初中数学几何辅助线作法小结之欧阳学创编
初中数学几何辅助线作法小结
几何协助线作法小结三角形中常有协助线的作法：①延伸中线结构全等三角形；②利用翻折，结构全等三角形；③引平行线结构全等三角形；④作连线结构等腰三角形。
常有协助线的作法有以下几种：1) 碰到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思想模式是全等变换中的“对折”．2)碰到三角形的中线，倍长中线，使延伸线段与原中线长相等，结构全等三角形，利用的思想模式是全等变换中的“旋转”．3)碰到角均分线，能够自角均分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思想模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角均分线的性质定理或逆定理．4)过图形上某一点作特定的均分线，结构全等三角形，利用的思想模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法，详细做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延伸，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这类作法，合适于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特别方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各极点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．A（一）、倍长中线（线段）造全等B D CA 1：已知，如图△ABC 中， AB=5， AC=3，则中线AD 的取值范围是_________.2：如图，△ ABC 中， E、F 分别在 AB、 AC 上， DE⊥ DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与 EF 的大小 .EF BD C3：如图，△ ABC 中， BD =DC=AC， E 是 DC 的中点，求证：AD 均分∠ BAE.AB D EC中考应用以ABC 的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt ABD 和等腰Rt ACE ，BAD CAE 90 , 连结DE，M、N分别是BC、DE的中点．研究：AM与DE的地点关系及数目关系．1当 ABC 为直角三角形时，AM与DE的地点关系是，（）如图①线段 AM 与 DE 的数目关系是；（ 2）将图①中的等腰 Rt ABD绕点 A 沿逆时针方向旋转(0< <90) 后，如图②所示，（1）问中获得的两个结论能否发生改变？并说明原因．ACBD（二）、截长补短1.如图，ABC 中，AB=2 AC，AD均分BAC ，且AD=BD，求证：CD⊥ACA DEBC2：如图， AC∥ BD ， EA,EB 分别均分∠ CAB,∠ DBA ， CD 过点 E，求证 ;AB＝ AC+BDABQPC3：如图，已知在VABC 内，BAC 60 ， C 400 ， P， Q 分别在 BC， CA 上，而且 AP， BQ 分别是BAC ，ABC 的角均分线。
初中几何辅助线做法大全之欧阳引擎创编
线、角、相交线、平行线欧阳引擎（2021.01.01）规律1.如果平面上有n(n≥2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出12n(n －1)条.规律2.平面上的n 条直线最多可把平面分成〔12n(n+1)+1〕个部分.规律3.如果一条直线上有n 个点，那么在这个图形中共有线段的条数为12n(n －1)条.规律4.线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半.例：如图，B 在线段AC 上，M 是AB 的中点，N 是BC 的中点.求证：MN =12AC证明：∵M 是AB 的中点，N 是BC 的中点∴AM = BM =12AB ,BN = CN =12BC∴MN = MB+BN =12AB +12BC = 12(AB + BC) ∴MN =12AC练习：1.如图，点C 是线段AB 上的一点，M 是线段BC 的中点.求证：AM = 12(AB + BC)2.如图，点B 在线段AC 上，M 是AB的中点，N 是AC 的中点.求证：MN = 12BC3.如图，点B 在线段AC 上，N 是AC的中点，M 是BC 的中点.求证：MN =12AB规律5.有公共端点的n 条射线所构成的交点NMCBAMCBANMCBANMCBA的个数一共有12n(n －1)个.规律6.如果平面内有n 条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n （n －1）个.规律7. 如果平面内有n 条直线都经过同一点，则可构成n （n －1）对对顶角.规律8.平面上若有n （n≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出16n(n －1)(n －2）个.规律9.互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90o.规律10.平面上有n 条直线相交，最多交点的个数为12n(n －1)个. 规律11.互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半.规律12.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直.例：如图，以下三种情况请同学们自己证明. 规律13.已知AB ∥DE,如图⑴～⑹,规律如下： 规律14.成“8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半.例：已知，BE 、DE 分别平分∠ABC 和∠ADC ，若∠A =45o,∠C =55o,求∠E 的度数. 解：∠A ＋∠ABE=∠E ＋∠ADE ① ∠C ＋∠CDE=∠E ＋∠CBE ②①＋②得∠A ＋∠ABE ＋∠C ＋∠CDE =∠E＋∠ADE ＋∠E ＋∠CBE∵BE 平分∠ABC 、DE 平分∠ADC ， ∴∠ABE=∠CBE ，∠CDE=∠ADE ∴2∠E=∠A ＋∠C∴∠E =12(∠A ＋∠C)∵∠A =45o,∠C =55o, ∴∠E =50o三角形部分1()∠ABC+∠BCD+∠CDE=360︒ED C BANME DBCA规律15．在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题.例：如图，已知D 、E 为△ABC 内两点，求证：AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋CE.证法（一）：将DE 向两边延长，分别交AB 、AC 于M 、N在△AMN 中， AM ＋AN ＞MD ＋DE ＋NE ① 在△BDM 中，MB ＋MD ＞BD ②在△CEN 中，CN ＋NE ＞CE ③①＋②＋③得AM ＋AN ＋MB ＋MD ＋CN ＋NE ＞MD ＋DE ＋NE ＋BD ＋CE∴AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋CE证法（二）延长BD 交AC 于F ，延长CE 交BF 于G , 在△ABF 和△GFC 和△GDE 中有， ①AB ＋AF ＞BD ＋DG ＋GF ②GF ＋FC ＞GE ＋CE ③DG ＋GE ＞DE ∴①＋②＋③有AB ＋AF ＋GF ＋FC ＋DG ＋GE ＞BD ＋DG ＋GF ＋GE ＋CE ＋DE∴AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋CE注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题.练习：已知：如图P 为△ABC 内任一点，求证：12(AB ＋BC ＋AC)＜PA ＋PB ＋PC ＜AB ＋BC ＋AC规律16．三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的一半.例：如图，已知BD 为△ABC 的角平分线，CD 为△ABC 的外角∠ACE 的平分线，它与BD 的延长线交于D. 求证：∠A = 2∠D 证明：∵BD 、CD 分别是∠ABC 、∠ACE 的平分线 F GN M EDB ADA∴∠ACE =2∠1, ∠ABC =2∠2∵∠A = ∠ACE －∠ABC∴∠A = 2∠1－2∠2又∵∠D =∠1－∠2∴∠A =2∠D规律17. 三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于90o加上第三个内角的一半.例：如图，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，求证：∠BDC =90o＋12∠A证明：∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB∴∠A＋2∠1＋2∠2 = 180o∴2(∠1＋∠2)= 180o－∠A①∵∠BDC = 180o－(∠1＋∠2)∴(∠1＋∠2) = 180o－∠BDC②把②式代入①式得2(180o－∠BDC)= 180o－∠A即：360o－2∠BDC =180o－∠A∴2∠BDC = 180o＋∠A∴∠BDC = 90o＋12∠A规律18. 三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于90o减去第三个内角的一半.例：如图，BD、CD分别平分∠EBC、∠FCB，求证：∠BDC = 90o－12∠A证明：∵BD、CD分别平分∠EBC、∠FCB∴∠EBC = 2∠1、∠FCB = 2∠2∴2∠1 =∠A＋∠ACB ①2∠2 =∠A＋∠ABC ②①＋②得2（∠1＋∠2）= ∠A＋∠ABC＋∠ACB＋∠A2（∠1＋∠2）= 180o＋∠A∴（∠1＋∠2）= 90o＋12∠A∵∠BDC = 180o－(∠1＋∠2)1 2∠A)∴∠BDC = 180o－(90o＋DCBA2121FECBA∴∠BDC = 90o －12∠A规律19. 从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个角差（的绝对值）的一半.例：已知，如图，在△ABC 中，∠C ＞∠B ，AD ⊥BC 于D ，AE平分∠BAC.求证：∠EAD = 12(∠C －∠B) 证明：∵AE 平分∠BAC∴∠BAE =∠CAE =12∠BAC∵∠BAC =180o －(∠B ＋∠C)∴∠EAC = 12〔180o －(∠B ＋∠C)〕 ∵AD ⊥BC∴∠DAC = 90o －∠C∵∠EAD = ∠EAC －∠DAC ∴∠EAD = 12〔180o －(∠B＋∠C)〕－(90o －∠C)= 90o －12(∠B ＋∠C)－90o ＋∠C= 12(∠C －∠B)如果把AD 平移可以得到如下两图，FD ⊥BC 其它条件不变，结论为∠EFD = 12(∠C －∠B).注意：同学们在学习几何时，可以把自己证完的题进行适当变换，从而使自己通过解一道题掌握一类题，提高自己举一反三、灵活应变的能力.规律20.