电气工程电磁场仿真实验报告

1 4
i , j ( n 1) ( ( n )i 1, j ( n )i , j 1 ( n 1)i 1, j ( n 1)i , j 1 ) （16）
的形式，式中标号（n）为第 n 次计算值，（n+1）为第 n+1 次的计算值。运用式 （16）时，可从 j=1 开始，依次对 i=1,2,3 进行计算；再对 j=2,i=1,2,3 进行计 算；最后当 j=3 时，对 i=1,2,3 进行计算。每完成一次对 i 或 j 的循环，i , j ( n ) 全 部换为 i , j ( n1) ，这叫做完成一次迭代。经过十数次或数十次这样的迭代，当两次 邻近的迭代值相差足够小时， 则可认为得到了电位函数的近似数值解。由于计算 格式十分有规则， 因此上述步骤实际上往往在计算机上进行，这时取步长 h 为更 小值，可提高数值解的精度。
第二步，根据式（7）、式（8）的二阶差分公式，列出 1,2,3,4 各内点泊松 方程的差分表达式。因为 h=b/3，则各内点 1,2,3,4 的矢量磁位 A1 , A2 , A3 , A4 的差 分方程为 内点 1： 内点 2： 内点 3： 内点 4：
A2 A3 A16 A6 4 A1 h2 0 （10）
f f ( x x, y ) f ( x, y ) f ( x, y ) f ( x x, y ) lim lim (1) x 0 x 0 x x x
因此当 | x| 充分小时，可近似地用 替
f ( x x, y ) f ( x, y ) f ( x, y ) f ( x x, y ) 或 代 x x
千个时，手算几乎不可能，这就必须借助计算机进行计算，求解高阶方程组的方 法有赛德尔迭代法及超松弛代法等等。
我们运用分离变量法求得其解析解， 若用差分法则可直接求得场域中离散点 上电位的近似值。首先对场域进行等距剖分，例如，步长 h=0.25，对于正方形 场域则可使用网格线自边界处起始，平行于 y 轴的网格线 x= hi （i=0,4;j=0,4） 由边界条件给出，其内部节点的电位值 i , j （i=1,2,3;j=1,2,3）则待求。电位函 数所满足的拉普拉斯方程的差分离散格式为
式（7）及式（8）即为二阶差分公式。 需要说明的是，用差分近似代替偏微分，必定会产生误差。理论分析表明： 其误差与步长 h2 成比例，因此若网格剖分得愈小，步长 h 就愈小，从而引起的 误差也愈小。 (三)、均匀媒质中泊松与拉普拉斯方程的差分离散格式 设图 2 所示的平行平面场，场域每边长均为 b,场域内电流密度为δ ，媒质 磁导率为 0 ，边界上的矢量磁位值已知，求域内矢量磁位。所提问题为第一类 边值问题，则
工程电磁场及高电压综合实验
一、题目
有一极长的方形金属槽，边宽为 1cm，除顶盖电位为 100sinπ xV 外，其他三 面的电位均为零，试用差分法求槽内电位的分布。
二、解题原理：均匀媒质中的有限差分法
我们在求解场的分布时，当边界形状比较复杂时，解析分析法不再适合了， 我们可以采用数值计算的方法，数值计算法的基本思想，是将整体连续的场域划 分为若干个细小区域，一般称之为网格或单元，如图 1 所示，然后用所求的网格 交点（一般称为节点或离散点）的数值解，来代替整个场域的真实解。因而数值 解，即是所求场域离散点的解。虽然数值解是一种近似解法，但当划分的网格或 单元愈密时，离散点数目也愈多，近似解（数值解）也就愈逼近于真实值。 实解。在此处键入公式。
到小数点后四位） 。
2 划分场域的网格为 11 行 11 列
增加步长，我们把原区域划分为一个 11 行，11 列的网格，计算程序如下：
改变不同的迭代次数值 t，我们得到了不同迭代ຫໍສະໝຸດ Baidu数下的计算结果：
线性赋初值的结果：
1 次迭代后的计算结果：
5 次迭代后的计算结果；
10 次迭代后的计算结果：
