黑龙江省高考数学二模试卷(理科)
黑龙江省哈尔滨高考数学二模试卷(理科)
高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z满足zi=i+m（m∈R），若z的虚部为1，则复数z在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知全集U=R，集合A={x|x（x+2）＜0}，B={x||x|≤1}，则如图阴影部分表示的集合是（）A. （-2，1）B. [-1，0]∪[1，2）C. （-2，-1）∪[0，1]D. [0，1]3.已知命题；命题q：若a＜b，则，则下列为真命题的是（）A. p∧qB. p∧￢qC. ￢p∧qD. ￢p∧￢q4.已知向量，，若，则实数m=（）A. 2B. -2C.D.5.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=-11，a4+a6=-6，则当S n取最小值时，n等于（）A. 9B. 8C. 7D. 66.函数y=x sinx+的部分图象大致为（）A. B.C. D.7.2020年东京夏季奥运会将设置米男女混合泳接力这一新的比赛项目,比赛的规则是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员比赛,按照仰泳蛙泳蝶泳自由泳的接力顺序,每种泳姿100米且由一名运动员完成,每个运动员都要出场，现在中国队确定了备战该项目的4名运动员名单,其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳,男运动员乙只能承担蝶泳或自由泳,剩下的男女各一名运动员则四种泳姿都可以上,那么中国队共有( )种布阵的方式．A. 6B. 12C. 24D. 1448.20世纪70年代，流行一种游戏---角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n，按照以下的规律进行变换：如果n是个奇数，则下一步变成3n+1；如果n是个偶数，则下一步变成，这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确的说是落入底部的4-2-1循环，而永远也跳不出这个圈子，下列程序框图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的i值为6，则输入的n值为（）A. 5B. 16C. 5或32D. 4或5或329.如图所示，在边长为1的正方形OABC内任取一点P，用A表示事件“点P恰好自由曲线与直线x=1及x轴所围成的曲边梯形内”，B表示事件“点P恰好取自阴影部分内”，则P（B|A）等于（）A.B.C.D.10.已知函数f（x）=sin（ωx+θ），其中ω＞0，，f'（x1）=f'（x2）=0（x1≠x2），，，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调递减区间是（）A. B.C. D.11.已知双曲线C1：-=1（a＞0，b＞0）与双曲线C2：-=1，若以C1，C2四个顶点为顶点的四边形的面积为S1，以C1，C2四个焦点为顶点的四边形的面积为S2，则取到最大值时，双曲线C1的一条渐近线方程为（）A. y=xB. y=xC. y=xD. y=2x12.设函数f（x）=x2-x lnx+2，若存在区间，使f（x）在[a，b]上的值域为[k（a+2），k（b+2）]，则k的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知（1+x）（1-ax）2018的展开式中含x项的系数为2019，则实数a=______．14.若实数x，y满足不等式组，则的取值范围为______．15.如图①，把边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，形成的三棱锥C-ABD的正视图与俯视图如图②所示，则其侧视图的面积为______．16.如图平面四边形ABCD的对角线的交点位于四边形的内部，AB=1，，AC=CD，AC⊥CD，当∠ABC变化时，对角线BD的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知数列{a n}与{b n}满足：，且{a n}为正项等比数列，a1=2，b3=b2+4．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）若数列{c n}满足，T n为数列{c n}的前n项和，证明：T n＜1．18.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC=60°，E是BC中点，F是PC上的点．（1）求证：平面AEF⊥平面PAD；（2）若M是PD的中点，当AB=AP时，是否存在点F，使直线EM与平面AEF的所成角的正弦值为？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．19.某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如图所示：（1）现从去年的消费金额超过3200元的消费者中随机抽取2人，求至少有1位消费者，其去年的消费者金额在（3200，4000]的范围内的概率；（2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如表：预计去年消费金额在（，内的消费者今年都将会申请办理普通会员，消费金额在（1600，3200]内的消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在（3200，4800]内的消费者都将会申请办理金卡会员，消费者在申请办理会员时，需一次性缴清相应等级的消费金额，该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动，现有如下两种预设方案：方案1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”给予奖励：普通会员中的“幸运之星”每人奖励500元；银卡会员中的“幸运之星”每人奖励600元；金卡会员中的“幸运之星”每人奖励800元．方案二：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有3个白球、2个红球（球只有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球，若摸到红球的总数为2，则可获得200元奖励金；若摸到红球的总数为3，则可获得300元奖励金；其他情况不给予奖励．规定每位普通会员均可参加1次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加2次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加3次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立）请你预测哪一种返利活动方案该健身机构的投资较少？并说明理由．20.已知椭圆C：的左右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，离心率为，点B是椭圆上的动点，△ABF1的面积的最大值为．（1）求椭圆C的方程；（2）设经过点F1的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，线段MN的中垂线为l'．若直线l'与直线l相交于点P，与直线x=2相交于点Q，求的最小值．21.已知f（x）=e x-a ln x-a，其中常数a＞0．（1）当a=e时，求函数f（x）的极值；（2）若函数y=f（x）有两个零点x1，x2（0＜x1＜x2），求证：＜1＜x2＜a；（3）求证：e2x-2-e x-1ln x-x≥0．22.已知曲线C1：x+y=和C2：（φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．（1）把曲线C1、C2的方程化为极坐标方程（2）设C1与x轴、y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P．若射线OP与C1、C2交于P、Q两点，求P，Q两点间的距离．23.设函数f（x）=|2x-1|+2|x+1|-a．（1）当a=4时，求不等式f（x）＞0的定义域；（2）若函数f（x）≤0无解，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z在复平面内对应点的坐标得答案．【解答】解：由zi=i+m，得z=，∵z的虚部为1，∴-m=1，则z=1+i，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，1），在第一象限．故选：A．2.【答案】C【解析】解：A={x|-2＜x＜0}，B={x|-1≤x≤1}，由题意可知阴影部分对应的集合为[∁U（A∩B）]∩（A∪B），∴A∩B={x|-1≤x＜0}，A∪B={x|-2＜x≤1}，即∁U（A∩B）={x|x＜-1或x≥0}，∴[∁U（A∩B）]∩（A∪B）={x|0≤x≤1或-2＜x＜-1}，故选：C．根据阴影部分对应的集合为∁U（A∩B）∩（A∪B），然后根据集合的基本运算进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，利用阴影部分表示出集合关系是解决本题的关键．3.【答案】B【解析】解：根据题意，对于P，x2-x+1=（x-）2+＞0恒成立，则∃x0∈R，则x02-x0+1≥0为真命题；对于q，当a＜0而b＞0时，，则不成立，则q为假命题；分析选项可得：p∧q、￢p∧q、￢p∧￢q都是假命题；p∧￢q为真命题；故选：B．根据题意，分析可得p为真命题，而q为假命题，结合复合命题的真假关系分析选项，综合即可得答案．本题考查复合命题的真假的判定，关键是掌握复合命题真假的判定方法．4.【答案】A【解析】解：∵向量，，∴=（m+1，3），∵，∴=，解得m=2．故选：A．推导出=（m+1，3），由，得=，由此能求出m的值．本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】D【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，a1=-11，a4+a6=-6，可得-11+3d-11+5d=-6，解得d=2，则S n=na1+n（n-1）d=n2-12n=（n-6）2-36，当n=6时，S n取最小值-36．故选：D．设等差数列{a n}的公差为d，由等差数列的通项公式解方程可得d，再由等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最小值及相应的n的值．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查二次函数的最值求法，注意运用配方法，考查运算能力，属于中档题．6.【答案】A【解析】解：函数的定义域为{x|x≠0}，f（-x）=-x sin（-x）+=x sinx+=f（x），则函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除C，Df（1）=sin1+1＞0，排除B，故选：A．判断函数的奇偶性和图象的对称性，利用f（1）的值进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和特殊值的对应性，利用排除法是解决本题的关键．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查了排列组合的问题，考查了分类计数原理，考查了运算和推理能力，属于基础题．分两类，若甲承担仰泳，若甲承担自由泳，根据分类计数原理可得．【解答】解：由题意，若甲承担仰泳，则乙运动员有A22=2种安排方法，其他两名运动员有A22=2种安排方法，共计2×2=4种方法，若甲承担自由泳，则乙运动员只能安排蝶泳，其他两名运动员有A22=2种安排方法，共计2种方法，所以中国队共有4+2=6种不同的安排方法.故选：A．8.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，由题意可得当输入的n的值为5时，i=1，第1次循环，n=5，n为奇数，n=16i=2，第2次循环，n为偶数，n=8i=3，第3次循环，n为偶数，n=4i=4，第4次循环，n为偶数，n=2i=5，第5次循环，n为偶数，n=1i=6，满足条件n=1，退出循环，输出i的值为6．符合题意．当输入的n的值为16时，i=1，第1次循环，n=16，n为偶数，n=8i=2，第2次循环，n为偶数，n=4i=3，第3次循环，n为偶数，n=2i=4，第4次循环，n为偶数，n=1i=5，满足条件n=1，退出循环，输出i的值为5．不符合题意．当输入的n的值为32时，i=1，第1次循环，n=32，n为偶数，n=16i=2，第2次循环，n为偶数，n=8i=3，第3次循环，n为偶数，n=4i=4，第4次循环，n为偶数，n=2i=5，第5次循环，n为偶数，n=1i=6，满足条件n=1，退出循环，输出i的值为6．符合题意．当输入的n的值为4时，i=1，第1次循环，n=4，n为偶数，n=2i=2，第2次循环，n为偶数，n=1i=3，满足条件n=1，退出循环，输出i的值为3．不符合题意．故选：C．根据各个选项n的值，模拟程序的运行，依次验证程序的输出的i的值是否为6即可得解．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.【答案】A【解析】解：根据题意，阴影部分由函数y=x与y=围成，其面积为（-x）dx=（）=，A表示事件“点P恰好自由曲线与直线x=1及x轴所围成的曲边梯形内”，面积为=，则P（B|A）等于=．故选：A．阴影部分由函数y=x与y=围成，由定积分公式，计算可得阴影部分的面积，进而由几何概型公式计算可得答案．本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积．10.【答案】B【解析】解：∵f（x）=sin（ωx+θ），其中ω＞0，θ∈（0，），f'（x1）=f'（x2）=0，|x2-x1|min=，∴•T==，∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+θ）．又f（x）=f（-x），∴f（x）的图象的对称轴为x=，∴2•+θ=kπ+，k∈Z，又，∴θ=，f（x）=sin（2x+）．将f（x）的图象向左平移个单位得G（x）=sin（2x++）=cos2x的图象，令2kπ≤2x≤2kπ+π，求得kπ≤x≤kπ+，则G（x）=cos2x的单调递减区间是[kπ，kπ+]，故选：B．利用正弦函数的周期性以及图象的对称性求得f（x）的解析式，利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律求得G（x）的解析式，利用余弦函数的单调性求得则G（x）的单调递减区间．本题主要考查正弦函数的周期性以及图象的对称性，函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：双曲线C1：-=1（a＞0，b＞0）的两个顶点为A1（a，0），A2（-a，0），焦点坐标为F1（c，0），F2（-c，0），双曲线C2：-=1的两个顶点为B1（0，2b），B2（0，-2b），焦点坐标为F3（，0），F4（-，0），则以C1，C2四个顶点为顶点的四边形的面积为S1=2×=4ab，以C1，C2四个焦点为顶点的四边形的面积为S2=2××2c=2c，则==，平方得（）2=（）2===，令t=，则（）2===≤=，当且仅当t2=，即t2=2，t=即=时，取等号，此时=，a=，则双曲线C1的渐近线方程为y=±=x，故双曲线C1的一条渐近线方程为y=x，故选：B．根据双曲线的性质分别求出对应的顶点坐标和焦点坐标，结合四边形的面积公式求出对应的面积，利用换元法结合基本不等式的应用进行求解即可．本题主要考查双曲线渐近线的求解，结合双曲线的性质求出相应的顶点和焦点坐标，结合四边形的面积公式进行转化求解是解决本题的关键．