三角函数的有关计算导学案(含答案)
高一数学必修第一册2019(A版)_5.2.1_三角函数的概念_导学案(2)
【新教材】5.2.1 三角函数的概念（人教A版）1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．3.掌握公式一并会应用．1.数学抽象：理解任意角三角函数的定义；2.逻辑推理：利用诱导公式一求三角函数值；3.直观想象：任意角三角函数在各象限的符号；4.数学运算：诱导公式一的运用.重点：①借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；②掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号.难点：理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．一、预习导入阅读课本177-180页，填写。
1．单位圆在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以__________为半径的圆为单位圆．2．任意角的三角函数的定义(1)条件在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与__________交于点P(x，y)，那么：图121(2)结论①y叫做α的__________，记作__________，即sin α＝y；②x叫做α的__________，记作__________，即cos α＝x；③yx叫做α的__________，记作__________，即tan α＝yx(x≠0)．(3)总结正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数．思考：若已知α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，则其三角函数定义为？在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点O的距离是r(r＝x2＋y2＞0)．三角函数定义名称sinα__________ 正弦cosα__________ 余弦tanα__________ 正切正弦函数、余弦函数、正切函数统称三角函数.3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域三角函数定义域sin α__________cos α__________tan α__________4．正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号(1)图示：图122(2)口诀：“一全正，二__________，三__________，四__________”．5．诱导公式一1．若角α的终边经过点P (2，3)，则有( )A ．sin α＝21313B ．cos α＝132C ．sin α＝31313D ．tan α＝232．已知sin α＞0，cos α＜0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角3．sin 253π＝ ．4．角α终边与单位圆相交于点M ⎝⎛⎭⎫32，12，则cos α＋sin α的值为 ．题型一 三角函数的定义及应用例1 在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y ＝－2x 上，求sin α，cos α，tan α的值． 跟踪训练一1．已知角θ终边上一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ. 题型二 三角函数值的符号例2 (1)若α是第四象限角，则点P (cos α，tan α)在第________象限．(2)判断下列各式的符号： ①sin 183°；②tan 7π4；③cos 5. 跟踪训练二1．确定下列式子的符号：(1) tan 108°·cos 305°；(2)cos 5π6·tan11π6sin2π3；(3)tan 120°·sin 269°.题型三 诱导公式一的应用例3 求值：(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°；(2)sin 7π3cos ⎝⎛⎭⎫－23π6＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4cos 13π3.跟踪训练三 1．化简下列各式：(1)a 2sin(－1 350°)＋b 2tan 405°－2ab cos(－1 080°)； (2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 125π·tan 4π.1．有下列说法：①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②sin α是“sin”与“α”的乘积；③若sin α＞0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－. 其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．如果α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，那么sin α＝( )A. 12B ．－12C. 32D ．－323．若sin θ·cos θ＞0，则θ在( )A ．第一或第四象限B ．第一或第三象限C ．第一或第二象限D ．第二或第四象限4．若cos α＝－32，且角α的终边经过点P (x ，2)，则P 点的横坐标x 是( )A ．2B ．±2C ．－2D ．－25．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称，若sin α＝51，则sin β＝ ．6．求值：(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°；(2)cos 25π3+tan15π4.答案小试牛刀 1．C 2．B 3．324.3＋12. 自主探究例1 【答案】当α的终边在第二象限时，sin α＝255，cos α＝－55，tan α＝－2.当α的终边在第四象限时， sin α＝－255，cos α＝55，tan α＝－2.【解析】当α的终边在第二象限时，在α终边上取一点P (－1，2)，则r ＝－12＋22＝5，所以sin α＝25＝255，cos α＝－15＝－55，tan α＝2－1＝－2.当α的终边在第四象限时， 在α终边上取一点P ′(1，－2)， 则r ＝12＋－22＝5，所以sin α＝－25＝－255，cos α＝15＝55，tan α＝－21＝－2.跟踪训练一1．【答案】当x ＝1时，sin θ＝31010，tan θ＝3；当x ＝－1时，此时sin θ＝31010，tan θ＝－3.【解析】由题意知r ＝|OP |＝x 2＋9，由三角函数定义得cos θ＝x r ＝xx 2＋9.又∵cos θ＝1010x ，∴x x 2＋9＝1010x .∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1,3)，此时sin θ＝312＋32＝31010，tan θ＝31＝3.当x ＝－1时，P (－1,3)，此时sin θ＝3－12＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3. 例2 【答案】（1）四； （2） ①sin 183°<0；②tan 7π4<0；③cos 5>0. 【解析】(1)∵α是第四象限角，∴cos α>0，tan α<0，∴点P (cos α，tan α)在第四象限． (2) ①∵180°<183°<270°，∴sin 183°<0； ②∵3π2<7π4<2π，∴tan 7π4<0；③∵3π2<5<2π，∴cos 5>0.跟踪训练二1．【答案】(1) tan 108°·cos 305°＜0；(2) cos 5π6·tan11π6sin2π3＞0；（3）tan 120°sin 269°＞0.【解析】(1)∵108°是第二象限角，∴tan 108°＜0.∵305°是第四象限角，∴cos 305°＞0.从而tan 108°·cos 305°＜0. (2)∵5π6是第二象限角，11π6是第四象限角，2π3是第二象限角，∴cos 5π6＜0，tan 11π6＜0，sin 2π3＞0.从而cos 5π6·tan11π6sin2π3＞0.(3)∵120°是第二象限角，∴tan 120°＜0，∵269°是第三象限角，∴sin 269°＜0.从而tan 120°sin 269°＞0.例3 【答案】（1）32；（2）54. 【解析】 (1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°) ＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32. (2)原式＝sin ⎝⎛⎭⎫2π＋π3cos ⎝⎛⎭⎫－4π＋π6＋tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫4π＋π3 ＝sin π3cos π6＋tan π4cos π3＝32×32＋1×12＝54.跟踪训练三1．【答案】（1）(a －b )2 ； （2）12.【解析】(1)原式＝a 2sin(－4×360°＋90°)＋b 2tan(360°＋45°)－2ab cos(－3×360°)＝a 2sin 90°＋b 2tan 45°－2ab cos 0° ＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2. (2)sin ⎝⎛⎭⎫－116π＋cos 125π·tan 4π ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＋cos 125π·tan 0＝sin π6＋0＝12. 当堂检测1-4． BDBD 5.−156．【答案】(1) 0；(2) 32 .【解析】 (1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°＝0＋0＋0＝0.(2) cos25π3+tan15π4＝cos π3+tan π4＝12＋1＝32.。
人教版九年级下《28.1.3特殊角的三角函数值》学案(含答案)
28.1.3 特殊角的三角函数值学案一、新课导入1.课题导入情景：出示一副三角尺，老师手中的两块三角尺中有几个不同的锐角？问题：分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值.本节课我们学习30°，45°，60°角的三角函数值.（板书课题）2.学习目标（1）推导并熟记30°，45°，60°角的三角函数值.（2）能运用30°，45°，60°角的三角函数值进行简单的计算.（3）能由30°，45°，60°角的三角函数值求对应的锐角.3.学习重、难点重点：推导并熟记30°，45°，60°角的三角函数值.难点：相关运算.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材P65探究~P66例3上面的内容.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：完成探究提纲.②通过计算，得到30°，45°,60°角的正弦值、余弦值、正切值如下表：③观察上表，sin30°，sin45°，sin60°的值有什么规律？cos30°，cos45°，cos60°呢？tan30°，tan45°，tan60°呢？2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：明了学生能否推导30°，45°，60°角的三角函数值.②差异指导：根据学情进行针对性指导.（2）生助生：小组内相互交流、研讨、纠正错误.4.强化：特殊角的三角函数值的推导和记忆以及30°，45°，60°角的正弦值、余弦值、正切值的变化规律.第二层次学习1.自学指导（1）自学内容：教材P66例3~P67练习上面的内容.（2）自学时间：10分钟.（3）自学方法：先自主学习，再同桌之间讨论交流，互相纠错.（4）自学参考提纲：①含30°，45°，60°角的三角函数值的计算题的解题要点是什么？熟练掌握特殊锐角的三角函数值.②求直角三角形中某锐角的解题要点是什么？先求该锐角的正弦值或余弦值或正切值，然后根据特殊锐角的三角函数值求该锐角的度数.③求下列各式的值：a.1-2sin30°cos30°;b.3tan30°-tan45°+2sin60°;=-1.c.(cos230°+sin230°)×tan60°.2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：明了学生对特殊角的三角函数值表的掌握情况.②差异指导：根据学情指导学生记忆或推导特殊角的三角函数值.（2）生助生：小组交流、研讨.4.强化（1）求特殊锐角的三角函数值的关键是先把它转化为实数的运算，再根据实数的运算法则计算.（2）求锐角的度数的关键是先求其正弦值或余弦值或正切值，然后对应特殊锐角的三角函数值求角的度数.（3）当A、B为锐角时，若A≠B，则sin A≠sin B，cos A≠cos B,tan A≠tanB.三、评价1.学生自我评价：这节课你学到了什么？还有什么疑惑？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：根据学生的情感态度和学习效果等方面进行评价.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本课时中的特殊角是指30°，45°，60°的角，课堂上采用“自主探究”的形式，给学生自主动手的时间并提供创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会，培养学生独立探究和合作的能力.本节课的最终教学目的是让学生理解并掌握30°，45°，60°角的三角函数值，并且能够熟记其函数值，然后利用它们进行计算.评价作业一、基础巩固（70分）3.(40分)求下列各式的值.（1）sin45°+cos45°;=2.（2）sin45°cos60°-cos45°;（3）cos245°+tan60°cos30°;=2.(4）1-cos30°sin60°+tan30°.的度数.∵∠B 是锐角且tan B =1,∴∠B =45°.∴∠C =180°-∠A -∠B =75°.二、综合应用（20分）是（D ）A.等腰三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形6.(10分)如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ，CD 为⊙O 的直径，D E ⊥AB 于点E ，三、拓展延伸（10分）7.(10分)对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin（180°-α），cosα=-cos（180°-α）.（1）求sin 120°，cos 120°，sin 150°的值；（2）若一个三角形的三个内角的比是1∶1∶4，A，B是这个三角形的两个顶点，sin A，cos B是方程4x2-mx-1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A 和∠B的大小.解：∵三角形的三个内角的比是1∶1∶4，∴三角形三个内角度数分别为30°,30°,120°.∴∠A=30°或120°，∠B=30°或120°.又∵sin A,cos B是方程4x2-mx-1=0的两个不相等的实数根，。
《三角函数的计算》导学案 2022年最新word版
1.3 三角函数的计算学习目标：1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.学习重点：1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.2.开展学生数学应用意识和解决问题的能力.学习难点：根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图.学习方法：探索——发现法学习过程：一、问题引入：海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流.二、解决问题：1、如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°°.那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计，结果精确到1 m)2、某商场准备改善原来楼梯的平安性能，把倾角由40°减至35°，原楼梯长为4 m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.0l m)三、随堂练习1.如图，一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB＝5 m，现再在C 点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少?2.如图,水库大坝的截面是梯形ABCD.坝顶AD＝6m，坡长CD＝8m.坡底BC＝30m，∠ADC=135°.(1)求∠ABC的大小：(2)如果坝长100 m.那么建筑这个大坝共需多少土石料?(结果精确到0.01 m3)3．如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响.(1)问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由.(2)为防止受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?(供选用数据：≈1.4，≈1.7)四、课后练习：1. 有一拦水坝是等腰楼形,它的上底是6米,下底是10米,高为2米,求此拦水坝斜坡的坡度和坡角.2.如图,太阳光线与地面成60°角,一棵大树倾斜后与地面成36°角, 这时测得大树在地面上的影长约为10米,求大树的长(精确到0.1米).3.如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN=30°,点A处有一所学校,AP=160米,假设拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪声的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN的方向行驶时 ,学校是否会受到噪声影响?请说明理由.4.如图,某地为响应市政府“形象重于生命〞的号召,在甲建筑物上从点A到点E挂一长为30米的宣传条幅,在乙建筑物的顶部D点测得条幅顶端A点的仰角为40°,测得条幅底端E 的俯角为26°,求甲、乙两建筑物的水平距离BC的长(精确到0.1米).5.如图,小山上有一座铁塔AB,在D处测得点A的仰角为∠ADC=60°,点B的仰角为∠BDC=45°;在E处测得A的仰角为∠E=30°,并测得DE=90米, 求小山高BC 和铁塔高AB(精确到0.1米).6.某民航飞机在大连海域失事,为调查失事原因,决定派海军潜水员打捞飞机上的黑匣子,如以下列图,一潜水员在A处以每小时8海里的速度向正东方向划行,在A处测得黑匣子B在北偏东60°的方向,划行半小时后到达C处,测得黑匣子B在北偏东30 °的方向,在潜水员继续向东划行多少小时,距离黑匣子B最近,并求最近距离.7.以申办2021年冬奥会,需改变哈尔滨市的交通状况,在大直街拓宽工程中, 要伐掉一棵树AB,在地面上事先划定以B为圆心,半径与AB等长的圆形危险区,现在某工人站在离B点3米远的D处测得树的顶点A的仰角为60°,树的底部B点的俯角为30°, 如以下列图,问距离B点8米远的保护物是否在危险区内?8.如图,某学校为了改变办学条件,方案在甲教学楼的正北方21米处的一块空地上(BD=21米),再建一幢与甲教学等高的乙教学楼(甲教学楼的高AB=20米),设计要求冬至正午时,太阳光线必须照射到乙教学楼距地面5米高的二楼窗口处, 该地区冬至正午时太阳偏南,太阳光线与水平线夹角为30°,试判断: 方案所建的乙教学楼是否符合设计要求?并说明理由.9.如图,两条带子,带子α的宽度为2cm,带子b的宽度为1cm,它们相交成α角,如果重叠局部的面积为4cm2,求α的度数.第2课时一次函数的图象和性质一、学习目标：1、知道一次函数的图象是一条直线，理解正比例函数图象和一次函数图象的关系.2、理解一次函数中k，b对函数图象的影响，掌握一次函数的性质.3、培养大胆猜测，乐于质疑的良好品质，体会合作探究的乐趣.二、重点难点：重点：一次函数的图象和性质难点：对一次函数中的数与形的联系的理解三、学习过程：1、复习、回忆：〔1〕、什么叫正比例函数、一次函数？它们之间有什么关系？〔2〕、正比例函数的图象是什么形状？〔3〕、正比例函数y=kx〔k是常数，k≠0〕中，k的正负对函数图像有什么影响？2、合作、探究：1、在同一直角坐标系内做出y=-2x、y=2x+3、y=2x-3的图像，比一比这三个函数的图象有什么异同并答复下面的问题：(1)这三个函数的图象形状都是＿＿＿，并且倾斜程度＿＿＿；(2)函数y=－2x图象经过原点，一次函数y=－2x+3 的图象与y轴交于点＿＿＿＿，即它可以看作由直线y=－2x向＿＿平移＿＿单位长度而得到；一次函数y=－2x－3的图象与y轴交于点＿＿＿＿，即它可以看作由直线y=－2x向＿＿平移＿＿单位长度而得到；归纳：(1) 所有一次函数y=kx+b的图象都是________(2)直线 y=kx+b与直线y=kx__________(3)直线 y=kx+b可以看作由直线y=kx___________而得到2、在同一坐标系中用两点法画出函数y=x+1、y=-x+1、y=2x+1、y=-2x+1的图象观察上面四个一次函数的图象，类比正比例函数y=k x中k的正负对图象的影响,表述一次函数的性质．3、练习检测〔1〕、有以下函数：①y=2x+1, ②y=-3x+4,③y=0.5x,④y=x-6; 其中过原点的直线是________；函数y随x的增大而增大的是__________；函数y随x的增大而减小的是___________；图象在第一、二、三象限的是________ .〔2〕、一次函数y = mx-(m-2), 假设它的图象经过原点，那么m= ;假设它的图象经过一、二、四象限，那么m .〔3〕、对于函数y=mx-3,y随x增大而减小，那么该直线经过象限.〔4〕、一次函数y=kx+b中，kb>0,且y随x的增大而减小，画出它的大致图象.。
