不正确的是（）．【答案】D【解析】由题可知：，所以，所以选项错误．【标注】【知识点】射影定理（双垂直）5.如图，在中，，平分，且，，求的值．【答案】．【解析】∵在中，，平分，∴，∴，∴，∵是公共角，∴，∴，∴，∴．【标注】【知识点】相似三角形的性质与判定综合（1）（2）6.如图，四边形的对角线，交于点，点是上一点，且．求证：．若，，，求的长．【答案】（1）（2）证明见解析．．【解析】（1）（2）∵，∴，即．又∵，，∴．即．∴．∵，∴．又∵，∴，∴，∴．【标注】【知识点】相似三角形的性质与判定综合（1）7.已知，是的平分线，将一个直角的直角顶点在射线上移动，点不与点重合．（2）（3）如图，当直角的两边分别与射线、交于点、时，请判断与的数量关系，并证明你的结论．如图，在()的条件下，设与的交点为点，且，求的值．若直角的一边与射线交于点，另一边与直线、直线分别交于点、，且以、、为顶点的三角形与相似，请画出示意图；当时，直接写出的长．【答案】（1）（2）（3）与的数量关系是相等，证明见解析．．若与射线相交，则．若与直线的交点与点在点的两侧，则．【解析】（1）过点作，，垂足分别为点、．∵，易得．∴，而，∴．∵是的平分线，∴，又∵，∴≌．∴．（2）（3）∵，，∴，∵，∴．又∵，∴．∴．∵，∴．如图所示，若与射线相交，则．如图所示，若与直线的交点与点在点的两侧，则．图图【标注】【知识点】相似三角形的性质与判定综合。
(完整版)相似三角形基础练习
相似三角形基础练习班级：___________姓名：__________分层班：__________一、单选题1．若2x=3y ，则x y的值为（ ） A ．23 B ．32 C ．53 D ．252．小正方形的边长为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）A ．B ．C ．D ． 3．把mn pq =(m ，n ，p ，q 都不等于0)写成比例式，错误的是（ ） A.m q p n = B.m p q n = C.m p n q = D.p n m q = 4．在如图所示的图形中，形状相同的是（ ）A.图①与图②B.图②与图③C.图②与图④D.图①与图④ 5．如图，已知△ADE ∽△ACB ，若AB=10，AC=8，AD=4，则AE 的长是（ ） A ．4 B ．5 C ．20 D ．3.2第5题 第6题 第7题 第8题 6．如图，在正方形ABCD 中，G 为CD 的中点，连结AG 并延长，交BC 边的延长线于点E ，对角线BD 交AG 于点F ，已知FG =2，则线段AE 的长是( )A.10B.8C.16D.12 7．如图矩形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，BE 交对角线AC 于点F ，若△AFE 的面积为2，则△BCF 的面积等于（ ）A ．8B ．4C ．2D ．1 8．如图，DE ∥BC ，2AD DB=，那么△ADE 与△ABC 的相似比为 ( ) A ．12 B ．23 C ．14 D ．2二、填空题9．若234a b c ==，则32a b c a ++=______. 10．已知x y ＝32，则+x x y ＝_____． 11．如图，AB ∥DE ，若AC=4，BC=2，DC=1，则EC=_____．12．如图，D ，E 分别交ABC 的边AB 于D ，AC 于E ，且AE AC AD AB ⋅=⋅，则ADE 与ABC 的关系是________．第12题 第13题 第14题 第15题13．如图，已知////AB CD EF ，:2:5AD AF =，15BE =，那么CE 的长等于______. 14．如图，在△ABC 中，已知DE ∥BC ，AD=2，BD=3，AE=1，则EC=_________． 15．如图，已知AB ∥CD ，AC ，BD 交于点O ，若AB ：CD ＝1：2，AO ＝3，则OC ＝_______． 16．如图,在平行四边形ABCD 中,E,F 分别是AD,CD 边上的点,连接BE,AF,它们相交于点G,延长BE 交CD 的延长线于点H ．则图中相似三角形共有________对.第16题 第17题 第18题17．如图，在平行四边形ABCD ，点E 在BC 上，AE 、BD 相交于点F ，若BE=3，EC=5，BF=2.7，则FD=___________．18．如图，∠ACB ＝90°，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，已知AB ＝25cm ，BC ＝15cm ，则BD ＝_____.19. 如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 、DC 上，△ABE ∽△DEF ，AB=6，AE=9，DE=2，则EF 的长是_________20．如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，点E 是CD 的中点，BE 与AC 交于点F ，若AB ＝4，则AF 的长为_____．21. 如图，在正方形网格上画有四边形ABCD ，则BDC ∠的度数为______.22．如图，在▱ABCD 中，点E 在BC 上，AE 、BD 相交于点F ，若BE ：EC ＝1：2，则△BEF 与四边形FECD 的面积比等于_____．23．如图，△ABC 中，点D 、E 分別在AB 、AC 上，DE ∥BC ，AD ：DB =1：2，则△ADE 与△ABC 的面积的比为__________．24．如图，在ABCD 中，AM=13AD ，BD 与MC 相交于点O ，则S △MOD ∶S △BOC =_____．25．如图，在ABC 中，//DE BC ，13DE BC =，则AD DB=______．第30题 第31题 第32题26．在 △ABC 中，DE ∥BC , ∠ADE=∠EFC,AD ∶BD=5∶3，CF=6，则DE 的长为__________．27．如图，AB ∥GH ∥CD ，点H 在BC 上，AC 与BD 交于点G ，AB=2，CD=3，则GH 的长为________．三、解答题28．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，垂足分别为D ，E ，AD 与BE 相交于点F ． 求证：△ACD ∽△BFD.29．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，点E 在AB 上，∠DEC ＝90°． （1）求证：△ADE ∽△BEC ．（2）若AD ＝1，BC ＝3，AE ＝2，求AB 的长．30．如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，∠DBC=∠A ．（1）求证：△ACD ∽△ABC ；（2）如果6， AC=3，求CD 的长．31．已知，如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边上的中线，DE ⊥AB 交BC 于点F ，交AC 的延长线于点E ．求证：（1）△ADE ∽△FDB ；（2）CD 2=DE •DF ．32．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 的中点，点P 在BC 的延长线上，AP 与DE 、CD 分别交于点G 、F.（1）求证：AD DF CP CF=. （2）若DF 2CF =，6AB =，求DG 的长.。
(完整版)专题：相似三角形的几种基本模型及练习
专题：相似三角形的几种基本模型(1）如图：DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC 称为“平截型"的相似三角形。
“A ”字型 “X ”（或8）字型 “A ” 字型（2)如图：其中∠1=∠2,则△ADE ∽△ABC 称为“斜截型”的相似三角形。
ABCD E12AABBCC DD EE12412（3） “母子" （双垂直)型 射影定理:由_____________ ，得____________ __,即______________ _； 由_____________ ，得____________ __，即______________ _； 由_____________ ，得____________ __，即______________ _。
“母子” （双垂直）型 “旋转型”(4)如图：∠1=∠2,∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。
（5）一线“三等角”型“K ” 字（三垂直）型(6）“半角”型图1 ：△ABC 是等腰直角三角形,∠MAN=12∠BAC ，结论：△A BN ∽△MAN ∽△MCA ； ABEADCAB CDEAACCDEE B EA CD12A B C D 图2图1旋转N M60°120°E DCA 45°EDC B A图2 ：△ADE 是等边三角形， ∠DAE=12∠BAC ，结论：△A BD ∽△CAE ∽△CBA; 应用1．如图3，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于点E ，若AC ＝8，BC ＝6，DE ＝3，则AD 的长为 （ ) A ．3B ．4C ．5D ．62．如图4，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 平分∠ABC ，DE ∥BC ，那么在下列三角形中，与△ABC 相似的三角形是 （ ） A ．△DBE B ．△AED 和△BDC C ．△ABDD ．不存在图3 图4 图53．如图5, □ABCD 中, G 是AB 延长线上一点， DG 交AC 于E, 交BC 于F, 则图中所有相似三角形有（ )对.A.4 对 B 。
(完整版)相似三角形的判定基础训练及答案
、选择题1.下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有（）（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似.A. 1个B . 2个C . 3个D . 4个2 .下列命题中正确的有（）①有一个角等于80°的两个等腰三角形相似；②两边对应成比例的两个等腰三角形相似；③有一个角对应相等的两个等腰三角形相似；④底边对应相等的两个等腰三角形相似.A. 0个 B . 1个C . 2个D . 3个3.如图，△ ABC中，AE交BC于点D,/ C=Z E, AD=4, BC=8 BD DC=5 3，贝U DE的长等于（）fl 20B15 c16D17A. C34344 .如图，给出下列条件：① B ACD :② ADC其中单独能够判定△ ABC ACD的个数为（）A、1 B 、2 C 、3 D 、4P为AB上一点，连结CP,不能判断厶ABS A ACP的是(AC AB./ APC=/ ACB C . = -AP AC相似三角形的判定基础训练ABC相似的是（）5.如图小正方形的边长均为I，则下列图中的三角形（阴影部分）与厶6 .下列四个选项中的三角形，与图中的三角形相似的是（）LABC中,在厶r■LrD7 .如图, D为AC边上一点，/ DBC=/ A, BC= .6 , AC= 3，贝U CD的长为（ACB :③ AC AB:④ AC2 AD AB . CD BC)AC = CpAB BCB2ABCA. / ACF^Z B B9 .如图，在△ ABC中,10 CDE// BC,若AB.11 D . 12AD 1—=-,DE= 4,贝U BC的值为(310.如图，在△A . 9 B那么下列条件中，不能判断△ADABABC中,DE与BC不平行,A.Z ADE N C .上AED玄B AD AEAC ABDE DBC)正方形都相似;11.下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有((1)菱形都相似；(2)等腰直角三角形都相似；A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个12 .如图，已知Z 仁Z 2,那么添加下列一个条件后，仍无法判定△A AB AC DA . = BAB BC(3) (4)矩形都相似.ABC ADE的是(C . Z B=ZD D .Z C=Z AEDAD DEA.些ADACBAE那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABADABC^A ADE的是(14 .如图, 在厶ABC中, DE// BC,BCC .DE.AD 1AEDB . 10C 11ABD3.12DE= 4,贝UBC的值为(E分别在边AB , AC 上，DE // BC ,AE=6 ,则 EC 的长是（ ）A.4.5 B.8 C.10.5 D.1416.如图，在口 ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线 BD 于点F ,则EF ： FC 等于（） A . 3 : 2 B . 3 : 1 C . 1 : 1 D . 1 : 217.如图，为了测量一池塘的宽 DE 在岸边找一点 C,测得CD=30m 在DC 的延长线上找一点 A ,测得AC=5m 过点A 作AB// DE,交EC 的延长线于B ,测得AB=6m 则池塘的宽 DE %（ ）18 •如图，A, B 两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量 A, B 间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达 A , B 的点C ,找到AC BC 的中点D, E ,并且测出DE 的长为10m 贝U A , B 间的距离为（）.A. 15m B . 25m C . 30m D . 20m19.如图，在 Rt △ ABC 中，/ ACB=90 , CD!AB 于点 D,如果 AC=3, AB=6，那么 AD 的值为（ ）A . 25mB .30m20. 如图，下列条件不能判定△ADB^A ABC的是（）5 .如_________ 使得△ ADE^AACBA . / ABD=/ ACB B ./ ADB 玄 ABC C. AE^ADPACD . AB BC 21.如图，在矩形 ABCD中, E 、F 分别是CD BC 上的点，若/ AEF=90°,则一定有 (△ ECF^A AEF C. A ADE^A ECF D. A AEF^A ABFABC 和△ EPD 的顶点均在格点上，要使△ AB3A EPD 则点P 所在的格点为（ ）D. P i 23 .如图，P 是Rt △ ABC 的斜边BC 上异于B , C 的一点，过 P 点作直线截△ ABC 使截得的三角形与△ ABCt 目24 .如图，P 是Rt △ ABC 斜边AB 上任意一点（A , B 两点除外），过P 点作一直线，使截得的三角形与Rt A ABC 相似，这样的直线可以作（）A 1条B . 2条C . 3条 D . 4条二、填空题1.如图，在△ ABC 中, DE// BC, EC = 2AE, BD= 6,贝U AD= _________ .A. △ ADEEV A AEFB.)。