12.【答案】C【解析】解：f′（x）=2x-ln x+1，f″（x）=2-，∴当x≥时，f″（x）≥0，∴f′（x）在[，+∞）上单调递增，∴f′（x）≥f′（）=2-ln＞0，∴f（x）在[，+∞）上单调递增，∵[a，b]⊆[，+∞），∴f（x）在[a，b]上单调递增，∵f（x）在[a，b]上的值域为[k（a+2），k（b+2）]，∴，∴方程f（x）=k（x+2）在[，+∞）上有两解a，b．作出y=f（x）与直线y=k（x+2）的函数图象，则两图象有两交点．则k=，若直线y=k（x+2）与y=f（x）的图象相切，设切点为（x0，y0），则，解得k=1．∴1＜k≤，故选：C．判断f（x）的单调性得出f（x）=k（x+2）在[，+∞）上有两解，作出函数图象，利用导数的意义求出k的范围．本题考查了函数的单调性，导数的几何意义，零点个数与函数图象的关系，属于中档题．13.【答案】-1【解析】解：已知（1+x）（1-ax）2018的展开式中含x项的系数为•（-a）+=2019，则实数a=-1，故答案为：-1．利用二项式定理求得含x项的系数，再根据含x项的系数为2019，求得a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．14.【答案】[，2]【解析】解：作出实数x，y满足不等式组的可行域如图中的阴影部分，四个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（3，0）、C（2，2），而z=表示可行域中的点（x，y）与点D连线的斜率，目标函数则的最小值为：=，最大值为：=2，z∈[，2]．故答案为：[，2]．约束条件表示的可行域，求出3个交点的坐标，求出斜率的范围，然后求解目标函数的范围即可．在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域15.【答案】1【解析】解：如图，∵原正方形的边长为2，∴对角线长为，则侧视图是直角边长为的等腰直角三角形，其面积为S=．故答案为：1．由题意可知，侧视图是直角边长为的等腰直角三角形，则其面积可求．本题考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．16.【答案】+1【解析】解：设∠ABC=α，∠ACB=β，由余弦定理可得AC2=12+（）2-2cosα=4-2cosα，∴AC==CD；由正弦定理可得：sinβ=，∴BD2=3+（4-2cosα）-2×××cos（90°+β）=7-2cosα+2××sinβ=7-2cosα+2××=7-2cosα+2sinα=7+2sin（α-），∴α=时，BD取得最大值为+1．故答案为：+1．设∠ABC=α，∠ACB=β，由余弦定理求得AC2，由正弦定理求得sinβ，再利用余弦定理求得BD，利用三角函数的性质求出BD的最大值．本题考查了正弦余弦定理、和差公式、三角函数的单调性，也考查了推理能力与计算能力，是中档题．17.【答案】解：（1）数列{a n}与{b n}满足：，且{a n}为正项等比数列，a1=2，b3=b2+4，可得a1=2b1=2，即b1=1，b3-b2=a3=4，即a3=8，可得公比q=2，即a n=2n；则2b n=，即b n=2n-1；即有T n=1-+-+…+-=1-，由＞0，可得T n＜1．【解析】（1）由等比数列的通项公式和求和公式，解方程可得公比，即可得到所求；（2）求得c n===-，由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和，以及不等式的性质，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．18.【答案】（1）证明：连接AC，因为底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，所以△ABC是正三角形，∵E是BC的中点，∴AE⊥BC，又AD∥BC，∴AE⊥AD，∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE，又PA∩AD=A，PA、AD平面PAD，∴AE⊥平面PAD，又AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面PAD．（2）解：以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，不妨设AB=AP=2，则，则，，设，则，又，设是平面AEF的一个法向量，则，取z=λ，得，设直线EM与平面AEF所成角为θ，由，得：．化简得：10λ2-13λ+4=0，解得或，故存在点F满足题意，此时为或．【解析】本题考查平面与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．（1）连接AC，证明AE⊥BC，AE⊥AD，推出PA⊥AE，即可证明AE⊥平面PAD，然后求出相关点的坐标，求出平面AEF的一个法向量，设直线EM与平面AEF所成角为θ，由，利用空间向量的数量积求解λ，然后推出结果．19.【答案】解：（1）去年的消费金额超过3200元的消费者有12人，其中去年的消费金额在（3200，4000]的消费者有8人，去年的消费金额在（4000，4800]的消费者有4人，现从去年的消费金额超过3200元的消费者中随机抽取2人，基本事件总数n==66，至少有1位消费者，其去年的消费者金额在（3200，4000]的范围内包含的基本事件个数：m==38，∴至少有1位消费者，其去年的消费者金额在（3200，4000]的范围内的概率为：p==．（2）方案一：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”给予奖励，则“幸运之星”中的普通会员、银卡会员、金卡会员的人数分别为：，，，∴根据方案一的奖励的金额为：ξ1=7×500+15×600+3×800=14900元，方案二：设η表示参加一次摸奖游戏所获的奖励金，则η的可能取值分别为0，200，300，摸到红球的概率为P==，P（η=0）=+=，P（η=200）==，P（η=300）==，∴Eη==76.8元，∴按照方案二奖励金的金额为：ξ2=（28+2×60+3×12）×76.8=14131.2元，∵方案一奖励的总金额ξ1＞方案二的奖励金额ξ2，∴预计方案二的投资较小．【解析】（1）去年的消费金额超过3200元的消费者共有12人，其中有8人消费在（3200，4000]的范围内，由此能求出随机抽取2人，至少有1位消费者，其去年的消费者金额（2）按分层抽样求出“幸运之星”中的普通会员、银卡会员、金卡会员的人数分别为7，15，3，从而求出根据方案一的奖励的金额为14900元，方案二：设η表示参加一次摸奖游戏所获的奖励金，则η的可能取值分别为0，200，300，分别求出相应的概率，从而求出数学期望，进而求出按照方案二奖励金的金额，从而预计方案二的投资较小．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查古典概率、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.【答案】解：（1）由已知，椭圆C：的离心率为，则e=，即a2=2c2．∵a2=b2+c2，∴b=c．设B点的纵坐标为y0（y0≠0）．则=，即．∴b=1，．∴椭圆C的方程为．（2）由题意知直线l的斜率不为0，故设直线的方程为x=my-1，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x P，y P），Q（2，y Q）．联立，消去x，得（m2+2）y2-2my-1=0．此时△=8（m2+1）＞0．∴，．由弦长公式，得．整理，得．又，∴x P=my P-1=．∴=．∴===，当且仅当，即m=±1时等号成立．∴当m=±1，即直线l的斜率为±1时，取得最小值2．【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系以及椭圆的几何性质，注意由椭圆的几何性质求出椭圆的方程．（1）根据题意，由椭圆的离心率公式可得e=，即a2=2c2，设B点的纵坐标为y0（y0≠0），分析△ABF1的面积可得，解可得a、b的值，将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案；（2）根据题意，设直线的方程为x=my-1，联立直线与椭圆的方程，结合根与系数的关本不等式的性质分析可得答案．21.【答案】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），（1）当a=e时，f（x）=e x-e ln x-e，，而在（0，+∞）上单调递增，又f′（1）=0，当0＜x＜1时，f′（x）＜f'（1）=0，则f（x）在（0，1）上单调递减；当x＞1时，f′（x）＞f'（1）=0，则f（x）在（1，+∞）上单调递增，则f（x）有极小值f（1）=0，没有极大值；（2）先证明：当f（x）≥0恒成立时，有 0＜a≤e成立．若，则f（x）=e x-a（ln x+1）≥0显然成立；若，由f（x）≥0得，令，则，令，由得g（x）在上单调递增，又g（1）=0，所以φ′（x）在上为负，在（1，+∞）上为正，因此φ（x）在上递减，在（1，+∞）上递增，即有φ（x）min=φ（1）=e，从而0＜a≤e．因而函数y=f（x）若有两个零点，则a＞e，即有f（1）=e-a＜0，由f（a）=e a-a lna-a（a＞e）得f'（a）=e a-ln a-2，则，则f′（a）=e a-ln a-2在（e，+∞）上单调递增，即有f′（a）＞f'（e）=e e-3＞e2-3＞0，则有f（a）=e a-a lna-a在（e，+∞）上单调递增，则f（a）＞f（e）=e e-2e＞e2-2e＞0，则f（1）f（a）＜0，则有1＜x2＜a；由a＞e得，则，所以，综上得．（3）证明：由（2）知当a=e时，f（x）≥0恒成立，所以f（x）=e x-e ln x-e≥0，即f（x）=e x-e ln x≥e，设，则，当0＜x＜1时，h′（x）＞0，所以h（x）在（0，1）上单调递增；当x＞1时，h′（x）＜0，所以h（x）在（1，+∞）上单调递减，所以的最大值为，即，因而，所以，即e2x-2-e x-1ln x-x≥0．【解析】（1）求出a=e的函数的导数，求出单调区间，即可求得极值；（2）先证明：当f（x）≥0恒成立时，有 0＜a≤e成立．若，则f（x）=e x-a（ln x+1）≥0显然成立；若，运用参数分离，构造函数通过求导数，运用单调性，结合函数零点存在定理，即可得证；（3）讨论当a=e时，显然成立，设，求出导数，求出单调区间可得最大值，运用不等式的性质，即可得证．本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，主要考查函数的单调性的运用，以及不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于中档题和易错题．22.【答案】解：（1）线C1：x+y=和C2：（φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以C1：，即，所以；C2的普通方程为，所以其极坐标方程为，即．（2）由题意M（，0），N（0，1），所以P（），所以射线OP的极坐标方程为：，把代入C1得到ρ1=1，P（1，）；把代入C2得到ρ2=2，Q（2，），所以|PQ|=|ρ2-ρ1|=1，即P，Q两点间的距离为1．【解析】（1）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，将普通方程化为极坐标方程即可；（2）求出M，N，P的坐标，得到射线的极坐标方程，分别代入C1、C2得到，P，Q的极坐标，求距离即可．本题考查了普通方程、极坐标方程以及参数方程之间的互化，理解自变量的关系是关键．23.【答案】解：（1）a=4时，f（x）=|2x-1|+2|x+1|-4=，①由-4x-5＜0且x≤-1知无解；②由-1＜0得-1，由4x-3＜0且x得x，综上f（x）＜0的定义域为（-1，）．（2）函数f（x）≤0无解⇔|2x-1|+2|x+1|≤a无解⇔a＜（|2x-1|+2|x+1|）min，∵|2x-1|+|2x+2|≥|（2x-1）-（2x+2）|=3，∴a＜3．【解析】（1）a=4时，分3段解f（x）＜0可得x的范围再相并；（2）函数f（x）≤0无解⇔|2x-1|+2|x+1|≤a无解⇔a＜（|2x-1|+2|x+1|）min，然后利用绝对值不等式的性质求得最小值代入可得a的范围．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。
黑龙江省齐齐哈尔市2022届高三第二次模拟考试理科数学试题(含答案解析)
黑龙江省齐齐哈尔市2022届高三第二次模拟考试理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．设i 为虚数单位，复数z 满足()21i 2z +=，则z =（ ） A ．2B ．1C ．12D ．142．设集合{}22M x Z x =∈-<，则集合M 的真子集个数为（ ） A ．16B ．15C ．8D ．73．已知,x y ∈R ，若:224,:2x y p q x y +≥+≥，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．2022年1月26日，中国人民银行，中国银行保险监督管理委员会、中国证券监督管理委员会三部门联合印发《金融机构客户尽职调查和客户身份资料及交易记录保存管理办法》（以下简称《办法》），规范金融机构的客户尽职调查、客户身份资料及交易记录保存行为，《办法》自2022年3月1日起施行．《办法》第十条提到，商业银行、农村合作银行、农村信用合作社、村镇银行等金融机构为自然人客户办理人民币单笔5万元以上或者外币等值1万美元以上现金存取业务的，应当识别并核实客户身份，了解并登记资金的来源或者用途．某民调机构调研相关政策实施前民众对该政策的了解程度，随机抽调20人，并通过问卷形式（满分为100分）按照每个人的得分情况得到如下频数分布表：则下列说法错误的是（ ）A ．问卷得分低于55分的人数约占总人数的15% B ．问卷得分为80分的共有6人C ．从得分在(]70,85和(]85,100这两个区间中按照分层抽样方法抽取7人，则恰有4人来自得分在(]85,100这个区间段D ．此20人得分平均数的估计值为76.75分5．函数()()2sin 2ln 1x f x x π⎛⎫ ⎪⎝⎭=+的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．6．已知函数()()sin 0f x a x x a =≠图象的一条对称轴为直线6x π=，则实数a的值为（ ） AB．C ．－1D7．已知实数a ，b ，c 满足ln b a e c ==，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．b c a >>D ．a c b >>8．已知抛物线24x y =的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，()2,1Q --，记直线QA 、QB 的斜率分别为1k 、2k ，则1211k k +=（ ） A ．2B ．1C ．4D ．129．已知数列{}n a 的通项公式249,n a n n a kn =-+是数列{}n a 的最小项，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[]24,16--B ．[]24,0-C ．[]16,16-D ．[]16,0-10．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12,1,90AA AB BC ABC ===∠=︒，点E 是侧棱1BB 上的一个动点，则下列判断正确的有（ ）① ①存在点E ，使得1A EA ∠为钝角①截面1AEC 周长的最小值为A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①①11．