高中数学讲义微专题21 多元不等式的证明

微专题21 多元不等式的证明

多元不等式的证明是导数综合题的一个难点，其困难之处如何构造合适的一元函数，本章节以一些习题为例介绍常用的处理方法。 一、基础知识

1、在处理多元不等式时起码要做好以下准备工作： （1）利用条件粗略确定变量的取值范围

（2）处理好相关函数的分析（单调性，奇偶性等），以备使用

2、若多元不等式是一个轮换对称式（轮换对称式：一个n 元代数式，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，则称这个代数式为轮换对称式），则可对变量进行定序

3、证明多元不等式通常的方法有两个

（1）消元：① 利用条件代入消元 ② 不等式变形后对某多元表达式进行整体换元 （2）变量分离后若结构相同，则可将相同的结构构造一个函数，进而通过函数的单调性与自变量大小来证明不等式

（3）利用函数的单调性将自变量的不等关系转化为函数值的不等关系，再寻找方法。 二、典型例题：

例1：已知()()2

ln ,()f x x g x f x ax bx ==++，其中()g x 图像在()()

1,g 1处的切线平行于

x 轴

（1）确定a 与b 的关系

（2）设斜率为k 的直线与()f x 的图像交于()()()112212,,,A x y B x y x x <，求证：

21

11k x x << 解：（1）()2

ln g x x ax bx =++ ()'

1

2g x ax b x

∴=

++，依题意可得： ()()'112021g a b b a =++=⇒=-+

（2）思路：21212121ln ln y y x x k x x x x --=

=--，所证不等式为

212211

1ln ln 1

x x x x x x -<<- 即

21221211ln x x x x x x x x --<<，进而可将21

x

x 视为一个整体进行换元，从而转变为证明一元不等式

解：依题意得2121

2121

ln ln y y x x k x x x x --=

=--，故所证不等式等价于：

21212211222211211211

1ln ln 1ln 1ln 1x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x ---<<⇒<<⇔-<<-- 令21,(1)x t t x =

>，则只需证：1

1ln 1t t t

-<<- 先证右边不等式：ln 1ln 10t t t t <-⇔-+< 令()ln 1h x t t =-+ ()'

111t

h t t t

-=

-=

()h t ∴在()1,+∞单调递减 ()()10h t h ∴<=

即ln 10t t -+<

对于左边不等式：1

1

1ln ln 10t t t

t

-<⇔+->

令1()ln 1p t t t =+-，则()'

22111t p t t t t

-=-=

()p t ∴在()1+∞，单调递增 ()()10p t p ∴>=

小炼有话说： （1）在证明不等式

212211

1ln ln 1

x x x x x x -<<-时，由于12,x x 独立取值，无法利用等量关系消去一个变量，所以考虑构造表达式()12,f x x ：使得不等式以()12,f x x 为研究对象，再利用换元将多元不等式转变为一元不等式

（2）所证不等式为轮换对称式时，若12,x x 独立取值，可对12,x x 定序，从而增加一个可操作的条件

例2：已知函数()ln f x x x =． （1）求)(x f 的单调区间和极值；

（2）设()()()()

1122,,,A x f x B x f x ，且12x x ≠，证明：()()'2112212f x f x x x f x x -+⎛⎫

< ⎪-⎝⎭

解：

（1）定义域为()0,+∞

()'ln 1f x x =+

令()'0f x > 解得：1x e

>

∴()f x 的单调增区间是1,e

⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭

，单调减区间是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭

()f x ∴的极小值为111

1ln f e e e

e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，无极大值

（2）思路：所证不等式等价于证

221112

21ln ln ln 12

x x x x x x x x -+<+-，轮换对称式可设12x x <，

进而对不等式进行变形，在考虑能否换元减少变量 证明：不妨设12x x <

12

(

)2

AB x x k f +'<⇔2

2111221ln ln ln 12x x x x x x x x -+<+- 121222112121ln ln ln

ln 22

x x x x

x x x x x x x x ++-<-+- （由于定序12x x <，去分母避免了分类讨论）

212121121222ln

ln x x x x x x x x x x <+-++ （观察两边同时除以1x ，即可构造出关于2

1

x

x 的不等式）

两边同除以1x 得，2

2122

2111

11

22

ln ln 111x x x x x x x x x x ⋅

<+-++ 令21x x t =，则1t >，

即证：22

ln

ln 111t t t t t <+-++ 令22

()ln ln 111t g t t t t t

=--+++

22

21212()ln

112(1)2(1)t t t g t t t t t t ++'=+⋅⋅+⋅-+++2111ln ln(1)1111

t t t t t t t t ---=+=+-++++ 令

()1

01

t m m t -=>+，()()ln 1h m m m =+- （再次利用整体换元） ()'11011m

h m m m

=-=-<++，()h m 在()0,+∞上单调递减，所以()()00h m h <=

即()ln 1m m +<，即()g t '11

ln(1)011

t t t t --=+

-<++恒成立 ∴()g t 在(1,)+∞上是减函数，所以()(1)0g t g <=