求式子最值的几种常见的方法

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三角函数最值的求解策略(解析版)

三角函数最值的求解策略【高考地位】三角函数的最值或相关量的取值范围的确定始终是三角函数中的热点问题之一，所涉及的知识广泛，综合性、灵活性较强。

解这类问题时要注意思维的严密性，如三角函数值正负号的选取、角的范围的确定、各种情况的分类讨论、及各种隐含条件等等。

求三角函数的最值常用方法有：配方法、化一法、数形结合法、换元法、基本不等式法等等。

在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题. 【方法点评】方法一化一法使用情景：函数表达式形如 f (x )a sin 2 xb cos 2 xc sin x cos xd 类型解题模板：第一步运用倍角公式、三角恒等变换等将所给的函数式化为形如 ya sin xb cos xc 形式；第二步利用辅助角公式a sin x b cos xa sin(x) 化为只含有一个函数名的形式；第三步利用正弦函数或余弦函数的有界性来确定三角函数的最值.x4x cos4例1 已知函数 fx 在 x 0 ，2上的最x，则 f大值与最小值之差为．【答案】3i n 2 2 s i n x2x66 , 76，即为换元思想，把2x6 看作一个整体，利用 ysin x 的单调性即可得出最值，这是解决 y a sin xb sin x 的常用做法．【变式演练1】设当x时，函数 f (x )2sin xcos x 取得最大值，则cos__________．【变式演练2】已知函数 f (x ) 4cos x sin(x )1(0) 的最小正周期是．6(1)求 f (x ) 的单调递增区间；3(2)求 f (x ) 在[ ， ]上的最大值和最小值．【答案】58 8【答案】(1) 6 k , 3k k Z ； (2) 最大值2 、最小值 622所以 f x 在8 , 38上的最大值和最小值分别为2 、 6 2 2 .考点：1、三角函数的恒等变换；2、函数 yA sinx 的性质；【变式演练3】已知函数 f (x ) sin xa cos x 图象的一条对称轴是 x，且当 x(2) 当 3,88x时， 72,612 12x2sin 262fx x,4时，函数g(x) sin x f (x) 取得最大值，则cos．【答案】5【解析】考点：1、三角函数的图象与性质；2、三角恒等变换．2 x sin2 x) 2cos2(x ) 1的定义域为[0,]. 【变式演练4】已知 f (x) 3(cos4 2 (1)求 f (x) 的最小值.(2)ABC中, A 45 ,b 32 ,边a的长为函数3 3 f (x) 的最大值,求角 B 大小及ABC的面积.【答案】(1)函数 f (x) 的最小值 3 ；(2) ABC的面积S 9(3 1) .【解析】考点：1、三角恒等变形；2、解三角形.x x) 3cos 2 x 3 .【变式演练5】已知函数 f (x) cos(2（I）求 f (x) 的最小正周期和最大值；2（II）求 f (x) 在[ , ]上的单调递增区间．6 3【答案】（I） f (x) 的最小正周期为，最大值为1；（II）[, 5]．6 12【解析】试题分析：（I ）利用三角恒等变换的公式，化简 f x sin(2x ) ，即可求解 f (x )35的最小正周期和最大值；（II ）由 f (x ) 递增时，求得kx k(kZ )，12125即可得到 f (x ) 在[ , ]上递增．6 12 试题解析： f (x ) （-cos x )()31cos2x 3221sin2x3 cos2x sin(2x)223（I ） f (x ) 的最小正周期为，最大值为1；（II ）当 f (x ) 递增时，2k2x 2k (k Z )，2 325即kxk(kZ ),12125 所以， f(x ) 在[ ,]上递增 6 12 25即 f (x ) 在[ , ]上的单调递增区间是[ , ]6 3 6 12考点：三角函数的图象与性质．方法二配方法使用情景：函数表达式可化为只含有一个三角函数的式子解题模板：第一步先将所给的函数式化为只含有一个三角函数的式子，通常采取换元法将其变为多项式函数；第二步利用函数单调性求解三角函数的最值. 第三步得出结论.例2 函数 f (x ) cos 2x2sin x 的最小值为．函数 ycos 2 xa sin xa 22 a5有最大值2，【变式演练6】已知求实数a 的值．【答案】 a【解析】试题分析： ysin 2 x a sin x a 2 2 a 6 ，令sin x t ,t 1,1，则 yt 2ata 22 a6 ，对称轴为ta ，【答案】考点：三角函数的最值．【点评】解本题的关键是利用换元法转化为关于sin x的二次函数，根据sin x 的取值范围[－1，1]，利用对称轴进行分类讨论求出最大值，解出a的值．【变式演练7】函数 f x sin x cos x 2sin x cos x x4, 4 的最小值是__________．【答案】1【解析】f（x）=sinx+cosx+2sinxcosx，x∈ 4 , 4 ，化简f（x）=（sinx+cosx）2+sinx+cosx﹣1设sinx+cosx=t，则t=２sin（x）x+ ，那么函数化简为：g（t）=t2+t﹣1．∵x∈ 4 , 4t 1．∵函数g（t）=t2+t﹣1．∴x+ ∈[0，]，所以：04 ２１开口向上，对称轴t=－，∴0 t 1是单调递增．２当t=0时，g（t）取得最小值为-1．求函数y 74sin x cos x4cos2 x4cos4 x的最大值与最小值.方法三直线斜率法使用情景：函数表达式可化为只含有一个三角函数的式子解题模板：第一步先将所给的函数式化为只含有一个三角函数的式子，通常采取换元法将其变为多项式函数；第二步利用函数单调性求解三角函数的最值.第三步得出结论.【点评】若函数表达式可化为形如 yat t 21（其中t 1，t 2 为含有三角函数的式子）， b则通过构造直线的斜率，通过数与形的转化，利用器几何意义来确定三角函数的最值.【高考再现】） f (x )1.【2017全国III 文，6】函数的最大值为（例 3 求函数2 sin2 cosx yx的最值 .【答案】2 sin 2 cosx y x的最大值为4 3，最小值为 4 3.【变式演练 8 】求函数 21sin 1 sinx yx在区间 [0,) 2上的最小值 . 【答案】 1sin(x )cos(x )A． B．1C．D．【答案】A所以选A.【考点】三角函数性质【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y A sin(x )B的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征2.【2016高考新课标1卷】已知函数 f (x )sin(x+)(0，),x 为24418，536单调,则的最大 f (x ) 的零点, x为 y f (x ) 图像的对称轴,且 f (x ) 在值为( )（A ）11 （B ）9（C ）7 （D ）5【答案】B考点：三角函数的性质【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖, 是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:① fx A sin x A 0,0的单调区间长度是半个周期;②若 f xA sinx A0,0的图像关于直线 xx 0 对称,则 fx 0A 或fx 0A .3. 【2016年高考北京理数】将函数 ysin(2x ) 图象上的点P ( ,t ) 向左平移s3 4（s 0 ）个单位长度得到点P '，若P '位于函数 ysin2x 的图象上，则（）A.t1 ，s 的最小值为B.t 3，s 的最小值为2626C.t1，s 的最小值为D.t3，s 的最小值为2 323【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，t sin(2) 1，故此时P '所对应的点为(,1) ，此4 3212 2时向左平移 - 个单位，故选A.4 126考点：三角函数图象平移【名师点睛】三角函数的图象变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意平移变换时，当自变量x 的系数不为1时，要将系数先提出．翻折变换要注意翻折的方向；三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换4.【2015高考陕西，理3】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数 y 3sin(x )k ，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值6为（）A ．5B ．6C ．8D ．10【答案】C5.【2015高考安徽，理10】已知函数 f xsinx（，，均为正的常数）的最小正周期为，当 x2时，函数 fx取得最小值，则下列结论正3 确的是（）（A ） f2f2f（B ） f 0 f 2 f2（C ） f2ff2（D ） f 2 f 0 f2【答案】A【考点定位】1.三角函数的图象与应用；2.函数值的大小比较.【名师点睛】对于三角函数中比较大小的问题，一般的步骤是：第一步，根据题中所给的条件写出三角函数解析式，如本题通过周期判断出，通过最值判断出，从而得出三角函数解析式；第二步，需要比较大小的函数值代入解析式或者通过函数图象进行判断，本题中代入函数值计算不太方便，故可以根据函数图象的特征进行判断即可.6.【2015高考湖南，理9】将函数f (x) sin 2x的图像向右平移(0 )个单2位后得到函数g(x) 的图像，若对满足 f(x1) g(x2) 2 的x1，x2，有x1x2 min ，3 则（）5 A. B. C. D.12 3 4 6【答案】D.【考点定位】三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以f (x) A sin(x ) 为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等.7.【2017全国II文，13】函数f (x) 2cos x sin x 的最大值为 .【答案】1 【解析】试题分析：化简三角函数的解析式：f x 1cosx 3cosxcos x 3cos x14 cos x2321，x 0,2可得：cos x0,1，当cos x3时，函数 f x 取得最大值1。

