圆锥曲线提升专题训练

圆锥曲线专题训练2018.1

数学高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型：

①求曲线方程（类型确定，甚至给出曲线方程）；

②直线、圆和圆锥曲线间的交点问题（含切线问题）；

③与圆锥曲线定义有关的问题（涉及焦半径、焦点弦、焦点三角形和准线，利用余弦定理等） ④与曲线有关的最值问题（含三角形和四边形面积）；

⑤与曲线有关的几何证明(圆线相切、四点共圆、对称性或求对称曲线、平行、垂直等)； ⑥探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征；

考点一、求范围（最值）问题

例1-1.（2014新课标全国卷Ⅰ）已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32

，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233

，O 为坐标原点． (1)求E 的方程；

(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．

例1-2.已知直线1y x =-+与椭圆相交于A B 、两点. （1，焦距为2，求线段AB 的长；

（2）与向量OB 互相垂直（其中O 为坐标原点），求椭圆长轴长的最大值.

练习1.【江苏省扬州中学2015届高三4月双周测】

在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C ：的离心率为，右焦点F （1,0），点P 在椭圆C 上，且在第一象限内，直线PQ 与圆O ：

相切于点M.

（1）求椭圆C 的方程；（2）求|PM|·|PF|的取值范围；

（3）若OP ⊥OQ ，求点Q 的纵坐标t 的值.

考点二、存在性问题 例2-1.如图，过椭圆L 的左顶点(3,0)A -和下顶点B 且斜率均为k 的两直线12,l l 分别交椭圆于,C D ，又1l 交y 轴于M ，2l 交x 轴于N ，

且CD 与MN 相交于点P .当3k =时，ABM ∆是直角三角形.

（1）求椭圆L 的标准方程；（2）①证明：存在实数λ，使得AM OP λ=uuu r uu u r ；

②求|OP |的最小值.

例2-2.【淮安市2014－2015学年度第二学期高二调查测试】已知椭圆：M 22

221x y a b +=（0a b >>），点1F (1,0)-、C (2,0)-分别是椭圆M 的左焦点、

左顶点，过点1F 的直线l （不与x 轴重合）交M 于,A B 两点．

（1）求椭圆M 的标准方程；

（2

）若A ，求△AOB 的面积；

（3）是否存在直线l ，使得点B 在以线段1

FC 为直径的圆上，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．

练习2.【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)】 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>

，并且椭圆经过点(1,1)，过原点O 的直线l 与椭圆C 交于A B 、两点，椭圆上一点M 满足MA MB =．

（1）求椭圆C 的方程；（2）证明：222

112OA OB OM ++为定值； （3）是否存在定圆，使得直线l 绕原点O 转动时，AM 恒与该定圆相切，若存在，求出该定圆的方程，若不存在，说明理由．

第18

考点三、过定点或定值问题

例3-1.已知点B （－1，0），C （1，0），P 是平面上一动点，且满足.||||CB PB BC PC ⋅=⋅

（1）求点P 的轨迹C 对应的方程；

（2）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD ⊥AE ，判断：直线DE 是否过定点？试证明你的结论.

（3）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD ，AE ，且AD ，AE 的斜率k 1、k 2满足k 1·k 2=2.求证：直线DE 过定点，并求出这个定点.

练习3.【江苏省扬州中学2015届高三第四次模拟考试（5月）】（本小题满分15分）

已知椭圆C ：22221x y a b +=(0,0)a b >>

，短轴长为4，F 1、F 2为椭圆左、右焦点，点B 为下顶点．

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）点P (x 0, y 0)是椭圆C 上第一象限的点． ① 若M 为线段BF 1

上一点，且满足PO OM = ，求直线OP 的斜率；

② 设点O 到直线PF 1、PF 2的距离分别为d 1、d 2，求证：0012

y y d d +为定值，并求出该定值．

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