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甘肃省中考数学试卷解析版新版

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2023甘肃省兰州市中考数学真题试卷和答案

2023甘肃省兰州市中考数学真题试卷和答案

2023年兰州市初中学业水平考试数 学注意事项：1．全卷共120分，考试时间120分钟．2．考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡上．3．考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上．一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1. －5的相反数是( )A. 15-B.15C. 5D. -52. 如图，直线AB 与CD 相交于点O ，则BOD ∠=（ ）A. 40︒B.50︒C. 55︒D. 60︒3. 计算：255a aa -=-（ ）A. 5a - B. 5a + C. 5D. a4. 如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角1∠=（ ）A. 45︒B. 60︒C. 110︒D. 135︒5. 方程213x =+的解是（ ）A. 1x = B. =1x - C. 5x = D. 5x =-6. 如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧 AB ，圆弧的半径20cm OA =，圆心角90AOB ∠=︒，则»=AB （ ）A. 20cm πB. 10cmπ C. 5cm π D. 2cmπ7. 已知二次函数()2323y x =---，下列说法正确的是（ ）A. 对称轴为2x =- B. 顶点坐标为()2,3 C. 函数的最大值是－3D. 函数的最小值是－38. 关于x 的一元二次方程20x bx c ++=有两个相等的实数根，则()2212b c -+=（ ）A －2B. 2C. －4D. 49. 2022年我国新能源汽车销量持续增长，全年销量约为572.6万辆，同比增长91.7%，连续8年位居全球第一．下面的统计图反映了2021年、2022年新能源汽车月度销量及同比增长速度的情况．（2022年同比增长速度20222021100%2021-=⨯年当月销量年当月销量年当月销量）根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（ ）A. 2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆B. 2022年新能源汽车月度销量超过50万辆的月份有6个.C. 相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到了181.1%D 相对于2021年，2022年从5月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低10. 我国古代天文学确定方向方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a 和直线外一定点O ，过点O 作直线与a 平行．（1）以O 为圆心，单位长为半径作圆，交直线a 于点M ，N ；（2）分别在MO 的延长线及ON 上取点A ，B ，使OA OB =；（3）连接AB ，取其中点C ，过O ，C 两点确定直线b ，则直线a b ∥．按以上作图顺序，若35MNO ∠=︒，则AOC ∠=（ ）A. 35︒B. 30︒C. 25︒D. 20︒11. 一次函数1y kx =-的函数值y 随x 的增大而减小，当2x =时，y 的值可以是（ ）A. 2B. 1C. －1D. －212. 如图，在矩形ABCD 中，点E 为BA 延长线上一点，F 为CE 的中点，以B 为圆心，BF 长为半径的圆弧过AD 与CE 的交点G ，连接BG ．若4AB =，10CE =，则AG =（ ）A. 2B. 2.5C. 3D. 3.5二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13. 因式分解：2225x y -=______．14. 如图，在ABCD Y 中，BD CD =，AE BD ⊥于点E ，若70C ∠=︒，则BAE ∠=______︒．.的15. 如图，将面积为7的正方形OABC 和面积为9的正方形ODEF 分别绕原点O 顺时针旋转，使OA ，OD 落在数轴上，点A ，D 在数轴上对应的数字分别为a ，b ，则b a -=______．16. 某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如下表：累计抛掷次数501002003005001000200030005000盖面朝上次数2854106158264527105615872850盖面朝上频率0.56000.54000.53000.52670.52800.52700.52800.52900.5300下面有三个推断：①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53．其中正确的是______．（填序号）三、解答题（本大题共12小题，共72分）17.．18. 计算：()()()2234x y x y y y +---．19. 解不等式组：312(1)223x x x x ->+⎧⎪+⎨>-⎪⎩．20. 如图，反比例函数()0ky x x=<与一次函数2y x m =-+的图象交于点()1,4A -，BC y ⊥轴于点D ，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B ，C ．（1）求反比例函数ky x=与一次函数2y x m =-+的表达式；（2）当1OD =时，求线段BC 的长．21. 综合与实践问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA 和OB 上分别取点C 和D ，使得OC OD =，连接CD ，以CD 为边作等边三角形CDE ，则OE 就是AOB ∠的平分线．请写出OE 平分AOB ∠的依据：____________；类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：CDE 不一定必须是等边三角形，只需CE DE =即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在AOB ∠的边OA ，OB 上分别取OM ON =，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M ，N 重合，则过角尺顶点C 的射线OC 是AOB ∠的平分线，请说明此做法的理由；拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路AB 和AC ，汇聚形成了一个岔路口A ，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E ，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E 到岔路口A 的距离和休息椅D 到岔路口A 的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E 的位置．（保留作图痕迹，不写作法）22. 如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”．“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸．某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD 高度的实践活动．具体过程如下：如图2，“龙”字雕塑CD 位于垂直地面的基座BC 上，在平行于水平地面的A 处测得38BAC ∠=︒、53BAD ∠=︒，18m AB =．求“龙”字雕塑CD 的高度．（B ，C ，D 三点共线，BD AB ⊥．结果精确到0.1m ）（参考数据：sin 380.62︒≈，cos380.79︒≈，tan 380.78︒≈，sin 530.80︒≈，cos530.60︒≈，tan 53 1.33︒≈）23. 一名运动员在10m 高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB 的高度()m y 与离起跳点A 的水平距离()m x 之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A 的水平距离为1m 时达到最高点，当运动员离起跳点A 的水平距离为3m 时离水面的距离为7m ．（1）求y 关于x 的函数表达式；（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB 的长．24. 如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，CD OE ∥，直线CE 是线段OD 的垂直平分线，CE 分别交OD AD ，于点F ，G ，连接DE ．（1）判断四边形OCDE 的形状，并说明理由；（2）当4CD =时，求EG 的长．25. 某校八年级共有男生300人，为了解该年级男生排球垫球成绩和掷实心球成绩的情况，从中随机抽取40名男生进行测试，对数据进行整理、描述和分析，下面是给出的部分信息．信息一：排球垫球成绩如下图所示（成绩用x 表示，分成六组：A ． 10x <；B ． 1015x ≤<；C ． 1520x ≤<；D ． 2025x ≤<；E ． 2530x ≤<；F ． 30x ≤）．信息二：排球垫球成绩在D ． 2025x ≤<这一组的是：20，20，21，21，21，22，22，23，24，24信息三：掷实心球成绩（成绩用y 表示，单位：米）的人数（频数）分布表如下：分组 6.0y < 6.0 6.8y ≤< 6.87.6y ≤<7.68.4y ≤<8.49.2y ≤<9.2y≤人数2m10962信息四：这次抽样测试中6名男生的两项成绩的部分数据如下：学生学生1学生2学生3学生4学生5学生6排球垫球262523222215掷实心球▲7．87．8▲8．89．2根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：m =______；（2）下列结论正确的是_____；（填序号）①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比低于60%；②掷实心球成绩的中位数记为n ，则6.87.6n ≤<；③若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀．如果信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀．（3）若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，请估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数．26. 如图，ABC 内接于O ，AB是O 的直径， BC BD =，DE AC ⊥于点E ，DE 交BF 于点F ，交AB 于点G ，2BOD F ∠=∠，连接BD ．（1）求证：BF 是O 的切线；（2）判断DGB 形状，并说明理由；（3）当2BD =时，求FG 的长．的27. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，如果点P 到直线EF 的距离等于图形M 上任意两点距离的最大值时，那么点P 称为直线EF 的“伴随点”．例如：如图1，已知点()1,2A ，()3,2B ，()2,2P 在线段AB 上，则点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．（1）如图2，已知点()1,0A ，()3,0B ，P 是线段AB 上一点，直线EF 过()1,0G -，T ⎛ ⎝两点，当点P 是直线EF 的“伴随点”时，求点P 的坐标；（2）如图3，x 轴上方有一等边三角形ABC ，BC y ⊥轴，顶点A 在y 轴上且在BC上方，=OC 点P 是ABC 上一点，且点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．当点P 到x 轴的距离最小时，求等边三角形ABC 的边长；（3）如图4，以()1,0A ，()2,0B ，()2,1C 为顶点的正方形ABCD 上始终存在点P ，使得点P 是直线EF ：y x b =-+的“伴随点”．请直接写出b 的取值范围．28. 综合与实践【思考尝试】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD 中，E 是边AB 上一点，DF CE ⊥于点F ，GD DF ⊥，AG DG ⊥，AG CF =．试猜想四边形ABCD 的形状，并说明理由；【实践探究】（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新问题：如图2，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上一点，DF CE ⊥于点F ，AH CE ⊥于点H ，GD DF ⊥交AH 于点G ，可以用等式表示线段FH ，AH ，CF的数量关系，请你思考并解答这个问题；【拓展迁移】（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD 中，E是边的AB 上一点，AH CE ⊥于点H ，点M 在CH 上，且AH HM ，连接AM ，BH ，可以用等式表示线段CM ，BH 的数量关系，请你思考并解答这个问题．2023年兰州市初中学业水平考试数 学注意事项：1．全卷共120分，考试时间120分钟．2．考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡上．3．考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上．一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1. －5的相反数是( )A. 15- B. 15 C. 5 D. -5【答案】C【解析】【分析】根据相反数的定义解答即可．【详解】-5的相反数是5．故选C ．【点睛】本题考查了相反数，熟记相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数是关键．2. 如图，直线AB 与CD 相交于点O ，则BOD ∠=（ ）A. 40︒B. 50︒C. 55︒D. 60︒【答案】B【解析】【分析】利用对顶角相等得到BOD AOC ∠=∠，即可求解．【详解】解：读取量角器可知：50AOC ∠=︒，∴50BOD AOC ∠=∠=︒，故选：B ．【点睛】本题考查了对顶角相等，量角器读数，是基础题．3. 计算：255a a a -=-（ ）A. 5a - B. 5a + C. 5 D. a【答案】D【解析】【分析】分子分解因式，再约分得到结果．【详解】解：255a a a --()55a a a -=-a =，故选：D ．【点睛】本题考查了约分，掌握提公因式法分解因式是解题的关键．4. 如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角1∠=（ ）A. 45︒B. 60︒C. 110︒D. 135︒【答案】A【解析】【分析】由正八边形的外角和为360︒，结合正八边形的每一个外角都相等，再列式计算即可．【详解】解：∵正八边形的外角和为360︒，∴3601=458︒∠=︒，故选A【点睛】本题考查的是正多边形的外角问题，熟记多边形的外角和为360︒是解本题的关键．5. 方程213x =+的解是（ ）A. 1x = B. =1x - C. 5x = D. 5x =-【答案】A【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程解得到x 的值，经检验即可得解．【详解】解：去分母得：23x =+，解得=1x -，经检验=1x -是分式方程的解．故选：A ．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．6. 如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧 AB ，圆弧的半径20cm OA =，圆心角90AOB ∠=︒，则»=AB （ ）A. 20cmπ B. 10cm π C. 5cm π D. 2cmπ【答案】B【解析】【分析】根据弧长公式求解即可．【详解】解：弧的半径20cm OA =，圆心角90AOB ∠=︒，∴»902010180AB ππ⨯==，故选：B ．【点睛】题目主要考查弧长公式，熟练掌握运用弧长公式是解题关键．7. 已知二次函数()2323y x =---，下列说法正确的是（ ）A. 对称轴为2x =- B. 顶点坐标为()2,3 C. 函数的最大值是－3 D. 函数的最小值是－3【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的图象及性质进行判断即可．的【详解】二次函数()2323y x =---的对称轴为2x =，顶点坐标为()2,3-∵30-<∴二次函数图象开口向下，函数有最大值，为=3y -∴A 、B 、D 选项错误，C 选项正确故选：C【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．8. 关于x 的一元二次方程20x bx c ++=有两个相等的实数根，则()2212b c -+=（ ）A. －2B. 2C. －4D. 4【答案】A【解析】【分析】由一元二次方程根的情况可得240b c -=，再代入式子即可求解．【详解】∵关于x 的一元二次方程20x bx c ++=有两个相等的实数根∴240b c ∆=-=∴()2221242022b c b c -+=--=-=-，故选：A .【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．9. 2022年我国新能源汽车销量持续增长，全年销量约为572.6万辆，同比增长91.7%，连续8年位居全球第一．下面的统计图反映了2021年、2022年新能源汽车月度销量及同比增长速度的情况．（2022年同比增长速度20222021100%2021-=⨯年当月销量年当月销量年当月销量）根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（ ）A. 2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆B. 2022年新能源汽车月度销量超过50万辆的月份有6个C. 相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到了181.1%D. 相对于2021年，2022年从5月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低【答案】D【解析】【分析】根据折线图逐项分析即可得出答案．【详解】解：A、2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆，推断合理，本选项不符合题意；B、2022年新能源汽车月度销量超过50万辆的月份有6个，推断合理，本选项不符合题意；C、相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到了181.1%，推断合理，本选项不符合题意；D、相对于2021年，2022年从6月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低，原说法推断不合理，本选项符合题意；故选：D．【点睛】此题考查了折线统计图，从折线统计图中获取数据做出分析，正确识别图中的数据是解题的关键．10. 我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N ；（2）分别在MO 的延长线及ON 上取点A ，B ，使OA OB =；（3）连接AB ，取其中点C ，过O ，C 两点确定直线b ，则直线a b ∥．按以上作图顺序，若35MNO ∠=︒，则AOC ∠=（ ）A 35︒ B. 30︒ C. 25︒ D. 20︒【答案】A【解析】【分析】证明35NMO MNO ∠=∠=︒，可得23570AOB ∠=⨯︒=︒，结合OA OB =，C 为AB 的中点，可得35AOC BOC ∠=∠=︒．【详解】解：∵35MNO ∠=︒，MO NO =，∴35NMO MNO ∠=∠=︒，∴23570AOB ∠=⨯︒=︒，∵OA OB =，C 为AB 的中点，∴35AOC BOC ∠=∠=︒，故选A ．【点睛】本题考查的是圆的基本性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形的外角的性质，熟记等腰三角形的性质是解本题的关键．11. 一次函数1y kx =-的函数值y 随x 的增大而减小，当2x =时，y 的值可以是（ ）A. 2B. 1C. －1D. －2【答案】D【解析】【分析】根据一次函数的增减性可得k 的取值范围，再把2x =代入函数1y kx =-，从而判断函数值y 的取值．【详解】∵一次函数1y kx =-函数值y 随x 的增大而减小∴0k<.的∴当2x =时，211y k =-<-故选：D【点睛】本题考查一次函数的性质，不等式的性质，熟悉一次函数的性质是解题的关键．12. 如图，在矩形ABCD 中，点E 为BA 延长线上一点，F 为CE 的中点，以B 为圆心，BF 长为半径的圆弧过AD 与CE 的交点G ，连接BG ．若4AB =，10CE =，则AG =（ ）A. 2B. 2.5C. 3D. 3.5【答案】C【解析】【分析】利用直角三角形斜边中线的性质求得5BG BF ==，在Rt ABG △中，利用勾股定理即可求解.【详解】解：∵矩形ABCD 中，∴90ABC BAC ∠=∠=︒，∵F 为CE 的中点，10CE =，∴152BG BF CE ===，在Rt ABG △中，3AG ===，故选：C.【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边中线的长等于斜边的一半”是解题的关键.二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13. 因式分解：2225x y -=______．【答案】()()55x y x y +-【解析】【分析】直接利用平方差分解即可．【详解】解：()()222555x y x y x y -=+-．故答案为：()()55x y x y +-．【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式．14. 如图，在ABCD Y 中，BD CD =，AE BD ⊥于点E ，若70C ∠=︒，则BAE ∠=______︒．【答案】50【解析】【分析】证明70DBC C ∠=∠=︒，18027040BDC ∠=︒-⨯︒=︒，由AB CD ∥，可得40ABE BDC ∠=∠=︒，结合AE BD ⊥，可得904050BAE ∠=︒-︒=︒．【详解】解：∵BD CD =，70C ∠=︒，∴70DBC C ∠=∠=︒，18027040BDC ∠=︒-⨯︒=︒，∵ABCD Y ，∴AB CD ∥，∴40ABE BDC ∠=∠=︒，∵AE BD ⊥，∴904050BAE ∠=︒-︒=︒；故答案为：50【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，平行四边形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟记基本几何图形的性质是解本题的关键．15. 如图，将面积为7的正方形OABC 和面积为9的正方形ODEF 分别绕原点O 顺时针旋转，使OA ，OD 落在数轴上，点A ，D 在数轴上对应的数字分别为a ，b ，则b a -=______．【答案】3【解析】【分析】分别求出两个正方形的边长，从而得到a ，b 的值，代入计算即可．【详解】∵正方形OABC 的面积为7，正方形ODEF 的面积为9∴OA =3OD ==即a =，3b =∴3b a -=故答案为：3【点睛】本题考查算术平方根的意义，在数轴上表示实数，正确求出算术平方根是解题的关键．16. 某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如下表：累计抛掷次数501002003005001000200030005000盖面朝上次数2854106158264527105615872850盖面朝上频率0.56000.54000.53000.52670.52800.52700.52800.52900.5300下面有三个推断：①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53．其中正确的是______．（填序号）【答案】①③【解析】【分析】根据表中数据及频率估计概率依次判断即可．【详解】解：①通过上述实验的结果，发现盖面朝上的次数多与累计次数的一半，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的，故正确；②实验是随机的，第2000次实验的结果不一定是“盖面朝上”，故错误；③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53，故正确．故答案为：①③．【点睛】题目主要考查频率估计概率，结合表中数据求解是解题关键．三、解答题（本大题共12小题，共72分）17.．【解析】【分析】根据二次根式乘法，加减法运算法则计算即可．【详解】解：原式＝-．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简方法是解题的关键．18. 计算：()()()2234x y x y y y +---．【答案】23x y-【解析】【分析】先计算平方差公式及单项式乘以多项式，然后计算加减法即可．【详解】解：()()()2234x y x y y y +---222=434x y y y --+23x y =-．【点睛】题目主要考查整式的乘法运算及加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键．19. 解不等式组：312(1)223x x x x ->+⎧⎪+⎨>-⎪⎩．【答案】34x <<【解析】【分析】分别解不等式组中的两个不等式，再取两个不等式的解集的公共部分即可．【详解】解：312(1)223x x x x ->+⎧⎪⎨+>-⎪⎩①②，由①得：32>21x x -+，解得：>3x ，由②得：2>36x x +-，解得：4x <，∴不等式组的解集为：34x <<．【点睛】本题考查的是一元一次不等式组是解法，掌握解一元一次不等式组的方法与步骤是解本题的关键．20. 如图，反比例函数()0ky x x=<与一次函数2y x m =-+的图象交于点()1,4A -，BC y ⊥轴于点D ，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B ，C ．（1）求反比例函数ky x=与一次函数2y x m =-+的表达式；（2）当1OD =时，求线段BC 的长．【答案】（1）反比例函数的表达式为4y x=-；一次函数的表达式为22y x =-+； （2）142BC =．【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）先求得直线BC 的表达式为1y =，再分别求得B C 、的坐标，据此即可求解．【小问1详解】解：∵反比例函数()0ky x x=<的图象经过点()1,4A -，∴144k =-⨯=-，∴反比例函数的表达式为4y x=-；∵一次函数2y x m =-+的图象经过点()1,4A -，∴()421m =-⨯-+，∴2m =，∴一次函数的表达式为22y x =-+；【小问2详解】解：∵1OD =，∴()01D ，，∴直线BC 的表达式为1y =，∵1y =时，14x=-，解得4x =-，则()41B -，，∵1y =时，122x =-+，解得12x =，则112C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴()114422BC =--=．【点睛】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法是求函数解析式的基本方法．21. 综合与实践问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA 和OB 上分别取点C 和D ，使得OC OD =，连接CD ，以CD 为边作等边三角形CDE ，则OE 就是AOB ∠的平分线．请写出OE 平分AOB ∠的依据：____________；类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：CDE 不一定必须是等边三角形，只需CE DE =即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在AOB ∠的边OA ，OB 上分别取OM ON =，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M ，N 重合，则过角尺顶点C 的射线OC 是AOB ∠的平分线，请说明此做法的理由；拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路AB 和AC ，汇聚形成了一个岔路口A ，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E ，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E 到岔路口A 的距离和休息椅D 到岔路口A 的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E 的位置．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】（1）SSS ；（2）证明见解析；（3）作图见解析；【解析】【分析】（1）先证明()SSS OCE ODE ≌，可得AOE BOE ∠=∠，从而可得答案；（2）先证明()SSS OCM OCN ≌，可得AOC BOC ∠=∠，可得OC 是AOB ∠的角平分线；（3）先作BAC ∠的角平分线，再在角平分线上截取AE AD =即可．【详解】解：（1）∵OC OD =，CE DE =，DE DE =，∴()SSS OCE ODE ≌，∴AOE BOE ∠=∠，∴OE 是AOB ∠的角平分线；故答案为：SSS（2）∵OM ON =，CM CN =，OC OC =，∴()SSS OCM OCN ≌，∴AOC BOC ∠=∠，∴OC 是AOB ∠的角平分线；（3）如图，点E 即为所求作的点；．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的定义与角平分线的性质，作已知角的角平分线，理解题意，熟练的作角的平分线是解本题的关键．22. 如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”．“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸．某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD 高度的实践活动．具体过程如下：如图2，“龙”字雕塑CD 位于垂直地面的基座BC 上，在平行于水平地面的A 处测得38BAC ∠=︒、53BAD ∠=︒，18m AB =．求“龙”字雕塑CD 的高度．（B ，C ，D 三点共线，BD AB ⊥．结果精确到0.1m ）（参考数据：sin 380.62︒≈，cos380.79︒≈，tan 380.78︒≈，sin 530.80︒≈，cos530.60︒≈，tan 53 1.33︒≈）【答案】“龙”字雕塑CD 的高度为9.9m ．【解析】【分析】在Rt ABC △和Rt △ABD 中，分别求得BC 和BD 的长，据此求解即可.【详解】解：在Rt ABC △中，18m AB =，38BAC ∠=︒，∴()tan 380.781814.04m BC AB =︒≈⨯=，在Rt △ABD 中，18m AB =，53BAD ∠=︒，∴()tan 53 1.331823.94m BD AB =︒≈⨯=，∴()23.9414.049.9m CD BD BC =-=-=,答：“龙”字雕塑CD 的高度为9.9m ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．23. 一名运动员在10m 高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB 的高度()m y 与离起跳点A 的水平距离()m x 之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A 的水平距离为1m 时达到最高点，当运动员离起跳点A 的水平距离为3m 时离水面的距离为7m ．（1）求y 关于x 的函数表达式；（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB 的长．【答案】（1）y 关于x 的函数表达式为2210y x x =-++； （2）运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为(1m ．【解析】【分析】（1）由题意得抛物线的对称轴为1x =，经过点()010，，()37，，利用待定系数法即可求解；（2）令0y =，解方程即可求解．【小问1详解】解：由题意得抛物线的对称轴为1x =，经过点()010，，()37，，设抛物线的表达式为2y ax bx c =++，∴1210937b a c a b c ⎧-=⎪⎪=⎨⎪++=⎪⎩，解得1210a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴y 关于x 的函数表达式为2210y x x =-++；【小问2详解】解：令0y =，则22100x x -++=，解得1x =±，∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB 的长为(1m +．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键．24. 如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，CD OE ∥，直线CE 是线段OD 的垂直平分线，CE 分别交OD AD ，于点F ，G ，连接DE ．（1）判断四边形OCDE 的形状，并说明理由；（2）当4CD =时，求EG 的长．【答案】（1）四边形OCDE 是菱形，理由见解析（2）EG =【解析】【分析】（1）证明COD △和EOD △是等边三角形，即可推出四边形OCDE 是菱形；（2）利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得DF 和CF 的长，利用菱形的性质得到EF CF ==，在Rt CGF △中，解直角三角形求得GF 的长，据此求解即可．【小问1详解】证明：四边形OCDE 是菱形，理由如下，∵矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∴1122OC OD AC BD ===，∵直线CE 是线段OD 的垂直平分线，∴CO CD =，EO ED =，∴CO CD OD ==，即COD △是等边三角形，∴60OCD DCO DOC ∠=∠=∠=︒，1302OCF DCF OCD ∠=∠=∠=︒，∵CD OE ∥，∴60EOD EDO CDO ∠=∠=∠=︒，∴EOD △等边三角形，∴CO CD EO ED ===，∴四边形OCDE 是菱形；【小问2详解】解：∵直线CE 是线段OD 的垂直平分线，且30DCF ∠=︒，∴122DF CD ==，CF ==，由（1）得四边形OCDE 是菱形，∴EF CF ==，在Rt DGF 中，9030GDF ODC ∠=︒-∠=︒，∴tan 302GF DF =︒==，∴EG EF GF =-=．【点睛】本题考查了菱形判定和性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．25. 某校八年级共有男生300人，为了解该年级男生排球垫球成绩和掷实心球成绩的情况，从中随机抽取40名男生进行测试，对数据进行整理、描述和分析，下面是给出的部分信息．信息一：排球垫球成绩如下图所示（成绩用x 表示，分成六组：A ． 10x <；B ． 1015x ≤<；C ． 1520x ≤<；D ． 2025x ≤<；E ． 2530x ≤<；F ． 30x ≤）．信息二：排球垫球成绩在D ． 2025x ≤<这一组的是：20，20，21，21，21，22，22，23，24，24是的信息三：掷实心球成绩（成绩用y 表示，单位：米）的人数（频数）分布表如下：分组 6.0y < 6.0 6.8y ≤< 6.87.6y ≤<7.68.4y ≤<8.49.2y ≤<9.2y≤人数2m10962信息四：这次抽样测试中6名男生的两项成绩的部分数据如下：学生学生1学生2学生3学生4学生5学生6排球垫球262523222215掷实心球▲7．87．8▲8．89．2根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：m =______；（2）下列结论正确的是_____；（填序号）①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比低于60%；②掷实心球成绩的中位数记为n ，则6.87.6n ≤<；③若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀．如果信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀．（3）若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，请估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数．【答案】（1）11 （2）②③ （3）75人【解析】【分析】（1）由总人数减去各小组已知人数即可得到答案；（2）由排球垫球成绩超过10个的人数除以总人数可判断①，由中位数的含义可判断②，分三种情况进行分析讨论可判断③，从而可得到答案；（3）由样本的百分率乘以总人数即可得到答案．【小问1详解】解：由题意可得：4021096211m =-----=；【小问2详解】①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比为3690%40=，故①不符合题意；②∵掷实心球成绩排在第20个，第21个数据落在6.87.6y ≤<这一组，。

2023年甘肃省武威市中考数学真题(解析版)

2023年甘肃省武威市中考数学真题(解析版)

