g习题课(定积分的应用)
高等数学化学专业-答案-课件-习题课六
du
故所求旋转体体积为 16 5 2 2 2 5π V π ( x 2 x) d x 75 5 0
O dx 2
x
例6. 半径为 R , 密度为 的水池底, 水的密度
多少功 ?
的球沉入深为H ( H > 2 R )
现将其从水池中取出, 需做
2 g π [( 0 ) H 0 R]
2 2
0 ( R
R
2
x ) dx
2
H
d W1 ( 0 ) g π ( R x )( H R x) dx
O
x
y
d W2 g π ( R 2 x 2 )( R x) dx
x
例7. 设有半径为 R 的半球形容器如图.
绕极轴
3 2 π 旋转而成的体积为 Vox r ( ) sin d . 3 r r ( ) 证: 先求 上微曲边扇形 dr d 绕极轴旋转而成的体积
体积元素
O
r
r
故
Vox
2π 3 r ( ) sin d 3
例5. 求由 y 2 x 与 y 4 x x 2 所围区域绕 y 2 x
π (2 Rh h 2 )
(2) 将满池水全部抽出所做的最少功 为将全部水提 到池沿高度所需的功.
y
对应于
薄层所需的功元素
R
g π(2 Ry y )( R y ) d y
故所求功为
2
y
O
g π ( 2 R 2 y 3R y 2 y 3 ) d y 0
π 4 gR 4
1.7定积分的简单应用(3课时)
W =
ò
b
a
F (x )dx
思考3：如图，在弹性限度内，将一弹簧 从平衡位置拉到离平衡位置xm处，那么 拉伸弹簧所需的力F(x)与x的函数关系是 什么？ F(x)＝kx，
其中k为弹力系数.
x
思考4：如果将弹簧从平衡位置拉到离平 衡位置l m处，那么克服弹力所作的功为 多少？
l
1 2 l 1 2 W = ò kxdx = kx |0 = kl (J ) 0 2 2
思考3：该图形的面积用定积分怎样表示？
y y ＝x 2 1 O C B D A 1 x y 2＝x
S =
蝌
0
1
xdx -
1 0
x dx
2
思考4：利用微积分基本定理计算，该图 形的面积等于多少？
y y ＝x 2 y 2＝x
1 O
3 2 1 0
C
B
D A 1
x
2 1 3 1 1 S = x | - x |0 = 3 3 3
1.7
1.7.1
定积分的简单应用
定积分在几何中的应用
问题提出
b
1 5730 p 2
t
1.定积分ò f (x )dx 的含义及其几何意 a 义分别是什么 n b b- a f ( xi ) òa f (x )dx = nlim å n i= 1
y
y＝f(x)
ò
O
b
a
f (x )dx
O
10
40
C 60 t(s)
思考2：汽车在[0，10]，[10，40]，[40， 60]（单位：s）三个时段内行驶的路程， 用定积分分别如何表示？
v(m/s) 30
A
高中数学 1.7 1定积分的应用教案 新人教A版选修2-2
2013年高中数学 1.7 1定积分的应用教案新人教A版选修2-2一、主要内容：1．面积：了解定积分的元素法，掌握用两条、三条、四条简单曲线所围平面图形的面积，并能根据图形选用以y作积分变量以简化计算过程；会用参数方程求解常用图形（圆、星形线）的面积，能用极坐标求用极坐标表示的圆、阿基米德螺线的图形的面积2．体积：掌握简单图形分别绕x轴、y轴旋转所得旋转体体积，能在平行截面面积为已知时求立体的体积3．弧长：掌握用参数方程所表示的常用曲线（圆、星形线等）的弧长4．功：会求在变力沿直线所作的功5．习题课2学时二、具体的内容分配如下：习题6－1：定积分的元素法，平面图形的面积, 旋转体体积(1)习题6－2：旋转体体积(2)，平面曲线的弧长，变力沿直线所作的功总习题六：三、习题内容：习题6—1一、填空题1、曲线x e y =，x 轴及直线()ln ,ln 0.x a x b b a ==，围成图形面积 是_____2、由曲线θcos 2a r =所围成图形的面积是 二、选择题1、曲线3x y =与直线1,0==y x 围成的面积是（ ） A ．43 B ．1 C ．34 D ．32 2、由x 轴、曲线2x y =和直线32=x 围成的图形面积被直线k x =分成两个相等的面积，则 k 应为（ ）A ．322- B ．612 C ．1 D ．312-三、求解题1、用定积分计算下列图形的面积 （1）由曲线222,1x y x y =+=围成（2）由曲线21y x=与直线4,==y x y 围成（3）由曲线x y 42=与圆()4122=+-y x 围成2、求星形线｛33cos sin x a ty a t==所围成0.的面积 3、求以下极坐标所表示的图形的面积 （1）心形线()θcos 1-=a r 围成（2）对数螺线a r e θ=对应θ从0到2π的一段与极轴所围成 （3）伯努利双纽线θ2cos 22a r =右边一支（即对应θ从4π-到4π的一段）习题 6—2 一、填空题1、连续曲线()x f y = ()()0≥x f ，直线b x a x ==,()b a 及x 轴所围成图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积是______2、曲线2x y =及直线1=y 所围成图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积是_______ 二、选择题1、由曲线2x y =与直线x y =围成平面图形绕y 轴旋转所得的旋转体的体积是（ ）A ．()dx x x ⎰-102π Ｂ．)21d y y π-⎰Ｃ．()⎰-1042dx x x π Ｄ．()dy y y ⎰-102π2、底面为圆422=+y x ，垂直于x 轴的所有截面都是正方形的立体体积为（ ）A. 3121 B. 3210 C. 3242 D. 3185 三、解答题1、求下列旋转体的体积（1）曲线x y sin = ()π≤≤x 0与x 轴所围成的图形分别绕x 轴、y 轴旋转（2）曲线x y =与直线2-=x y ，0=y 所围成的图形分别绕x 轴、y轴旋转（3）星形线｛ta y t a x 33sin cos == ()π≤≤t 0绕x 轴旋转2、求底面为园222R y x =+，而垂直于x 轴的所有截面都是等边三角形的立体的体积习题6—3一、求下列弧线段的长度1、星形线｛ta y ta x 33sin cos ==的全长 2、抛物线x y 2= 从()2,1到()4,4的一段二、根据虎克定律，弹簧的倔强系数为k ，把弹簧拉长x 的拉力为kx f =，求将一根弹簧从原长拉伸x 的长度，外力做的功三、在一个半径为R 的半球形容器里盛放着密度为ρ的液体，求为将液体吸出容器至少应做多少功四、水渠的截面为一等腰梯形，上、下底分别为2m 和1m ，深为2m ，水渠上有一闸门，求渠水满时对闸门的压力（水的密度31000m kg=ρ）。
