复合函数单调性精品PPT课件
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2024版《函数的单调性》全市一等奖完整版PPT课件
利用单调性证明不等式
1 2
构造函数 根据不等式的特点，构造一个与不等式相关的函 数。
判断函数单调性 通过求导或差分等方法判断所构造函数的单调性。
3
利用单调性证明不等式 根据函数的单调性，结合不等式的性质，证明不 等式成立。
2024/1/29
18
利用单调性解决实际应用问题
要点一
建立数学模型
要点二
判断函数单调性
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21
导数与微分在函数单调性研究中的应用
导数大于零的区间内函数单调 增加，导数小于零的区间内函 数单调减少。
2024/1/29
导数等于零的点为函数的驻点， 需要进一步判断其左右两侧导 数的符号来确定该点的单调性。
微分的概念可以应用于函数单 调性的研究，通过微分可以分 析函数的局部变化率，进而判 断函数的单调性。
14
指数函数与对数函数
对数函数 $y = log_a x$（$a > 0, a neq 1$）的单调 性
当 $0 < a < 1$ 时，函数在 $(0, +infty)$ 上单调递减。
当 $a > 1$ 时，函数在 $(0, +infty)$ 上单调递增。
指数函数与对数函数的图像关于直线 $y = x$ 对称，即 互为反函数。
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19
05
函数单调性与其他知识点关联
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20
函数奇偶性与周期性对单调性影响
奇函数在对称区间上的单调性相 同，偶函数在对称区间上的单调
性相反。
周期函数在一个周期内的单调性 与整体单调性一致，可以通过研 究一个周期内的单调性推断整体
的单调性。
高一数学新人教A版必修1课件《复合函数的单调性》
f(x)+f(x－2) ≤3
又f ( x) f ( x 2) f ( x2 2x)
解此类题型关 由题意有f ( x2 2x) f (8)
键在于充分利用题 f ( x)为R＋上的 增函数
目所给的条件，本 题就抓住这点想办 法构造出f(8)=3,这 样就能用单调性解 不等式了。
练习：
求函数y x2 4x 3的单调区间。
注意： 在原函数定义域内讨论函数的单调性
例2：设y=f(x)
解：y=f(2-x)是由y=f(u)和u=2-x 复合而成
的单调增区间
由已知得2<u<6 2<2-x<6
是(2,6)，求函 数y=f(2－x)的
x （－4，0） y=f(u)在（2，6）上是增函数， u 2 x在x (4, 0)上是减函数，
即f(x2) f(x1)<0,f(x1)>f(x2)
由函数单调性定义知，f(x)是R上的减函数
练习：已知函数f(x)对任意x,y R,总有f(x+y)=f(x)+f(y),
且当x>0时,f(x)<0,f(1)=- 2 3
(1)求证:f(x)是R上的减函数;
(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.
且f(x－1)<f(x2－1),
1 x 1 1 易错点
求x的取值范围。
1 x2 1 1
注： 在利用函数的
单调性解不等式的 时候，一定要注意 定义域的限制。
x 1 x2 1
0 x2
0
x2
21
x
2
保证实施的是等价 转化
复合函数单调性课件
复合函数单调性与极值的关系
总结词
复合函数的单调性与极值之间存在密切关系。
详细描述
当一个复合函数在某区间内单调递增或递减时，该函数在该区间内可能存在极值点。极值点是函数值发生变化的点， 它们对于确定函数的整体性质具有重要意义。
举例
设 $f(x) = x^3$，这是一个关于 $x$ 的单调递增的复合函数。在 $x = 0$ 处，该函数取得极小值点；而 在 $x < 0$ 或 $x > 0$ 的区间内，该函数是单调递增的。
复合函数的表示方法
设$y = f(u)$，$u = g(x)$，则复合 函数为$y = f(g(x))$。
复合函数的性质
连续性
复合函数在定义域内连续，即若 $f(u)$和$g(x)$在各自的定义域
内连续，则复合函数$y = f(g(x))$在定义域内也连续。
可导性
若$f(u)$和$g(x)$在各自的定义域 内可导，则复合函数$y = f(g(x))$ 在定义域内也可导。
导数的几何意义
表示曲线在某点的切线斜率。
03
导数的应用
判断函数的单调性、求极值、求拐点等。
02
单调性的概念与性质
单调性的定义
定义
如果对于任意$x_{1} < x_{2}$，都有$f(x_{1}) leq f(x_{2})$（或$f(x_{1}) geq f(x_{2})$），则称函数$f(x)$在区间$I$上单调递增（或单调递减）。
举例
设 $f(x) = x^2$，$g(x) = frac{1}{x}$，$h(x) = log_2(x)$ ，考虑复合函数 $f(g(h(x))) = (log_2x)^2$。在 $x > 1$ 的区 间内，该复合函数是单调递增的 ，而在 $0 < x < 1$ 的区间内， 该复合函数是单调递减的。
