圆锥曲线提升专题训练
湖南高考数学圆锥曲线专项提升练习题及答案
湖南2019-2019高考数学圆锥曲线专项提升练习题及答案2019多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果，以下是圆锥曲线专项提升练习题及答案，希望对考生有帮助。
1.双曲线的方程为=1(a0，b0)，焦距为4，一个顶点是抛物线y2=4x的焦点，则双曲线的离心率e=()A.2B. 1C.3D.52.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A. (0，1)B.(1，5)C. (1，3)D.(0，2)3.设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点。
若=0，则||+||+||=()A.9B.6C.4D.34.已知抛物线y2=2px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-25.已知A，B，P是双曲线=1上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积kPAkPB=，则该双曲线的离心率为()A.1B.2C. -1D.-26.已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是()A.4B.3C.4D.87.过抛物线y2=2px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p=( )。
8.(2019湖南，文14)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1，0)的距离和到直线x=-1的距离相等。
若机器人接触不到过点P(-1，0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是( )。
9.已知双曲线的中心在原点，且一个焦点为F(，0)，直线y=x-1与其相交于M，N两点，线段MN中点的横坐标为-，求此双曲线的方程。
10.(2019安徽，文21)设F1，F2分别是椭圆E:=1(a0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|F1B|。
c第二章++圆锥曲线提高训练(含答案)
（数学选修1-1）第二章圆锥曲线提高训练姓名：___________ 学号：____________ 班次：____________ 成绩：__________ 一、选择题1．若抛物线x y=2上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为（）A．1(,4B．1(,8C．1(4D．1(82．椭圆1244922=+y x 上一点P与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21F PF 的面积为（ ）A ．20B ．22C ．28D ．243．若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线xy 22=的焦点，点M在抛物线上移动时，使MAMF +取得最小值的M的坐标为（ ）A ．()0,0 B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21 C ．()2,1D ．()2,24．与椭圆1422=+y x 共焦点且过点(2,1)Q 的双曲线方程是（ ）A ．1222=-y x B ．1422=-y x C ．13322=-y xD ．1222=-y x5．若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是（ ）A ．（315,315-） B ．（315,0）C ．（0,315-） D ．（1,315--） 6．抛物线22x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线mx y +=对称，且2121-=⋅x x ，则m等于（ ）A ．23 B ．2C ．25 D ．3二、填空题1．椭圆14922=+y x 的焦点1F 、2F ，点P为其上的动点，当∠1F P 2F 为钝角时,点P横坐标的取值范围是 。
2．双曲线221-=的一条渐近线与直tx y线210离心x y++=垂直，则这双曲线的率为___。
交于A、3．若直线2y kx=-与抛物线28y x=的中点的横坐B两点，若线段AB标是2，则AB=______。
4．若直线1y kx=-与双曲线224x y-=始终有公共点，则k取值范围是。
高二数学圆锥曲线提高训练
（数学选修1-1）第二章 圆锥曲线[提高训练C 组]及答案一、选择题1．若抛物线x y =2上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离；则点P 的坐标为（ ）A ．1(,4 B ．1(,8 C ．1(4 D ．1(8 2．椭圆1244922=+y x 上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直； 则△21F PF 的面积为（ ） A ．20 B ．22 C ．28 D ．243．若点A 的坐标为(3,2)；F 是抛物线x y 22=的焦点；点M 在 抛物线上移动时；使MA MF +取得最小值的M 的坐标为（ ） A ．()0,0 B ．⎪⎭⎫⎝⎛1,21 C ．()2,1 D ．()2,24．与椭圆1422=+y x 共焦点且过点(2,1)Q 的双曲线方程是（ ） A ．1222=-y x B ．1422=-y x C ．13322=-y x D ．1222=-y x 5．若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点；那么k 的取值范围是（ ） A ．（315,315-） B ．（315,0） C ．（0,315-） D ．（1,315--）6．抛物线22x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线m x y +=对称；且2121-=⋅x x ；则m 等于（ ） A ．23 B ．2 C ．25D ．3二、填空题1．椭圆14922=+y x 的焦点1F 、2F ；点P 为其上的动点；当∠1F P 2F 为钝角时；点P 横坐标的取值范围是 。
2．双曲线221tx y -=的一条渐近线与直线210x y ++=垂直；则这双曲线的离心率为___。
3．若直线2y kx =-与抛物线28y x =交于A 、B 两点；若线段AB 的中点的横坐标是2；则AB =______。
4．若直线1y kx =-与双曲线224x y -=始终有公共点；则k 取值范围是 。
圆锥曲线专题训练试卷(1)教师
圆锥曲线专题训练试卷（1）第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）( )【答案】B 【解析】试题分析：由椭圆方程知2100,10a a =∴=，236,6b b =∴=，那么22236,6c a b c =-=∴=，可得椭圆离心率为 考点：椭圆的标准方程与几何意义.2．下列曲线中焦点坐标为)0,1(-的是（ ）A ．y ＝－4x 2C 【答案】A【解析】a 2b 2故c2＝a2＋b2＝1，一个焦点为（－1，0），符合题意；抛物线y ＝－4x 2中，焦点为（0，，不符合题意；0）0，±1），不符合题意.故选A【知识点】圆锥曲线的性质3．方程1cos 2sin 22=+θθy x 表示椭圆，则θ的取值范围ABC D 【答案】D 【解析】试题分析：方程1cos 2sin 22=+θθy x 表示椭圆，则必须满足的条件为：sin 20,cos 0θθ>>，且sin 2cos θθ≠解不等式：sin 20cos 0θθ>⎧⎨>⎩，解得：)(26k ππ+Z k ∈，故正确选项D ．考点：①椭圆的简单性质；②三角函数不等式．4．点P 在双曲线上，21,F F 为焦点，且21PF PF ⊥，-（ ）B. 102C. 【答案】D【解析】由双曲线定义得：12||||2,PF PF a -=12||3,||PF a PF a ∴==222121212,||||||PF PF PF PF F F ⊥∴+=。
即2222594,()22c c a a c a a +==⇒=故选D5．已知0a b >>，12,e e 12lg lg e e +的值为（ ）A ．正数B ．负数C ．零D ．不确定【答案】B 【解析】试题分析：12lg lg e e +)lg(21e e =01lg =<，所以选C.考点：圆锥曲线的性质及对数的运算.6A ，B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为（ ） A 、049=--y x B 、059=-+y xC 、022=-+y xD 、022=+-y x 【答案】B 【解析】A ，B 两点，设),(),,(2211y x B y x A则1）（2），由（1）（2）联立并相减得：点p 是AB 的中点所以1,12121=+=+y y x x ，所以，，则直线AB 的方程整理得059=+-y x . 考点：点差法求直线方程.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）7．(2014·武汉模拟)圆(x-a)2+y 2=1与双曲线x 2-y 2=1的渐近线相切,则a 的值是________. 【答案】±√2【解析】双曲线x 2-y 2=1的渐近线为y=±x,不妨取y=x,若直线y=x 与圆相切,则有圆心(a,0)到直线x-y=0的距离d=√2=1,即|a|=√2,所以a=±√2.8表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 ． 【答案】（1,2） 【解析】试题分析：因为方程表示焦点在y 轴上的椭圆，所以013>->-m m ，解得21<<m考点：椭圆的性质9．一动点到y 轴距离比到点(2, 0)的距离小2,则此动点的轨迹方程为 . 【答案】)0(0)0(82<=≥=x y x x y 或【解析】设动点为(,),P x y ||2;x =+平方得244||y x x =+ 当0x ≥时，8;y x =当0x <时，0.y =所以动点的轨迹方程为)0(0)0(82<=≥=x y x x y 或10．12F F 、是椭圆的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则12PF PF •的最大值是 【答案】1 【解析】试题分析：设),(y x P ，，22-≤-x ，12PF PF •=又42≤x ，所以，即12PF PF ⋅的最大值是1。
圆锥曲线基础提高练习(含答案)
1.抛物线的焦点到准线的距离是 .2.过双曲线C ：的一个焦点作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，若（O 是坐标原点），则双曲线线C 的离心率为 2 . 3.过抛物线的焦点F 作倾斜角为的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则________________ 4.以知F 是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 。
5．k 为何值时，直线2y kx =+和曲线22236x y +=有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？ 6．设12,F F 是双曲线116922=-yx的两个焦点，点P 在双曲线上，且01260F P F ∠=，求△12F P F 的面积。
7．在抛物线24y x =上求一点，使这点到直线45y x =-的距离最短。
8．已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线21y x =+截得的弦长为15， 求抛物线的方程。
9.已知双曲线，右准线方程为。
（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）已知直线与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆上，求m 的值.10.已知双曲线，右准线方程为（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值.24y x =22221x y ab-=(0,0)a b >>222x y a +=120AOB ∠=22(0)y px p =>45 p =221412xy-=(1,4),A P PF PA +2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>3x =0x y m -+=225x y +=2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>3x =C l 22:2O x y +=0000(,)(0)P x y x y ≠l C ,A B A O B ∠1【答案】2【解析】焦点（1，0），准线方程，∴焦点到准线的距离是2 2解: ,【答案】：2 3解析：由题意可知过焦点的直线方程为，联立有，又。
圆锥曲线与方程(能力提升练及答案详解)
第3章 圆锥曲线与方程（B 卷·能力提升练）第I 卷（选择题）一、单选题（每小题5分，共40分）1．（2022·河南·新蔡县高二阶段练习）已知椭圆2214x y m+=的焦距为23m 的值不可能为（ ） A ．1 B ．7 C ．1- D 7【答案】D【分析】根据椭圆的焦距，分4m >，4m <求解.【详解】由题知，3c =.若4m >，则2a m =，24b =，所以7m =，即7m =±；若4m <，则24a =，1b m ==，即1m =±.故选：D2．（2022·江苏·高二）已知曲线C 上任意一点P 到定点()2,0F 的距离比点P 到直线3x =-的距离小1，M ，N 是曲线C 上不同的两点，若10MF NF +=，则线段MN 的中点Q 到y 轴的距离为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】A【分析】根据抛物线的定义求出曲线C 的方程，再根据抛物线的性质计算可得；【详解】解：依题意曲线C 上任意一点P 到定点()2,0F 的距离和点P 到直线2x =-的距离相等， 由抛物线的定义可知：曲线C 是以()2,0F 为焦点，2x =-为准线的抛物线，所以曲线C 的方程为28y x =．分别设点M 、N 、Q 到准线2x =-的距离分别为1d ，2d ，d ， 则12522MF NFd d d ++===，所以中点Q 到y 轴的距离为3，故选：A ． 3．（2022·江苏·高二）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线C的右支上，12PF PF ⊥，线段1PF 与双曲线C 的左支相交于点Q ，若2132PF QF =，则双曲线C 的离心率为（ ） A 3B ．2C 5D ．2【答案】C【分析】根据双曲线的定义及勾股定理计算可得；【详解】解：设()230PF x x =>，12QF x =，双曲线的焦距为2c ，由双曲线的定义可知21222QF QF a x a =+=+，2PQ a x =+，在2Rt PQF 中有22222QF PQ PF =+，可得()()2222229a x a x x +=++，解得23x a =，所以22PF a =，14PF a =，在12Rt PF F △中2221212F F PF PF =+，可得2224416c a a =+， 解得5c a =，所以离心率5e =；故选：C4．（2022·江苏南通·高二期末）如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于其焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等，具有结构简单､方向性强､工作频带宽等特点.图2是图1的轴截面，A ，B 两点关于抛物线的对称轴对称，F 是抛物线的焦点，AFB ∠是馈源的方向角，记为θ.焦点F 到顶点的距离f 与口径d 的比为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等.若馈源方向角θ满足4tan 23θ=，则该抛物面天线的焦径比为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．2【答案】B【分析】建立平面直角坐标系，利用题设条件得到得A 点坐标，代入抛物线方程化简即可求解 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为22y px =（0p >）在Rt AMF 中2d AM =，4tan 3AFM ∠=则3tan 8AM FM d AFM ==∠ 所以2258AF AM MF d =+=则528A A p AF x f x d =+=+=所以58A x d f =-，所以5,82d d A f ⎛⎫-⎪⎝⎭ 将5,82d d A f ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入抛物线方程中得 25524288d d d p f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⇒2216100f fd d -+=()()280f d f d ⇒--= 所以2f d =或8f d =即12f d =或18f d =（舍） 当18f d =时，388d d MF OF f =>== 故选：B 5．（2022·湖南·高二期末）已知12F F ，分别是椭圆()222210x y C a b a b+=>>：的左、右焦点，点()0A b ，，点B 在椭圆C 上，112AF F B =，D E ，分别是22AF BF ，的中点，且2DEF △的周长为4，则椭圆C 的方程为（ ） A ．22143x y += B ．223148x y += C ．223144x y += D ．22312y x += 【答案】B【分析】因为112AF F B =，所以1A F B ，，三点共线，且112AF F B =，根据椭圆的定义求得2a =， 设()00,B x y ，根据112AF F B =，求得322cb B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，代入椭圆的方程，求得b 的值，即可求解. 【详解】因为112AF F B =，所以1A F B ，，三点共线，且112AF F B =， 因为D E ，分别为2AF 和2BF 的中点，所以()2222428a AB AF BF DE DF EF =++=++=，所以2a =， 设()00,B x y ，()1,0F c -，()0,A b ，由112AF F B =，可得()()002c b x c y --=+，，， 求得032c x =-，02b y =-，所以322c b B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，因为点B 在椭圆C 上，所以2911164c +=，求得243c =，283b =，所以椭圆C 的方程为223148x y +=. 故选：B.6．（2022·广东·高二月考）已知双曲线22125144y x -=，过双曲线的上焦点1F 作圆22:25O x y +=的一条切线，切点为M ，交双曲线的下支于点N ，T 为1NF 的中点，则MOT △的外接圆的周长为（ ） A ．377πB ．5πC ．6πD ．367π【答案】A【分析】设F '是双曲线的右焦点，连接NF '，MOT △的外接圆的半径为r ，利用中位线和双曲线的定义求出||27MT r =-，再解方程22425(27)r r =+-即得解.【详解】解：设F '是双曲线的右焦点，连接NF '，MOT △的外接圆的半径为r ， ,T O 分别是1NF 和1F F '的中点，∴12TO NF ='，设||2TO r =，所以4NF r '= 由双曲线定义得110F N NF '-=，所以1104F N r =+，所以152FT r =+. 又221||13512MF =-=,所以||27MT r =-.在直角MOT △中，2237425(27),14r r r =+-∴=MOT ∴的外接圆的半径为3714，即周长为37372147ππ⨯⨯=．故选：A ．7．（2022·河北石家庄·高二期末）已知椭圆22:143x y C +=的右焦点为F ，P 为椭圆C 上一动点，定点(2,4)A ，则||||PA PF -的最小值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．17 D ．17-【答案】A【分析】设椭圆的左焦点为F '，得到||4PF PF '=-，得出||||||4PA PF PA PF '-=+-，结合图象，得到当且仅当P ，A ，F '三点共线时，||PA PF '+取得最小值，即可求解.【详解】设椭圆的左焦点为F '，则||4PF PF '+=，可得||4PF PF '=-，所以||||||4PA PF PA PF '-=+-， 如图所示，当且仅当P ，A ，F '三点共线（点P 在线段AF '上）时，此时||PA PF '+取得最小值， 又由椭圆22:143x y C +=，可得(1,0)F '-且(2,4)A ，所以2(21)165AF '=++=， 所以||||PA PF -的最小值为1．故选：A ．8．（2022·北京·高二期中）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：1F 、2F 是双曲线的左、右焦点，从2F 发出的光线m 射在双曲线右支上一点P ，经点P 反射后，反射光线的反向延长线过1F ；当P 异于双曲线顶点时，双曲线在点P 处的切线平分12F PF ∠．若双曲线C 的方程为上221916x y-=，则下列结论不正确．．．的是（ ）A ．射线n 所在直线的斜率为k ，则44,33k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭B ．当m n ⊥时，1232PF PF ⋅=C ．当n 过点()7,5Q 时，光由2F 到P 再到Q 所经过的路程为13D ．若()1,0T ，直线PT 与C 相切，则212PF = 【答案】C【分析】求出双曲线渐近线方程，可判断A 选项；利用勾股定理以及双曲线的定义可判断B 选项；利用双曲线的定义可判断C 选项；利用角平分线定理结合双曲线的定义可判断D 选项. 【详解】在双曲线221916x y -=中，3a =，4b =，则5c =，易知点()15,0F -、()25,0F ，设1PF u =，2PF v =，对于A 选项，因为双曲线221916x y -=的渐近线方程为43y x =±，当点P 在第一象限内运动时，随着0x 的增大，射线n 慢慢接近于直线43y x =，此时403k <<，同理可知当点P 在第四象限内运动时，403k -<<，当点P 为双曲线的右顶点时，0k =，综上所述，k 的取值范围是44,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，A 对；对于B 选项，当m n ⊥时，26u v a -==，()2222236210u v u v uv uv +=-+=+=，所以，1232PF PF uv ⋅==，B 对；对于C 选项，()22175513FQ =++=，故n 过点()7,5Q 时，光由2F 到P 再到Q 所经过的路程为211267PF PQ PF a PQ FQ +=-+=-=，C 错； 对于D 选项，若()1,0T ，由角平分线定理可得1211226342PF T PF TS PF FT S PF F T====△△， 即22632PF PF +=，解得212PF =，D 对.故选：C. 二、多选题（每小题5分，共20分）9．（2022·江苏连云港·高二期末）设 m 为实数，方程22112x y m m+=--，下列说法正确的是（ ） A ．若此方程表示圆，则圆的半径是2B ．若此方程表示双曲线，则 m 的取值范围是 1,2C ．若此方程表示焦点在 x 轴上的双曲线，则 m 的取值范围是 ()2,+∞D ．若此方程表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是 1,2 【答案】AC【分析】根据选项中，方程所表示的曲线列不等式求参数或其范围，即可判断正误. 【详解】A ：方程为圆时，12m m -=-可得32m =，则2212x y +=，即半径是 22，正确；B ：方程为双曲线时，(1)(2)0m m --<可得1m <或2m >，错误；C ：方程为焦点在 x 轴上的双曲线，1020m m ->⎧⎨-<⎩可得2m >，正确；D ：方程为焦点在 y 轴上的椭圆，210m m ->->可得312m <<，错误.故选：AC.10．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，5,04A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，若PAF △为等腰三角形，则直线AP 的斜率可能为（ ）A 42B ．25C 5D ．22【答案】AB【分析】由抛物线的定义求得94AF =，设()2,2P t t ，得到2222(51,44)PF t PA t t =-=++，分PF AF =、PF PA =和AF PA =，三种情况讨论，结合选项，即可求解. 【详解】由题意，抛物线2:4C y x =的焦点为()1,0F ，因为5(,0)4A -，由抛物线的定义，可得94AF =，设()2,2P t t ，可得222251,44PF t PA t t ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，当PF AF =时，可得254t =，所以5(,5)4P ±，则255AP k =±，所以B 正确；当PF PA =时，此时方程无解；当AF PA =时，可得212t =，所以1(,2)2P ±，则427PA k =±，所以A 正确.故选：AB 11．（2022·江苏无锡·高二期末）已知点P 在双曲线C ：221169x y -=上，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，若12PF F △的面积为20，则（ ） A ．点P 到x 轴的距离为203B ．12503PF PF += C ．12PF F △为钝角三角形 D ．12π3F PF ∠=【答案】BC【分析】根据双曲线的方程、定义与性质，结合三角形的面积求出P 的坐标，结合两点的距离公式、斜率公式以及余弦定理，对选项逐一判断即可.【详解】设点(),P P P x y ．因为双曲线22:1169x y C -=，所以1695c =+=．又12112102022PF F P P S c y y =⨯=⨯⨯=△，所以4P y =，故A 错误．将4P y =代入221169x y -=得2241169P x -=，得203P x =．由双曲线的对称性，不妨取点P 的坐标为20,43⎛⎫ ⎪⎝⎭，得22220135433PF ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭．由双曲线的定义得1213372833PF PF a =+=+=，所以12371350333PF PF +=+=，故B 正确． 在12PF F △中，12371321033PF c PF =>=>=，且2222121212125cos 0213PF F F PF PF F PF F F +-∠==-<⋅， 则21PF F ∠为钝角，所以12PF F △为钝角三角形，故C 正确． 由余弦定理得222121212123191cos 22481PF PF F F F PF PF PF +-∠==≠⋅，所以12π3F PF ∠≠，故D 错误．故选：BC ．12．（2022·河北·高二期中）如图，已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是E 上异于顶点的一动点，圆I （圆心为I ）与12PF F △的三边1PF ，12F F ，2PF 分别切于点A ，B ，C ，延长PI 交x 轴于点D ，作1DH PF ⊥交1PF 于点H ，则（ ）．A ．12PF PF +为定值B ．12PF PF ⋅为定值C ．PA 为定值D ．PH 为定值 【答案】ACD【分析】根据椭圆的定义即可判断A ；根据余弦定理可得1PF 2PF 21221cos b F PF =+∠，进而判断B ；根据切线长定理和椭圆的定义可得22PA PC c a ++=，进而判断C ； 根据三角形面积公式和相似三角形的性质可得()()2a c a c b PHaa+-==，进而判断D.【详解】A ：根据椭圆的定义，得122PF PF a +=，则A 正确； B ：设122F F c =，12F PF θ∠=，1PF m =，2PF n =， 由余弦定理，得222122cos F F m n mn θ=+-，即()()()22221cos c m n mn θ=+-+，解得221cos b mn θ=+，由于P 在E 上运动，所以θ的值也随之变化，从而mn 不是定值，则B 错误； C ：根据切线长定理和椭圆的定义，得122PA AF PC CF a +++=，且12122AF CF BF BF c +=+=，则22PA PC c a ++=，所以PA PC a c ==-为定值，则C 正确； D ：连接IA ，则1IA PF ⊥，由()()1212121122IA PF PF F F DH PF PF ++=+，解得IA a DH a c =+； 由PA IA a PH DH a c ==+，得()()2a c a c b PH a a+-==为定值，则D 正确．