华东师范大学数学系《数学分析》(上)笔记和课后习题(含真题)详解(定积分的应用)
第10章 定积分的应用10.1 复习笔记一、平面图形的面积由连续曲线()(0)y f x =≥，以及直线,()x a x b a b ==<和x 轴所围曲边梯形的面积为()b baaA f x dx ydx ==⎰⎰如果()f x 在[,]a b 上不都是非负的，则所围图形的面积为()b baaA f x dx y dx ==⎰⎰一般地，由上、下两条连续曲线2()y f x =与1()y f x =以及两条直线,()x a x b a b ==<所围的平面图形(图l0-1)，它的面积计算公式为21[()()]baA f x f x dx =⎰－图10-1二、由平行截面面积求体积 1．立体体积的一般计算公式 设为三维空间中的一立体，它夹在垂直于x 轴的两平面x ＝a 与x ＝b 之间（a ＜b ），称为位于[a，b]上的立体，若在任意一点x∈[a，b]处作垂直于x轴的平面，它截得的截面面积是关于x的函数，记为A（x），并称之为的截面面积函数（见图10-2），设A（x）是连续函数．图10-2 图10-3对[a，b]作分割过各个分点作垂直于x轴的平面x＝xi，i＝1,2,…，n，它们把分割成n个薄片,i＝1，2，…，n任取那么每一薄片的体积（见图10-3）于是由定积分的定义和连续函数的可积性，当时，上式右边的极限存在，即为函数A （x）在[a，b]上的定积分，于是立体的体积定义为2．旋转体的体积a b上的连续函数，Ω是由平面图形设f是[,]≤≤≤≤0|||f(x)|,ay x b绕x轴旋转一周所得的旋转体，那么易知截面面积函数为2()[()],[,]A x f x x a b π=∈得到旋转体Ω的体积公式为2=[()]baV f x dxπ⎰三、平面曲线的弧长与曲率 1．平面曲线的弧长 （1）定义①如果存在有限极限ss T T =→0||||lim即任给0ε>，恒存在0δ>，使得对C 的任意分割T ，只要||||T δ<，就有|s |T s ε-<则称曲线C 是可求长的，并把极限s 定义为曲线C 的弧长．②设曲线AB 是一条没有自交点的闭的平面曲线．在AB 上任取点P ,将AB 分成两段非闭曲线，如果AP 和PB 都是可求长的，则称AB 是可求长的，并把AP 的弧长和PB 的弧长的和定义为AB 的弧长．③设曲线C 由参数方程(),(),[,]x x t y y t t αβ==∈给出．如果(t)x 与()y t 在[,]αβ上连续可微，且'()x t 与'()y t 不同时为零,即''()()0x t y t +≠，],[βα∈t ，则称C 为一条光滑曲线．（2）定理设曲线C 是一条没有自交点的非闭的平面曲线，由参数方程(),(),[,]x x t y y t t αβ==∈ （10-1）给出．若()x t 与()y t 在[,]αβ上连续可微，则C 是可求长的，且弧长为'2'2[()][()]s x t y t dt βα=+⎰ （10-2）（3）性质设AB 是一条没有自交点的非闭的可求长的平面曲线．如果D 是AB 上一点，则和AD 和DB 也是可求长的，并且AB 的弧长等于AD 的弧长与DB 的弧长的和．2．曲率 （1）定义如图10-4，设()t α表示曲线在点((),())P x t y t 处切线的倾角，==()()t t t ααα∆+∆-表示动点由P 沿曲线移至))(),((t t y x t x Q ∆+∆+时切线倾角的增量，若PQ 之长为s ∆，则称||K sα-∆=∆为弧段PQ 的平均曲率．如果存在有限极限|||lim ||lim |00dsd s s K s t ααα=∆∆=∆∆=→∆→∆则称此极限K 为曲线C 在点P 处的曲率．图10-4（2）计算公式设曲线C 是一条光滑的平面曲线，由参数方程（10-1）给出，则曲率的计算公式为2322)(||''''''''y x y x y x K +-=若曲线由()y f x =表示,则相应的曲率公式为2''3'2||(1+y )y K =四、旋转曲面的面积1．设平面光滑曲线C 的方程为(),[,]y f x x a b =∈（不妨设()0f x ≥），这段曲线绕x 轴旋转一周得到旋转曲面的面积为2(baS f x π=⎰2．如果光滑曲线C 由参数方程(),(),[,]x x ty y t t αβ==∈给出，且()0y t ≥，那么由弧微分知识推知曲线C 绕x 轴旋转所得旋转曲面的面积为2(S y t βαπ=⎰五、定积分的近似计算 1．梯形法公式121()(...)22bn n ay y b a f x dx y y y n --=+++++⎰2．抛物线法公式（辛普森Simpsom 公式）021*******()[4(...y )2(...)]6bn n n ab af x dx y y y y y y y n---≈+++++++++⎰10.2 课后习题详解§1 平面图形的面积1．求由抛物线y ＝x 2与y ＝2－x 2所围图形的面积．解：该平面图形如图10-1所示．两条曲线的交点为（－1，1）和（1，1），所围图形的面积为图10-12．求由曲线与直线所围图形的面积．解：该平面图形如图10-2所示．所围图形的面积为。
习题课_定积分的应用(解答)
中的 x0 唯一。
证明： (1)构造函数 g( x ) x f (t )dt ，对 g ( x ) 用罗尔定理即 可得证 。
x 1
(2) 考虑 g '( x) 的单调性来证明。
11
dx dx dx 2 2 2 2 0 1 2cos x 1 2cos x 2 1 2cos x
令 tan x t dx d tan x dt 2 2 而 ； 0 1 2cos 2 x 0 3 tan 2 x 0 3 t2 2 3
S S1 S2 (2 x x )dx ( x 2 2 x )dx 2
y x2 2 x
V y [(1 1 y )2 12 ]dy
1
0
[33 (1 1 y )2 ]dy 9
0
3 2 2 1 1
3
S2
1
o
3 2
d tan x 令 tan x t 0 dx dt 2 1 2cos2 x 2 3 tan2 x 3 t 2 2 3 ；
故原式
3
15
定积分的物理应用：
常 数 ，长度为 L 的细杆， 1.如图，x 轴上有一线密度为
有一质量为 m 的质点到杆右端的距离为 a ，已知引力 系数为 k，则质点和细杆之间引力的大小为（ A ） （A） L
3
5. 设曲线 y f ( x ) 在 x 轴的上方，并过点 (1,1) ，该曲线与直线
x 1 ， y 0 及动直线 x b(b 1) 所围图形绕 y 轴旋转所得的旋
高等数学-第七版--6-3定积分应用习题课
求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力.
