高阶系统性能计算(完整版)
3.4高阶系统
1、高阶系统的一般形式
Rs
Gs H s
Y s
• 闭环传函
bm s m bm1 s m1 b1 s b0 G s R s 1 G s H s an s n an1 s n 1 a1 s a0 Y s G s
闭环极点远离虚轴，则相应的瞬态分量衰减得快，系统的调整时间也就较短。 闭环零点只影响系统瞬态分量幅值的大小和符号 所有闭环的极点均具有负实部 表示过渡过程结束后，系统的输出量（被控制量）仅与输入量（控制量）有关 闭环极点均位于S左半平面的系统，称为稳定系统
主导极点 如果系统中有一个(极点或一对)复数极点距虚轴最近， 且附近没有闭环零点；而其它闭环极点与虚轴的距离都比该极点与虚 轴距离大5倍以上，则此系统的响应可近似地视为由这个（或这对）极 点所产生。
q
r
2
2 Kk s k2
1 s
• q 为实数极点的个数，r 为共轭复数极点的个 数， q 2r m 。设上述极点互异并都位于平面的 左半平面，则经过整理后
A0 Y s s
ss s
j 1 j k 1
q
Aj
r
Bk s Ck
2 2 2 Kk s k
• 经拉氏反变换
y t A0 A j e
j 1 r q sjt
2 2 Bk e k ωk t cos 1 k ωk t C k e k ωk t sin 1 k ωk t k 1
7 第七讲 高阶系统
1.32
Re
如果输入为单位阶跃函数， 则稳态输出为：
1.25 Css = lim 2 = 1.25 s→∞ (s / 4 + 3s / 4 + 1)
图.SP7.1.1
-1.32
ζ = 0.75
PO=2.84% (Fig. 4.17) Tp=π/ωd=2.38rad/s
ωd =1.32rad / s
线性控制系统工程
第七章 高阶系统
第七章 高阶系统
◆ 降阶为低阶系统
C 100 (s) = R (s + 2)( s + 10)
例： 一个高阶系统
两种形式： 伊文思形式 ➡ 伯德形式 ➡
-10
-2
C 100 (s) = R (s + 2)(s + 10)
C 5 (s) = R (1 + s / 2)(1+ s / 10)
可见随着实数零点作用越强，超调量随之增加
◆ 闭环零点的出处
根据前向通道和反馈通道的传递函数， 可以得到闭环零点。
X
+ -
Y A/ B = X 1+ AC / BD
Y AD = X BD+ AC
A s) ( B(s) (s C(s) D(s)
Y
图.7.7 一般反馈系统
其特征方程为
BD+ AC = 0
0 0.5
τ
=∞
1
τ 1 =2 τ
τ
=5
1
=1 1 = 0.5
τ
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Time (s)
第四节高阶系统分析
等式两端计算： [sC(s)] |s=0
A0 = 1 留数法
同理， 等式两端计算： [(s + p3 )C(s)] |s=− p3
A3
=
ζ
2β
−1 (β −
2)
+1
两端计算：
C ( s )( s 2
+
2ζωn s
+ωn2来自)|s=−ζωn ±
jωn
1−ζ 2
可列出两个方程，求解得：
A1
=
−ζ ζ 2β
对于不能简化为低阶系统的高阶系统，可采用数值计算 的方法进行仿真，得出系统的瞬态性能指标。
Saturday, October 05, 2013
2
一个高阶系统的例子：
Φ(s) =
10
s(s +1)(s +10)
令 Φ(s) = a + b + c 部分分式法（待定系数法） s s +1 s +10
第四节 高阶系统分析
Saturday, October 05, 2013
自动控制原理B
面向专业：微电子系
授课教师：刘剑毅
1
overview 在控制工程中，几乎所有的控制系统都是高阶系统，即 用高阶微分方程描述的系统。
分析高阶系统的基本思路是将其简化为一、二阶系统。
工程上常采用闭环主导极点的概念对高阶系统进行近似 分析，得到动态性能指标的估算公式。
⎪⎩ 10a = 10
⎪⎩ c = 1/ 9
求该系统的单位脉冲响应: C(s) = Φ(s) ⋅1 = 1 − 10 1 + 1 1 s 9 s +1 9 s +10
Saturday, October 05, 2013
二阶及高阶控制系统性能改善
实验二二阶及高阶控制系统性能改善1．教材P80-82中指出，在工程实践中可通过在系统中增加合适的附加装置改善二阶系统的性能，比如增加比例微分控制器，或者增设微分负反馈，可使得欠阻尼二阶系统的等效阻尼比增大，从而使系统超调量减小。
设计一个验证程序，通过绘制阶跃响应曲线和性能参数计算，验证相关观点的正确性。
程序：s=tf('s');wn=4;kesai=0.4;G1=(wn^2)/(s*(s+2*kesai*wn));step(feedback(G1,1),5);grid on;figure;for tao=0.2:0.05:0.3;G2=(tao*s+1)*(wn^2)/(s*(s+2*kesai*wn));step(feedback(G2,1),2.5);hold on;endfigure;for tao=0.1:0.1:1;G3=(wn^2)/(s^2+2*kesai*wn*s+tao*s*(wn^2));step(feedback(G3,1));hold on;end绘制原始响应曲线与改善后响应曲线如图：改造前，超调量25.4%，调节时间2.1秒增加比例微分控制后，当tao=0.2时，超调量3.13%，调节时间1.21秒Step ResponseTime (sec)A m p l i t u d e00.20.40.60.811.21.4增加微分负反馈控制后，当tao=0.1时，超调量9.48%，调节时间1.49秒当tao=.02时，超调量1.52%，调节时间0.939秒2．如图1所示的高阶系统属于结构不稳定系统，无论放大系数K 如何取值，系统都不稳定，试验证之。