相似三角形练习题及答案
相似三角形练习题及答案相似三角形是几何学中的一个重要概念，它指的是两个三角形的对应角相等，且对应边成比例。
下面是一些相似三角形的练习题及答案，供同学们练习和参考。
练习题1：已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB/DE = 2/3，求BC/EF的比值。
答案1：由于三角形ABC与三角形DEF相似，根据相似三角形的性质，对应边的比值相等。
因此，BC/EF = AB/DE = 2/3。
练习题2：在三角形ABC中，点D在边BC上，且AD是三角形ABC的高。
已知AD = 6cm，AB = 8cm，AC = 10cm，求BD和DC的比值。
答案2：由于AD是三角形ABC的高，根据相似三角形的性质，三角形ABD与三角形ACD相似。
设BD = x，DC = y，则有：\[ \frac{AB}{BD} = \frac{AD}{DC} \]\[ \frac{8}{x} = \frac{6}{y} \]由于三角形ABD和三角形ACD共享边AD，根据相似三角形的面积比等于边长的平方比，我们有：\[ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \]\[ \frac{8}{10} = \frac{x}{y} \]解得 x = 4.8cm，y = 6cm，所以BD:DC = 4.8:6 = 4:5。
练习题3：已知三角形PQR与三角形XYZ相似，且∠P = ∠X，∠Q = ∠Y，求∠R与∠Z的比值。
答案3：由于三角形PQR与三角形XYZ相似，且对应角相等，根据三角形内角和定理，我们知道∠P + ∠Q + ∠R = 180°，∠X + ∠Y + ∠Z = 180°。
由于∠P = ∠X，∠Q = ∠Y，我们可以得出∠R = ∠Z，所以∠R:∠Z = 1:1。
练习题4：在三角形ABC中，点E在边AB上，点F在边AC上，且EF平行于BC。
已知AE:AB = 1:2，求AF:AC的比值。
答案4：由于EF平行于BC，根据平行线的性质，三角形AEF与三角形ABC相似。
相似三角形基础练习题(附解题答案)
相似三角形基础练习题一．选择题（共27小题）1．如图，在△ABC中，DE∥BC，若=，则=（）A．B．C．D．2．如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若=，则=（）A．B．C．D．13．如图，在△ABC中，点D在AB上，BD=2AD，DE∥BC交AC于E，则下列结论不正确的是（）A．BC=3DE B．=C．△ADE∽△ABC D．S△ADE=S△ABC4．如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB=90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为（）A．B．C．D．5．如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（）A．1：16 B．1：4 C．1：6 D．1：26．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为（）A．B．C．D．7．若△ABC∽△DEF，相似比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：9 B．1：3 C．1：2 D．1：8．已知△ABC∽△DEF，且相似比为2：3，则△ABC与△DEF的对应高之比为（）A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：49．如图，在直角坐标系xOy中，A（﹣4，0），B（0，2），连结AB并延长到C，连结CO，若△COB∽△CAO，则点C的坐标为（）A．（1，）B．（，）C．（，2）D．（，2）10．如图，M是Rt△ABC 的斜边BC上一点（M不与B、C重合），过点M作直线截△ABC，所得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有（）A．0条B．2条C．3条D．无数条11．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值（）A．只有1个B．可以有2个C．可以有3个D．有无数个12．在四边形ABCD中，∠B=90°，AC=4，AB∥CD，DH垂直平分AC，点H为垂足．设AB=x，AD=y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（）A．B．C．D．13．如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．14．如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：①=；②=；③=；④=其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个15．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB=10，BC=16，则线段EF的长为（）A．2 B．3 C．4 D．516．如图，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当DM为（）时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．A．B．C．或D．或17．阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下2.7米的亮区DE（如图所示），已知亮区到窗口下的墙角的距离EC=8.7米，窗口高AB=1.8米，则窗口底边离地面的高BC为（）A．4米B．3.8米C．3.6米D．3.4米18．已知，如图所示的一张三角形纸片ABC，边AB的长为20cm，AB边上的高为25cm，在三角形纸片ABC中从下往上依次裁剪去宽为4cm的矩形纸条，若剪得的其中一张纸条是正方形，那么这张正方形纸条是（）A．第4张B．第5张C．第6张D．第7张19．如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为 1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是（）A．3.25m B．4.25m C．4.45m D．4.75m20．为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子水平放置在离树底（B）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=3.2米，观察者目高CD=1.6米，则树（AB ）的高度约为（）A．4.2米B．4.8米C．6.4米D．16.8米21．如图，将一张三角形纸片沿虚线剪成甲、乙、丙三块，其中甲、丙为梯形，乙为三角形．根据图中标示的边长数据，比较甲、乙、丙的面积大小，下列判断正确的是（）A．乙＞丙＞甲B．丙＞乙＞甲C．甲＞丙＞乙D．无法判断22．下列说法：①凡正方形都相似；②凡等腰三角形都相似；③凡等腰直角三角形都相似；④有一个底角相等的两个等腰三角形相似；⑤两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81中，正确的个数有（）个．A．1 B．2 C．3 D．423．如图，已知矩形ABCD中，AB=2，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点处，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）A．B．+1 C．4 D．224．如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（）A．a= b B．a=2b C．a=2 b D．a=4b25．彼此相似的矩形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3，…，按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…，和点C1，C2，C3，…，分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B1、B2的坐标分别为（1，2），（3，4），则Bn的坐标是（）A．（2n﹣1，2n）B．（2n﹣，2n）C．（2n﹣1﹣，2n﹣1）D．（2n﹣1﹣1，2n﹣1）26．如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：927．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（）A．（3，2）B．（3，1）C．（2，2）D．（4，2）二．解答题（共3小题）28．如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA 交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．（1）求证：∠FBC=∠FCB；（2）已知FA•FD=12，若AB是△ABC外接圆的直径，FA=2，求CD的长．29．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．（1）求证：△ADF∽△ACG；（2）若，求的值．30．尤秀同学遇到了这样一个问题：如图1所示，已知AF，BE是△ABC的中线，且AF⊥BE，垂足为P，设BC=a，AC=b，AB=c．求证：a2+b2=5c2该同学仔细分析后，得到如下解题思路：先连接EF，利用EF为△ABC的中位线得到△EPF∽△BPA，故，设PF=m，PE=n，用m，n把PA，PB分别表示出来，再在Rt△APE，Rt△BPF中利用勾股定理计算，消去m，n即可得证（1）请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程．（2）利用题中的结论，解答下列问题：在边长为3的菱形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，E，F分别为线段AO，DO的中点，连接BE，CF并延长交于点M，BM，CM分别交AD于点G，H，如图2所示，求MG2+MH2的值．相似三角形基础练习题参考答案与试题解析一．选择题（共27小题）1．（2016•兰州）如图，在△ABC中，DE∥BC，若=，则=（）A．B．C．D．故选C．2．（2016•杭州）如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n 交直线a，b，c于点D，E，F，若=，则=（）A．B．C．D．1故选B．3．（2016•黔西南州）如图，在△ABC中，点D在AB上，BD=2AD，DE∥BC交AC于E ，则下列结论不正确的是（）A．BC=3DE B．=C．△ADE∽△ABC D．S△ADE=S△ABC故选：D．4．（2016•淄博）如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB=90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，作BF⊥l3，AE⊥l3，∵∠ACB=90°，∴∠BCF+∠ACE=90°，∵∠BCF+∠CFB=90°，∴∠ACE=∠CBF，在△ACE和△CBF中，∴△ACE≌△CBF，∴CE=BF=3，CF=AE=4，∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，∴AG=1，BG=EF=CF+CE=7∴AB==5，∵l2∥l3，∴=∴DG=CE=，∴BD=BG﹣DG=7﹣=，∴=．故选A．5．（2016•临夏州）如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（）A．1：16 B．1：4 C．1：6 D．1：2故选：D．6．（2016•兰州）已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为（）A．