专题二 等腰三角形的多解问题与角度计算技巧
初中数学专题02等腰三角形的存在性问题(原卷版)
专题二等腰三角形的存在性问题【考题研究】近几年各地的中考数学试题中，探索等腰三角形的存在性问题频频出现，这类试题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思精巧，要求学生要有较高的分析问题的能力和解决问题的能力，这类问题符合课标对学生能力提高的要求。
【解题攻略】在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么；③如图3，如果CA＝CB，那么．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．【解题类型及其思路】解题类型：动态类型：1.一动点类型问题；2.双动点或多动点类型问题背景类型：1.几何图形背景；2.平面直角坐标系和几何图形背景解题思路：几何法一般分三步：分类、画图、计算；代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．【典例指引】类型一【二次函数综合题中根据条件判定三角形的形状】典例指引1．抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A ，点B （1，0），与y 轴交于点C （0，﹣3），点M 是其顶点． （1）求抛物线解析式；（2）第一象限抛物线上有一点D ,满足∠DAB =45°,求点D 的坐标；（3）直线x t = (﹣3＜t ＜﹣1)与x 轴相交于点H ．与线段AC ，AM 和抛物线分别相交于点E ，F ，P ．证明线段HE ，EF ，FP 总能组成等腰三角形.【举一反三】（2020·江西初三期中）如图①，已知抛物线y =ax 2+bx +3（a ≠0）与x 轴交于点A （1，0）和点B （-3，0），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．类型二【利用二次函数的性质与等腰三角形的性质确定点的坐标】典例指引2．（2019·山东初三期末）如图1，已知抛物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴交于点(1,0)A 和点(3,0)B -，与y 轴交于点C .（l ）求抛物线的表达式；（2）如图l ，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接,BE CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标；（3）如图2，在x 轴上是否存在一点D 使得ACD ∆为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由.【举一反三】（2019·广东省中山市中山纪念中学三鑫双语学校初三期中）如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （2，0），B （﹣8，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣8）．（1）求抛物线的解析式；（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，求出点F的坐标；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．类型三【确定满足等腰三角形的动点的运动时间】典例指引3．（2018济南中考）如图1，抛物线平移后过点A（8，,0）和原点，顶点为B，对称轴与轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积；（2）如图2，直线AB与轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，为直角，边MN与AP相交于点N，设，试探求：①为何值时为等腰三角形；②为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．【举一反三】如图所示，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．点D从C出发，沿线段CO以1个单位/秒的速度向终点O运动，过点D作OC的垂线交BC于点E，作EF∥OC，交抛物线于点F．（1）求此抛物线的解析式；（2）小明在探究点D运动时发现，①当点D与点C重合时，EF长度可看作O；②当点D与点O重合时，EF长度也可以看作O，于是他猜想：设点D运动到OC中点位置时，当线段EF最长，你认为他猜想是否正确，为什么？（3）连接CF、DF，请直接写出△CDF为等腰三角形时所有t的值．【新题训练】1．（2020·江西初三）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(﹣2，﹣4)，直线x=﹣2与x轴相交于点B，连接OA，抛物线y=﹣x2从点O沿OA方向平移，与直线x=﹣2交于点P，顶点M到点A时停止移动．（1）线段OA 所在直线的函数解析式是 ；（2）设平移后抛物线的顶点M 的横坐标为m ，问：当m 为何值时，线段P A 最长？并求出此时P A 的长． （3）若平移后抛物线交y 轴于点Q ，是否存在点Q 使得△OMQ 为等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2018·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .（1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.3．（2016·广西中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--+与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ． （1）请直接写出点A ，C ，D 的坐标；（2）如图（1），在x 轴上找一点E ，使得△CDE 的周长最小，求点E 的坐标；（3）如图（2），F 为直线AC 上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．4．（2019·广东广州市第二中学初三）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y＝12-x2＋bx＋c经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，与抛物线y＝12-x2＋bx＋c交于第四象限的F点．（1）求该抛物线解析式与F点坐标；（2）如图，动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AE 13个单位长度的速度向终点E运动．过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．①问EP＋PH＋HF是否有最小值，如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由．②若△PMH是等腰三角形，求出此时t的值．5．（2019·湖南中考模拟）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y 轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．6．（2018·山东中考模拟）如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．7．（2019·山东中考模拟）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C （﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△P AB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．8．（2018·广东中考模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数24y ax bx =+-（0a ≠）的图象与x 轴交于A （﹣2，0）、B （8，0）两点，与y 轴交于点B ，其对称轴与x 轴交于点D ．（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，连结BC ，在线段BC 上是否存在点E ，使得△CDE 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点P （m ，n ）是该二次函数图象上的一个动点（其中m ＞0，n ＜0），连结PB ，PD ，BD ，求△BDP 面积的最大值及此时点P 的坐标．9．（2019·四川中考模拟）如图，已知二次函数y ＝﹣x 2+bx +c （c ＞0）的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ＝3，顶点为M ．（1）求二次函数的解析式；（2）点P 为线段BM 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线PQ ，垂足为Q ，若OQ ＝m ，四边形ACPQ 的面积为S ，求S 关于m 的函数解析式，并写出m 的取值范围；（3）探索：线段BM 上是否存在点N ，使△NMC 为等腰三角形？如果存在，求出点N 的坐标；如果不存在，请说明理由．10．（2019·甘肃中考模拟）如图，已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴相交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴相交于点C （0，﹣3）． （1）求这个二次函数的表达式；（2）若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH ⊥x 轴于点H ，与BC 交于点M ，连接PC ． ①求线段PM 的最大值；②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．11．（2019·安徽中考模拟）如图，已知直线1y x =+与抛物线2y ax 2x c =++相交于点()1,0A -和点()2,B m 两点.（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，当PAB ∆的面积S 最大时，求此时PAB ∆的面积S 及点P 的坐标；（3）在x 轴上是否存在点Q ，使QAB ∆是等腰三角形？若存在，直接写出Q 点的坐标（不用说理）；若不存在，请说明理由.12．（2018·江苏中考模拟）（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线2239y ax ax a =--与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中C （0，3），∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D ，交BC 于点E ，过点D 的直线l 与射线AC ，AB 分别交于点M ，N ．（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△P AD为等腰三角形，求出点P的坐标；（3）证明：当直线l绕点D旋转时，11AM AN均为定值，并求出该定值．13．（2019·重庆中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线，与y轴负半轴交于C点，与x轴交于A、B两点，其中B点的坐标为（3，0），且OB＝OC．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点（其中点M在点N的右侧），在x轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2019·辽宁中考模拟）抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点，且抛物线与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）求出C、D两点的坐标（3）在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标．15．（2020·浙江初三期末）如图，抛物线y＝﹣12x2+2x+6交x轴于A，B两点（点A在点B的右侧），交y轴于点C，顶点为D，对称轴分別交x轴、线段AC于点E、F．（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）连结AD，CD，求△ACD的面积；（3）设动点P从点D出发，沿线段DE匀速向终点E运动，取△ACD一边的两端点和点P，若以这三点为顶点的三角形是等腰三角形，且P为顶角顶点，求所有满足条件的点P的坐标．16．（2020·湖北初三期末）如图，已知二次函数的图象经过点A（4，4），B（5，0）和原点O，P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA相较于点C．（1）求出二次函数的解析式；（2）当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；（3）当点P在直线OA的上方时，是否存在一点P，使射线OP平分∠AOy，若存在，请求出P点坐标；若不存在．请说明理由；（4）当m＞0时，探索是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．17．（2019·吉林初三）如图1，抛物线与y ＝﹣211433x x ++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC 、BC ，点D 是线段AB 上一点，且AD ＝CA ，连接CD ．（1）如图2，点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，在线段BC 上有一动点Q ，连接PC 、PD 、PQ ，当△PCD 面积最大时，求PQ +10CQ 的最小值； （2）将过点D 的直线绕点D 旋转，设旋转中的直线l 分别与直线AC 、直线CO 交于点M 、N ，当△CMN 为等腰三角形时，直接写出CM 的长．18．（2020·江苏初三期末）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x mx n =-++与x 轴交于点A ,B ( A 在B的左侧)(1)如图1，若抛物线的对称轴为直线3,4x AB =-= .①点A 的坐标为( ， )，点B 的坐标为( ， ); ②求抛物线的函数表达式;(2)如图2，将(1)中的抛物线向右平移若干个单位，再向下平移若干个单位，使平移后的抛物线经过点O ，且与x 正半轴交于点C ，记平移后的抛物线顶点为P ，若OCP ∆是等腰直角三角形，求点P 的坐标.。
2014届中考数学(华师版)复习方案：19等腰三角形
∵BD、CE 是两条高，∴∠BDC＝∠CEB＝90°. 又∵BC＝CB，∴△BDC≌△CEB (AAS)． ∴∠EBC＝∠DCB, ∴AB＝AC. ∴△ABC 是等腰三角形． (2)点 O 在∠BAC 的平分线上．理由如下： 连接 AO. ∵△BDC≌△CEB，∴DB＝EC. ∵OB＝OC，∴ OD＝OE. 又∵∠BDC＝∠CEB＝90°，AO＝AO， ∴△ADO≌△AEO(HL)．∴∠DAO＝∠EAO. ∴点 O 是在∠BAC 的平分线上．
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归类探究
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第19课时┃ 等腰三角形
归 类 探 究
探究一 等腰三角形的性质的运用
命题角度： 1. 等腰三角形的性质； 2. 等腰三角形“三线合一”的性质．
例 1 如图 19－1，在等腰三角形 ABC 中， AB＝AC，AD 是 BC 边上的中线，∠ABC 的平分 线 BG，交 AD 于点 E，EF⊥AB，垂足为 F. 求证：EF＝ED.
