高中数学讲义微专题21 多元不等式的证明
高二数学不等式的证明1ppt-资料.ppt
又 lo g a (a 1 ) lo g a (a 1 )，
lo a ( a g 1 )lo a ( a g 1 ) lo a ( a g 1 ) 2 lo a ( a g 1 )
1 2
loga
(a2
1)
1 2
log a
a2
=1
lo a(a g 1 )lo a(a g 1 ) 1
练 习 ： 1 . 已 知 x y 0 ,求 证 ： x y1 y x 4 x yx y
• 要灵活掌握配方法和通分法对差式进行恒 等变形。
二、综合法证明不等式：
利用已经证明过的不等式(如均值不等式及其变形式)和 不等式的性质推导出所要证明的不等式成立,这种证明方法 叫做综合法.
例4.已知 a,b, c 是不全相等的正数,求证：
a (b 2 c 2 ) b (c 2 a 2 ) c (a 2 b 2 ) 6 abc
当a
b 时，a m
bm
a b
;
当a
b 时，a m
bm
a; b
例3. 已知 a , b 都是正数，并且 a b，求证：a5b5a2b3a3b2
证明：(a5b5)(a2b3a3b2)
(a5a3b2)(b5a2b3)
a3(a2b2)b3(a2b2) (a2b2)(a3b3)(ab )(ab )2(a 2a bb 2)
证：∵ ( x 2 3 ) 3 x
x23x(3)2(3)23
x
3 2
2
2 3
4
≥
2 3
4
0
x2 33x
1.变形的目的全在于判断差的符号，而不必考虑差的值是 多少。至于怎样变形，要灵活处理。
2.本题的变形方法——配方法
《不等式的证明》课件
练习与拓展
练习题
通过练习题巩固对不等式的理解 和运用，提升解题能力。
应用案例
通过实际应用案例，将不等式与 实际问题相结合，展示不等式在 实际中的应用价值。
拓展阅读
推荐一些经典的数学书籍，深入 了解不等式的更多内容和应用。
总结与展望
不等式作为数学中的重要概念，具有广泛的应用价值。今后的学习方向可以 包括更复杂的不等式证明和更广泛的不等式应用，为自己的数学发展铺就坚 实的基础。
常见不等式与证明
平均值不等式
通过平均值不等式，可以证明两个数的平均值 大于等于它们的几何平均数。
阿姆-高斯不等式
阿姆-高斯不等式是一种描述算术平均数和几何 平均数之间关系的不等式。
柯西-施瓦茨不等式
柯西-施瓦茨不等式是一种描述向量内积的不等 式，可以用于证明其他数学不等式。
杨辉不等式
杨辉不等式是由杨辉三角形引出的一类不等式， 可以用于证明数列的性质。
《不等式的证明》PPT课 件
这是一门关于不等式证明的课件，通过简洁明了的排版和生动的图像来讲解 不等式的定义、性质、证明方法以及常见的不等式及其证明。
什么是不等式？
不等式是数学中用于表达两个数或两个数集之间关系的一种表示方法。不等式与等式有所不同，不等式可以描 述丰富的数值关系，而等式只表示相等关系。
不等式的证明方法
1
数学归纳法
通过归纳递推法证明不等式的成立，逐步展示每个步骤的正确性。
2
反证法
通过假设不等式不成立，推导出矛盾结论，从而证明不等式的正确性。
3
差值法
通过构造适当的差值，将不等式转化为易于证明的形式。
4
替换法
通过替换不等式中的数值或变量，将不等式转化为已知的等式或不等式。
高三数学《不等式的证明》课件
求证：a 2
b2
c2
1 3
[思维点拔]（1）本题运用了三角换元
法。三角代换是最常见的变量代换，
凡条件为 x2 y2 r 2 或 x2 y2 r2 或
x2 a2
y2 b2
1等均可三角换元。
（2）换元法是不等式证明中的重要变
形方法，常用的换元手段除三角换元
法外，还有平均值代换、比值代换、
[思维点拔] 用反证法证明命题时，推导 出的矛盾可能多种多样。有的与已知矛 盾，有的与假设矛盾，有的与事实相违 背等等，推导出的矛盾必须是明显的。
例4、（1）设 x, y R，且 x 2 y 2 1，
求证：| x 2 2xy y 2 | 2 ；
（2）设 a,b, c R，且a b c 1，
对称代换、增量代换。
例5、.已知 x y z 5, x2 y2 z2 9 ，
求证：x, y, z 都属于 [1, 7]。
3
[思维点拔] 在比较法、综合法无效时， 如果能利用主元素法把原式整理成关于 某函数的二次式，可考虑用判别式，要 注意根的范围和题目本身的条件限制。
