偏微分方程离散差分格式差分方法等共57页文档
偏微分方程数值方法
偏微分方程数值方法偏微分方程（Partial Differential Equation, PDE）是数学中的一种重要的方程类型，它描述了一个函数的多个变量的变化关系。
解决偏微分方程的数值方法在科学和工程领域有着广泛的应用。
本文将介绍几种常见的偏微分方程数值方法，并对其进行详细阐述。
1. 差分法（Finite Difference Method）：差分法是最早也是最直接的一种数值方法，它基于连续函数在一些点的导数可以用它的前向、后向或中心的差商来近似的思想。
偏微分方程的差分格式包括向前差分法、向后差分法和中心差分法等。
对于二维的偏微分方程，可以采用网格化的方式将空间离散化，然后利用差分法进行近似求解。
2. 有限元法（Finite Element Method）：有限元法是一种基于原始形式或变分形式对偏微分方程进行离散化的方法。
在有限元法中，将求解域分割成许多小的、简单的几何单元，然后在每个单元上构建近似解函数和试验函数。
通过构建弱形式并应用基本的变分原理，可以得到离散化的方程组，并通过求解这个方程组来得到数值解。
3. 有限差分法（Finite Difference Method）：有限差分法是一种将连续的偏微分方程离散化成差分方程的方法。
它与差分法的主要区别在于有限差分法不需要对求解域进行网格化，而是直接在连续的求解域上进行离散化。
将偏微分方程中的导数通过差商来近似，然后通过求解离散化的差分方程来得到数值解。
4. 有限体积法（Finite Volume Method）：有限体积法是一种将偏微分方程离散化为离散体积元的方法。
在有限体积法中，将求解域划分成离散的控制体积，然后通过对控制体积的积分运算，将偏微分方程转化为离散的代数方程组。
然后通过求解得到的代数方程组，可以得到数值解。
以上介绍的只是几种常见的偏微分方程数值方法，实际上还有很多其他的方法，如边界元法（Boundary Element Method）、谱方法（Spectral Method）、逆问题方法（Inverse Problem Method）等。
偏微分方程的数值解(差分法)
局地直 角坐标系 中的大气 运动基本 方程组
1 p du dt a cos fv 1 p dv fu dt a 1 p dw dt z g d u v w 0 x y z dt p RT c dT RT dp Q p dt p dt dq S dt
2 y (y ) [ f ( x x) f ( x)] f ( x x) f ( x) [ f ( x 2x) f ( x x)] [ f ( x x) f ( x)] f ( x 2x) 2 f ( x x) f ( x)
在某些情况下也可取向前或向后的二阶差商。
三．逼近误差
1.定义：差商与导数之间的误差表明差商逼 近导数的程度，称为逼近误差。 2.差商精度：由函数的Taylor展开，可以得到 逼近误差相对于自变量差分（增量）的量级， 称为用差商代替导数的精度。
f ( x x ) ( x ) 2 ( x ) 3 ( x )4 IV f ( x ) x f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) O(( x )5 ) 2! 3! 4! f ( x x ) f ( x ) x IV f ( x ) f ( x ) f ( x) 2 f ( x) x ( x ) ( x )3 O(( x )4 ) 2! 3! 4! f ( x ) O( x )
涡度方程：
i
j
k
V x y z u v w w u u w v u i j k z x x x y z
偏微分方程的离散化方法4
P
3
PPP
P
4
PPP
P
5
PP
P
1P
PP
P
2
P
PPP
P
3
P
PPP
P
4
P
PPP
P
5
P
PP
P
1
P
PP
P
2
P
PPP
P
3
P
PPP
P
4
P