指数型复合函数的单调性课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
指数型复合函数单调性的判断：
例1.判断 =
2 +4
1
的单调性。
2
解：易知函数的定义域为，
设 = 2 + 4 = + 2 2 − 4，则在(−∞， − 2]上为减函数，在
(−2， + ∞)上为增函数。
又因 =
1
为减函数，
2
所以，原函数的增区间为(−∞， − 2]，减区间为(−2， + ∞)。
练习1：(1)函数 =
2
1 −1
的单调递增区间为（
2
A ）
A.(−∞，0)
B.[0， + ∞)
C.(−∞， − 1]
D.[1， + ∞)
(2)函数 = 2
+3 2 的单调递减区间为（
C ）
A.(−∞，3)
B.[3， + ∞)
C.(−∞， − 3)
D.[−3， + ∞)
指数型复合函数单调性的判断：
练习2：若函数()的定义域为[0,1]，求函数() = ( +
的定义域
解：要使函数有意义，必须
1
4
1
4
0≤+ ≤1
0≤− ≤1
1
则
4
≤≤
3
4
1
4
3
4
故()的定义域为( ， ]。
，即
1
3
− ≤≤
4
4
1
5
≤≤
4
4
1
)
4
+ (
1) ，其定义域仍为 的 取值范围，而不是 () 的范围。
1
2
又因0 < < 1，则函数 =
复合函数的单调性 ppt课件
(5) 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是 增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)]为 减函数。
2020/12/2
5
•复合函数的单调性
若u=g(x) 增函数 减函数 增函数 减函数
y=f(u) 增函数 减函数 减函数 增函数 则y=f[g(x)] 增函数 增函数 减函数 减函数
规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增
函数；当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是
减函数。 “同增异减”
2020/12/2
以(－∞，1)是复合函数的单调减区间.
u=x2－4x+3=(x－2)2－1,
x＞3或x＜1，(复合函数定义域)
x＞2 (u增)
解得x＞3.所以(3，+∞)是复合函数的单调增区间.
2020/12/2
8
例2 求下列复合函数的单调区间： y=log(2x－x2)
解: 设 y=logu,u=2x－x2.由u＞0,u=2x－x2
因为u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x1)>g(x2), 记u1=g(x1),u2=g(x2),即u1>u2，且u1,u2 (c,d).因为 函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)<f(u2), 即y=f[g(x1)]< y=f[g(x2)],故函数y=f[g(x)]在区间(a,b) 上是增函数。
4
•复合函数的单调性
引理2：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b) 上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间 (c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在 区间(a,b)上是增函数。
证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使a<x1<x2<b,
高中数学复合函数单调性高一数学A层优秀课件
增函数
减函数
同
减函数
减函数
增函数
增
规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数； 异 当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数。 减
例1、求函数y x2 2x-3的单调区间。
解：x2 2x - 3 0 x -3，或x 1
函数的定义域为（－，－3］［1，＋）
结论3：假设f(x) 在R上是增函数， g(x)在R上是 减函数，那么函数y=f(x) －g(x)也是增函数
结论4：假设f(x) 在R上是减函数， g(x)在R上是 增函数，那么函数y=f(x) －g(x)也是减函数
即：同加不变，异减同前
复合函数的定义：
如果y是u的函数,u又是x的函数， 即ｙ=f(ｕ) ,ｕ=g(ｘ),那么ｙ 关于ｘ的函数ｙ＝ｆ[ｇ(ｘ)］ 叫做函数y=f(ｕ)和u=g(x)的复 合函数，u叫做中间变量，x叫自 变量，y叫函数值。
易知 u=－x2－6x+7=－(x+3)2+16 在 x≥－3 时单调减， 解得－3≤x≤1，所以［－3，1］是复合函数的单调减区间.
作业：
（1）求y x2 4x 5函数的单调区间。 （2）求函数y x2 4x 3的单调递减区间。
解：设 y= u ,u=7－6x－x2,由 u≥0,u=7－6x－x2 解得原复合函数的定义域为－7≤x≤1.
