初等函数的幂级数展开式
函数的幂级数展开式及其应用
函数的幂级数展开式及其应用通过前面的学习我们看到，幂级数不仅形式简单，而且有一些与多项式类似的性质。
而且我们还发现有一些可以表示成幂级数。
为此我们有了下面两个问题：问题1：函数f(x)在什么条件下可以表示成幂级数；问题2：如果f(x)能表示成如上形式的幂级数，那末系数c n(n=0,1,2,3,…)怎样确定？下面我们就来学习这两个问题。
泰勒级数我们先来讨论第二个问题.假定f(x)在a的邻区内能表示成这种形式的幂级数，其中a是事先给定某一常数，我们来看看系数c n与f(x)应有怎样的关系。
由于f(x)可以表示成幂级数，我们可根据幂级数的性质，在x=a的邻区内f(x)可任意阶可导.对其幂级数两端逐次求导。
得：，，………………………………………………，………………………………………………在f(x)幂级数式及其各阶导数中，令x=a分别得：把这些所求的系数代入得：该式的右端的幂级数称为f(x)在x+a处的泰勒级数.关于泰勒级数的问题上式是在f(x)可以展成形如的幂级数的假定下得出的.实际上，只要f(x)在x=a处任意阶可导，我们就可以写出函数的泰勒级数。
问题：函数写成泰勒级数后是否收敛？是否收敛于f(x)？函数写成泰勒级数是否收敛将取决于f(x)与它的泰勒级数的部分和之差是否随n→＋∞而趋向于零.如果在某一区间I中有那末f(x)在x=a处的泰勒级数将在区间I中收敛于f(x)。
此时，我们把这个泰勒级数称为函数f(x)在区间I中的泰勒展开式.泰勒定理设函数f(x)在x=a的邻区内n+1阶可导，则对于位于此邻区内的任一x，至少存在一点c,c 在a与x之间，使得：此公式也被称为泰勒公式。
(在此不加以证明）在泰勒公式中，取a=0，此时泰勒公式变成：其中c在0与x之间, 此式子被称为麦克劳林公式。
函数f(x)在x=0的泰勒级数称为麦克劳林级数.当麦克劳林公式中的余项趋于零时，我们称相应的泰勒展开式为麦克劳林展开式.即：几种初等函数的麦克劳林的展开式1.指数函数e x2.正弦函数的展开式3.函数(1+x)m的展开。
初等函数的幂级数展开
f (x) 3!a3 n (n 1)(n 2)an (x x0 )n3 ，
lim
n
Rn
(
x)
0
，其中
Rn
(
x)
为拉格朗日余项，即
Rn (x) f (x) [a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2
an (x
x0 )n ]
f n1( ) (x
(n 1)!
x0 )n1
．
1.2 函数展开成幂级数的方法
1．直接展开法
利用泰勒或麦克劳林展开式把初等函数展开成幂级数的方法称为直接展开法．用直接展 开法将函数 f (x) 展开成 x 的幂级数的步骤如下．
x)
1 2(3
x)
1
4 1
பைடு நூலகம்
x 1 2
1
81
x
1 4
，
1
(1)n xn 1 x x2 x3
(1)n xn
(1 x 1) ，
1 x n0
1
1 x
1
(1)n
n0
(x 1)n 2n
1
x
2
1
1
，
2
1
1 x
1
(1)n
n0
(x 1)n 4n
1
x
4
1
1
，
4
1.2 函数展开成幂级数的方法
解 f (x) 的各阶导数为
f (x) m(1 x)m1 ， f (x) m(m 1)(1 x)m2 ，
第五节函数幂级数展开
第五节 函数的幂级数展开从前一节可以知道，如果幂级数∑∞=-00)(n n nx x a的收敛半径R >0, 那么它的和函数在收敛区间（x 0-R ，x 0+R ）上 有任意阶导数，在收敛域上内闭一致收敛. 当在收敛域上有和函数∑∞=-=)()(n nn x x a x f 时，有),3,2,1,0(,!)(0)(ΛΛ==n a n x f n n .也就是说∑∞=-00)(n nn x x a 可以写成∑∞=-000)()(!)(n n n x x n x f. 显然只用到f (x )在x 0点有任意阶导数的条件. .反之, 如果（x 0-R ，x 0+R ）上的函数f (x ) 在x 0点有任意阶导数, 能否在（x 0-R ，x 0+R ）上被表示为一个幂级数的和函数 ? 先看一个例子.00)(21=≠⎪⎩⎪⎨⎧=-x x ex f x,在（—∞,+∞）上有任意阶导数, ),3,2,1,0(,0)0()(ΛΛ==n fn ,那么ΛΛΛΛ+++++=∑∞=n n n n x n x x x n f!!20!100!)0(20)( 在（—∞,+∞）上一致收敛于和函数S (x )= 0, 但对一切x ≠0, S (x )≠f (x ).在什么条件下∑∞=-000)()(!)(n n n x x n x f的和函数在一个非空开区间上等于f (x ) ? 为了方便,我们给出如下的:定义 1 设f (x )在x 0有任意阶导数,那么称∑∞=-000)()(!)(n n n x x n x f为f (x ) 在x 0的Taylor(泰勒)级数 .由于f (x ) 在x 0任意阶导数,那么存在一个r >0, 对于任意正整数n , 有Taylor 公式 :∑=+-=nk n k k x R x x k x fx f 000)()()(!)()(, x ∈（x 0-r ，x 0+r ）. 其中)(x R n 是余项. 它的Lagrange:型为:10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ, ξ介于x 和x 0 之间 .由此我们可以得到如下的结论:定理 11.26 设f (x )在x 0有任意阶导数, r >0, 那么f (x ) 在 ( x 0-r ，x 0+r ）内等于它的Taylor 级数的和函数的充分必要条件是: f (x )在x 0的Taylor 公式余项: )(x R n 满足:对任意( x 0-r ，x 0+r ）内的x 有 0)(lim =∞→x R n n (证明由读者完成).定义 2 设f (x )在x 0有任意阶导数, r >0, f (x ) 在 ( x 0-r ，x 0+r ）内等于它的Taylor 级数的和函数, 那么我们说f (x ) 在 ( x 0-r ，x 0+r ）内可以展开成Taylor 级数.并称∑∞=-000)()(!)(n n n x x n x f为f (x ) 在x = x 0 处的Taylor 展开式.或x = x 0 处的幂级数展开式.推论 如果f (x ) 在( x 0-r ，x 0+r ）内可以展开成Taylor 级数,则Taylor 展开式是唯一的. 即是说,如果f (x ) 在( x 0-r ，x 0+r ）内是一个幂级数的和函数, 那么f (x ) 在( x 0-r ，x 0+r ）内的Taylor 展开式就是原幂级数(为什么?). 特别, 当x 0=0时, f (x ) 的Taylor 级数∑∞=0)(!)0(n nn x n f也称为Maclaurin 级数.为了研究是否有Taylor 展开式,我们必须了解Taylor 公式的余项. 虽然我们已知Taylor 公式的Lagrange 余项. 下面还给出Taylor 公式余项的另一个形式—积分形式.引理 . 设r >0, f (x )在x 0在( x 0-r ，x 0+r ）上有任意阶导数, 则对任意正整数n , 有∑=+-=nk n k k x R x x k x fx f 000)()()(!)()( 其中 ⎰-=+xx n n n dt t x t f n x R 0))((!1)()1(.证明 ∑=--=nk k k n x x k x fx f x R 000)()(!)()()(, 那么 ∑=---=nk k k n x x k x f x f x R 100)()()!1()()(')(',∑=---=nk k k n x x k x f x f x R 200)()()!2()()('')('',…………,)()()(0)()()(x f x f x R n n n n -=, )()()1()1(x f x R n n n++=,并0)()(")(')(0)(000=====x R x R x R x R n n n n n Λ.重复使用分部积分得到:⎰⎰⎰---=-==xx n xx n xx n xx n n dt t R x t x t t R x t d t R dt t R x R 0)('')())((')()(')(')(⎰⎰--=-=xx n x x n t x d t R dt t R t x 002)()(''!21)('')( ΛΛ=-=⎰xx n dt t x t R 02))(('''!21⎰⎰-=-=++xx n n x x n n n dt t x t f n dt t x t R n 00))((!1))((!1)1()1(. 得证. 从这个余项积分表达式中由于nt x )(-保持不变号,在[x , x 0] 或[x 0, x ]上对)()1(t f n +应用积分中值定理得,存在介于x 和x 0 之间的ξ,有10)1()1()()!1()()(!)()(0+++-+=-=⎰n xx n nn n x x n f dt t x n f x R ξξ, 这就是Lagrange 余项. 同样也可以写成.10,)()!1())(()(1000)1(≤≤-+-+=++θθn n n x x n x x x fx R如果在[x , x 0] 或[x 0, x ]上对)()1(t f n +n t x )(-应用积分中值定理得,存在介于x 和x 0 之间的ξ,有)()()!1()(!))(()(0)1()1(0x x x n f dt n x f x R xx nn nn n --+=-=⎰++ξξξξ, 也可写成.10,)()1()!1())(()(1000)1(≤≤--+-+=++θθθn n n n x x n x x x fx R这个形式的余项被称为Cauchy 余项.下面将给出基本初等函数在x=0处的Taylor 展开式.也叫做Maclaurin 展开式(1) 求k 次多项式函数kk x c x c x c c x f ++++=ΛΛ2210)(的Taylor 展开式 .解 ),,2,1,0(,!)0()(k n c n fn n Λ==, )(,0)0()(k n f n >=.所以余项 )(,0)0(k n R n >=, 显然 ,0)0(lim =∞→n n R 故 它的Taylor 展开式为k k x c x c x c c x f ++++=ΛΛ2210)(, x ∈（—∞,+∞）.