50 次迭代的结果：
已知量代入式（10）~式（13）之中，并将各已知量移至等式右端，则得泊松方 程的差分离散格式。即
4 A1
+ A2
+ A3
= h2 0 f6 f16
A1 4 A2 A4 = h2 0 f7 f9 （14） A1 4 A3 A4 = h2 0 f13 f15
图 1 场域的剖分，网格节点及步长
(一）、场域的剖分、网格节点及步长 由边界Γ 所界定的二维平行平面场（见图 1），若采用直角坐标系则可令该 场处在 xoy 平面内。 所谓场域的剖分就是场域的离散化，即将场域剖分为若干个网格或单元。最 常见最简单的剖分为正方形剖分，这种剖分就是在 xy 平面上作许多分别与 x 轴 及 y 轴平行的直线，称为网格线。网格线的交点称为节点或离散点，场域内的节 点称为内节点， 场域边界上的节点称为边界节点。 两相邻网格线间距离称为步长， 一般以 h 表示。 若步长相等则整个场域就被剖分为许多正方形网格，这就是正方 形剖分。节点（离散点）的布局不一定采用正方形剖分，矩形剖分也常采用，正 三角形剖分偶尔也被应用，不过最常见的最简单的仍然是正方形剖分。 （二）、差分与微分 从前面的分析可知，稳恒电、磁场的求解问题，归根到底是求解满足给定边 界条件的偏微分方程（泊松方程或拉普拉斯方程）的解的问题所谓差分方法，就 是用差商近似代替偏微商， 或者说用差分代替微分，从而把偏微分方程转换为差 分方程，后者实际上为代数方程。因此这种转化有利于方程的求解。 下面分别对一阶及二阶的差分公式进行推导。首先回顾有关偏导数的定义，有
线性赋初值的结果：
迭代 1 次的结果：
迭代 5 次的结果：
迭代 10 次的结果：
迭代 20 次的结果：
迭代 50 次的结果：
迭代 100 次的结果:
通过比较，我们发现，在迭代次数到达 20 次时，其误差已经很小，继续迭 代计算结果，发现迭代 50 次和迭代 100 次后的结果已经没有什么差别（只考虑
70 次迭代的结果：
100 次迭代的结果：
150 次迭代后的结果：
200 次迭代的结果：
我们对比结果可以知道，在迭代到 150 次和迭代到 200 次后，其结果已经一 样（同样只考虑到小数点后四位） 。
两次结果对比：
对比不同网格下的电位分布情况，我们能够清楚的看见，当划分的网格越小 时，既步长越短时，我们得到的电位分布情况就越接近实际的分布情况。这样， 如果我们继续缩小我们的步长，进一步地把我们的网格划小，并通过计算来得到 我们就可以得到场域分布情况。 当网格划分的足够小时，其误差在允许的范围内 时，我们就可以用足够多的离散点来描述连续场的分布情况。
Ai 1, j Ai , j A ，用 1、0 两点函数值的差商 近似代替，则有 x h
(
A Ai , j A )0 i 1, j （2） x h
式（2）中之差商，称为向前差商。上述一阶偏微商也可用 0、3 两点函数值 的差商
Ai , j Ai 1, j h
近似代替，称为向后差商，得
Ai 1, j Ai , j
又由于
h
h
Ai , j Ai 1, j h
=
Ai 1, j 2 Ai , j Ai 1, j h2
（6）
所以 (
A 2 Ai , j Ai 1, j 2 A ) i 1, j （7） 2 0 x h2
同理 (
Ai , j 1 2 Ai , j Ai , j 1 2 A （8） ) 0 y 2 h2
1 4
0, j 4, j i ,0 , i ,4 100sin 电位值所应满足的代数方程组。 题设的边界条件：
代入相应的代数方程之中。如 i,j=1，上式即为
i ， 4
1,1 (2,1 1,2 0,1 1,0 )
其中边界值 0,1 = 1,0 =0 应代入方程之中，而 2,1 与 1,2 则为待求量。求解代数方程 组得 i , j （i=1,2,3;j=1,2,3），此即电场中电位分布的数值解。 解代数方程组方法较多，若采用赛德尔迭代法，则可将式（15）改写为