B．C．D．故选：A．7．（2016•如皋市校级二模）若△ABC∽△DEF，相似比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：9 B．1：3 C．1：2 D．1：故选：A．8．（2016•重庆模拟）已知△ABC∽△DEF，且相似比为2：3，则△ABC与△DEF的对应高之比为（）A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为2：3，∴△ABC与△DEF的对应高之比为2：3，故选：A．9．（2016•嘉善县模拟）如图，在直角坐标系xOy中，A（﹣4，0），B（0，2），连结AB并延长到C，连结CO，若△COB∽△CAO，则点C的坐标为（）A．（1，）B．（，）C．（，2）D．（，2）【解答】解：∵A（﹣4，0），B（0，2），∴OA=4，OB=2，∵△COB∽△CAO，∴====，∴CO=2CB，AC=2CO，∴AC=4CB，∴=，过点C作CD⊥y轴于点D，∵AO⊥y轴，∴AO∥CD，∴△AOB∽△CDB，∴===，∴CD=AO=，BD=OB=，∴OD=OB+BD=2+=，∴点C的坐标为（，）．故选B．10．（2016春•房山区期末）如图，M是Rt△ABC 的斜边BC上一点（M不与B、C重合），过点M作直线截△ABC，所得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有（）A．0条B．2条C．3条D．无数条【解答】解：∵截得的三角形与△ABC相似，∴过点M作AB的垂线，或作AC的垂线，或作BC的垂线，所得三角形满足题意．∴过点M作直线l共有三条，故选：C．11．（2015•武汉校级自主招生）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值（）A．只有1个B．可以有2个C．可以有3个D．有无数个【解答】解：∵一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3和4及x，∴x可能是斜边或4是斜边，∴x=5或．∴x的值可以有2个．故选：B．12．（2016•金华）在四边形ABCD中，∠B=90°，AC=4，AB∥CD，DH垂直平分AC，点H为垂足．设AB=x，AD=y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（）A．B．C．D．【解答】解：∵DH垂直平分AC，∴DA=DC，AH=HC=2，∴∠DAC=∠DCH，∵CD∥AB，∴∠DCA=∠BAC，∴∠DAN=∠BAC，∵∠DHA=∠B=90°，∴△DAH∽△CAB，∴=，∴=，∴y=，∵AB＜AC，∴x＜4，∴图象是D．故选D．13．（2016•河北）如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．故选C．14．（2016•咸宁）如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：①=；②=；③=；④=其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵BE、CD是△ABC的中线，即D、E是AB和AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=BC，即=，DE∥BC，∴△DOE∽△COB，∴=（）2=（）2=，===，故①正确，②错误，③正确；设△ABC的BC边上的高AF，则S△ABC=BC•AF，S△ACD=S△ABC=BC•AF，∵△ODE中，DE=BC，DE边上的高是×AF=AF，∴S△ODE=×BC×AF=BC•AF，∴==，故④错误．故正确的是①③．故选B．15．（2016•达州）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB=10，BC=16，则线段EF的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵AF⊥BF，∴∠AFB=90°，∵AB=10，D为AB中点，∴DF=AB=AD=BD=5，∴∠ABF=∠BFD，又∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，∴∠CBF=∠DFB，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=，即，解得：DE=8，∴EF=DE﹣DF=3，故选：B．16．（2016•富顺县校级一模）如图，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN 的两端点在CD、AD上滑动，当DM为（）时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．A．B．C．或D．或【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∵BE=CE，∴AB=2BE，又∵△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，∴①DM与AB是对应边时，DM=2DN∴DM2+DN2=MN2=1∴DM2+DM2=1，解得DM=；②DM与BE是对应边时，DM=DN，∴DM2+DN2=MN2=1，即DM2+4DM2=1，解得DM=．∴DM为或时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．故选C．17．（2016•河西区模拟）阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下2.7米的亮区DE（如图所示），已知亮区到窗口下的墙角的距离EC=8.7米，窗口高AB=1.8米，则窗口底边离地面的高BC为（）A．4米B．3.8米C．3.6米D．3.4米【解答】解：连接AE、BD，∵光是沿直线传播的，∴AE∥BD，∴△BCD∽△ACE，∴=即=解得：BC=4．故选A．18．（2016春•威海期末）已知，如图所示的一张三角形纸片ABC，边AB的长为20cm，AB边上的高为25cm，在三角形纸片ABC中从下往上依次裁剪去宽为4cm的矩形纸条，若剪得的其中一张纸条是正方形，那么这张正方形纸条是（）A．第4张B．第5张C．第6张D．第7张【解答】解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是3，所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x，则=，解得x=5，所以另一段长为25﹣5=20，因为20÷4=5，所以是第5张．故选：B．19．（2015•聊城模拟）如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是（）A．3.25m B．4.25m C．4.45m D．4.75m【解答】解：如图，设BD是BC在地面的影子，树高为x，根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得而CB=1.2，∴BD=0.96，∴树在地面的实际影子长是0.96+2.6=3.56，再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得，∴x=4.45，∴树高是4.45m．故选C．20．（2015•兰州二模）为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子水平放置在离树底（B）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=3.2米，观察者目高CD=1.6米，则树（AB）的高度约为（）A．4.2米B．4.8米C．6.4米D．16.8米【解答】解：过点E作EF⊥BD于点E，则∠1=∠2，∵∠DEF=∠BEF=90°，∴∠DEC=∠AEB，∵CD⊥BD，AB⊥BD，∴∠CDE=∠ABE=90°，∴△CDE∽△ABE，∴=，∵DE=3.2米，CD=1.6米，EB=8.4米，∴=，解得AB=4.2（米）．故选A．21．（2015•海曙区模拟）如图，将一张三角形纸片沿虚线剪成甲、乙、丙三块，其中甲、丙为梯形，乙为三角形．根据图中标示的边长数据，比较甲、乙、丙的面积大小，下列判断正确的是（）A．乙＞丙＞甲B．丙＞乙＞甲C．甲＞丙＞乙D．无法判断【解答】解：如图：过点B作BH⊥GF于点H，则S乙=AB•AC，∵AC∥DE，∴△ABC∽△DBE，∴==，∵BC=7，CE=3，∴DE=AC，DB=AB，∴AD=BD﹣BA=AB，∴S丙=（AC+DE）•AD=AB•AC，∵AD∥GF，BH⊥GF，AC⊥AB，∴BH∥AC，∴四边形BDFH是矩形，∴BH=DF，FH=BD=AB，∴△GBH∽△BCA，∴==，∵GB=2，BC=7，∴GH=AB，BH AC，∴DF=AC，GF=GH+FH=AB，∴S甲=（BD+GF）•DF=AB•AC，∴甲＜乙＜丙．故选：B．22．（2016秋•陕西校级月考）下列说法：①凡正方形都相似；②凡等腰三角形都相似；③凡等腰直角三角形都相似；④有一个底角相等的两个等腰三角形相似；⑤两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81中，正确的个数有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①正方形四个角都是直角，四条边都相等，所以对应成比例，所以都相似，正确；②等腰三角形的两底角相等，而与另一个等腰三角形的两个底角不一定相等，所以不一定相似，本选项错误；③等腰直角三角形都有一个直角，且另两角都是45°的锐角，所以都相似，正确；④有一个底角相等的两个等腰三角形相似，正确；⑤两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比应为2：3，本选项错误．所以①③④三项正确．故选C．23．（2016春•重庆校级月考）如图，已知矩形ABCD中，AB=2，在BC上取一点E，沿AE 将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点处，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）A．B．+1 C．4 D．2【解答】解：∵沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，∴四边形ABEF是正方形，∵AB=2，设AD=x，则FD=x﹣2，FE=2，∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴，，解得x1=1+，x2=1﹣（负值舍去），经检验x1=1+是原方程的解．故选B24．（2015秋•宁波期末）如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（）A．a= b B．a=2b C．a=2 b D．a=4b【解答】解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为a，∵小长方形与原长方形相似，∴=，∴a=2b．故选B．25．（2014•杭州模拟）彼此相似的矩形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3，…，按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…，和点C1，C2，C3，…，分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B1、B2的坐标分别为（1，2），（3，4），则Bn的坐标是（）A．（2n﹣1，2n）B．（2n﹣，2n）C．（2n﹣1﹣，2n﹣1）D．（2n﹣1﹣1，2n﹣1）【解答】解：∵B1（1，2），∴相似矩形的长是宽的2倍，∵点B1、B2的坐标分别为（1，2），（3，4），∴A1（0，2），A2（1，4），∵点A1，A2在直线y=kx+b上，∴，解得，∴y=2x+2，∵点A3在直线y=2x+2上，∴y=2×3+2=8，∴点A3的坐标为（3，8），∴点B3的横坐标为3+×8=7，∴点B3（7，8），…，B n的坐标为（2n﹣1，2n）．故选A．26．（2016•十堰）如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：9【解答】解：∵OB=3OB′，∴，∵以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，∴△A′B′C′∽△ABC，∴=．∴=，故选D27．（2016•烟台）如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（）A．（3，2）B．（3，1）C．（2，2）D．（4，2）【解答】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，∴=，∵BG=6，∴AD=BC=2，∵AD∥BG，∴△OAD∽△OBG，∴=，∴=，解得：OA=1，∴OB=3，∴C点坐标为：（3，2），故选：A．二．解答题（共3小题）28．（2016•呼和浩特）如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．（1）求证：∠FBC=∠FCB；（2）已知FA•FD=12，若AB是△ABC外接圆的直径，FA=2，求CD的长．