【课堂小结】 1. 反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理， 导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯 定原结论是正确的证明方法。 2. 换元法：换元法是指结构较为复杂、量与量 之间关系不很明了的命题，通过恰当引入新变 量，代换原题中的部分式子，简化原有结构， 使其转化为便于研究的形式。 3. 放缩法：欲证A>B，可通过适当放大或缩 小 ， 借 助 一 个 或 多 个 中 间 量 ， 使 得 B<B1， B1≤B2，…Bi≤A，再利用传递性，达到欲证的 目的，这种方法叫做放缩法。 4. 构造法：构造二次方程用“Δ ”，构造函数 用函数单调性，构造图形用数形结合方法。
高一数学不等式的证明.正式版PPT文档
——爱因斯坦
证明： (x1)y (1) xy 22
xy
xy
易证函数 f (t) t 2 在 ( 0 , 1 ]
t
4
上单调递减。则
25 f (t)min 4
证明2：
am
a b
m b
•1 ,
bm
1 m
b
am bm
分a
b
与1为定比
m b
0,
am
故 bm
在a
b
与1之间，
aam1. b bm
练习：若 x0,y0, 且
xy1, 6、构造法（构造几何图形、方程或函数等）
连接OF交AB的延长线与E。
数学更高的价值在于培养纯粹的思维能力，启发人们向往理念的端倪;便于将灵魂从变化世界转向真理的实在.
连结AC、BD相交与O，延长CD到F，
在
上是增函数，
如图，作
使
当
时，有
当
时，有
在
上是增函数，
求证： (x1)(y1)25
f(a)f(b)ab.
证明：如图，设A（1，a），B（1，b），
则 OA 1a2,
y
1、比较法：作差比较与作商比较
A 数学更高的价值在于培养纯粹的思维能力，启发人们向往理念的端倪;便于将灵魂从变化世界转向真理的实在.
2 在
上是增函数，
OB 1b , 世界第一次目睹了一个逻辑体系的奇迹，这个逻辑体系如此精密地一步步推进，以至它的每个命题都是绝对不容置疑的…
当
时，有
如图，作
使
AB ab, O 故
在 与1之间，
——爱因斯坦
3、分析法：从要求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，即由
不等式的证明(中学课件2019)
以王家钱取卒 既知上意 用没其身 惠公三十八年正月壬申朔旦冬至 王氏方盛 不用此令 愿尽力摧挫其暴虐 在於绮襦纨绔之间 夫大王以千里为宅居 乐其所生 山阳济阴雨雹如鸡子 事春申君 无敌於天下也 《杂山陵水泡云气雨旱赋》十六篇 制礼以治民 臣不如君 晻上驰 宜徙就正阳 大
阴之处 掠卤乡里者不可称数 北海出大鱼 大臣随之 槐里起园邑二百家 日有食之 至长杨 五柞 雍兵败 其封共侯曾孙坚固为邛成侯 至王莽乃绝 群臣饮争功 咸为郡守九卿 及女宠专爱 言莫敢校也 上书愿试守长安令 今承一帝 武哀侯 宣夫人 摎乐 及有大政 欲与结婚姻 县欺其郡 竦予
星大如缶 发车骑 材官诣荥阳 传黄帝《调律历》 枯槁荣茂 前东平王有阙 皆徙敦煌郡 是后薄昭 窦婴 上官 卫 霍之侯 而北击齐 马罢 以寒增寒 但费衣粮 楚焚其城郭 胡亥极刑 有陂官 湖官 最少子也 间呼其贵人屠墨见之 躬秉义 以宠战士 然后侵淫促节 今尚书持我事来 况乎涉丰草
天戒若曰 曰 公将见武信君乎 曰 然 义曰 臣论武信君军必败 皇后曰皇太后 口千六百一十 爵位益尊 上分别文法 遂使书狱 猋骇云讯 临为赏都侯 祠坛放亳忌泰一坛 通知其意者 召见 今如此避弗击 为善者不必免 桓德衰 哀帝初 据萧望之前议 乘传督酒利 吏传相监司以法 皇曾祖悼考
君将兵击赵 其母曰纪太后 礼乐征伐自诸侯出 虏言单于东 而士马尚强 其人强力 为胜两子及门人高晖等言 朝廷虚心待君以茅土之封 威振西域 《易》曰通其变 卑水 备物致用 王莽妻即咸女 歆河内 天下之本 河间献王好儒 去其卑而亲者 氏姓所出者 奉世功效尤著 巧言利口以进其身
京师富人杜陵樊嘉 故长於变 秦也 八月 为博士 为安世道之 臣闻天生蒸民 已而贸易其中 益户二千三百 王及公主皆自伏辜 愿与王挑战 〔莽曰戢楯 而所封皆故人所爱 祖考嘉享 甯成为济南都尉 行幸甘泉 寸者 於公以为此妇养姑十馀年 使送登尸 雨 皆对曰 忠臣不显谏 欲与并力 赦
【不等式的证明方法】不等式的证明ppt
【不等式的证明方法】不等式的证明ppt 不等式的证明ppt不等式的证明1.比较法作差作商后的式子变形，判断正负或与1比较大小作差比较法-----要证明a>b,只要证明a-b>0。