分析
积分变量: t 积分区间: [0, ]
y
d
F
G
(x2 x2
y
2
)
3 2
y2
d
s
G( x 2
2
y
2
)
1 2
d
s
B
d Fx
d
F
cos
G(
x2
y
2
)
1 2
x
x2
G x d s 3Ga2 cos4 t sin td t
y2
ds
d s (x,
o
y)
Ax
d Fy d F sin G y d s 3Ga2 cos t sin4 td t
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
例5 求由曲线x=acos3t,y=asin3t的所围成的图形的面积
例6 求曲线
与
所围成图形的公共部分的面积 . r2 a(cos sin )
o
r1 a cos
二、题型练习
（一）面积 （二）体积 （三）弧长 （四）物理应用
二、题型练习
（一）面积 （二）体积 （三）弧长 （四）物理应用
二、题型练习
（一）面积 （二）体积 （三）弧长 （四）物理应用
北师版高中数学选修2-2课后习题版 第四章 §3 定积分的简单应用
第四章DISIZHANG定积分§3定积分的简单应用课后篇巩固提升A组1.设f(x)在区间[a,b]上连续,则曲线f(x)与直线x=a,x=b,y=0围成的图形的面积为( )A.∫ba f(x)dx B.|∫f(x)badx|C.∫ba|f(x)|dx D.以上都不对f(x)在区间[a,b]上满足f(x)<0时,∫baf(x)dx<0,排除A;当围成的图形同时存在于x轴上方与下方时,∫baf(x)dx是两图形面积之差,排除B;无论什么情况C都正确.2.下列各阴影部分的面积S不可以用S=∫ba[f(x)-g(x)]dx求出的是( )S=∫ba[f(x)-g(x)]dx的几何意义是求函数f(x)与g(x)之间的阴影部分的面积,必须注意f(x)的图像要在g(x)的图像上方,对照各选项可知,D项中的f(x)的图像不全在g(x)的图像上方.故选D.3.如图,由函数f(x)=e x-e的图像,直线x=2及x轴围成的阴影部分的面积等于( )A.e2-2e-1B.e2-2eC.e 2-e 2D.e2-2e+1S=∫21f(x)dx=∫21(e x-e)dx=(e x-e·x)|12=e2-2e.4.直线y=2x,x=1,x=2与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周得到一个圆台,则该圆台的体积为( )A.28π3B.32π C.4π3D.3πV=∫21π·(2x)2dx=π∫214x2dx=4π·13x3|12=4π3(8-1)=28π3.5.如图所示,在边长为1的正方形OABC中,任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为( )A.14B.15C.16D.17{y=√x,y=x,得O(0,0),B(1,1).则S阴影=∫1(√x-x)dx=(23x 32-x 22)|01=23−12=16.故所求概率为S 阴影S 正方形=161=16.6.曲线y=cos x (π2≤x ≤3π2)与x 轴围成的平面图形的面积为 .解析由图可知,曲线y=cosx (π2≤x ≤3π2)与x 轴围成的平面图形的面积S=∫3π2π2cos xdx=-sin xπ23π2=(-sin3π2)−(-sin π2)=2.7.在同一坐标系中,作出曲线xy=1和直线y=x 以及直线y=3的图像如图所示,则阴影部分的面积为 . ∫113(3-1x )dx+∫31(3-x)dx=(3x-lnx)|131+(3x -12x 2)|13=3-(1-ln 13)+(9-12×32)−(3-12)=4-ln3.8.计算由y 2=x,y=x 2所围成图形的面积.,为了确定图形的范围,先求出这两条曲线的交点的横坐标.解方程组{y 2=x ,y =x 2,得出交点的横坐标为x=0或x=1.因此,所求图形的面积S=∫10(√x -x2)dx,又因为(23x 32-13x 3)'=x 12-x 2,所以S=(23x 32-13x 3)|01=23−13=13.9.求由曲线y=x 2+4与直线y=5x,x=0,x=4所围成的平面图形的面积.,如图所示.所求平面图形为图中阴影部分.解方程组{y =x 2+4,y =5x ,得交点为A(1,5),B(4,20).故所求平面图形的面积S=∫1(x 2+4-5x)dx+∫41(5x-x 2-4)dx=(13x 3+4x -52x 2)|01+(52x 2-13x 3-4x)|14=13+4-52+52×42-13×43-4×4-52+13+4=193.10.求抛物线y 2=2x 与直线y=4-x 围成的平面图形的面积.{y 2=2x ,y =4-x得抛物线和直线的交点为(2,2)及(8,-4).方法一:选x 作为积分变量,由图可得S=S A 1+S A 2.在A 1部分:由于抛物线的上部分方程为y=√2x ,下部分方程为y=-√2x ,所以S A 1=∫2[√2x -(-√2x )]dx=2√2∫20x 12dx=2√2·23x 32|02=163.S A 2=∫82[4-x-(-√2x )]dx =(4x -12x 2+2√23x 32)|28=383.所以S=163+383=18.方法二:∵y 2=2x,∴x=12y 2. 由y=4-x.得x=4-y,∴S=∫2-4(4-y -12y 2)dy=(4y -12y 2-16y 3)|-42=18.B 组1.如图,已知曲线y=f(x)与直线y=0,x=-32,x=2围成的图形面积为S 1=1,S 2=3,S 3=32,则∫2-32f(x)dx 等于( )A.112B.12C.-12D.72∫2-32f(x)dx=∫-1-32f(x)dx+∫1-1f(x)dx+∫21f(x)dx=S 1-S 2+S 3=1-3+32=-12.2.设直线y=1与y 轴交于点A,与曲线y=x 3交于点B,O 为原点,记线段OA,AB 及曲线y=x 3围成的区域为Ω.在Ω内随机取一点P,已知点P 取在△OAB 内的概率等于23,则图中阴影部分的面积为( )A.13B.14C.15D.16{y =1,y =x 3,解得{x =1,y =1. 则曲边梯形OAB 的面积为∫1(1-x 3)dx=(x -14x 4) 01=1-14=34.∵在Ω内随机取一个点P,点P 取在△OAB 内的概率等于23, ∴点P 取在阴影部分的概率等于1-23=13,∴图中阴影部分的面积为34×13=14.故选B.3.如图所示,直线y=kx 分抛物线y=x-x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分,则k 的值为 .y=x-x 2与x 轴两交点横坐标为0,1,∴抛物线与x 轴所围成图形的面积为S=∫1(x-x 2)dx=(x 22-x 33)|01=16,抛物线y=x-x 2与直线y=kx 的两交点横坐标为0,1-k.∴S 2=∫1-k0(x-x 2-kx)dx=(1-k2x 2-x33)|01-k =16(1-k)3.又∵S=16,∴(1-k)3=12.∴k=1-√123=1-√432. 1-√4324.由直线y=x 和曲线y=x 3(x≥0)所围成的平面图形,绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 .{y =x ,y =x 3(x ≥0),得{x =0,y =0,或{x =1,y =1.故所求体积V=∫1πx 2dx-∫10πx 6dx=π∫10x 2dx-π∫1x 6dx=π(13x 3|01-17x 7|01)=π(13-17)=4π21.5.已知函数f(x)=x 3-x 2+x+1,求其在点(1,2)处的切线与函数g(x)=x 2围成的图形的面积.(1,2)为曲线f(x)=x 3-x 2+x+1上的点,设过点(1,2)处的切线的斜率为k,则k=f'(1)=3×12-2×1+1=2,∴过点(1,2)处的切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.∴y=2x 与函数g(x)=x 2围成的图形如图.由{y =x 2,y =2x可得交点A(2,4). 又S △AOB =12×2×4=4,g(x)=x 2与直线x=2,x 轴围成的区域的面积S=∫20x 2dx=13x3|02=83,∴y=2x 与函数g(x)=x 2围成的图形的面积为S'=S △AOB -S=4-83=43.。
定积分的应用
b
S a [ f (x)-g(x)]dx
y
a
O
y = f (x)
bx y = g(x)
例1 计算由曲线 y x2 及直线 y x 所围成的平面图形
的面积。
例1 计算由曲线 y x2 及直线 y x 所围成的平面图形
的面积。
解：作出所围成的平面图形
解：在弹性限度内，拉伸（或压
缩）弹簧所需的力Ｆ（x）与弹
簧拉伸（或压缩）的长度x成正
比．
即：F(x)=kx
所以据变力作功公式有
W
L
F(x)dx
0
L 0
kxdx
1kx2 2
|0L
1 2
kL2
作业：
课本58页练习（1）（2） 课本59页练习1,2
的面积为 （ ）
(A) 2 (C) 2 2
e
(B) 2 e (D) e 1 2
e
二、物理中的应用
1、变速直线运动的路程
设物体运动的速度vv(t)，则此物体在时 间间[a, b]内运动的路程s为
b
s a v(t)dt
例 1 一辆汽车的速度一时间曲线如图所示，求
汽车在这 1 min 行驶的路程。
y x
y
x2
解方程组，得交点的横坐标为x=0
和x=1, 即区间为[0，1]。于是，
平面图形的面积
A
1(x x2)dx
0
(1 2
x2
1 3
x3)
1 0
1 6
例 2 求 y = sinx， y = cos x， x 0, x
2
所围成的平面图形的面积。
高等数学-定积分及其应用ppt课件.ppt
在变速直线运动中, 已知位置函数
与速度函数
之间有关系:
物体在时间间隔
内经过的路程为
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
5.3 定积分的计算
则积分上限函数
证:
则有
定理1. 若
5.3.1 牛顿 – 莱布尼兹公式
说明:
1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.
