标准直齿圆柱齿轮传动的强度计算
标准直齿圆柱齿轮传动的强度计算
标准直齿圆柱齿轮传动的强度计算一、轮齿的受力分析图6-6所示为齿轮啮合传动时主动齿轮的受力情况，不考虑摩擦力时，轮齿所受总作用力f n将沿着啮合线方向，f n称为法向力。
f n在分度圆上可分解为切于分度圆的切向力f t和沿半径方向并指向轮心的径向力f r 。
圆周力f t=n径向力 f r= f t tg n (6-1)法向力 f n=n式中:d1为主动轮分度圆直径,mm；为分度圆压力角，标准齿轮=20°。
设计时可根据主动轮传递的功率p1（kw）及转速n1(r/min)，由下式求主动轮力矩t1=9.55×106×（n mm）（6-2）根据作用力与反作用力原理，f t1=-f t2，f t1是主动轮上的工作阻力，故其方向与主动轮的转向相反，f t2是从动轮上的驱动力，其方向与从动轮的转向相同。
同理，f r1=-f r2，其方向指向各自的轮心。
二、载荷与载荷系数由上述求得的法向力f n 为理想状况下的名义载荷。
由于各种因素的影响，齿轮工作时实际所承受的载荷通常大于名义载荷，因此，在强度计算中，用载荷系数k 考虑各种影响载荷的因素，以计算载荷f nc 代替名义载荷f n 。
其计算公式为(6-3)式中：k 为载荷系数，见表6-3。
表6-3 载荷系数k二、齿根弯曲疲劳强度计算齿根处的弯曲强度最弱。
计算时设全部载荷由一对齿承担，且载荷作用于齿顶，将轮齿看作悬臂梁，其危险截面可用30o 切线法确定，即作与轮齿对称中心线成30o 夹角并与齿根过渡曲线相切的两条直线，连接两切点的截面即为齿根的危险截面，如图6-7所示。
运用材料力学的方法，可得轮齿弯曲强度校核的公式为= ≤或σf =≤（6-4）或由上式得计算模数m的设计公式m≥ (6-5)式中:=b/d1称齿宽系数（b为大齿轮宽度），由表6-4查取；称为齿形系数，由图6-8查取；[]为弯曲许用应力，由式6-8计算。
表6-4齿宽系数=b/d1三、齿面接触疲劳强度计算齿面接触疲劳强度计算是为了防止齿间发生疲劳点蚀的一种计算方法，它的实质是使齿面节线处所产生的最大接触应力小于齿轮的许用接触应力，齿面接触应力的计算公式是以弹性力学中的赫兹公式为依据的，对于渐开线标准直齿圆柱齿轮传动，其齿面接触疲劳强度的校核公式为≤或≤ (6-6)将上式变换得齿面接触疲劳强度的设计公式d1≥ (6-7)式中：“±”分别用于外啮合、内啮合齿轮；z e为齿轮材料弹性系数，见表6-5；z h为节点区域系数，标准直齿轮正确安装时z h =2.5；[σh]为两齿轮中较小的许用接触应力，由式6-9计算；u为齿数比，即大齿轮齿数与小齿轮齿数之比。
15直齿圆柱齿轮传动的强度计算
二、齿轮传动的强度计算
齿轮传动的强度计算是根据轮齿可能出现的失效形式和 设计准则来进行的，由于轮齿的主要失效形式是齿面疲劳点 蚀和轮齿疲劳折断，因此只讨论齿面接触疲劳强度和齿根弯 曲疲劳强度的计算
1.齿面接触疲劳强度计算 1.齿面接触疲劳强度计算
针对齿面点蚀失效进行的 齿面点蚀是因为接触应力过大引起的。 接触应力过大引起的 齿面点蚀是因为接触应力过大引起的。齿轮啮合可看 作是分别以接触处的曲率半径ρ 作是分别以接触处的曲率半径ρl、ρ2为半径的两个圆柱 赫兹应力公式计算 体的接触，其最大接触应力可由赫兹应力公式计算， 体的接触，其最大接触应力可由赫兹应力公式计算，即
10.10 直齿圆柱齿轮传动的强度计算 一、轮齿的受力分析与计算载荷
轮齿的受力分析
以主动轮O1为受力体，受Fn、T1，见右图 主动轮O 为受力体， 可分解为两个相互垂直的力： Fn可分解为两个相互垂直的力： Ft——圆周力 圆周力 Fr——径向力 径向力 根据力的平衡，有：
其中： 其中： 主动轮传递的转矩Ｎ mm Ｔ1 －主动轮传递的转矩Ｎ·mm 主动轮分度圆直径mm; mm;非标准时用节圆直径代替 ｄ1 －主动轮分度圆直径mm;非标准时用节圆直径代替
对于斜齿圆柱齿轮传动从前端面进入啮合到后端面脱离啮合其在啮合线上的长度比直齿圆柱齿轮增加了btg斜齿圆柱齿轮的啮合面斜齿圆柱齿轮传动的重合度端面重合度附加重合度附加重合度是由于齿的倾斜而产生它随齿宽b和的增大而增大这是斜齿轮传动平稳承载能力较高的原因之一当量齿轮及当量齿数在研究斜齿轮法面齿形时可以虚拟一个与斜齿轮的法面齿形相当的直齿轮称这个虚拟的直齿轮为该斜齿的当量齿轮其齿数则称四斜齿圆柱齿轮的当量齿数和最小齿数在进行强度计算和用成形法加工齿轮选择铣刀时必须知道斜齿轮的法面齿形通常用近似的方法来分析做法如图所示过斜齿轮分度圆柱上齿廓的任一点c作齿的法面nn该法面与分度圆柱面的交线为一椭圆椭圆的长半轴为
标准直齿圆柱齿轮传动强度
标准直齿圆柱齿轮传动的强度可以根据以下步骤进行计算：
1.确定齿轮上所受的力。
这包括圆周力（Ft）、径向力（Fr）和法向力
（Fn）。
2.根据圆周力和齿轮的节圆直径（d1），计算出转矩（T1）。
转矩可以用公
式T1 = 2 × Ft × tanα来表示，其中α是啮合角，通常取值为20°。
3.根据转矩和齿宽，计算出弯曲应力。
弯曲应力可以用公式σ= Ft/Wb来表
示，其中Wb是齿宽。