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的离心率为32，其左，右焦点分别为12,F F ，过2F 且与x 轴垂直的直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若(||AB M =，P 为双曲线右支上一点，则2PM PF +的最小值为（ ）A1 B ．4 C ．4 D 112．定义满足方程()()1f x f x '+=的解0x 叫做函数()f x 的“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是（ ）A ．()23f x x x =-B ．()1f x x x=+C ．()ln f x x =D ．()e sin 3xf x x =-+二、填空题13．已知向量,a b 满足2,3,3a b a b ==⋅=-，设向量a b +与a 的夹角为θ，则cos θ=______．14．已知)23nx 的二项展开式中，各项的系数和比各项的二项式系数和大992，则n =______．15．在数列{}n a 中，()*2122,23,19,n n n a a n a a S +-=∈=-=-N 为{}n a 的前n 项和，则nS 的最小值为______． 三、双空题16．矩形ABCD 中，1AB BC ==，现将ACD △沿对角线AC 折起，得到四面体D ABC -，若异面直线BC 与AD 所成角为3π，则BD =______；若二面角D AC B --的大小为3π，则BD =______． 四、解答题17．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且)()cos cos aB C c b A -=-．从下列①①这两个条件中选择一个补充在横线处，并作答．①O 为ABC 的内心；①O 为ABC 的外心．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． (1)求A ；(2)若3,5b c ==，________，求OBC 的面积． 18．已知四棱锥P ABCD -中，122PA AB AD PD DC =====，AB AD ⊥，//AB CD ，侧面PAD ⊥底面ABCD ，点E 为PC 的中点．(1)设点Q 为BE 上的动点，求证：四面体ADPQ 的体积为定值； (2)求平面ABE 和平面BCE 所成锐二面角的余弦值．19．为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某学校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的12名队员来自3个不同校区，三个校区的队员人数分别是3，4，5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），最后根据积分选出最后的冠军.积分规则如下：比赛中以3:0或3:1取胜的队员积3分，失败的队员积0分；而在比赛中以3:2取胜的队员积2分，失败的队员的队员积1分.已知第10轮张三对抗李四，设每局比赛张三取胜的概率均为()01p p <<.（1）比赛结束后冠亚军(没有并列)恰好来自不同校区的概率是多少？ （2）第10轮比赛中，记张三3:1取胜的概率为()f p . ①求出()f p 的最大值点0p ；①若以0p 作为p 的值，这轮比赛张三所得积分为X ，求X 的分布列及期望.20．已知点P 为曲线C 上任意一点，直线:4l x =-，过点P 作PQ 与直线l 垂直，垂足为Q ，直线l 和x 轴相交于点K ，点()1,0F -，且2PQ PF =，如图所示．(1)求曲线C 的方程； (2)当sin 2sin 3QPK FPK ∠=∠时，求点P 的坐标；(3)已知直线:l y kx m '=+与曲线C 相交于不同的两点M ，N （均不在x 轴上），过点()2,0A -作AH MN ⊥，垂足为H ，且2||||||AH MH NH =⋅，求证：直线l '恒过定点．21．设平面向量m ，n 满足()()(),,1,0,1xx m a x n a a a =-=>≠，设函数()f x m n =⋅．(1)若函数()f x 的最大值为1，求实数a 的值；(2)在（1）的条件下，若1212,,x x x x ∃∈≠R 使得()()12f x f x =，求证：120x x +<． 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点()6,0-且倾斜角为4π，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ=，以1C 上的点的纵坐标为参数t ．(1)求1C 的参数方程和直线l 的普通方程；(2)设点P 在1C 上，点Q 在直线l 上，求PQ 的最小值及此时点P 的直角坐标． 23．已知函数()23f x x x =+-．(1)若对于任意的x ∈R ，不等式()22f x t t ≥-恒成立，求实数t 的取值范围；(2)若（1）中实数t 的最大值为0t ，正实数a ，b 满足0a b t +=，求证：1143a b +≥．参考答案：1．B 【解析】 【分析】由复数的乘除法运算求得z ，再由模的定义计算模． 【详解】 由已知2222221ii (1i)12i i 2i i i z ======-+++， 所以i 1z =-=． 故选：B ． 2．D 【解析】 【分析】求出集合M 中的元素，再由子集的定义求解． 【详解】由题意{|04}{1,2,3}M x Z x =∈<<=， 因此其真子集个数为3217-=． 故选：D ． 3．B 【解析】 【分析】先取特殊值检验是否满足充分性，再结合基本不等式判断是否满足必要性即可. 【详解】取2,1x y ==-，则92242x y+=≥，但2x y +<，所以p 是q 的不充分条件；当2x y +≥时，由基本不等式可得224x y +≥≥，所以p 是q 的必要条件. 综上p 是q 的必要不充分条件. 故选：B. 4．B 【解析】 【分析】由频数分布表直接判断A ，B 选项；按照分层抽样判断C 选项；按照平均数计算判断D 选项. 【详解】对于A ，问卷得分低于55分的有3人，占比为315%20=，正确； 对于B ，问卷得分在(]70,85区间的人数为6人，不一定是得分为80分的有6人，错误； 对于C ，由6:83:4=，可得在(]85,100这个区间中抽取4人，正确； 对于D ，336847.562.577.592.576.7520202020⨯+⨯+⨯+⨯=，正确. 故选：B. 5．A 【解析】 【分析】分析函数()f x 的定义域、奇偶性及其在()0,2上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数()()2sin 2ln 1x f x x π⎛⎫ ⎪⎝⎭=+，()2ln 10x +≠，解得0x ≠， 所以，函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，排除D 选项；()()()()22sin sin 22ln 1ln 1x x f x f x x x ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭-==-=-⎡⎤+-+⎣⎦，即函数()f x 为奇函数，排除B 选项； 当02x <<时，211x +>，02xππ<<，则sin02xπ>，()2ln 10x +>，此时()0f x >，排除C 选项. 故选：A. 6．C 【解析】 【分析】由正弦函数的性质求解即()6f π等于函数的最大值或最小值．【详解】13()sin 66622f a a πππ==-， 因为直线6x π=是函数()f x 图象的一条对称轴，所以1322a -=1a =-． 故选：C ． 7．D 【解析】 【分析】构造函数()ln f x x x =-，利用导数可证ln x x >，据此可比较大小. 【详解】令()ln (0)f x x x x =->，则1()1.f x x'=-当01x <<时，()0,()f x f x '<单调递减， 当1x <时，()0,()f x f x '>单调递增， 所以()(1)10f x f ≥=>， 即ln x x >.所以ln a a c >=，ln ln b c c e b >==， 故选：D 8．A 【解析】 【分析】分析可知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为1y kx =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理可求得1211k k +的值. 【详解】已知抛物线24x y =的焦点为()0,1F ，若直线AB 的斜率不存在，则直线AB 与抛物线24x y =只有一个公共点，不合乎题意. 所以，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为1y kx =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ， 由240x y =≥以及直线AB 的斜率存在可知10y >，20y >，联立214y kx x y =+⎧⎨=⎩可得2440x kx --=，216160k ∆=+>，由韦达定理可得124x x k +=，124x x =-，所以，()()()()()()12211212121212122222222211112222x kx x kx x x x x k k y y kx kx kx kx ++++++++++=+=+=++++++ ()()()()12122221212222884228224484kx x k x x k k k k x x k x x k k ++++-+++===+++-++.故选：A. 9．B 【解析】 【分析】设2()9kf x x x x=-+（0x >），求出()'f x ，由于()'f x 在0x >时是增函数， 因此()'f x 零点0(3,5)x ∈，即()f x 的极小值点必须在4x =附近，再结合43a a ≤且45a a ≤可得k 的范围． 【详解】设2()9k f x x x x =-+（0x >），2()29k f x x x'=--，0x >时，()'f x 是一个增函数， 由于4a 是{}n a 中的最小项，所以()'f x 零点0(3,5)x ∈， 因此690109925k k--<<--，2725k -<<， 又4543a a a a ≤⎧⎨≤⎩，即163625454516366943k k k k ⎧-+≤-+⎪⎪⎨⎪-+≤-+⎪⎩，解得240k -≤≤，综上，240k -≤≤， 故选：B ． 10．C【解析】 【分析】取AC 中点D ，11A C 中点F ，DF 中点即为外接球球心，求出球半径得体积判断①，在矩形11AA BB 中以1AA 为直径以的圆与1B 相切，根据点与圆的位置关系判断①，1AEC 中，1AC 固定不变，，把矩形11BB C C 与矩形11ABB A 摊平，1,,A E C 共线时，周长最小，由此判断①． 【详解】取AC 中点D ，11A C 中点F ，连接DF ，矩形11ACC A 中可得1//DF AA ，1DF AA =， 1AA ⊥平面ABC ，所以DF ⊥平面ABC ，90ABC ∠=︒，所以D 是ABC 外心，同理F 是111A B C △的外心，所以DF 的中点O 是直三棱柱外接球的球心，由已知AC =2CD =1211A O A D ==，所以OC =所以外接球的体积为343V π=⨯=，①正确；矩形11AA B B 中，11,2AB AA ==，1AA 为直径的圆与1BB 相切，切点为1BB 的中点，当E 为切点时，190AEA ∠=︒．当E 是1BB 上其他点时，190AEA ∠<︒，①错误；1AEC 中，1AC =11BB C C 与矩形11ABB A 摊平，得正方形11''AAC C ，当1,,A E C '共线时，1AE EC +最短，最短为所以截面1AEC 周长的最小值为①正确．故选：C ． 11．C 【解析】 【分析】由离心率及AB 的长先求出双曲线方程，把2PF 转化为1PF ，然后求出1F M 可得结论． 【详解】把x c =代入by x a =±得bc y a =±，所以2bc AB a ==32c a =，222+=a b c ，所以b =3,2c a ==1(3,0)F -，1224PF PF a -==，214PF PF =-，所以21144PM P PM P F MF F +=+-≥-，当且仅当1,,M P F 三点共线时等号成立，1MF =所以2PM PF +的最小值为4． 故选：C ．12．D 【解析】 【分析】求出每个选项中函数()f x '，判断每个选项中方程()()1f x f x '+=是否有解，由此可得合适的选项. 【详解】对于A 选项，()23f x x x =-，则()23f x x '=-，由()()231f x f x x x '+=--=，即240x x --=，1160∆=+>，因此，()23f x x x =-存在“自足点”，A 满足条件；对于B 选项，()1f x x x =+，则()211f x x '=-，由()()21111f x f x x x x'+=+-+=， 可得310x x +-=，其中0x ≠，令()31g x x x =+-，则13028g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()110g =>，所以，函数()g x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点，即函数()1f x x x=+存在“自足点”，B 选项满足条件；对于C 选项，()ln f x x =，则()1f x x'=，其中0x >， 因为()()111f f '+=，故函数()ln f x x =存在“自足点”，C 选项满足条件；对于D 选项，()e sin 3xf x x =-+，则()e cos x f x x '=-，由()()2e sin cos 31xf x f x x x '+=--+=，可得2e sin cos 20x x x --+=，因为sin 1x ≤，cos 1≤x ，所以，()()2e sin cos 22e 1sin 1cos 2e 0x x xx x x x --+=+-+-≥>，所以，方程2e sin cos 20x x x --+=无实解，D 选项不满足条件. 故选：D.13 【解析】 【分析】先求出7a b +=，再结合向量夹角公式求cos θ即可. 【详解】因为22222222(3)37a b a a b b +=+⋅+=+⨯-+=，所以7a b +=，故()243cos 72a b a a a ba b a a b aθ+⋅+⋅-====⨯+⋅+⋅14．5 【解析】 【分析】令1x =得各项系数和，再由二项式系数性质得二项式系数和，列方程可得结论． 【详解】由题意42992n n -=，231232()(0)n n +-=， 所以232n =，5n =． 故答案为：5． 15．243- 【解析】 【分析】先通过22n n a a +-=判断出奇数项和偶数项分别成等差数列，写出对应的通项公式，分n 为偶数和n 为奇数分别求出n S ，再计算出最小值，比较即可. 【详解】因为22n n a a +-=，所以135,,,a a a 是以1a 为首项，2为公差的等差数列，246,,,a a a 是以2a 为首项，2为公差的等差数列.当n 为奇数时，1232242n n a n -=-+⨯=-，当n 为偶数时，2192212n n a n -=-+⨯=-， 所以24,21,n n n a n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，当n 为偶数时，()()()()()()12341214423442144n n n S a a a a a a n -=+++++=⨯-+⨯-++⨯--⎡⎤⎣⎦[]221213(1)4422(22)242222n n n n n =+++--⨯=-=--，故当22n =时，n S 的最小值为242-；当n 为奇数时，()222113148722(1)2422(22)22222n n nn n S S a n n n n --=+=--+-=--=--，故当21n =或23n =时，n S 取最小值148724322-=-. 