概论题

一、甲袋装有3只白球和5只黑球，乙袋装有4只白球和6只黑球.先从甲袋中取出一球放入乙袋后搅匀，再从乙袋中取出一球放回甲袋.
求:（1）甲袋白球数增加的概率；（2）甲袋白球数不变的概率.
二、已知随机变量X的概率密度为已知
求：（1）常数的值；（2）的分布函数；（3）的概率密度函数.
三、已知二维随机变量的联合密度为
求:（1）的值；
（2）的边缘密度，并判断与是否独立；
（3）求的密度函数.
四、将两封信随机投入三个空邮筒.设分别表示第一、第二号邮筒中的信的个数.
求：（1）的联合分布律；（2）和的边缘分布律，并判断与是否独立；
（3）的分布律；（4）.
五、设随机变量与的相关系数为服从正态分布服从上的均
匀分布，求:
六、设总体的概率密度函数为其中为未知参数，
是来自总体的样本.求:未知参数的最大似然估计，并问它们是否为的无偏估计.
七、设独立同分布，均服从，求
使
一、单项选择题
1.设随机变量，服从二项分布，其中1,2,…，那么，对于任一实数，有
【】
（A） (B)(C) (D)
2.设离散型随机变量的分布律为则常数应为：【】
（A） . （B） . （C）. （D）.
3.打靶3发，事件表示“击中发”，=0，1，2，3.那么事件表示：
(A)全部击中. （B）至少有一发击中.
（C）必然击中. （D）击中3发【】
二、填空题
1.设为两个随机事件，且，则由乘法公式知= .
2.设（0.5，0.52）,且有3,
则= .
3.某柜台有4个服务员，他们是否需用台秤是相互独立的，在1小时内每人需用台秤的概率
为，
则4人中至多1人需用台秤的概率为： .
4.从1，2，…，10共10个数字中任取一个，然后放回，先后取出5个数字，则所得5个数字全不相同的事件的概率等于 .
三、（本题12分）在所有的两位数中任取一个数，求这个数能被2或3或5整除的概率.
四、（本题10分）5个零件中有一个次品，从中一个个取出进行检查，检查后不放回.直到查到次品时为止，用表示检查次数，求：的分布函数
五、（本题10分）设某地区成年居民中肥胖者占10%，不胖不瘦者占82%，瘦者占8%，又知肥胖者患高血压的概率为20%，不胖不瘦者患高血压病的概率为10%，瘦者患高血压病的概率为5%，
试求：（1）该地区居民患高血压病的概率；
（2）若知某人患高血压，则他属于肥胖者的概率有多大？
六、（本题10分）从两家公司购得同一种元件，两公司元件的失效时间分别是随机变量和
，其概率密度分别是；其中
.
如果与相互独立，写出（，）的联合概率密度，并求下列事件的概率；
（1）到时刻两家的元件都失效（记为）；
（2）到时刻两家的元件都未失效（记为）；
（3）在时刻至少有一家的元件还在工作（记为）.
七、（本题7分）证明：事件在一次试验中发生次数的方差一定不超过.
八、（本题10分）设和是相互独立的随机变量，其概率密度分别为：
又知随机变量试求:的分布律及其分布函数.
九、（本题10分）将一枚硬币连掷100次，试用棣莫弗——拉普拉斯定理计算出现正面的
次数大于60的概率. 已知：
十、（本题10分）在一张打上方格的纸上随机地投一枚硬币，若方格的边长为，硬币的
直径为且硬币落在每一处是等可能的，记事件为硬币与方格线不相交，试求:事件的概率.
综合练习三
一、填空题（本题50分，1～10题每小题3分，11～15题第小题4分） 1.把四个球随机地投入四个盒子中去，则有三个空盒的概率为： .
2.设为两个随机事件， =0.5，= 0.4,则 .
3.100件产品中，有10件次品，不放回地从中接连取两次，每次取一件产品，则第二次取到正品的概率为： .
4.
设
的分布函数
为
，
且
,
则
＝ . 5.设二维随机向量（
）的分布函数
,分布密度为:
则:
= .
6.设二维随机向量（
）的分布函数为
,分布律如下, 则
.
7.设
（5
），
（16，0.5）， 则
.
8.设二维随机向量（）的概率密度为:
而Y 的边缘密度为 ，则
（2）= .
9.设（
）
（0，0；
1
，1；0），则的概率密度
.
10.设（）的概
率密度为
则
.
11.
.
12.