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题.例：已知D 为△ABC 内任一点，求证：∠BDC ＞∠BAC证法（一）：延长BD 交AC 于E ，E DCBAABCDEF FCBA∵∠BDC 是△EDC的外角，∴∠BDC ＞∠DEC同理：∠DEC ＞∠BAC∴∠BDC ＞∠BAC证法（二）：连结AD ，并延长交BC 于F∵∠BDF 是△ABD 的外角， ∴∠BDF ＞∠BAD 同理∠CDF ＞∠CAD∴∠BDF ＋∠CDF ＞∠BAD ＋∠CAD 即：∠BDC ＞∠BAC规律21.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE ＋CF ＞EF证明：在DA 上截取DN = DB ，连结NE 、NF ，则DN = DC在△BDE 和△NDE 中， DN = DB ∠1 = ∠2 ED = ED∴△BDE ≌△NDE ∴BE = NE同理可证：CF = NF在△EFN 中，EN ＋FN ＞EF ∴BE ＋CF ＞EF规律22.有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线，且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE ＋CF ＞EF证明：延长ED 到M ，使DM = DE ，连结CM 、FM△BDE 和△CDM 中， BD = CD ∠1 = ∠5 ED = MD∴△BDE ≌△CDMFABC DED C B A4321NFE BA∴CM = BE又∵∠1 = ∠2，∠3 = ∠4∠1＋∠2＋∠3 ＋∠4 = 180o ∴∠3 ＋∠2 = 90o 即∠EDF = 90o∴∠FDM = ∠EDF = 90o△EDF 和△MDF 中 ED = MD ∠FDM = ∠EDF DF = DF∴△EDF ≌△MDF ∴EF = MF∵在△CMF 中，CF ＋CM ＞MF BE ＋CF ＞EF（此题也可加倍FD ，证法同上）规律23.在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形. 例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD证明：延长AD 至E ，使DE = AD ，连结BE∵AD 为△ABC 的中线∴BD =CD在△ACD 和△EBD 中BD = CD ∠1 = ∠2 AD = ED∴△ACD ≌△EBD∵△ABE 中有AB ＋BE ＞AE ∴AB ＋AC ＞2AD规律24.截长补短作辅助线的方法截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等. 这两种方法统称截长补短法.当已知或求证中涉及到线段a 、b 、c 、d 有下列情况之一时用此种方法：①a ＞b ②a±b = c ③a±b = c±d例：已知，如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1 = ∠2，P 为AD 上任一点，MAB C DE F 1234512EDC BA求证：AB －AC ＞PB －PC证明：⑴截长法：在AB 上截取AN = AC ，连结PN在△APN 和△APC 中， AN = AC ∠1 = ∠2AP = AP∴△APN ≌△APC∴PC = PN∵△BPN 中有PB －PC ＜BN ∴PB －PC ＜AB －AC⑵补短法：延长AC 至M ，使AM = AB ，连结PM 在△ABP 和△AMP 中AB = AM∠1 = ∠2AP = AP∴△ABP ≌△AMP∴PB = PM又∵在△PCM 中有CM ＞PM －PC ∴AB －AC ＞PB －PC练习：1.已知，在△ABC 中，∠B = 60o,AD 、CE 是△ABC 的角平分线,并且它们交于点O求证：AC = AE ＋CD 2.已知，如图，AB ∥CD ∠1 = ∠2 ,∠3 = ∠4. 求证：BC = AB ＋CD规律25.证明两条线段相等的步骤：①观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。
初中数学几何辅助线作法小结
D C BAED F CB A几何辅助线作法小结三角形中常见辅助线的作法：①延长中线构造全等三角形；②利用翻折，构造全等三角形；③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形。
常见辅助线的作法有以下几种：1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．（一）、倍长中线（线段）造全等1：已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.2：如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.C3：如图，△ABC 中，BD =DC =AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE .E D CB A中考应用以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，90,BAD CAE ∠=∠=︒连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．（1）如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ， 线段AM 与DE 的数量关系是 ；（2）将图①中的等腰Rt ABD∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．（二）、截长补短1.如图，ABC ∆中，AB =2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD =BD ，求证：CD ⊥ACCDBABACBA2：如图，AC ∥BD ，EA ,EB 分别平分∠CAB ,∠DBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AC +BD3：如图，已知在ABC 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。
初中数学几何辅助线作法小结范文
几何辅助线作法小结三角形中常有协助线的作法：①延伸中线结构全等三角形；②利用翻折，结构全等三角形；③引平行线结构全等三角形；④作连线结构等腰三角形。
常有协助线的作法有以下几种：1) 碰到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一〞的性质解题，思想模式是全等变换中的“对折〞．2)碰到三角形的中线，倍长中线，使延伸线段与原中线长相等，结构全等三角形，利用的思想模式是全等变换中的“旋转〞．3)碰到角均分线，能够自角均分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思想模式是三角形全等变换中的“对折〞，所考知识点常常是角均分线的性质定理或逆定理．4)过图形上某一点作特定的均分线，结构全等三角形，利用的思想模式是全等变换中的“平移〞或“翻转折叠〞5)截长法与补短法，详细做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延伸，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这类作法，合适于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特别方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各极点的线段连结起来，利用三角形面积的知识解答．A〔一〕、倍长中线〔线段〕造全等1：，如图△ ABC 中， AB=5， AC=3 ，那么中线 AD 的取值范围是 _________.BD C2：如图，△ ABC 中， E、 F 分别在 AB 、 AC 上， DE⊥ DF ，AD 是中点，试比较 BE+CF 与 EF 的大小 .EF3：如图，△ ABC 中， BD= DC =AC ， E 是 DC 的中点，求证：AD 均分∠ BAE.B D C中考应用以ABC 的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt ABD 和等腰Rt ACE ，BAD CAE 90 , 连结DE，M、N分别是BC、DE的中点．研究：AM 与 DE 的地点关系及数目关系．〔 1〕如图①当ABC 为直角三角形时，AM 与 DE 的地点关系是，线段 AM 与 DE 的数目关系是；〔 2〕将图①中的等腰Rt ABD 绕点A沿逆时针方向旋转(0< <90) 后，如图②所示，〔1〕问中获得的两个结论能否发生改变？并说明原因．〔二〕、截长补短1.如图，ABC 中，AB=2AC，AD均分BAC ，且AD= BD，求证：CD⊥AC2：如图， AC∥ BD ， EA,EB 分别均分∠ CAB,∠ DBA ， CD 过点 E，求证 ;AB＝ AC+ BDA 3：如图，在VABC内，BAC60， C 400，P，Q 分别在 BC ，CA 上，并且 AP， BQ 分别是BAC ， ABC 的角均分线。
初中数学几何辅助线作法小结
几许辅帮线做法小结之阳早格格创做三角形中罕睹辅帮线的做法：①延少中线构制齐等三角形；②利用翻合，构制齐等三角形；③引仄止线构制齐等三角形；④做连线构制等腰三角形.罕睹辅帮线的做法有以下几种：1)逢到等腰三角形，可做底边上的下，利用“三线合一”的本量解题，思维模式是齐等变更中的“对付合”．2)逢到三角形的中线，倍少中线，使延少线段与本中线少相等，构制齐等三角形，利用的思维模式是齐等变更中的“转化”．3)逢到角仄分线，不妨自角仄分线上的某一面背角的二边做垂线，利用的思维模式是三角形齐等变更中的“对付合”，所考知识面时常是角仄分线的本量定理或者顺定理．4)过图形上某一面做特定的仄分线，构制齐等三角形，利用的思维模式是齐等变更中的“仄移”或者“翻转合叠”5)截少法与补短法，简曲干法是正在某条线段上截与一条线段与特定线段相等，或者是将某条线段延少，是之与特定线段相等，再利用三角形齐等的有闭本量加以道明．那种做法，符合于道明线段的战、好、倍、分等类的题目．D CB A ED FCB A 特殊要领：正在供有闭三角形的定值一类的问题时，常把某面到本三角形各顶面的线段对接起去，利用三角形里积的知识解问．（一）、倍少中线（线段）制齐等1：已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的与值范畴是_________. 2：如图，△ABC 中，E 、F 分别正在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中面，试比较BE+CF 与EF 的大小.3：如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中面，供证：AD 仄分∠BAE.中考应用以ABC ∆的二边AB 、AC 为腰分别背中做等腰Rt ABD ∆战等腰Rt ACE ∆，90,BAD CAE ∠=∠=︒对接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中面．商量：AM 与DE 的位子闭系及数量闭系．