故选ACD ．三、填空题（每小题5分，共20分）13．（2022·江苏江苏·二模）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>）的左､右焦点分别是()()121122,,,,,F F P x y Q x y 是双曲线右支上的两点，11223x y x y +=+=.记12,PQF PQF 的周长分别为12C C ，，若128C C -=，则双曲线的右顶点到直线PQ 的距离为___________. 【答案】22【分析】根据题意，结合双曲线的定义爹【详解】解：根据双曲线的定义，()()12112248C C PQ PF QF PQ PF QF a -=++-++==. 所以2a =，故双曲线右顶点()2,0，因为11223x y x y +=+=，所以P 在3x y +=上，Q 在3x y +=上，即直线PQ 方程为：30x y +-=， 所以双曲线的右顶点到直线PQ 的距离为12.22d ==故答案为：22 14．（2021·江苏·高二月考）已知F 为双曲线C ：2218y x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，又360,5A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，当APF 的周长最小时，则点P 的坐标为________．【答案】1124,77⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】设双曲线的左焦点为'F ，由双曲线的定义可得'22PF PF a -==，有'2PA PF PA PF +=++，当P 在左支上运动到A ，P ，'F 共线时，'PA PF +取得最小值'AF ，此时APF 周长取得最小值，直线'AF 的方程与双曲线方程联立，可求得点P 的坐标.【详解】解：设双曲线的左焦点为'F ，由双曲线2218y C x -=：得1a =，22b =，3c =， 即有()3,0F ，()'3,0F -，所以()22361521393005255AF ⎛⎫=-+-==⎪⎝⎭是定值， 由双曲线的定义可得'22PF PF a -==，得'2PA PF PA PF +=++，而PFA 周长为PA PF AF ++，所以当P 在左支上运动到A ，P ，'F 共线时，'PA PF +取得最小值'AF ，则有APF 周长取得最小值，直线'AF 的方程为13635x y +=-，即125360x y -+=，与双曲线方程联立，2212536018x y y x -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得点P 的坐标为1124,77⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为1124,77⎛⎫- ⎪⎝⎭：．15．（2022·黑龙江·哈师大附中高二开学考试）已知抛物线2:8C y x =的焦点为,F P 为C 上一点，若(2,0)A -，当PAPF最大时点P 的坐标为________． 【答案】()2,4【分析】根据抛物线的定义，得出PA PF 的最大值转化为11cos cos PA PN APN PAF==∠∠的最大值，即得到cos APN ∠必须取得最小值，此时AP 与抛物线相切，设出切线方程，代入抛物线方程，消去x ，即0∆=，求出k ，进而求出点P 的坐标. 【详解】如图所示，不妨设P 在第一象限，过P 作PN 与准线垂直，垂足为N ，则11cos cos PA PA PF PN APN PAF ===∠∠， 当PAPF取得最大值时，则cos APN ∠必须取得最小值，此时AP 与抛物线相切. 设切线方程为()2y k x =+，联立()y k x y x ⎧=+⎨=⎩228，消去x 可得，28160ky y -+=，264640k ∆=-=，即21k =，解得1k =±（负舍），所以28160y y -+=，解得4y =， 将4y =代入直线2y x =+中，得2x =.所以当PAPF最大时点P 的坐标为()2,4故答案为：()2,4. 16．（2022·湖南湖南·51-的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，A 1，A 2分别为左､右顶点，B 1，B 2分别为上､下顶点，F 1，F 2分别为左､右焦点，P 为椭圆上一点，现给出以下四个条件：①2112212A F F A F F ⋅=；②11290F B A ∠=；③1PF x ⊥轴，且21PO A B ∥；④四边形的1221A B A B 的内切圆过焦点1F ，2F .其中能使椭圆C 为“黄金椭圆”的条件是______和______.【答案】 ②##④【分析】先求出椭圆的顶点和焦点坐标，根据椭圆的基本性质求出离心率判断①；根据勾股定理以及离心率公式判断②；根据21PO A B k k =结合斜率公式以及离心率公式判断③；由四边形1221A B A B 的一个内角11260∠=B A B 即三角形121A B B 是等边三角形，得到3ab ，结合离心率公式判断④.【详解】由条件得到2(2)()()c a c a c =--，即2c a c =-或2c c a =-（舍)， 解得：15132c a -=≠，所以①不正确； 若11290F B A ∠=，则由射影定理可得：1122=⋅OB F O OA ， 即2b ca =，所以220c ac a +-=，即2e e 10+-=，e (0,1)∈，解得51e 2-=；所以②正确；若1PF x ⊥轴，如图可得2(,)bP c a-±，又21//PO A B ，则斜率相等，所以2b c a b a =--，即b c =，或2b a bc -=--，显然不符合，所以222e 2===+c c a c c ，所以③不正确； 因为四边形为菱形，若命题正确则内切圆的圆心为原点，由圆的对称性可知，圆心到直线21A B 的距离等于c ，因为直线21A B 的方程为：1x ya b +=，即0bx ay ab +-=，所以原点到直线的距离22ab d a b =+，由题意知：22abc a b =+，又222b a c =-，整理得：222222()(2)a a c c a c -=-，42e 3e 10-+=，2e (0,1)∈， 解得235e 2-=，所以35525151e 242--+-===，所以④正确，故答案为：②，④． 四、解答题（第17题10分，18-22题每题12分，共70分） 17．（2022·江苏·高二）①()1,M t 为抛物线 C 上的点，且32MF ；②焦点到准线的距离是1．在这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并求解．已知抛物线2:2C y px =的焦点为F ，______，若直线2y x =-与抛物线C 相交于A 、B 两点，求弦长AB ． 【答案】210．【分析】若选①：根据焦半径公式MF 322M p x =+=即可求出p ，从而求出抛物线方程，联立抛物线方程和直线方程，根据韦达定理和弦长公式即可求AB ；若选②：根据抛物线定义可知抛物线焦点到准线的距离为p ，由此可求抛物线方程，从而采用和选①时相同的方法可求AB ． 【详解】若选①：()1,M t 在抛物线2:2C y px =上，且32MF， 31222M p p MF x ∴=+=+=，则p ＝1； 若选②：∵焦点到准线的距离是1，∴p ＝1；故抛物线C 的方程为22y x =．联立222y x y x=-⎧⎨=⎩，可得2640x x -+=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则126x x +=，124x x =，()221212122242644210AB x x x x x x ∴=⋅-=⋅+-=⋅-⨯=．18．（2022·江苏·南京市高三开学考试）已知双曲线22142x y -=， (1)过点()11M ，的直线交双曲线于 A B ，两点，若M 为弦AB 的中点，求直线AB 的方程；(2)是否存在直线l ，使得112⎛⎫⎪⎝⎭， 为l 被该双曲线所截弦的中点，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.【答案】(1)210x y -+= (2)不存在，理由见解析【分析】（1）设()1122(,,A x y B x y ),，利用点差法求得直线AB 的斜率，根据直线的点斜式方程结合验证，即可求得答案；（2）同（1）利用点差法求得直线方程，把直线方程和双曲线方程联立，整理得到一元二次方程，其判别式小于0，说明符合题意的直线不存在.（1）设()1122(,,A x y B x y ), ，则221122222424x y x y ⎧-=⎨-=⎩ ，两式相减得()()()()1212121220x x x x y y y y +--+-= ，所以()121212122y y x x x x y y -+=-+ ，又因为M 为弦AB 的中点,故121222x x y y +=+=， ，所以121212y y x x -=-，所以直线AB 的方程为()1112y x -=-，即210x y -+=，由方程组22210142x y x y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩得2290x x --=，其400∆=> ，说明所求直线存在，故直线AB 的方程为210x y -+=.（2）假设存在直线l ，使得112⎛⎫⎪⎝⎭， 为l 被该双曲线所截弦的中点，设该直线与双曲线交于C,D 两点，设()3344(,,C x D y x y ), ，则223322442424x y x y ⎧-=⎨-=⎩ ，两式相减得()()()()3434343420x x x x y y y y +--+-= ，所以()343434342y y x x x x y y -+=-+ ，又因为112⎛⎫ ⎪⎝⎭，为弦CD 的中点,故343421x x y y +=+=， ，所以34341y y x x -=-，所以直线CD的方程为112y x -=-，即2210x y --=，由方程组222210142x y x y --=⎧⎪⎨-=⎪⎩ ,得22490x x -+= ，根据560'∆=-< ，说明所求直线不存在,故假设不成立，即不存在直线l ，使得112⎛⎫⎪⎝⎭， 为l 被该双曲线所截弦的中点.19．（2022·江苏南京·模拟预测）已知圆F ：()2221x y -+=，动圆P 与圆F 内切，且与定直线3x =-相切，设动点P 的轨迹为E ．(1)求E 的方程；(2)若直线l 过点F ，且与E 交于A ，B 两点，与y 轴交于M 点，满足MA AF λ=，MF FB μ=（0λ>，0μ>），试探究λ与μ的关系． 【答案】(1)28y x = (2)λμ=【分析】(1)根据直线与圆的位置关系可得3R x =+，根据圆与圆的位置关系可得()2221R x y =-++，列出方程，解之即可；(2)设直线l 的方程为()2y k x =-、()11,A x y 、()22,B x y ，法一：由平面共线向量的坐标表示和定点分比公式可得()241k λλ=+、()241k μμ=+，列出方程，解之即可；法二：联立抛物线方程，利用韦达定理和平面共线向量的坐标表示，化简计算可得112x x λ=-、222x μ=-，证明0λμ-=即可. (1)设(),P x y ，圆P 的半径为R ，由题可知，点P 在直线3x =-右侧， 因为圆P 与定直线3x =-相切，所以3R x =+． 又圆P 与圆F 内切，所以()22121R PF x y =+=-++，所以()22321x x y +=-++，化简得28y x =，即E 的方程为28y x =．(2)解法一：由（1）得()2,0F ，设直线l 的方程为()2y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ， 则()0,2M k -，因为MA AF λ=，由定点分比公式可知121x λλ=+，121ky λ-=+ 因为点A 在E 上，所以2118y x =，即()2241611k λλλ=++，所以()241k λλ=+． 同理，由MF FB μ=，可得222,11x k y F μμμμ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭， 所以221x μμ=+，2201k y μμ-+=+，即()221x μμ+=，22ky μ=， 因为点B 在E 上，所以2228y x =，即()221614k μμμ+=，所以()241k μμ=+．由()()4141λλμμ+=+，得()()10λμλμ-++=， 因为0λ>，0μ>，所以10λμ++≠，即0λμ-=．解法二：设直线l 的方程为()2y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，则()0,2M k -．由()282y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，整理得()22224840,k x k x k -++=，由韦达定理可知212248k x x k ++=，124x x =． 因为MA AF λ=，即()()1122,22,x y k x y λ+=--，所以112x x λ=-． 由MF FB μ=，可得()()222,22,k x y μ=-，所以222x μ=-． 所以()()()()()()211112121212222420222222x x x x x x x x x x x x λμ-+---=-===------，即λμ=． 20．（2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别1A ，2A ，上顶点为B ，12A A B △的面积为3，C 的短轴长为2.(1)求C 的方程；(2)斜率不为0的直线l 交C 于P ，Q 两点（异于点1A ），D 为PQ 的中点，且1A D PD =，证明：直线l 恒过定点.【答案】(1)2219x y += (2)证明见解析【分析】（1）根据椭圆的顶点坐标与基本量的关系求解即可；（2）由题意设直线l 的方程为x my t =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，联立直线与椭圆的方程，结合1A D PD QD ==可得110A P AQ ⋅=，再代入韦达定理化简求解即可（1）由题意得221232b a b =⎧⎪⎨⨯⨯=⎪⎩，解得3a =，1b =，故C 的方程为2219x y +=.（2）证明：由题意设直线l 的方程为x my t =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，联立2219x y x my t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2229290m y mty t +++-=， 所以()()222244990m t m t ∆=-+->，即229t m <+12229mt y y m +=-+，212299t y y m -=+，因为1A D PD QD ==，所以11A P AQ ⊥，所以110A P AQ ⋅=， 即()()1212330x x y y +++=，则()()1212330my t my t y y +++++=，整理得()()2212121(3)(3)0m y y m t y y t ++++++=，所以()22222921(3)(3)990t mt m m t t m m -⎛⎫+++-++ ⎪++⎝=⎭， 即()()()()()()222231933302m m t t t m t t +--+++++=整理得()()35120t t ++=，解得125t =-或3t =-， 当3t =-时，直线l 的方程为3x my =-，恒过点()3,0-，舍去； 当125t =-时，直线l 的方程为125x my =-，恒过点12,05⎛⎫- ⎪⎝⎭，符合题意，即直线l 恒过定点12,05⎛⎫- ⎪⎝⎭.21．（2022·江苏南通·模拟预测）已知F 16，0），F 26，0）为双曲线C 的焦点，点P （2，－1）在C 上．(1)求C 的方程；(2)点A ，B 在C 上，直线P A ，PB 与y 轴分别相交于M ，N 两点，点Q 在直线AB 上，若OM ＋=0ON ，PQ AB ⋅＝0，证明：存在定点T ，使得|QT |为定值． 【答案】(1)22133y x -= (2)证明见解析 【分析】（1）待定系数法列方程组求得a b 、的值，即可得到双曲线C 的方程；（2）设出直线AB 的方程并与双曲线C 的方程联立，利用设而不求的方法得到M 、N 的坐标，利用题给条件OM ＋=0ON 求得直线AB 的过定点，再由PQ AB ⋅＝0可得使|QT |为定值的定点T .（1）设双曲线C 的方程为22221x y a b-=，()0,0a b >>由题意知22226341136c a a b b a b ⎧=⎪⎧=⎪⎪-=⎨⎨=⎪⎪⎩+=⎪⎩，解之得，∴双曲线C 的方程为22133y x -=（2）设直线AB 的方程为y kx m =+，A （1x 、1y ），B （2x ，2y ），P （2，－1）()2222212303y kx mk x kmx m x y =+⎧----=⎨-=⎩，整理得， 则210k -≠，0∆>，21212222=311km m x x x x k k --+--=， ∴直线P A 方程为()111212y y x x +=---， 令0x =，则11120,2x y M x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，同理N （0，22222x y x +-）， 由0OM ON +=，可得21221222022x y x y x x +++=-- ∴()()11221222022x kx m x kx m x x +++++=--()()()()1221212221220k x m x k x m x ⎡⎤⎡⎤++-+++-=⎣⎦⎣⎦∴()()()12124224280k m x x k x x m +-+-++= ∴()()22223422428011km m k m k m k k ---+⋅-++=--∴()()()()22212213410k m km k m m k -+⋅++++-=∴22222422263440k m km km km k m m mk -++++++-=∴()224630m k m k ++++=，()()3210m m k +++=当210m k ++=时，21m k =--，此时直线AB 方程为()21y k x =--恒过定点P （2，－1），显然不可能 ∴3m =-，直线AB 方程为3y kx =-恒过定点E （0，－3） ∵0PQ AB ⋅=，∴PQ AB ⊥，取PE 中点T ，∴T （1，－2） ∴122QT PE ==为定值，∴存在T （1，－2）使|QT |为定值2． 【点睛】求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22．（2022·安徽·高二期中）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别是,A B ，且经过点31,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 直线 :1l x ty =-恒过定点F 且交椭圆于,D E 两点，F 为OA 的中点.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)记BDE 的面积为S ，求S 的最大值.【答案】(1)2214x y += (2)332【分析】（1）由直线过定点坐标求得a ，再由椭圆所过点的坐标求得b 得椭圆方程； （2）设()()1122,,,E x y D x y ，直线l 方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得12122223,44t y y y y t t +==-++， 计算弦长DE ，再求得B 到直线l 的距离，从而求得三角形面积，由函数的性质求得最大值． （1）由题意可得，直线:1l x ty =-恒过定点(1,0)F -， 因为F 为OA 的中点， 所以||2OA =， 即2a =.因为椭圆C 经过点 31,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以 222232112b ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=， 解得1b =， 所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）设()()1122,,,E x y D x y .由22441x y x ty ⎧+=⎨=-⎩得 ()224230,0t y ty +--=∆>恒成立，则12122223,44t y y y y t t +==-++， 则()222222121222223413||1414444t t t ED t y y y y t t t t +⋅+⎛⎫⎛⎫=+⋅+-=+⋅-⨯-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭又因为点B 到直线l 的距离231d t =+，所以22222211413363||22441t t t S ED d t t t+⋅++=⨯⨯=⋅⋅=+++令233m t =+， 则2226366141t m t m m m+==+++，因为1y m m =+，3m ≥时，2110y m'=->，1y m m =+在[3,)m ∈+∞上单调递增， 所以当3m =时，min1433m m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，故max 332S =.即S 的最大值为 332. 【点睛】本题求椭圆的标准方程，直线与椭圆相交中三角形面积问题，计算量较大，属于难题．解题方法一般是设出交点坐标，由（设出）直线方程与椭圆方程联立方程组消元后应用韦达定理，然后由弦长公式求得弦长，再求得三角形的另一顶点到此直线的距离，从而求得三角形的面积，最后利用函数的性质，基本不等式等求得最值．。
【高中数学】《圆锥曲线》能力提升训练单教师版
高三数学《圆锥曲线》能力拓展—训练单设计人：吴燕瑜 审核人：陈银璋班级： 姓名： 组名:1．已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围； (2)若＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.解：(1)由题设可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1.因为直线l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1，解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1， 整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2. ＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8.由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1.故圆心C 在直线l 上，所以|MN |＝2.2.如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上． (1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q ，以PQ 为直径的圆是否恒过y 轴上某定点M ，若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)依题意得|OB |＝83，根据对称性知∠BOy ＝30°. 设点B (x ，y )，则x ＝83×sin 30°＝43， y ＝83×cos 30°＝12，又B (43，12)在抛物线上， 所以()432＝2p ×12，解得p ＝2， 故抛物线E 的方程为x 2＝4y .(2)设点P (x 0，y 0)(x 0≠0)，因为y ＝14x 2，所以y ′＝12x ，故直线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1，所以Q ⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－1.设满足条件的定点M 存在，坐标为M (0，y 1)，所以MP ＝(x 0，y 0－y 1)，MQ ＝⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－1－y 1，又MP ·MQ ＝0，所以x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0，又y 0＝14x 20(x 0≠0)，联立解得y 1＝1， 故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)．3.已知椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)与抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)有一个公共焦点，抛物线C 2的准线l 与椭圆C 1有一坐标是()2，－2的交点． (1)求椭圆C 1与抛物线C 2的方程；(2)若点P 是直线l 上的动点，过动点P 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与椭圆C 1分别交于点E ，F ，求OE ·OF 的取值范围． 解：(1)抛物线C 2的准线方程是y ＝－2，所以p2＝2，p ＝4，所以抛物线C 2的方程是：x 2＝8y ，椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦点坐标是(0，－2)，(0,2)，所以c ＝2，2a ＝2＋0＋2＋(2＋2)2＝42，所以a ＝22，b ＝2， 即椭圆C 1的方程是y 28＋x 24＝1.(2)设点P (t ，－2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，E (x 3，y 3)，F (x 4，y 4)， 抛物线方程可以化为：y ＝18x 2，所以y ′＝14x ，所以AP 的方程为：y －y 1＝14x 1(x －x 1)，所以－2－y 1＝14x 1t －2y 1，即y 1＝14tx 1＋2，同理BP 的方程为：y 2＝14tx 2＋2，所以直线AB 的方程为：y ＝14tx ＋2，将直线AB 的方程代入椭圆C 1的方程得到：(t 2＋32)x 2＋16tx －64＝0，则Δ＝256t 2＋256(t 2＋32)>0， 且x 3＋x 4＝－16t t 2＋32，x 3x 4＝－64t 2＋32，所以OE ·OF ＝x 3x 4＋y 3y 4 ＝⎝⎛⎭⎫1＋t 216 x 3x 4＋t 2(x 3＋x 4)＋4＝－8t 2＋64t 2＋32＝320t 2＋32－8.因为0<320t 2＋32≤10，所以OE ·OF 的取值范围是(－8,2]．4．过椭圆141622=+y x 内一点)1,1(M 的弦AB （1）若点M 恰为弦AB 的中点，求直线AB 的方程； （2）求过点M 的弦的中点的轨迹方程。
重庆名校圆锥曲线基础及提高专题训练