武威市2023年初中毕业、高中招生考试数学试卷考生注意：本试卷满分为120分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效．一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．1. 9的算术平方根是（ ）A. 3± B. 9± C. 3 D. 3-【答案】C【解析】【分析】由239=，可得9的算术平方根．【详解】解：9的算术平方根是3，故选C【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，熟练的求解一个数的算术平方根是解本题的关键．2. 若32a b=，则ab =（ ）A. 6 B. 32 C. 1 D. 23【答案】A【解析】【分析】根据等式的性质即可得出结果．【详解】解：等式两边乘以2b ，得6ab =，故选：A ．【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是本题的关键．3. 计算：()22a a a +-=（ ）A. 2B. 2aC. 22a a +D. 22a a-【答案】B【解析】【分析】先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可．【详解】解：()222222a a a a a a a +-=+-=，故选：B【点睛】此题考查了整式的四则混合运算，熟练掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．4. 若直线y kx =（k 是常数，0k ¹）经过第一、第三象限，则k 的值可为（ ）A. 2- B. 1- C. 12- D. 2【答案】D【解析】【分析】通过经过的象限判断比例系数k 的取值范围，进而得出答案．【详解】∵直线y kx =（k 是常数，0k ¹）经过第一、第三象限，∴0k >，∴k 的值可为2，故选：D ．【点睛】本题考查正比例函数的图象与性质，熟记比例系数与图象经过的象限之间的关系是解题的关键．5. 如图，BD 是等边ABC V 的边AC 上的高，以点D 为圆心，DB 长为半径作弧交BC 的延长线于点E ，则DEC Ð=（ ）A. 20°B. 25°C. 30°D. 35°【答案】C【解析】【分析】由等边三角形的性质求解1302DBC ABC Ð=Ð=°，再利用等腰三角形的性质可得30DBE DEB Ð=Ð=°，从而可得答案．【详解】解：∵BD 是等边ABC V 的边AC 上的高，∴1302DBC ABC Ð=Ð=°，∵DB DE =，∴30DBE DEB Ð=Ð=°，故选C【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记等边三角形与等腰三角形的性质是解本题的关键．6. 方程211x x =+的解为（ ）A. 2x =- B. 2x = C. 4x =- D. 4x =【答案】A【解析】【分析】把分式方程转化为整式方程求解，然后解出的解要进行检验，看是否为增根．【详解】去分母得()21x x +=，解方程得2x =-，检验:2x =-是原方程的解，故选A ．【点睛】本题考查了解分式方程的一般步骤，解题关键是熟记解分式方程的基本思想是“转化思想”，即把分式方程转化为整式方程求解，注意分式方程需要验根．7. 如图，将矩形ABCD 对折，使边AB 与DC ，BC 与AD 分别重合，展开后得到四边形EFGH ．若2AB =，4BC =，则四边形EFGH 的面积为（ ）A. 2B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】由题意可得四边形EFGH 是菱形，2FH AB ==，4GE BC ==，由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得到答案．【详解】解：∵将矩形ABCD 对折，使边AB 与DC ，BC 与AD 分别重合，展开后得到四边形EFGH ，∴EF GH ^，EF 与GH 互相平分，∴四边形EFGH 是菱形，∵2FH AB ==，4GE BC ==，∴菱形EFGH 的面积为1124422FH GE ×=´´=．故选：B 【点睛】此题考查了矩形的折叠、菱形的判定和性质等知识，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．8. 据统计，数学家群体是一个长寿群体，某研究小组随机抽取了收录约2200位数学家的《数学家传略辞典》中部分90岁及以上的长寿数学家的年龄为样本，对数据进行整理与分析，统计图表（部分数据）如下，下列结论错误的是（ ）年龄范围（岁）人数（人）9091-259293-9495-9697-119899-10100101-mA. 该小组共统计了100名数学家年龄B. 统计表中m 的值为5C. 长寿数学家年龄在9293-岁的人数最多D. 《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在9697-岁的人数估计有110人【答案】D【解析】【分析】利用年龄范围为9899-的人数为10人，对应的百分比为10%，即可判断A选项；由A 选项可知该小组共统计了100名数学家的年龄，根据1005%5m =´=即可判断B 选项；由扇形统计图可知，长寿数学家年龄在9293-岁的占的百分比最大，即可判断C 选项；用2200乘以小组共统计了100名数学家的年龄中在9697-岁的百分比，即可判断D 选项．的【详解】解：A ．年龄范围为9899-的人数为10人，对应的百分比为10%，则可得1010%100¸=（人），即该小组共统计了100名数学家的年龄，故选项正确，不符合题意；B ．由A 选项可知该小组共统计了100名数学家的年龄，则1005%5m =´=，故选项正确，不符合题意；C ．由扇形统计图可知，长寿数学家年龄在9293-岁的占的百分比最大，即长寿数学家年龄在9293-岁的人数最多，故选项正确，不符合题意；D ．《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在9697-岁的人数估计有112200242100´=人，故选项错误，符合题意．故选：D ．【点睛】此题考查了扇形统计图和统计表，从扇形统计图和统计表中获取正确信息，进行正确计算是解题的关键．9. 如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于人射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线AB 与地面CD 所成夹角50ABC Ð=°时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜EF 与地面的夹角EBC Ð=（ ）A. 60°B. 70°C. 80°D. 85°【答案】B【解析】【分析】如图，过B 作BQ ^平面镜EF ，可得90QBE QBF Ð=Ð=°，ABC CBQ ABQ MBQ Ð+Ð=Ð=Ð，而90CBQ QBM CBM Ð+Ð=Ð=°，再建立方程5090CBQ CBQ °+Ð=°-Ð，可得20CBQ Ð=°，从而可得答案．【详解】解：如图，过B 作BQ ^平面镜EF ，∴90QBE QBF Ð=Ð=°，ABC CBQ ABQ MBQ Ð+Ð=Ð=Ð，而90CBQ QBM CBM Ð+Ð=Ð=°，∴5090CBQ CBQ °+Ð=°-Ð，∴20CBQ Ð=°，∴902070EBC Ð=°-°=°，故选B ．【点睛】本题考查的是垂直的定义，角的和差运算，角平分线的含义，属于跨学科题，熟记基础概念是解本题的关键．10. 如图1，正方形ABCD 的边长为4，E 为CD 边的中点．动点P 从点A 出发沿AB BC ®匀速运动，运动到点C 时停止．设点P 的运动路程为x ，线段PE 的长为y ，y 与x 的函数图象如图2所示，则点M 的坐标为（ ）A. (4,B. ()4,4C. (4,D. ()4,5【答案】C【解析】【分析】证明4AB BC CD AD ====，90C D Ð=Ð=°，2CE DE ==，则当P 与A ，B 重合时，PE最长，此时PE ==0或4，从而可得答案．【详解】解：∵正方形ABCD 的边长为4，E 为CD 边的中点，∴4AB BC CD AD ====，90C D Ð=Ð=°，2CE DE ==，当P 与A ，B 重合时，PE 最长，此时PE ==，运动路程为0或4，结合函数图象可得(4,M ，故选C【点睛】本题考查的是从函数图象中获取信息，正方形的性质，勾股定理的应用，理解题意，确定函数图象上横纵坐标的含义是解本题的关键．二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．11. 因式分解：22ax ax a -+=________．【答案】()21a x -【解析】【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．【详解】解：()()2222211ax ax a a x x a x -+=-+=-，故答案为：()21a x -【点睛】本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式，掌握因式分解的方法与步骤是解本题的关键．12. 关于x 的一元二次方程2240x x c ++=有两个不相等的实数根，则c =________（写出一个满足条件的值）．【答案】2-（答案不唯一，合理即可）【解析】【分析】先根据关于x 的一元二次方程2240x x c ++=有两个不相等的实数根得到4160c D =->，解得14c <，根据c 的取值范围，选取合适的值即可．【详解】解：∵关于x 一元二次方程2240x x c ++=有两个不相等的实数根，∴224144160c c D =-´´=->，解得14c <，的当2c =-时，满足题意，故答案为：2-（答案不唯一，合理即可）【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握当240b ac D =->时，一元二次方程()200ax bx c a ++=¹有两个不相等的实数根是解题的关键．13. 近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果，如由我国研制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界记录．如果把海平面以上9050米记作“9050+米”，那么海平面以下10907米记作“________米”．【答案】10907-【解析】【分析】根据正负数表示相反的意义解答即可．【详解】解：把海平面以上9050米记作“9050+米”，则海平面以下10907米记作10907-米，故答案为：10907-．【点睛】此题考查了正负数的理解：在一个事件中，规定一个量为正，则表示相反意义的量为负，正确理解正负数表示一对相反的意义的量是解题的关键．14. 如图，ABC V 内接于O e ，AB 是O e 的直径，点D 是O e 上一点，55CDB Ð=°，则ABC Ð=________°．【答案】35【解析】【分析】由同弧所对的圆周角相等，得55,A CDB Ð=Ð=°再根据直径所对的圆周角为直角，得90ACB Ð=°，然后由直角三角形的性质即可得出结果．【详解】解：,A CDB ÐÐQ 是 BC 所对的圆周角，55,A CDB \Ð=Ð=°AB Q 是O e 的直径，90ACB Ð=°Q ，在Rt ACB △中，90905535ABC A Ð=°-Ð=°-°=°，故答案为: 35．【点睛】本题考查了圆周角定理，以及直角三角形的性质，利用了转化的思想，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．15. 如图，菱形ABCD 中，60DAB Ð=°，BE AB ^，DF CD ^，垂足分别为B ，D ，若6cm AB =，则EF =________cm ．【答案】【解析】【分析】根据菱形的性质，含30°直角三角形的性质，及三角函数即可得出结果．【详解】解：在菱形ABCD 中，60DAB Ð=°，160,302DAB DCB BAC DAC DCF DAB \Ð=Ð=°Ð=Ð=Ð=Ð=°，DF CD ^Q ，90DFC \Ð=°，9060DFC DCF \Ð=°-Ð=°，在Rt CDF △中，12DF CF =，603030,ADF DFC DAF Ð=Ð-Ð=°-°=°Q ,FAD ADF \Ð=Ð11,23AF DF CF AC \===同理，13CE AC =，13EF AC AF CE AC \=--=，12EF AE \=，在Rt ABE △中，cos30AB AE ===°12EF AE \==．故答案为：【点睛】本题考查了菱形的性质，含30°直角三角形的性质，及三角函数等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．16. 如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家．1556年兰州人段续的第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰．而今，兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征．如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径）OA 长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点A 处离开水面，逆时针旋转150°上升至轮子上方B 处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从A 处（舀水）转动到B 处（倒水）所经过的路程是________米．（结果保留p ）【答案】5p【解析】【分析】把半径和圆心角代入弧长公式即可；【详解】150********n r l p p p ´´===故填：5p ．【点睛】本题考查弧长公式的应用，准确记忆公式，并正确代入公式是解题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.．【答案】【解析】【分析】利用二次根式的混合运算法则计算即可．-===【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解答本题的关键．18. 解不等式组：6234x xxx>--ìïí+£ïî【答案】21x-<£【解析】【分析】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集．【详解】解：解不等式组：6234x xxx>--ìïí+£ïî①②，解不等式①，得2x>-．解不等式②，得1x£．因此，原不等式组的解集为21x-<£．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．19. 化简：22222244a b a b a ba b a b a ab b+---¸+--+．【答案】4ba b+【解析】【分析】先将除法转化为乘法进行计算，再根据分式的加减计算，即可求解．【详解】解：原式22(2)2()()a b a b a b a b a b a b a b +--=-×+-+-22a b a b a b a b+-=-++4b a b =+．【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．20. 1672年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图．1797年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作《圆规的几何学》中．请你利用数学家们发现的结论，完成下面的作图题：如图，已知O e ，A 是O e 上一点，只用圆规将O e 的圆周四等分．（按如下步骤完成，保留作图痕迹）①以点A 为圆心，OA 长为半径，自点A 起，在O e 上逆时针方向顺次截取 AB BCCD ==；②分别以点A ，点D 圆心，AC 长为半径作弧，两弧交于O e 上方点E ；③以点A 为圆心，OE 长为半径作弧交O e 于G ，H 两点．即点A ，G ，D ，H 将O e 的圆周四等分．【答案】见解析【解析】【分析】根据作图提示逐步完成作图即可．再根据图形基本性质进行证明即可．【详解】解：如图，即点A ，G ，D ，H 把O e的圆周四等分．为理由如下：如图，连接,,,,,,,,,,OB OC AG AE DE AC DC OE OH OG AH ，由作图可得： AB BCCD ==，且OA OB AB ==，∴AOB V 等边三角形，60AOB Ð=°，同理可得：60BOC COD Ð=Ð=°，∴180AOB BOC COD Ð+Ð+Ð=°，∴A ，O ，D 三点共线，AD 为直径，∴=90ACD а，设CD x =，而30DAC Ð=°，∴2AD x =，AC =，由作图可得：DE AE AC ===，而OA OD x ==，∴^EO AD，OE ==，∴由作图可得AG AH ==，而OA OH x ==，∴22222OA OH x AH +==，∴90AOH =°∠，同理90AOG DOG DOH Ð=°=Ð=Ð，∴点A ，G ，D ，H 把O e 的圆周四等分．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，圆弧与圆心角之间的关系，等边三角形的判定与性质，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，圆周角定理的应用，熟练掌握图形的基本性质并灵活应用于作图是解本题的关键．为21. 为传承红色文化，激发革命精神，增强爱国主义情感，某校组织七年级学生开展“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学之旅，策划了三条红色线路让学生选择：A．南梁精神红色记忆之旅（华池县）；B．长征会师胜利之旅（会宁县）；C．西路军红色征程之旅（高台县），且每人只能选择一条线路．小亮和小刚两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上字母A，B，C，卡片除正面字母不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，小亮先从中随机抽取一张卡片，记下字母后正面向下放回，洗匀后小刚再从中随机抽取一张卡片．（1）求小亮从中随机抽到卡片A的概率；（2）请用画树状图或列表的方法，求两人都抽到卡片C的概率．【答案】（1）1 3（2）1 9【解析】【分析】（1）本题考查了等可能时间的概率，带入公式即可求解；（2）先用列表法或树状图法列举出所有可能的情况，再带入公式计算即可．【小问1详解】P（小亮抽到卡片A）13 =．【小问2详解】列表如下：小刚小亮A B C A(),A A(),A B(),A C B(),B A(),B B(),B C C(),C A(),C B(),C C 或画树状图如下：共有9种等可能的结果，两人都抽到卡片C 的结果有1种，所以，P （两人都抽到卡片C ）19=．【点睛】本题考查列举法求概率，正确用树状图或者列表法列举出所有情况，并找到符合条件的事件数量，正确带入公式计算是解题的关键．22. 如图1，某人的一器官后面A 处长了一个新生物，现需检测到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下：课题检测新生物到皮肤的距离工具医疗仪器等示意图说明如图2，新生物在A 处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B 处照射新生物，检测射线与皮肤MN 的夹角为DBN Ð；再在皮肤上选择距离B 处9cm 的C 处照射新生物，检测射线与皮肤MN 的夹角为ECN Ð．测量数据35DBN Ð=°，22ECN Ð=°，9cmBC =请你根据上表中的测量数据，计算新生物A 处到皮肤的距离．（结果精确到0.1cm ）（参考数据：sin 350.57°»，cos350.82°»，tan 350.70°»，sin 220.37°»，cos 220.93°»，tan 220.40°»）【答案】新生物A 处到皮肤的距离约为8.4cm【解析】【分析】过点A 作AH MN ^，垂足为H ，在Rt AHC V ，用 AH 与ACH Ð的正切值表示出CH ，在Rt AHB △中，用AH 和ABH Ð的正切值表示出BH ，由9CH BH BC -==，联立求解AH 即可．【详解】解：过点A 作AH MN ^，垂足为H ．由题意得，35ABH DBN Ð=Ð=o ，22ACH ECN Ð=Ð=o ，在Rt AHB △中，tan tan 350.70AH AH AH BH ABH ==»Ð°．在Rt AHC V 中，tan tan 220.40AH AH AH CH ACH ==»Ð°．∵CH BH BC -=，∴90.400.70AH AH -=，∴()8.4cm AH =．答：新生物A 处到皮肤的距离约为8.4cm ．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形，通过三角函数求解线段是求解本题的关键．四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．23. 某校八年级共有200名学生，为了解八年级学生地理学科的学习情况，从中随机抽取40名学生的八年级上、下两个学期期末地理成绩进行整理和分析（两次测试试卷满分均为35分，难度系数相同；成绩用x 表示，分成6个等级：A ．10x <；B ．1015x £<；C ．1520x £<；D ．2025x £<；E ．2530x £<；F ．3035x ££）．下面给出了部分信息：a ．八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的统计图如下：b ．八年级学生上学期期末地理成绩在C ．1520x £<这一组的成绩是：15，15，15，15，15，16，16，16，18，18c ．八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的平均数、众数、中位数如下：学期平均数众数中位数八年级上学期17.715m 八年级下学期18.21918.5根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：m =________；（2）若25x ³为优秀，则这200名学生八年级下学期期末地理成绩达到优秀的约有________人；（3）你认为该校八年级学生的期末地理成绩下学期比上学期有没有提高？请说明理由．【答案】（1）16 （2）35（3）八年级，理由见解析【解析】【分析】（1）由中位数的概念，可知40人成绩的中位数是第20、21位的成绩；（2）根据样本估计总体即可求解；（3）根据平均成绩或中位数即可判断．【小问1详解】解：由中位数的概念，可知40人成绩的中位数是第20、21位的成绩，由统计图知A 组4人，B 组10人，C 组10人，则中位数在C 组，第20、21位的成绩分别是16，16，则中位数是1616162+=；故答案为：16；【小问2详解】解：612003540+´=(人)，这200名学生八年级下学期期末地理成绩达到优秀的约有35人，故答案为：35；【小问3详解】解：因为抽取的八年级学生的期末地理成绩的平均分（或中位数）下学期的比上学期的高，所以八年级学生下学期期末地理成绩更好．【点睛】本题考查了条形统计图，中位数，众数等知识，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．24. 如图，一次函数y mx n =+的图象与y 轴交于点A ，与反比例函数()60y x x=>的图象交于点()3,B a ．（1）求点B 的坐标；（2）用m 的代数式表示n ；（3）当OAB V 的面积为9时，求一次函数y mx n =+的表达式．【答案】（1）()3,2B（2）32n m =-+（3）863y x =-【解析】【分析】（1）把点()3,B a 代入()60y x x =>，从而可得答案；（2）把点()3,2B 代入y mx n =+，从而可得答案；（3）利用三角形的面积先求解6OA =，可得A 的坐标，可得6n =-，代入再解决m 的值即可．【小问1详解】解：∵点()3,B a 在反比例函数()60y x x =>的图象上，∴623a ==，∴()3,2B ．【小问2详解】∵点()3,2B在一次函数y mx n =+的图象上，∴32m n +=，即32n m =-+．【小问3详解】如图，连接OB ．∵192OAB B S OA x =××=△，∴1392OA ×´=，∴6OA =，∴()0,6A -，∴6n =-，∴326m -+=-，∴83m =，∴一次函数的表达式为：863y x =-．【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，坐标与图形面积，熟练的利用待定系数法求解函数解析式是解本题的关键．25. 如图，ABC V 内接于O e ，AB 是O e 的直径，D 是O e 上的一点，CO 平分BCD Ð，CE AD ^，垂足为E ，AB 与CD 相交于点F ．（1）求证：CE 是O e 的切线；（2）当O e 的半径为5，3sin 5B =时，求CE 的长．【答案】（1）见解析（2）245【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等，得出ADC B Ð=Ð，根据OB OC =得出B OCB Ð=Ð，角平分线的定义得出OCB OCD Ð=Ð，等量代换得出ADC OCD Ð=Ð，进而得出90OCD ECD Ð+Ð=°，即CE OC ^，即可得证；（2）连接OD ，得OD OC =，则ODC OCD Ð=Ð，进而证明OCD OCB V V ≌，得出CD CB =，解Rt ABC △，得出8CB =，则8CD =，进而根据sin sin CE CD ADC CD B =×Ð=×即可求解．【小问1详解】证明：∵ AC AC =，∴ADC B Ð=Ð．∵OB OC =，∴B OCB Ð=Ð．∵CO 平分BCD Ð，∴OCB OCD Ð=Ð，∴ADC OCD Ð=Ð．∵CE AD ^，∴90ADC ECD Ð+Ð=°，∴90OCD ECD Ð+Ð=°，即CE OC ^．∵OC 为O e 的半径，∴CE 是O e 的切线．【小问2详解】连接OD ，得OD OC =，∴ODC OCD Ð=Ð．∵OCD OCB B Ð=Ð=Ð，∴ODC B Ð=Ð，∵CO CO =，∴OCD OCB V V ≌，∴CD CB =．∵AB 是O e 的直径，∴90ACB Ð=°，∴3sin 1065AC AB B =×=´=，∴8CB ===，∴8CD =，∴324sin sin 855CE CD ADC CD B =×Ð=×=´=．【点睛】本题考查了切线的判定定理，圆周角定理，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键．26. 【模型建立】（1）如图1，ABC V 和BDE V 都是等边三角形，点C 关于AD 的对称点F 在BD 边上．①求证：AE CD =；②用等式写出线段AD ，BD ，DF 的数量关系，并说明理由．模型应用】（2）如图2，ABC V 是直角三角形，AB AC =，CD BD ^，垂足为D ，点C 关于AD 的对称点F 在BD 边上．用等式写出线段AD ，BD ，DF 的数量关系，并说明理由．【模型迁移】（3）在（2）的条件下，若AD =3BD CD =，求cos AFB Ð的值．【答案】（1）①见解析；②AD DF BD =+，理由见解析；（2DF BD =+，理由见解析；（3）【【解析】【分析】（1）①证明：ABE CBD Ð=Ð，再证明()SAS ABE CBD @△△即可；②由DF 和DC 关于AD 对称，可得DF DC =．证明AE DF =，从而可得结论；（2）如图，过点B 作BE AD ^于点E ，得90BED Ð=°，证明45ADF ADC Ð=Ð=°，45EBD Ð=°．可得DE =，证明AB =，ABE CBD Ð=Ð，可得sin sin ABE CBD Ð=Ð，则AE BC CD AB ×=×，可得AE =，从而可得结论；（3）由33BD CD DF ==，可得34DF DF DF =+=，结合AD =2DF DC ==，6BD =，如图，过点A 作AH BD ^于点H ．可得122HF BF ==，BC ==，可得AF AC ===【详解】（1）①证明：∵ABC V 和BDE V 都是等边三角形，∴AB BC =，BE BD =，60ABC EBD Ð=Ð=°，∴ABC CBE EBD CBE Ð-Ð=Ð-Ð，∴ABE CBD Ð=Ð，∴()SAS ABE CBD @△△．∴AE CD =．②AD DF BD =+．理由如下：∵DF 和DC 关于AD 对称，∴DF DC =．∵AE CD =，∴AE DF =．∴AD AE DE DF BD =+=+．（2DF BD =+．理由如下：如图，过点B 作BE AD ^于点E ，得90BED Ð=°．∵DF 和DC 关于AD 对称，∴DF DC =，ADF ADC Ð=Ð．∵CD BD ^，∴45ADF ADC Ð=Ð=°，∴45EBD Ð=°．∴DE =．∵ABC V 是直角三角形，AB AC =，∴=45ABC а，AB =，∴ABC CBE EBD CBE Ð-Ð=Ð-Ð，∴ABE CBD Ð=Ð，∴sin sin ABE CBD Ð=Ð，∴AE CD AB BC=，∴AE BC CD AB ×=×，∴AE =．∴AD AE DE BD DF BD =+=+=+DF BD =+．（3）∵33BD CD DF ==，34DF DF DF =+=，∵AD =∴2DF DC ==，∴6BD =．如图，过点A 作AH BD ^于点H ．∵AB AC AF ==，∴()11222HF BF BD DF ==-=，BC ===．∴AF AC ====．∴cos HF AFB AF Ð===．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，锐角三角函数的灵活应用，本题难度较高，属于中考压轴题，作出合适的辅助线是解本题的关键．27. 如图1，抛物线2y x bx =-+与x 轴交于点A ，与直线y x =-交于点()4,4B -，点()0,4C -在y 轴上．点P 从点B 出发，沿线段BO 方向匀速运动，运动到点O 时停止．（1）求抛物线2y x bx =-+的表达式；（2）当BP =时，请在图1中过点P 作PD OA ^交抛物线于点D ，连接PC ，OD ，判断四边形OCPD 的形状，并说明理由．（3）如图2，点P 从点B 开始运动时，点Q 从点O 同时出发，以与点P 相同的速度沿x 轴正方向匀速运动，点P 停止运动时点Q 也停止运动．连接BQ ，PC ，求CP BQ +的最小值．【答案】（1）23y x x =-+（2）四边形OCPD 是平行四边形，理由见解析（3）【解析】【分析】（1）用待定系数法求二次函数解析式即可；（2）作PD OA ^交抛物线于点D ，垂足为H ，连接PC ，OD ，由点P 在y x =-上，可知OH PH =，45POH Ð=°，连接BC ，得出OB =，则2OH PH ====，当2D x =时，4322D DH y ==-+´=，进而得出PD OC =，然后证明PD OC ∥，即可得出结论；（3）由题意得，BP OQ =，连接BC ．在OA 上方作OMQ V ，使得45MOQ Ð=°，OM BC =，证明()SAS CBP MOQ △≌△，根据CP BQ MQ BQ MB +=+³得出CP BQ +的最小值为MB ，利用勾股定理求得MB ，即可得解．【小问1详解】解：∵抛物线2y x bx =-+过点()4,4B -，∴1644b -+=-，∴3b =，∴23y x x =-+；【小问2详解】四边形OCPD 是平行四边形．理由：如图1，作PD OA ^交抛物线于点D ，垂足为H ，连接PC ，OD ．∵点P 在y x =-上，∴OH PH =，45POH Ð=°，连接BC ，∵4OC BC ==，∴OB =，∵BP =，∴OP OB BP =-=，∴2OH PH ====，当2D x =时，4322D DH y ==-+´=，∴224PD DH PH =+=+=，∵()0,4C -，∴4OC =，∴PD OC =，∵OC x ^轴，PD x ^轴，∴PD OC ∥，∴四边形OCPD 是平行四边形；【小问3详解】如图2，由题意得，BP OQ =，连接BC ．在OA 上方作OMQ V ，使得45MOQ Ð=°，OM BC =，∵4OC BC ==，BC OC ^，∴45CBP Ð=°，∴CBP MOQ Ð=Ð，∵BP OQ =，CBP MOQ Ð=Ð，BC OM =，∴()SAS CBP MOQ △≌△，∴CP MQ =，∴CP BQ MQ BQ MB +=+³（当M ，Q ，B 三点共线时最短），∴CP BQ +的最小值为MB ，∵454590MOB MOQ BOQ Ð=Ð+Ð=°+°=°，∴MB ===即CP BQ +的最小值为．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，平行四边形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．。

甘肃省兰州市中考数学试卷含答案解析版

甘肃省兰州市中考数学试卷含答案解析版

甘肃省兰州市中考数学试卷含答案解析版Updated by Jack on December 25,2020 at 10:00 am2017年甘肃省兰州市中考数学试卷一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

）1．（4分）已知2x=3y（y≠0），则下面结论成立的是（）A．xy=32B．x3=2yC ．xy=23D．x2=y32．（4分）如图所示，该几何体的左视图是（）A．B．C．D．3．（4分）如图，一个斜坡长130m，坡顶离水平地面的距离为50m，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于（）A．513B．1213C．512D．13124．（4分）如图，在⊙O中，AB=BC，点D在⊙O上，∠CDB=25°，则∠AOB=（）A．45° B．50° C．55° D．60°5．（4分）下表是一组二次函数y=x2+3x﹣5的自变量x与函数值y的对应值： x 1y﹣1﹣那么方程x2+3x﹣5=0的一个近似根是（）A．1 B．C．D．6．（4分）如果一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根，那么是实数m的取值为（）A．m＞98B．m＞89C．m=98D．m=897．（4分）一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（）A．20 B．24 C．28 D．308．（4分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB=30°，AB=4，则OC=（）A．5 B．4 C．D．39．（4分）抛物线y=3x2﹣3向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为（）A．y=3（x﹣3）2﹣3 B．y=3x2C．y=3（x+3）2﹣3 D．y=3x2﹣610．（4分）王叔叔从市场上买了一块长80cm，宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000cm2的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为（）A．（80﹣x）（70﹣x）=3000B．80×70﹣4x2=3000C．（80﹣2x）（70﹣2x）=3000D．80×70﹣4x2﹣（70+80）x=300011．（4分）如图，反比例函数y=kx（k ＜0）与一次函数y=x +4的图象交于A 、B 两点的横坐标分别为﹣3，﹣1．则关于x 的不等式kx ＜x +4（x ＜0）的解集为（ ）A ．x ＜﹣3B ．﹣3＜x ＜﹣1C ．﹣1＜x ＜0D ．x ＜﹣3或﹣1＜x ＜012．（4分）如图，正方形ABCD 内接于半径为2的⊙O ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．π+1B ．π+2C ．π﹣1D ．π﹣213．（4分）如图，小明为了测量一凉亭的高度AB （顶端A 到水平地面BD 的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC 等高的台阶DE （DE=BC=米，A 、B 、C 三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点G 处，测得CG=15米，然后沿直线CG 后退到点E 处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A ，测得EG=3米，小明身高米，则凉亭的高度AB 约为（ ） A ．米 B ．9米C ．米D ．10米14．（4分）如图，在正方形ABCD 和正方形DEFG 中， 点G 在CD 上，DE=2，将正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转60°，得到正方形DE′F′G′，此时点G′在AC 上， 连接CE′，则CE′+CG′=（ ）A ．√2+√6B ．√3+1C ．√3+√2D ．√3+√615．（4分）如图1，在矩形ABCD 中，动点E 从A 出发，沿AB→BC 方向运动，当点E到达点C 时停止运动，过点E 做FE ⊥AE ，交CD 于F 点，设点E 运动路程为x ，FC=y ，如图2所表示的是y 与x 的函 数关系的大致图象，当点E 在BC 上运动时，FC 的最大长度是25，则矩形ABCD 的面积是（ ） A ．235 B ．5 C ．6 D ．254二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）16．（4分）若反比例函数y =kx 的图象经过点（﹣1，2），则k 的值是 ．17．（4分）如图，四边形ABCD 与四边形EFGH位似，位似中心点是O ，OE OA =35，则FGBC= ．18．（4分）如图，若抛物线y=ax 2+bx +c 上 的P （4，0），Q 两点关于它的对称轴x=1对称， 则Q 点的坐标为 ．19．（4分）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，要使四边形ABCD 是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB ⊥AD ，且AB=AD ；②AB=BD ，且AB ⊥BD ；③OB=OC ，且OB ⊥OC ；④AB=AD ，且AC=BD ．其中正确的序号是 ．20．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABCO 的顶点A ，B 的坐标分别是A（3，0），B （0，2）．动点P 在直线y=32x 上运动，以点P 为圆心，PB 长为半径的⊙P 随点P 运动，当⊙P 与?ABCO 的边相切时，P 点的坐标为 ．三、解答题（共8小题，满分70分.解答时，写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