(2) 有上一节知, xe xf =)(在x=0处的幂级数展开式为∑∞==0!n nxn x e , x ∈（—∞,+∞）.(3) 求x x f sin )(=,在x=0处的幂级数展开式 .由Taylor 公式知道),,(),()!12()1(!3sin 22123∞-∞∈++-+-=++x x R n x x x x n n nΛΛ),,(,10),232sin()!32()(3222∞-∞∈≤≤+++=++x x n x x R n n θππθ对任意∑∞=∞-∞∈0!||),,(n nn x x 是收敛的, 所以一般项趋于0.即得, 对任意x ∈（—∞,+∞）, 0)(lim 22=+∞→x R n n .所以, sin x 在x=0处的幂级数展开式),(,)!12()1()!12()1(!3sin 012123∞-∞∈+-=++-+-=∑∞=++x x n n x x x x n n n n nΛΛΛΛ.(4) 由可逐项可微性得, cos x 在x =0处的幂级数展开式为),(,)!2()1()!2()1(!21cos 0222∞-∞∈-=+-++-=∑∞=x x n n x x x n n n n n ΛΛΛΛ. (4) 同理可得:]1,1(,!)1(!)1(32)1ln(11132-∈-=+-+-+-=+∑∞=++x x n n x x x x x n n n n n ΛΛΛΛ. (5) 设m ≠0的实数, 求mx x f )1()(+=的x =0处的幂级数展开式.当m 是正整数时, nmn mx n n m m m x x f ∑=+--=+=0!)1()1()1()(Λ, x ∈（—∞,+∞）.当m ≠0也不是正整数时,)3,2,1(,)1)(1()1()(1)(ΛΛΛ=++--=-n x n m m m x f m n . ),3,2,1(),1()1()0()(ΛΛΛ=+--=n n m m m f n当记),3,2,1(,!)1()1(ΛΛΛ=+--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n n m m m n m 10=⎪⎪⎭⎫⎝⎛m .所以mx x f )1()(+=在x =0处的Taylor 级数为nn mx n m x ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0)1(.注意到11lim 1lim=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→∞→n n m n m n m n n ,所以由D ’Alembert 判别法, 此Taylor 级数的收敛半径R =1. 又它的在x =0处的Taylor 公式为)()1(0x R x k m x n knk m+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+∑=. )(x R n 的Cauchy 型为111)1()1(111)1()1(!)()(-++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-=m nn n n n n x x x n m n x n x f x R θθθθθ, 0≤θ≤1. 由于n n mx n m x x f ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=0)1()(的收敛半径为R =1. 因此01)1(lim 1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→n n x n m n . 又因为0≤θ≤1,|x|<1, 我们0≤nx ⎪⎭⎫⎝⎛+-θθ11≤1,和}|)|1(,|}|1m ax {)1(0111----+≤+≤m m m x x x θ,因此,当 |x|<1时, 0)(lim =∞→x R n n .即当|x|<1时,nn mx n m x ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0)1(.下面将讨论1±=x 的情况:(a) 当m ≤-1时, !21!|)1()1(|n n n n m m m n m x n m n ⋅⋅⋅≥+--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛ΛΛ=1. 所以 n n x n m ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0发散. 即 n n mx n m x ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0)1(, -1<x <1., (b) 当-1<m <0时, 当x =1时, ∑∑∞=∞=+--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10!)1()1(1n n n n m m m n m Λ是交错级数. 由于 110<+-<n nm ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+-->⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+--1)!1()()1(!)1()1(n m n n m m m n m n n m m m ΛΛ. 又⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛n m m m n n m m m n m 11211111!)1()1(ΛΛΛ, 从而 0lim =⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞→n m n , ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n m 单调趋于0, 由Leibniz 交错级数判别法.知道 ∑∑∞=∞=+--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10!)1()1(1n n n n m m m n m Λ 是收敛的. 当x = -1时,∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0n n m 是正项级数, 又 n m n n m n m m m n n m m m n m ||1112211||!)1()1(>⋅---⋅⋅-⋅-⋅=+--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ΛΛ, 由比较判别法, ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0n n m 发散.故当-1<m <0时, nn mx n m x ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0)1(, -1<x ≤1.. (b) 当m >0时, 111||1lim 11lim >+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→∞→m m n n n n m n m n n n . 由Raabe 判别法得, ∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛0n n m 收敛.这时nn mx n m x ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0)1(, -1≤x ≤1,.综上所述,将一个函数在某点展开成Taylor 级数,可以用间接法,即利用已知的函数的Taylor展开式进行. 另一种方法直接法, 即用Taylor 级数的定义,讨论其收敛域. 例如 nn x n x 205.025.0)1(∑∞=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-, |x |<1 , 那么 12!!2!)!12(125.0)1(arcsin 12112005.02+-+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=+∞=+∞=-∑∑⎰n x n n x n x n dt t x n n n n x,|x |≤1,.其中用Raabe 判别法,判断|x |=1时,右边的级数也是收敛. 例如 求21)(x x f =在x =1点的幂级数展开式. 当|x -1|<1时, ∑∞=-=-+=0)1(1111n n x x x , 两边求导, ∑∞=---=-112)1(1n n x n x ,即 )2,0(,)1()1(1112∈--=∑∞=-x x n x n n n .习题 11-51． 将下列函数在给定的点展开成Taylor 级数1）x 3cos ，（x =1）； 2）2sin 2x ex +,(x =0) ；3) )1ln(2x x ++,,(x =0) ； 4))1)(1(3x x x--, (x =0) ； 5) xa -1, (x =b ≠a ) ； 6) 1322+-x x x , (x =2) ；7) xxe-,(x =0) ； 8) )1(ln 2x -,,(x =0) ；2． 将下列函数展开成Maclaurin 级数 1) 232)1(-+x ; 2) )1ln(32x x x +++3) 211ln tan x x x +--3. 证明 1) 12!)!2(!)!12()1()ln(1212+--+=++∞=∑n x n n x x x n n n.2) 1!)!12(!)!2()(sin22021++=+∞=-∑n x n n x n n ,|x|≤1;4. 证明12)(sin !)!2(!)!12(sin 121+-++∞=∑n x n n x n n 在[0,0.5π]内一致收敛,并求其和函数.5.求定积分1,10,)cos 21ln(202><<+-⎰r r dt r t r π.。
精选数学分析函数的幂级数展开讲解讲义
,
f (n)(0) (1)n1(n 1)! ,
所以 ln(1 x)的麦克劳林级数是
x x2 x3 x4 (1)n1 xn .