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第19课时┃ 等腰三角形
考点4
线段的垂直平分线
经过线段的中点且与这条线段垂直的直线叫做这条线 段的垂直平分线 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离
定义
性质
相等 ________
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的
判定
垂直平分线 上 _______________
上的高互相重合，简称“三线合一”
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第19课时┃ 等腰三角形
(1)等腰三角形两腰上的高相等 (2)等腰三角形两腰上的中线相等 (3)等腰三角形两底角的平分线相等 拓 (4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半
2015年人教版中考数学总复习课件(考点聚焦+归类探究+回归教材)：第19课时 等腰三角形(共32张PPT)
失分盲点 分类讨论防漏解 (1)遇到等腰三角形的问题时，注意边有腰与底之分，角 有底角和顶角之分； (2)遇到高线的问题要考虑高在形内和形外两种情况．
考点聚焦 归探究四
等边三角形的判定与性质的综合应用
命题角度： 等边三角形的判定与性质的综合．
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第19课时┃ 等腰三角形
例4 [2014· 温州] 如图19－3，在等边三角形ABC中，点 D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE， 交BC的延长线于点F. (1)求∠F的度数； (2)若CD＝2，求DF的长．
图19－3
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探究二
等腰三角形的判定
命题角度： 等腰三角形的判定．
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例2 [2014· 襄阳] 如图19－2，在△ABC中，点D，E分 别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件： ①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC. (1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等 腰三角形(用序号写出所有成立的情形)? (2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程．
解：(1)∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°. ∵DE∥AB， ∴∠EDF＝∠B＝60°，∠DEC＝∠A＝60°. ∵EF⊥DE， ∴∠DEF＝90°， ∴∠F＝180°－∠DEF－∠EDF＝30°.
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第19课时┃ 等腰三角形
(2)∵∠DEC＝60°，∠DEF＝90°， ∴∠CEF＝30°＝∠F， ∴CE＝CF. 又∵∠EDF＝∠CED＝∠ACB＝60°， ∴△CDE为等边三角形， ∴CD＝CE， ∴DF＝DC＋CF＝DC＋CE＝2CD. ∵CD＝2， ∴DF＝4.
2022人教版数学《精品 等腰三角形的判定2》配套教案(精选)
第2课时等腰三角形的判定教学目标1、理解并掌握等腰三角形的判定定理及推论2、能利用其性质与判定证明线段或角的相等关系.教学重点：等腰三角形的判定定理及推论的运用教学难点：正确区分等腰三角形的判定与性质，能够利用等腰三角形的判定定理证明线段的相等关系.教学过程：一、复习等腰三角形的性质二、新授：I提出问题，创设情境出示投影片．某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上一棵树(B点)为B标，然后在这棵树的正南方(南岸A点抽一小旗作标志)沿南偏东60°方向走一段距离到C处时，测得∠ACB为30°，这时，地质专家测得AC的长度就可知河流宽度．学生们很想知道，这样估测河流宽度的根据是什么？带着这个问题，引导学生学习“等腰三角形的判定”．II引入新课1．由性质定理的题设和结论的变化，引出研究的内容——在△ABC中，苦∠B=∠C，则AB= AC吗？作一个两个角相等的三角形，然后观察两等角所对的边有什么关系？2．引导学生根据图形，写出已知、求证．2、小结，通过论证，这个命题是真命题，即“等腰三角形的判定定理”(板书定理名称)．强调此定理是在一个三角形中把角的相等关系转化成边的相等关系的重要依据，类似于性质定理可简称“等角对等边”．4．引导学生说出引例中地质专家的测量方法的根据．III例题与练习1．如图2其中△ABC是等腰三角形的是[ ]2．①如图3，已知△ABC中，AB=AC．∠A=36°，则∠C______(根据什么？)．②如图4，已知△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，△ABC是______三角形(根据什么？)．③若已知∠A＝36°，∠C＝72°，BD平分∠ABC交AC于D，判断图5中等腰三角形有______．④若已知AD＝4cm，则BC______cm．3．以问题形式引出推论l______．4．以问题形式引出推论2______．例：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，求证这个三角形是等腰三角形．分析：引导学生根据题意作出图形，写出已知、求证，并分析证明．练习：5．(l)如图6，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过F 作DE//BC，交AB于点D，交AC于E．问图中哪些三角形是等腰三角形？(2)上题中，若去掉条件AB=AC，其他条件不变，图6中还有等腰三角形吗？练习：IV课堂小结1．判定一个三角形是等腰三角形有几种方法？2．判定一个三角形是等边三角形有几种方法？3．等腰三角形的性质定理与判定定理有何关系？4．现在证明线段相等问题，一般应从几方面考虑？V布置作业：第2章图形的轴对称复习课学习目标：1、理解轴对称与轴对称图形的概念，掌握轴对称的性质.2、掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质及应用.3、理解等腰三角形的性质并能够简单应用.4、理解等边三角形的性质并能够简单应用.5、能够按要求做出简单的平面图形的轴对称图形，初步体会从对称的角度欣赏设计简单的轴对称图案.重点：掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质、等腰三角形的性质及应用.难点：轴对称图形以及关于某条直线成轴对称的概念，等腰三角形的性质应用复习过程：【课前准备】如何画一个图形关于某条直线对称的图形？【课内探究】知识点整理：1、如果一个图形沿着某条直线折叠．．后，直线两旁的部分能够互相重合．．，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴.轴对称图形是—个具有特殊性质的图形.常见的轴对称图形有：线段、角、等腰三角形、等边三角形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、正n 边形、圆形.2、 把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线就是它们的对称轴.而两个图形中的各自的相对应点叫做关于这条直线的对称点.(1) 轴对称是指两个图形之间的位置关系；(2) 关于某条直线对称的两个图形是互相重合的；如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点所连的线段的垂直平分线.牛刀小试：下面几种图形，一定是轴对称图形的是（ ）3、有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.巩固训练：(1)已知△ABC 中，AB = AC ，其周长为18cm ，AB = 5cm ，则BC = .(2)已知等腰三角形的腰长为4cm ，底边长为6cm ，则它的周长为 .(3)已知等腰三角形的两边长分别为6cm 、3cm ，则它的周长是 .(4)已知等腰三角形一边长为3，另一边为5，则它的周长是 .4、线段垂直平分线、角平分线、等腰三角形的性质：① 等腰三角形的两个底角相等；1、 什么叫轴对称图形？2、 什么叫做两个图形关于某一条直线成轴对称？3、 “轴对称图形”与“两个图形关于某一条直线成轴对称”有什么区别？4、 什么叫做线段的垂直平分线？线段的垂直平分线有什么性质？如何用尺规作出线段的垂直平分线？5、 角的平分线具有什么性质？如何做角平分线？6、 等腰三角形有哪些性质？等边三角形呢？已知哪些条件，可以用尺规做出等腰三角形？7、 如果两个图形关于某直线对称，那么这两个图形具有什么性质？E D B C A ② 等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合；(三线合一) ③ 等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线（或底边上的高或底边上的中线）所在的直线.巩固训练：(1) 已知△ABC 中，AB = AC ，∠C = 50°，则∠B = .(2) △ABC 中，AB = AC ，若AD ⊥BC 于D ，则∠1 ∠2，BD CD.(3) 已知等腰三角形的一个底角为45°，则它的顶角为 .(4) 已知等腰三角形的一个角是70°，则其余两个角的度数是 .