综上，n S 的最小值为243-. 故答案为：243-.16．1 【解析】 【分析】若异面直线BC 与AD 所成角为3π，分别取,,,AB AC CD DB 的中点,,,E F G H ，得异面直线BC 与AD 所成角是HEF ∠或其补角，然后分类讨论在BDF 中求得BD ；若二面角D AC B --的大小为3π，作DE AC ⊥，垂足为E ，作BF AC ⊥，垂足为F ，则二面角D AC B --的大小等于向量,ED FB 的夹角,ED FB <>，然后由空间向量法求BD ．【详解】若异面直线BC 与AD 所成角为3π， 分别取,,,AB AC CD DB 的中点,,,E F G H ，如图1，则////EF HG BC ，////EH GF AD ，且1122EF HG GF HE BC =====，即EFGH 是菱形， 所以异面直线BC 与AD 所成角是HEF ∠或其补角， 若3HEF π∠=，则HEF 是等边三角形，12HF HE ==，又2ABC ADC π∠∠==，2AC ==，所以1DF BF ==，所以HF BD ⊥，所以2BD BH ===若23HEF π∠=，则12sin 23HF π=⨯⨯=21BD BH ==，所以BD 1；图1 若二面角D AC B --的大小为3π， 如图2，作DE AC ⊥，垂足为E ，作BF AC ⊥，垂足为F ，则二面角D AC B --的大小等于向量,ED FB 的夹角,ED FB <>，由题意,3ED FB π<>=，又直角三角形ADC 中，1,==AD DC 2AC =，所以DE =BF =12AE CF ==，1EF =，33cos 238ED FB π⋅==，而0ED EF FB EF ⋅=⋅=， BD BF FE ED FB FE ED =++=-++，所以22222()2BD FB FE ED FB FE ED FB FE =-++=++-⋅22FB ED FE ED -⋅+⋅3337124484=++-⨯=，所以72BD =BD =图21 17．(1)23π(2)选①，74；选①【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换求得A 角；（2）选①，由余弦定理求得BC ，由面积公式求得三角形面积，再结合内切圆半径表示三角形面积求得内切圆半径，即可求OBC 面积；选①，由余弦定理求得BC ，由正弦定理求得三角形外接圆半径，由圆周角定理和圆心角定理求得BOC ∠，直接由面积公式计算出面积． (1)因为)()cos cos aB C c b A -=-，由正弦定理得sin cos )(sin sin )cos A B C C B A -=-，sin sin cos sin cos sin cos A B B A C A A C +=+，12sin cos )sin()sin 2B A A AC B +=+=， 三角形中，sin 0B ≠，所以1sin()62A π+=，0A π<<，则7666A πππ<+<，所以566A ππ+=，23A π=；(2)选①O 为ABC 的内心，如图，,,D E F 分别是内切圆在各边上的切点，7BC =，112sin 35sin 223ABCSbc A π==⨯⨯⨯=， 设内切圆半径为r，则115()22ABCS a b c r r =++==12r =， 所以111773224OBCSBC r =⋅=⨯⨯=；选①O 为ABC 的外心，O 在ABC 外部，如图，D 外接圆O 上， 由（1）3ADB CAB ππ∠=-∠=，所以223COB CDB π∠=∠=，又7BC =， 722sin sin 3BC OC A π==，OC =22112sin sin 223OBCSOC COB π=∠=⨯=18．(1)证明见解析【解析】 【分析】（1）取PD 的中点F ，连接AF 、EF ，证明出四边形ABEF 为平行四边形，可得出//BE 平面PAD ，即可证得结论成立；（2）取AD 的中点O ，连接PO ，证明出PO ⊥平面ABCD ，然后以点O 为坐标原点，OA 、AB 、OP 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面ABE 和平面BCE 所成锐二面角的余弦值. (1)证明：取PD 的中点F ，连接AF 、EF ，因为E 、F 分别为PC 、PD 的中点，则//EF CD 且12EF CD =， 由已知//AB CD 且12AB CD =，//EF AB ∴且EF AB =，所以，四边形ABEF 为平行四边形，故//BE AF ，BE ⊄平面PAD ，AF ⊂平面PAD ，所以，//BE 平面PAD ，AB AD ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，AB 平面ABCD ，AB ∴⊥平面APD ，因为Q BE ∈，所以点Q 到平面PAD 的距离等于2AB =，2PA AD PD ===，则PAD △为等边三角形，则2PAD S AD ==△因此，13Q PAD PAD V AB S -=⋅=△ (2)解：取AD 的中点O ，连接PO ，因为PAD △为等边三角形，O 为AD 的中点，则PO AD ⊥，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，PO ∴⊥平面ABCD ，以点O 为坐标原点，OA 、AB 、OP 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如上图所示的空间直角坐标系，则()1,0,0A 、()1,2,0B 、()1,4,0C -、(P，12E ⎛- ⎝⎭，设平面ABE 的法向量为()111,,m x y z =，()0,2,0AB =，32BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，则11120302m AB y m BE x z⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取11x =，可得(m =， 设平面BCE 的法向量为()222,,n x y z =，()2,2,0BC =-，则2222220302n BC x y n BE x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取21x =，可得(1,1,3n =， 4cos ,25m n m n m n⋅<>===⋅ 因此，平面ABE 和平面BCE . 19．（1）4766；（2）①034p =；①分布列答案见解析，数学期望：1323512. 【解析】 【分析】（1）利用互斥事件的概率公式即得；（2）由题可求()()2331f p C p p =-，然后利用导数可求最值，再利用条件可求随机变量的分布列，即得. 【详解】（1）比赛结束后冠亚军恰好来自不同校区的概率是1111113445352124766C C C C C C p C ++==； （2）①由题可知()()()2333131f p C p p p p =-=-，()()()()2323311334f p p p p p p '⎡⎤=-+⨯-=-⎣⎦，令()0f p '=，得34p =，当30,4p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '>，()f p 在30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；当3,14p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '<，()f p 在3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.所以()f p 的最大值点034p =， ①X 的可能取值为0，1，2，3.()()()333133133331301111444256P X p C p p C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭==-+--+-=⎭⨯⨯⎝； ()()3322224433()4271115142P X C p p C ⎛⎫==-=-=⨯⎪⨯⎝⎭； ()()22222244333()81211424415P X C p p p C ⎛⎫==-=-⨯=⎪⎝⨯⎭；()()322322333333()()4184493641125P X p pC p p C ⎛⎫=⨯ ⎪⎝==+-+⨯⎭-=.所以X 的分布列为X 的期望为()13278118913230123256512512256512E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 20．(1)22143x y +=；(2)(0,； (3)证明见解析 【解析】 【分析】（1）设出(,)P x y ，由2PQ PF =化简可得曲线C 的方程；（2）由PQ KF ∥知QPK PKF ∠=∠，结合正弦定理求得2,4PF PQ ==，由曲线C 的方程求P 坐标即可；（3）由AH MN ⊥，2||||||AH MH NH =⋅得到AM AN ⊥，联立l '和曲线C 的方程，借助韦达定理及0AM AN ⋅=求出,k m 的关系，即可证明过定点.(1)设(,)P x y ，由2PQ PF =，得4x +=22143x y +=，所以曲线C 的方程为22143x y +=； (2) 由PQ KF ∥知sin sin 2sin sin 3PF QPK PKF FPK FPK KF ∠∠===∠∠，因为3KF =，所以2,4PF PQ ==，所以点P 的横坐标为0，又点P 在22143x y +=上，故点P 的坐标为(0,；(3)由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()2223484120k x kmx m +++-=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则1122(2,),(2,)AM x y AN x y =+=+，21212228412,3434km m x x x x k k --+==++， 由0∆>得2243k m +>，由AH MN ⊥及2||||||AH MH NH =⋅，可得AM AN ⊥，则1122(2,)(2,)0x y x y +⋅+=，即()()1212122()40x x x x kx m kx m ++++++=，222224128(1)(2)403434m km k km m k k--+++++=++， 化简得2241670k km m -+=，所以12k m =或72k m =均满足2243k m +>，当12k m =时，直线过点A ，舍去；当72k m =时，直线27y kx k =+过定点2,07⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故直线l '恒过定点2,07⎛⎫- ⎪⎝⎭. 21．(1)e a =；(2)证明见解析．【解析】【分析】（1）由(0)1f =得(0)f 是最大值，也是极大值，从而有(0)0f '=，由此求得a 值，并验证0x =是最大值点即得；（2）由（1）得函数的单调性，因此题中12,x x 可不妨设10x <，而201x <<，求出函数()(0)f x x ≤的图象关于y 轴对称的图象的函数解析式()g x ，并证明0x >时，()()0g x f x ->，从而利用对称性、不等关系，及单调性得出证明．(1)由题意()x x f x a xa =-，(0)1f =，所以0x =是最大值点也是极大值点，()ln ln x x x f x a a a xa a '=--，则(0)ln 10f a '=-=得e a =，e a =时，()e xf x x '=-，0x <时，()0f x '>，()f x 递增，0x >时，()0f x '<，()f x 递减，所以(0)f 是极大值也是最大值，满足题意．所以e a =；(2)由（1）()(1)e x f x x =-，()f x 在(,0)-∞上递增，在(0,)+∞上递减，0x <时，()0f x >，而(1)0f =，若1212,,x x x x ∃∈≠R 使得()()12f x f x =，不妨设10x <，201x <<，0x ≤时，()(1)e x f x x =-，它的图象关于y 轴对称的曲线的函数式为()y g x =（0x ≥）， 设(,)x y 是()g x 上点，则(,)x y -是()(1)e x f x x =-上的点，(1)e x y x -=+，即()(1)e x g x x -=+， 令()()()(1)e (1)e x x h x g x f x x x -=-=+--(0)x ≥，所以()e e (e e )x x x x h x x x x --'=-+=-，0x >时，()0h x '>，所以()h x 递增，所以()(0)0h x h >=，所以()()g x f x >，所以211()()()f x f x g x ==-1()f x >-，又210,0x x >->，所以21x x <-，即120x x +<．22．(1)1C 的参数方程为21()8x t t y t⎧=⎪⎨⎪=⎩为参数；l 的普通方程为60x y -+= (2)PQ的最小值为(2,4)P【解析】【分析】（1）先求出曲线1C 的直角坐标方程，再写出参数方程即可；由倾斜角和点直接写出直线l 的普通方程即可；（2）利用1C 的参数方程设出21(,)8P t t ，结合点到直线的距离表示出PQ ，通过二次函数求出最小值即可.(1)由2sin 8cos ρθθ=可得22sin 8cos ρθρθ=，即28y x =，故曲线1C 的直角坐标方程为28y x =，又以1C 上的点的纵坐标为参数t ，故1C 的参数方程为21()8x t t y t⎧=⎪⎨⎪=⎩为参数；直线l 的方程为(6)y x =--，即60x y -+=. (2) 设21(,)8P t t ，则P 到直线l的距离d ==4t =时，min d=PQ 的最小值为(2,4)P .23．(1)[]1,3-；(2)证明见解析【解析】【分析】（1）先分类讨论求出函数()f x 的解析式，作出图像得到()f x 的最小值，将不等式()22f x t t ≥-恒成立，转化为232t t ≥-，解不等式即可；（2）由（1）得03t =，利用11111()3a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，结合基本不等式即可求证. (1)当0x ≤时，得()2(3)33f x x x x =---=-+；当03x <<时，得()2(3)3f x x x x =--=+；当3x ≥时，得()2(3)33f x x x x =+-=-.所以33,0()3,0333,3x x f x x x x x -+≤⎧⎪=+<<⎨⎪-≥⎩，作出函数()f x 的图像，如图所示：显然min ()(0)3f x f ==，故不等式()22f x t t ≥-恒成立可得232t t ≥-，即2230t t --≤，解得13t -≤≤，所以t 的取值范围为[]1,3-.(2)根据（1）可得03t =，即3a b +=，所以11111114()223333b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当3a b b a a b+=⎧⎪⎨=⎪⎩， 即32a b ==时取等号，所以11a b+的最小值为43，即1143a b +≥.。
黑龙江省哈尔滨市高考数学二模试卷(理科)