用基本不等式求最值六种方法

用基本不等式求最值六种方法基本不等式是求解数学问题中常用的工具，可以通过基本不等式来求解最值问题。

下面将介绍六种使用基本不等式求解最值问题的方法。

方法一：两边平方法若要求一个式子的最大值或最小值，在不改变问题的本质情况下，可以通过平方的方式将问题转化为一个更容易处理的形式。

例如，我们要求a+b 的最小值，可以通过平方的方式将其转化为一个更易处理的问题，即(a+b)^2=a^2+b^2+2ab，然后应用基本不等式，得到(a+b)^2≥ 2ab。

由此可见，通过两边平方后，可使用基本不等式求得 a+b 的最小值。

方法二：四平方法四平方法指的是对式子的四个项分别平方，将一些复杂的问题转化为四个简单展开的项的和，然后再应用基本不等式进行推导。

例如，我们要求 a^2 + b^2 的最小值，可以采用四平方法将其转化为 a^2/2 + a^2/2 + b^2/2 + b^2/2 的和，即 (a^2/2 + b^2/2) + (a^2/2 + b^2/2)，然后应用基本不等式，得到(a^2/2 + b^2/2) + (a^2/2 + b^2/2) ≥2√[(a^2/2)(b^2/2)] = ab。

方法三：绝对值法绝对值法是将问题中的绝对值项用不等式进行替代，然后使用基本不等式进行求解。

例如，我们要求，x-2，的最小值，可以将其转化为不等式形式，即x-2≥0或x-2≤0。

然后根据这两个不等式分别求解x的取值范围，得到最小值。

方法四：极值法极值法是将要求最值的式子看作一个函数，通过求函数的极值点来确定最值。

例如，我们要求 f(x) = x^2 的最小值，可以求函数的极值点。

对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其极值点的横坐标是 -b/2a，通过求解方程 -b/2a = 0，可以得到 x = 0。