结合教材P89中介绍的方法，如将系统中的一个积分环节改为惯性环节，或者在系统前加入比例微分控制，只要参数合适，不但可使之稳定还可获得不错的性能指标。
试编程绘制改造前后的阶跃响应曲线，并计算改造后的性能参数以证明之。
（设T=2）1程序：s=tf('s');T=2;for K=0.3:0.3:1.2;G1=K/(s^2*(T*s+1));step(feedback(G1,1));hold on ;end原始函数不同K 值阶跃响应曲线：1.改变环节的积分性质程序：s=tf('s');T=2;for K=0.1:0.3:1.2;G1=K/(s*(s+1)*(T*s+1));-1-0.50.511.522.5x 1053Step ResponseTime (sec)A m p l i t u d estep(feedback(G1,1));hold on;end曲线：2.增加比例微分控制程序：s=tf('s');T=2;for K=0.1:0.1:0.4;for tao=3:6;G1=K/(s^2*(T*s+1));G2=(tao*s+1)*(G1);step(feedback(G2,1));hold on;endfigure;end曲线（按k由小到大依次排列）：。
高阶系统性能分析
题 目: 高阶系统性能分析 初始条件：设单位系统的开环传递函数为122(1)()(24)(1)p K s G s s s s s ττ+=+++ 要求完成的主要任务: （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）1、 当120ττ==时，绘制根轨迹并用Matlab 求取单位阶跃响应、单位斜坡响应，并求取动态和稳态性能指标2、 当12120.2,05,0ττττ====和时，分别绘制闭环系统根轨迹并用Matlab 求取单位阶跃响应、单位斜坡响应，并求取动态和稳态性能指标 3、 当12120,0.20,5ττττ====和时，分别绘制闭环系统根轨迹并用Matlab 求取单位阶跃响应、单位斜坡响应，并求取动态和稳态性能指标 4、 比较上述三种情况的仿真结果，分析原因，说明增加零极点对系统性能的影响。
时间安排：指导教师签名： 年 月 日系主任（或责任教师）签名： 年 月 日高阶系统性能分析1.课设分析1.1课设目的1.了解高阶系统的稳态性能，动态性能与系统开环传递函数零极点的关系。
2.学习并熟悉根据系统开环传递函数作系统根轨迹曲线。
3.学会运用matlab求系统的阶跃响应，斜坡响应，观察系统动态性能。
运用matlab绘根轨迹曲线。
1.2分析过程1.在控制过程中，几乎所有的系统都是高阶系统，即用高阶微分方程描述的系统，其动态性能指标的确定是比较复杂的，工程上常采用闭环主导极点的概念对高阶系统进行近似分析，或直接应用MATLAB软件进行高阶系统分析。
2.在此次高阶系统分析之中，将待求的三个状态进行比较，可以将第一参数状态为原型系统的传递函数，第二类为添加不同零点的开环传递函数，第三类为添加不同极点的开环传递函数。
3.在运用matlab对系统进行创建和时域分析时，进行时域分析的传递函数是闭环传递函数，在绘制根轨迹曲线时参照的传递函数是开环传递函数。
4.系统的稳态性能在本次课设中为稳态位置误差，稳态速度误差，动态性能有五个指标：延迟时间td ,上升时间ts,峰值时间tp,调节时间ts,超调量σ%。
第四节高阶系统分析
5
三阶系统单位阶跃响应
e p3t c(t ) 1 2 ( 2) 1 e nt [ 2 ( 2) 1] 2 2 { ( 2) cos d t sin d t}, t 0 2 ( 2) 1 1
1 10 1 10 1 1 1 C ( s) ( s) s s( s 1)(s 10) s 9 s 1 9 s 10
c(t ) 1 10 t 1 10t e e 9 9
Sunday, March 31, 2019
11
高阶系统的定性分析
零点的影响 零点不影响响应的形式。零点只影响各项的系数。零点若 靠近某个极点，则该极点对应项的系数就小。 偶极子 若有一对零极点之间的距离是极点到虚轴距离的十分之一 以上，这对零极点称为偶极子。偶极子对瞬态响应的影响可以 忽略。 系数 a j , l , l 取决于零、极点分布。有以下几种情况： 若极点远离原点，则系数小； 极点靠近一个零点，远离其他极点和零点，系数小； 极点远离零点，又接近原点或其他极点，系数大。
c(t ) a0 et (1 cosd t 1 sin d t )
Sunday, March 31, 2019
13
主导极点及应用
[利用主导极点的概念可以对高阶系统的特性做近似的估计分析]
具有主导极点的高阶系统可近似为二阶或一阶系统。此时 高阶系统的特性可用等效低阶系统的特性做近似的估计分析。 高阶系统近似简化原则： 在近似前后，确保输出稳态值不变； 在近似前后，瞬态过程基本相差不大。 具体规则是：在时间常数形式的开环或闭环传递函数上略去小 时间常数。
衰减慢且系数大的项在瞬态过程中起主导作用。
Sunday, March 31, 2019
自控理论 3-4高阶系统分析
C(t) 1.16 1.0 0.05
t
3.2 4.6 7.0
作图得 σ % = 16%
t r = 3.2
t p = 4.6
ts = 7
