定积分的概念引入
高二数学定积分知识点总结
高二数学定积分知识点总结一、定积分的概念1.1 定积分的引入在高中数学中，我们学过了不定积分的概念和性质，定积分就是在这个基础上引入的。
当我们对一个函数进行积分时，如果我们要计算的量是函数在一个区间上的面积或者体积，那么我们就需要用到定积分。
定积分可以看做是一个变量的特定区间上的累积和。
1.2 定积分的定义设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，将[a, b]分成n等分，每个小区间的长度为Δx=n(b-a)，在第i个小区间上任取一点ξi，则f(x)在[a, b]上的定积分为：∫[a,b]f(x) dx=lim{n→∞}∑{i=1}^{n}f(ξi)Δx其中lim{n→∞}表示当n趋向于无穷大时的极限。
1.3 定积分的几何意义定积分的几何意义即函数f(x)在[a, b]上的定积分就是函数y=f(x)与x轴所围区域的有向面积。
1.4 定积分的性质（1）定积分的线性性质：∫[a,b][f(x)+g(x)] dx=∫[a,b]f(x) dx+∫[a,b]g(x) dx（2）定积分的估值性质：若f(x)在[a, b]上连续，则必定存在α∈[a, b]，使得∫[a,b]f(x)dx=f(α)(b-a)1.5 定积分的计算定积分的计算主要是通过不定积分的计算来实现。
通过不定积分求出F(x)的原函数后，即可得到∫[a,b]f(x) dx=F(b)-F(a)。
二、定积分的应用2.1 定积分的物理意义定积分在物理学中有着重要的应用，它可以用来计算物体的质量、重心、压力、力矩等。
在力学中，定积分常用来计算物体的质心以及转动惯量等。
2.2 定积分的几何应用定积分可以用来求曲线与坐标轴所围成的曲边梯形或者曲边梯形的面积，也可以用来计算曲线的弧长、曲线旋转体的体积等几何问题。
2.3 定积分的工程应用在工程问题中，定积分可以用来计算各种曲线的长度、曲线所围成的区域面积、曲线所绕成的物体的体积等。
2.4 定积分的经济应用在经济学中，定积分可以用来计算总收益、总成本、总利润等与变量有关的经济指标。
高等数学自考5.1定积分的概念与性质
a b
b
b
b
a
说明： 可积性是显然的. 在区间 说明： | f ( x ) |在区间[a , b]上的可积性是显然的
23 上一页 下一页
性质6 性质6
设 M 及 m 分别是函数
f ( x ) 在区间[a , b]上的最大值及最小值， 上的最大值及最小值，
性质3 性质3
b
假设a < c < b
c b
∫a f ( x )dx = ∫a f ( x )dx + ∫c
例 若 a < b < c,
f ( x )dx .
补充： 的相对位置如何, 上式总成立. 补充：不论 a , b, c 的相对位置如何 上式总成立
∫a f ( x )dx = ∫a f ( x )dx + ∫b f ( x )dx
§1
定积分的概念与性质
一、定积分概念的引入 二、定积分的定义 三、定积分的几何意义 四、定积分的性质 五、小结
1 上一页 下一页
一、定积分概念的引入
实例1 实例1 （求曲边梯形的面积）
y
y = f (x)
曲边梯形由连续曲线 y = f ( x ) ( f ( x ) ≥ 0) 、
x 轴与两条直线 x = a 、
n
2
1 1 1 = 1 + 2 + , 6 n n
λ →0 ⇒n→∞
2
∫0 x
1
2
dx = lim ∑ ξ i ∆xi
λ → 0 i =1
n
1 1 1 1 = lim 1 + 2 + = . n→ ∞ 6 n n 3
人教版A版高中数学选修2-2：定积分的概念教学内容
求和:求出n个小矩形面积之和，作为曲边梯
n
形面积S的近似值，即S Sn i1
1 f i 1 n n
n
由 Sn
i 1
1 f i 1 n n
n
1
i
1
2
i1 n n
1
0
1
1
2
1
2
2
1
n
1
2
n n n n n n n
1 n3
n
1n2n
1
0.8
0.6
0.4
f(x) = x2
0.2
01
n
0.2
2 3 4 0.5 nn n
i 1 i nn
f (i 1) n
1 n
A
1
f(i) n
f (i 1) n
f(i) n
1 n
1 n
1.5
2
0.4
1.4
以第一种方1.2法为例，可把曲边梯形分割成n个小矩形
1
0.8
0.6
0.4
f(x) = x2
0.2
0
0.5
1
0.2
当分割的小矩形越来越多时，观察所有的矩形面积之 1.4
和与曲边梯形的面积有什么关系
1.2
1
0.8
0.6
n = 10.00
0.4
f(x) = x2
0.2
0
0.5
1
0.2
当分割的1.4小矩形越来越多时，观察所有的矩形面积之 和与曲边梯形的面积有什么关系
1.2
1
0.8
0.6
n = 20.00
即S
定积分的概念
f ( i ) xi ，
i 1
记 max{ x1 , x2 ,, xn }，如果不论对[a, b]
怎样的分法， 也不论在小区间[ xi1 , xi ]上
点i 怎样的取法，只要当 0时，和式总趋于 确定的极限I ，我们称这个极限 I 为函数 f ( x)
在区间[a, b]上的定积分， 记为
积分上限
b a
f ( x)dx
I
lim 0
n i 1
f
(i )xi
积分和
积分下限
被 积 函 数
被
积
[a,b] 积分区间
积
分
表 达 式
变 量
定积分的本质是一种特殊结构的和式的极限
曲边梯形面积A：
n
A lim 0 i1
f (i )xi
记为 b f x dx a
隔[T1 ,T2 ]内，v 的变化不大，可近似看作是
匀速运动问题。按照求曲边梯形面积的思 想。
思路：把整段时间分割成若干个小段，每小段上 速度看作不变。求出各小段的路程再相加，便得到 路程的近似值。最后通过对时间的无限细分过程求 得路程的精确值。
（1）分割 T1 t0 t1 t2 tn1 tn T2 ti ti ti1
sin xdx
1
A2
4
sin
xdx
所以
5
A sin xdx 4 sin xdx
1
内容小结
1. 定积分的定义 — 乘积和式的极限
b
n
a
f ( x)dx lim 0 i1
f (i )xi
2. 定积分的几何意义
高教社2024高等数学第五版教学课件-5.1 定积分的概念与性质
第一节 定积分的概念与性质
一、问题的提出
实例1 (求曲边梯形的面积)
由连续曲线 = ()(() ≥ 0)、
轴、直线 = 、 = 所围成的图形
称为曲边梯形。
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
o
y
a
b
（四个小矩形）
x
o
a
b
x
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．
→0
= max ∆
1≤≤
= σ=1 ± σ=1
=
→0
±
→0
性质1可以推广到有限个可积函数作和或者作差的情况.