PPP
P
5
P
PP
P
1
P
PP
P
2
P
PPP
P
3
P
PPP
P
4
P
PPP
P
5
P
PP
P
1
P
PP
2
P
PPP
3
P
PPP
4
P
PPP
5
P
PP
3、Crank_Nicolson 差分格式
Crank_Nicolson 差分格式（简称 C_N 格式）是综合显式和隐式格式而构建， 将空间二阶差商取为 n 时刻与 n+1 时刻的算术平均值，则：
Pi
n 1,
j
)
n1/ 2
P P i1, j
n1/ 2 i 1, j
P n1 i, j
Pn i, j
2x 2
2x
t
四、边界条件的处理
（一）、内边界条件处理
定产条件：即井以一定产量 q 生产。如在网格（i，j）上有一口井，产量 q，
则可在渗流方程左边加上产量相，生产井 q 为负，注水井 q 为正。
偏微分方程的数值离散方法
偏微分方程的数值离散方法一维抛物方程是一个常见的偏微分方程，可以用来描述热传导问题。
其一般形式为：∂u/∂t=α(∂²u/∂x²)其中，u是温度的函数，t是时间，x是空间坐标，α是热扩散系数。
为了求解这个方程，我们可以使用显式差分法。
首先，在空间上进行离散化，将连续的空间坐标x划分成离散的节点。
然后，在时间上进行离散化，将连续的时间t划分成离散的时间步长。
通过将偏微分方程中的导数近似为差分，我们可以得到一个差分方程来逼近原方程。
在一维抛物方程中，使用中心差分法可以得到如下的差分方程：(u_i^(n+1)-u_i^n)/Δt=α(u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n)/Δx²其中，u_i^n表示在节点i和时间步n的温度值，Δt和Δx分别是时间步长和空间步长。
然后，我们可以根据初始条件和边界条件来逐步更新节点的温度值，直到达到预定的时间。
另一个常见的偏微分方程是一维波动方程，可以用来描述波动的传播。
其一般形式为：∂²u/∂t²=ν²∂²u/∂x²其中，u是波动的位移函数，t是时间，x是空间坐标，ν是波速。
对于这个方程，我们可以使用数值离散方法，如有限差分法来求解。
类似于抛物方程，我们首先在空间上和时间上进行离散化。
然后，我们根据差分逼近，得到如下的差分方程：(u_i^{n+1}-2u_i^n+u_i^{n-1})/Δt²=ν²(u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n)/Δx²其中，u_i^n表示在节点i和时间步n的位移值。
通过使用适当的初始条件和边界条件，我们可以逐步更新节点的位移值，直到达到预定的时间。
尽管上述方法对于一维问题是有效的，但是对于更复杂的二维或三维问题，就需要使用更高阶的差分方法，如二维抛物方程和二维波动方程中的五点差分法或九点差分法。
此外，还有其他更高级的数值方法，如有限元法和谱方法，可以用于求解偏微分方程。
17 偏微分方程的有限差分法
t i 1 , j t i 1 , j t x 2 2 x x i , j
属于二阶截断公式，比一阶公式精确。
4
3). 二阶导数的中心差分(Central
difference)
t i 1 , j 2 t i , j t i 1 , j 2t 2 2 x 2 x x i, j
t t i 1 2 t i t i 1 2 x x 2 i ,k
2 k k
k
ti ti t i , k
k
k 1
k
ti
k 1
ti
k
ti 1 2ti ti 1 a 2 x
k k
9
为了加快计算的进程而调整x和 的大小 k的系数 1 2 大于或 时，必须遵守使上式中ti x 2 至少等于零。即
1 2 x 2
Hale Waihona Puke 二维非稳态导热均匀网格的显式差分格式， 稳定性条件为：
1 14 0 Fo 2 x 4
12
13
3）. 隐式差分格式（The implicit method)
偏微分方程有限差分法 简介
1