ω n = 0.8
可作为主导极点， β = 10.5， s1 s2 可作为主导极点， ζ = 0.5 原系统闭环增益 K = Φ ( 0) = 1
利用主导极点近似成二阶系统后，应保持Φ(0)不变。 Φ(0)不变 利用主导极点近似成二阶系统后，应保持Φ(0)不变。
式中 s1, 2 = −ζω n ± jω n 1 − ζ
2
1 增加闭环极点： 增加闭环极点：s 3 = − T
单位阶跃响应
e s 3t e − ζωn t c( t ) = 1 − − 2 βζ ( β − 2) + 1 βζ 2 ( β − 2) + 1 βζ ζ 2 ( β − 2) + 1 2 sin ω d t βζ ( β − 2) cos ω d t + 1−ζ 2
[
]
( 3 − 67 )
jω ω
式中 β =
ζω n
s3
− s3
s1
- ζωn σ 0
取ζ=0.5,以β为参变量作 =0.5, c(t)和 ωnt 的关系曲线 。 (t)和 图3-31
s2
结论
(1)附加一个闭环极点, 将使 σ％↓ ，r ↑, tp ↑。 t (2)增加的极点离虚轴越近上述影响越显著。 , 上述影响越显著。 (3)当β < 1, 呈现过阻尼响应迟缓。 ,响应迟缓。 (4)当β闭环主导极点
1.定义 对系统的暂态响应起主导作用的极点。 定义 对系统的暂态响应起主导作用的极点。 2.满足以下两个条件： 满足以下两个条件： 满足以下两个条件 (1)距虚轴比较近 且附近没有其它的闭环零点与极点。 距虚轴比较近,且附近没有其它的闭环零点与极点 距虚轴比较近 且附近没有其它的闭环零点与极点。 (2)其实部的绝对值应比其它极点的实部绝对值小五 其实部的绝对值应比其它极点的实部绝对值小五 倍以上。 倍以上。 靠近虚轴的极点相对于远离虚轴的极点来说， 靠近虚轴的极点相对于远离虚轴的极点来说， 其所对应的响应分量，随时间的推移衰减的慢， 其所对应的响应分量，随时间的推移衰减的慢， 因而在系统的时间响应过程中起主导作用； 因而在系统的时间响应过程中起主导作用；而远 离虚轴的极点由于其对应的分量随时间的推移衰 减的快， 减的快，所以可在高阶系统分析中略去远极点对 系统响应的影响。 系统响应的影响。
自动控制原理 ch 3-3 快速性分析——高阶系统
电弧焊熔焊直径控制
幸运的是，高阶系统通常都可以近 似为一阶和二阶控制系统的形式！
希望 Rs 直径
控制器
焊接过程
K 电弧 s 2 电流
1 0.5s 1s 1
C s
熔焊 直径
1 0.005s 1 视觉传感器
K 10
s
0.05s 10 0.0025s 4 0.5125s 3 2.52 s 2 4.01s 3
2 h
1 s
s pi
i 1
n
A Ak 1 0 s s k 1 s pk
n
q r A0 Ai B s Ch 2 h 2 s i 1 s pi h 1 s 2 h h h
A0 s C s |s 0
Ak s pk C s |s pk
m m 1
* 零极点 K s z1 s z 2 s z m s p1 s p2 s pn 形式
对高阶系统的瞬态响应起主导作用！ 偶极子
—— 如果闭环零点和极点的距离比其模值小一个数 量级，则该极点和零点构成一对偶极子，可以对消。
K * s z j
返回
C s
0 .2 5 1 0.0388 s 0.0302 1.0776 s s 0.2 s 2 2 s 5 s s2 2s 5 s 0 .2
n s0
15 8 6 4
呈一阶系统特性！
s0 n
2 1 0.8 0.6 0.4 s0 0.2
前页
距离虚轴近的闭环极点，对应的响应分量衰减得慢， 在整个响应中起主导作用，是主导极点。 闭环零点只影响各极点处留数的大小，即各个瞬态 分量的系数（相对强度）。 如果在某一极点附近存在零点，则其对应的瞬态分 量的强度将变小。一对靠得很近的零点和极点其瞬 态响应分量可以忽略——偶极子。 前页
3-4高阶系统的时域分析
h(t ) = 1 -
1
e - sot
bz 2(b - 2) + 1
-
e - zwn t
[bz 2(b -
bz 2(b - 2) + 1
2) cos wn
1- z 2t
bz (z 2(b - 2) + 1)
+
1- z2
sin wn
1- z2t]
由于
b 2 ( b 2 ) 1 2 ( b 1 ) 2 ( 1 2 ) 0 , b S 0 /w n
2、 超调量的计算
n
m
si
s% i3 n
s1 zi
i1
estp 10% 0
m
s1 si
zi
i3
i1
结论： （1）闭环零点会减小系统阻尼。 （2）闭环非主导极点会增大系统阻尼。 （3）若系统不存在闭环零点和非主导极点，则
s%e/ 12 10% 0
3、 调节时间的计算
s i为 D ( s ) 0 的 根 ， 称 为 闭 环 极 点 。
当输入为单位阶跃函数时，
m
K (szi)
C (s)q
i 1 r
(ssj) (s22k
ksk 2)1 sA s0jq 1s A jsjkr 1s2 B 2 ksk k C skk 2
ts 1n ln2
n
si
i2 n
s1 si
m
s1 zi
i1 m
zi
i2
i1
结论：
（1）闭环零点越接近虚轴，峰值时间越小，超调量 和调节时间越大；
自动控制原理课件5第五节高阶系统分析
Sunday, April 15, 2012
11
小结
零、极点位置对高阶系统单位阶跃响应曲线的影响情况。 极点位置决定衰减快慢，零点和极点同时决定各项系数的大 小 主导极点 非主导极点判断原则
Sunday, April 15, 2012
12
5
主导极点及应用