2) 变限积分求导:
5.6.1 广义积分
引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积
可记作
其含义可理解为
1 连续函数在无限区间上的积分
定义1. 设
若
存在 ,
则称此极限为 f (x) 在区间 的广义积分,
记作
这时称广义积分
收敛 ;
如果上述极限不存在,
就称广义积分
发散 .
类似地 , 若
公式, 复化求积公式等,
并有现成的数学软件可供调用.
性质1 常数因子可提到积分号外 性质2 函数代数和的积分等于它们积分的代数和。
5.2 定积分的简单性质
性质3 若在区间 [ a , b ]上 f (x)≡K，则 性质4 定积分的区间可加性 若 c 是 [ a , b ] 内的任一点，则
的面积 .
解:
例3. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,
速停车,
解: 设开始刹车时刻为
则此时刻汽车速度
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
当汽车停住时,
即
得
故在这段时间内汽车所走的距离为
刹车,
问从开始刹
到某处需要减
设汽车以等加速度
车到停车走了多少距离?
高等数学第五章习题课1定积分
第 五 章 定 级 分
解
原式 lim
2e
x2
0 e
2 x2
x t2
dt
x
e
0
lim
2 e dt e
x2
x t2
x
lim
2e
x2
2
x 2 xe x
1 lim 0 x x
- 17 -
习题课（一）
3 解
第 五 章 定 级 分
tf ( x t )dt lim 0 ,
1 i 1 2 lim sin sinxdx n 0 n n i 1
n
-2-
习题课（一）
第 五 章 定 级 分
i 1 n i 1 lim sin lim sin n n n n 1 n n n i 1 i 1 1 2 sinxdx 0 2 原式 1 n1 n 2 n nn 3 lim n n n n
1 2 F ( x )dx 0
存在一点 , 使得 F ( ) 0, 即 f ( ) f ( )
-9-
习题课（一）
第 五 章 定 级 分
设在 [0,1] 上 f ( x ) 0, 证明： 1 1 2 0 f ( x )dx f ( 3 ) 证 由于 y f ( x ) 在区间 [0,1] 是上凸的， 所以曲线 1 1 y f ( x ) 在过 ( , f ( )) 处的切线下方，即 3 3 1 1 1 f ( x ) f ( ) f ( )( x ) 3 3 3 1 1 2 1 2 f ( x ) f ( ) f ( )( x ) 3 3 3
习题课十一 定积分的计算(解答)
1 2
1 2
1 sin3 3
x
1
2 1
2
1
2
1 1 (椭圆的一半面积) 2
2 sin3 3
1
24
4.
设
f
(
x)
1, x1
1 ex 1,
x0
，求
2
f ( x 1)dx .
0
x0
解：2 f ( x 1)dx令x 1 t 0
1
f (t)dt
1
01
1
et
dt 1
11 dt
0 t1
令x tan t
6
sec2 tdt
0 (2 tan2 t 1)sec t
6
costdt
0 2sin2t cos2t
6
dsint
0 1sin2t
arctan(sint
)
6
arctan1
0
2
7
3.
1 2
[cos
x(ln 1
x
sin2
x)
1 4x2 ]dx
1 2
1 x
1
1
2 cos x sin2 xdx 2 1 4x2 dx （对称区间奇函数性质）
t
ln(1 et )
0 1
+ln(1+t )
1 0
1
ln(1
e1 )+ln2
8
三、解答题
1.设 f ( x)
x2 et2 dt ，求
1
xf ( x)dx.
1
0
2. 已知 f (0) 1, f (2) 3, f (2) 5，求 1 xf (2 x)dx 。 0
《定积分的简单应用》课件讲解学习
0
[解析] v＝ddxt＝(bt3)′＝3bt2， 媒质阻力F阻＝kv2＝k(3bt2)2＝9kb2t4，其中k为比例常
数，k>0.
当x＝0时，t＝0，当x＝a时，t＝ab13，
ds＝vdt，故阻力做的功为W阻＝
t
kv2·vdt＝k
t
v3dt＝k
t
0
0
0
(3bt2)3dt＝277k3 a7b2.
• [点评] 本题常见的错误是在计算所做的功 时，误将W阻＝∫t10F阻ds写为∫t10F阻dt.
(1)P从原点出发，当t＝6时，求点P离开原点 的路程和位移；
(2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时 的t值．
• [解析] (1)由v(t)＝8t－t2≥0得0≤t≤4， • 即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动， • 当t>4时，P点向x轴负方向运动． • 故t＝6时，点P离开原点的路程
对于已知运动规律求做功的问题，首先确定其运动速 度，进而由 ds＝vdt 来确定做功的积分式 W＝t Fvdt.
0
6．已知自由落体的速率v＝gt，则落体从t＝ 0到tA＝.13gt0t20所走的路程为B（．gt20 )
C.12gt20
D.16gt20
[答案] C
[解析] 如果变速直线运动的速度为v＝v(t)(v(t)≥0)，
那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程是bv(t)dt， a
∴
＝12gt2t00 ＝12g(t20－0)＝12gt02.故应选C.