因此，f(x) = x^2 的最小值是 f(0) = 0。

方法五：辅助不等式法辅助不等式法是引入一个辅助不等式，通过该不等式来推导求解最值问题。

求函数最值的方法总结

求函数最值的方法总结求函数最值的方法总结一般的，函数最值分为函数最小值与函数最大值。

简单来说，最小值即定义域中函数值的最小值，最大值即定义域中函数值的最大值。

下面就是小编整理的求函数最值的方法总结，一起来看一下吧。

函数的最值问题既是历年高考重点考查的内容之一，也是中学数学的主要内容。

函数最值问题的概念性、综合性和灵活性较强，考题的知识涉及面较广，对于学生的分析和逻辑推理能力要求较高。

通过对函数最值问题的相关研究，结合自身的感触和学习的心得，总结归纳出了求解函数最值的几种常用的方法，并讨论了学习函数最值求解中应该注意的问题，这将有利于提高学生的数学建模能力和解题能力。

文章主要通过举例说明的方式来阐述求解函数最值的几种常用解法，希望对培养学生数学学习能力，提高学生的解题能力有所帮助。

函数f（x）在区间I上的最大值和最小值问题，本质上是一个最优化的问题。

求解函数最大值与最小值的实际问题，包括三方面的工作：一是根据实际问题建立目标函数，通常总是选取待求的最优量为因变量：二是按上述的求解方法求出目标函数在相应区间上的最大值或最小值；三是对所求得的解进行相应实际背景的几何意义的解释。

同时一方面要深刻理解题意，提高阅读能力，要加强对常见的数学模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面要不断拓宽知识面，提高间接的生活阅历，如了解一些诸如物价、行程、产值、利润、环保等实际问题，也涉及角度、面积、体积、造价等最优化问题，培养实际问题数学化的意识和能力。

最值问题综合性强，几乎涉及高中数学各个分支，要学好各个数学分支知识，透彻地理解题意，能综合运用各种数学技能，熟练地掌握常用的解题方法，才能收到较好的效果。

（1）代数法。

代数法包括判别式法（主要是应用方程的思想来解决函数最值问题）配方法（解决二次函数可转化为求二次函数的`最值问题）不等式法（基本不等式是求最值问题的重要工具，灵活运用不等式，能有效地解决一些给定约束条件的函数最值问题）④换元法（利用题设条件，用换元的方法消去函数中的一部分变量，将问题化归为一元函数的最值，以促成问题顺利解决，常用的换元法有代数换元法和三角换元法）。

求极值与最值的方法

求函数极值的方法
极值定义：设函数 f ( x) 在 x0 的某邻域内有定义，且对此邻域内任一点
x ( x x0 ) ，均有 f ( x) f ( x0 ) ，则称 f ( x0 ) 是函数 f ( x) 的一个极大值；同样如果
对此邻域内任一点 x ( x x0 ) ，均有 f ( x) f ( x0 ) ，则称 f ( x0 ) 是函数 f ( x) 的一个极小值。函数的极大值与极小值统称为函数的极值。使函数取得极值的点 x0 ，称为极值点。
例 3 求函数 f ( x) 5 x 4 的极值。解令 f ( x) 0 ，得驻点 x 0 ，且 f (0) f (0) f (0) 0 ，但
f 4 (0) 120 >0 所以有极小值 0.
2.2 利用拉格朗日乘数法求条件极值
“乘数法”所得到的点只是可能是极值点，到底是否是极值点要依据拉格朗日函数 F 的二阶微分符号来判断。例4 求函数 u x m y n z p 在条件 x y z a (m 0, n 0, a 0) 下的极值。
m m m d 2 F ( x, y , z ) p = 2 ( d x ) 2 2 ( d y ) 2 2 ( d z ) y z x
P
故 p 为 v 即 u 的极大值点，此时 up
m m n n p p a m n p (m n p) m n p
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求极值方法：（1）求一阶导数，找出导数值为 0 的点（驻点），导数值不存在的点，及端点；（2）判断上述各点是否极值点例 1 求函数 f ( x) x 3 6 x 2 9 x 的极值。
解法一：因为 f ( x) x 3 6 x 2 9 x 的定义域为 (, ) , 且 f ' ( x ) 3x 2 12 x 9 3( x 1)( x 3) , 令 f ' ( x ) 0 ，得驻点 x1 1 , x2 3 ；在 (,1) 内， f ' ( x ) 0 ，在 (1,3) 内， f ' ( x ) 0 , f (1) 4 为函数 f ( x) 的极大值。解法二：因为 f ( x) x 3 6 x 2 9 x 的定义域为 (, ) ，