因为 y= u 在定义域［0+∞］内是增函数，所以由引理知，原 复合函数的单调性与二次函数 u=－x2－6x+7 的单调性相同.
易知 u=-x2-6x+7=-(x+3)2+16 在 x≤-3 时单调增加。 所以-7，-3是复合函数的单调增区间.
复合函数的单调性公开课一等奖课件省赛课获奖课件
4、利用复合函数单调 性的规则进行判断。
小结
1、如何用定义证 明函数的单调性？
2、判断函数的单 调性有哪些办法？
3、与单调性有关 的题型大致有哪 些？
1、已知单调性，求参数范 围。（有时候需要讨论）
2、利用函数单调性求函 数的值域或最值。
3、利用单调性求解不等 式。（重在转化问题）
4、求函数单调区间的题 型（包括求复合函数单调 区间）
小结
1、如何用定义证 明函数的单调性？
2、判断函数的单 调性有哪些办法？
3、与单调性有关 的题型大致有哪 些？
取值 作差 变形 定号
下结论
小结
1、如何用定义证 明函数的单调性？
2、判断函数的单 调性有哪些办法？
3、与单调性有关 的题型大致有哪 些？
1、定义法
2、图象法
3、利用已知函数的单调 性，通过一些简单结论、 性质作出判断。
练习：如果 f(x)=x2－(a－1)x+5 在区间（0.5，1） 上是增函数，那么 f(2)的取值范畴是什 么？
答案：[7,＋∞）
解：y x2 2ax a2 1 的减区间是（－ ，a], 显然，（－，1) （－，a], 即a 1
解这类由二次函数单调性求 参数范畴的题，最佳将二次 函数的图象画出来，通过图 象进行分析，能够将抽象的 问题形象化。
解：令t(x) 2 x,则由已知得 f (t)在t （2，6）上是增函数， 而t(x) 2 x （2，6） x （－4，0） 又t(x) 2 x在x (4,0)上 是单减的， 由复合函数单调性可知， f (2 x) f [t(x)]在x （－4，0） 上是单调递减的。
f (2 x)的单减区间是（－4，0）
当k>0时，单调性相似；
小结
1、如何用定义证 明函数的单调性？
2、判断函数的单 调性有哪些办法？
3、与单调性有关 的题型大致有哪 些？
1、已知单调性，求参数范 围。（有时候需要讨论）
2、利用函数单调性求函 数的值域或最值。
3、利用单调性求解不等 式。（重在转化问题）
4、求函数单调区间的题 型（包括求复合函数单调 区间）
小结
1、如何用定义证 明函数的单调性？
2、判断函数的单 调性有哪些办法？
3、与单调性有关 的题型大致有哪 些？
取值 作差 变形 定号
下结论
小结
1、如何用定义证 明函数的单调性？
2、判断函数的单 调性有哪些办法？
3、与单调性有关 的题型大致有哪 些？
1、定义法
2、图象法
3、利用已知函数的单调 性，通过一些简单结论、 性质作出判断。
练习：如果 f(x)=x2－(a－1)x+5 在区间（0.5，1） 上是增函数，那么 f(2)的取值范畴是什 么？
答案：[7,＋∞）
解：y x2 2ax a2 1 的减区间是（－ ，a], 显然，（－，1) （－，a], 即a 1
解这类由二次函数单调性求 参数范畴的题，最佳将二次 函数的图象画出来，通过图 象进行分析，能够将抽象的 问题形象化。
解：令t(x) 2 x,则由已知得 f (t)在t （2，6）上是增函数， 而t(x) 2 x （2，6） x （－4，0） 又t(x) 2 x在x (4,0)上 是单减的， 由复合函数单调性可知， f (2 x) f [t(x)]在x （－4，0） 上是单调递减的。
f (2 x)的单减区间是（－4，0）
当k>0时，单调性相似；
2021高中数学课件复合函数ppt课件优选PPT
拓 展 2 ： 判 断 函 数 f ( x ) l o g x 2 4 x 3 的 单 调 性 。 a
五.练习：
练习 1：求y x2 4x5函数的单调区间。
练习2.求函数 y 3x2x6的单调递减区间。
练3： 习求 y函 lo26 g 数 xx2的单调递
练习 1：求y x2 4x5函数的单调区间。
yax(a1)
O
x
图象的解析y式a是 x(a： 0且a0)。此函数是指数函
当a1时，函数 在 ,上是增函数； 当0a1时，函数 在 ,上是减函数。
y O
yloag x(a1)
x
yloaxg (0a1)
图象的解析y式 lo是 agx(： a0且a1)。此函数是对数