4.根据齿根处的弯曲应力，计算出弯曲疲劳强度系数。
这个系数通常由实验
确定，也可以通过查阅相关设计手册获得。
5.根据弯曲疲劳强度系数和弯曲应力，计算出弯曲疲劳极限。
弯曲疲劳极限
可以用公式σHlim = k × Wb × Ft来表示，其中k是弯曲疲劳强度系数。
6.根据弯曲疲劳极限，计算出安全系数。
安全系数可以用公式H=σHlim/σH
来表示，其中σH是工作应力。
7.根据安全系数和弯曲应力，计算出许用弯曲应力。
许用弯曲应力可以用公
式σH=σHlim/S来表示，其中S是安全系数。
以上是标准直齿圆柱齿轮传动强度的计算步骤，希望能对您有所帮助。
标准直齿圆柱齿轮的传动设计计算
标准直齿圆柱齿轮的传动设计计算：
一.齿轮的受力分析：
圆周力Ft=Ft1=Ft2=2T1/d1=2T2/d2;
径向力Fr=Fr1=Fr2=Ft.tanа;
法向力Fn=Fn1= Fn2=Ft/COSа;式中：T1、Ｔ2为两齿轮的转距，Ｎ．ｍｍ；d1、d2为两齿轮的分度圆直径，mm；а为压力角，а＝20°。
若Ｐ为传递的功率，KW；n1为小齿轮的转速，r/min；可得转矩：T1=9.55*106P/n1.式中T1的单位为N.mm。
二.轮齿的计算载荷：
上式分析的法向力Fn是作用在轮齿上的理想状况下的载荷，称为名义载荷，在强度计算时，需引用载荷系数K（新国标中用使用系数、动载系数、分布系数、分配系数等考虑多种因素的影响，本处为简化计算，仅用载荷系数表示。
）则计算载荷Fnc=KFn；载荷系数K值可根据载荷特性查设计手册表中所得。
三.齿面接触疲劳强度计算：
四.齿面疲劳强度计算的目的是为了防止齿面点蚀失效。
防止齿面点蚀的强度条件为：节点
处的计算接触应力应该小于齿轮材料的许用接触应力，即：σH≤〖σH〗。
齿面最大的计算接触应力，可用赫兹应力公式计算：
式中：σH的单位为Mpa；Fn为作用在轮齿上的法向力，N;b为轮齿的宽度，mm；ρ1，ρ2为两轮齿廓在节点处的曲率半径，mm；μ1，μ2为两轮材料的泊松比；E1、E2为两轮材料的弹性模量，Mpa；正号用于外啮合，负号用于内啮合。
令ZE=
ZE称为齿轮材料的弹性系数，
普通圆柱蜗杆的传动效率η=（100-3.5i）%。
圆柱齿轮传动强度的计算
圆柱齿轮传动的强度计算1 直齿圆柱齿轮传动的强度计算1.齿面接触疲劳强度计算为了保证在预定寿命内齿轮不发生点蚀失效，应进行齿面接触疲劳强度计算。
因此，齿轮接触疲劳强度计算准则为：齿面接触应力σH小于或等于许用接触应力σHP，即σH≤σHP赫兹公式由于直齿轮在节点附近往往是单对齿啮合区，轮齿受力较大，故点蚀首先出现在节点附近。
因此，通常计算节点的接触疲劳强度。
图a表示一对渐开线直齿圆柱齿轮在节点接触的情况。
为了简化计算，用一对轴线平行的圆柱体代替它。
两圆柱的半径ρ1、ρ2分别等于两齿廓在节点处的曲率半径，如图b所示。
由弹性力学可知，当一对轴线平行的圆柱体相接触并受压力作用时，将由线接触变为面接触，其接触面为一狭长矩形，在接触面上产生接触应力，并且最大接触应力位于接触区中线上，其数值为式中σH-接触应力（Mpa）Fn-法向力（N）L-接触线长度（mm）rS-综合曲率半径（mm）；±-正号用于外接触，负号用于内接触ZE-材料弹性系数（），，其中E1、E2分别为两圆柱体材料的弹性模量（MPa）；m1、m2分别为两圆柱体材料的泊松比。
上式表明接触应力应随齿廓上各接触点的综合曲率半径的变化而不同，且靠近节点的齿根处最大（图c、d）。
但为了简化计算，通常控制节点处的接触应力。
节点处的参数（1）综合曲率半径由图可知，，代入rE公式得式中：，称为齿数比。
对减速传动，u=i；对增速传动，u=1/i。
因，则有（2）计算法向力（3）接触线长度L引入重合度系数Ze，令接触线长度将上述参数代入最大接触应力公式得接触疲劳强度计算公式令，称为节点区域系数。
则得(1) 齿面接触疲劳强度的校核公式齿面接触疲劳强度的校核公式为(2) 齿面接触疲劳强度设计公式设齿宽系数，并将代入上式，则得齿面接触疲劳强度的设计公式式中:d1-小齿轮分度圆直径（mm）；ZE-材料弹性系数()，按下表查取；注：泊松比m1＝m2＝0.3Z H-节点区域系数，考虑节点处轮廓曲率对接触应力的影响，可由下左图查取。
10-05 标准直齿圆柱齿轮传动的强度计算
受载分析及应力计算公式
当齿顶受载时，轮齿根部
的应力如图。载荷 pca 对危险 截面产生的应力有弯曲应力和 压应力。 注意：在齿根危险截面处
的压应力仅为弯曲应力的百分
之几，故可忽略。计算时仅考 虑水平分力产生的弯曲应力。
受载分析及应力计算公式
取h = Khm，S = KSm，并将
代入，得：
齿形系数YFa及应力校正系数YFs
YFa是一个无量纲系数，它只与轮齿的齿廓形状有关，而与 齿的大小（模数m）无关。 在实际计算时，还应计入齿根危险截面处的过渡圆角所引 起的应力集中作用以及弯曲应力以外对齿根应力的影响，因此， 引入应力校正系数YSa。 齿根弯曲疲劳强度校核计算公式 ：
齿形系数YFa及应力校正系数YSa 表
齿根弯曲疲劳强度公式
10-5 标准直齿圆柱齿轮传动的强度计算
（1）轮齿的受力分析
（2）齿根弯曲疲劳强度计算