北师大版九年级数学第一章三角函数全章导学案
3
35
A4
C
(1)
C
A
(2)
4．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则 sin α的值是﹙ ﹚
3
A． 4
4
B
．3
3
C ．5
4
D
．5
5．如图，在直角△ ABC中，∠ C＝ 90o，若 AB＝ 5， AC＝4，则
A
sinA ＝（ ）
2
6．在△ ABC中，∠C=90°，BC=2，sinA= 3，则边 AC的长是 ( )
斜边
c
把∠ A 的对边与邻边的比叫做∠ A 的正切，记作 tanA ，即 tanA= A的对边 = a ． A的邻边 b
例如，当∠ A=30°时，我们有 cosA=cos30°=
；
当∠ A=45°时，我们有 tanA=tan45 °=
．
锐角 A 的正弦、余弦、正切都叫做∠ A 的锐角三角函数．
对于锐角 A 的每一个确定的值， sinA 有唯一确定的值与它对应， 所以 sinA
B
2．难点：理解正弦的意义，并用它来表示两边的 比。
一、预习案
A
C
B
1、如图在 Rt△ABC 中，∠ C=90°，∠ A=30 °，
BC=10m， ?求 AB
A
C
2、如图在 Rt△ABC 中，∠ C=90°，∠ A=30 °，
AB=20m， ?求 BC
3、归纳直角三角形中存在的边角关系：
二、探究案
1.为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，
AB A ' B '
结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角 形的大小如何， ?∠A 的对边与斜边的比
《两角和与差的三角函数》导学案
《两角和与差的三角函数》导学案姓名: 班级: 组别: 组名:【学习目标】1﹑公式的正用、逆用.2﹑公式的变形应用.3﹑利用公式化简、求值、证明等综合利用.【重点难点】▲重点：公式的应用.▲难点：公式的逆用与变形应用.【知识链接】()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=【学习过程】类型1:两角和与差基本公式的应用（公式的正用）例1﹑ ①已知3cos ,(,)52πθθπ=-∈，求sin()3πθ+的值？②已知αβ，为锐角，1cos 7α=，11cos 14αβ+=-（），cos β求的值提示：公式的正用包括求值型、凑角型、求角型.问题1﹑在①中，sin sin cos cos sin 333πππθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，要求sin()3πθ+值，需求sin θ与cos θ的值，请尝试解答①.问题2﹑先尝试直接解出第②问.问题3﹑你是否是按这样的思路完成的第②问？由cos()αβ+展开得11cos cos sin sin 14αβαβ-=-，再根据1cos 7α=得到sin α的值，再根据1cos sin 22=+αα得到cos β的值.这个过程很繁琐，我们一般不采纳，你有没有其他的方法呢？（提示：将已知角()αβ-尽量不拆开，尝试一下，利用已知角()αβ-与α配凑出角β，你会有更多的收获哦！）尝试写出本题的完整过程类型2: 两角和与差公式的应用（公式的逆用）例2﹑①求sin 7cos37sin83cos53︒∙︒-︒∙︒的值？②求1cot151tan 75+︒-︒的值。
问题1﹑在①中应尽量的先统一角再观察所求式，请尝试解答本问.问题2﹑第②问考察了正切公式的逆用，要注意特殊角以及“1”的转化，请尝试解答本问.类型3:和差公式的技巧运用例3﹑已知324πβαπ<<<，12cos()13αβ-=，3sin()5αβ+=-求sin 2α的值. 提示：可以用配凑的方法来达成角的统一，尽量将所求角转化为已知角来表示，例如：()()ααββββα=+-=--问题1﹑将cos()αβ-，sin()αβ+直接展开，方便求解吗？尝试一下.问题3﹑要求s i n2α的值需求出sin()αβ-与cos()αβ+的值，根据22sin ()cos ()1αβαβ-+-=可得225sin ()169αβ-=，同理也可得216cos ()25αβ+=，尝试求出sin()αβ-与cos()αβ+的值（注意取正负的问题哦！）？写出本题完整的解答过程例4﹑在三角形ABC 中， tan B+tan C = A.问题1﹑本题可整理为tan tan tan tan )B C B C +-,易得tan A 的值.问题2﹑本题也可使用tan tan tan()(1tan tan )B C B C B C +=+-代入已知式进行求解，尝试一下.【基础达标】A1﹑已知123cos ,(,)132θθππ=-∈，求cos()4πθ+的值.B2﹑已知cos()sin 6παα-+=，求7sin()6πα+的值.C3﹑化简sin(2)2cos()sin αβαβα+-+. 【小结】【当堂检测】B1﹑已知23sin ,(,)32ααππ=-∈，3cos 4β=，3(,2)2βππ∈，求cos()αβ-的值.【课后反思】本节课我最大的收获是我还存在的疑惑是。
2020版高中数学人教A版必修4 导学案 《任意角三角函数一》(含答案解析)学生版
思考 1 角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？
思考 2 对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随 P 点在终边上的位置的改变 而改变？
思考 3 在思考 1 中，当取|OP|=1 时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？
梳理
(1)单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点 O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.
位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数.
知识点二 正弦、余弦、正切函数的定义域 思考 对于任意角α，sin α，cos α，tan α都有意义吗？ 梳理 三角函数的定义域
知识点三 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号 思考 根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？
四、探究与拓展
14.已知角θ的终边上有一点 P(x，-1)(x≠0)，且 tan θ=-x，则 sin θ＋cos θ=
.
1
1
15.已知
=-
，且 lg(cos α)有意义.
|sin α| sin α
(1)试判断角α所在的象限；
3 ，m
(2)若角α的终边与单位圆相交于点 M 5 ，求 m 的值及 sin α的值.
C.第三象限角
D.第四象限角
2π
2π
sin ，cos
4.已知角α的终边上一点的坐标为
3
3 ，则角α的最小正值为( )
5π A.
6
2π B.
3
4π C.
3
11π D.
6
3 5.已知角α的终边经过点 P(3，4t)，且 sin(2kπ＋α)=- (k∈Z)，则 t 等于( )
5
9 A.-
《简单的三角恒等变换》 导学案
《简单的三角恒等变换》导学案一、学习目标1、能够运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换。
2、掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并能进行简单的恒等变换。
3、能运用三角恒等变换解决一些简单的实际问题。
二、学习重难点1、重点（1）两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用。
（2）二倍角公式的应用。
2、难点（1）灵活运用三角恒等变换公式进行化简、求值和证明。
（2）三角恒等变换与其他数学知识的综合应用。
三、知识回顾1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）＼（＼sin(＼alpha ＋＼beta) ＝＼sin\alpha\cos\beta ＋＼cos\alpha\sin\beta\）（2）＼（＼sin(＼alpha ＼beta) ＝＼sin\alpha\cos\beta ＼cos\alpha\sin\beta\）（3）＼（＼cos(＼alpha ＋＼beta) ＝＼cos\alpha\cos\beta ＼sin\alpha\sin\beta\）（4）＼（＼cos(＼alpha ＼beta) ＝＼cos\alpha\cos\beta ＋＼sin\alpha\sin\beta\）（5）＼（＼tan(＼alpha ＋＼beta) ＝＼frac{＼tan\alpha ＋＼tan\beta}｛1 ＼tan\alpha\tan\beta}＼）（6）＼（＼tan(＼alpha ＼beta) ＝＼frac{＼tan\alpha ＼tan\beta}｛1 ＋＼tan\alpha\tan\beta}＼）2、二倍角公式（1）＼（＼sin 2\alpha ＝ 2\sin\alpha\cos\alpha\）（2）＼（＼cos 2\alpha ＝＼cos^2\alpha ＼sin^2\alpha ＝2\cos^2\alpha 1 ＝ 1 2\sin^2\alpha\）（3）＼（＼tan 2\alpha ＝＼frac{2\tan\alpha}｛1 ＼tan^2\alpha}＼）四、新课导入在数学中，三角恒等变换是解决三角函数问题的重要工具。
高中数学《三角函数的诱导公式——诱导公式五、六》导学案
第2课时 诱导公式五、六诱导公式五和六1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)角π2－α与角α的终边关于y 轴对称．( )(2)由诱导公式五、六，能够推导出tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α与tan α的关系．( ) (3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝－sin α.( )答案 (1)× (2)√ (3)× 2．做一做(1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( )A ．－25B ．－15 C.15 D.25答案 C解析 根据诱导公式sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝15.故正确答案为C.(2)(教材改编P 26公式五)已知角α的终边经过点P 0(－3，－4)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α的值为( )A ．－45 B.35 C.45 D ．－35 答案 A解析 角α的终边经过点P 0(－3，－4)，由三角函数的定义可得sin α＝－4(－3)2＋(－4)2＝－45，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α＝－45，故选A.(3)化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝________. 答案 －cos α解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－cos α.探究1 利用诱导公式五、六求值例1 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，求值： sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－αcos (π＋α)＋sin (π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αsin (π＋α).解 原式＝cos αsin α－cos α＋sin αsin α－sin α＝－sin α－sin α＝－2sin α.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，所以－sin α＝13.所以原式＝－2sin α＝23. 拓展提升诱导公式应用中需注意的问题诱导公式的应用，就是化归思想的应用，求值过程就是由未知角的三角函数向已知角的三角函数的转化过程．解题时要密切注意角之间的关系，特别是互余、互补关系，为应用诱导公式创造条件．【跟踪训练1】 已知cos(π＋α)＝－12，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值．解 ∵cos(π＋α)＝－cos α＝－12， ∴cos α＝12，∴α为第一或第四象限角． ①若α为第一象限角，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122 ＝－32；②若α为第四象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32. 探究2 化简三角函数式 例2 化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos (π＋α)＋sin (π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (π＋α).解 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α，cos(π＋α)＝－cos α，sin(π－α)＝sin α，cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α，sin(π＋α)＝－sin α， ∴原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α·(－sin α)－sin α＝－sin α＋sin α＝0. 拓展提升用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函数名称转化，以保证三角函数名称最少．(2)对于k π±α(k ∈Z )和π2±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而后一套公式必须变名．【跟踪训练2】 (1)sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＋sin 290°的值等于________；(2)化简：tan (3π－α)sin (π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋sin (2π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αcos (2π＋α).答案 (1)912 (2)见解析解析 (1)因为sin 21°＋sin 289°＝sin 21°＋cos 21°＝1， sin 22°＋sin 288°＝sin 22°＋cos 22°＝1，sin 2x °＋sin 2(90°－x °)＝sin 2x °＋cos 2x °＝1(1≤x ≤44，x ∈N )， 所以原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 290°＋sin 245°＝45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝912.(2)tan(3π－α)＝－tan α，sin(π－α)＝sin α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－cos α，sin(2π－α)＝－sin α， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝－cos α， cos(2π＋α)＝cos α，所以原式＝－tan αsin α(－cos α)＋－sin α(－sin α)－cos αcos α＝1cos 2α－sin 2αcos 2α＝1－sin 2αcos 2α＝cos 2αcos 2α＝1. 探究3 利用诱导公式证明三角恒等式 例3 求证：证明拓展提升三角恒等式的证明策略对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．证明1.诱导公式的记忆诱导公式一～六可归纳为k ·π2±α(k ∈Z )的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”．(1)“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的．(2)“奇”“偶”是对诱导公式k ·π2±α(k ∈Z )中的整数k 来讲的．(3)“象限”指k ·π2±α(k ∈Z )中，将α看成锐角时，k ·π2±α(k ∈Z )所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．2.诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通.1．已知sin40°＝a ，则cos50°等于( ) A ．±a B ．－a C ．a D.1－a 2 答案 C解析 cos50°＝cos(90°－40°)＝sin40°＝a .2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan α的值为( ) A ．－2 2 B ．2 2 C ．－24 D.24 答案 A解析 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝13.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，所以sin α＝－1－cos 2α＝－223，则tan α＝－2 2.3．已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)＝________.答案 2解析 由tan(3π＋α)＝2，得tan α＝2，所以 原式＝－sin α＋(－cos α)＋cos α－2(－sin α)sin α－cos α＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2. 4．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝35，则cos 2θ－sin 2θ＝________.答案 －725解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ＝35，从而sin 2θ＝1－cos 2θ＝1625，所以cos 2θ－sin 2θ＝－725.5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α的值． 解 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α·sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12×12＝14.A 级：基础巩固练一、选择题1．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ<0，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ>0，则θ是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 答案 B解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ<0，∴cos θ<0，即θ是第二或第三象限角．∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ>0，∴sin θ>0，即θ是第一或第二象限角． 综上，θ是第二象限角．2．在△ABC 中，下列四个关系中正确的有( )①sin(A ＋B )＝sin C ；②cos(A ＋B )＝sin C ；③sin A ＋B 2＝sin C2；④cos A ＋B 2＝sin C 2.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 答案 C解析 因为△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，故①正确；cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，故②错误；sin A ＋B2＝sin π－C 2＝cos C 2，故③错误；cos A ＋B 2＝cos π－C 2＝sin C 2，故④正确．综上，①④正确．故选C.3．下列与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2的值相等的式子为( )A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ B ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ C ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θD ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ答案 D解析 因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝－cos θ， 对于A ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ； 对于B ，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝－sin θ； 对于C ，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝－sin θ；对于D ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝－cos θ.4．