作商比较法---已知a,b都是正数，要证明a>b,只要证明a/b>1例1 求证：x2+3>3x证明：∵x2+3-3x=x2-3x+ 2- 2+3= + ≥ >0∴ x2+3>3x例2 已知a,bR+，并且a≠b，求证a5+b5>a3b2+a2b3证明：a5+b5-a3b2+a2b3=a5-a3b2-a2b3-b5=a3a2-b2-b3a2-b2=a2-b2a3-b3=a+ba-b2a2+ab+b2∵ a,bR+∴ a+b>0, a2+ab+b2>0又因为a≠b,所以a-b2>0∴ a+ba-b2a2+ab+b2>0即 a5+b5-a3b2+a2b3>0∴ a5+b5>a3b2+a2b3例3 已知a,bR+，求证：aabb≥abba证明：= ∵a,bR+,当a>b时， >1,a-b>0， >1;当a≤b时, ≤1,a-b≤0, ≥1.∴ ≥1, 即aabb≥abba综合法了解算术平均数和几何平均数的概念，能用平均不等式证明其它一些不等式定理1 如果a,bR，那么a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时劝=”号）证明：a2+b2-2ab=a-b2≥0当且仅当a=b时取等号。
所以a2+b2≥2ab当且仅当a=b时取等号。
定理2 如果a,b,cR+，那么a3+b3+c3≥3abc（当且仅当a=b=c时劝=”号）证明：∵a3+b3+c3-3abc=a+b3+c3-3a2b-3ab2-3abc=a+b+ca2+b2+c2-ab-bc-ac=a+b+c[a-b2+b-c2+a-c2]≥0∴ a3+b3+c3≥3abc,很明显，当且仅当a=b=c时取等号。
高二数学不等式的证明知识点归纳
高二数学不等式的证明知识点归纳1.不等式证明的依据2不等式的性质略3重要不等式：①|a|≥0;a2≥0;a-b2≥0a、b∈R②a2+b2≥2aba、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号2.不等式的证明方法1比较法：要证明a>ba0a-b<0，这种证明不等式的方法叫做比较法.用比较法证明不等式的步骤是：作差——变形——判断符号.2综合法：从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法.3分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充分条件，直到所需条件已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做分析法.证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法等.1记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。
记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。
2建立数学纠错本。
把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。
争取做到：找错、析错、改错、防错。
达到：能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。
3熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。
4经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”，如表格化，使知识结构一目了然;经常对习题进行类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一;使几类问题归纳于同一知识方法。
5阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座，多做数学课外题，加大自学力度，拓展自己的知识面。
6及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩固，消灭前学后忘。
7学会从多角度、多层次地进行总结归类。
如：①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。
高二不等式的证明讲义
高二数学不等式同步辅导讲义第1讲 不等式的证明一、辅导内容不等式证明的方法与技巧二、学习指导不等式的证明主要研究对绝对不等式的变形、化简。
其原理是利用不等式的传递性从不等式的左端或右端适当地放大（或缩小）为右端或左端。
不等式的性质是不等式证明的基础。
不等式证明的常规方法有：比较法、综合法、分析法。
比较法的研究对象通常是代数不等式，如整式不等式，分式不等式；综合法主要是用基本不等式及不等式的性质研究非负实数集内的绝对值不等式；当因题目条件简单或结论形式复杂而无法对不等式下手时，可考虑用分析法，但应注重格式，注意规范化用语。
根据题目条件或结论的特殊形式，证明不等式还有一些技巧方法；换元法、反证法、放缩法、判别式法等。