重庆名校圆锥曲线基础及提高专题训练一、选择题1.设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B.[－2，2] C.[－1，1]D.[－4，4]2.已知P 为双曲线C ：x 29－y 216＝1上的点，点M 满足|OM →|＝1，且OM →·PM →＝0，则当|PM →|取得最小值时点P 到双曲线C 的渐近线的距离为( ) A.95B.125C.4D.53.已知椭圆C 的方程为x 216＋y 2m 2＝1(m ＞0)，如果直线y ＝22x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为( ) A.2B.2 2C.8D.2 34.若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋2有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是( )A.[3，＋∞)B.(3，＋∞)C.(1，3]D.(1，3) 5.斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A.2B.455C.4105 D.8105二、填空题6.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为________. 7.已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3，0)，|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，则|PM →|的最小值是________.8.若双曲线x 2－y 2b2＝1(b ＞0)的一条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是________. 三、解答题9.如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是22，点P (0，1)在短轴CD 上，且PC →·PD →＝－1. (1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点.是否存在常数λ，使 得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.10.如图，设椭圆x2a2＋y2＝1(a＞1).(1)求直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；(2)若任意以点A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与抛物线y 2＝x 的一个交点的横坐标为x 0，若x 0＞1，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫1，62B.(2，＋∞)C.(1，2)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫62，＋∞12.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，它的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点.若△AOB 的面积为3，则抛物线的准线方程为( ) A.x ＝－2B.x ＝2C.x ＝1D.x ＝－113.若点O 和点F 分别为椭圆x 29＋y 28＝1的中点和左焦点，点P 为椭圆上的任一点，则OP →·FP →的最小值为________.14.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x ＋4y ＋6＝0与圆x 2＋(y －b )2＝a 2相切. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知过椭圆C 的左顶点A 的两条直线l 1，l 2分别交椭圆C 于M ，N 两点，且l 1⊥l 2，求证：直线MN 过定点，并求出定点坐标； (3)在(2)的条件下求△AMN 面积的最大值.重庆名校圆锥曲线基础及提高专题训练一、选择题1.设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B.[－2，2] C.[－1，1]D.[－4，4]解析 Q (－2，0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，由Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0，解得－1≤k ≤1. 答案 C2.已知P 为双曲线C ：x 29－y 216＝1上的点，点M 满足|OM →|＝1，且OM →·PM →＝0，则当|PM →|取得最小值时点P 到双曲线C 的渐近线的距离为( ) A.95B.125C.4D.5解析 由OM →·PM →＝0，得OM ⊥PM ，根据勾股定理，求|MP |的最小值可以转化为求|OP |的最小值，当|OP |取得最小值时，点P 的位置为双曲线的顶点(±3，0)，而双曲线的渐近线为4x ±3y ＝0，∴所求的距离d ＝125，故选B. 答案 B3.已知椭圆C 的方程为x 216＋y 2m 2＝1(m ＞0)，如果直线y ＝22x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为( ) A.2B.2 2C.8D.2 3解析 根据已知条件得c ＝16－m 2，则点(16－m 2，2216－m 2)在椭圆x 216＋y 2m 2＝1(m ＞0)上，∴16－m 216＋16－m 22m 2＝1，可得m ＝2 2.答案 B4.若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋2有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是( )A.[3，＋∞)B.(3，＋∞)C.(1，3]D.(1，3)解析 依题意可知双曲线渐近线方程为y ＝±b a x ，与抛物线方程联立消去y 得x 2±b a x ＋2＝0.∵渐近线与抛物线有交点，∴Δ＝b 2a 2－8≥0，求得b 2≥8a 2，∴c ＝a 2＋b 2≥3a ，∴e ＝ca≥3. 答案 A5.斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A.2B.455C.4105D.8105解析 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎨⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t 消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0， 则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4（t 2－1）5.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×4（t 2－1）5＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105. 答案 C二、填空题6.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为________. 解析 由条件知双曲线的焦点为(4，0)，所以⎩⎨⎧a 2＋b 2＝16，ba ＝3，解得a ＝2，b ＝23，故双曲线方程为x 24－y 212＝1.答案x 24－y 212＝17.已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3，0)，|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，则|PM →|的最小值是________. 解析 ∵PM →·AM →＝0，∴AM →⊥PM →. ∴|PM →|2＝|AP →|2－|AM →|2＝|AP →|2－1， ∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小， 故|AP →|min ＝2，∴|PM →|min ＝ 3. 答案38.若双曲线x 2－y2b2＝1(b ＞0)的一条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是________.解析 双曲线的渐近线方程为y ＝±bx ，则有|0－2|1＋b 2≥1，解得b 2≤3，则e 2＝1＋b 2≤4，∵e＞1，∴1＜e ≤2. 答案 (1，2] 三、解答题9.如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是22，点P (0，1)在短轴CD 上，且PC →·PD →＝－1. (1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点.是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由. 解 (1)由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b ). 又点P 的坐标为(0，1)，且PC →·PD →＝－1，于是⎩⎨⎧1－b 2＝－1，c a ＝22，a 2－b 2＝c 2.解得a ＝2，b ＝ 2.所以椭圆E 方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线AB 的斜率存在时， 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2).联立⎩⎨⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0.其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)>0， 所以，x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1. 从而，OA →·OB →＋λPA →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)] ＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝（－2λ－4）k 2＋（－2λ－1）2k 2＋1＝－λ－12k 2＋1－λ－2.所以，当λ＝1时，－λ－12k 2＋1－λ－2＝－3.此时，OA →·OB →＋λPA →·PB→＝－3为定值.当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ，此时OA →·OB →＋λPA →·PB →＝OC →·OD →＋PC →·PD →＝－2－1＝－3， 故存在常数λ＝1，使得OA →·OB →＋λPA→·PB →为定值－3.10.如图，设椭圆x 2a2＋y 2＝1(a ＞1).(1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)；(2)若任意以点A (0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.解(1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AM ，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，x 2a 2＋y 2＝1，得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0.故x 1＝0，x 2＝－2a 2k1＋a 2k 2，因此|AM |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2a 2|k |1＋a 2k2·1＋k 2. (2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足|AP |＝|AQ |.记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2＞0，k 1≠k 2. 由(1)知|AP |＝2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21，|AQ |＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22， 故2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22， 所以(k 21－k 22)[1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22]＝0.由于k 1≠k 2，k 1，k 2＞0得1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22＝0，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 21＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22＋1＝1＋a 2(a 2－2)，①因为①式关于k 1，k 2的方程有解的充要条件是1＋a 2(a 2－2)＞1，所以a ＞ 2.因此，任意以点A (0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a ≤2， 由e ＝c a ＝a 2－1a 得，所求离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，22.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与抛物线y 2＝x 的一个交点的横坐标为x 0，若x 0＞1，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫1，62B.(2，＋∞)C.(1，2)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫62，＋∞解析 不妨联立y ＝b a x 与y 2＝x 的方程，消去y 得b 2a 2x 2＝x ，由x 0＞1知b 2a 2＜1，即c 2－a 2a 2＜1，故e 2＜2，又e ＞1，所以1＜e ＜2，故选C. 答案 C12.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，它的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点.若△AOB 的面积为3，则抛物线的准线方程为( ) A.x ＝－2B.x ＝2C.x ＝1D.x ＝－1解析 因为e ＝c a＝2，所以c ＝2a ，b ＝3a ，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，又抛物线的准线方程为x ＝－p 2，联立双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，3p 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－3p 2，在△AOB 中，|AB |＝3p ，点O 到AB 的距离为p 2，所以12·3p ·p 2＝3，所以p ＝2，所以抛物线的准线方程为x ＝－1，故选D. 答案 D13.若点O 和点F 分别为椭圆x 29＋y 28＝1的中点和左焦点，点P 为椭圆上的任一点，则OP →·FP →的最小值为________.解析 点P 为椭圆x 29＋y 28＝1上的任意一点，设P (x ，y )(－3≤x ≤3，－22≤y ≤22)，依题意得左焦点F (－1，0)，∴OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )，∴OP →·FP →＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋x ＋72－8x 29＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922＋234.∵－3≤x ≤3，∴32≤x ＋92≤152，∴94≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922≤2254， ∴14≤19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922≤22536，∴6≤19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922＋234≤12，即6≤OP →·FP →≤12，故最小值为6. 答案 614.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x ＋4y ＋6＝0与圆x 2＋(y －b )2＝a 2相切.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知过椭圆C 的左顶点A 的两条直线l 1，l 2分别交椭圆C 于M ，N 两点，且l 1⊥l 2，求证：直线MN 过定点，并求出定点坐标；(3)在(2)的条件下求△AMN 面积的最大值.解 (1)由题意，得⎩⎨⎧a ＝2b ，|4b ＋6|5＝a ，∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1， 即C ：x 24＋y 2＝1. (2)由题意得直线l 1，l 2的斜率存在且不为0.∵A (－2，0)，设l 1：x ＝my －2，l 2：x ＝－1my －2， 由⎩⎨⎧x ＝my －2，x 2＋4y 2－4＝0，得(m 2＋4)y 2－4my ＝0， ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2－8m 2＋4，4m m 2＋4.同理，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8m 24m 2＋1，－4m 4m 2＋1. ①m ≠±1时，k MN ＝5m 4（m 2－1）， l MN ：y ＝5m 4（m 2－1）⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋65.此时过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0. ②m ＝±1时，l MN ：x ＝－65，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0. ∴l MN 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0.(3)由(2)知S △AMN ＝12×45|y M －y N | ＝25⎪⎪⎪⎪⎪⎪4m m 2＋4＋4m 4m 2＋1＝8⎪⎪⎪⎪⎪⎪m 3＋m 4m 4＋17m 2＋4 ＝8⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋1m 4⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋1m 2＋9＝84⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋1m ＋9⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋1m . 令t ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋1m ≥2，当且仅当m ＝±1时取等号， ∴S △AMN ≤1625，且当m ＝±1时取等号. ∴(S △AMN )max ＝1625.。
高中数学圆锥曲线提高训练题(含答案)
圆锥曲线提高题一、单选题（共7题；共14分）1.（2020·龙岩模拟）已知抛物线C1：和圆C2：(x-6)2+(y-1)2=1，过圆C2上一点P作圆的切线MN 交抛物线C，于M，N两点，若点P为MN的中点，则切线MN的斜率k>1时的直线方程为（）A. 4x-3y-22=0B. 4x-3y-16=0C. 2x-y-11+5=0D. 4x-3y-26=02.（2020·江西模拟）过椭圆的中心任作一直线交椭圆于P,Q两点,F是椭圆的一个焦点,则的周长的最小值为（）A. 12B. 14C. 16D. 183.（2020·南昌模拟）已知F是双曲线的右焦点，直线交双曲线于A，B两点，若，则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.4.（2020·安阳模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，，其右支上存在一点，使得，直线.若直线，则双曲线的离心率为（）A. B. 2 C. D. 55.（2020高二下·宁波期中）已知双曲线（，），A，B是双曲线的两个顶点，P是双曲线上的一点，且与点B在双曲线的同一支上，P关于轴的对称点是Q，若直线，的斜率分别是，，且，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.6.（2020·抚顺模拟）已知双曲线的虚轴的一个顶点为，左顶点为M，双曲线C的左、右焦点分别为，，点P为线段上的动点，当取得最小值和最大值时，的面积分别为，，若，则双曲线C的离心率为（）．A. B. C. D.7.（2020·连城模拟）已知椭圆+ =1(a>b>0)与直线交于A，B两点，焦点F(0，-c)，其中c为半焦距，若△ABF是直角三角形，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.二、填空题（共4题；共4分）8.（2020·厦门模拟）双曲线的左､右焦点分别为､，过的直线与的左､右两支分别交于A，B两点，点M在x轴上，，平分，则的离心率为________.9.（2020·河南模拟）设，是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆C交于A，B 两点，过与平行的直线与椭圆C交于C，D两点（点A，D在x轴上方），则四边形面积的最大值为________.10.（2020·福州模拟）已知两条抛物线C：y2＝2x，E：y2＝2px（p＞0且p≠1），M为C上一点（异于原点O），直线OM与E的另一个交点为N．若过M的直线l与E相交于A，B两点，且△ABN的面积是△ABO 面积的3倍，则p＝________11.（2020·奉贤模拟）在平面直角坐标系内有两点，，，点在抛物线上，为抛物线的焦点，若，则________三、解答题（共7题；共75分）12.（2020·济宁模拟）已知点F为椭圆的右焦点，点A为椭圆的右顶点.（1）求过点F、A且和直线相切的圆C的方程；（2）过点F任作一条不与轴重合的直线，直线与椭圆交于P，Q两点，直线PA，QA分别与直线相交于点M，N.试证明：以线段MN为直径的圆恒过点F.13.（2020·沈阳模拟）已知长度为4的线段的两个端点分别在x轴和y轴上运动，动点P满足，记动点P的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）设曲线C与y轴的正半轴交于点D，过点D作互相垂直的两条直线，分别交曲线C于点M，N两点，连接，求的面积的最大值.14.（2020·南京模拟）如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C：(a＞b＞0)经过点(﹣2,0)和,椭圆C上三点A,M,B与原点O构成一个平行四边形AMBO.（1）求椭圆C的方程；（2）若点B是椭圆C左顶点,求点M的坐标；（3）若A,M,B,O四点共圆,求直线AB的斜率.15.（2020·厦门模拟）已知动圆C过点且与直线相切.（1）求圆心C的轨迹的方程；（2）过F的直线与E交于A，B两点，分别过A，B做的垂线，垂足为，，线段的中点为M.①求证：；②记四边形，的面积分别为，，若，求.16.（2020·淄博模拟）已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率是，P为椭圆上的动点.当取最大值时，的面积是（1）求椭圆的方程：（2）若动直线l与椭圆E交于A，B两点，且恒有，是否存在一个以原点O为圆心的定圆C，使得动直线l始终与定圆C相切？若存在，求圆C的方程，若不存在，请说明理由17.（2020·潍坊模拟）已知椭圆：过点，、分别为椭圆C的左、右焦点且（1）求椭圆C的方程；（2）直线平行于OP（O为原点），且与椭圆C交于两点A、B，与直线x＝2交于点M（M介于A、B 两点之间）．（I）当△PAB面积最大时，求的方程；（II）求证：.18.（2020·泰安模拟）已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原原点，点O到直线AB的距离为，的面积为1．（1）求榷圆的标准方程；（2）直线与椭圆交于C，D两点，若直线直线AB，设直线AC，BD的斜率分别为证明：为定值．答案解析部分一、单选题1.【答案】D【解析】【解答】画出曲线图像如下图：由题意知，切线MN的斜率k存在且不为0，设点，设直线MN的方程为：，其中，则，联立，可得，则有，，，根据中点坐标公式可得，，，又直线MN与圆C2相切，则有，即①，依题意，直线C2P与直线MN垂直，则，整理得②，将②代入①并整理得，，降次化简可得，③，令，则，因为，所以，即在单调递减，则在上恒成立，即在无解，从而③式的解只有一个，，代入②式可得，，所以，直线MN的方程为：，整理得，4x-3y-26=0.故答案为：D.【分析】设点和直线MN的方程为：，其中，则，联立并结合韦达定理可得，，利用直线MN与圆C2相切，则有，再根据直线C2P与直线MN垂直，则，消去n化简可得，降次整理可得，令，利用导数求出单调性可证明在无解，故可得，代入可求n，从而可求直线MN的方程.2.【答案】D【解析】【解答】如图所示,记椭圆的另一个焦点为,则根据椭圆的对称性知道: , ,设,则,又因为, ,所以,即, ．所以的周长为故答案为：D【分析】记椭圆的另一个焦点为,则,由, ,即可求出周长的最小值．3.【答案】C【解析】【解答】如图，设双曲线左焦点为M，，连接，则为平行四边形，且，由已知，，，，在三角形BMF中，由余弦定理，得，即①，又，即②，由①②可得，③，在三角形ABF中，由余弦定理，得，即，所以④，联立，得，所以⑤,由④⑤可得，即，解得（负值舍），所以离心率.故答案为：C【分析】设双曲线左焦点为M，，连接，分别在三角形BMF、ABF 中应用余弦定理可得到①，联立，得到，②，由①②即可建立a，b，c之间的关系.4.【答案】C【解析】【解答】如图所示：因为，所以.因为直线为双曲线的一条渐近线，即的方程为，且，从而是线段的垂直平分线，所以直线的方程为.设与相交于点.由解得.即.又，由中点坐标公式，得.由双曲线的定义得①，由得，②，①②联立，可得，所以点的纵坐标为，所以，即，所以.故答案为：C【分析】根据和直线，，得到是线段的垂直平分线，从而直线的方程为，由，得到，又，利用中点坐标公式，得，由双曲线的定义结合得，再利用等面积法，得到点的纵坐标为，然后由求解.5.【答案】A【解析】【解答】双曲线（，），，是双曲线的两个顶点，则双曲线焦点在轴上，不妨设，，是双曲线上的一点，且与点在双曲线的同一支上，关于轴的对称点是，则，由两点间斜率公式可得直线的斜率，直线的斜率，根据题意，则，化简可得，是双曲线上的一点，则，化简可得，由上述两式可得，即，所以，而双曲线中满足，所以，则，故答案为：A.【分析】由双曲线的标准方程可知焦点在y轴上，设出点坐标，即可得Q点坐标；根据直线，的斜率乘积，结合斜率公式即可求得的等量关系，再由点在双曲线上，代入即可得关系，进而求得双曲线的离心率.6.【答案】A【解析】【解答】解：由题意可知，，则直线所在直线的方程为，因为点P在线段上，可设，其中．设双曲线C的焦距为，则，，，从而，，故．因为，所以当时，取得最小值，此时，．当，即时，无最大值，所以不符合题意；当，即时，在处取得最大值，此时，，因为，所以，解得，符合题意．综上，，，，故双曲线C的离心率．故答案为：A.【分析】设直线所在直线的方程为，设，，，则可得，，从而可求出两向量的数量积的表达式，由二次函数的性质可求出当时，取得最小值，从而可求；当时，在处取得最大值，此时，，由可求出，进而可求离心率的值.7.【答案】A【解析】【解答】联立方程，解方程可得或，不妨设A(0，a)，B(-b，0)，由题意可知，·=0，因为，，由平面向量垂直的坐标表示可得，，因为，所以a2-c2=ac，两边同时除以可得，，解得e= 或（舍去），所以该椭圆的离心率为.故答案为：A【分析】联立直线与椭圆方程求出交点A，B两点，利用平面向量垂直的坐标表示得到关于的关系式，解方程求解即可.二、填空题8.【答案】【解析】【解答】由，平分，得，，故，又由，得，不妨设，根据双曲线定义，得，，故，.∴，∴是等边三角形，在中，，，，，由余弦定理可得，解得.故答案为：.【分析】先由题意，得到，不妨设，根据双曲线的定义，得到，，求得，得到是等边三角形，求出，，，再由余弦定理，求解，即可得出结果.9.【答案】4【解析】【解答】解：，四边形为平行四边形设直线的方程，，得令令令，则在上为减函数，在上为增函数，，即四边形面积的最大值为4故答案为：4【分析】四边形为平行四边形，设直线的方程，，联立，再用换元法求其最大值即可.10.【答案】4【解析】【解答】设，则直线OM的方程为，即，代入y2＝2px（p＞0且p≠1），可得，即，由题意可得显然直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，即，显然，否则AB过原点，不符合题意，所以O到直线AB的距离，N到直线AB的距离因为所以，因为所以，解得故答案为：4．【分析】由题意设M的坐标，求出直线OM的方程，与抛物线E联立求出N的坐标，设直线AB的方程，求出O，N到直线AB的距离，求出△ABN的面积与△ABO面积之比，再由△ABN的面积是△ABO面积的3倍可得p的值．11.【答案】，，【解析】【解答】解：因为点在抛物线上，所以，得，因为抛物线的焦点为，准线为所以，因为，，，所以，因为，所以，所以，所以或化简得或，解得或或，因为，所以，，，故答案为：，，【分析】由点在抛物线上，所以将点坐标代入抛物线方程中，可得到与的关系，由可得点的坐标为，准线方程为，所以，而，由列方程可求出m的值三、解答题12.【答案】（1）解：由已知得：圆C的圆心一定在线段AF中垂线上由圆C与直线相切，得：圆C的半径设圆C的圆心坐标为，则有：，即圆心圆C的方程为：（2）解：当直线斜率不存在时，其方程为,联立,解得，又因为.所以直线为.可求得M,N两点坐标分别为或，又的斜率之积为：.当直线斜率存在时，设直线的方程为：联立方程组：，消去整理得：又设由P,A,M共线得：，由Q,A,N共线得：，所以FM,FN的斜率之积为：综上可知：恒有以线段MN为直径的圆恒过点F.【解析】【分析】由已知可得，即可求出其中垂线,即可得出半径为7,即可求出圆心坐标.即可写出圆C的方程.以线段MN为直径的圆恒过点等价于,讨论直线的斜率是否存在，写出直线，联立解出P、Q,结合写出直线,即可得到点M，N，结合，即可说明.13.【答案】（1）解：设.，，即.. 又，.从而.曲线的方程为.（2）解：由题意可知，直线DM的斜率存在且不为0.故可设直线DM的方程为，由对称性，不妨设，由，消去得，则，将式子中的换成，得：.，设，则.故，取等条件为即，即，解得时，取得最大值.【解析】【分析】（1）设动点P和点A，B的坐标，利用向量数乘关系结合容易求得方程；（2）联立直线与曲线方程，利用弦长公式可得，则，设，则，再利用基本不等式计算可得。