(5) 已知等腰三角形的一个角是120°，则其余两个角的度数是 . 思考：本章的作图有哪几种类型？（1）作线段的垂直平分线；（2）作角的平分线；（3）作等腰三角形；（4）作对称点.【巩固提升】1、已知A （-1，1），在y 轴上找一点P,使△AOP 是等腰三角形.这样的P 点可能有几个？2、已知Rt △ABC 中，∠C=90°，DE 垂直平分AB(1)若∠CAD=20°，则∠B=____°(2)若AC=4,BC=5,则△ACD 的周长为______.(3) 若∠B=30°，则∠CAD=____°图中共有几组相等的线段？为什么？【课堂小结】通过今天的学习，你对本章又增加了哪些新的认识？【达标检测】1、下列图形中一定是轴对称的图形是（ ）.A 、梯形B 、直角三角形C 、角D 、平行四边形2、等腰三角形的一个内角是50°，则另外两个角的度数分别是（ ）.A 、65° 65°B 、50°80°C 、65°65°或50°80°D 、50° 50°3、如果等腰三角形的两边长是6和3，那么它的周长是（ ）.A 、9B 、12C 、12或 15D 、154、到三角形的三个顶点距离相等的点是（ ）.A 、三条角平分线的交点B 、三条中线的交点C 、三条高的交点D 、三条边的垂直平分线的交点第1课时 等腰三角形的性质【知识与技能】1.理解掌握等腰三角形的性质.2.运用等腰三角形性质进行证明和计算.、发展形象思维.【过程与方法】、观察、证明等腰三角形的性质,发展学生推理能力.2.通过运用等腰三角形的性质解决有关问题,提高运用知识和技能解决问题的能力.【情感态度】引导学生对图形的观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲,并在运用数学知识解答问题的活动中取得成功的体验.【教学重点】等腰三角形的性质及应用.【教学难点】等腰三角形的证明.一、情境导入，初步认识问题 1 让学生根据自己的理解,做一个等腰三角形.要求学生独立思考,动手做图后,再互相交流评价.可按下列方法做出:作一条直线l,在l上取点A,在l外取点B,作出点B关于直线l的对称点C,连接AB,AC,CB,则可得到一个等腰三角形.问题2 老师拿出事先准备好的长方形纸片,按下图方式折叠剪裁.观察并讨论:△ABC有什么特点?教师指导,并介绍等腰三角形的相关概念,及等腰三角形是轴对称图形.【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知教师依据学生讨论发言的情况,归纳等腰三角形的性质:①∠B=∠C→两个底角相等.②BD=CD→AD为底边BC上的中线.③∠BAD=∠CAD→AD为顶角∠BAC的平分线.∠ADB=∠ADC=90°→AD为底边BC上的高.指导学生用语言叙述上述性质.性质1等腰三角形的两个底角相等(简写成:“等边对等角”).性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线,底边上的高重合(简记为:“三线合一”).教师指导对等腰三角形性质的证明.1.证明等腰三角形底角的性质.教师要求学生根据猜想的结论画出相应的图形,写出已知和求证.在引导学生分析思路时强调:∠B=∠C,需证明以∠B,∠C为元素的两个三角形全等,需要添加辅助线构造符合证明要求的两个三角形.(2)添加辅助线的方法可以有多种方式:如作顶角平分线,或作底边上的中线,或作底边上的高等.“三线合一”的性质.【教学说明】在证明中,设计辅助线是关键,引导学生用全等的方法去处理,在不同的辅助线作法中,由辅助线带来的条件是不同的,重视这一点，要求学生板书证明过程,以体会一题多解带来的体验.例如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.解:∵AB=AC,BD=BC=AD,∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD(等边对等角).设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.于是在△ABC中,有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°,解得x=36°于是在△ABC中,有∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.【教学说明】等腰三角形“等边对等角”及“三线合一”性质，可以实现由边到角的转化，从而可求出相应角的度数.要在解题过程中,学会从复杂图形中分解出等腰三角形,用方程思想和数形结合思想解决几何问题.三、运用新知，深化理解第1组练习:1.如图,在下列等腰三角形中,分别求出它们的底角的度数.2.如图，△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,∠BAC=90°,AD是底边BC上的高,标出∠B,∠C,∠BAD,∠DAC的度数,指出图中有哪些相等线段.3.如图,在△ABC,AB=AD=DC,∠BAD=26°,求∠B和∠C的度数.第2组练习:△ABC是轴对称图形,则它一定是( )°,它的顶角的度数是( )A.80°B.20°°和20°°或50°2cm,并且它的周长为16cm.求这个等腰三角形的边长.4.如图，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB 交AC于E.求证:AE=CE.【教学说明】等腰三角形解边方面的计算类型较多,引导学生见识不同类型,并适时概括归纳,帮学生形成解题能力,注意提醒学生分类讨论思想的应用.【答案】第1组练习答案:1.(1)72°;(2)30°2.∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°;AB=AC,BD=DC=AD3.∠B=77°,∠°第2组练习答案:3.设三角形的底边长为xcm,则其腰长为(x+2)cm,根据题意,得2(x+2)+x=16.解得x=4.∴等腰三角形的三边长为4cm,6cm和6cm.4.延长CD交AB的延长线于P,在△ADP和△ADC中,∠PAD=∠CAD,AD=AD,∠PDA=∠CDA,∴△ADP≌△ADC.∴∠P=∠∵DE∥AP,∴∠CDE=∠P.∴∠CDE=∠ACD,∴DE=EC.同理可证:AE=DE.∴AE=CE.四、师生互动，课堂小结这节课主要探讨了等腰三角形的性质,并对性质作了简单的应用.请学生表述性质,提醒每个学生要灵活应用它们.学生间可交流体会与收获.1.布置作业：从教材“习题”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课时应把重点放在逐步展示知识的形成过程上，先让学生通过剪纸认识等腰三角形；再通过折纸猜测、验证等腰三角形的性质；然后运用全等三角形的知识加以论证.由特殊到一般、由感性上升到理性，逻辑演绎，层层展开，步步深入.。
第02讲 等腰三角形中易漏解或多解的问题(拓展提升)(解析版)
思维导图核心考点聚焦1.求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错2.当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错3.求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错4.三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错1.等腰三角形的性质（1（2角的三线合一图形：1.求等腰三角形的周长，要先考虑三角形的三边是否能构成三角形考点剖析【答案】2516或52或4，则216BP BC cm ==，，，图2③如图3，当图3故答案为：9或【解析】如图，∵AB AC BD =，是AC 边上的中线，即AD CD =，∴()()15123||||cm AB AD BC CD AB BC +-+=-=-=，2121527cm AB BC AC AB BC ++=+=+=，若AB BC >，则3cm AB BC -=，又∵227cm AB BC +=，联立方程组:3227AB BC AB BC -=⎧⎨+=⎩,解得：10cm 7cm AB BC ==，，10cm 10cm 7cm 、、三边能够组成三角形；若AB BC <，则3cm BC AB -=，又∵227cm AB BC +=，联立方程组3227BC AB AB BC -=⎧⎨+=⎩,解得：8cm 11cm AB BC ==，，8cm 8cm 11cm 、、三边能够组成三角形；∴三角形的各边长为10cm 10cm 7cm 、、或8cm 8cm 11cm 、、．【变式训练】1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45︒，那么这个三角形的顶角为（）A ．45︒B ．90︒C ．135︒D ．135︒或45︒【答案】D【解析】如图1，三角形是锐角三角形时，∵45ACD ∠=︒，∵45ACD ∠=︒，∴顶角4590135BAC ∠=︒+︒=综上所述，顶角等于45︒或135如图，当CD 在ABC CD AB⊥ 90BAC ACD ∴∠=︒+∠AB AC= 30B C ∴∠=∠=︒故答案为60︒或30︒过关检测【答案】80︒，65︒或【解析】当C ∠是顶角时，∴180C A ∠=︒-∠-∠当C ∠是底角，A ∠是顶角时，∴180652A C ︒-∠∠==当C ∠、A ∠都是底角时，∴50C A ∠=∠=︒；综上，C ∠的度数可能是故答案为：80︒，65︒或7．在平面直角坐标系中，坐标是【答案】()3,0-或(2,0-【解析】根据题意，作图如下，∵()3,0A ，()0,4B ，∴3,4OA OB ==，在Rt AOB △中，22AB OA OB =+以AB 为腰作等腰三角形ABC ，①1BC BA =，则1ABC 是以AB 为腰作等腰三角形，∴()13,0C -；②2AB AC =，则2ABC △是以AB 为腰作等腰三角形，∴AC 2=5，且3OA =，∴2532OC =-=，则()22,0C -；③3AB AC =，则2ABC △是以AB 为腰作等腰三角形，∴35AC =，∴33358OC OA AC =+=+=，则C 综上所述，点C 坐标是()3,0-或(-故答案为：()3,0-或()2,0-或(8,0)8．