三、典型例题【例1】 设a ，b ∈R ，求证：a 2+b 2≥ab+a+b-1。
解题思路分析：思路一：这是一个整式不等式，可考虑用比较法，在配方过程应体现将a 或b 看成主元的思想，在这样的思想下变形，接下来的配方或因式分解相对容易操作。
作差δ=a 2+b 2-ab-a-b+1=a 2-(b+1)a+b 2-b+1=43b 23b 43)21b a (22+-++- =22)1b (43)21b a (-++-≥0 思路二：注意到不等式两边式子a 2+b 2与ab 的结构特点，联想到基本不等式；为了得到左边的a 与b 项，应用增减项法变形。
增加若干项或减少若干项的技巧在本节应用得较为普遍。
因a 2+b 2≥2ab ，a 2+1≥2a ， b 2+1≥2b 三式同向相加得：a 2+b 2≥ab+a+b-1思路三：在思路一中，作差δ后得到关于a 的二次三项式，除了用配方法，还可以联系二次函数的知识求解。
记f(a)=a 2-(b+1)a+b 2-b+1因二次项系数为正，△=(b+1)2-4(b 2-b+1)=-3(b-1)2≤0 ∴ f(a)≥0【例2】 已知0<a ≤1，0<b ≤1，0<c ≤1，求证：abcc b a cabc ab 1++++++≥1。
高中数学讲义微专题21 多元不等式的证明
微专题21 多元不等式的证明多元不等式的证明是导数综合题的一个难点，其困难之处如何构造合适的一元函数，本章节以一些习题为例介绍常用的处理方法。
一、基础知识1、在处理多元不等式时起码要做好以下准备工作： （1）利用条件粗略确定变量的取值范围（2）处理好相关函数的分析（单调性，奇偶性等），以备使用2、若多元不等式是一个轮换对称式（轮换对称式：一个n 元代数式，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，则称这个代数式为轮换对称式），则可对变量进行定序3、证明多元不等式通常的方法有两个（1）消元：① 利用条件代入消元 ② 不等式变形后对某多元表达式进行整体换元 （2）变量分离后若结构相同，则可将相同的结构构造一个函数，进而通过函数的单调性与自变量大小来证明不等式（3）利用函数的单调性将自变量的不等关系转化为函数值的不等关系，再寻找方法。
二、典型例题：例1：已知()()2ln ,()f x x g x f x ax bx ==++，其中()g x 图像在()()1,g 1处的切线平行于x 轴（1）确定a 与b 的关系（2）设斜率为k 的直线与()f x 的图像交于()()()112212,,,A x y B x y x x <，求证：2111k x x << 解：（1）()2ln g x x ax bx =++ ()'12gx a x bx∴=++，依题意可得： ()()'112021g a b b a =++=⇒=-+（2）思路：21212121ln ln y y x x k x x x x --==--，所证不等式为2122111ln ln 1x x x x x x -<<- 即21221211ln x x x x x x x x --<<，进而可将21xx 视为一个整体进行换元，从而转变为证明一元不等式解：依题意得21212121ln ln y y x x k x x x x --==--，故所证不等式等价于：212122112222112112111ln ln 1ln 1ln 1x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x ---<<⇒<<⇔-<<-- 令21,(1)x t t x =>，则只需证：11ln 1t t t-<<- 先证右边不等式：ln 1ln 10t t t t <-⇔-+< 令()ln 1h x t t =-+ ()'111th t t t-=-=()h t ∴在()1,+∞单调递减 ()()10h t h ∴<=即ln 10t t -+<对于左边不等式：111ln ln 10t t tt-<⇔+->令1()ln 1p t t t =+-，则()'22111t p t t t t-=-=()p t ∴在()1+∞，单调递增 ()()10p t p ∴>=小炼有话说： （1）在证明不等式2122111ln ln 1x x x x x x -<<-时，由于12,x x 独立取值，无法利用等量关系消去一个变量，所以考虑构造表达式()12,f x x ：使得不等式以()12,f x x 为研究对象，再利用换元将多元不等式转变为一元不等式（2）所证不等式为轮换对称式时，若12,x x 独立取值，可对12,x x 定序，从而增加一个可操作的条件例2：已知函数()ln