黑龙江省哈尔滨市高考数学二模试卷（理科）姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 10 题；共 20 分)1. （2 分） 已知集合则（ ）A. B. C. D.2. （2 分） (2019·吕梁模拟) 若复数 A. B.1 C. D.2的实部是 2，则 的虚部是（ ）3. （2 分） (2016 高二下·新乡期末) 已知平面向量 ， 满足则“m=1”是“”的（ ）， 与 的夹角为 60°，A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2 分） (2019 高二上·长沙期中) 已知样本 ， ， ，…， 的平均数为 ，标准差为 ，那么样本，，，…，的平均数和标准差分别是（ ）A.，第 1 页 共 11 页B.，C.，D. ，5. （2 分） (2017 高一下·新余期末) 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结 果为（ ）A.7 B.9 C . 10 D . 11 6. （2 分） (2017·上饶模拟) 设函数 f（x）=ex（2x﹣3）﹣ax2+2ax+b，若函数 f（x）存在两个极值点 x1 ， x2 ， 且极小值点 x1 大于极大值点 x2 ， 则实数 a 的取值范围是（ ） A. B. C. D.7. （2 分） 已知 x,y 满足 A . 有最小值 1B . 有最小值， 则关于的说法，正确的是（ ）第 2 页 共 11 页C . 有最大值 D . 有最小值 8.（2 分）(2018·佛山模拟) 如图是一种螺栓的简易三视图,其螺帽俯视图是一个正六边形,则由三视图尺寸, 该螺栓的表面积为（ ）A. B. C. D. 9. （2 分） 给一个正方体的六个面涂上四种不同颜色（红、黄、绿、蓝），要求相邻两个面涂不同的颜色，则 共有涂色方法（ ）（涂色后，任意翻转正方体，能使正方体各面颜色一致，我们认为是同一种涂色方法） A . 6种 B . 12 种 C . 24 种 D . 48 种第 3 页 共 11 页10. （2 分） (2018·邯郸模拟) 已知双曲线 ：的左、右顶点分别为 ， ，点 为双曲线 的左焦点，过点 作垂直于 轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线 于 ， 两点，连接 交 轴于点 ，连接 交 于点 ，若 是线段 的中点，则双曲线 的渐近线方程为（ ）A.B. C.D.二、 填空题 (共 5 题；共 5 分)11. （1 分） (2019 高三上·沈阳月考) 下列四个命题中，真命题的序号有________.（写出所有真命题的序号）①若，则“”是“”成立的充分不必要条件；②命题“使得”的否定是 “均有”；③命题“若，则或”的否命题是“若，则”；④函数在区间上有且仅有一个零点.12. （1 分） (2017 高一下·河口期末) 已知非零向量满足，则________．13. （1 分） (2017 高二下·西华期中) 已知函数 f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线 y=0 在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为 ，则 a 的值为________．14. （1 分） (2017 高三下·西安开学考) 圆柱形容器内部盛有高度为 8cm 的水，若放入三个相同的球（球的 半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是________ cm．第 4 页 共 11 页15. （1 分） (2018 高一上·荆州月考) 已知函数 ________.,下列说法中，正确的序号是⑴x=1 是函数 f(x)图像的对称轴;⑵若 f(x)有唯一零点，则;⑶若 f(x)有 2 个零点，则零点之和为 2.三、 解答题 (共 6 题；共 50 分)16. （10 分） (2017 高三下·鸡西开学考) 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，点（a，b）在 4xcosB ﹣ycosC=ccosB 上．（1） cosB 的值；（2） 若 • =3，b=3 ，求 a 和 c．17. （5 分） 甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.6，本场比赛采 用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响，令 ξ 为本场比赛的局数，求 ξ 的 概率分布及不用打满五局就能决出胜负的概率．18. （10 分） (2017·辽宁模拟) 如图，在棱台 ABC﹣FED 中，△DEF 与△ABC 分别是棱长为 1 与 2 的正三角形，平面 ABC⊥平面 BCDE，四边形 BCDE 为直角梯形，BC⊥CD，CD=1，N 为 CE 中点，．（1） λ 为何值时，MN∥平面 ABC？ （2） 在（1）的条件下，求直线 AN 与平面 BMN 所成角的正弦值．19. （10 分） (2018 高二上·淮北月考) 数列 满足，第 5 页 共 11 页，.（1） 证明：数列是等差数列；（2） 设，求数列 的前 项和 .20. （10 分） (2017·苏州模拟) 已知椭圆 C：的离心率为 ，焦距为 2，直线 y=kx（x≠0）与椭圆 C 交于 A，B 两点，M 为其右准线与 x 轴的交点，直线 AM，BM 分别与椭圆 C 交于 A1 ， B1 两点，记直线 A1B1 的斜率为 k1（1） 求椭圆 C 的方程； （2） 是否存在常数 λ，使得 k1=λk 恒成立？若存在，求出 λ 的值；若不存在，请说明理由． 21. （5 分） 已知函数 f（x）=lnx﹣x+a 有且只有一个零点． （1）求 a 的值； （2）若对任意的 x∈（1，+∞），有 2f（x）＜ ﹣x+2 恒成立，求实数 k 的最小值；（3）设 h（x）=f（x）+x﹣1，对任意 x1 ， x2∈（0，+∞）（x1≠x2），证明：不等式> 恒成立．第 6 页 共 11 页一、 选择题 (共 10 题；共 20 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、二、 填空题 (共 5 题；共 5 分)11-1、 12-1、 13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 7 页 共 11 页三、 解答题 (共 6 题；共 50 分)16-1、 16-2、17-1、18-1、18-2、第 8 页 共 11 页19-1、19-2、 20-1、第 9 页 共 11 页20-2、第 10 页 共 11 页21-1、第11 页共11 页。
黑龙江省齐齐哈尔市2024届高三下学期高考数学模拟试题(二模)含答案
黑龙江省齐齐哈尔市2024届高三下学期高考数学模拟试题（二模）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．5．本卷主要考查内容：高考范围．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知为整数集，，则（ ）U {}2Z 4A x x =∈>U A =ðA ．B ．C ．D ．{}0,1{}1,0,1,2-{}0,1,2{}2,1,0,1,2--2．若，则（ ）i i z z =+·z z =A ．B ．1C ．2D ．4123．样本数据16，20，21，24，22，14，18，28的分位数为（ ）75%A ．16B ．17C ．23D ．244．在中，，，则（ ）ABC 2sin 3sin A B =2AB AC =cos C =A ．B ．C ．D ．1212-1414-5．是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球，又名足球烯，其分子结构由12个正五60C 边形和20个正六边形组成．如图，将足球烯上的一个正六边形和相邻正五边形展开放平，若正多边形的边长为1，为正多边形的顶点，则（ ）,,A B C ⋅=AB AC14．设为双曲线A Γ:x a 满足，4BC AC =AC =四、解答题：本题共515．已知不透明的袋子中装有中无放回地随机取球，每次取一个．【详解】当时，，单调递增，()1,x ∈-+∞()0P x '>()P x ，()()11e P x P ∴≥-=-，()1e e x f x x ∴≥≥-故选：B ．8．A【分析】利用累乘法，则得到规律，则求出，根据即可513a a =-41433k k a a +-=-50620253a =202520243a a =求出.2024a 【详解】，，()121π12cos 12a a =-+=-()23212cos π1a a =-+=-，，()3433π12cos 12a a =-+=-()45412cos2π3a a =-+=所以，53524112343a a a a a a a a a a =⨯⨯⨯=-同理可得，，．，953a a =-⋅⋅⋅41433k k a a +-=-因为，所以，则，202514506=+⨯()5065062025133a a =-=50620253a =因为，所以，()2024202520241cos1012π3a a =-+=50520243a =故选：A ．关键点点睛：本题的关键是得到，则得到，最后根据即可得到41433k k a a +-=-50620253a =202520243a a =答案.9．BD【分析】根据题意利用三角恒等变换整理得，结合正弦函数的性质逐项分()π2sin 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭析判断.【详解】由题意可得：【详解】，所以，A 选项正确；0102p+-=2p =设，将抛物线与直线联立，得，221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2:4C y x =:10l x y +-=()241y y =-即.2440y y +-=所以由韦达定理得，，，B 选项错误；124y y +=-124y y =-22121236116641y y OA OB y y -⋅=-=+= 由直线的斜率为，知其倾斜角为，AB 1-3π4故，222212121212123πtan 24AB y y y y y y y y y y ⎛⎫=-+-=-+-=- ⎪⎝⎭所以，C 选项正确；()2121212224216448AB y y y y y y =-=+-=+⨯=设的坐标为，到直线的距离为，则的面积.D ()24,4t t D AB L ABD △142S AB L L =⋅⋅=从而的面积为当且仅当.ABD △422L =另一方面，直线的方程是，由点到直线的距离公式，AB 10x y +-=知到直线的距离.D AB 2222441441211t t t t L +-+-==+所以当且仅当，即.2L =24412t t +-=()2244140tt +--=而我们有()224414tt +--()()22443441t t t t =+-++()()2221214t t ⎡⎤=++-⎣⎦()()()2212123t t t =+-+.211316222t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故满足条件的恰有三个.t 113,,222--设水晶球的半径为，则r 设圆台的高为，则h 7π又因为水晶球球心到圆台上底面的距离所以该奖杯的高为h r +期望的定义求出期望即可.【详解】（1）设事件为“前两次取出的球颜色不同”．A 设事件为“第一次取出了黑球，第二次取出了白球”，则，B ()4246515P B =⨯=事件为“第一次取出了白球，第二次取出了黑球”，则，C ()2446515P C =⨯=因为事件与不能同时发生，故它们互斥．B C 所以，()()()()815P A P B C P B P C =+=+=所以前两次取出的球颜色不同的概率为；815（2）依题意，的取值为2，3，4，5，6，X 若第二次取出了全部白球，则只有两种取法（取决于2个白球取出的先后顺序），故，()2126515P X ===⨯若第三次取出了最后一个白球，则最后取出的白球有2种可能，另一个白球的位置有2种可能，取出的那个黑球有4种可能，故．()2242365415P X ⨯⨯===⨯⨯若第四次取出了最后一个白球，则最后取出的白球有2种可能，另一个白球的位置有3种可能，取出的另外2个黑球有种组合，它们又有2种排列方式，24C 6=故，()23621465435P X ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯若第五次取出了最后一个白球，则最后取出的白球有2种可能，另一个白球的位置有4种可能，取出的另外3个黑球有种组合，它们又有种排列方式，34C 4=3!6=故，()2446456543215P X ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯若第六次取出了最后一个白球，则最后取出的白球有2种可能，另一个白球的位置有5种可能，取出的另外4个黑球只有1种组合，它们有种排列方式，4!24=故．()25124166543213P X ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯所以的分布列为X X23456P1152151541513设平面的法向量为，则PBC (),,m x y z =，即，·0·0m PB m PC ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 3332640x y z x z -++=-+=令，则，，故．2x =0y =3z =()2,0,3m =显然平面的一个法向量为.ABE ()1,0,0n =而，2213cos ,13131m nm n m n ⋅===⨯故平面与平面夹角的余弦值为．PBC ABE 2131317．(1)()12n n a -=-(2)36355.5T =【分析】（1）运用求解即可.11, 1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（2）依题意可知，插入数列后，与所构成的数列为，，，，，，{}n b {}n a {}n b 1a 1b 2a 2b 3b 3a ，，，，结合等差数列前n 项和公式及错位相减法求和即可求得结果.4b 5b 6b 4a L 【详解】（1）当时，，所以，1n =11321S a =+11a =当时，，即，2n ≥1133322n n n n n a S S a a --=-=-12n n a a -=-所以，()12n n a -=-当时，符合，1n =()12n n a -=-所以；()12n n a -=-（2）依题意，，1212a a b +=，2323233222422a a a a b b a a +++=⨯--=，33453446433522a a a a b b b a a ++++=⨯--=︙．898929303689881022a a a a b b b a a ++++⋅⋅⋅+=⨯--=所以，1237893635131582a a a a a a T +++⋅⋅⋅++=即，①()()()()()()0126783622325213215282T =-+-+-+⋅⋅⋅+-+-+-则，②()()()()()()1237893642325213215282T -=-+-+-+⋅⋅⋅+-+-+-由①②可得，-()()()()()()()()71788983621262222282152821292213312T ⎡⎤---⎣⎦=-+-+⋅⋅⋅+-+-----=+⨯+⨯=--，所以．36355.5T =18．(1)10x y --=(2)证明见解析【分析】（1）求导可得斜率，结合点斜式方程求解即可.（2）求，运用放缩可得，设，求导()g x '1ln 1x x +≥()e e sin x x g x x -≥-+'()e e sin x x h x x -=-+可得，结合基本不等式可得，从而可得单调性，进而可证得结果.()h x'()0h x '≥()g x 【详解】（1）解：当时，，则，2a =()12ln x f x x x -=+()1112ln101f -=+=又，所以，即，()222121x f x x x x -'=-=()211111f ⨯-'==()11k f '==所以在点处的切线方程为，即；()1,01y x =-10x y --=（2）证明：设（），则，()()e ln 1e cos x x g x x x-=++-0x ≥()00g =，()()1e ln 1e sin 1x x g x x xx -⎡⎤=++-+⎢⎥+⎣⎦'设，则，()1ln H x x x =+()22111x H x x x x ='-=-当时，，单调递减，()0,1x ∈()0H x '<()H x 当时，，单调递增，()1,x ∈+∞()0H x '>()H x ，()()1ln111H x H ∴≥=+=恒成立，1ln 1x x ∴+≥由可知，1ln 1x x +≥()1ln 111x x ++≥+所以（），()e e sin x x g x x-≥-+'0x ≥设（），则，()e e sin x x h x x-=-+0x ≥()00h =，()e e cos 2e e 110x x x x h x x --=++≥⋅-=>'所以当时，，单调递增，，[)0,x ∈+∞()0h x '≥()h x ()()()00g x h x h ≥'≥=所以单调递增，，()g x ()()00g x g ≥=所以．