基于核心素养高中数学--圆锥曲线提升训练
7.以椭圆 上一动点 为圆心， 为半径作圆 ，过原点 作圆 的两条切线， ， 为切点，若 ＝ ， ，则椭圆 的离心率为（）
A. B. C. D.
8.若过双曲线 的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂线交 轴于点 （ 为双曲线的半焦距），则此双曲线的离心率是（）
A. B. C. D.
， ， ，
， ．
故选 ．
二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）
9.【答案】
【解答】
解：∵双曲线的渐近线方程是 ，∴可设双曲线的方程为 ．
把点 代得 ，解得 ．∴此双曲线的方程是 ．
故答案为 ．
10.【答案】
【解答】
解：取 中点 ，连接 ，
则由已知可得 ，
设 ，则由双曲线的定义可得
故选： ．
5.【答案】B
【解答】
6.【答案】D
【解答】
解：由题意知 ，把 代入椭圆 ，得 ，
∴ ，整理，得 ，
∴ ，∵ ，∴ ．
故选 ．
7.【答案】C
【解答】
如图连接 ， ， ，则
∵ ＝ ＝ ，∴ 又因为 ，∴ ＝ ， ．
椭圆 的离心率 ，
8.【答案】A
【解答】
解：如图所示，
由题知：点 到 的距离为 ， ， ，
A.双曲线B.椭圆C.圆D.抛物线
5.已知椭圆 ： 的离心率为 ，其内部一点 在 轴上的射影为左焦点 ，右焦点为 ，若椭圆 上存在一点 ，使 的最大值为 ，则 的值为( )
A. B. C. D.
6.如图， ， 分别是椭圆 的两个焦点， 和 是以 为圆心，以 为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且 是等边三角形，则椭圆的离心率为( )
考点18 圆锥曲线与方程提高题汇总(选修2-1)(原卷版)
考点18 圆锥曲线与方程提高题汇总一、单选题（共15小题）1.（2021•郑州一模）设点A，B分别为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M，N分别在双曲线C的左、右支上，若＝5，2＝•，且||＜||，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．2.（2020秋•秦州区校级期末）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作直线与抛物线在第一象限交于点A，与准线在第三象限交于点B，过点A作准线的垂线，垂足为H．若tan∠AFH＝2，则＝（）A．B．C．D．23.（2020秋•长安区校级期末）已知双曲线是双曲线C上关于原点对称的两点，P是双曲线C上异于A，B的一点，若直线P A与直线PB的斜率都存在且两直线的斜率之积为定值2，则双曲线的离心率是（）A．B．C．2D．4.（2020秋•皇姑区校级期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过焦点F的直线l交抛物线C于P、Q两点，交y轴于点A，若点P为线段F A的中点，且|FQ|＝2，则p的值为（）A．B．C．2D．35.（2020秋•重庆期末）已知双曲线E：的右焦点为F，过F作过第一象限的渐近线的垂线，垂足为M，交另一条渐近线于点N，若，则E的离心率为（）A．B．C．D．6.（2020秋•香坊区校级期末）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上一点P，若∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是（）A．B．C．D．7.（2021•浙江模拟）如图，已知F1，F2分别为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，连接AF2，BF2，在△ABF2中，sin，|AB|＝|BF2|，则双曲线C的离心率为（）A．3B．C．D．28.（2020秋•齐齐哈尔期末）已知双曲线，其左、右焦点分别为F1，F2，点M的坐标为（3，2），双曲线C上的点P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）满足，则△PMF1与△PMF2面积的差＝（）A．﹣2B．2C．4D．69.（2020秋•乐山期中）已知椭圆，过点（4，0）的直线交椭圆E于A、B两点，且线段AB被点（2，﹣1）平分，则椭圆E的离心率为（）A．B．C．D．10.（2020秋•辽宁期末）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，圆x2+y2＝a2+b2与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为A，B，四边形AF2BF1的周长P与面积p＝4，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．11.（2020秋•滨海新区月考）已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线与x轴的交点为E，线段EF被双曲线C2：﹣＝1（a＞0，b＞0）的顶点三等分，且两曲线C1，C2的交点连线过曲线C1的焦点F，则双曲线C2的离心率为（）A．B．C．D．12.（2020秋•东安区校级期末）已知圆＝1和焦点为F的抛物线C2：y2＝8x，N是C1上一点，M在C2上，当点M在M1时，|MF|+|MN|取得最小值，当点M在M2时，|MF|﹣|MN|取得最大值，则|M1M2|＝（）A．B．C．D．13.（2020•合肥模拟）已知F1，F2是双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则双曲线E的离心率为（）A．B．C．2D．314.（2020•广州二模）过双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）右焦点F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为P，与双曲线交于点A，若＝3，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±2x D．y＝±x15.（2020秋•安徽月考）已知F1，F2为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若P为双曲线右支上一点，PF1＝2b，在x轴上存在动点T（x0，0）到直线PF1与PF2的距离相等，当x0∈（，）（c是双曲线的半焦距）时，双曲线C的离心率的取值范围是（）A．（，2）B．（，）C．（，）D．（2，）二、填空题（共9小题）16.（2020秋•辽宁期末）已知M，N为抛物线y2＝8x上两点，O为坐标原点，且∠MON＝90°，则MN的最小值为．17.（2020秋•河南月考）已知长为4的线段AB的两个端点A，B都在抛物线y＝2x2上滑动，若M是线段AB的中点，则点M到x轴的最短距离是．18.（2020秋•皇姑区校级期末）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0），点P（x0，y0）是直线bx﹣ay+2a＝0上任意点，若圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝1与双曲线C的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围为．19.（2020秋•哈尔滨期末）过双曲线x2﹣y2＝8的左焦点F1有一条弦PQ交左支于P、Q两点，若|PQ|＝7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长为．20.（2020秋•重庆期末）抛物线y2＝4x的焦点为F，点F关于原点的对称点为Fˈ，P为抛物线上一点，∠PFˈF＝α，∠PFFˈ＝β，若，则直线PF的斜率为．21.（2020秋•济宁期末）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，两渐近线分别为l1：y＝x，l2：y＝﹣x，过F作l1的垂线，垂足为M，垂线交l2于点N，O为坐标原点，若|OF|＝|FN|，则双曲线C的离心率为．22.（2021•浙江模拟）已知双曲线＝1的左顶点为A，B，C分别为双曲线左、右两支上的点，且BC∥x轴，过B，C分别作直线AB，AC的垂线，两垂线相交于点D，若S△BCD＝，则|BC|＝．23.（2021•徐汇区一模）已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2，直线l与Γ的左、右支分别交于P、Q（P、Q均在x轴上方），若直线PF1、QF2的斜率均为k，且四边形PQF2F1的面积为，则k＝．24.（2021•浙江模拟）已知双曲线﹣y2＝1（a＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，则该双曲线的标准方程为，若O为坐标原点，点P为双曲线上一点，且P在第一象限，|F1P|+|F2P|＝12，则|OP|＝．三、解答题（共9小题）25.（2021•浦东新区一模）已知椭圆C1：＝1，F1、F2为C1的左、右焦点．（1）求椭圆C1的焦距；（2）点Q（，）为椭圆C1一点，与OQ平行的直线l与椭圆C1交于两点A、B，若△QAB面积为1，求直线l的方程；（3）已知椭圆C1与双曲线C2：x2﹣y2＝1在第一象限的交点为M（x M，y M），椭圆C1和双曲线C2上满足|x|≥|x M|的所有点（x，y）组成曲线C．若点N是曲线C上一动点，求•的取值范围．26.（2021•青浦区一模）已知动点M到直线x+2＝0的距离比到点F（1，0）的距离大1．（1）求动点M所在的曲线C的方程；（2）已知点P（1，2），A、B是曲线C上的两个动点，如果直线P A的斜率与直线PB的斜率互为相反数，证明直线AB的斜率为定值，并求出这个定值；（3）已知点P（1，2），A、B是曲线C上的两个动点，如果直线P A的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点．27.（2021•奉贤区一模）如图，曲线τ的方程是x2﹣y|y|＝1，其中A、B为曲线τ与x轴的交点，A点在B点的左边，曲线τ与y轴的交点为D．已知F1（﹣c，0），F2（c，0），c＞0，△DBF1的面积为．（1）过点B作斜率为k的直线l交曲线τ于P、Q两点（异于B点），点P在第一象限，设点P的横坐标为x P、Q的横坐标为x Q，求证：x P•x Q是定值；（2）过点F2的直线n与曲线τ有且仅有一个公共点，求直线n的倾斜角范围；（3）过点B作斜率为k的直线l交曲线τ于P、Q两点（异于B点），点P在第一象限，当时，求成立时λ的值．28.（2019秋•昌吉市期末）设点M是椭圆C：＝1（a＞b＞0）上一动点，椭圆的长轴长为4，离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）求点M到直线l1：x+y﹣5＝0距离的最大值．29.（2018秋•城关区校级期中）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）过点P（，），离心率是．（1）求椭圆C的标准方程：（2）若直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为（，），求直线l与坐标轴围成的三角形的面积．30.（2017秋•和平区期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点D（2，y0）在抛物线C上，且|DF|＝3，直线y＝x﹣1与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点．（1）求抛物线C的方程；（2）求△OAB的面积．31.（2020秋•沛县月考）已知椭圆＝1内有一点P（1，1），F为右焦点，椭圆上的点M．（1）求|MP|﹣|MF|的最大值；（2）求|MP|+|MF|的最小值；（3）求使得|MP|+|MF|的值最小时点M的坐标．32.（2020秋•沛县月考）（1）若点P到直线x＝﹣1的距离比它到点（2，0）的距离小1，求点P的轨迹方程．（2）设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差绝对值等于8，求曲线C2的标准方程．33.（2019秋•罗湖区校级月考）设斜率不为0的直线l与抛物线x2＝4y交于A，B两点，与椭圆+＝1交于C，D两点，记直线OA，OB，OC，OD的斜率分别为k1，k2，k3，k4．（1）若直线l过（0，4），证明：OA⊥OB；（2）求证：的值与直线l的斜率的大小无关．。
高中数学第二章 圆锥曲线[提高训练C组]
![高中数学第二章 圆锥曲线[提高训练C组]](https://img.taocdn.com/s3/m/2b7b0a7fc5da50e2524d7f8b.png)
高中数学第二章圆锥曲线[提高训练C组]一、选择题（本大题共6小题，共30.0分）1.若抛物线y2=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为()A. (14,±√24) B. (14,√24) C. (18,±√24) D. (18,√24)2.椭圆x249+y224=1上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为()A. 20B. 22C. 28D. 243.若A点的坐标为(3,2)，F为抛物线y2=2x的焦点P点在抛物线上移动，为使|PA|+|PF|取得最小值，P点的坐标应为()A. (3,3)B. (2,2)C. (12,1) D. (0,0)4.与椭圆x29+y25=1共焦点，且过点(√6,1)的双曲线方程是A. x22−y22=1 B. x24−y22=1 C. x23−y2=1 D. y2−x23=15.若直线y=kx+2与双曲线x2−y2=6的右支交于不同的两点，则实数k 的取值范围是()A. (−√153,√153) B. (0,√153) C. (−√153,0) D. (−√153,−1)6.抛物线y=2x2上两点A(x1,y1)、B(x2,y2)关于直线y=x+m对称，且x1·x2=−12，则m等于()A. 32B. 2 C. 52D. 3二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）7.椭圆x29+y24=1的焦点F1、F2，点P是椭圆上动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是______．8.双曲线tx2−y2−1=0的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，则双曲线的离心率为______ ．9.已知直线l过抛物线y2=4x的焦点且与抛物线相交于A，B两点，|AB|=8，则AB的中点的横坐标为________．10.若直线y=kx−1与双曲线x2−y2=4始终有公共点，则k取值是____________。
圆锥曲线的综合问题 强化训练-2023届高三数学二轮专题复习(含解析)
冲刺2023年高考二轮 圆锥曲线的综合问题强化训练（原卷+答案）考点一 证明问题——等价转化，直击目标圆锥曲线中证明问题的两种常见类型圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上，某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．例 1已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A (0，－2)，B (32，－1)两点．(1)求E 的方程；(2)设过点P (1，－2)的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝TH ⃗⃗⃗⃗⃗ .证明：直线HN 过定点．对点训练已知直线y ＝3与曲线C ：x 2＋2py ＝0的两个公共点之间的距离为4√6. (1)求C 的方程；(2)设P 为C 的准线上一点，过P 作C 的两条切线，切点为A ，B ，直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，且直线P A ，PB 与y 轴分别交于M ，N 两点，直线AB 的斜率为k 0.证明：k 1·k 2为定值，且k 1，k 0，k 2成等差数列．考点二 定点问题——目标等式寻定点解析几何中的定点问题一般是指与解析几何有关的直线或圆(其他曲线过定点太复杂，高中阶段一般不涉及)过定点的问题，其实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动，这类问题的求解一般分为以下三步：一选：选择变量，定点问题中的定点，随某一个量的变化而固定，可选择这个量为变量(有时可选择两个变量，如点的坐标、斜率、截距等，然后利用其他辅助条件消去其中之一)．二求：求出定点坐标所满足的方程，即把需要证明为定点的问题表示成关于上述变量的方程．三定点：对上述方程进行必要的化简，即可得到定点坐标． 例 2 已知椭圆M ：x 2a 2+y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为√22，AB 为过椭圆右焦点的一条弦，且AB 长度的最小值为2.(1)求椭圆M 的方程；(2)若直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点，点P (2，0)，记直线PC 的斜率为k 1，直线PD 的斜率为k 2，当1k 1+1k 2＝1时，是否存在直线l 恒过一定点？若存在，请求出这个定点；若不存在，请说明理由．对点训练已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，S (t ，4)为C 上一点，直线l 交C 于M ，N 两点(与点S 不重合)．(1)若l 过点F 且倾斜角为60°，|FM |＝4(M 在第一象限)，求C 的方程；(2)若p ＝2，直线SM ，SN 分别与y 轴交于A ，B 两点，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝8，判断直线l是否恒过定点？若是，求出该定点；若否，请说明理由．考点三 定值问题——巧妙消元寻定值定值问题一般是指在求解解析几何问题的过程中，探究某些几何量(斜率、距离、面积、比值等)与变量(斜率、点的坐标等)无关的问题，其求解步骤一般为：一选：选择变量，一般为点的坐标、直线的斜率等．二化：把要求解的定值表示成含上述变量的式子，并利用其他辅助条件来减少变量的个数，使其只含有一个变量(或者有多个变量，若是能整体约分也可以)．三定值：化简式子得到定值．由题目的结论可知要证明为定值的量必与变量的值无关，故求出的式子必能化为一个常数，所以只需对上述式子进行必要的化简即可得到定值．例 3 已知双曲线C ：x 2a2−y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，双曲线C 的右顶点A 在圆O ：x 2＋y 2＝3上，且AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－1.(1)求双曲线C 的方程；(2)动直线l 与双曲线C 恰有1个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M 、N ，设O 为坐标原点．求证：△OMN 的面积为定值．对点训练已知F 1(－√3，0)，F 2(√3，0)分别是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 为双曲线在第一象限的点，△AF 1F 2的内切圆与x 轴交于点P (1，0)．(1)求双曲线C 的方程；(2)设圆O ：x 2＋y 2＝2上任意一点Q 处的切线l ，若l 与双曲线C 左、右两支分别交于点M 、N ，问：QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QN ⃗⃗⃗⃗⃗ 是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．考点四 圆锥曲线中的最值、范围问题——巧设变量，引参搭桥圆锥曲线中的最值 (1)椭圆中的最值 F 1，F 2为椭圆x 2a2+y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，B 为短轴的一个端点，O 为坐标原点，则有：①|OP |∈________；②|PF 1|∈________；③|PF 1|·|PF 2|∈________；④∠F 1PF 2≤∠F 1BF 2.(2)双曲线中的最值F 1，F 2为双曲线x 2a 2−y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，O为坐标原点，则有：①|OP |≥________；②|PF 1|≥________． (3)抛物线中的最值点P 为抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的任一点，F 为焦点，则有：①|PF |≥________；②A (m ，n )为一定点，则|P A |＋|PF |有最小值；③点N (a ，0)是抛物线的对称轴上一点，则|PN |min ＝{|a |(a ≤p )，√2pa −p 2(a ＞p)．例 4如图，已知椭圆x 212＋y 2＝1.设A ，B 是椭圆上异于P (0，1)的两点，且点Q (0，12)在线段AB 上，直线P A ，PB 分别交直线y ＝－12x ＋3于C ，D 两点．(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值； (2)求|CD |的最小值．对点训练已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，且F 与圆M ：x 2＋(y ＋4)2＝1上点的距离的最小值为4.(1)求p ；(2)若点P 在M 上，P A ，PB 是C 的两条切线，A ，B 是切点，求△P AB 面积的最大值．[典例] 已知圆(x ＋√3)2＋y 2＝16的圆心为M ，点P 是圆M 上的动点，点N (√3，0)，点G 在线段MP 上，且满足(GN⃗⃗⃗⃗⃗ +GP ⃗⃗⃗⃗⃗ )⊥(GN ⃗⃗⃗⃗⃗ −GP ⃗⃗⃗⃗⃗ )． (1)求点G 的轨迹C 的方程；(2)过点T (4，0)作斜率不为0的直线l 与轨迹C 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ，连接BD 交x 轴于点Q ，求△ABQ 面积的最大值．(1)因为(GN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +GP ⃗⃗⃗⃗⃗ )⊥(GN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −GP ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 所以(GN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +GP ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(GN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −GP ⃗⃗⃗⃗⃗ )＝0，即GN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2－GP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2＝0， 所以|GP |＝|GN |，所以|GM |＋|GN |＝|GM |＋|GP |＝|MP |＝4>2√3＝|MN |， 所以点G 在以M ，N 为焦点，长轴长为4的椭圆上，设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2＝1(a >b >0)，则2a ＝4，2c ＝2√3，即a ＝2，c ＝√3，所以b 2＝a 2－c 2＝1， 所以点G 的轨迹C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)依题意可设直线l ：x ＝my ＋4. 由{x =my +4，x 24+y 2=1消去x ，得(m 2＋4)y 2＋8my ＋12＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由Δ＝64m 2－4×12×(m 2＋4)＝16(m 2－12)>0，得m 2>12. ①且y 1＋y 2＝－8mm 2+4，y 1y 2＝12m 2+4.②因为点A 关于x 轴的对称点为D ， 所以D (x 1，－y 1)， 可设Q (x 0，0)，所以k BD ＝y 2+y 1x 2−x 1＝y 2+y 1m (y 2−y 1)， 所以BD 所在直线的方程为y －y 2＝y 2+y 1m (y2−y 1)(x －my 2－4)． 令y ＝0，得x 0＝2my 1y 2+4(y 1+y 2)y 1+y 2. ③将②代入③， 得x 0＝24m−32m−8m＝1， 所以点Q 的坐标为(1，0)．