在ABC △中，110ABC ∠=︒，点腰三角形，则CDB ∠的度数是【答案】40︒或90︒或140︒【解析】如图1中，当CDB ∠如图3中，当90DBC ∠=︒，DA 40CDB A DBA ∴∠=∠+∠=︒，故答案为：40︒或90︒或140︒．三、解答题9．如图，ABC △中，90C ∠=运动，且速度为每秒2cm ，设运动的时间为(1)当1t =时，求PBC △的面积．(2)当t 为何值时，CP 把ABC △(3)当t 为何值时，BCP △为等腰三角形？【解析】（1）解：当1t =时，PBC ∴△的面积为1BC CP ⨯=故答案为：26cm ．（2）解：ABC 中，∴2AB AC BC =+∵1122AC BC ⨯=∴ 4.8CE =∴226 4.8PE =-∴27.2BP PE ==∴AP AB PB =-=∴82AC AP t +==②如果BC BP =③如果PB PC =∵PB PC =，∴12∠=∠，又∵12A ∠+∠=∠∴3A ∠=∠∴PC PA =，∴PA PB =,即P 在AB 的中点，此时()8513cm CA AP +=+=，132 6.5(t =÷=秒)；综上可知，当3t =秒或5.4秒或6秒或6.5秒时，BCP 为等腰三角形．10．定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图（1），BE 是ABD △的“双等腰线”，AD 、BE 是ABC △的“三等腰线”．(1)请在图（2）中，作出ABC △的“双等腰线”，并标注相等角的度数①70B ∠=︒，35A ∠=︒②81B ∠=︒，27A ∠=︒．(2)直角三角形的______就是它的“双等腰线”(3)已知ABC △中，33C ∠=︒，AD 和DE 分别是ABC △的“三等腰线”，点D 在BC 边上，点E 在AB 边上，且AD DC =，BE DE =，请根据题意写出B ∠度数的所有可能的值______．【详解】（1）解：如图，取CD BC =，则70CDB B ∠=∠=︒，35A ∠=︒ ，703535ACD ∴∠=︒-︒=︒，ACD A ∴∠=∠，AD CD BC ∴==，ADC ∴ 和BCD △是等腰三角形；如图，作AB 的垂直平分线DE ，交AC 于D ，交AB 于E ，连接BD ，AD BD ∴=，27A ABD ∴∠=∠=︒，54CDB ∴∠=︒，81ABC ∠=︒ ，812754CBD BDC ∴∠=︒-︒=︒=∠，CD BC ∴=，ADB ∴ 和BCD △是等腰三角形；（2）直角三角形斜边中线把直角三角形分成两个等腰三角形，故答案为：斜边中线；（3）如图，设B x ∠=，∵33C ∠=︒，AD DC =，∴33C DAC ∠=∠=︒，180114EAD B C DAC x ∠=︒-∠-∠-∠=︒-，∴66ADB ∠=︒∵BE DE =，∴B BDE x ∠=∠=，∴2AED x ∠=，66ADE ADB BDE x ∠=∠-∠=︒-，∵AD 和DE 分别是ABC 的“三等腰线”，∴ADE V 是等腰三角形，当AD DE =时，EAD AED ∠=∠，则1142x x ︒-=，解得38B x ︒==∠；当AD AE =时，ADE AED ∠=∠，则662x x ︒-=，解得22B x ︒==∠；当AE DE =时，EAD ADE ∠=∠，则11466x x ︒-=︒-，无解；综上所述，B ∠度数的所有可能的值为38︒、22︒、66︒、57︒、48︒．故答案为：38︒、22︒．。
八年级上同步习题精讲课件专题二等腰三角形的多解问题
变形3 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上的一点， ∠B＝30°，∠DAB＝45°. (1)求∠DAC的度数； (2)求证：DC＝AB.
(1)∠DAC＝75° (2)∵∠ADC＝∠B＋∠DAB＝30°＋45°＝75°＝ ∠DAC.∴AC＝DC，∵AB＝AC，∴DC＝AB
变形4 如图，已知BC＝CD＝DE＝EA，∠A＝20°. (1)求∠DEC的度数； (2)求∠B的度数． (1)∠DEC＝40° (2)∠B＝60
变形2 如图，在△ABC中，D是BC边上一
点，且BA＝BD，∠DAC＝ ∠1 B，∠C＝
50°，求∠BAC的度数．，∠BDA＝∠C＋∠DAC ＝50°＋x°.∵BD＝BA，∴∠BAD＝∠BDA＝50°＋ x°(等边对等角)．∵∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°， ∴2x＋50＋x＋50＋x＝180.解得x＝20.∴∠BAD＝∠BDA ＝50°＋20°＝70°，∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝70° ＋20°＝90°
专题二 等腰三角形的多解问 题与角度计算技巧
数学 八年级上册
(浙教版)
习题精讲
一 等腰三角形的多解问题
教材母题►(教材P55作业题第4题) 等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分 成15 cm和6 cm两部分．求等腰三角形的底边长． 等腰三角形腰长为10 cm，底边长为1 cm 【思想方法】 分类讨论思想：分类讨论是一种重要 的数学思想，也是各地近年来中考命题的热点．在解题 中，正确、合理的分类，可将一个复杂的问题大大地简 化，达到化繁为简、化难为易的目的． 变形1 一个等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等 腰三角形的周长是 16或17 ．
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
一次函数与等腰三角形的多解问题
一次函数与等腰三角形的多解问题
【例1】在平面直角坐标系中，点A的坐标是()
，，若点P在x轴上，且APO
22
△是等腰三角形，求点P的坐标。
【例2】直线1
=-与坐标轴交于A B
y x
△为等腰三角形，
、两点，点C在坐标轴上，若ABC
求点C的坐标。
练习：已知一次函数1
、两点，点P在坐标轴上，若
y+与x轴、y轴分别交于A B
△是等腰三角形，则满足条件的点P共有几个，求出点P的坐标。
ABP
【例3】 点A B C 、、的坐标分别是
)0、()01，、()41，，点P 在线段BC 上运动，当OAP △为等腰三角形时，求点P 的坐标。
练习：一次函数y=3
3x+2的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，点C （23，0），在直线AB 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形？若存在，求P 点的坐标；若不存在，说明理由。
拓展：如图，P 是y 轴上一动点，是否存在平行于y 轴的直线()0x t t =>，使它与直线y x
=和直线122
y x =-+分别交于点D E 、（点E 在点D 上方），且PDE △是等腰直角三角形。
若存在，求t 的值及点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
八年级13章等腰三角形说课稿6篇
八年级13章等腰三角形说课稿6篇八年级13章等腰三角形说课稿6篇说课稿具有指导性、引导性和评价性等特点，旨在帮助教师提高教学质量，促进学生的学习成效。
说课稿需要教师根据不同学科和教学目标，结合教学资源和学生实际情况进行撰写，确保每一个环节衔接紧密，效果达到预期。
现在随着小编一起往下看看八年级13章等腰三角形说课稿，希望你喜欢。
八年级13章等腰三角形说课稿各位领导、老师们：大家好！今天我说课的内容是义务教育课程标准实验教科书《数学》八年级上册第十二章12.3.1等腰三角形性质第一课时。
下面，我从教材分析、教法分析、学法分析、教学过程、教学反思五个方面来汇报我对这节课的教学设想。
一、教材分析1、教材的地位与作用：本节课内容是在学生掌握了一般三角形和轴对称的知识，具有初步的推理证明能力的基础上进行学习的。
使学生学会分析、学会证明，在培养学生的思维能力和推理能力等方面有重要的作用。
通过等腰三角形的性质反映在一个三角形中“等边对等角”的边角关系，并且是对轴对称图形性质的直观反映（三线合一）。
它所倡导的“观察---发现---猜想---论证”的数学思想方法是今后研究数学的基本思想方法。
等腰三角形的性质也是论证两个角相等、两条线段相等、两条直线垂直的重要依据，因此，本节内容在教材中处于非常重要的地位，起着承前启后的作用。
2、教学目标：知识技能：理解掌握等腰三角形的性质；运用等腰三角形的性质进行证明和计算。
过程方法：通过实践、观察、证明等腰三角形的性质，发展学生合情推理能力和演绎推理能力。
解决问题：通过观察等腰三角形的对称性，及运用等腰三角形的性质解决有关的问题，提高学生观察、分析、归纳、运用知识解决问题的能力，发展应用意识。
情感态度：通过引导学生对图形的观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。
（根据教材内容的地位与作用及教学目标，因此我将把本节课的重点确定为：等腰三角形的性质的探究和应用。
“等腰三角形问题”的前世今生——“和倍问题”在等腰三角形中的变化解析
“等腰三角形问题”的前世今生——“和倍问题”在等腰三角形中的变化解析（小学数学四下内容）等腰三角形是一种特殊的三角形，就像正方形是特殊的平行四边形一样，它在三角形的世界中也有自己不可替代的地位，关于她的谜题也特别引人入胜——“等腰三角形问题”。
一、缘起——等腰三角形的产生与性质“等腰三角形问题”说来话长，首先要从等腰三角形的性质说起。
