数学分析·下定义及定理
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第十二章 数项级数 1、级数的收敛性
定义1 给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++n u u u 21 （1）
称为数项级数或无穷级数（也常简称级数），其中n u 称为数项级数（1）的通项.
数项级数（1）也常写作:
∑∞
=1
n n
u
或简单写作
∑n
u
.
数项级数（1）的前n 项之和，记为
n n
k k n u u u u S +⋅⋅⋅++==∑=211
， （2）
称它为数项级数（1）的第n 个部分和，也简称部分和.
定义2 若数项级数（1）的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S
n
n =∞
→lim ）
，则称数项级数（1）收敛，称S 为数项级数（1）的和，记作
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=n u u u S 21或∑=n u S .
若{}n S 是发散数列，则称数项级数（1）发散.
定理12.1（级数收敛的柯西准则）级数（1）收敛的充要条件是：任给正数ε，总存在正整数N ，使得当m >N 以及对任意的正整数，都有
p m m m u u u ++++⋅⋅⋅++21<ε. （6）
定理12.2 若级数∑n
u
与
∑n
υ
都收敛，则对任意常数,,d c 级数
()∑+n n
d cu
υ亦收
敛，且
()∑∑∑+=+.
n n n n
d u c d cu
υυ
定理12.3 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的收敛性.
定理12.4 在收敛级数的项中任意加括号，即不改变级数的收敛性，也不改变级数的和。
正向级数
定理12.5 正项级数
∑n
u
收敛的充要条件：部分和数列{}n S 有界，即存在某个正数M ，
对一切正整数n 有n S 定理12.6（比较原则） 设∑n u 与 ∑n υ 是两个正项级数，如果存在某个正数N ，对 一切n >N 都有，n n u υ≤，则 （i ）若级数 ∑n υ 收敛，则级数 ∑n u 也收敛； （ii ）若级数∑n υ 发散，则级数 ∑n υ 也发散. 推论 设 ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++n n u u u υυυ2121, () ()43 是两个正项级数，若 , lim l u n n n =∞ →υ 则 （i ）当+∞< ∑n u 为正项级数，且存在某正整 数0N 及常数().10< （i ）若对一切,0N n >成立不等式 ,1 q u u n n ≤+ 则级数 ∑n u 收敛. （ii ）若对一切,0N n >成立不等式 ,11 ≥+n n u u 则级数∑n u 发散. 推论1（比式判别法的极限形式） 若 ∑n u 为正项级数，且 , lim 1 q u u n n n =+∞→ 则 （i ）当1 ∑n u 收敛； （ii ）当1>q 或+∞=q 时，级数∑n u 发散. 推论2 设∑n u 为正项级数. （i ）若 11 ______ lim <=+∞→q u u n n n ，则级数收敛； （ii ）若 11 ______ lim >=+∞→q u u n n n ，则级数发散. 定理12.8（柯西判别法，或称根式判别法） 设∑n u 为正项级数，且存在某正数0N 及 常数l ， （i ）若对一切,0N n >成立不等式 ,1<≤l u n n 则级数 ∑n u 收敛； （ii ）若对一切,0N n >成立不等式 , 1≥n n u 则级数 ∑n u 发散. 推论1（根式判别法的极限形式） 设 ∑n u 为正项级数，且 , lim l u n n n =∞ 则 （i ）当1 ∑n u 收敛； （ii ）当1>l 时，级数∑n u 发散. 推论2 设 ∑n u 为正项级数，且 , lim ______ l u n n n =∞ → 则当 （i ）1