性质2 被积函数的常数因子可提到积分号的外面，即
)(
总有下式成立：
)( = )( + )( .
例如，若 < < ，则
=
+
，
故 )( = )( − )(
= )( + )( .
证
因为 ≤ () ≤ ,由性质4得
≤ ≤ )( ,
又 = − ,
故( − ) ≤ ( ≤ )( − ).
性质6(积分中值定理)
∈
[, ]，使)(
设函数()在[, ]上连续，则至少存在一点
定积分的基本概念
方法与手段导入幻灯幻灯幻灯幻灯详讲详讲详讲幻灯下面就是根据这个思想用计算机对其划分过程进行了模拟，通过观察我们可以发现其面积在分割份数特别多的时候已经非常的接近我们的曲边梯形面积了。
事实上我们如果对其切割的份数取极限，让切割的份数趋于无穷，这个极限值就是我们要求的曲边梯形的面积值。
好，下面，我们把曲边梯形的求解过程用数学的方法描述一下。
解决步骤：大化小：在区间[a,b]中任意插入n −1个分点a =x 0<x 1<x 2<⋯<x n−1<x n−1=b ，用直线x =x i 将一个曲边梯形分成n 个小的曲边梯形；常带变：在第k 个窄边梯形上任取ξk ∈[x k−1,x k ]作以[x k−1,x k ]为底，f(ξk )为高的小矩形，并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积∆S k ，得∆S k ≈f (ξk )∆x k (∆x k =x k −x k−1,k =1,2,⋯n) 近似和：S =∑∆S k n k=1≈∑f(ξk )∆x k n k=1取极限：令λ=max {∆x 1,∆x 2⋯,∆x n } S =lim λ→0∑∆S k n k=1=lim λ→0∑f(ξk )∆x k n k=1这样我们就可以求出曲边梯形的面积，我们再看一个定积分问题例子。
（2）变速直线运动的路程：设某物体做直线运动，已知()v v t =在区间[1T ,2T ]上t 的连续函数，且()0v t ≥，求在这段时间内物体所经过的路程s 。
考虑：当()0y f x C ==≥，()0v v t C ==≥时（其中C 为常数），上面问题的求解。
在解决这个问题之前我们先分析一下这个问题与上个问题之间的关系，我们可以发现其实求路程和求面积本身是同一类问题，变化的无非是函数名，区间名称，本质上是一样的，我们其实只需做一个按照上面的思路做一个变量替换就可以了，具体的解决步骤是。
解决步骤： 详讲 总结λ→0是个障碍，我们能不能把λ→0替换掉？其实把[0,1]区间n 等分，λ=1n →0，其实就是n →+∞，lim n→+∞∑(k n )21n n k=1，要求这个极限我需要先求∑(k n )21n n k=1，化简一下可以得到1n 3∑k 2n k=1，∑k 2n k=1=？，∑k 2n k=1=16n(n +1)(2n +1)，lim n→+∞∑(k n )21n n k=1=lim n→+∞n(n+1)(2n+1)6n 3=13。
定积分概念、性质ppt课件
上例曲边图形的面积用定积分表示
S1x2d x lin m (n 1 )2 (n 1 )1
0
n 6 n 3
3
注意：据定义有如下说明:
(1)定积分是特殊和式极限,它是一个定数;
(2)定积分的大小仅与区间[a,b]和被积函数f(x)有关；
(3)规定：
a
f(x)d x0,
b
a
f(x)d x f(x)dx
b f (x)dx
b
g ( x)dx
a
a
推2 论 ：b
.
f(x)d
x
b
f（ x） dx,(ab)
a
a
因f(x)f(x)f(x)
.
性质6（介值定理）：设f(x)在[a,b]上可取得最大值M和最
小值m， 于是， 由性质5有
b
m (ba)af(x)d xM (ba)
几何意义也很明显
性质 7（积分中值若定函理 f(数 x)） 在[a： ,b]上连续，
S曲
lim n
n i 1
S i矩
lim
n
(n
1)( 2n 6n 2
1)
1 0.333 3
.
总结：求曲边梯形面积的步骤 v
引例1——曲边梯形的面积（演示） 引例2——变速直线运动的路程
设物体的运动速度 vvt
分割区间 作和
取近似值 取极限
T1
ti-1 i ti T2 t
（1）细分区间 [ T 1 ,T 2 ] [ T 1 ,t 1 ] U [ t 1 ,t2 ] U L U [ tn 1 ,T 2 ]
曲边梯形的面积，即：
n
S曲
.
lim
n i1
《定积分的概念》PPT课件
一、引入定积分概念的实例 二、定积分的概念 三、定积分的几何意义 四、定积分的性质
一、引入定积分概念的实例
引例1 曲边梯形的面积 曲边梯形 设函数f(x)在区间[a,b](a<b)上非负且连 续，由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴围成的图形称 为曲边梯形，其中曲线弧y=f(x)称为曲边，线段ab称 为底边. 问题 求由x=a, x=b, y=0与y=f(x) 所围成的曲边 梯形的面积.
