复合函数单调性精品PPT课件

第一步：取值 第二步：作差变形 第三步：定号 第四步：判断下结论
复习准备
3、现在已经学过的判断函数单调性有些什 么方法？
另:
正比例函数：y=kx (k≠0) 反比例函数：y=k/x (k≠0) 一次函数ｙ＝kx＋b (k≠0) 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)
y x,
y cx d , ax b
又因为x>0时，f(x)<0,f(x2 -x1)<0
即f(x2) f(x1)<0,f(x1)>f(x2)
由函数单调性定义知，f(x)是R上的减函数
练习：已知函数f(x)对任意x,y R,总有f(x+y)=f(x)+f(y),
且当x>0时,f(x)<0,f(1)=- 2 3
(1)求证:f(x)是R上的减函数;
键在于充分利用题 f ( x)为R＋上的增函数
目所给的条件，本 题就抓住这点想办 法构造出f(8)=3,这 样就能用单调性解 不等式了。
x0
x20
解得x 2，4
x2 2x 8
P106(8)
练习：已知函数f(x)对任意x,y R,总有f(x+y)=f(x)+f(y),
且当x>0时,f(x)<0,f(1)=- 2 3
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
且f(x－1)<f(x2－1),
1 x 1 1 易错点
求x的取值范围。
1 x2 1 1
注： 在利用函数的
x 1 x2 1
单调性解不等式的 时候，一定要注意 定义域的限制。
0 x2
0
x2 21
x
2
保证实施的是等价 转化
x 0或x 1
练习P106(6)
例4：已知f(x)在其定 义域R＋上为增函数，
练习： 求函数y x2 4x 3的单调区间。
注意： 在原函数定义域内讨论函数的单调性
例2：设y=f(x)
解：y=f(2-x)是由y=f(u)和u=2-x 复合而成
的单调增区间
来自百度文库
由已知得2<u<6 2<2-x<6
是(2,6)，求函 数y=f(2－x)的
x （－4，0） y=f(u)在（2，6 ）上是增函数， u 2 x在x (4, 0)上是减函数，
(1)求证:f(x)是R上的减函数;
(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 证明：（1）令x=y=0可得f(0)=0,令x=-y可得
f(0)=f(x)+f(-x), f(-x)=-f(x)
在R上任取两数x1,x2且x1<x2则f(x2 ) f(x1) =f(x2 )+f(-x1)=f(x2 -x1) x1<x2 x2 -x1>0
P105(3)
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败 也是伟大的，所以不要放弃，坚持 就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y). 解不等式
解： f ( xy) f ( x) f ( y) f (4) f (2) f (2) 2 f (8) f (4) f (2) 3
f(x)+f(x－2) ≤3
又f ( x) f ( x 2) f ( x2 2x)
解此类题型关 由题意有f ( x2 2x) f (8)
y xa, x
y ax b (a 0, b 0). x
复合函数的单调性
复合函数： y=f[g(x)]
令 u=g(x)
内函数
则 y=f(u)
外函数
y=f[g(x)] 原函数
以x为自变量 以u为自变量 以x为自变量
复合函数单调性定理：
①当内外函数在各自定义域内同增同减时，原函数增 ②当内外函数在各自定义域内一增一减时，原函数减
单调区间。
由复合函数单调性可知，
y=f (2 x)在（－4，0）上是减函数。
注意：求单调区 间时，一定要先 f (2 x)的单减区间是（－4，0）
看定义域。
P103(4,6)
题型2.解不等式
例义在3：[－已1知,1：]上f(的x)增是函定数，可解转：化依为题不意等，式f (组x 1) f (x2 1)
复合函数f[g(x)]由f(u)和g(x)
的单调性共同决定。它们之
法
间有如下关系：
则
f(u)
同
增
g(x)
异
f[g(x)]
减
三个函数y=f(u),u=g(x),y=f[g(x)]中，若有两个函数 单调性相同，则第三个函数为增函数；若有两个函 数单调性相反，则第三个函数为减函数。
题型1.求单调区间
例1、求函数y x2 2x-3的单调区间。
复习准备
1、函数单调性的定义是什么？ 对于给定区间I上的函数f(x)，若对于I
上的任意两个值x1,x2，当x1<x2时，都有 f(x1)<(>)f(x2),则称f(x)是I上的增（减）函数， 区间I称为f(x)的增（减）区间。
复习准备
2、证明函数单调性的步骤是什么？ 证明函数单调性应该按下列步骤进行：
解：x2 2x - 3 0 x -3，或x 1
原函数的定义域为（－ ，－3］［1，＋）
令u x2 2x - 3 ,则y u
y u在［0，＋）为增函数， 而u x2 2x - 3在（－，－3］为减函数 在［1，＋）上为增函数
函数y x2 2x-3的单调递增区间为［1，＋）， 单调递减区间为（－，－3 ］
(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.
(2) f(x)在R上是减函数，f(x)在［－3，3］上也是减函数
f(x)min =f(3),f(x)max =f(-3)
2
f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=3 (- )= 2
3
f(-3)=-f(3)=2
函数f(x)在［－3，3］上最大值为2，最小值为－2.