()e ln 1e cos 0x x x x -++-≥方法点睛：运用导数证明不等式常见方法：（1）将不等式转化为函数的最值问题：待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值即可得证．（2）将不等式转化为两个函数的最值进行比较：若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标．本例中同时含ln x 与ex ，不能直接构造函数，把指数与对数分离两边，分别计算它们的最值，借助最值进行证明．（3）适当放缩证明不等式：导数方法证明不等式中，最常见的是和与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可e xln x 以考虑先对和进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明．常见的放缩公式e xln x 如下：(1) ，当且仅当时取等号．(2)，当且仅当时取等号．e 1xx ≥+0x =ln 1≤-x x 1x =19．(1)63(2)11,82⎛⎫ ⎪⎝⎭由题意知，，设(,0)A a -P 代入椭圆方程，可得222a a ⎛⎫⎪⎝⎭设点，直线方程为()11,P x y PA 联立直线方程与椭圆方程可得整理可得，解得，()2220x a x a x a k a b -+⎛⎫++= ⎪⎝⎭2321222ab a k x a k b -=+所以，()22222111222121ab PA x a y k x a k a k b =++=++=++将替换为，同理可得，，k 1k -2222221ab k QA k a b k =++由，可得，tan 8PQA ∠=()2222228PAa b k QA k a k b +==+整理得，()3222810,1,88k b k k k a -=∈≠-由，解得或，()()3322181088k k k k k k--=>--8k >102k <<，即，解得或，328118k k k -<-()()2218108k k k k +-<-188k <<0k <故解集为.3281018k k k -<<-11{|}82k k <<综上所述，的取值范围为．k 11,82⎛⎫ ⎪⎝⎭。
黑龙江省齐齐哈尔市2022届高三第二次模拟考试理科数学试题
一、单选题二、多选题1. 求值（ ）A ．8B ．9C ．10D ．12.已知为△所在平面内一点，，为边的中点，则（ ）A．B．C．D．3.已知数列满足，，，则数列的前48项和为（ ）A ．2400B ．1240C ．1056D ．11764.已知定义在上的奇函数满足:当时,,若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．5. 2022年卡塔尔世界杯上，32支球队分成8个小组，每个小组的前两名才能出线，晋级到决赛．某参赛队在开赛前预测：本队获得小组第一的概率为0.6，获得小组第二的概率为0.3；若获得小组第一，则决赛获胜的概率为0.9，若获得小组第二，则决赛获胜的概率为0.3．那么在已知该队小组出线的条件下，其决赛获胜的概率为（ ）A ．0.54B ．0.63C ．0.7D ．0.96. 已知是抛物线的焦点，过焦点的直线交抛物线的准线于点，点在抛物线上且，则直线的斜率为（ ）A．B．C．D．7. 已知一平面截某旋转体，截得的几何体的三视图如图，则该截得几何体的体积为（）A ．67.5πB ．πC ．πD ．π8.若正实数满足，则A ．有最大值4B ．有最小值C ．有最大值D ．有最小值9. 已知二次函数（为常数）的对称轴为，其图像如图所示，则下列选项正确的有（ ）黑龙江省齐齐哈尔市2022届高三第二次模拟考试理科数学试题黑龙江省齐齐哈尔市2022届高三第二次模拟考试理科数学试题三、填空题四、解答题A．B．当时，函数的最大值为C ．关于的不等式的解为或D ．若关于的函数与关于的函数有相同的最小值，则10. 已知由样本数据点集合求得的线性回归方程为，.现发现两个数据点和的误差较大，去除这两个数据点后重新求得的回归直线l 的斜率为1.2，则下列说法中正确的有（ ）A ．去除这两个数据点前，当变量x 每增加1个单位长度时，变量y 减少1.5个单位长度B．去除这两个数据点后的回归直线过点C ．去除这两个数据点后y 的估计值的增长速度变慢D ．去除这两个数据点后，当时，y 的估计值为6.211.已知函数满足，且函数与的图象的交点为，，，，则（ ）A．B．C．D．12. 对于函数，下列结论正确的是（ ）A．B．的单调递减区间为C．的最大值为1D ．若关于x 的方程在上有四个实数解，则13. 某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试．现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值为__________千米．14. 已知圆柱的母线长，底面半径，则该圆柱的侧面积为_______．15.已知是定义域为的函数的导函数，若对任意实数都有，且有，则不等式的解集为__________．16. 如图，在多面体中，为等边三角形，，，，，F 为EB 的中点.(1)证明：平面；(2)求多面体的体积.17. 已知数列满足：①对任意质数p和自然数n，都；②对任意互质的正整数对，都有．(1)写出的前6项，观察并直接写出与能整除n的正整数的个数的关系；(2)设数列的前n项和为，证明：．18. 已知函数，，其中，曲线在点处的切线与曲线相切于点．(1)若，求；(2)证明：．19. 自然资源部门对某市饮用水厂中的地下水质量进行监测，随机抽查了100眼水井进行监测，得到溶解性总固体浓度（单位：）和硫酸盐浓度（单位：）的分布如下表：溶解性总固体浓度硫酸盐浓度3315478133710（1）估计事件“该市某一水井中溶解性总固体浓度不超过500，且硫酸盐浓度不超过150”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的列联表：溶解性总固体浓度合计硫酸盐浓度合计（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市水井中溶解性总固体浓度与硫酸盐浓度有关？附：，.0.0500.0100.0013.841 6.63510.82820. 已知四棱锥的底面为平行四边形，且平面ABCD,,,分别为中点，过作平面分别与线段相交于点.(1)在图中作出平面，使面平面SAD (不要求证明）；(2)若，是否存在实数，使二面角的平面角大小为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.21. 设函数，，为的导函数．(1)当时，过点作曲线的切线，求切点坐标；(2)若，，且和的零点均在集合中，求的极小值．。
黑龙江省高考数学二模试卷(理科)
黑龙江省高考数学二模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019·全国Ⅱ卷理) 设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A∩B=（）A . (-∞，1)B . (-2，1)C . (-3，-1)D . (3，+∞)2. （2分）(2020·河南模拟) 已知复数（i为复数单位），则（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高一上·徐州期中) 已知函数的值域为，则（）.A .B .C .D .4. （2分） (2016高三上·海淀期中) 如图所示，A是函数f（x）=2x的图象上的动点，过点A作直线平行于x轴，交函数g（x）=2x+2的图象于点B，若函数f（x）=2x的图象上存在点C使得△ABC为等边三角形，则称A 为函数f（x）=2x上的好位置点．函数f（x）=2x上的好位置点的个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 大于25. （2分）(2018·郑州模拟) 等比数列中，，前3项和为，则公比的值是（）A . 1B .C . 1或D . 或6. （2分） (2018高三上·德州期末) 若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过的直线与双曲线相交于，两点，且的中点为则双曲线的方程为（）A .B .C .D .7. （2分）(2018·江西模拟) 已知直线：与抛物线：相交于，两点，与轴相交于点，点满足，，过点作抛物线的切线，与直线相交于点，则的值（）A . 等于8B . 等于4C . 等于2D . 与有关8. （2分） (2018高三上·永春期中) 已知某几何体的三视图单位：，如图所示，则此几何体的外接球的体积为A .B .C .D .9. （2分）向量、均为非零向量，则下列说法不正确的是（）A . 若向量与反向，且，则向量与的方向相同B . 若向量与反向，且，则向量与的方向相同C . 若向量与同向，则向量与的方向相同D . 若向量与的方向相同或相反，则的方向必与、之一的方向相同10. （2分） (2019高二上·恩施期中) 边长为6的两个等边，所在的平面互相垂直，则四面体的外接球的体积为（）．A .B .C .D .11. （2分） cos 的值为（）A .B . ﹣C . ﹣D .12. （2分） (2020高三上·安徽月考) 已知直线与曲线在处的切线平行，则实数值为（）.A . 4B . 3C . 2D . 1二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二上·阜宁期中) 已知实数x，y满足条件则z=2x+y的最小值是________．14. （1分）(2017·达州模拟) 中国古代数学名著《算法统宗》中，许多数学问题都是以诗歌的形式呈现，其中一首诗可改编如下：“甲乙丙丁戊，酒钱欠千文，甲兄告乙弟，三百我还与，转差十几文，各人出怎取？”意为：五兄弟，酒钱欠千文，甲还三百，甲乙丙丁戊还钱数依次成等差数列，在这个问题中丁该还________文钱．15. （1分）一个算法的程序框图如图，若该程序输出的结果为，则判断框中的条件i＜m中的整数m的值是________16. （1分） (2020高二上·洛阳月考) 在中，角，，所对的边分别为，，，如果，，面积为，那么 ________.三、解答题 (共7题；共55分)17. （15分）设等差数列{an}的公差为d，且a1 ，d∈N* ．若设M1是从a1开始的前t1项数列的和，即M1=a1+…+at1（1≤t1 ，t1∈N*），，如此下去，其中数列{Mi}是从第ti﹣1+1（t0=0）开始到第ti（1≤ti）项为止的数列的和，即．（1）若数列an=n（1≤n≤13，n∈N*），试找出一组满足条件的M1 ， M2 ， M3 ，使得：M22=M1M3；（2）试证明对于数列an=n（n∈N*），一定可通过适当的划分，使所得的数列{Mn}中的各数都为平方数；（3）若等差数列{an}中a1=1，d=2．试探索该数列中是否存在无穷整数数列{tn}，（1≤t1＜t2＜t3＜…＜tn），n∈N* ，使得{Mn}为等比数列，如存在，就求出数列{Mn}；如不存在，则说明理由．18. （10分） (2019高三上·双流期中) 如图，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点．（1）求和平面所成的角的大小．（2）求二面角的正弦值．19. （5分）(2017·焦作模拟) 某市为了制定合理的节电方案，供电局对居民用电进行了调查，通过抽样，获得了某年200户居民每户的月均用电量（单位：度），将数据按照[0，100），[100，200），[200，300），[300，400），[400，500），[500，600），[600，700），[700，800），[800，900]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中m的值并估计居民月均用电量的中位数；（Ⅱ）从样本里月均用电量不低于700度的用户中随机抽取4户，用X表示月均用电量不低于800度的用户数，求随机变量X的分布列及数学期望．20. （10分）已知椭圆E： + =1过点D（1，），且右焦点为F（1，0）右顶点为A，过点F的弦为BC，直线BA，直线CA分别交直线l：x=m（m＞2）于P、Q两点．（1）求椭圆方程；（2）若FP⊥FQ，求m的值．21. （5分）(2018·凯里模拟) 已知函数 .（Ⅰ）试讨论函数的单调性；（Ⅱ）对，且，证明： .22. （5分）(2017·莆田模拟) 在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求圆C的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．23. （5分）解不等式参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共55分) 17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、23-1、。
黑龙江省齐齐哈尔市高考数学二模试卷(理科)