(精品中考卷)甘肃省兰州市中考数学真题(解析版)

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2022年甘肃省兰州市中考数学真题一、选择题1. 的结果是（ ）A. ±2B. 2C.D.【答案】B 【解析】表示4的算术平方根，根据算术平方根的定义即可求出结果．【详解】4的算术平方根是2=2， 故选B ．【点睛】本题考查算术平方根的定义，比较基础，正确把握算术平方根的定义是解题的关键．2. 如图，直线a b ∥，直线c 与直线a ，b 分别相交于点A ，B ，AC b ⊥，垂足为C ．若152∠=︒，则2∠=（ ）A. 52°B. 45°C. 38°D. 26°【答案】C 【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠ABC =52°，根据垂直定义可得∠ACB =90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余，进行计算即可解答． 【详解】解：∵a ∥b ， ∴∠1=∠ABC =52°， ∵AC ⊥b ， ∴∠ACB =90°， ∴∠2=90°-∠ABC =38°， 故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质，垂线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 3. 下列分别是2022年北京冬奥会、1998年长野冬奥会、1992年阿尔贝维尔冬奥运会、1984年萨拉热窝冬奥会会徽上的图案，其中是轴对称图形的是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形为轴对称图形．详解】解：A ．不能沿一条直线折叠完全重合； B ．不能沿一条直线折叠完全重合； C ．不能沿一条直线折叠完全重合； D ．能够沿一条直线折叠完全重合； 故选：D ．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，关键在于熟练掌握轴对称图形的概念，并对选项作出正确判断．4. 计算：()22x y +=（ ） A. 2244x xy y ++B. 2224x xy y ++C. 2242x xy y ++D.224x x +【答案】A 【解析】【分析】根据完全平方公式展开即可． 【详解】解：原式=2244x xy y ++ 故选：A ．【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．5. 如图，ABC 内接于O ，CD 是O 的直径，40ACD ∠=︒，则B ∠=（ ）【A. 70°B. 60°C. 50°D. 40°【答案】C 【解析】【分析】由CD 是⊙O 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出∠CAD ＝90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠ACD 与∠D 互余，即可求得∠D 的度数，继而求得∠B 的度数．【详解】解：∵CD 是⊙O 的直径， ∴∠CAD ＝90°， ∴∠ACD +∠D ＝90°， ∵∠ACD ＝40°， ∴∠ADC ＝∠B ＝50°． 故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，注意掌握数形结合思想是解题的关键．6. 若一次函数21y x =+的图象经过点()13,y -，()24,y ，则1y 与2y 的大小关系是（ ） A. 12y y <B. 12y y >C. 12y y ≤D.12y y ≥【答案】A 【解析】【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据-3＜4即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数y =2x +1中，k =2＞0， ∴y 随着x 的增大而增大．∵点（-3，y 1）和（4，y 2）是一次函数y =2x +1图象上的两个点，-3＜4， ∴y 1＜y 2． 故选：A ．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象的增减性是解答此题的关键．7. 关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有两个相等的实数根，则k =（ ）A. -2B. -1C. 0D. 1【答案】B 【解析】【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△＝b 2−4ac ＝0，据此可列出关于k 的等量关系式，即可求得k 的值． 【详解】∵原方程有两个相等的实数根， ∴△＝b 2−4ac ＝4−4×（−k ）＝0，且k ≠0； 解得1k =-． 故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 8. 已知ABC DEF ∽△△，12AB DE =，若2BC =，则EF =（ ） A. 4 B. 6C. 8D. 16【答案】A 【解析】【分析】根据相似三角形的性质得到AB BCDE EF=，代入求解即可． 【详解】解：∵ABC DEF ∽△△， ∴12AB BC DE EF ==，即212EF =， 解得4EF =． 故选：A ．【点睛】此题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形性质．相似三角形性质：相似三角形对应边成比例，对应角相等．相似三角形的相似比等于周长比，相似三角形的相似比等于对应高，对应角平分线，对应中线的比，相似三角形的面积比等于相似比的平方．9. 无色酚酞溶液是一中常见常用酸碱指示剂，广泛应用于检验溶液酸碱性，通常情况下酚酞溶液遇酸溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱溶液变红色．现有5瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液、火碱溶液，将酚酞试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色的概率是（ ） A.15B.25C.35D.45【答案】B 【解析】【分析】根据概率公式求解即可．【详解】解：∵酚酞溶液遇酸溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱溶液变红色， ∵总共有5种溶液，其中碱性溶液有2种，∴将酚酞试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色概率是：25． 故选：B ．【点睛】此题考查了概率的知识，解题的关键是熟练掌握概率的求解方法． 10. 如图，菱形ABCD 对角线AC 与BD 相交于点O ，E 为AD 的中点，连接OE ，60ABC ∠=︒，BD =，则OE =（ ）A. 4B.C. 2【答案】C 【解析】【分析】根据菱形的性质得出AB AD DC BC ===，AC BD ⊥，再由AOD △直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得出12OE AD =．利用菱形性质、直角三角形边长公式求出4=AD ，进而求出2OE =．【详解】ABCD 是菱形，E 为AD 的中点，AB AD DC BC ∴===，AC BD ⊥．∴AOD △是直角三角形，12OE AD =． 60ABC ∠=︒，BD =，113022ADO ADC ABC ∴∠=∠=∠=︒，1122OD BD ==⨯=22214AD AD OD -= ，即23124AD =， 4AD ∴=，114222OE AD ==⨯=．故选：C ．【点睛】本题主要考查菱形、直角三角形的性质的理解与应用能力．解题关键是得出的的12OE AD =并求得4=AD ．求解本题时应恰当理解并运用菱形对角线互相垂直且平分、对角相等，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质．11. 已知二次函数2245y x x =-+，当函数值y 随x 值的增大而增大时，x 的取值范围是（ ） A. 1x < B. 1x > C. 2x < D. 2x >【答案】B 【解析】【分析】先将函数表达式写成顶点式，根据开口方向和对称轴即可判断． 【详解】解：∵()22245213y x x x =-+=-+ ∵开口向上，对称轴为x =1，∴x ＞1时，函数值y 随x 的增大而增大． 故选：B ．【点睛】本题考查的是二次函数的图像与性质，比较简单，需要熟练掌握二次函数的图像与性质．12. 如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O 为圆心，OA ，OB 长分别为半径，圆心角120O ∠=︒形成的扇面，若3m OA =， 1.5m OB =，则阴影部分的面积为（ ）A. 24.25m πB. 23.25m πC. 23m πD.22.25m π【答案】D 【解析】【分析】根据S 阴影=S 扇形AOD -S 扇形BOC 求解即可． 【详解】解：S 阴影=S 扇形AOD -S 扇形BOC=22120120360360OA OB ππ⋅⋅-=()22120360OA OB π-=()223 1.53π-=2.25π（m 2） 故选：D ．【点睛】本题考查扇形面积，不规则图形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．二、填空题13. 因式分解：216a -=___________． 【答案】(4)(4)a a +- 【解析】【分析】利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：原式224a =-，(4)(4)a a =+-，故答案为：(4)(4)a a +-．【点睛】本题考查了利用平方差公式分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． 14. 如图，小刚在兰州市平面地图的部分区域建立了平面直角坐标系，如果白塔山公园的坐标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0），那么黄河母亲像的坐标是______．【答案】()4,1- 【解析】【分析】根据白塔山公园的坐标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0）画出直角坐标系，然后根据点的坐标的表示方法写出黄河母亲像的坐标； 【详解】解：如图，根据白塔山公园的坐标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0）画出直角坐标系， ∴黄河母亲像的坐标是 ()4,1-． 故答案为：()4,1-．【点睛】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住直角坐标系中特殊位置点的坐标特征是解题的关键．15. 如图，在矩形纸片ABCD 中，点E 在BC 边上，将CDE △沿DE 翻折得到FDE V ，点F 落在AE 上．若3cm CE =，2AF EF =，则AB =______cm ．【答案】 【解析】【分析】由将△CDE 沿DE 翻折得到△FDE ，点F 落在AE 上，可得EF =CE =3cm ，CD =DF ，∠DEC =∠DEF ，由矩形的性质得∠DFE =∠C =90°=∠DFA ，从而得AF =6cm ，AD =AE =9cm ，进而由勾股定理既可以求解。

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甘肃省兰州市中考数学试卷含答案解析版It was last revised on January 2, 20212017年甘肃省兰州市中考数学试卷一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

）1．（4分）已知2x=3y （y ≠0），则下面结论成立的是（ ）A ．x y =32B ．x 3=2yC ．x y =23D ．x 2=y 32．（4分）如图所示，该几何体的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（4分）如图，一个斜坡长130m ，坡顶离水平地面的距离为50m ，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于（ ）A ．513 B ．1213 C ．512 D ．13124．（4分）如图，在⊙O 中，AB=BC ， 点D 在⊙O 上，∠CDB=25°，则∠AOB=（ ）A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°5．（4分）下表是一组二次函数y=x 2+3x ﹣5的自变量x 与函数值y 的对应值： x 1 y﹣1﹣那么方程x 2+3x ﹣5=0的一个近似根是（ ） A ．1 B ．C ．D ．6．（4分）如果一元二次方程2x 2+3x +m=0有两个相等的实数根，那么是实数m 的取值为（ ）A ．m ＞98B ．m ＞89C ．m=98D ．m=897．（4分）一个不透明的盒子里有n 个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n 为（ ） A ．20 B ．24 C ．28 D ．308．（4分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB=30°，AB=4，则OC=（）A．5 B．4 C．D．39．（4分）抛物线y=3x2﹣3向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为（）A．y=3（x﹣3）2﹣3 B．y=3x2C．y=3（x+3）2﹣3 D．y=3x2﹣6 10．（4分）王叔叔从市场上买了一块长80cm，宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000cm2的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为（）A．（80﹣x）（70﹣x）=3000B．80×70﹣4x2=3000C．（80﹣2x）（70﹣2x）=3000D．80×70﹣4x2﹣（70+80）x=300011．（4分）如图，反比例函数y=kx （k＜0）与一次函数y=x+4的图象交于A、B两点的横坐标分别为﹣3，﹣1．则关于x的不等式kx＜x+4（x＜0）的解集为（）A．x＜﹣3B．﹣3＜x＜﹣1C．﹣1＜x＜0D．x＜﹣3或﹣1＜x＜012．（4分）如图，正方形ABCD内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积为（）A．π+1 B．π+2C．π﹣1 D．π﹣213．（4分）如图，小明为了测量一凉亭的高度AB（顶端A到水平地面BD的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE（DE=BC=米，A、B、C三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG=15米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG=3米，小明身高米，则凉亭的高度AB约为（）A．米 B．9米C．米 D．10米14．（4分）如图，在正方形ABCD 和正方形DEFG 中，点G 在CD 上，DE=2，将正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转60°，得到正方形DE′F′G′，此时点G′在AC 上，连接CE′，则CE′+CG′=（ ） A ．√2+√6 B ．√3+1 C ．√3+√2 D ．√3+√615．（4分）如图1，在矩形ABCD 中，动点E 从A 出发，沿AB→BC 方向运动，当点E 到达点C 时停止运动，过点E 做FE ⊥AE ，交CD 于F 点，设点E 运动路程为x ，FC=y ，如图2所表示的是y 与x 的函数关系的大致图象，当点E 在BC 上运动时，FC 的最大长度是25，则矩形ABCD 的面积是（ ）A ．235B ．5C ．6D ．254二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）16．（4分）若反比例函数y =kx 的图象经过点（﹣1，2），则k 的值是 ．17．（4分）如图，四边形ABCD 与四边形EFGH位似，位似中心点是O ，OE OA =35，则FG BC= ．18．（4分）如图，若抛物线y=ax 2+bx +c 上的P （4，0），Q 两点关于它的对称轴x=1对称，则Q 点的坐标为 ．19．（4分）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，要使四边形ABCD 是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB ⊥AD ，且AB=AD ；②AB=BD ，且AB ⊥BD ；③OB=OC ，且OB ⊥OC ；④AB=AD ，且AC=BD ．其中正确的序号是 ． 20．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABCO 的顶点A ，B 的坐标分别是A （3，0），B （0，2）．动点P 在直线y=32x 上运动，以点P 为圆心，PB 长为半径的⊙P 随点P 运动，当⊙P与?ABCO 的边相切时，P 点的坐标为 ．三、解答题（共8小题，满分70分.解答时，写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

2023年甘肃省兰州市中考数学真题(解析版)

2023年甘肃省兰州市中考数学真题(解析版)

2023年兰州市初中学业水平考试数 学注意事项：1．全卷共120分，考试时间120分钟．2．考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡上．3．考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上．一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1. －5的相反数是( )A. 15- B. 15 C. 5 D. -5【答案】C【解析】【分析】根据相反数的定义解答即可．【详解】-5的相反数是5．故选C ．【点睛】本题考查了相反数，熟记相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数是关键．2. 如图，直线AB 与CD 相交于点O ，则BOD Ð=（ ）A. 40°B. 50°C. 55°D. 60°【答案】B【解析】【分析】利用对顶角相等得到BOD AOC Ð=Ð，即可求解．【详解】解：读取量角器可知：50AOC Ð=°，∴50BOD AOC Ð=Ð=°，故选：B ．【点睛】本题考查了对顶角相等，量角器读数，是基础题．3. 计算：255a a a -=-（ ）A. 5a - B. 5a + C. 5 D. a【答案】D【解析】【分析】分子分解因式，再约分得到结果．【详解】解：255a a a --()55a a a -=-a =，故选：D ．【点睛】本题考查了约分，掌握提公因式法分解因式是解题的关键．4. 如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角1Ð=（ ）A. 45°B. 60°C. 110°D. 135°【答案】A【解析】【分析】由正八边形的外角和为360°，结合正八边形的每一个外角都相等，再列式计算即可．【详解】解：∵正八边形的外角和为360°，∴3601=458°Ð=°，故选A【点睛】本题考查的是正多边形的外角问题，熟记多边形的外角和为360°是解本题的关键．5. 方程213x =+的解是（ ）A. 1x = B. =1x - C. 5x = D. 5x =-【答案】B【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得解．【详解】解：去分母得：23x =+，解得=1x -，经检验=1x -是分式方程的解．故选：B ．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．6. 如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧 AB ，圆弧的半径20cm OA =，圆心角90AOB Ð=°，则»=AB （ ）A. 20cmp B. 10cm p C. 5cm p D. 2cmp 【答案】B【解析】【分析】根据弧长公式求解即可．【详解】解：弧的半径20cm OA =，圆心角90AOB Ð=°，∴»902010180AB p p ´==，故选：B ．【点睛】题目主要考查弧长公式，熟练掌握运用弧长公式是解题关键．7. 已知二次函数()2323y x =---，下列说法正确的是（ ）A. 对称轴为2x =- B. 顶点坐标为()2,3 C. 函数的最大值是－3 D. 函数的最小值是－3【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的图象及性质进行判断即可．【详解】二次函数()2323y x =---的对称轴为2x =，顶点坐标为()2,3-∵30-<∴二次函数图象开口向下，函数有最大值，为=3y -∴A 、B 、D 选项错误，C 选项正确故选：C【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．8. 关于x 的一元二次方程20x bx c ++=有两个相等的实数根，则()2212b c -+=（ ）A. －2B. 2C. －4D. 4【答案】A【解析】【分析】由一元二次方程根的情况可得240b c -=，再代入式子即可求解．【详解】∵关于x 的一元二次方程20x bx c ++=有两个相等的实数根∴240b c D =-=∴()2221242022b c b c -+=--=-=-，故选：A .【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．9. 2022年我国新能源汽车销量持续增长，全年销量约为572.6万辆，同比增长91.7%，连续8年位居全球第一．下面的统计图反映了2021年、2022年新能源汽车月度销量及同比增长速度的情况．（2022年同比增长速度20222021100%2021-=´年当月销量年当月销量年当月销量）根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（ ）A. 2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆B. 2022年新能源汽车月度销量超过50万辆的月份有6个C. 相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到了181.1%D. 相对于2021年，2022年从5月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低【答案】D【解析】【分析】根据折线图逐项分析即可得出答案．【详解】解：A 、2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆，推断合理，本选项不符合题意；B 、2022年新能源汽车月度销量超过50万辆月份有6个，推断合理，本选项不符合题意；C 、相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到了181.1%，推断合理，本选项不符合题意；D 、相对于2021年，2022年从6月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低，原说法推断不合理，本选项符合题意；故选：D ．【点睛】此题考查了折线统计图，从折线统计图中获取数据做出分析，正确识别图中的数据是解题的关键．10. 我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a 和直线外一定点O ，过点O 作直线与a 平行．（1）以O 为圆心，单位长为半径作圆，交直线a 于点M，的N ；（2）分别在MO 的延长线及ON 上取点A ，B ，使OA OB =；（3）连接AB ，取其中点C ，过O ，C 两点确定直线b ，则直线a b ∥．按以上作图顺序，若35MNO Ð=°，则AOC Ð=（ ）A. 35°B. 30°C. 25°D. 20°【答案】A【解析】【分析】证明35NMO MNO Ð=Ð=°，可得23570AOB Ð=´°=°，结合OA OB =，C 为AB 的中点，可得35AOC BOC Ð=Ð=°．【详解】解：∵35MNO Ð=°，MO NO =，∴35NMO MNO Ð=Ð=°，∴23570AOB Ð=´°=°，∵OA OB =，C 为AB 的中点，∴35AOC BOC Ð=Ð=°，故选A ．【点睛】本题考查的是圆的基本性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形的外角的性质，熟记等腰三角形的性质是解本题的关键．11. 一次函数1y kx =-的函数值y 随x 的增大而减小，当2x =时，y 的值可以是（ ）A. 2B. 1C. －1D. －2【答案】D【解析】【分析】根据一次函数的增减性可得k 的取值范围，再把2x =代入函数1y kx =-，从而判断函数值y 的取值．【详解】∵一次函数1y kx =-的函数值y 随x 的增大而减小∴0k <∴当2x =时，211y k =-<-故选：D【点睛】本题考查一次函数的性质，不等式的性质，熟悉一次函数的性质是解题的关键．12. 如图，在矩形ABCD 中，点E 为BA 延长线上一点，F 为CE 的中点，以B 为圆心，BF 长为半径的圆弧过AD 与CE 的交点G ，连接BG ．若4AB =，10CE =，则AG =（ ）A. 2B. 2.5C. 3D. 3.5【答案】C【解析】【分析】利用直角三角形斜边中线的性质求得5BG BF ==，在Rt ABG △中，利用勾股定理即可求解.【详解】解：∵矩形ABCD 中，∴90ABC BAC Ð=Ð=°，∵F 为CE 的中点，10CE =，∴152BG BF CE ===，在Rt ABG △中，3AG ===，故选：C.【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边中线的长等于斜边的一半”是解题的关键.二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13. 因式分解：2225x y -=______．【答案】()()55x y x y +-【解析】【分析】直接利用平方差分解即可．【详解】解：()()222555x y x y x y -=+-．故答案为：()()55x y x y +-．【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式．14. 如图，在ABCD Y 中，BD CD =，AE BD ^于点E ，若70C Ð=°，则BAE Ð=______°．【答案】50【解析】【分析】证明70DBC C Ð=Ð=°，18027040BDC Ð=°-´°=°，由AB CD ∥，可得40ABE BDC Ð=Ð=°，结合AE BD ^，可得904050BAE Ð=°-°=°．【详解】解：∵BD CD =，70C Ð=°，∴70DBC C Ð=Ð=°，18027040BDC Ð=°-´°=°，∵ABCD Y ，∴AB CD ∥，∴40ABE BDC Ð=Ð=°，∵AE BD ^，∴904050BAE Ð=°-°=°；故答案为：50【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，平行四边形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟记基本几何图形的性质是解本题的关键．15. 如图，将面积为7的正方形OABC 和面积为9的正方形ODEF 分别绕原点O 顺时针旋转，使OA ，OD 落在数轴上，点A ，D 在数轴上对应的数字分别为a ，b ，则b a -=______．【答案】3【解析】【分析】分别求出两个正方形的边长，从而得到a ，b 的值，代入计算即可．【详解】∵正方形OABC 的面积为7，正方形ODEF 的面积为9∴OA =3OD ==即a =，3b =∴3b a -=故答案为：3【点睛】本题考查算术平方根的意义，在数轴上表示实数，正确求出算术平方根是解题的关键．16. 某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如下表：累计抛掷次数501002003005001000200030005000盖面朝上次数2854106158264527105615872850盖面朝上频率0.56000.54000.53000.52670.52800.52700.52800.52900.5300下面有三个推断：①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53．其中正确的是______．（填序号）【答案】①③【解析】【分析】根据表中数据及频率估计概率依次判断即可．【详解】解：①通过上述实验的结果，发现盖面朝上的次数多与累计次数的一半，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的，故正确；②实验是随机的，第2000次实验的结果不一定是“盖面朝上”，故错误；③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53，故正确．故答案为：①③．【点睛】题目主要考查频率估计概率，结合表中数据求解是解题关键．三、解答题（本大题共12小题，共72分）17.．【解析】【分析】根据二次根式乘法，加减法运算法则计算即可．【详解】解：原式＝-．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简方法是解题的关键．18. 计算：()()()2234x y x y y y +---．【答案】23x y-【解析】【分析】先计算平方差公式及单项式乘以多项式，然后计算加减法即可．【详解】解：()()()2234x y x y y y +---222=434x y y y --+23x y =-．【点睛】题目主要考查整式的乘法运算及加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键．19. 解不等式组：312(1)223x x x x ->+ìï+í>-ïî．【答案】34x <<【解析】【分析】分别解不等式组中的两个不等式，再取两个不等式的解集的公共部分即可．【详解】解：312(1)223x x x x ->+ìïí+>-ïî①②，由①得：32>21x x -+，解得：>3x ，由②得：2>36x x +-，解得：4x <，∴不等式组的解集为：34x <<．【点睛】本题考查的是一元一次不等式组是解法，掌握解一元一次不等式组的方法与步骤是解本题的关键．20. 如图，反比例函数()0ky x x=<与一次函数2y x m =-+的图象交于点()1,4A -，BC y ^轴于点D ，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B ，C ．（1）求反比例函数ky x=与一次函数2y x m =-+的表达式；（2）当1OD =时，求线段BC 的长．【答案】（1）反比例函数的表达式为4y x=-；一次函数的表达式为22y x =-+； （2）142BC =．【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）先求得直线BC 的表达式为1y =，再分别求得B C 、的坐标，据此即可求解．【小问1详解】解：∵反比例函数()0ky x x=<的图象经过点()1,4A -，∴144k =-´=-，∴反比例函数的表达式为4y x=-；∵一次函数2y x m =-+的图象经过点()1,4A -，∴()421m =-´-+，∴2m =，∴一次函数的表达式为22y x =-+；小问2详解】解：∵1OD =，【∴()01D ，，∴直线BC 的表达式为1y =，∵1y =时，14x=-，解得4x =-，则()41B -，，∵1y =时，122x =-+，解得12x =，则112C æöç÷èø，，∴()114422BC =--=．【点睛】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法是求函数解析式的基本方法．21. 综合与实践问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA 和OB 上分别取点C 和D ，使得OC OD =，连接CD ，以CD 为边作等边三角形CDE ，则OE 就是AOB Ð的平分线．请写出OE 平分AOB Ð的依据：____________；类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：CDE V 不一定必须是等边三角形，只需CE DE =即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在AOB Ð的边OA ，OB 上分别取OM ON =，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M ，N 重合，则过角尺顶点C 的射线OC 是AOB Ð的平分线，请说明此做法的理由；拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路AB 和AC ，汇聚形成了一个岔路口A ，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E ，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E 到岔路口A 的距离和休息椅D 到岔路口A 的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E 的位置．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】（1）SSS ；（2）证明见解析；（3）作图见解析；【解析】【分析】（1）先证明()SSS OCE ODE V V ≌，可得AOE BOE Ð=Ð，从而可得答案；（2）先证明()SSS OCM OCN V V ≌，可得AOC BOC Ð=Ð，可得OC 是AOB Ð的角平分线；（3）先作BAC Ð的角平分线，再在角平分线上截取AE AD =即可．【详解】解：（1）∵OC OD =，CE DE =，DE DE =，∴()SSS OCE ODE V V ≌，∴AOE BOE Ð=Ð，∴OE 是AOB Ð的角平分线；故答案为：SSS（2）∵OM ON =，CM CN =，OC OC =，∴()SSS OCM OCN V V ≌，∴AOC BOC Ð=Ð，∴OC 是AOB Ð的角平分线；（3）如图，点E 即为所求作的点；．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的定义与角平分线的性质，作已知角的角平分线，理解题意，熟练的作角的平分线是解本题的关键．22. 如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”．“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸．某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD 高度的实践活动．具体过程如下：如图2，“龙”字雕塑CD 位于垂直地面的基座BC 上，在平行于水平地面的A 处测得38BAC Ð=°、53BAD Ð=°，18m AB =．求“龙”字雕塑CD 的高度．（B ，C ，D 三点共线，BD AB ^．结果精确到0.1m ）（参考数据：sin 380.62°»，cos380.79°»，tan 380.78°»，sin 530.80°»，cos530.60°»，tan 53 1.33°»）【答案】“龙”字雕塑CD 的高度为9.9m ．【解析】【分析】在Rt ABC △和Rt △ABD 中，分别求得BC 和BD 的长，据此求解即可.【详解】解：在Rt ABC △中，18m AB =，38BAC Ð=°，∴()tan 380.781814.04m BC AB =°»´=，在Rt △ABD 中，18m AB =，53BAD Ð=°，∴()tan 53 1.331823.94m BD AB =°»´=，∴()23.9414.049.9m CD BD BC =-=-=,答：“龙”字雕塑CD 的高度为9.9m ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．23. 一名运动员在10m 高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB 的高度()m y 与离起跳点A 的水平距离()m x 之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A 的水平距离为1m 时达到最高点，当运动员离起跳点A 的水平距离为3m 时离水面的距离为7m ．（1）求y 关于x 的函数表达式；（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB 的长．【答案】（1）y 关于x 的函数表达式为2210y x x =-++； （2）运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为(1m ．【解析】【分析】（1）由题意得抛物线的对称轴为1x =，经过点()010，，()37，，利用待定系数法即可求解；（2）令0y =，解方程即可求解．【小问1详解】解：由题意得抛物线的对称轴为1x =，经过点()010，，()37，，设抛物线的表达式为2y ax bx c =++，∴1210937b a c a b c ì-=ïï=íï++=ïî，解得1210a b c =-ìï=íï=î，∴y 关于x 的函数表达式为2210y x x =-++；【小问2详解】解：令0y =，则22100x x -++=，解得1x =±，∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为(1m +．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键．24. 如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，CD OE ∥，直线CE 是线段OD 的垂直平分线，CE 分别交OD AD ，于点F ，G ，连接DE ．（1）判断四边形OCDE 的形状，并说明理由；（2）当4CD =时，求EG 的长．【答案】（1）四边形OCDE 是菱形，理由见解析 （2）EG =【解析】【分析】（1）证明COD △和EOD △是等边三角形，即可推出四边形OCDE 是菱形；（2）利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得DF 和CF的长，利用菱形的性质得到EF CF ==，在Rt CGF △中，解直角三角形求得GF 的长，据此求解即可．小问1详解】证明：四边形OCDE 是菱形，理由如下，∵矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∴1122OC OD AC BD ===，∵直线CE 是线段OD 的垂直平分线，∴CO CD =，EO ED =，∴CO CD OD ==，即COD △是等边三角形，∴60OCD DCO DOC Ð=Ð=Ð=°，1302OCF DCF OCD Ð=Ð=Ð=°，∵CD OE ∥，∴60EOD EDO CDO Ð=Ð=Ð=°，∴EOD △是等边三角形，∴CO CD EO ED ===，∴四边形OCDE 是菱形；【小问2详解】【解：∵直线CE 是线段OD 的垂直平分线，且30DCF Ð=°，∴122DF CD ==，CF ==，由（1）得四边形OCDE 是菱形，∴EF CF ==，在Rt DGF V 中，9030GDF ODC Ð=°-Ð=°，∴tan 302GF DF =°==，∴EG EF GF =-=．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．25. 某校八年级共有男生300人，为了解该年级男生排球垫球成绩和掷实心球成绩的情况，从中随机抽取40名男生进行测试，对数据进行整理、描述和分析，下面是给出的部分信息．信息一：排球垫球成绩如下图所示（成绩用x 表示，分成六组：A ． 10x <；B ． 1015x £<；C ． 1520x £<；D ． 2025x £<；E ． 2530x £<；F ． 30x £）．信息二：排球垫球成绩在D ． 2025x £<这一组的是：20，20，21，21，21，22，22，23，24，24信息三：掷实心球成绩（成绩用y 表示，单位：米）的人数（频数）分布表如下：分组 6.0y < 6.0 6.8y £< 6.87.6y £<7.68.4y £<8.49.2y £<9.2y£人数2m10962信息四：这次抽样测试中6名男生的两项成绩的部分数据如下：学生学生1学生2学生3学生4学生5学生6排球垫球262523222215掷实心球▲7．87．8▲8．89．2根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：m =______；（2）下列结论正确的是_____；（填序号）①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比低于60%；②掷实心球成绩的中位数记为n ，则6.87.6n £<；③若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀．如果信息四中6名男生两项成绩恰好为优秀的有4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀．（3）若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，请估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数．【答案】（1）11 （2）②③ （3）75人【解析】【分析】（1）由总人数减去各小组已知人数即可得到答案；（2）由排球垫球成绩超过10个的人数除以总人数可判断①，由中位数的含义可判断②，分三种情况进行分析讨论可判断③，从而可得到答案；（3）由样本的百分率乘以总人数即可得到答案．【小问1详解】解：由题意可得：4021096211m =-----=；【小问2详解】①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比为3690%40=，故①不符合题意；②∵掷实心球成绩排在第20个，第21个数据落在6.87.6y £<这一组，∴掷实心球成绩的中位数记为n ，则6.87.6n £<；故②符合题意；③由排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀．∴从这点出发可得：学生1，学生2，学生3，学生4，学生5为优秀，∵信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，∴若学生1为优秀，则学生4不为优秀，可得学生3优秀；若学生4为优秀，学生1不为优秀，可得学生3优秀；的学生1，学生4不可能同时为优秀，∴学生3掷实心球的成绩必为优秀，故③符合题意；故答案为：②③【小问3详解】排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数为103007540´=（人）．【点睛】本题考查的是从频数分布表，统计表中获取信息，利用样本估计总体，熟练的从频数分布表与统计表中获取互相关联的信息是解本题的关键．26. 如图，ABC V 内接于O e ，AB 是O e 的直径， BCBD =，DE AC ^于点E ，DE 交BF 于点F ，交AB 于点G ，2BOD F Ð=Ð，连接BD ．（1）求证：BF 是O e 的切线；（2）判断DGB V 的形状，并说明理由；（3）当2BD =时，求FG 的长．【答案】（1）见解析 （2）DGB V 是等腰三角形，理由见解析（3）4FG =【解析】【分析】（1）连接CO ，根据圆周角定理得出2BOD BOC BAC Ð=Ð=Ð，根据已知得出F BAC Ð=Ð，根据DEAC ^得出90AEG Ð=°，进而根据对等角相等，以及三角形内角和定理可得90FBG AEG Ð=Ð=°，即可得证；（2）根据题意得出 AD AC =，则ABD ABC Ð=Ð，证明EF BC ∥，得出AGE ABC Ð=Ð，等量代换得出FGB ABD Ð=Ð，即可得出结论；（3）根据FGB ABD Ð=Ð，AB BF ^，设FGB ABD a Ð=Ð=，则90DBF F a Ð=Ð=°-，等边对等角得出DB DF =，则224FG DG DB ===．【小问1详解】证明：如图所示，连接CO ，∵ BCBD =，∴2BOD BOC BAC Ð=Ð=Ð，∵2BOD F Ð=Ð，∴F BAC Ð=Ð，∵DEAC ^，∴90AEG Ð=°，∵AGE FGB Ð=Ð∴90FBG AEG Ð=Ð=°，即AB BF ^，又AB 是O e 的直径，∴BF 是O e 的切线；【小问2详解】∵ BCBD =，AB 是O e 的直径，∴ AD AC =，BC AC ^，∴ABD ABC Ð=Ð，∵DEAC ^，BC AC ^，∵EF BC ∥，∴AGE ABC Ð=Ð，又AGE FGB Ð=Ð，∴FGB ABD Ð=Ð，∴DGB V 是等腰三角形，【小问3详解】∵FGB ABD Ð=Ð，AB BF ^，设FGB ABD a Ð=Ð=，则90DBF F a Ð=Ð=°-，∴DB DF =，∴224FG DG DB ===．【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．27. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，如果点P 到直线EF 的距离等于图形M 上任意两点距离的最大值时，那么点P 称为直线EF 的“伴随点”．例如：如图1，已知点()1,2A ，()3,2B，()2,2P 在线段AB 上，则点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．（1）如图2，已知点()1,0A ，()3,0B ，P 是线段AB 上一点，直线EF 过()1,0G -，T æççè两点，当点P 是直线EF 的“伴随点”时，求点P 的坐标；（2）如图3，x 轴上方有一等边三角形ABC ，BC y ^轴，顶点A 在y 轴上且在BC 上方，=OC 点P 是ABC V 上一点，且点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．当点P 到x 轴的距离最小时，求等边三角形ABC 的边长；（3）如图4，以()1,0A ，()2,0B ，()2,1C 为顶点的正方形ABCD 上始终存在点P ，使得点P 是直线EF ：y x b =-+的“伴随点”．请直接写出b 的取值范围．【答案】（1）()3,0P（2）2（3）11b -££或35b ££【解析】【分析】（1）过点P 作PQ EF ^于点Q ，根据新定义得出2PQ =，根据已知得出30TGO Ð=°，则24GP PQ ==，即可求解；（2）当P 到x 轴的距离最小时，点P 在线段BC 上，设ABC V 的边长为a ，以C 为圆心a 为半径作圆，当C e 与x 轴相切时，如图所示，切点为H ，此时点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．且点P 到x 轴的距离最小，则C 的纵坐标为a ，即CH a =，ABC V 是等边三角形，且BC y ^轴，设BC 交于点D ，则AD BC ^，得出1,2C a a æöç÷èø，根据=OC（3）由正方形的边长为1，即可求出P 到EF ，从而可得P 既在正方形的边上，也在到EF的直线上，当1b £时，EF 向上平移2个单位长度得1l ，分别求出1l 过A 、C 时b 的值；当1b >时，EF 向下平移2个单位长度得1l ，分别求出1l 过A 、C 时b 的值，即可求出b 的取值范围．【小问1详解】解：如图所示，过点P 作PQ EF ^于点Q ，∵()1,0A ，()3,0B ，则2AB =，点P 是直线EF 的“伴随点”时，∴2PQ =，∵()1,0G -，T æççè，∴1OG TO ==，，∵tan TGO Ð==，∴30TGO Ð=°，∴24GP PQ ==，∴()3,0P ；【小问2详解】解：当P 到x 轴距离最小时，∴点P 在线段BC 上，设ABC V 的边长为a ，以C 为圆心a 为半径作圆，当C e 与x 轴相切时，如图所示，切点为H ，此时点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．且点P 到x 轴的距离最小，则C 的纵坐标为a ，即CH a =，∵ABC V 是等边三角形，且BC y ^轴，设BC 交于点D ，则AD BC ^，∴BD DC =12a =，∴1,2C a a æöç÷èø，∵=OC ∴22152a a æö+=ç÷èø，解得：2a =或2-（舍去），∴等边三角形ABC 的边长为2；【小问3详解】解：由题意知，正方形ABCD 的边长为1，所以正方形ABCD上任意两点距离的最大值为=即正方形ABCD 上始终存在点P ，P 到EF.则EF 向上或者向下平移2个单位长度得到直线1l ∵1l 与EF，的∴P 既在1l 上，又在正方形ABCD 的边上，∴1l 与正方形ABCD 有交点.当1b £时，1l 为2y x b =-++，当1l 过A 时，012b =-++，即1b =-,当1l 过C 时，122b =-++，即1b =;∴11b -££；当1b >时，1l 为2y x b =-+-，当1l 过A 时，012b =-+-，即3b =,当1l 过C 时，122b =-+-，即5b =;∴35b ££；综上，当11b -££或35b ££时，正方形ABCD 上始终存在点P ，使得点P 是直线EF ：y x b =-+的“伴随点”．【点睛】本题考查了几何新定义，解直角三角形，切线的性质，直线与坐标轴交点问题，正方形的性质，理解新定义是解题的关键．28.综合与实践【思考尝试】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD 中，E 是边AB 上一点，DF CE ^于点F ，GD DF ^，AG DG ^，AG CF =．试猜想四边形ABCD 的形状，并说明理由；【实践探究】（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上一点，DF CE ^于点F ，AH CE ⊥于点H ，GD DF ^交AH 于点G ，可以用等式表示线段FH ，AH ，CF 的数量关系，请你思考并解答这个问题；【拓展迁移】（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上一点，AH CE ⊥于点H ，点M 在CH 上，且AH HM =，连接AM ，BH ，可以用等式表示线段CM ，BH 的数量关系，请你思考并解答这个问题．【答案】（1）四边形ABCD 是正方形，证明见解析；（2）FH AH CF =+；（3）MC =，证明见解析；【解析】【分析】（1）证明ADG CDF V V ≌，可得AD CD =，从而可得结论；（2）证明四边形DGHF 是矩形，可得90G DFC Ð=°=Ð，同理可得：ADG CDF Ð=Ð，证明ADG CDF V V ≌，DG DF =，AG CF =，证明四边形DGHF 是正方形，可得HG HF =，从而可得结论；（3）如图，连接AC ，证明90AHE ABC Ð=Ð=°，AC AB=，45BAC Ð=°，AHE CBE V V ∽，可得AE HE CE BE=，再证明HEB AEC V V ∽，可得HBE MCA Ð=Ð，证明AHB AMC V V ∽，可得HB AB MC AC ==【详解】解：（1）∵GD DF ^，DF CE ^，AG DG ^，∴90G DFC Ð=Ð=°，90ADG ADF Ð+Ð=°，∵矩形ABCD ，∴90ADC ADF CDF Ð=°=Ð+Ð，∴ADG CDF Ð=Ð，∵AG CF =，∴ADG CDF V V ≌，∴AD CD =，∴矩形ABCD 是正方形．（2）∵DF CE ^，AH CE ⊥，GD DF ^，∴90DFH H GDF Ð=Ð=Ð=°，∴四边形DGHF 是矩形，∴90G DFC Ð=°=Ð，同理可得：ADG CDF Ð=Ð，∵正方形ABCD ，∴AD CD =，∴ADG CDF V V ≌，∴DG DF =，AG CF =，∴四边形DGHF 是正方形，∴HG HF =，∴FH HG AH AG AH CF ==+=+．（3）如图，连接AC ，∵AH CE ⊥，正方形ABCD ，∴90AHE ABC Ð=Ð=°，ACAB =，45BAC Ð=°，∵AEH CEB Ð=Ð，∴AHE CBE V V ∽，∴AE HECE BE =，∵BEH AEC Ð=Ð，∴HEB AEC V V ∽，∴HBE MCA Ð=Ð，∵,AH CE AH HM ^=，∴45HAM BAC Ð=°=Ð，∴HAE MAC Ð=Ð，∴AHB AMC V V ∽，∴HB AB MC AC ==。