因为S △ABQ ＝|S △TBQ －S △TAQ |＝12|QT ||y 2－y 1|＝32√(y 1+y 2)2−4y 1y 2＝6√m 2−12m 2+4，令t ＝m 2＋4，结合①得t >16， 所以S △ABQ ＝6√t−16t＝ 6√−16t 2+1t ＝6√−16(1t −132)2+164.当且仅当t ＝32，即m ＝±2√7时，(S △ABQ )max ＝34. 所以△ABQ 面积的最大值为34.参考答案考点一[例1] 解析：(1)设椭圆E 的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )． 将点A (0，－2)，B (32，－1)的坐标代入，得{4n =1，94m +n =1，解得{m =13，n =14. 所以椭圆E的方程为x 23+y 24＝1. (2)证明：方法一 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由题意，知直线MN 与y 轴不垂直，设其方程为x －1＝t (y ＋2)．联立得方程组{x −1=t (y +2)，x 23+y 24=1. 消去x 并整理，得(4t 2＋3)y 2＋(16t 2＋8t )y ＋16t 2＋16t －8＝0，所以y 1＋y 2＝－16t 2+8t 4t 2+3，y 1y 2＝16t 2+16t−84t 2+3.设T (x 0，y 1)．由A ，B ，T 三点共线，得y 1+2x 0＝y 1+1x 0−32，得x 0＝32y 1＋3.设H (x ′，y ′)． 由MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝TH ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得(32y 1＋3－x 1，0)＝(x ′－32y 1－3，y ′－y 1)，所以x ′＝3y 1＋6－x 1，y ′＝y 1， 所以直线HN 的斜率k ＝y 2−y ′x 2−x ′＝y 2−y 1x 2+x 1−(3y 1+6)＝y 2−y 1t (y 1+y 2)−3y 1+4t−4，所以直线HN 的方程为y －y 2＝y 2−y 1t (y 1+y 2)−3y 1+4t−4·(x －x 2)．令x ＝0，得y ＝y 2−y 1t (y 1+y 2)−3y 1+4t−4·(－x 2)＋y 2＝(y 1−y 2)(ty 2+2t+1)t (y 1+y 2)−3y 1+4t−4＋y 2＝(2t−3)y 1y 2+(2t−5)(y 1+y 2)+6y 1t (y 1+y 2)−3y 1+4t−4＝(2t−3)·16t 2+16t−84t 2+3+(5−2t )·16t 2+8t4t 2+3+6y 1−t(16t 2+8t)4t 2+3−3y 1+4t−4＝－2.所以直线NH 过定点(0，－2)．方法二 由A (0，－2)，B (32，－1)可得直线AB 的方程为y ＝23x －2. a ．若过点P (1，－2)的直线的斜率不存在，则其直线方程为x ＝1.将直线方程x ＝1代入x 23+y 24＝1，可得N (1，2√63)，M (1，－2√63)． 将y ＝－2√63代入y ＝23x －2，可得T (3－√6，－2√63)．由MT⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝TH ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得H (5－2√6，－2√63)． 此时直线HN 的方程为y ＝(2＋2√63)(x －1)＋2√63，则直线HN 过定点(0，－2)． b ．若过点P (1，－2)的直线的斜率存在，设此直线方程为kx －y －(k ＋2)＝0，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立得方程组{kx −y −(k +2)=0，x 23+y 24=1. 消去y 并整理，得(3k 2＋4)x 2－6k (2＋k )x ＋3k (k ＋4)＝0. 所以{x 1+x 2=6k (2+k )3k 2+4，x 1x 2=3k (4+k )3k 2+4，则{y 1+y 2=−8(2+k )3k 2+4，y 1y 2=4(4+4k−2k 2)3k 2+4， 且x 1y 2＋x 2y 1＝−24k3k 2+4.①联立得方程组{y =y 1，y =23x −2，可得T (3y 12＋3，y 1)． 由MT⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝TH ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得H (3y 1＋6－x 1，y 1)． 则直线HN 的方程为y －y 2＝y 1−y 23y 1+6−x 1−x2(x －x 2)． 将点(0，－2)的坐标代入并整理，得2(x 1＋x 2)－6(y 1＋y 2)＋x 1y 2＋x 2y 1－3y 1y 2－12＝0.②将①代入②，得24k ＋12k 2＋96＋48k －24k －48－48k ＋24k 2－36k 2－48＝0，显然成立．综上可得，直线HN 过定点(0，－2)．对点训练解析：(1)将y ＝3代入x 2＋2py ＝0，得x 2＝－6p . 当p ≥0时，不合题意；当p <0时，x ＝±√−6p ，则2√−6p ＝4√6， 解得p ＝－4，故C 的方程为x 2＝8y .(2)证明：由(1)可知C 的准线方程为y ＝－2， 不妨设P (m ，－2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，设过点P 且与C 相切的直线l 的斜率为k ，则l ：y ＝k (x －m )－2，且k ≠0，联立{y =k (x −m )−2，x 2=8y ，得x 2－8kx ＋8(km ＋2)＝0，则Δ＝64k 2－32(km ＋2)＝0，即k 2－12mk －1＝0，由题意知，直线P A ，PB 的斜率k 1，k 2为方程k 2－12mk －1＝0的两根， 则k 1＋k 2＝m2，k 1k 2＝－1，故k 1·k 2为定值． 又x 2－8kx ＋8(km ＋2)＝(x －4k )2＝0， 则x 1＝4k 1，同理可得x 2＝4k 2，则k 0＝y 1−y 2x 1−x 2＝18x −1218x 22x 1−x 2＝x 1+x 28，因此k 0＝4(k 1+k 2)8＝k 1+k 22，故k 1，k 0，k 2成等差数列．考点二[例2]解析：(1)因为x 2a 2+y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为√22，过椭圆右焦点的弦长的最小值为2b 2a＝2，所以a ＝2，c ＝√2，b ＝√2，所以椭圆M 的方程为x 24+y 22＝1. (2)设直线l 的方程为m (x －2)＋ny ＝1，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由椭圆的方程x 2＋2y 2＝4，得(x －2)2＋2y 2＝－4(x －2)．联立直线l 的方程与椭圆方程，得(x －2)2＋2y 2＝－4(x －2)[m (x －2)＋ny ]， 即(1＋4m )(x －2)2＋4n (x －2)y ＋2y 2＝0，(1＋4m )(x−2y )2＋4n x−2y＋2＝0， 所以1k 1+1k 2＝x 1−2y 1+x 2−2y 2＝－4n 1+4m＝1，化简得m ＋n ＝－14，代入直线l 的方程得m (x －2)＋(−14−m)y ＝1，即m (x －y －2)－14y ＝1，解得x ＝－2，y ＝－4，即直线l恒过定点(－2，－4)．对点训练解析：(1)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F (p2，0)，因为l 过点F 且倾斜角为60°，所以l ：y ＝√3(x －p2)， 联立y 2＝2px (p >0)，可得12x 2－20px ＋3p 2＝0，解得x ＝32p 或x ＝p6，又M 在第一象限，所以x M ＝32p ，因为|FM |＝4，所以32p ＋p2＝4，解得p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x ；(2)由已知可得抛物线C 的方程为y 2＝4x ，点S (4，4)， 设直线l 的方程为x ＝my ＋n ，点M (y 12 4，y1)，N (y 22 4，y2)，将直线l 的方程与抛物线C ：y 2＝4x 联立得y 2－4my －4n ＝0， 所以Δ＝16m 2＋16n >0，y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4n (*)，直线SM 的方程为y －4＝y 1−4y 12 4－4(x －4)，令x ＝0求得点A 的纵坐标为4y 1y 1+4，同理求得点B 的纵坐标为4y 2y2+4， 由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝16y 1y 2y 1y 2+4(y 1+y 2)+16＝8，化简得y 1y 2＝4(y 1＋y 2)＋16，将上面(*)式代入得－4n ＝16m ＋16，即n ＝－4m －4， 所以直线l 的方程为x ＝my －4m －4，即x ＋4＝m (y －4)， 所以直线l 过定点(－4，4)．考点三[例3] 解析：(1)不妨设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0), 因为A (a ，0)， 从而AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(−c −a ，0)，AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(c －a ，0) ，故有 AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a 2－c 2＝－1, 又因为a 2＋b 2＝c 2, 所以 b ＝1，又因为A (a ，0) 在圆 O ：x 2＋y 2＝3 上， 所以 a ＝√3，所以双曲线C的标准方程为x 23－y 2＝1.(2)证明：设直线l 与x 轴交于D 点，双曲线的渐近线方程为y ＝±√33x ，由于动直线l 与双曲线C 恰有1个公共点， 且与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M 、N ，当动直线l 的斜率不存在时， l ：x ＝±√3，|OD |＝√3，|MN |＝2，S △OMN ＝12×√3×2＝√3，当动直线l 的斜率存在时， 且斜率k ≠±√33， 不妨设直线 l ：y ＝kx ＋m,故由{y =kx +m x 23−y 2=1⇒(1－3k 2)x 2－6mkx －3m 2－3＝0， 依题意，1－3k 2≠0且m ≠0，Δ＝(－6mk )2－4(1－3k 2)(－3m 2－3)＝0, 化简得 3k 2＝m 2＋1，故由{y =kx +my =√33x ⇒x M ＝√33−k ， 同理可求，x N ＝－√33+k， 所以|MN |＝√1+k 2|xM−x N |＝2√3|m|√k 2+1|1−3k 2|，又因为原点O 到直线l ：kx －y ＋m ＝0的距离d ＝√k 2+1，所以S △OMN ＝12|MN |d ＝√3m 2|1−3k 2|，又由3k 2＝m 2＋1，所以S △OMN ＝√3|m|√k 2+1|1−3k 2|＝√3，故△OMN 的面积为定值，定值为√3.对点训练解析：(1)如图，设AF 1，AF 2与△AF 1F 2的内切圆分别交于G ，H 两点， 则2a ＝|AF 1|−|AF 2|＝|F 1P |−|PF 2| ＝(1＋√3)－(√3－1)＝2，所以a ＝1，则b 2＝c 2－a 2＝2， 则双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1.(2)由题意得，切线l 的斜率存在．设切线l 的方程为y ＝kx ＋m ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 因为l 与圆O ：x 2＋y 2＝2相切，所以√1+k 2＝√2，即m 2＝2k 2＋2.联立{y =kx +m ，x 2−y 22=1，消去y 并整理得(2－k 2)x 2－2kmx －m 2－2＝0， 所以x 1＋x 2＝2km2−k 2，x 1x 2＝−m 2−22−k 2.又QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QN ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(QO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(QO ⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ＝|QO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2－OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗ −OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝|QO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2－|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|ON ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠QON －|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠QOM ＋ON ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝|QO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2－|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |−|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |+ON ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝|QO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2－|QO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2－|QO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2＋ON ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝ON ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |2. 又OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝(k 2＋1)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2 ＝(k 2+1)(−m 2−2)2−k 2+2k 2m 22−k2＋m 2＝m 2−2k 2−22−k 2，将m 2＝2k 2＋2代入上式得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0.所以QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QN ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0－|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |2＝－2. 综上所述，QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QN ⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值，且QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QN ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－2.考点四(1)[b ，a ] [a －c ，a ＋c ] [b 2，a 2] (2)a c －a (3)p2[例4] 解析：(1)设M (2√3cos θ，sin θ)是椭圆上一点，P (0，1)，则|PM |2＝12cos 2θ＋(1－sin θ)2＝13－11sin 2θ－2sin θ＝14411－11(sin θ＋111)2≤14411.故|PM |的最大值为12√1111.(2)由题意，知直线AB 的斜率存在，故设直线AB 的方程为y ＝kx ＋12.将直线方程与椭圆方程联立，得{y =kx +12，x 212+y 2=1.消去y 并整理，得(k 2＋112)x 2＋kx －34＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－kk 2+112，x 1x 2＝－34(k 2+112).直线P A ：y ＝y 1−1x 1x ＋1与直线y ＝－12x ＋3交于点C ，则x C ＝4x 1x1+2y 1−2＝4x 1(2k+1)x 1−1. 同理可得，x D ＝4x 2x 2+2y 2−2＝4x 2(2k+1)x 2−1，则|CD |＝ √1+14|x C －x D | ＝√52|4x1(2k+1)x1−1−4x2(2k+1)x2−1|＝2√5|x 1−x 2[(2k+1)x1−1][(2k+1)x 2−1]|＝2√5|x 1−x 2(2k+1)2x 1x 2−(2k+1)(x 1+x 2)+1|＝3√52·√16k 2+1|3k+1|＝6√55·√16k 2+1· √916+1|3k+1| ≥6√55，当且仅当k ＝316时等号成立．故|CD |的最小值为6√55.对点训练解析：(1)由题意知M (0，－4)，F (0，p2)，圆M 的半径r ＝1，所以|MF |－r ＝4，即p2＋4－1＝4，解得p ＝2.(2)由(1)知，抛物线方程为x 2＝4y ， 由题意可知直线AB 的斜率存在，设A (x 1，x 12 4)，B (x2，x 22 4)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，联立得{y =kx +bx 2=4y，消去y 得x 2－4kx －4b ＝0， 则Δ＝16k 2＋16b >0(※)，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b ，所以|AB |＝√1+k 2|x 1－x 2|＝√1+k 2·√(x 1+x 2)2−4x 1x 2＝4√1+k 2·√k 2+b . 因为x 2＝4y ，即y ＝x 24，所以y ′＝x 2，则抛物线在点A 处的切线斜率为x12，在点A 处的切线方程为y −x 12 4＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x −x 12 4，同理得抛物线在点B 处的切线方程为y ＝x 22x −x 22 4，联立得{y =x 12x −x 124y ＝x22x －x 22 4，则{x =x 1+x 22=2ky =x 1x 24=−b ， 即P (2k ，－b )．因为点P 在圆M 上，所以4k 2＋(4－b )2＝1 ①，且－1≤2k ≤1，－5≤－b ≤－3，即－12≤k ≤12，3≤b ≤5，满足(※)． 设点P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝2√1+k 2，所以S △P AB ＝12|AB |·d ＝4√(k 2+b )3.由①得，k 2＝1−(4−b )24＝−b 2+8b−154， 令t ＝k 2＋b ，则t ＝−b 2+12b−154，且3≤b ≤5. 因为t ＝−b 2+12b−154在[3，5]上单调递增，所以当b ＝5时，t 取得最大值，t max ＝5，此时k ＝0，所以△P AB 面积的最大值为20√5.。
专题05 圆锥曲线大题拔高练(原卷版)
【一专三练】 专题05 圆锥曲线大题拔高练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，且点(2,1)A 在双曲线C 上.(1)求双曲线C 的方程；(2)若点M ，N 在双曲线C 上，且AM AN ⊥，直线MN 不与y 轴平行，证明：直线MN 的斜率k 为定值.2．（2023·广东佛山·统考一模）已知椭圆2222Γ:1x y a b +=()0a b >>的左焦点为()1,0F -，左、右顶点及上顶点分别记为A 、B 、C ，且1CF CB ⋅= .(1)求椭圆Γ的方程；(2)设过F 的直线PQ 交椭圆Γ于P 、Q 两点，若直线PA 、QA 与直线l ：40x +=分别交于M 、N 两点，l 与x 轴的交点为K ，则MK KN ⋅是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由.3．（2023·广东江门·统考一模）已知M 是平面直角坐标系内的一个动点，直线MA 与直线y x =垂直，A 为垂足且位于第一象限，直线MB 与直线y x =-垂直，B 为垂足且位于第四象限，四边形OAMB （O 8，动点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)已知()5,3T 是轨迹C 上一点，直线l 交轨迹C 于P ，Q 两点，直线TP ，TQ 的斜率之和为1，tan 1PTQ ∠=，求TPQ V 的面积.4．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知双曲线E 的顶点为()1,0A -，()10B ,，过右焦点F 作其中一条渐近线的平行线，与另一条渐近线交于点G ，且OFG S =△点P 为x 轴正半轴上异于点B 的任意点，过点P 的直线l 交双曲线于C ，D 两点，直线AC 与直线BD 交于点H .(1)求双曲线E 的标准方程；(2)求证：OP OH ⋅ 为定值.5．（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>的实轴长为4，左､右顶点分别为12,A A ，经过点()4,0B 的直线l 与C 的右支分别交于,M N 两点，其中点M 在x 轴上方.当l x ⊥轴时，MN =(1)设直线12,MA NA 的斜率分别为12,k k ，求21k k 的值；(2)若212BA N BA M ∠∠=，求1A MN V 的面积.6．（2023·江苏泰州·统考一模）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，过左焦点F 的直线与C 交于,P Q 两点.当PQ x ⊥PAQ △的面积为3.(1)求C 的方程；(2)证明：以PQ 为直径的圆经过定点.7．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）在平面直角坐标系中，已知点(2,0)A -，(2,0)B ，直线PA 与直线PB 的斜率乘积为34-，点P 的轨迹为M ．(1)求M 的方程；(2)分别过1(1,0)F -，2(1,0)F 做两条斜率存在的直线分别交M 于C ，D 两点和E ，F 两点，且117||||12CD EF +=，求直线CD 的斜率与直线EF 的斜率之积．8．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 三个点在椭圆2212x y +=，椭圆外一点P 满足2OP AO = ，2BP CP = ，（O 为坐标原点）.(1)求12122x x y y +的值；(2)证明：直线AC 与OB .9．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）已知抛物线C ：()220y px p =>和椭圆E ：()22101x y a a a+=>+有共同的焦点F (1)求抛物线C 的方程，并写出它的准线方程(2)过F 作直线l 交抛物线C 于P ， Q 两点，交椭圆E 于M ， N 两点，证明：当且仅当l x ⊥轴时，PQ MN取得最小值10．（2023·河北石家庄·统考一模）已知点(4,3)P 在双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）上，过P 作x 轴的平行线，分别交双曲线C 的两条渐近线于M ，N 两点，||||4PM PN ⋅=．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y kx m =+与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，从下面两个条件中选一个（多选只按先做给分），证明：直线l 过定点．①121k k +=；②121k k =．11．（2023·福建漳州·统考二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且124F F =．