黑龙江省齐齐哈尔市高考数学二模试卷（理科）姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 10 题；共 20 分)1. （2 分） 右图中阴影部分用集合可表示为（ ）A. B. C. D. 2. （2 分） (2019·昌平模拟) 已知复数 位于第二象限，则复数 z 的虚部可以是（ ）（i 为虚数单位，a 为实数）在复平面内对应的点A.B. C.D.3. （2 分） 某市进行一次高三教学质量抽样检测,考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布.已知数学 成绩平均分为 90 分,60 分以下的人数占 10%,则数学成绩在 90 分至 120 分之间的考生人数所占百分比约为 （ ）A . 40%B . 30%C . 20%第 1 页 共 13 页D . 10% 4. （2 分） (2018 高二上·遵化期中) 直线 x+y﹣1＝0 被圆（x+1）2+y2＝3 截得的弦长等于（ ）A. B.2C.2 D.4 5. （2 分） (2019 高一下·北海期中) 将参加夏令营的 400 名学生编号为：001，002，…，400，采用系统抽 样的方法抽取一个容量为 40 的样本，且随机抽得的号码为 003，这 400 名学生分住在三个营区，从 001 到 180 在第 一营区，从 181 到 295 在第二营区，从 296 到 400 在第三营区，三个营区被抽中的人数分别为（ ） A . 18，12，10 B . 20，12，8 C . 17，13，10 D . 18，11，11 6. （2 分） (2016 高二下·松原开学考) 已知命题 p：∃ x∈R，cosx=2；命题 q：∀ x∈R，x2﹣x+1＞0，则下 列结论中正确的是（ ） A . p∨q 是假命题 B . p∧q 是真命题 C . （￢p）∧（￢q）是真命题 D . （￢p）∨（￢q）是真命题7.（2 分）(2019 高二下·宁波期中) 当函数的两个零点分别落在区间时，恒成立，则的最大值为（ ）A.第 2 页 共 13 页和内B.C.D.8. （2 分） (2019 高一下·广东期中) 在 的任一点，实数 ， 满足中， ， 分别为，设、、， 的中点， 为 上、的面积分别为 、、 、 ，记 A . －1 B.1（），则取到最大值时，的值为（ ）C.D. 9. （2 分） (2020 高三上·兴宁期末) 函数 y＝xcos x＋sin x 的图象大致为 （ ）．A. B.C.第 3 页 共 13 页D.10. （2 分） 若下图程序框图在输入时运行的结果为 ，点 为抛物线设点 到此抛物线的准线的距离为 ，到直线的距离为 ，则上的一个动点， 的最小值是（ ）A.B. C.2 D.二、 填空题 (共 5 题；共 5 分)11. （1 分） (2020·北京) 函数的定义域是________．12. （1 分） 直线 y=3x 与曲线 y=x2 围成图形的面积为________．13. （1 分） (2016 高二上·福田期中) 在平面直角坐标系 xOy 中，有一定点 A（2，1），若线段 OA 的垂直平 分线过抛物线 y2=2px（p＞0）的焦点，则该抛物线的准线方程是________．第 4 页 共 13 页14. （1 分） (2017·宁德模拟)的二项式中不含 x 的项的系数为________．15. （1 分） (2020·九江模拟) 如图，在一个底面边长为 2，侧棱长为的正四棱锥中，大球 内切于该四棱锥，小球 与大球 及四棱锥的四个侧面相切，则小球 的体积为________.三、 解答题 (共 6 题；共 65 分)16. （5 分） 如图，已知 Rt△OAB 中，∠AOB=90°，OA=3，OB=2，M 在 OB 上，且 OM=1，N 在 OA 上，且 ON=1， P 为 AM 与 BN 的交点，求∠MPN．（要求用向量求解）．17. （10 分） (2017·怀化模拟) 如图，三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，CC1⊥平面 ABC，∠ACB=90°，BB1=3，AC=BC=2，D，E 分别为 AB，BC 的中点，F 为 BB1 上一点，且=．（1） 求证：平面 CDF⊥平面 A1C1E； （2） 求二面角 C1﹣CD﹣F 的余弦值．第 5 页 共 13 页18.（15 分）(2020·朝阳模拟) 体温是人体健康状况的直接反应，一般认为成年人腋下温度 （单位： ）平均在之间即为正常体温，超过即为发热.发热状态下，不同体温可分成以下三种发热类型：低热：；高热：；超高热（有生命危险）：.某位患者因患肺炎发热，于 12 日至 26 日住院治疗. 医生根据病情变化，从 14 日开始，以 3 天为一个疗程， 分别用三种不同的抗生素为该患者进行消炎退热. 住院期间，患者每天上午 8:00 服药，护士每天下午 16:00 为患 者测量腋下体温记录如下：（1） 请你计算住院期间该患者体温不低于的各天体温平均值；（2） 在 日— 日期间，医生会随机选取 天在测量体温的同时为该患者进行某一特殊项目“ 项 目”的检查，记 为高热体温下做“ 项目”检查的天数，试求 的分布列与数学期望；（3） 抗生素治疗一般在服药后 2-8 个小时就能出现血液浓度的高峰，开始杀灭细菌，达到消炎退热效果.假 设三种抗生素治疗效果相互独立，请依据表中数据，判断哪种抗生素治疗效果最佳，并说明理由.19. （15 分） (2016·上海文) 对于无穷数列{ }与{ }，记 A={ | = ，，}，若同时满足条件：①{ }，{ }均单调递增；②且{ }是无穷互补数列．}，B={ | = ，则称{ }与（1） 若 =，=，判断{ }与{ }是否为无穷互补数列，并说明理由；（2） 若 = 且{ }与{ }是无穷互补数列，求数列{ }的前 16 项的和；（3） 若{ }与{ }是无穷互补数列，{ }为等差数列且 =36，求{ }与{ }得通项公式．20. （10 分） (2017 高一下·资阳期末) 已知圆 O：x2+y2=2，直线 l：y=kx﹣2．（1） 若直线 l 与圆 O 交于不同的两点 A，B，且，求 k 的值；第 6 页 共 13 页（2） 若，P 是直线 l 上的动点，过 P 作圆 O 的两条切线 PC，PD，切点分别为 C，D，求证：直线 CD 过定点，并求出该定点的坐标．21. （10 分） 已知函数．（1） 当（ 为自然常数）时，求函数的单调区间；（2） 讨论的零点个数．第 7 页 共 13 页一、 选择题 (共 10 题；共 20 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、二、 填空题 (共 5 题；共 5 分)11-1、 12-1、 13-1、 14-1、参考答案15-1、第 8 页 共 13 页三、 解答题 (共 6 题；共 65 分)16-1、第 9 页 共 13 页17-1、 17-2、第 10 页 共 13 页18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、。
黑龙江省高考数学二模试卷(理科) (II)卷
黑龙江省高考数学二模试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）复数（﹣ i）3（其中i为虚数单位）的值是（）A . ﹣iB . iC . ﹣1D . 12. （2分） (2019高一上·哈尔滨期中) 集合，，则（）A .B .C .D .3. （2分）如图所示,矩形中,点为中点,若,则（）A .B .C . 3D .4. （2分）(2017·大连模拟) 已知函数f（x）=sinx+λcosx的图像的一个对称中心是点（，0），则函数g（x）=λsinxcosx+sin2x的图像的一条对称轴是直线（）A . x=B . x=C . x=D . x=﹣5. （2分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积不可能是A . 1B . 1.5C . 2D . 36. （2分） (2015高二上·宝安期末) 已知直线l：y=kx+2k+1与抛物线C：y2=4x，若l与C有且仅有一个公共点，则实数k的取值集合为（）A .B . {﹣1，0}C .D .7. （2分） (2020高二上·榆树期末) 下列条件中,使“ ”成立的充分不必要条件是（）A .B .C .D .8. （2分）(2017·鄂尔多斯模拟) 函数y=2x+1﹣2x2的图象大致是（）A .B .C .D .9. （2分）(2013·新课标Ⅱ卷理) 设a=log36，b=log510，c=log714，则（）A . c＞b＞aB . b＞c＞aC . a＞c＞bD . a＞b＞c10. （2分）(2018·株洲模拟) 已知的图像关于点对称，且在区间上单调，则的值为（）A . 1B . 2C .D .11. （2分）直线与曲线有3个公共点时，实数k的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高二上·岳阳期中) 设定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），f′（x）是f （x）的导函数，当x∈[0，1]时，0≤f（x）≤1；当x∈（0，2）且x≠1时，x（x﹣1）f′（x）＜0．则方程f （x）=lg|x|根的个数为（）A . 12B . 1 6C . 18D . 20二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分）据某报《自然健康状况》的调查报道，所测血压结果与相应年龄的统计数据如下表，观察表中数据规律，并将最适当的数据填入表中括号内．年龄（岁）3035404550556065…收缩压（水银柱/毫米）110115120125130135________145…舒张压（水银柱/毫米）70737578807385________…14. （1分）(2017·山东模拟) 已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），若P（ξ＞2）=0.15，则P（0≤ξ≤1）=________．15. （1分） (2017高二下·宜昌期中) 已知圆C：x2+y2﹣2x﹣1=0，直线l：3x﹣4y+12=0，圆C上任意一点P到直线l的距离小于2的概率为________．16. （1分） (2016高二上·杭州期末) 如图，直线l⊥平面α，垂足为O，已知△ABC中，∠ABC为直角，AB=2，BC=1，该直角三角形做符合以下条件的自由运动：（1）A∈l，（2）B∈α．则C、O两点间的最大距离为________．三、解答题 (共7题；共55分)17. （5分）已知数列{an}满足a1=， an+1=数列{an}的前n项和为Sn ， bn=a2n ，其中n∈N* ．试求a2 ， a3的值并证明数列{bn}为等比数列；18. （5分）(2017·海淀模拟) 由于研究性学习的需要，中学生李华持续收集了手机“微信运动”团队中特定20名成员每天行走的步数，其中某一天的数据记录如下：5860 6520 7326 6798 73258430 8215 7453 7446 67547638 6834 6460 6830 98608753 9450 9860 7290 7850对这20个数据按组距1000进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表：步数分组统计表（设步数为x）组别步数分组频数A5500≤x＜65002B6500≤x＜750010C7500≤x＜8500mD8500≤x＜95002E9500≤x＜10500n（Ⅰ）写出m，n的值，并回答这20名“微信运动”团队成员一天行走步数的中位数落在哪个组别；（Ⅱ）记C组步数数据的平均数与方差分别为v1 ，，E组步数数据的平均数与方差分别为v2 ，，试分别比较v1与v2 ，与的大小；（只需写出结论）（Ⅲ）从上述A，E两个组别的数据中任取2个数据，记这2个数据步数差的绝对值为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19. （10分）(2017·舒城模拟) 如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG所截后得到的，其中∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2，∠BAD=60°．（1）求证：BD⊥平面ADG；（2）求此多面体的全面积．20. （10分）(2018·海南模拟) 在平面直角坐标系中，设动点到坐标原点的距离与到轴的距离分别为，，且，记动点的轨迹为 .（1）求的方程；（2）设过点的直线与相交于，两点，当的面积最大时，求 .21. （10分）已知函数．（1）若f（x）在x=2处取得极值，求a的值；（2）若a=1，函数，且h（x）在（0，+∞）上的最小值为2，求实数m 的值．22. （10分）(2017·深圳模拟) 在直角坐标系中xOy中，已知曲线E经过点P（1，），其参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线E的极坐标方程；（2）若直线l交E于点A、B，且OA⊥O B，求证：为定值，并求出这个定值．23. （5分） (2018高二下·黄陵期末) 已知是全不相等的正实数，证明： .参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、答案：略2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共55分) 17-1、18-1、19-1、答案：略19-2、答案：略20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、。
黑龙江省哈尔滨市哈三中2025届高考数学二模试卷含解析
黑龙江省哈尔滨市哈三中2025届高考数学二模试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．32B ．323C ．16D ．1632．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若点(2,1)P -在角α的终边上，则sin 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．45-B ．45C ．35D ．353．如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A ．12B ．13C ．23D ．564．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（ ）A ．52B ．23C ．8D ．835．已知全集U =R ，集合{|lg(1)}A x y x ==-，1|B x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭则()U A B =（ ） A ．(1,)+∞ B ．(0,1) C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞6．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．7．设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则“A B ⊆”是“UA B =∅”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．若,,x a b 均为任意实数，且()()22231a b ++-=，则()()22ln x a x b -+- 的最小值为（ ） A ．32B ．18C ．321D ．1962-9．i 为虚数单位,则32i 1i-的虚部为（ ）A ．i -B ．iC ．1-D ．110．已知定点,A B 都在平面α内，定点,,P PB C αα∉⊥是α内异于,A B 的动点，且PC AC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（ ） A ．圆，但要去掉两个点 B ．椭圆，但要去掉两个点 C ．双曲线，但要去掉两个点D ．抛物线，但要去掉两个点11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个焦点为F ，点,A B 是C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F 且交C 的左支于,M N 两点，若|MN|=2，ABF ∆的面积为8，则C 的渐近线方程为（ ）A ．3y x =B ．33y x =±C ．2y x =±D ．12y x =±12．下列函数中，既是奇函数，又在(0,1)上是增函数的是（ ）． A ．()ln f x x x = B ．()x x f x e e -=- C ．()sin 2f x x =D ．3()f x x x =-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
黑龙江省齐齐哈尔市2022届高三第二次模拟考试理科数学试题 (2)