三角函数的最值求法

三角函数的最值求法掌握三角函数的单调性和有界性，能够利用三角函数的单调性及有界性来求得一些三角函数的最大值和最小值，是近年高考的热点内容之一.三角函数的最值问题，其本质上是对含有三角函数的复合函数求最值，因此，求函数最值得方法都能适用.当然还其他特殊的方法.三角函数的最值都是在限定区间上取得的，因而要特别注意题设中所给的区间.求三角函数最值时，一般要进行一些代数变换和三角变换，要注意函数有意义的条件、弦函数的有界性及变换的等价性.选择适当的方法是解题的关键.下面就例谈几种解决三角函数最值的方法.题型一：用换元法求函数的最值例1:若，求函数的最小值.思路:注意到函数的特征，若用万能公式，能将它化为关于的有理函数,从而不难用判别式方法求解.解析：令=t，，，则，当t=-1时，y=0;当y 0时，由于t为实数，从而有或.由于，故函数的最小值为.点评：展开函数式，得到一个含有、的对称式，运用变换“”同样可解得上一题.题型二：用均值不等式法求函数的最值例2：已知，且，求的最大值.思路：在三角函数关系的条件下，要求得角的最值，一般应设法转化为求该角的某一三角函数的最值.依题意，本题可以优先求y的正切的最值.解析：，且，当且仅当，即时，，又函数在上单调递增，.点评：选函数来求的角的最值时，必须注意选定函数的单调性，若选定的函数与角的最值取得时刻相同时，解题较为方便.题型三：利用三角函数的有界性来求函数的最值例3：求函数的最小值，并求出取得最小值时x的值.思路：先化简函数，再由正、余弦函数的有界性来思考，同时应注意角度的限定范围.解析：由降幂公式和倍角公式，得== .的最小值是，此时.点评：形如（a、b、c、d为常数）的式子，都能仿照上例变形为形如的式子，从而有关问题可在变形式的基础上求解.另外，求最值时不能忽视对定义域的思考.例4：已知圆的半径为R，其内接三角形ABC有成立，求的面积S的最大值.解析：由已知式可得，.==当时，点评：利用三角函数的性质来求三角函数的最值问题，是最常见的基本方法.因此，在解题时要认真解题，看该题结构特点是否能化为一个三角函数式，若能，要充分利用所有三角函数公式化为一个三角函数式，从而利用三角函数性质，求出最值.望大家在解题时注意.题型四:转化为二次函数求函数的最值例5:是否存在实数，使得函数在闭区间上的最大值是1？若存在，求出对应的a值，若不存在，试说明理由.解析：=当时，若，即，则当时，（舍去）若即，则当时，即或（舍去）,若，即，则当时，（舍去）综上所述，存在符合题设.点评：求包含参数的三角函数最值时，应根据三角函数或本身的取值范围来进行分类讨论.题型五：轮换对偶求函数的最值例6：已知、、为锐角，且，求函数的最小值.解析：由= ，令，结合，得+ -得，所以当且仅当时，等号成立.故.题型六：利用判别式法求函数的最值例7：求函数的最值.解析：原式化为即当时，得到当时，代入原方程综上.点评：求分式形式的含正、余切三角函数的最值时，应考虑到用判别式法来求得.题型七：利用斜率求函数的最值例8：求函数的最值.解析：设平面上两点的坐标为，，则AB的斜率为.又A为定点，B在单位圆上，故直线AB：是圆的切线时得k值为函数y的最值，此时点评：求分式形式含正、余弦的三角函数的最值时，应考虑巧用斜率来求得.求三角函数最值的方法有：配方法、化为一个角的三角函数、换元法、基本不等式法等.三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而要加更注意题设中所给出的区间.求三角函数的最值时，一般要进行一些三角变换以及代数换元，须注意函数有意义的条件和弦函数的有界性.在求包含参数函数的最值时，解题要注意参数的作用和影响.（陕西洋县城关中学）。

在变量满足定值条件下求最值的几种方法

过原点的切线方程为ｙｋ。由圆心到切线的距离ｄ：ｘ：
Ｌ
当且仅：ｙ４
Ｙｘ
即２３３：ｙ时取等号，三＋：所以三的最小
Ｙ
：
、ｋ＋／ｌ
ｌ解得ｋ ±Ｘ３－，：／
，
值是４。二、角代换法三
（），３ＡＢ∥平面Ａ，ｃＢｃ∥平面Ａ而直线ＡＢｎＢＣ＝，ｃ，，，，Ｂ，
所以命题６成立。不
另外，比还可以帮助我们从平面几何问题的解决中，类猜想相应立体几何问题的解决方法．者在此不作展开。当然．笔由于类比推理属于似真推理，出的结论不一定可靠。推尚需证明其合理性。比如例３的命题１命题４命题６命题７是假中、、和都命题。因此。运用类比法时，们要注意适当、意义，我有否则，可能带来消极影响，成知识的负迁移。不过，该特别指出的造应
，
分析：题显然不符合均值不等式的使用条件，们可利此我
用常数进行变换，之能利用均值不等式。使解：由＋３ｃ＋ｃｘ２，ｃ＋＋２３＋ｙ＝１
ｘＶ０ＸＶ
＝
，
Ｄ
Ｘ
使这类问题迎刃而解。现介绍几种常见的方法。配凑利用均值不等式

初中数学中求极值的几种常见的方法

初中数学中求最值的几种常见方法仪陇县实验学校李洪泉在生活实践中，人们经常面对求最值的问题：如在一定方案中，往往会讨论什么情况下花费最低、消耗最少、产值最高、获利最大等；在解数学题时也常常求某个变量的最大值或最小值。