当a1时，函数 0， 在 上是增函数； 当0a1时，函数 0， 在 上是减函数。
（2）掌握复合函数单调性的判断方法。
QQ群：17556963故 2 函 数 y x 2 4 x 3 的 单 调 递 减 区 间 为 2 ,3 。
苏州大学：P73 复习题。
(问：函y数 x24x3的单调递增区间？是）什么
小结:在求解函数单调区间时必须注意单调区间是定义域的某个区间。
例 3.求 函 数 y 1 2 x24x3的 单 调 递 减 区 间 。
上是增函数。
2
cQQQoQQQm群群:/1t3m：：1x811k277_455d155o166c899i9n66；33；22 又tx122123在3,12上是增函数。
com/tmxk_docin ；
小QQ结:1:3在18求24解11函89数；单 调区函 间时必须y数 注 意单l调o区间2g是6定 义域x的 某个x区2间的 。 单调递增 3， 区 1 2。 间为
五.练习：
练习 1：求y x2 4x5函数的单调区间。
练习2.求函数 y 3x2x6的单调递减区间。
练3： 习求 y函 lo26 g 数 xx2的单调递
练习 1：求y x2 4x5函数的单调区间。
yax(a1)
O
x
图象的解析y式a是 x(a： 0且a0)。此函数是指数函
当a1时，函数 在 ,上是增函数； 当0a1时，函数 在 ,上是减函数。
y O
yloag x(a1)
x
yloaxg (0a1)
图象的解析y式 lo是 agx(： a0且a1)。此函数是对数
当a1时，函数 0， 在 上是增函数； 当0a1时，函数 0， 在 上是减函数。
（2）掌握复合函数单调性的判断方法。
QQ群：17556963故 2 函 数 y x 2 4 x 3 的 单 调 递 减 区 间 为 2 ,3 。
苏州大学：P73 复习题。
(问：函y数 x24x3的单调递增区间？是）什么
小结:在求解函数单调区间时必须注意单调区间是定义域的某个区间。
例 3.求 函 数 y 1 2 x24x3的 单 调 递 减 区 间 。
上是增函数。
2
cQQQoQQQm群群:/1t3m：：1x811k277_455d155o166c899i9n66；33；22 又tx122123在3,12上是增函数。
com/tmxk_docin ；
小QQ结:1:3在18求24解11函89数；单 调区函 间时必须y数 注 意单l调o区间2g是6定 义域x的 某个x区2间的 。 单调递增 3， 区 1 2。 间为
复合函数的单调性
2、掌握求解复合函数单调区间的一般步骤:
(1)求复合函数的定义域
(2)求u=g(x)的单调区间，判断y=f (u)的单调
性(3)利用“同增异减”下结论
作业
1、求函数 ylog2(4x25x1 的)单调区间.
2、求函数
y
1 2
1 x
的单调区间.
思考题：已知函数y=f (x)在R上是减函数，
求
函数y=f (|1 - x|)的单调递增区间.
2
教辅P84 课后评价 13
练习
1、下列函数在(0,+∞)上是增函数的是 （ D）
1
A.y 5x
C.y log1 (2x 1)
2
1
B.y
1x1 3
x1
D.y
1 2
x
2、函数y log1(2x 4) 的递增区间是 ____________ 2
小结：
1、在求函数的值域、最值、单调区间、奇偶性 时，首先必须考察函数的定义域.
答案：
单调减区间：
1 4
,
2
单调增区间：
3 2
,
1 4
求函数 f(x)log1(2x2x6)的单调区间
2
求函数 f(x ) lo g a ( 2 x 2 x 6 ) ( a 0 ,a 1 ) 的单调 区间
例题讲解
例4、已知函数y=loga(x2-4ax+2)在区间(1，
4)上
答是案减：函0数 a，求1或 实a数a2的取值范围
答案： 单调减区间：(-∞，-3] 单调增区间：[2，+∞)
方法总结：1、求复合函数的定义域
2、求u=g(x)的单调区间，判断 y=f (u)的单调性
3、利用“同增异减”下结论
(1)求复合函数的定义域
(2)求u=g(x)的单调区间，判断y=f (u)的单调
性(3)利用“同增异减”下结论
作业
1、求函数 ylog2(4x25x1 的)单调区间.
2、求函数
y
1 2
1 x
的单调区间.
思考题：已知函数y=f (x)在R上是减函数，
求
函数y=f (|1 - x|)的单调递增区间.