一 建立离散方程的方法 (Discretization of the heat equation)
1. 有限差分法(finite-difference methods)
1)、网格划分(Nodal network/grid/mesh )
把物体分割为有限数目的网格单元，将微分方程变换为差 分方程，通过数值计算直接求取各网格单元节点的温度。
偏微分方程的离散化方法课件
x2 )
从方程可以看出：如果已知第 n（本步时间）的值 Pin ，就可以求得第 n+1
时刻（下步时间）的值
P n1 i
。因此如初始条件，即
n=0
时各网格的
P
值已给定，
就可以依次求得以后各时间的 P 值。这种差分格式是显式差分格式。在显式差分
格式中：只有一个未知数 Pin1 ，由一个方程就可以求出。简单，精度较差，时间
步长受到严格限制，基本不用。
（2）隐式差分：利用 P（x，t）关于 t 的一阶向后差商和关于 x 的二阶差商， 在点（i，n+1）的差分方程：
P n1 i 1
2Pin1 x 2
P n1 i1
P n1 i
Pi n
t
(1
2
) Pi n 1
(
P n1 i1
Pi
n 1 1
)
Pi n
从方程可以看出：如果已知第 n（本步时间）的值 Pin ，为了求得第 n+1 时刻（下
（1）离散空间：把所研究的空间划分成某种类型的网格， 大的空间转化为若干小单元组成，网格之间动态连接，通 常采用矩形网格（正方体）。
（2）离散时间：把研究的时间域分成若干小的时间段， 在每个时间段内，对问题求解，时间段之间有机连接。步 长大小取决于所要解决的实际问题。
离散空间
P
t
离散时间
1、网格系统 它有x，y两个自变量，在平面上用平行线分割成许多网格， 如考虑时间，则。编号：x→i，y→j，t→n。为步长（对三 维z→k）。 节点：网格的交点叫网格节点。取一些与边界s接近的网格 节点，把他们连成折线Sh，Sh所围成的区域记为Dh，Dh 内的节点为内部节点、边界上的节点为边界节点。
详细版第四章偏微分方程的有限差分法.ppt
算
物 理
ui,k1 ui1,k (1 2 )ui,k ui1,k
学 ui,0 (ih)
u0,k g1(k ) ul,k g2 (k )
i=0,1, ,N k=0,1, ,M
.精品课件.
4.2 热传导方程的差分解法
计 显示差分递推公式的稳定性：
算
物 理
ui,k ui',k i,k k i,k
计
算 一维各向同性、均匀介质，且无热源的热传导方程：
物 理 学
u 2u
t x2
0t T 0 xl
为了求解u(x,t)，还必须利用边界条件和初 始条件。
定解条件：边界条件和初始条件。
定解问题：解存在、唯一并且连续依赖初始条件。
.精品课件.
4.2 热传导方程的差分解法
计 对于一维热传导问题（第一类边界条件）
计 同样，在节点（xi,tk）上
算
物
理 学
( x, t )
u xi ,tk u xi ,tk
t xxi
t tk
ui,k 1 ui,k
一阶向前差商O(h)
.精品课件.
4.2 热传导方程的差分解法
计 一维热传导方程可以近似为
算 物 理 学
ui,k 1 ui,k ui1,k 2ui,k ui1,k
理
学
u t0
f1(x, y, z)
u t
t0
f2 (x, y, z)
边界条件：边界受到外界的影响
常见的物理问题可以归结为三大类边界条件
.精品课件.
4.1 有限差分法原理
1 第一类边界条件（狄利克雷Dirichlet）
计
算
u u0(r,t)
偏微分方程的离散化方法
偏微分方程的离散化方法偏微分方程是数学中一个重要的研究方向，它描述了在空间中各点的物理量随时间和空间变化的关系。
在实际问题中，我们常常需要求解偏微分方程的数值解。
然而，偏微分方程的解析解往往很难获得，因此我们需要对偏微分方程进行离散化处理，通过数值方法求解。
离散化方法是将连续的偏微分方程转化为离散的代数方程组的过程。
离散化的基本思想是将自变量和依变量都用有限个点表示，并采用差分近似方式将微分算子离散化。