过右焦点2F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，1ABF V 的周长为(1)求C 的标准方程；(2)过坐标原点O 作一条与垂直的直线l '，交C 于P ，Q 两点，求||||AB PQ 的取值范围；(3)记点A 关于x 轴的对称点为M （异于B 点），试问直线BM 是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是请说明理由．12．（2023·福建泉州·统考三模）已知椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为A ，B ．直线l 与C 相切，且与圆22:4O x y +=交于M ，N 两点，M 在N 的左侧．(1)若||MN =l 的斜率；(2)记直线,AM BN 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值．13．（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>过点(4,1)P ，且1C 的焦距是椭圆2222222222:x y a b C a b a b ⎛⎫-+= ⎪+⎝⎭的焦距的3倍．(1)求1C 的标准方程；(2)设M ，N 是1C 上异于点P 的两个动点，且0PM PN ⋅= ，试问直线MN 是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由．14．（2023·山东青岛·统考一模）已知O 为坐标原点，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，A 为椭圆C 的上顶点，12AF F △为等腰直角三角形，其面积为1．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，点W 在过原点且与l 平行的直线上，记直线WP ，WQ 的斜率分别为1k ，2k ，WPQ △的面积为S ．从下面三个条件①②③中选择两个条件，证明另一个条件成立．①S =②1212k k =-；③W 为原点O ．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．15．（2023·山东济南·一模）已知抛物线2:2H x py =（p 为常数，0p >）．(1)若直线:22l y kx pk p =-+与H 只有一个公共点，求k ；(2)贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线．法国数学象卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了De Casteljau 算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出地物线．反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论．如图，A ，B ，C 是H 上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D ，E ，F ，证明：||||||||||||AD EF DB DE FC BF ==．16．（2023·山东聊城·统考一模）已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，一条渐近线的倾斜角为60°，且C 上的点到F 的距离的最小值为1．(1)求C 的方程；(2)设点()0,0O ，()0,2M ，动直线l ：y kx m =+与C 的右支相交于不同两点A ，B ，且AFM BFM ∠=∠，过点O 作OH l ⊥，H 为垂足，证明：动点H 在定圆上，并求该圆的方程．17．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点A ⎛ ⎝.(1)若椭圆E 的离心率10,2e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，求b 的取值范围；(2)已知椭圆E 的离心率e =，M ，N 为椭圆E 上不同两点，若经过M ，N 两点的直线与圆222x y b +=相切，求线段MN 的最大值.18．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）过坐标原点O 作圆22:(2)3C x y ++=的两条切线，设切点为,P Q ，直线PQ 恰为抛物2:2,(0)E y px p =>的准线.(1)求抛物线E 的标准方程；(2)设点T 是圆C 上的动点，抛物线E 上四点,,,A B M N 满足：2,2TA TM TB TN == ，设AB 中点为D .（i ）求直线TD 的斜率；（ii ）设TAB △面积为S ，求S 的最大值.19．（2023·江苏·统考一模）已知直线l 与抛物线21:2C y x =交于两点()11,A x y ，()22,B x y ，与抛物线22:4C y x =交于两点()33,C x y ，()44,D x y ，其中A ，C 在第一象限，B ，D 在第四象限.(1)若直线l 过点()1,0M，且11BM AM -=l 的方程；(2)①证明：12341111y y y y +=+；②设AOB V ，COD △的面积分别为1S ，2S ，（O 为坐标原点），若2AC BD =，求12S S .20．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）已知点()2,2A 为抛物线2:2Γ=y px 上的点，B ，C 为抛物线Γ上的两个动点，Q 为抛物线Γ的准线与x 轴的交点，F 为抛物线Γ的焦点．(1)若90BOC ∠=︒，求证：直线BC 恒过定点；(2)若直线BC 过点Q ，B ，C 在x 轴下方，点B 在Q ，C 之间，且24tan 7BFC ∠=，求AFC △的面积和BFC △的面积之比．21．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）已知A ，B 为椭圆22221x y a b+=左右两个顶点，动点D 是椭圆上异于A ，B 的一点，点F 是右焦点．当点D的坐标为()1-时，3DF =．(1)求椭圆的方程．(2)已知点C 的坐标为()4,0，直线CD 与椭圆交于另一点E ，判断直线AD 与直线BE 的交点P 是否在一定直线上，如果是，求出该直线方程；如果不是，请说明理由．22．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知双曲线()2222:1010,0x y C a b a b-=<的右顶点为A ，左焦点(),0F c -到其渐近线0bx ay +=的距离为2，斜率为13的直线1l 交双曲线C 于A ，B(1)求双曲线C 的方程；(2)过点()6,0T 的直线2l 与双曲线C 交于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 分别与直线6x =相交于M ，N 两点，试问：以线段MN 为直径的圆是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．23．（2023·湖南·模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F ，，上顶点为1B ，若△112F B F 为等边三角形，且点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆E 上.(1)求椭圆E 的方程；(2)设椭圆E 的左、右顶点分别为12A A ，，不过坐标原点的直线l 与椭圆E 相交于A 、B 两点（异于椭圆E 的顶点），直线12AA BA 、与y 轴的交点分别为M 、N ，若||3||ON OM =，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.24．（2023·湖南张家界·统考二模）已知曲线C 的方程：()221045x y x -=>，倾斜角为α的直线l 过点()23,0F ，且与曲线C 相交于A ，B 两点.(1)90α=︒时，求三角形ABO 的面积；(2)在x 轴上是否存在定点M ，使直线l 与曲线C 有两个交点A 、B 的情况下，总有OMA OMB ∠=∠如果存在，求出定点M ；如果不存在，请说明理由.25．（2023·湖南·校联考模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y =与椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>交于,P Q 两点（P 在x 轴上方），且65PQ a =，设点P 在x轴上的射影为点N ，PQN V ，抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点与椭圆C 的焦点重合，斜率为k 的直线l 过抛物线E 的焦点与椭圆C 交于,A B 两，点，与抛物线E 交于,C D 两点.(1)求椭圆C 及抛物线E 的标准方程；(2)是否存在常数λ||CD λ为常数？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.26．（2023·湖南常德·统考一模）已知双曲线22221(0,0)x y C a b a b-=>>：的右顶点到渐近线C 的右焦点F 作直线MN （不与x 轴重合）与双曲线C 相交于M ，N 两点，过点M 作直线l ：()x t a t a =-<<的垂线ME ，E 为垂足.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)是否存在实数t ，使得直线EN 过x 轴上的定点P ，若存在，求t 的值及定点P 的坐标；若不存在，说明理由.27．（2023·广东揭阳·校考模拟预测）椭圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线有许多相似性质．比如三种曲线都可以用如下方式定义（又称圆锥曲线第二定义）：到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e 的点的轨迹为圆锥曲线．当01e <<为椭圆，当1e =为抛物线，当1e >为双曲线．定点为焦点，定直线为对应的准线，常数e 为圆锥曲线的离心率．依据上述表述解答下列问题．已知点(1,0)F ，直线:4l x =动点E 满足到点F 的距离与到定直线l 的距离之比为12(1)求曲线E 的轨迹方程；(2)在抛物线中有如下性质：如图，在抛物线22(0)y px p =>中，O 为抛物线顶点，过焦点F 的直线交抛物线与A ，B 两点，连接AO ，BO 并延长交准线l 与D ，C ，则以CD 为直径的圆与AB 相切于点F ，以AB 为直径的圆与CD 相切于CD 中点．那么如图在曲线E 中是否具有相同的性质？若有，证明它们成立；若没有，说明理由．28．（2023·广东广州·统考二模）已知直线l 与抛物线2:4C y x =交于A ，B 两点，且与x 轴交于点()(),00M a a >，过点A ，B 分别作直线1:l x a =-的垂线，垂足依次为1A ，1B ，动点N 在1l 上.(1)当1a =，且N 为线段11A B 的中点时，证明：AN BN ⊥；(2)记直线NA ，NB ，NM 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，是否存在实数λ，使得123k k k λ+=？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.29．（2023·广东惠州·统考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点()2,0A -在椭圆上且||3AF =．(1)求椭圆C 的方程；(2)点P Q 、分别在椭圆C 和直线4x =上，OQ AP ∥，M 为AP 的中点，若T 为直线OM 与直线QF 的交点．是否存在一个确定的曲线，使得T 始终在该曲线上？若存在，求出该曲线的轨迹方程；若不存在，请说明理由．30．（2023·江苏南通·海安高级中学校考一模）某城市决定在夹角为30°的两条道路EB、EF之间建造一个半椭圆形状的主题公园，如图所示，2AB=千米，O为AB的中点，OD 为椭圆的长半轴，在半椭圆形区域内再建造一个三角形游乐区域OMN，其中M，N在椭圆上，且MN的倾斜角为45°，交OD于G．(1)若3OE=千米，为了不破坏道路EF，求椭圆长半轴长的最大值；(2)，当线段OG长为何值时，游乐区域OMNV的面积最大？。
高二上圆锥曲线拔高训练-解析版
高二上圆锥曲线拔高训练µ中档题一、单选题1设点F 1、F 2分别是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点，点M 、N 在C 上(M 位于第一象限)且点M 、N 关于原点对称，若MN =F 1F 2 ，NF 2 =3MF 2 ，则C 的离心率为()A.108B.104C.58D.558【答案】B【分析】分析可知，四边形MF 1NF 2为矩形，设MF 2 =t ，则MF 1 =3t t >0 ，利用椭圆定义可得出2a 与t 的等量关系，利用勾股定理可得出2c 与t 的等量关系，由此可得出椭圆的离心率的值.【详解】如下图所示：由题意可知，O 为F 1F 2、MN 的中点，则四边形MF 1NF 2为平行四边形，则MF 1 =NF 2 =3MF 2 ，又因为MN =F 1F 2 ，则四边形MF 1NF 2为矩形，设MF 2 =t ，则MF 1 =3t t >0 ，所以，2a =MF 1 +MF 2 =4t ，由勾股定理可得2c =F 1F 2 =MF 1 2+MF 2 2=9t 2+t 2=10t ，所以，该椭圆的离心率为e =2c 2a =10t 4t =104.故选：B .2椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，下顶点为A ，直线AF 2与椭圆C 的另一个交点为B ，F 1A ⋅F 1B=0，则椭圆C 的离心率为()A.22B.33C.12D.55【答案】D【分析】依题意可得AF 1⊥BF 1，求出B 点坐标，代入椭圆方程，可求得离心率.【详解】解：左、右焦点分别为F 1，F 2，下顶点为A ，∴AF 1 =AF 2 =a ，设BF 2 =n ，则BF 1 =2a -n ，由F 1A ⋅F 1B=0，可得AF 1⊥BF 1，根据勾股定理，有AB 2=AF 12+BF 12，即a +n 2=a 2+2a -n 2，解得n =23a ，即BF 2 =23a ，由A (0,-b )，F 2(c ,0)，AF 2 =a ，BF 2 =23a ，B ,F 2,A 三点共线，∴B 53c ,23b ，代入椭圆方程有53c 2a 2+23b 2b 2=1，化简得c 2a2=15，所以椭圆离心率为e =c a =55.故选：D3画法几何的创始人--法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是一个圆，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长半轴长与短半轴长平方和的算术平方根，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C 的离心率为55，M 为其蒙日圆上一动点，过点M 作椭圆C 的两条切线，与蒙日圆分别交于P ，Q 两点，若△MPQ 面积的最大值为36，则椭圆C 的长轴长为()A.25B.45C.23D.43【答案】B【分析】结合离心率设出椭圆的方程，确定出椭圆的蒙日圆的直径，再利用垂直关系借助勾股定理及均值不等式求解作答.【详解】令椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在x 轴上，设椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，其半焦距为c ，有c a =55，即a =5c ，则该椭圆的蒙日圆方程为x 2+y 2=a 2+b 2，因为点M ,P ,Q 均在这个圆上，且MP ⊥MQ ，于是PQ 是这个圆的直径，而a 2=b 2+c 2a :b =2:3c =2⇒a 2=16,b 2=12，即有|PQ |=2a 2+b 2=6c ，因此36c 2=|PQ |2=|MP |2+|MQ |2≥2|MP |⋅|MQ |，当且仅当|MP |=|MQ |时取等号，即|MP |⋅|MQ |≤18c 2，△MPQ 的面积S △MPQ =12|MP |⋅|MQ |≤9c 2，即△MPQ 面积的最大值为9c 2，则9c 2=36，解得c =2，则a =25，所以椭圆C 的长轴长为45.故选：B4已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F ，过点F 作圆x 2+y 2=b 2的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C 的离心率为()A.12B.22C.23D.63【答案】D【分析】由题意画出图形，可得b 2+b 2=c 2，再由a 2=b 2+c 2结合离心率公式求解．【详解】如图，由题意可得，b 2+b 2=c 2，即2a 2-c 2 =c 2，则2a 2=3c 2，∴c 2a2=23，即e =c a =63．故选：D ．5已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左，右焦点F 1,F 2，过原点的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点．其中M 在第一象限．MN =F 1F 2 ,NF 1 MF 1 ≥33，则椭圆C 的离心率的取值范围为()A.0,6-12B.(0,6-2]C.(0,3-1]D.22,3-1【答案】D【分析】由题可知四边形MF 1NF 2为矩形，根据勾股定理及椭圆的定义可得|MF 2|2-2a |MF 2|+2b 2=0，结合已知条件有a >MF 2 ≥3-1 aΔ=4a 2-2b 2 >0，进而即得.【详解】因为过原点的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，且MN =F 1F 2 ，所以四边形MF 1NF 2为矩形，由椭圆的对称性知：NF 1 =MF 2 ，而|MF 2|+|MF 1|=2a ，所以|MF 2|2+|MF 1|2=4c 2，则2|MF 2|2-4a |MF 2|+4a 2=4c 2且M 在第一象限，整理得|MF 2|2-2a |MF 2|+2b 2=0，所以Δ=4a 2-2b 2 >0，所以|MF 2|=a -a 2-2b 2，又NF 1 MF 1=MF 2 MF 1=MF 22a -MF 2≥33，即a >|MF 2|≥(3-1)a ，所以a >a -a 2-2b 2≥3-1 a Δ=4a 2-2b 2 >0 ，整理得12<e 2=c 2a2≤4-23，所以22<e ≤3-1.故选：D .6初中时通常把反比例函数y =kx(k ≠0)的图像叫做双曲线，它的图像就是在圆锥曲线定义下的双曲线，只是因为坐标系位置的不同，所以方程的形式才不同，当K >0时只需把反比例函数的图像绕着原点顺时针旋转45°，便得到焦点在x 轴的双曲线的图形.所以也可以理解反比例函数的图像是以x 轴，y 轴为渐近线，以直线y =x 为实轴的等轴双曲线，那么当k =4时，双曲线的焦距为()A.8B.4C.22D.42【答案】A【分析】结合所给信息，可得旋转后，双曲线变为等轴双曲线，再由2,2 绕原点顺时针旋转所得坐标在等轴双曲线上可得等轴双曲线方程.【详解】由所给信息，可知旋转后双曲线以两条相互垂直的直线作为渐近线，则双曲线为等轴双曲线，设为x 2a 2-y 2a2=1a >0 .又注意到2,2 在函数y =4x 图像上，其与原点连线与x 正半轴夹角为45o ，则将点2,2 绕原点顺时针旋转45o后，该点落在x 正半轴，设为m ,0 ，因旋转前后到原点距离不变，则m 2=8⇒m =22.即将点2,2 绕原点顺时针旋转45o后，可得22,0 ，则22,0 满足x 2a 2-y 2a2=1.可得双曲线方程为x 28-y 28=1，则c =8+8=4，则焦距为2c =8.故选：A7已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点A ，B ，若△ABF 2为等边三角形，则该双曲线的渐近线的斜率为()A.±2 B.±3C.±6D.±7【答案】C【解析】先结合等边三角形和双曲线的定义得到AF 1 =2a ，AF 2 =4a ，再在△AF 1F 2中利用余弦定理，结合2c =F 1F 2 的关系式，解得a ,c 的关系，再计算得到a ,b 的关系即得结果【详解】∵△ABF 2为等边三角形，∴AB =AF 2 =BF 2 ，且∠BAF 2=60°，即∠F 1AF 2=120°，由双曲线的定义可得，B 在双曲线上,，即AF 1 =BF 1 -BF 2 =2a ，A 在双曲线上，即AF 2 -AF 1 =2a ，故AF 2 =AF 1 +2a =2a +2a =4a ，在△AF 1F 2中，又∠F 1AF 2=120°，由余弦定理可得，2c =F 1F 2 =AF 1 2+AF 2 2-2AF 1 ⋅AF 2 cos120°=4a 2+16a 2-2×2a ×4a ×-12 =27a ，即ca=7，所以b a =b 2a 2=c 2-a 2a 2=c a 2-1=6，又焦点在x 轴上，所以该双曲线的渐近线的斜率为±6.故选：C .8某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱OA 的顶端A 处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图所示.现要求水流最高点B 离地面4m ，点B 到管柱OA 所在直线的距离为3m ，且水流落在地面上以O 为圆心，以7m 为半径的圆上，则管柱OA 的高度为()A.53m B.74m C.94m D.73m 【答案】B【分析】根据题意建立合适平面直角坐标系，设出抛物线的方程，根据C 的坐标求解出抛物线的方程，由A 的横坐标可计算出A 的纵坐标，结合长度可求解出OA 的高度.【详解】以B 为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示，记BM ⊥OC 且垂足为M ，A 在y 轴上的投影点为D ，设抛物线方程为x 2=-2py p >0 ，由题意可知：AD =3,BM =4,OC =7，所以MC =OC -AD =7-3=4，所以C 4,-4 ，代入抛物线方程可知16=8p ，所以p =2，所以抛物线方程为x 2=-4y ，又因为x A =-3，所以y A =y D =-94，所以BD =94，所以OA =DM =BM -BD =4-94=74，所以OA 的高度为74m ，故选：B .9已知椭圆C:x29+y2=1的左、右焦点分别是F1,F2，P是椭圆C上一点，则△PF1F2的重心与椭圆C短轴顶点距离的最大值为() A.1 B.43 C.2 D.344【答案】D【分析】不妨设P x0,y0，y0≥0，取短轴顶点为Q0,-1，重心Gx03,y03，GQ =-89y0-382+178，根据二次函数性质得到最值.【详解】根据对称性，不妨设P x0,y0，y0≥0，取短轴顶点为Q0,-1，椭圆C:x29+y2=1，F1-22,0，F222,0，则重心Gx03,y03，GQ =x032+y03+12=-89y02+23y0+2=-89y0-382+178，当y0=38时，GQ最大为344.故选：D二、多选题10上甘岭战役是抗美援朝中中国人民志愿军进行的最著名的山地防御战役.在这场战役中，我军使用了反斜面阵地防御战术.反斜面是山地攻防战斗中背向敌方、面向我方的一侧山坡.反斜面阵地的构建，是为了规避敌方重火力输出.某反斜面阵地如图所示，山脚A，B两点和敌方阵地D点在同一条直线上，某炮弹的弹道DCE是抛物线Γ的一部分，其中E在直线AB上，抛物线的顶点C到直线AB的距离为100米，DE长为400米，CD=CE，∠CAB=30°.建立适当的坐标系使得抛物线Γ的方程为x2=-2py p>0，则()A.p=200B.Γ的准线方程为y=100C.Γ的焦点坐标为0,-50D.弹道CE上的点到直线AC的距离的最大值为5033【答案】ABD【分析】根据题意，建立以C为坐标原点，x轴平行于AB，y轴垂直于AB，结合图像，求出抛物线方程，准线方程，焦点坐标，即可判断ABC；根据题意，求出直线AC的方程，不妨设CECE上一点为Q，判断出当Q该点处的切线与直线AC平行时，其到直线AC的距离最大，求解最大值即可.【详解】如图所示，建立以C为坐标原点，x轴平行于AB，y轴垂直于AB.此时C0,0，E-200,-100，D200,-100，抛物线Γ的方程为x2=-2py p>0，即2002=-2p×-100，解得p=200，故A正确；抛物线Γ的方程为x2=-400y，准线方程为y=100，焦点坐标为0,-100，故B正确，C错误；因为∠CAB=30°，C0,0，故k AC=tan30°=3 3，所以直线AC的方程为y=33x即x-3y=0，不妨设CE 上一点为Q x 0,y 0 ，x 0∈-200,0 ，当Q 该点处的切线与直线AC 平行时，其到直线AC 的距离最大.由y =-1400x 2可得y =-1200x ，故-1200x 0=33，解得Q x 0,y 0 =-2003,-1003 ，此时Q 点到直线AC 的距离为-20033+10033 12+-3 2=5033，故D 正确.