g习题课(定积分的应用)

(1) 求面积
(2) 求体积
(3) 求弧长 (4) 求侧面积
2. 物理应用方面： (1) 求平行力作功
(2) 求压力
3. 定积分其他应用: (1)求函数平均值
(2) 实际问题
三. 课堂练习(共7题)
四. 综合题(共3题)
综合题解答
一. 基本要求
1. 定积分的几何应用 (1) 因为平面图形都是由曲边梯形或曲边扇形组成，所以定积分能 解决任意（边界是已知函数的）平面图形求面积的问题。 (2) 由于定积分是一维的积分，所以只能解决截面面积已知的立体 求体积问题。 旋转体是其中一种，所以各种旋转体的体积问题基本可以解决。 一般立体的求体积问题以后用二重积分或三重积分可以解决。 (3) 利用弧微分（在局部，用切线长 ds 近似曲线长 s），可以解 决任意平面曲线（曲线函数已知）求弧长的问题。 一般空间曲线的求弧长问题以后用第一型曲线积分可以解决。 (4) 通过弧微分，求旋转体的侧面积问题也可以用定积分解决。 求一般曲面的面积问题以后用第一型曲面积分可以解决。
图形的面积。
y
解： 由对称性
a
a
S 40 ydx
作变量代换: x a cos 3 ，y a sin3
–a
0
–a
.
ax
S
4
0 π
a
sin3
td( acos 3 t
)
2 π
12a 2 2 sin4 tcos2tdt 0
π
12a 2 2 (sin4 t sin6 t)dt 0
2. 元素法
(1) 怎样的量 U 可以用定积分计算？ 1o 量 U 与给定区间[a, b]有关； 2o 量 U 对区间[a, b]具有可加性.
(2) 计算步骤：
1o 根据实际问题，选取坐标系、积分变量和积分区间[a, b] ；
2o x [a, b],求小区间[x, x+dx]上的部分量 dU ;
π
2 π
(4cos )2 d
3
4
π
2 π
(1

cos
2
)d
3
2π 3
3.
3 3( 2π 3) 2(π 3).
3
还有别的方法吗？
例 2 求三条圆曲线 x 2 y 2 4，( x 2)2 y 2 4, ( x 1)2
(y
y
3
3 )2 4 所围成的圆内公共部分图形的面积。
x = (y)
y = c, y = d, x = 0
= ( )
= , =
图形
S
a
b
b
面积公式 S | f ( x) | dx a .
d
S
c
S



d
S c |( y) | dy
.
S 1 2 ( )d
2
.
例 1. 求曲线y x2 1，直线x y 3和 x轴、y轴所围
第六部分 定积分的应用

第六部分 定积分的应用
一. 基本要求：
1.深刻理解定积分的基本思想，熟练运用公式计算平面图形的面积、
平行截面面积已知的立体体积、旋转体体积和侧面积、曲线弧长等。
2.初步掌握运用“元素法”解决物理、力学及应用中的某些问题。
二. 重点、难点与例子（共11例）.
1. 几何应用方面：
称 dU= f (x)dx为元素 .
3o 计算定积分 U
b
f ( x)dx .
a
(3) 计算中的关键和难点：
找到 f (x) . f (x)的表示式与选择的坐标系有关。
二. 重点、难点与例子. 1. 几何应用方面
(1) 求面积
直角坐标系
极坐标系
边界 函数
y=f(x)
x = a, x = b, y = 0
解： 方法 II.
S S 3S弓 主要是求 S弓.
用初等方法求图示部分：
π 3
012
x
S弓 S扇 S
1 22 π 1 2 3 2 32
2π 3. 3
.
S S 3S弓
12 2
3 3( 2π 3
3) 2(π
3 ).
例 3 求由星形线x a cos3 , y a sin3 所围成的平面
如下例：
0a
.
x=g(y)
x
f (x)
bx
例4：用柱壳法求旋转体体积. 求曲线 xy a(a 0)与直线 x a, x 2a 及 y 0所
围成的图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积。
y
解： 方法1：绕 y 轴.
由柱壳法的公式：
b
xy a
1
V 2π a xf ( x)dx. . .
V π b f 2 ( x)dx a
f(x)
a ..x
bx
3o 绕 y 轴旋转的旋转体体积
y
d
V π d g 2 ( y)dy c
c
0
4o 用柱壳法求绕 y 轴旋转的旋转体体积
y
..பைடு நூலகம்
曲边梯形 y= f (x), x = a, x = b,
y = 0 绕 y 轴.
b
V 2π a xf ( x)dx
( y 3 )2 4 所围成的圆内公共部分图形的面积。
y
解： 方法 I. 先画图.
S S 3S弓 主要是求 S弓.
3
用极坐标：
π
3
012
x
r = 4 cos
.
S. S 3S弓
12 2
( x 2)2 y 2 4 即 r 4cos .
1
S弓 2
12a 2 1 3 π 1 3 5 π 3π a 2 . 24 2 246 2 8
(2) 求体积 1o 已知平行截面面积为A(x)的立体体积
b
V a A( x)dx
A(x)
a
x
bx
2o 绕 x 轴旋转的旋转体体积 曲边梯形： y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕 x 轴
成的区域的面积。
解： 先画图. 需分块儿！
y
3
联立，解交点：
2
y x2 1 x y 3

x 1

y

2
1
S1
S2
0
1
3
x
S S1 S2
1 ( x 2 1)dx
0
1 22 2
.
x3


3
1 x 2
0
10 . 3
例 2 求三条圆曲线 x 2 y 2 4，( x 2)2 y 2 4, ( x 1)2
1
S2
2
S1
0
a
2a
x
2π
2a
x
a dx
2π a 2 .
a
x
方 法2：分块儿求, 怎么分？
显然柱壳法简便。
V
V1
V2
π (2a)2