(5)
234
n
用比式判别法容易求得级数(5)的收敛半径 R 1, 且 当 x 1 时收敛, x 1 时发散, 故级数(5)的收敛域 是 (1, 1]. 下面讨论在 (1, 1] 上它的余项的极限. 当 0 x 1 时, 对拉格朗日型余项, 有
x n1 (0
1).
显见
|
Rn (
x)
|
e|x| (n 1)!
|
x
|n1
.
y
对任何实数 x, 都有
6
lim e|x| | x |n1 0,
4
n (n 1)!
2
因而
lim
n
Rn
(
x)
0.
1 O 2
y ex
(n 2) (n 0)
1
2x
ex 1 1 x 1 x2 1 xn , x (, ).
x)(1
)n
x n1 , 0
1.
二、初等函数的幂级数展开式
例2 求k次多项式函数 f ( x) c0 c1x c2 x2
的幂级数展开式. 解 由于
ck xk
f
(
n
)
(0)
n!cn , 0,
n k, n k,
总有
lim
n
Rn
(
x
)
0,
因而
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 2!
充分条件是: 对一切满足不等式 | x x0 | r的 x , 有
lim
幂级数展开式步骤
幂级数展开式步骤1.了解幂级数的定义：幂级数是形如∑(anxn)的无穷级数，其中an是一系列常数，称为系数，而x是变量，可以是实数或复数。
2.确定展开点：幂级数在每个展开点的收敛性可能不同。
展开点通常是函数的解析性质较好的点。
例如，面对需要展开的函数f(x)，我们可以选择函数在处的泰勒级数展开点为展开点。
3.写出幂级数的通项公式：根据幂级数的定义，通项公式为anxn。
其中，an为系数，xn为基础幂函数。
例如，对于函数f(x)，通项公式为an(x-a)n。
4.计算各阶导数：为了计算系数an，我们需要求函数f(x)在展开点处的各阶导数。
对f(x)求导n次后，在展开点处得到导数的值。
5.计算系数：系数an可以根据导数的值来计算。
对于幂级数的通项公式an(x-a)n，将函数在展开点处的导数代入后，可以求得系数an。
6.写出幂级数的展开式：根据上述步骤得到的系数，将其代入幂级数的通项公式，可以得到幂级数的展开式。
7.确定幂级数的收敛域：幂级数的收敛性需要进行判定。
在收敛域内，可以用幂级数近似表示原函数；而在发散域内，则不能用幂级数近似表示原函数。
8.判断边界情况：在计算幂级数展开时需要特别注意边界情况，即幂级数在展开点处是否收敛。
当幂级数在展开点处收敛时，可以得到的展开式为收敛幂级数；当幂级数在展开点处发散时，可以得到的展开式为发散幂级数。
9.验证展开式：为了验证通过幂级数展开得到的近似解，可以将幂级数代入原函数进行验证。
比较幂级数展开式与原函数，在一定范围内进行比较，以判断近似解的有效性。
10.逐步优化展开式：幂级数展开往往是一个近似表示，其精确度通常依赖于使用的级数项数。
如果通过提高级数项数可以获得更高的精确度，则可以逐步添加更多项以优化展开式。
总结：幂级数展开是一种将函数表示为无限次幂的和的方法。
展开步骤包括确定展开点、写出通项公式、计算各阶导数、计算系数、写出展开式、确定收敛域、判断边界情况、验证展开式和优化展开式等。
数学分析(下)14-2函数的幂级数展开
§2 函数的幂级数展开由泰勒公式知道, 可以将满足一定条件的函数表示为一个多项式与一个余项的和. 如果能将一个满足适当条件的函数在某个区间上表示成一个幂级数, 就为函数的研究提供了一种新的方法.一、泰勒级数二、初等函数的幂级数展开式返回xx()(0)0,1,2,, nf n==定理14.11设f 在点0x 具有任意阶导数, 那么f 在区间00(,)x r x r -+上等于它的泰勒级数的和函数的0||x x r -<x 充分条件是: 对一切满足不等式的, 有lim ()0,n n R x ®¥=()n R x 0x 这里是f 在点泰勒公式的余项.本定理的证明可以直接从第六章本定理的证明可以直接从第六章§§3泰勒定理推出.如果f 能在点0x 的某邻域上等于其泰勒级数的和函数, 则称函数f 在点0x 的这一邻域内可以展开成泰勒级数, 并称等式¢¢() f x二、初等函数的幂级数展开式例2求k 次多项式函数2012()kk f x c c x c x c x=++++ 的幂级数展开式.解由于()!,,(0)0,,n n n c n k fn k £ì=í>îlim ()0,n n R x ®¥=总有因而¢¢()(0)(0)k f f例4()sin ,f x x =对于正弦函数有-¥+¥上有同样可证(或用逐项求导), 在(,)R=, 且用比式判别法容易求得级数(5)的收敛半径1当10-<<时, 因拉格朗日型余项不易估计, 故改x+-ln(1)x(1,1]这就证得在上下面讨论a不等于正整数时的情形, 这时(1)()1nn a a a q ---æön(7)1a =-当式中时就得到1 x(1)ln(1)--0x x例8求函数在处的幂级数展开x=n ¥x用类似方法可得1211æö复习思考题作业P63-64：2（1）（6）（9）；3（1）（3）。
初等函数的幂级数展开式
初等函数的幂级数展开式
初等函数的幂级数展开式是指将初等函数表示成一个幂级数的形式。
初等函数包括常见的三角函数、指数函数、对数函数等等。
通过幂级数展开式，我们可以更加方便地进行函数的计算和研究。
对于一个初等函数，它的幂级数展开式可能是一个无穷级数，但是我们可以通过截取前几项来近似表示该函数。
通常，对于一个初等函数，我们可以通过泰勒级数或者麦克劳林级数来求出它的幂级数展开式。
求得初等函数的幂级数展开式后，我们可以利用它来推导函数的性质和特征，比如函数值的渐进行为、函数的导数和积分等等。
同时，幂级数展开式也有很多应用，比如在微积分、数值计算、物理学等领域都有广泛的应用。
总之，初等函数的幂级数展开式是一个非常重要的数学工具，它可以帮助我们更好地理解和研究初等函数的性质和特征，同时也有很多实际应用价值。
- 1 -。
初等函数的幂级数展开
一、 泰勒级数在泰勒定理中曾指出，若函数f 在点0x 的某邻域内存在直至n +1阶的连续导数，则：()f x =''()'20000000()()()+f ()(-x )+(x-x )++(x-x )+R (x)2!!n n n f x f x f x x x n （1） 这里()n R x 为拉格朗日余项(+1)+10()()=(x-x )+1!n n n f R x n （）（2） 其中， 在0x 与x 之间，称（1）为f 在0x 的泰勒展式。
如果在（1）中抹去余项()n R x ，那么在0x 附近f 可用（1）式右边的多项式来近似代替，如果函数f 在x=0x 处存在任意阶的导数，这时称形式为''()'20000000()()()+f ()(-x )+(x-x )++(x-x )+2!!n n f x f x f x x x n （3）的级数为函数f 在0x 的泰勒级数，对于级数（3）是否能在0x 附近确切的表达f,或说f 在0x 的泰勒级数在0x 附近的和函数是否就是f ，这就是下面要讨论的问题。
先看一个例子： 例1 由于函数21-e ,0()0,0x x f x x ⎧⎪≠=⎨⎪=⎩在x=0处任何阶导数都等于0，即()(0)=0,n=1,2,n f所以f 在x=0的泰勒级数为2000+0++++2!!n x x x n 显然它在(),-∞+∞上收敛，且其和函数S （x ）=0.由此看到，对一切x 不等于0，都有f(x)不等于S(x).这个例子说明，具有任意阶导数的函数，其泰勒级数并不是都能收敛于函数本身，下面定理指出，具备什么条件的函数f,它的泰勒级数才能收敛于函数本身。