一、单选题二、多选题1.已知函数，则的大致图象为（ ）A．B．C．D．2.定义，对于任意实数，则的值是（ ）A．B．C．D．3. 的展开式中含的项的系数为（ ）A．B．C．D．4.是等腰直角三角形，，，为的中点，动点在边上，线段与交于点，设，当动点自点向点运动的过程中，下列说法正确的是（ ）A ．一直增大B ．一直减小C ．先增大后减小D ．为定值5. 等差数列前项和为，，则（ ）A．B．C．D．6. 已知正四面体的棱长为2，为的中点，分别是线段，（含端点）边上的动点，则的最小值为（ ）A．B．C ．2D．7.已知正三棱柱，侧面的面积为，则该正三棱柱外接球表面积的最小值为（ ）A．B．C．D．8.若函数在定义域内单调递增，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．9.已知函数的定义域为，且仅有一个零点，则（ ）A ．e 是的零点B ．在上单调递增C ．是的极大值点D ．是的最小值10. 已知有两个不同的极值点，则（ ）A．B．C．D．黑龙江省齐齐哈尔市2022届高三第二次模拟考试理科数学试题 (2)黑龙江省齐齐哈尔市2022届高三第二次模拟考试理科数学试题 (2)三、填空题四、解答题11.已知数列满足，且，则下列说法正确的是（ ）A ．数列为递减数列B．C．D．12. 下列命题正确的有（ ）A ．若样本数据的方差为2，则数据，，…，的方差为7B．若，，，则C．在一组样本数据（，不全相等）的散点图中，若所有样本点（）都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为D ．某学校参加学科节数学学竞赛决赛的10人的成绩：（单位：分）72，78，79，80，81，83，84，86，88，90．这10人成绩的第70百分位数是85．13. 已知正四棱柱的体积为16，是棱的中点，是侧棱上的动点，直线交平面于点，则动点的轨迹长度的最小值为______．14. 函数的最小值为__________．15.记为等比数列的前项和.若，则__________.16. 企业在商业活动中有依法纳税的基本义务，不依法纳税叫做逃税，是一种违法行为．某地区有2万家企业，政府部门抽取部分企业统计其去年的收入，得到下面的频率分布表．根据当地政策综合测算，企业应缴的税额约为收入的5%，而去年该地区企业实际缴税的总额为291亿元．收入（千万元）频率0.30.50.120.060.02（1）估计该地区去年收入大于等于4千万元的企业数量；（2）估计该地区企业去年的平均收入，并以此估计该地区逃税的企业数量；注：每组数据以区间中点值为代表，假设逃税的企业缴税额为0，未逃税的企业都足额缴税．17.如图，已知四边形为菱形，对角线与相交于O，，平面平面直线，平面，（1）求证：；（2）求二面角的余弦值．18. 在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，．(1)求的值；(2)若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：的周长为9．19. 某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校学生会的干部竞选．（1）设所选3人中女生人数为，求的分布列及数学期望；（2）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．20. 已知多面体中，，且，，.(1)证明：；(2)若，求二面角的余弦值.21. 已知的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且．(1)证明：；(2)若，求的值．。
黑龙江省哈三中高三下学期第二次高考模拟数学(理)试题及答案
黑龙江省哈三中20xx届高三下学期第二次高考模拟数学（理）考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第1I卷（非选择题）两部分，满分1 50分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证弓‘码填。
与清楚；（2）选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，小得折替、小要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题EI要求的．）1．设集合A={1，2，3}，B={0，1，2，4}，定义集合，则集合S中元素的个数是A．5 B．6 C．8 D．92．设i为虚数单位，则复数31izi=-在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第_象限C．第三象限D．第四象限3．幂函数1()(2,),()278f x f x x--=的图象经过点则满足的的值是A．12B．13C．14D．154．如果执行右面的程序框图，那么输出的S为A．96 B．768C．1 536 D．7685．已知a ，b ，l ，表示三条不同的直线，,,αβγ表示三个不同的平面，有下列四个命题：A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④6．已知二项等差数列{}n a ，若存在常数t ，使得2n n a ta =对一切*n N ∈成立，则t 的集合是A ．{1}B ．{1，2}C ．{2}D ．{1,22}7．已知二项式(2nx-展开式中的第5项为常数项，则展开式中各项的二项式系数之和为 A ．1 B ．32 C ．64 D ．1288．一只蚂蚁从正方体ABCD —A 1B 2C 1D 1的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C 。
处，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（4）D．（3）（4）9．在△ABC中，内角A,B,C的对边长分别为a，b，c，且22tan2,3,tanAa c bC-==则b等于A．3 B．4 C．6 D．710．11．对实数a和b，定义运算“*”：a*b=,1,1a a bb a b-≤⎧⎨->⎩，设函数f（x）=（21x+）*（x+2），若函数y=f（x）一c的图像与x轴恰有两个公共点，则实数C的取值范围是A．（2，4]（5，+∞）B．（1,2] （4,5]C．（一∞，1）（4,5] D．[1，2]第II卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．设x ，y 满足约束条件11,(2,)(1,1),//,2210x y x a y x m b a b x y ≥⎧⎪⎪≥=-=-⎨⎪+≤⎪⎩向量且则m 的最小值为 .14．有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行，则这一行的4张卡片所标数字之和等于10的概率为.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分） 已知（I ）求f （x ）的最大值及取到最大值时相应的x 的集合；-（II ）若函数()[0,]2y f x m π==-在区间上恰好有两个零点，求实数m 的取值范围．18．（本小题满分12分） 如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△ABE 为等腰三角形，AE=BE ，平面ABCD ⊥平面ABE ，动点F 在校CE 上，无论点F 运动到何处时，总有BF ⊥AE ． （I ）试判断平面ADE 与平面BCE 是否垂直，并证明你的结论； （II ）求二面角D —CE —A 的余弦值的大小。
黑龙江省高考数学二模试卷(理科) (2)
黑龙江省高考数学二模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） A=,B=,若，则的值的集合为（）A .B .C .D .2. （2分）(2020·深圳模拟) 在复平面内，复数对应的点的坐标为（）.A .B .C .D .3. （2分） (2016高一下·武城期中) 在△ABC中， =（）A .B . 4C . ﹣D . ﹣44. （2分）非常数数列{an}是等差数列，且{an}的第5、10、20项成等比数列，则此等比数列的公比为（）A .B . 5C . 2D .5. （2分） (2020高三上·兴宁期末) 某几何体的正视图和侧视图如图1所示，它的俯视图的直观图是平行四边形，如图2所示.其中，则该几何体的表面积为（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高一上·荆门期末) 将函数y=sin（x+ ）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A . x=﹣B . x=﹣C . x=D . x=7. （2分） (2018高二下·石嘴山期末) 执行下面的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A . 3B . 4C . 5D . 68. （2分） (2018高二下·中山月考) 已知函数的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是 +2,则的值等于（）A . 1B .C . 3D . 09. （2分） (2018高三上·晋江期中) 已知，“函数有零点”是“函数在上为减函数”的A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件10. （2分）(2018·石嘴山模拟) 已知变量满足约束条件，则目标函数的最小值是（）A . 4B . 3C . 2D . 111. （2分）(2013·四川理) 节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（）A .B .C .D .12. （2分） (2020高二下·重庆期末) 已知是定义在上的偶函数的导函数，当时，，且，若，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·襄阳模拟) 若（1+x）（a﹣x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7 ，其中a= （sinx﹣cosx）dx，则a0+a1+a2+…+a6的值为________．14. （1分）（cos-sin）（cos+sin）=________15. （1分）(2020·九江模拟) 的展开式中的系数为________.（用数字作答）16. （1分）已知随机变量，则E（5ξ+2）=________．三、解答题 (共7题；共75分)17. （10分） (2019高二上·沈阳月考) 已知数列中，，当时，其前项满足（1）证明：是等差数列，求的表达式；（2）设，求的前项和 .18. （15分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N.（1）请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）（2）证明：直线MN∥平面BDH。
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黑龙江省高考数学二模试卷（理科）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共9题；共18分)
1. （2分）(2017·山东) 已知i是虚数单位，若复数z满足zi=1+i，则z2=（）
A . ﹣2i
B . 2i
C . ﹣2
D . 2
2. （2分）已知集合A={x|（x﹣6）（3x+8）＜0}，B={x|y= }，则A∩B等于（）
A . [﹣1，6）
B . （﹣1，6）
C . （﹣，﹣1]
D . （﹣，﹣1）
3. （2分） (2018高一下·南阳期中) 我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题“今有北乡八千七百五十八，西乡七千二百三十六，南乡算八千三百五十六，凡三乡，发役三百七十八人，欲以算数多少出之，何各几何？”意思是：北乡由8758人，西乡由7236人，南乡由8356人，现要按人数多少从三乡共征集378人，问从各乡征集多少人？在上述问题中，需从西乡征集的人数是（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分）如果实数x,y满足：，则目标函数z=4x+y的最大值为（）
A . 4
B .
C .
D . -4
5. （2分）(2018·株洲模拟) 某三棱柱的三视图如图粗线所示，每个单元格的长度为1，则该三棱柱外接球的表面积为（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分） (2018高二上·佛山期末) 已知直线，平面，下列命题中正确的是（）
A . 若，则
B . 若，则
C . 若，则
D . 若，则
7. （2分） (2019高一上·长沙月考) 已知函数，A( ，0)
为其图象的对称中心，､是该图象上相邻的最高点和最低点，若，则的解析式为（）.
A .
B .
C .
D .
8. （2分） (2018高二上·吉林月考) 如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线
及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分）已知函数f（x）=mlnx﹣， f（x）的导函数为f′（x），对∀x∈（0，1），有f′（x）•f′（1﹣x）≤1恒成立，则实数m的取值范围为（）
A . （0，]
B . [0，]
C . [0，1）
D . [0，1]
二、填空题 (共5题；共5分)
10. （1分）(2017·山东模拟) 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是________．
11. （1分）(2020·江苏模拟) 全国新冠病毒疫情过后，医护工作者小王可以从周二到周六任意选两天调整休息，则小王选的两天不相邻的概率为________。
12. （1分）(2019·丽水月考) 已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则实数 ________.
13. （1分） (2020高二上·嘉兴期末) 已知椭圆 : 与直线 : , :
,过椭圆上的一点作 , 的平行线,分别交 , 于 , 两点,若为定值,则椭圆的离心率为________.
14. （1分） (2017高二上·潮阳期末) 定义在R上的奇函数f（x），对于∀x∈R，都有，且满足f（4）＞﹣2，，则实数m的取值范围是________．
三、解答题 (共6题；共60分)
15. （10分） (2017高二上·汕头月考) 设锐角三角形的内角、、的对边分别为、、
， .
（1）求角的大小.
（2）若，，求 .
16. （10分） (2017高一下·汽开区期末) 已知数列{ }的前n项和 (n为正整数)。
（1）令，求证数列{ }是等差数列，并求数列{ }的通项公式；
（2）令，试比较与的大小，并予以证明．
17. （10分）(2020·南昌模拟) （某工厂生产零件A ，工人甲生产一件零件A ，是一等品、二等品、三等品的概率分别为，工人乙生产一件零件A ，是一等品、二等品、三等品的概率分别为．己知生产一件一等品、二等品、三等品零件A给工厂带来的效益分别为10元、5元、2元.
（1）试根据生产一件零件A给工厂带来的效益的期望值判断甲乙技术的好坏；
（2）为鼓励工人提高技术，工厂进行技术大赛，最后甲乙两人进入了决赛．决赛规则是：每一轮比赛，甲乙各生产一件零件A ，如果一方生产的零件A品级优干另一方生产的零件，则该方得分1分，另一方得分-1分，如果两人生产的零件A品级一样，则两方都不得分，当一方总分为4分时，比赛结束，该方获胜．Pi+4（i= 4，3， 2，…，4）表示甲总分为i时，最终甲获胜的概率．
①写出P0 ， P8的值；
②求决赛甲获胜的概率．
18. （5分）已知四边形ABCD满足AD∥BC，BA=AD=DC=BC=a，E是BC的中点，将△BAE沿AE折起到△B1AE 的位置，使平面B1AE⊥平面AECD，F为B1D的中点．
（1）证明：B1E∥平面ACF；
（2）求平面ADB1与平面ECB1所成锐二面角的余弦值．
19. （15分） (2017·上海模拟) 已知复数z1=m+ni（m，n∈R），z=x+yi（x，y∈R），z2=2+4i且．
（1）若复数z1对应的点M（m，n）在曲线上运动，求复数z所对应的点P（x，y）的轨迹方程；
（2）将（1）中的轨迹上每一点按向量方向平移个单位，得到新的轨迹C，求C的轨迹方程；
（3）过轨迹C上任意一点A（异于顶点）作其切线，交y轴于点B，求证：以线段AB为直径的圆恒过一定点，并求出此定点的坐标．
20. （10分） (2018高二下·甘肃期末) 已知函数 .
（1）讨论在上的单调性；
（2）若，，求正数的取值范围.
参考答案一、选择题 (共9题；共18分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
二、填空题 (共5题；共5分)
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
三、解答题 (共6题；共60分)
15-1、
15-2、
16-1、
16-2、
17-1、
17-2、
18-1、19-1、
19-2、
19-3、
20-1、
20-2、。