（1）如图①当ABC ∆为曲角三角形时，AM 与DE 的位子闭系是，线段AM 与DE 的数量闭系是；（2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕面A 沿顺时针目标转化︒θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的二个论断是可爆收改变？并道明缘由．D C B A P QCB A （二）、截少补短1.如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 仄分BAC ∠，且AD=BD ，供证：CD ⊥AC2：如图，AC ∥BD ，EA,EB 分别仄分∠CAB,∠DBA ，CD过面E ，供证;AB ＝AC+BD3：如图，已知正在ABC 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别正在BC ，CA 上，而且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角仄分线.供证：BQ+AQ=AB+BP 4：如图，正在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD仄分ABC ∠，供证：0180=∠+∠C A 5:如图正在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任性一面，供证;AB-AC＞PB-PC中考应用（三）、仄移变更1.AD 为△ABC 的角仄分线，曲线MN ⊥AD 于A.E 为MN上一面，△ABC 周少记为A P ，△EBC 周少记为B P .供证B P ＞A P .2：如图，正在△ABC 的边上与二面FE DCB A D 、E ，且BD=CE ，供证：AB+AC>AD（四）、借帮角仄分线制齐等1：如图，已知正在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角仄分线AD,CE 相接于面O ，供证：OE=OD2：如图，△ABC 中，AD 仄分∠BAC ，DG ⊥BC 且仄分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F. （1）道明BE=CF 的缘由；（2）如果AB=a ，AC=b ，供AE 、BE 的少.中考应用如图①，OP 是∠MON 的仄分线，请您利用该图形绘一对付以OP 天圆曲线为对付称轴的齐等三角形.请您参照那个做齐等三角形的要领，解问下列问题：（1）如图②，正在△ABC 中，∠ACB 是曲角，∠B=60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的仄分线，AD 、CE 相接于面F.请您推断并写出FE 与FD 之间的数量闭系；（2）如图③，正在△ABC 中，如果∠ACB 不是曲角，而(1)中的其余条件稳定，请问，您正在(1)中所得论断是可仍旧创制？若创制，请道明；若不可坐，请道明缘由. （五）、转化 1：正圆形ABCD 中，E 为BC 上的一面，F 为CD 上的一面，BE+DF=EF ，供∠EAF 的度数. (第23题图) O P AM N E B C D F A CE F BD图① 图②图③A 2：D 为等腰Rt ABC ∆斜边AB 的中面，DM ⊥DN,DM,DN 分别接BC,CA 于面E,F.（1）当MDN ∠绕面D 转化时，供证（2） 若AB=2，供四边形DECF 3.如图，ABC ∆是边少为3的等边三角形，BDC ∆是等腰三角形，且0120BDC ∠=干一个060角，使其二边分别接AB 于面N ，对接MN ，则AMN ∆的周少为；中考应用 1、已知四边形ABCD 中，AB AD ⊥，BC CD ⊥，AB BC =，120ABC =∠，60MBN =∠，MBN ∠绕B 面转化，它的二边分别接AD DC ，（或者它们的延少线）于E F ，．当MBN ∠绕B 面转化到AE CF =时（如图1），易证AE CF EF +=． 当MBN ∠绕B 面转化到AE CF ≠时，正在图2战图3那二种情况下，上述论断是可创制？若创制，请赋予道明；若不可坐，线段AE CF ，，EF 又有何如的数量闭系？2,PB=4,以AB 为一边做正圆形ABCD,使P 、D AB 的二侧. (1)如图,当∠APB=45°时,供AB 及PD 的少; （图1） C （图2） A B C DE FM N （图3） A B C D E F MN(2)当∠APB变更,且其余条件稳定时,供PD的最大值,及相映∠APB的大小.3、正在等边ABC∆的二边AB、AC天圆曲线上分别有二面M、N，D为ABC中一面，且︒=BDC,BD=DC.∠120MDN,︒∠60=商量：当M、N分别正在曲线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量闭系及AMN∆的周少Q与等边ABC∆的周少L 的闭系．图1 图2 图3（I）如图1，当面M、N边AB、AC上，且DM=DNQ；时，BM、NC、MN之间的数量闭系是；此时=L（II）如图2，面M、N边AB、AC上，且当DM≠DN 时，预测（I）问的二个论断还创制吗？写出您的预测并加以道明；（III）如图3，当M、N分别正在边AB、CA的延少线上时，若AN=x，则Q=（用x、L表示）．圆中做辅帮线的时常使用要领（1）做弦心距，以便当用弦心距与弧、弦之间的闭系与垂径定理.（2）若题目中有“弦的中面”战“弧的中面”条件时，普遍对接中面战圆心，利用垂径定理的推论得出截止.（3）若题目中有“曲径”那一条件，可符合采用圆周上的面，连结此面与曲径端面得到90度的角或者曲角三角形.（4）连结共弧或者等弧的圆周角、圆心角，以得到等角.（5）若题中有与半径（或者曲径）笔曲的线段，如图1，圆O中，BD⊥OA于D，时常是：①如图1（上）延少BD接圆于C，利用垂径定理.②如图1（下）延少AO接圆于E，连结BE，BA，得Rt△ABE.图1（上）图1（下）（6）若题目中有“切线”条件时，普遍是：对付切线引过切面的半径，（7）若题目中有“二圆相切”（内切或者中切），往往过切面做二圆的切线或者做出它们的连心线（连心线过切面）以相通二圆中有闭的角的相等闭系.（8）若题目中有“二圆相接”的条件，时常做二圆的大众弦，使之得到共弧上的圆周角或者形成圆内接四边形办理，偶尔还引二连心线以得到截止.（9）有些问题不妨先道明四面共圆，借帮于辅帮圆中角之间的等量闭系去道明.（10）对付于圆的内接正多边形的问题，往往加做边心距，抓住一个曲角三角形去办理.例题1：如图，正在圆O中，B为的中面，BD为AB的延少线，∠OAB=500，供∠CBD的度数.例题2:如图3,正在圆O中,弦AB、CD相接于面P，供1（弧AD+弧BC）的度数.证：∠APD的度数=2一、制曲角三角形法1.形成Rt△,常对接半径例1. 过⊙O内一面M ,最少弦AB = 26cm,最短弦CD = 10cm ,供AM少;2.逢有曲径,常做曲径上的圆周角例2. AB是⊙O的曲径,AC切⊙O于A,CB接⊙O于D,过D做⊙O的切线,接AC于E.供证:CE = AE;3.逢有切线,常做过切面的半径例3 .割线AB接⊙O于C、D,且AC=BD,AE切⊙O于E,BF 切⊙O于F.供证:∠OAE = ∠OBF;4.逢有公切线,常构制Rt△(斜边少为圆心距,背去角边为二半径的好,另背去角边为公切线少)例4 .小⊙O1与大⊙O2中切于面A,中公切线BC、DE分别战⊙O1、⊙O2切于面B、C战D、E，并相接于P，∠P = 60°.供证：⊙O1与⊙O2的半径之比为1：3；5．正多边形相闭估计常构制Rt△例5.⊙O的半径为6,供其内接正圆形ABCD与内接正六边形AEFCGH的大众部分的里积.A C O 1P 二、欲用垂径定理常做弦的垂线段例 6. AB 是⊙O 的曲径,CD 是弦,AE ⊥CD 于E,BF ⊥CD 于F.(1)供证:EC = DF;(2)若AE = 2,CD=BF=6,供⊙O 的里积;三、变更割线与弦相接的角，常形成圆的内接四边形 例7. AB 是⊙O 曲径,弦CD ⊥AB,M 是AC 上一面,AM 延少线接DC 延少线于F.供证: ∠F = ∠ACM;四、切线的概括使用1．已知过圆上的面，常_________________例8.如图，已知：⊙O1与⊙O2中切于P ，AC是过P 面的割线接⊙O1于A ，接⊙O2于C ，过面O1的曲线AB ⊥BC 于B.供证：BC 与⊙O2相切.例9.如图，AB 是⊙O 的曲径，AE 仄分∠BAF 接⊙O 于E ，过E 面做曲线与AF 笔间接AF 延少线于D 面，且接AB 于C面．供证：CD 与⊙O 相切于面E ．2.二个条件皆不,常___________________例10.如图，AB 是半圆的曲径，AM ⊥MN ，BN ⊥MN ，如果AM+BN ＝AB ，供证: 曲线MN 与半圆相切；例11.等腰△ABC 中,AB=AC,以底边中面D 为圆心的圆切AB边于E 面. 供证:AC 与⊙D 相切;例12．菱形ABCD二对付角线接于面O，⊙O与AB相切.供证：⊙O也与其余三边皆相切；五、二圆相闭题型1．二圆相接做_____________________例13.⊙O1与⊙O2相接于A、B，过A面做曲线接⊙O1于C 面、接⊙O2于D面，过B面做曲线接⊙O1于E面、接⊙O2于F面. 供证:CE∥DF;例14. ⊙O1与⊙O2中切于面P,过P面的曲线分别接⊙O1与⊙O2于A、B二面，AC切⊙O1于A面，BC接⊙O2于D 面.供证：∠BAC = ∠BDP；3．二圆或者三圆相切做_________________例15.以AB=6为曲径做半⊙O,再分别以OA、OB为曲径正在半⊙O内做半⊙O1与半⊙O2，又⊙O3与三个半圆二二相切.供⊙O3的半径；4．一圆过另一圆的圆心，做____________例16.二个等圆⊙O1与⊙O2相接于A、B二面，且⊙O1过面O2，过B面做曲线接⊙O1于C面、接⊙O2于D面. 供证：△ACD是等边三角形；六、启搁性题目例17．已知：如图，以ABC△的边AB为曲径的O接边AC于面D，且过面D的切线DE仄分边BC．（1）BC与O是可相切？请道明缘由；CEB（2）当ABC△谦脚什么条件时，以面O，B，E缘由．新文章哦刘项本去不读书籍(回复三十年回瞅：几多宁调研（二）——大茂初级中教(吴益仄)死"启心道" (梁珠)下考革新三十年：正在迷雾中觅找目标()尔要干太阳(☆无泪￠泪痕)上海是何如博得下考自决权的()教教拾萃（一）(文昌市会文核心小教华秋雨)四边形辅帮线干法一、战仄止四边形有闭的辅帮线做法1．利用一组对付边仄止且相等构制仄止四边形例1 如图1，已知面O是仄止四边形ABCD的对付角线AC 的中面，四边形OCDE是仄止四边形.供证:OE与AD互相仄分.2．利用二组对付边仄止构制仄止四边形例2 如图2，正在△ABC中，E、F为AB上二面，AE=BF，ED//AC，FG//AC接BC分别为D，G.供证:ED+FG=AC. 3．利用对付角线互相仄分构制仄止四边形例3 如图3，已知AD是△ABC的中线，BE接AC于E，接AD于F，且AE=EF.供证BF=AC.二、战菱形有闭的辅帮线的做法CEBA（第23题）战菱形有闭的辅帮线的做法主假如对接菱形的对付角线，借帮菱形的判决定理或者本量定定理办理问题.例4 如图5，正在△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC 的仄分线接BC 于面D ，E 是AB 上一面，且AE=AC ，EF//BC 接AD 于面F ，供证：四边形CDEF 是菱形.