把各小区间上力F所做的功的近似值加起来，作 为力 在a, b上所做的功的近似值，即 W W i F ( i ) s i .
i 1 i 1 n n
(3)取极限 把所有小区间长度中的最大值记为 max( si ) 则 0时，和式 F ( i ) si的极限值定义为变力
0 i 1
n
我们同样可以用这种“分割，近似、求和，取极 限”的方法解决变力作功的问题.
引例2 变力做功
设某质点作直线运动，已知变力F ( s)是位移s的 连续函数，质点的位移区间为a, b，求变力F做的功.
计算步骤 (1)分割
将闭区间[a, b] 分成n个小区间, 分别为: [ s0 , s1 ],[ s1, s2 ],,[ si 1, si ],,[ sn 1, sn ] 分点为: a s0 s1 s2 si sn 1 sn b 小区间的长分别为: si si si 1 (i 1,2,, n).
b (1)定积分 a f ( x)dx 是积分和式的极限，是一个数值，
定积分值只与被积函数f(x)及积分区间[a,b]有关， 而与积分变量的记法无关.即有
a f ( x)dx a f (t )dt a f (u )du.
定积分的应用教案
定积分的应用教案第一章：定积分的概念1.1 引入定积分的概念解释定积分的定义：定积分是函数在区间上的积累效果，表示为∫ab f(x)dx。
强调定积分表示的是函数在区间上的面积或长度。
1.2 定积分的性质介绍定积分的性质：线性性质、保号性、可积函数的有界性等。
通过示例说明定积分的性质在实际问题中的应用。
第二章：定积分的计算方法2.1 牛顿-莱布尼茨公式介绍牛顿-莱布尼茨公式：如果F(x) 是函数f(x) 的一个原函数，∫ab f(x)dx = F(b) F(a)。
解释原函数的概念：原函数是导函数的不定积分。
2.2 定积分的换元法介绍换元法的步骤：选择适当的代换变量，求导数，计算新积分。
通过具体例子演示换元法的应用。
第三章：定积分在几何中的应用3.1 平面区域的面积解释平面区域面积的概念：平面区域内所有点的坐标的绝对值的平均值。
利用定积分计算平面区域的面积，示例包括矩形、三角形、圆形等。
3.2 曲线围成的面积介绍利用定积分计算曲线围成的面积的方法：选择适当的上下限，计算定积分。
通过具体例子演示计算曲线围成的面积。
第四章：定积分在物理中的应用4.1 定积分与力的累积解释力的累积概念：力在一段时间内的积累效果。
利用定积分计算力的累积，示例包括恒力作用下的位移、变力作用下的位移等。
4.2 定积分与功的计算介绍利用定积分计算功的方法：计算力与位移的乘积的定积分。
通过具体例子演示计算功的应用。
第五章：定积分在经济学中的应用5.1 定积分与总成本解释总成本的概念：企业在生产一定数量产品所需的成本。
利用定积分计算总成本，示例包括固定成本和变动成本的情况。
5.2 定积分与总收益介绍利用定积分计算总收益的方法：计算产品的售价与销售数量的乘积的定积分。
通过具体例子演示计算总收益的应用。
第六章：定积分在概率论中的应用6.1 定积分与概率密度解释概率密度的概念：随机变量在某个区间内的概率。
利用定积分计算概率密度，示例包括均匀分布、正态分布等。
4.4定积分的概念和性质
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曲边梯形面积的近似值为
n
A f (i )xi
i 1
当分割无限加细,即小区间的最大长度
max{x1, x2 , xn }
趋近于零 ( 0) 时，
n曲边梯形面积为Alim0 i1
f (i )xi
乘积和式的极限
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引例2 （求变速直线运动的路程）
设某汽车作直线运动，已知速度 v v(t ) 是时间间隔 [T1 ,T2 ]上 t 的一个连续函数，且 v(t ) 0，求汽车在这段时间内所经过的路程.
***************
定积分的概念-------和式的极限，是一个数值!
4.4.1 定积分的概念
一、问题引入
引例1 （求曲边梯形的面积）
何谓曲边梯形？
定义：它有一条曲边，三条直 线段，其中两条互相平行，第 三条与前两条互相垂直。
图C
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平面封闭图形均可理解成 数个曲边梯形的集合。
4.4.1 定积分的概念
主
要 内
4.4.2 定积分的性质
容
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本节知识目标
1.理解定积分概念和几何意义 2.掌握定积分的运算性质
有关知识回顾: lim f (x) A xx0
极限的定义 --------极限是一个数值.