2
教辅P84 课后评价 13
练习
1、下列函数在(0,+∞)上是增函数的是 （ D）
1
A.y 5x
C.y log1 (2x 1)
2
1
B.y
1x1 3
x1
D.y
1 2
x
2、函数y log1(2x 4) 的递增区间是 ____________ 2
小结：
1、在求函数的值域、最值、单调区间、奇偶性 时，首先必须考察函数的定义域.
答案：
单调减区间：
1 4
,
2
单调增区间：
3 2
,
1 4
求函数 f(x)log1(2x2x6)的单调区间
2
求函数 f(x ) lo g a ( 2 x 2 x 6 ) ( a 0 ,a 1 ) 的单调 区间
例题讲解
例4、已知函数y=loga(x2-4ax+2)在区间(1，
4)上
答是案减：函0数 a，求1或 实a数a2的取值范围
答案： 单调减区间：(-∞，-3] 单调增区间：[2，+∞)
方法总结：1、求复合函数的定义域
2、求u=g(x)的单调区间，判断 y=f (u)的单调性
3、利用“同增异减”下结论
复合函数的单调性课件必修一
解：函f数 (x)的定义域R。 是
令 u x 2 2 x 6 x 1 2 7 ,则 y 3 u
y 3u在定义域内是增函数。
又 u x 1 2 7 在 ,1 上是减 1 ,上 函是 数
y3x2 2x 6在 ,1 上是减 1 ,函 上 数 是， 增在 函
y3x22x6的单调递减 区 ， 1 间为
复合函数的单调性课件必修一
1
已经学过的判断函数单调性的方法有哪些？
1.定义法 2.图像法
一.函数单调性的定义：
一般地f， (x)的 设 定 函 义 A,区 数 域 I间 A 为 .
1增函数：如果 I内对 的于 任区 意间 x1两 ,x2,个值
当x1x2时，都 f(x1有 )f(x2),那么就 y说 f(x) 在区I上 间是单调增函数。
当 k0 时 ， 此 函 数 为 增 函 数 ， 函 数 的 单 调 递 增 区 间 为 , ， 当 k0 时 ， 此 函 数 为 减 函 数 ， 函 数 的 单 调 递 减 区 间 为 , 。
y
yax(0a1)
yax(a1)
O
x
图象的解析y式a是 x(a： 0且a0)。此函数是指数函
当a1时，函数 在 ,上是增函数； 当0a1时，函数 在 ,上是减函数。
三.复合函数的定义
函数y=f[g(x)]称为函数y=f(u)及u=g(x) 的复合函数
四.复合函数单调性
对于复合 yf函 [g(x数 )的 ] 单调性，y 必 f(u须 )与考 ug(x)的单调性，y 从 f[g而 (x)的 ]得单 出调性。
y f(x)
增函数增函数 减函数 增函数 减函数
yf[g(x)] 增函数 减函数 减函数 增函数
小结：同增异减。研究函数的单调性，首先考虑函数的定 义域，要注意函数的单调区间是函数定义域内的某个区间。
令 u x 2 2 x 6 x 1 2 7 ,则 y 3 u
y 3u在定义域内是增函数。
又 u x 1 2 7 在 ,1 上是减 1 ,上 函是 数
y3x2 2x 6在 ,1 上是减 1 ,函 上 数 是， 增在 函
y3x22x6的单调递减 区 ， 1 间为
复合函数的单调性课件必修一
1
已经学过的判断函数单调性的方法有哪些？
1.定义法 2.图像法
一.函数单调性的定义：
一般地f， (x)的 设 定 函 义 A,区 数 域 I间 A 为 .