同时，探求最值也是中考或一些高中学校自主招生考试中的一个热点内容，是初高中知识衔接的重要内容。

这类问题涉及变量多，综合性强，技巧性强，要求学生要有较强的数学转化思想和创新意识。

下面从不同的角度讨论如何求一些问题的最值。

一、根据绝对值的几何意义求最值实数的绝对值具有非负性，0a ≥，即a 的最小值为0，但根据绝对值的代数意义求一些复杂问题的最值就要采用分类讨论法，比较麻烦。

若根据绝对值的几何意义求最值就能够把一些复杂的问题简单化。

例1：已知13M x x =-++，则M 的最小值是。

【思路点拨】用分类讨论法求出13x x -++的最小值是4,此时31x -≤≤。

如果我们从绝对值的几何意义来看此题,就是在数轴上求一点,使它到点1和点3-的距离之和为最短。

显然,若3x <-,距离之和为[1(3)]2(3)4x --+-->;若31x -≤≤,距离之和为1(3)4--=;若1x >,距离之和为[1(3)]2(1)4x --+->。

所以, 当31x -≤≤时,距离之和最短,最小值为4。

故M 的最小值为4。

二、利用配方法求最值完全平方式具有非负性，即2()0a b +≥。

一个代数式若能配方成2()m a b k ++的形式，则这个代数式的最小值就为k 。

例2：设,a b 为实数，求222a ab b a b ++--的最小值。

【思路点拨】一是将原式直接配方成与,a b 的完全平方式有关的式子可以求出最小值。

二是引入参数设222a ab b a b t ++--=，将等式整理成关于a 的二次方程，运用配方法利用判别式求最值。

解：(方法一) 配方得：当10,10,2b a b -+=-=即0,1a b ==时，上式中不等号的等式成立，故所求的最小值222222222(1)21331()242413()(1)1124a ab b a b a b a b b b a b b b a b ++--=+-+--=++---=++--≥-为1-。

应用均值不等式求最值的几种技巧

当且仅５４ — ｘ
即ｘ时等号成立。＝ｌ
分析：＜ｘ知８２＞０利用均值不等式求最值，由Ｏ＜４－ｘ，必须和为
定值，或积为定值，此题为两个式子的积的形式，其和不是定值，但
故当ｘ＝１．数ｆｘ）得最大值１时函（取
“ ＝＂
・
取
当＝３时
．
当且仅当ｘ时取 “ 号＝１＝”
，
．
，
函数取得最大值２ √。
当＋Ｏｘ一，５、＋（＝ｘＩＲ＜ｌｙ一／４ｌ＜ｐ时 ≤ （））ｆ
当且仅当Ｘ＝－３取 “ 号时＝”
总之利用均值不等式求最值时，定要注意 “ 正二定三相一一
ａ十Ｄ广＿
摘
要：均值不等式 — ≥ ４ｂ（＞０ｂ，ａａ，＞０当且仅当＝时等号成立）ａｂ是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值及值域的问题。
但是，有些题目必须进行必要的变形才能利用均不等式求解，本文将讨论均值不等式的应用技，供广大师生参考。现，关键词：均值不等式最值技巧中图分类号：７Ｇ１２文献标识码：Ａ文章编号：９９（０２ｏ（）０９－１１７－７５２１）３ａ一０８０６３
均值不等式＋ａｂ≥
，
／（＞，＞，２ａ０ｂ０当且仅当：时等号成立）／ａｂ

代数式求值题的常见题型和解法

值。经常出现的非负数有以下几种形式：次根式（）一个二、
手 ‘ ‘式署＝．．＝一３原
５利用完全平方公式、
若已知与所求中包含ａ＋，ｂａ，几个式子，ｂｏ— ，ｂａ＋ｂ这则
可考虑利用完全平方公式进行求解。
解：ｌ＋Ｉ＋Ｖ一０：２＝，２＝，以由２ｙ２＝得＋０Ｙ一０所
＝一
６配方法、
观察已知，已知某儿个字母的二次项、次项及常数项，若一
２．＝２Ｙ
所以（）三
Ｙ
＝（一）＝一１１。故选曰。
３整体代入法、
已知条件和所求都包含相同的某个式子，可将这个式子作为整体代入所求的式子中，而求出其值。从例３已知２２Ｘ一３求６２９２的值。、Ｘ＋３４＝，Ｘ＋Ｘ一
分析：类题目切记不要解已知中的一元二次方程，代人此再
例４若＿：，、苎３求亏＿
Ｙ＋Ｙ
的值。
分析：已知是两个字母的比值，以可设＝ｙ然后把它所３，代入所求，样分子、母中都含有相同的因式，相同的因这分把式约去后就得到所求式子的值。
就可利用配方将条件转化成几个数的平方和的形式，再利用非
负数的性质确定其中字母的值，最后代入求值。

例谈用基本不等式求函数最值的常用方法

—2
,
当且仅当3x2=丄，即x =更时等号成立，故函数的最
2x
6
小值为痙。
2
二、配凑法
由以上不难看出，为了使所给函数满足三个条件，根据所
给函数的形式，可进行一些项的配凑，以期达到运用不等式的
目的。
例2：已知x>5,求y=-2--- x的最大值。 5-x
分析：各项并不为正，F 5-x 与-X的积不是定值，这时，需
对项进行一些配凑，
=
2 — 5-x +
(5-x)-5
2
=
4x—-25
+(x_5)]_5,
当由 x且>仅5当,知二2-x^---5=+"x-55>,即2>x/2
, =
5
+
<-2\/2—5o
V2,等号成立，则函
数的最大值为-2V2-5o
类似这样的问题，当两个正数的积不为定值时，可通过项的配凑，使之达到运用基本不等式的条件。
教学研究
科学咨询/科技管理
2019年第38期(总第657期)
例谈用基本不等式求函数最值的常用方法
朱八未、、 (甘肃省临夏县中学甘肃临夏 731800)
摘要：例谈用基本不等式求函数最值的常用方法：拆项法、配凑法、常值代换法、基本不等式的连续使用法、换元
法、配系数法等。关键词：基本不等式；求函数最值；常用方法
：例1 已知x>0,求函数y = 3x2 +丄的最小值。 x 分析：已有了 “正”这一条件，要使函数有最小值，还必须有积“定”和“相等”两个条件，为了使积为定值，则可把
y 原函数式化为 = 3x2+ —+ —,根据推广式有 2x 2x