例5如图6，四边形ABCD 是菱形，E 为边AB 上一个定面，F 是AC 上一个动面，供证EF+BF 的最小值等于DE 少. 3． 与矩形有辅帮线做法战矩形有闭的题型普遍有二种：（1）估计型题，普遍通过做辅帮线构制曲角三角形借帮勾股定理办理问题；（2）道明或者探索题，普遍连结矩形的对付角线借帮对付角线相等那一本量办理问题战矩形有闭的试题的辅帮线的做法较少.例6 如图7，已知矩形ABCD 内一面，PA=3，PB=4，PC=5.供PD 的少.例7如图8，过正圆形ABCD 的顶面B 做BE//AC ，且AE=AC ，又CF//AE.供证：∠BCF=21∠AEB.五、与梯形有闭的辅帮线的做法战梯形有闭的辅帮线的做法是较多的.主要波及以下几种典型：（1）做一腰的仄止线构制仄止四边形战特殊三角形；（2）做梯形的下，构制矩形战曲角三角形；（3）做一对付角线的仄止线，构制曲角三角形战仄止四边形；（4）延少二腰形成三角形；（5）做二腰的仄止线等.例8 已知，如图9，正在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=AC ，∠BAC=90°，BD=BC ，BD 接AC 于面0.供证：CO=CD. 例9 如图10，正在等腰梯形ABCD 中，AD//BC ，AC ⊥BD ，AD+BC=10，DE ⊥BC 于E.供DE 的少.六、战中位线有闭辅帮线的做法例10 如图11，正在四边形ABCD 中，AC 于BD 接于面0，AC=BD ，E 、F 分别是AB 、CD 中面，EF 分别接AC 、BD 于面H 、G .供证：OG=OH.中考数教典范几许道明题1. （1）如图1所示，正在四边形ABCD 中，AC =BD ，AC 与BD 相接于面O ，E F 、分别是AD BC 、的中面，联结EF ，分别接AC 、BD 于面M N 、，试推断OMN △的形状，并加以道明；（2）如图2，正在四边形ABCD 中，若AB CD =，E F 、分别是AD BC 、的中面，联结FE 并延少，分别与BA CD 、的延少线接于面M N 、，请正在图2中绘图并瞅察，图中是可有相等的角，若有，请间接写出论断：；（3）如图3，正在ABC △中，AC AB >，面D 正在AC 上，AB CD =，E F 、分别是AD BC 、的中面，联结FE 并延少，与BA 的延少线接于面M ，若45FEC ∠=︒，推断面M 与以AD 为曲径的圆的位子闭系，并简要道明缘由．训练1、为了让州乡住户有更多戚忙战娱乐的场合，政府又新修了几处广场，工人师傅正在铺设大天时，准备采用共一种正多边形天砖.现有底下几种形状的正多边形天砖，其中不克不迭举止仄里镶嵌的是（）A. 正三角形B. 正圆形C. 正五边形D. 正六边形2、矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，合叠纸片使AD 边与对付角线BD 沉合，合痕为DG ，则AG 的少为（）A ．1B ．34C ．23D ．2 3、把正圆形ABCD 绕着面A ，按顺时针目标转化得到正圆形AEFG ，边FG 与BC 接于面H （如图）．试问线段HG 与线段HB 相等吗？请先瞅察预测，而后再道明您的预测．二、与梯形有闭的辅帮线的做法 战梯形有闭的辅帮线的做法是较多的.主要波及以下几种典型：（1）做一腰的仄止线构制仄止四边形战特殊三角形；（2）做梯形的下，构制矩形战曲角三角形；（3）做一对付角线的图 1 图2 图3F B AC D E F M N O D CA B GH F E仄止线，构制曲角三角形战仄止四边形；（4）延少二腰形成三角形；（5）做二腰的仄止线等.例1 已知，如图，正在梯形ABCD中，AD//BC，AB=AC，∠BAC=90°，BD=BC，BD接AC于面0.供证：CO=CD.例2 如图，正在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥BD，AD+BC=10，DE⊥BC于E.供DE的少.三、战中位线有闭辅帮线的做法例3 如图，正在四边形ABCD中，AC于BD接于面0，AC=BD，E、F分别是AB、CD中面，EF分别接AC、BD 于面H、G.供证：OG=OH.。
初中数学必备——作辅助线的方法和技巧之欧阳体创编
作辅助线的方法和技巧题中有角平分线，可向两边作垂线。
线段垂直平分线，可向两端把线连。
三角形中两中点，连结则成中位线。
三角形中有中线，延长中线同样长。
成比例，正相似，经常要作平行线。
圆外若有一切线，切点圆心把线连。
如果两圆内外切，经过切点作切线。
两圆相交于两点，一般作它公共弦。
是直径，成半圆，想做直角把线连。
作等角，添个圆，证明题目少困难。
辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形里面作高线，平移一腰试试看。
平行移动对角线，补成三角形常见。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上若有一切线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
内外相切的两圆，经过切点公切线。
若是添上连心线，切点肯定在上面。
要作等角添个圆，证明题目少困难。
辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
假如图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。
解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。
分析综合方法选，困难再多也会减。
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线对于刚刚接触几何的初中学生来讲，常常会感到无从入手，没有头绪。
如何把看起来十分复杂的几何问题通过获得简洁明快的解题方法加以解决，是几何问题面临的一个重要问题，而适当添加辅助线就是解决这个问题的一个好方法。
初中几何辅助线秘籍：常见辅助线作法口诀之欧阳地创编
初中几何辅助线秘籍：常见辅助线作法口诀三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
四边形平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形里面作高线，平移一腰试试看。
平行移动对角线，补成三角形常见。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
圆半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上若有一切线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
内外相切的两圆，经过切点公切线。
若是添上连心线，切点肯定在上面。
要作等角添个圆，证明题目少困难。
辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
假如图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。
解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。
分析综合方法选，困难再多也会减。
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
初中数学几何辅助线作法小结
DCB A几何帮助线作法小结 【1 】三角形中罕有帮助线的作法：①延伸中线结构全等三角形; ②应用翻折,结构全等三角形; ③引平行线结构全等三角形; ④作连线结构等腰三角形. 罕有帮助线的作法有以下几种：1) 碰到等腰三角形,可作底边上的高,应用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“半数”．2) 碰到三角形的中线,倍长中线,使延伸线段与原中线长相等,结构全等三角形,应用的思维模式是全等变换中的“扭转”．3) 碰到角等分线,可以自角等分线上的某一点向角的双方作垂线,应用的思维模式是三角形全等变换中的“半数”,所考常识点经常是角等分线的性质定理或逆定理．4) 过图形上某一点作特定的等分线,结构全等三角形,应用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延伸,是之与特定线段相等,再应用三角形全等的有关性质加以解释．这种作法,合适于证实线段的和.差.倍.分等类的标题．特别办法：在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各极点的线段衔接起来,应用三角形面积的常识解答．（一）.倍长中线（线段）造全等EDA1：已知,如图△ABC 中,AB=5,AC=3,则中线AD 的取值规模是_________. 2：如图,△ABC 中,E.F 分离在AB.AC 上,DE ⊥DF, D 是中点,试比较BE+CF 与EF 的大小.3：如图,△ABC 中,BD=DC=AC,E 是DC 的中点,求证：AD 等分∠BAE.E D CB A中考应用以ABC ∆的双方AB.AC 为腰分离向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆,90,BAD CAE ∠=∠=︒衔接DE,M.N 分离是BC.DE 的中点．探讨：AM 与DE 的地位关系及数目关系．（1）如图①当ABC ∆为直角三角形时,AM 与DE 的地位关系是, 线段AM 与DE 的数目关系是;（2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针偏向扭转︒θ(0<θ<90)后,如图②所示,（1）问中得到的两个结论是否产生转变？并解释来由．（二）.截长补短1.如图,ABC ∆中,AB=2AC,AD 等分BAC ∠,且AD=BD,求证：CD ⊥ACCDBADCBAP 21DCBAPQCB A2：如图,AC ∥BD,EA,EB 分离等分∠CAB,∠DBA,CD 过点E,求证;AB ＝AC+BD3：如图,已知在ABC 内,060BAC ∠=,040C ∠=,P,Q 分离在BC,CA上,并且AP,BQ 分离是BAC ∠,ABC ∠的角等分线.求证：BQ+AQ=AB+BP4：如图,在四边形ABCD 中,BC ＞BA,AD ＝CD,BD 等分ABC ∠, 求证：0180=∠+∠C A5:如图在△ABC 中,AB ＞AC,∠1＝∠2,P 为AD 上随意率性一点,求证;AB-AC ＞PB-PC中考应用（三）.平移变换1.AD 为△ABC 的角等分线,直线MN ⊥AD 于A.E 为MN 上一点,△ABC 周长记为A P ,△EBC 周长记为B P .求证B P ＞A P .2：如图,在△ABC 的边上取两点D.E,且BD=CE,求证：AB+AC>ADCBE D CB A（四）.借助角等分线造全等1：如图,已知在△ABC 中,∠B=60°,△ABC 的角等分线AD,CE 订交于点O,求证：OE=OD2：如图,△ABC 中,AD 等分∠BAC,DG ⊥BC 且等分BC,DE ⊥E,DF ⊥AC 于F. （1）解释BE=CF 的来由;（2）假如AB=a ,AC=b AE.BE 的长.中考应用如图①,OP 是∠MON 的等分线,请你应用该图形画一对以OP 地点直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的办法,解答下列问题：（1）如图②,在△ABC 中,∠ACB 是直角,∠B=60°,AD.CE 分离是∠BAC.