【解答】（1）证明：∵四边形AFBC内接于圆，∴∠FBC+∠FAC=180°，∵∠CAD+∠FAC=180°，∴∠FBC=∠CAD，∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，∴∠EAD=∠CAD，∵∠EAD=∠FAB，∴∠FAB=∠CAD，又∵∠FAB=∠FCB，∴∠FBC=∠FCB；（2）解：由（1）得：∠FBC=∠FCB，又∵∠FCB=∠FAB，∴∠FAB=∠FBC，∵∠BFA=∠BFD，∴△AFB∽△BFD，∴，∴BF2=FA•FD=12，∴BF=2，∵FA=2，∴FD=6，AD=4，∵AB为圆的直径，∴∠BFA=∠BCA=90°，∴tan∠FBA===，∴∠FBA=30°，又∵∠FDB=∠FBA=30°，∴CD=AD•cos30°=4×=2．29．（2016•杭州）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．（1）求证：△ADF∽△ACG；（2）若，求的值．【解答】（1）证明：∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，∴∠ADF=∠C，∵=，∴△ADF∽△ACG．（2）解：∵△ADF∽△ACG，∴=，又∵=，∴=，∴=1．30．（2016•邵阳）尤秀同学遇到了这样一个问题：如图1所示，已知AF，BE是△ABC的中线，且AF⊥BE，垂足为P，设BC=a，AC=b，AB=c．求证：a2+b2=5c2该同学仔细分析后，得到如下解题思路：先连接EF，利用EF为△ABC的中位线得到△EPF∽△BPA，故，设PF=m，PE=n，用m，n把PA，PB分别表示出来，再在Rt△APE，Rt△BPF中利用勾股定理计算，消去m，n即可得证（1）请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程．（2）利用题中的结论，解答下列问题：在边长为3的菱形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，E，F分别为线段AO，DO的中点，连接BE，CF并延长交于点M，BM，CM分别交AD于点G，H，如图2所示，求MG2+MH2的值．【解答】解：（1）设PF=m，PE=n，连结EF，如图1，∵AF，BE是△ABC的中线，∴EF为△ABC的中位线，AE=b，BF=a，∴EF∥AB，EF=c，∴△EFP∽△BPA，∴，即==，∴PB=2n，PA=2m，在Rt△AEP中，∵PE2+PA2=AE2，∴n2+4m2=b2①，在Rt△AEP中，∵PF2+PB2=BF2，∴m2+4n2=a2②，①+②得5（n2+m2）=（a2+b2），在Rt△EFP中，∵PE2+PF2=EF2，∴n2+m2=EF2=c2，∴5•c2=（a2+b2），∴a2+b2=5c2；（2）∵四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC，∵E，F分别为线段AO，DO的中点，由（1）的结论得MB2+MC2=5BC2=5×32=45，∵AG∥BC，∴△AEG∽△CEB，∴==，∴AG=1，同理可得DH=1，∴GH=1，∴GH∥BC，∴===，∴MB=3GM，MC=3MH，∴9MG2+9MH2=45，∴MG2+MH2=5．。
(完整版)相似三角形中的辅助线专题训练【2024版】
可编辑修改精选全文完整版相似三角形中的辅助线专题训练一、基本图形：二、基本方法：证相似，实不难，A字字仔细看；如没有，辅助线，各种情况常相见。
三、实例演习：（一）遇燕尾，作平行，构造字一般行。
1、BE＝AD，求证：EF·BC＝AC·DF（二）遇梯形，延长腰，构成A字瞧一瞧。
2、梯形ABCD中，AD∥BC，CH平分∠BCD，BH＝3AH，四边形AHCD的面积为21，求△HBC的面积。
（三）遇平分，作等腰，三线合一要记牢。
3、AC⊥BC，AE⊥DE，2∠ADE＝∠B，AC：BC＝3：1，求AE：DG（四）直角多，垂线作，再难题目你能做。
4、平行四边形ABCD中，CE⊥AE，CF⊥AF，求证：AB·AE＋AD·AF＝AC2HDCBAEDCBAGEDCBAA BCDEF四、巩固练习：（做题目，看情况，灵活运用最恰当。
） 1、BD ：DC ＝2：1，E 为AD 中点，求①BE ：EF ②AF ：FC2、平行四边形ABCD 中，E 为AB 中点，AF ：FD ＝1：2，求AG ：GC3、D 为BC 中点，求证：AF ：BF ＝AE ：EC4、AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，FG ⊥AB ，E 为CD 中点，求证：FG 2＝CF ·BF 5、AB ＝AC ，AD 为中线，CF ∥AB ，求证：BP 2＝PE ·PF6、AD 平分∠BAC ，EF 垂直平分AD ，求证：ED 2＝EB ·EC7、矩形ABCD 中，E 为AD 中点，EF ⊥EC ，求证：△AEF ∽△ECF8、AB ＝AC ，AB ⊥BC ，AD 为中线，BE ⊥AD ，求证：①AE ＝2EC ②∠AEB ＝∠CED 9、∠BAC ＝90°，AE ⊥BC ，BD ＝DC ＝EC ＝1，求AC 的长10、AB ＝AC ，BD 为高，求证：BC 2＝2AC ·CDFE DC BA G F E DC B A A BC DE FA B C D E F G PA BC D E F AB CD EF AB CD E F P AB C D E PAB CDEA BCDPA B CD E。
基础知识专项练习题(相似三角形)
基础知识专项练习题 （相似三角形）一．选择题1．如果两个相似三角形的面积比是4：9，则它们对应边上的中线之比为（ ）A ．4：9B ．9：4C ．3：2D ．2：32．如图1，点D 、E 分别在△ABC 的两边BA 、CA 的延长线上，下列条件能判定ED ∥BC的是（ ）A ．BCDE AB AD = B ．AB AE AC AD = C ．AD •AB ＝DE •BC D ．AD •AC ＝AB •AE3．如图2，在△ABC 中，高BC ，CE 相交于点F ，图中与△BEF 相似的三角形共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图3，小芳在地面上放置一个平面镜E 来测量铁塔AB 的高度，镜子与铁塔的距离BE＝20米，镜子与小芳的距离ED ＝2米时，小芳刚好从镜子中看到铁塔顶端A ，已知小芳的眼睛距地面的高度CD ＝1.5米，铁塔AB 的高度为（ ）（根据光的反射原理，∠1＝∠2）A ．18mB ．15mC ．20mD ．16m二．填空题5．如果将一个三角形保持形状不变但周长扩大为原三角形周长的9倍，那么扩大后的三角形的面积为原三角形面积的 倍．6．同一时刻，高为12米的学校旗杆的影长为9米，一座铁塔的影长为21米，那么此铁塔的高是 米．7．如图4，在△ABC 和△APQ 中，∠P AB ＝∠QAC ，若再增加一个条件就能使△APQ ∽△ABC ，则这个条件可以是 ．8．如图5，△ABC 中，点D 在AC 边上．若△ABC ∽△ADB ，AB ＝3，AC ＝4，则AD 的长为 ．图1 图2 图3三．解答题9．如图6，在正方形ABCD 中，E 为边AD 的中点，点F 在边CD 上，且∠BEF ＝90°，延长EF 交BC 的延长线于点G ．（1）求证：△ABE ∽△EGB ．（2）若AB ＝6，求CG 的长．10．已知：如图7，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，∠ABE ＝∠C ．（1）求证：2BE DE BC =⋅；（2）当BE 平分∠ABC 时，求证：BD AE BE AB =（命题者：95中 李亚庆 审题者：李彦汐）图4图5 图6 图7。
(完整版)相似三角形基础训练
《相似形》基础测试一、选择题：1．已知5y －4x ＝0，那么（x ＋y ）︰（x －y ）的值等于………………………………（ ）（A ）91 （B ）－9 （C ）9 （D ）－912．已知线段d 是线段a 、b 、c 的第四比例项，其中a ＝2 cm ，b ＝4 cm ，c ＝5 cm ，则d 等于……（ ） （A ）1 cm （B ）10 cm （C ）25 cm （D ）58cm ．3．如图，DE ∥BC ，在下列比例式中，不能成立的是………………………………（ ）（A ）DB AD ＝EC AE （B ）BC DE ＝EC AE （C ）AD AB ＝AE AC （D ）EC DB ＝ACAB4．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，则图中的相似三角形共有………（ ）（A ）1对 （B ）2对 （C ）3对 （D ）4对5．已知：如图，∠ADE ＝∠ACD ＝∠ABC ，图中相似三角形共有………………（ ） （A ）1对 （B ）2对 （C ）3对 （D ）4对6．下列判断中，正确的是………………………………………………………………（ ） （A ）各有一个角是67°的两个等腰三角形相似 （B ）邻边之比都为2︰1的两个等腰三角形相似 （C ）各有一个角是45°的两个等腰三角形相似 （D ）邻边之比都为2︰3的两个等腰三角形相似7．如图，□ABCD 中，E 是AD 延长线上一点，BE 交AC 于点F ，交DC 于点G ，则下列结论中错误的是……………（ ）（A ）△ABE ∽△DGE （B ）△CGB ∽△DGE （C ）△BCF ∽△EAF （D ）△ACD ∽△GCF8．如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，∠DBC ＝∠A ，BC ＝6，AC ＝3，则CD 的长为………（ ） （B ）23 （C ）2 （D ）25（A ）19．如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，在条件（1）∠ACD ＝∠B ，（2）AC 2＝AD ·AB ，（3）AB 边上与点C 距离相等的点D 有两个，（4）∠B ＝∠ACB 中，一定使△ABC ∽△ACD 的个数是……………（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）410．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，且AD ︰BD ＝9︰4，则AC ︰BC 的值为………（ ）（A ）9︰4 （B ）9︰2 （C ）3︰4 （D ）3︰211．如图，点A 1、A 2，B 1、B 2，C 1、C 2分别是△ABC 的边BC 、CA 、AB 的三等分点，且ABC 的周长为l ，则六边形A 1A 2B 1B 2C 1C 2的周长为…………………………（ ）（A ）31l （B ）3l （C ）2l （D ）31l12．如图，将△ABC 的高AD 四等分，过每一个分点作底边的平行线，把三角形的面积分成四部分S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1︰S 2︰S 3︰S 4等于……………………………（ ）（A ）1︰2︰3︰4 （B ）2︰3︰4︰5 （C ）1︰3︰5︰7 （D ）3︰5︰7︰9【提示】121S S S +＝（12）2，1321S S S S ++＝（13）2． 【答案】C ． 【点评】本题要求运用相似三角形的面积比等于相似比的平方（即对应边上的高的比的平方）．（二）填空题：（每题2分，共20分）13．如果x ︰y ︰z ＝1︰3︰5，那么zy x zy x +--+33＝___________．14．已知数3、6，再写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项，这个数是___________（只需填写一个数）． 15．如图，l 1∥l 2∥l 3，BC ＝3，EFDE＝2，则AB ＝___________． 16．如图，已知DE ∥BC ，且BF ∥EF ＝4︰3，则AC ︰AE ＝__________．17．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，D 是BC 中点，AE ⊥AD 交CB 延长线于点E ，则△BAE 相似于______．18．如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 中点，且DE ⊥AC ，则CD ︰AD ＝__________．【提示】Rt △CDE ∽Rt △DCA ，并设AD 为a ，用a 表示出EC 和CD 的长，或2)(2===⋅⋅=ECAD CF AF AC CF AC AF CD AD ． 【答案】22．【点评】本题要求运用直角三角形的判定定理．19．如图∠CAB ＝∠BCD ，AD ＝2，BD ＝4，则BC ＝__________．【提示】由△ABC ∽△CBD ，得BC 2＝BD ·AB ．【答案】26．【点评】本题要求运用相似三角形的判定定理与性质．20．如图，在△ABC 中，AB ＝15 cm ，AC ＝12 cm ，AD 是∠BAC 的外角平分线，DE ∥AB 交AC 的延长线于点E ，那么CE ＝__________cm ．【提示】∠EAD ＝∠F AD ＝∠ADE ，∴ ED ＝AE ＝AC ＋CE ． 再利用△ABC ∽△EDC ． 【答案】48．【点评】本题要求灵活运用相似三角形的判定定理和性质．21．如图，在△ABC 中，M 、N 是AB 、BC 的中点，AN 、CM 交于点O ，那么△MON ∽△AOC 面积的比是____________．【提示】利用三角形中位线定理． 【答案】1︰4．【点评】本题要求运用相似三角形的判定、相似三角形的面积比等于相似比的平方，以及三角形的中位线定理．22．如图，在正方形ABCD 中，F 是AD 的中点，BF 与AC 交于点G ，则△BGC 与四边形CGFD 的面积之比是_____________．