故选：ABD .11已知抛物线E ：y 2=4x 的焦点为F (1，0)，圆F ：(x -1)2+y 2=r 2(0<r <1)，过焦点的动直线l 0与抛物线E 交于点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，与圆F 相交于点C 、D (A 、C 在x 轴上方)，点M 是AB 中点，点T (0，1)，则下列结论正确的有()A.若直线l 0与y 轴相交于点G (0，y 3)，则有1y 1+1y 2=1y 3B.随着l 0变化，点M 在一条抛物线上运动C.OM ⋅FT最大值为-1D.当r ∈12,1 时，总存在直线l 0，使|AC |、|CD |、|DB |成等差数列【答案】AB【分析】设直线l 0的方程为x =ty +1，与抛物线方程联立，利用韦达定理得到y 1+y 2=4t ，y 1y 2=-4，然后根据1y 1+1y 2-1y 3=0即可得到1y 1+1y 2=1y 3，即可判断A 选项；根据韦达定理和消参的方法得到M 的轨迹方程，即可得到M 的轨迹为抛物线，即可判断B 选项；利用坐标得到FT ⋅OM =-12(y -1)2-12，即可得到FT ⋅OM的最大值，即可判断C 选项；根据焦半径公式得到AC ，DB ，然后根据等差中项的性质列方程得到6r =4t 2+4，即可得到r ∈23,1 ，即可判断D 选项.【详解】设直线l 0:x =ty +1，与y 2=4x 联立得：y 2-4ty -4=0，由韦达定理得：y 1+y 2=4t ，y 1y 2=-4.当t ≠0时，直线l 0与y 轴相交于点G 0,y 3 ，∴y 3=-1t，∴1y 1+1y 2-1y 3=y 1+y 2y 1y 2-1y 3=4t -4-1-1t=0，∴1y 1+1y 2=1y 3，故A 正确；设点M 坐标为x ,y ，则y =y 1+y 22=2t ，x =ty +1=2t 2+1，消去t 得y 2=2x -2，故B 正确；由FT =-1,1 ，OM =x ,y ，得FT ⋅OM =-x +y =-y 2+22+y =-12(y -1)2-12≤-12，故C 错误；∵AC =x 1+1-r ，CD =2r ，DB =x 2+1-r ，若AC 、CD 、DB 成等差数列，则有2CD =AC +DB ，即4r =x 1+1-r +x 2+1-r ，∴6r =x 1+x 2+2=t y 1+y 2 +4=4t 2+4≥4,∴r ∈23,1 ，故D 错误.故选：AB .三、填空题12已知椭圆E :x 216+y 27=1的右焦点F ，P 是椭圆E 上的一个动点，Q 点坐标是(1,3)，则|PQ |+|PF |的最大值是.【答案】13【分析】设椭圆左焦点F ′(-3,0)，根据椭圆的定义将|PQ |+|PF |转化为PQ +PF =PQ +2a -PF ，结合图形的几何性质，即可求得答案.【详解】由E :x 216+y 27=1可知a =4，b =7，c =16-7=3设椭圆左焦点F (-3,0)，则PQ +PF =PQ +2a -PF ≤8+QF =8+(-3-1)2+(0-3)2=8+5=13，当且仅当P ，Q ，F ′共线时且当P 在QF ′的延长线上P 时等号成立．∴|PQ |+|PF |的最大值为13，故答案为：13.13设F 1,F 2为双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，过左焦点F 1的直线l 与C 在第一象限相交于一点P ，若F 1P =F 1F 2 ，且直线l 倾斜角的余弦值为78，则C 的离心率为．【答案】2【分析】设直线的倾斜角为α，可得cos α=78，由P 在第一象限内，且F 1P =F 1F 2 =2c ，可得F 2P =2c-2a ，根据余弦定理可得a ,c 的齐次方程，进而可求出双曲线的离心率.【详解】设直线的倾斜角为α，则cos α=78，由P 在第一象限内，且F 1P =F 1F 2 ，则F 1P =F 1F 2 =2c ，∴F 2P =2c -2a ，由余弦定理可得cos ∠PF 1F 2=cos α=4c 2+4c 2-2c -2a 28c 2=78，整理得3c 2+4a 2-8ac =0，则3e 2-8e +4=0，解得e =2或e =23(舍去).故答案为：214设F 1,F 2分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，O 是坐标原点，过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，若PF 1 =2PF 2 ，则双曲线C 的离心率为.【答案】213/1321【分析】根据给定条件，求出PF 2 ，再借助平面向量数量积的运算律建立关系求解作答.【详解】依题意，不妨令双曲线C 的一条渐近线为bx -ay =0，半焦距为c ，即F 2(c ,0)，如图，则|PF 2|=bca 2+b 2=b ，有PF 1 =2b ，而|F 1F 2|=2c ，在Rt △OPF 2中，|OP |=|OF 2|2-|PF 2|2=c 2-b 2=a ，又O 为线段F 1F 2中点，由2PO =PF 1 +PF 2 ，且F 2F 1 =PF 1 -PF 2 得：4PO 2+F 2F 1 2=2PF 1 2+2PF 2 2，因此4a 2+4c 2=8b 2+2b 2，即2a 2+2c 2=5(c 2-a 2)，则有3c 2=7a 2，即e 2=73，解得e =213，所以双曲线C 的离心率为213.故答案为：21315过双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左焦点F (-c ，0)作圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线y 2=4cx 于点P ，O 为坐标原点，若OE =12OF +OP，则双曲线的离心率为.【答案】5+12【分析】由向量的运算法则知E 是PF 中点，由此得OP =OF =c ，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，因此利用中位线性得PG =2a ，从而由抛物线的可表示出P 的点横坐标，从而得纵坐标，作PH ⊥x 轴，垂足为H ，在△OPH 中由勾股定理得出a ,c 的方程，变形后可求得离心率e ．【详解】如图，双曲线的右焦点G 也是抛物线的焦点，OE =12(OF +OP)，则E 是PF 中点，又O 是FG 中点，所以OE ⎳PG ，PG =2OE =2a ，设P (x ,y )，过P 作抛物线的准线的垂线PM ，M 是垂足，则PM =x +c =PG =2a ，x =2a -c ，P 在抛物线上，所以y 2=4xc =4x (2a -c )，E 是切点，OE ⊥FP ，所以OP =OF =c ，作PH ⊥x 轴，垂足为H ，由PH 2+OH 2=OP 2得(2a -c )2+4c (2a -c )=c 2，整理得4c 2-4ac -4a 2=0，所以e 2-e -1=0，e =1+52(负值舍去)．故答案为：1+52．四、双空题16椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是一个圆，这个圆称为该椭圆的“蒙日圆”，圆心是椭圆的中心．已知长方形R 的四条边均与椭圆C :x 26+y 23=1相切，则C 的蒙日圆方程为；R的面积的最大值为．【答案】x 2+y 2=918【分析】设两条互相垂直的切线的交点为P x 0,y 0 ，分为两切线存在斜率为0和斜率不为0两种情况讨论，斜率不为0时，设切线方程为y -y 0=k (x -x 0)(k ≠0).联立x 2a 2+y 2b 2=1y -y 0=k (x -x 0)，利用Δ=0整理成关于k 的一元二次方程，利用两直线垂直斜率之积为-1，化简整理即可求解C 的蒙日圆方程；要使圆的内接四边形面积最大，即四边形为正方形时，结合面积公式即可求解.【详解】设两条互相垂直的切线的交点为P x 0,y 0 ，当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标是(±a ,b )，或(±a ,-b ).当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是(x 0,y 0)(x 0≠±a ,且y 0≠±b )，所以可设曲线C 的过点P 的切线方程是y -y 0=k (x -x 0)(k ≠0).由x 2a 2+y 2b 2=1y -y 0=k (x -x 0)，得(a 2k 2+b 2)x 2-2ka 2(kx 0-y 0)x +a 2(kx 0-y 0)2-a 2b 2=0，由其判别式的值为0，得(x 02-a 2)k 2-2x 0y 0k +y 02-b 2=0(x 02-a 2≠0)，因为k P A ,k PB (k P A ,k PB 为过P 点互相垂直的两条直线的斜率)是这个关于k 的一元二次方程的两个根，所以k P A ⋅k PB =y 02-b 2x 02-a 2，由此，得k P A ⋅k PB =-1⇔x 02+y 02=a 2+b 2，即C 的蒙日圆方程为：x 2+y 2=9；因为蒙日圆为长方形的外接圆，设r =OA=3，∠AOB =θ，则矩形面积公式为S =4⋅12r 2⋅sin θ=18sin θ，显然sin θ=1，即矩形四条边都相等，为正方形时，S max =18.故答案为：x 2+y 2=9；18.五、解答题17已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的长轴长是短轴长的3倍，且椭圆C 经过点2,233 ．(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．求使△OAB 面积最大时直线l 的方程．【答案】(1)x 26+y 22=1(2)x -y -2=0或x +y -2=0【分析】(1)根据条件列出关于a ,b 的方程求解即可；(2)设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理求出△OAB 面积的表达式，利用基本不等式求出最大值，进而得出答案.【详解】(1)因为长轴长是短轴长的3倍，则a 2=3b 2，所以椭圆C 的方程为x 23b 2+y 2b2=1，把点2,233 的坐标代入上式，得23b 2+43b2=1，可得b 2=2，所以a 2=6，故椭圆C 的方程为x 26+y 22=1．(2)易知右焦点F 的坐标为2,0 ，若直线l 的斜率为0，则O ，A ，B 三点不能构成三角形，所以直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x =my +2，联立方程组x =my +2x 26+y 22=1，消去x ，得m 2+3 y 2+4my -2=0，判别式Δ=16m 2+8m 2+3 =24m 2+1 >0，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-4m m 2+3，y 1y 2=-2m 2+3，S △AOB =12|OF |⋅y 1-y 2 =y 1-y 2 =y 1+y 2 2-4y 1y 2=-4m m 2+3 2+4×2m 2+3=26m 2+1m 2+3．令m 2+1=t (t ≥1)，则S △OAB =26t t 2+2=26t +2t ≤262t ×2t=2622=3，当且仅当t =2时，等号成立，即m 2+1=2，解得m =±1，所以此时直线l 的方程为x -y -2=0或x +y -2=0．18已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上一点P 到两个焦点的距离之和为4，离心率为12．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点D -4,0 的直线与椭圆交于A 、B 两点，F 1为左焦点，记直线AF 1的斜率为k AF 1，直线BF 1的斜率为k BF 1，求证：k AF 1+k BF 1=0．【答案】(1)x 24+y 23=1(2)证明见解析【分析】(1)由题意可知，椭圆长轴2a =4，再由离心率可计算得b 2=3，即得椭圆方程；(2)设出直线AD 的方程，与椭圆方程联立，分别写出k AF 1,kBF 1的表达式，结合韦达定理即可证明.【详解】(1)由题意得2a =4e =c a =12则a =2c =1，故b 2=a 2-c 2=3，所以，椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．(2)如下图示所示：由题意可知，直线斜率必然存在，设AD 为y =k x +4 ，A x A ,y A ,B x B ,y B ，且F 1-1,0 ，联立直线和椭圆方程并整理得：3+4k 2 x 2+32k 2x +64k 2-12=0，所以x A +x B =-32k 23+4k 2，x A x B =64k 2-123+4k 2，且Δ=1441-4k 2 >0，即-12<k <12，而k AF 1+k BF 1=y A x A +1+y Bx B +1=k x A +4 x A +1+k x B +4 x B +1=k 2x A x B +5x A +x B +8 x A x B +x A +x B +1，又2x A x B +5x A +x B +8=128k 2-243+4k 2-160k 23+4k 2+32k 2+243+4k 2=0，所以k AF 1+k BF 1=0,得证.19已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为22，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x -y +2=0相切.(1)求椭圆C 的方程；(2)设A -2,0 ，过点R 1,0 作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，连接AM ，AN 分别交直线x =3于P ，Q 两点，若直线PR 、QR 的斜率分别为k 1、k 2，试问：k 1⋅k 2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.【答案】(1)x 24+y 22=1(2)是定值，定值-2524【分析】(1)根据离心率和点到直线距离公式即可得解；(2)直线l 的方程为x =my +1，代入椭圆方程，根据三点共线表示出P 点坐标，同理表示出Q 点坐标，算出斜率即可求解.【详解】(1)由题意得e =c a =22b =0-0+2 12+12a 2=b 2+c 2，解得a =2b =2c =2，故椭圆C 的方程为x 24+y 22=1；(2)设直线l 的方程为x =my +1，M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，由x =my +1x 24+y 22=1得m 2+2 y 2+2my -3=0，∴y 1+y 2=-2m m 2+2，y 1y 2=-3m 2+2，由A 、M 、P 三点共线可知y P 3--2 =y 1x 1--2，∴y P =5y 1x 1+2同理可得：y Q =5y 2x 2+2，故k 1k 2=y P 3-1⋅y Q 3-1=14y P y Q =14⋅5y 1x 1+2⋅5y 2x 2+2=254⋅y 1y 2my 1+3 my 2+3 =254⋅y 1y 2m 2y 1y 2+3m y 1+y 2 +9=254⋅-3m 2+2-3m 2m 2+2+-6m 2m 2+2+9=254⋅-16 =-2524，因此k 1·k 2为定值-2524.20设椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右交点分别为F 1，F 2，下顶点为A .已知椭圆C 的短轴长为23，且椭圆C 过点1,32.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 与椭圆C 交于异于点A 的两点P ，Q ，且直线AP 与AQ 的斜率之和等于2，证明：直线l 经过定点.【答案】(1)x 24+y 23=1.(2)证明见解析.【分析】(1)由已知建立关于a ，b ，c 的方程，求解即可；(2)设P x 1，y 1 ,Q x 2，y 2 ，当直线l 的斜率不存在时，设其方程为x =t ，有y 1+y 2=2，根据两点的斜率公式有k P A +k QA =y 1+y 2 +23t=2，解得t =3；当直线l 的斜率存在时，设其方程为y =kx +m ，与椭圆的方程联立消y 得：3+4k 2 x 2+8kmx +4m2-12=0，得出根与系数的关系，再代入两点的斜率公式k P A +k QA =x 2y 1+x 1y 2+3x 1+x 2x 1x 1=2，化简得m =3-3k ，代入直线方程中可得直线l 经过定点.【详解】(1)解：由已知得2b =23，解得b =3，又椭圆C 过点1,32 ，所以12a 2+32 2b 2=1，即有12a2+3223=1，解得a 2=4，所以椭圆的方程是x 24+y 23=1；(2)解：由(1)得A 0，-3 ，设P x 1，y 1 ,Q x 2，y 2 ，当直线l 的斜率不存在时，设其方程为x =t ，则y 1+y 2=2，所以k P A +k QA =y 1+3t +y 2+3t=y 1+y 2 +23t=2，解得t =3，此时直线l 的方程为x =3；当直线l 的斜率存在时，设其方程为y =kx +m ，与椭圆的方程x 24+y 23=1联立消y 得：3+4k 2 x 2+8kmx +4m 2-12=0，则x 1+x 2=-8km 3+4k 2,x 1x 2=4m 2-123+4k 2，又k P A +k QA =y 1+3x 1+y 2+3x 2=x 2y 1+x 1y 2+3x 1+x 2 x 1x 1=2，所以x 2kx 1+m +x 1kx 2+m +3x 1+x 2 =2x 1x 1，即2k -2 x 1x 2+m +3 x 1+x 2 =0，所以2k -2 ⋅4m 2-123+4k 2+m +3 ⋅-8km 3+4k 2=0，整理得3+m 3k +m -3 =0，因为直线l 不过点A ，所以3+m ≠0，所以3k +m -3=0，即m =3-3k ，所以直线l 的方程为y =kx +3-3k ，即k x -3 +3-y =0，恒过点3，3 ，此点也在直线x =3上，所以直线l 经过定点3，3 .21已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别是F 1、F 2，其离心率e =12，点P 是椭圆C 上一动点，△PF 1F 2内切圆面积的最大值为π3．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线PF 1，PF 2与椭圆C 分别相交于点A ,B ，求证：PF 1 F 1A +PF 2F 2B为定值．【答案】(Ⅰ)x 24+y 23=1；(Ⅱ)证明见解析.【分析】(Ⅰ)设△PF 1F 2内切圆的半径为r ，可得r =S △PF 1F2a +c，当P 为椭圆的上顶点或下顶点时，△PF 1F 2面积最大，即r 最大，由此得r max =bca +c，由△PF 1F 2内切圆面积最大值可得a ,b ,c 满足的方程，结合离心率和椭圆a ,b ,c 关系可构造方程组求得结果；(Ⅱ)设P x 0,y 0 ，当y 0≠0时，假设直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理可表示出y 0y 1和y 0y 2，代入PF 1 F 1A +PF 2 F 2B 整理可得定值103；当y 0=0时，易求得PF 1 F 1A +PF 2 F 2B=103，由此可得结论.【详解】(Ⅰ)设△PF 1F 2内切圆的半径为r ，则12PF 1 +PF 2 +F 1F 2 r =S △PF 1F 2，∴r =2S △PF 1F 22a +2c =S △PF 1F2a +c，∴当△PF 1F 2的面积最大时，△PF 1F 2内切圆的半径r 最大，则当点P 为椭圆的上顶点或下顶点时，△PF 1F 2的面积最大，最大值为12×2c ×b =bc ，∴r 的最大值为bc a +c ，又△PF 1F 2内切圆面积的最大值为π3，∴bc a +c =33，由bc a +c =33c a =12a 2=b 2+c 2得：a =2b =3c =1，∴椭圆C 的标准方程为：x 24+y 23=1．(Ⅱ)设P x 0,y 0 ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，①当y 0≠0时，设直线PF 1，PF 2的直线方程分别为x =m 1y -1，x =m 2y +1，由x =m 1y -1x 24+y 23=1得：3m 21+4 y 2-6m 1y -9=0，∴y 0y 1=-93m 21+4，∵x 0=m 1y 0-1，∴m 1=x 0+1y 0，∴y 0y 1=-5+2x 03，同理由x =m 2y +1x 24+y 23=1可得：y 0y 2=-5-2x 03，∴PF 1 F 1A +PF 2 F 2B=-y 0y 1-y 0y 2=5+2x 03+5-2x 03=103；②当y 0=0时，直线PF 1，PF 2与x 轴重合，则则PF 1 F 1 A +PF 2 F 2 B =3+13=103；综上所述：PF 1 F 1A+PF 2 F 2B为定值103．22已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的离心率为12，且椭圆C 上的点到右焦点F 的距离最长为3.(1)求椭圆C 的标准方程.(2)过点F 的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点，AB 的中垂线l 1与x 轴交于点G ，试问AB FG是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.【答案】(1)x 24+y 23=1；(2)是定值，定值为4.【分析】(1)由离心率，椭圆上的点到右焦点距离最大值为a +c 和椭圆a ,b ,c 关系可构造方程组求得a ,b ，进而得到椭圆标准方程；(2)当直线l 的斜率不为0时，设l :x =my +1，与椭圆联立可得韦达定理的形式，利用弦长公式可求得AB ，并利用中点坐标公式求得AB 中点H 坐标，由此可表示出l 1方程，从而求得G 点坐标，得到FG ，化简可得定值；当直线l 的斜率为0时，易求得满足所求定值；综合两种情况可得结论.【详解】(1)设椭圆的半焦距为c ，由题意可得：a +c =3c a =12a 2=b 2+c 2，解得：a =2，b =3，c =1，∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.(2)当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为x =my +1，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，AB 的中点为H x 0,y 0 .联立x =my +1x 24+y 23=1整理得：3m 2+4 y 2+6my -9=0，由题意可知：m ≠0，则y 1+y 2=-6m 3m 2+4，y 1y 2=-93m 2+4，∴AB =1+m 2⋅y 1+y 2 2-4y 1y 2=12m 2+1 3m 2+4.∵H 为AB 的中点，∴y 0=-3m 3m 2+4，x 0=my 0+1=43m 2+4，即H 43m 2+4,-3m3m 2+4 .直线l 1的方程可设为x =-1m y +3m 3m 2+4 +43m 2+4，令y =0得：x =13m 2+4，则FG =1-13m 2+4=3m 2+1 3m 2+4，∴AB FG =12m 2+13m 2+43m 2+13m 2+4=4.当直线l 的斜率为0时，AB =2a =4，FG =c =1，则ABFG=4.综上所述：ABFG为定值，且定值为4.23设以△ABC 的边AB 为长轴且过点C 的椭圆Γ的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)椭圆Γ的离心率e =12，△ABC 面积的最大值为23，AC 和BC 所在的直线分别与直线l :x =4相交于点M ，N .(1)求椭圆Γ的方程；(2)设△ABC 与△CMN 的外接圆的面积分别为S 1，S 2，求S 2S 1的最小值.【答案】(1)x 24+y 23=1；(2)94.【分析】(1)运用椭圆的离心率公式、三角形面积公式和a ,b ,c 的关系，可得a ,b ，进而得到椭圆方程；(2)设C x 0,y 0 y 0≠0 ，将直线AC 、直线BC 分别与直线l :x =4，求出M 、N 的坐标，可得MN =4y 0 ⋅x 0-4 x 20-4；设∠ACB =α，r 1，r 2分别为△ABC 和△CMN 外接圆的半径，利用正弦定理可得r 1=AB2sin α，r 2=MN2sin α，可求的S 2S 1=34⋅4-x 024-x 20，再利用二次函数的性质，即可求出结果.【详解】(1)依题意：c a =12,12⋅2a ⋅b =23,a 2=b 2+c 2所以a =2b =3.椭圆Γ的方程为x 24+y 23=1.(2)设C x 0,y 0 y 0≠0 ，则x 204+y 203=1，A -2,0 ，B 2,0 .直线AC :y y 0=x +2x 0+2与直线l :x =4联立得M 4,6y 0x 0+2 .直线BC :y y 0=x -2x 0-2与直线l :x =4联立得N 4,2y 0x 0-2.MN =6y 0x 0+2-2y 0x 0-2=4y 0 ⋅x 0-4 x 20-4.