主导极点在c(t)中的对应项衰减最慢，系数最大，系统的瞬 态性能指标主要由它决定。具有主导极点的高阶系统可近似为 二阶系统。 [例如]： − p1, 2 = −ζ 1ω n1 ± jω n1 1 − ζ 1 = −σ ± jω d 为某高阶系统 的主导极点，则单位阶跃响应近似为：
2
[分析]：三阶系统的单位阶跃响应由三部分组成：稳态项，共轭 复极点形成的振荡分量，实极点构成的衰减指数项分量。 影响瞬态特性的有两个因素：第一是 ζω ，它表示 − p3和 − p1 ,− p2 的相对位置。当 η >> 1 时，表示 − p3 离虚轴 − 远， p1 ,− p2 离虚轴近，系统的瞬态特性主要由 − p1 ,− p2 决定， η 时，表示 << 1 − p3 呈二阶系统的特性。反之，当 离虚轴近， − p1 ,− p2离虚轴远，系统的瞬态特性主要由 − p 决定，呈一阶 3 系统的特性。第二个因素是阻尼系数ζ ，同前。如下图所示：
Sunday, April 15, 2012
2
高阶系统分析，单位阶跃响应
∴ c(t ) = a0 + ∑ al e − pl t
l =1
q
+ ∑ bk e −ζ k ωk t cos ωk 1 − ζ k 2 t − ∑ ck e−ζ k ωk t sin ωk 1 − ζ k 2 t
k =1 k =1
自动控制原理第三章2高阶系统
PID控制器的优化设计
通过优化算法，对PID控制器进行优 化设计。
高阶系统的状态反馈设计
状态反馈的设计原则
根据高阶系统的状态变量，设计状态反馈控 制器。
状态反馈的极点配置
通过配置状态反馈控制器的极点，实现系统 性能的优化。
状态反馈的鲁棒性分析
分析状态反馈控制器对系统参数变化的鲁棒 性。
状态反馈的优化设计
高阶系统的优化设计
通过优化算法，如遗传算法、粒子群算法等 ，对高阶系统进行优化设计。
高阶系统的PID控制设计
PID控制器的参数整定
根据高阶系统的特性，整定PID控制 器的比例、积分和微分参数。
PID控制器的稳定性分析
通过分析PID控制器的极点和零点， 判断系统的稳定性。
PID控制器的抗干扰能力
考虑PID控制器对外部干扰的抑制能 力，提高系统的鲁棒性。
通过研究高阶系统的 特性，可以提高对复 杂系统的理解和控制 能力。
高阶系统在飞行器控 制、机器人导航等领 域有重要应用。
高阶系统在自动控制中的应用
在复杂工业过程中， 高阶系统是常见的被 控对象，如多变量控 制系统。
通过研究高阶系统的 特性，可以提高对复 杂系统的理解和控制 能力。
高阶系统在飞行器控 制、机器人导航等领 域有重要应用。
缺点
对于高阶系统，根轨迹分析可能比较复杂，计算量大。
高阶系统的状态空间分析
状态空间分析是在状态空间中对系统进行分析的方法 ，通过建立系统的状态方程和输出方程来描述系统的
动态行为。
输入 标题
描述
状态空间分析通过求解状态方程和输出方程来得到系 统的状态响应和输出响应，可以全面了解系统的动态 性能和稳定性。
CATALOGUE
高阶系统第二部分
自动控制理论实验课程实验三：高阶系统稳定性分析实验第二部分：临界稳定增益求解和阶跃响应分析主讲内容1典型Ⅰ型三阶闭环系统2高阶系统稳定性实验分析2高阶系统增益对输出的影响典型Ⅰ型三阶单位反馈闭环系统的系统框图以及各环节传递函数：一、典型Ⅰ型三阶闭环系统1、传递函数)1)(1(111)()()()(21212211321++=⋅+⋅+==S T S T TiS K K TiS S T K S T K S G S G S G S G 212121)1)(1()(1)()(KK S T S T TiS K K S G S G S +++=+=φ系统开环传递函数：系统闭环传递函数：)s (R +-111+S T K 122+S T K )s (C ST i 1（式2）(式1)典型Ⅰ型三阶闭环系统的模拟电路图：2、模拟电路构成100K 100K-+100KR1 500KR2 100K100KR4 500K10K10KC1 2uC2 1uC3 1u可变电阻R-+-+-+-+R （t ）C （t ）本例中的Ⅰ型三阶单位反馈闭环系统模拟电路由一个积分环节和两个惯性环节构成：将模拟电路中的各环节参数带入，得到该电路的开环传递函数为：SS S K S S S K S G ++=++=236.005.0)15.0)(11.0()(该电路的闭环传递函数为：KS S S KK S S S K S +++=+++=236.005.0)15.0)(11.0()(φ其中：积分时间常数：惯性时间常数：111=⨯=C R T i 1/231==R R K 1.0231=⨯=C R T 5.0342=⨯=C R T RK R R K /500/4==（式3）（式4）二、高阶系统临界稳定增益计算举例1、劳斯判据法闭环系统的特征方程为：特征方程标准式：把各项系数代入特征方程标准式，对照劳斯表规则，建立得Routh 行列阵为：06.005.0,0)(123=+++⇒=+K S S S S G 0322130=+++a S a S a S a 006.005.06.06.0105.00001233130211312203KSKS K S S a Sa a a a a S a a S a a S −⇒−以上一节中的典型Ⅰ型三阶单位反馈闭环系统为例，进行系统稳定性分析和临界稳定增益计算。
自动控制原理课件：3_3高阶系统分析
1
3—4 高阶系统的分析
一、高阶系统时域解的一般形式
传递函数形式：
∏∏==−−−−=−−−−−−=
++++++==n
j i
m
i i
n m n
n n m
m m p s z s K
