第二篇最优控制理论习题答案

达到最小值，试求输入的控制 u(t)。
解：本题属于有约束，始端和终端均固定的情况。
由题意： x& = 4u x(0) = x0 x(T ) = xT
u
4
x
s
构造哈密顿函数： H = x2 + 4u2 + λ ⋅ 4u
λ& = − ∂H = −2x 即 ∂x
∂H = 8u + 4λ = 0 即 ∂u
λ& = −2x λ = −2u
由①式及③式，得 &x& = x 故 x(t) = c1et + c2e−t
λ(t) = −x&(t) = −c1et + c2e−t
代入边界条件
x(0) = 1 ,
(c1 + c2 = 1)
λ(1) = 0 (−c1e + c2e−1 = 0) ,
[终端横截条件 λt f
= ∂φ ] ∂x(t f )
原理求解。
令 H = λ1(−x1 + u) + λ2x1，
φ = x2 (1) ，
λ&1
=
− ∂H ∂x1
= λ1
− λ2,
λ&2
= − ∂H ∂x2
=0，
故 λ&&1 = λ&1 − λ&2 = λ&1
λ1 = c1et + c2
λ2 = c2
由横截条件
λ1(1)
=
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∂φ ∂x1(1)
=
0, λ2
由 x& = 4u 及（1）（2）两式，得： &x& = 4x
（1） （2）
x(t) = c1e2t + c2e−2t
代入边界条件
⎧
⎨ ⎩
x(T
x(0) = c1 + c2 = x0 ) = c1e2T + c2e−2T =
xT
解方程组得： c1
=
xT − x0e−2T e2T − e−2T
,
c2
=
− xT e2T
+ x0e2T − e−2T
x* (t )
=
xT − x0e−2T e2T − e−2T
⋅ e2t
+
−xT + x0e2T e2T − e−2T
⋅ e−2t
u* (t )
=
1 4
x&* (t )
=
xT − 2(e2T
x0e−2T − e−2T
)
⋅ e2t
+
xT − x0e2T 2(e2T − e−2T
第二篇最优控制理论习题答案：
1
∫ 2-1、求通过 x(0)=1，x(1)=2，并使性能指标 J = (x&2 +1)dt 为最小的曲线 x(t)。 0
解：本题属于无约束(无状态方程约束)，始端和终端均固定的泛函极值问题，可用变分法求解。
被积函数
L = x&2 +1,
∂L = 0, ∂x
∂L ∂x&
=
)
⋅ e−2t
2-8、设二阶系统状态方程为 x&1 = −x1 + u, x&2 = x1 ， x1(0)=1，x2(0)=0， u ≤ 1，终端 x(tf)自由。
试确定最优控制 u(t) ,使下列性能指标 J= x2(1) 取最小值。
解：本题为控制受限制； t f 给定， x(t f ) 自由；末值型性能指标的最优控制问题，可用最小值
故最优轨线为 x*(t) = t +1
∫ 2-2、求一阶系统 x&(t) = u(t), x(0) = 1 ，当性能指标为 J = 1 1 (x2 + u2 )dt 取最小值时的最优控
20
制与最优轨线。
解：本题属于有约束，始端固定；终端时间 t f 固定，x(t f ) 自由，控制 u 无限制的泛函极值问题，
2x&,
d dt
⋅
∂L ∂x&
=
2&x&
代入欧拉方程
∂L ∂x
−d dt
⋅
∂L ∂x&
=0,
得 2&x& = 0 ,
即 &x& = 0
x& = c1 , x = c1t + c2 (通解形式)
由边界条件
⎧ ⎨ ⎩
x(0) = x(1) = c1
c2 = + c2
1 =
2
,
解之，得
⎧⎨⎩ cc12
=1 =1
(1)
=
∂φ ∂x2 (1)
=
1
那么 c1e + c2 = 0 ， c2 = 1, ∴c1 = −e−1
所以 λ1(t) = 1 − et−1
由极值条件
H*
=
min
u∈Ω
H
得
u
*
(t)
=
− sgn {λ1 (t )}
不难发现，
λ1(0) = 1 − e−1 > 0 ， λ1(1) = 0
即 λ1(t) = 1 − et−1 > 0,t ∈[0,1)
得 c1 = 0.12, c2 = 0.88
最优轨线 x*(t) = 0.12et + 0.88e−t 最优控制 u*(t) = 0.12et − 0.88e−t
2-5、有一开环系统，包含放大倍数为 4 的放大器和一个积分环节。现加入输入 u(t)，
T
∫ 要将系统从 t=0 时的 x0 转移 到 t=T 时的 xT，并使性能泛函 J = (x2 + 4u2 )dt 0
可用变分法求解。
构造哈密顿函数 H = 1 (x2 + u2 ) + λu 2
注：L = 1 (x2 + u2 ) 2
协态方程 λ& = − ∂H = −x , 即 x = −λ& ① ∂x
极值条件/控制方程 ∂H = u + λ = 0 , 即 u = −λ ② ∂u
由系统的状态方程 x& = u 及②式， x& = −λ, &x& = −λ& ③
故最优控制 u * (t) = −1,∀t ∈[0,1)
∞
∫ 2-9、设线性系统为 x&(t) = u(t), x(0) = 1性能指标为 J = (x2 + u2 )dt 试求最优控制 u(t) ,使性 0
能指标 J 取最小值。
解：本题属于线性定常系统状态调节器问题，
由系统状态方程及性能指标 A = 0, B = 1,Q = 1, R = 1
x&(t) = [ A − BR−1BT K ]x(t) 由 x(0) = 1，解得： x*(t) = e−t
所以： u*(t) = −e−t
代入 Riccati 代数方程
−KA − AT K + KBR−1BT K − Q = 0 −K ⋅0 − 0⋅ K + K ⋅1⋅1⋅1⋅ K −1 = 0
u (t )
1
x (t )
s
‐1
故 K = ±1 取 K = 1 最优控制 u*(t) = −R−1BT Kx(t) = −x(t) 最优轨线是齐次方程 x& = −x 的解