灰色数列预测方法

子数据序列必被母序列所包含，不过常常认为母序列 X 是一个特别的子数据序列。
( 0)
对于数据序列建立 GM(1,1)模型的步骤大致可以概括为： 1、确定任一子数据序列
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X i( 0 ) = [ X ( 0 ) (1), X ( 0 ) (2), … , X ( 0 ) (n)]
2、 对子数据序列做一次累加生成记为
灰色系统理论
主要讲以下两个内容: 灰色数列预测方法; 灰色灾变预测方法。
1
灰色系统理论
在研究很多系统时，往往要遇到随机干扰（即所谓“噪音”）。人们对受“ 噪音”污染的系统的研究大多基于概率统计方法。但概率统计方法有很多不足 之处：要求大样本、要求有典型的统计规律、计算工作量大等。而且在某些问 题中，其概率意义下的结论并不直观或信息量较少。例如，预报某天下雨的概 率是0.5，晴天的概率也是0.5，这种结论对于人们来讲毫无意义。
−
−
−
−
9
m(A),则有：
m( A) = A− A ≥ 0 −
− −
−
称 m(A)为发展灰数的测度，并且认为 m(A)越大，则发展灰数越大。当 A = A 时，m(A)=0, 则发展灰数为零。这时所有模型的系数都相等，称相应的预测灰数为预测的唯一白化值。 一般来讲，不可能，也不必要对所有的子序列都建立 GM(1,1)模型。在应用时，只要根 据预测的超前长度来适当选择子序列的长度进行建模与预测。从大量的实践证明，进行近期 或短期预测，可选用较短子序列（约 4-10 年左右） ，进行中长期预测，则可选择较长的子数 据序列（10 年以上）或母序列，结果较为满意。当然其关键是在于类比时间数据序列的特征 与未来发展趋势是否接近。 二、计算示例 设有如下原始数据序列，建立模型与预测 t 1 2 3 4 5 6
对上述矩阵求逆
16622.6252 − 82.0185 ( B T B) −1 = = − 82.0185 5
−1
1 5 × 16622.6252 − (82.0185) 2
∧
6
若给定原始数据序列
X ( 0 ) = [ X ( 0 ) (1), X ( 0 ) ( 2), … , X ( 0 ) (n)]
可分别从 X 序列中，选取不同的连续数据列，有：
(0)
X 1( 0 ) = [ X ( 0 ) (2), X ( 0 ) (3), … , X ( 0 ) (n)]
X 2( 0 ) = [ X ( 0 ) (3), X ( 0 ) ( 4), … , X ( 0 ) (n)]
( 1)
∧
X ( 0) (k + 1) = −a ( X (1) (0) − u a )e − ak 或 X ( 0 ) (k + 1) = X (1) (k + 1)− X (1) (k )
∧ ∧ ∧
∧
7、求出 X (k ) 与 X (k ) 之差及相对误差
(0)
∧ (0)
ε (0) = X (0) − X (0)
{ X i( 0 ) } → { X i( (1), X (1) (2), … , X (1) (n)]
X (1) (t ) = ∑ X ( 0 ) (k )
k =1 t
3、 构造矩阵 B 与向量 Yn
(1) (1) 1 − 1 2( X (2) + X (1)) − 1 2( X (1) (3) + X (1) (2)) 1 B= L (1) (1) − 1 2( X (n) + X (n − 1)) 1
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第1章 灰色数列 数列预测方法 数列 主要讲以下四个内容： 一、灰色预测概述； 二、数列预测的基本方法； 三、数列预测的实用建模技术； 四、GM(1,1) 模型与指数方程的比较。 第一节 灰色预测概述
一、灰色预测的基本原理 所谓预测， 就是根据客观事物的过去和现在的发展规律，借助科学的方法和 先进的技术手段，对其未来的发展趋势和状况，进行描述和分析，并形成科学的假设 和判断。对于一个未出现的、没有诞生的未来系统， 必然是既有已知信息，又有未知 或未确知的信息，且处于连续变化的动态之中。 所以说，提出“预测未来” 本质上 个灰色问题。 灰色预测是建立一种描述研究系统动态变化特征的模型，它不仅是指系统中含 有灰元、灰数、灰关系的预测，而且还从灰色系统理论的建模、关联分析及残差辩识 的思想出发，所获得的关于预测的概念、观点和方法。 灰色预测是以灰色模块为基础，认为：一切随机量都是在一定范围内，一定时 3 段上变化的灰色量和灰过程。对于灰色量的处理不是寻求它的统计规律和概率分布， 而