下面将介绍几种常见的离散化方法。
1. 有限差分方法（Finite Difference Method）有限差分方法是最常用的离散化方法之一、它基于泰勒展开将偏微分方程中的导数项用差分表示，然后在离散点上构建差分方程，最后求解得到数值解。
有限差分方法在空间和时间上都进行离散化，通常采用中心差分或者向前、向后差分的方式来逼近导数项。
2. 有限元方法（Finite Element Method）有限元方法是另一种常用的离散化方法，它将求解区域划分为有限个离散的子区域，称为单元，然后在单元上构建适当的插值函数，将偏微分方程转化为一个代数方程组。
有限元方法在时间上进行离散化，通常采用线性或非线性插值函数来逼近解。
3. 边界元方法（Boundary Element Method）边界元方法是一种特殊的有限元方法，它将偏微分方程转化为边界上的积分方程，从而将偏微分方程转化为一个边界上的代数方程组。
边界元方法只在边界上进行离散化，对内部区域不需要离散化，因此可以减少计算量。
4. 谱方法（Spectral Method）谱方法基于函数在一定函数空间的展开表示，将偏微分方程转化为一个无限维度的代数方程组。
谱方法通过选择合适的基函数，可以获得非常高的数值精度。
常见的基函数包括傅里叶基函数和勒让德基函数等。
除了以上介绍的几种常见离散化方法，还有其他一些方法，如有限体积法、有限差分积分法等。
这些方法各有特点，适用于不同类型的偏微分方程。
偏微分方程的有限差分方法
二阶线性偏微分方程的一般形式为：
A 2 u B 2 u C 2 u D u E u F G u 0 x 1 2 x 1 x 2 x 2 2 x 1 x 2
对于变量 x1 和 x 2 给定的值 xˆ1 和 xˆ 2 若 4 A (x ˆ 1 ,x ˆ 2 ) C (x ˆ 1 ,x ˆ 2 ) B 2 (x ˆ 1 ,x ˆ 2 )
这里，[ u ] ij 表示 u(xi, yj )。上两式分别简记为
x p u x ijh 1 1 2x(pijx[u]i)jO (h1 2)
yp u yijh 12 2y(pij y[u]ij)O (h2 2)
则 L u x p u x y p u y q u f (x ,y ) 在 (i, j) 点被表示为
余弦是 (co,scos)。
由
u nij
u xijc
os u yijc
os
用单侧差商逼近 x方向和 y方向的导数，然后列
出边界网点上的差分方程。
（2）邻近边界的网格点 (xi , yj ) 不在上 可以采用直接转移法近似处理，即将边界
条件用于邻近边界的网格点，然后再在该点列 出差分方程。
2 用积分插值法构造差分格式 3 差分格式的稳定性和收敛性 4 差分方程求解的一些方法
— 数值积分 有限元法
— 函数插值
不同的数值微分和数值积分方法、不同的函数插值方 法，就产生了不同的有限差分法与不同的有限元法。
其它数学基础：
数理方程、数值代数、最优化理论与方法等
偏微分方程的有限差分方法
基本思想：使用离散的、只含有限个未知 数的差分方程去近似代替连续变量的微分方程 及边值条件，并将相应的差分方程解作为(初)边 值问题的近似解。
偏微分方程的离散化方法PPT精选文档
2!
3!
4!
(*)
P(x) xP(x) O(x)
P(x x) P(x) x P(x) (x/2)2 P(x) (x/2)3 P(x)
2
2
2!
3!
P(x) x P(x)O(x)
2
2
16
1、 一 阶 前 差 商
P P ( x x ) P ( x ) ， P Pi1 Pi
x
x
x i
P P ( x x / 2 ) P ( x x / 2 ) ， P Pi1 / 2 Pi1 / 2 忽 略 截 断 误 差 O (( x / 2 ) 2 )
x
x
x i
x
17
1、 二阶差商
将 方 程 (*)正 负 相 加 ,可 得 : P(x x) P(x x) 2P(x) x 2 P '' (x) x 4 P (4) (x) .........