（一）三角形的共性作为一种特殊的三角形，等腰三角形自然也具备三角形的一般特性：1、由三条线段首尾相连围成（三角形的定义）；2、有3个顶点，3条边，3个角（三角形的特征）；3、任意两边的和大于第三边（三角形的三边关系）——因为要能“围成”，就必须两边和大于第三边；4、三个内角的和是180°（三角形内角和）——三角形可以由平行四边形分割而来，而平行四边形可以转化成长方形，内角和是360°。
（二）等腰三角形的产生在三角形产生之后，人们自然而然地按它的特征将它分类，按角的大小可分成“锐角三角形”（三个角都是锐角的三角形）、“直角三角形”（有一个角是直角的三角形）、“钝角三角形”（有一个角是钝角的三角形），按边的长短可分成“不等边三角形”（三条边互不相等的三角形）、“等腰三角形”（有两条边相等的三角形）、“等边三角形”（三条边都相等的三角形），等腰三角形应运而生。
从概念可以看出，等边三角形是特殊的等腰三角形，而正是等腰三角形这种介乎于一般与特殊之间的“特殊三角形”，才不会像等边三角形那么循规蹈矩（三条边相等，三个角都是60°，一定是锐角三角形），而有最复杂也最迷人的别样风采。
（三）等腰三角形的特性等腰三角形既可以是锐角三角形，也可以是直角三角形、钝角三角形。
由于两边相等，它具有以下特性：1、两腰相等。
相等的两条边由于形象特殊，被命名为“腰”，而第三条边则叫做“底”，与和高垂直的那个底意义是不同的。
2、两底角相等。
“底角”指的是与“底”相邻的两个内角，而两“腰”所夹的角叫做“顶角”。
等腰三角形的角度关系
等腰三角形的角度关系好啦，今天咱们聊聊等腰三角形的角度关系，这可不是那么严肃的话题，咱们轻松点，幽默点。
你知道，等腰三角形就像是那些你身边的朋友，虽然有点不一样，但总能让你感觉到温暖。
想象一下，两个边一样长，这样的三角形就像是一对亲密无间的小伙伴，总是肩并肩站在一起。
这种特性让它们的角度关系也变得特别有趣，嘿，真是一个不一样的三角形世界。
先说说什么是等腰三角形。
就是那种有两条边一样长的三角形。
听起来简单，但它的角度可就有趣了。
你知道吗？这两条边对面的角总是一样的，咱们叫它们“底角”。
所以，如果你看到一个等腰三角形，底角就像那对无话不谈的好友，互相倾诉，永远保持着一致。
就像你和你最好的朋友，总有那么多共同话题，无论走到哪儿，都能聊得热火朝天。
再说说顶角，也就是那条长边对面的角。
顶角就像是这个三角形的王者，高高在上，气势磅礴。
底角的大小决定了顶角的命运，底角越大，顶角越小，反之亦然。
这就好比一场篮球赛，进攻和防守之间的微妙平衡。
底角的小伙伴们越是紧密，顶角就会显得越小；如果底角们放松点，顶角就可以“得意洋洋”了。
嘿，这种关系可真是让人捧腹。
等腰三角形的一个有趣之处就是它的对称性。
想象一下，咱们把这个三角形从顶角往下对折，就像是把一块蛋糕切成两半，结果发现，哇，居然一模一样！这种对称感让等腰三角形充满了和谐美，这就像人生中的很多事情一样，有时候只要找到平衡点，一切都能和谐共处。
生活中总会有高高在上的顶尖人物，但也离不开那些默默奉献的底层力量，彼此成就，才能让这个世界更加美丽。
等腰三角形的角度关系还涉及到一个有趣的定理。
我们知道，三角形的内角和总是180度。
这就是为什么在这三角形中，顶角和两个底角的关系变得特别重要。
设想一下，底角加上顶角得出的结果总是要保持在一个“合理”的范围内。
底角的选择会直接影响到顶角的形态，就像你选择的午餐会影响你接下来的工作状态。
吃得好，工作才能得心应手嘛！嘿，别忘了我们聊的等腰三角形不光是数学课上的那种干巴巴的东西。
等腰三角形“多解”问题集锦
等腰三角形“多解”问题集锦作者：任晓金来源：《中学生数理化·八年级数学人教版》2008年第07期等腰三角形是一种特殊的三角形，除具有一般三角形的性质外，还具有独特的性质，即两底角相等，两腰相等.正是由于它的特殊性质，解答等腰三角形问题时易产生漏解现象.尤其当题目中没有给出具体图形时，更应谨慎解题.现分类举例说明.一角不明确时要分类讨论例1如果等腰三角形的一个角为50°，那么其他两角的大小分别为__.解析：当50°的角为顶角时，则每个底角的大小为：1/2（180°-50°）=65°.当50°的角为底角时，另一个底角也为50°，则其顶角的大小为：180°-2×50°=80°.故答案应为65°，65°或50°，80°.评注：在等腰三角形中，如果给定一个角的度数，求其他两角的度数，求解时要按顶角或底角进行分类讨论.二边不明确时要分类讨论例2等腰三角形的一边长为5 cm，另一边长为4 cm，则它的周长为___.解析：当腰长为5 cm，底边长为4 cm时，则其周长为：5+5+4=14（cm）.当底边长为5 cm，腰长为4 cm时，则其周长为：5+4+4=13（cm）.故答案为14 cm或13 cm.评注：在等腰三角形中，如果给定两边的长，但没有明确哪个为腰长哪个为底边长，则求解时要按腰或底边进行分类讨论.三高不明确时要分类讨论例3等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则等腰三角形顶角的大小为（）.A. 60°B. 120°C. 60°或150°D. 60°或120°解析：因为锐角三角形的高在三角形的内部，而钝角三角形的高可能在三角形的外部，所以本题应分两种情况求解.（1）锐角三角形.如图1所示，AB=AC，∠ABD=30°.因为BD是AC边上的高，所以∠ADB=90°.由三角形的内角和为180°，则∠A=180°-∠ADB-∠ABD=60°.（2）钝角三角形.如图2所示，AB=AC，∠ABD=30°.因为BD是AC边上的高，所以∠ADB=90°.由三角形的内角和为180°，则∠BAD=180°-∠ADB-∠ABD=60°.所以∠BAC=180°-∠BAD=120°.故应选D.评注：由于等腰三角形腰上的高可在等腰三角形内部，也可在等腰三角形外部，因此当等腰三角形腰上的高没有明确在三角形内部或外部时，应分类讨论.四其化情况的分类讨论例4等腰三角形底边长为6，一腰上的中线把其周长分成两部分，两部分的差为2，则其腰长为（）.A. 4B. 8C. 4或8D. 以上都不对解析：如图3，等腰△ABC中，AB=AC，腰AC上的中线BD把周长分成两部分，两部分的差为2.若设腰长AB=AC=x，则AD=DC=1/2x.当（AB+AD）-（BC+DC）=2时，即x+1/2x-6+1/2x=2，则x=8；当（BC+DC）-（AB+AD）=2时，即6+1/2x-x+1/2x=2，则x=4.所以腰长为8或4.故应选C.温馨提示：等腰三角形的两解必须满足“三角形的内角和等于180°”和“三角形两边的和大于第三边”这些条件.请思考如下问题：1. 如果等腰三角形的一个角为120°，那么其他两角的大小分别为___.（答案：30°，30°）2. 等腰三角形的一边长为4 cm，另一边长为9 cm，则它的周长为__.（答案：22 cm）。
部编数学八年级上册专题05等腰三角形的多解问题之六大题型(解析版)含答案
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！专题05利用分类讨论求解等腰三角形中的多解问题之六大题型已知等腰三角形的两边求第三边长产生多解【变式训练】∴等腰三角形的第三边长为6；第二情况：等腰三角形的三边长分别为6cm 、8cm 和8cm ，∵86886-<<+，化简得，2814<<，满足等腰三角形三边关系，∴等腰三角形的第三边长为8；综上所述，等腰三角形的第三边长为6或8，故答案为：6或8．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．已知等腰三角形的两边求周长产生多解例题：（2023上·河北张家口·八年级统考期末）ABC V 是等腰三角形，5,7AB AC ==，则ABC V 的周长为（ ）A ．12B ．12或17C ．14或19D ．17或19【答案】D【分析】根据等腰三角形的定义分两种情况：当腰为5与腰为7时，即可得到答案．【详解】解：当ABC V 的腰为5时，ABC V 的周长55717++=；当ABC V 的腰为7时，ABC V 的周长57719++=．故选：D ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的定义是解题的关键．【变式训练】1．（2023下·山东济南·七年级统考期末）如果等腰三角形有两条边长分别为5，6，那么该等腰三角形的周长等于（ ）A ．16B ．17C ．16或17D ．17或18【答案】C【分析】分类讨论腰，结合等腰三角形性质即可得到答案．【详解】解：由题意可得，当5是腰时，55655-<<+，能组成三角形，周长为：55616++=，当6是腰时，66566-<<+，能组成三角形，周长为：66517++=，故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形性质：两条腰相等，解题的关键是分类讨论，并根据三边关系判断．已知等腰三角形的一角求其他角产生多解【变式训练】已知等腰三角形的一边和周长求其他边长产生多解【变式训练】与等腰三角形有关的问题产生多解∵AB AC =，∴B BCA Ð=Ð，由折叠得：B Ð=设B x Ð=，则AB Ð∵AB AC =，∴ABC BCA Ð=Ð由折叠得：ABC Ð【变式训练】1．（2023下·山西运城·七年级统考期末）如图，在ABC V 中，AB AC =，130BAC Ð=°，AFD △和ABD △关于直线AD 对称，FAC Ð的平分线交BC 于点G ，连接FG ，当DFG V 为等腰三角形时，【答案】50°或65°或80°【分析】先由轴对称可以得出ADB△△△≌就可以得出AFG AGF AGCÐ=GD GF=、DF GF=、DF DG∵BOC ADC ≌△△，150a =°，∴150ADC BOC Ð=Ð=°，∴1506090ADO ADC ODC Ð=Ð-Ð=°-=°°；（2）∵BOC ADC ≌△△，∴ADC BOC a Ð=Ð=，∵OCD V 是等边三角形，∴60ADO a Ð=-°，36010060200AOD a a Ð=°-°--°=°-，∴18040OAD ADO AOD Ð=°-Ð-Ð=°；①当AOD ADO Ð=Ð时，20060a a °-=-°，∴130a =°；②当AOD OAD Ð=Ð时，20040a °-=°，∴160a =°；③当ADO OAD Ð=Ð时，6040a -°=°，∴100a =°，当100a =°或130°或160°时，AOD △是等腰三角形．