数学分析148条件极值

L ( x, y) 0.
解出 x, y, ，其中 x, y就是可能的极值点的坐标.
一般形式： 在条件组
k ( x1, x2 , , xn ) 0, k 1,2, , m, (m n) 的限
制下, 求目标函数 y f ( x1, x2 , , xn ) 的极值. 其拉格朗日函数是：
L( x1 , x2 , , xn , 1 , 2 , m )
x0 a2
(x
x0 )
y0 b2
(y
y0 )
z0 c2
(z
z0 )
0,
化简为
x x0 a2
y y0 b2
z z0 c2
1,
该切平面在三个轴上的截距各为
x a2 ，y b2 ，z c2 ,
x0
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z0
所围四面体的体积 V 1 xyz a 2b2c2 ,
6
6x0 y0z0
在条件 x02 a2
m
f ( x1 , x2 , , xn ) kk ( x1 , x1 , , xn ) (1) k 1
其中1 ,2 , m 为拉格朗日常数.
定理1：设 f 和k (k 1,2, , m)如上, 均在D内有
连续的一阶偏导数, 若
P0 ( x1(0) ,
x(0) 2
,
,
x(0) n
)
D
是
上述问题的极值点, 且雅可比矩阵
条件极值：对自变量有附加条件的极值．
拉格朗日乘数法
找函数 z f ( x, y) 在条件 ( x, y) 0
下的可能极值点，
先构造函数 L( x, y, ) f ( x, y) ( x, y)
其中 为某一常数，可由
Lx Ly
f x ( x, y) x ( x, y) 0, f y ( x, y) y ( x, y) 0,
x yz r 则目标函数 f ( x, y, z) xy z( x, y) F ( x, y).
计算出 zx , z y , Fx , Fy , Fxx , Fxy , Fyy , HF (3r,3r )正定,
故稳定点(3r,3r,3r)为极小值点, 进而最小值点. 所以 xyz (3r)3 , ( x, y, z, r 0 且 1 1 1 1)
2.
若
(
x(0) 1
,
,
xn(0
)
,
(0) 1
,
,
(0) m
)是L的稳定点,
记
P0 (
x(0) 1
,
x(0) 2
,
则:
,
x(0) n
)
D,
HL(P0 )
2L x jxk
P0
1. 如HL(P0 )正定, 那么f在P0取条件极小值;
2. 如HL(P0 )负定, 那么f在P0取条件极大值.
证明 : 利用n元函数的泰勒公式.
y02 b2
z02 c2
1下求 V 的最小值,
令 u ln x0 ln y0 ln z0 ,
G( x0 , y0 , z0 )
( x, y, z, r 0)下的极小值.
解 : 设拉格朗日函数为
L( x, y, z, ) xyz ( 1 1 1 1).
x yzr
Lx 0
由
L
y
0
Lz 0
L 0
知L稳定点为 : x y z 3r,
(3r)4
判断 f (3r,3r,3r) (3r)3 是否为条件极值? 把条件 1 1 1 1 看成隐函数z z( x, y),
k
x1
0
Lxn
f xn
m
k
k 1
k
xn
0
L1
1 ( x1 ,
, xn )
0
Lm m ( x1 , , xn ) 0
用拉格朗日乘数法求解条件极值问题的一般步骤 :
1. 根据问题确立目标函数和条件组;
2. 作拉格朗日函数
m
L( x1 , x2 , , xn ,1 ,2 , m ) f kk k 1
x yz r
令 x a, y b, z c, 则 r (1 1 1)1 abc
代入 xyz (3r)3 得
abc [3(1 1 1)1 ]3 abc
或
3(1 1 1)1 3 abc .
abc
例2 : 教材 P174(例4).
例3
在第一卦限内作椭球面
x2 a2
y2 b2
3. 求出拉格朗日函数的所 有稳定点, 这些稳定点 就是可能的条件极值点;
4. 对每一个可能的条件极值点, 据理说明确实是.
据什么理?
1. 如条件组k ( x1, x2 , , xn ) 0, k 1,2, , m,
满足隐函数定理的条件, 则在n个变量 x1, x2 , , xn中唯一确定了其中 m个变量为其余n m个变量的一组隐函数. 将这m个函数代入目标函数 f , 得到一个有 n m个独立变量函数. 应用隐函数求导法则, 算出此函数的黑赛矩阵, 由此判断极值点的 类型.
1
x1
1
xn
m
x1
m
xn
P0
的秩为m,
则存在m个常数1(0)
,
(0) 2
,
,
(0 m
)
,
使得
( x1(0) ,
,
x(0) n
,
(0 1
)
,
,
(0) m
)
为拉格朗日函数 (1)的
稳定点.
即
(
x(0) 1
,
,
xn(0
)
,
(0 1
)
,
,
(0) m
)
为下述方程的解
:
Lx1
f x1
m
k
k 1
z2 c2
1的
切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体
体积最小，求切点坐标.
解 设P( x0 , y0 , z0 )为椭球面上一点,
令F ( x,
y, z)
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1,
则Fx
|P
2 x0 a2
，
Fy
|P
2 y0 b2
，
Fz
|P
2z0 c2
过P( x0 , y0 , z0 )的切平面方程为
2009／04／20
§14.8 条件极值
实例： 小王有200元钱，他决定用来购买两
种急需物品：光盘和磁带，设他购买 x 张光 盘，y 盒录音磁带达到最佳效果，效果函数 为 U( x, y) ln x ln y．设每张光盘8元，
每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达 到最佳效果．
问题的实质：求 U( x, y) ln x ln y 在条 件 8x 10 y 200下的极值点．
3. 根据问题本身的特点来判断. 如果某实际问题确有极值, 而其拉格朗日函数 仅有一个稳定点,且在定义域的边界上 (或逼近 边界时)不取极值, 则这个稳定点就是所求的 条件极值点.
1. 2. 计算量大, 一般不用. 3. 较为常用.
例1 : 求f ( x, y, z) xyz在条件 1 1 1 1 x yz r