若f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝( ) A ．3－cos2x B ．3－sin2x C ．3＋cos2x D ．3＋sin2x 答案 C解析 f (cos x )＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝3－cos(π－2x )＝3＋cos2x ，故选C. 5．若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2sin(6π－α)的值为( )A ．－23m B ．－32m C.23m D.32m答案 B解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ， 即－sin α－sin α＝－2sin α＝－m ，从而sin α＝m2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2sin(6π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m .故选B.二、填空题6．化简：sin(450°－α)－sin(180°－α)＋cos(450°－α)＋cos(180°－α)＝________.答案 0解析 原式＝sin(90°－α)－sin α＋cos(90°－α)－cos α＝cos α－sin α＋sin α－cos α＝0.7．已知α是第三象限角，且cos(85°＋α)＝45，则sin(α－95°)＝________.答案 35解析 ∵α是第三象限角，cos(85°＋α)＝45>0，∴85°＋α是第四象限角．∴sin(85°＋α)＝－35，sin(α－95°)＝sin[(85°＋α)－180°]＝－sin[180°－(85°＋α)]＝－sin(85°＋α)＝35.8．在△ABC 中，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝3sin(π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，则C ＝________.答案 π2解析 ∵3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝3sin(π－A )， ∴3cos A ＝3sin A ，即tan A ＝33，∴A ＝π6.又cos A ＝－3cos(π－B )，∴cos A ＝3cos B ，即32＝3cos B ，∴cos B ＝12，∴B ＝π3，∴C ＝π－π6－π3＝π2.三、解答题9．已知f (α)＝sin (α－3π)cos (2π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos ()－π－αsin (－π－α). (1)化简f (α)；(2)若α是第三象限的角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值． 解 (1)f (α)＝sin (α－3π)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos (－π－α)sin (－π－α)＝(－sin α)·cos α·(－cos α)(－cos α)·sin α＝－cos α.(2)因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15， 所以sin α＝－15.又α是第三象限的角，所以cos α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝－265. 所以f (α)＝265.B 级：能力提升练是否存在角α，β，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解 假设存在角α，β满足条件，则⎩⎨⎧ sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β，② 由①2＋②2得sin 2α＋3cos 2α＝2.∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＝±π4. 当α＝π4时，cos β＝32，∵0<β<π，∴β＝π6；当α＝－π4时，cos β＝32，∵0<β<π，∴β＝π6，此时①式不成立，故舍去．∴存在α＝π4，β＝π6满足条件．。
高中 三角函数教学设计及习题及答案
第三章三角函数章节结构图三角函数是高中数学的一个重要知识板块，也是高考的热点和重点内容．在考察中，以容易题和中档题为主．在复习本部分内容时，应该充分利用数形结合的思想，把图象和性质有机结合．利用图象的直观性得出函数的性质，同时也要学会利用函数的性质来描绘函数的图象．而在三角变换中，角的变换，三角函数名称的改变，三角函数次数的变换，三角函数表达形式的变换，频繁出现．因此，在训练中，要清楚各种公式，以及它们之间的联系，注意总结规律，并在应用中注意分析比较，提高能力．3．1三角函数的概念(一)复习指导1．了解任意角的概念，了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化．2．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，掌握任意角的三角函数在各个象限的符号．3．会应用三角函数线解决与三角函数有关的简单问题． (二)解题方法指导 例1．写出与－60°终边相同的角的集合S ，并把S 中满足－2π ≤α≤4π 的元素α写出来．例2．已知角α终边上有一点P (x ，1)，且21cos =α，求sin α，tan α．例3．求函数21sin )(-=x x f 的定义域．例4．已知α∈(0，π )，比较2tan,2sinαα的大小．(三)体会与感受 1．重点知识_________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________2．问题与困惑_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________3．经验问题梳理_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________3．2同角三角函数关系及诱导公式(一)复习指导1．理解同角三角函数的基本关系式：.tan cos sin ,1cos sin 22x xxx x ==+ 2．能利用单位圆中的三角函数线推导出αα±±π,2π的正弦、余弦、正切的诱导公式． 3．能综合运用诱导公式和同角关系式对代数式进行化简． (二)解题方法指导例1．已知tan x =2，求sin x ，cos x 的值． 例2．求)330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(----的值．例3．若,2cos sin cos sin =+-xx xx ，求sin x cos x 的值．例4．求证：tan 2x ·sin 2x =tan 2x －sin 2x ．(三)体会与感受1．重点知识________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________2．问题与困惑______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________3．经验问题梳理____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________3．3三角函数的图象与性质(一)(一)复习指导1．能画出y =sin x ，y =cos x ，y =tan x 的图象，了解三角函数的周期性．2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π ]的性质(如单调性、最大和最小值、图象与x 轴交点等)3．理解正切函数在区间)2π,2π(-的单调性．例1．用五点法画出函数)3sin(+=x y 草图，并求出函数的周期，单调区间，对称轴，对称中心．例2．求函数)6π2sin(2+=x y 在区间[0，2π ]上的值域．例3．求下列函数的值域．(1)y ＝sin 2x －cos x +2；(2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )．例4．求函数xxy cos 3sin 1--=的值域．(三)体会与感受 1．重点知识_________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________2．问题与困惑_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________3．经验问题梳理_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________3．4三角函数的图象与性质(二)(一)复习指导1．了解函数y =A sin(ωx +φ)的物理意义；能画出y =A sin(ωx +φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响．2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．(二)解题方法指导例1．在同一个坐标系中，用五点法画出下列函数的草图．(1));3πsin(,sin +==x y x y (2)).3π2sin(,2sin +==x y x y例2．已知函数)6π2sin()(+=x x f ，该函数的图象可以由y =sin x 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到．例3．若函数y =A sin(ωx +φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为)2,2(，它到其相邻的最低点之间的图象与x 轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式．例4．已知函数f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin 4x ．(Ⅰ)求f (x )的最小正周期；(Ⅱ)若],2π,0[∈x 求f (x )的最大值、最小值．(三)体会与感受 1．重点知识_________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________2．问题与困惑_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________3．经验问题梳理_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________3．5和、差、倍角的三角函数(一)(一)复习指导1．掌握两角差的余弦公式，能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式． 2．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．3．能用上述公式解决一些化简和求值问题．(二)解题方法指导 例1．若5tan 1tan 1=+-x x，则)4πtan(+x 的值为 ( )(A)5(B)5-(C)55(D)55-例2．=-++)4π(sin 2)cos (sin 22x x x ____________． 例3．已知21)4πtan(=+x ．求xx x 2cos 1cos 22sin 2+-的值．例4．已知f (cos x )=cos2x . (Ⅰ)求))16π(cos(f 的值；(Ⅱ)求f (sin x )．(三)体会与感受 1．重点知识_________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________2．问题与困惑_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________3．经验问题梳理_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________3．6和、差、倍角的三角函数(二)(一)复习指导1．能利用三角函数公式对一些代数式进行化简和求值． 2．掌握A sin x +B cos x 型代数式变形方法． (二)解题方法指导 例1．已知)π,2π(,54cos ∈-=αα，则=-)4πcos(α( )． (A)102(B)102-(C)1027-(D)1027 例2．x x x x f cos sin 322cos )(-=的最小值为____． 例3．已知：53cos ,2π0=<<x x ，且π2π<<y ，且135)sin(=+y x ，求cos y 的值．例4．已知54)cos(,53sin ,π2π0-=+=<<<<⋅βααβα，求sin β．(三)体会与感受 1．重点知识_________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________2．问题与困惑_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________3．经验问题梳理_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________3．7正弦定理和余弦定理(一)复习指导1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．(二)解题方法指导例1．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，则其最大角为____． 例2．在△ABC 中，有a cos A =b cos B ，判断△ABC 的形状．例3．在△ABC 中，∠A =60°，面积为310，周长为20，求三条边的长．例4．在一条河的对岸有两个目标物A ，B ，但不能到达．在岸边选取相距32里的C ，D 两点，并测得∠ACB =75°，∠BCD =45°，∠ADC =30°，∠ADB =45°，且A ，B ，C ，D 在同一个平面内，求A ，B 之间的距离．(三)体会与感受 1．重点知识_________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________2．问题与困惑_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________3．经验问题梳理_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________例题解析第三章三角函数3．1 三角函数的概念例1分析：先把角转化成弧度制，然后写出与其终边相同角的集合． 解：因为3π60o-=-，所以},,3ππ2|{Z ∈-==k k S αα S 中满足－2π≤α≤4π的元素有⋅-3π11,3π5,3π 例2分析：已知一个角的一个函数值，可以利用三角函数定义求其它三角函数值，也可以利用同角关系直接求得．解：因为P (x ，1)在角α的终边上，所以，,211cos ,422=+=+=x x x r α 解得,33±=x 又因为x ＞0，所以,33=x 所以.3tan ,23sin ==αα小结：知道一个角某个三角函数值，求其它的函数值，是三角函数求值问题中典型问题之一．例3解：因为021sin ≥-x ，所以,21sin ≥x当21sin =x 时，6ππ2+=k x 或,,6π5π2Z ∈+=k k x 利用三角形函数线得到， .],6π5π2,6ππ2[Z ∈++∈k k k x例4分析：比较不同三角函数值的大小，可以充分利用三角函数线． 解：因为α∈(0，π)，所以)2π,0(2∈α，如图3－1－2，在单位圆中，作出2α的正弦线MP 和正切线AT ，因为S △OAP ＜S △OAT ，所以|,|||21||||21AT OA MP OA ⋅⋅<⋅⋅ 即｜MP ｜＜｜AT ｜，所以⋅<2tan2sinαα小结：例3和例4都是三角形函数线的应用，其中例4还可以利用比较法来解决，实际上有)2π,0(∈x 时，sin x ＜x ＜tan x ．3．2 同角三角函数关系及诱导公式例1分析：知道一个角某个三角函数值，求其它函数值，方程思想是通法． 解：因为2cos sin tan ==xxx ，又sin 2x ＋cos 2x =1， 联立得⎩⎨⎧=+=，1cos sin cos 2sin 22x x xx 解这个方程组得.55cos 552sin ,55cos 552sin ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==x x x x 小结：这道题和3.1.1中的例2属于同一类型问题．例2分析：这种代数式化简，一般要用到诱导公式和同角函数关系，要注意公式的正确使用，特别是函数名称和符号的变化方法．解：原式)30360cos()150sin()30720tan()120360sin()30180cos()180120tan(o --+---++-=.3330cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---=例3分析：这种代数式求值，可以利用方程组的思想，求出每个函数值，也可以利用sin x ±cos x 与sin x cos x 的关系，整体求值．解：法一：因为,2cos sin cos sin =+-xx xx所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )，得到sin x =－3cos x ，又sin 2x ＋cos 2x =1，联立方程组，解得 ，，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==1010cos 10103sin 1010cos 10103sin x x x x 所以⋅-=103cos sin x x法二：因为,2cos sin cos sin =+-xx xx所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )， 所以(sin x －cos x )2=4(sin x ＋cos x )2， 所以1－2sin x cos x =4＋8sin x cos x ， 所以有⋅-=103cos sin x x 小结：这两种方法中，第一种是通法，第二种利用了整体求值．例4分析：这种证明问题，可以从左边开始变形，向右边看齐，也可以反过来，还有的时候是两边同时变形．在变形的时候，要注意公式的正确使用，同时要时刻注意目标是什么．证明：法一：右边＝tan 2x －sin 2x =tan 2x －(tan 2x ·cos 2x )=tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x ·sin 2x ，问题得证．法二：左边=tan 2x ·sin 2x =tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x －tan 2x ·cos 2x =tan 2x －sin 2x ，问题得证．3．3三角函数的图象与性质(一)例1解：周期为T =2π，单调增区间为,),6ππ2,6π5π2(Z ∈+-k k k 单调减区间为,),6π7π2,6ππ2(Z ∈++k k k 对称轴为,,6ππZ ∈+=k k x对称中心为.),0,3ππ(Z ∈-k k小结：画图的时候，要注意五个点的选取． 例2分析：在求这样函数值域的时候，最好是把括号中与x 有关的代数式的取值范围求出来，然后利用三角函数图象求其值域．解：因为0≤x ≤2π，所以,6π76π26π,π20≤+≤≤≤x x 由正弦函数的图象， 得到],1,21[)6π2sin(-∈+x所以y ∈[－1，2]．例3解：(1)y =sin 2x －cos x ＋2＝1－cos 2x －cos x ＋2=－(cos 2x ＋cos x )＋3，令t =cos x ，则,413)21(413)21(3)(],1,1[222++-=++-=++-=-∈t t t t y t利用二次函数的图象得到].413,1[∈y (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )=(sin x ＋cos x )2－1－(sin x ＋cos x )，令t =sin x ＋cos x 2=，)4πsin(+x ，则]2,2[-∈t 则，,12--=t t y利用二次函数的图象得到].21,45[+-∈y小结：利用三角函数关系把代数式转化成一个二次函数形式，利用图象，求其值域，要注意转化后自变量的取值范围．例4解：设A (3，1)，P (cos x ，sin x )，把y 看成定点A 与动点P 所在直线的斜率， 因为动点P (cos x ，sin x )在单位圆上，所以只要求经过点A (3，1)与单位圆相切的两条直线的斜率，两条切线的斜率分别为0和,43 所以].43,0[∈y小结：这是数形结合解题的一个典型问题．3．4三角函数的图象与性质(二)例1解：(1)例2分析：这种问题的难点在于确定变换的先后顺序． 解：法一：将函数y =sin x 依次作如下变换： (1)把函数y =sin x 的图象向左平移6π个单位，得到函数)6πsin(+=x y 的图象； (2)把函数)6πsin(+=x y 图象上各点的横坐标缩小到原来的21，纵坐标保持不变，得到函数)6π2sin(+=x y 的图象．法二：将函数y =sin x 依次作如下变换：(1)把函数y =sin x 的图象上各点的横坐标缩小到原来的21，纵坐标保持不变，得到函数y =sin2x 的图象．(2)把函数y =sin2x 向左平移12π个单位，得到函数)12π(2sin +=x y ，即)6π2sin(+=x y 的图象．小结：在进行图象变换的时候，应注意平移变换和压缩变换的顺序，顺序不一样，则平移的单位不一样．如y =sin2x 的图象向左平移12π个单位，得到函数)12π(2sin +=x y ，即)6π2sin(+=x y 的图象．