x
2、 一 阶 后 差 商
P P ( x ) P ( x x ) ， P Pi Pi1
x
x
x i
x
3、 一 阶 中 心 差 商
P P ( x x ) P ( x x ) ， P Pi1 Pi1
x
2x
x i
2x
忽 略 截 断 误 差 O(x) 忽 略 截 断 误 差 O(x) 忽 略 截 断 误 差 O (x2)
2
（1）离散空间：把所研究的空间划分成某种类型的网格， 大的空间转化为若干小单元组成，网格之间动态连接，通 常采用矩形网格（正方体）。 （2）离散时间：把研究的时间域分成若干小的时间段， 在每个时间段内，对问题求解，时间段之间有机连接。步 长大小取决于所要解决的实际问题。
偏微分方程离散差分格式差分方法等
偏微分方程离散差分格式差分方法等偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是一类涉及多个独立变量的微分方程，其中至少一个是时间变量。
这类方程广泛应用于物理、工程、金融等领域，解析解往往难以获得，因此需要使用数值方法进行求解。
差分方法是其中一种常用的数值方法，将连续的变量和算子替换为离散的差分近似，从而将偏微分方程转化为代数方程组求解。
差分方法的基本思想是将连续的自变量和函数替换为离散的自变量和函数。
设自变量x的取值范围是[a,b]，将其等分为N个点，即x_i=a+i·△x，其中△x=(b-a)/N。
常见的差分格式有前向差分、后向差分和中心差分。
下面以一维热传导方程为例，介绍差分方法的基本思想和常用格式。
一维热传导方程是描述材料温度分布随时间变化的方程，其数学表达式为∂u/∂t=a·∂²u/∂x²，其中u(x,t)表示温度分布，a是热传导系数。
为了使用差分方法求解该方程，我们需要将偏导数用近似的差分形式替代。
常用的差分格式是中心差分格式，我们将二阶导数的中心差分表示为(∂²u/∂x²)_i=(u_(i+1)-2u_i+u_(i-1))/△x²。
将此近似代入热传导方程，则可以得到u_i^(n+1)=u_i^n+a·△t/△x²·(u_(i+1)^n-2u_i^n+u_(i-1)^n)，其中u_i^n表示在x_i处、t_n时刻的温度，△t表示时间步长。
上述离散方程是一个差分方程，可以通过迭代计算求解。
首先，我们需要给定初始条件u(x,0)，即温度在初始时刻的分布。
然后，使用上述离散方程迭代计算下一个时间步的温度分布，直到达到所需的时间范围。
差分方法的稳定性和精度主要取决于离散精度和时间步长。
差分格式的离散精度决定了近似解和精确解之间的误差大小，一般而言，中心差分格式具有二阶精度。
偏微分方程的数值解法 差分法
偏微分方程的数值解法差分法
偏微分方程是描述自然现象和工程问题的重要数学工具。
它们出现在许多领域，如物理学、化学、工程学等。
由于解析求解偏微分方程的方法往往非常困难，因此需要数值方法来求解。
差分法是偏微分方程数值解法中的一种常用方法。
它的基本思想是通过将区域离散化为网格，将偏微分方程转化为离散化方程组。
然后使用迭代算法求解方程组，得到数值解。
差分法的主要优点是易于理解和实现。
通过选取不同的差分格式和网格划分方法，可以得到不同精度和稳定性的数值解。
此外，差分法还可以方便地处理不规则区域和非线性问题。
在使用差分法求解偏微分方程时，需要注意选择合适的网格划分和差分格式。
同时，还需要考虑数值解的稳定性和精度，以及计算效率等问题。
总之，差分法是求解偏微分方程的常用数值方法，对于解决实际问题具有重要的应用价值。
- 1 -。
偏微分方程差分方法
偏微分⽅程差分⽅法第9章偏微分⽅程的差分⽅法含有偏导数的微分⽅程称为偏微分⽅程。
由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分⽅程的精确解⼀般是不可能的，经常采⽤数值⽅法求⽅程的近似解。
偏微分⽅程的数值⽅法种类较多，最常⽤的⽅法是差分⽅法。
差分⽅法具有格式简单，程序易于实现，计算量⼩等优点，特别适合于规则区域上偏微分⽅程的近似求解。
本章将以⼀些典型的偏微分⽅程为例，介绍差分⽅法的基本原理和具体实现⽅法。
9.1椭圆型⽅程边值问题的差分⽅法9.1.1 差分⽅程的建⽴最典型的椭圆型⽅程是Poisson （泊松）⽅程G y x y x f yux u u ∈=??+??-≡?-),(),,()(2222 （9.1）G 是x ,y 平⾯上的有界区域，其边界Γ为分段光滑的闭曲线。
当f (x ,y )≡0时，⽅程（9.1）称为Laplace(拉普拉斯）⽅程。
