实用电工电子技术教程

cos x j sin x...............A
e jx cos x j sin x......B
A+B得： cos x 1 (e jx e jx ) 2
A-B得： sin x 1 (e jx e jx )
2j
转化过程
i1
（ 8 cos
3
j sin ) A
3
根据
cos x 1 (e jx e jx )
6 sin（314t
）安
6
⑵ i1、i2的相位关系？并用相量图表示。
⑶ i1+ i2=？ 解⑴：
i1的三要素是 Im=8A ；ω=314rad/s； Φ0=600
i2的三要素是 Im=6A ；ω=314rad/s； Φ0=-300
解(2)
i1
8sin(
314t
3
)安；i2
6 sin（314t
）安
1.复数 A a jb
r A a2 b2
arctanb ( 2 )
a
a r cos
b
r
sin
图2-6 复平面图
交流电的复数表示法
[示例]将
i1
8 sin(
314t
3
)安
表示为复数的四种形式：
形式一（三角函数式）：
i1
（ 8 cos
3
j sin
)A
3
形式二（代数式）：
i1
8
2.1.1 正弦交流电的三要素(六）
1.两正弦量的相位关系
❖ （1）如果 0 ，则称为两正弦量为同相，如图2-3(b)
❖ （2）如果 90 ，则称为两正弦量为正交，如图2-
3（d）
❖ （3）如果 180，则称为两正弦量为反相，如图2-
3（c）所示。
❖ （4）如果 0 ，则称前一正弦量超前后一正弦量一
e T
Em
O
t
图 2.2
图2-1 交流电流的波形图
2.1.1 正弦交流电的三要素（五）
i i1＝Imsint
i
i2＝Imsin(t＋
2)
i
i3＝Imsin(
t＋
6)
i
i4＝Imsin(
t－
6)
0
t 0
t 0
t 0
t
2
6
6
(a)
(b)
(c)
(d)
图2-2 几种不同计时起点的正弦电流波形
❖ 正简弦称量相表位示。式表中示对正应弦的量角任度意如时刻(的t电角i度) 。称其为单相位位一角般，
用弧度或度表示。
2.初相位
❖ 当 t = 0 时的相位，称为初相位或初相角，简称初相。
分别记作为i 、e 、u 3.相位差
❖ 两个同频率正弦量的初相位的差值称为相位差，记作 即： 1 2
2.1.1 正弦交流电的三要素（四）
1 2
j(8
3) 4 2
j6.928
形式三（指数式）：由三角函数式，根据欧拉公式转化
续
i1
（ 8 cos
3
j sin
)A 3
Leabharlann Baidu
欧拉公式的证明：
e jx 1 jx ( jx)2 ( jx)3 ..........
(1
x2
x
42!
...)
3!
j(x
x3
x5
...)
2! 4!
3! 5!
2. 有效值
❖ 由于在平时的各种测量中以及仪器仪表所指示的值均为有
效值, 用大写字母I、U、E表示。
3. 最大值与有效值的关系
I
1 T
T 0
Im2
sin
2
(t
i )dt
Im 2
0.707Im
U
1 T
T
U
0
2 m
sin
2
(t
u
)dt
Um 2
0.707Um
2.1.1 正弦交流电的三要素（二）
1.角频率ω
❖ 角频率ω表示正弦量在单位时间内变化的弧度数, 单位：rad/s
2. 频率 f
❖ 频率f 是指交流电在单位时间内变化的次数 。单位HZ
3. 周期 T
❖ 周期T 是指交流电每变化一周所用的时间。单位S
4. 三者的关系：
2
T
2f
f 1 T
2.1.1 正弦交流电的三要素（三）
1.相位
2
sin x 1 (e jx e jx )
2j
j
j
j
j
则：i1
8 e
3
e 2
3 8je 3 e 2j
3
j
j
j
j
i1
4e
3
4e
3 4e 3 4e
3
j
i1 8e 3
j
所以，i1的复数的指数形式是 i1 8e 3
习题分析技术 [例题2.1.1]
已求知：：⑴i1i1、8is2i的n( 3三14要t 素3？)安；i2
个角度或称后一正弦量滞后前正弦量一个角度。如图2-3 （a）所示。
2.不同相位关系的波形图
u
u1 u2 0
u u1
u2
u
u1
u2
u u1
u2
t 0
t 0
t 0
t
(a)
u1超前u2
(b)
(c)
u1、u2同相
u1、u2反相
图2-3 不同相位关系的波形图
(d)
u1滞后于u2
2.2.1 复数及四则运算（一）
）
6
8 sin 314t cos 8 cos 314t sin 6 sin 314t cos 6 cos 314t sin
3
3
6
6
(8 cos 6 cos ) sin 314t (sin 6 sin ) cos 314t
3
6
3
6
令：8 cos
3
6 cos
6
Im
cos v........A
6
的相位
关系？
根据△Φ=(314t+600)-(314t-300)=900
i1超前i2 900
.
I1
作相量图如右：
参考方向
.
I2
解⑶ i1+ i2=？
［点拨］二个交流电的求和问题是一个复杂的问 题，我们目前只讨论同频率的二个交流电的求和
方法一：高中数学解法
i1
i2
8 sin( 314t
)
3
6 sin（314t
8 sin
3
6 sin
6
Im
sin
v..........B
续
8 cos
3
6 cos
6
Im
cos v........A
8 sin
3
6 sin
6
Im
sin
v..........B
B/A得：
8 sin 6 sin
tan
8
cos
3
6 sin
6
2.1.1 正弦交流电的三要素（一）
❖ 正弦交流电：大小和方向随时间按正弦函数规律变化的电 压电流或电动势
❖ 以正弦电流为例:已知 i(t) ImSin(t i )
时,
式中: Im
i 分别称为正弦量的最大值；角频率;
初相角或初相位
1. 振幅值（最大值）
❖ 正弦量瞬时值中的最大值, 叫振幅值, 也叫峰值或幅值。 用 大写字母带下标“m”表示, 如Um、Im等。
第2章 正弦交流电路分析技术
2.1 正弦交流电的基本概念 2.2 正弦交流电的几种表示方法 2.3 单一参数的正弦交流电路 2.4 电阻、电感、电容的串联电路
2.5 RLC并联电路
2.6 三相正弦交流电路
2.1 正弦交流电的的基本概念 ❖ 目的与要求: 掌握正弦量的三要素 ❖ 重点：三要素 ❖ 难点：波形图的画法