【提示】△BGC ∽△FGA ，推出FG ＝21BG ，得连结FC ．S △BCF ＝21S 正方形，再列出S △CDF 与S 正方形的关系式．或由△BGC ∽△FGA 得21===GC AG GB FG BC AF ，所以 S △AFG ＝41S △BCG ＝21S △AGB ，又 S △ACD ＝41S △ACB ，从而得出S 四边形CGFD ＝5S △AFG ， S △BCG ＝4S △AFG ．【答案】4︰5．【点评】本题要求运用相似三角形的基本定理与性质． （三）计算题（每题6分，共24分）23．如图，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AD ＝4 cm ，BD ＝8 cm ，DE ＝5 cm ，求线段BF 的长．【提示】先求出FC ．【答案】∵ DE ∥BC ，DF ∥AC ，∴ 四边形DECF 是平行四边形． ∴ FC ＝DE ＝5 cm ． ∵ DF ∥AC ，∴FC BF ＝DA BD． 即 5BF ＝48，∴ BF ＝10（cm ）．【点评】本题要求运用平行四边形判定定理和性质定理、平行线分线段成比例定理． 24．如图，已知△ABC 中，AE ︰EB ＝1︰3，BD ︰DC ＝2︰1，AD 与CE 相交于F ，求FC EF ＋FDAF的值．【提示】作EG ∥BC 交AD 于G ． 【答案】作EG ∥BC 交AD 于G ，则由EB AE ＝31，即AB AE ＝41，得 EG ＝41BD ＝21CD ，∴FC EF ＝CD EG ＝21． 作DH ∥BC 交CE 于H ，则DH ＝31BE ＝AE ． ∴FD AF ＝DH AE＝1， ∴ FC EF ＋FD AF ＝21＋1＝23．G H【点评】本题要求灵活运用三角形一边平行线的性质定理．25．如图，点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形．（1）当AC 、CD 、DB 满足怎样的关系时，△ACP ∽△PDB ？ （2）当△ACP ∽△PDB 时，求∠APB 的度数．【提示】（1）考虑AC 、PD 、PC 、DB 之间比例关系．（2）利用相似三角形的性质“对应角相等”． 【答案】∵ ∠ACP ＝∠PDB ＝120°，当PD AC ＝DB PC ，即CD AC ＝DBCD，也就是CD 2＝AC ·DB 时，△ACP ∽△PDB ． ∴ ∠A ＝∠DPB ．∴ ∠APB ＝∠APC ＋∠CPD ＋∠DPB＝∠APC ＋∠A ＋∠CPD ＝∠PCD ＋∠CPD ＝120°．【点评】本题要求运用相似三角形判定定理和性质的运用．26．如图，矩形PQMN 内接于△ABC ，矩形周长为24，AD ⊥BC 交PN 于E ，且BC ＝10，AE ＝16，求△ABC的面积．【提示】利用相似三角形的性质，列出关于ED 的方程，求ED 的长，即可求出S △ABC ．【答案】∵ 矩形PQMN ，∴ PN ∥QM ，PN ＝QM ．∵ AD ⊥BC ， ∴ AE ⊥PN ．∵ △APN ∽△ABC ，∴BC PN ＝ADAE． 设ED ＝x ，又 矩形周长为24，则PN ＝12－x ，AD ＝16＋x ．∴1012x -＝x-1616．即 x 2＋4x －32＝0．解得 x ＝4． ∴ AD ＝AE ＋ED ＝20．∴ S △ABC ＝21BC ·AD ＝100．【点评】本题要求运用相似三角形对应高线的比等于相似比． （四）证明题：（每题6分，共24分）27．已知：如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点．求证：△ADQ ∽△QCP ．【提示】先证QC AD ＝PCDG． 【答案】在正方形ABCD 中，∵ Q 是CD 的中点，∴ QCAD＝2． ∵PC BP ＝3，∴ PCBC＝4． 又 BC ＝2DQ ，∴ PCDQ＝2．在△ADQ 和△QCP 中，QC AD ＝PCDQ，∠C ＝∠D ＝90°，∴ △ADQ ∽△QCP ．【点评】本题要求运用相似三角形的判定定理．28．已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF ∥AB ，延长BP 交AC 于E ，交CF 于F ．求证：BP 2＝PE ·PF ．【提示】先证PB ＝PC ，再证△EPC ∽△CPF ． 【答案】连结PC ．∵ AB ＝AC ，AD 是中线，∴ AD 是△ABC 的对称轴． ∴ PC ＝PB ，∠PCE ＝∠ABP ．∵ CF ∥AB ， ∴ ∠PFC ＝∠ABP ．∴ ∠PCE ＝∠PFC ． 又 ∠CPE ＝∠EPC ，∴ △EPG ∽△CPF ．∴PF PC ＝PCPE．即 PC 2＝PE ·PF ．∴ BP 2＝PE ·PF ． 【点评】本题要求运用等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质． 29．如图，BD 、CE 为△ABC 的高，求证∠AED ＝∠ACB ．【提示】先证△ABD ∽△ACE ，再证△ADE ∽△ABC ． 【答案】∵ ∠ADB ＝∠AEC ＝90°，∠A ＝∠A ，∴ △ABD ∽△ACE ．∴AE AD ＝ACAB． 又 ∠A ＝∠A ，∴ △ADE ∽△ABC ．∴ ∠AED ＝∠ACB ． 【点评】本题要求运用相似三角形的判定与性质．30．已知：如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，以BC 为边向外作正方形BEDC ，连结AE 交BC 于F ，作FG∥BE 交AB 于G ． 求证：FG ＝FC ．【提示】证明EB FG ＝EDFC． 【答案】∵ FG ∥BE ，∴EB FG ＝AE AF ．∵ FC ∥ED ，∴ ED FC ＝AEAF． ∴EB FG ＝EDFC．又 EB ＝ED ，∴ FG ＝FC ． （五）解答题（8分）31．（1）阅读下列材料，补全证明过程：已知：如图，矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BC 于E ，连结DE 交 OC 于点F ，作FG ⊥BC 于G ．求证：点G 是线段BC 的一个三等分点．证明：在矩形ABCD 中，OE ⊥BC ，DC ⊥BC ，∴ OE ∥DC ．∵DC OE ＝21，∴ FD EF ＝DC OE ＝21．∴ ED EF ＝31．……（2）请你仿照（1）的画法，在原图上画出BC 的一个四等分点（要求保留画图痕迹，可不写画法及证明过程）．【提示】先证FG ∥DC ，再证AB FG ＝31或EC GC ＝32． 【答案】（1）补全证明过程，方法一：∵ FG ⊥BC ，DC ⊥BC ， ∴ FG ∥DC ．∴DC FG ＝ED EF ＝31． ∵ AB ＝DC ， ∴AB FG ＝31． 又 FG ∥AB ， ∴BC CG ＝AB FG ＝31． 方法二：∵ FG ⊥BC ，DC ⊥BC ， ∴ FG ∥DC ．∴EC EG ＝ED EF ＝31． ∴ EC GC ＝32．∵ E 是BC 的中点， ∴BC GC ＝EC GC2＝62＝31． ∴ 点G 是BC 的一个三等分点． （2）如图，中点I ．。
完整版相似三角形性质与判定专项练习30题有答案
相似三角形性质和判定专项练习30题(有答案) 1 已知：如图，在△ ABC中，点D在边BC上，且/ BAC= / DAG , / CDG= / BAD2.如图，已知在△ ABC中，/ ACB=90 °点D在边BC上，CE丄AB , CF丄AD , E、 (1)求证：AC2=AF?AD；F分别是垂足.(1)求证：丄丄厶；AB AC(2)当GC丄BC 时，求证：/ BAC=90 °4. 如图，在平行四边形ABCD中，过B作BE丄CD，垂足为点E,连接AE , F为AE上一点，且 / BFE= / C.(1)求证：△ ABF EAD ;(2)若AB=4 , / BAE=30 ° 求AE 的长.E5. 已知：如图，△ ABC 中，/ ABC=2 / C, BD 平分/ABC . 求证：AB?BC=AC?CD .6. 已知△ ABC , / ACB=90 ° AC=BC，点E、F 在AB 上，/ ECF=45 ° 设厶ABC 的面积为S,说明AF?BE=2S7 •等边三角形 ABC 的边长为6,在AC , BC 边上各取一点 E , F ,连接AF ,BE 相交于点P . (1) 若 AE=CF ;① 求证：AF=BE ，并求/ APB 的度数； ② 若AE=2，试求 AP?AF 的值；(2) 若AF=BE ，当点E 从点A 运动到点C 时，试求点P 经过的路径长.9. 已知：如图，在 △ ABC 中，AB=AC , DE // BC ,点F 在边AC 上, DF 与BE 相交于点 G ,且/ EDF= / ABE . 求证：(1) △ DEFBDE ； (2) DG?DF=DB?EF .&如图所示，AD , BE 是钝角△ ABC 的边BC , AC 上的高，求证:AD =AC BE =BC3 C10. 如图，△ ABC 、△ DEF 都是等边三角形，点 D 为AB 的中点，E 在BC 上运动，DF 和EF 分别交AC 于G 、H 两点，BC=2，问E 在何处时CH 的长度最大？12 .如图，已知等边三角形 △ AEC ，以AC 为对角线做正方形 ABCD (点B 在厶AEC 内，点D 在厶AEC 夕卜).连接 EB ,过E 作EF 丄AB ，交AB 的延长线为 F .(1) 猜测直线BE 和直线AC 的位置关系，并证明你的猜想. (2) 证明：△ BEF ABC ，并求出相似比.OA?OB=OC?OD .13. 已知：如图， △ ABC 中，点D 、E 是边AB 上的点,(1)求证：△ CEDACD ; 2CD 平分 / ECB ，且 BC =BD ?BA .O ,当/ A= / C 时，求证: A D14. 如图，△ ABC中，点D、E分别在BC和AC边上，点G是BE边上一点，且 / BAD= / BGD= / C,联结AG .(1)求证：BD?BC=BG ?BE ;(2)求证：/ BGA= / BAC .15. 已知：如图，在△ ABC中，点D是BC中点，点E是AC中点，且AD丄BC, BE丄AC , BE, AD相交于点G , 过点B 作BF // AC交AD的延长线于点F, DF=6 .(1)求AE的长；(2)求邑匹的值.^AFBG16 .如图，△ ABC 中，/ ACB=90 ° D 是AB 上一点，M 是CD 中点，且/ AMD= / BMD , AP // CD 交BC 延长线于P 点，延长BM交PA于N点，且PN=AN .(1)求证：MN=MA ;(2)求证：/ CDA=2 / ACD .连接AE ，若AB=6 , AE=5时，求线段 AG 的长.17. 已知：如图，在 △ ABC 中，已知点 D 在BC 上，联结 AD ，使得/ CAD= / B , DC=3且S A ACD : S A ADB = 1 : 2. (1)求AC 的值；(2) 若将△ ADC 沿着直线AD 翻折，使点 C 落点E 处，AE 交边BC 于点F ，且AB // DE ，求18. 在△ ABC 中，D 是BC 的中点，且 AD=AC , DE 丄BC ,与AB 相交于点E , EC 与AD 相交于点F . (1)求证：△ ABC FCD ;(2) 若 DE=3 , BC=8，求△ FCD 的面积.19 .如图，△ ABC 为等边三角形， D 为BC 边上一点，以 AD 为边作/ ADE=60 ° DE 与厶ABC 的外角平分线 交于点E . (1)求证：/ BAD= / FDE ;CE的20. 如图所示，△ ABC 中，/ B=90 °点P 从点A 开始沿AB 边向B 以1cm/s 的速度移动，点 Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动.(1)如果P , Q 分别从A , B 同时出发，经几秒，使 △ PBQ 的面积等于8cm 2?21. 已知：如图，△ ABC 是等边三角形，D 是AB 边上的点，将 DB 绕点D 顺时针旋转60。
人教版九年级数学下册27.2.1相似三角形的判定基础训练(有答案)