定理 设f 在点0x 具有任意阶导数，那么f 在区间00(-r,+r)x x 内等于它的泰勒级数的和函数的充分条件是：对一切满足不等式0-<r x x 的x,有lim ()=0n n R x →∞这里()n R x 是f 在0x 的泰勒公式余项。
十个常用的幂级数展开公式
十个常用的幂级数展开公式幂级数展开是一种将一个函数表达为无穷级数之和的方法。
在数学和物理学中，幂级数展开是非常重要的工具，可以用来解决许多问题。
下面是十个常用的幂级数展开公式：1.自然对数函数的幂级数展开：ln(1 + x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ...2.指数函数的幂级数展开：e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+...3.正弦函数的幂级数展开：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...4.余弦函数的幂级数展开：cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...5.正切函数的幂级数展开：tan(x) = x + x^3/3 + 2x^5/15 + 17x^7/315 + ...6.双曲正弦函数的幂级数展开：sinh(x) = x + x^3/3! + x^5/5! + x^7/7! + ...7.双曲余弦函数的幂级数展开：cosh(x) = 1 + x^2/2! + x^4/4! + x^6/6! + ...8.自然对数函数的反函数的幂级数展开：e^x-1=x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+...9.平方根函数的幂级数展开：sqrt(1 + x) = 1 + x/2 - x^2/8 + x^3/16 - ...10. 三角函数的复合幂级数展开（例如sin(2x)）：sin(mx) = mx - (mx)^3/3! + (mx)^5/5! - (mx)^7/7! + ...这些幂级数展开公式是数学和物理学等学科中常用的工具，可以用于近似计算、解析表达式等方面。
通过将函数用幂级数展开，我们可以将复杂的函数转化为无穷级数的形式，从而方便进行计算和分析。
函数的幂级数展开式
把这些所求的系数代入
得：
该式的右端的幂级数称为 f(x)在 x+a 处的泰勒级数. 关于泰勒级数的问题 上式是在 f(x)可以展成形如
的幂级数的假
定下得出的.实际上，只要 f(x)在 x=a 处任意阶可导，我们就可以写出函数的泰勒级数。 问题：函数写成泰勒级数后是否收敛？是否收敛于 f(x)？ 函数写成泰勒级数是否收敛将取决于 f(x)与它的泰勒级数的部分和之差
这种形式的幂级数，其中 a 是事先给定某一常数， 我们来看看系数 cn 与 f(x)应有怎样的关系。
由于 f(x)可以表示成幂级数，我们可根据幂级数的性质，在 x=a 的邻区内 f(x)可任意阶可导.对其幂 级数两端逐次求导。得：
， ， ………………………………………………
， ……………………………………………… 在 f(x)幂级数式及其各阶导数中，令 x=a 分别得：
是否随 n→＋∞而趋向于零.如果在某一区间 I 中有
那末 f(x)在 x=a 处的泰
勒级数将在区间 I 中收敛于 f(x)。此时，我们把这个泰勒级数称为函数 f(x)在区间 I 中的泰勒展开式.
泰勒定理
设函数 f(x)在 x=a 的邻区内 n+1 阶可导，则对于位于此邻区内的任一 x，至少存在一点 c,c 在 a 与 x
函数的幂级数展开式
通过前面的学习我们看到，幂级数不仅形式简单，而且有一些与多项式类似的性质。而且我们还发现 有一些可以表示成幂级数。为此我们有了下面两个问题：
问题 1：函数 f(x)在什么条件下可以表示成幂级数 ；
问题 2：如果 f(x)能表示成如上形式的幂级数，那末系数 cn(n=0,1,2,3,…)怎样确定？ 下面我们就来学习这两个问题。 泰勒级数 我们先来讨论第二个问题.假定 f(x)在 a 的邻区内能表示成
数学分析14.2函数的幂级数展开
第十四章 幂级数 2 函数的幂级数展开一、泰勒级数概念：若函数f 在点x 0的某邻域上存在直至n+1阶的连续导数，则去除泰勒公式的拉格朗日型余项R n (x)=1n 01)(n )x x (1)!(n )ξ(f ++-+后所得级数： n00n 0(n))x -(x n!)(x f ∑∞==f(x 0)+f ’(x 0)(x-x 0)+2!)(x f 0''(x-x 0)2+…+ n!)(x f 0(n)(x-x 0)n +… 称为函数f 在x 0处的泰勒级数.例1：证明：函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠0x ，00x ，e 2x1- 在x=0处的泰勒级数收敛，但不收敛于函数本身.证：∵在x=0处，f (n)(0)=0, n=1,2,…，∴f 在x=0处的泰勒级数为 0+0·x+2!0·x+…+n!0·x+…，它在(-∞,+∞)上收敛，且其和函数S(x)=0， 显见，对于一切x ≠0，f(x)≠S(x)，得证！定理14.11：设f 在点x 0具有任意阶导数，那么f 在区间(x 0-r,x 0+r)上等于它的泰勒级数的和函数的充分条件是：对一切满足不等式|x-x 0|<r 的x ，有∞n lim →R n (x)=0，其中R n (x)是f 在x 0处的泰勒公式余项.注：若f 在点x 0的某邻域上等于其泰勒级数的和函数，则称函数f 在点x 0的这一邻域上可以展开成泰勒级数，并称等式：f(x)=f(x 0)+f ’(x 0)(x-x 0)+2!)(x f 0''(x-x 0)2+…+ n!)(x f 0(n)(x-x 0)n +…右边为f 在x 0处的泰勒展开式，或称幂级数展开式，其具有唯一性. 当x 0=0时，n 0n (n)x n!(0)f ∑∞==f(0)+f ’(0)x+2!(0)f ''x 2+…+ n!(0)f (n)x n +…称为f 的麦克劳林级数.积分型余项：R n (x)=nx 01)(n )t x ((t)f n!1-⎰+dt ； 拉格朗日型余项：R n (x)=1n 01)(n )x x (1)!(n )ξ(f ++-+, ξ在0和x 之间； 柯西余项：R n (x)=1n n 1)(n x )θ1)(θx (f n!1++-, 0≤θ≤1.二、初等函数的幂级数展开式例2：证明k 次多项式函数f(x)=c 0+c 1x+c 2x 2+…+c k x k 的展开式是它本身. 证：∵f (n)(0)=⎩⎨⎧>≤k n ，0kn ，c !n n ，总有∞n lim →R n (x)=0，∴f(x)=f(0)+f ’(0)x+2!(0)f ''x 2+…+ k!(0)f (k)x k =c 0+c 1x+c 2x 2+…+c k x k ，即多项式函数的幂级数展开式就是它本身.例3：求函数f(x)=e x 的展开式.解：∵f (n)(x)=e x，f (n)(0)=1 (n=1,2,…). ∴R n (x)=1n θxx 1)!(n e ++, 0≤θ≤1. 又对任意实数x ，|R n (x)|≤1n θx x 1)!(n e ++→0 (n →∞)，∴∞n lim →R n (x)=0. ∴e x=1+x+2!1x 2+…+n!1x n+…=∑∞=0n n n!x ，|x|<+∞.例4：求sinx 和cosx 的展开式. 解：∵(sinx)(n)=sin(x+2n π), (n=1,2,…)；又(sin0) (2k)=0, (sin0)(2k-1)=(-1)k+1. ∴|R n (x)|=1)!