不定积分 f (x)dx -----求 f (x) 的所有原函
数，是函数而不是数值。
n
路程的精确值
s
lim
0
i 1
v(
i
)ti
乘积和式的极限 上页 下页 返回
总结：
上述两个实际问题，虽然意义不同 ，但解决问题的方法完全相同，都是采 用 分割，取近似值，求和，求极限四个 步 骤，并且结果具有完全相同的数学模
《定积分的概念》教学教案
《定积分的概念》教学教案教学教案《定积分的概念》一、教学目标1.理解定积分的概念和基本性质；2.掌握计算定积分的方法和技巧；3.运用定积分解决实际问题。
二、教学重点1.定积分的概念和基本性质；2.计算定积分的方法和技巧。
三、教学难点1.理解定积分的概念和基本性质；2.运用定积分解决实际问题。
四、教学准备1.教材：数学教材、习题集等；2.工具：黑板、粉笔等。
五、教学过程Step 1 知识导入（5分钟）1.复习集中讨论上一节课的内容，引入定积分的概念。
2.提问：你们对定积分有什么了解？Step 2 定积分的概念（20分钟）1. 导入：引入定积分的基本概念，如Riemann和、分割、积分和面积的关系等。
2.讲解：通过具体的例子，解释定积分的定义和意义。
3.提问：如何通过曲线的面积概念引入定积分？Step 3 定积分的基本性质（15分钟）1.引入：引入定积分的基本性质，如线性性质、区间可加性、保号性等。
2.讲解：通过具体例子验证定积分的基本性质。
3.提问：如何理解定积分的线性性质？Step 4 计算定积分（25分钟）1.导入：通过几何问题，引入定积分的计算方法。
2.讲解：教授求定积分的方法和技巧，如代数法、几何法、换元法等。
3.举例：通过具体的例子讲解并计算定积分。
4.练习：让学生完成相应的练习题。
Step 5 运用定积分（20分钟）1.导入：通过实际问题引入定积分的应用。
2.讲解：教授定积分在物理学和经济学等领域的应用。
3.举例：通过实际问题的例子，展示定积分的应用过程。
4.提问：你对定积分的应用有何感悟？Step 6 拓展延伸（15分钟）1.讲解：让学生了解定积分的应用不仅限于一元函数，还可以推广到二元和多元函数。
2.提问：你能举例说明定积分在二元和多元函数中的应用吗？六、教学总结（10分钟）1.复习：对本节课的知识点进行复习。
2.总结：对本节课的教学内容进行总结，概括定积分的概念、基本性质和计算方法。
高中数学定积分的概念教案新人教版选修
高中数学定积分的概念教案新人教版选修一、教学目标1. 理解定积分的概念，掌握定积分的定义方法和性质。
2. 学会利用定积分解决实际问题，提高运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力、创新能力和合作能力。
二、教学内容1. 定积分的概念：定积分的定义、定积分的性质。
2. 定积分的计算：牛顿-莱布尼茨公式、定积分的换元法、分部积分法。
3. 定积分在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 重点：定积分的概念、性质，定积分的计算方法。
2. 难点：定积分的理解和运用，定积分的计算技巧。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究定积分的概念和性质。
2. 利用案例分析法，让学生学会将实际问题转化为定积分问题。
3. 运用讨论法，培养学生的合作能力和创新思维。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生思考如何求解曲边图形的面积。
2. 探究定积分的概念：讲解定积分的定义，让学生理解定积分的基本思想。
3. 学习定积分的性质：引导学生通过举例，总结定积分的性质。
4. 定积分的计算：讲解牛顿-莱布尼茨公式，教授换元法和分部积分法。
5. 应用定积分解决实际问题：让学生分组讨论，选取实例进行分析。
6. 总结与反馈：对所学内容进行总结，收集学生反馈，及时调整教学方法。
六、教学评价1. 评价学生对定积分概念的理解程度，通过课堂提问、作业批改等方式进行。
2. 评价学生对定积分性质的掌握情况，通过课后练习、小测验等方式进行。
3. 评价学生运用定积分解决实际问题的能力，通过分组讨论、课堂展示等方式进行。
七、教学资源1. PPT课件：制作精美的PPT课件，展示定积分的概念、性质和计算方法。
2. 教学案例：收集与生活实际相关的案例，用于引导学生运用定积分解决实际问题。
3. 练习题库：编写一定数量的练习题，用于巩固学生对定积分的理解和运用。
八、教学进度安排1. 第1周：导入定积分的概念，讲解定积分的定义和性质。
定积分的概念教学设计—【教学参考】
定积分的概念教学目标：⒈通过求曲边梯形的面积，了解定积分的背景；能用定积分的定义求简单的定积分⒉借助于几何直观体会定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分．3.理解掌握定积分的几何意义和性质；过程与方法：通过问题的探究体会逼近、以直代曲的数学思想方法。
情感态度与价值观：通过分割、逼近的观点体会定积分的来历，使学生从本质上理解定积分的几何意义，从而激发学生学习数学的兴趣。
学习重点：分割思想和定积分的基本性质学习难点：无限细分和无穷累积的思维方法教学过程设计一、新课引入在小学与中学阶段我们学习了规则图形的面积求法，这一节课我们来学习不规则图形面积的求法。
它的求法跟定积分有关，定积分是微积分学的重要内容之一，定积分在各种实际问题中有着广泛的应用．在本章中，我们将在具体实例的基础上引入定积分的概念，然后讨论它的性质、计算方法与应用．图1a =x 0 x 1 x 2 x i -1 x i x n -1 x n =bξi O ξnξ1 ξ2 y =f (x )xy曲边梯形的面积：在初等数学中，我们学习了一些简单的平面封闭图形(如三角形、圆等)的面积的计算. 但实际问题中出现的图形常具有不规则的“曲边”，面对曲边梯形，我们怎样来计算它们的面积呢？下面以曲边梯形为例来讨论这个问题.设函数在上连续. 由曲线与直线、、轴所围成的图形称为曲边梯形(图1). 为讨论方便，假定.I．分割由于函数上的点的纵坐标不断变化，整个曲边梯形各处的高不相等，差异很大. 为使高的变化较小，先将区间分成个小区间，即插入分点.在每个分点处作与轴平行的直线段，将整个曲边梯形分成个小曲边梯形，其中第个小区间的长度为. 由于连续，故当很小时，第个小曲边梯形各点的高变化很小. 在区间上任取一点，则可认为第个小曲边梯形的平均高度为，因此, 这个小曲边梯形的面积.用这样的方法求出每个小曲边梯形面积的近似值, 再求和.II.近似代替由于连续，故当很小时，第个小曲边梯形各点的高变化很小. 在区间上任取一点，则可认为第个小曲边梯形的平均高度为，因此, 这个小曲边梯形的面积.III.求和得整个大曲边梯形面积的近似值.IV.取极限可以看出：对区间所作的分划越细，上式右端的和式就越接近. 记，则当时，误差也趋于零. 因此，所求面积.(1)设在区间上连续，且，求以曲线为曲边，底为的曲边梯形的面积。