f x x x =． （1）求)(x f 的单调区间和极值；（2）设()()()()1122,,,A x f x B x f x ，且12x x ≠，证明：()()'2112212f x f x x x f x x -+⎛⎫< ⎪-⎝⎭解：（1）定义域为()0,+∞()'ln 1f x x =+令()'0f x > 解得：1x e>∴()f x 的单调增区间是1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x ∴的极小值为1111ln f e e ee ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，无极大值（2）思路：所证不等式等价于证22111221ln ln ln 12x x x x x x x x -+<+-，轮换对称式可设12x x <，进而对不等式进行变形，在考虑能否换元减少变量 证明：不妨设12x x <12()2AB x x k f +'<⇔22111221ln ln ln 12x x x x x x x x -+<+- 121222112121ln ln lnln 22x x x xx x x x x x x x ++-<-+- （由于定序12x x <，去分母避免了分类讨论）212121121222lnln x x x x x x x x x x <+-++ （观察两边同时除以1x ，即可构造出关于21xx 的不等式）两边同除以1x 得，2212221111122ln ln 111x x x x x x x x x x ⋅<+-++ 令21x x t =，则1t >，即证：22lnln 111t t t t t <+-++ 令22()ln ln 111t g t t t t t=--+++2221212()ln112(1)2(1)t t t g t t t t t t ++'=+⋅⋅+⋅-+++2111ln ln(1)1111t t t t t t t t ---=+=+-++++ 令()101t m m t -=>+，()()ln 1h m m m =+- （再次利用整体换元） ()'11011mh m m m=-=-<++，()h m 在()0,+∞上单调递减，所以()()00h m h <=即()ln 1m m +<，即()g t '11ln(1)011t t t t --=+-<++恒成立 ∴()g t 在(1,)+∞上是减函数，所以()(1)0g t g <=∴22ln ln 111t t t t t<+-++得证 所以12()2AB x x k f +'<成立小炼有话说：（1）本题考验不等式的变形，对于不等式212121121222lnln x x x x x x x x x x <+-++而言，观察到每一项具备齐次的特征（不包括对数），所以同除以1x ，结果为21x x 或者1，观察对数的真数，其分式也具备分子分母齐次的特点，所以分子分母同除以1x ，结果为21x x 或者1，进而就将不等式化为以21x x 为核心的不等式 （2）本题进行了两次整体换元，第一次减少变量个数，第二次简化了表达式 例3：已知函数21()2x f x e x ax =--（a ∈R ）． （1）若函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围； （2）如果函数()()212g x f x a x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭恰有两个不同的极值点12,x x , 证明：12ln 22x x a +<． 解： （1）()f x 是R 上是增函数()',0x x R fx e x a ∴∀∈=--≥ (注意：单调递增→导数值0≥）()minxa e x∴≤-设()xh x e x =- ()'1xh x e =-令()'0h x >解得0x > 故()h x 在(),0-∞单调递减，在()0+∞，单调递增()()min 01h x h ∴== 1a ∴≤（2）思路：()()2212x g x f x a x e ax ax ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，()'2xg x e ax a =--。
高二数学不等式的证明PPT教学课件 (3)
例5 已知实数a，b，c，满足a + b + c = 0和abc = 2，求证：a，b，c中至 少有一个不小于2．
构造方程法
小结 1．换元法是数学中一种常用的方法， 要注意多观察，灵活选用三角换元法和代 数换元法．