人教版九年级数学下学期27.2.1相似三角形的判定基础训练一、单选题1．下列命题是假命题的是（）A．所有等边三角形一定相似B．所有等腰直角三角形一定相似C．有一个角为120︒的两个等腰三角形相似D．有一条边对应成比例的两个等腰三角形相似2．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABCC．AP ABAB AC=D．AB ACBP CB=3．如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是（）A．AB∥CD B．A D∠=∠C．OA OBOD OC=D．OA ABOD CD=4．如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．40°5．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列哪些条件，①∠AED=∠B，②AE DE AB BC=，③AD AEAC AB=，使△ADE与△ACB一定相似（）12A ．①②B ．②C ．①③D ．①②③6．如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ∶DB ＝3∶5，那么CF ∶CB 等于( )A ．5∶8B ．3∶8C ．3∶5D ．2∶57．如图，E 是▱ABCD 的边BC 的延长线上一点，连接AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形( )A ．4对B ．3对C ．2对D ．1对8．如图，在△ABC 中，∠B=80°，∠C=40°，直线l 平行于BC ．现将直线l 绕点A 逆时针旋转，所得直线分别交边AB 和AC 于点M 、N ，若△AMN 与△ABC 相似，则旋转角为（ ）A ．20°B ．40°C ．60°D ．80°9．如图，点A 在线段BD 上，在BD 的同侧作等腰Rt ABC ∆和等腰Rt ADE ∆，CD 与BE 、AE 分别交于点P 、M .对于下列结论：①BAE CAD ∆~∆；②MP MD MA ME ⋅=⋅；③22CB CP CM =⋅.其中正确的是（ ）3A ．①②③B ．①C ．①②D ．②③10．如图，D 是等边△ABC 边AB 上的一点，且AD ：DB ＝1：2，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E 、F 分别在AC 和BC 上，则CE ：CF 的值为（ ）A ．45B ．35C ．56D ．67二、填空题11．如图：使△AOB ∽△COD ，则还需添加一个条件是： ．（写一个即可）12．如图，E 为平行四边形ABCD 的对角线BD 上一点，AE 的延长线交边CD 于点F ．在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形:________________．13．如图，////,::2:3:4DE FG BC AD DF FB =，如果4EG =，那么AC =________．14．若线段AB ＝2，且点C 是AB 的黄金分割点且AC ＞BC ，则BC 等于_____．415．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝10，DA ＝，则BD 的长为_______．16．如图，已知,20,60AB BC AC BAD DAE AD DE AE︒︒==∠=∠=，则DAC ∠的度数为_________．17．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，12AD =，点E 在边AD 上，8AE =，点F 在边DC 上，则当EF =________时，ABE △与DEF V 相似．18．如图，ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥于D 点，DE AB ⊥于点E ，BF AC ⊥于点F ，3cm DE =，则BF =__________cm .19．如图，正方形ABCD 的边长为2，连接BD ，点P 是线段AD 延长线上的一个动点，45PBQ ∠=︒，点Q 是BQ 与线段CD 延长线的交点，当BD 平分PBQ ∠时，PD ______QD （填“>”“<”或“=”）：当BD 不平分PBQ ∠时，PD QD ⋅=__________.三、解答题20．在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm．试证明△ABC与△A′B′C′相似．21．如图，E是□ ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．求证：△EBC∽△CDF．22．在△ABC中，点D、E分别边AB、AC上的点，若AD＝2，DB＝7，AE＝3，EC＝3，求DE：BC的值．523．如图，已知AB∥EF∥CD，AD与BC相交于点O.（1）如果CE=3，EB=9，DF=2，求AD的长；（2）如果BO：OE：EC=2：4：3，AB=3，求CD的长．24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．求证：△DEH∽△BCA．25．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ABE =∠ACD，BE、CD交于点G．（1）求证：△AED∽△ABC；（2）如果BE平分∠ABC，求证：DE=CE．6726．如图所示，⊙O 的半径为4，点A 是⊙O 上一点，直线l 过点A ；P 是⊙O 上的一个动点（不与点A 重合），过点P 作PB ⊥l 于点B ，交⊙O 于点E ，直径PD 延长线交直线l 于点F ，点A 是»DE的中点． （1）求证：直线l 是⊙O 的切线；（2）若PA=6，求PB 的长．27．已知，如图1，抛物线2l y ax bx c =++：过(1,0),(3,0),(0,3)A B C -三点，顶点为点D ，连接,,AC CD DB ，点P 为抛物线对称轴上一点，连接,PC PA ，直线'l y kx n =+：过点,B C 两点． （1）求抛物线l 及直线'l 的函数解析式；（2）求PC PA +的最小值；（3）求证：AOC ∆∽DCB ∆；（4）如图2，若点M 是在抛物线l 上且位于第一象限内的一动点，请直接写出MBC ∆面积的最大值及此时点M 的坐标．8参考答案1．D2．D3．D4．B5．C6．A7．B8．B9．A10．A11．∠A=∠C（答案不唯一）．12．△ABE∽△FDE13．1214．315．16．40°17．5或20318．619．= 820．略21．略22．1323．（1）8；（2）21224．略25．略26．（1）略；（2）PB=92．27．（1）2y x 2x 3=-++，3y x =-+；（2）（3）详见解析；（4）（4）278MBC S ∆=最大，此时315(,)24M ．。
完整版相似三角形基础训练
《相似形》基础测试、选择题：1已知5y — 4x = 0，那么(x + y )：( x — y )的值等于 .............................. ()11(A ) —( B )— 9(C ) 9(D )—-9 92.已知线段d 是线段a 、b 、c 的第四比例项，其中 a = 2 cm , b = 4 cm , c = 5 cm ,则d 等于 ........... ()58(A ) 1 cm ( B ) 10 cm (C )cm ( D ) - cm .2 5是 .......... ( )3.如图，DE // BC ,在下列比例式中，不能成立的是AD AE DB EC4.如图, 在 Rt A ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，则图中的相似三角形共有(A)(B ) 2 对 (D ) 4 对5.已知: (A ) 如图,1对ADE =Z ACD = Z ABC , (B ) 2 对 (C ) 3 对 图中相似三角形共有 D ) 4对6.下列判断中，正确的是(A) 各有一个角是 (B) 邻边之比都为 (C) 各有一个角是 (D) 邻边之比都为 67°的两个等腰三角形相似 2:1的两个等腰三角形相似 45°的两个等腰三角形相似 2: 3的两个等腰三角形相似 7.如图, □ ABCD 中，E 是AD 延长线上一点, BE 交AC 于点F ，交DC 于点G ,则下列结论中错误的(A )△ ABE DGE ©△BCF EAF(B )△ CGB DGE (D )AACDGCF(A)8.如图，在厶ABC 中，D 为AC 边上一点，/ DBC = Z A ,9.如图，D 是厶ABC 的边AB 上一点，在条件(1)C 距离相等的点D 有两个，(4)/ B = Z ACB 中, (A ) 1 ( B ) 2 ( C ) 3 ( D ) / ACD = Z B , (2) AC 2= AD • AB , (3) AB 边上与点 一定使△ ABC ACD 的个数是 ............... ( ) 4【答案】10.如图，在 Rt A ABC 中，/ C = 90° (A ) 9 :,CD 丄 AB 于 D ，且 AD : BD = 9 : 4,贝U AC : BC 的值为 (C ) 3: 4 ( D )11.如图，点 则六边形 （A ） !|3A i 、A 2,B I 、B 2,C I 、 A 1A 2B 1B 2C 1C 2的周长为 C 2分别是△ ABC 的边BC 、 CA 、AB 的三等分点，且ABC 的周长为 ）(B) 3I(C ) 2I1 (D )—13A12.如图，将△ ABC 的高AD 四等分, 则S 1 : S 2:S 3 : S 4等于•… :2 : 3 : 4 (B ) S 3、S 4, (A ) 1 把三角形的面积分成四部分 ) 2 : 3 : 4 : 5 (C ) 1 : 3 : 5 : 7 (D ) 3 : 5 : 7 : 9 过每一个分点作底边的平行线, S 1、 S 2、色=(-)2,1S 1S 2Q =( 3 ) 21【提示】 J 【点评】本题要求运用相似三角形的面积比等于相似比的平方（即对应边上的高的比的平方）【答案】C .（二）填空题：（每题2分，共20分）x 3y z13. 如果 x : y : z = 1 : 3 : 5,那么= ____________ .x 3y z14. 已知数3、6,再写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项, （只需填写一个数）.这个数是15. _________________________________________________ 如图，11// 12// l 3, BC = 3, 匹=2,贝y AB = ________________EF16. 如图，已知 DE // BC ,且 BF // EF = 4 : 3,贝U AC : AE =17.如图，在厶ABC 中，/ BAC = 90°, D 是BC 中点，AE 丄AD 交CB 延长线于点 丘，则厶BAE 相似于AF AC AF CF AC CFit 2 -【点评】 2本题要求运用直角三角形的判定定理.6AD D£DBDE 丄AC ,贝U CD : AD=甘表示出 EC 和CD 的长，或为 a ，用 a19. 如图/ CAB = Z BCD , AD = 2, BD = 4，贝U BC =【提示】由厶ABCCBD，得BC2= BD • AB.【答案】2 .6 .【点评】本题要求运用相似三角形的判定定理与性质.20. 如图，在△ ABC中，AB = 15 cm , AC= 12 cm, AD是/ BAC的外角平分线, DE // AB交AC的延长线于点E,那么CE = _______________________________________ c m .【提示】/ EAD = Z FAD = Z ADE ,ED = AE = AC + CE .再利用△ ABCEDC .【答案】48.【点评】本题要求灵活运用相似三角形的判定定理和性质.21. 如图，在△ ABC中，M、N是AB、BC的中点，AN、CM交于点O,那么△ MON AOC面积的比是______________ .【提示】利用三角形中位线定理.【答案】1 : 4.【点评】本题要求运用相似三角形的判定、相似三角形的面积比等于相似比的平方，以及三角形的中位线定理. 22. 如图，在正方形ABCD中，F是AD的中点，BF与AC交于点G,UA BGC与四边形CGFD的面积之比是.一1 1【提示］△ BGC FGA，推出FG = — BG,得连结FC . S^BCF = S正方形，再列出AF FGAG 1 .&CDF 与S 正方形的关系式.或由△ BGC s^ FGA 得，所以BC GB GC 21 0 ACD = SSCB ,从而得出4ABDC【提示】作EG / BC 交 AD 于 G .AE 1口 AE1【答案】EG / BC 交AD 于G ,则由即- =_,得EB 3 AB 41 1EG = — BD = CD ,11$△ AFG =— S A BCG= — S ^AGB ，又4 2S\ BCG = 4S ^ AFG .S 四边形 CGFD = 5S ^ AFG ,【答案】4 : 5.【点评】本题要求运用相似三角形的基本定理与性质. （三）计算题（每题 6分，共24分）23. 如图，DE // BC , DF // AC , AD = 4 cm , BD = 8 cm , DE = 5 cm ,求线段 BF 的长.【提示】先求出FC . 【答案】••• DE // BC , DF // AC ,•••四边形DECF 是平行四边形.FC = DE = 5 cm . DF // AC ,BF = BD FC DABF 5BF = 10 (cm ).【点评】本题要求运用平行四边形判定定理和性质定理、平行线分线段成比例定理.24.如图，已知△ ABC 中, AE : EB = 1 : 3, BD : DC = 2 : 1 , AD 与 CE 相交于 F ,求EF AF + ■ FC FD的值.4 2EF = EG = 1FC CD 21作DH // BC 交CE 于H,贝U DH = - BE= AE3AF = AE=1,F——HEF AF 1 ,3+ =-+1 =FC F—22【点评】本题要求灵活运用三角形一边平行线的性质定理.25. 如图，点C、D在线段AB上，△ PCD是等边三角形.(1 )当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ ACPPDB ?(2)当厶ACPPDB时，求/ APB的度数.【提示】(1)考虑AC、PD、PC、DB之间比例关系.(2)利用相似三角形的性质“对应角相等”.【答案】•••/ ACP = / PDB = 120°,AC PC AC CD当JAC = _C，即AC = C—，也就是CD2= AC • DB 时，△ ACPPDB . PD DB CD DB•••/A =Z DPB ./ APB = Z APC + Z CPD + Z DPB =Z APC+Z A+Z CPD=Z PCD +Z CPD=120°.【点评】本题要求运用相似三角形判定定理和性质的运用.26. 如图，矩形PQMN内接于△ ABC，矩形周长为24 , AD丄BC交PN于E,且BC= 10, AE = 16,求厶ABC 的面积.