1增函数：如果 I内对 的于 任区 意间 x1两 ,x2,个值
当x1x2时，都 f(x1有 )f(x2),那么就 y说 f(x) 在区I上 间是单调增函数。
当 k0 时 ， 此 函 数 为 增 函 数 ， 函 数 的 单 调 递 增 区 间 为 , ， 当 k0 时 ， 此 函 数 为 减 函 数 ， 函 数 的 单 调 递 减 区 间 为 , 。
y
yax(0a1)
yax(a1)
O
x
图象的解析y式a是 x(a： 0且a0)。此函数是指数函
当a1时，函数 在 ,上是增函数； 当0a1时，函数 在 ,上是减函数。
三.复合函数的定义
函数y=f[g(x)]称为函数y=f(u)及u=g(x) 的复合函数
四.复合函数单调性
对于复合 yf函 [g(x数 )的 ] 单调性，y 必 f(u须 )与考 ug(x)的单调性，y 从 f[g而 (x)的 ]得单 出调性。
y f(x)
增函数增函数 减函数 增函数 减函数
yf[g(x)] 增函数 减函数 减函数 增函数
小结：同增异减。研究函数的单调性，首先考虑函数的定 义域，要注意函数的单调区间是函数定义域内的某个区间。
复合函数单调性-省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
练习2： 将 0.32 ， log20.5 ， log0.51.5 由 小 到 大 排 列 ，
顺序是：log20.5< log0.51.5<0.32
练习3： 比较a1，a2 ，a3， a4旳大小
y
y=loga2x y=loga1x
（1 , 0） x
y=loga4x y=loga3x
a1 ﹥a2 ﹥1 ﹥ a3 ﹥ a4 ﹥0
⑴解不等式 ①lg (x2-3x-4)≥lg (2x+10); ②log a (x2-x)≥log a (x+1),(a为常数)
⑵已知函数y=loga(x2-2x)，(a>0,a≠1) ① 求它旳单调区间；
②当0<a<1时，分别在各单调区间上求它旳反函 数。
⑶已知函数y=loga
x b (a>0, b>0, 且 a≠1) xb
y
y x
O
x
y x在定义域 0, 上是增函数。
复合函数单调性
对于复合函数y f [g(x)]的单调性，必须考虑y f (u)与 u g(x)的单调性，从而得出y f [g(x)]的单调性。
y f (x)
u g(x)
y f [g(x)]
增函数
增函数
增函数
增函数 减函数 减函数
减函数 增函数 减函数
同增异减
（三）求复合函数旳单调区间. 注意：求函数旳单调区间首先要求函数旳定义域.
图像
定义域
(0,+∞)
(0,+∞) (0,+∞)
值域
R
R
R
单调性 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数
过定点
顺序是：log20.5< log0.51.5<0.32
练习3： 比较a1，a2 ，a3， a4旳大小
y
y=loga2x y=loga1x
（1 , 0） x
y=loga4x y=loga3x
a1 ﹥a2 ﹥1 ﹥ a3 ﹥ a4 ﹥0
⑴解不等式 ①lg (x2-3x-4)≥lg (2x+10); ②log a (x2-x)≥log a (x+1),(a为常数)
⑵已知函数y=loga(x2-2x)，(a>0,a≠1) ① 求它旳单调区间；
②当0<a<1时，分别在各单调区间上求它旳反函 数。
⑶已知函数y=loga
x b (a>0, b>0, 且 a≠1) xb
y
y x
O
x
y x在定义域 0, 上是增函数。
复合函数单调性
对于复合函数y f [g(x)]的单调性，必须考虑y f (u)与 u g(x)的单调性，从而得出y f [g(x)]的单调性。
y f (x)
u g(x)
y f [g(x)]
增函数
增函数
增函数
增函数 减函数 减函数
减函数 增函数 减函数
同增异减
（三）求复合函数旳单调区间. 注意：求函数旳单调区间首先要求函数旳定义域.
图像
定义域
(0,+∞)
(0,+∞) (0,+∞)
值域
R
R
R
单调性 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数
过定点
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演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
解：x2 2x - 3 0 x -3，或x 1
原函数的定义域为（－ ，－3］［1，＋）
令u x2 2x - 3 ,则y u
y u在［0，＋）为增函数， 而u x2 2x - 3在（－，－3］为减函数 在［1，＋）上为增函数
函数y x2 2x-3的单调递增区间为［1，＋）， 单调递减区间为（－，－3 ］
且f(x－1)<f(x2－1),
1 x 1 1 易错点
求x的取值范围。
1 x2 1 1
注： 在利用函数的
x 1 x2 1