∠BCA 的等分线,AD.CE 订交于点F.请你断定并写出FE 与FD 之间的数目关系;（2）如图③,在△ABC 中,假如∠ACB 不是直角,而(1)中的其它前提不变,请问,你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立,请证实;若不成立,请解释来由.（五）.扭转1：正方形ABCD 中,E 为BC 上的一点,F 为CD 上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF 的度数. EDGFCBA(第23题图) O P AMNEB C DF A CEFBD图①图②图③NMEFACBA（1） 当MDN ∠绕点D 迁移转变时,求证DE=DF. （2）若AB=2,求四边形DECF 的面积.3.如图,ABC ∆是边长为3的等边三角形,BDC ∆是等腰三角形,且0120BDC ∠=,以D 为极点做一个060角,使其双方分离交AB 于点M,交AC 于点N,衔接MN,则AMN ∆的周长为;NMA中考应用 1.已知四边形ABCD中,AB AD ⊥,BC CD ⊥,AB BC =,120ABC =∠,60MBN =∠,MBN ∠绕B 点扭转,它的双方分离交AD DC ，（或它们的延伸线）于E F ，．当MBN ∠绕B 点扭转到AE CF =时（如图1）,易证AE CF EF +=．当MBN ∠绕B 点扭转到AE CF ≠时,在图2和图3这两种情形下,上述结论是否成立？若成立,请赐与证实;若不成立,线段AE CF ，,EF 又有如何的数目关系？2.已知:PA=2,PB=4,以AB 为一边作正方形ABCD,使P.D 两点落在直线AB 的两侧. (1)如图,当∠APB=45°时,求AB 及PD 的长; (2)当∠APB 变更,且其它前提不变时,求PD 的最大值,及响应∠APB 的大小.3.在等边ABC ∆的双方AB.AC 地点直线上分离有两点M.N,D为ABC外一点,且︒=∠60MDN ,︒=∠120BDC ,BD=DC. 探讨：当M.N 分（图1） AC D EF MN （图2） ABC D EF MN （图3） ABC D E F M N离在直线AB.AC 上移动时,BM.NC.MN 之间的数目关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．图1 图2 图3（I ）如图1,当点M.N 边AB.AC 上,且DM=DN 时,BM.NC.MN 之间的数目关系是;此时=LQ ; （II ）如图2,点M.N 边AB.AC 上,且当DM ≠DN 时,猜测（I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜测并加以证实;（III ）如图3,当M.N 分离在边AB.CA 的延伸线上时, 若AN=x ,则Q=（用x .L 暗示）．圆中作帮助线的经常应用办法（1）作弦心距,以便当用弦心距与弧.弦之间的关系与垂径定理.（2）若标题中有“弦的中点”和“弧的中点”前提时,一般衔接中点和圆心,应用垂径定理的推论得出成果.（3）若标题中有“直径”这一前提,可恰当拔取圆周上的点,贯穿连接此点与直径端点得到90度的角或直角三角形.（4）贯穿连接同弧或等弧的圆周角.圆心角,以得到等角.（5）若题中有与半径（或直径）垂直的线段,如图1,圆O 中,BD ⊥OA 于D,经常是：①如图1（上）延伸BD 交圆于C,应用垂径定理.②如图1（下）延伸AO 交圆于E,贯穿连接BE,BA,得Rt △ABE.图1（上）图1（下）（6）若标题中有“切线”前提时,一般是：对切线引过切点的半径,（7）若标题中有“两圆相切”（内切或外切）,往往过切点作两圆的切线或作出它们的连心线（连心线过切点）以沟通两圆中有关的角的相等关系.（8）若标题中有“两圆订交”的前提,经常作两圆的公共弦,使之得到同弧上的圆周角或组成圆内接四边形解决,有时还引两连心线以得到成果.（9）有些问题可以先证实四点共圆,借助于帮助圆中角之间的等量关系去证实.（10）对于圆的内接正多边形的问题,往往添作边心距,抓住一个直角三角形去解决.例题1：如图,在圆O中,B为的中点,BD为AB的延伸线,∠OAB=500,求∠CBD的度数.1例题2:如图3,在圆O中,弦AB.CD订交于点P,求证：∠APD的度数=2（弧AD+弧BC）的度数.一.造直角三角形法1.组成Rt△,常衔接半径例1. 过⊙O内一点M ,最长弦AB = 26cm,最短弦CD = 10cm ,求AM长;2.遇有直径,常作直径上的圆周角例2. AB是⊙O的直径,AC切⊙O于A,CB交⊙O于D,过D作⊙O的切线,交AC于E.求证:CE = AE;3.遇有切线,常作过切点的半径例3 .割线AB交⊙O于C.D,且AC=BD,AE切⊙O于E,BF切⊙O于F.求证:∠OAE = ∠OBF;4.遇有公切线,常结构Rt△(斜边长为圆心距,一向角边为两半径的差,另一向角边为公切线长) 例4 .小⊙O1与大⊙O2外切于点A,外公切线BC.DE分离和⊙O1.⊙O2切于点B.C和D.E,并订交于P,∠P = 60°.ACO 1P求证：⊙O1与⊙O2的半径之比为1：3; 5．正多边形相干盘算常结构Rt △例5.⊙O 的半径为6,求其内接正方形ABCD 与内接正六边形AEFCGH 的公共部分的面积. 二.欲用垂径定理常作弦的垂线段例6. AB 是⊙O 的直径,CD 是弦,AE ⊥CD 于E,BF ⊥CD 于F.(1)求证:EC = DF; (2)若AE = 2,CD=BF=6,求⊙O 的面积;三.转换割线与弦订交的角,常组成圆的内接四边形例7. AB 是⊙O 直径,弦CD ⊥AB,M 是AC 上一点,AM 延伸线交DC 延伸线于F. 求证: ∠F = ∠ACM; 四.切线的分解应用1．已知过圆上的点,常_________________例8.如图,已知：⊙O1与⊙O2外切于P,AC 是过P 点的割线交⊙O1于A,交⊙O2于C,过点O1的直线AB ⊥BC 于B.求证：BC 与⊙O2相切.例9.如图,AB 是⊙O 的直径,AE 等分∠BAF 交⊙O 于E,过E 点作直线与AF 垂直交AF 延伸线于D 点,且交AB 于C 点． 求证：CD 与⊙O 相切于点E ．2.两个前提都没有,常___________________例10.如图,AB 是半圆的直径,AM ⊥MN,BN ⊥MN,假如AM+BN ＝AB,求证: 直线MN 与半圆相切;例11.等腰△ABC 中,AB=AC,以底边中点D 为圆心的圆切AB 边于E 点. 求证:AC 与⊙D 相切;例12．菱形ABCD 两对角线交于点O,⊙O 与AB 相切. 求证：⊙O 也与其他三边都相切; 五.两圆相干题型1．两圆订交作_____________________CEB例13.⊙O1与⊙O2订交于A.B,过A点作直线交⊙O1于C点.交⊙O2于D点,过B点作直线交⊙O1于E点.交⊙O2于F点. 求证:CE∥DF;例14. ⊙O1与⊙O2外切于点P,过P点的直线分离交⊙O1与⊙O2于A.B两点,AC切⊙O1于A点,BC交⊙O2于D点.求证：∠BAC = ∠BDP;3．两圆或三圆相切作_________________例15.以AB=6为直径作半⊙O,再分离以OA.OB为直径在半⊙O内作半⊙O1与半⊙O2,又⊙O3与三个半圆两两相切.求⊙O3的半径;4．一圆过另一圆的圆心,作____________例16.两个等圆⊙O1与⊙O2订交于A.B两点,且⊙O1过点O2,过B点作直线交⊙O1于C点.交⊙O2于D点. 求证：△ACD是等边三角形;六.凋谢性标题例17．已知：如图,以ABC△的边AB为直径的O交边AC于点D,且过点D的切线DE 等分边BC．（1）BC与O是否相切？请解释来由;（2）当ABC△知足什么前提时,以点O,B,E,D为极点的四边形是平行四边形？并解释来由．新文章哦刘项本来不念书(魏伯河)高考恢欢欣若干好多愁()万宁调研（二）——平)若何引诱学生"启齿说" (梁珠)(☆无泪￠泪痕)上海是如何取得高考自立权的()教授教养拾萃（一）(文昌市会文中间小学华春雨)四边形帮助线做法一、和平行四边形有关的帮助线作法1．应用一组对边平行且相等结构平行四边形例1 如图1,已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点,四边形OCDE是平行四边CEBA（第23题）形.求证:OE与AD互相等分.2．应用两组对边平行结构平行四边形例2 如图2,在△ABC中,E.F为AB上两点,AE=BF,ED//AC,FG//AC交BC分离为D,G.求证:ED+FG=AC.3．应用对角线互相等分结构平行四边形例3 如图3,已知AD是△ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.求证BF=AC.二.和菱形有关的帮助线的作法和菱形有关的帮助线的作法主如果衔接菱形的对角线,借助菱形的剖断定理或性质定定懂得决问题.例4 如图5,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC的等分线交BC于点D,E是AB上一点,且AE=AC,EF//BC交AD于点F,求证：四边形CDEF是菱形.例5如图6,四边形ABCD是菱形,E为边AB上一个定点,F是AC上一个动点,求证EF+BF的最小值等于DE长.3．与矩形有帮助线作法和矩形有关的题型一般有两种：（1）盘算型题,一般经由过程作帮助线结构直角三角形借助勾股定懂得决问题;（2）证实或摸索题,一般贯穿连接矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题和矩形有关的试题的帮助线的作法较少.例6 如图7,已知矩形ABCD 内一点,PA=3,PB=4,PC=5.求PD 的长.例7如图8,过正方形ABCD 的极点B 作BE//AC,且AE=AC,又CF//AE.求证：∠BCF=21∠AEB.五、与梯形有关的帮助线的作法和梯形有关的帮助线的作法是较多的.重要涉及以下几种类型：（1）作一腰的平行线结构平行四边形和特别三角形;（2）作梯形的高,结构矩形和直角三角形;（3）作一对角线的平行线,结构直角三角形和平行四边形;（4）延伸两腰组成三角形;（5）作两腰的平行线等. 例8 已知,如图9,在梯形ABCD 中,AD//BC,AB=AC,∠BAC=90°,BD=BC,BD 交AC 于点0.求证：CO=CD.例9 如图10,在等腰梯形ABCD 中,AD//BC,AC ⊥BD,AD+BC=10,DE ⊥BC 于E.求DE 的长. 六、和中位线有关帮助线的作法例10 如图11,在四边形ABCD 中,AC 于BD 交于点0,AC=BD,E.F 分离是AB.CD 中点,EF 分离交AC.BD 于点H.G .求证：OG=OH.中考数学经典几何证实题1. （1）如图1所示,在四边形ABCD 中,AC =BD ,AC 与BD 订交于点O ,E F 、分离是AD BC 、的中点,联络EF ,分离交AC .BD 于点M N 、,试断定OMN △的外形,并加以证实;（2）如图2,在四边形ABCD 中,若AB CD =,E F 、分离是AD BC 、的中点,联络FE 并延伸,分离与BA CD 、的延伸线交于点M N 、,请在图2中绘图并不雅察,图中是否有相等的角,如有,请直接写出结论：;（3）如图3,在ABC △中,AC AB >,点D 在AC 上,AB CD =,E F 、分离是AD BC 、的中点,联络FE 并延伸,与BA 的延伸线交于点M ,若45FEC ∠=︒,断定点M 与以AD 为直径的圆的地位关系,并扼要解释来由． 