椭圆型⽅程的定解条件主要有如下三种边界条件第⼀边值条件 ),(y x u α=Γ（9.2）第⼆边值条件),(y x nuβ=??Γ（9.3）第三边值条件 ),()(y x ku nuγ=+??Γ（9.4）这⾥，n 表⽰Γ上单位外法向，α(x,y ),β(x,y ),γ(x,y )和k (x,y )都是已知的函数，k (x,y )≥0。
满⾜⽅程（9.1）和上述三种边值条件之⼀的光滑函数u (x ,y )称为椭圆型⽅程边值问题的解。
⽤差分⽅法求解偏微分⽅程，就是要求出精确解u (x ,y )在区域G 的⼀些离散节点（x i ，y i ）上的近似值u i ,j ≈(x i ，y i ）。
差分⽅法的基本思想是，对求解区域G 做⽹格剖分，将偏微分⽅程在⽹格节点上离散化，导出精确解在⽹格节点上近似值所满⾜的差分⽅程，最终通过求解差分⽅程，通常为⼀个线性⽅程组，得到精确解在离散节点上的近似值。
设G ={0<x <a="" ,="" 0<y="" <b="" }为矩形区域，在x="" ,y="" 平⾯上⽤两组平⾏直线<="" p="" bdsfid="97">。
偏微分方程的基本方法
偏微分方程的基本方法偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
解决偏微分方程的问题是这些领域中的关键任务之一。
本文将介绍偏微分方程的基本方法，包括分类、求解技巧和应用。
一、偏微分方程的分类偏微分方程可以分为线性偏微分方程和非线性偏微分方程两大类。
1. 线性偏微分方程线性偏微分方程是指方程中的未知函数及其偏导数之间的关系是线性的。
常见的线性偏微分方程有波动方程、热传导方程和拉普拉斯方程等。
求解线性偏微分方程的方法主要包括分离变量法、变换法和特征线法等。
2. 非线性偏微分方程非线性偏微分方程是指方程中的未知函数及其偏导数之间的关系是非线性的。
非线性偏微分方程的求解相对复杂，常用的方法有变分法、数值方法和近似解法等。
二、偏微分方程的求解技巧1. 分离变量法分离变量法是求解线性偏微分方程的常用方法。
它的基本思想是将多元函数的偏导数分离成单变量函数的导数，从而将原方程转化为一系列常微分方程。
通过求解这些常微分方程，再将解合并，即可得到原偏微分方程的解。
2. 变换法变换法是通过引入适当的变量变换，将原偏微分方程转化为更简单的形式。
常见的变换方法有特征变量法、相似变量法和积分变换法等。
变换法的关键是选择合适的变换，使得新的方程更易求解。
3. 特征线法特征线法适用于一类特殊的偏微分方程，如一阶线性偏微分方程和一些非线性偏微分方程。
它的基本思想是通过沿着特征线进行变量替换，将原方程转化为常微分方程。
通过求解这些常微分方程，再将解映射回原坐标系，即可得到原偏微分方程的解。
三、偏微分方程的应用偏微分方程在科学和工程领域有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 物理学偏微分方程在物理学中的应用非常广泛，如波动方程用于描述声波、光波等的传播；热传导方程用于描述热量的传导；薛定谔方程用于描述量子力学中的粒子行为等。
偏微分方程的离散化方法4
偏微分方程的离散化方法4偏微分方程的离散化方法4偏微分方程是描述自然现象和物理过程的重要数学工具。
离散化方法是对偏微分方程进行数值求解的一种常用方法，通过将连续的自变量离散化成一系列离散点，将偏微分方程转化为一组代数方程，从而实现通过数值计算求解偏微分方程的目的。
离散化方法有多种，本文将介绍四种常用的离散化方法：有限差分法、有限元法、谱方法和配点法。
一、有限差分法（Finite Difference Method）有限差分法是一种常用的离散化方法，它将偏微分方程中的导数项用差商逼近。
对于偏微分方程中的一阶导数项，可以使用一阶中心差分公式进行离散化：\[f'(x_i) = \frac{f(x_{i+1})-f(x_{i-1})}{2h},\]其中$h$为离散步长。
对于二阶导数项，可以使用二阶中心差分公式：\[f''(x_i) = \frac{f(x_{i+1})-2f(x_i)+f(x_{i-1})}{h^2}.\]根据具体问题的边界条件，可以将偏微分方程离散化为一组代数方程，通过求解这组代数方程得到数值解。
二、有限元法（Finite Element Method）有限元法是一种广泛应用于结构力学、流体力学等领域的离散化方法。
与有限差分法类似，有限元法也将偏微分方程中的导数项离散化，但是它将求解区域划分为若干个小区域，称为有限元。
每个有限元内部的离散点称为节点，假设在每个有限元内，问题的解可以用一个简单的多项式逼近，如线性多项式或二次多项式。
在每个有限元内，偏微分方程的解用这些节点的函数值进行近似，通过确定节点上的函数值可以得到整个求解区域上的数值解。
三、谱方法（Spectral Method）谱方法是一种基于函数空间变换的离散化方法，它可以达到很高的精度。