p s p s p s a z s z s z s b a s a s a b s b s b s R s C s G 1
1*
210210110110)
()
()
())(()())(()()()(L L L L 2
如果闭环极点各不相同
在单位阶跃输入下
*
1
11
()
11()()
m
i
n i i n
i i
i
j s z a C s K
s s s s s p ===−==+−−∏∑∏ 拉氏反变换
21
1
1
()11sin(1)
i i k k q
n
r
s t s t i i k k k k i i k C t A e A e A e ξωωξφ−====+=++−+∑∑∑q+2r=n
3
二、高阶系统的低阶近似
z 如果第i 个（或对）极点距离虚轴最近，
则指数衰减最慢；
z 各项系数与零点和极点的位置有关，极点离虚轴远则幅值小，当极点与零点靠近时，幅值也小。
z 高阶系统的响应特性主要由传递函数中那些靠近虚轴而又远离零点的极点来决定。
当其它极点的距离为5倍以上时，则可由这个（或者对）极点来近似确定，称为高阶系统的主导极点。
自动控制原理高阶系统分析
m 1
(s z )
i
m
(s s ) (s
j j 1 k 1
q
i 1 r
2
2 2 k nk s nk )
闭环特征方程 特征方程的根
Ts 1 0
s －1/T
2 s 2 2 n s n 0
2 ( s s0 )( s 2 2n s n ) 0
k
k
[
N ( s) ( s sk )]s sk S D(s)
1．稳定性分析
lim c暂 (t ) 0 ；
t
② 闭环特征方程的根全部位于 s 平面的左半平面；③ （从时域响应曲线上判别） ：当 t 定性分析 高阶（一对共轭主导极点） 解析法 近似计算 高阶（一个实主导极点） 图解法（计算机仿真分析）
t s 0
时，响应（输出）曲线趋于给定值；④
求性能指标 求性能指标
劳斯稳定判据。
三 、 系 统 分 析
稳：求最大超调量 % 2 ． 性 能 分 析 动态性能 快：求 t r 、 t d 、 t p 、 t s
二阶 一阶
准：求稳态误差终值 essr () 或 essn () ；① 终值定理： ess () 稳态性能 ③先求偏差 E(s)的拉普拉斯反变换 L
j 1
q
s jt
Dk e k nk t sin(nk 1 k2 t k )
k 1
r
1 2 d n 1 2 ， tg 1
Aj [
N ( s) ( s s j )]s s j Dk 2 [ N ( s) ( s sk )]s s S D( s ) S D(s)
自动控制原理3第四节高阶系统分析
3.4 高阶系统的时域分析
1
3.4 高阶系统的时域分析
一、典型三阶系统的瞬态响应
传递函数：(s)
(s2
2
n2 ns n2
)(Ts
1)
当 0 < < 1 时，极点分布如下：
p1 n jn 1 2
p2 n jn 1 2
p3
1 T
p1
n 1 2
p3
n 0
p2
C(s) (s) 1
10
1 10 1 1 1
s s(s 1)( s 10) s 9 s 1 9 s 10
c(t) 1 10 et 1 e10t 99
8
3.4 高阶系统的时域分析
⒉零点的影响
高阶系统的定性分析
零点不影响响应的形式。零点只影响各项的系数。零点若
靠近某个极点，则该极点对应项的系数就小。
s0
n2(s z) 2 ns n2 )( s
p)
z p
lim s 1 s (s2
s0
n2z 2 ns n2 ) p
z p
12
3.4 高阶系统的时域分析
小结
零、极点位置对高阶系统单位阶跃响应曲线的影响情况。 极点位置决定衰减快慢，零点和极点同时决定各项系数的 大小
主导极点 高阶系统简化为二阶系统的原则
间常数。
11
3.4 高阶系统的时域分析
例如：
(s)
(s2
n2(s z) 2 ns n2 )(s
p)
jd
如果： z 5以及 p 5
n
n
z p n
则：
(s)
p(s2
z n 2 2 ns n2 )
高阶系统及性能估计
3-5 高阶系统及性能估计在这一节中，首先讨论一个特定形式的三阶系统的单位阶跃响应。
然后介绍一般形式的高阶系统的瞬态响应分析。
一、三阶系统的单位阶跃响应 设三阶系统的闭环传递函数为))(2()()(222λωξωλω+++=s s s s R s C n n n 这个系统的单位阶跃响应为：1)2()}1sin(1]1)2([)1cos()2({1)2(1)(2222222+----+-+--+--=--ββξωξξβξβξωξββξββξλξωtn n tet t e t h n式中 nξωλβ=因为 0)1()1(1)2(2222>-+-=+-ξβξββξ 所以teλ-项的系数总是负数。
图3－32表示了这个三阶系统在5.0=ξ时的单位阶跃响应曲线。
比值nξωλβ=是曲线簇中的参变量。
可见，实数极点)(λ-，对单位阶跃响应的影响是，使超调量减小，调节时间增加。
如果实数极点位于共轭复数极点的右侧，离原点很近，如图3-33(a)所示，那么系统的响应将趋于减缓。
这时系统的响应特性类似于过阻尼二阶系统。
共轭复数极点只是增加响应曲线初始段的波动。
如果实数极点)(λ-远离共轭复根，即处在共轭复数极点的左侧比较远的地方，如图3-33(b)所示，这时实数极点为)(λ-对系统瞬态响应的影响较小，系统响应主要由共轭复数极点决定。
二、 高阶系统性能估算在工程应用中，实际系统往往是一个高阶系统，而对高阶系统的分析和研究一般是比较复杂的。
这就要求应用闭环主导极点的概念，并利用这个概念对高阶系统进行近似分析。