（3）齿面接触疲劳强度计算
（4）齿轮传动的强度计算说明
轮齿的受力分析
• 法向载荷Fn • 圆周力Ft • 径向力Fr
T1——小齿轮传递的转矩，N.mm； d1——小齿轮的节圆直径，对标准齿轮即为分 度圆直径，mm； α——啮合角，对标准齿轮，α=20°。
齿根弯曲疲劳强度校核计算公式 ：
按齿根弯曲疲劳强度设计齿轮的计算公式：
按齿根弯曲疲劳强度设计时，[σ]F1/(YFa1YSa1)或 [σ]F2/(YFa2YSa2)中较小的数值代入设计公式进行计算。
齿宽系数
装置 状况 φd 两支承相对小 齿轮对称布置 0.9-1.4 (1.2-1.9) 两支承相对小齿 轮不对称布置 0.7-1.15 (1.1-1.65) 小齿轮作 悬臂布置 0.4-0.6
直齿圆柱齿轮传动的轮齿弯曲强度计算
直齿圆柱齿轮传动的轮齿弯曲强度计算准则 为了保证在预定寿命内齿轮不发生轮齿断裂失效，应进行轮齿弯曲强度计算。
直齿圆柱齿轮传动的轮齿弯曲强度计算准则为：齿根弯曲应力σF 小于或等于许用弯曲应力[σF ]，即σF ≤[σF ]轮齿弯曲强度计算公式轮齿弯曲强度的验算公式计算弯曲强度时，仍假定全部载荷仅由一对轮齿承担。
显然，当载荷作用于齿顶时，齿根所受的弯曲力矩最大。
图 11-8 齿根危险截面计算时将轮齿看作悬臂梁(如图11-8所示)。
其危险截面可用切线法确定，即作与轮齿对称中心线成夹角并与齿根圆角相切的斜线，而认为两切点连线是危险截面位置(轮齿折断的实际情况与此基本相符)。
危险截面处齿厚为。
法向力Fn 与轮齿对称中心线的垂线的夹角为，Fn 可分解为 使齿根产生弯曲应力，则产生压缩应力。
因后者较小故通常略去不计。
齿根危险截面的弯曲力矩为式中：K 为载荷系数；为弯曲力臂。
危险截面的弯曲截面系数W 为故危险截面的弯曲应力为 3030F s F α1F 2F F h F σ令式中称为齿形系数．．．．。
因和均与模数成正比，故值只与齿形中的尺寸比例有关而与模数无关，对标准齿轮仅决定于齿数。
由此可得轮齿弯曲强度的验算公式Mpa (a)通常两齿轮的齿形系数和并不相同，两齿轮材料的许用弯曲应力[]和[]也不相同，因此应分别验算两个齿轮的弯曲强度。
轮齿弯曲强度设计公式引入齿宽系数，可得轮齿弯曲强度设计公式为mm (b)上式中的负号用于内啮合传动。
内齿轮的齿形系数可参阅有关书籍。
式（a ）和(b)中为小齿轮齿数；的单位为N ·mm ；b 和m 的单位为mm ；和[]的单位为MPa 。
式(b)中的应代入和中的较大者。
算得的模数应圆整为标准模数。
传递动力的齿轮，其模数不宜小于1.5mm 。
26()cos ()cos F F F F h m Y s m αα=F Y F h F s F Y 1112122[]F F F F KTY KTY bd m bm z σσ==≤1F Y 2F Y 1F σ2F σa ba ψ=m ≥1z 1T F σF σ[]F F Y σ11[]F F Y σ22[]F F Y σ在满足弯曲强度的条件下可适当地选取较多的齿数，因齿数增多可使传动平稳；在中心距a 一定时，齿数增多则模数减小，顶圆尺寸也随之减小，有利于节省材料和加工工时。
直齿圆柱齿轮传动强度计算
直齿圆柱齿轮传动的强度计算齿面接触强度计算闭式齿轮传动的主要失效形式之一是齿面点蚀，故需进行齿面接触疲劳强度计算。
齿面的 疲劳点蚀与齿面接触应力有关，齿面的最大接触应力可用赫兹公式计算如下：222121211111E E bF n H μμρρπσ-+-±⋅=式中 Fn 为法向力；b 为两轮齿的接触宽度；E1,E2为两齿轮材料的弹性模量；12,μμ为两齿轮材料的泊松比；12,ρρ为两齿面接触点处的曲率半径；“+”号用于外啮合，“一”号用于内啮合。
前已述及，齿根部分靠近节线处最易发生点蚀，故常取节点处的接触应力为计算依据。
由图11．4，a 可知，节点处的齿廓曲率半径为111sin 2N C d αρ==111sin 2N C d αρ==取传动比i=z 2/z 1≥l ，式中z 2为大齿轮齿数，z 1为小齿轮齿数，则12(1)ad i =±方向相同。
径向力F ，6勺方向由作用点指向轮心。
2.计算载荷上述的法向力Fn 为名义载荷。
理论上Fn 应沿齿宽均匀分布，但由于轴和轴承的变形，传动装置的制造，安装误差等原因，载荷沿齿宽的分布并不是均匀的，因此会出现载荷集中现象。
如图9．29所示，齿轮位置对轴承不对称时，由于轴的弯曲变形齿轮将互相倾斜，这时，轮齿左端载荷增大。
轴和轴承的刚度越小，齿宽B 越宽，载荷集中越严重。
此外，由于各种原动机和工作机特性不同，齿轮制造误差以及轮齿变形等原因，还会引起附加动载荷。
精度越低，圆周速度越高，附加动载荷就越大。
因此，计算齿轮强度时，通常用计算载荷KFn 代替名义载荷Fn ，以考虑载荷集中和附加动载荷的影响。
其中K 为载荷系数，其值可由表9．6查取。
图9．29 载荷集中现象表9.6 载荷系数K9．11．2 载荷计算1．受力分析在图9．30中，当不计齿面间的摩擦力时，作用于主动轮齿上的总压力将垂直于齿面，即为图中法向力芦n 。
芦n 可分解为圆周力F ，和径向力芦r 。
直齿圆柱齿轮传动的弯曲强度计算.