设连续型随机变量
的概率密度为
，则
的
概率密度
. (用表示). 13.设
相互独立，，令
Z 的概率密度函数
.
14.设是个相互独立同分布的随机变量，它们共同的分布函数为,则
的分布函数 .（用表示）.
二、（本题10分）设独立同分布，证
明两两独立，但不相互独立.
综合练习四
一、（本题８分）盒中有３个新晶体管和2个旧晶体管.某仪器需要安装上３个晶体管，若装上的都是新管，则仪器合格的概率为0.9；若装上的恰有１个旧管，则仪器合格的概率为0.5；若装上的恰有２个旧管，则仪器合格的概率为0.1 .现从盒中任取３个安装在仪器上，并已知仪器合格，问所安装的３个都是新管的概率多大？
二、(本题１０分) 设所生产的某种零件的长度与规定长度的偏差(单位：mm)服从正态分布（0,22）.若偏差的绝对值不超过2.4（mm）则属于合格品，现独立生产５个零件，问至少有４个合格品的概率是多少？
附表：
三、（本题
８分）设随机变量Ｘ的概率密度为求:的分布函数.
四、（本题１０分）设随机变量与相互独立，
在区间（１，３）上服从均匀分布，
的概率密度为
求:的概率密度.
五、（本题１２分）设的联合概率密度为
（１）求：边缘概率密度
（２）求：，并问Ｘ与Ｙ是否不相关.
六、填空题（本题１８分，每个空２分）
（１）箱中有６个红球和２个白球，任意抽取四次，每次取一球，取后不放回.则在第四次抽取时取得红球的概率为：.
（２）把3个球随机地放入５个盒子中去，每个盒能容纳的球数不限，则恰有３个盒子无球的概率为：.
（3）设随机变
量服从指数分
布，，
则
，
.
（4）设随机变
量的相关系数为0.2
，
，
则
.
七、（本题12分）设总体的概率密度为其中＞0是未知参数，是总体的样本.
试求：（1）的矩估计量；（2）的极大似然估计量.
综合练习五
一、单项选择题（本题24分）
1.设、是任意两个随机事件，则以下等式正确的是：【】
(A). (B).
(C). (D).
2.加工一种零件需经过三道独立工序.各道工序的废品率分别为，则加工该种零
件的成品率
为：
(A). (B).
(C). (D). 【】
3.在下列函数中，可以作为某个随机变量的分布函数的是: 【】
(A)() (B)
()
(C)＝ (D)
4.设随机变量X与Y相互独立，
服从相同0-1分布: 【】
则下列结论正确的是: (A) (B)
(C) (D)
5.设随机变量有概率密度已知的分布函数值
(1)=，则
有:
(A) (B)【】
(C) (D)
6. 已知的联合概率如右表，则在的下列关系中正确的是：
【】 (A)独立，不相关. (B)独立，相关.
(C)不独立，不相关. (D)不独立，相关.
7.设某人练习射击，每次命中率为，重复射击次的命中次数记为,如果的数学期
望和方差分别为，则射击次数与命中率
为: 【】
(A) (B)
(C) (D)
二、填空题（本题24分）
1.设事件互不相容，且=，=,则条件概率 .
2.盒内装有10只晶体管，其中7只正品，3只次品.每次随机测试1只，区分正品或次品，
不放回，直至把3只次品都找出为止.则需测试7次的概率（列式）
为； .
3.灯泡寿命服从数学期望为1000小时的正态分布，随机抽取100只灯泡中至少有90只灯泡的寿命超过1000小时的概率（列式） .
4. 设已知标准正态分布函数值(0.4)＝0.6554, (1)＝0.8413
(1)当＝０时，概率，
(2)当=-时，方差= .
三、（本题10分）有三个盒子.第一盒内装有3个红球和2个白球，第二盒内装有2个红球
和3个白球，第三盒内装有4个红球和1个白球.随机取一盒，再从此盒内随机取出2个球，这2个球中的白球数记为，求的概率分布律及分布函数.
四、设二维随机变量（）具有概率密度
(1)求：概率;
(2)求：的数学期望；
(3)求：的概率密度.
五、（本题16分）设总体有概率密度>０，
是总体的容量为的样本,
（1）求未知数参数的极大似然估计量；
（2）求常数，使成为的无偏估计量.
综合练习十
一、填空题
1．设A，B是两个随机事件，已知A+B=A，则A与B应满足的关系是。