【点睛】综合考查了全等三角形的性质及等腰三角形的判定；注意应分类探讨三角形为等腰三角形的各种情况是解题的关键．等腰三角形的形状不明时与高线及其他线结合产生多解例题：在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，一腰上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）A ．7B ．7或11C ．11D ．7或10【答案】B【分析】题中给出了周长关系，要求底边长，首先应先想到等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关系，列方程求解，然后结合三角形三边关系验证答案．【详解】解：设这个等腰三角形的腰长为a ，底边长为b ．∵D 为AC 的中点，【变式训练】1．（2023春·辽宁沈阳·八年级校考阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，那么这个三角形的顶角为（ ）A ．45°B ．90°C ．135°D ．135°或45°【答案】D【分析】分三角形是锐角三角形时，利用直角三角形两锐角互余求解；三角形是钝角三角形时，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】如图1，三角形是锐角三角时，∵45ACD Ð=°，∴顶角904545A Ð=°-°=°；如图2，三角形是钝角时，∵45ACD Ð=°，∴顶角4590135BAC Ð=°+°=°，综上所述，顶角等于45°或135°．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．2．（2022·陕西·交大附中分校七年级期末）已知ABC V 中，20B Ð=°，在AB 边上有一点D ，若CD 将ABC V 分为两个等腰三角形，则A Ð=________．【答案】100°，70°，40°或者10°【分析】分BD =CD 、BC =CD 、BD =BC 三种情况讨论即可求解．【详解】第一种请况：BD =CD 时，如图，∵BD =CD ，∠B =20°，∴∠B =∠DCB =20°，∴∠ADC =∠B +∠DCB =40°，（1）当DA =DC 时，∠A =∠ACD ，∵∠A +∠ACD +∠ADC =180°，∠ADC =40°，∴∠A =∠ACD =70°；（2）当DA =AC 时，即有∠ADC =∠ACD =40°，∴∠A =180°-∠ADC -∠ACD =100°；（3）当CD =CA 时，∠A =∠ADC =40°；第二种请况：BC =CD 时，如图，∵∠B =20°，BC =CD ，∴∠B =∠BDC =20°，∴∠ADC=180°-∠BDC=160°，∵△ADC是等腰三角形，∴有∠A=∠ACD，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∴∠A=10°；第三种情况：BC=BD时，如图，∵BC=BD，∴∠BDC=∠BCD，∵∠B=20°，∠B+∠BCD+∠BDC=180°，∴∠BCD=∠BDC=80°，∴∠ADC=180°-∠BDC=100°，∵△ADC是等腰三角形，∴有∠A=∠ACD，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∴∠A=40°；综上所述：∠A的度数为：70°，100°，40°，10°，故答案为：70°，100°，40°，10°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，掌握三角形的性质是解答本题的关键．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．3．（2023上·山东聊城·八年级统考期末）已知BD 是等腰ABC V 中一腰上的高，50ABD Ð=°，则顶角的度数可能有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据等腰三角形的顶角不同，对ABC V 进行分类讨论即可解答．【详解】解：∵50ABD Ð=°，BD 是腰上的高，∴90905040BAD ABD Ð=°-Ð=°-°=°，①如图1，若A Ð为顶角，则40A Ð=°，两底角为70°，此时三角形的三个内角为：40°，70°，70°，②如图2，BAC Ð为顶角，则顶角为140BAC D ABD =+=°∠∠∠，此时三角形的三个内角为：140°，20°，20°，③如图3，若BCA Ð为顶角时，9040A ABD Ð=°-Ð=°，∴40A ABC Ð=Ð=°，即顶角100BCA Ð=°，此时三角形的三个内角为：100°，40°，40°，顶角的度数可能有100°，140°，40°，故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，根据题意，对三角形进行分类讨论是解题的关键．4．（2023上·河南新乡·八年级统考期末）如图，在ABC V 中，AB AC =，40B Ð=°，D 是BC 边上A．80°B．110°【答案】D【分析】根据三角形内角和为180°A ．30°B ．30°或60°C ．50°D ．30°或50°【答案】B 【分析】分两种情况进行讨论，当EF ED =时，根据折叠的性质可知BCD ECD Ð=Ð，设BCD ECD x ÐÐ==，根据等腰三角形的性质可得80EFD EDF ÐÐ==°，则2080x x +°+=°，解出x 即可；当EF DF =时， 根据折叠的性质可知BCD ECD Ð=Ð，设BCD ECD y ÐÐ==，根据等腰三角形的性质可得20E FDE ÐÐ==°，则140EFD Ð=°，则20140y y °++=°，解出y 即可．【详解】解：当EF ED =时，根据折叠的性质可知BCD ECD Ð=Ð，设BCD ECD x ÐÐ==，∵20B Ð=°，∴20FDC x Ð=+°，∵DEF V 为等腰三角形，EF ED =，∴80EFD EDF ÐÐ==°，∵ECD FDC EFD ÐÐÐ+=，∴2080x x +°+=°，解得30x =°，当EF DF =时，根据折叠的性质可知BCD ECD Ð=Ð，设BCD ECD y ÐÐ==，∵20B Ð=°，∴20FDC y Ð=+°，∵DEF V 为等腰三角形，EF DF =，∴20E FDE ÐÐ==°，∴140EFD Ð=°，∵ECD FDC EFD ÐÐÐ+=，∴20140y y °++=°，解得60y =°，综上所述，BCD Ð的度数为30°或60°，故选：B ．【点睛】本题考查了折叠的性质以及等腰三角形的性质，利用外角的性质将角与角建立联系列出方程是解题的关键．二、填空题当40°角为顶角时，如图，∵CA CB =，∴18040702CAB B °-°Ð=Ð==°，过点A 作AG CB ^，交BC 于点G ，∴90AGB Ð=°，【答案】30°或60°【分析】先根据等边对等角求出出DAE Ð的度数，则DAC Ð=Ð【详解】解：∵在ABC D 中，AB三、解答题11．（2023下·吉林长春·七年级统考期末）在ABC V 中，17AB =，8BC =，21AC m =-．(1)求m 的取值范围．(2)若ABC V 是等腰三角形，则ABC V 的周长为______．【答案】(1)513m <<(2)42【分析】（1）根据三角形的三边关系列出关于m 的不等式，求出m 的取值范围即可；（2）根据等腰三角形特征，分AB AC =，AC BC =两种情况进行讨论求解．【详解】（1）解：17AB =Q ，8BC =，21AC m =-，17821178m \-<-<+，即92125m <-<，解得：513m <<；（2）当17AB AC ==时，ABC V 的周长1717842=++=，当8AC BC ==时，8816<17+=，不能构成三角形，故答案为：42．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，等腰三角形定义，解一元一次不等式组，熟知三角形两(1)【问题发现】如图1，当点D为BC的中点时，确定线段论：AD______DE（填“＞”“＜”或“＝”）．(2)【类比探究】如图2，当点D为BC边上任意一点时，确定线段结论，AD______DE（填“＞”“＜”或“＝”），并将如下理由补充完整．\CD DM MC==Q点D为等边ABC \BD DC DM==，Q AB BC CA===\162 MC BD==´同理可证BDP△则BP MQ AM==综上可知，BP的长度为【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质等，解题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质，通过作辅助线构造全等三角形．。
(挑战压轴)专项2.10 二次函数中角度有关问题(三大类)(解析版)
（挑战压轴）专项2.10 二次函数中角度有关问题（三大类）【方法技巧】类型一：将等角问题转化成等腰三角形或平行线问题。
如例1：抛物线y=-x+3x+4,与坐标轴交于点A 、B 、C ，CP ⊥y 轴交抛物线与点P ，点M 为A 、C 间抛物线上一点（包括端点），求满足∠MPO=∠POA 的点M 的坐标。
分析：显然符合条件的点M 有两个，OP 上方一个，OP 下方一个、当M 在OP 上方时，由∠MPO=∠POA 可知PM//OA,则M 与C 点重合。
当M 在OP 下方时，∠MPO=∠POA ，这两角组成的三角形是等腰三角形。
设PM 与x 轴交于点D ，坐标为D(n,0)，由两点间距离公式可表示出OD 、PD 长，根据OD=PD 列方程即可求出D 点坐标，再求出PD 直线表达式与抛物线表达式联立，进而求出M 点坐标。
