求式子最值的几种常见的方法

求式子最值的几种常见的方法

我任教新教材已有二个轮回了，通过这几年教学和学习中，总结了几种求式子最值的常用方法，式子最值主要还是求函数最大值和最小值。

第一种方法是熟练利用基础函数的一些性质，基础函数包括指数函数、对数函数、幂函数、三角函数，这此函数图像和性质，学生必须牢牢记住掌握。比如二次函数在实数内求最值，只求对称轴函数值即可。再加上开口方向就定出最大或最小值。比如：y=sinx 有实数内求最大或最小值，掌握正弦函数性质，直接指出最大值是1，最小值是-1。若求基础函数在定义域内某一个区间内最值，就得看此区间函数单调情况再求最值。

方法二：利用单调性求最值，比如：y=1x-2在区间[3，4]上最值，先证明y=1x-2在[3，4]上是单调递减的，所以x=3时，y最大1，x=4时，y最小1/2。

方法三：利用线性规划求最值

例如：若变量x，y满足y≤1x+y≥0x-y-2≤0 则z=x-2y取值范围点。

A.[-1，3）

B.[-3，1）

C. [-3，3）

D. [-1，1）

先画可行域，画直线x-2y=0，平移直线x-2y=0在可能域内求使，z= x-2y产生最值的最优解，代入z= x-2y，选C。

有些函数最值还可以把线性规划问题加深求非线性目标函数最值，常利用式子几何意义来求，如：已知实数x，y满足约束条件x≥-1y≥0x+y≥1 则（x+2）2+y2最小值是

解决这个问题利用几何意义在可行域内找一点到（-2，0）点距离平方最小，最后得9/2，这些类型还有利用斜率意义等。

方法四：利用不等式求最值

利用不等式求最值，常用基本不等式2，a>0，b>0，则a+b≥2ab这个式子必须有一个固定值，当a+b确定能求出，ab积最大值，当ab积固定时能求出a+b的最小值，但在a=b前提下。老师在教学中给同学总结一正、二定、三相等，例如：设a>b>c，n∈N且1a-b+1b-c ≥na-c恒成立，求n的最大值是（）

A. 2

B. 3

C. 4

D. 6

解决这道题实际上就是求（a-c）（1a-b+1b-c）的最小值，上式变形[（a-b）+（b-c）][ 1a-b+1b-c]展开后利用重要不等式求出选C，利用不等式2求最

值例子很多……，但利用不等式1，a2+b2≥2ab，a，b 是实数题型也有，例如：

在△ABC中，A，B，C所对边 a，b，c若a2+b2=2c2，求cosC最小值为（）

A . 32 B. 22 C. 12 D. -12

解这道题先用余弦定理cosC=a2+b2-c22ab，再利用不等式1放缩a2+b2-c22ab≥

a2+b2-c2a2+b2=c22c2=12，选C

方法五：利用函数求导方法求最值

例求函数f（x）=x3+x2-x在[-2，1]上最大值与最小值，先求f（x）的导，y′=3x2+2x-1，令y′=0求根x1=-1，x2=13，再求f（-2），f（-1），f（13），f（1）的函数值。再选出函数值最大的、最小的。

求式子最值的方法很多，比如换元法，数形结合等，具体问题具体解决。比如求圆上一点到圆外直线距离最大、最小，只求圆心到直线距离加半径或减半径，表面上是考查点到直线距离公式，实际上可以归纳到利用几何意义求最值，通过平时练习作题中，接触到许多求最值例子，一定要根据题特征，利用牢固基本知识、定义、定理性质，采取恰当方法来解决，但最常见的还是上面几种求最值的方法了。