辽宁省朝阳县柳城高级中学高中数学 函数导学案 新人教A版必修1

一问题情境：我们已经利用对数求出了方程0.840.5x

=的近似解，即0.84lg 0.5log 0.5 4.lg 0.84

x ==≈问题（1）如果利用图像能求出0.840.5x =的近似解吗？ 问题（2）利用什么方法可求出方程lg 3x x =-的近似解呢？

二 建构数学：下列每组题目中的两个问题，其结果怎样？

（1）①求一元二次方程2230x x --=的解.____________

②求二次函数223y x x =--的图像与x 轴的交点的横坐标.________________

（2）①方程2

2750x x -+=有没有实数解？有几个解？_______,_________.

②二次函数2275y x x =-+的图像与x 轴有没有交点？有几个交点？_____,______.

我发现（1）中的两个结果______;(2)中的两个结果__________.

由此我们可以知道：一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠的实数根就是二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的函数值___y =时的自变量x 的值.也就是二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与_____轴的交点的_____坐标.因此，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实数根也称为函数2(0)y ax bx c a =++≠的_________.

当0a >时，可以得到方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与函数2

(0)y ax bx c a =++≠的图像之间的关系(如下表) 24b ac ∆=-

0∆> 0∆= 0∆< 20(0)ax bx c a ++=>的

根

2y ax bx c =++

(0)a >的图像

2y ax bx c =++

的零点

一般地，我们把使函数()y f x =的值为0的实数x 称为函数()y f x =的零点，即方程()0f x =的实数根叫做函数()y f x =的零点。

例1：（1）函数()f x x b =+的零点是 ；

（2）函数245y x x =--的零点是 ；

（3）函数2()22x f x =-

的零点是 ； （4）函数3()3f x x x =-的零点是 。

例2：求证：二次函数2

234y x x =+-有两个不同的零点.

例3：判断函数()222f x x x =--在区间()2,3上是否存在零点.

一般地，若函数()y f x =在区间[],a b 上的图像是一条不间断的曲线，且()()0,f a f b ⨯<则函数()y f x =在区间(),a b 上有________.

例3：求证函数()32

1f x x x =++在区间()2,1--上存在零点.

思考：如果0x 是二次函数()y f x =的零点，且0,m x n <<那么()()0f m f n ⨯<一定成立吗？

三、课堂练习：

1.画出函数22y x x =--的图像，并指出函数2

2y x x =--的零点.

2.证明：（1）函数264y x x =++有两个不同的零点；

（2）函数()331f x x x =+-在区间()0,1上有零点.

第二十二课时 函数的零点 (学案)

1.函数2y x =-的零点是 。

2.函数2

()2f x x x a =-+有两个零点，则实数a 的取值范围是 。

3.若(),,()()y f x x R f x f x =∈-=-，当0x >时，()y f x =单调递增，(1)(2)0f f •<，则方程()0f x =的根的个数为 。

4.如果二次函数()y f x =的零点是1-和5，试比较()()()()21,36f f f f -⨯⨯与0的大小关系为 。

5.在二次函数()y f x =中，如果已知()()210,f f -⨯<()()360,f f ⨯<试判断函数两个零点的范围. 。

6.（1）求证：方程210x x ++=没有实数根.

（2） 求证方程322360x x x +--=在区间()1,2上有根。

（3）求证：方程2

5710x x --=的根一个在区间()1,0-上，另一个在区间()1,2上.

7.判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出。

（1）2

()871f x x x =-++；

（2）2()2f x x x =++；

（3）3()1f x x =+；

（4）2412()2

x x f x x +-=-。

8.关于x 的方程2

2(3)2140mx m x m ++++=有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围。

9．已知关于x 的二次方程22210,x mx m +++=若方程有两根，其中一根在区间()1,0-，另一根在区间()1,2内，求m 的取值范围.