电气工程电磁场仿真实验报告

2 A 0
A | f (si )(i 5,6,,16)
（9）
应用差分法解图 2 所示场域的步骤如下：
图 2 边界与网格线重合 第一步，若采用正方形网格剖分，即将场域剖分为具有四个内点（即点 1,2,3,4），边界与网格线重合的九个离散单元（九个网格）。这就是把连续的 场域进行离散化，从而将求解场域内矢量磁位函数的问题，转化为求 1,2,3,4 各内点的矢量磁位值的问题。
A1 A4 A9 A7 4 A2 h2 0 （11） A1 A15 A13 A4 4 A3 h2 0 （12）
A3 A12 A10 A2 4 A4 h2 0 （13）
由于边界各点的矢量磁位值为已知，即
A16 = f16 ， A6 f6 , A9 f9 , A7 f7 , A15 f15 , A13 f13 , A12 f12 , A10 f10 。将上述
f ，所谓差分公式，即是基于上述观点推得的。 x
设图 1 所示场域中的位函数为 A，任取一网格节点 0，它在 xy 平面上的坐标 为 （ x i , yi ） ， 记节点 0 的矢量磁位为 Ai , j ， 并把与节点 0 相邻的其他四个节点 1、 2、3、4 的矢量磁位分别记为 Ai 1, j 、 Ai , j 1 、 Ai 1, j 、 Ai , j 1 ，将节点 0 处函数 A 的 一阶偏微商
(
A Ai 1, j A )0 i , j （3） x h
同理，对于偏微商 (
A )0 也可分别用向前或向后差商近似代替，所得结果为 y
(
A Ai , j A (4) )0 i , j 1 y h A Ai , j 1 A (5) )0 i , j y h
i1, j i, j 1 i 1, j i , j 1 4i , j
即
i , j (i 1, j i , j 1 i 1, j i , j 1 ) （15）
对于本题的网格剖分，i,j=1,2,3，则式（5-54）即为待求的内部节点上的
Ai 1, j Ai , j
又由于
h
h
Ai , j Ai 1, j h
=
Ai 1, j 2 Ai , j Ai 1, j h2
（6）
所以 (
A 2 Ai , j Ai 1, j 2 A ) i 1, j （7） 2 0 x h2
同理 (
Ai , j 1 2 Ai , j Ai , j 1 2 A （8） ) 0 y 2 h2
Ai 1, j Ai , j A ，用 1、0 两点函数值的差商 近似代替，则有 x h
(
A Ai , j A )0 i 1, j （2） x h
式（2）中之差商，称为向前差商。上述一阶偏微商也可用 0、3 两点函数值 的差商
Ai , j Ai 1, j h
近似代替，称为向后差商，得
到小数点后四位） 。
2 划分场域的网格为 11 行 11 列
增加步长，我们把原区域划分为一个 11 行，11 列的网格，计算程序如下：
改变不同的迭代次数值 t，我们得到了不同迭代次数下的计算结果：
线性赋初值的结果：
1 次迭代后的计算结果：
5 次迭代后的计算结果；
10 次迭代后的计算结果：
50 次迭代的结果：
70 次迭代的结果：
100 次迭代的结果：
150 次迭代后的结果：
200 次迭代的结果：
我们对比结果可以知道，在迭代到 150 次和迭代到 200 次后，其结果已经一 样（同样只考虑到小数点后四位） 。
两次结果对比：
对比不同网格下的电位分布情况，我们能够清楚的看见，当划分的网格越小 时，既步长越短时，我们得到的电位分布情况就越接近实际的分布情况。这样， 如果我们继续缩小我们的步长，进一步地把我们的网格划小，并通过计算来得到 我们就可以得到场域分布情况。 当网格划分的足够小时，其误差在允许的范围内 时，我们就可以用足够多的离散点来描述连续场的分布情况。
1 4
三、编写 MATLAB 程序
按照以上分析的结果，我们编写 MATLAB 程序来计算，并对网格划分程度不 同的情况进行比较。
1 划分场域的网格为 5 行 5 列： 首先，我们取步长较小，构造一个五行五列网格来计算场域的分布： 程序：
改变不同的迭代次数值 t，我们得到了不同迭代次数下的计算结果：
工程电磁场及高电压综合实验
一、题目
有一极长的方形金属槽，边宽为 1cm，除顶盖电位为 100sinπ xV 外，其他三 面的电位均为零，试用差分法求槽内电位的分布。
二、解题原理：均匀媒质中的有限差分法
我们在求解场的分布时，当边界形状比较复杂时，解析分析法不再适合了， 我们可以采用数值计算的方法，数值计算法的基本思想，是将整体连续的场域划 分为若干个细小区域，一般称之为网格或单元，如图 1 所示，然后用所求的网格 交点（一般称为节点或离散点）的数值解，来代替整个场域的真实解。因而数值 解，即是所求场域离散点的解。虽然数值解是一种近似解法，但当划分的网格或 单元愈密时，离散点数目也愈多，近似解（数值解）也就愈逼近于真实值。 实解。在此处键入公式。