演习1.为了让州城居平易近有更多休闲和娱乐的地方,当局又新建了几处广场,工人师傅在铺设地面时,预备选用统一种正多边形地砖.现有下面几种外形的正多边形地砖平面镶嵌的是（）A. 正三角形B. 正方形C. 正五边形D. 正六边形2.矩形纸片ABCD 中,AB=4,AD=3,折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合,折痕为DG ,则AG 的长为（） A ．1B ．34C ．23D ．2 3.把正方形ABCD 绕着点A ,按顺时针偏向扭转得到正方形AEFG ,边FG 与BC 交于点H（如图）．试问线段HG 与线段HB 相等吗？请先不雅察猜测,然后再证实你的猜测． 二、与梯形有关的帮助线的作法和梯形有关的帮助线的作法是较多的.重要涉及以下几种类型：（1）作一腰的平行线结构平图 1 图2 图3EDC B F ED AAB ACDEF M NO D CABGH F E行四边形和特别三角形;（2）作梯形的高,结构矩形和直角三角形;（3）作一对角线的平行线,结构直角三角形和平行四边形;（4）延伸两腰组成三角形;（5）作两腰的平行线等.例1 已知,如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AB=AC,∠BAC=90°,BD=BC,BD交AC于点0.求证：CO=CD.例2 如图,在等腰梯形ABCD中,AD//BC,AC⊥BD,AD+BC=10,DE⊥BC于E.求DE的长.三、和中位线有关帮助线的作法例3 如图,在四边形ABCD中,AC于BD交于点0,AC=BD,E.F分离是AB.CD中点,EF分离交AC.BD于点H.G.求证：OG=OH.。
初中数学证明题常见辅助线作法规律之欧阳美创编
初中数学证明题常见辅助线作法记忆歌诀及几何规律汇编人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。
初中几何常见辅助线作法歌诀人说几何很困难，难点就在辅助线。
辅助线，如何添？把握定理和概念。
还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。
三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
欧阳美创编2021.01.01 欧阳美创编角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
四边形平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形里面作高线，平移一腰试试看。
平行移动对角线，补成三角形常见。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
圆半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上若有一切线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。
欧阳美创编2021.01.01 欧阳美创编要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内接圆，内角平分线梦圆。
如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
内外相切的两圆，经过切点公切线。
若是添上连心线，切点肯定在上面。
要作等角添个圆，证明题目少困难。
辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
假如图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。
解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。
分析综合方法选，困难再多也会减。
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
欧阳美创编2021.01.01 欧阳美创编线、角、相交线、平行线规律1.如果平面上有n(n≥2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出12n(n－1)条.规律 2.平面上的n条直线最多可把平面分成〔12n(n+1)+1〕个部分.规律3.如果一条直线上有n个点，那么在这个图形中共有线段的条数为12n(n－1)条.规律4.线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半.例：如图，B在线段AC上，M是AB的中点，N是BC 的中点.求证：MN =12AC证明：∵M是AB的中点，N是BC的中点∴AM = BM =12AB ,BN = CN =12BC∴MN = MB+BN =12AB +12BC = 12(AB + BC)NM CBA欧阳美创编2021.01.01 欧阳美创编欧阳美创编 2021.01.01 欧阳美创编∴MN =12AC练习：1.如图，点C 是线段AB 上的一点，M 是线段BC 的中点.求证：AM = 12(AB + BC) 2.如图，点B 在线段AC 上，M 是AB 的中点，N 是AC 的中点.求证：MN = 12BC 3.如图，点B 在线段AC 上，N 是AC 的中点，M 是BC 的中点.求证：MN =12AB 规律5.有公共端点的n 条射线所构成的交点的个数一共有12n(n －1)个.规律6.如果平面内有n 条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n （n －1）个.规律7. 如果平面内有n 条直线都经过同一点，则可构成n （n －1）对对顶角.M C B AN M C B AN C B A欧阳美创编 2021.01.01 欧阳美创编规律8.平面上若有n （n ≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出16n(n －1)(n －2）个. 规律9.互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90o.规律10.平面上有n 条直线相交，最多交点的个数为12n(n －1)个.规律11.互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半.规律12.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直.例：如图，以下三种情况请同学们自己证明. 规律13.已知AB∥DE,如图⑴～⑹,规律如下：规律14.成“8”字形的两个三角形的一对内角平分1()∠ABC+∠BCD+∠CDE=360︒E D C B A线相交所成的角等于另两个内角和的一半.例：已知，BE、DE分别平分∠ABC和∠ADC，若∠A = 45o,∠C = 55o,求∠E的度数.解：∠A＋∠ABE =∠E＋∠ADE ①∠C＋∠CDE =∠E＋∠CBE ②①＋②得∠A＋∠ABE＋∠C＋∠CDE =∠E＋∠ADE＋∠E＋∠CBE∵BE平分∠ABC、DE平分∠ADC，∴∠ABE =∠CBE，∠CDE =∠A DE∴2∠E =∠A＋∠C∴∠E = 12(∠A＋∠C)∵∠A =45o,∠C =55o,∴∠E =50o三角形部分规律15．在利用三角形三边关系证明线段不等关系N MED BCA欧阳美创编2021.01.01 欧阳美创编欧阳美创编 2021.01.01 欧阳美创编时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题.例：如图，已知D 、E 为△ABC 内两点，求证：AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋CE.证法（一）：将DE 向两边延长，分别交AB 、AC 于M 、N在△AMN 中， AM ＋ AN ＞MD ＋DE＋NE ①在△BDM中，MB ＋MD ＞BD ②在△CEN中，CN ＋NE ＞CE③①＋②＋③得AM ＋AN ＋MB ＋MD ＋CN ＋NE ＞MD ＋DE ＋NE＋BD ＋CE∴AB＋AC ＞BD ＋DE ＋CEF G N M E D B A证法（二）延长BD交AC于F，延长CE交BF于G,在△ABF和△GFC和△GDE中有，①AB＋AF＞BD＋DG＋GF②GF＋FC＞GE＋CE③DG＋GE＞DE∴①＋②＋③有AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE∴AB＋AC＞BD＋DE＋CE注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题.练习：已知：如图P为△ABC内任一点，(AB＋BC＋AC)＜PA＋PB＋PC＜AB＋BC 求证：12＋AC规律16．三角形的一个内角平分线与一个外角平分欧阳美创编2021.01.01 欧阳美创编欧阳美创编 2021.01.01 欧阳美创编线相交所成的锐角，等于第三个内角的一半.例：如图，已知BD 为△ABC 的角平分线，CD 为△ABC的外角∠ACE 的平分线，它与BD 的延长线交于D.求证：∠A = 2∠D证明：∵BD、CD 分别是∠ABC、∠ACE的平分线∴∠ACE =2∠1, ∠ABC =2∠2∵∠A = ∠ACE －∠ABC∴∠A = 2∠1－2∠2又∵∠D =∠1－∠2∴∠A =2∠D规律17. 三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于90o 加上第三个内角的一半.例：如图，BD 、CD 分别平分∠ABC、∠ACB， 求证：∠BDC = 90o＋12∠A证明：∵BD、CD 分别平分∠ABC、∠ACB21E DB A欧阳美创编 2021.01.01 欧阳美创编∴∠A＋2∠1＋2∠2 = 180o∴2(∠1＋∠2)= 180o－∠A①∵∠BDC = 180o－(∠1＋∠2)∴(∠1＋∠2) = 180o－∠BDC②把②式代入①式得2(180o －∠BDC)= 180o－∠A即：360o －2∠BDC =180o－∠A∴2∠BDC = 180o＋∠A ∴∠BDC = 90o＋12∠A 规律18. 三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于90o 减去第三个内角的一半.例：如图，BD 、CD 分别平分∠EBC、∠FCB， 求证：∠BDC = 90o－12∠A 证明：∵BD、CD 分别平分∠EBC、∠FCB∴∠EBC = 2∠1、∠FCB = 2∠2∴2∠1 =∠A＋∠ACB ①2∠2 =∠A＋∠ABC ②①＋②得D CB A 21欧阳美创编 2021.01.01 欧阳美创编2（∠1＋∠2）= ∠A＋∠ABC＋∠ACB＋∠A2（∠1＋∠2）= 180o ＋∠A∴（∠1＋∠2）= 90o ＋12∠A ∵∠BDC = 180o －(∠1＋∠2)∴∠BDC = 180o －(90o ＋12∠A) ∴∠BDC = 90o－12∠A规律19. 从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个角差（的绝对值）的一半.例：已知，如图，在△ABC 中，∠C＞∠B， AD⊥BC于D ， AE 平分∠BAC. 