类型二：将等角问题转化成等角所在三角形相似或等角对应的三角函数（通常是正切值）相等问题。
这类问题有两种情况：一种是所求角的一边与坐标轴平行（重合）；例2如图，抛物线y=x221+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其对称轴交抛物线于点D ，交x 轴于点E ，已知OB=OC=6.（1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）连接BD ，F 为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB 时，求点F 的坐标；解析：通过已知条件易得抛物线表达式为6221y 2+-=x x 及各定点坐标，第二问中的F 有两种情况：x 轴上方一个，x 轴下方一个。
在Rt ⊿BDE 中，可知tan∠EDB=21，则tan ∠FAB=21，过F 作x 轴垂线，构造∠FAB 所在直角三角形，接着通过设F 点坐标，表示FH 和AH 长，根据tan ∠FAB=21=AH FH 列方程，或利用相似三角形对应边成比例列式，从而求出点F 坐标，由于表示FH 时加了绝对值，已经考虑到了上下两种情况，这样两个F 就都求出来了。
八年级数学《等腰三角形》(第2课时)教案
《12．3．1等腰三角形（第2课）》教学设计1、设计理念：本设计把“问题”贯穿于教学的始终，运用“提出问题——探究问题——解决问题”的教学方式，让学生体会发现结论和证明结论的乐趣，使学生在长知识的同时，也长智慧、长能力以及培养良好的思维品质。
让数学思想方法渗透于课堂教学之中。
本设计引导学生运用“转化”思想，将等腰三角形转化为两个全等的三角形；设计中注重首尾呼应，以渗透数学源于生活的思想，培养学生的数学应用意识。
2、学情分析：学生在学习了全等三角形、轴对称、线段的垂直平分线、以及等腰三角形的概念和性质的基础上通过动手操作、观察、探究等活动，运用学过的知识发展思维能力培养学生的应用意识和实践能力，使学生体会数学的作用，能生动活泼地投入到数学学习中去，学生学起来轻松愉快容易产生成就感。
3、教学任务分析：等腰三角形是新人教版八年级数学第十四章第三节的内容,它是在认识了轴对称性以及了解了全等三角形的判定的基础上进行的，是在学生学习了等腰三角形的概念及性质的基础上展开的。
本单元共五课时，本节为第二课时，重点研究等腰三角形的判定方法，从知识的承接关系上看，等腰三角形的判定与性质存在互逆关系，在探索方法和思路上基本相同，前者是探索特殊三角形的边角之间的关系，并将这种特殊关系应用于解决证明关于线段垂直或相等、角相等等问题，后者是根据三角形中部分元素之间的特殊关系探索三角形的形状特征，它既是前面知识的深化和应用，又是今后学习等边三角形的预备知识,还是今后证明角相等、线段相等及两直线互相垂直的依据,因此本节课具有承上启下的重要作用可采用探索发现法完成本节的教学,在教学中以学生参与为主,便于激发学生学习热情,体验成功的喜悦,通过直观的演示和学生自己动手使学生在获得感性知识的同时,为掌握理性知识创造条件,这样更有利于调动学生积极性,激发学生兴趣,使学生变被动学习为积极主动愉快学习,也符合数学教学的直观性和可接受性。
4、学习目标：1．1知识与技能目标：理解等腰三角形的判定方法，能够应用其进行有关证明或计算1.2经历对等腰三角形的判定方法的探索与应用过程，进一步体会添加辅助线构造全等三角形探获线段或角相等的化归转化思想，提高归纳演绎推理技能。
《等腰三角形的判定》教学设计
第2课时等腰三角形的判定【知识与技能】1.理解掌握等腰三角形的判定.2.运用等腰三角形判定进行证明和计算.【过程与方法】通过推理证明等腰三角形的判定定理,发展学生的推理能力,培养学生分析、归纳问题的能力.【情感态度】引导学生观察,发现等腰三角形的判定方法,获得成功的感受，并在这个过程中体验学习的乐趣.【教学重点】等腰三角形的判定定理.【教学难点】等腰三角形判定定理的证明.一、情境导入，初步认识先请学生回忆等腰三角形的性质,再向学生提出下列问题.问题1 如图,位于海上A,B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警,当时测得∠A=∠B.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发,能不能大约同时赶到出事地点(不考虑风浪因素).引导学生作如下思考:(1)应该能同时赶到出事地点,因为两艘救生船的速度相同,同时出发,在相同的时间内走过的路程应该相同,也就是OA=OB,所以两船能同时赶到出事地点.(2)能同时赶到O点位置的一个很重要的因素是∠A=∠B,也就是说如果∠A不等于∠B,那么同时以同样的速度出发就不能同时赶到出事地点.【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.问题2 根据上述探究,建立模型:“在一个三角形中，如果两个角相等，那么它们所对的边也相等”，并证明这个结论.1.指导学生表述结论并写出证明过程.2.指出表述要严谨,如不能说成：“如果一个三角形的两个底角相等，那么它是等腰三角形”.二、思考探究，获取新知例1 求证：如果一个三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.【教学说明】本题是文字叙述的证明题,先应将文字语言转化为相应的数学语言,再根据题意画出相应的几何图形.要证明这个问题,由特征结论联想“等角对等边”，而等角由已知的平行线和角平分线可推得.已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC.(如图所示)求证：AB＝AC.分析：要证明AB＝AC.可先证明∠B＝∠C.因为∠1＝∠2，所以可以设法找出∠B，∠C与∠1，∠2的关系．证明：∵AD∥BC，∴∠1＝∠B(______________________)，∠2＝∠C(______________________)．而已知∠1＝∠2，所以∠B＝∠C.∴AB＝AC(______________)．2．出示教材例3.让学生自学例3.例3已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形．作法：(1)作线段AB＝a.(2)作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D.(3)在MN上取一点C，使DC＝h.(4)连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形．四、课堂小结1．等腰三角形的判定方法是什么？2．等腰三角形的性质与判定既有区别又有联系，你能总结一下吗？五、布置作业教材习题13.3第2，8，10题．三、运用新知，深化理解1.如图,∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°,分别计算∠1,∠2的度数,并说明图中有哪些等腰三角形.2.如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠,重合部分是一个等腰三角形吗?为什么?3.如图,AC和BD相交于点O,AB∥DC,OA=OB.求证:OC=OD.4.如图,在△ABD中,C是BD上的一点,且AC⊥BD,AC=BC=CD.(1)求证:△ABD 是等腰三角形.(2)求∠BAD的度数.【教学说明】上述习题要引导学生边做题边总结,熟悉等腰三角形的性质与判定常与哪些知识在一起应用,等腰三角形性质与判定间有什么区别与联系,并鼓励学生探究一题多解的方法.【答案】1.∠1=72°,∠2=36°;等腰三角形有:△ABC、△ABD、△BCD2.是等腰三角形,可证得∠1=∠23.∵OA=OB,∴∠A=∠B.又∵AB∥DC,∴∠A=∠C,∠B=∠D.∴∠C=∠D,∴OC=OD(等角对等边).4.(1)证明:∵AC⊥BD,∴∠ACB=∠ACD=90°.又∵AC=AC,BC=CD,∴△ACB≌△ACD(SAS).∴AB=AD(全等三角形的对应边相等).∴△ABD是等腰三角形.(2)由(1)可知AB=AD,∴∠B=∠D.又∵AC=BC,∴∠B=∠BAC,∴AC=CD.∴∠D=∠DAC.在△ABD中,∠B+∠D+∠BAC+∠DAC=180°.∴2(∠BAC+∠DAC)=180°,∴∠BAC+∠DAC=90°,即∠BAD=90°.四、师生互动，课堂小结利用问题指导学生总结:问题1 你学会了几种判定等腰三角形的方法?问题2 等腰三角形性质与判定有哪些联系和区别?【总结】本节课主要探究了等腰三角形判定定理,并对判定定理的简单应用有了一定的认识,在利用定理的过程中体会定理的重要性.在直观的探索和抽象的证明中养成一定的逻辑推理能力.1.布置作业：从教材“习题13.3”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.利用等腰三角形的性质定理与判定定理的互逆关系来学习等腰三角形的判定是很重要、很常见的研究问题的方法，本节之前线段垂直平分线的知识的学习及以后学习平行四边形等特殊四边形的知识时会反复用到这种方法.学生刚刚学过等腰三角形的性质，对等腰三角形已经有了一定的了解和认识．因此在课堂教学中先引出等腰三角形的判定定理及推论，并能够灵活应用它进行有关论证和计算．发展学生的动手、归纳猜想能力；发展学生证明用文字表述的几何命题的能力；使它们进一步掌握归纳思维方法，领会数学分类思想、转化思想．。
【2014中考复习方案】(人教版)中考数学复习权威课件：19等腰三角形
考点聚焦 归类探究 回归教材
第19课时┃ 反比例函数
解 析 (1)利用△BDC≌△CEB 证明
∠DCB＝∠EBC；(2)连接AO，通过HL证明
△ADO≌△AEO，从而得到∠DAO＝∠EAO，
利用角平分线上的点到角两边的距离相等， 证明结论． 解：(1)证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.