3
2KT1 1 Z E Z H d H
2
mm
2KTY 2KTY 1 FaYSa 1 FaYSa F [ F ] 2 bmd1 bm z1
MPa
硬齿面闭式齿轮传动： 按弯曲强度进行设计，按接触强度校核 :
2 KT1 YFaYsa m . 2 d Z1 [ ]F
hF 6( ) cos F F KFt m bm ( sF ) 2 cos m
∵hF和SF与模数m相关， 故YF与模数m无关。 对于标准齿轮, YFa仅取决于齿数Z，取值见图11-8。
考虑在齿根部有应力集中，引入应力集中系数Ysa，图形11-9
轮齿弯曲强度计算公式：
2KTY 2KTY 1 FaYSa 1 FaYSa F [ F ] 2 bmd1 bm z1
垂直分力 — F2 = FnsinαF
——引起压应力（忽略不计）
危险截面的具体位置在哪？
危险界面的弯曲截面系数：
6 KFn hF cos F 6 KFt hF cos F M F 弯曲应力： 2 2 bsF bsF cos W
2 bSF W 6
M 6 KFt hF cos F YFa –齿形系数 弯曲应力： F 2 bs W F cos
MPa
以b=φd1代入得
2 KT1 YFaYsa . 得设计公式： m 2 d Z1 [ ]F
3
mm
二. 说明
1.一般YFa1 ≠ YFa2， 故[σF1 ] ≠ [σF2]
YFa1YSa1 YFa 2YSa 2 2．计算时取： [ F1 ] [ F 2 ]
较大者．
3．对于传递动力的齿轮模数一般应大于1.5～2mm。 4．对于开式传动，为考虑齿面磨损，可将算得模 数值加大10％～ 15％。
直齿圆柱齿轮传动的齿面接触强度计算赫兹公式
受力变形
载荷集中
制造误差 安装误差
计算齿轮强度时，采用
附加动载荷
(
Fn b
)max
(
Fn b
)min
用计算载荷KFn代替名义载荷Fn以考虑载荷集中和附
加动载荷的影响，K----载荷系数
表11-3 载荷系数K
原动机
工作机械的载荷特性
均匀
中等冲击
大的冲击
电动机
1.1~1.2
1.2~1.6
1.6~1.8
多缸内燃机
第11章 齿轮传动
§11-1 §11-2 §11-3 §11-4 §11-5 §11-6 §11-7 §11-8 §11-9 §11-10
轮齿的失效形式 齿轮材料及热处理 齿轮传动的精度 直齿圆柱齿轮传动的作用力及计算载荷 直齿圆柱齿轮传动的齿面接触强度计算 直齿圆柱齿轮传动的弯曲强度计算 斜齿圆柱齿轮传动 直齿圆锥齿轮传动 齿轮的构造 齿轮传动的润滑和效率
u 1 2
u d1 sin
(u 1)2
ua sin
在节点处，载荷由一对轮齿来承担：Fn
Ft
cos
2T1
d1 cos
一对钢制齿轮：
弹性模量：E1=E2=2.06×105 MPA 泊松比：μ1=μ2= 0.3, α=20˚ 代入赫兹公式得： HH2385335035(u(uu1bu)1ab3)a2K32KTT11 [ H ]
模数m不能成为衡量齿轮接触强度的依据。当配对齿轮的材料不同时，公 式中的系数也不同。
钢----铸铁 取：285 ，铸铁----铸铁 取： 250
许用接触应力：[
H
]
H lim
直齿圆柱齿轮传动的齿面接触强度计算
直齿圆柱齿轮传动的齿面接触强度计算直齿圆柱齿轮传动的齿面接触强度计算准则为了保证在预定寿命内齿轮不发生点蚀失效，应进行齿面接触疲劳强度计算.直齿圆柱齿轮传动的齿面接触强度计算准则是：齿面接触应力小于或等于许用接触应力[]，即 ≤[]赫兹公式赫兹公式齿面疲劳点蚀与齿面接触应力的大小有关，而齿面最大接触应力可近似地用赫兹公式：进行计算，式中正号用于外啮合，负号用于内啮合。
实验表明，齿根部分靠近节线处最易发生点蚀，故常取节点处的接触应力为计算依据。
曲率半径对于标准齿轮传动，节点处的齿廓曲率半径，令，H σHσH σH σ222121211111E E b F n H μμρρπσ-+-±•=111sin 2d N C ρα==222sin 2d N C ρα==2121//d d z z u ==则中心距，或表示为 。
式中u 为大轮与小轮的齿数比。
由此可得法向力在节点处一般仅有一对齿啮合，即载荷由一对齿承担，则接触疲劳强度计算公式接触疲劳强度计算公式一对钢制齿轮，＝＝2.06×105MPa ，＝＝0.3，标准压力角＝。