7．如果1N能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉 长6cm，所耗费的功为
()
A．0.18J
B．0.26J
C．0.12J
D．0.28J
[答案] A
第十章定积分应用习题课
第⼗章定积分应⽤习题课第⼗章定积分应⽤习题课⼀⾯积1．求平⾯图形的⾯积1）若曲线()0y f x =≥，x 轴及直线,x a x b ==所围曲边梯形的⾯积为()b baaA f x dx ydx ==??．2）由连续曲线()0y f x =≤，x 轴及直线,x a x b ==所围曲边梯形的⾯积为()b baaA f x dx ydx =-=-??．3）如果连续曲线()y f x =在[],a b 上可正可负，则所围图形的⾯积为()b baaA f x dx y dx ==??．4）由上、下两条连续曲线()2yf x =与()1y f x =以及两条直线,x a x b ==所围的平⾯图形，它的⾯积计算公式为()()21baA f x f x dx =-．5）由左右两条连续曲线1()x g y =，2()x g y =，及直线c y =与d y =所围成，则围成图形的⾯积为()21A [()]d d cg y g y y =-?．6) 由上下两条连续曲线()y f x =与()y g x =（它们可能相交）以及两条直线,x a xb ==所围的平⾯图形，它的⾯积计算公式为()()baA f x g x dx =-?．7）由左右两条连续曲线1()xg y =，2()x g y =（它们可能相交），及直线c y =与d y =所围成，则围成图形的⾯积为()21A ()d d cg y g y y =-?．如果所求平⾯图形是属于上述情形之⼀，就不需画图，直接⽤上述公式，否则就需画图选⽤相应公式．求平⾯图形的步骤：（1）先画草图，并求出边界曲线有关交点．（2）确定积分变量与积分区间．例1．求由抛物线2y x =与直线230x y --=所围平⾯图形的⾯积A ．解法⼀（上下曲线）先求出抛物线与直线的交点()1,1P-，()9,3Q ．⽤1x =把图形分为左、右两部分，应⽤公式分别求得它们的⾯积为(11042,3A dx ?=-==92132823x A dx -?=-=．所以12323A A A =+=．法⼆(左右曲线)．把抛物线和直线⽅程改写成()21x y g y ==，()223x y g y =+=，[]1,3y ∈-．则()()()332211132233A g y g y dy y y dy --=-=+-=．例2 计算椭圆12222=+by a x 所围成的平⾯图形⾯积．解由于椭圆关于x 轴及y 轴对称，所以只需计算位于第⼀象限部分的⾯积，然后乘以4就得到所求平⾯图形⾯积．由12222=+by a x ，解得22x a a by -±=，故第⼀象限的椭圆的⽅程是22x a aby -=从⽽04A =?，()2220041sin cos sin 4cos 422b x a t a td a t ab tdt ab ab a ππππ===??=??令．特别地，当R b a ==时，得圆的⾯积2A R π=．注：计算平⾯图形⾯积时，尽可能利⽤图形的对称性，以简化计算．2．参数⽅程的⾯积若所给的曲线⽅程为参数形式：()()x x t y y t =??=? （t αβ≤≤），其中()y t 是连续函数，()x t 是连续可微函数，且()0x t '≥且()x a α=，()x b β=，那么由()()x x t y y t =??=?，x 轴及直线,x a x b ==所围图形的⾯积A 的公式为||()|()()|A y dx t y t x t dt ββαα'==??．（αβ<）．如果由参数⽅程所表⽰的曲线是封闭的，即有()()x x αβ=，()()y y αβ=且在(),αβ内曲线⾃⾝不再相交，那么由曲线⾃⾝所围图形的⾯积为()()A y t x t dt βα'=(或()()?'βαdt t y t x )．例2另解1：化椭圆为参数⽅程cos ,sin ,x a t y b t =??=?02t π≤≤ 则所求⾯积为20A sin (cos )πb t a t dt πab '==?．另解2：第⼀象限参数⽅程为cos ,0sin ,2x a t t y b t π=?≤≤?=?，()()()2222014||4|sin sin |4sin 422A y t x t dt b t a t dt ab tdt abab πππππ'==-===．例3 求内摆线323232a y x =+所围成的⾯积．解令33cos ,sin ,x a t y a t ?=?=?由曲线既关于轴x 对称，也关于y 轴对称，只须计算第⼀象限内的⾯积1A ，再乘以4即可，于是()()()()332422220242246222006224||4sin cos 12sin cos 12sin 1sin 12sin sin 31531312.42264228A y t x t dt a t a t dt a t tdta t t dt a tdt tdt a a πππππππππ''===??=-=-??=-?=3．极坐标⽅程1）曲线()θr r =与射线()βαβθαθ<==,围成的曲边扇形的⾯积()?=βαθθd r S 2212）曲线()1r r θ=，()2r r θ=与射线()βαβθαθ<==,围成的曲边扇形的⾯积()()222112S r r d βαθθθ??=-．例4 由下列极坐标⽅程式所表曲线围成的⾯积A ，⽅程中的0a >．（1）θ2cos 2 2a r =（双纽线）；（2）()θcos 1+=a r （⼼脏形线）；（3）θ3sin a r =（三叶线）．解（1）由图形关于x 轴与y 轴对称，只需计算第⼀象限⾯积1A ，再乘以4即可，由在第⼀象限20π≤时，02cos 22≥=θa r ，知40πθ≤≤，即1A 看成θ2cos a r =与4,0πθθ==所围成，故2224410144cos 2sin 22A A a d a a ππθθθ==?==?．（2）由图形关于x 轴对称，在第⼀，⼆象限，当πθ≤≤0时，需求()0cos 1≥+=θa r ，知πθ≤≤0，故所求⾯积为()2221013221cos 22A A a d a πθθπ==?+=?．（3）由图形知，所求⾯积A 为第⼀象限内⾯积1A 的3倍，由20πθ≤≤时，要求03sin ≥=θa r ，知πθ≤≤30，即30πθ≤≤时，0≥r ，于是()223102330133sin 323311cos 6sin 6.4464A A a d a a a d πππθθπθθθθ===-=-=⼆体积1）设⼀⼏何体夹在a x =和b x =这两个平⾏平⾯之间，⽤垂直于x 轴的平⾯去截此⼏何体，设截⾯与x 轴交点为(),0x ，可得的截⾯⾯积为()A x ，如果()A x 是],[b a 上的可连续函数，此时，取x 为积分变量，它的变化区间为],[b a ．相应于],[b a 上的任⼀⼩区间[,]x x x +?的⽴体薄⽚的体积近似于底⾯积为()A x 、⾼为x d 的圆柱体的体积即体积微元d ()d VA x x =，因此所求⽴体的体积为()d baV A x x =?．2）由连续曲线()0y f x =≥、直线a x =、b x =及x 轴所围成的曲边梯形绕x ⼀周⽽成的旋转体的体积()2bx aV f x dx π=?．3）由连续曲线()0y f x =≥、直线a x =、b x =及x 轴所围成的曲边梯形绕绕y 轴旋转⼀周的体积()dx x xf V b ay ?=π2．4）平⾯图形由曲线()y g x =()0≥与直线c y =，d y =和y 轴围成绕y 轴旋转⼀周的体积()?=dcy dy y g V 2π，5）平⾯图形由曲线()y g x =()0≥与直线c y =，d y =和y 轴围成绕x 轴旋转⼀周的体积()?=dcx dy y yg V π2．6）平⾯区域?>≤≤≤≤)0()()(,a x f y x gb x a 绕x 轴旋转⼀周所形成的旋转体体积为 ?-=badx x g x f V .)]()([22π7）平⾯区域>≤≤≤≤)0()()(,a x f y x gb x a 绕y 轴旋转⼀周所形成的旋转体体积为-=badx x g x f x V .)]()([2π例5 ⼀平⾯经过半径为R 的圆柱体的底圆中⼼，并与底⾯交成⾓α，求此平⾯截圆柱体所得⽴体的体积．解取此平⾯与圆柱体的底⾯的交线为x 轴，底⾯上过圆⼼且垂直于x 轴的直线为y 轴，那么底圆的⽅程为2 22R y x =+．⽴体中过x 轴上的点x 且垂直于x 轴的截⾯是⼀个直⾓三⾓形，它的两条直⾓边的长分别为y 和αtan y ，即22x R -及αtan 22x R -，因⽽截⾯⾯积为αtan )(21)(22x R x A -=，于是所求体积为x x R V RR d tan )(2122?--=αααtan 32tan )31(21332R x x R RR =-=-．例6 求椭球球体体积：2222221x y z a b c++=．解：⽤垂直于x 轴的平⾯截椭球得截⾯为⼀椭圆，它在平⾯yoz 上的投影为222222221(1)(1)y z x x b c aa+=--，从⽽得截⾯⾯积为22()(1)x s x bc aπ=-，于是所求的椭球体积为224()(1)3aaa a x V s x dx bc dx abc a ππ--==-=??．注当a b c R ===得球2222x y z R ++=的体积为343R π．