(n x 2π1)(n ξsin 1n +⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≤1)!(n x 1n ++→0 (n →∞)，∴∞n lim →R n (x)=0.∴sinx=x-3!1x 3 +5!1x 5+…+1)!(2n x (-1)12n n +++…=∑∞=++0n 12n n 1)!(2n x (-1)，|x|<+∞.逐项求导得：cosx=1-2!1x 2+4!1x 4+…+(2n)!x (-1)2n n +…=∑∞=0n 2n n (2n)!x (-1)，|x|<+∞.例5：求下列函数的展开式：(1)f(x)=ln(1+x)；(2)f(x)=lnx 在x=1处. 解：(1)∵f (n)(x)=n1-n x )1(1)!-(n )1(+-，f (n)(0)=(-1)n-1(n-1)!, (n=1,2,…). 对f 的麦克劳林级数x-21x 2 +31x 3 +…+(-1)n-1n1x n +…求收敛半径R=n(-1)1)(n (-1)lim n 1-n ∞n +→=1，又当x=1时，收敛；当x=-1时，发散， ∴该级数的收敛域是(-1,1]. 当0≤x ≤1时，|R n (x)|=1n 1n n x ξ)(11)!(n n!)1(++++- =1n n ξ1x 1n )1(+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-≤1n 1+→0 (n →∞)， 当-1<x<0时，|R n (x)|=1n n 1n n x θ)(1θx)(1n!n!)1(++++-=n1n θx 1θ1θx 1x ⎪⎭⎫⎝⎛+-++, 0≤θ≤1.∵0≤θx 1θ1+-≤1, ∴|R n (x)|≤θx1x 1n ++≤x 1x 1n -+→0 (n →∞). ∴∞n lim →R n (x)=0.从而ln(1+x)=x-21x 2 +31x 3 +…+(-1)n-1n 1x n+…=∑∞=1n n 1-n n x (-1), x ∈(-1,1].(2)设1+t=x ，则lnx=ln(1+t), t ∈(-1,1]. ∵ln(1+t) =∑∞=1n n1-n n t (-1), t ∈(-1,1].∴lnx 在x=1处的展开式为：lnx =∑∞=1n n1-n n )1-(x (-1), x ∈(0,2].例6：讨论二项式函数f(x)=(1+x)a 的展开式.解：当a 为正整数时，二项式展开式为f(x)=0a C +1a C x+2a C x 2+…+a a C x a； 当a 不等于正整数时，f (n)(x)=a(a-1)…(a-n+1)(1+x)a-n , n=1,2,… f (n)(0)=a(a-1)…(a-n+1), n=1,2,…对f(x)的麦克劳林级数 1+ax+2!1)-a(a x 2+…+n!1)+n -(a …1)-a(a x n+…求收敛半径 R=n)-(a …1)-a(a n!1)+n -(a …1)-a(a 1)!(n lim∞n +→=1，又当x=±1时，若a ≤-1, 发散；若-1<a<0, x=1收敛, x=-1发散；若a>0, 收敛. ∴收敛域不确定.又当|x|<1时，R n (x)=1-a n1n )θx 1(θx 1θ1x n!n)-(a 1)-a(a +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋯+, 0≤θ≤1.由级数∑∞=+⋯0n 1n x n!n)-(a 1)-a(a 在(-1,1)收敛，知1n ∞n x n!n)-(a 1)-a(a lim+→⋯=0. 又0≤θx 1θ1+-≤1, ∴0<1-a n)θx 1(θx 1θ1+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-≤(1+θx)a-1<(1+|x|)a-1≤2a-1.∴∞n lim →R n (x) =1-a n1n ∞n )θx 1(θx 1θ1x n!n)-(a 1)-a(a lim +⎪⎭⎫⎝⎛+-⋯+→=0. 从而有 (1+x)a=1+ax+2!1)x -a(a 2+…+n!1)x +n -(a …1)-a(a n +…=1+∑∞=1n nn!1)x +n -(a …1)-a(a , |x|<1.注：当a=-1时，x 11+=1-x+x 2+…+(-1)n x n+…=∑∞=-0n n n x )1(, |x|<1.当a=-21时，x11+=1-21x+4231⋅⋅x 2+…+(-1)n !)!n 2(!!1)-(2n x n +…=1+∑∞=1n n nx !)!n 2(!!1)-(2n (-1)=∑∞=++0n n n x 1)(2n !)!n 2(!!1)(2n (-1), x ∈(-1,1].例7：求下列函数的展开式： (1)2x 11+；(2)2x11-；(3)arctanx ；(4)arcsinx. 解：(1)记t=x 2, ∵t 11+=∑∞=-0n n n t )1(, |t|<1. ∴2x 11+=∑∞=-0n 2nn x )1(, |x|<1. (2)记t=-x 2, ∵t11+=∑∞=++0n n nt 1)(2n !)!n 2(!!1)(2n (-1), t ∈(-1,1].∴2x 11-=∑∞=++0n 2n x 1)(2n !)!n 2(!!1)(2n , |x|<1.(3)对(1)逐项求积：arctanx=∑∞=++-0n 12n n12n x )1(, |x|<1.(4)对(2)逐项求积：arcsinx=∑∞=+++0n 212n )1n 2(!)!n 2(x !!1)(2n , |x|≤1.例8：求下列函数在x=0处的幂级数展开式： (1)f(x)=(1-x)ln(1-x)；(2)f(x)=lnx1x1-+. 解：(1)记t=1-x ∈(0,2), ∵lnt 在t=1处的幂级数展开式为：lnt=∑∞=1n n1-n n )1-(t (-1), t ∈(0,2]. ∴ln(1-x) 在x=0处的幂级数展开式为：ln(1-x)=∑∞=-1n nnx , x ∈[-1,1).∴(1-x)ln(1-x)=∑∞=+1n 1n n x -∑∞=1n n n x =∑∞=2n n 1-n x -∑∞=2n n n x -x =-x+∑∞=2n n1)-n(n x , x ∈[-1,1).(2)∵ln(1+x)=∑∞=1n n 1-n n x (-1), x ∈(-1,1]；ln(1-x)=∑∞=-1n nnx , x ∈[-1,1). ∴lnx1x1-+在x=0处的幂级数展开式为： ln x 1x 1-+=ln(1+x)-ln(1-x)=∑∞=1n n 1-n n x (-1)+∑∞=1n n n x =2∑∞=1n 1-2n 1-2n x , x ∈(-1,1).例9：计算ln2的近似值，精确到0.0001.解：由ln x 1x 1-+=2∑∞=1n 1-2n 1-2n x , x ∈(-1,1). 当x=31时，ln2=21-2n 1n 311-2n 1⋅∑∞=.又 0<R n =2⎪⎭⎫⎝⎛⋯+⋅++⋅+++32n 12n 3132n 13112n 1<⎪⎭⎫ ⎝⎛⋯+++++4212n 313111)(2n 32=212n 31111)(2n 32-⋅++=1)(2n 3411-2n +⋅. 当n=4时，0<R n <73941⋅⋅<0.0001. ∴ln2≈21-2n 41n 311-2n 1⋅∑==2⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⋅+⋅+75331713151313131≈0.6931.