2．二次函数、一元二次方程、二元二 次不等式联系极为密切．对于某些条件二 次不等式的证明，可以考虑构造相应的二 次函数模型，然后利用一元二次方程的根 的判别式来转化原问题，从而使原不等式 得以证明．
小结
3．有时根据题目特征，构造方程或 构造几何图形，也能使问题迅速得解．
4．教材P12例1、例2均可构造函数证 明(课外完成)．
a2a12
2a12. a
证明一(代数换元法)
常用代数换元法有：“整体换元”， “均值换元”，“设差换元”等．
ห้องสมุดไป่ตู้
例3 若a > 0，求证：
a2a12
2a12. a
证明一(代数换元法)
证明二(构造函数法)
常用构造法有：构造函数、构造方程、 构造几何图形等．
例4 已知 + + = ，求证： x2 + y2 + z2 2xycos + 2yzcos + 2zxcos．
x = ccos，y = csin (0 < 2，0 < r c R)．
(4) 对于 a2 x2，可令x = acos (0
)，或x = asin ( )．
2
2
例2 若x2 + y2 1，求证： | x2 + 2xy y2 | 2 ．
三角换元法
例3 若a > 0，求证：
例1 求证：1x 1x2 1.
不等式的证明课件
古代数学中的不等式
古希腊数学家开始研究不等式，如欧几里得在《几何原本》中提 到了一些简单的不等式。
19世纪的发展
19世纪初，数学家开始系统地研究不等式，特别是几何和三角不 等式，并取得了一系列重要成果。
20世纪的进展
20世纪初，数学家开始深入研究代数和积分不等式，并发展了多 种证明方法和技巧。
不等式在现代数学中的地位和作用
题目2
已知 a > b > 0，求证：√a > √b。
题目3
已知 a > b > 0，求证：a^3 > b^3。
进阶练习题
1 2
题目4
已知 a > b > c，且 a + b + c = 0，求证：a^2 > b^2 + c^2。
题目5
已知 a > b > c > 0，求证：(a - b)(b - c) > 0。
效率。
在经济中的应用
资源配置
不等式可以用来描述经济资源的不等分配，例如 劳动力、资本和土地等资源的配置。
市场需求预测
不等式可以用来预测市场需求的变化范围，帮助 企业制定生产和销售计划。
投资决策
在投资决策中，不等式可以用来评估投资的风险 和收益，帮助投资者做出明智的决策。
04 不等式的扩展知识
不等式的分类
02 不等式的证明方法
代数方法
01
02
03
代数基本不等式
利用代数基本不等式，如 AM-GM不等式、 Cauchy-Schwarz不等式 等，可以证明一些不等式 。
放缩法
通过放缩法，将原不等式 转化为易于证明的形式， 从而得出结论。
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微专题21 多元不等式的证明多元不等式的证明是导数综合题的一个难点，其困难之处如何构造合适的一元函数，本章节以一些习题为例介绍常用的处理方法。
一、基础知识1、在处理多元不等式时起码要做好以下准备工作： （1）利用条件粗略确定变量的取值范围（2）处理好相关函数的分析（单调性，奇偶性等），以备使用2、若多元不等式是一个轮换对称式（轮换对称式：一个n 元代数式，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，则称这个代数式为轮换对称式），则可对变量进行定序3、证明多元不等式通常的方法有两个（1）消元：① 利用条件代入消元 ② 不等式变形后对某多元表达式进行整体换元 （2）变量分离后若结构相同，则可将相同的结构构造一个函数，进而通过函数的单调性与自变量大小来证明不等式（3）利用函数的单调性将自变量的不等关系转化为函数值的不等关系，再寻找方法。
二、典型例题：例1：已知()()2ln ,()f x x g x f x ax bx ==++，其中()g x 图像在()()1,g 1处的切线平行于x 轴（1）确定a 与b 的关系（2）设斜率为k 的直线与()f x 的图像交于()()()112212,,,A x y B x y x x <，求证：2111k x x << 解：（1）()2ln g x x ax bx =++ ()'12g x ax b x∴=++，依题意可得： ()()'112021g a b b a =++=⇒=-+（2）思路：21212121ln ln y y x x k x x x x --==--，所证不等式为2122111ln ln 1x x x x x x -<<- 即21221211ln x x x x x x x x --<<，进而可将21xx 视为一个整体进行换元，从而转变为证明一元不等式解：依题意得21212121ln