甘肃省兰州市中考数学试卷含答案解析版

甘肃省兰州市中考数学试卷含答案解析版

甘肃省兰州市中考数学试卷含答案解析版TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】2017年甘肃省兰州市中考数学试卷一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

）1．（4分）已知2x=3y （y ≠0），则下面结论成立的是（ ）A ．x y =32B ．x 3=2yC ．x y =23D ．x 2=y 32．（4分）如图所示，该几何体的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（4分）如图，一个斜坡长130m ，坡顶离水平地面的距离为50m ，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于（ ）A ．513 B ．1213 C ．512 D ．13124．（4分）如图，在⊙O 中，AB=BC ， 点D 在⊙O 上，∠CDB=25°，则∠AOB=（ ）A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°5．（4分）下表是一组二次函数y=x 2+3x ﹣5的自变量x 与函数值y 的对应值： x 1 y﹣1﹣那么方程x 2+3x ﹣5=0的一个近似根是（ ） A ．1 B ．C ．D ．6．（4分）如果一元二次方程2x 2+3x +m=0有两个相等的实数根，那么是实数m 的取值为（ ）A ．m ＞98B ．m ＞89C ．m=98D ．m=897．（4分）一个不透明的盒子里有n 个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n 为（ ） A ．20 B ．24 C ．28 D ．308．（4分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB=30°，AB=4，则OC=（）A．5 B．4 C．D．39．（4分）抛物线y=3x2﹣3向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为（）A．y=3（x﹣3）2﹣3 B．y=3x2C．y=3（x+3）2﹣3 D．y=3x2﹣6 10．（4分）王叔叔从市场上买了一块长80cm，宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000cm2的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为（）A．（80﹣x）（70﹣x）=3000B．80×70﹣4x2=3000C．（80﹣2x）（70﹣2x）=3000D．80×70﹣4x2﹣（70+80）x=300011．（4分）如图，反比例函数y=kx （k＜0）与一次函数y=x+4的图象交于A、B两点的横坐标分别为﹣3，﹣1．则关于x的不等式kx＜x+4（x＜0）的解集为（）A．x＜﹣3B．﹣3＜x＜﹣1C．﹣1＜x＜0D．x＜﹣3或﹣1＜x＜012．（4分）如图，正方形ABCD内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积为（）A．π+1 B．π+2C．π﹣1 D．π﹣213．（4分）如图，小明为了测量一凉亭的高度AB（顶端A到水平地面BD的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE（DE=BC=米，A、B、C三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG=15米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG=3米，小明身高米，则凉亭的高度AB约为（）A．米 B．9米C．米 D．10米14．（4分）如图，在正方形ABCD 和正方形DEFG 中，点G 在CD 上，DE=2，将正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转60°，得到正方形DE′F′G′，此时点G′在AC 上，连接CE′，则CE′+CG′=（ ） A ．√2+√6 B ．√3+1 C ．√3+√2 D ．√3+√615．（4分）如图1，在矩形ABCD 中，动点E 从A 出发，沿AB→BC 方向运动，当点E 到达点C 时停止运动，过点E 做FE ⊥AE ，交CD 于F 点，设点E 运动路程为x ，FC=y ，如图2所表示的是y 与x 的函数关系的大致图象，当点E 在BC 上运动时，FC 的最大长度是25，则矩形ABCD 的面积是（ ）A ．235B ．5C ．6D ．254二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）16．（4分）若反比例函数y =kx 的图象经过点（﹣1，2），则k 的值是 ．17．（4分）如图，四边形ABCD 与四边形EFGH位似，位似中心点是O ，OE OA =35，则FG BC= ．18．（4分）如图，若抛物线y=ax 2+bx +c 上的P （4，0），Q 两点关于它的对称轴x=1对称，则Q 点的坐标为 ．19．（4分）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，要使四边形ABCD 是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB ⊥AD ，且AB=AD ；②AB=BD ，且AB ⊥BD ；③OB=OC ，且OB ⊥OC ；④AB=AD ，且AC=BD ．其中正确的序号是 ． 20．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABCO 的顶点A ，B 的坐标分别是A （3，0），B （0，2）．动点P 在直线y=32x 上运动，以点P 为圆心，PB 长为半径的⊙P 随点P 运动，当⊙P与?ABCO 的边相切时，P 点的坐标为 ．三、解答题（共8小题，满分70分.解答时，写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

2022年甘肃省武威中考数学真题(解析版)

2022年甘肃省武威中考数学真题(解析版)