例3分析：这样的问题，首先要清楚几个参数A ，ω，φ对函数图象的影响，可以画出一个草图来分析问题．解：由最高点为)2,2(，得到2=A ，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x 轴交点的间隔是41个周期，这样求得44=T ，T =16，所以⋅=8πω又由)28πsin(22ϕ+⨯=，得到可以取).4π8πsin(2.4π+=∴=x y ϕ例4分析：这个函数的解析式比较复杂，我们先对其进行化简，这包括减少函数名称，降低次数，然后再求相应的问题．解：(Ⅰ)因为f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin4x ＝(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )－sin2x)4π2sin(2)24πsin(22sin 2cos 2sin )sin (cos 22--=-=-=--=x x x x x x x所以最小正周期为π．(Ⅱ)若]2π,0[∈x ，则]4π3,4π[)4π2(-∈-x ，所以当x =0时，f (x )取最大值为;1)4πsin(2=--当8π3=x 时，f (x )取最小值为.2- 3．5 和、差、倍角的三角函数(一)例1解：5)4πtan(tan 4πtan 1tan 4πtantan 1tan 1=-=+-=+-x x xx x ，所以,51)4πtan(1)4πtan(=-=+x x 选C ．小结：本题还可以tan x 把的值求出来，然后使用两角和的正切公式求值．例2解：)4π(sin 2)cos (sin 22x x x -++.22sin 12sin 1)4π(2cos 12sin 1=-++=--++=x x x x例3解：因为21tan 1tan 1)4πtan(=-+=+x x x ，所以,31tan -=x⋅-=-=-=+-341tan cos 2cos 2cos sin 22cos 1cos 22sin 222x xx x x x x x小结：在求值问题中，应该先对代数式进行化简，在化简的过程中分析如何利用条件推导出结果．例4解：(Ⅰ)因为,8πcos ))16π(cos(==f而422222124πcos18πcos 2+=+=+=且08πcos >，所以;228πcos +=(Ⅱ)因为.2cos )2πcos())2π(2cos())2π(cos()(sin x x x x f x f -=-=-=-=3．6 和、差、倍角的三角函数(二)例1解：因为)π,2π(,54cos ∈-=αα，所以,53sin =α又αααsin 4πsin cos 4πcos )4πcos(+=-，代入求得结果为,102-所以选B ． 例2解：因为)26πsin(22sin 3cos cos sin 322cos )(x x x x x x x f -=-=-=，所以其最小值为－2．例3分析：在知值求值问题中，要注意角之间的关系．解：因为,53cos ,2π0=<<x x 则⋅=-=54cos 1sin 2x x 因为π2π,2π0<<<<y x ，所以,2π32π<+<y x 所以,1312)cos(-=+y x 所以cos y =cos[(x ＋y )－x ]=cos(x ＋y )cos x ＋sin(x ＋y )sin x651654135531312-=⨯+⨯-= 例4解：因为,π2π0<<<<βα 所以,2π32π<+<βα 又54)cos(-=+βα，所以53)sin(-=+βα，或,53)sin(=+βα若53)sin(-=+βα,则由53sin =α，得到β=π，矛盾，所以,53)sin(=+βα所以⋅=+-+=-+=2524sin )cos(cos )sin(])sin[(sin αβααβααβαβ 3．7正弦定理和余弦定理例1解：因为三条边中c 边最大，则角C 最大，根据余弦定理，21cos -=C ，所以⋅=3π2C例2解：由正弦定理，a =2R sin A ，b ＝2R sin B ，代入有2R sin A cos A =2R sin B cos B ，即sin2A =sin2B ，所以2A =2B 或2A =π－2B ．即A =B 或2π=+B A ，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．例3解：因为310sin 21==∆A bc S ABC ，所以bc =40，又a ＋b ＋c =20，a 2=b 2＋c 2－2bc cos A ，解得三条边为5，7，8．例4分析：在很多实际测量问题中，都离不开解三角形，根据相关条件画一张比较清晰的直观图，可以帮我们找到解题的思路．要求AB ，可以把AB 放到一个三角形中，看看这个三角形中还有哪些条件，然后可以根据正余弦定理求值．解：中△ACD 中，∠ACD =120°，∠ADC =30°所以∠DAC =30°，所以｜AC ｜=｜CD ｜=23， 在△BCD 中，∠BCD =45°，∠CDB ＝75°，所以∠CBD =60°，由正弦定理,60sin ||75sin ||,oo CD BC =所以,2660sin 75sin ||||oo+==CD BC 在△ABC 中，∠BCA =75°，根据余弦定理，｜AB ｜2=｜AC ｜2＋｜BC ｜2－2｜AC ｜·｜BC ｜·cos75°，求得 ｜AB ｜2=20，⋅=52||AB。
九年级下册数学(北师大)教案：1.3《三角函数的有关计算》导学案
1.3《三角函数的有关计算》【学习目标】能够用计算器进行有关三角函数值的计算.能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.【重点】用计算器求已知锐角的三角函数值，解决含三角函数值计算的实际问题。
【难点】会用计算器辅助解决含三角函数值计算的相关问题。
【学习过程】一、情境引入如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200米，已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠a＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少?二、初生牛犊不怕虎，让我来探索：探究一：1、自学下列内容：2、用计算器计算下列各式的值(1)sin56°；(2)sin15°49′；(3)cos20°；(4)tan29°；(5)tan44°59′59″；(6)sin15°+cos61°+tan76°探究二：情境引入中，当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200 m，缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角是∠β＝42°，由此你能想到还能计算什么?三、我的课堂我做主1. 你能用计算器计算说明下列等式成立吗?下列等式成立吗? 你能得出什么结论?(1)sin15°+sin25°＝sin40°；(2)cos20°+cos26°=cos46°；(3)tan25°+tan15°＝tan40°2.一个人由山底爬到山顶,需先爬40 o的山坡300m,再爬30o的山坡100m,求山高(结果精确到0.01m).3.求图中避雷针的长度(结果精确到0.01m).四、看我有多棒1.(广西)用计算器计算：sin35°= .(结果保留两个有效数字)2.用计算器计算；sin52°18′＝ (保留三个有效数字)3.(福建南平)计算：tan46°= .(精确到0.01)4.学校校园内有一块如图所示的三角形空地，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价30元，学校建这个花园需投资_______元.(精确到1元)五、海阔凭鱼跃，天高任鸟飞(四川广元)如图，为了测量某建筑物的高AB，在距离点B25米的D处安置测倾器，测得点A的倾角α为71°6′，已知测倾器的高CD：1.52米，求建筑物的高AB.(结果精确到0.01米，参考数据：sin71°6′=0.9461，cos71°6′=0.3239.tan71°7′=2.921)六、学而不思则罔，本节课我的感悟与反思：七、作业：（必做）习题1.4第1、2题（选做）同步训练。
《三角函数的应用》教学设计、导学案、同步练习
第五章三角函数《5.7三角函数的应用》教学设计【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1》5.7节三角函数的应用,在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习.本节教材通过例题,循序渐进地介绍三角函数模型的应用,在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性,同时又关注到三角函数性质(特别是周期性)的应用.培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力.培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.发展学生数学建模、数据分析、数学直观、数学抽象、逻辑推理的核心素养。
【教学目标与核心素养】【教学重难点】教学重点：分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型,用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题.教学难点:将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识来解决问题.【教学过程】请你查阅资料，了解振子的运动原理．由数据表和散点图可知，振子振动时位移的最大值为因此A＝20；振子振动的周期为0.6ｓ，即2π=0.6解得ω＝ω再由初始状态（t＝０）振子的位移为-20，可得sinφπ由交变电流的产生原理可知，电流i随时间t的变化规律可=Asin（ωt+φ）来刻画，其中ω2π表示频率，A表示振幅，φ表示初相．由图5.7.2(2)可知，电流最大值为５Ａ，因此A＝５；电型问题的分析解决，发展学生数学建模、逻辑推理，直A．该质点的运动周期为0.7sB．该质点的振幅为5cmC．该质点在0.1s和0.5s时运动速度最大D．该质点在0.3s和0.7s时运动速度为零【解析】由题图可知，该质点的振幅为5cm.【答案】 B2．与图中曲线对应的函数解析式是( )A．y＝|sin x| B．y＝sin|x|C．y＝－sin|x|D．y＝－|sin x|【解析】注意题图所对的函数值正负，因此可排除选项A，D.当x∈(0，π)时，sin|x|>0，而图中显然是小于零，因此排除选项B，故选C.【答案】 C3．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin t2(0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的( ) A．[0,5]B．[5,10]C．[10,15]D．[15,20]【解析】当10≤t≤15时，有32π<5≤t2≤152<52π，此时F(t)＝50＋4sin t2是增函数，即车流量在增加．故应选C.【答案】 C4．在电流强度I与时间t的关系I＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中，要使t在任意1100秒的时间内电流强度I能取得最大值A与最小值－A，求正整数ω的最小值．【解】由题意得：T≤1100，即2πω≤1100，∴ω≥200π，∴正整数ω的最小值为629.5.某港口的水深y(m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是有关时间与水深的数据：t(h)03691215182124y(m)10.013.09.97.10.013.010.17.10.0根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦型函数y＝A sinωt＋b的图象．(1)试根据以上数据，求出y＝A sinωt＋b的表达式；(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5m时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略进出港所用的时间)?【解】(1)从拟合曲线可知：函数y＝A sinωt＋b在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，∴函数《5.7 三角函数的应用》导学案【学习目标】1．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．2．实际问题抽象为三角函数模型． 【重点难点】重点：分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型,用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题.难点：将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识来解决问题.【知识梳理】1、三角函数可以作为描述现实世界中_________现象的一种数学模型. 2、|sin |y x 是以____________为周期的波浪型曲线. 【学习过程】 提出问题现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象，如果某种变化着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述．本节通过几个具体实例，说明三角函数模型的简单应用．典例解析问题１ 某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动的过程中，时间t （单位:s ）与位移y （单位:mm ）之间的对应数据如表5.7.1所示．试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式．请你查阅资料，了解振子的运动原理．归纳总结现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动．在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y=Asin （ωx+φ ）,x ∈［０，＋∞）表示，其中A ＞０， ω ＞０．描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：A 就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是T ＝2πω，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式f =1T ＝ω2π给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；ωx+φ称为相位；x ＝０时的相位φ 称为初相．问题２ 如图 5.7.2（1）所示的是某次实验测得的交变电流i （单位：Ａ）随时间t 狋（单位：ｓ）变化的图象．将测得的图象放大，得到图5.7.2（２）．（１）求电流i 随时间t 变化的函数解析式； （２）当t=0,1600,1150,7600,160时，求电流i ． 请你查阅资料，了解交变电流的产生原理．【达标检测】1．如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是()A．该质点的运动周期为0.7 sB．该质点的振幅为5 cmC．该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大D．该质点在0.3 s和0.7 s时运动速度为零2．与图中曲线对应的函数解析式是()A．y＝|sin x|B．y＝sin |x|C．y＝－sin |x| D．y＝－|si n x|3．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin t2(0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的()A．[0,5] B．[5,10] C．[10,15] D．[15,20]4．在电流强度I与时间t的关系I＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中，要使t在任意1100秒的时间内电流强度I能取得最大值A与最小值－A，求正整数ω的最小值．5.某港口的水深y(m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是有关时间与水深的数据：数y＝A sin ωt＋b的图象．(1)试根据以上数据，求出y＝A sin ωt＋b的表达式；(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5 m时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略进出港所用的时间)?【课堂小结】解三角函数应用题的基本步骤：(1)审清题意；(2)搜集整理数据，建立数学模型；(3)讨论变量关系，求解数学模型；(4)检验，作出结论．参考答案：学习过程问题1 振子的振动具有循环往复的特点，由振子振动的物理学原理可知，其位移狔随时间狋的变化规律可以用函数y=Asin（ωt+φ ）来刻画．根据已知数据作出散点图，如图5.7.1所示．由数据表和散点图可知，振子振动时位移的最大值为20mm ，因此A ＝20；振子振动的周期为0.6ｓ，即2πω=0.6 解得 ω ＝10π3；再由初始状态（t ＝０）振子的位移为-20，可得sin φ =－１，因此φ ＝- π2．所以振子位移关于时间的函数解析式为y=20sin （10π3t- π2） t ∈[０，＋∞）． 问题2 由图5.7.2(2)可知，电流最大值为５Ａ，因此A ＝５；电流变化的周期为150ｓ，频率为５０Ｈｚ，即ω2π＝５０，解得ω＝100π；再由初始状态（t ＝０）的电流约为4.33Ａ，可得sin φ =0.866，因此 φ 约为π3．所以电流i 随时间t 变化的函数解析式是: i=5sin （100πt+π3）,t ∈[100，＋∞）． 当t=1600时，i =5; 当t=1150时，i =0;当t=7600时，i =−5; 当t=160时，i =0;达标检测1． 【解析】 由题图可知，该质点的振幅为5 cm.【答案】 B2．【解析】 注意题图所对的函数值正负，因此可排除选项A ，D.当x ∈(0，π)时，sin |x |>0，而图中显然是小于零，因此排除选项B ，故选C.【答案】 C3．【解析】 当10≤t ≤15时，有32π<5≤t 2≤152<52π，此时F (t )＝50＋4sin t 2是增函数，即车流量在增加．故应选C.【答案】 C4． 【解】 由题意得：T ≤1100，即2πω≤1100，∴ω≥200π，∴正整数ω的最小值为629. 5. 【解】 (1)从拟合曲线可知：函数y ＝A sin ωt ＋b 在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12 h ，因此2πω＝12，ω＝π6.又∵当t ＝0时，y ＝10；当t ＝3时，y max ＝13，∴b ＝10，A ＝13－10＝3，∴所求函数的表达式为y ＝3sin π6t ＋10(0≤t ≤24)．(2)由于船的吃水深度为7 m ，船底与海底的距离不少于4.5 m ，故在船舶航行时，水深y 应大于或等于7＋4.5＝11.5(m)．令y ＝3sin π6t ＋10≥11.5，可得sin π6t ≥12，∴2k π＋π6≤π6t ≤2k π＋5π6(k ∈Z )，∴12k ＋1≤t ≤12k ＋5(k ∈Z )．取k ＝0，则1≤t ≤5，取k ＝1，则13≤t ≤17；而取k ＝2时，25≤t ≤29(不合题意，舍)．从而可知船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1时(1时到5时都可以)进港，而下午的17时(即13时到17时之间)离港，在港内停留的时间最长为16 h.《5.7 三角函数的应用》同步练习一基础巩固1.电流I(A)随时间t(s)变化的关系式为I=3sin 100πt,t∈[0,+∞),则电流I 变化的周期是 ( )A. B.50 C. D.1002.如图所示的是一个单摆,以平衡位置OA 为始边、OB 为终边的角θ(-π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ=sin,则当t=0时,角θ的大小及单摆的频率是( )A.,B.2,C.,πD.2,π3.如图所示为一简谐运动的图象,则下列判断正确的是( )A.该质点的振动周期为0.7 sB.该质点的振幅为-5 cmC.该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大D.该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零4.交流电的电动势E与时间t的关系为E=220sin,则下列判断正确的是 ( )A.电动势的最大值为110B.电动势的最小正周期为C.电动势的初相位为100πD.电动势等于0时,时间t的值为0.017 55.一种波的波形为函数y=-sin x的图象,若其在区间[0,t]上至少有2个波峰(图象的最高点),则正整数t的最小值是( )A.5B.6C.7D.86.一个物体的运动是简谐运动,位移x与时间t的关系为x=20cos,则这个物体的位移的最小正周期为________.7.一弹簧振子的位移y与时间t的函数关系式为y=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0),若弹簧振子运动的振幅为3,周期为,初相为,则这个函数的解析式为______. 8.据市场调查,某种商品一年内每件的出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)= Asin(ωx+φ)+B A>0,ω>0,<的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,9月份价格最低为5千元.根据以上条件求f(x)的解析式.