例10：用间接方法求非初等函数F(x)=⎰x0t -2e dt 的幂级数展开式.解：记x=-t 2, 由e x=∑∞=0n n n!x ，|x|<+∞，得2-t e =∑∞=-0n n 2n n!t )1(，|t|<+∞. 又R=1n n ∞n a a lim +→=n!)1(1)!(n )1(lim 1n n ∞n +→-+-=+∞，∴∑∞=-0n n2n n!t )1(在(-∞,+∞)内闭一致收敛. ∴⎰x0t -2e dt=∑⎰∞=-0n xn 2n n!t )1(dt=∑∞=++-0n 1n 2n 1)(2n n!x )1(, |x|<+∞.习题1、设函数f 在区间(a,b)上的各阶导数一致有界，即存在M>0，对一切x ∈(a,b)，有|f (n)(x)|≤M, n=1,2,…. 证明：对任意x,x 0∈(a,b)有f(x)=∑∞=-0n n 00)n ()x x (!n )x (f , (f(0)(x)=f(x), 0!=1). 证：对任意x,x 0∈(a,b)，∵|R n (x)|=1n 01)(n )x -(x 1)!(n ) (ξf +++≤1n a)-(b 1)!(n M++→0 (n →∞)，由定理14.11可知：f(x)=∑∞=-0n n 00)n ()x x (!n )x (f .2、利用已知函数的幂级数展开式，求下列函数在x=0处的幂级数展开式，并确定它收敛于该函数的区间：(1)2x e ；(2)x 1x 10-；(3)x21x -；(4)sin 2x ；(5)x -1e x ；(6)22x -x 1x +；(7)⎰x 0t sint dt ；(8)(1+x)e -x；(9)ln(x+2x 1+). 解：(1)记t=x 2, 由e t=∑∞=0n n n!t ，|t|<+∞，得2x e =∑∞=0n n 2n!x ，|x|<+∞.(2)∵x 11-=∑∞=0n nx , |x|<1. ∴x 1x 10-=∑∞=+0n 10n x , |x|<1.(3)记t=-2x ，由t11+=∑∞=++0n n nt 1)(2n !)!n 2(!!1)(2n (-1), t ∈(-1,1].得x 211-=∑∞=+⋅+0n n n x 1)(2n !)!n 2(2!!1)(2n =∑∞=++0n n x 1)(2n !n !!1)(2n , x ∈[-21,21). ∴x21x -=∑∞=+++0n 1n x 1)(2n !n !!1)(2n , x ∈[-21,21).(4)sin 2x=2cos2x-1；由cost=∑∞=0n 2n n (2n)!t (-1), |t|<+∞，得cos2x=∑∞=-0n n2n)!(2n (2x ))1(, |x|<+∞.∴sin 2x=21-∑∞=-0n n 2n )!(2n (2x ))1(21=∑∞=+-1n n 21-n 21n x )!(2n 2)1(, |x|<+∞. (5)∵e x=∑∞=0n n !n x , |x|<+∞；x 11-=∑∞=0n n x , |x|<1.∴x -1e x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∞=0n n !n x ⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∞=0n n x =∑∑∞==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛0n n n 0k x !k 1, |x|<1. (6)22x -x 1x +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--x 211x 1131=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∑∑∞=∞=0n n n 0n n (2x)(-1)x 31 =n n 0n ]x (-2)[131-∑∞=, |x|<21. (7)由sint=∑∞=++-0n 1n 2n )!1(2n t )1(，|t|<+∞，得t sint =∑∞=+-0n n 2n )!1(2n t )1(，|t|<+∞.∴⎰xt sintdt=⎰∑∞=+-x 00n n 2n )!1(2n t )1(dt=∑⎰∞=+-0n x 0n 2n )!1(2n t )1(dt=∑∞=+++-0n 1n 2n )!11)(2n (2n x )1(，|x|<+∞.(8)由e t=∑∞=0n n !n t ，|t|<+∞，得e -x=∑∞=0n n n !n x (-1)，|x|<+∞，∴(1+x)e -x=∑∞=0n n n !n x (-1)+∑∞=+0n 1n n !n x (-1)=1+∑∞=++1n 1n n !1)(n nx (-1)，|x|<+∞.(9)[ln(x+2x 1+)]’=2x 11+，由t11+=1+∑∞=1n nnx !)!n 2(!!1)-(2n (-1), t ∈(-1,1]，得 2x 11+=1+∑∞=1n 2nnx !)!n 2(!!1)-(2n (-1), |x|≤1. ∴ln(x+2x 1+)=⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∞=x1n 2n n t !)!n 2(!!1)-(2n (-1)1dt =x+∑⎰∞=1n x 02n n x !)!n 2(!!1)-(2n (-1)=x+∑∞=++1n 12n nx )1n 2(!)!n 2(!!1)-(2n (-1)=∑∞=+++0n 12n 2nx )1n 2(!)!n 2(!!1)(2n (-1),|x|≤1.3、求下列函数在x=1处的泰勒展开式. (1)f(x)=3+2x-4x 2+7x 3；(2)f(x)=x1.解：(1)f(1)=8；f ’(1)=15；f ”(1)=34；f ”’(1)=42；f (n)(1)=0 (n ≥4). ∴在x=1处，f(x)=8+15(x-1)+17(x-1)2+7(x-1)3, |x|<+∞.(2)f(x)=x 1=1)-x (11+=∑∞=0n n n 1)-(x (-1) , |x-1|<1.4、求下列函数的麦克劳林级数展开式： (1))x 1)(x 1(x 2--；(2)xarctanx-ln 2x 1+. 解：(1)令)x 1)(x 1(x 2--=x )1()x 1(x 2+-=x 1A -+2x )1(B -+x1C+， 可得A=-41，B=21，C=-41. ∴)x 1)(x 1(x 2--=-x 1141-⋅+2x )1(121-⋅-x1141+⋅ =-∑∞=0n n x 41-∑∞=0n nn x (-1)41+∑∞=+0n n 1)x (n 21=∑∞=+0n n n ]x 2(-1)-1[n 21, |x|<1. (2)arctanx=∑∞=++-0n 12n n12n x )1(=∑∞=--1n 12n 1-n 1n 2x (-1), |x|<1.ln 2x 1+=21ln(1+x 2)=∑∞=1n 2n1-n n x (-1)21, |x|≤1. ∴xarctanx-ln 2x 1+=∑∞=-1n 2n 1-n 1n 2x (-1)-∑∞=1n 2n 1-n 2n x (-1)=∑∞=-1n 2n 1-n 1)n 2n(2x (-1), |x|<1.5、试将f(x)=lnx 按1x 1x +-的幂展开成幂级数.证：∵ln x 1x1-+=2∑∞=++0n 12n 12n x , |x|<1.∴lnx=x1x 11x 1x11+--+-+=212n 0n x 1x 112n 1+∞=⎪⎭⎫⎝⎛+-+∑, |x|<1.。
初等函数的幂级数展开