所谓主导极点是指在系统所有的闭环极点中，距离虚轴最近且周围无闭环零点的极点，而其余极点又远离虚轴，那么距虚轴最近的极点所对应的响应分量在系统响应中起主导作用，这样的闭环极点称为主导极点。
高阶系统的动态性能可以根据闭环主导极点的位置近似估算。
下面我们对高阶系统进行近似分析估算。
设高阶系统闭环传递函数为∏∏==--===Φni imj j s z s K s D s M s R s C s 11)()()()()()()(λ式中j z 为0)(=s M 的根，称为系统的闭环零点；i λ为0)(=s D 的根，称为系统的闭环极点；K 为∏∏==--=mj jnj izK 11)()(λ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=时当1)0()0(D M 应用上述闭环主导极点的概念，假定高阶系统只有一对共轭复数闭环主导极点为1,2d j λσω=-±其余闭环零、极点都相对地远离虚轴。
阶系统性能指标
百分比 超调量 Mp%
当t=tp时，c(t)有最大值max(t)=c(tp)，而阶跃响应的稳态值为1，最大超调量为：
仅与阻尼比ξ有关，故可以通过实验求取最大超调量然后可求系统阻尼比。 ξ越大，Mp 越小，系统的平稳性越好ξ = .4~0.8 Mp = 25.4%~1.5%。 最大超调量
02
01
03
04
当要求 时,
佳参数的要求。但应注意到，降低开环放大系数将使系
所以必须降低开环放大系数值，才能满足二阶工程最
统稳态误差增大。
图3-4-5角度随动系统
解：因为考虑系统尽量快的无超调响应，则可选阻尼比为临界阻尼
例3-4-3 角度随动系统如图3-4-5所示，设 K 为开环增益，T=0.1 (s)为伺服电动机的时间常数。若要求：单位阶跃响应无超调，而且 ，求K的取值、系统的上升时间
过阻尼：>1
(t0)
欠阻尼：0< <1
无阻尼：=0
临界阻尼：=1
三、二阶系统的单位脉冲响应
二、二阶系统阶跃响应的特征量
第一次达到稳态值时间
上升时间tr
峰值时间tp
±Δ 误差带
调节时间ts
最大超调量Mp，常用相对量描述 Mp％＝[c(tp)-c(∞)]/c(∞)*100%
第一次进入误差带 不再出来的时间
图3-4-4 位置随动系统
例3-4-2 有一位置随动系统，其结构图如图
3-4-4所示，其中Kk = 4。求该系统的 自然振荡角频率； 系统的阻尼比； 超调量和调节时间； 如果要求 ，应怎样改变系统参数Kk值。
解：系统的闭环传递函数为 写成标准形式 由此得 自然振荡角频率 阻尼比 由 得 超调量 调节时间
【2019年整理】第六节高阶系统分析
方法二：利用梅森公式求解C(s)/R(s)
4/15/2019 时域分析法--高阶系统分析 2
+ R(s) + + + -
1+T1(s) 1+T2(s)
K1/s K2/s
+ +
C(s) 题目2-8 图2-66
有5个单独环路，没有相互接触的环路
L1=-[1+T1(s)]K1/s,
L2=-[1+T2(s)]K2/s, L3=[1+T1(s)]K1/s*[1+T2(s)]K2/s, L4=-[1+T1(s)]K1/s*[1+T2(s)]K2/s, L5=-[1+T1(s)]K1/s*[1+T2(s)]K2/s
2
1 1 , p3 T
2
p2
p3
n 1 2
p1
4/15/2019
n 0
n 1 2
时域分析法--高阶系统分析
6
三阶系统单位阶跃响应
单位阶跃响应的表达式和曲线： n 2 p3 1 1 C (s) (s) 2 2 s ( s 2 n s n )(s p3 ) s A3 1 A1s A2 2 2 s s 2 n s n s p3 p3 A1, A2 , A3 与 , n , 式中： （实极点与共轭极点的位置关 n 系）有关。 A1e n t sin( n 1 2 t ) c (t ) 1 1 2
§3.4 高阶系统的阶跃响应及动态性能
Φ(s) =
(0.24s +1)
(0.25s +1)(0.04s2 + 0.24s +1)(0.0625s +1)
试估算系统的动态性能指标。 解 先将闭环传递函数表示为零、极点的形式
Φ(s)
表表3377动态性能指标估算公式表动态性能指标估算公式表系统名称闭环零极点分布图性能指标估算公式振荡型二阶系统dtp??1001pte????1ln3?????????datsdtp????1001ptefe????1ln3???????????????fedats振荡型三阶系统dtp????????21????????bac2acbdc???10011???c?????ppcttecebc??ln时时03112??????????????ctslnc时时0311????????????cctsdtp???????????????????1????????fcbac212acebdfc?11100pptctceebfce????????????时0ln3112???????ccts时0lnc311??????ccts非振荡型三阶系统1ln1ln33211312?1??????????????????????????????st
=
383.693× 4.17 4 ×16
s2
+
1 6s
+
25
=Leabharlann Φ(s)=s2
+
25 6s +
25
可以利用式（3-13）、式（3-14）近似估算系统
的动态指标。这里ωn = 5;ξ = 0.6 ，有
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例1 系统结构图如图所示。
求开环增益K分别为10，0.5，0.09时系统的动态性能指标。