单调性解不等式的 时候，一定要注意 定义域的限制。
0 x2
0
x2 21
x
2
保证实施的是等价 转化
x 0或x 1
练习P106(6)
例4：已知f(x)在其定 义域R＋上为增函数，
复习准备
1、函数单调性的定义是什么？ 对于给定区间I上的函数f(x)，若对于I
上的任意两个值x1,x2，当x1<x2时，都有 f(x1)<(>)f(x2),则称f(x)是I上的增（减）函数， 区间I称为f(x)的增（减）区间。
复习准备
2、证明函数单调性的步骤是什么？ 证明函数单调性应该按下列步骤进行：
f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y). 解不等式
解： f ( xy) f ( x) f ( y) f (4) f (2) f (2) 2 f (8) f (4) f (2) 3
f(x)+f(x－2) ≤3
又f ( x) f ( x 2) f ( x2 2x)
解此类题型关 由题意有f ( x2 2x) f (8)
y xa, x
y ax b (a 0, b 0). x
复合函数的单调性
复合函数： y=f[g(x)]
令 u=g(x)
内函数
则 y=f(u)
外函数
y=f[g(x)] 原函数
以x为自变量 以u为自变量 以x为自变量
复合函数单调性定理：
①当内外函数在各自定义域内同增同减时，原函数增 ②当内外函数在各自定义域内一增一减时，原函数减
(1)求证:f(x)是R上的减函数;
(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 证明：（1）令x=y=0可得f(0)=0,令x=-y可得
f(0)=f(x)+f(-x), f(-x)=-f(x)
在R上任取两数x1,x2且x1<x2则f(x2 ) f(x1) =f(x2 )+f(-x1)=f(x2 -x1) x1<x2 x2 -x1>0
复合函数f[g(x)]由f(u)和g(x)
的单调性共同决定。它们之
法
间有如下关系：
则
f(u)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
同
增
g(x)
异
f[g(x)]
减
三个函数y=f(u),u=g(x),y=f[g(x)]中，若有两个函数 单调性相同，则第三个函数为增函数；若有两个函 数单调性相反，则第三个函数为减函数。
题型1.求单调区间
例1、求函数y x2 2x-3的单调区间。
练习： 求函数y x2 4x 3的单调区间。
注意： 在原函数定义域内讨论函数的单调性
例2：设y=f(x)
解：y=f(2-x)是由y=f(u)和u=2-x 复合而成
的单调增区间
由已知得2<u<6 2<2-x<6
是(2,6)，求函 数y=f(2－x)的
x （－4，0） y=f(u)在（2，6 ）上是增函数， u 2 x在x (4, 0)上是减函数，
键在于充分利用题 f ( x)为R＋上的增函数
目所给的条件，本 题就抓住这点想办 法构造出f(8)=3,这 样就能用单调性解 不等式了。
x0
x20
解得x 2，4
x2 2x 8
P106(8)
练习：已知函数f(x)对任意x,y R,总有f(x+y)=f(x)+f(y),
且当x>0时,f(x)<0,f(1)=- 2 3
单调区间。
由复合函数单调性可知，
y=f (2 x)在（－4，0）上是减函数。
注意：求单调区 间时，一定要先 f (2 x)的单减区间是（－4，0）
看定义域。
P103(4,6)
题型2.解不等式
例义在3：[－已1知,1：]上f(的x)增是函定数，可解转：化依为题不意等，式f (组x 1) f (x2 1)
第一步：取值 第二步：作差变形 第三步：定号 第四步：判断下结论
复习准备
3、现在已经学过的判断函数单调性有些什 么方法？
另:
正比例函数：y=kx (k≠0) 反比例函数：y=k/x (k≠0) 一次函数ｙ＝kx＋b (k≠0) 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)
y x,
y cx d , ax b
又因为x>0时，f(x)<0,f(x2 -x1)<0
即f(x2) f(x1)<0,f(x1)>f(x2)
由函数单调性定义知，f(x)是R上的减函数
练习：已知函数f(x)对任意x,y R,总有f(x+y)=f(x)+f(y),
且当x>0时,f(x)<0,f(1)=- 2 3
(1)求证:f(x)是R上的减函数;
(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.
(2) f(x)在R上是减函数，f(x)在［－3，3］上也是减函数
f(x)min =f(3),f(x)max =f(-3)
2
f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=3 (- )= 2
3
f(-3)=-f(3)=2
函数f(x)在［－3，3］上最大值为2，最小值为－2.