能力提升9.稳定房价是我国实施宏观调控的重点,国家出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响,某市房地产中介对本市一楼盘的房价做了统计与预测:发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格,单位:元)与第x季度之间近似满足:y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0),已知第一、二季度平均单价如表所示:x 1 2 3y 10 000 9 500 ?则此楼盘在第三季度的平均单价大约是 ( )A.10 000元B.9 500元C.9 000元D.8 500元10.某人的血压满足函数关系式f(t)=24sin 160πt+110,其中,f(t)为血压,t为时间,则此人每分钟心跳的次数是________.11.如图所示,一个摩天轮半径为10 m,轮子的底部在地面上2 m处,如果此摩天轮按逆时针转动,每30 s转一圈,且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时.(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式.(2)在摩天轮转动的一圈内,约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.素养达成12.如图,一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行,已知圆环的半径为8 cm,圆环的圆心O距离地面的高度为10 m,蚂蚁每12分钟爬行一圈,若蚂蚁的起始位置在最低点P处.(1)试确定在时刻t(min)时蚂蚁距离地面的高度h(m).(2)在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内,有多长时间蚂蚁距离地面超过14 m?5.7 三角函数的应用答案解析基础巩固1.电流I(A)随时间t(s)变化的关系式为I=3sin 100πt,t∈[0,+∞),则电流I 变化的周期是( )A. B.50 C. D.100【答案】A【解析】选A.T===.2.如图所示的是一个单摆,以平衡位置OA为始边、OB为终边的角θ(-π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ=sin,则当t=0时,角θ的大小及单摆的频率是( )A.,B.2,C.,πD.2,π【答案】A【解析】选A.当t=0时,θ=sin=,由函数解析式易知单摆的周期为=π,故单摆的频率为.3.如图所示为一简谐运动的图象,则下列判断正确的是( )A.该质点的振动周期为0.7 sB.该质点的振幅为-5 cmC.该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大D.该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零【答案】D【解析】选D.该质点振动周期为0.8 s,振幅为5 cm,故A,B错误.该质点在0.1 s和0.5 s时的速度为零,故C错误.该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零,故D正确.4.交流电的电动势E与时间t的关系为E=220sin,则下列判断正确的是 ( )A.电动势的最大值为110B.电动势的最小正周期为C.电动势的初相位为100πD.电动势等于0时,时间t的值为0.017 5【答案】B【解析】选B.因为电动势的最大值为220,所以A错误,因为电动势的最小正周期为T==,所以B正确,因为电动势的初相位为100π×0+=,所以C错误,因为当220sin=0时,t=,k∈Z,所以D错误.5.一种波的波形为函数y=-sin x的图象,若其在区间[0,t]上至少有2个波峰(图象的最高点),则正整数t的最小值是( )A.5B.6C.7D.8【答案】C【解析】选C.函数y=-sin x的周期T=4且x=3时y=1取得最大值,因此t≥7.6.一个物体的运动是简谐运动,位移x与时间t的关系为x=20cos,则这个物体的位移的最小正周期为________.【答案】π【解析】因为正弦型函数y=Asin(ωx+φ)或余弦型函数y=Acos(ωx+φ)的最小正周期都是,所以T=.7.一弹簧振子的位移y与时间t的函数关系式为y=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0),若弹簧振子运动的振幅为3,周期为,初相为,则这个函数的解析式为________.【答案】y=3sin【解析】由题意得A=3,T=,φ=,则ω==7,故所求函数解析式为y=3sin .8.据市场调查,某种商品一年内每件的出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)= Asin(ωx+φ)+B A>0,ω>0,<的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,9月份价格最低为5千元.根据以上条件求f(x)的解析式.【答案】函数解析式f(x)=2sin x+7.【解析】由题意得T=2×(9-3)=12,故ω==,A===2,B==7,又f(3)=9,故×3+φ=,即φ=0,所以函数解析式f(x)=2sin x+7.能力提升9.稳定房价是我国实施宏观调控的重点,国家出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响,某市房地产中介对本市一楼盘的房价做了统计与预测:发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格,单位:元)与第x季度之间近似满足:y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0),已知第一、二季度平均单价如表所示:x 1 2 3y 10 000 9 500 ?则此楼盘在第三季度的平均单价大约是 ( )A.10 000元B.9 500元C.9 000元D.8 500元【答案】C【解析】选C.因为y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0),所以当x=1时,500sin(ω+φ)+9 500=10 000;当x=2时,500sin(2ω+φ)+9 500=9 500,所以ω可取,φ可取π,即y=500sin+9 500.当x=3时,y=9 000.10.某人的血压满足函数关系式f(t)=24sin 160πt+110,其中,f(t)为血压,t为时间,则此人每分钟心跳的次数是________.【答案】80.【解析】因为T==,所以此人每分钟心跳的次数为f==80.11.如图所示,一个摩天轮半径为10 m,轮子的底部在地面上2 m处,如果此摩天轮按逆时针转动,每30 s转一圈,且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时.(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式.(2)在摩天轮转动的一圈内,约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m. 【答案】(1) h=10sin t+12(t≥0).(2)此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m.【解析】(1)设在t s时,摩天轮上某人在高h m处.这时此人所转过的角度为t=t,故在t s时,此人相对于地面的高度为h=10sin t+12(t≥0).(2)由10sin t+12≥17,得sin t≥,则≤t≤.故此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m.素养达成12.如图,一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行,已知圆环的半径为8 cm,圆环的圆心O距离地面的高度为10 m,蚂蚁每12分钟爬行一圈,若蚂蚁的起始位置在最低点P处.(1)试确定在时刻t(min)时蚂蚁距离地面的高度h(m).(2)在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内,有多长时间蚂蚁距离地面超过14 m?【答案】(1)h=10-8cos t(t≥0). (2)有4分钟时间蚂蚁距离地面超过14 m. 【解析】(1)设在时刻t(min)时蚂蚁达到点P,由OP在t分钟内所转过的角为t=t,可知以Ox为始边,OP为终边的角为t+π,则P点的纵坐标为8sin ,则h=8sin+10=10-8cos t,所以h=10-8cos t(t≥0).(2)h=10-8cos t≥14⇒cos t≤-⇒π+2kπ≤t≤π+2kπ(k∈Z).因为所研究的问题在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内,故不妨令t ∈[0,12],所以4≤t≤8.所以在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内,有4分钟时间蚂蚁距离地面超过14 m.《5.7 三角函数的应用》同步练习二一、选择题1．一根长的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移与时间的函数关系式是，其中是重力加速度，当小球摆动的周期是时，线长等于 ( ) A ．B ．C ．D ． 2．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．3．某人的血压满足函数关系式，其中，为血压，为时间（单位：分钟），则此人每分钟心跳的次数是 ( )A ．B ．C ．D ． 4．夏季来临，人们注意避暑．如图是某市夏季某一天从时到时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数，则该市这一天中午时cm l ()cm s ()st π3cos 3s ⎫=+⎪⎪⎭g 1 s l cm πg cm 2πg 2cm πg 2cm 4πg()d f l=()24sin 160π110f t t =+()f t t 60708090614()sin y A x B ωϕ=++12天气的温度大约是 （ ）A ．B ．C ．D ． 5．一半径为的水轮，水轮的圆心到水面的距离为，已知水轮每分钟旋转圈，水轮上的点到水面距离与时间(秒)满足函数关系式，则( )A ．，B ．，C ．，D ．，6．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为 辆／分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F （t ）=50+4sin （其中0≤t≤20）给出，F （t ）的单位是辆／分，t 的单位是分，则在下列哪个时间段内车流量是增加的 （ ） A ．[0，5] B ．[5，10] C ．[10，15] D ．[15，20]二、填空题7．电流随时间变化的关系式是，则当时，电流为8．振动量y sin(ωx ＋φ)(ω>0)的初相和频率分别是－π和，则它的相位是________．9．如图，是弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是________.25C ︒26C ︒27C ︒28C ︒1074P y x ()sin 7y A x ωϕ=++2π15ω=10A =152πω=10A =2π15ω=17A =152πω=17A =2t()A I ()s t π5sin 100π3I t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1s 200t =I 3210．某时钟的秒针端点到中心的距离为，秒针匀速绕点旋转到点，当时间时，点与钟面上标的点重合，将、两点间的距离表示成的函数，则________，其中． 三、解答题11．如图所示为一个观览车示意图，该观览车半径为，圆上最低点与地面距离为，秒转动一圈，图中与地面垂直，以为始边，逆时针转动角到，设点与地面距离为.(1)求与间关系的函数解析式；(2)设从开始转动，经过秒到达，求与间关系的函数解析式．12．某房地产开发商为吸引更多消费者购房,决定在一块闲置的扇形空地中修建一个花园.如图,已知扇形AOB 的圆心角∠AOB=,半径为R.现欲修建的花园为▱OMNH ,其中M ,H 分别在OA ,OB 上,N 在上.设∠MON=θ,▱OMNH 的面积为S.(1)将S 表示为关于θ的函数; (2)求S 的最大值及相应的θ值.A 5cm OB 0t =A 12A B ()cm d ()s t d =cm []0,60t ∈ 4.8 m 0.8 m 60OA OA θOB Bh h θOA t OB h t π4AB5.7 三角函数的应用 答案解析一、选择题1．一根长的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移与时间的函数关系式是，其中是重力加速度，当小球摆动的周期是时，线长等于 ( ) A ．B ．C ．D ． 【答案】D 【解析】∵，∴. 2．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意得：.结合图象知应该选C. 3．某人的血压满足函数关系式，其中，为血压，为时间（单位：分钟），则此人每分钟心跳的次数是 ( )A ．B ．C ．D ． 【答案】C 【解析】∵，∴. cm l ()cm s ()s t π3cos 3s ⎫=+⎪⎪⎭g 1 s l cm πg cm 2πg 2cm πg 2cm 4πgT =2π2πT ==()2cm 4πgl =()d f l =()2sin2ld f l ==()24sin 160π110f t t =+()f t t 607080902π1160π80T ==180f T==4．夏季来临，人们注意避暑．如图是某市夏季某一天从时到时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数，则该市这一天中午时天气的温度大约是 （ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】由题意以及函数的图象可知，，，所以，. ∵，∴. ∵，∴,∴. ∵图象经过点，∴，∴，∴可以取，∴.当时，，故选C.5．一半径为的水轮，水轮的圆心到水面的距离为，已知水轮每分钟旋转圈，水轮上的点到水面距离与时间(秒)满足函数关系式，则( )A ．，B ．，C ．，D ．，【答案】A 【解析】，，. 6．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为 辆／分，上班高614()sin y A x B ωϕ=++1225C ︒26C ︒27C ︒28C ︒30A B +=10A B -+=10A =20B =1462T =-16T =2πT ω=π8ω=π10sin 208y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()14,30π3010sin 14208ϕ⎛⎫=⨯++ ⎪⎝⎭πsin 1418ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭ϕ3π4π3π10sin 2084y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭12x=π3π10sin 1220102027.07842y ⎛⎫=⨯++=⨯+≈ ⎪⎝⎭1074P y x ()sin 7y A x ωϕ=++2π15ω=10A =152πω=10A =2π15ω=17A =152πω=17A =60154T ==2π15ω=10A =峰期某十字路口的车流量由函数F （t ）=50+4sin （其中0≤t≤20）给出，F （t ）的单位是辆／分，t 的单位是分，则在下列哪个时间段内车流量是增加的 （ ） A ．[0，5] B ．[5，10]C ．[10，15]D ．[15，20]【答案】C【解析】函数可看成由和合而成，那么由（）得，所以函数在（）上单调递增，当时，，此时；故选C ． 二、填空题7．电流随时间变化的关系式是，则当时，电流为 【答案】 【解析】将代入得．8．振动量ysin(ωx ＋φ)(ω>0)的初相和频率分别是－π和，则它的相位是________． 【答案】3πx －π【解析】∵f ＝，∴T ＝，∴ω＝＝3π，又φ＝－π，∴y sin(3πx －π)，∴振动量y 的相位是3πx －π. 9．如图，是弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是________.2t()()504sin 0202tF t t =+≤≤2t x =()504sin F x x =+22222t k k ππππ-≤≤+k Z ∈44k t k ππππ-≤≤+()()504sin0202tF t t =+≤≤[]4,4k k ππππ-+k Z ∈1k =[]3,5t ππ∈[][]10,153,5ππ⊆()A I ()s t π5sin 100π3I t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1s 200t =I 2.5 A 1200t =π5sin 100π3I t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 2.5 A I =323223223π【答案】y ＝2sin (52πx +π4)【解析】A ＝2，T ＝2(0.5－0.1)＝0.8，∴ω＝2π0.8＝5π2，∴y ＝2sin (5π2x +φ)，将(0.1,2)代入得：5π2×0.1＋φ＝π2，∴φ＝π4，∴y ＝2sin (5π2x +π4).10．某时钟的秒针端点到中心的距离为，秒针匀速绕点旋转到点，当时间时，点与钟面上标的点重合，将、两点间的距离表示成的函数，则________，其中． 【答案】 【解析】由题意设，其中，. ∴. 三、解答题11．如图所示为一个观览车示意图，该观览车半径为，圆上最低点与地面距离为，秒转动一圈，图中与地面垂直，以为始边，逆时针转动角到，设点与地面距离为.(1)求与间关系的函数解析式；(2)设从开始转动，经过秒到达，求与间关系的函数解析式．【答案】(1) (2)【解析】(1)过点作地面的平行线，过点作的垂线交于点．A 5cm OB 0t =A 12A B ()cm d ()s t d =cm []0,60t ∈π10sin60t 2sin 2d r t ω=5cm r =π30ω=π10sin 60d t =()cm 4.8 m 0.8 m 60OA OA θOB Bh h θOA t OB h t π5.6 4.8sin 2h θ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭[)ππ4.8sin 5.6,0,302h t t ⎛⎫=-+∈+∞ ⎪⎝⎭O ON B ON BM ON M当时，，；当，时，上述解析式也适合．综上所述，.(2)点在上逆时针运动的角速度是，∴秒转过的弧度数为， ∴．12．某房地产开发商为吸引更多消费者购房,决定在一块闲置的扇形空地中修建一个花园.如图,已知扇形AOB 的圆心角∠AOB=,半径为R.现欲修建的花园为▱OMNH ,其中M ,H 分别在OA ,OB 上,N 在上.设∠MON=θ,▱OMNH 的面积为S.(1)将S 表示为关于θ的函数; (2)求S 的最大值及相应的θ值.【答案】（1）S=R 2(cos θ-sin θ)sin θ,θ∈；（2）θ=时,S 取得最大值R 2. 【解析】分析（1）分别过N ，H 作ND ⊥OA 于D ，HE ⊥OA 于E ，则HEDN 为矩形，求出边长，即可求S 关于θ的函数关系式；（2）利用二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，通过θ的范围求出S 的最大值及相应的θ角.ππ2θ<≤π2BOM θ∠=-0.8 5.6 4.8sin π2h OA BM θ⎛+=⎫=++ ⎪⎝⎭-0π2θ≤≤π2πθ<≤π5.6 4.8sin 2h θ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭A O πrad/s 30t π30t [)ππ4.8sin 5.6,0,302h t t ⎛⎫=-+∈+∞ ⎪⎝⎭π4AB π0,4⎛⎫⎪⎝⎭π82【详解】(1)如图,过N 作NP ⊥OA 于点P ,过H 作HE ⊥OA 于点E ,∵∠AOB=, ∴OE=EH=NP=R sin θ,OP=R cos θ,∴HN=EP=OP-OE=R (cos θ-sin θ), ∴S=HN ·NP=R 2(cos θ-sin θ)sin θ,θ∈.(2)S=R 2(cos θsin θ-sin 2θ)=R 2=R 2(sin 2θ+cos 2θ-1) =R 2,∵θ∈,∴2θ+,∴当2θ+,即θ=时,S 取得最大值,且最大值为R 2.π4π0,4⎛⎫⎪⎝⎭11-cos2sin2-22θθ⎛⎫ ⎪⎝⎭1212π2-14θ⎤⎛⎫+ ⎪⎥⎝⎭⎦π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ππ3π,444⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ42=π82。
1.3三角函数的诱导公式_导学案2
1.3三角函数的诱导公式 第二课时班级 姓名 座号学习目标：1.经历诱导公式五、六的推导过程，体会数学知识的“发现”过程。
2.掌握诱导公式五、六，能初步应用公式解决一些简单的问题。
3.领会数学中转化思想的广泛性，了解诱导公式就是具有一定关系的几何特征关系的代数表示，从而对诱导公式能够达到属性结合的认识高度。
学习重点、难点：重点：诱导公式五、六的推导探究，诱导公式的应用。
难点：发现终边与角α的终边关于直线y x =对称的角与α之间的数量关系。