计算过程及结果列表K计算10 0.5 0.09开环传递函数)1(10)(1+=sssG)1(5.0)(2+=sssG)1(09.0)(3+=sssG闭环传递函数1010)(21++=Φsss5.05.0)(22++=Φsss09.009.0)(23++=Φsss特征参数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧︒===⨯===81arccos158.016.32116.310ξβξωn⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧︒===⨯===45arccos707.0707.021707.05.0ξβξωn⎪⎩⎪⎨⎧=⨯===67.13.0213.009.0ξωn特征根12.35.02,1j±-=λ5.05.02,1j±-=λ⎩⎨⎧-=-=9.01.021λλ⎩⎨⎧==11.11021TT动态性能指标.....pnsntetξπξπξωσξω--⎧==⎪-⎪⎪==⎨⎪⎪===⎪⎩221000010116043535705⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=====-=--75.35238.61122nsnptetξωσωξπξξπ()122111931,0s spT Tt t T Ttλλσ⎧==⎪=⋅=⎨⎪=∞=⎩调整参数可以在一定程度上改善系统性能，但改善程度有限§3.3.4 改善二阶系统动态性能的措施（1）测速反馈——增加阻尼（2）比例+微分——提前控制例 2 在如图所示系统中分别采用测速反馈和比例+微分控制，其中10K=，216.0=tK。
分别写出各系统的开环传递函数、闭环传递函数，计算动态性能指标（σ％，s t）并进行对比分析。
原系统、测速反馈和比例+分控制方式下系统性能的计算及比较原系统测速反馈比例+ 微分系统结构图开环传递函数)1(10)(+=sssGa()()10110btG s=s s++K)1()1(10)(++=sssKsG tc闭环传递函数210()10ass sΦ=++10)101(10)(2+++=ΦsKsstb10)101()1(10)(2++++=ΦsKssKsttc系ξ0.158 1100.216210+⨯=0.51100.216210+⨯=0.5统参数nω10 3.16=10 3.16=10 3.16=闭环零点——110.216tzK--===-4.63 极点-0.5±j3.12 -1.58±j2.74 -1.58±j2.74动态性能pt 1.01 1.15 0.9 0σ60.4％16.3％21.4％st7 2.2 2.0开环零点—-4.63 -4.63 极点0，-１0，-１0，-１零点极点法（P73 表3-7）ptDπ-θ=，%100%1p teFEσσ-=13lnsA ED Ft⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=σ9.074.273.014.3=-=-=D t p θπ1 1.580.90004.121.44.63p t E e e F σσ--⨯===258.163.41.474.216.3ln 3ln 31=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=σF E D A t s●改善系统性能的机理：测速反馈——增加阻尼比例+微分——提前控制[仿真计算]●附加开环零点对系统性能的影响●附加闭环零/极点对系统性能的影响§3.4 高阶系统的阶跃响应及动态性能§3.4.1 高阶系统单位阶跃响应mn s z s K a s a s a s a b s b s b s b s D s M s nj jm i i n n n n m m m m ≥--=++++++++==Φ∏∏==----1101110111)()()()()(λΛΛ10111()1()()()mi i n nnj j K s z C C C C s s ss s s s s Φλλλ==-=⋅==+++---∏∏L011(0)1()1(0)()jn n j j j jj s C C M M s s s D s sD s s λλλ====+=⋅+'--∑∑011(0)()()(0)()j jjnn ttj j j s M M s c t C C ee D sD s λλλ====+=+⋅'∑∑()i ii i i i diit ti di ijsM se A e tsD s()(0)sin()ασλαλσωαωϕ--=-=-±=-=Φ+⋅++'∑∑§3.4.2 闭环主导极点主导极点：距离虚轴最近而且附近又没有闭环零点的闭环极点§3.4.3 估算高阶系统动态性能指标的零点极点法（1）⇒Φ)(s闭环零极点图；（2）略去非主导零极点和不非常靠近虚轴的“偶极子”，保留主导极点；（3）按P73表3-7相应公式估算系统动态性能。