初中函数最值的常用求法

小值
解因为函数 y = － 2x + 3 在－ 1 ≤ x ≤ 2 时，y 随 x 增
大而减小，所以当 x = － 1 时，y最大值 = － 2 × ( － 1) + 3 = 5 ．
当 x = 2 时，y最小值 = － 2 × ( － 1) + 3 = － 1．
1． 2
反比例函数 y =
k x
．
连结 CD 交 AB 于 P，过 D 作 DN ⊥ CA 于 N，则 ∠CND = 90°，ND = AB = 4，CN = CA + AN = 1 + 2 = 3，
所以 CD = 槡CN2 + ND2 = 槡32 + 42 = 5，所以 y 的最小
值为 5．
游戏中的数学知识
浙江省象山县鹤浦中学 315733 奚喜兵
概率”这一原理．用抓阄的方法给新生编班，是因为该新生被
编入五个班级中的其中一个班的机会是均等的，即都是
1 5
，
而五个班主任抓阄时，取到该新生的概率也每人相等，都是
1 5
，所以说用抓阄的方式给新生编班的方法是比较公平合理
( 2) 当 m ≤ x ≤ n 时，比较对称轴直线 x = k，与区间［m，
n］之间的位置关系，充分结合图形，根据函数的增减性确定
函数的最值．
① 若 k ≥ n，则函数在 m ≤ x ≤ n y 随 x 增大而减小．当 x
= m 时，y 有最大值．当 x = n 时，y 有最小值．
② 若 k ＜ m，则函数在 m ≤ x ≤ n; y 随 x 增大而减小，当
中学数学杂志总第 272 期

高三数学三角函数的最值问题分类例析

三角函数的最值问题分类例析三角函数式的最值问题是函数最值的重要组成部分，也是历屉高考的热点之一。

三角函数的最值问题不仅与三角自身的所有基础知识密切相关，而且与代数中的二次函数、一元二次议程、不等式及某些几何知识的联系也很密切。

因此，三角函数的最值问题的求解，往往要综合应用多方面的知识。

三角函数的最值问题的类型很好，其常见类型有以下几种：一、y=asinx+b （或y=acosx+b ）型处理方法：利用()1cos 1sin ≤≤x x 或，即可求解，此时必须注意字母a 的符号对最值的影响。

例1 函数y =a cos x +b （a 、b 为常数），若－7≤y ≤1，求b sin x +a cos x 的最大值. 剖析：函数y =a cos x +b 的最值与a 的符号有关，故需对a 分类讨论.解：当a ＞0时，⇒⎩⎨⎧=+-=+71b a b a a =4，b =－3；当a =0时，不合题意；当a ＜0时，⇒⎩⎨⎧-=+=+-71b a b a a =－4，b =－3. 当a =4，b =－3时，b sin x +a cos x =－3sin x +4cos x =5sin （x +ϕ）（tan ϕ=－34）；当a =－4，b =－3时，b sin x +a cos x =－3sin x －4cos x =5sin （x +ϕ）（tan ϕ=34）. ∴b sin x +a cos x 的最大值为5.例2．例3已知函数()b a x x a x a x f++--=2cos sin 322cos 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，，值域为[5,1]-，求常数a 、b 的值. 解：∵()b a x a x a x f++--=22sin 32cos ，b a x a ++⎪⎭⎫ ⎝⎛--=232cos 2π .∵20π≤≤x ，∴32323πππ≤-≤-x ，∴1 32cos 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-πx .当0a >时，()3b f x a b ≤≤+.∴⎩⎨⎧-==+.513b b a ，解得⎩⎨⎧-==.52b a ，当0a <时，3()a b f x b +≤≤.∴⎩⎨⎧=-=+.153b b a ，解得⎩⎨⎧=-=.12b a ，故a 、b 的值为⎩⎨⎧-==52b a 或⎩⎨⎧=-=12b a感悟：分类讨论是重要的数学思想方法，本例若不对常数a 进行讨论，将会出错。

用均值不等式求最值的方法和技巧

9
评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为
常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式(常常是拆高次的式子)、平方等方式进
行构造。
3、用均值不等式求最值等号不成立。
4(0x1)的最小值。
X
证明:
任取
X1,X
2(0,1］且0
X1
X21,
则f (X1) f (X2) (X1X2)
X2)
4
X2X1/
(X1
X2)
x1x24
X-|X2
x1x2
0,
x-|X24
0,
X1
X2
1，…X,x2
T0
X-|X2
(Xi
—是减函数。
X
-—)
X-Ix2
值5。
般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。
4、条件最值问题。
例4、已知正数x、y满足8丄1，求x 2y的最小值x y
解法一：（利用均值不等式）
3
3
abc,
(a、
3
b、c R ),当且仅当a = b = c时,“=”
R）,当且仅当
a = b = c时，“=”
注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：
② 熟悉一个重要的不等式链：占不 —占■ ^2b
a b
三“等”.
、用均值不等式求最值的常见
的方法和技巧
1、求几个正数和的最小值。
1
2（x
2（x1）
2、求几个正数积的最大值。
例2、
求下列函数的最大值:
32x）（0 x）
2
x2
(3
sin2x cosx(0 x —)
2
解析:

高中数学解题方法系列：用基本不等式求最值的4种策略

高中数学解题方法系列：用基本不等式求最值的4种策略基本不等式ab b a ≥+2（0,0>>b a 当且仅当b a =时等号成立）是高中必修五《不等式》一章的重要内容之一，也是高考常考的重要知识点。

从本质上看，基本不等式反映了两个正数和与积之间的不等关系，所以在求取积的最值、和的最值当中，基本不等式将会焕发出强大的生命力，它将会是解决最值问题的强有力工具。

本文将结合几个实例谈谈运用基本不等式求最值的三大策略。

一、基本不等式的基础知识[1]基本不等式：如果0,0>>b a ，则ab b a ≥+2，当且仅当b a =时等号成立。

在基本不等式的应用中，我们需要注意以下三点：“一正”：a 、b 是正数，这是利用基本不等式求最值的前提条件。

“二定”：当两正数的和b +a 是定值时，积ab 有最大值；当两正数的积ab 是定值时，和b +a 有最小值。

“三相等”：b a =是ab b a =+2的充要条件，所以多次使用基本不等式时，要注意等号成立的条件是否一致。

二、利用基本不等式求最值的四大策略策略一利用配凑法，构造可用基本不等式求最值的结构通过简单的配凑（凑系数或凑项）后，使原本与基本不等式结构不一致的式子，变为结构一致，再利用均值不等式求解最值。

题型一配凑系数例1 设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。

分析：因为x x x 23)23(4+=-+不是个定值，所以本题无法直接运用基本不等式求解。

但凑系数将4x 拆为x 22⋅后可得到和3)23(2=-+x x 为定值，从而可利用基本不等式求其最大值。

解：因为230<<x ，所以023>-x 故2922322)23(22)23(42=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=23,043x 时等号成立. 所以原式的最大值为29. 题型二配凑项1 配凑常数项例2 已知54x <，求函数54124-+-=x x y 的最大值。

用均值不等式求最值的方法和技巧

用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a= b = c 时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。

二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧 1、求几个正数和的最小值。

例1、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。

解析：21(1)2(1)y x x x =+>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-21111(1)222(1)x x x x --=+++>-1≥312≥+52=，当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。

评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。

通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。

2、求几个正数积的最大值。

例2、求下列函数的最大值：①23(32)(0)2y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<<解析：①30,3202x x <<-> ∴，∴23(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=⋅⋅-3(32)[]13x x x ++-≤=，当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。

求式子最值的几种常见的方法

求式子最值的几种常见的方法我任教新教材已有二个轮回了，通过这几年教学和学习中，总结了几种求式子最值的常用方法，式子最值主要还是求函数最大值和最小值。

第一种方法是熟练利用基础函数的一些性质，基础函数包括指数函数、对数函数、幂函数、三角函数，这此函数图像和性质，学生必须牢牢记住掌握。

比如二次函数在实数内求最值，只求对称轴函数值即可。

再加上开口方向就定出最大或最小值。

比如：y=sinx 有实数内求最大或最小值，掌握正弦函数性质，直接指出最大值是1，最小值是-1 。

若求基础函数在定义域内某一个区间内最值，就得看此区间函数单调情况再求最值。

方法二：利用单调性求最值，比如：y=1x-2 在区间[3 ，4] 上最值，先证明y=1x-2 在[3 ，4] 上是单调递减的，所以x=3时，y最大1, x=4时，y最小1/2。

方法三：利用线性规划求最值例如：若变量x, y满足y < 1x+y> Ox-y-2 < 0则z=x-2y 取值范围点。

A.[-1 ，3)B.[-3 ，1)C. [-3 ，3）D. [-1 ，1）先画可行域，画直线x-2y=0 ，平移直线x-2y=0 在可能域内求使，z= x-2y 产生最值的最优解，代入z= x-2y ，选C。

有些函数最值还可以把线性规划问题加深求非线性目标函数最值，常利用式子几何意义来求，如：已知实数x ,满足约束条件x >-1y > 0x+y> 1贝（x+2）2+y2 最小值是解决这个问题利用几何意义在可行域内找一点到（-2 ，0）点距离平方最小，最后得9/2 ，这些类型还有利用斜率意义等。

方法四：利用不等式求最值利用不等式求最值，常用基本不等式2，a>0，b>0，则a+b>2ab这个式子必须有一个固定值，当a+b确定能求出，ab积最大值，当ab积固定时能求出a+b的最小值，但在a=b 前提下。