例7 求下列平⾯图形绕坐标轴旋转⼀周所得的体积()π≤≤==x y x y 00,sin ．（1）绕x 轴；（2）绕y 轴．解（1）221cos 2sin 22x x V xdx dx πππππ-===?；（2）()()??--=12102arcsin arcsin dy y dy y V y πππ()-=-=123102arcsin 2arcsin 2ydy dy y πππππ．()()().212112211arcsin 2210 2122210212231021023πππππππ=??--=?--+-=??-?--=??-y y d y dy y y y y另⼀解法02sin 2cos y V x xdx xd x ππππ==-?2002cos cos 2ππππ=??--=xdx x x ．注：从上⾯的两种解法中可看出，知道的公式越多，解决问题越⽅便，但要理解公式，记住公式．例8 过点()0,1P 作抛物线2-=x y 的切线，该切线与上述抛物线及x 轴围成⼀平⾯图形，求此图形绕x 轴旋转⼀周所成旋转体的体积．解设所作切线与抛物线相切于点()2,00-x x ，因,22100-='=x y x x故切线⽅程为().2212000x x x x y --=--⼜因该切线过点()0,1P ，所以(),12212000x x x --=--即30=x ．从⽽切线⽅程为().121-=x y 因此所求旋转体的体积 ()()33212112.46V x dx x dx πππ=---=??三平⾯曲线的弧长1）若曲线⽅程为],[),(b a x x f y ∈=，则曲线弧长为?'+=b adx x f s .)]([122）若曲线⽅程为??∈==],[,)()(βαt t y y t x x ，则曲线弧长为?'+'=βadt t y t x s .)]([)]([223）若曲线⽅程为],[),(βαθθ∈=r r ，则曲线弧长为?'+=βαθθθd r r s 22)]([)]([．例9 计算圆222R y x =+的周长．解将圆的⽅程化成参数⽅程.20,sin ,cos πθθθ≤≤??==R y R x则()().2cos sin 202022R d R d R R s πθθθθππ==+-=例10 计算内摆线323232ay x =+()0a >的周长．解法1 由于曲线关于x 轴及y 轴对称，所以，只需计算第⼀象限内曲线的长，再乘以4即得所求．13a y x ??'== ，得.6403a dx x a s a =??=法2 把曲线化为参数⽅程??==,sin ,cos 33θθa y a x 在第⼀象限的参数20πθ≤≤，于是 ,cos sin 3,sin cos 322θθθθa y a x ='-='因此4s θ=.62cos 32sin 6cos sin 12202020a a d a d a =-===??πππθθθθθθ四旋转体的侧⾯积及表⾯积1）设平⾯光滑曲线C 的⽅程为(),[.]y f x x a b =∈（不妨设()0f x ≥），这段曲线绕x 轴旋转⼀周得到旋转曲⾯得旋转曲⾯的⾯积公式(2.baS f x π=?2）如果光滑曲线C 由参数⽅程()x x t =，()y y t =，[],t a b ∈给出，且()0y t ≥，那么由弧微分知识推知曲线C 绕x 轴旋转所得旋转曲⾯的⾯积为2(.S y t βπ=?例11 设有曲线1-=x y ，过原点作其切线，求由此曲线，切线及x 轴围成的平⾯图形绕x 轴旋转⼀周所得到的旋转体的表⾯积．解设切点为()1,00-x x ，则过原点的切线⽅程为.1210x x y -=再以点()1,00-x x 代⼊，解得11,2000=-==x y x ，则上述切线⽅程为.21x y =由曲线()211≤≤-=x x y 绕x 轴旋转⼀周所得到的旋转⾯的⾯积().15563412212121-=-='+=??πππdxx dx y y S由直线段()2021≤≤=x x y 绕x 轴旋转⼀周所得到的旋转⾯的⾯积.525212202ππ?=?=dx x S因此，所求旋转体的表⾯积为().1511621-=+=πS S S ．例12 计算半径为R 的球⾯的⾯积．解半径为R 的球⾯可以看成圆222R y x =+所围成的平⾯图形绕R 轴旋转所形成旋转体的侧⾯积．由于y xy -='，于是 2222242212R dx R dx yy x y dx y x y S R R R R R Rππππ==+=???? ?-+=---．。
同济大学数学系《高等数学》第7版上册课后习题(定积分的应用)【圣才出品】
同济大学数学系《高等数学》第7版上册课后习题第六章定积分的应用习题6-1定积分的元素法本部分无课后习题．习题6-2定积分在几何学上的应用1．求图6-1中各阴影部分的面积：图6-1解：（1）解方程组，得到交点坐标为（0，0）和（1，1）．如果取x为积分变量，则x的变化范围为[0，1]，相应于[0，1]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为、底为dx的窄矩形的面积，因此有如果取y为积分变量，则y的变化范围为[0，1]，相应于[0，1]上的任一小区间[y，y ＋dy]的窄条面积近似于高为dy、底为y－y2的窄矩形的面积，因此有（2）取x为积分变量，则易知x的变化范围为[0，1]，相应于[0，1]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为e－e x、底为dx的窄矩形的面积，因此有如果取y为积分变量，则易知y的变化范围为[1，e]，相应于[1，e]上的任一小区间[y，y＋dy]的窄条面积近似于高为dy、底为lny的窄矩形的面积，因此有（3）解方程组，得到交点坐标为（－3，－6）和（1，2）．如果取x为积分变量，则x的变化范围为[－3，1]，相应于[－3，1]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为、底为dx的窄矩形的面积，因此有如果用y为积分变量，则y的变化范围为[－6，3]，但是在[－6，2]上的任一小区间[y，y＋dy]的窄条面积近似于高为dy、底为的窄矩形的面积，在[2，3]上的任一小区间[y，y＋dy]的窄条面积近似于高为dy、宽为的窄矩形的面积，因此有由此可知以x为积分变量较易，因为图形边界曲线若分为上下两段，分别为y＝2x和y＝3－x2；若分为左右两段，分别为和，其中右段曲线的表示相对比较复杂，也就会导致计算形式复杂．（4）解方程组，得到交点坐标为（－1，1）和（3，9），同上，以x为积分变量计算较易．取x为积分变量，则x的变化范围为[－1，3]，相应于[－1，3]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为2x＋3－x2、底为dx的窄矩形的面积，则有2．求由下列各曲线所围成的图形的面积：（1）与（两部分都要计算）；（2）与直线y＝x及x＝2；（3）与直线x＝1；（4）y＝lnx，y轴与直线y＝lna，y＝lnb（b＞a＞0）．解：（1）图6-2中，可先计算图形D1（阴影部分）的面积，易求得与x2＋y2＝8的交点为（－2，2）和（2，2）．取x为积分变量，则x的变化范围为[－2，2]，相应于[－2，2]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为、底为dx的窄矩形的面积，因此有图形D2的面积为图6-2（2）图6-3中，取x为积分变量，则x的变化范围为[1，2]，相应于[1，2]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为、底为dx的窄矩形的面积，因此有图6-3（3）图6-4中，取x为积分变量，则x的变化范围为[0，1]，相应于[0，1]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为、底为dx的窄矩形的面积，因此有图6-4（4）图6-5中，取y为积分变量，则y的变化范围为[lna，lnb]，相应于[lna，lnb]上的任一小区间[y，y＋dy]的窄条面积近似于高为dy、底为e y的窄矩形的面积，因此有图6-53．求抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点（0，－3）和（3，0）处的切线所围成的图形的面积．解：首先求得导数，因此抛物线在点（0，－3），（3，0）处的切线分别为y＝4x－3，y＝－2x＋6，容易求得这两条切线交点为（见图6-6）．因此所求面积为图6-64．求抛物线y2＝2px及其在点处的法线所围成的图形的面积．解：利用隐函数求导方法，抛物线方程y2＝2px两端分别对x求导，2yy′＝2p．即得，因此法线斜率为k＝－1，从而得到法线方程为（如图6-7），因此所求面积为图6-75．求由下列各曲线所围成的图形的面积：（1）ρ＝2acosθ；（2）x＝acos3t，y＝asin3t；（3）ρ＝2a（2＋cosθ）．解：（1）（2）由对称性可知，所求面积为第一象限部分面积的4倍，记曲线上的点为（x，y），因此（3）。
高等数学定积分在物理中的应用
2010.12
D6_all
21
二、典型例题
例1
y
1.已知星形线
x y
a cos3 t (a
a sin 3 t
0)
求 10 它所围成的面积 ;
a
o
ax
20 它的弧长;
30 它绕轴旋转而成的旋转 体体积.