引入载荷系数K ，可得一对钢制标准齿轮传动的齿面接触强度验算公式如下：MPa a式中[]为许用接触应力。
1211()(1)22d a d d u =±=±12(1)ad u =±ααρρρρρρsin 21sin )(21112112211221d u u d d d d •±=±=+=±112cos cos t n F T F a d αα==1E 2E 1μ2μα20[]H H σσ=≤H σ如取齿宽系数．．．．，则上式可变换为下列设计公式 mm b式中：T l 的单位为N ·mm ；b 和a 的单位为mm ；和[]的单位为MPa 。
由式(a)或式(b)可见，当一对齿轮的材料、传动比及齿宽系数一定时，由齿面接触强度所决定的承载能力仅与中心距a 或齿轮分度圆直径有关。
11-5直齿圆柱齿轮传动的齿面接触强度计算赫兹公式
ρ2 N2
Cc ρ1
αt d1 T1 2
齿数比: u= z2 /z1 = d2 /d1 ≥ 1 中心距 : a=(d2 ± d1)/2 = d1(u ±1)/2
α ω1 O（1主动）
或 : d1 = 2a /(u ±1)
得:
1
1
1
2
(2 1) 12
2(d2 d1)
d1d2 sin
1.2~1.6
1.6~1.8
1.9~2.1
单缸内燃机
1.6~1.8
1.8~2.0
2.2~2.4
§11-5 直齿圆柱齿轮传动的齿面接触强度计算
齿轮强度计算是根据齿轮可能出现的失效形式来进行的。在一般闭式齿轮传动中，轮齿的失效主要是齿
1 1 O 面接触疲劳点蚀和轮齿弯曲疲劳折断。齿面疲劳点蚀与齿面接触应力的大小有关，而齿2 面的最大接触应 力可近似用赫兹公式进行计算。
200 钢正火
100 铸钢正火
300 合金钢调质 优质碳素钢 调质或正火
200 合金铸 钢调质
100 铸钢调质
0 100
200 HBS
0 100 200 300 HBS
500
合金钢
400
渗碳淬火
500 400 渗氮钢氮化
σHlim(N/mm) σHlim(N/mm)
300 200
40
调质钢 表面淬火
§11-4 直齿圆柱齿轮传动的作用力及计算载荷
为了计算轮齿强度，设计轴和轴承，有必要分析轮齿上的作用力。
一、轮齿上的作用力及计算载荷 O2
各作用力的方向如图
α ω2
圆周力： Ft
2T1 d1
径向力：Fr1 Fr2 Fttg
渐开线标准直齿圆柱齿轮传动的强度计算
渐开线标准直齿圆柱齿轮传动的强度计算
（4）齿数比u。齿数比u不宜过大， 以免因大齿轮的直径大而使整个齿轮传 动尺寸过大。通常直齿圆柱齿轮取u≤5， 斜齿圆柱齿轮取u≤7。
渐开线标准直齿圆柱齿轮传动的强度计算
3. 齿轮传动的设计计算步骤
（1）选择齿轮材料、热处理及许用应力。通过分析齿 轮的工作条件，选择材料牌号与热处理的方法。
应注意，通常两个相啮合的齿轮齿数是不相等的，因此YF和 YS都不相等，而且两轮材料的弯曲疲劳许用应力也不一定相等。因 此，在进行强度校核时，必须分别校核两齿轮的齿根弯曲强度，应
将两齿轮的
值进行比较，只需将其中较大者代入设计公式。
渐开线标准直齿圆柱齿轮传动的强度计算
2. 齿轮传动主要参数的选择
渐开线标准直齿圆柱齿轮传动的强度计算
（2）模数m。m应圆整，对传递动力的闭式齿轮传动，应使 圆整后的m≥2 mm；对开式齿轮传动，应使圆整后的m值大于初 算值的10%～20%，并使m≈0.02a，a为齿轮传动的中心距。
（3）齿宽系数∮d和齿宽b。增大齿宽可使齿轮的径向尺寸缩 小，但齿宽越大，载荷沿齿宽分布越不均匀。动力传动齿轮取∮ d=0.4～1.4，常用范围取∮ d=0.8～1.2。 ∮ d的选择可见表1-10。
渐开线标准直齿圆柱齿轮传动的强度计算
（4）齿根弯曲疲劳强度计算。齿轮受载时，轮齿齿根受弯曲应力 最大，为了防止轮齿根部的疲劳折断，在进行齿轮设计时，必须计算 齿根弯曲疲劳强度。为简化计算并考虑安全性，假定载荷作用于齿顶， 且全部载荷由一对轮齿承受，此时齿根部分产生的弯曲应力最大。
经推导可得轮齿齿根弯曲疲劳强度的计算公式：
渐开线标准直齿圆柱齿轮传动的强度计算
应用式（1-15）、式（1-16）时应注意以下几点：
一、齿面接触疲劳强度计算.