老师在教学中给同学总结一正、二定、三相等'例如：设a>b>c, n € N且1a-b+1b-c > na-c恒成立，求n的最大值是（）A. 2B. 3C. 4D. 6解决这道题实际上就是求（a-c）（1a-b+1b-c ）的最小值，上式变形[ （a-b）+（b-c ）][ 1a-b+1b-c] 展开后利用重要不等式求出选G利用不等式2求最值例子很多……，但利用不等式1, a2+b2>2ab, a,b 是实数题型也有，例如：在厶ABC中，A, B, C所对边a , b c若a2+b2=2c2, 求cosC 最小值为( )A . 32 B. 22 C. 12 D. -12解这道题先用余弦定理cosC=a2+b2-c22ab,再利用不等式1放缩a2+b2-c22ab > a2+b2-c2a2+b2=c22c2=12,选C方法五：利用函数求导方法求最值例求函数f (x)=x3+x2-x 在［-2 ，1］上最大值与最小值，先求f (x)的导，y' =3x2+2x-1，令y' =0 求根x1=-1 , x2=13,再求f (-2), f (-1 ), f (13), f (1)的函数值。

利用基本不等式求最值的方法

利用基本不等式求最值的方法有多种，以下列举了其中六种方法：
1.配凑法：通过观察式子中的各项，尝试将其配成基本不等式的形式，从而求出最值。

2.均值不等式：对于一组正数a1, a2, ..., an，其算术平均值大于等于几何平均值，即
(a1+a2+...+an)/n >= sqrt(a1a2...*an)。

利用此不等式，可以将式子变形，从而求出最值。

3.等号成立条件：在使用基本不等式时，需要注意等号成立的条件。

例如，在使用均值不
等式时，只有在a1=a2=...=an时，等号才会成立。

4.换元法：在求解一些复杂的不等式时，可以通过换元法将问题简化。

例如，设a=a1/b1,
b=a2/b2, ...，将原式化简后再使用基本不等式求解。

5.对勾函数性质：对勾函数是一种特殊的函数形式，其性质可以用来求解一些复杂的不等
式。

例如，当x>0时，x+1/x >= 2 (当且仅当x=1时取等号)。

6.三角不等式：对于一些涉及到三角函数的式子，可以使用三角不等式来求解。

例如，
|sin(a)-sin(b)| <= |a-b|。

用均值不等式求最值的方法和技巧

用均值不等式求最值的方法和技巧-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。

二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧 1、求几个正数和的最小值。

例1、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。

解析：21(1)2(1)y x x x =+>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-21111(1)222(1)x x x x --=+++>-1≥312≥+52=，当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。

评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。

通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。

2、求几个正数积的最大值。

例2、求下列函数的最大值：①23(32)(0)2y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<<解析：①30,3202x x <<->∴，∴23(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=⋅⋅-3(32)[]13x x x ++-≤=，当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。

最值怎么求

最值怎么求
常见的求最值方法有:
1、配方法: 形如的函数,根据二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的最值。

2、判别式法: 形如的分式函数, 将其化成系数含有y的关于x的二次方程。

由于, ∴≥0, 求出y的最值, 此种方法易产生增根, 因而要对取得最值时对应的x值是否有解检验。

3、利用函数的单调性首先明确函数的定义域和单调性, 再求最值。

4、利用均值不等式, 形如的函数, 及≥≤, 注意正,定,等的应用条件, 即: a, b均为正数, 是定值, a=b的等号是否成立。

5、换元法: 形如的函数, 令,反解出x, 代入上式, 得出关于t的函数, 注意t的定义域范围, 再求关于t的函数的最值。

还有三角换元法, 参数换元法。

6、数形结合法形如将式子左边看成一个函数, 右边看成一个函数, 在同一坐标系作出它们的图象, 观察其位置关系, 利用解析几何知识求最值。

求利用直线的斜率公式求形如的最值。

7、利用导数求函数最值2。

首先要求定义域关于原点对称然后判断f(x)和f(-x)的关系：若f(x)=f(-x),偶函数；若f(x)=-f(-x),奇函数。

如：函数f(x)=x^3,定义域为R,关于原点对称；而f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x),所以f(x)=x^3是奇函数。

又如：函数f(x)=x^2,定义域为R,关于原点对称；而f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x),所以f(x)=x^3是偶函数。

求多元函数最值的常用方法

n a 1 + a 2 + a 3 + ,+ an \ a 1# a 2 #a 3 ,a n n
4b 8c + 的最小值。 a + b+ 2 c a + b+ 3 c a + 2 b+ c = x a = - x + 5y - 3 z 解: 令 a + b + 2 c = y , 则 b = x - 2y + z a + b+ 3 c = z c= - y + z _u = - x + 2y 4x - 8y + 4z 8z - 8y + x y z y x + 2 x y + 4 z y + 2 y z
本题通过巧用常数 / 10 构造出了符合柯西不等式的形式及条件, 继而达到解题目的。
6
向量法
5
柯西不等式法
柯西不等式 : 设 a 1 , a 2 , ,, an ; b 1 , b 2 , ,, b n 均
在求有些多元函数的最值时 , 恰当构造向量模型, 利用向量的坐标及内积, 常可使复杂问题变得简单明了, 使繁琐的解题显得巧妙与自然。例 6. 已知 x + y = 1, 求 3 x + 2 y 的最大值。解: 由已知, 可取点 M ( 3, 2) , 设 N ( x , y ) 是圆 x + y = 1 上任一点, O 为原点, 则 OM = ( 3, 2) , ON = ( x , y ) , _ | OM | =
2 2 2
1 4 9 1 4 9 + + = ( x + y + z )# + + x y z x y z