2．设A，B是两个随机事件，且AB=A，则A与B应满足的关系是。

3．设A、B是两个随机事件，且AB=，P（B）=[P（A）]2，则P（A）= 。

4．三个箱子，第一个箱子中有4个黑球与1个白球，第二个箱中有3个黑球与3个白球，第三个箱中有3个黑球与5个白球。

现随机地选取一个箱子，再从该箱中取出1个球，则这个球为白球的概率是；若已发现取出的这个球是白球，则它不是取自第二个箱子的概率是。

5．设离散型随机变量X的概率函数为P{X=i}=p i+1,i=0,1，则p= 。

6．已知随机变量X服从二项分布B（n,p），且EX=3.2，DX=0.64，则P{X≠0}= 。

7．已知X~B（3，p），Y~B（4，p），且P{X≥1}=，则EY2= 。

8．设随机变量X服从正态分布N（μ,1），已知P{X≤3}=0.975，则P{X≤-0.92}= 。

9．设随机变量X与Y相互独立，其方差分别为4和2，则随机变量3X-2Y的方差是。

10．设一次试验的成功率为p，进行100次独立重复试验，当p= 时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为。

11．设随机变量X在区间[-1，2] 上服从均匀分布，随机变量则Y 的方差DY= 。

12．设随机变量Y服从[1，6]上的均匀分布，则关于x的一元二次方程x2+Yx+1=0有实根的概率是。

二、选择题
1. 在全概率公式中，除了要求条件B是任意随机事件及
P（A i）>0 (i=1,2,…,n) 之外，我们可以将其它条件改为（）。

（A）A1，…，A n两两独立，但不相互独立
（B）A1，…，A n相互独立
（C）A1，…，A n两两互不相容
（D）A1，…，A n两两互不相容，其和包含事件B，即
2．设随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则随σ的增大，概率P{|X-μ|<σ}应该（）。

(A) 单调增大（B）单调减少（C）保持不变（D）增减不定．
3．设随机变量X,Y分别服从正态分布X~N (μ，42) ，Y ~ N (μ，52)；
记p1= P{X≤μ-4} ，p2= P{Y≥μ+5}，则（）。

（A）p1= p2（B）p1> p2
（C）p1< p2（D）因μ未知，无法比较p1与p2的大小
4．设二维随机变量（X，Y）满足E(XY)= EXEY，则X与Y（）。

（A）相关（B）不相关（C）独立（D）不独立
5．重复进行一项试验，事件A表示“第一次失败且第二次成功”，则事件为（）。

（A）两次均失败（B）第一次成功
（C）第一次成功且第二次失败（D）第一次成功或第二次失败
6．随机事件A与B独立的充分必要条件是（）。

(A) P(A+B)=P(A)+P(B) (B) P(A-B)=P(A)-P(B)
(C) P(B-A)=P(B)-P(A) (D) P(AB)=P(A)P(B)
7．设X是一随机变量，EX=μ，DX=σ2（μ，σ>0为常数），则对任意常数c，必有（）。