ln y y x x k x x x x --==--，故所证不等式等价于：212122112222112112111ln ln 1ln 1ln 1x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x ---<<⇒<<⇔-<<-- 令21,(1)x t t x =>，则只需证：11ln 1t t t-<<- 先证右边不等式：ln 1ln 10t t t t <-⇔-+< 令()ln 1h x t t =-+ ()'111th t t t-=-=()h t ∴在()1,+∞单调递减 ()()10h t h ∴<=即ln 10t t -+<对于左边不等式：111ln ln 10t t tt-<⇔+->令1()ln 1p t t t =+-，则()'22111t p t t t t-=-=()p t ∴在()1+∞，单调递增 ()()10p t p ∴>=小炼有话说： （1）在证明不等式2122111ln ln 1x x x x x x -<<-时，由于12,x x 独立取值，无法利用等量关系消去一个变量，所以考虑构造表达式()12,f x x ：使得不等式以()12,f x x 为研究对象，再利用换元将多元不等式转变为一元不等式（2）所证不等式为轮换对称式时，若12,x x 独立取值，可对12,x x 定序，从而增加一个可操作的条件例2：已知函数()ln f x x x =． （1）求)(x f 的单调区间和极值；（2）设()()()()1122,,,A x f x B x f x ，且12x x ≠，证明：()()'2112212f x f x x x f x x -+⎛⎫< ⎪-⎝⎭解：（1）定义域为()0,+∞()'ln 1f x x =+令()'0f x > 解得：1x e>∴()f x 的单调增区间是1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x ∴的极小值为1111ln f e e ee ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，无极大值（2）思路：所证不等式等价于证22111221ln ln ln 12x x x x x x x x -+<+-，轮换对称式可设12x x <，进而对不等式进行变形，在考虑能否换元减少变量 证明：不妨设12x x <12()2AB x x k f +'<⇔22111221ln ln ln 12x x x x x x x x -+<+- 121222112121ln ln lnln 22x x x xx x x x x x x x ++-<-+- （由于定序12x x <，去分母避免了分类讨论）212121121222lnln x x x x x x x x x x <+-++ （观察两边同时除以1x ，即可构造出关于21xx 的不等式）两边同除以1x 得，2212221111122ln ln 111x x x x x x x x x x ⋅<+-++ 令21x x t =，则1t >，即证：22lnln 111t t t t t <+-++ 令22()ln ln 111t g t t t t t=--+++2221212()ln112(1)2(1)t t t g t t t t t t ++'=+⋅⋅+⋅-+++2111ln ln(1)1111t t t t t t t t ---=+=+-++++ 令()101t m m t -=>+，()()ln 1h m m m =+- （再次利用整体换元） ()'11011mh m m m=-=-<++，()h m 在()0,+∞上单调递减，所以()()00h m h <=即()ln 1m m +<，即()g t '11ln(1)011t t t t --=+-<++恒成立 ∴()g t 在(1,)+∞上是减函数，所以()(1)0g t g <=∴22ln ln 111t t t t t<+-++得证 所以12()2AB x x k f +'<成立小炼有话说：（1）本题考验不等式的变形，对于不等式212121121222lnln x x x x x x x x x x <+-++而言，观察到每一项具备齐次的特征（不包括对数），所以同除以1x ，结果为21x x 或者1，观察对数的真数，其分式也具备分子分母齐次的特点，所以分子分母同除以1x ，结果为21x x 或者1，进而就将不等式化为以21x x 为核心的不等式 （2）本题进行了两次整体换元，第一次减少变量个数，第二次简化了表达式 例3：已知函数21()2x f x e x ax =--（a ∈R ）． （1）若函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围； （2）如果函数()()212g x f x a x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭恰有两个不同的极值点12,x x , 证明：12ln 22x x a +<． 