定积分的起源和背景
定积分的起源和背景一、定积分的概念定积分是微积分中的一个重要概念，它是对曲线下面的面积进行计算的一种方法。
在数学上，定积分是对一个函数在某个区间内的面积进行求解，通常用符号∫来表示。
二、定积分的起源和背景1. 希腊数学家亚历克西斯·斯图菲特（Alexis Clairaut）提出了曲线下方面积的概念，并将其称为“fluxion”，这是定积分的最早形式。
2. 后来，德国数学家高斯（Carl Friedrich Gauss）和勒贝格（Joseph Louis François Bertrand）独立地发明了现代意义上的定积分。
3. 在17世纪末期，牛顿和莱布尼茨独立地发明了微积分，并将其应用于物理学、工程学等领域中。
三、定积分的定义与性质1. 定义：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上的定积分为∫abf(x)dx。
其中dx表示自变量x所取得小量。
2. 性质：（1）可加性：若f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续，则∫ab[f(x)+g(x)]dx=∫abf(x)dx+∫abg(x)dx。
（2）线性性：若f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续，c为任意常数，则∫ab[c·f(x)]dx=c·∫abf(x)dx。
（3）区间可加性：若f(x)在区间[a,c]和[c,b]上连续，则∫abf(x)dx=∫cf(x)dx+∫bf(x)dx。
四、定积分的计算方法1. 几何法：将曲线下方的面积分割成若干个小面积，然后将这些小面积相加得到整个曲线下方的面积。
2. 牛顿-莱布尼茨公式：设F(x)是f(x)的一个原函数，则有∫abf(x)dx=F(b)-F(a)，即定积分等于原函数在区间端点处的差值。
3. 分部积分法：设u=u(x)，v=v(x)，则有∫uv'dx=uv-∫u'vdx。
五、定积分的应用1. 几何应用：可以计算曲线下方的面积、曲线长度、曲线旋转体体积等几何量。
定积分的概念教案
定积分的概念教案教学目标：了解定积分的概念及其几何意义，熟练掌握定积分的计算方法。
教学重点：掌握定积分的概念及其几何意义。
教学难点：运用定积分的概念解决实际问题。
教学准备：教师准备教材、教具和白板笔等。
教学过程：Step 1：导入问题教师可以提出一个实际问题，如：一辆汽车在1小时内的速度是多少？请学生思考并展开讨论。
Step 2：引入定积分教师出示一张速度-时间图像，简单介绍图像含义，即速度的变化情况。
Step 3：讨论定积分概念教师引导学生思考：如何根据速度-时间图像计算汽车在1小时内行驶的距离？学生可以按时间分割成不同的小段，并计算每个小段的行驶距离。
引出定积分的概念：将时间划分成无限小的小段，计算每个小段的行驶距离，并对其求和。
Step 4：定积分的计算方法教师介绍定积分的计算方法：将定积分问题转化为求函数的不定积分问题，然后根据不定积分的法则进行计算。
Step 5：定积分的几何意义教师引导学生思考：定积分的几何意义是什么？可以让学生按照概念中的思路进行讨论，并引导学生认识到定积分表示函数与横轴之间的面积。
Step 6：应用定积分解决实际问题教师出示一个实际问题，如：一块不规则形状的地块的面积如何计算？引导学生将地块的形状划分成无数个小矩形或小三角形，然后利用定积分的概念求解。
Step 7：练习与总结教师提供一些定积分的练习题，供学生巩固知识并提出问题。
在练习过程中，教师及时纠正学生的错误，引导学生总结定积分的计算方法和几何意义。
Step 8：课堂小结教师对本节课进行小结，强调定积分的概念及其几何意义，并鼓励学生继续探索和应用定积分。
Step 9：课后作业教师布置相关的课后作业，要求学生继续练习定积分的计算及应用，并预习下节课内容。
以上为定积分的概念教案。
定积分的概念
b
特别地： 若f x 在[a , b]上连续, f x 0, 且f x 不恒为零， 则 f 0.
a
例 比较积分值 e dx和 e x dx的大小.
x 0 0
1
1
解 因为当x [0,1]时，x x , 所以e x e
x
,
1
0
e dx e x dx.
2
sinxd x0
(2)
2
1
1
x dx 2 x 2dx
2 0
a a
a
1
f ( x )在 a, a 上连续且为奇函数时， f ( x)dx 0.
f ( x )在 a , a 上连续且为偶函数时， f ( x )dx 2 f ( x )dx
0 a a
性质5 （保向性） 若f x , g x 在a , b上均可积, 且恒有 f x g x , x a , b , 则 f
b
a
f x轴上方图形总面积 x轴下方图形总面积
b 1 a 0
例1.由几何意义求 dx, 其中b a;
2 2
1 x 2 dx.
key 1 ） 矩形面积： b a； 2 ） 单位圆x y 1的1 / 4面积： 4
例2 根据定积分几何意义， 说明下列各式成立 .
(1)
b
(i ) f ( x ) g( x ) 在[a, b]上可积，并且
(i i ) f ( x ) g( x )在a, b上也可积，但一般地
[ f ( x) g( x)]dx
a
a
f ( x )dx g( x )dx
一、定积分概念的引入—两个典型例子二、定积分的概念.
数学的方法来计算面积 .我们采用“分割—近似
代替—求和—取极限”的过程来解决这一问题.
(1)分割 用n－1个分点a=x0<x1<x2<…<xn－1<xn将区
Байду номын сангаас
间[a,b]分成n个小区间[x0,x1],[x1,x2],…,[xn－1,xn],
简记为[xi－1,xi],i=1,2,…,n.每个小区间的长度记
表示.
为求此时的路程 , 仿照上例的方法 , 对时间 t 进行
分割,在每一小段时间间隔内,把速度看成不变的,
然后求和并取极限.
(1)分割
区间[T0,T]用n－1个分点T0=t0<t1<…<ti－1 <t
<…<tn =T,分成n个小区间[t0,t1],[t1,t2],…,[ti1,ti],…,
i
[tn－1,tn],小区间长记为△ti=ti－ti－1,i=1,2,…,n.