设∠ACB =α，r 1，r 2分别为△ABC 和△CMN 外接圆的半径，在△ABC 中ABsin α=2r 1，所以r 1=AB2sin α.在△CMN 中MNsin π-α=2r 2，所以r 2=MN2sin α，S 2S 1=πr 22πr 21=MN 2AB 2=16y 20⋅x 0-42x 20-4 216=y 20x 0-42x 20-42.又y 20=344-x 20 ，所以S 2S 1=344-x 20 x 0-4 2x 20-4 2=34⋅4-x 0 24-x 20.令t =4-x 0，而-2<x 0<2，所以2<t <6.S 2S 1=34⋅t 24-t -4 2=34⋅t 2-t 2+8t -12=34⋅1-121t2+81t-1=34⋅1-121t -13 2+13.所以t =3，即x 0=1时，S 2S 1取得最小值，最小值为94.24已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，点P (3,1)在C 上，且PF 1 ⋅PF 2 =10.(1)求C 的方程；(2)斜率为-3的直线l 与C 交于A ，B 两点，点B 关于原点的对称点为D .若直线P A ,PD 的斜率存在且分别为k 1,k 2，证明：k 1⋅k 2为定值.【答案】(1)x 28-y 28=1；(2)证明见解析.【分析】(1)由点的坐标求c ,再根据双曲线定义求a ,即可求解；(2)设直线l 方程为y =-3x +m ，直接求出P A ,PD 的斜率，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，化简即可求解.【详解】(1)设F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)(c >0)，其中c =a 2+b 2.因为PF 1 PF 2 =10，所以(3+c )2+1×(3-c )2+1=10，解得c 2=16或c =0，又c >0，故c =4.所以2a =(3+4)2+1-(3-4)2+1=42，即a =22.所以b 2=c 2-a 2=8.所以C 的方程为x 28-y 28=1.(2)设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则D -x 2,-y 2 .设直线l 方程为y =-3x +m ，与双曲线C 方程联立，消去y 得，8x 2-6mx +m 2+8=0.由Δ=(-6m )2-32m 2+8 >0，得|m |>8.x 1+x 2=3m 4，x 1x 2=m 2+88.所以y 1y 2=-3x 1+m -3x 2+m =9x 1x 2-3m x 1+x 2 +m 2=-m 28+9.所以k 1⋅k 2=y 1-1x 1-3⋅-y 2-1-x 2-3=y 1y 2+y 1-y 2-1x 1x 2+3x 1-3x 2-9=-m 28+8-3x 1-x 2 m 28-8+3x 1-x2 =-1.所以k 1⋅k 2为定值.25已知抛物线C :y 2=2px p >0 上的点M 与焦点F 的距离为52，且点M 的纵坐标为2p .(1)求抛物线C 的方程和点M 的坐标；(2)若直线l 与抛物线C 相交于A ,B 两点，且MA ⊥MB ，证明直线l 过定点.【答案】(1)抛物线C :y 2=2x ；M 2,2 (2)证明见解析【分析】(1)设M x 0,2p ，结合抛物线焦半径公式可构造方程组求得x 0,p ，由此可得抛物线方程和点M 坐标；(2)设l :x =my +n ，与抛物线方程联立可得韦达定理的形式；由垂直关系可得k MA ⋅k MB =-1，代入韦达定理的结论可整理得到n =2m +4，代入直线方程可得定点坐标.【详解】(1)设M x 0,2p ，则x 0+p2=522px 0=4p，解得：x 0=2p =1 ，∴抛物线C :y 2=2x ；M 2,2 .(2)由题意知：直线l 斜率不为零，可设l :x =my +n ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由y 2=2xx =my +n得：y 2-2my -2n =0，∴Δ=4m 2+8n >0，即m 2+2n >0；∴y 1+y 2=2m ，y 1y 2=-2n ；∵k MA =y 1-2x 1-2=y 1-2y 21-42=2y 1+2，k MB =y 2-2x 2-2=y 2-2y 22-42=2y 2+2，又MA ⊥MB ，∴k MA ⋅k MB =4y 1+2 y 2+2 =4y 1y 2+2y 1+y 2 +4=4-2n +4m +4=-1；则n =2m +4(此时m 2+2n =m 2+4m +8=m +2 2+4>0成立)，∴直线l :x =my +2m +4=m y +2 +4，当y =-2时，x =4，∴直线l 恒过定点4,-2 .µ压轴题一、单选题1已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的两焦点为F 1，F 2，x 轴上方两点A ，B 在椭圆上，AF 1与BF 2平行，AF 2交BF 1于P .过P 且倾斜角为αα≠0 的直线从上到下依次交椭圆于S ，T .若PS =βPT ，则“α为定值”是“β为定值”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不必要也不充分条件【答案】D【分析】先求出P 的轨迹，其轨迹方程为x 2a 2+c 22a2+y 2a 2-c 22a2=1，取α=π4，结合特殊情形可得“当α取定值，β是定值”是错误的；再由β是定值可得α=π2，从而可判断当β取定值，α是定值”是错误的，从而可得正确的选项.【详解】设M x ,y 为椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上的动点，c 为椭圆的半焦距，故F 1-c ,0 ，故MF 1 =x +c 2+y 2=x +c 2+b 21-x 2a2=x +c 2+b 21-x 2a 2=c 2x 2a2+2cx +a 2=a +c a x ，设直线l :x =-a 2c ，则M 到该直线的距离为d =x +a 2c，故MF 1 d=ca =e ，如图，设直线MF 1的倾斜角为γ，过M 作l 的垂线，垂足为S ，则MF 1MF 1 cos γ+a 2c -c =e ，故MF 1 =e ×b 2c1-e cos γ，设p =b 2c，故MF 1 =ep 1-e cos γ，同理MF 2 =ep1+e cos γ.设AF 1的倾斜角为θ，则MF 1 =ep 1-e cos θ，MF 2 =ep1+e cos θ，因为AF 1⎳BF 2，故BF 2 AF 1 =F 2PAP，所以BF 2 AF 1 +BF 2 =F 2P AP +F 2P =F 2P AF 2=F 2P2a -AF 1 ，所以F 2P =BF 2 2a -AF 1 AF 1 +BF 2 ，同理F 1P =AF 1 2a -BF 2AF 1 +BF 2，故F 2P +F 1P =2a -2BF 2 ×AF 1AF 1 +BF 2=2a -ep ，故P 的轨迹为以F 1,F 2为焦点的椭圆，其长半轴长为a -ep 2=a 2+c 22a，短半轴长为a 2+c 2 24a 2-c 2=a 2-c 22a ，故P 的轨迹方程为：x 2a 2+c 22a 2+y 2a 2-c 22a2=1，其中y >0.取α=π2，PS2PT 2=y S -y P 2y S +y P2=y Sy P -1 2y S y P +1 2,而a 2≠a 4+2a 2c 2+c 44a 2，故PS 2PT2不是定值即β不是定值.故“当α取定值，β是定值”是错误的.又直线ST 的参数方程为：x =x 0+t cos αy =y 0+t sin α ，设S x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α ,T x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α ，由x 0+t cos α2a 2+y 0+t sin α2b 2=1整理得到：cos 2αa 2+sin 2αb 2t 2+2x 0cos αa 2+y 0sin αb2 t +x 20a 2+y 20b 2-1=0，故t 1+t 2=-2x 0cos αa 2+y 0sin αb 2 cos 2αa 2+sin 2αb 2t 1t 2=x 2a 2+y 20b 2-1cos 2αa 2+sin 2αb 2，而PS =βPT ，故1-β t 2=-2x 0cos αa 2+y 0sin αb2 cos 2αa 2+sin 2αb 2-βt 22=x 2a 2+y 20b 2-1cos 2αa 2+sin 2αb 2，所以1-β 2-4β=x 0cos αa 2+y 0sin αb 2 2cos 2αa 2+sin 2αb 2x 20a 2+y 20b 2-1，若β为定值，则1-β2-4β为定值，而1-β 2-4βcos 2αa 2+sin 2αb 2=x 0cos αa 2+y 0sin αb 2 2x 20a 2+y 20b 2-1，故当P x 0,y 0 变化时，x 0cos αa 2+y 0sin αb 2 2x 20a 2+y 20b 2-1始终为定值，又x 0cos αa 2+y 0sin αb 2 2x 20a 2+y 20b 2-1=x 20cos 2αa 4+2x 0y 0cos αsin αa 2b 2+y 20sin 2αb 2x 20a 2+y 20b2-1=x 20cos 2αa 4+2x 0y 0cos αsin αa 2b 2+b 22a21-x 2a 2+c 2 24a 2 sin 2αb 2x 20a 2+b 22a21-x 20a 2+c 2 24a 2b 2-1=x 20cos 2αa 4-b 2sin 2αa 2+c 2 2+2x 0y 0cos αsin αa 2b 2+b 2sin 2α4a 2x 201a 2-b 2a 2+c 2 2+b 24a 2-1故cos 2αa 4-b 2sin 2αa 2+c 2 21a 2-b 2a 2+c 22=b 2sin 2α4a 2b 24a 2-1且cos αsin αa 2b 2=0，但α≠0,α∈0,π ，故α=π2，所以1-β 2-4β=y 0b 2 21b 2x 20a 2+y 20b 2-1=y 20b 2x 20a 2+y 20-1=y 20b 2×a 2+c 2 24a 21-y 20b 24a 2a 2+y 20-1=y 20b 2×a 2+c 2 24a 2a 2-1+1-a 2+c 2 2a 2y 20，但此时1-β2-4β随y 20的变化而变化，不是定值，故“当β取定值，α是定值”是错误的.故选：D .2设O 为坐标原点，F 1,F 2为双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的两个焦点，l 1,l 2为双曲线的两条渐近线，F 1A 垂直l 1于A ,F 1A 的延长线交l 2于B ，若OA +OB =2AB ，则双曲线的离心率为()A.6B.5C.62D.52【答案】B【分析】数形结合，通过题意已知条件可求得点F 1(-c ,0)到直线l 1:bx +ay =0的距离AF 1 的值，通过勾股定理可求得OA ，再联立直线AF 1 与l 2解方程组可得点B 坐标，从而列出OB ,AB 的表达式，由OA +OB =2AB 计算可得a ,b 关系，从而可求离心率.【详解】双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为：bx ±ay =0，不妨令l 1:bx +ay =0,l 2:bx -ay =0，因为直线F 1A 垂直l 1，则k F 1A ⋅k l 1=-1，故k F 1A =ab，又F 1(-c ,0)，OF 1 =c则点F 1(-c ,0)到直线l 1:bx +ay =0的距离为AF 1 =-bcb 2+a2=b ，所以OA =OF 1 2-AF 1 2=c 2-b 2=a ，k F 1A =a b ，又F 1(-c ,0)，可知直线F 1A 的方程为：y =a b(x +c )，与l 2联立方程组可得：y =a b (x +c )y =b a x ，则b a x =a b (x +c )，解得x =a 2c b 2-a 2y =abc b 2-a 2，故B a 2c b 2-a 2,abc b 2-a 2,由|OA |+|OB |=2|AB |,则|OB |=a 4c 2b 2-a 2+a 2b 2c 2b 2-a 22=a 2c 2a 2+b 2b 2-a 22=a 2c 4b 2-a 22=ac 2b 2-a 2,Rt △OAB 中，由勾股定理可得:AB 2=OB 2-OA 2=a 2c 4b 2-a 2 2-a 2=a 2c 4-a 2b 2-a 2 2b 2-a 2 2=4a 4b 2b 2-a 2 2,故|AB |=2ba 2b 2-a 2；又|OA |+|OB |=2|AB |,则a +ac 2b 2-a 2 =4ba 2b 2-a 2 ，即1+c 2b 2-a 2 =4abb 2-a 2，因为F 1A 的延长线交l 2于B ，此时B 点的纵坐标大于0，即abcb 2-a 2>0，故b 2-a 2>0，所以b 2-a 2 =b 2-a 2，所以1+c 2b 2-a 2 =4ab b 2-a 2化简得b 2-a 2+c 2=4ab .则2b 2=4ab ，故b =2a ，则e =ca =1+b 2a2=5.故选：B .二、多选题3已知点F 为椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1，a >b >0 的左焦点，过原点O 的直线l 交椭圆于P ，Q 两点，点M 是椭圆上异于P ，Q 的一点，直线MP ，MQ 的斜率分别为k 1，k 2，椭圆的离心率为e ，若PF =2QF ，∠PFQ =2π3，则()A.e =74B.e =33C.k 1k 2=-916D.k 1k 2=-23【答案】BD【分析】设出右焦点F ，根据椭圆定义结合对称性以及余弦定理得到a ,c 关系，则离心率可求，设出P ,M 坐标，利用点差法可求得k 1⋅k 2的表示，结合a ,c 关系可求解出k 1k 2的值.【详解】连接PF ，QF ，根据椭圆对称性可知四边形PFQF 为平行四边形，则|QF |=PF ，且由∠PFQ =120°，可得∠FPF =60°,所以|PF |+PF =3PF =2a ,则PF =23a ,|PF |=43a .由余弦定理可得(2c )2=|PF |2+PF 2-2|PF |⋅PF cos60°=169a 2+49a 2-2×43a ⋅23a ⋅12，化简得c 2=13a 2，故e 2=13，所以e =33(负舍)设M x 0,y 0 ,P x 1,y 1 ，则Q -x 1,-y 1 ，k 1=y 0-y 1x 0-x 1，k 2=y 0+y 1x 0+x 1，所以k 1k 2=y 0-y 1x 0-x 1⋅y 0+y 1x 0+x 1=y 20-y 21x 20-x 21，又x 20a 2+y 20b 2=1，x 21a 2+y 21b 2=1，相减可得y 20-y 21x 20-x 21=-b 2a 2．因为c 2a 2=13，所以a 2-b 2a 2=13，∴a 2b 2=23，所以k 1k 2=-23.故选：BD .4已知抛物线C ：y 2=4x ，过焦点F 的直线l 与C 交于A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)两点，y 1>2，E 与F 关于原点对称，直线AB 与直线AE 的倾斜角分别是α与β，则()A.sin α>tan βB.∠AEF =∠BEFC.∠AEB <90°D.α<2β【答案】BCD【分析】作AD ⊥x 轴于D ，做BC ⊥x 轴于C ，设直线l 的方程为y =k x -1 ，与抛物线方程联立求出x 1+x 2,x 1x 2，求出sin α，tan β可判断A ；求出k AE +k BE 可判断B ；求出tan β利用基本不等式得出tan β<1可判断C ；求出tan α、tan2β，做差tan α-tan2β与0比较大小可判断D .【详解】作AD ⊥x 轴于D ，做BC ⊥x 轴于C ，所以D x 1,0 ，C x 2,0 ，抛物线C :y 2=4x 的焦点F 1,0 ，因为y 1>2，所以x 1>1，即α<90°，所以直线l 的斜率存在设为k ，可得直线l 的方程为y =k x -1 ，与抛物线方程联立y =k x -1y 2=4x，整理得k 2x 2-2k 2+4 x +k 2=0，所以x 1+x 2=2k 2+4k2,x 1x 2=1，y 21=4x 1，对于A ，sin α=AD AF =y 1x 1+1，tan β=ADED =y 1x 1+1，所以sin α=tan β，故A 错误；对于B ，因为k AE =y 1x 1+1,k BE =y 2x 2+1，所以k AE +k BE =y 2x 2+1+y 1x 1+1=k x 2-1 x 1+1 +k x 1-1 x 2+1 x 2+1 x 1+1=k 2x 1x 2-x 1+x 2+x 1-x 2-2x 2+1 x 1+1 =0，所以直线AE 与BE 的倾斜角互补，即∠AEF =∠BEF ，故B 正确；对于C ，因为x 1>1，所以tan β=ADED =y 1x 1+1=2x 1x 1+1<2x 12x 1=1，即∠AED <45°，因为∠AEF =∠BEF ，所以∠AEB <90°，故C 正确；对于D ，因为∠AEB <90°，所以0°<2β<90°，tan α=AD FD =y 1x 1-1，tan β=ADED=y 1x 1+1，所以tan2β=2tan β1-tan 2β=2y 1x 1+11-y 1x 1+1 2=2y 1x 1+1 x 1-12，所以tan α-tan2β=y 1x 1-1-2y 1x 1+1 x 1-1 2=y 1x 1-y 1-2y 1x 1-2y 1x 1-1 2=-y 1x 1-3y 1x 1-1 2<0，所以tan α<tan2β，即α<2β，故D 正确.故选：BCD三、填空题5已知双曲线C :x 2-y 23=1的左焦点为F 1，顶点Q (0,23)，P 是双曲线C 右支上的动点，则PF 1 +PQ 的最小值等于.【答案】6【分析】利用双曲线的性质，得到PF 1 =PF 2 +2，代入所求式子，结合两点距离直线最短原理，计算最小值，即可．【详解】结合题意，绘制图像：。
湖南高考数学圆锥曲线专项提升练习题及答案
湖南高考数学圆锥曲线专项提升练习题及答案2021多年前，古希腊数学家最先末尾研讨圆锥曲线，并取得了少量的效果，以下是圆锥曲线专项提升练习题及答案，希望对考生有协助。
1.双曲线的方程为=1(a0，b0)，焦距为4，一个顶点是抛物线y2=4x的焦点，那么双曲线的离心率e=()A.2B. 1C.3D.52.F1，F2是椭圆的两个焦点，满足=0的点M总在椭圆外部，那么椭圆离心率的取值范围是()A. (0，1)B.(1，5)C. (1，3)D.(0，2)3.设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点。
假定=0，那么||+||+||=()A.9B.6C.4D.34.抛物线y2=2px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，假定线段AB的中点的纵坐标为2，那么该抛物线的准线方程为()A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-25.A，B，P是双曲线=1上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，假定直线PA，PB的斜率乘积kPAkPB=，那么该双曲线的离心率为()A.1B.2C. -1D.-26.抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的局部相交于点A，AKl，垂足为K，那么AKF的面积是()A.4B.3C.4D.87.过抛物线y2=2px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A，B两点，假定线段AB的长为8，那么p=( )。
8.(2021湖南，文14)平面上一机器人内行进中一直坚持与点F(1，0)的距离和到直线x=-1的距离相等。
假定机器人接触不到过点P(-1，0)且斜率为k的直线，那么k的取值范围是( )。
9.双曲线的中心在原点，且一个焦点为F(，0)，直线y=x-1与其相交于M， N两点，线段MN中点的横坐标为-，求此双曲线的方程。
10.(2021安徽，文21)设F1，F2区分是椭圆E:=1(a0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|F1B|。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
圆锥曲线专题训练2018.1
数学高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型：
①求曲线方程（类型确定，甚至给出曲线方程）；
②直线、圆和圆锥曲线间的交点问题（含切线问题）；
③与圆锥曲线定义有关的问题（涉及焦半径、焦点弦、焦点三角形和准线，利用余弦定理等） ④与曲线有关的最值问题（含三角形和四边形面积）；
⑤与曲线有关的几何证明(圆线相切、四点共圆、对称性或求对称曲线、平行、垂直等)； ⑥探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征；
考点一、求范围（最值）问题
例1-1.（2014新课标全国卷Ⅰ）已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32
，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233
，O 为坐标原点． (1)求E 的方程；
(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．
例1-2.已知直线1y x =-+与椭圆相交于A B 、两点. （1，焦距为2，求线段AB 的长；
（2）与向量OB 互相垂直（其中O 为坐标原点），求椭圆长轴长的最大值.
练习1.【江苏省扬州中学2015届高三4月双周测】
在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C ：的离心率为，右焦点F （1,0），点P 在椭圆C 上，且在第一象限内，直线PQ 与圆O ：
相切于点M.
（1）求椭圆C 的方程；（2）求|PM|·|PF|的取值范围；
（3）若OP ⊥OQ ，求点Q 的纵坐标t 的值.
考点二、存在性问题 例2-1.如图，过椭圆L 的左顶点(3,0)A -和下顶点B 且斜率均为k 的两直线12,l l 分别交椭圆于,C D ，又1l 交y 轴于M ，2l 交x 轴于N ，
且CD 与MN 相交于点P .当3k =时，ABM ∆是直角三角形.
（1）求椭圆L 的标准方程；（2）①证明：存在实数λ，使得AM OP λ=uuu r uu u r ；
②求|OP |的最小值.
例2-2.【淮安市2014－2015学年度第二学期高二调查测试】已知椭圆：M 22
221x y a b +=（0a b >>），点1F (1,0)-、C (2,0)-分别是椭圆M 的左焦点、
左顶点，过点1F 的直线l （不与x 轴重合）交M 于,A B 两点．
（1）求椭圆M 的标准方程；
（2
）若A ，求△AOB 的面积；
（3）是否存在直线l ，使得点B 在以线段1
FC 为直径的圆上，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．
练习2.【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)】 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>
，并且椭圆经过点(1,1)，过原点O 的直线l 与椭圆C 交于A B 、两点，椭圆上一点M 满足MA MB =．
（1）求椭圆C 的方程；（2）证明：222
112OA OB OM ++为定值； （3）是否存在定圆，使得直线l 绕原点O 转动时，AM 恒与该定圆相切，若存在，求出该定圆的方程，若不存在，说明理由．
第18
考点三、过定点或定值问题
例3-1.已知点B （－1，0），C （1，0），P 是平面上一动点，且满足.||||CB PB BC PC ⋅=⋅
（1）求点P 的轨迹C 对应的方程；
（2）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD ⊥AE ，判断：直线DE 是否过定点？试证明你的结论.
（3）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD ，AE ，且AD ，AE 的斜率k 1、k 2满足k 1·k 2=2.求证：直线DE 过定点，并求出这个定点.
练习3.【江苏省扬州中学2015届高三第四次模拟考试（5月）】（本小题满分15分）
已知椭圆C ：22221x y a b +=(0,0)a b >>
，短轴长为4，F 1、F 2为椭圆左、右焦点，点B 为下顶点．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）点P (x 0, y 0)是椭圆C 上第一象限的点． ① 若M 为线段BF 1
上一点，且满足PO OM = ，求直线OP 的斜率；
② 设点O 到直线PF 1、PF 2的距离分别为d 1、d 2，求证：0012
y y d d +为定值，并求出该定值．
．。