表11-7 圆柱齿轮的齿宽系数
注：1. 大﹑小齿轮均为硬齿面时ψ d取表中偏下限的数值；均为软齿面时或仅大齿轮为软 齿面时，ψd取表中偏上限数值；
2. 直齿园柱齿轮宜选较小值，斜齿可取较大值； 3. 载荷稳定﹑轴刚性较大时取大值，否则取小值。
σHlim---齿面接触疲劳极限应力，其值按
图11-10 查取 SHmin---齿面接触疲劳强度的最小安全系数，一 般取1，齿轮损坏会引起严重后果的取1.25
图 11-10 齿轮的接触疲劳极限
二、齿根弯曲疲劳强度计算
如下图 可得齿根弯曲疲劳强度校核公式：
F
2KT1 bd1m
YFSY
F MPa
§11.5 直齿圆柱齿轮传动的强度计算
一、齿面接触疲劳强度计算
• 如图11-34，选择齿轮传 动的节点作为接触应力 的计算点可得齿面接触 应力为：
H ZEZH Z
2KT1 bd12
u
u
1
(MPa
)
其中: ZE——材料弹性系数见表11-5
表11-5 材料弹性系数ZE
Байду номын сангаас
ZＨ—— 节点区域系数，见图11-8
标准圆柱齿轮ＺＨ＝2.5
图11-8 节点区域系数ZH（an＝20°）
Z ——重合度系数，考虑重合度的影响，按下式计算
Z
4a
3
a ——端面重合度。a
1.88
3.2
1 z1
1 z2
cos
对于标准直齿圆柱齿轮齿面 接触疲劳强度的校核公式
H ZE ZH Z
将 d
b d1
，d1=mZ1代入上式，得弯曲疲劳强度设寸公式
直齿圆柱齿轮传动的强度计算
2.14
YS 1.44 1.47 1.51 1.53 1.54 1.55 1.56 1.58 1.59 1.61 1.63 1.65 1.67 1.69 1.71 1.73 1.77 1.80
1.88
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机械设计基础
Machine Design Foundation
直齿圆柱齿轮传动的强度计算
对于一对齿轮啮合传动而言，因为两齿轮的齿数一般不相同，所
越小，轮齿的弯曲强度越低。因此，应当在满足轮齿弯曲强度的前提
下，尽可能选取较多的齿数。对于闭式硬齿面齿轮传动或开式齿轮传
动，通常取z1=17~20；对于闭式软齿面齿轮传动，通常取z1=20~30。 当z1确定后，即可按传动比i=z2/z1，求出z2。为使两个齿轮的轮齿磨 损均匀，应尽可能使z1和z2互为质数。
按式（10-21）计算所得各力均为作用在轮齿上的名义载荷。进 行齿轮的强度计算时，要考虑由于原动机和工作机的工作特性所引起 的动力过载、齿轮副的啮合误差所引起的附加动载荷、轴的变形和齿 轮制造误差所引起的载荷沿齿宽分布不均匀、同时啮合的各对轮齿间 载荷分配不均匀等因素对轮齿受载的影响，应将名义载荷Fn修正为计 算载荷FnC，即
面，由工程力学可推得齿根弯曲疲劳强度的校核公式为
F
2FT1 bm2 z1
YFYS
[ F ]
（10-25）
σF——齿根处产生的最大弯曲应力，MPa ；
YF——反映轮齿形状对齿根弯曲应力影响的齿形系数，见表10-5；
YS——反映齿根圆角引起的应力集中和危险截面压应力等其他应力
影响的应力修正系数，见表10-5；
向转动，故[σH] 1= [σH] 2=0.9σHlim=0.9×1450=1305MPa。
齿轮传动_标准直齿圆柱齿轮传动强度计算
FYSaF0KtF b YFm Y aSa 其中：
Ft=2T1／d1 m=d1／z1
齿宽系数 ：Φd=b／d1 （ 重要） 表10—7
弯曲强度校核公式：
F 2K dm 1TY3Fz1aY2SaF
弯曲强度设计公式：
m3
2KT1
d z12
YFaYSa
F
★ 由公式计算出 模数去套标准
微型电子机械系统的研究的计划，从2019年 开始， 资助MIT，加 州大学 等8所大 学和贝 尔实验 室从事 这一领 域的研 究与开 发，年 资助额
从100万、200万加到1993年的500万美 元。1994年发 布的《 美国国 防部技 术计划 》报告 ，把M EMS列 为关键 技术项 目。美 国国防 部高级 研
标准直齿圆柱齿轮传动强度计算
(一) 轮齿的受力分析
假设：单齿对啮合，力作用在节点Ｐ，不计Ｆf 轮齿间的法向力Ｆn, 沿啮合线指向齿面
1. Ｆn 的分解：
Ｆn －圆周力Ｆt ：沿节圆切线方向指向齿面 ＼径向力Ｆr ：沿半径方向指向齿面（轮心）
2. 作用力的大小： Ｆt＝2Ｔ1／ｄ1 Ｆr＝Ｆt·ｔgα
后再将其装配在一起。火车的车轮外 圈也是 用加热 的方法 将其套 在基体 上，冷 却时即 可保证 其结合 的牢固 性（此 种方法 现在依 旧应用
于某些零部件的转配过程中）。
机械加工包括：灯丝电源绕组、激 光切割 、重型 加工、 金属粘 结、金 属拉拔 、等离 子切割 、精密
焊接、辊轧成型、金属板材弯曲成型 、模锻 、水喷 射切割 、精密 焊接等 。
前面"，建议中央财政预支费用为五年 5000万 美元， 得到美 国领导 机构重 视，连 续大力 投资， 并把航 空航天 、信息 和MEMS作为 科技发 展
标准直齿圆柱齿轮传动的强度计算 工程
标准直齿圆柱齿轮传动的强度计算工程（一）轮齿的受力分析进行齿轮的强度计算时，首先要知道齿轮上所受的力，这就需要对齿轮传动作受力分析，齿轮传动一般均加以润滑，啮合轮齿间的摩擦力通常很小，计算轮齿受力时，可不予考虑。