谱方法基于傅里叶分析的思想，使用特定选择的基函数进行近似。
对于一维偏微分方程，可以使用傅立叶级数或切比雪夫多项式作为基函数。
偏微分方程差分方法
第9章 偏微分方程的差分方法含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。
由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分方程的精确解一般是不可能的，经常采用数值方法求方程的近似解。
偏微分方程的数值方法种类较多，最常用的方法是差分方法。
差分方法具有格式简单，程序易于实现，计算量小等优点，特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。
本章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。
9.1椭圆型方程边值问题的差分方法9.1.1 差分方程的建立最典型的椭圆型方程是Poisson （泊松）方程G y x y x f yux u u ∈=∂∂+∂∂-≡∆-),(),,()(2222 （9.1）G 是x ,y 平面上的有界区域，其边界Γ为分段光滑的闭曲线。
当f (x ,y )≡0时，方程（9.1）称为Laplace(拉普拉斯）方程。
椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件第一边值条件 ),(y x u α=Γ （9.2） 第二边值条件),(y x nuβ=∂∂Γ （9.3） 第三边值条件 ),()(y x ku nuγ=+∂∂Γ （9.4） 这里，n 表示Γ上单位外法向，α(x,y ),β(x,y ),γ(x,y )和k (x,y )都是已知的函数，k (x,y )≥0。
满足方程（9.1）和上述三种边值条件之一的光滑函数u (x ,y )称为椭圆型方程边值问题的解。
用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精确解u (x ,y )在区域G 的一些离散节点（x i ，y i ）上的近似值u i ,j ≈(x i ，y i ）。
差分方法的基本思想是，对求解区域G 做网格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确解在网格节点上近似值所满足的差分方程，最终通过求解差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在离散节点上的近似值。
设G ={0<x <a , 0<y <b }为矩形区域，在x ,y 平面上用两组平行直线x =ih 1, i =0,1,…,N 1, h 1=a /N 1 y =jh 2, j =0,1,…,N 2, h 2=b /N 2将G 剖分为网格区域，见图9-1。
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G1 if 1
• 1 称为CFL条件 (Courant, Friedrichs, Levy)
11
3.1.5 守恒型差分格式
• 流体力学方程组描述物理量的守恒性；守恒律组：
• 定义
u d f 0
t i1 xi
对于一维单个守恒律：
u f (u) 0 t x 其差分格式如果具有如
下形式
u n1 j
( 1 ) p 2 p 1 k 2 p 1 p0
格式稳定的充分必要条
件是
( 1 ) p 2 p k 2 p 0 , k p 1
偶次项系数 满足 : ( 1 ) p 2 p 0
对于（ 2）：
1
c，
2
0, 3
1 6
c(c 2 t2
x2)
4
1 c2t 8
(3c 2 t2 x 2 )
2
x
e x
u
(4)
记算子
t
(e t
1)
t
u t
1 t2 2!
2u t2
1 t3 3!
3u t3
则
t
(e t
1)2
t2
2u t2
1 2
1 2
t 3
3u t3
2
1 6
1 2
1 2
t 4
4u t4
t
(e t
1)3
t3
3u t3
1
1 2
t 4
4u t4
u n1 j
t x
~f
n j
1
2
~f
n j
1
2
则为守恒型差分格式。
其中
~f
n j
1
称为数值通量，它是
2 l 个变量的多变量函数：
2
~f
n j
1
~f
(u
n jl
1
,
u
n j
l
2,
,
u
n jl
),
2
~f 满足相容性条件 :
~f (u , u , u ) f (u )
12
3.1.5 守恒型差分格式（续）
符合 War min g Hyett 稳定性判别条件
. why CFL 1 for scheme (2) ?