1i n
,令λ→0,若不论区间如何分
n
割,ξi如何取法,极限
lim Sn lim f (i )xi
0 0
i 1
(6.1)
存在,则称此极限值为函数f(x)在区间[a,b]上的
定积分,记作
即
b a
b
f ( x)dx
f ( x)dx lim f (i )xi
0
i 1
n
1i n
例6.2 变速直线运动的路程问题
设一质点沿直线作变速运动 , 其速度 v=v(t), 求在时间间隔[T0,T]内质点所走的路程. 在匀速直线运动中 , 速度v 和时间t无关 , 是一 常数 v0, 用图形表示 , 是一条平行于 t 轴的直线 ( 图 6.4), 在 v 轴上的截距为 v0, 路程 L=v0t=v0(T － T0). 当 质点作变速运动时,速度是时间的函数,可用图6.5
《定积分与微积分基本定理》教案
《定积分与微积分基本定理》教案第一章：定积分的概念1.1 引入定积分的概念解释定积分的定义强调定积分的重要性1.2 定积分的性质演示定积分的几何意义证明定积分的可加性1.3 定积分的计算方法介绍牛顿-莱布尼茨公式演示定积分的计算步骤第二章：定积分的应用2.1 定积分在几何中的应用求解平面区域的面积求解曲线的弧长2.2 定积分在物理中的应用解释定积分在物理学中的意义求解物体的体积2.3 定积分在概率中的应用引入概率密度函数的概念求解概率问题第三章：微积分基本定理3.1 微积分基本定理的定义解释微积分基本定理的含义强调微积分基本定理的重要性3.2 微积分基本定理的证明介绍牛顿-莱布尼茨公式的证明过程解释微积分基本定理的证明方法3.3 微积分基本定理的应用演示微积分基本定理在实际问题中的应用求解实际问题中的定积分第四章：定积分的近似计算4.1 定积分的数值计算方法引入数值计算方法的概念介绍数值计算方法的原理4.2 定积分的数值计算实例演示定积分的数值计算过程分析数值计算的精度4.3 定积分的蒙特卡洛方法介绍蒙特卡洛方法的概念演示蒙特卡洛方法在定积分计算中的应用第五章：定积分的优化问题5.1 定积分的最值问题引入定积分最值问题的概念解释定积分最值问题的意义5.2 定积分的极值点问题介绍极值点的概念求解定积分的极值点5.3 定积分的优化应用演示定积分在实际问题中的应用求解实际问题中的定积分优化问题第六章：定积分的变限函数6.1 变限函数的概念解释变限函数的定义强调变限函数在定积分中的作用6.2 变限函数的极限介绍变限函数极限的概念证明变限函数极限的性质6.3 变限函数的定积分演示变限函数定积分的计算方法分析变限函数定积分的结果第七章：定积分的换元法7.1 换元法的概念解释换元法的定义强调换元法在定积分计算中的重要性7.2 换元法的步骤介绍换元法的计算步骤演示换元法在定积分计算中的应用7.3 换元法的注意事项分析换元法的适用条件讨论换元法可能遇到的问题第八章：定积分的分部积分法8.1 分部积分的概念解释分部积分法的定义强调分部积分法在定积分计算中的作用8.2 分部积分的步骤介绍分部积分的计算步骤演示分部积分法在定积分计算中的应用8.3 分部积分的推广介绍分部积分的推广形式讨论分部积分的扩展应用第九章：定积分的瑕点处理9.1 瑕点的概念解释瑕点的定义强调瑕点在定积分计算中的重要性9.2 瑕点的处理方法介绍瑕点的处理方法演示瑕点处理在定积分计算中的应用9.3 瑕点问题的进一步讨论分析瑕点问题的复杂性讨论瑕点问题的解决策略第十章：定积分的实际应用案例分析10.1 定积分在经济学中的应用引入经济学中的优化问题演示定积分在经济学中的应用10.2 定积分在生物学中的应用介绍生物学中的种群动力学问题求解生物学中的定积分问题10.3 定积分在工程学中的应用解释工程学中的质心问题应用定积分求解工程学问题第十一章：定积分的进一步拓展11.1 多元函数的定积分引入多元函数定积分概念解释多元函数定积分的计算方法11.2 定积分在多变量函数中的应用演示多元函数定积分在几何和物理问题中的应用求解多变量函数的定积分问题11.3 定积分的向量分析介绍向量分析与定积分的关系应用向量分析解决定积分问题第十二章：定积分的数值方法12.1 数值方法概述解释数值方法的定义和作用强调数值方法在定积分计算中的应用12.2 数值方法的原理与步骤介绍数值方法的原理和计算步骤演示数值方法在定积分计算中的应用12.3 常用数值方法分析讨论龙格-库塔和其他数值方法的优缺点分析不同数值方法在定积分计算中的应用场景第十三章：定积分的优化问题13.1 优化问题的定义与分类引入优化问题的概念解释优化问题的分类和特点13.2 定积分与优化问题的关系强调定积分在优化问题中的作用演示定积分在优化问题中的应用13.3 定积分优化问题的求解方法介绍常见的优化方法应用定积分求解优化问题第十四章：定积分在概率论中的应用14.1 概率论与定积分的关系解释概率论中定积分的作用强调定积分在概率论中的重要性14.2 定积分在概率密度函数中的应用引入概率密度函数的概念演示定积分在概率密度函数计算中的应用14.3 定积分在概率问题求解中的应用讨论定积分在概率问题求解中的方法求解概率问题中的定积分第十五章：定积分在现代科学技术中的应用15.1 定积分在物理学中的应用介绍定积分在物理学中的作用演示定积分在物理学问题中的应用15.2 定积分在化学中的应用解释定积分在化学问题中的重要性求解化学问题中的定积分15.3 定积分在其他学科中的应用分析定积分在其他学科领域的作用探讨定积分在不同学科中的应用前景重点和难点解析重点：1. 定积分的概念与性质：理解定积分的定义、几何意义以及其可加性等基本性质。
《定积分与微积分基本定理》教案