沿啮合线作用在齿面上的法向载荷Fn垂直于齿面，为了计算方便，将法向载荷Fn在节点P处分解为两个相互垂直的分力，即圆周力Ft与径向力Fr, 。
由此得Ft=2T1/d1 ；Fr=Fttanα ；Fn=Ft/cosα (a)式中：T1—小齿轮传递的转矩，N·mm；d1—小齿轮的节圆直径，对标准齿轮即为分度圆直径，mm；α—啮合角，对标准齿轮，α=20°。
（二）齿根弯曲疲劳强度计算轮齿在受载时，齿根所受的弯矩最大，因此齿根处的弯曲疲劳强度最弱。
当轮齿在齿顶处啮合时，处于双对齿啮合区，此时弯矩的力臂虽然最大，但力并不是最大，因此弯矩并不是最大。
根据分析，齿根所受的最大弯矩发生在轮齿啮合点位于单对齿啮合区最高点。
因此，齿根弯曲强度也应按载荷作用于单对齿啮合区最高点来计算。
由于这种算法比拟复杂，通常只用于高精度的齿轮传动（如6级精度以上的齿轮传动）。
对于制造精度较低的齿轮传动（如7，8，9级精度），由于制造误差大，实际上多由在齿顶处啮合的轮齿分担较多的载荷，为便于计算，通常按全部载荷作用于齿顶来计算齿根的弯曲强度。
当然，采用这样的算法，齿轮的弯曲强度比拟充裕。
右边动画所示为齿轮轮齿啮合时的受载情况。
动画演示为齿顶受载时，轮齿根部的应力图。
在齿根危险截面AB处的压应力σc仅为弯曲应力σF的百分之几，故可忽略，仅按水平分力pcacosγ所产生的弯矩进行弯曲强度计算。
假设轮齿为一悬臂梁，那么单位齿宽（b＝1）时齿根危险截面的弯曲应力为取，并将(a)式代入。
对直齿圆柱齿轮，齿面上的接触线长L即为齿宽b(mm)，得令YFa是一个无量纲系数，只与齿轮的齿廓形状有关，而与齿的大小（模数m）无关。
直齿圆柱齿轮强度计算
直齿圆柱齿轮强度计算一、轮齿的失效齿轮传动就装置形式来讲，有开式、半开式及闭式之分；就利用情形来讲有低速、高速及轻载、重载之别；就齿轮材料的性能及热处置工艺的不同，轮齿有较脆（如经整体淬火、齿面硬度较高的钢齿轮或铸铁齿轮）或较韧（如经调质、常化的优质钢材及合金钢齿轮），齿面有较硬（轮齿工作面的硬度大于350HBS或38HRC，并称为硬齿面齿轮）或较软（轮齿工作面的硬度小于或等于350HBS或38HRC，并称为软齿面齿轮）的不一样。
由于上述条件的不同，齿轮传动也就显现了不同的失效形式。
一样地说，齿轮传动的失效主若是轮齿的失效，而轮齿的失效形式又是多种多样的，那个地址只就较为常见的轮齿折断和工作面磨损、点蚀,胶合及塑性变形等略作介绍，其余的轮齿失效形式请参看有关标准。
至于齿轮的其它部份（如齿圈、轮辐、轮毂等），除对齿轮的质量大小需加严格限制外，通常只需按体会设计，所定的尺寸对强度及刚度均较富裕，实践中也极少失效。
轮齿折断轮齿折断有多种形式，在正常情况下，主要是齿根弯曲疲劳折断，因为在轮齿受载时，齿根处产生的弯曲应力最大，再加上齿根过渡部分的截面突变及加工刀痕等引起的应力集中作用，当轮齿重复受载后，齿根处就会产生疲劳裂纹，并逐步扩展，致使轮齿疲劳折断（见）。
此外，在轮齿受到突然过载时，也可能出现过载折断或剪断；在轮齿受到严重磨损后齿厚过分减薄时，也会在正常载荷作用下发生折断。
在斜齿圆柱齿轮（简称斜齿轮）传动中，轮齿工作面上的接触线为一斜线（参看），轮齿受载后，如有载荷集中时，就会发生局部折断。
若制造或安装不良或轴的弯曲变形过大，轮齿局部受载过大时，即使是直齿圆柱齿轮（简称直齿轮），也会发生局部折断。
为了提高齿轮的抗折断能力，可采取下列措施：1）用增加齿根过渡圆角半径及消除加工刀痕的方法来减小齿根应力集中；2）增大轴及支承的刚性，使轮齿接触线上受载较为均匀；3）采用合适的热处理方法使齿芯材料具有足够的韧性；4）采用喷丸、滚压等工艺措施对齿根表层进行强化处理。
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6.3 标准直齿圆柱齿轮传动的强度计算
（一）轮齿的受力分析
进行齿轮的强度计算时，首先要知道齿轮上所受的力，这就需要对齿轮传动作受力分析。
当然，对齿轮传动进行力分析也是计算安装齿轮的轴及轴承时所必需的。
齿轮传动一般均加以润滑，啮合轮齿间的摩擦力通常很小，计算轮齿受力时，可不予考虑。
垂直于齿面，为了计算方便，将法向 沿啮合线作用在齿面上的法向载荷F
n
在节点P处分解为两个相互垂直的分力，即圆周力F t与径向力F r, 。
由此载荷F
n
得
F t=2T1/d1； F r=F t tanα ； F
F t/cosα (a)
n=
—小齿轮传递的转矩，N·mm；
式中：T
1
—小齿轮的节圆直径，对标准齿轮即为分度圆直径，mm；
d
1
α—啮合角，对标准齿轮，α=20°。
（二）齿根弯曲疲劳强度计算
轮齿在受载时，齿根所受的弯矩
最大 ，因此齿根处的弯曲疲劳强度
最弱。
当轮齿在齿顶处啮合时，处于
双对齿啮合区，此时弯矩的力臂虽然
最大，但力并不是最大，因此弯矩并
不是最大。
根据分析，齿根所受的最
大弯矩发生在轮齿啮合点位于单对齿
啮合区最高点。
因此，齿根弯曲强度
也应按载荷作用于单对齿啮合区最高
点来计算。
由于这种算法比较复杂，
通常只用于高精度的齿轮传动（如6
级精度以上的齿轮传动）。
对于制造精度较低的齿轮传动
（如7，8，9级精度），由于制造误