求证：∠EAD = 12(∠C－∠B)证明：∵AE 平分∠BAC ∴∠BAE =∠CAE =12∠BAC ∵∠BAC =180o－(∠B＋∠C)21F E D C B A D C B A欧阳美创编 2021.01.01 欧阳美创编∴∠EAC = 12〔180o －(∠B＋∠C)〕∵AD⊥BC∴∠DAC = 90o－∠C∵∠EAD = ∠EAC－∠DAC ∴∠EAD = 12〔180o －(∠B＋∠C)〕－(90o－∠C)= 90o －12(∠B＋∠C)－90o ＋∠C = 12(∠C－∠B) 如果把AD 平移可以得到如下两图，FD⊥BC 其它条件不变，结论为∠EFD = 12(∠C－∠B).注意：同学们在学习几何时，可以把自己证完的题进行适当变换，从而使自己通过解一道题掌握一类题，提高自己举一反三、灵活应变的能力.A B C D EF F C B A欧阳美创编 2021.01.01 欧阳美创编规律20.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题.例：已知D 为△ABC 内任一点，求证：∠BDC＞∠BAC证法（一）：延长BD 交AC 于E ，∵∠BDC 是△EDC 的外角，∴∠BDC＞∠DEC同理：∠DEC＞∠BAC∴∠BDC＞∠BAC证法（二）：连结AD ，并延长交BC 于F∵∠BDF 是△ABD 的外角，∴∠BDF＞∠BAD同理∠CDF＞∠CAD∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CADF A B C D E D C B A欧阳美创编 2021.01.01 欧阳美创编即：∠BDC＞∠BAC规律21.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE ＋CF ＞EF证明：在DA 上截取DN = DB ，连结NE 、NF ，则DN = DC在△BDE 和△NDE 中，DN = DB∠1 = ∠2ED = ED∴△BDE≌△NDE∴BE = NE同理可证：CF = NF在△EFN 中，EN ＋FN ＞EF∴BE＋CF ＞EF规律22. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍延4321N F E D C B A长此线段构造全等三角形.例：已知，如图，AD为△ABC的中线，且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE＋CF＞EF证明：延长ED到M，使DM = DE，连结CM、FM △BDE和△CDM中，BD = CD∠1 = ∠5ED = MD∴△BDE≌△CDM∴CM = BE又∵∠1 = ∠2，∠3 = ∠4∠1＋∠2＋∠3 ＋∠4 = 180o∴∠3 ＋∠2 = 90o即∠EDF = 90o∴∠FDM = ∠EDF = 90o△EDF和△MDF中ED = MD∠FDM = ∠EDFMABDE F12345欧阳美创编2021.01.01 欧阳美创编DF = DF∴△EDF≌△MDF∴E F = MF∵在△CMF中，CF＋CM ＞MFBE＋CF＞EF（此题也可加倍FD，证法同上）规律23. 在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形.例：已知，如图，AD为△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD证明：延长AD至E，使DE = AD，连结BE∵AD为△ABC的中线∴BD = CD在△ACD和△EBD中BD = CD∠1 = ∠2AD = ED∴△ACD≌△EBD12DBA欧阳美创编2021.01.01 欧阳美创编欧阳美创编 2021.01.01 欧阳美创编∵△ABE 中有AB ＋BE ＞AE∴AB＋AC ＞2AD规律24.截长补短作辅助线的方法截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等.这两种方法统称截长补短法.当已知或求证中涉及到线段a 、b 、c 、d 有下列情况之一时用此种方法：①a＞b②a±b = c③a±b = c±d例：已知，如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1 = ∠2，P 为AD 上任一点，求证：AB －AC ＞PB －PC证明：⑴截长法：在AB 上截取AN = AC ，连结PN在△APN 和△APC中， 12A欧阳美创编 2021.01.01 欧阳美创编AN = AC∠1 = ∠2AP = AP∴△APN≌△APC∴PC = PN∵△BP N 中有PB －PC ＜BN∴PB－PC ＜AB －AC⑵补短法：延长AC 至M ，使AM = AB ，连结PM在△ABP 和△AMP 中AB = AM∠1 = ∠2AP = AP∴△ABP≌△AMP∴PB = PM又∵在△PCM 中有CM ＞PM －PC∴AB－AC ＞PB －PC 练习：1.已知，在△ABC 中，∠B = 60o,AD、AB C D 21PE DCE是△ABC的角平分线,并且它们交于点O求证：AC = AE＋CD2.已知，如图，AB∥CD∠1 = ∠2 ,∠3 = ∠4.求证：BC = AB＋CD规律25.证明两条线段相等的步骤：①观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。
初中数学常见辅助线做法之欧阳美创编
初中数学常用辅助线一．添辅助线有二种情况：1按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
举例如下：（1）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线（2）等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
（4）直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
（5）三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
（6）全等三角形：全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。
当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线*（7）相似三角形：相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时（中点可看成比为1）可添加平行线得平行线型相似三角形。
初中数学几何辅助线作法小结之欧阳科创编
几何辅助线作法小结三角形中常见辅助线的作法：①延长中线构造全等三角形；②利用翻折，构造全等三角形；③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形。
常见辅助线的作法有以下几种：1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”D CB AED F CB A 5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．（一）、倍长中线（线段）造全等1：已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________.2：如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE⊥DF， D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小.3：如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.中考应用以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，90,BAD CAE ∠=∠=︒连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．（1）如图①当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是，线段AM 与DE 的数量关系是；CB A （2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．（二）、截长补短1.如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD⊥AC2：如图，AC∥BD，EA,EB 分别平分∠CAB,∠DBA，CD 过点E ，求证;AB ＝AC+BD3：如图，已知在ABC 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠BQ+AQ=AB+BP 4：如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠，求证：0180=∠+∠C A 5:如图在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC中考应用（三）、平移变换1.AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN 上一点，△ABC周长记为A P，△EBC周长记为B P.求证B P＞A P.2：如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD（四）、借助角平分线造全等1：如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD2：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的长.中考应用如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。
初中数学常见辅助线做法之欧阳术创编
初中数学常用辅助线一．添辅助线有二种情况：1按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
举例如下：（1）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线（2）等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
（4）直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
（5）三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
（6）全等三角形：全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。
当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线*（7）相似三角形：相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时（中点可看成比为1）可添加平行线得平行线型相似三角形。
初中几何辅助线大全之欧阳德创编
初中数学辅助线的添加浅谈人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。