表3-7 动态性能指标估算公式表系统名称闭环零、极点分布图性能指标估算公式振荡二阶系统Dtpπ=，%100%1p teσσ-=1ln3σ⎪⎭⎫⎝⎛+=DAtsDtpθπ-=，%100%1p teFEσσ-=1ln3σ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛+=FEDAts振荡型三阶系统Dtpα=，21⎪⎭⎫⎝⎛-=BAc，DCBAc⋅=2%100%11⎪⎭⎫⎝⎛+=--ppctt eceBCσσ时%ln312≠+=σσcts时%ln31=+=σCctsDtpα=，⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-=FCBAc121，FEDCBAc⋅⋅=2% 100%11⎪⎭⎫⎝⎛+⋅=--ppctt eceFEBCσσ时），0%(ln3112≠>+=σσσCcts时），（0%ln311=<+=σσCCcts非振荡型三阶系统)(1ln1ln332113121σσσσσσσσ≠≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=st)1.1,(1ln1ln1ln31321131211时σσσσσσσσσσ>≠≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛--=FFts—————— 结束 ——————问题讨论：1． 开环增益会影响系统的动态性能指标吗？ 2． 闭环增益会影响系统的动态性能指标吗？3． 系统的动态性能指标与闭环极点有关，与闭环零点也有关吗？—————— 结束 ——————1(1)(1)()[1]11(1)1t t t K KK s s s s G s KK s KK s s KK s s s ++===++++++12()(1)t Ks s KK s KΦ=+++2(1)()(1)(1)(1)t t K K s KG s K s s s s s +=+=++2(1)()(1)(1)(1)1(1)t t KK s s s K K s s s K K s s s +Φ==++++++ 2(1)t Ks KK s K =+++4．测速反馈改善系统性能的机理——增加阻尼比例+微分改善系统性能的机理——提前控制两种方法的比较5．附加开环零点的作用6．附加闭环零（极）点的作用2-15 试绘制图2-36所示信号流图对应的系统结构图。
解.§3.5 线性系统的稳定性分析§3.5.1 稳定性的概念§3.5.2稳定的充要条件)(lim=∞→tkt)()()()()()()()()(2121nnmmsssazszszsbsDsMsλλλ------==ΦΛΛ∑=-=-++-+-=Φ=ni iinnsAsAsAsAssC12211)()(λλλλΛ∑==++=nititntt ini eAeAeAeAtk1212)(λλλλΛlim)(lim1∑=∞→∞→==nitittieAtkλlim=∞→ttieλni,,2,1Λ=系统稳定的充要条件：系统闭环特征方程的所有根都具有负的实部，或所有闭环特征根均位于左半s平面。
§3.5.3 稳定判据0)(0111=++++=--a s a s a s a s D n n n n Λ 0>n a（1）判定稳定的必要条件0>i a 1,,2,1,0-=n i Λ08964)(245=++++=s s s s s D 010275)(234=-----=s s s s s D（2）劳斯判据例3 系统特征方程，判定系统是否稳定。
010275)(234=++++=s s s s s D ，解 列劳斯表（3）劳斯判据特殊情况的处理例4 系统特征方程023)(3=+-=s s s D ，判定系统稳定性。
解 列劳斯表4s 1 7 10 3s 5 2 02s33/5 101s-184/33 有2个正实部根0s10例 5 已知系统特征方程，判定系统是否稳定性。
025*******)(2345=+++++=s s s s s s D ，解 列劳斯表（4）劳斯判据的应用例6 某单位反馈系统的开环零、极点分布如图所示，判定系统能否稳定，若可以稳定，确定相应的开环增益范围。
解 依题意有()()()223)1(9131)(--=--=s s K s s K s G3s1 -32s0 ←ε 2 第一列元素若出现0，用ε代替1s (-3ε-2)/ε有2个正实部根0s25s 1 12 354s320 253s316 1 380 5 02s5 125 5 01s0 2 0 0 出现全0行时，构造辅助方程05)(2=+=s s F 02)(=='s s F0s25不存在右半s 平面的极点()()()()01969193)(22=-+-+=-+-=KsKssKssD⎩⎨⎧>->-169KK132<<K。
系统闭环稳定与开环稳定之间没有直接关系例7 系统结构图如图所示，（1）确定使系统稳定的开环增益K与阻尼比ξ的取值范围，画出相应区域；（2）当2=ξ时，确定使系统极点全部落在直线1-=s左边的K值范围。
解．（1）)10020()(2++=sssKsG aξ100aKK=10010020)(23=+++=KssssDξ列劳斯表3s 1 1002sξ20K1000>→ξ1sξξ20)1002000(K-0 K>→ξ20s K1000 0>→K（2）令1-=s s )K s s s s D 100)1(100)1(20)1()(23+-+-+-=))))ξ代入2=ξ，整理得)61100(2337)(23-+++=K s s s s D ))))3s 1 232s3761100-K1s 37)100612337(K -+⨯ 0 12.9<→K0s61100-K61.0>→K所以有 12.961.0<<K 。
原系统测速反馈系统比例加微分系统)1(10)(+=sssGa)1()1(10)(++=sssKsG tb)1()1(10)(++=sssKsG tc1010)(2++=Φsssa10)101(10)(2+++=ΦsKsstb10)101()1(10)(2++++=ΦsKssKsttc1010)(2++=Φsssa10)101(10)1()1(101)1(10)(2+++=++++=ΦsKssssKsssttb。