差大，实际上多由在齿顶处啮合的轮
齿分担较多的载荷，为便于计算，通
常按全部载荷作用于齿顶来计算齿根
的弯曲强度。
当然，采用这样的算
法，齿轮的弯曲强度比较富余。
右边动画所示为齿轮轮齿啮合时
的受载情况。
动画演示为齿顶受载
时，轮齿根部的应力图。
下一页
在齿根危险截面AB处的压应力σc仅为弯曲应力σF的百分之几，故可忽略，仅按水平分力p c a cosγ所产生的弯矩进行弯曲强度计算。
假设轮齿为一悬臂梁，则单位齿宽（b＝1）时齿根危险截面的弯曲应力为
取，并将(a)式代入。
对直齿圆柱齿轮，齿面上的接触线长L即为齿宽b(mm)，得
令
Y Fa是一个无量纲系数，只与齿轮的齿廓形状有关，而与齿的大小（模
数m）无关。
因此，称为齿形系数。
S值大或h值小的齿轮，Y Fa的值要小
些；Y Fa小的齿轮抗弯曲强度高。
载荷作用于齿顶时的齿形系数Y Fa可查表查表查表查表确定。
齿根危险截面的弯曲应力为：
上式中的σ
F0
仅为齿根危险截面处的理论弯曲应力，实际计算时，还应计
入齿根危险截面处的过渡圆角所引起的应力集中作用以及弯曲应力以外的其它应力对齿根应力的影响，因而得齿根危险截面得弯曲强度条件式为 (b)
式中Y sa为载荷作用于齿顶时的应力校正系数（数值列于表<齿形系数及应力校正系数>）。
令： φd=b/d1
φd成为齿宽系数，并将F d=2T1/d1及m=d1/z1代入式(b),得
于是得 (c)
式(c)为设计计算式，式(b)为校核计算公式。
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（三）齿面接触疲劳强度计算
齿面接触疲劳强度计算的基本公式为:
F ca为计算载荷,L为接触线长度,为计算方便，取接触单位长度上的计算载荷
式中：ρ∑—啮合齿面上啮合点的综合曲率半径；
Z E—弹性影响系数，数值列于下表，则上式为
(d)
弹性影响系数Z E/()
齿轮材料
配 对 齿 轮 材 料
灰铸铁球墨铸铁铸 钢锻钢夹布塑胶11.8×17.3×20.2×20.6×0.785×
锻钢162.0181.4188.9189.856.4
铸铁161.4180.5188.0
——
球墨铸铁156.6173.9
—
灰铸铁143.7—
注：表中所列夹布塑胶的泊松比μ为0.5，其余材料的μ均为0.3。
由《机械原理》得知，渐开线齿廓上各点的曲率（1/ρ）并不相同，沿工作齿廓各点所受的载荷也不一样。
因此按式(d)计算齿面的接触强度时，就应同时考虑啮合点所受的载荷及综合曲率
（1/ρ∑）的大小。
对端面重合度≤2的直齿轮传动，如图<齿面上的接触应力>所示，以小齿轮单对齿啮合的最低点（图中C点）产生的接触应力为最大，与小齿轮啮合的大齿轮，对应的啮合点是大齿轮单对齿啮合的最高点，位于大齿轮的齿顶面上。
如前所述，同一齿面往往齿根面先发生点蚀，然后才扩展到齿顶面，亦即齿顶面比齿根面具有较高的接触疲劳强度。
因此，虽然此时接触应力大，但对大齿轮不一定会构成威胁。
由图<齿面上的接触应力>可看出，大齿轮在节处的接触应力较大，同时，大齿轮单对齿啮合的最低点（图中D点）处接触应力也较大。
但按单对齿啮合的最低点计算接触应力比较麻烦，并且当小齿轮齿数z1≥20时，按单对齿啮合的最低点所计算得的接触应力与按节点啮合计算得的接触应力极为相近。
为计算方便，通常即以节点啮合为代表进行齿面的接触强度计算。
【上一页】【下一页】
下面即介绍按节点啮合进行接触强度计算的方法：
节点啮合的综合曲率为
轮齿在节点啮合时，两轮齿廓曲率半径之比与两轮的直径或齿数成正比，
即ρ2/ρ1=d2/d1=z2/z1=u, 故得
如图所示，小齿轮轮齿节点P处的 曲率半径。
对于标准齿轮，节圆就是分度圆，故得 ρ1=d1sinα/2
则:
取L＝b（b为齿轮设计工作宽度）,于是(d)式为:
令 ——区域系数（标准直齿轮α=20°时，Z H＝2.5），则可写为
MPa
将F t=2T1/d1、φd=b/d1代入上式得
σH=
于是 mm
若将Z H＝2.5代入上面两式,得
MPa
及
（四）齿轮传动的强度计算说明
Y Sa1) 或 /(Y Fa2Y Sa2)中小者
按齿根弯曲疲劳强度计算时，应将 /(Y
代入计算。
因配对齿轮的接触应力相同，即σH1=σH2,故应将中小者代入公式进行计算。
当配对两齿轮的齿面均属硬齿面时，两轮的材料，热处理方法及硬度均可取成一样的。
设计这种齿轮传动时，可分别按齿根弯曲疲劳强度及齿面接触疲劳强度的设计公式进行计算，并取其中大者作为设计结果。
当用设计公式初步计算齿轮的分度圆直径d1（或模数m n）时，动载系数K v，齿间载荷分配系数Kα及齿向载荷分布系数Kβ不能预先确定，此时可选一载荷系数K t(脚标t表示试选或试算值)(如取K t=1.2～1.4)，则算出来的分度圆直径（或模数）也是一个试算值的d1t（或m nt）,然后按d1t值计算齿轮的圆周速度，查取动载系数K v，齿间载荷分配系数Kα，及齿向载荷分布系数Kβ，计算载荷系数K。
若算得的K值与试选的K t值相差不多，就不必修改原计算；若二者相差较大时，应按下式校正试算所得分度圆直
径d1t（或m nt）：
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