已知量代入式（10）~式（13）之中，并将各已知量移至等式右端，则得泊松方 程的差分离散格式。即
4 A1
+ A2
+ A3
= h2 0 f6 f16
A1 4 A2 A4 = h2 0 f7 f9 （14） A1 4 A3 A4 = h2 0 f1
迭代 5 次的结果：
迭代 10 次的结果：
迭代 20 次的结果：
迭代 50 次的结果：
迭代 100 次的结果:
通过比较，我们发现，在迭代次数到达 20 次时，其误差已经很小，继续迭 代计算结果，发现迭代 50 次和迭代 100 次后的结果已经没有什么差别（只考虑
A2
+ A3 4 A4 = h2 0 f10 f12
拉普拉斯方程的差分离散格式则更趋简单，从式（14）所列的矢量磁位的代 数方程可以看出，待求量（ A1 , A2 , A3 , A4 ）的个数与方程式的数目一致。各方程 式左边为待求量，右边各项是乘积 h2 0 与边界节点上矢量磁位之值的代数和， 它们均是已知的。 由于待求量的数目与方程数目一致， 且各方程右端项不尽为零， 故此代数方程组有非零解。 第三步，解代数方程组。当内点较少时，可直接用待元消去法或列式法、张 弛法等进行手算；当内点较多时，即内点数不是几个，十几个，而是成百个，上
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i , j ( n 1) ( ( n )i 1, j ( n )i , j 1 ( n 1)i 1, j ( n 1)i , j 1 ) （16）
的形式，式中标号（n）为第 n 次计算值，（n+1）为第 n+1 次的计算值。运用式 （16）时，可从 j=1 开始，依次对 i=1,2,3 进行计算；再对 j=2,i=1,2,3 进行计 算；最后当 j=3 时，对 i=1,2,3 进行计算。每完成一次对 i 或 j 的循环，i , j ( n ) 全 部换为 i , j ( n1) ，这叫做完成一次迭代。经过十数次或数十次这样的迭代，当两次 邻近的迭代值相差足够小时， 则可认为得到了电位函数的近似数值解。由于计算 格式十分有规则， 因此上述步骤实际上往往在计算机上进行，这时取步长 h 为更 小值，可提高数值解的精度。
千个时，手算几乎不可能，这就必须借助计算机进行计算，求解高阶方程组的方 法有赛德尔迭代法及超松弛代法等等。
我们运用分离变量法求得其解析解， 若用差分法则可直接求得场域中离散点 上电位的近似值。首先对场域进行等距剖分，例如，步长 h=0.25，对于正方形 场域则可使用网格线自边界处起始，平行于 y 轴的网格线 x= hi （i=0,4;j=0,4） 由边界条件给出，其内部节点的电位值 i , j （i=1,2,3;j=1,2,3）则待求。电位函 数所满足的拉普拉斯方程的差分离散格式为
图 1 场域的剖分，网格节点及步长
(一）、场域的剖分、网格节点及步长 由边界Γ 所界定的二维平行平面场（见图 1），若采用直角坐标系则可令该 场处在 xoy 平面内。 所谓场域的剖分就是场域的离散化，即将场域剖分为若干个网格或单元。最 常见最简单的剖分为正方形剖分，这种剖分就是在 xy 平面上作许多分别与 x 轴 及 y 轴平行的直线，称为网格线。网格线的交点称为节点或离散点，场域内的节 点称为内节点， 场域边界上的节点称为边界节点。 两相邻网格线间距离称为步长， 一般以 h 表示。 若步长相等则整个场域就被剖分为许多正方形网格，这就是正方 形剖分。节点（离散点）的布局不一定采用正方形剖分，矩形剖分也常采用，正 三角形剖分偶尔也被应用，不过最常见的最简单的仍然是正方形剖分。 （二）、差分与微分 从前面的分析可知，稳恒电、磁场的求解问题，归根到底是求解满足给定边 界条件的偏微分方程（泊松方程或拉普拉斯方程）的解的问题所谓差分方法，就 是用差商近似代替偏微商， 或者说用差分代替微分，从而把偏微分方程转换为差 分方程，后者实际上为代数方程。因此这种转化有利于方程的求解。 下面分别对一阶及二阶的差分公式进行推导。首先回顾有关偏导数的定义，有
式（7）及式（8）即为二阶差分公式。 需要说明的是，用差分近似代替偏微分，必定会产生误差。理论分析表明： 其误差与步长 h2 成比例，因此若网格剖分得愈小，步长 h 就愈小，从而引起的 误差也愈小。 (三)、均匀媒质中泊松与拉普拉斯方程的差分离散格式 设图 2 所示的平行平面场，场域每边长均为 b,场域内电流密度为δ ，媒质 磁导率为 0 ，边界上的矢量磁位值已知，求域内矢量磁位。所提问题为第一类 边值问题，则
或
(
式（2）~式（5）就是一阶差分公式。 二阶差分公式可以在一阶差分的基础上进一步推出，0 点处的二阶偏微商