8，则这个等腰三角形的周长为( C ) A．16 B．20或16 C．20
考点聚焦
归类探究
回归教材
第19课时┃ 反比例函数
解 析 因为已知长度为4和8两边，没有明确哪
条边是底边哪条边是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． ①当4为底时，其他两边长都为8，长为4、8、8的三条线段 可以构成三角形，周长为20； ②当4为腰时，其他两边长分别为4和8， ∵4＋4＝8， ∴不能构成三角形，故舍去．∴答案只有20.
(5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行
(6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰 上的高 (7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于 一腰上的高
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第19课时┃ 反比例函数
考点2
定理
等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对 的边也相等(简写成：____________) 等角对等边 (1)一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰 三角形
等边三角形是轴对称图形，有______ 3 条对称轴
(1)三个角都相等的三角形是等边三角形
判定
(2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
考点聚焦
归类探究
回归教材
第19课时┃ 反比例函数
考点4
定义
三角形在数学解题中的思维方法与技巧
三角形在数学解题中的思维方法与技巧三角形是数学中常见的几何图形之一，广泛应用于解题中。
本文将重点探讨三角形在数学解题中的思维方法与技巧，并给出相关实例来进一步说明。
在解三角形相关的问题时，常常需要运用几何知识和三角函数进行分析和计算。
以下是解题中常用的思维方法与技巧。
1. 利用三角形的基本性质三角形有一些基本的性质，例如三角形内角和为180度，三边之间存在一些关系等。
在解题中，我们可以利用这些性质来得出有用的结论。
例如，题目给出一个三角形的两个角度，要求求出第三个角度的大小。
根据三角形内角和为180度的性质，我们可以得出第三个角度的大小为180度减去另外两个已知角度的和。
2. 利用三角形的相似性质在解决与三角形相似性质有关的问题时，我们可以利用相似三角形的性质来推导出结论。
例如，已知两个三角形的三个角均相等，我们可以推测这两个三角形是全等的。
利用全等三角形的性质，我们可以得出两个三角形的对应边长相等。
3. 利用三角函数三角函数是研究三角形的一类重要工具，应用于解决各种与三角形有关的问题中。
例如，题目给出一个直角三角形的一个角度和对边的长度，要求求出斜边的长度。
我们可以利用正弦函数将所给的已知量与待求的斜边的长度联系起来。
4. 利用三角形的特殊性质三角形有一些特殊的形态，例如等边三角形、等腰三角形等，这些特殊的三角形具有独特的性质，可以帮助我们在解题中找到更加简洁的解法。
例如，题目给出一个等边三角形的边长，要求求出该三角形的面积。
由于等边三角形的高与底边相等，且等边三角形的高与边长有一定的关系，我们可以利用这些性质来计算等边三角形的面积。
在实际解题过程中，我们还可以结合其他几何图形和概念来进一步分析和解决与三角形有关的问题。
以下是一些实例，用来详细说明上述的思维方法与技巧。
实例1：已知一个三角形的两个角度分别为30度和60度，求第三个角度的大小。
解：根据三角形内角和为180度的性质，第三个角度的大小为180度减去30度和60度的和，即90度。
三角形的性质与计算通过三角形性质解决算式问题
三角形的性质与计算通过三角形性质解决算式问题三角形是几何学中的重要概念之一，它具有多种性质和特点，依据这些性质可以解决各种与三角形相关的计算问题。
本文将介绍一些三角形的性质，并结合实际计算问题，探讨如何利用这些性质解决算式问题。
一、三角形的性质1. 三角形的内角和性质三角形的内角和等于180度。
也就是说，三个内角的度数之和是180度。
这个性质可以用来求解未知角的度数，例如已知两个角的度数，可以通过180度减去已知角的和，来求得未知角的度数。
2. 三角形的外角性质三角形的外角等于其对应内角的补角。
例如三角形的一个内角为60度，那么与这个内角相邻的外角则为120度。
这个性质有时可以用来求解未知角的度数，或者用来证明一些三角形的性质。
3. 三角形的边长关系三角形的两边之和大于第三边。
也就是说，如果两边的长度之和小于或等于第三边的长度，那么这三条线段无法构成一个三角形。
这个性质可以用来判断给定边长能否构成一个三角形。
4. 等腰三角形的性质等腰三角形是指两边长度相等的三角形。
等腰三角形的底角（不等边所对的角）相等。
这个性质可以用来求解未知角的度数，或者用来证明一些等腰三角形的性质。
二、通过三角形性质解决算式问题1. 应用内角和性质解决角度问题假设有一个三角形ABC，已知其中两个内角的度数分别为60度和80度，求第三个角的度数。
根据内角和性质，三个角的度数之和为180度，所以第三个角的度数为180度减去已知两个角的和，即40度。
2. 应用边长关系解决边长问题假设有一个三角形ABC，已知边AB的长度为5，边BC的长度为3，求边AC的长度。
根据边长关系，两边之和大于第三边，所以我们可以计算边AC的范围。
边AC的长度必须大于2（5-3），同时小于8（5+3）。
因此，边AC的长度在2到8之间。
3. 应用等腰三角形性质解决角度问题假设有一个等腰三角形ABC，已知两个底角的度数分别为45度，求顶角的度数。
根据等腰三角形的性质，底角相等，所以顶角的度数也为45度。
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变形2 等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是(B) A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20° 变形3 若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25°， 则该三角形的一个底角为( D ) A．32.5° B．57.5°C．65°或57.5° D．32.5°或57.5° 变形4 已知一个等腰三角形两内角的度数之比是1∶4，则
(1)求∠DEC的度数； (2)求∠B的度数． (1)∠DEC＝40°
(2)∠B＝60
变形5 如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且
∠A＝∠D，AB＝DC. (1)求证：△ABE≌△DCE； (2)当∠AEB＝50°时，求∠EBC的度数． (1)证明：∵∠A＝∠D，∠AEB＝∠DEC，AB＝DC， ∴△ABE≌△DCE (2)∵△ABE≌△DCE，∴BE＝CE，∴∠ECB＝
专题二
等腰三角形的多解问
题与角度计算技巧
数 学 八年级上册 (浙教版)
习 题 精 讲
一
等腰三角形的多解问题
教材母题►(教材P55作业题第4题) 等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分 成15 cm和6 cm两部分．求等腰三角形的底边长．
等腰三角形腰长为10 cm，底边长为1 cm
【思想方法】 分类讨论思想：分类讨论是一种重要 的数学思想，也是各地近年来中考命题的热点．在解题 中，正确、合理的分类，可将一个复杂的问题大大地简 化，达到化繁为简、化难为易的目的． 变形1 一个等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等 腰三角形的周长是 16或17 ．
如图，在△ABC中，AB＝AC，CD是∠ACB的角平分线， DE∥BC，交AC于点E，且∠CDE＝25°，求∠A，∠B的度数． ∠A＝80°，∠B＝50° 【思想方法】 “等边对等角”是 与等腰三角形有关的角度计算的主 要根据，常与三角形的外角的性质， 角平分线的性质，平行线的性质结
合在一起考查．
变形1 如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°，点D 是BC边上一点，CD＝AC，求∠1与∠2的度数． ∠1＝72°，∠2＝36°
这个等腰三角形顶角的度数为( C ) A．20°或100° B．120° C．20°或120°
D．36°
变形5 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成 12 cm和21 cm两部分．求这个等腰三角形的底边长． 这个等腰三角形的底边长为5 cm
二
等腰三角形的角度计算
教材母题►(教材P58作业题第5题)
∠EBC.∵∠EBC＋∠ECB＝∠AEB＝50°，∴∠EBC＝25°
变形6 如图，点B，D，F在AN上，点C，E在AG上，且AB＝ BC＝CD，EC＝ED＝EF，∠A＝20°，求∠FEG的大小． ∠FEG＝100°
变形3 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上的一点，
∠B＝30°，∠DAB＝45°. (1)求∠DAC的度数； (2)求证：DC＝AB. (1)∠DAC＝75° (2)∵∠ADC＝∠B＋∠DAB＝30°＋45°＝75°＝
∠DAC.∴AC＝DC，∵AB＝AC，∴DC＝AB
变形4 如图，已知BC＝CD＝DE＝EA，∠A＝20°.
变形2 如图，在△ABC中，D是BC边上一
点，且BA＝BD，∠DAC＝ 50°，求∠BAC的度数．
1 ∠B，∠C＝ 2
设∠DAC＝x°，则∠B＝2x°，∠BDA＝∠C＋∠DAC ＝50°＋x°.∵BD＝BA，∴∠BAD＝∠BDA＝50°＋
x°(等边对等角)．∵∠B＋∠B来自D＋∠BDA＝180°，∴2x＋50＋x＋50＋x＝180.解得x＝20.∴∠BAD＝∠BDA ＝50°＋20°＝70°，∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝70° ＋20°＝90°