武威市2022年初中毕业、高中招生考试数学试卷考生注意：本试卷满分为120分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效．一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．1.2-的相反数为（）A.2- B.2 C.2± D.12【答案】B【解析】【分析】根据相反数的概念得出答案．【详解】∵()22--=∴2-的相反数为2．故选：B【点睛】本题考查了相反数的概念，熟练掌握相关概念是解本题的关键．2.若40A ∠=︒，则A ∠的余角的大小是（）A.50°B.60°C.140°D.160°【答案】A【解析】【分析】用90°减去40°即可求解．【详解】解：∵40A ∠=︒，∴A ∠的余角=904050︒-︒=︒，故选A【点睛】本题考查了求一个角的余角，掌握和为90°的两角互为余角是解题的关键．3.不等式324x ->的解集是（）A.2x >- B.2x <- C.2x > D.2x <【答案】C【解析】【分析】按照解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1即可得出答案．【详解】解：3x -2＞4，移项得：3x ＞4+2，合并同类项得：3x ＞6，系数化为1得：x ＞2．故选：C ．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1是解题的关键．4.用配方法解方程x 2-2x =2时，配方后正确的是（）A.()213x += B.()216x += C.()213x -= D.()216x -=【答案】C【解析】【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．【详解】解：x 2-2x =2，x 2-2x +1=2+1，即（x -1）2=3．故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．5.若ABC DEF :△△，6BC =，4EF =，则AC DF =（）A.49B.94C.23 D.32【答案】D【解析】【分析】根据△ABC ∽△DEF ，可以得到,BC AC EF DF =然后根据BC =6，EF =4，即可求解．【详解】解：∵ABC DEF:△△∴,BC AC EF DF = 6BC =，4EF =，∴AC DF =63=42故选D【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．6.2022年4月16日，神州十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，飞行任务取得圆满成功．“出差”太空半年的神州十三号航天员乘组顺利完成既定全部任务，并解锁了多个“首次”．其中，航天员们在轨驻留期间共完成37项空间科学实验，如图是完成各领域科学实验项数的扇形统计图，下列说法错误的是（）A.完成航天医学领域实验项数最多B.完成空间应用领域实验有5项C.完成人因工程技术实验项数比空间应用领域实验项数多D.完成人因工程技术实验项数占空间科学实验总项数的24.3%【答案】B【解析】【分析】根据扇形统计图中的数据逐项分析即可．【详解】解：A．由扇形统计图可得，完成航天医学领域实验项数最多，所以A选项说法正确，故A选项不符合题意；B．由扇形统计图可得，完成空间应用领域实验占完成总实验数的5.4%，实验次项数为5.4%×37≈2项，所以B选项说法错误，故B选项符合题意；C．完成人因工程技术实验占完成总实验数的24.3%，完成空间应用领域实验占完成总实验数的5.4%，所以完成人因工程技术实验项数比空间应用领域实验项数多，说法正确，故C 选项不符合题意；D．完成人因工程技术实验项数占空间科学实验总项数的24.3%，所以D选项说法正确，故D选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查了扇形统计图，熟练掌握扇形统计图的应用是解决本题的关键．7.大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长约为8mm，则正六边形ABCDEF 的边长为（）A.2mmB.C.D.4mm 【答案】D【解析】AD，【分析】如图，连接CF与AD交于点O，易证△COD为等边三角形，从而CD=OC=OD=12即可得到答案．【详解】连接CF与AD交于点O，∵ABCDEF为正六边形，∴∠COD=3606︒=60°，CO=DO，AO=DO=12AD=4mm，∴△COD为等边三角形，∴CD=CO=DO=4mm，即正六边形ABCDEF的边长为4mm，故选：D．【点睛】本题考查了正多边形与圆的性质，正确把握正六边形的中心角、半径与边长的关系是解题的关键．8.《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”大意是：今有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞，问经过多少天相遇？设经过x天相遇，根据题意可列方程为（）A.11179x⎛⎫+=⎪⎝⎭B.11179x⎛⎫-=⎪⎝⎭C.()971x-= D.()971x+=【答案】A 【解析】【分析】设总路程为1，野鸭每天飞17，大雁每天飞19，当相遇的时候，根据野鸭的路程+大雁的路程=总路程即可得出答案．【详解】解：设经过x 天相遇，根据题意得：17x +19x =1，∴（17+19）x =1，故选：A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，本题的本质是相遇问题，根据等量关系：野鸭的路程+大雁的路程=总路程列出方程是解题的关键．9.如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧（ AB ），点O 是这段弧所在圆的圆心，半径90m OA =，圆心角80AOB ∠=︒，则这段弯路（ AB ）的长度为（）A.20mπ B.30m π C.40m π D.50mπ【答案】C【解析】【分析】根据题目中的数据和弧长公式，可以计算出这段弯路（ AB ）的长度．【详解】解：∵半径OA =90m ，圆心角∠AOB =80°，∴这段弯路（ AB ）的长度为：809040(m)180ππ⨯=，故选C 【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是明确弧长计算公式.180n r l π=10.如图1，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，动点P 从点A 出发，沿折线AD DC CB →→方向匀速运动，运动到点B 停止．设点P 的运动路程为x ，APB △的面积为y ，y 与x 的函数图象如图2所示，则AB 的长为（）A.3B.3C.33D.43【答案】B【解析】【分析】根据图1和图2判定三角形ABD 为等边三角形，它的面积为33【详解】解：在菱形ABCD 中，∠A =60°，∴△ABD 为等边三角形，设AB =a ，由图2可知，△ABD 的面积为33∴△ABD 的面积23334a ==解得：a =3故选B【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据菱形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．11.计算：323a a ⋅=_____________．【答案】53a 【解析】【分析】根据单项式的乘法直接计算即可求解．【详解】解：原式＝323a a ⋅=53a ．故答案为：53a ．【点睛】本题考查了单项式的乘法，正确的计算是解题的关键．12.因式分解：34m m -=_________________．【答案】()()22m m m +-【解析】【分析】原式提取m ，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：原式=m （m 2-4）=m （m +2）（m -2），故答案为：m （m +2）（m -2）【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．13.若一次函数y =kx −2的函数值y 随着自变量x 值的增大而增大，则k =_________（写出一个满足条件的值）．【答案】2（答案不唯一）【解析】【分析】根据函数值y 随着自变量x 值的增大而增大得到k ＞0，写出一个正数即可．【详解】解：∵函数值y 随着自变量x 值的增大而增大，∴k ＞0，∴k =2（答案不唯一）．故答案为：2（答案不唯一）．【点睛】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质：k ＞0，y 随x 的增大而增大；k ＜0，y 随x 的增大而减小是解题的关键．14.如图，菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若AB =，4cm AC =，则BD 的长为_________cm ．【答案】8【解析】【分析】利用菱形对角线互相垂直且平分的性质结合勾股定理得出答案即可．【详解】解： 菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AC =4，AC BD ∴⊥，12BO OD BD ==，AO =OC =12AC =25AB =Q ，224BO AB AO ∴=-=，28BD BO ∴==，故答案为：8．【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握菱形的性质，运用勾股定理解直角三角形，是解题关键．15.如图，在⊙O 内接四边形ABCD 中，若100ABC ∠=︒，则ADC ∠=________︒．【答案】80【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质计算出18080ADC ABC ∠∠=︒-=︒即可．【详解】解：∵ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠ABC ＝100°，∴∠ABC +∠ADC =180°，∴180********ADC ABC ∠∠=︒-=︒-︒=︒．故答案为80．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质．16.如图，在四边形ABCD 中，AB DC ，AD BC ∥，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD 成为一个矩形，只需添加的一个条件是_______________．【答案】90A ∠=︒（答案不唯一）【解析】【分析】】先证四边形ABCD 是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论．【详解】解：需添加的一个条件是∠A =90°，理由如下：∵AB ∥DC ，AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵∠A =90°，∴平行四边形ABCD 是矩形，故答案为：∠A =90°（答案不唯一）．【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．17.如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有函数关系：2520h t t =-+，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t =_________s ．【答案】2【解析】【分析】把一般式化为顶点式，即可得到答案．【详解】解：∵h=-5t2+20t=-5（t-2）2+20，且-5＜0，∴当t=2时，h取最大值20，故答案为：2．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握将二次函数一般式化为顶点式．18.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=9cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE=2cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为____________cm．【答案】【解析】【分析】根据矩形的性质可得AB=CD=6cm，∠ABC=∠C=90°，AB∥CD，从而可得∠ABD=∠BDC，然后利用直角三角形斜边上的中线可得EG=BG，从而可得∠BEG=∠ABD，进而可得∠BEG=∠BDC，再证明△EBF∽△DCB，利用相似三角形的性质可求出BF的长，最后在Rt△BEF中，利用勾股定理求出EF的长，即可解答．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=6cm，∠ABC=∠C=90°，AB∥CD，∴∠ABD=∠BDC，∵AE=2cm，∴BE=AB-AE=6-2=4（cm），∵G是EF的中点，∴EG=BG=12 EF，∴∠BEG=∠ABD，∴∠BEG =∠BDC ，∴△EBF ∽△DCB ，∴EB BFDC CB =，∴469BF =，∴BF =6，∴EF ==cm ），∴BG =12EF （cm ），【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共26分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．19.-．【答案】【解析】【分析】根据二次根式的混合运算进行计算即可求解．【详解】解：原式==【点睛】本题考查了次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键．20.化简：()2233322x x x x x x++÷-++．【答案】1【解析】【分析】将除法转化为乘法，因式分解，约分，根据分式的加减法法则化简即可得出答案．【详解】解：原式()()232323x x x x x x++=⋅-++33x x x+=-=1．【点睛】本题考查了分式的混合运算，考查学生运算能力，掌握运算的结果要化成最简分式或整式是解题的关键．21.中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题：原文释义甲乙丙为定直角．以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧；以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己；再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚；乙与己及庚相连作线．如图2，ABC ∠为直角．以点B 为圆心，以任意长为半径画弧，交射线BA ，BC 分别于点D ，E ；以点D 为圆心，以BD 长为半径画弧与 DE交于点F ；再以点E 为圆心，仍以BD 长为半径画弧与 DE 交于点G ；作射线BF ，BG ．（1）根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）；（2）根据（1）完成的图，直接写出DBG ∠，GBF ∠，FBE ∠的大小关系．【答案】（1）见解析（2）DBG GBF FBE∠=∠=∠【解析】【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）连接DF ，EG ，可得BDF 和BEG 均为等边三角形，60DBF EBG ∠=∠=︒，进而可得30DBG GBF FBE ∠=∠=∠=︒．【小问1详解】解：（1）如图：【小问2详解】DBG GBF FBE ∠=∠=∠．理由：连接DF ，EG 如图所示则BD =BF =DF ，BE =BG =EG 即BDF 和BEG 均为等边三角形∴60DBF EBG ∠=∠=︒∵90ABC ∠=︒∴30DBG GBF FBE ∠=∠=∠=︒【点睛】本题考查了尺规作图，根据题意正确作出图形是解题的关键．22.灞陵桥位于甘肃省渭源县城南清源河（渭河上游）上，始建于明洪武初年，因“渭水绕长安，绕灞陵，为玉石栏杆灞陵桥”之语，得名灞陵桥（图1），该桥为全国独一无二的纯木质叠梁拱桥．某综合实践研究小组开展了测量汛期某天“灞陵桥拱梁顶部到水面的距离”的实践活动，过程如下：方案设计：如图2，点C为桥拱梁顶部（最高点），在地面上选取A，B两处分别测得∠CAF 和∠CBF的度数（A，B，D，F在同一条直线上），河边D处测得地面AD到水面EG的距离DE（C，F，G在同一条直线上，DF∥EG，CG⊥AF，FG=DE）．数据收集：实地测量地面上A，B两点的距离为8.8m，地面到水面的距离DE=1.5m，∠CAF=26.6°，∠CBF=35°．问题解决：求灞陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG（结果保留一位小数）．参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70．根据上述方案及数据，请你完成求解过程．【答案】16.9m【解析】【分析】设BF=x m，根据题意可得：DE=FG=1.5m，然后在Rt△CBF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，再在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．【详解】解：设BF=x m，由题意得：DE=FG=1.5m，在Rt△CBF中，∠CBF=35°，∴CF=BF•tan35°≈0.7x（m），∵AB=8.8m，∴AF=AB+BF=（8.8+x）m，在Rt△ACF中，∠CAF=26.6°，∴tan26.6°=0.78.8CF xAF x=+≈0.5，∴x=22，经检验：x=22是原方程的根，∴CG=CF+FG=0.7x+1.5=16.9（m），∴灞陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG约为16.9m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．23.第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4至20日在我国北京-张家口成功举办，其中张家口赛区设有四个冬奥会竞赛场馆，分别为：A．云顶滑雪公园、B．国家跳台滑雪中心、C．国家越野滑雪中心、D．国家冬季两项中心．小明和小颖都是志愿者，他们被随机分配到这四个竞赛场馆中的任意一个场馆的可能性相同．（1）小明被分配到D．国家冬季两项中心场馆做志愿者的概率是多少？（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率．【答案】（1）1 4（2）1 4【解析】【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的结果有4种，再由概率公式求解即可．【小问1详解】解：小明被分配到D．国家冬季两项中心场馆做志愿者的概率是1 4；【小问2详解】解：画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的结果有4种，∴小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率为41164=．【点睛】此题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．24.受疫情影响，某初中学校进行在线教学的同时，要求学生积极参与“增强免疫力、丰富学习生活”为主题的居家体育锻炼活动，并实施锻炼时间目标管理．为确定一个合理的学生居家锻炼时间的完成目标，学校随机抽取了30名学生周累计居家锻炼时间（单位：h ）的数据作为一个样本，并对这些数据进行了收集、整理和分析，过程如下：【数据收集】7865910467511128764636891010136783510【数据整理】将收集的30个数据按A ，B ，C ，D ，E 五组进行整理统计，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图（说明：A ．35t ≤<，B ．57t ≤<，C ．79t ≤<，D ．911t <≤，E ．1113t ≤≤，其中t 表示锻炼时间）；【数据分析】统计量平均数众数中位数锻炼时间（h）7.3m7根据以上信息解答下列问题：（1）填空：m ___________；（2）补全频数分布直方图；（3）如果学校将管理目标确定为每周不少于7h，该校有600名学生，那么估计有多少名学生能完成目标？你认为这个目标合理吗？说明理由．【答案】（1）6（2）见解析（3）340名；合理，见解析【解析】【分析】（1）由众数的定义可得出答案．（2）结合收集的数据，求出C组的人数，即可补全频数分布直方图．（3）用总人数乘以样本中每周不少于7h的人数占比，即可得出答案；过半的学生都能完成目标，即目标合理．【小问1详解】由数据可知，6出现的次数最多，∴m=6．故答案为：6．【小问2详解】补全频数分布直方图如下：【小问3详解】863176006003403030++⨯=⨯=.答：估计有340名学生能完成目标；目标合理．理由：过半的学生都能完成目标．【点睛】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，从收集的数据中获取必要的信息是解决问题的关键．25.如图，B ，C 是反比例函数y =kx（k ≠0）在第一象限图象上的点，过点B 的直线y =x -1与x 轴交于点A ，CD ⊥x 轴，垂足为D ，CD 与AB 交于点E ，OA =AD ，CD =3．（1）求此反比例函数的表达式；（2）求△BCE 的面积．【答案】（1）6 yx =（2）1【解析】【分析】（1）根据直线y=x-1求出点A坐标，进而确定OA，AD的值，再确定点C的坐标，代入反比例函数的关系式即可；（2）求出点E坐标，进而求出EC，再求出一次函数与反比例函数在第一象限的交点B的坐标，由三角形的面积的计算方法进行计算即可．【小问1详解】解：当y=0时，即x-1=0，∴x=1，即直线y=x-1与x轴交于点A的坐标为（1，0），∴OA=1=AD，又∵CD=3，∴点C的坐标为（2，3），而点C（2，3）在反比例函数y=kx的图象上，∴k=2×3=6，∴反比例函数的图象为y=6 x；【小问2详解】解：方程组16y xyx=-⎧⎪⎨=⎪⎩的正数解为32xy=⎧⎨=⎩，∴点B的坐标为（3，2），当x=2时，y=2-1=1，∴点E的坐标为（2，1），即DE=1，∴EC=3-1=2，∴S △BCE =12×2×（3-2）=1，答：△BCE 的面积为1．【点睛】本题考查反比例函数、一次函数交点坐标以及待定系数法求函数关系式，将一次函数、反比例函数的关系式联立方程组是求出交点坐标的基本方法，将点的坐标转化为线段的长是正确解答的关键．26.如图，ABC 内接于O ，AB ，CD 是O 的直径，E 是DB 延长线上一点，且DEC ABC ∠=∠．（1）求证：CE 是O 的切线；（2）若DE =，2AC BC =，求线段CE 的长．【答案】（1）见解析（2）4【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是90°，得出90A ABC ∠+∠=︒，根据圆周角定理得到A D ∠=∠，推出90DCE ∠=︒，即可得出结论；（2）根据tan tan A D =得出12BC CE AC CD ==，再根据勾股定理得出CE 即可．【小问1详解】证明：∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴90A ABC ∠+∠=︒，∵BC BC =，∴A D ∠=∠，又∵DEC ABC ∠=∠，∴90D DEC ∠+∠=︒，∴90DCE ∠=︒，∴CD CE ⊥，∵OC 为O 的半径，∴CE 是O 的切线；【小问2详解】由（1）知CD CE ⊥，在Rt ABC △和Rt DEC △中，∵A D ∠=∠，2AC BC =，∴tan tan A D =，即12BC CE AC CD ==，∴2CD CE =，在Rt CDE △中，222CD CE DE +=，DE =∴()(2222CE CE +=，解得4CE =．【点睛】本题主要考查圆的综合题，熟练掌握圆周角定理，切线的判定，勾股定理等知识是解题的关键．27.已知正方形ABCD ，E 为对角线AC 上一点．（1）【建立模型】如图1，连接BE ，DE ．求证：BE DE =；（2）【模型应用】如图2，F 是DE 延长线上一点，FB BE ⊥，EF 交AB 于点G ．①判断FBG △的形状并说明理由；②若G 为AB 的中点，且4AB =，求AF 的长．（3）【模型迁移】如图3，F 是DE 延长线上一点，FB BE ⊥，EF 交AB 于点G ，BE BF =．求证：)1GE DE =．【答案】（1）见解析（2）①等腰三角形，见解析；（3）见解析【解析】【分析】(1)根据正方形的性质，证明()SAS ABE ADE ≅△即可．（2）①根据（1）的证明，证明∠FBG =∠FGB 即可．②过点F 作FH AB ⊥，垂足为H .利用三角函数求得FH ，AH 的长度即可．(3)证明)1GE EF FG BF DE DE =-=-=-=即可．【小问1详解】）证明：∵四边形ABCD 为正方形，AC 为对角线，∴AB AD =，45BAE DAE ∠=∠=︒.∵AE AE =，∴()SAS ABE ADE ≅△，∴BE DE =.【小问2详解】①FBG △为等腰三角形.理由如下：∵四边形ABCD 为正方形，∴90GAD ∠=︒，∴90AGD ADG ∠+∠=︒.∵FB BE ⊥，∴90FBG EBG ∠+∠=︒，由（1）得ADG EBG ∠=∠，∴AGD FBG ∠=∠，又∵AGD FGB ∠=∠，∴FBG FGB ∠=∠，∴FBG △为等腰三角形.②如图1，过点F 作FH AB ⊥，垂足为H .∵四边形ABCD 为正方形，点G 为AB 的中点，4AB =，∴2AG BG ==，4=AD .由①知FG FB =，∴1GH BH ==，∴3AH AG GH =+=.在Rt FHG V 与Rt DAG △中，∵FGH DGA ∠=∠，∴tan tan FGH DGA ∠=∠，∴42FH AD GH AG ==，∴2FH =.在Rt AHF △中，AF ===【小问3详解】如图2，∵FB BE ⊥，∴90FBE ∠=︒.在Rt EBF △中，BE BF =，∴EF .由（1）得BE DE =，由（2）得FG BF =，∴)1GE EF FG BF DE DE =-=-=-=.【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，勾股定理和三角函数是解题的关键．28.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线()()134y x x a =+-与x 轴交于A ，()4,0B 两点，点C 在y 轴上，且OC OB =，D ，E 分别是线段AC ，AB 上的动点（点D ，E 不与点A ，B ，C 重合）．（1）求此抛物线的表达式；（2）连接DE 并延长交抛物线于点P ，当DE x ⊥轴，且1AE =时，求DP 的长；（3）连接BD ．①如图2，将BCD △沿x 轴翻折得到BFG ，当点G 在抛物线上时，求点G 的坐标；②如图3，连接CE ，当CD AE =时，求BD CE +的最小值．【答案】（1）211344y x x =--（2）176（3）①420,39G ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；97【解析】【分析】（1）把点B 代入抛物线关系式，求出a 的值，即可得出抛物线的关系式；（2）根据抛物线()()1344y x x =+-可求出点A 的坐标，点C 的坐标，根据1AE =，利用三角函数，求出DE 的长，再求出点E 的坐标，根据点P 与点E 的横坐标相同，得出点P 的横坐标，代入抛物线的关系式，求出点P 的纵坐标，即可得出EP 的值，最后求出DP 的值即可；（3）①连接DG 交AB 于点M ，设()0OM a a =>，则3AM OA OM a =-=-，求出()4tan 33MG MD AM CAO a ==⋅∠=-，得出点()4,33G a a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，将其代入抛物线关系式，列出关于a 的方程，解方程，求出a 的值，即可得出G 的坐标；②在AB 下方作EAQ DCB ∠=∠且AQ BC =，连接EQ ，CQ ，证明AEQ CDB ≅△△，得出EQ BD =，说明当C ，E ，Q 三点共线时，BD CE EQ CE +=+最小，最小为CQ ，过C 作CH AQ ⊥，垂足为H ，先证明∠CAH =45°，算出AC 长度，即可求出CH 、AH ，得出HQ ，最后根据勾股定理求出CQ 的长度即可得出结果．【小问1详解】解：∵()4,0B 在抛物线()()134y x x a =+-上，∴()()143404a +-=，解得4a =，∴()()1344y x x =+-，即211344y x x =--；【小问2详解】在()()1344y x x =+-中，令0y =，得13x =-，24x =，∴()30A -,，3OA =，∵4OC OB ==，∴()0,4C ，∵1AE =，∴44tan 133OC DE AE CAO AE OA =⋅∠=⋅=⨯=，312OE OA AE =-=-=，∴()2,0E -，∵DE x ⊥轴，∴2P D E x x x ===-，∴()()13232442P y =-+--=-，∴32PE =，∴4317326DP DE PE =+=+=．【小问3详解】①连接DG 交AB 于点M ，如图1所示：∵BCD △与BFG 关于x 轴对称，∴DG AB ⊥，DM GM =，设()0OM a a =>，则3AM OA OM a =-=-，()4tan 33MG MD AM CAO a ==⋅∠=-，∴()4,33G a a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，∵点()4,33G a a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦在抛物线()()1344y x x =+-上，∴()()()1434343a a a -+--=-，解得13a =（舍去），243a =，∴420,39G ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；②在AB 下方作EAQ DCB ∠=∠且AQ BC =，连接EQ ，CQ ，如图2所示：∵AE CD =，∴()SAS AEQ CDB ≅△△，∴EQ BD =，∴当C ，E ，Q 三点共线时，BD CE EQ CE +=+最小，最小为CQ ，过C 作CH AQ ⊥，垂足为H ，∵OC OB ^，4OC OB ==，∴45CBA ∠=︒，BC =∵18018045CAH CAB EAQ CAB DCB CBA ∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠=∠=︒，5AC ===，25222AH CH AC ===，22HQ AH AQ AH BC =+=+=+=，∴CQ ===，+．即BD CE【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，待定系数法求抛物线的关系式，全等三角形=，得出当C，的判定和性质，解直角三角形，三角函数的定义，作出辅助线，证明EQ BD+=+最小，是解题的关键．E，Q三点共线时，BD CE EQ CE。

2024年甘肃省中考数学试卷(含解析)

2024年甘肃省中考数学试卷(含解析)

2024年甘肃省中考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．1．（3分）下列各数中，比﹣2小的数是（）A．﹣1B．﹣4C．4D．12．（3分）如图所示，该几何体的主视图是（）A．B．C．D．3．（3分）若∠A＝55°，则∠A的补角为（）A．35°B．45°C．115°D．125°4．（3分）计算：＝（）A．2B．2a﹣b C．D．5．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD＝60°，AB＝2，则AC的长为（）A．6B．5C．4D．36．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，AC⊥OB，垂足为D，若∠A＝35°，则∠C的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．35°7．（3分）如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（）A．y＝3x B．y＝4x C．y＝3x+1D．y＝4x+18．（3分）近年来，我国重视农村电子商务的发展．下面的统计图反映了2016﹣2023年中国农村网络零售额情况，根据统计图提供的信息，下列结论错误的是（）A．2023年中国农村网络零售额最高B．2016年中国农村网络零售额最低C．2016﹣2023年，中国农村网络零售额持续增加D．从2020年开始，中国农村网络零售额突破20000亿元9．（3分）敦煌文书是华夏民族引以为傲的艺术瑰宝，其中敦煌《算经》中出现的《田积表》部分如图1所示，它以表格形式将矩形土地的面积直观展示，可迅速准确地查出边长10步到60步的矩形田地面积，极大地提高了农田面积的测量效率．如图2是复原的部分《田积表》，表中对田地的长和宽都用步来表示，A区域表示的是长15步，宽16步的田地面积为一亩，用有序数对记为（15，16），那么有序数对记为（12，17）对应的田地面积为（）A．一亩八十步B．一亩二十步C．半亩七十八步D．半亩八十四步10．（3分）如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，PO的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到BC中点时，PO的长为（）A．2B．3C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）因式分解：2x2﹣8＝．12．（4分）已知一次函数y＝﹣2x+4，当自变量x＞2时，函数y的值可以是（写出一个合理的值即可）．13．（4分）定义一种新运算*，规定运算法则为：m*n＝m n﹣mn（m，n均为整数，且m≠0）．例：2*3＝23﹣2×3＝2，则（﹣2）*2＝．14．（4分）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上）15．（4分）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱AO的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣0.02x2+0.3x+1.6的图象，点B（6，2.68）在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD＝4m，高DE＝1.8m的矩形，则可判定货车完全停到车棚内（填“能”或“不能”）．16．（4分）甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形OBC和扇形OAD有相同的圆心O，且圆心角∠O＝100°，若OA＝120cm，OB＝60cm，则阴影部分的面积是cm2.（结果用π表示）三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（6分）计算：×．18．（6分）解不等式组：．19．（6分）先化简，再求值：[（2a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）]÷2b，其中a＝2，b＝﹣1．20．（8分）马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧．如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通．如图2，已知⊙O和圆上一点M．作法如下：①以点M为圆心，OM长为半径，作弧交⊙O于A，B两点；②延长MO交⊙O于点C；即点A，B，C将⊙O的圆周三等分．（1）请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将⊙O的圆周三等分（保留作图痕迹，不写作法）；（2）根据（1）画出的图形，连接AB，AC，BC，若⊙O的半径为2cm，则△ABC的周长为cm．21．（10分）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜．（1）请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率．（2）这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由．22．（10分）习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒AH垂直于地面，测角仪CD，EF在AH两侧，CD＝EF＝1.6m，点C与点E相距182m（点C，H，E在同一条直线上），在D处测得筒尖顶点A的仰角为45°，在F处测得筒尖顶点A的仰角为53°．求风电塔简AH的高度．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈．）四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．23．（8分）在阳光中学运动会跳高比赛中，每位选手要进行五轮比赛，张老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的得分（单位：分，满分10分）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下：信息一：甲、丙两位选手的得分折线图；信息二：选手乙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是9.0，8.9，8.3；信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数数据如下：选手统计量甲乙丙平均数m 9.18.9中位数9.29.0n 根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m ，n 的值：m ＝，n ＝；（2）从甲、丙两位选手的得分折线图中可知，选手发挥的稳定性更好（填“甲”或“丙”）；（3）该校现准备推荐一位选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手，请说明理由．24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，将函数y ＝ax 的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数y ＝ax +b 的图象，与反比例函数y ＝（x ＞0）的图象交于点A （2，4）．过点B （0，2）作x 轴的平行线分别交y ＝ax +b 与y＝（x ＞0）的图象于C ，D 两点．（1）求一次函数y ＝ax +b 和反比例函数y ＝的表达式；（2）连接AD ，求△ACD 的面积．25．（10分）如图，AB 是⊙O 的直径，＝，点E 在AD 的延长线上，且∠ADC ＝∠AEB ．（1）求证：BE 是⊙O 的切线；（2）当⊙O 的半径为2，BC ＝3时，求tan ∠AEB 的值．26．（10分）【模型建立】（1）如图1，已知△ABE和△BCD，AB⊥BC，AB＝BC，CD⊥BD，AE⊥BD．用等式写出线段AE，DE，CD的数量关系，并说明理由．【模型应用】（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在对角线BD和边CD上，AE⊥EF，AE＝EF．用等式写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由．【模型迁移】（3）如图3，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD的延长线上，AE⊥EF，AE＝EF．用等式写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由．27．（12分）如图1，抛物线y＝a（x﹣h）2+k交x轴于O，A（4，0）两点，顶点为B（2，2），点C 为OB的中点．（1）求抛物线y＝a（x﹣h）2+k的表达式；（2）过点C作CH⊥OA，垂足为H，交抛物线于点E．求线段CE的长．（3）点D为线段OA上一动点（O点除外），在OC右侧作平行四边形OCFD．①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标；②如图3，连接BD，BF，求BD+BF的最小值．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．1．【答案】B【解析】解：根据两个负数，绝对值大的反而小，可得比﹣2小的数是﹣4，故选：B．2．【答案】C【解析】解：该几何体的主视图是．故选：C．3．【答案】D【解析】解：若∠A＝55°，则∠A的补角为180°﹣55°＝125°，故选：D．4．【答案】A【解析】解：原式＝＝＝2．故选：A．5．【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，对角线AC，BD相交于点O，AB＝2，∴OA＝OB＝OC＝OD，∵∠ABD＝60°，∴△OAB为等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝2，∴OC＝OA＝2，∴AC＝OA+OC＝4，故选：C．6．【答案】A【解析】解：∵∠A＝35°，∴∠O＝2∠A＝70°，∵AC⊥OB，∴∠CDO＝90°，∴∠C＝90°﹣∠O＝90°﹣70°＝20°．故选：A．7．【答案】B【解析】解：由图可知，“回文”的桌面的总面积为4x（x+y），其中每张长桌的桌面面积为xy，每张中桌的桌面面积为3x2，每张小桌的桌面面积为2x2．根据题意，得2xy+2×3x2+3×2x2＝4x（x+y），解得y＝4x．故选：B．8．【答案】D【解析】解：A、由统计图可知，2023年中国农村网络零售额为24900亿元，是2016﹣2023年中总额最高的；B、由统计图可知，2016年中国农村网络零售额为8945亿元，是2016﹣2023年中总额最低的；C、由统计图可知，2016﹣2023年中，中国农村网络零售额是持续增加的；D、由统计图可知，中国农村网络零售额从2021年开始突破了20000亿元，而非2020年；故选：D．9．【答案】D【解析】解：根据（15，16）可得，横从上面从右向左看，纵从右边自下而上看，∴（12，17）对应的是半亩八十四步，故选：D．10．【答案】C【解析】解：结合图象，得到当x＝0时，PO＝AO＝4，∴当点P运动到点B时，PO＝BO＝2，∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，∴∠AOB＝∠BOC＝90°，∴，当点P运动到BC中点时，PO的长为，故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11．2（x+2）（x﹣2）【答案】观察原式，找到公因式2，提出后，再利用平方差公式分解即可得出答案．【解析】解：2x2﹣8＝2（x+2）（x﹣2）．12．【答案】﹣2【解析】解：当x＝3时，y＝﹣2×3+4＝﹣2；故答案为：﹣2（答案不唯一）．13．【答案】8【解析】解：∵m*n＝m n﹣mn，∴（﹣2）*2＝（﹣2）2﹣（﹣2）×2＝4+4＝8，故答案为：8．14．【答案】A（答案不唯一）【解析】解：白方如果落子于点A（答案不唯一）的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．故答案为：A（答案不唯一）．15．【答案】能【解析】解：∵CD＝4m，B（6，2.68），∴6﹣4＝2，在y＝﹣0.02x2+0.3x+1.6中，当x＝2时，y＝﹣0.02×22+0.3×2+1.6＝2.12，∵2.12＞1.8，∴货车能完全停到车棚内，故答案为：能．16．【答案】3000π【解析】解：S阴影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC＝＝＝3000π（cm2），故答案为：3000π．三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】0【解析】解：原式＝3﹣3＝0．18．【答案】＜x＜7【解析】解：由2（x﹣2）＜x+3，得：x＜7，由＜2x，得：x＞，所以不等式组解集为＜x＜7．19．【答案】3【解析】解：原式＝[4a2+4ab+b2﹣（4a2﹣b2）]÷2b＝（4a2+4ab+b2﹣4a2+b2）÷2b＝（4ab+2b2）÷2b＝2a+b，当a＝2，b＝﹣1时，原式＝2×2﹣1＝3．20．【答案】（1）见解析；（2）6．【解析】解：（1）如图，点A，B，C即为所求．（2）设CM交AB于点E．∵＝＝，∴AB＝CB＝AC，∠AOB＝120°，∵＝，∴∠AOM＝∠BOM＝60°，∵OA＝OB，∴OE⊥AB，AE＝EB＝AO•sin60°＝2×＝（cm），∴AB＝2（cm），∴△ABC的周长为6cm．故答案为：6．21．【答案】（1）甲获胜的概率为；（2）游戏不公平．【解析】解：（1）画树状图得：共有12种等可能的结果，其中甲获胜的结果有8种，∴甲获胜的概率为；（2）不公平．由树状图可知，乙获胜的结果有4种，∴乙获胜的概率为，∵，∴游戏不公平．22．【答案】风电塔简AH的高度约为105.6m【解析】解：连接DF交AH于点G，由题意得：CD＝EF＝GH＝1.6m，DF＝CE＝182m，DF⊥AH，设DG＝x m，∴FG＝DF﹣DG＝（182﹣x）m，在Rt△ADG中，∠ADG＝45°，∴AG＝DG•tan45°＝x（m），在Rt△AFG中，∠AFG＝53°，∴AG＝FG•tan53°≈（182﹣x）m，∴x＝（182﹣x），解得：x＝104，∴AG＝104m，∴AH＝AG+GH＝104+1.6＝105.6（m），∴风电塔简AH的高度约为105.6m．四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．23．【答案】（1）9.1，9.1；（2）甲；（3）应该推荐甲选手．【解析】解：（1）甲的平均数是：m＝×（9.2+8.8+9.3+8.4+9.5）＝9.1，把这些数从小到大排列为：8.3，8.4，9.1，9.3，9.4，中位数n＝9.1；故答案为：9.1，9.1；（2）由题意可知，甲五轮比赛成绩的波动较小，丙的波动较大，所以选手甲发挥的稳定性更好．故答案为：甲；（3）应该推荐甲，理由如下：甲的中位数和平均数都比乙的大，且甲的成绩稳定性比乙好，所以应该推荐甲选手．24．【答案】（1）y＝．（2）6．【解析】解：（1）因为函数y＝ax+b的图象由函数y＝ax的图象向上平移3个单位长度得到，所以b＝3．将点A坐标代入一次函数解析式得，2a+3＝4，解得a＝，所以一次函数解析式为y＝．将点A坐标代入反比例函数解析式得，k＝2×4＝8，所以反比例函数解析式为y＝．（2）将y＝2代入y＝得，，解得x＝﹣2，所以点B的坐标为（﹣2，2）．将y＝2代入y＝得，x＝4，所以点D的坐标为（4，2），所以CD＝4﹣（﹣2）＝6，所以．25．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：连接BD，OC，OD，∵，∴BC＝BD，∵OC＝OD，∴点O、B在CD的垂直平分线上，∴OB垂直平分CD，∴∠AFD＝90°，∵∠ADC＝∠AEB，∴CD∥BE，∴∠ABE＝∠AFD＝90°，∴AB⊥BE，∵AB是⊙O的直径，∴BE是⊙O的切线；（2）解：∵⊙O的半径为2，∴AB＝2×2＝4，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵BC＝3，∴，∴，∵，∴∠ADC＝∠ABC，∵∠AEB＝∠ADC，∴∠AEB＝∠ABC，∴．26．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【解析】解：（1）DE+CD＝AE，理由如下：∵CD⊥BD，AE⊥BD，AB⊥BC，∴∠ABC＝∠D＝∠AEB＝90°，∴∠ABE+∠CBD＝∠C+∠CBD＝90°，∴∠ABE＝∠C，∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCD（AAS），∴BE＝CD，AE＝BD，∴DE＝BD﹣BE＝AE﹣CD，∴DE+CD＝AE；（2），理由如下：过E点作EM⊥AD于点M，过E点作EN⊥CD于点N，如图，∵四边形ABCD是正方形，BD是正方形的对角线，∴∠ADB＝∠CDB＝45°，BD平分∠ADC，∠ADC＝90°，∴，∴，∵EN⊥CD，EM⊥AD，∴EM＝EN，∵AE＝EF，∴Rt△AEM≌Rt△FEN（HL），∴AM＝NF，∵EM＝EN，EN⊥CD，EM⊥AD，∠ADC＝90°，∴四边形EMDN是正方形，∴ED是正方形EMDN对角线，MD＝ND，∴，NF＝ND﹣DF＝MD﹣DF，∴，，∴，∴，∵，∴，∴；（3），理由如下：过A点作AH⊥BD于点H，过F点作FG⊥BD，交BD的延长线于点G，如图，∵AH⊥BD，FG⊥BD，AE⊥EF，∴∠AHE＝∠G＝∠AEF＝90°，∴∠AEH+∠HAE＝∠AEH+∠FEG＝90°，∴∠HAE＝∠FEG，∵AE＝AF，∴△HAE≌△GEF（AAS），∴HE＝FG，∵在正方形ABCD中，∠BDC＝45°，∴∠FDG＝∠BDC＝45°，∴∠DFG＝45°，∴△DFG是等腰直角三角形，∴，∴，∵∠ADB＝45°，AH⊥HD，∴△ADH是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∵，∴，∴．27．【答案】（1）y＝﹣x2+2x；（2）；（3）①F（2+，）；②BD+BF最小值为：DF′＝＝2【解析】解：（1）由题意得：y＝a（x﹣2）2+2，将点A的坐标代入上式得：0＝a×（4﹣2）2+2，解得：a＝﹣，抛物线y＝a（x﹣h）2+k的表达式为y＝﹣x2+2x；（2）由（1）知，y＝﹣（x﹣2）2+2，由中点坐标公式得点C（1，），当x＝1时，y＝﹣（x﹣2）2+2＝，则CE＝﹣＝；（3）①由（2）知，C（1，），当y＝时，y＝﹣（x﹣2）2+2＝，则x＝2+（不合题意的值已舍去），即点F（2+，）；②设点D（m，0），则点F（m+1，），过点B作直线l⊥y轴，作点F关于直线l的对称点F′（m+1，3），连接DF′，则BD+BF＝BD+BF′≥DF′，当D、B、F′共线时，BD+BF＝DF′为最小，由定点F′、D的坐标得，直线DF′的表达式为：y＝3（x﹣m），将点B的坐标代入上式得：2＝3（2﹣m），解得：m＝，则点F′（，3），点D（，0），则BD+BF最小值为：DF′＝＝2．。