《定积分与微积分基本定理》教案第一章：定积分的概念1.1 引入定积分的概念解释定积分的定义强调定积分表示的是平面区域内曲线与x轴之间区域的面积1.2 定积分的性质介绍定积分的性质，如可加性、保号性等通过图形演示定积分的性质1.3 定积分的计算介绍定积分的计算方法，如牛顿-莱布尼茨公式演示如何计算常见函数的定积分第二章：微积分基本定理2.1 微积分基本定理的引入解释微积分基本定理的概念强调微积分基本定理是定积分与原函数的关系2.2 微积分基本定理的证明讲解微积分基本定理的证明过程强调证明中重要的极限概念2.3 微积分基本定理的应用介绍如何利用微积分基本定理求解定积分演示如何应用微积分基本定理解决实际问题第三章：定积分的换元法3.1 换元法的引入解释换元法的概念和作用强调换元法可以简化定积分的计算3.2 换元法的步骤介绍换元法的具体步骤通过例子演示换元法的应用3.3 换元法的常见类型介绍常见的换元法类型，如代数换元、三角换元等强调不同类型换元法的适用场景第四章：定积分的分部积分法4.1 分部积分的引入解释分部积分法的概念和作用强调分部积分法可以简化定积分的计算4.2 分部积分的步骤介绍分部积分的具体步骤通过例子演示分部积分的应用4.3 分部积分的常见类型介绍常见的分部积分类型，如基本分部积分、进位分部积分等强调不同类型分部积分的适用场景第五章：定积分的应用5.1 定积分在几何中的应用介绍定积分在几何中的应用，如计算曲线围成的面积强调定积分在几何中的重要性5.2 定积分在物理中的应用介绍定积分在物理中的应用，如计算物体的体积强调定积分在物理中的实际意义5.3 定积分在其他领域的应用介绍定积分在其他领域的应用，如经济学、生物学等强调定积分在不同领域中的广泛应用第六章：定积分的极限条件6.1 引入定积分的极限条件解释定积分的极限条件概念强调定积分的极限条件对于定积分计算的重要性6.2 定积分的收敛性讲解定积分的收敛性及其判断方法强调定积分的收敛性与发散性的区别6.3 定积分的绝对收敛与条件收敛介绍定积分的绝对收敛与条件收敛的概念强调判断定积分的绝对收敛与条件收敛的方法第七章：定积分的数值计算7.1 引入定积分的数值计算解释定积分的数值计算概念及意义强调定积分的数值计算在实际应用中的重要性7.2 梯形公式与辛普森公式介绍梯形公式与辛普森公式的概念及应用强调两种公式的优缺点及其适用场景7.3 数值计算方法的改进讲解数值计算方法的改进途径，如自适应细分法强调改进方法在提高计算精度方面的作用第八章：定积分在实际问题中的应用8.1 定积分在物理学中的应用介绍定积分在物理学中的应用，如求解物体的速度、位移等问题强调定积分在物理学中的实际意义8.2 定积分在经济学中的应用介绍定积分在经济学中的应用，如计算最大收益、最优化问题等强调定积分在经济学中的重要作用8.3 定积分在其他领域中的应用介绍定积分在生物学、环境科学等领域的应用强调定积分在不同领域中的广泛应用价值第九章：定积分的进一步拓展9.1 双重定积分引入双重定积分概念强调双重定积分表示的是空间区域内曲面与坐标平面之间区域的体积9.2 双重定积分的计算介绍双重定积分的计算方法，如双重牛顿-莱布尼茨公式演示如何计算常见函数的双重定积分9.3 三重定积分与多重定积分介绍三重定积分与多重定积分的概念及计算方法强调多重定积分在更高维度问题中的应用回顾本章所学内容，强调定积分与微积分基本定理的关键点提醒学生注意定积分在实际问题中的应用10.2 定积分的拓展学习推荐学生进一步学习的内容，如数值计算方法、多重积分等强调定积分在数学及其它领域中的广泛应用，激发学生的学习兴趣重点和难点解析重点环节1：定积分的性质解析：定积分的性质是理解定积分概念的基础，包括定积分的可加性、保号性等。
引进定积分概念的两个例子
xi
1 n
,
i
n
1
,
i n
即i
i
1, n
n
f ( i )xi
i 1
n
i 1
en
1
i 1
n
1(1en1en2enn1) n
1
1
1 (e n
)n
n 1
1
(1e1)
n 1
,
1e n
e n 1
每个子区间的长度都是 在每个子区间 上都取左端点为 xi ， 于是和式为
n
得 和 式f(i)xi,
即
i1
(4) 取极限
n
n
A Ai f(i)xi.
i1
i1
当分点个数 n 无限增加， 且小区间长度的最大 值 (即 = max{xi})趋近于 0 时， 上述和式的极限
就是曲边梯形面积的精确值即，
n
Alim 0 i1
f(i )xi .
2.变速直线运动的路程
设一物体作直线运动， 已知速度 v = v(t) 是时间 t
那么
≤
证 由性质 1 与定积分 的定义，知
n
lim 0i1
f(i)g(i)xi,
由题设得知 f (xi) ≤ g (xi)，即 f (xi) - g (xi) ≤ 0，且 xi > 0
(i = 1, 2, ·· ·, n)，
所以上式右端的极
限值非从正而，有
移项，得
b
b
f(x)d x g(x)d x≤ 0,
n
lim 0 i1
f(i
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定理3设函数 在 上连续，
（1）如果 为奇函数，则 .
（2）如果 为偶函数， .
4、课堂小结与思考题
这节课我们从实际例子出发学习了定积分的概念及几何意义.定积分是通过“分割、近似、求和、求极限”四个步骤完成，它表示了一个与积分变量无关的常量.
希望同学们认真理解定积分的概念和几何意义，并灵活地掌握用定义或几何意义求简单的定积分的值.希望同学们灵活地看待问题，积极地思考问题，不断地发现问题和解决问题.