2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成 幂级数. 1 例4. 将函数 展开成 x 的幂级数. 2 1+ x 1 2 n 解: 因为 = 1+ x + x +L+ x +L ( −1 < x < 1 ) 1− x 把 x 换成− x 2 , 得 1 2 4 n 2n = 1 − x + x + L + ( − 1 ) x +L 2 1+ x ( −1 < x < 1 ) 1 2 n ( ) ( ) ( ) = 1 + ϕ x + ϕ x + L + ϕ x + 1 − ϕ (x) ϕ (x) < 1
π )] = 1 [ cos( x − π ) + sin( x − 4 4 2 1 − 1 (x − π )2 + 1 ( x − π )4 − L 1 = 2 2! 4 4! 4
1 π 3 1 π 5 π − ( x − ) + ( x − ) − L + ( x − ) 3! 4 5! 4 4 1 π 1 π 2 1 π 3 = 1 + ( x − ) − ( x − ) − ( x − ) + L 2 4 2! 4 3! 4 ( − ∞ < x < +∞ )
13
1 ,−1 , − 对应 m = 1 的二项展开式分别为 2 2
1 2 1 1⋅ 3 3 1⋅ 3 ⋅ 5 4 x + 1+ x =1+ x − x − x +L 2⋅ 4 2 2⋅4⋅6 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅8 ( − 1 ≤ x ≤ 1) 1⋅ 3 2 1⋅ 3 ⋅ 5 3 1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 4 1 1 x − x + x −L =1 − x + 2⋅ 4 2 2⋅4⋅6 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅8 1+ x ( − 1 < x ≤ 1) 1 n n 2 3 + L + ( − 1 ) x +L − x + x − x =1 1+ x ( − 1 < x < 1) 1 = 1 + x + x2 + L + xn + L 1− x ( −1 < x < 1)
幂级数展开
1⎞ ⎛ 1⎞ 1 1 ⎛ + +" ⎜ n + ⎟ ln ⎜1 + ⎟ = 1 + 2 4 2⎠ ⎝ n⎠ ⎝ 3 ( 2n + 1) 5 ( 2n + 1)
由此我们得到：
10.5
函数的幂级数展开
1⎞ ⎛ 1⎞ 1 1 ⎛ + +" 0 < ⎜ n + ⎟ ln ⎜1 + ⎟ − 1 = 2 4 2⎠ ⎝ n⎠ ⎝ 3 ( 2n + 1) 5 ( 2n + 1) < = 1 3 ( 2n + 1) 1 3 ( 2n + 1) 1 −
0 ≤θ ≤1
§2 简单函数的幂级数展开
上面讨论结果知，当 Rn ( x ) → 0 时函数可展开为幂级数，下面考虑基本初等函数之幂 级数展开，函数的幂级数展开式也称为 Taylor 级数，函数在 x0 = 0 点的 Taylor 级数也称为 Maclaurin 级数。 1.
ex = ∑
1 n 1 x ， x0 = 0 ， R = +∞ ； Rn ( x ) = eθ x x n +1 ， 0 < θ < 1 ， n + 1 ! n ! ( ) n =0
2 2
+
1 3 ( 2n + 1) 1 1
4
+" =
( 2n + 1)
2
⎡ ⎤ 1 1 + + "⎥ ⎢1 + 2 4 3 ( 2n + 1) ⎢ ⎥ ⎣ ( 2n + 1) ( 2n + 1) ⎦ 1 = 12n ( n + 1) 1
函数的幂级数展开及其应用
函数的幂级数展开及其应用
函数的幂级数展开指将一个函数表示成一个无穷级数的形式，其中每一项都是该函数的幂函数，常常用于求解微积分问题和数学物理问题。
以函数$f(x)$在$x_0$处的幂级数展开为例，其一般形式为：
$$ f(x) = \\sum_{n=0}^{\\infty} a_n (x-x_0)^n $$
其中，$a_n$为展开系数，可以通过求解$f(x)$在$x_0$处的各阶导数来计算，即：
$$ a_n = \\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} $$
应用幂级数展开，可以求解一些常见的数学问题，例如：
1. 求解函数在某一点的近似值：可以通过对函数在该点处的幂级数展开，截取前几项进行计算，得到一个逼近函数。
2. 求解函数的极限：当幂级数的展开系数趋近于零时，可以证明该函数收敛于幂级数展开式。
3. 求解常微分方程：有些常微分方程可以通过将其转化为幂级数展开的形式，从而求解其解析解。
4. 计算函数的积分、导数等：有时候可以通过将函数先展开成幂级数，在进行积分、导数等运算。
高数无穷级数初等函数的幂级展开式
n
故得 x 1， 1。
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3. 常用的麦克劳林级数展开式
xn xn （1）e x 1 x , n! n 0 n!
x ， 。
x3 x5 x 2 n 1 （2）sin x x ( 1) n1 3! 5! ( 2n 1)! x 2 n1 ( 1) n , ( 2n 1)! n 0
lim Rn ( x ) 0
n
n1
n1
n 1
x lim 0 n ( n 1)!
n1
xn xn ex 1 x , n! n 0 n!
x ， 。
7
例2 将函数 f ( x ) sinx 展开成 的幂级数 x 。
1
一、泰勒级数和麦克劳林级数
1. 泰勒公式 （拉格朗日中值公式（往高阶）的推广）
则有 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) n!
设f ( x )在x0的 某 一 邻 域 内 存 在 直( n 1)阶 的 导 数 ， 到
x dx 0 x dx 0
n x n n 0 n1 n 0 2
x
x 1， 1
n1 x x3 x n x x 1 1 2 3 n1 n1 n 0 x n 1 1n 因幂级数 在 x 1 收敛， x 1 发散 在 ， n1 n 0
2
2. 泰勒级数与麦克劳林级数
设 f ( x ) 在 x0 的 某 一 邻 域 内 存 在 任 阶 的 导 数 ， 则 意 f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
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将函数ln(1+x)展开成 x的幂级数 的幂级数. 展开成 的幂级数 例1* 将函数 1 , 解 因为 [ln(1 + x )]′ = 1+ x 又
1 =1−x + x2 −x3+···+(−1)nxn +··· − − 1+ x
对上式逐项积分 对上式逐项积分 ∞ x dt x − ln(1+x) = ∫ = ∑ ∫ (−1)nt ndt 0 1+ t 0 n= 0 1 2 1 3 1 n+1 n = x − x + x − L+ (−1) x +L n+1 2 3 ∞ xn = ∑ ( − 1) n−1 n n=1
n n n−1
(1+x)n=1+nx+
n( n − 1) 2 n( n − 1)L ( n − k + 1) k x x +L+ 2! n! n! − +⋅⋅⋅ +nxn−1+x n ⋅⋅⋅
? (1+x)α =
α (α − 1 ) 2 α (α − 1 ) L (α − n + 1 ) n 1+αx+ x +L x +L+ 2! n!