（A）E(X-c)2 = EX2-c2（B）E(X-c)2 = E(X-μ)2
（C）E(X-c)2 < E(X-μ)2（D）E(X-c)2 ≥ E(X-μ)2
8．设随机变量X与Y相互独立，且都服从（0，1）区间上的均匀分布，则服从相应区间或区域上均匀分布的是（）。

（A）X2 （B）X-Y （C）X+Y （D）（X，Y）
9．将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于（）。

（A）-1 （B）0 （C）（D）1
10．设F
1（x）与F
2
（x）分别是随机变量X
1
与X
2
的分布函数，为使F（x）=aF
1
(x)-bF
2
(x)
是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（）。

三、计算题
1．每箱产品50件，各箱内的次品数从0到2是等可能的，检验人员从每箱中抽取两件（不重复抽取）检验，若无次品，则接收该箱产品，现在共检验10箱。

计算接受率不低于90%的概率。

2．设随机变量X的概率密度为
对X独立地重复观察4次，用Y表示观察值大于的次数，求Y2的数学期望。

3．设二维随机向量（X，Y）的联合密度函数为
试求：（1）数学期望EX，EY；
（2）方差DX，DY；
（3）协方差Cov（X，Y）， D (5X-3Y）。

4．假设排球运动员的平均身高（单位：厘米）为μ，标准差为4。

求:100名排球运动员的平均身高与所有排球运动员平均身高之差在（-1，1）内的概率。

5．知总体X的密度函数为：f(x,) = X1,…,X n为简单随机样本，
求：的矩估计量。

6．有100道单项选择题，每个题中有4个备选答案，且其中只有一个答案是正确的。

规定选择正确得1分，选择错误得0分。

假设无知者对于每一个题都是从4个备选答案中随机地选答，并且没有不选的情况，计算他能够超过40分的概率。

综合练习九
一、填空题（本题30分，每小题2分）
1.甲、乙丙三人各自向同一目标射击一次，令：
又若目标至少被击中两次，则该目标被摧毁.设，若用、、表示，则有 .
2.概率的可列可加性是指: .
3.随机事件、、相互独立是指: .
4.某路口在一天的某一时间段内有800辆汽车通过，每辆汽车通过该路口时发生故障的概率为0.002，试利用泊松定理近似计算通过的800辆汽车中恰有3辆发生故障的概率为（只写出计算公式，而不必计算出最后结果）.
5.设随机变量且已知，则
= .
6.设离散型随机变量的分布律为:
则:的分布函数= .
7.设随机变量服从区间（-1，2）上的均匀分布，则= .
8.设二维随机变量服从区域上的均匀分布,则的联合密度函数 .
9.设与是两个随机变量,则等式成立的充分必要条件为: .
10.设随机变量是满足:则由切比雪夫不等式,有
.
11.设总体的密度函数为是从总体中抽取的一个样本(简单随
机样本),则的(联合)密度函数为 .
12.设随机变量,随机变量,且随机变量相互独立,令
,则分布(同时写出该分布的参数).
二、（本题8分）已知男人中有5.4%是色盲患者，女人中有0.27%是色盲患者.并且某学校
学生中男、女生的比例为2：1，现从这批学生中随机地选出一人，发现此人是色盲患者，试问此人是男生的概率为多少？
三、（本题8分）有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4杯.如果从中挑4杯，能
将甲种酒全部挑出来，算是成功一次.
(1) 某人随机地去猜，问他成功一次的概率是多少？
(2) 某人声称他通过品尝能区分两种酒.他连续试验10次，成功3次.试推断他是猜对
的，还是他确有区分的能力（各次试验是相互独立的）.
四、（本题8分）设随机变量，试求:随机变量的密度函数.
五、（本题8分）设随机变量相互独立，下表给出了二维随机变量的联合分布律及关于和关于的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表的空白处。