甘肃省兰州市中考数学试卷含答案解析版

甘肃省兰州市中考数学试卷含答案解析版

2017年甘肃省兰州市中考数学试卷一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

）1．（4分）已知2x=3y（y≠0），则下面结论成立的是（）A．xy=32B．x3=2yC．xy=23D．x2=y32．（4分）如图所示，该几何体的左视图是（）A．B． C． D．3．（4分）如图，一个斜坡长130m，坡顶离水平地面的距离为50m，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于（）A．513B．1213C．512D．13124．（4分）如图，在⊙O中，AB=BC，点D在⊙O上，∠CDB=25°，则∠AOB=（）A．45° B．50°C．55° D．60°5．（4分）下表是一组二次函数y=x2+3x﹣5的自变量x与函数值y的对应值： x 1y﹣1﹣那么方程x2+3x﹣5=0的一个近似根是（）A．1 B．C．D．6．（4分）如果一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根，那么是实数m的取值为（）A．m＞98B．m＞89C．m=98D．m=897．（4分）一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（）A．20 B．24 C．28 D．308．（4分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB=30°，AB=4，则OC=（）A．5 B．4 C．D．39．（4分）抛物线y=3x2﹣3向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为（）A．y=3（x﹣3）2﹣3 B．y=3x2C．y=3（x+3）2﹣3 D．y=3x2﹣610．（4分）王叔叔从市场上买了一块长80cm，宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000cm2的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为（）A．（80﹣x）（70﹣x）=3000B．80×70﹣4x2=3000C．（80﹣2x）（70﹣2x）=3000D．80×70﹣4x2﹣（70+80）x=300011．（4分）如图，反比例函数y=kx（k＜0）与一次函数y=x+4的图象交于A、B两点的横坐标分别为﹣3，﹣1．则关于x的不等式kx＜x+4（x＜0）的解集为（）A．x＜﹣3B．﹣3＜x＜﹣1C．﹣1＜x＜0D．x＜﹣3或﹣1＜x＜012．（4分）如图，正方形ABCD内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积为（）A．π+1 B．π+2C．π﹣1 D．π﹣213．（4分）如图，小明为了测量一凉亭的高度AB（顶端A到水平地面BD的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE（DE=BC=米，A、B、C三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG=15米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG=3米，小明身高米，则凉亭的高度AB约为（）A．米B．9米C．米D．10米14．（4分）如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G 在CD 上，DE=2，将正方形DEFG 绕点D 顺时针 旋转60°，得到正方形DE′F′G′，此时点G′在AC 上， 连接CE′，则CE′+CG′=（ ） A ．√2+√6 B ．√3+1C ．√3+√2D ．√3+√615．（4分）如图1，在矩形ABCD 中，动点E 从A 出发，沿AB→BC 方向运动，当点E 到达点C 时停止运动，过点E 做FE ⊥AE ，交CD 于F 点，设点E 运动路程为x ，FC=y ，如图2所表示的是y 与x 的函数关系的大致图象，当点E 在BC 上运动时，FC 的最大长度是25，则矩形ABCD 的面积是（ ） A ．235 B ．5 C ．6 D ．254二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）16．（4分）若反比例函数y =kx 的图象经过点（﹣1，2），则k 的值是 ． 17．（4分）如图，四边形ABCD 与四边形EFGH位似，位似中心点是O ，OE OA =35，则FGBC= ．18．（4分）如图，若抛物线y=ax 2+bx+c 上 的P （4，0），Q 两点关于它的对称轴x=1对称， 则Q 点的坐标为 ．19．（4分）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，要使四边形ABCD 是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB ⊥AD ，且AB=AD ；②AB=BD ，且AB ⊥BD ；③OB=OC ，且OB ⊥OC ；④AB=AD ，且AC=BD ．其中正确的序号是 ． 20．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，?ABCO 的顶点A ，B 的坐标分别是A （3，0），B （0，2）．动点P 在直线y=32x 上运动，以点P 为圆心，PB 长为半径的⊙P 随点P 运动，当⊙P与?ABCO 的边相切时，P 点的坐标为 ． 三、解答题（共8小题，满分70分.解答时，写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

2023年甘肃省平凉市中考数学试卷(word原卷版 解析版)

2023年甘肃省平凉市中考数学试卷(word原卷版 解析版)

2023年甘肃省平凉市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 9的算术平方根是( )A. 81B. 3C. −3D. 42. 若a2=3b，则ab=( )A. 6B. 32C. 1 D. 233. 计算：a(a+2)−2a=( )A. 2B. a2C. a2+2aD. a2−2a4. 若直线y=kx(k是常数，k≠0)经过第一、第三象限，则k的值可为( )A. −2B. −1C. −12D. 25.如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长于点E，则∠DEC=( )A. 20°B. 25°C. 30°D. 35°6. 方程2x =1x+1的解为( )A. x=−2B. x=2C. x=−4D. x=47.如图，将矩形纸片ABCD对折，使边AB与DC，BC与AD分别重合，展开后得到四边形EFGH.若AB=2，BC=4，则四边形EFGH的面积为( )A. 2B. 4C. 5D. 68. 据统计，数学家群体是一个长寿群体，某研究小组随机抽取了收录约2200位数学家的《数学家传略辞典》中部分90岁及以上的长寿数学家的年龄为样本，对数据进行整理与分析，统计图表(部分数据)如下，下列结论错误的是( )年龄范围(岁)人数(人)90−912592−93■94−95■96−971198−9910100−101mA. 该小组共统计了100名数学家的年龄B. 统计表中m的值为5C. 长寿数学家年龄在92−93岁的人数最多D. 《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在96−97岁的人数估计有110人9. 如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就.其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”.为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线AB与地面CD所成夹角∠ABC=50°时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜EF与地面的夹角∠EBC=( )A. 60°B. 70°C. 80°D. 85°10. 如图1，正方形ABCD的边长为4，E为CD边的中点.动点P从点A出发沿AB→BC匀速运动，运动到点C时停止.设点P的运动路程为x，线段PE的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为( )A. (4,23)B. (4,4)C. (4,25)D. (4,5)二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11. 因式分解：ax2−2ax+a=______．12. 关于x的一元二次方程x2+2x+4c=0有两个不相等的实数根，则c=______ (写出一个满足条件的值)．13. 近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果.如由我国制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界记录.如果把海平面以上9050米记作“+9050米”，那么海平面以下10907米记作“______ ．14.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，∠CDB=55°，则∠ABC=______ °.15. 如图，菱形ABCD中，∠DAB=60°，BE⊥AB，DF⊥CD，垂足分别为B，D，若AB=6c m，则EF=______ cm．16. 如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家.1556年兰州人段续的第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰.而今，兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征.如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条(圆的半径)OA长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点A处离开水面，逆时针旋转150°上升至轮子上方B处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从A处(舀水)转动到B处(倒水)所经过的路程是______ 米.(结果保留π)三、解答题（本大题共11小题，共72.0分。

2023年甘肃省武威市中考数学真题(答案解析)

2023年甘肃省武威市中考数学真题(答案解析)

武威市2023年初中毕业、高中招生考试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．1.【答案】C【解析】解：9的算术平方根是3，故选C2.【答案】A【解析】解：等式两边乘以2b ，得6ab =，故选：A ．3.【答案】B【解析】解：()222222a a a a a a a +-=+-=，故选：B4.【答案】D【解析】∵直线y kx =（k 是常数，0k ≠）经过第一、第三象限，∴0k >，∴k 的值可为2，故选：D ．5.【答案】C【解析】解：∵BD 是等边ABC 的边AC 上的高，∴1302DBC ABC ∠=∠=︒，∵DB DE =，∴30DBE DEB ∠=∠=︒，故选C6.【答案】A【解析】去分母得()21x x +=，解方程得2x =-，检验:2x =-是原方程的解，故选A ．7.【答案】B【解析】解：∵将矩形ABCD 对折，使边AB 与DC ，BC 与AD 分别重合，展开后得到四边形EFGH ，∴EF GH ⊥，EF 与GH 互相平分，∴四边形EFGH 是菱形，∵2FH AB ==，4GE BC ==，∴菱形EFGH 的面积为1124422FH GE ⋅=⨯⨯=．故选：B8.【答案】D【解析】解：A 选项，年龄范围为9899-的人数为10人，对应的百分比为10%，则可得1010%100÷=（人），即该小组共统计了100名数学家的年龄，故选项正确，不符合题意；B 选项，由A 选项可知该小组共统计了100名数学家的年龄，则1005%5m =⨯=，故选项正确，不符合题意；C 选项，由扇形统计图可知，长寿数学家年龄在9293-岁的占的百分比最大，即长寿数学家年龄在9293-岁的人数最多，故选项正确，不符合题意；D 选项，《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在9697-岁的人数估计有112200242100⨯=人，故选项错误，符合题意．故选：D ．9.【答案】B【解析】解：如图，过B 作BQ ⊥平面镜EF ，∴90QBE QBF ∠=∠=︒，ABC CBQ ABQ MBQ ∠+∠=∠=∠，而90CBQ QBM CBM ∠+∠=∠=︒，∴5090CBQ CBQ ︒+∠=︒-∠，∴20CBQ ∠=︒，∴902070EBC ∠=︒-︒=︒，故选B ．10.【答案】C【解析】解：∵正方形ABCD 的边长为4，E 为CD 边的中点，∴4AB BC CD AD ====，90C D ∠=∠=︒，2CE DE ==，当P 与A ，B 重合时，PE 最长，此时PE ==，运动路程为0或4，结合函数图象可得(4,M ，故选C 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．11.【答案】()21a x -【解析】解：()()2222211ax ax a a x x a x -+=-+=-，故答案为：()21a x -12.【答案】2-（答案不唯一，合理即可）【解析】解：∵关于x 的一元二次方程2240x x c ++=有两个不相等的实数根，∴224144160c c ∆=-⨯⨯=->，解得14c <，当2c =-时，满足题意，故答案为：2-（答案不唯一，合理即可）13.【答案】10907-【解析】解：把海平面以上9050米记作“9050+米”，则海平面以下10907米记作10907-米，故答案为：10907-．14.【答案】35【解析】解：,A CDB ∠∠Q 是 BC所对的圆周角，55,A CDB ∴∠=∠=︒AB 是O 的直径，90ACB ∠=︒ ，在Rt ACB △中，90905535ABC A ∠=︒-∠=︒-︒=︒，故答案为:35．15.【答案】【解析】解：在菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，160,302DAB DCB BAC DAC DCF DAB ∴∠=∠=︒∠=∠=∠=∠=︒，DF CD ⊥Q ，90DFC ∴∠=︒，9060DFC DCF ∴∠=︒-∠=︒，在Rt CDF △中，12DF CF =，603030,ADF DFC DAF ∠=∠-∠=︒-︒=︒Q ,FAD ADF ∴∠=∠11,23AF DF CF AC ∴===同理，13CE AC =，13EF AC AF CE AC ∴=--=，12EF AE ∴=，在Rt ABE △中，cos3032AB AE ==︒12EF AE ∴==故答案为：16.【答案】5π【解析】150********n r l πππ⨯⨯===故填：5π．三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.【答案】32⨯==-=18.【答案】21x -<≤【解析】解：解不等式组：6234x x x x >--⎧⎪⎨+≤⎪⎩①②，解不等式①，得2x >-．解不等式②，得1x ≤．因此，原不等式组的解集为21x -<≤．19.【答案】4ba b+【解析】解：原式22(2)2()()a b a b a b a b a b a b a b +--=-⋅+-+-22a b a b a b a b+-=-++4b a b =+．20.【答案】见解析【解析】解：如图，即点A ，G ，D ，H 把O 的圆周四等分．理由如下：如图，连接,,,,,,,AE DE AC DC OE OH OG AH ，由作图可得： AB BC CD==，且OA OB AB ==，∴AOB 为等边三角形，60AOB ∠=︒，同理可得：60BOC COD ∠=∠=︒，∴180AOB BOC COD ∠+∠+∠=︒，∴A ，O ，D 三点共线，AD 为直径，∴=90ACD ∠︒，设CD x =，而30DAC ∠=︒，∴2AD x =，AC =，由作图可得：DE AE AC ===，而OA OD x ==，∴⊥EO AD ，OE ==，∴由作图可得AG AH ==，而OA OH x ==，∴22222OA OH x AH +==，∴90AOH =︒∠，同理90AOG DOG DOH ∠=︒=∠=∠，∴点A ，G ，D ，H 把O 的圆周四等分．21.【答案】（1）13（2）19【解析】（1）P （小亮抽到卡片A ）13=．（2）列表如下：小刚小亮A B C A(),A A (),A B (),A C B (),B A (),B B (),B C C(),C A (),C B (),C C 或画树状图如下：共有9种等可能的结果，两人都抽到卡片C 的结果有1种，所以，P （两人都抽到卡片C ）19=．22.【答案】新生物A 处到皮肤的距离约为8.4cm【解析】解：过点A 作AH MN ⊥，垂足为H ．由题意得，35ABH DBN ∠=∠= ，22ACH ECN ∠=∠= ，在Rt AHB △中，tan tan 350.70AH AH AH BH ABH ==≈∠︒．在Rt AHC 中，tan tan 220.40AH AH AH CH ACH ==≈∠︒．∵CH BH BC -=，∴90.400.70AH AH -=，∴()8.4cm AH =．答：新生物A 处到皮肤的距离约为8.4cm ．四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．23.【答案】（1）16（2）35（3）八年级，理由见解析【解析】（1）解：由中位数的概念，可知40人成绩的中位数是第20、21位的成绩，由统计图知A 组4人，B 组10人，C 组10人，则中位数在C 组，第20、21位的成绩分别是16，16，则中位数是1616162+=；故答案为：16；（2）解：612003540+⨯=(人)，这200名学生八年级下学期期末地理成绩达到优秀的约有35人，故答案为：35；（3）解：因为抽取的八年级学生的期末地理成绩的平均分（或中位数）下学期的比上学期的高，所以八年级学生下学期期末地理成绩更好．24.【答案】（1）()3,2B（2）32n m =-+（3）863y x =-【解析】（1）解：∵点()3,B a 在反比例函数()60y x x =>的图象上，∴623a ==，∴()3,2B ．（2）∵点()3,2B在一次函数y mx n =+的图象上，∴32m n +=，即32n m =-+．（3）如图，连接OB ．∵192OAB B S OA x =⋅⋅=△，∴1392OA ⋅⨯=，∴6OA =，∴()0,6A -，∴6n =-，∴326m -+=-，∴83m =，∴一次函数的表达式为：863y x =-．25.【答案】（1）见解析（2）245【解析】（1）证明：∵ AC AC=，∴ADC B ∠=∠．∵OB OC =，∴B OCB ∠=∠．∵CO 平分BCD ∠，∴OCB OCD ∠=∠，∴ADC OCD ∠=∠．∵CE AD ⊥，∴90ADC ECD ∠+∠=︒，∴90OCD ECD ∠+∠=︒，即CE OC ⊥．∵OC 为O 的半径，∴CE 是O 的切线．（2）连接OD ，得OD OC =，∴ODC OCD ∠=∠．∵OCD OCB B ∠=∠=∠，∴ODC B ∠=∠，∵CO CO =，∴OCD OCB ≌，∴CD CB =．∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴3sin 1065AC AB B =⋅=⨯=，∴8CB ==，∴8CD =，∴324sin sin 855CE CD ADC CD B =⋅∠=⋅=⨯=．26.【答案】（1）①见解析；②AD DF BD =+，理由见解析；（2DF BD =+，理由见解析；（3）【解析】（1）①证明：∵ABC 和BDE 都是等边三角形，∴AB BC =，BE BD =，60ABC EBD ∠=∠=︒，∴ABC CBE EBD CBE ∠-∠=∠-∠，∴ABE CBD ∠=∠，∴()SAS ABE CBD ≅△△．∴AE CD =．②AD DF BD =+．理由如下：∵DF 和DC 关于AD 对称，∴DF DC =．∵AE CD =，∴AE DF =．∴AD AE DE DF BD =+=+．（2DF BD =+．理由如下：如图，过点B 作BE AD ⊥于点E ，得90BED ∠=︒．∵DF 和DC 关于AD 对称，∴DF DC =，ADF ADC ∠=∠．∵CD BD ⊥，∴45ADF ADC ∠=∠=︒，∴45EBD ∠=︒．∴22DE BD =．∵ABC 是直角三角形，AB AC =，∴=45ABC ∠︒，2AB BC =，∴ABC CBE EBD CBE ∠-∠=∠-∠，∴ABE CBD ∠=∠，∴sin sin ABE CBD ∠=∠，∴AE CD AB BC=，∴AE BC CD AB ⋅=⋅，∴22AE CD =．∴22222222AD AE DE =+=+=+，即DF BD =+．（3）∵33BD CD DF ==，34DF DF DF =+=，∵AD =2DF DC ==，∴6BD =．如图，过点A 作AH BD ⊥于点H ．∵AB AC AF ==，∴()11222HF BF BD DF ==-=，BC ==∴2222AF AC BC ===．∴cos5HF AFB AF ∠===．27.【答案】（1）23y x x=-+（2）四边形OCPD 是平行四边形，理由见解析（3）【解析】（1）解：∵抛物线2y x bx =-+过点()4,4B -，∴1644b -+=-，∴3b =，∴23y x x =-+；（2）四边形OCPD 是平行四边形．理由：如图1，作PD OA ⊥交抛物线于点D ，垂足为H ，连接PC ，OD ．∵点P 在y x =-上，∴OH PH =，45POH ∠=︒，连接BC ，∵4OC BC ==，∴OB =，∵BP =，∴OP OB BP =-=，∴22222OH PH ===，当2D x =时，4322D DH y ==-+⨯=，∴224PD DH PH =+=+=，∵()0,4C -，∴4OC =，∴PD OC =，∵OC x ⊥轴，PD x ⊥轴，∴PD OC ∥，∴四边形OCPD 是平行四边形；（3）如图2，由题意得，BP OQ =，连接BC ．在OA 上方作OMQ ，使得45MOQ ∠=︒，OM BC =，∵4OC BC ==，BC OC ⊥，∴45CBP ∠=︒，∴CBP MOQ ∠=∠，∵BP OQ =，CBP MOQ ∠=∠，BC OM =，∴()SAS CBP MOQ △≌△，∴CP MQ =，∴CP BQ MQ BQ MB +=+≥（当M ，Q ，B 三点共线时最短），∴CP BQ +的最小值为MB ，∵454590MOB MOQ BOQ ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∴MB ==即CP BQ +的最小值为．。