学习过程：一、课前完成部分：（一）复习（预习教材P26-27，找出疑惑之处,并作记号）回顾旧知，引出新课上节课我们学习了三角函数的诱导公式二到公式四，大家还记得是哪几个公式吗？回顾三角函数的诱导公式二到公式四，这几个公式分别体现了角α与角πα+、α-、πα-之间的关系，公式二： 公式三： 公式四：sin()cos()tan()παπαπα+=+=+=s i n ()c o s ()t a n ()ααα-=-=-= s i n ()c o s ()t a n ()παπαπα-=-=-=它们的记忆口诀是： （二）探究新知： 1、诱导公式五：问题1：你能画出角α关于直线y x =对称的角的终边吗？问题2：：由图象我们可以看到，与角α关于直线y x =对称 y x =的角可以表示为 2p问题 3：：如图单位圆中，假设点1p 的坐标为(,)x y ，你能说出2p 的坐标吗？请用三角函数的定义写出角2πα-的三角函数（诱导公式五）：=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-απαπ2cos 2sin预习检测1：1、化简1）⎪⎭⎫⎝⎛-βπ25sin 2） )27cos(απ-yx1-1-111(,)p x yα2、证明：ααπcos 23sin )1-=⎪⎭⎫ ⎝⎛- ααπs i n 23c o s )2-=⎪⎭⎫ ⎝⎛- 证：2、诱导公式六： 思考：同学们，角2πα+与角α又有怎样的关系呢？你仍然是画图研究吗，还是用已学的公式来探究呢？请试着写出你的推导诱导公式六过程：所以得到公式六：sin()cos 2cos()sin 2πααπαα+=+=-观察可得记忆口诀：把α看成锐角，函数名奇变偶不变，符号看象限。
高中数学三角函数的应用导学案(含答案)
三角函数的应用导学案学习目标【课前预习】1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，A ＞0，ω＞0中参数的物理意义2．三角函数模型的建立程序【课中学习】知识点1 三角函数在物理中的应用【例】电流强度I (A)随时间t (s)变化的关系式是I ＝A sin(ωt ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2.(1)若I ＝A sin(ωt ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，试根据图象写出I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)为了使I ＝A sin(ωt ＋φ)中的t 在任意一个1100 s 的时间段内电流强度I 能取得最大值与最小值，那么正整数ω的最小值是多少？[解] (1)由题图，可知A ＝300.∵T ＝160－⎝⎛⎭⎫－1300＝150，∴ω＝2πT ＝100π，∴I ＝300sin(100πt ＋φ)． 将⎝⎛⎭⎫－1300，0代入解析式，得－π3＋φ＝2k π，k ∈Z ，∴φ＝π3＋2k π，k ∈Z . ∵|φ|<π2，∴φ＝π3，∴I ＝300sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π3. (2)由题意，知2πω≤1100，∴ω≥200π，∴正整数ω的最小值为629.反思感悟处理物理学问题的策略(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性； (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题． 变式训练已知弹簧挂着的小球做上下振动，它离开平衡位置(静止时的位置)的距离h (cm)与时间t (s)的函数关系式为h ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π4.(1)求小球开始振动的位置；(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的坐标． 【解】 (1)令t ＝0，得h ＝3sinπ4＝322，所以开始振动的位置为⎝⎛⎭⎫0，322. (2)由题意知，当h ＝3时，t 的最小值为π8，即所求最高点为⎝⎛⎭⎫π8，3；当h ＝－3时，t 的最小值为5π8，即所求最低点为⎝⎛⎭⎫5π8，－3. 知识点2 三角函数在实际生活中的应用【例】某景区客栈的工作人员为了控制经营成本，减少浪费，合理安排入住游客的用餐，他们通过统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人； ③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．(1)若入住客栈的游客人数y 与月份x 之间的关系可用函数y ＝f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0，0＜|φ|＜π)近似描述，求该函数解析式；(2)哪几个月份要准备不少于400人的用餐？[解] (1)因为函数为y ＝f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0，0＜|φ|＜π)， 由①，得周期T ＝2πω＝12，所以ω＝π6.由②，得f (2)最小，f (8)最大，且f (8)－f (2)＝400，故A ＝200. 由③，得f (x )在[2，8]上递增，且f (2)＝100，所以f (8)＝500，所以⎩⎪⎨⎪⎧－A ＋b ＝100，A ＋b ＝500，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝200，b ＝300.因为f (2)最小，f (8)最大，所以⎩⎨⎧sin ⎝⎛⎭⎫π6×2＋φ＝－1，sin ⎝⎛⎭⎫π6×8＋φ＝1.由于0＜|φ|＜π，因此φ＝－5π6，所以入住客栈的游客人数y 与月份x 之间的关系式为 y ＝f (x )＝200sin ⎝⎛⎭⎫π6x －5π6＋300(x ∈N *，且1≤x ≤12)． (2)由条件可知200sin ⎝⎛⎭⎫π6x －5π6＋300≥400，化简得sin ⎝⎛⎭⎫π6x －5π6≥12，所以2k π＋π6≤π6x －5π6≤2k π＋5π6(k ∈Z )．解得12k ＋6≤x ≤12k ＋10(k ∈Z )．因为x ∈N *，且1≤x ≤12，所以x ＝6，7，8，9，10. 即只有6，7，8，9，10五个月份要准备不少于400人的食物． 反思感悟解三角函数应用问题的基本步骤变式训练 国际油价在某一时间内呈现正弦波动规律：P ＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωπt ＋π4＋60(单位：美元，t 为天数，A >0，ω>0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t ＝150时，油价最低，则A 的值为________，ω的最小值为________．解析：由A ＋60＝80得A ＝20.因为当t ＝150时油价最低，所以150ωπ＋π4＝－π2＋2k π，k ∈Z ，即ω＝k 75－1200，又ω>0，所以当k ＝1时，ω取得最小值，此时ω＝175－1200＝1120.答案：20 1120知识点3 三角函数模型拟合【例】某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y (米)随着时间t (0≤t ≤24，单位：小时)呈周期性变化，每天各时刻t 的浪高数据的平均值如表：(1)从y ＝at ＋b ，y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b ，y ＝A cos(ωt ＋φ)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；(2)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．[解] (1)由数据知选择y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b 较合适．令A >0，ω>0，|φ|<π.可知A ＝25，b ＝1，T ＝12，所以ω＝2πT ＝π6.把t ＝0，y ＝1代入y ＝25sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋φ＋1，得φ＝0.故所求拟合模型的解析式为y ＝25sin π6t ＋1(0≤t ≤24)． (2)由y ＝25sin π6t ＋1≥0.8，得sin π6t ≥－12，则－π6＋2k π≤π6t ≤7π6＋2k π(k ∈Z )，即12k －1≤t ≤12k ＋7(k ∈Z )，注意到t ∈[0，24]，所以0≤t ≤7或11≤t ≤19或23≤t ≤24，再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当． 反思感悟根据收集的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，然后利用这个模型解决实际问题． 变式训练一物体相对于某一固定位置的位移y (cm)和时间t (s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置y 和时间t 之间的关系的一个三角函数式为________.解析：设y ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0)，则从表中数据可以得到A ＝4，ω＝2πT ＝2π0.8＝5π2，又由4sin φ＝－4.0，得sin φ＝－1，取φ＝－π2，故y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫5π2t －π2，即y ＝－4cos 5π2t .课堂练习：1．简谐运动y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫5x －π3的相位与初相是( )A ．5x －π3，π3B ．5x －π3，4C ．5x －π3，－π3D ．4，π3解析：选C 相位是5x －π3，当x ＝0时的相位为初相即－π3.2．已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x －5π4＋20，x ∈[4，16]．(1)求该地区这一段时间内的最大温差；(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？解：(1)x ∈[4，16]，则π8x －5π4∈⎣⎡⎦⎤－3π4，3π4.由函数解析式易知，当π8x －5π4＝π2，即x ＝14时，函数取得最大值，最大值为30，即最高温度为30 ℃；当π8x －5π4＝－π2，即x ＝6时，函数取得最小值，最小值为10，即最低温度为10 ℃，所以最大温差为30－10＝20(℃)．(2)令10sin ⎝⎛⎭⎫π8x －5π4＋20＝15，可得sin ⎝⎛⎭⎫π8x －5π4＝－12，而x ∈[4，16]，所以x ＝263.令10sin ⎝⎛⎭⎫π8x －5π4＋20＝25，可得sin ⎝⎛⎭⎫π8x －5π4＝12，而x ∈[4，16]，所以x ＝343. 故该细菌在这段时间内能存活343－263＝83(小时)课堂小结： 1. 2. 3.【课后练习】课本249页，习题1,2,3,4。
1.3 三角函数的计算 导学案(有答案)
1.3使用计算器进行三角函数的计算导学案班级：_____________姓名：_____________一、学习目标1、会用计算器由角求三角函数值，由三角函数值求角二、自主探究：阅读课本p14-16如图1-11，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α=16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？解：用计算器求三角函数时，结果一般有10个数位，本书约定，如无特别说明，计算结果一般精确到万分位。
三．随堂练习2.一个人由山底爬到山顶，需要先爬40°的山坡300m,再爬30°的山坡100米，求山高（结果精确到0.1m）3.求图中避雷针CD的长度（结果精确到0.01m）四．当堂测试1.用计算器求下列各式的值：（1）tan32°（2）cos24.53°（3）sin62°11’(4)tan39°39’39’’2.如图，物华大厦离小伟家60m,小伟从自家的窗中眺望大厦，并测得大厦顶部的仰角是45°，而大厦底部的俯角是37°，求该大厦的高度（结果精确到0.1m）答案：三．随堂练习1.略2.解：300×sin40+100×sin30=242.8 m答：山高242.8 m3.解：在直角△ABC中，AB=20，∠CAB=50°，BC= AB×tan50°在直角△ABD中，AB=20，∠DAB=56°，BD= AB×tan56°所以CD=DB-CB=AB×tan56°-AB×tan50°=20×（tan56°-tan50°）≈5.82米答：图中避雷针CD的长度是5.82米四．当堂测试1.略2.解：如图所示，在Rt△ADE中，∵∠DAE﹦45°，AE﹦60m∴DE﹦AE﹦60m．在RtRt△AEC中，∵∠CAE﹦37°，AE﹦60m，答：该大厦的高度约为105.2m．。
三角函数、解三角形 第3课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 导学案
第3课 两角和与差的正弦、余弦和正切公式【学习目标】掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公式. 【预习单】1．若cos α＝－45.α是第三象限的角，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________．2.sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝________．3．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°·tan 40°＝________． 4.已知tan =37，tan π6β⎛⎫+ ⎪⎝⎭=25，那么tan(α+β)= .【活动单】例1（1）已知sin α=23，cos β=-34，且α，β都是第二象限角，求cos(α-β)的值.（2）计算：000000sin7cos15sin8cos7-sin15sin8+⋅⋅= .（3） 若α，β均为钝角，且sin α=5，cos β=-10，则α+β= .例2.已知α∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，且sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13，则sin α＝______，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝______．例3.化简：tan(18°-x)tan(12°+x)+-x)+tan(12°+x)]=.练习：在非直角三角形ABC 中， 若角A ，B ，C 成等差数列，且tan Atan C=2+tan A 的值.【巩固单】1.在平面直角坐标系xOy 中,角α的顶点为O ,始边与x 轴正半轴重合,终边过点(-,-),则sin =( )A. B.- C. D.2.若0<α<,-<β<0,cos ,cos ,则cos 等于( )A. B.- C. D.-3.函数f (x )=cos x-sin -sin 在[0,π]的值域为( )A.[-1,1]B.[-2,1]C.[-2,2]D.4.若α+β=,则tan α·tan β-tan α-tan β的值为( )A. B.1 C.-1 D.-5.若cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－33，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋cos α＝( )A ．－223B ．±223 C ．－1 D ．±1 6.4sin 80°-=( ) A.B.-C.D.2-37.对于集合{a 1，a 2，…，a n }和常数a 0，定义：ω＝sin 2（a 1－a 0）＋sin 2（a 2－a 0）＋…＋sin 2（a n －a 0）n为集合{a 1，a 2，…，a n }相对a 0的“正弦方差”，则集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2，5π6，7π6相对a 0的“正弦方差”为( )A.12B.13C.14 D ．与a 0有关的一个值8.(多选)下列选项中,值为的是( )A.cos 72°·cos 36°B.sin sinC.D.cos 215°9．若tan α＝3，tan(α－β)＝2，则tan β＝________．10.计算：sin 75°·cos 30°-sin 15°·sin 150°= .11. 求值：tan 20°+tan 40°+3tan 20°tan 40°=.12.已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β＝________.13.已知tan α=3tan ,则= .14.已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45.若角β满足sin(α＋β)＝513，则cos β的值为________．15. 若cos(α+β)=45，sin(α-β)=35，且3π2<α+β<2π，π2<α-β<π，求cos 2β 的值.16.已知α，β，γ均为锐角，且tan α=4，tan β=711，tan γ=12，求α+β+γ的值.【反思单】第3课 两角和与差的正弦、余弦和正切公式【学习目标】掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式. 【知识梳理】1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin__αcos____β±cos__αsin____β； cos(α∓β)＝cos__αcos____β±sin__αsin____β；tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β⎝⎛⎭⎫α±β，α，β均不为k π＋π2，k ∈Z . [三角函数公式的变形]（1）公式变形:tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan α·tan β). （2）辅助角公式:a sin x+b cos x=sin(x+φ)(a 2+b 2≠0),其中sin φ=,cos φ=.2．三角函数公式关系【预习单】1．若cos α＝－45.α是第三象限的角，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________．解析：因为α是第三象限角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－35，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－35×22＋⎝⎛⎭⎫－45×22＝－7210.答案：－72102.sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝________．解析：sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58° ＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58° ＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77° ＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝22.答案：223．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°·tan 40°＝________． 解析：因为tan 60°＝tan(20°＋40°)＝tan 20°＋tan 40°1－tan 20°tan 40°， 所以tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°) ＝3－3tan 20°tan 40°，所以原式＝3－3tan 20°tan40°＋3tan 20°tan 40°＝ 3.答案： 3 4.已知tan π-6α⎛⎫ ⎪⎝⎭=37，tan π6β⎛⎫+ ⎪⎝⎭=25，那么tan(α+β)= . 1[易错纠偏](1)不会逆用公式，找不到思路； (2)不会合理配角出错； (3)忽视角的范围用错公式． 【活动单】考点一：利用两角和(差)公式进行化简、求值 例1（1）已知sin α=23，cos β=-34，且α，β都是第二象限角，求cos(α-β)的值.（2）计算：000000sin7cos15sin8cos7-sin15sin8+⋅⋅= . 2-（3） 若α，β均为钝角，且sin cos β=，则α+β= .7π4考点二：目标角与已知角之间的变换例2.已知α∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，且sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13，则sin α＝______，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝______．【解析】因为α∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，所以0<α－π6<π3， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－19＝223，所以sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π6＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎫α－π6sin π6＝13×32＋223×12＝3＋226， cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π6＋π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－13. 考点三：公式的逆用及变形 例3.