一．添辅助线有二种情况：1按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
举例如下：（1）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线（2）等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
（4）直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
（5）三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
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几何辅助线作法小结三角形中常见辅助线的作法：①延长中线构造全等三角形；②利用翻折，构造全等三角形；③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形。
常见辅助线的作法有以下几种：1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”D CB AE DF CB A5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．（一）、倍长中线（线段）造全等1：已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________.2：如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ， D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小.3：如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.中考应用以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，90,BAD CAE ∠=∠=︒连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．（1）如图①当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是，线段AM 与DE 的数量关系是；CB A （2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．（二）、截长补短1.如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC2：如图，AC ∥BD ，EA,EB 分别平分∠CAB,∠DBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AC+BD3：如图，已知在ABC 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠BQ+AQ=AB+BP 4：如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠，求证：0180=∠+∠C A 5:如图在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2P 为AD 上任意一点，求证;AB-AC ＞PB-PC中考应用（三）、平移变换1.AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为A P，△EBC周长记为B P.求证B P＞A P.2：如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD（四）、借助角平分线造全等1：如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD2：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的长.中考应用如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。
请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；A F E D CB A （2）如图③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
（五）、旋转 1：正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE+DF=EF ，求∠EAF 的度数.2：D 为等腰Rt ABC ∆斜边AB 的中点，DM ⊥DN,DM,DN 分别交BC,CA 于点E,F 。
（1）当MDN ∠绕点D 转动时，求证（2） 若AB=2，求四边形DECF 3.如图，ABC ∆是边长为3的等边三角形，BDC ∆是等腰三角形，且0120BDC ∠=，以个060角，使其两边分别交AB 于点M ，交接MN ，则AMN ∆的周长为；中考应用1、已知四边形ABCD 中，AB AD ⊥，BC CD ⊥，AB BC =，120ABC =∠，60MBN =∠，MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交AD DC ，（或它们的延长线）于E F ，．当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF =时（如图1），易证AE CF EF +=．(第23题图) O P AMN E B C D F A E F BD图① 图②图③当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF ≠时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE CF ，，EF 又有怎样的数量关系？2,PB=4,以AB 为一边作正方形ABCD,使P 、AB 的两侧. (1)如图,当∠APB=45°时,求AB 及PD 的长; (2)当∠APB 变化,且其它条件不变时,求PD 的最大值,及相应∠APB 的大小.3、在等边ABC ∆的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为ABC 外一点，且︒=∠60MDN ,︒=∠120BDC ,BD=DC. 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．图 1 图 2图3（I ）如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是；此时=L Q；（II ）如图2，点M 、N 边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想（I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （图1） （图2）A B C D E FM N （图3） A B C D E F M N（III）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=x，则Q=（用x、L表示）．圆中作辅助线的常用方法（1）作弦心距，以便利用弦心距与弧、弦之间的关系与垂径定理。
（2）若题目中有“弦的中点”和“弧的中点”条件时，一般连接中点和圆心，利用垂径定理的推论得出结果。
（3）若题目中有“直径”这一条件，可适当选取圆周上的点，连结此点与直径端点得到90度的角或直角三角形。
（4）连结同弧或等弧的圆周角、圆心角，以得到等角。
（5）若题中有与半径（或直径）垂直的线段，如图1，圆O中，BD⊥OA于D，经常是：①如图1（上）延长BD交圆于C，利用垂径定理。
②如图1（下）延长AO交圆于E，连结BE，BA，得Rt△ABE。
图1（上）图1（下）（6）若题目中有“切线”条件时，一般是：对切线引过切点的半径，（7）若题目中有“两圆相切”（内切或外切），往往过切点作两圆的切线或作出它们的连心线（连心线过切点）以沟通两圆中有关的角的相等关系。
（8）若题目中有“两圆相交”的条件，经常作两圆的公共弦，使之得到同弧上的圆周角或构成圆内接四边形解决，有时还引两连心线以得到结果。
（9）有些问题可以先证明四点共圆，借助于辅助圆中角之间的等量关系去证明。
（10）对于圆的内接正多边形的问题，往往添作边心距，抓住一个直角三角形去解决。
例题1：如图，在圆O中，B为的中点，BD为AB的延长线，∠OAB=500，求∠CBD的度数。
例题2:如图3,在圆O中,弦AB、CD相交于点P，1（弧AD+弧BC）的度数。
求证：∠APD的度数=2一、造直角三角形法1.构成Rt△,常连接半径例1. 过⊙O内一点M ,最长弦AB = 26cm,最短弦CD = 10cm ,求AM长;2.遇有直径,常作直径上的圆周角例2. AB是⊙O的直径,AC切⊙O于A,CB交⊙O于D,过D作⊙O的切线,交AC于E.求证:CE = AE;3.遇有切线,常作过切点的半径例3 .割线AB交⊙O于C、D,且AC=BD,AE切⊙O于E,BF 切⊙O于F.求证:∠OAE = ∠OBF;A C O 1P 4.遇有公切线,常构造Rt △(斜边长为圆心距,一直角边为两半径的差,另一直角边为公切线长)例4 .小⊙O1与大⊙O2外切于点A,外公切线BC 、DE 分别和⊙O1、⊙O2切于点B 、C 和D 、E ，并相交于P ，∠P = 60°。
求证：⊙O1与⊙O2的半径之比为1：3；5．正多边形相关计算常构造Rt △例5.⊙O 的半径为6,求其内接正方形ABCD 与内接正六边形AEFCGH 的公共部分的面积.二、欲用垂径定理常作弦的垂线段例6. AB 是⊙O 的直径,CD 是弦,AE ⊥CD 于E,BF ⊥CD 于F.(1)求证:EC = DF;(2)若AE = 2,CD=BF=6,求⊙O 的面积;三、转换割线与弦相交的角，常构成圆的内接四边形 例7. AB 是⊙O 直径,弦CD ⊥AB,M 是AC 上一点,AM 延长线交DC 延长线于F.求证: ∠F = ∠ACM;四、切线的综合运用1．已知过圆上的点，常_________________例8.如图，已知：⊙O1与⊙O2外切于P ，AC 是过P 点的割线交⊙O1于A ，交⊙O2于C ，过点O1的直线AB ⊥BC 于B.求证：BC 与⊙O2相切.例9.如图，AB 是⊙O 的直径，AE 平分∠BAF 交⊙O 于E ，过E点作直线与AF垂直交AF延长线于D点，且交AB于C点．求证：CD与⊙O相切于点E．2.两个条件都没有,常___________________例10.如图，AB是半圆的直径，AM⊥MN，BN⊥MN，如果AM+BN＝AB，求证: 直线MN与半圆相切；例11.等腰△ABC中,AB=AC,以底边中点D为圆心的圆切AB边于E点. 求证:AC与⊙D相切;例12．菱形ABCD两对角线交于点O，⊙O与AB相切。
求证：⊙O也与其他三边都相切；五、两圆相关题型1．两圆相交作_____________________例13.⊙O1与⊙O2相交于A、B，过A点作直线交⊙O1于C点、交⊙O2于D点，过B点作直线交⊙O1于E点、交⊙O2于F点. 求证:CE∥DF;2.相切两圆作________________________例14. ⊙O1与⊙O2外切于点P,过P点的直线分别交⊙O1与⊙O2于A、B两点，AC切⊙O1于A点，BC交⊙O2于D点。