2010.12
D6_all
22
解 10 设面积为 A. 由对称性,有
a
A 4 ydx 0
P y 4x x2 du
1 5
(x2
2x)2
5d x
o dx 2
故所求旋转体体积为
2010.12
V
2 0
15( x 2
2x)2 5d
D6_all
x
16 75
5
du 2dx d x33
a x xdx b x
因此变力F(x) 在区间 上所作的功为
b
W a F (x) dx
2010.12
D6_all
2
例1. 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, 一个单
位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a < b) ,
求电场力所作的功 . 解: 当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律电场力为
k m a
x
l 2
a2 a2 x2 0
2k m l 1
l 2
a
4a2 l 2
y a M d Fx d Fay
dF
xdx O x lx
2
利用对称性
棒对质点引力的水平分力 Fx 0 .
故棒对质点的引力大小为
F
2k m
a
大学高数定积分应用1(6-1--6-5)课后参考答案及知识总结
第六章定积分的应用内容概要课后习题全解习题6-2★ 1．求由曲线xy =与直线x y =所围图形的面积。
知识点：平面图形的面积思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1∵所围区域D 表达为X-型：⎩⎨⎧<<<<x y x x 10， （或D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<y x y y 210）∴⎰-=10)(dx x x S D61)2132(1223=-=x x （⎰=-=1261)(dy y y S D） ★ 2．求在区间[0，π/2]上，曲线x y sin =与直线0=x 、1=y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解：见图6-2-2∵所围区域D 表达为X-型：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<1sin 20y x x π， （或D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<y x y arcsin 010） ∴12)cos ()sin 1(202-=+=-=⎰πππx x dx x S D（ 12arcsin 1-==⎰πydy S D）★★3．求由曲线x y =2与42+-=x y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为Y-型时解法较简单，所以用Y-型做 解：见图6-2-3∵两条曲线的交点：⎩⎨⎧±==⇒⎩⎨⎧+-==22422y x x y x y ， ∴所围区域D 表达为Y-型：⎩⎨⎧-<<<<-22422yx y y ，∴2316)324()4(2232222=-=--=--⎰y y dy y y S D（由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为：2316)324(2)4(223222=-=--=⎰y y dy y y S D ）★★4．求由曲线2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<y x y y 210，∴34322)2(22102311=⨯=-==⎰y dy y y S S D D（若用X-型做，则第一象限内所围区域=1D b a D D Y ，其中a D ：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<22410x y x x ，b D ：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<14212y x x ；∴12212201422[()(1)]443D D x x S S x dx dx ==-+-=⎰⎰） ★★5．求由曲线xy 1=与直线x y =及2=x 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为X-型,解法较简单，所以用X-型做解：见图6-2-5∵两条曲线xy =和x y =的交点为（1，1）、（-1，-1），又这两条线和2=x 分别交于 21,2(、2) ,2( ∴所围区域D 表达为X-型：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<x y xx 121，∴22211113((ln )ln 222DS x dx x x x =-=-=-⎰★★★6．抛物线x y 22=分圆822=+y x 的面积为两部分，求这两部分的面积知识点：平面图形面积思路：所围图形关于X 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-6，设阴影部分的面积为1D S ，剩余面积为2D S∵两条曲线x y 22=、822=+y x 的交于(2,2)±（舍去4-=x 的解），∴所围区域1D 表达为Y-型：⎪⎩⎪⎨⎧-<<<<-228222y x y y ；又图形关于x 轴对称，∴342)342(2)68(2)28(220320220221+=-+=--=--=⎰⎰ππy y dy y y S D（其中222cos 18cos 22cos 22844sin 2222+=+=⨯=-⎰⎰⎰=πππdt ttdt t dyy ty ） ∴34634282-=--=πππDS ★★★7．求由曲线x e y =、x e y -=与直线1=x 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为X-型时，解法较简单，所以用X-型做 解：见图6-2-7∵两条曲线x e y =和x e y -=的交点为（0，1），又这两条线和1=x 分别交于) ,1(e 和) ,1(1-e∴所围区域D 表达为X-型：⎩⎨⎧<<<<-x x e y e x 10，∴2)()(1101-+=+=-=---⎰e e e e dx e e S x x x x D★★★8．求由曲线x y ln =与直线a y ln =及b y ln =所围图形的面积)0(>>a b知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为Y-型时，解法较简单，所以用Y-型做 解：见图6-2-8∵在x ln 的定义域范围内所围区域D ：⎩⎨⎧<<<<ye x by a 0ln ln ， ∴a b edy e S b ay bayD-===⎰ln ln ln ln★★★★9．求通过（0，0），（1，2）的抛物线，要求它具有以下性质：（1）它的对称轴平行于y 轴，且向下弯；（2）它与x 轴所围图形面积最小知识点：平面图形面积和求最值思路：首先根据给出的条件建立含参变量的抛物线方程，再求最值时的参变量解：由于抛物线的对称轴平行于y 轴，又过（0，0），所以可设抛物线方程为bx ax y +=2，（由于下弯，所以0<a），将（1，2）代入bx ax y +=2，得到2=+b a ，因此x a ax y )2(2-+=该抛物线和X 轴的交点为0=x 和aa x 2-=， ∴所围区域D ：2200(2)a x ay ax a x-⎧<<⎪⎨⎪<<+-⎩ ∴23223226)2()223(])2([a a x a x a dx x a ax S aa a a D-=-+=-+=--⎰)4()2(61)]2()2()2(3[61)(233322+-=-⨯-+-⨯='---a a a a a a a a S D得到唯一极值点：4-=a ，∴所求抛物线为：x x y 642+-=★★★★10．求位于曲线x e y =下方，该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形的面积知识点：切线方程和平面图形面积思路：先求切线方程，再作出所求区域图形，然后根据图形特点，选择积分区域表达类型解：x e y =⇒xe y ='，∴在任一点0x x =处的切线方程为)(000x x e ey x x -=-而过（0，0）的切线方程就为：)1(-=-x e e y ，即ex y =所求图形区域为21D D D Y =,见图6-2-10X-型下的1D ：⎩⎨⎧<<<<∞-x e y x 00，2D ：⎩⎨⎧<<<<xey ex x 1∴222)(12110e e e x eedx ex e dx e S x x x D=-=-=-+=∞-∞-⎰⎰ ★★★11．求由曲线θcos 2a r =所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：作图可知该曲线是半径为a 、圆心（0 ,a ）的圆在极坐标系下的表达式，可直接求得面积为2a π，也可选择极坐标求面积的方法做。
定积分(辅导班、习题课)
例 32.（07.4）设函数 f(x)具有连续的一阶导 数, 且满足
f ( x) x ( x 2 t 2 ) f (t)dt x 2 0
求 f(x)的表达公式.