化简：tan(18°-x)tan(12°+x)+3[tan(18°-x)+tan(12°+x)]=.1练习：在非直角三角形ABC 中， 若角A ，B ，C 成等差数列，且tan Atan C=2+3，求tan A 的值.tan A=1或tan A=2+3.【巩固单】1.在平面直角坐标系xOy 中,角α的顶点为O ,始边与x 轴正半轴重合,终边过点(-,-),则sin =( )A. B.- C. D.解析:∵在平面直角坐标系xOy 中,角α的顶点为O ,始边与x 轴正半轴重合,终边过点(-,-),∴sinα==-,cos α==-,则sin =-sin =-sin αcos -cos αsin .故选D .2.若0<α<,-<β<0,cos ,cos ,则cos 等于( )A. B.- C. D.-解析cos=cos=cos cos+sin sin.∵0<α<,则+α<,∴sin.又-<β<0,则,∴sin.故cos.故选C.3.函数f(x)=cos x-sin-sin在[0,π]的值域为()A.[-1,1]B.[-2,1]C.[-2,2]D.解：f(x)=cos x-sin x-cos x-sin x+cos x=cos x-sin x=2cos∵0≤x≤π,x+,则当x+=π时,函数取得最小值2cos π=-2,当x+时,函数取得最大值2cos=2=1,即函数的值域为[-2,1].故选B.4.若α+β=,则tan α·tan β-tan α-tan β的值为()A. B.1C.-1D.-解析:∵α+β=,∴tan(α+β)==tanπ-=-,可得tan α+tan β=-(1-tan αtan β),∴tan α·tan β-tan α-tan β=tan αtan β-(tan α+tan β)=tan αtan β+tan αtan β=.故选A .5.若cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－33，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋cos α＝( )A ．－223B ．±223 C ．－1 D ．±1解析：选C cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋cos α＝12cos α＋32sin α＋cos α＝32cos α＋32sin α＝3cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－1. 6.4sin 80°-=( ) A.B.-C.D.2-3解：4sin 80°-====-故选B .7.对于集合{a 1，a 2，…，a n }和常数a 0，定义：ω＝sin 2（a 1－a 0）＋sin 2（a 2－a 0）＋…＋sin 2（a n －a 0）n为集合{a 1，a 2，…，a n }相对a 0的“正弦方差”，则集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2，5π6，7π6相对a 0的“正弦方差”为( )A.12B.13C.14D ．与a 0有关的一个值解析：选A.集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2，5π6，7π6相对a 0的“正弦方差”ω＝sin 2⎝⎛⎭⎫π2－a 0＋sin 2⎝⎛⎭⎫5π6－a 0＋sin 2⎝⎛⎭⎫7π6－a 03＝cos 2a 0＋sin 2⎝⎛⎭⎫π6＋a 0＋sin 2⎝⎛⎭⎫π6－a 03＝cos 2a 0＋⎝⎛⎭⎫12cos a 0＋32sin a 02＋⎝⎛⎭⎫12cos a 0－32sin a 023＝cos 2a 0＋12cos 2a 0＋32sin 2a 03＝32（sin 2a 0＋cos 2a 0）3＝12. 8.(多选)下列选项中,值为的是( )A.cos 72°·cos 36°B.sin sinC. D.cos 215°解析: (1)对于A,cos 36°·cos 72°=,故A 正确;对于B,sin sin =sin cos 2sin cos sin ,故B 正确;对于C,原式==4,故C 错误; 对于D,cos 2 15°=-(2cos 2 15°-1)=-cos 30°=-,故D 错误.故选AB . 9．若tan α＝3，tan(α－β)＝2，则tan β＝________．解析：tan β＝tan[α－(α－β)] ＝tan α－tan （α－β）1＋tan αtan （α－β）＝3－21＋3×2＝17.答案：1710.计算：sin 75°·cos 30°-sin 15°·sin 150°= . 22 11. 求值：tan 20°+tan 40°+3tan 20°tan 40°= .312.已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β＝________.解析：因为sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，所以sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cos αsin β＝13，所以sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，所以tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝5.答案：513.已知tan α=3tan ,则= .解：tan α=3tan ,则14.已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45.若角β满足sin(α＋β)＝513，则cos β的值为________．[解析] 由角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45，得sin α＝－45，cos α＝－35.由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以cos β＝－5665或cos β＝1665.15. 若cos(α+β)=45，sin(α-β)=35，且3π2<α+β<2π，π2<α-β<π，求cos 2β 的值.-1. 16.已知α，β，γ均为锐角，且tan α=4，tan β=711，tan γ=12，求α+β+γ的值. 所以α+β+γ=3π4.【反思单】。
北师大版数学必修四：《两角和与差的三角函数的应用》导学案(含解析)
第4课时两角和与差的三角函数的应用1.能够熟练运用两角和与差的正弦、余弦和正切公式进行化简、求值、证明.2.强化学生在三角函数中的计算能力.3.培养学生整体换元的思想.前面我们共同学习了两角和与差的正弦、余弦和正切公式,并能进行简单的论证,两角和与差的正弦、余弦和正切公式,是对第一章三角函数的进一步巩固,也是与第二章平面向量的交汇点,又是解三角形必备的重要知识点.这一讲我们将进一步共同探究两角和与差的正弦、余弦和正切公式的综合应用,思考并回答下面几个问题.问题1:两角和与差的正弦、余弦和正切公式:C(α-β):=cos α·cos β+sin α·sin β;C(α+β):=cos α·cos β-sin α·sin β;S(α-β):sin(α+β)=;S(α+β):sin(α-β)=;T(α-β):tan(α-β)=;T(α+β):tan(α+β)=.问题2:两角和与差的正切公式的常用变形(1)tan α+tan β=;tan α-tan β=;(2)tan αtan β=1-=-1;(3)tan(α+β)-(tan α+tan β)=;(4)tan(α-β)-(tan α-tan β)=.问题3:常用的角的变换形式α=-β=β-;α=[(α+β)+]=[(α+β)-];(α+β)=(α-β)-(α-β);α-γ=+(β-γ).其中α、β、γ为任意角.问题4:辅助角公式a sin α+b cos α=sin(α+φ)=cos(α-θ),其中角φ、θ称为辅助角,由a,b的值唯一确定(tan φ=,tan θ=).1.sin 45°cos 15°+cos 225°sin 15°的值为().A.-B.-C.D.2.若0<α<,-<β<0,cos(+α)=,cos(-)=,则cos(α+)=().A.B.- C. D.-3.已知cos(α+)=,α∈(0,),则cos α=.4.若3sin x-cos x=2sin(x+φ),φ∈(-π,π),求φ的值.利用两角和与差的三角公式化简或求值(1)化简:;(2)求值:[2sin 50°+sin 10°(1+tan 10°)]·.两角和与差的三角公式在解三角形中的应用已知锐角△ABC中,sin(A+B)=,sin(A-B)=.(1)求证:tan A=2tan B;(2)设AB=3,求AB边上的高.利用两角和与差的公式求角已知α、β都是锐角,且sin α=,sin β=,求α+β.计算sin 43°cos 13°-sin 13°cos 43°的值等于().A.B.C.D.在△ABC中,已知tan A,tan B是方程3x2+8x-1=0的两个根,则tan C等于().A.2B.-2C.4D.-4若sin A=,sin B=,且A、B均为钝角,求A+B的值.1.sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-·cos(θ+15°)的值等于().A.0B.C.D.-2.已知cos(x-)=-,则cos x+cos(x-)的值是().A.-B.±C.-1D.±13.在△ABC中,角A、B、C满足sin B cos A=sin C cos A+cos C sin A,则cos A=.4.已知0<β<<α<,cos(-α)=,sin(+β)=,求sin(α+β)的值.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边的两个锐角为α,β,它们的终边分别交单位圆于A,B两点,已知A,B两点的横坐标分别是和.(1)求tan(α+β)的值;(2)求α+2β的值.考题变式(我来改编):第4课时两角和与差的三角函数的应用1.能够熟练运用两角和与差的正弦、余弦和正切公式进行化简、求值、证明.2.强化学生在三角函数中的计算能力.3.培养学生整体换元的思想.前面我们共同学习了两角和与差的正弦、余弦和正切公式,并能进行简单的论证,两角和与差的正弦、余弦和正切公式,是对第一章三角函数的进一步巩固,也是与第二章平面向量的交汇点,又是解三角形必备的重要知识点.这一讲我们将进一步共同探究两角和与差的正弦、余弦和正切公式的综合应用,思考并回答下面几个问题.问题1:两角和与差的正弦、余弦和正切公式:C(α-β):=cos α·cos β+sin α·sin β;C(α+β):=cos α·cos β-sin α·sin β;S(α-β):sin(α+β)=;S(α+β):sin(α-β)=;T(α-β):tan(α-β)=;T(α+β):tan(α+β)=.问题2:两角和与差的正切公式的常用变形(1)tan α+tan β=;tan α-tan β=;(2)tan αtan β=1-=-1;(3)tan(α+β)-(tan α+tan β)=;(4)tan(α-β)-(tan α-tan β)=.问题3:常用的角的变换形式α=-β=β-;α=[(α+β)+]=[(α+β)-];(α+β)=(α-β)-(α-β);α-γ=+(β-γ).其中α、β、γ为任意角.问题4:辅助角公式a sin α+b cos α=sin(α+φ)=cos(α-θ),其中角φ、θ称为辅助角,由a,b的值唯一确定(tan φ=,tan θ=).1.sin 45°cos 15°+cos 225°sin 15°的值为().A.-B.-C.D.2.若0<α<,-<β<0,cos(+α)=,cos(-)=,则cos(α+)=().A.B.- C. D.-3.已知cos(α+)=,α∈(0,),则cos α=.4.若3sin x-cos x=2sin(x+φ),φ∈(-π,π),求φ的值.利用两角和与差的三角公式化简或求值(1)化简:;(2)求值:[2sin 50°+sin 10°(1+tan 10°)]·.两角和与差的三角公式在解三角形中的应用已知锐角△ABC中,sin(A+B)=,sin(A-B)=.(1)求证:tan A=2tan B;(2)设AB=3,求AB边上的高.利用两角和与差的公式求角已知α、β都是锐角,且sin α=,sin β=,求α+β.计算sin 43°cos 13°-sin 13°cos 43°的值等于().A.B.C.D.在△ABC中,已知tan A,tan B是方程3x2+8x-1=0的两个根,则tan C等于().A.2B.-2C.4D.-4若sin A=,sin B=,且A、B均为钝角,求A+B的值.1.sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-·cos(θ+15°)的值等于().A.0B.C.D.-2.已知cos(x-)=-,则cos x+cos(x-)的值是().A.-B.±C.-1D.±13.在△ABC中,角A、B、C满足sin B cos A=sin C cos A+cos C sin A,则cos A=.4.已知0<β<<α<,cos(-α)=,sin(+β)=,求sin(α+β)的值.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边的两个锐角为α,β,它们的终边分别交单位圆于A,B两点,已知A,B两点的横坐标分别是和.(1)求tan(α+β)的值;(2)求α+2β的值.考题变式(我来改编):第4课时两角和与差的三角函数的应用1.能够熟练运用两角和与差的正弦、余弦和正切公式进行化简、求值、证明.2.强化学生在三角函数中的计算能力.3.培养学生整体换元的思想.前面我们共同学习了两角和与差的正弦、余弦和正切公式,并能进行简单的论证,两角和与差的正弦、余弦和正切公式,是对第一章三角函数的进一步巩固,也是与第二章平面向量的交汇点,又是解三角形必备的重要知识点.这一讲我们将进一步共同探究两角和与差的正弦、余弦和正切公式的综合应用,思考并回答下面几个问题.问题1:两角和与差的正弦、余弦和正切公式:C(α-β):=cos α·cos β+sin α·sin β;C(α+β):=cos α·cos β-sin α·sin β;S(α-β):sin(α+β)=;S(α+β):sin(α-β)=;T(α-β):tan(α-β)=;T(α+β):tan(α+β)=.问题2:两角和与差的正切公式的常用变形(1)tan α+tan β=;tan α-tan β=;(2)tan αtan β=1-=-1;(3)tan(α+β)-(tan α+tan β)=;(4)tan(α-β)-(tan α-tan β)=.问题3:常用的角的变换形式α=-β=β-;α=[(α+β)+]=[(α+β)-];(α+β)=(α-β)-(α-β);α-γ=+(β-γ).其中α、β、γ为任意角.问题4:辅助角公式a sin α+b cos α=sin(α+φ)=cos(α-θ),其中角φ、θ称为辅助角,由a,b的值唯一确定(tan φ=,tan θ=).1.sin 45°cos 15°+cos 225°sin 15°的值为().A.-B.-C.D.2.若0<α<,-<β<0,cos(+α)=,cos(-)=,则cos(α+)=().A.B.- C. D.-3.已知cos(α+)=,α∈(0,),则cos α=.4.若3sin x-cos x=2sin(x+φ),φ∈(-π,π),求φ的值.利用两角和与差的三角公式化简或求值(1)化简:;(2)求值:[2sin 50°+sin 10°(1+tan 10°)]·.两角和与差的三角公式在解三角形中的应用已知锐角△ABC中,sin(A+B)=,sin(A-B)=.(1)求证:tan A=2tan B;(2)设AB=3,求AB边上的高.利用两角和与差的公式求角已知α、β都是锐角,且sin α=,sin β=,求α+β.计算sin 43°cos 13°-sin 13°cos 43°的值等于().A.B.C.D.在△ABC中,已知tan A,tan B是方程3x2+8x-1=0的两个根,则tan C等于().A.2B.-2C.4D.-4若sin A=,sin B=,且A、B均为钝角,求A+B的值.1.sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-·cos(θ+15°)的值等于().A.0B.C.D.-2.已知cos(x-)=-,则cos x+cos(x-)的值是().A.-B.±C.-1D.±13.在△ABC中,角A、B、C满足sin B cos A=sin C cos A+cos C sin A,则cos A=.4.已知0<β<<α<,cos(-α)=,sin(+β)=,求sin(α+β)的值.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边的两个锐角为α,β,它们的终边分别交单位圆于A,B两点,已知A,B两点的横坐标分别是和.(1)求tan(α+β)的值;(2)求α+2β的值.考题变式(我来改编):答案第4课时两角和与差的三角函数的应用知识体系梳理问题1:cos(α-β)cos(α+β)sin α·cos β+cos α·sin βsin α·cos β-cos α·sin β问题2:(1)tan(α+β)(1-tan αtan β)tan(α-β)(1+tan αtan β)(2)(3)tan(α+β)tan αtan β(4)-tan(α-β)tan αtan β问题3:(α+β)(β-α)(α-β)(β-α)(α-β)基础学习交流1.C原式=sin 45°cos 15°-cos 45°sin 15°=sin(45°-15°)=.2.C cos(α+)=cos[(+α)-(-)]=cos(+α)cos(-)+sin(+α)sin(-),而+α∈(,),-∈(,),∴sin(+α)=,sin(-)=,∴cos(α+)=×+×=.3.∵α∈(0,),∴α+∈(,),∴sin(α+)=,∴cos α=cos[(α+)-]=cos(α+)cos+sin(α+)sin=×+×=.4.解:3sin x-cos x=2(sin x-cos x)=2sin(x-),又∵φ∈(-π,π),∴φ=-.重点难点探究探究一:【解析】(1)原式===tan 15°=tan(60°-45°)===2-.(2)原式=(2sin 50°+sin 10°×)·sin 80°=(2sin 50°+2sin 10°×)×cos 10°=2[sin 50°·cos 10°+sin 10°·cos(60°-10°)]=2sin(50°+10°)=2×=.【小结】对于给角求值问题,往往所给角都是非特殊角,解决这类问题的基本思路有:①化为特殊角的三角函数值;②化为正、负相消的项,消去求值;③化分子、分母出现公约数进行约分求值.探究二:【解析】(1)∵sin(A+B)=,sin(A-B)=,∴⇒⇒==2,∴tan A=2tan B.(2)∵<A+B<π,sin(A+B)=,∴ tan(A+B)=-,即=-,将tan A=2tan B代入上式并整理,得2tan2B-4tan B-1=0,解得tan B=,舍去负值,得tan B=,∴ tan A=2tan B=2+.设AB边上的高为CD,则AB=AD+DB=+=,由AB=3,得CD=2+,∴AB边上的高等于2+.【小结】利用三角函数公式解三角形问题时,不仅要考虑使公式本身有意义的角度范围,还要考虑三角形内角需满足的要求.探究三:【错解】∵0<α<,0<β<,∴ 0<α+β<π,又∵cos α=,cos β=,∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=×+×=,又∵0<α+β<π,∴α+β=或.[问题]α+β会等于吗?[结论]通过求三角函数值求角度时,最好求角度范围内是单调函数的三角函数值,可避免进一步讨论或出错.α+β≠,∵α、β都是锐角,sin α=<,sin β=<,∴0<α<,0<β<,0<α+β<.于是,正确解答如下:∵0<α<,0<β<,∴ 0<α+β<π,又∵cos α=,cos β=,∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=.又∵在0~π之间,余弦值为的角只有,∴α+β=.思维拓展应用应用一:A原式=sin(43°-13°)=sin 30°=,故选A.应用二:A根据韦达定理,有tan A+tan B=-,tan A tan B=-,则tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=-=2.应用三:∵A、B均为钝角且sin A=,sin B=,∴cos A=-=-=-,cos B=-=-=-.∴cos(A+B)=cos A cos B-sin A sin B=-×(-)-×=.①又∵<A<π,<B<π,∴π<A+B<2π.②由①②,知A+B=.基础智能检测1.A原式=sin[(θ+45°)+30°]+cos(θ+45°)-·cos[(θ+45°)-30°]=sin(θ+45°)+cos(θ+45°)+cos(θ+45°)-cos(θ+45°)-sin(θ+45°)=0.2.C cos x+cos(x-)=cos x+cos x+sin x=cos x+sin x=(cos x+sin x)=cos(x-)=-1.3.sin B cos A=sin C cos A+cos C sin A⇒sin B cos A=sin(C+A)=sin B,又sin B≠0,所以cos A=.4.解:∵0<β<<α<,∴<+α<π,<+β<π.又cos(-α)=sin(+α)=,∴cos(+α)=-=-,cos(+β)=-=-.∴sin[π+(α+β)]=sin[(+α)+(+β)]=sin(+α)cos(+β)+cos(+α)sin(+β)=×(-)-×=-.∴sin(α+β)=.全新视角拓展(1)由单位圆中三角函数的定义,可得cos α=,cos β=.由于α,β为锐角,所以sin α==,sin β==.从而tan α=7,tan β=,所以tan(α+β)===-3.(2)因为tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]===-1,又0<α<,0<β<,所以0<α+2β<,从而α+2β=.思维导图构建sin(x+φ)cos(x-θ)。
北师大版九年级数学下册1.3三角函数的有关计算(第二课时)导学案
5、(40分)某段公路每前进100米，路面就升高4米，求这段公路的坡角.