8
3.1.4 差分方法的理论基础
• 相容性，稳定性，收敛性 • 等价性定理 • Fourier稳定性分析
9
3.1.4 差分方法的理论基础（续）
• Fourier (Von Neumann) 稳定性分析
u
t
k
k 1
ku xk
p0
2 p1
2 p1u x 2 p1
2p
p 1
2pu x2p
(5)
7
3.1.3 差分方程的修正方程(续)
u
t
k
k 1
ku xk
基本解为
p0
2 p1
2 p1u x 2 p1
2p
p 1
2pu x2p
e e ( i ) t ikx
( 1 ) p 2 p k 2 p p 1
t
(e t
1)4
t4
4u t4
可以将
t 表示成
t
(e t
1 ) l 的级数
t
t
t
l1
b l
e
t t
1 l , b 1
1, b 2
1 2
,b3
1 3
,b3
3 8
最后得到
t
t
b
l
e
t
t
1 l
l1
l
bl
1 2
e
x
x
x
e x
1 2
2
e
x
x
2
x
e x
即有
满足稳定性要求的
amplificat ion factor G
A n1
G An 1
10
3.1.4 差分方法的理论基础（续）
• Fourier (Von Neumann) 稳定性分（续）
G1eikx 1(coksxisinkx) 1(1coskx)isinkx
G2 1(1coskx)2 2sin2 kx14(1)sin2kx,
u
n j
1 2
u j1 u j1
1 2
2
u j1
2u j
u j1
(2)
Taylor 展开
u n1 j
u
n j
t
u t
1 t2 2!
2u t 2
1 t3 3!
3u t 3
t
(e t 1)u
u
j 1
u
j
x
u x
1 2!
x2
2u x 2
1 3!
x3
3u x3
x
(e x 1)u
x
u j1 (e x 1)u ( 2 ) 等价于：
u 1 t t 2
2u t 2
1 t2 6
3u t 3
c
u x
1 x2 6
3u x3
c
2
t
1 2
2u x 2
1 24
4u x 4
(3)
• 差分方程(2)写成算子的形式：
6
3.1.3 差分方程的修正方程 (续)
t
(e t
1)u
1 2
x
(e x
x
e x )u
1 2
2
e
x
x
（三）偏微分方程的数值离散方法
• 3.1 有限差分法 • 3.2 有限体积法 • (有限元，谱方法，谱元，无网格，有限
解析，边界元，特征线）
2
3.1 有限差分法
• 3.1.1 模型方程的差分逼近 • 3.1.2 差分格式的构造 • 3.1.3 差分方程的修正方程 • 3.1.4 差分方法的理论基础 • 3.1.5 守恒型差分格式 • 3.1.6 偏微分方程的全离散方法
• 守恒性质：
守恒型差分格式对 j求和 :
j J
u
n j
1
x
jJ
jJ
u
n j
x
jJ
~f n J
1
t
2
~f n J
1
t
2
再对 n求和 :
jJ
u
n j
1
x
jJ
jJ
u
0 j
x
jJ
N k 0
~ f
k
J
1
t
2
N k 0
~ f
k
J
1
t
2
可以看成是积分
u ( x, t )dx xJ1/ 2
x J 1 / 2
3
3.1.1 模型方程的差分逼近
4
3.1.2 差分格式的构造
5
3.1.3 差分方程的修正方程
• 差分方程所精确逼近的微分方程称为修正方程 • 对于时间发展方程，利用展开的方程逐步消去带时间的高阶导数，只留空间导数。 • Warming-Hyett方法：
u c u 0
(1)
t x
u
n 1 j
uin 1 tuinc 1 x(uin 1uin)0 , c0(1)
设 c t x
误差的基本解
代入 (1 ) :
u
n i
A n e ikx i
u n1 i
A e n 1 ikx i
u A e n
n ikx i1
i1
u
n 1
u
n i
(
u
n i
u
n i
1
)
A e n 1 ikx i A n e ikx i ( A en ikx i A e ) n ikx i1
偏微分方程离散差分格式差分方法等
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
n 1
xJ 1/ 2 u ( x,0)dx
x J 1 / 2
t 0
n
1
u
(
x
J
1
,
t
)
dt