P105(3)
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败 也是伟大的，所以不要放弃，坚持 就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
解：x2 2x - 3 0 x -3，或x 1
原函数的定义域为（－ ，－3］［1，＋）
令u x2 2x - 3 ,则y u
y u在［0，＋）为增函数， 而u x2 2x - 3在（－，－3］为减函数 在［1，＋）上为增函数
函数y x2 2x-3的单调递增区间为［1，＋）， 单调递减区间为（－，－3 ］
且f(x－1)<f(x2－1),
1 x 1 1 易错点
求x的取值范围。
1 x2 1 1
注： 在利用函数的
x 1 x2 1
单调性解不等式的 时候，一定要注意 定义域的限制。
0 x2
0
x2 21
x
2
保证实施的是等价 转化
x 0或x 1
练习P106(6)
例4：已知f(x)在其定 义域R＋上为增函数，
复习准备
1、函数单调性的定义是什么？ 对于给定区间I上的函数f(x)，若对于I
上的任意两个值x1,x2，当x1<x2时，都有 f(x1)<(>)f(x2),则称f(x)是I上的增（减）函数， 区间I称为f(x)的增（减）区间。
复习准备
2、证明函数单调性的步骤是什么？ 证明函数单调性应该按下列步骤进行：
f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y). 解不等式
解： f ( xy) f ( x) f ( y) f (4) f (2) f (2) 2 f (8) f (4) f (2) 3
f(x)+f(x－2) ≤3
又f ( x) f ( x 2) f ( x2 2x)
解此类题型关 由题意有f ( x2 2x) f (8)
y xa, x
y ax b (a 0, b 0). x
复合函数的单调性
复合函数： y=f[g(x)]
令 u=g(x)
内函数
则 y=f(u)
外函数
y=f[g(x)] 原函数
以x为自变量 以u为自变量 以x为自变量
复合函数单调性定理：
①当内外函数在各自定义域内同增同减时，原函数增 ②当内外函数在各自定义域内一增一减时，原函数减
(1)求证:f(x)是R上的减函数;
(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 证明：（1）令x=y=0可得f(0)=0,令x=-y可得
f(0)=f(x)+f(-x), f(-x)=-f(x)
在R上任取两数x1,x2且x1<x2则f(x2 ) f(x1) =f(x2 )+f(-x1)=f(x2 -x1) x1<x2 x2 -x1>0
复合函数f[g(x)]由f(u)和g(x)
的单调性共同决定。它们之
法
间有如下关系：
则
f(u)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
同
增
g(x)
异
f[g(x)]
减
三个函数y=f(u),u=g(x),y=f[g(x)]中，若有两个函数 单调性相同，则第三个函数为增函数；若有两个函 数单调性相反，则第三个函数为减函数。
题型1.求单调区间
例1、求函数y x2 2x-3的单调区间。
练习： 求函数y x2 4x 3的单调区间。
注意： 在原函数定义域内讨论函数的单调性
例2：设y=f(x)
解：y=f(2-x)是由y=f(u)和u=2-x 复合而成
的单调增区间
由已知得2<u<6 2<2-x<6
是(2,6)，求函 数y=f(2－x)的
x （－4，0） y=f(u)在（2，6 ）上是增函数， u 2 x在x (4, 0)上是减函数，
键在于充分利用题 f ( x)为R＋上的增函数
目所给的条件，本 题就抓住这点想办 法构造出f(8)=3,这 样就能用单调性解 不等式了。
x0
x20
解得x 2，4
x2 2x 8
P106(8)
练习：已知函数f(x)对任意x,y R,总有f(x+y)=f(x)+f(y),
且当x>0时,f(x)<0,f(1)=- 2 3
单调区间。
由复合函数单调性可知，
y=f (2 x)在（－4，0）上是减函数。
注意：求单调区 间时，一定要先 f (2 x)的单减区间是（－4，0）
看定义域。
P103(4,6)
题型2.解不等式
例义在3：[－已1知,1：]上f(的x)增是函定数，可解转：化依为题不意等，式f (组x 1) f (x2 1)
第一步：取值 第二步：作差变形 第三步：定号 第四步：判断下结论
复习准备
3、现在已经学过的判断函数单调性有些什 么方法？
另:
正比例函数：y=kx (k≠0) 反比例函数：y=k/x (k≠0) 一次函数ｙ＝kx＋b (k≠0) 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)
y x,
y cx d , ax b
又因为x>0时，f(x)<0,f(x2 -x1)<0
即f(x2) f(x1)<0,f(x1)>f(x2)
由函数单调性定义知，f(x)是R上的减函数
练习：已知函数f(x)对任意x,y R,总有f(x+y)=f(x)+f(y),
且当x>0时,f(x)<0,f(1)=- 2 3
(1)求证:f(x)是R上的减函数;
(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.
(2) f(x)在R上是减函数，f(x)在［－3，3］上也是减函数
f(x)min =f(3),f(x)max =f(-3)
2
f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=3 (- )= 2
3
f(-3)=-f(3)=2
函数f(x)在［－3，3］上最大值为2，最小值为－2.
P105(3)
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败 也是伟大的，所以不要放弃，坚持 就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way