即可求出【提示】禾U用相似三角形的性质，列出关于S A ABC.【答案】••• 矩形PQMN ,PN // QM , PN = QM .I AD 丄 BC , AE 丄 PN .v △ APN s\ABC ,PN _ AE BC AD '设ED = x ,又 矩形周长为24,贝UPN = 12-x , AD = 16+ x .1 AD = AE + ED = 20... S A ABC = BC • AD = 100.2【点评】本题要求运用相似三角形对应高线的比等于相似比. （四）证明题：（每题6分，共24分）27. 已知：如图，在正方形 ABCD 中，P 是BC 上的点，且 BP = 3PC , Q 是CD 的中点.求证：△ ADQ s △ QCP .AD DG【提示】先证=——.QC PC【答案】在正方形 ABCD 中，AD••• Q 是CD 的中点，.——=2 .QCBPBC ,•/= 3,.= 4 .PC PC FDQ又 BC = 2DQ ,.= 2 .PC在厶 ADQ 和厶 QCP 中，AD =匹，/ C =Z D = 90°,QC PC.△ ADQ sA QCP .【点评】本题要求运用相似三角形的判定定理.【提示】先证 PB = PC ,再证△ EPC sA CPF . 【答案】连结PC .12 X 10即 x 2 + 4x - 32= 0.解得 16 xx = 4.28. 已知：如图，△ ABC 中，AB = AC , AD 是中线,交 CF 于 F .求证：BP 2=PE • PF .P 是AD 上一点，过 C 作CF // AB ,延长BP 交AC 于E ,•/ AB = AC, AD是中线，•••AD是厶ABC的对称轴.PC = PB,Z PCE = Z ABP .I CF // AB,/ PFC = Z ABP. •/ PCE =Z PFC.又 / CPE = Z EPC,「. △ EPGCPF .PC=PE.即PC2= PE • PF . • BP2= PE • PF .PF PC【点评】本题要求运用等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质.29. 如图，BD、CE ABC 的高，求证/ AED =Z ACB .【提示】先证△ ABDACE，再证△ ADEABC.【答案】•••/ ADB = Z AEC = 90°,/ A=Z A,又 / A =/ A, • △ ADE ABC .【点评】本题要求运用相似三角形的判定与性质.30. 已知：如图，在△ ABC中，/ C = 90°，以BC为边向外作正方形BEDC，连结AE交BC于F，作FG // BE交AB 于G.求证：FG = FC .（五）解答题（8分）31. （1）阅读下列材料，补全证明过程：已知：如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O, OE丄BC于E,连结DE交OC于点F,作FG丄BC于G.求证：点G是线段BC的一个三等分点.△ ABD ACE .AD = ^ABAE AC/ AED = / ACB .【提示】证FG=FCEB ED【答案】•••FG //BE, •FG = AF FC //ED,EB AEFG FC,= —又EB= ED, •FG = FC.FC = AFED AEEB EDD C AA J)（2）请你仿照（1）的画法，在原图上画出 BC 的一个四等分点（要求保留画图痕迹，可不写画法及证明 过程）.一 FG 1 、GC 2 【提示】先证FG // DC ,再证 =—或 =—.AB 3 EC 3【答案】(1)补全证明过程，方法一：FG 丄BC , DC 丄 BC , FG // DC .FG = EF =— DC ED 3AB = DC ,FG =— AB 3又 FG // AB ,CG = FG =— BC AB 3 '方法二：FG 丄BC , DC 丄 BC , FG // DC .EG = EF =— EC ED 3 GC = 2 EC 3 '••• E 是BC 的中点，GC = GC = 2 =— BC 2EC 63••• 点G 是BC 的一个三等分点. (2)如图，中点I .0E // DC . v0EEF 0E=一，…DC2 FDDC 2EF = 1 ED 3证明：在矩形 ABCD 中，0E 丄BC , DC 丄BC ,BE GI C。
相似三角形经典练习题及答案
相似三角形经典练习题及答案一、选择题1、若两个相似三角形的面积之比为 1∶4，则它们的周长之比为（）A 1∶2B 1∶4C 1∶5D 1∶16答案：A解析：相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形周长的比等于相似比。
因为两个相似三角形的面积之比为 1∶4，所以相似比为 1∶2，那么它们的周长之比为 1∶2。
2、如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DE∥BC，若 AD∶DB ＝ 1∶2，则下列结论中正确的是（）A AE∶EC ＝ 1∶2B AE∶EC ＝ 1∶3 C DE∶BC ＝ 1∶2 DDE∶BC ＝ 1∶3答案：B解析：因为 DE∥BC，所以△ADE∽△ABC。
因为 AD∶DB ＝1∶2，所以 AD∶AB ＝ 1∶3。
因为相似三角形对应边成比例，所以AE∶AC ＝ AD∶AB ＝ 1∶3，所以 AE∶EC ＝ 1∶2。
3、已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为 3∶4，△ABC 的周长为 6，则△A'B'C'的周长为（）A 8B 7C 9D 10答案：A解析：因为相似三角形周长的比等于相似比，所以△ABC 与△A'B'C'的周长之比为3∶4。
设△A'B'C'的周长为x，则6∶x ＝3∶4，解得 x ＝ 8。
4、如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点，且DE∥BC，如果 AD ＝ 2cm，DB ＝ 1cm，AE ＝ 15cm，则 EC ＝（）A 05cmB 1cmC 15cmD 3cm答案：B解析：因为 DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以 AD∶AB ＝AE∶AC。
因为 AD ＝ 2cm，DB ＝ 1cm，所以 AB ＝ 3cm。
所以 2∶3＝ 15∶（15 ＋ EC)，解得 EC ＝ 1cm。
5、下列各组图形一定相似的是（）A 两个直角三角形B 两个等边三角形C 两个菱形D 两个矩形答案：B解析：等边三角形的三个角都相等，都是 60°，所以两个等边三角形一定相似。
相似三角形性质 基础训练 及答案
相似三角形性质 基础训练一、选择题1．如图，为了测量一池塘的宽DE ，在岸边找一点C ，测得CD=30m ，在DC 的延长线上找一点A ，测得AC=5m ，过点A 作AB ∥DE ，交EC 的延长线于B ，测得AB=6m ，则池塘的宽DE 为（ ）A ．25mB ．30mC ．36mD ．40m2．已知△ABC ∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC 与△A′B′C′ 的面积的比为（ ）A ．1：2B ．2：1C ．1：4D ．4：13．如果两个相似多边形面积的比为1：5，则它们的相似比为（ ）A ．1：25B ．1：5C ．1：2．5D ．1 4．两个相似三角形的周长比为1∶4，则它们的对应边上的高比为（ ）A ．1∶2B ．1∶4C ．1∶8D ．1∶165．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，DE=1，AD=2，DB=3，则BC 的长是（ ）A ．21B ．23C ．25D ．276．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若 AD AB =13，DE ＝4，则BC 的值为（ ） A ．9 B ．10 C ． 11 D ．127．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，分别交AB ，AC 于点D ，E ．若AD ＝1，DB ＝2，则△ADE 的面积与△ABC 的面积的比等于（ ）A ．12B ．14C ．18D ．198．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝3，BD ＝2，则△ADE 与四边形DBCE 的面积比是（ ）（A ）3︰2； （B ）3︰5； （C ）9︰16； （D ）9︰4．9．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，若AD=1，BC=3，则AO CO 的值为（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．1910．如图， AD ∥BC ，2BC AD =，AC 与BD 相交于点O ，△AOB 、△BOC 、△COD 、△DOA 的面积分别记作1S 、2S 、3S 、4S ，那么下列结论中，不正确的是（ ）A. 13S S =；B. 242S S =；C. 212S S =；D. 1324S S S S ⋅=⋅；11．如图，DE ∥BC ，BD ，CE 相交于O ，13EOOC =，3AE =，则EB =（ ）．A ．6B ．9C ．12D ．1512．如图，AD 、BE 是△ABC 的两条中线，则EDC ABC S S △△：等于（ ）．A ．1：2B ．2：3C ．1：3D ．1：413．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∠A=30°，那么S △ABC ∶S △BCD =( )A 、2∶1 B、3∶1 C、3∶1 D、4∶114．如图，AB ∥CD ，BO ：OC=1：4，点E 、F 分别是OC ，OD 的中点，则EF ：AB 的值为（） A 、1 B 、2 C 、3 D 、415．如图，在▱ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EF ：FC 等于（） A 、3：2 B 、3：1 C 、1：1 D 、1：216．如图，在平行四边形ABCD 中， DE ∶EC =2∶3，则:DEF ABF S S ∆∆等于（ ）A ．4∶25B ．4∶9C ．9∶25D ．2∶317．如图，在ABCD 中， :4:25DEF ABF S S ∆∆=，则DE ：BC ＝（ ）A 、2：5B 、2：3C 、3：5D 、3：218．如图，□ABCD 中，E 是BC 边的中点，已知△BEF 的面积为S ，则△ABF 的面积为（）A ．SB ．2SC ．3SD ．4SB19．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2=（ ）A ．16B ．17C ．18D ．19．20．将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形纸条．如图,在Rt △ABC 中，AC=30cm ，BC=40cm ．依此裁下宽度为1cm 的纸条，若使裁得的纸条的长都不小于5cm ，则能裁得的纸条的张数是（ ）A ．24B ．25C ．26D ．27二、填空题1．若△ABC ∽△DEF ，且∠A ＝30°，∠B ＝50°，则∠F ＝______度.2．已知两相似三角形对应高之比是1︰2，则它们的面积之比为 ．3．两个相似三角形对应边上的中线之比为2:3，则这两个三角形的面积之比为 ．4．两个相似三角形的面积比为9∶16，则它们的周长之比为 ．5．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝5，BD ＝10，AE ＝3．则CE 的值为 ．6．在Rt △ABC 中，AD 为斜边BC 上的高，且S △ABC =4S △ABD ，则AB ∶BC= .7．如图，△ABC 中，点D 、E 分别为AB 、AC 的中点，连接DE ，线段BE 、CD 相交于点O ，若OD=2，则OC= ．8．如图， AD ∥BC ，AD=1，BC=2，若△AOD 、△AOB 、△BOC 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则S 1：S 2：S 3= ．9．在△ABC 中，点D 是AB 边的中点，且DE//BC ，则:__________ADE DBCE S S ∆= ．ED C B A10．如图，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成的两部分面积相等．则AD AB=_____ 参考答案一、1． C ．2． C3． D ．4． B ．5． C6． D7． D ．8． C ．9． B 10． B11． A ．12． D ．13． D ．14． B ．15． D ．16． A ． 17． B ．18． B ．19． B ．20． C ．二1． 100 2． 1：4．3． 4:9 4． 3:4 5． 6 6． 1：2． 7． 4． 8． 1：2：4 9． 1：3． 10．2 ADB O。
相似三角形经典练习题(4套)附带答案
练习（一）一、填空题：1. 已知a ba b+-=2295，则a b：=__________2. 若三角形三边之比为3：5：7，与它相似的三角形的最长边是21cm，则其余两边之和是__________cm3. 如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BC=6，则DE=__________；△ADE与△ABC的面积之比为：__________。
题3 题7 题84. 已知线段a=4cm，b=9cm，则线段a、b的比例中项c为__________cm。