2023年甘肃省定西市中考数学真题+答案解析

2023年甘肃省定西市中考数学真题+答案解析

2023年甘肃省定西市中考数学真题+答案解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．1．（3分）9的算术平方根是（）A．±3 B．±9 C．3 D．﹣32．（3分）若＝，则ab＝（）A．6 B．C．1 D．3．（3分）计算：a（a+2）﹣2a＝（）A．2 B．a2C．a2+2a D．a2﹣2a4．（3分）若直线y＝kx（k是常数，k≠0）经过第一、第三象限，则k的值可为（）A．﹣2 B．﹣1 C．﹣D．25．（3分）如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长于点E，则∠DEC＝（）A．20°B．25°C．30°D．35°6．（3分）方程＝的解为（）A．x＝﹣2 B．x＝2 C．x＝﹣4 D．x＝47．（3分）如图，将矩形纸片ABCD对折，使边AB与DC，BC与AD分别重合，展开后得到四边形EFGH．若AB＝2，BC＝4，则四边形EFGH的面积为（）A．2 B．4 C．5 D．68．（3分）据统计，数学家群体是一个长寿群体，某研究小组随机抽取了收录约2200位数学家的《数学家传略辞典》中部分90岁及以上的长寿数学家的年龄为样本，对数据进行整理与分析，统计图表（部分数据）如下，下列结论错误的是（）年龄范围（岁）人数（人）90﹣91 2592﹣93 ■94﹣95 ■96﹣97 1198﹣99 10100﹣101 mA．该小组共统计了100名数学家的年龄B．统计表中m的值为5C．长寿数学家年龄在92﹣93岁的人数最多D．《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在96﹣97岁的人数估计有110人9．（3分）如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线AB与地面CD所成夹角∠ABC ＝50°时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜EF与地面的夹角∠EBC＝（）A．60°B．70°C．80°D．85°10．（3分）如图1，正方形ABCD的边长为4，E为CD边的中点．动点P从点A出发沿AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，线段PE的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为（）A．（4，2）B．（4，4）C．（4，2）D．（4，5）二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．11．（3分）因式分解：ax2﹣2ax+a＝．12．（3分）关于x的一元二次方程x2+2x+4c＝0有两个不相等的实数根，则c＝（写出一个满足条件的值）．13．（3分）近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果．如由我国制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界记录．如果把海平面以上9050米记作“+9050米”，那么海平面以下10907米记作“．14．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，∠CDB＝55°，则∠ABC＝°．15．（3分）如图，菱形ABCD中，∠DAB＝60°，BE⊥AB，DF⊥CD，垂足分别为B，D，若AB＝6cm，则EF＝cm．16．（3分）如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家．1556年兰州人段续的第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰．而今，兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征．如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径）OA长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点A处离开水面，逆时针旋转150°上升至轮子上方B处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从A处（舀水）转动到B处（倒水）所经过的路程是米．（结果保留π）三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（4分）计算：÷×2﹣6．18．（4分）解不等式组：．19．（4分）化简：﹣÷．20．（6分）1672年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图．1797年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作《圆规的几何学》中．请你利用数学家们发现的结论，完成下面的作图题：如图，已知⊙O，A是⊙O上一点，只用圆规将⊙O的圆周四等分．（按如下步骤完成，保留作图痕迹）①以点A为圆心，OA长为半径，自点A起，在⊙O上逆时针方向顺次截取＝＝；②分别以点A，点D为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于⊙O上方点E；③以点A为圆心，OE长为半径作弧交⊙O于G，H两点．即点A，G，D，H将⊙O的圆周四等分．21．（6分）为传承红色文化，激发革命精神，增强爱国主义情感，某校组织七年级学生开展“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学之旅，策划了三条红色线路让学生选择：A．南梁精神红色记忆之旅（华池县）；B．长征会师胜利之旅（会宁县）；C．西路军红色征程之旅（高台县），且每人只能选择一条线路．小亮和小刚两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上字母A，B，C，卡片除正面字母不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，小亮先从中随机抽取一张卡片，记下字母后正面向下放回，洗匀后小刚再从中随机抽取一张卡片．（1）求小亮从中随机抽到卡片A的概率；（2）请用画树状图或列表的方法，求两人都抽到卡片C的概率．22．（8分）如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离方案如下：课题检测新生物到皮肤的距离工具医疗仪器等示意图说明如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠DBN；再在皮肤上选择距离B处9cm的C处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠ECN．测量数∠DBN＝35°，∠ECN＝22°，BC＝9cm据请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离．（结果精确到0.1cm）（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．23．（7分）某校八年级共有200名学生，为了解八年级学生地理学科的学习情况，从中随机抽取40名学生的八年级上、下两个学期期末地理成绩进行整理和分析（两次测试试卷满分均为35分，难度系数相同；成绩用x表示，分成6个等级：A．x＜10；B．10≤x＜15；C．15≤x＜20；D．20≤x ＜25；E．25≤x＜30；F．30≤x≤35）．下面给出了部分信息：a．八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的统计图如图：b．八年级学生上学期期末地理成绩在C．15≤x＜20这一组的成绩是：15，15，15，15，15，16，16，16，18，18；c．八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的平均数、众数、中位数如下：学期平均数众数中位数八年级上学期17.7 15 m八年级下学期18.2 19 18.5根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：m＝；（2）若x≥25为优秀，则这200名学生八年级下学期期末地理成绩达到优秀的约有人；（3）你认为该校八年级学生的期末地理成绩下学期比上学期有没有提高？请说明理由．24．（7分）如图，一次函数y＝mx+n的图象与y轴交于点A，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B（3，a）．（1）求点B的坐标；（2）用m的代数式表示n；（3）当△OAB的面积为9时，求一次函数y＝mx+n的表达式．25．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的一点，CO平分∠BCD，CE ⊥AD，垂足为E，AB与CD相交于点F．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）当⊙O的半径为5，sin B＝时，求CE的长．26．（8分）【模型建立】（1）如图1，△ABC和△BDE都是等边三角形，点C关于AD的对称点F在BD边上．①求证：AE＝CD；②用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由；【模型应用】（2）如图2，△ABC是直角三角形，AB＝AC，CD⊥BD，垂足为D，点C关于AD的对称点F在BD边上．用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由；【模型迁移】（3）在（2）的条件下，若AD＝4，BD＝3CD，求cos∠AFB的值．27．（10分）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx与x轴交于点A，与直线y＝﹣x交于点B（4，﹣4），点C （0，﹣4）在y轴上．点P从点B出发，沿线段BO方向匀速运动，运动到点O时停止．（1）求抛物线y＝﹣x2+bx的表达式；（2）当BP＝2时，请在图1中过点P作PD⊥OA交抛物线于点D，连接PC，OD，判断四边形OCPD的形状，并说明理由；（3）如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动．连接BQ，PC，求CP+BQ的最小值．2023年甘肃省定西市中考数学真题答案解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．1．（3分）9的算术平方根是（）A．±3 B．±9 C．3 D．﹣3【分析】根据算术平方根的定义即可求出答案．【详解】解：9的算术平方根是3，故选：C．2．（3分）若＝，则ab＝（）A．6 B．C．1 D．【分析】直接利用比例的性质，内项之积等于外项之积即可得出答案．【详解】解：∵＝，∴ab＝6．故选：A．3．（3分）计算：a（a+2）﹣2a＝（）A．2 B．a2C．a2+2a D．a2﹣2a【分析】直接利用单项式乘多项式运算法则化简，再合并同类项得出答案．【详解】解：原式＝a2+2a﹣2a＝a2．故选：B．4．（3分）若直线y＝kx（k是常数，k≠0）经过第一、第三象限，则k的值可为（）A．﹣2 B．﹣1 C．﹣D．2【分析】正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过第一、三象限，则k＞0．【详解】解：∵直线y＝kx（k是常数，k≠0）经过第一、第三象限，∴k＞0．故选：D．5．（3分）如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长于点E，则∠DEC＝（）A．20°B．25°C．30°D．35°【分析】根据等边三角形的性质可得∠ABC＝60°，根据等边三角形三线合一可得∠CBD＝30°，再根据作图可知BD＝ED，进一步可得∠DEC的度数．【详解】解：在等边△ABC中，∠ABC＝60°，∵BD是AC边上的高，∴BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABC＝30°，∵BD＝ED，∴∠DEC＝∠CBD＝30°，故选：C．6．（3分）方程＝的解为（）A．x＝﹣2 B．x＝2 C．x＝﹣4 D．x＝4【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得：2x+2＝x，解得：x＝﹣2，经检验x＝﹣2是分式方程的解，故原方程的解是x＝﹣2．故选：A．7．（3分）如图，将矩形纸片ABCD对折，使边AB与DC，BC与AD分别重合，展开后得到四边形EFGH．若AB＝2，BC＝4，则四边形EFGH的面积为（）A．2 B．4 C．5 D．6【分析】由折叠可知∠AGE＝∠BGE＝90°，AG＝BG，∠AFH＝∠DFH＝90°，AF＝DF，由同旁内角互补，两直线平行得AD∥GE⊥BC，AB∥FH∥CD，由平行线的性质可得FH⊥GE，GE＝BC＝4，FH＝AB＝2，OF＝OH，OG＝OE，再根据对角线互相垂直平分的四边形为菱形可知四边形EFGH 为菱形，最后利用菱形的面积公式计算即可求解．【详解】解：如图，设EG与FH交于点O，∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AB∥CD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，根据折叠的性质可得，∠AGE＝∠BGE＝90°，AG＝BG，∠AFH＝∠DFH＝90°，AF＝DF，∴AD∥GE⊥BC，AB∥FH∥CD，∴FH⊥GE，GE＝BC＝4，FH＝AB＝2，OF＝OH，OG＝OE，∴四边形EFGH为菱形，＝＝＝4．∴S菱形EFGH故选：B．8．（3分）据统计，数学家群体是一个长寿群体，某研究小组随机抽取了收录约2200位数学家的《数学家传略辞典》中部分90岁及以上的长寿数学家的年龄为样本，对数据进行整理与分析，统计图表（部分数据）如下，下列结论错误的是（）年龄范围（岁）人数（人）90﹣91 2592﹣93 ■94﹣95 ■96﹣97 1198﹣99 10100﹣101 mA．该小组共统计了100名数学家的年龄B．统计表中m的值为5C．长寿数学家年龄在92﹣93岁的人数最多D．《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在96﹣97岁的人数估计有110人【分析】根据统计表和扇形统计图给出的数据分别对每一项进行分析，即可得出答案．【详解】解：A、该小组共统计的人数为：10÷10%＝100（人），故不符合题意；B、统计表中m的值为100×5%＝5（人），故不符合题意；C、长寿数学家年龄在92﹣93岁的人数为100×35%＝35，长寿数学家年龄在94﹣95岁的人数为100×14%＝14（人），所以长寿数学家年龄在92﹣93岁的人数最多，故不符合题意；D、《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在96﹣97岁的人数估计有2200×＝242（人），故符合题意．故选：D．9．（3分）如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线AB与地面CD所成夹角∠ABC ＝50°时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜EF与地面的夹角∠EBC＝（）A．60°B．70°C．80°D．85°【分析】根据BM⊥CD，得∠CBM＝90°，所以∠ABE+∠FBM＝40°，再根据∠ABE＝∠FBM，得∠ABE＝∠FBM＝20°，即可得∠EBC＝20°+50°＝70°．【详解】解：如图，∵BM⊥CD，∴∠CBM＝90°，∵∠ABC＝50°，∴∠ABE+∠FBM＝180°﹣90°﹣50°＝40°，∵∠ABE＝∠FBM，∴∠ABE＝∠FBM＝20°，∴∠EBC＝20°+50°＝70°．故选：B．10．（3分）如图1，正方形ABCD的边长为4，E为CD边的中点．动点P从点A出发沿AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，线段PE的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为（）A．（4，2）B．（4，4）C．（4，2）D．（4，5）【分析】根据图2确定M点的横坐标为AB的长度，纵坐标为BE的长度，然后求值即可．【详解】解：由题意可知，当点P在边AB上时，y的值先减小后增大，当点P在边BC上时，y的值逐渐减小，∴M点的横坐标为AB的长度，纵坐标为BE的长度，∵AB＝4，EC＝ED＝AB＝×4＝2，∴BE＝＝＝2，∴M（4，2），故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．11．（3分）因式分解：ax2﹣2ax+a＝a（x﹣1）2．【分析】直接提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式．【详解】解：ax2﹣2ax+a＝a（x2﹣2x+1）＝a（x﹣1）2．故答案为：a（x﹣1）2．12．（3分）关于x的一元二次方程x2+2x+4c＝0有两个不相等的实数根，则c＝0（答案不唯一）（写出一个满足条件的值）．【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝4﹣16c＞0，解之即可得出c的取值范围，任取其内的一个数即可．【详解】解：∵方程x2+2x+4c＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝22﹣16c＞0，解得：c＜．故答案为：0（答案不唯一）．13．（3分）近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果．如由我国制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界记录．如果把海平面以上9050米记作“+9050米”，那么海平面以下10907米记作“﹣10907米．【分析】根据正数与负数的实际意义即可得出答案．【详解】解：∵海平面以上9050米记作“+9050米”，∴海平面以下10907米记作“﹣10907米”，故答案为：﹣10907米．14．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，∠CDB＝55°，则∠ABC＝35°．【分析】根据圆周角定理和三角形的内角和定理即可得到结论．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝∠D＝55°，∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝35°，故答案为：35．15．（3分）如图，菱形ABCD中，∠DAB＝60°，BE⊥AB，DF⊥CD，垂足分别为B，D，若AB＝6cm，则EF＝2．cm．【分析】连接BD交AC于O，则AO＝CO，BO＝OD根据菱形的性质得到AD＝AB，∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠BCA，AC⊥BD，求得BD＝AB＝6cm，根据勾股定理得到AC＝2AO＝2×＝6（cm），求得AE＝CF，根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】解：连接BD交AC于O，则AO＝CO，BO＝OD∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠BCA，AC⊥BD，∵∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠BCA＝30°，∴BD＝AB＝6cm，∴AO＝＝3（cm），∴AC＝2AO＝6（cm），∵BE⊥AB，DF⊥CD，∴∠CDF＝∠ABE＝90°，∴△CDF≌△ABE（ASA），∴AE＝CF，∵AE＝CF＝（cm），∴EF＝AE+CF﹣AC＝2（cm），故答案为：2．16．（3分）如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家．1556年兰州人段续的第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰．而今，兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征．如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径）OA长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点A处离开水面，逆时针旋转150°上升至轮子上方B处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从A处（舀水）转动到B处（倒水）所经过的路程是5π米．（结果保留π）【分析】根据弧长公式直接代入数值求解．【详解】解：＝（米）．故答案为：5π．三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（4分）计算：÷×2﹣6．【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算，进而得出答案．【详解】解：原式＝3××2﹣6＝12﹣6＝6．18．（4分）解不等式组：．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【详解】解：由x＞﹣6﹣2x得：x＞﹣2，由x≤得：x≤1，则不等式组的解集为﹣2＜x≤1．19．（4分）化简：﹣÷．【分析】根据分式的混合运算法则，先算乘除再算加减，进而得出答案．【详解】解：原式＝﹣•＝﹣＝．20．（6分）1672年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图．1797年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作《圆规的几何学》中．请你利用数学家们发现的结论，完成下面的作图题：如图，已知⊙O，A是⊙O上一点，只用圆规将⊙O的圆周四等分．（按如下步骤完成，保留作图痕迹）①以点A为圆心，OA长为半径，自点A起，在⊙O上逆时针方向顺次截取＝＝；②分别以点A，点D为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于⊙O上方点E；③以点A为圆心，OE长为半径作弧交⊙O于G，H两点．即点A，G，D，H将⊙O的圆周四等分．【分析】根据题中的步骤作图．【详解】解：如图：点G、D、H即为所求．21．（6分）为传承红色文化，激发革命精神，增强爱国主义情感，某校组织七年级学生开展“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学之旅，策划了三条红色线路让学生选择：A．南梁精神红色记忆之旅（华池县）；B．长征会师胜利之旅（会宁县）；C．西路军红色征程之旅（高台县），且每人只能选择一条线路．小亮和小刚两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上字母A，B，C，卡片除正面字母不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，小亮先从中随机抽取一张卡片，记下字母后正面向下放回，洗匀后小刚再从中随机抽取一张卡片．（1）求小亮从中随机抽到卡片A的概率；（2）请用画树状图或列表的方法，求两人都抽到卡片C的概率．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中小亮和小刚两人都抽到卡片C的结果有1种，再由概率公式求解即可．【详解】解：（1）小亮从中随机抽到卡片A 的概率为；（2）画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中小亮和小刚两人都抽到卡片C的结果有1种，∴两人都抽到卡片C 的概率是．22．（8分）如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离方案如下：课题检测新生物到皮肤的距离工具医疗仪器等示意图说明如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠DBN；再在皮肤上选择距离B处9cm的C处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠ECN．测量数∠DBN＝35°，∠ECN＝22°，BC＝9cm据请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离．（结果精确到0.1cm）（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）【分析】过点A作AF⊥MN，垂足为F，设BF＝xcm，则CF＝（x+9）cm，然后在Rt△ABF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，再在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．【详解】解：过点A作AF⊥MN，垂足为F，设BF＝xcm，∵BC＝9cm，∴CF＝BC+BF＝（x+9）cm，在Rt△ABF中，∠ABF＝∠DBN＝35°，∴AF＝BF•tan35°≈0.7x（cm），在Rt△ACF中，∠ACF＝∠ECN＝22°，∴AF＝CF•tan22°≈0.4（x+9）cm，∴0.7x＝0.4（x+9），解得：x＝12，∴AF＝0.7x＝8.4（cm），∴新生物A处到皮肤的距离约为8.4cm．四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．23．（7分）某校八年级共有200名学生，为了解八年级学生地理学科的学习情况，从中随机抽取40名学生的八年级上、下两个学期期末地理成绩进行整理和分析（两次测试试卷满分均为35分，难度系数相同；成绩用x表示，分成6个等级：A．x＜10；B．10≤x＜15；C．15≤x＜20；D．20≤x ＜25；E．25≤x＜30；F．30≤x≤35）．下面给出了部分信息：a．八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的统计图如图：b．八年级学生上学期期末地理成绩在C．15≤x＜20这一组的成绩是：15，15，15，15，15，16，16，16，18，18；c．八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的平均数、众数、中位数如下：学期平均数众数中位数八年级上学期17.7 15 m八年级下学期18.2 19 18.5根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：m＝16；（2）若x≥25为优秀，则这200名学生八年级下学期期末地理成绩达到优秀的约有35人；（3）你认为该校八年级学生的期末地理成绩下学期比上学期有没有提高？请说明理由．【分析】（1）根据中位数的定义可得m的值；（2）用200乘样本中下学期期末地理成绩达到优秀的学生所占比例即可；（3）比较平均数、众数和中位数可得答案．【详解】解：（1）把八年级上学期40名学生的地理成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为16，16，故中位数m＝＝16．故答案为：16；（2）200×＝35（人），即这200名学生八年级下学期期末地理成绩达到优秀的约有35人．故答案为：35；（3）该校八年级学生的期末地理成绩下学期比上学期有提高，理由如下：因为该校八年级学生的期末地理成绩下学期的平均数、众数和中位数均比上学期大，所以该校八年级学生的期末地理成绩下学期比上学期有提高．24．（7分）如图，一次函数y＝mx+n的图象与y轴交于点A，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B（3，a）．（1）求点B的坐标；（2）用m的代数式表示n；（3）当△OAB的面积为9时，求一次函数y＝mx+n的表达式．【分析】（1）由反比例函数的解析式即可求得的B的坐标；（2）把B（3，2）代入y＝mx+n即可求得用m的代数式表示n的式子；（3）利用三角形面积求得n的值，进一步求得m的值．【详解】解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象过点B（3，a），∴a＝＝2，∴点B的坐标为（3，2）；（2）∵一次函数y＝mx+n的图象过点B，∴2＝3m+n，∴n＝2﹣3m；（3）∵△OAB的面积为9，∴，∴n＝6，∴A（0，﹣6），∴﹣6＝2﹣3m，∴m＝，∴一次函数的表达式是y＝x﹣6．25．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的一点，CO平分∠BCD，CE⊥AD，垂足为E，AB与CD相交于点F．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）当⊙O的半径为5，sin B＝时，求CE的长．【分析】（1）根据“过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线”进行证明；（2）根据三角函数的意义及勾股定理求解．【详解】（1）证明：∵CE⊥AD，∴∠E＝90°，∵CO平分∠BCD，∴∠OCB＝∠OCD，∵OB＝OC，∴∠B＝∠BCO＝∠D，∴∠D＝∠OCD，∴OC∥DE，∴∠OCE＝∠E＝90°，∵OC是圆的半径，∴CE是⊙O的切线；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵sin B＝＝，∴AC＝6，∵∠OCE＝∠ACO+∠OCB＝∠ACO+∠ACE＝90°，∴∠ACE＝∠OCB＝∠B，∴sin∠ACE＝sin B＝＝，解得：AE＝3.6，∴CE＝＝4.8．26．（8分）【模型建立】（1）如图1，△ABC和△BDE都是等边三角形，点C关于AD的对称点F在BD边上．①求证：AE＝CD；②用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由；【模型应用】（2）如图2，△ABC是直角三角形，AB＝AC，CD⊥BD，垂足为D，点C关于AD的对称点F在BD边上．用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由；【模型迁移】（3）在（2）的条件下，若AD＝4，BD＝3CD，求cos∠AFB的值．【分析】（1）①根据△ABC和△BDE都是等边三角形推出判定△ABE和△CBD全等，然后根据全等三角形的对应边相等即可得证；②根据等边三角形的性质和对称的性质即可推出线段AD，BD，DF的数量关系；（2）过点B作BE⊥AD于E，根据等腰直角三角形的性质推出判定△ABE∽△CBD，然后根据等腰直角三角形的性质和对称性即可推出线段AD，BD，DF的数量关系；（3）过点A作AG⊥BD于G，推出△ADG是等腰直角三角形，求出AG、FG、AF的长后即可求出cos∠AFB的值．【详解】（1）证明：①∵△ABC和△BDE都是等边三角形，∴AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝60°，∴∠ABE＝∠CBD，∴△ABE≌△CBD，∴AE＝CD；②解：AD＝BD+DF．理由如下：∵△BDE是等边三角形，∴BD＝DE，∵点C与点F关于AD对称，∴CD＝DF，∵AD＝AE+DE，∴AD＝BD+DF；（2）BD+DF＝AD．理由如下：如图1，过点B作BE⊥AD于E，∵点C与点F关于AD对称，∴∠ADC＝∠ADB，又∵CD⊥BD，∴∠ADC＝∠ADB＝45°，又∵BE⊥AD，∴△BDE是等腰直角三角形，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴，∠ABC＝∠EBD＝45°，∴∠ABE＝∠CBD，∴△ABE∽△CBD，∴，CD＝DF，∴DF＝AE，∵△BDE是等腰直角三角形，∴BD＝，∴BD+DF＝，即：BD+DF＝AD．（3）解：如图2，过点A作AG⊥BD于G，又∵∠ADB＝45°，∴△AGD是等腰直角三角形，又∵AD＝4，∴AG＝DG＝4，BD+DF＝AD＝8，∵BD＝3CD，CD＝DF，∴DF＝2，又∵DG＝4，∴FG＝DG﹣DF＝2，在Rt△AFG中，由勾股定理得：，∴cos∠AFB＝．27．（10分）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx与x轴交于点A，与直线y＝﹣x交于点B（4，﹣4），点C （0，﹣4）在y轴上．点P从点B出发，沿线段BO方向匀速运动，运动到点O时停止．（1）求抛物线y＝﹣x2+bx的表达式；（2）当BP＝2时，请在图1中过点P作PD⊥OA交抛物线于点D，连接PC，OD，判断四边形OCPD的形状，并说明理由；（3）如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动．连接BQ，PC，求CP+BQ的最小值．。

2024年甘肃平凉中考数学试题及答案 (2)

2024年甘肃平凉中考数学试题及答案 (2)

2024年甘肃平凉中考数学试题及答案考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效．一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．1. 下列各数中，比2-小的数是（ ）A. 1-B. 4-C. 4D. 12. 如图所示，该几何体的主视图是（ ）A. B. C. D.3. 若55A ∠=︒，则A ∠的补角为（ ）A. 35︒B. 45︒C. 115︒D. 125︒4. 计算：4222a b a b a b -=--（ ）A. 2 B. 2a b - C. 22a b - D. 2a ba b--5. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，60ABD ∠=︒，2AB =，则AC 的长为（ ）A. 6B. 5C. 4D. 36. 如图，点A ，B ，C 在O 上，AC OB ⊥，垂足为D ，若35A ∠=︒，则C ∠的度数是（ ）A. 20︒B. 25︒C. 30︒D. 35︒7. 如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x 尺，长桌的长为y 尺，则y 与x 的关系可以表示为（ ）A. 3y x =B. 4y x =C. 31y x =+D.41y x =+8. 近年来，我国重视农村电子商务发展．下面的统计图反映了2016—2023年中国农村网络零售额情况．根据统计图提供的信息，下列结论错误的是（ ）A. 2023年中国农村网络零售额最高的B. 2016年中国农村网络零售额最低C 2016—2023年，中国农村网络零售额持续增加D. 从2020年开始，中国农村网络零售额突破20000亿元9. 敦煌文书是华夏民族引以为傲的艺术瑰宝，其中敦煌《算经》中出现的《田积表》部分如图1所示，它以表格形式将矩形土地的面积直观展示，可迅速准确地查出边长10步到60步的矩形田地面积，极大地提高了农田面积的测量效率．如图2是复原的部分《田积表》，表中对田地的长和宽都用步来表示，A 区域表示的是长15步，宽16步的田地面积为一亩，用有序数对记为()15,16，那么有序数对记为()12,17对应的田地面积为（ ）A. 一亩八十步B. 一亩二十步C. 半亩七十八步D. 半亩八十四步10. 如图1，动点P 从菱形ABCD 的点A 出发，沿边AB BC →匀速运动，运动到点C 时停止．设点P 的运动路程为x ，PO 的长为y ，y 与x 的函数图象如图2所示，当点P 运动到BC 中点时，PO 的长为（ ）.A 2 B. 3D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11. 因式分解：228x -=________．12. 已知一次函数24y x =-+，当自变量2x >时，函数y 的值可以是________（写出一个合理的值即可）．13. 定义一种新运算*，规定运算法则为：*n m n m mn =-（m ，n 均为整数，且0m ≠）．例：32*32232=-⨯=，则(2)*2-=________．14. 围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点________的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A ，B ，C ，D 中的一处即可，A ，B ，C ，D 位于棋盘的格点上）15. 如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y （单位：m ）与距离停车棚支柱AO 的水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系20.020.3 1.6y x x =-++的图象，点()62.68B ，在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长4m CD =，高 1.8m DE =的矩形，则可判定货车________完全停到车棚内（填“能”或“不能”）．16. 甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如.图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形OBC 和扇形OAD 有相同的圆心O ，且圆心角100O ∠=︒，若120OA =cm ，60OB =cm ，则阴影部分的面积是______ 2cm ．（结果用π表示）三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.．18. 解不等式组：()223122x x x x ⎧-<+⎪⎨+<⎪⎩19. 先化简，再求值：()()()22222a b a b a b b ⎡⎤+-+-÷⎣⎦，其中2a =，1b =-．20. 马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧．如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通．如图2，已知O 和圆上一点M ．作法如下：①以点M 为圆心，OM 长为半径，作弧交O 于A ，B 两点；②延长MO 交O 于点C ；即点A ，B ，C 将O 的圆周三等分．（1）请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将O的圆周三等分（保留作加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

精品解析：2024年甘肃省兰州市中考数学试题(解析版)

精品解析：2024年甘肃省兰州市中考数学试题(解析版)