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第二节 数列预测的基本方法 利用 GM(1,1)模型对时间序列进行数量大小的预测，称为灰色数列预测。如人口，粮 食产量，商品销售量，交通运输量等预测问题。这是应用最关广的一种灰色预测方法。 一、基本方法步骤
GM (1,1) 模型的微分方程为：
dX (1) + aX = u dt
系数向量为
(1)
a = [ a, u ]T
Yn = [ X ( 0 ) (2), X ( 0 ) (3), … , X ( 0 ) (n)]T
4、用最小二乘法求解系数 a
a = ( B T B) −1 B T ⋅ Yn
∧
∧
5．响应函数
X (1) (k + 1) = ( X ( 0 ) (1) − u a )e − ak + u a
8
∧
6、将 X 求导还原
利用最小二乘法求解系数向量 a
∧
11
a = [ B T B]−1 B T ⋅ Yn
∧
先计算 B B
T
− 6.2235 BT B = 1 − 6.2235 − 10.995 − 16.0105 − 21.526 − 27.2635
− 10.995 − 16.0105 − 21.526 − 27.2635 × 1 1 1 1 1 1 16622.6252 − 82.0185 1 = 5 − 82.0185 1 1
X (1) (5) = X (1) (4) + X ( 0 ) (5) = 18.542 + 5.968 = 24.510 X (1) (6) = X (1) (5) + X ( 0 ) (6) = 24.510 + 5.507 = 30.017
有： t
X ( 0) X ( 1)
1
2
3
4 5.063
X ( 0 ) 3.936 4.575 4.968 5.063 5.968 5.507
首先，对原始数据作一次累加生成，得到新的数据序列 X ，即
( 1)
10
X (1) (1) = X ( 0 ) (1) = 3.936 X (1) (2) = X (1) (1) + X ( 0 ) (2) = 3.936 + 4.575 = 8.511 X (1) (3) = X (1) (2) + X ( 0 ) (3) = 8.511 + 4.968 = 13.479 X (1) (4) = X (1) (3) + X ( 0 ) (4) = 13.479 + 5.063 = 18.542
(0) ( 0)
X
(0)
(5)
X ( 0 ) ( 6)
X X X
(1 ) (1 )
(1 )
( 2)
X
(1 )
(3 ) X
(0 )
(4) X (3 )
(5 )
(0 )
(4)
(2) X
(0 )
(1) t1 t2 t3 t4 t5 t6 t
(1 )
(2)
t1
t2
t3
t
4
t5
t6
t
图4-1 原始数据曲线
图4-2 累加数据曲线
5 5.968
6 5.507
3.936 4.575 4.968
3.936 8.511 13.479 18.542 24.510 30.017
构造矩阵 B 与向量 Yn
(1 ) (1 ) − 1 2 ( X (1) + X (2)) − 1 2 ( X (1) (2) + X (1) (3)) B = − 1 2 ( X (1) (3) + X (1) (4)) ( 1) ( 1) − 1 2 ( X (4) + X (5)) − 1 2 ( X (1) (5) + X (1) (6))
1 − 6.2235 1 − 10.995 1 = − 16.0105 1 − 21.526 1 − 27.2635
1 1 1 1 1
Yn = ( X ( 0 ) (2), X ( 0 ) (3), X ( 0 ) ( 4), X ( 0 ) (5), X ( 0 ) (6))T
4
X 如图4-2所示。可见，新生成的数据列为一条 单调增长的曲线。显然增加了原始数据列的规律 灰色模块 性，而弱化了随机性。一般来说，对非负的数据 列，累加可以弱化随机性，增加规律性，这样就 比较容易用某种函数去逼近拟合。 白色模块 灰色系统理论把这种经过一定方法生成的数 据列，在几何意义上称为“模块”。很显然，它就 t 过去 现在 未来 是时间序列在时间、数据的二维平面上所做的连 续曲线与其底部的总称。并将由已知数据列构成 图4-3 灰色模型 的模块，称为白色模块，而由白色模块建模外推 的未来模块，即预测值构成的模块，称为“灰色模块”。如图4-3所示。 二、灰色预测方法的基本类型 （1）数列预测。即对某个系统或因素发展变化到未来某个时刻出现的数量大小进行 预测。如预测某地的粮食产量到2000年将是多少，这里一是需要明确未来时间，二是估 计这个时刻的粮食能生产多少。数列预测是“定时求量”。 （2）灾变预测。对某个时间是否会发生某种“灾变”，或某个异常值可能在什么时间 出现等进行预测。是“定量求时”。 （3）系统预测。对某个系统中一些变量或因素间，相互协调发展变化的大小及其数 量进行预测。