教学难点：用定义求简单的定积分。
五、学情分析：
我所教授的学生从基础知识比较薄弱，有的接受有的很慢，有的根本听不懂，基于这些特点，结合教学内容，我以板书教学为主，多媒体教学为辅，把概念较强的课本知识直观化、形象化，引导学生探索性学习。
六、教学方法：
根据对学生的学情分析，本次课主要采用案例教学法，问题驱动教学法，讲与练互相结合，以教师的引导和讲解为主，同时充分调动学生学习的主动性和思考问题的积极性。
定积分存在称函数 在区间 上可积，否则称为不可积．
有了定积分的概念，前面两个问题可以分别表述为：
曲边梯形的面积 是曲线 在区间 上的定积分，即 ．
变速直线运动的物体所经过的路程 是速度 在时间区间 上的定积分，即
由定积分的定义可知
(1)定积分 只与函数 的对应法则以及定义区间 有关，而与表示积分变量的字母无关，因而
教师进行必要的引导、分析与归纳，在此基础上一步一步引导学生
因为 当 所以
3、定积分的几何意义
从例子，我们看到当 时，定积分 表示曲边梯形的面积．当 时，曲边梯形在 轴的下方，定积分 在几何上表示上述曲边梯形面积的负值．当 在 上有正、有负时，则定积分 在几何上表示：曲线 ，直线 ， 及 轴所围成的几块曲边梯形面积的代数和(图4.3)，即 ．
例4利用定积分的几何意义说明： （ ．
教案
课题：定积分的概念
一、教学内容：
1.定积分的概念及几何意义；
2.利用定积分的概念或几何意义计算简单的定积分。
二、教材分析：
本次课是学生在导数概念和求曲边梯形的面积还有求变速直线运动的路程后的学习,定积分概念的建立为微积分基本定理的引出做了铺垫,起到了承上启下的作用。而且定积分概念的引入体现着微积分“无限分割、无穷累加”“以直代曲、以不变代变”的基本思想。所以,无论从内容还是数学思想方面,本次课在教材中都处于重要的地位。
（2）积零为整，求出和式的极限,得精确值.
2、定积分的概念.
定义1设函数 在区间 上连续，用分点 将区间 等分成 个子区间．在每个子区间 上任取一点 ，作 个乘积 的和式 ．如果区间长度 即 时，和式 的无限接近某个常数，则这个常数称为函数 在区间 上的定积分．记作 ，即 ．
其中左端的符号“ ”称为积分号， 称为被积函数， 称为被积表达式， 称为积分变量， 称为积分区间， 称为积分下限， 称为积分上限．
可积的充分条件说明：
-----几何直观
这里的教学过程：教师提出问题(定积分的几何意义)并给出答案，让学生思考并回答为什么，教师进行必要的引导、分析与归纳.
下面请同学们进一步思考： ，为什么？
解：提示学生画出图形，发现此积分等于矩形长为4，高为5的面积，故 教师提问：
为什么？
这个问题的教学过程：首先让学生思考，并回答问题.然后教师进行必要的引导、分析与归纳，并给出完整的回答.
教师分析与引导：这里被积函数 ，我们已经知道了定积分的几何意义，故让学生画出草图，观察易得此积分表示底为 ，高为1的矩形的面积．
所以有
例5根据定积分的几何意义推出下列积分的值：
（1） ,（2） ,（3） ,（4） .
教师分析与引导：画出图形
（1）由下图（1）所示， .
（2）由上图（2）所示， .
（3）由上图（3）所示， .
它们研究的对象有三个共同的特点：
（1）都有一个在某一区间上的连续函数；
（2）所研究的量在这一区间上具有可加性：即区间被分为 个小区间时，所研究的量也被相应的分割为 个部分量，且总量等于部分量之和；
（3）在每一小区间上都可确定相应的部分量的近似值.
由此找到了研究这些问题的相同方法：
（1）化整为零，找出局部近似值；
三、教学目标：
通过前面学习的求曲边梯形的面积和求变速运动的路程，归纳它们的共同特征，为引出定积分的概念做好了前期工作，使学生了解定积分的实际背景，理解定积分的思想方法，构建定积分的认识基础;通过“数形结合”的方法使学生理解定积分的几何意义,掌握定积分的概念。
四、教学重点、难点：
教学重点：定积分的概念、定积分的几何意义；
七、教学手段：传统教学与多媒体资源相结合。
八、教学过程：
1、复习前面所学的求曲边梯形的面积和求变速运动的路程，归纳它们的共同特征，由这两个实际例子引出定积分的概念.
复习1求曲边梯形的面积．
分四步来解决：
（1）分割(化整为零)
（2）近似代替（以直代曲）
（3）求和（求曲边梯形面积的近似值）
（4）取极限（积零为整）
=
(2)定积分 的实质是一种特殊和式（ 个乘积 之和）
的特殊极限（ ）．（该极限与 的分法无关，与 的取法无关）．
什么条件下 可积？
定理1若函数 在 上连续，则函数 在 上可积．
例3利用定义计算 的值.
教师分析与引导：因 在区间 内是连续的，故 是存在的， 是一常数，且此数的大小与 的分法及对 在区间 的取法无关，为了好计算：把区间 分成 等份分点和小区间长度分别为 取 作积分和
复习2求变速直线运动的路程
（1）分割（化整为零）
（2）近似代替（以匀代变）
（3）求和（求总路程的近似值）
（4）取极限（积零为整）
总结：上述二问题一个是几何问题，一个是物理问题，但从数学的角度来考察，所要解决的数学问题相同：求与某个变化范围内的变量有关的总量问题．数学结构相同：求 个乘积 之和 ，当 时的极限．
切记，数学离不开解题，更离不开思考问题.只有通过解题和思考问题才能积累经验，提高能力，把握本质，体会奥妙，产生灵感，变得熟练.
5、作业布置
重要思想：
1.由已知求未知；
2.极限思想；
3.问题归结；
4.化整为零；
5.以直代曲。
分割方法----任意
分割要求----最大宽度趋于0
这里的教学过程：教师提出问题，让学生思考，教师给出解决方案，让学生思考回答为什么求极限得到的就是我们要求的精确值，教师进行必要的引导、分析与归纳，在此基础上一步一步引导学生抽象出定积分的概念.