15
例
33.（07.2）设
f(x)是区间[0,
4
] 上的单调、
可导函数，且满足
f (x) f 1(t)dt x t cos t sin tdt
1内至少
2
一点 ζ ，使 f (ζ ) f (ζ ) .
10
例 21.
求函数
f
(x)
x2
0
(2
t )e t dt
的最大值和最
小值。(95.3)
x t2
例 22. 已知函数 f ( x) 0 e 2 dt, x ，
求 f (x) ，并讨论 f ( x) 的单调性，奇偶性及函
数图形的凹凸性，并求 f (x) 的图形的拐点和 水平渐近线。（88.4.5）
得
7.积分中值问题
解法思路: 通常是积分中值定理、介值定理和微分中值定理的联合使用。
23
例 41. 设在[a, b]上 f (x)连续.且满足
f (a) f ( x) f (b).证明:c [a, b]使
ab f ( x)dx f (a)(c a) f (b)(b c)
证：令 F( x) f (a)(x a) f (b)(b x)
解法思路:
一． 变量代换公式和分部积分公式 本身就是高度普遍性的积分等 式，亦可用来推出其它积分等 式；
二． 视为变限积分函数问题，转化 为导数的应用问题。
三． 用中值定理
17
例 34.设 f ( x) 处处连续，证明：
a x3 f ( x2 )dx 1
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1
S2
2
S1
0aLeabharlann 2ax 2π
2a
x
a dx
2π a 2 .
a
x
方 法2：分块儿求, 怎么分？
显然柱壳法简便。
V
V1
V2
π (2a)2
成的区域的面积。
解： 先画图. 需分块儿！
y
3
联立，解交点：
2
y x2 1 x y 3
x 1
y
2
1
S1
S2
0
1
3
x
S S1 S2
1 ( x 2 1)dx
0
1 22 2
.
x3
3
1 x 2
0
10 . 3
例 2 求三条圆曲线 x 2 y 2 4，( x 2)2 y 2 4, ( x 1)2
如下例：
0a
.
x=g(y)
x
f (x)
bx
例4：用柱壳法求旋转体体积. 求曲线 xy a(a 0)与直线 x a, x 2a 及 y 0所
围成的图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积。
y
解： 方法1：绕 y 轴.
由柱壳法的公式：
b
xy a
1
V 2π a xf ( x)dx. . .
π
2 π
(4cos )2 d
3
4
π
2 π
(1
cos
2
)d
3
2π 3
3.
3 3( 2π 3) 2(π 3).
3
还有别的方法吗？
例 2 求三条圆曲线 x 2 y 2 4，( x 2)2 y 2 4, ( x 1)2
(y
y
3
3 )2 4 所围成的圆内公共部分图形的面积。
(1) 求面积
(2) 求体积
(3) 求弧长 (4) 求侧面积
2. 物理应用方面： (1) 求平行力作功
(2) 求压力
3. 定积分其他应用: (1)求函数平均值
(2) 实际问题
三. 课堂练习(共7题)
四. 综合题(共3题)
综合题解答
一. 基本要求
1. 定积分的几何应用 (1) 因为平面图形都是由曲边梯形或曲边扇形组成，所以定积分能 解决任意（边界是已知函数的）平面图形求面积的问题。 (2) 由于定积分是一维的积分，所以只能解决截面面积已知的立体 求体积问题。 旋转体是其中一种，所以各种旋转体的体积问题基本可以解决。 一般立体的求体积问题以后用二重积分或三重积分可以解决。 (3) 利用弧微分（在局部，用切线长 ds 近似曲线长 s），可以解 决任意平面曲线（曲线函数已知）求弧长的问题。 一般空间曲线的求弧长问题以后用第一型曲线积分可以解决。 (4) 通过弧微分，求旋转体的侧面积问题也可以用定积分解决。 求一般曲面的面积问题以后用第一型曲面积分可以解决。
12a 2 1 3 π 1 3 5 π 3π a 2 . 24 2 246 2 8
(2) 求体积 1o 已知平行截面面积为A(x)的立体体积
b
V a A( x)dx
A(x)
a
x
bx
2o 绕 x 轴旋转的旋转体体积 曲边梯形： y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕 x 轴
V π b f 2 ( x)dx a
f(x)
a ..x
bx
3o 绕 y 轴旋转的旋转体体积
y
d
V π d g 2 ( y)dy c
c
0
4o 用柱壳法求绕 y 轴旋转的旋转体体积
y
..
曲边梯形 y= f (x), x = a, x = b,
y = 0 绕 y 轴.
b
V 2π a xf ( x)dx
x = (y)
y = c, y = d, x = 0
= ( )
= , =
图形
S
a
b
b
面积公式 S | f ( x) | dx a .
d
S
c
S
d
S c |( y) | dy
.
S 1 2 ( )d
2
.
例 1. 求曲线y x2 1，直线x y 3和 x轴、y轴所围
第六部分 定积分的应用
第六部分 定积分的应用
一. 基本要求：
1.深刻理解定积分的基本思想，熟练运用公式计算平面图形的面积、
平行截面面积已知的立体体积、旋转体体积和侧面积、曲线弧长等。
2.初步掌握运用“元素法”解决物理、力学及应用中的某些问题。
二. 重点、难点与例子（共11例）.
1. 几何应用方面：
图形的面积。
y
解： 由对称性
a
a
S 40 ydx
作变量代换: x a cos 3 ，y a sin3
–a
0
–a
.
ax
S
4
0 π
a
sin3
td( acos 3 t
)
2 π
12a 2 2 sin4 tcos2tdt 0
π
12a 2 2 (sin4 t sin6 t)dt 0
( y 3 )2 4 所围成的圆内公共部分图形的面积。
y
解： 方法 I. 先画图.
S S 3S弓 主要是求 S弓.
3
用极坐标：
π
3
012
x
r = 4 cos
.
S. S 3S弓
12 2
( x 2)2 y 2 4 即 r 4cos .
1
S弓 2
2. 元素法
(1) 怎样的量 U 可以用定积分计算？ 1o 量 U 与给定区间[a, b]有关； 2o 量 U 对区间[a, b]具有可加性.
(2) 计算步骤：
1o 根据实际问题，选取坐标系、积分变量和积分区间[a, b] ；
2o x [a, b],求小区间[x, x+dx]上的部分量 dU ;
称 dU= f (x)dx为元素 .
3o 计算定积分 U
b
f ( x)dx .
a
(3) 计算中的关键和难点：
找到 f (x) . f (x)的表示式与选择的坐标系有关。
二. 重点、难点与例子. 1. 几何应用方面
(1) 求面积
直角坐标系
极坐标系
边界 函数
y=f(x)
x = a, x = b, y = 0
解： 方法 II.
S S 3S弓 主要是求 S弓.
用初等方法求图示部分：
π 3
012
x
S弓 S扇 S
1 22 π 1 2 3 2 32
2π 3. 3
.
S S 3S弓
12 2
3 3( 2π 3
3) 2(π
3 ).
例 3 求由星形线x a cos3 , y a sin3 所围成的平面