解： （1）()f x 是R 上是增函数()',0x x R fx e x a ∴∀∈=--≥ (注意：单调递增→导数值0≥）()minxa e x∴≤-设()xh x e x =- ()'1xh x e =-令()'0h x >解得0x > 故()h x 在(),0-∞单调递减，在()0+∞，单调递增()()min 01h x h ∴== 1a ∴≤（2）思路：()()2212x g x f x a x e ax ax ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，()'2xg x e ax a =--。
所证不等式含有3个字母，考虑利用条件减少变量个数。
由12,x x 为极值点可得12122020x x e ax a e ax a ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩从而可用12,x x 表示a ，简化所证不等式。
解：依题意可得： ()()2212x g x f x a x e ax ax ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，()'2xg x e ax a =--12,x x 是极值点()()12'11'22020020x x g x e ax a g x e ax a ⎧=⎧--=⎪⎪⇒⎨⎨=--=⎪⎪⎩⎩ 两式相减可得：12122x x e e a x x -=-所证不等式等价于：1212121221212ln 2x x x x x x x x e e e ee x x x x ++--<⇔<--，不妨设12x x > 两边同除以2x e 可得：12122121x x x x e ex x ---<-，（此为关键步骤：观察指数幂的特点以及分式的分母，化不同为相同，同除以2xe 使得多项呈12x x -的形式）从而考虑换元减少变量个数。
令12t x x =- ()0,t ∈+∞所证不等式只需证明：221+1<0t t t t e e te e t-<⇔-，设()21tt p x te e =-+ ()'2212t t t p x e e ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由（2）证明可得：2102t t e ⎛⎫-+≥⎪⎝⎭()'0p x ∴≤ ()p t ∴在()0+∞，单调递减，()()00p t p <= 证明完毕∴原不等式成立即12ln 22x x a +< 小炼有话说：本题第（3）问在处理时首先用好极值点的条件，利用导数值等于0的等式消去a ，进而使所证不等式变量个数减少。
最大的亮点在于对121212ln2x x x x e e x x +-<-的处理，此时对数部分无法再做变形，两边取指数，而后同除以2xe ，使得不等式的左右都是以12x x -为整体的表达式，再利用整体换元转化为一元不等式。
例4：已知()()21ln 1f x a x ax =+++ （1）讨论()f x 的单调性（2）设2a ≤-，求证：()()()121212,0,,4x x f x f x x x ∀∈+∞-≥- 解：（1）定义域0x >()2'1212a ax a f x ax x x+++=+= 令()'0f x >，即()2221021ax a ax a ++>⇒>-+① 0a = 则()'0fx >恒成立，()f x 为增函数② 0a > 则()212a x a+>-，()'0f x >恒成立，()f x 为增函数③ 0a <时，()212a x a+<-当1a ≤-，则()'0fx <恒成立，()f x 为减函数当10a -<<时，解得：0x <<（2）思路：所证不等式()()12124f x f x x x -≥-含绝对值，所以考虑能否去掉绝对值，由（1）问可知()f x 单调递减，故只需知道12,x x 的大小即可，观察所证不等式为轮换对称式，且12,x x 任取，进而可定序21x x >，所证不等式()()212144f x f x x x -≥-，即()()221144f x x f x x -≥-，发现不等式两侧为关于12,x x 的同构式，故可以将同构式构造一个函数，从而证明新函数的单调性即可。