(0) n f ′′ ( 0 ) 2 f (n) (0) n ∑0 n ! x = f ( 0 ) + f ′( 0 ) x + 2! x + L + n ! x + L n= 称为函数 f (x)的麦克劳林级数 的麦克劳林级数. f
(n) ∞
定理2 泰勒级数在 内收敛于f 定理 f(x)在x0点的泰勒级数在UR (x0)内收敛于 (x) 在 点的泰勒级数 内收敛于 ⇔ 在UR (x0) 内, Rn(x)→0. →
α (α − 1 ) L (α − n + 1 ) n − 1) 2 x +L x +L+ 2! n! ∞ α (α − 1 ) L (α − n + 1 ) n x∈(−1, 1) ∈− x =∑ n! n=0
牛顿二项式展开式
当α = −1时, 时
1 =1−x + x2 −x3+···+(−1)nxn +··· x∈ (−1, 1). − − ∈ − 1+ x
§7.7 初等函数的幂级数展开式
直接法(泰勒级数法 泰勒级数法) 一、直接法 泰勒级数法 二、间接法 三、常见函数的幂级数展开式
直接法(泰勒级数法 泰勒级数法) 一、直接法 泰勒级数法 利用泰勒公式 麦克劳林公式将 泰勒公式或 利用泰勒公式或麦克劳林公式将f(x)展开为幂级数 展开为幂级数 (1) 求 f (n)(x), n=0,1,2, ⋅⋅⋅ 步骤: 步骤 ( n) f ( x0 ) (2) 计算 an = , n=0,1,2, ⋅⋅⋅ n! ∞ f ( n ) ( x0 ) ( x − x0 ) n (3) 写出幂级数 ∑ n! n! n =1 并求出其收敛区间. 并求出其收敛区间 ? (4) 讨论 lim Rn ( x ) = 0
α ≤ −1, 收敛区间为 (−1, 1). 收敛区间为: − 收敛区间为: − −1<α <0, 收敛区间为 (−1, 1]. α >0, 收敛区间为 [−1, 1]. 收敛区间为: −
所以(1+x)α 的泰勒级数的收敛区间是 −1, 1), 的泰勒级数的收敛区间是(− 所以
α=1+αx+ α (α (1+x)
x
的幂级数. 例5 将下列函数展开成 x的幂级数 的幂级数 1 (1) (2) arctan x 2 1+ x 1 =1−x + x2 −x3+···+(−1)nxn +··· x∈(−1,1). − − ∈− 解 因为
1+ x
(1) 以x2 代替上式中的 x ,
∞ 1 2 +x4 −x6+···+(−1)nx2n +··· = (− x 2 )n − − ∑ 2 =1−x 1+ x n= 0 x∈ (−1, 1). ∈ − 1 , 对上式逐项积分 (2) 因 (arctan x )′ = 对上式逐项积分 2 1+ x ∞ x x dt = ∑ ∫ (−1)nt 2n dt − arctan x = ∫ 2 0 0 1+ t n= 0
(n+1)
eθ x f (θ x ) n + 1 x n+1 0<θ <1 = 其中 R n ( x ) = x ( n + 1)! ( n + 1 )! θ x e | x |n + 1 lim | R n ( x ) |= lim | x n + 1 | = e θ x lim n→ ∞ n → ∞ ( n + 1 )! n → ∞ ( n + 1 )! =0, ⇒ lim R n ( x ) = 0
1 3 1 5 x 2n+1 s in x = x − x + x − L + ( − 1 ) n +L 3! 5! ( 2 n + 1 )!
逐项求导得 对上式逐项求导 对上式逐项求导得 x∈(−∞ +∞). ∈ −∞ ∞ −∞,
1 2 1 4 x 2n cos x = 1 − x + x − L + ( −1) n +L 2! 4! ( 2n)!
一、泰勒公式 定理1 泰勒中值定理 若函数f(x)在x0点的某邻域 泰勒中值定理) 定理 (泰勒中值定理 若函数 在 Uδ (x0)内具有直到 内具有直到n+1阶连续导数 则当 取Uδ (x0) 阶连续导数, 内具有直到 阶连续导数 则当x取 内任何值时 可按(x− 的方幂展开为 内任何值时, f (x)可按 −x0)的方幂展开为 可按 f ′′ ( x 0 ) f (x)=f(x0)+f ′(x0)(x−x0)+ − ( x − x0 )2 2! (n) f ( x0 ) n ( x − x 0 ) +Rn(x) (1) L + + n! n! f ( n + 1 ) (ξ ) 之间) 之间 Rn ( x ) = ( x − x 0 ) n + 1 (ξ 在x0与x之间 其中 ( n + 1 )! 公式(1)称为函数 泰勒公式. 公式 称为函数 f (x)在x0处的泰勒公式 在 处的泰勒公式 Rn(x)称为拉格朗日 称为拉格朗日 余项. 称为拉格朗日(Lagrange)余项 余项 f (k ) ( x0 ) 泰勒系数 a k = k=0, 1, 2, ···, n 是唯一的 是唯一的. k!
α (α − 1) 2 α (α − 1)L (α − n + 1) n (1 + x ) = 1 + α x + x +L+ x +L 2! n! ∞ α (α − 1 ) L (α − n + 1 ) n x =∑ −1<x<1 n! n=0
α
α ≤ −1, 收敛区间为 (−1, 1). 收敛区间为: − 收敛区间为: − −1<α <0, 收敛区间为: (−1, 1]. α >0, 收敛区间为 [−1, 1]. 收敛区间为: −
∞ 1 2 1 n xn x +L=∑ 所以 e x =1+x+ x + L + 2! n! n = 0 n! −∞<x<+∞. −∞ ∞
n→ ∞
二项展开式
n( n − 1) n− 2 2 ( a + b ) = a + na b + a b +L 2! n(n − 1)L ( n − k + 1) n− k k a b + L + nab n − 1 + b n + k!
1 =1+x+x2+···+xn+··· = 1− x
∑
∞
x n (−1<x<1) −
∞
n=0
xn 1 2 1 n x e = 1+ x + x +L + x +L = ∑ 2! n! n! n = 0 n! x∈(−∞ +∞). −∞, ∈ −∞ ∞
1 3 1 5 x 2n+1 x − x + x − L + ( − 1)n +L sin x = 3! 5! ( 2 n + 1 )! ∞ x 2n+1 x∈(−∞ +∞). ∈ −∞, ∞ −∞ = ∑ ( − 1)n ( 2 n + 1 )! n=0
二、泰勒级数 如果函数f 在 的某邻域内是存在任意阶导 定义 如果函数 (x)在x0的某邻域内是存在任意阶导 数, 则幂级数 ∞ f (n) ( x0 ) n − ∑0 n ! ( x − x 0 ) = f(x0) + f ′(x0)(x−x0) n= f ′′ ( x 0 ) f (n) ( x0 ) + ( x − x 0 ) 2 L + ( x − x0 )n + L + 2! n! n! 称为函数f 在 处的泰勒级数 泰勒级数. 称为函数 (x)在x0处的泰勒级数
的幂级数. 例3 将 f(x)=(1+x )α 展开成 x的幂级数 的幂级数 ⋅⋅⋅( ⋅⋅⋅ 解 [(1+x)α](n) =α(α−1)(α−2)⋅⋅⋅ α−n+1)(1+x)(α− n) , ⋅⋅⋅( f (n)(0)=α(α−1)(α−2)⋅⋅⋅ α−n+1) ⋅⋅⋅ 得 ∑
∞
n=0,1,2,⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅, ⋅⋅⋅