课后作业：
课本第22页，习题1.5，知识技能，1；问题解决，2.
教师评价：
补案：
哲觉中学九年级数学学科导学案(个案)
主备人：苏勇审核人：审批人：编号：
执教人：苏勇使用时间：2013年12月09日学生姓名：班级：九年级(2)班
课题：
1.3、三角函数的有关计算(第二课时)
课型：
新授课
教师复备栏或学生笔记栏
学习目标：
1、能够运用计算器由三角函数值求相应锐角;
2、能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题;
3、积极参与数学活动，体会解决问题后的快乐.
学习重点、难点：
重点：用计算器由已知三角函数值求锐角.
难点：用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.
知识链接：
三角函数的定义.
科学计算器的使用方法.
学法指导：
自主学习和小组讨论′，1′=″.
2、在Rt△ABC中，∠A为锐角，则sinA=，cosA=，tanA=.
即学即用
1．现在，你能求出上面的斜道的倾斜角∠A的度数了吗?
2．用计算器求下列锐角θ的大小:
探究二：
例1如图，工件上有一V形槽.测得它的上口宽20mm，深19.2mm.求V形角(∠ACB)的大小.(结果精确到1°)
解:
例2如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤.在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤.已知肿瘤在皮下6.3cm的A处，射线从肿瘤右侧9.8cm的B处进入身体，求射线的入射角度.
解:
高中数学 1.2 任意角的三角函数导学案 新人教A版必修4 学案
某某省某某市三水区实验中学高中数学 1.2 任意角的三角函数导学案新人教A版必修4【学习目标】1.掌握任意角的三角函数的定义。
2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值。
【重点难点】1. 熟练求值。
2. 理解任意角的三角函数的定义。
【预习指导】1．阅读教材第11～13页。
2．回顾初中学过的锐角三角函数的定义？（如图）在Rt△ABC中，sinA= ,cosA= , tanA= .3．思考：你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？点的位置对这三个比值有影响吗？4．在平面直角坐标系中，我们称以______为圆心，以__________为半径的圆为单位圆。
【合作探究】1. 例题研讨：例1：求下列各角的正弦、余弦、正切值：π、4π、3π、53π(讨论求法→试求（学生板演）→订正)ABC→小结：画角的终边与单位圆，求交点，求值.例2：已知角α的终边经过点P(-4,-3)，求角α的正弦、余弦和正切值.（学生试求→订正→小结解法）2. 任意角的三角函数的定义：①思考：已知角α终边上任意一点P (x, y)，如何求它的三角函数值呢?②定义：一般地，设角α终边上任意一点的坐标为P (x，y)，它与原点的距离为r，则sinα＝；cosα＝；tanα＝.③讨论：这三个比值与点P的位置是否有关？当α的终边落在x轴、y轴上时，哪些三角函数值无意义？任何实数是不是都有三角函数值？为什么？【达标测评】(参考《全优》P7)1.若角α终边上有一点P(0,3)，则下列函数值无意义的是() A．tan α B．sin αC．cos α D．无法确定2.已知角α的终边经过点P(m,-3)，且cosα=-45,则m等于( )A．－114 B.114C．-4 D．43.若点P(4，y)是角α终边上一点，且sin α＝－35，则y的值是________．【归纳小结】单位圆定义任意角的三角函数；2.由终边上任一点求任意角的三角函数；【巩固练习】（各班可按实际情况安排）1．练习：教材P15：1，3；2．作业：教材P15：2.第二课时：任意角的三角函数（二）【学习目标】1. 掌握各象限的三角函数值的符号。
三角函数的计算 导学案
榆中五中“三导六部”课堂教学模式导学案班级： 姓名： 组长：§1.3三角形的计算 学习目标：1. 经历用计算器由已知锐角求三角函数的过程，进一步体会三角函数的意义.2. 能够用计算器进行有关三角函数值的计算.能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题. 教学过程： 一、复习引入 活动内容：直角三角形的边角关系：三边的关系: ，两锐角的关系: .边与角的关系:锐角三角函数，特殊角30°,45°,60°的三角函数值.引入问题：1、你知道sin16°等于多少吗？二、探索新知 活动内容一：1.用科学计算器求一般锐角的三角函数值. 用科学计算器求三角函数值，要用到和键.我们对下面几个角的三角函数sin16°，cos72°38′25″和tan85°的按键顺序如下表所示.1sin A ?4A =∠=2、已知则用计算器求三角函数值时，结果一般有10个数位,我们的教材中有一个约定.如无特别说明，计算结果一般精确到万分位.下面就请同学们利用计算器求出本节刚开始提出的问题.用计算器求得BC＝sin16°≈0.2756.[问题]如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200米，已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠a＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少?对问题进一步探索：当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200 m，缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角是∠β＝42°，由此你能想到还能计算什么?缆车从A→B→D移动的水平距离为BE+AC＝192.23+148.63=340.86(米).活动内容二：[问题]随着人民生活水平的提高，私家小轿车越来越多，为了交通安全及方便行人推车过天桥，某市政府要在10 m高的天桥两端修建40m长的斜道.请问这条斜道的倾斜角是多少? (如下图所示)sinA ＝41AC BC ，再求∠A ，把这个问题归结为“已知三角函数值求相应锐角的大小”.活动内容：练习掌握已知三角函数值求角度，要用到、、键的第二功能 “sin -1,cos -1,tan -1”和键.例如： ①已知sinA ＝0.9816，求锐角A. ②已知cosA ＝0.8607，求锐角A. ③已知tanA ＝56.78，求锐角A. 按键顺序如下表:上表的显示结果是以“度”为单位的.再按 键即可显示以“度、分、秒”为单位的结果.这一环节的引例中sinA=41＝0.25.按键顺序为.活动内容（练一练）：1、用计算器求下列各式的值.(1)sin56°；(2)cos20.5°；(3)tan44°59′59″；(4)sin15°+cos61°+tan76°.(以小组为单位，展开竞赛，看哪一组既快又准确)2.已知sinθ＝0.82904，求锐角θ的大小.三：例题讲解例1.求图中避雷针的长度(结果精确到0.01m).四：随堂练习练习1：某水库大坝的横断面是梯形ABCD,坝顶宽CD=3m,斜AD=16m,坝高8m,斜坡BC的坡比为1:3,求斜坡BC的坡角∠B和坝底宽AB.A BN2. 如图,根据图中已知数据,求△ABC的面积.B C。
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§1-3 三角函数的有关计算学习目标1.经历用由三角函数值求相应锐角的过程，进一步体会三角函数的意义.2.能够利用计算器进行有关三角函数值的计算.3.能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题. 学习重点1.用计算器由已知三角函数值求锐角.2.能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题. 学习难点用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题. 学习过程 一、引入新课已知tanA ＝56.78，求锐角A.（ 上表的显示结果是以“度”为单位的.再按 键即可显示以“度、分、秒”为单位的结果.） 二、习题训练1.根据下列条件求锐角θ的大小：(1)tan θ＝2.9888； (2)sin θ=0.3957； (3)cos θ＝0.7850； (4)tan θ＝0.8972； (5) tan θ=22.3 (6) sin θ＝0.6；(7)cos θ＝0.2 （8）tan θ=3； (9) sin θ＝232.某段公路每前进100米，路面就升高4米，求这段公路的坡角.解：sin α＝1004=0.04，α＝2°17′33″. 3.运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.[例1]如图，工件上有-V 形槽.测得它的上口宽加20 mm 深19.2mm 。
求V 形角(∠ACB)的大小.(结果精确到1°)分析：根据题意，可知AB ＝20 mm ，CD ⊥AB ，AC ＝BC ，CD=19.2 mm ， 要求∠ACB ，只需求出∠ACD(或∠DCB)即可. 解：tanACD=2.1910=CD AD ≈0.5208∴∠ACD ＝27.5°∠ACB ＝2∠ACD ≈2×27.5°＝55°. [例2]如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤.在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤.已知肿瘤在皮下6.3 cm 的A 处，射线从肿瘤右侧9.8cm 的B 处进入身体，求射线的入射角度。
解：如图，在Rt △ABC 中， AC ＝6.3 cm ，BC=9.8 cm ， ∴tanB=8.93.6=BC AC ≈0.6429. ∴∠B ≈32°44′13″. 因此，射线的入射角度约为32°44′13″.小结：这两例都是实际应用问题，确实需要知道角度，而且角度又不易测量，这时我们根 据直角三角形边的关系.即可用计算器计算出角度，用以解决实际问题.三、解直角三角形在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c. (1)边的关系：a 2+b 2=c 2(勾股定理)； (2)角的关系：∠A+∠B=90°； (3)边角关系：sinA=c a ，cosA=cb ，tanA=b a ；sinB ＝cb，cosB ＝c a ，tanB=ab. 由前面的两个例题以及上节的内容我们町以发现，很多实际问题中的数量关系都可归结为直角三角形中元素之间的关系，使实际问题都得到解决. 四、随堂练习1.已知sin θ＝0.82904.∠θ＝ （∠θ≈56°1″）2.一梯子斜靠在一面墙上.已知梯长4 m ，梯子位于地面上的一端离墙壁2.5 m ，求梯子与地面所成的锐角.解：如图.cos α＝45.2＝0.625，α≈51°19′4″. 所以梯子.与地面所成的锐角约51°19′4″.五、课时小结本节课我们学习了用计算器由三角函数值求相应的锐角的过程，进一步体会三角函数的意义.并且用计算器辅助解决含有三角函数值计算的实际问题. 六、课后作业如图，美国侦察机B 飞抵我国近海搞侦察活动，我战斗机A 奋起拦截，地面雷达C 测得：当两机都处在雷达的正东方向，且在同一高度时，它们的仰角分别为∠DCA=16°，∠DCB ＝15°，它们与雷达的距离分别为AC ＝80千米，BC=81千米时，求此时两机的距离是多少千米?(精确到0.01千米) [过程]当从低处观测高处的目标时.视线与水平线所成的锐 角称为仰角.两机的距离即AB 的长度.根据题意，过A 、B 分别作 AE ⊥CD ，BF ⊥CD.E 、F 为垂足，所以AB ＝EF ，而求EF 需分别在 Rt △AEC 和Rt △BFC 中求了CE 、CF ，则EF ＝CF-CE. [结果]作AE ⊥CD ，BF ⊥CD ，E 、F 为垂足，∴cos16°＝80CE，∴CE ＝80×cos16°≈80×0.96＝76.80(千米).∴cos15°= 81CF，∴CF ＝81×cos15°≈81×0.97＝78.57(千米).依题意AB=EF=CF-CE=79.57-76.80=1.77(千米). 所以此时两机的距离为1.77千米.§1-4 船有触礁的危险吗学习目标1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明. 学习重点1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力. 学习难点根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图. 学习过程一、引入新课直角三角形就像一个万花筒，为我们展现出了一个色彩斑澜的世界.我们在欣赏了它神秘的“勾股”、知道了它的边的关系后，接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题，都可迎刃而解.它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等.海中有一个小岛A ，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A 岛南偏西55°的B 处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C 处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗? 二、探索新知（一）根据题意，画出图形（二）小组交流，分析题意1、货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险， 由 来决定。
2、根据题意，小岛四周10海里内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到A 的最短距离大于10海里，则无触礁的危险，如果小于10海里则有触礁的危险.A 到BC 所在直线的最短距离为过A 作AD ⊥BC ，D 为垂足，即AD 的长度.我们需根据题意，计算出AD 的长度，然后与10海里比较.3、通过上面的分析，我们已将实际问题转化成数学问题.根据题意，有已知条件： BC °＝20海里，∠BAD ＝55°，∠CAD ＝25° （三）全班交流，写出解题过程解：过A 作BC 的垂线，交BC 于点D.得到Rt △ABD 和Rt △ACD ，从而BD=ADtan55°，CD ＝ADtan25°，由BD-CD ＝BC ，又BC ＝20海里.得 ADtan55°-ADtan25°＝20. AD(tan55°-tan25°)＝20， AD=︒-︒25tan 55tan 20≈20.79(海里).这样AD ≈20.79海里>10海里，所以货轮没有触礁的危险. 三、随堂练习如图，小明想测量塔CD 的高度.他在A 处仰望塔顶，测得仰角为30°， 再往塔的方向前进50m 至B 处.测得仰角为60°.那么该塔有多高? (小明的身高忽略不计，结果精确到1 m)在Rt △ADC 中，tan30°=AC CD ， 即AC ＝︒30tan CD在Rt △BDC 中，tan60°=BC CD ,即BC ＝︒60tan CD，又∵AB=AC-BC ＝50 m ，得 ︒30tan CD -︒60tan CD=50.解得CD ≈43(m)， 即塔CD 的高度约为43 m. 四、课堂小结 五、作业1、某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼梯长为4 m ， 调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.0l m) 解：由条件可知，在Rt △ABC 中,sin40°＝ACAB，即AB ＝4sin40°m ，原楼梯占地 长BC ＝4cos40°m.调整后,在Rt △ADB 中，sin35°＝AD AB ，则AD ＝︒︒=︒35sin 40sin 435sin AB m.楼梯占地长DB=︒︒35tan 40sin 4m.∴调整后楼梯加长AD-AC ＝︒︒35sin 40sin 4-4≈0.48(m)，楼梯比原来多占DC ＝DB-BC=︒︒35tan 40sin 4-4cos40°≈0.61(m).2、如图，一灯柱AB 被一钢缆CD 固定，CD 与地面成40°夹角， 且DB ＝5 m ，现再在C 点上方2m 处加固另一条钢缆ED ，那么钢 缆ED 的长度为多少?解：在Rt △CBD 中，∠CDB=40°，DB=5 m ，sin40°= DBBC， BC=DBsin40°=5sin40°(m).在Rt △EDB 中，DB=5 m ， BE=BC+EC ＝2+5sin40°(m). 根据勾股定理，得DE=2222)40sin 52(5︒++=+BE DB ≈7.96(m).所以钢缆ED 的长度为7.96 m.3、如图，水库大坝的截面是梯形ABCD ，坝顶AD ＝6 m ，坡长CD ＝8 m.坡底BC ＝30 m ，∠ADC=135°. (1)求∠ABC 的大小。
(2)如果坝长100 m.那么建筑这个大坝共需多少土石料?(结果精确到0.01 m 3) 解：过A 、D 分别作AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，E 、F 为垂足.(1)在梯形ABCD 中.∠ADC ＝135°，∴∠FDC ＝45°，EF ＝AD=6 m.在Rt △FDC 中，DC ＝8 m.DF ＝FC ＝CD.sin45°=42 (m).∴BE=BC-CF-EF=30-42-6=24-42(m).在Rt △AEB 中，AE ＝DF=42 (m). tanABC ＝262242424-=-=BEAE ≈0.308.∴∠ABC ≈17°8′21″. (2)梯形ABCD 的面积S ＝21(AD+BC)×AE = 21(6+30)×4 2=722 (m 2).４、如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A 处运往正西方向的B 处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气 象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A 向北偏西60°方向 移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响. (1)问：B 处是否会受到台风的影响?请说明理由.(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?( 2≈1.4，3 ≈1.7)解：(1)过点B 作BD ⊥AC.垂足为D.依题意，得∠BAC ＝30°，在Rt △ABD 中，BD= 21AB=21×20×16=160＜200， ∴B 处会受到台风影响.(2)以点B 为圆心，200海里为半径画圆交AC 于E 、F ，由勾股定理可求得DE=120. AD=1603. AE=AD-DE=1603 -120，∴401203160-=3.8(小时).因此，陔船应在3.8小时内卸完货物.。