5. 在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，如果AD=8，DB=6，EC=9，那么AE=__________6. 已知三个数1，2，3，请你添上一个数，使它能构成一个比例式，则这个数是__________7. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF∥BC，若AD=12cm，BC=18cm，AE：EB=2：3，则EF=__________8. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD⊥CD，AD=6，BC=10，则梯形的面积为：__________二、选择题：1. 如果两个相似三角形对应边的比是3：4，那么它们的对应高的比是__________A. 9：16B. 3：2C. 3：4D. 3：72. 在比例尺为1：m的某市地图上，规划出长a厘米，宽b厘米的矩形工业园区，该园区的实际面积是__________米2A. 104mabB.1042mabC.abm104D.abm24103. 已知，如图，DE∥BC，EF∥AB，则下列结论：题3 题4 题5①AEECBEFC=②ADBFABBC=③EFABDEBC=④CECFEABF=其中正确的比例式的个数是__________A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4. 如图，在△ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一点，AD=12，在AB上取一点E，使A、D、E三点为顶点组成的三角形与△ABC相似，则AE的长是__________A. 16B. 14C. 16或14D. 16或95. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，AE⊥AD，交CB的延长线于点E，则下列结论正确的是__________A. △AED∽△ACBB. △AEB∽△ACDC. △BAE∽△ACED. △AEC∽△DAC三、解答题：1. 如图，AD∥EG∥BC，AD=6，BC=9，AE：AB=2：3，求GF的长。
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《相似形》基础测试、选择题：1．已知 5y －4x ＝0，那么（ x ＋y ）︰（ x － y ）的值等于⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（）11（A ）（B ）－ 9（C ）9（D ）－992．已知线段 d 是线段 a 、 b 、c 的第四比例项，其中 a ＝2 cm ，b ＝4 cm ，c ＝5 cm ，则 d 等于⋯⋯（ ）58（A ）1 cm （B ）10 cm （C ）cm （D ） cm ．25是⋯⋯⋯⋯⋯（ ）A )△ ABE ∽△ DGE C )△ BCF ∽△ EAF(B )△ CGB ∽△ DGE D )△ ACD ∽△ GCF9．如图， D 是△ABC 的边 AB 上一点，在条件（ 1） C 距离相等的点 D 有两个，（4）∠ B ＝∠ ACB 中， （A ）1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） ∠ ACD ＝∠ B ，（2）AC 2＝AD ·AB ，（3）AB 边上与点 一定使△ ABC ∽△ ACD 的个数是⋯⋯⋯⋯⋯（ ）8．如图，在△ ABC 中，D 为 AC 边上一点， ∠DBC ＝∠ A ，3．如图， DE ∥BC ，在下列比例式中，不能成立的是DB EC4．如图， 在 Rt △ ABC 中， CD 是斜边 AB 上的高，则图中的相似三角形共有A ） 1对B ） 2 对 3对 D ）4对5．已知：（）如图，1对 ADE ＝∠ ACD ＝∠ ABC ， B )2 对 ( C )3 对 图中相似三角形共有 （ D ） 4 对 6．下列判断中，正确的是A ）各有一个角是B ）邻边之比都为C ）各有一个角是D ）邻边之比都为67°的两个等腰三角形相似 2︰1 的两个等腰三角形相似 45°的两个等腰三角形相似 2︰3 的两个等腰三角形相似 7．如图， □ABCD 中，E 是 AD延长线上一点， BE 交 AC 于点 F ，交 DC 于点 G ，则下列结论中错误的 A ）AD AE4二）填空题：（每题2分，共20 分）x 3y z13．如果x︰y︰z＝1︰3︰5，那么＝___________．x 3y z14．已知数3、6，再写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项，（只需填写一个数）．15．如图，l1∥l2∥l3，BC＝3，DE＝2，则AB＝__________EF 16．如图，已知DE∥BC，且BF∥EF＝4︰3，则AC︰AE＝17．如图，在△ ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，AE⊥AD 交CB延长线于点E，则△ BAE相似于AF AC AFCF AC CF答案】10．如图，在Rt△ ABC 中，∠C＝90°4 （B）9︰ 2A)9︰，CD⊥AB于D，且AD︰BD＝9︰4，则AC︰BC的值为（C）3︰4 （D）3︰211．如图，点则六边形（A）1l 3A1、A2，B1、B2，C1、A1A2B1B2C1C2 的周长为C2 分别是△ ABC 的边BC、CA、AB 的三等分点，且ABC 的周长为）l，B)3l C)2l12．如图，将△ ABC 的高AD 四等分，则S1︰S2︰S3︰S4等于⋯⋯2︰3︰ 4 （B ）S3、S4，（A）1把三角形的面积分成四部分）2︰3︰4︰5 （C）1︰3︰5︰7 （D ）3︰5︰7︰9过每一个分点作底边的平行线，S1、S2、S2＝（2）2，1S1S2S3 ＝(3) 21提示】S1S1点评】本题要求运用相似三角形的面积比等于相似比的平方（即对应边上的高的比的平方）答案】C．S1这个数是(C A D D)2A E D C 2．ADDE⊥AC，则CD︰AD ＝表示出EC 和CD 的长，或为 a ，用a2本题要求运用直角三角形的判定定理．19．如图∠ CAB＝∠ BCD，AD＝2，BD＝4，则BC＝【提示】由△ ABC∽△ CBD，得BC2＝BD · AB．【答案】 2 6 ．【点评】本题要求运用相似三角形的判定定理与性质．20．如图，在△ ABC中，AB＝15 cm，AC＝12 cm，AD 是∠ BAC的外角平分线，DE∥AB交AC 的延长线于点E，那么CE ＝___________________________ cm ．【提示】∠ EAD ＝∠ FAD ＝∠ ADE ，∴ ED ＝AE＝AC ＋CE．再利用△ ABC∽△ EDC．【答案】48．【点评】本题要求灵活运用相似三角形的判定定理和性质．21．如图，在△ ABC中，M、N是AB、BC的中点，AN、CM交于点O，那么△ MON ∽△ AOC 面积的比是 ______________________________ ．【提示】利用三角形中位线定理．【答案】1︰4．【点评】本题要求运用相似三角形的判定、相似三角形的面积比等于相似比的平方，以及三角形的中位线定理．22．如图，在正方形ABCD中，F是AD的中点，BF与AC交于点G，则△ BGC与四边形CGFD 的面积之比是_________ ．11提示】△ BGC∽△ FGA ，推出FG＝BG，得连结FC ．S△BCF ＝S正方形，再列出AF FG AG 1S△CDF与S正方形的关系式．或由△ BGC∽△ FGA 得，所以BC GB GC 211S△AFG＝S△BCG＝S△AGB，又42S△BCG＝4S△AFG．1S△ACD ＝S△ACB，从而得出4【答案】4︰5．【点评】本题要求运用相似三角形的基本定理与性质．三）计算题（每题 6 分，共24分）23．如图，DE∥BC，DF∥AC，AD＝4 cm，BD＝8 cm，DE＝5 cm，求线段BF 的长．提示】先求出FC．答案】∵ DE∥BC，DF∥ AC，∴ 四边形DECF 是平行四边形．∴ FC ＝DE＝ 5 cm ．∵ DF ∥ AC，BF ＝BDFC DABF5BF＝10（cm）．点评】本题要求运用平行四边形判定定理和性质定理、平行线分线段成比例定理．提示】作EG∥ BC 交AD 于G．AE 1AE1答案】作EG∥ BC 交AD 于G，则即＝1，得EB 3AB411EG＝BD＝CD ，S 四边形CGFD ＝5S△AFG，24．如图，已知△ABC 中，AE︰EB＝1︰3，BD︰DC＝2︰1，AD 与CE 相交于F，求EF AF＋FC FD 的值．42∴EF＝EG＝1．FC CD 21 作DH ∥BC 交CE 于H，则DH＝BE＝AE．3AF＝AE＝1，FD DHEFAF 13＋＝＋1＝FC FD22【点评】本题要求灵活运用三角形一边平行线的性质定理．25．如图，点C、D在线段AB上，△ PCD 是等边三角形．（1）当AC、CD、DB 满足怎样的关系时，△ ACP∽△ PDB ？（2）当△ ACP∽△ PDB时，求∠ APB的度数．提示】（1）考虑AC 、PD、PC、DB 之间比例关系．（2）利用相似三角形的性质“对应角相等” ．答案】∵ ∠ ACP＝∠ PDB ＝120°，AC PC AC CD当AC＝PC，即AC＝CD，也就是CD2＝AC·DB 时，△ ACP ∽△ PDB ．PD DB CD DB∴ ∠A＝∠ DPB ．∠APB＝∠ APC＋∠ CPD ＋∠DPB＝∠ APC＋∠ A＋∠ CPD＝∠ PCD ＋∠ CPD＝120 °．点评】本题要求运用相似三角形判定定理和性质的运用．26．如图，矩形PQMN 内接于△ ABC，矩形周长为24，AD⊥BC交PN于E，且BC＝10，AE＝16，求△ ABC 的面积．即可求出提示】利用相似三角形的性质，列出关于S△ABC．答案】∵ 矩形 PQMN ，∴ PN ∥QM ，PN ＝ QM ．∵ AD ⊥BC ， ∴ AE ⊥PN ．∵ △APN ∽△ ABC ， ∴ PN ＝ AE ．BC AD设 ED ＝x ，又 矩形周长为 24，则PN ＝ 12－ x ， AD ＝16＋x ．1 ∴ AD ＝AE ＋ED ＝20．∴ S △ABC ＝ BC ·AD ＝100．2【点评】本题要求运用相似三角形对应高线的比等于相似比． 四）证明题： （每题 6分，共 24 分）27．已知：如图，在正方形 ABCD 中，P 是 BC 上的点，且 BP ＝3PC ，Q 是 CD 的中点．求证：△ ADQ ∽△QCP ．AD DG 提示】先证 ＝ ．QC PC 答案】在正方形 ABCD 中，AD∵ Q 是 CD 的中点，∴AD＝2．QCBPBC∵＝ 3，∴＝4．PCPCDQ 又 BC ＝2DQ ，∴ ＝2． PC在△ ADQ 和△QCP 中， AD ＝ DQ ，∠ C ＝∠ D ＝90°， QC PC∴ △ADQ ∽△ QCP ． 点评】本题要求运用相似三角形的判定定理．提示】先证 PB ＝PC ，再证△ EPC ∽△ CPF ． 答案】连结 PC ．12 x 10．即 x 2＋4x －32＝ 0．解得 16 xx ＝4．28．已知：如图，△ ABC 中， AB ＝ AC ，AD 是中线， 交 CF 于 F ．求证： BP 2＝PE · PF ．P 是 AD 上一点，过 C 作 CF ∥ AB ，延长 BP 交 AC 于E ，∵ AB＝AC，AD 是中线，∴ AD 是△ABC 的对称轴．∴ PC＝PB，∠ PCE＝∠ ABP．∵ CF∥AB，∴ ∠PFC ＝∠ ABP．∴ ∠PCE＝∠ PFC．又∠ CPE ＝∠ EPC，∴ △EPG∽△ CPF ．PC＝PE．即PC2＝PE·PF．∴ BP2＝PE·PF ．PF PC点评】本题要求运用等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质．29．如图，BD、CE 为△ABC 的高，求证∠ AED ＝∠ ACB．提示】先证△ ABD ∽△ ACE ，再证△ ADE∽△ ABC ．答案】∵ ∠ADB＝∠AEC＝90°，∠ A＝∠A，又∠A＝∠ A，∴ △ ADE ∽△ ABC．点评】本题要求运用相似三角形的判定与性质．30．已知：如图，在△ ABC中，∠ C＝90°，以BC为边向外作正方形BEDC ，连结AE 交BC 于F，作FG ∥ BE 交AB 于G．求证：FG ＝FC ．五）解答题（8 分）31．（1）阅读下列材料，补全证明过程：已知：如图，矩形ABCD 中，AC、BD相交于点O，OE⊥BC 于E，连结DE 交OC 于点F，作FG⊥BC 于G．求证：点G 是线段BC的一个三等分点．△ABD ∽△ ACE．AD ＝ABAE AC∠AED＝∠ ACB．提示】证明FG＝FC．EB ED答案】∵FG∥BE，∴FG＝AF．∵FC∥ED ，EB AEFG FC＝．又EB＝ED，∴FG＝FC．FC ＝AFED AEEB ED证明：在矩形ABCD 中，OE⊥BC，DC⊥BC，（2）请你仿照（1）的画法，在原图上画出BC 的一个四等分点（要求保留画图痕迹，可不写画法及证明过程）．FG 1 GC 2提示】先证FG∥ DC ，再证＝1或＝．AB 3 EC 3 答案】（1）补全证明过程，方法一：∵ FG⊥BC，DC⊥BC，∴ FG ∥DC ．∴FG＝EF＝1．DC ED 3 ∵ AB＝DC，∴FG＝1．AB 3 又FG ∥AB，∴CG＝FG＝1．BC AB 3 方法二：∵ FG⊥BC，DC⊥BC，∴ FG ∥DC ．∴EG＝EF＝1．EC ED 3∴GC＝2．EC 3 ∵ E 是BC 的中点，∴GC＝GC＝2＝1．BC 2EC 6 3 ∴ 点G 是BC 的一个三等分点．（2）如图，中点I．OE∥DC ．∵OE1EF＝OE＝1＝，∴DC2FD DC2EF＝1ED 3。