f ，所谓差分公式，即是基于上述观点推得的。 x
设图 1 所示场域中的位函数为 A，任取一网格节点 0，它在 xy 平面上的坐标 为 （ x i , yi ） ， 记节点 0 的矢量磁位为 Ai , j ， 并把与节点 0 相邻的其他四个节点 1、 2、3、4 的矢量磁位分别记为 Ai 1, j 、 Ai , j 1 、 Ai 1, j 、 Ai , j 1 ，将节点 0 处函数 A 的 一阶偏微商
四：实验的心得与体会
我们在求解场域电位分布时，方法大致分为解析法和数值法两种。解析法就 是利用微积分的方法来直接求解系统， 但是当系统的边界条件和受载情况复杂一 点，解析法往往求不出问题的解析解或近似解，解析分析法不再适合了，于是我 们就采用数值计算的方法， 有限差分法就是其中的一种。 数值计算法的基本思想 是用离散的只含有限个未知量的差分方程组去近似地代替连续变量的微分方程
i1, j i, j 1 i 1, j i , j 1 4i , j
即
i , j (i 1, j i , j 1 i 1, j i , j 1 ) （15）
对于本题的网格剖分，i,j=1,2,3，则式（5-54）即为待求的内部节点上的
2 A 0
A | f (si )(i 5,6,,16)
（9）
应用差分法解图 2 所示场域的步骤如下：
图 2 边界与网格线重合 第一步，若采用正方形网格剖分，即将场域剖分为具有四个内点（即点 1,2,3,4），边界与网格线重合的九个离散单元（九个网格）。这就是把连续的 场域进行离散化，从而将求解场域内矢量磁位函数的问题，转化为求 1,2,3,4 各内点的矢量磁位值的问题。
A2
+ A3 4 A4 = h2 0 f10 f12
拉普拉斯方程的差分离散格式则更趋简单，从式（14）所列的矢量磁位的代 数方程可以看出，待求量（ A1 , A2 , A3 , A4 ）的个数与方程式的数目一致。各方程 式左边为待求量，右边各项是乘积 h2 0 与边界节点上矢量磁位之值的代数和， 它们均是已知的。 由于待求量的数目与方程数目一致， 且各方程右端项不尽为零， 故此代数方程组有非零解。 第三步，解代数方程组。当内点较少时，可直接用待元消去法或列式法、张 弛法等进行手算；当内点较多时，即内点数不是几个，十几个，而是成百个，上
1 4
三、编写 MATLAB 程序
按照以上分析的结果，我们编写 MATLAB 程序来计算，并对网格划分程度不 同的情况进行比较。
1 划分场域的网格为 5 行 5 列： 首先，我们取步长较小，构造一个五行五列网格来计算场域的分布： 程序：
改变不同的迭代次数值 t，我们得到了不同迭代次数下的计算结果：
或
(
式（2）~式（5）就是一阶差分公式。 二阶差分公式可以在一阶差分的基础上进一步推出，0 点处的二阶偏微商
(
2 A A ) ( )0 ，如对一阶差商再取差商则得二阶差商为 2 0 x x x
Ai 1, j Ai , j h
h
Ai , j Ai 1, j h
用上式近似代替二阶偏微商就是要推演的二阶差分公式。
A1 A4 A9 A7 4 A2 h2 0 （11） A1 A15 A13 A4 4 A3 h2 0 （12）
A3 A12 A10 A2 4 A4 h2 0 （13）
由于边界各点的矢量磁位值为已知，即
A16 = f16 ， A6 f6 , A9 f9 , A7 f7 , A15 f15 , A13 f13 , A12 f12 , A10 f10 。将上述
(
A Ai 1, j A )0 i , j （3） x h
同理，对于偏微商 (
A )0 也可分别用向前或向后差商近似代替，所得结果为 y
(
A Ai , j A (4) )0 i , j 1 y h A Ai , j 1 A (5) )0 i , j y h