2024年兰州市初中学业水平考试数学注意事项：1.全卷共120分，考试时间120分钟．2.考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填（涂）写在试卷及答题卡上．3.考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上．4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 2024的绝对值是（ ） A. 2024 B. 2024−C.12024D. 12024−【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查了绝对值的意义，熟练掌握一个正数的绝对值是它本身是解题的关键．根据绝对值的意义解答即可．【详解】解：2024的绝对值是2024， 故选：A ．2. 已知∠A ＝80°，则∠A 的补角是（ ） A. 100° B. 80°C. 40°D. 10°【答案】A 【解析】【分析】直接利用互补两角的关系进而得出答案． 【详解】解：∵∠A ＝80°， ∴∠A 补角为：180°﹣80°＝100°． 故选A ．【点睛】主要考查了互补两角的关系，正确把握定义是解题关键．3. 2024年一季度，兰州市坚持稳中求进、综合施策，全市国民经济起步平稳，开局良好．一季度全市地区生产总值87790000000元．数据87790000000用科学记数法表示为（ ） A. 987.7910⨯B. 98.77910⨯C. 108.77910⨯D. 118.77910⨯【答案】C 【解析】【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数．绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为10n a ⨯，其中，110a ≤<，n 为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．【详解】解：数据87790000000用科学记数法表示为108.77910⨯． 故选：C4. 计算：22(1)2a a a −−=（ ） A. a B.a −C. 2aD. 2a −【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查了整式的混合运算，先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可． 【详解】解：22(1)2a a a −−22222a a a =−−2a =−故选：D ．5. 一次函数23y x =−的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】【分析】先判断k 、b 的符号，再判断直线经过的象限，进而可得答案． 【详解】解：∵20,30k b =>=−<，∴一次函数23y x =−的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限； 故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数的系数与其图象的关系，属于基础题型，熟练掌握一次函数的图象与其系数的关系是解题的关键．6. 如图，小明在地图上量得12∠=∠，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是（ ）A. 同位角相等，两直线平行B. 内错角相等，两直线平行C. 同旁内角互补，两直线平行D. 对顶角相等【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查了平行线的判定，由12∠=∠，即可得出福大街与平安大街互相平行，即内错角相等，两直线平行． 【详解】解：∵12∠=∠， ∴福大街与平安大街互相平行，判断的依据是：内错角相等，两直线平行， 故选：B ．7. 如图，小张想估测被池塘隔开的A ，B 两处景观之间的距离，他先在AB 外取一点C ，然后步测出,AC BC 的中点D ，E ，并步测出DE 的长约为18m ，由此估测A ，B 之间的距离约为（ ）A. 18mB. 24mC. 36mD. 54m【答案】C 【解析】【分析】本题考查三角形的中位线的实际应用，由题意，易得DE 为ABC 的中位线，根据三角形的中位线定理，即可得出结果．【详解】解：∵点D ，E ，分别为,AC BC 的中点， ∴DE 为ABC 的中位线， ∴236m AB DE ==； 故选：C ．8. 七巧板、九连环、华容道、鲁班锁是深受大家喜爱的益智玩具，现将1个七巧板，2个九连环，1个华容道，2个鲁班锁分别装在6个不透明的盒子中（每个盒子装1个），所有盒子除里面的玩具外均相同．从这6个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率是（ ） A.12B.13C.14D.16【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查了根据概率公式计算概率，分析可知6个益智玩具中有1个七巧板，根据概率公式计算即可．【详解】解：∵一共6个盒子里面有6个益智玩具，6个益智玩具中有1个七巧板， ∴从这6个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率是：16， 故选：D ．9. 关于x 的一元二次方程2960x x c −+=有两个相等的实数根，则c =（ ） A. 9− B. 4C. 1−D. 1【答案】D 【解析】【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数k 的取值，解题的关键是熟练掌握一元二次方程()200ax bx c a ++=≠根的判别式24b ac ∆=−，当方程有两个不相等的实数根时，0∆>；当方程有两个相等的实数根时，Δ0=；当方程没有实数根时，Δ0<．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2960x x c −+=有两个相等的实数根， ∴()2Δ64936360c c =−−⨯⨯=−=， 解得：1c =， 故选：D ．10. 数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了周果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x 个，苦果y 个，则可列方程组为（ ）A. 100011499997x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ B. 100011499997x y x y −=⎧⎪⎨+=⎪⎩ C. 100041199979x y x y −=⎧⎪⎨+=⎪⎩ D. 999411100079x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 【答案】A【解析】【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据999文钱买了周果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，列出方程组即可． 【详解】解：设买了甜果x 个，苦果y 个，由题意，得：100011499997x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩； 故选A ．11. 如图，在ABC 中，AB AC =，130BAC ∠=︒，DA AC ⊥，则ADB =∠（ ）A. 100︒B. 115︒C. 130︒D. 145︒【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质．根据等腰三角形的性质，可得180252BACC ︒−∠∠==︒，再由三角形外角的性质，即可求解．【详解】解：∵AB AC =，130BAC ∠=︒， ∴180252BACC ︒−∠∠==︒，∵DA AC ⊥， ∴90CAD ∠=︒，∴115ADB C CAD =∠+∠=︒∠． 故选：B12. 如图1，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，连接BD ，点M 从B 出发沿BD的速度运动至D ，同时点N 从B 出发沿BC 方向以1cm /s 的速度运动至C ，设运动时间为()s x ，BMN 的面积为()2cm y ，y 与x 的函数图象如图2所示，则菱形ABCD 的边长为（ ）A. B.C. 4cmD. 8cm【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查菱形的性质和二次函数的性质，根据题意可知()cm BN x =，()cm BM =，结合菱形的性质得30DBC ∠=︒，过点M 作MH BC ⊥于点H ，则()cm MH x =，那么()22cm y x =，设菱形ABCD 的边长为a ，则BD =，那么点M 和点N 同时到达点D 和点C ，此时BMN 的面积达到最大值为x ，即可知菱形边长．【详解】解：根据题意知，()cm BN x =，()cm BM =， ∵四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒， ∴30DBC ∠=︒，过点M 作MH BC ⊥于点H ，连接AC 交BD 于点O ，如图，则()sin cm 2MH BM MBH x =⨯∠=，那么，BMN 的面积为()221cm 24y BN MH x =⨯=， 设菱形ABCD 的边长为a ，∴22cos 22BD BO BC BOC a ==⨯⨯∠=⨯⨯=，∴点M 和点N 同时到达点D 和点C ，此时BMN 的面积达到最大值为∴24x =，解得4x =，（负值舍去）， ∴4BC =． 故选：C ．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13. 因式分解221x x −+=______． 【答案】()21x − 【解析】【分析】直接利用乘法公式分解因式得出答案． 【详解】解：221x x −+=（x ﹣1）2． 故答案为：（x ﹣1）2．【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．14. 如图，四边形ABCD 为正方形，ADE V 为等边三角形，EF AB ⊥于点F ，若4=AD ，则EF =______．【答案】2 【解析】【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，根据正方形和等边三角形的性质，得到AFE △为含30度角的直角三角形，4AE AD ==，根据含30度角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形，ADE V 为等边三角形，EF AB ⊥，4=AD ， ∴90,60,90,4FAD EAD AFE AD AE ∠=︒∠=︒∠=︒==， ∴30FAE ∠=︒，∴122EF AE ==； 故答案为：2．15. “轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中M ，N e 的半径分别是1cm 和10cm ，当M 顺时针转动3周时，N e 上的点P 随之旋转n ︒，则n =______．【答案】108 【解析】【分析】本题主要考查了求弧长．先求出点P 移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点P 移动的距离为3216cm ππ⨯⨯=， ∴106180n ππ︒⨯⨯=，解得：108n =． 故答案为：10816. 甲，乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，现有以下三个推断： ①甲的成绩更稳定； ②乙的平均成绩更高；③每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高．其中正确的是______．（填序号）【答案】①②##②① 【解析】【分析】本题考查了平均数、方差的意义．解答本题的关键是掌握它们的定义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差、平均数的意义进行判断即可求出答案．【详解】解：根据图象可知甲的波动比乙小，则甲的成绩更加稳定，故①正确；根据图象可知甲的平均成绩稳定在5以下，而乙的平均成绩稳定在7.5左右，则乙的平均成绩更高，故②正确；如果每人再射击一次，但乙的成绩不一定比甲高，只能是可能性较大，因为乙的平均成绩更高，但是波动较大，故③错误．故答案为：①②．三、解答题（本大题共12小题，共72分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.−．【解析】【分析】本题考查二次根式的运算，先根据二次根式的性质化简，进行乘法运算，再合并同类二次根式即可．【详解】解：原式==−=18. 解不等式组：2613122x xxx+>⎧⎪⎨−<−⎪⎩【答案】61x−<<【解析】【分析】本题考查求不等式组的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即可得出结果．【详解】解：2613122x xxx+>⎧⎪⎨−<−⎪⎩①②由①，得：6x>−；由②，得：1x<；∴不等式组的解集为：61x−<<．19. 先化简，再求值：7411a a a a++⎛⎫+÷⎪+⎝⎭，其中4a =． 【答案】21a a +，85【解析】【分析】本题考查分式的化简求值，先通分计算括号内，将除法变乘法，进行约分化简后，再代值计算即可． 【详解】解：原式1714a a aa a +++=⋅++()2414a a a a +=⋅++ 21aa =+； 当4a =时，原式248415⨯==+． 20. 如图，反比例函数(0)ky x x=>与一次函数1y mx =+的图象交于点()2,3A ，点B 是反比例函数图象上一点，BC x ⊥轴于点C ，交一次函数的图象于点D ，连接AB ．（1）求反比例函数ky x=与一次函数1y mx =+的表达式； （2）当4OC =时，求ABD △的面积． 【答案】（1）6y x=，1y x =+ （2）72【解析】【分析】本题主要考查了一次函数与反例函数的综合问题，待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式．一次函数与反比例函数的交点问题，两点之间的距离公式等知识，掌握反比例函数的性质以及一次函数的性质是解题的关键．（1）利用待定系数法即可求出反比例函数以及一次函数的解析式．（2）由已知条件求出点C ，点B ，点D 的坐标，过点B 作BE x ∥轴交一次函数1y x =+的图象交于点E ，过点A 作AF BE ⊥与点F ，利用两点之间的距离公式分别求出BD ，BE ，AF 的值，最后根据ABDDBEEAB SSS=−即可求出答案．【小问1详解】 解：∵反比例函数(0)ky x x=>与一次函数1y mx =+的图象交于点()2,3A ， ∴32k=，321m =+， ∴6k =，1m =， ∴反比例函数为：6y x=，一次函数的解析式为：1y x =+． 【小问2详解】 ∵4OC =， ∴()4,0C ，∵BC x ⊥轴于点C ，交一次函数的图象于点D ， ∴点B 的横坐标为4．点D 的横坐标为4． ∴6342B y ==，415D y =+= ∴34,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()4,5D ∴37522BD =−= 过点B 作BE x ∥轴交一次函数1y x =+的图象交于点E ，过点A 作AF BE ⊥与点F ， ∴BD BE ⊥，点E 的纵坐标为32， ∴33322AF =−=， 把32代入1y x =+，得312x =+，∴12x =，∴点13,22E ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴17422BE =−=， ∴ABDDBEEAB SS S=−1122BD BE AF BE =⋅−⋅177137222222=⨯⨯−⨯⨯ 72=21. 如图，在ABC 中，AB AC =，D 是BC 的中点，CE AD ∥，AE AD ⊥，EF AC ⊥．（1）求证：四边形ADCE 是矩形； （2）若4,3BC CE ==，求EF 的长． 【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】本题主要考查了矩形的判定以及性质，三腰三角形三线合一的性质，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键．（1）由等腰三角形三线合一的性质得出90ADC ∠=︒，有平行线的性质得出90ECD ∠=︒，结合已知条件可得出90EAD ∠=︒，即可证明四边形ADCE 是矩形．（2）由（1）可知四边形ADCE 是矩形．由矩形的性质得出AE DC =，3CE AD ==，90AEC ∠=︒，由已知条件可得出122DC AE BC ===，由勾股定理求出AC ，最后根据等面积法可得出1122EF AC AE CE ⋅=⋅，即可求出EF ． 【小问1详解】证明：∵AB AC =， D 是BC 的中点， ∴AD BC ⊥， ∴90ADC ∠=︒， ∵CE AD ∥，∴18090ECD ADC ∠=︒−∠=︒，又∵AE AD ⊥， ∴90EAD ∠=︒， ∴四边形ADCE 是矩形． 【小问2详解】由（1）可知四边形ADCE矩形．∴AE DC =，3CE AD ==，90AEC ∠=︒， ∵D 是BC 的中点，4BC = ∴122DC AE BC ===， 在ADC △中，90ADC ∠=︒，∴AC ===∵EF AC ⊥，∴1122EF AC AE CE ⋅=⋅即112322EF =⨯⨯，∴13EF =． 22. 在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A 处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面OA 的竖直高度()m y 与离发射点O 的水平距离()m x 的几组关系数据如下：（1）根据上表，请确定抛物线的表达式；（2）请计算当水火箭飞行至离发射点O 的水平距离为5m 时，水火箭距离地面的竖直高度． 【答案】（1）抛物线的表达式216255y x x =−+ （2）水火箭距离地面的竖直高度5米 【解析】【分析】本题主要考查二次函数的性质，()1根据题意可设抛物线的表达式()20y ax bx a =+≠，结合体图标可知抛物线的顶点坐标为()15,9，代入求解即可；()2由题意知5x =，代入抛物线的表达式即可求得水火箭距离地面的竖直高度．【小问1详解】解：根据题意可知抛物线过原点，设抛物线的表达式()20y ax bx a =+≠，由表格得抛物线的顶点坐标为()15,9，则215294b a b a⎧−=⎪⎪⎨−⎪=⎪⎩，解得12565a b ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则抛物线的表达式216255y x x =−+， 【小问2详解】解：由题意知5x =，则216555255y =−⨯+⨯=， 那么，水火箭距离地面的竖直高度5米．23. 观察发现：劳动人民在生产生活中创造了很多取材简单又便于操作的方法，正如木匠刘师傅的“木条画直角法”，如图1，他用木条能快速画出一个以点A 为顶点的直角，具体作法如下：①本条的两端分别记为点M ，N ，先将木条的端点M 与点A 重合，任意摆放木条后，另一个端点N 的位置记为点B ，连接AB ；②木条的端点N 固定在点B 处，将木条绕点B 顺时针旋转一定的角度，端点M 的落点记为点C （点A ，B，C不在同一条直线上）；③连接CB并延长，将木条沿点C到点B的方向平移，使得端点M与点B重合，端点N在CB延长线上的落点记为点D；∠是直角．④用另一根足够长的木条画线，连接AD，AC，则画出的DAC=，请画出以点A为顶点操作体验：（1）根据“观察发现”中的信息重现刘师傅的画法，如图2，BA BC∠；的直角，记作DAC推理论证：（2）如图1，小亮尝试揭示此操作的数学原理，请你补全括号里的证明依据：==，证明：AB BC BD△是等腰三角形．∴与ABDABC∴∠=∠∠=∠．（依据1______）,BCA BAC BDA BAD∴∠+∠=∠+∠=∠．BCA BDA BAC BAD DAC180∴∠+∠+∠=︒，（依据2______）DAC BCA BDA∴∠=︒，2180DACDAC∴∠=︒．90依据1：______；依据2：______；拓展探究：（3）小亮进一步研究发现，用这种方法作直角存在一定的误差，用平时学习的尺规作图的方法可以减少误差．如图3，点O在直线l上，请用无刻度的直尺和圆规在图3中作出一个以O为顶点的直角，记∠，使得直角边OP（或OQ）在直线l上．（保留作图痕迹，不写作法）作POQ【答案】（1）见详解，（2）等边对等角（等腰三角形的性质）；三角形内角和定理；（3）见详解【解析】【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及尺规作图的作垂线，（1）根据“观察发现”延长CB 至点D ，且DB CB =，连接,CA AD 即可知以点A 为顶点的DAC ∠为直角；（2）根据作图可知利用了等边对等角，以及三角形内角和定理； （3）根据过定点作已知直线的垂线的方法作图即可． 【详解】解：[操作体验] （1）[推理论证]（2）依据1：等边对等角（等腰三角形的性质）；依据2：三角形内角和定理； 故答案为：等边对等角（等腰三角形的性质）；三角形内角和定理； [拓展探究]（3）24. 为落实“双减”政策，培养德智体美劳全面发展的时代新人，某校组织调研学生体育和美育发展水平，现从七年级共180名学生中随机抽取20名学生，对每位学生的体育和美育水平进行测评后按百分制分数量化，并进行等级评定（成绩用x 表示，分为四个等级，包括优秀：90100x ≤≤；良好：8090x ≤<；合格：7080x ≤<；待提高：70x <）．对数据进行整理，描述和分析，部分信息如下．信息一：体育成绩的人数（频数）分布图如下．信息二：美育成绩的人数（频数）分布表如下．信息三：20位学生的体育成绩和美育成绩得分统计如下（共20个点）．根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：m=______；（2）下列结论正确的是______；（填序号）①体育成绩低于80分的人数占抽取人数的40%；②参与测评的20名学生美育成绩的中位数对应的等级是“合格”；③在信息三中，相比于点A所代表的学生，点B所代表的学生的体育水平与其大致相同，但美育水平还存在一定差距，需要进一步提升；（3）请结合以上信息，估计七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数．【答案】（1）4 （2）①③（3）18【解析】【分析】本题主要考查了条形统计图的相关知识，个体占比，中位数定义，用样本估计总体等知识，掌握这些知识是解题的关键．（1）用样本总体减去良好成绩的人生，合格成绩的人数，待提高成绩的人数即可得出答案．（2）①用体育成绩低于80分的人数8除以样本总体20即可得出判断．②用中位数的定义判断即可．③根据坐标得出点A和点B各自的美育和体育的成绩判断即可．（3）用样本估计总体即可．【小问1详解】解：207274m =−−−=， 故答案为：4． 【小问2详解】①根据20位学生的体育成绩和美育成绩得分统计图可知： 体育成绩低于80分的人数有8人，∴体育成绩低于80分的人数有占抽取人数的()820100%40%÷⨯=，故①正确． ②∵一共有20人，成绩从小到大排序，中位数为第10位和第11位的平均数， ∴中位数位于8090x ≤<之间，即参与测评的20名学生美育成绩的中位数对应的等级是“良好”，故②错误．③在信息三中，点A 的美育成绩为90，体育成绩为70，点B 的美育成绩为70，体育成绩为70，所以相比于点A 所代表的学生，点B 所代表的学生的体育水平与其大致相同，但美育水平还存在一定差距，需要进一步提升，故③正确， 故有①③正确， 故答案为①③． 【小问3详解】根据信息三，可知：美育和体育成绩都在90分以及以上的只有2人． 故七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数有21801820⨯=人． 25. 单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下．解决问题：根据以上信息，求ED长．（结果精确到0.1cm ）参考数据：sin 370.60,cos370.80,tan 370.75︒≈︒≈︒≈，sin 640.90,cos640.44,tan 64 2.05︒≈︒≈︒≈． 【答案】ED 的长为8.2cm 【解析】【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，先求解,,OD OB OC ，再求解OE ，从而可得答案； 【详解】解：∵BD OA ⊥，64∠=︒BOA ，20.5cm BD =； ∴20.510tan 64 2.05BD OD =≈=︒，1022.73cos 640.44OD OB =≈≈︒，∴22.73OB OC ==， ∵37COA ∠=︒，CE OA ⊥，∴cos3722.730.818.2OE OC =⋅︒≈⨯≈， ∴18.2108.2DE OE OD =−=−=； ∴ED 的长为8.2cm ； 26. 如图，ABC 内接于O ，AB 为O 的直径，点D 为O 上一点，BC BD =，延长BA 至E ，使得ADE CBA ∠=∠．（1）求证：ED 是O 的切线；的（2）若14,tan 2BO CBA =∠=，求ED 的长． 【答案】（1）见解析 （2）163【解析】【分析】（1）连接OD ，易得ODB OBD ∠=∠，圆周角定理得到90ADB ACB ∠=∠=︒，进而得到90ODB ADO ∠+∠=︒，证明Rt Rt ADB ACB ≌，推出ADE ODB ∠=∠，进而得到90ODE ∠=︒，即可得证；（2）等角的三角函数相等，得到1tan tan 2AD ABD CBA BD ∠=∠==，证明EDA EBD △∽△，得到12ED AE AD BE DE BD ===，进行求解即可． 【小问1详解】解：连接OD ，则：OD OB =，∴ODB OBD ∠=∠， ∵AB 为O 的直径，∴90ADB ACB ∠=∠=︒， ∴90ODB ADO ∠+∠=︒， ∵AB AB BD BC ==，， ∴Rt Rt ADB ACB ≌， ∴ABC ABD ODB ∠=∠=∠， ∵ADE CBA ∠=∠， ∴ADE ODB ∠=∠，∴90ADE ADO ∠+∠=︒，即：90ODE ∠=︒， ∴OD DE ⊥， ∵OD 是O 的半径， ∴ED 是O 的切线；【小问2详解】∵4OB =， ∴28AB OB ==，由（1）知：ABD ABC ∠=∠， ∴1tan tan 2AD ABD CBA BD ∠=∠==， 由（1）知：EDA ABD ∠=∠， 又∵DEA DEB ∠=∠， ∴EDA EBD △∽△， ∴12ED AE AD BE DE BD ===， ∴2DE AE =，2DE AE BE =⋅，∴()()22AE AE AE AB =⋅+，即：2248AE AE AE =+， 解得：0AE =（舍去）或83AE =， ∴1623DE AE ==【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 27. 综合与实践【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在ABC 中，点M ，N 分别为AB ，AC 上的动点（不含端点），且AN BM =．【初步尝试】（1）如图1，当ABC 为等边三角形时，小颜发现：将MA 绕点M 逆时针旋转120︒得到MD ，连接BD ，则MN DB =，请思考并证明：【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，AE MN ⊥于点E ，交BC 于点F ，将MA 绕点M 逆时针旋转90︒得到MD ，连接DA ，DB ．试猜想四边形AFBD 的形状，并说明理由；【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在ABC 中，4AB AC ==，90BAC ∠=︒，连接BN ，CM ，请直接写出BN CM +的最小值．【答案】（1）见详解，（2）四边形AFBD 为平行四边形，（3）【解析】【分析】（1）根据等边三角的性质可得60,A AB AC ∠=︒=，再由旋转的性质可得,120DM AM AMD =∠=︒，从而可得60DMB A ∠=∠=︒，证明()SAS ANM MBD ≌，即可得证；（2）根据等腰直角三角形的性质可得=45ABC ∠︒，再根据旋转的性质可得,45MA MD MAD MDA =∠=∠=︒，90DMA DMB ∠=∠=︒，从而可得45MAD ABF ∠=∠=︒，由平行线的判定可得AD BF ∥，证明()SAS ANM MBD ≌，可得AMN MDB ∠=∠，利用等量代换可得DBM MAF ∠=∠，再由平行线的判定可得DB AF ∥，根据平行四边形的判定即可得证；（3）过点A 作45BAG ∠=︒，使AG CB =，连接GM 、GC ，BG ，延长CB ，过点G 作GO CB ⊥于点O ，根据等腰三角形的性质可证==45GAM BCN ∠∠︒，证明()GAM BCN SAS ≌，可得GM BN =，从而可得当点G 、M 、C 三点共线时，BN CM +的值最小，最小值为CG 的值，根据平行线的性质和平角的定义可得=45GBO ∠︒，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得OG OB ==，从而可得OC =【详解】（1）证明∵ABC 为等边三角形， ∴60,A AB AC ∠=︒=，∵MA 绕点M 逆时针旋转120︒得到MD ， ∴,120DM AM AMD =∠=︒， ∴60DMB ∠=︒，∵AN BM =，60DMB A ∠=∠=︒， ∴()SAS ANM MBD ≌， ∴MN DB =；（2）解：四边形AFBD 为平行四边形，理由如下， ∵AB AC =，90BAC ∠=︒， ∴=45ABC ∠︒，∵MA 绕点M 逆时针旋转90︒得到MD ，∴,45MA MD MAD MDA =∠=∠=︒，90DMA DMB ∠=∠=︒， ∴45MAD ABF ∠=∠=︒，在ANM 和MBD 中，MA DM MAN DMB AN MB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()SAS ANM MBD ≌， ∴AMN MDB ∠=∠， ∵AE MN ⊥，∴90AMN MAE ∠+∠=︒， ∵90MDB MBD ∠+∠=︒， ∴DBM MAF ∠=∠， ∴DB AF ∥，则四边形AFBD 为平行四边形；（3）解：如图，过点A 作45BAG ∠=︒，使AG CB =，连接GM 、GC ，BG ，延长CB ，过点G 作GO CB ⊥于点O ，∵4AB AC ==，90BAC ∠=︒， ∴45ABC ACB ∠=∠=︒， ∴==45GAM BCN ∠∠︒， ∵AN BM =， ∴AM CN =， 又∵AG CB =，∴()GAM BCN SAS ≌， ∴GM BN =，∴=BN CM GM CM CG ++≥，∴当点G 、M 、C 三点共线时，BN CM +的值最小，最小值为CG 的值， ∵==45GAM ABC ∠∠︒， ∴ AG BC ∥，∴==90BAC ABG ∠∠︒，∴=180=45GBO ABG ABC ∠︒−∠−∠︒， ∴=45GBO ∠︒，∴==GB ，∴OG OB ==，∴OC =在Rt GOC 中，GC ==∴BN CM +的最小值为【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定、旋转的性质及等边三角形的性质，熟练掌握相关定理得出当点G 、M 、C 三点共线时，BN CM +的值最小，最小值为CG 的值是解题的关键．28. 在平面直角坐标系xOy 中，给出如下定义：点P 是图形W 外一点，点Q 在PO 的延长线上，使得12PO QO =，如果点Q 在图形W 上，则称点P 是图形W 的“延长2分点”，例如：如图1，3(2,4),(2,2),1,2A B P ⎛⎫−−⎪⎝⎭是线段AB 外一点，()2,3Q 在PO 的延长线上，且12PO QO =，因为点Q 在线段AB 上，所以点P 是线段AB 的“延长2分点”．（1）如图1，已知图形1W ：线段AB ，()2,4A ，()2,2B ，在()()1235,1,1,1,1,22P P P ⎛⎫−−−−−− ⎪⎝⎭中，______是图形1W 的“延长2分点”；（2）如图2，已知图形2W ：线段BC ，()2,2B ，()5,2C ，若直线:MN y x b =−+上存在点P 是图形2W 的“延长2分点”，求b 的最小值：（3）如图3，已知图形3W ：以(),1T t 为圆心，半径为1的T e ，若以()1,2D −−，()1,1E −，()2,1F 为顶点的等腰直角三角形DEF 上存在点P ，使得点P 是图形3W 的“延长2分点”．请直接写出t 的取值范围．【答案】（1）23,P P （2）72−（3）13t ≤≤或11t −≤≤【解析】【分析】（1）根据题意，画出图象，进行判断即可；（2）作BC 以原点为位似中心，位似比为2:1的位似图形B C ''，根据直线:MN y x b =−+上存在点P 是图形2W 的“延长2分点”，得到直线:MN y x b =−+与B C ''有交点，进而得到当:MN y x b =−+过点C '时，b 值最小，进行求解即可；（3）作DEF 以原点为位似中心，位似比为1:2的位似D E F '''△，得到3W 与D E F '''△有交点，求出T e 与D E ''相切以及T e 与D F ''相切，两种情况求出t 的临近值，即可得出结果．【小问1详解】解：作线段AB 以原点为位似中心，位似比为2:1位似图形A B ''，∵()2,4A ，()2,2B ， ∴()1,2A '−−，()1,1B '−−，的∵点P 是图形1W 的“延长2分点”， ∴点P 在线段A B ''上， ∵()()231,1,1,2P P −−−−线段A B ''上，∴23,P P 是图形1W “延长2分点”；故答案为：23,P P ； 【小问2详解】作BC 以原点为位似中心，位似比为2:1的位似图形B C ''，如图，∵()2,2B ，()5,2C ，∴()1,1B '−−，5,12C ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，∵直线:MN y x b =−+上存在点P 是图形2W 的“延长2分点”， ∴直线:MN y x b =−+与B C ''有交点， ∴当:MN y x b =−+过点C '时，b 值最小， 把5,12C ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，代入y x b =−+，得：72b =−，∴b 的最小值为72−； 【小问3详解】作DEF 以原点为位似中心，位似比为1:2的位似D E F '''△，在的∵()1,2D −−，()1,1E −，()2,1F ， ∴()2,4D '，()2,2E '−，()4,2F '−−，∵等腰直角三角形DEF 上存在点P ，使得点P 是图形3W 的“延长2分点”， ∴当3W 与D E F '''△有交点时，满足题意， 当T e 与D E ''相切时，如图，则：1t =或3t =，∴13t ≤≤时，满足题意；当T e 与D F ''相切时，且切点为G ，连接TG ，则：90TGE =︒∠，∵DEF 为等腰直角三角形， ∴D E F '''△为等腰直角三角形，∵()()1,1,2,1E F −，()2,2E '−，()4,2F '−−， ∴EF E F x ''∥∥轴， ∴45D F E '''∠=︒，∵以(),1T t 为圆心，半径为1的T e ， ∴T 点在直线EF 上，1TG =， ∴45TEG D E F '''∠=∠=︒，∴ET ==∴1t =−或1t =，∴11t −−≤≤；综上：13t ≤≤或11t −≤≤．【点睛】本题考查坐标与图形变换—位似，等腰三角形的性质，勾股定理，切线的性质等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，理解并掌握新定义，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．。

2023年甘肃省临夏州、武威市、酒泉市中考数学试卷及答案解析

2023年甘肃省临夏州、武威市、酒泉市中考数学试卷及答案解析

2023年甘肃省临夏州、武威市、酒泉市中考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．1．（3分）9的算术平方根是（）A．±3B．±9C．3D．﹣32．（3分）若＝，则ab＝（）A．6B．C．1D．3．（3分）计算：a（a+2）﹣2a＝（）A．2B．a2C．a2+2a D．a2﹣2a4．（3分）若直线y＝kx（k是常数，k≠0）经过第一、第三象限，则k的值可为（）A．﹣2B．﹣1C．﹣D．25．（3分）如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC＝（）A．20°B．25°C．30°D．35°6．（3分）方程＝的解为（）A．x＝﹣2B．x＝2C．x＝﹣4D．x＝47．（3分）如图，将矩形纸片ABCD对折，使边AB与DC，BC与AD分别重合，展开后得到四边形EFGH．若AB＝2，BC＝4，则四边形EFGH的面积为（）A．2B．4C．5D．68．（3分）据统计，数学家群体是一个长寿群体，某研究小组随机抽取了收录约2200位数学家的《数学家传略辞典》中部分90岁及以上的长寿数学家的年龄为样本，对数据进行整理与分析，统计图表（部分数据）如下，下列结论错误的是（）年龄范围（岁）人数（人）90﹣912592﹣93■94﹣95■96﹣971198﹣9910100﹣101mA．该小组共统计了100名数学家的年龄B．统计表中m的值为5C．长寿数学家年龄在92﹣93岁的人数最多D．《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在96﹣97岁的人数估计有110人9．（3分）如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线AB与地面CD所成夹角∠ABC＝50°时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜EF与地面的夹角∠EBC＝（）A．60°B．70°C．80°D．85°10．（3分）如图1，正方形ABCD的边长为4，E为CD边的中点．动点P从点A出发沿AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，线段PE的长为y，y 与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为（）A．（4，2）B．（4，4）C．（4，2）D．（4，5）二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．11．（3分）因式分解：ax2﹣2ax+a＝．12．（3分）关于x的一元二次方程x2+2x+4c＝0有两个不相等的实数根，则c＝（写出一个满足条件的值）．13．（3分）近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果．如由我国研制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界纪录．如果把海平面以上9050米记作“+9050米”，那么海平面以下10907米记作．14．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，∠CDB＝55°，则∠ABC＝°．15．（3分）如图，菱形ABCD中，∠DAB＝60°，BE⊥AB，DF⊥CD，垂足分别为B，D，若AB＝6cm，则EF＝cm．16．（3分）如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家．1556年兰州人段续的第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰．而今，兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征．如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径）OA长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点A处离开水面，逆时针旋转150°上升至轮子上方B处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从A处（舀水）转动到B处（倒水）所经过的路程是米．（结果保留π）三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（4分）计算：÷×2﹣6．18．（4分）解不等式组：．19．（4分）化简：﹣÷．20．（6分）1672年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图．1797年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作《圆规的几何学》中．请你利用数学家们发现的结论，完成下面的作图题：如图，已知⊙O，A是⊙O上一点，只用圆规将⊙O的圆周四等分．（按如下步骤完成，保留作图痕迹）①以点A为圆心，OA长为半径，自点A起，在⊙O上逆时针方向顺次截取＝＝；②分别以点A ，点D 为圆心，AC 长为半径作弧，两弧交于⊙O 上方点E ；③以点A 为圆心，OE 长为半径作弧交⊙O 于G ，H 两点．即点A ，G ，D ，H 将⊙O 的圆周四等分．21．（6分）为传承红色文化，激发革命精神，增强爱国主义情感，某校组织七年级学生开展“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学之旅，策划了三条红色线路让学生选择：A ．南梁精神红色记忆之旅（华池县）；B ．长征会师胜利之旅（会宁县）；C ．西路军红色征程之旅（高台县），且每人只能选择一条线路．小亮和小刚两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上字母A ，B ，C ，卡片除正面字母不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，小亮先从中随机抽取一张卡片，记下字母后正面向下放回，洗匀后小刚再从中随机抽取一张卡片．（1）求小亮从中随机抽到卡片A 的概率；（2）请用画树状图或列表的方法，求两人都抽到卡片C 的概率．22．（8分）如图1，某人的一器官后面A 处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离方案如下：课题检测新生物到皮肤的距离工具医疗仪器等示意图说明如图2，新生物在A 处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B 处照射新生物，检测射线与皮肤MN 的夹角为∠DBN ；再在皮肤上选择距离B 处9cm 的C 处照射新生物，检测射线与皮肤MN 的夹角为∠ECN ．测量数据∠DBN ＝35°，∠ECN ＝22°，BC ＝9cm请你根据上表中的测量数据，计算新生物A 处到皮肤的距离．（结果精确到0.1cm ）（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．23．（7分）某校八年级共有200名学生，为了解八年级学生地理学科的学习情况，从中随机抽取40名学生的八年级上、下两个学期期末地理成绩进行整理和分析（两次测试试卷满分均为35分，难度系数相同；成绩用x 表示，分成6个等级：A ．x ＜10；B ．10≤x ＜15；C ．15≤x ＜20；D ．20≤x ＜25；E ．25≤x ＜30；F ．30≤x ≤35）．下面给出了部分信息：a ．八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的统计图如图：b ．八年级学生上学期期末地理成绩在C ．15≤x ＜20这一组的成绩是：15，15，15，15，15，16，16，16，18，18；c ．八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的平均数、众数、中位数如下：学期平均数众数中位数八年级上学期17.715m 八年级下学期18.21918.5根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：m＝；（2）若x≥25为优秀，则这200名学生八年级下学期期末地理成绩达到优秀的约有_______人；（3）你认为该校八年级学生的期末地理成绩下学期比上学期有没有提高？请说明理由．24．（7分）如图，一次函数y＝mx+n的图象与y轴交于点A，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B（3，a）．（1）求点B的坐标；（2）用m的代数式表示n；（3）当△OAB的面积为9时，求一次函数y＝mx+n的表达式．25．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的一点，CO平分∠BCD，CE⊥AD，垂足为E，AB与CD相交于点F．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）当⊙O的半径为5，sin B＝时，求CE的长．26．（8分）【模型建立】（1）如图1，△ABC和△BDE都是等边三角形，点C关于AD的对称点F在BD边上．①求证：AE＝CD；②用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由；【模型应用】（2）如图2，△ABC是直角三角形，AB＝AC，CD⊥BD，垂足为D，点C关于AD的对称点F在BD边上．用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由；【模型迁移】（3）在（2）的条件下，若AD＝4，BD＝3CD，求cos∠AFB的值．27．（10分）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx与x轴交于点A，与直线y＝﹣x交于点B（4，﹣4），点C（0，﹣4）在y轴上．点P从点B出发，沿线段BO方向匀速运动，运动到点O时停止．（1）求抛物线y＝﹣x2+bx的表达式；（2）当BP＝2时，请在图1中过点P作PD⊥OA交抛物线于点D，连接PC，OD，判断四边形OCPD的形状，并说明理由；（3）如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动．连接BQ，PC，求CP+BQ的最小值．2023年甘肃省临夏州、武威市、酒泉市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．1．【分析】根据算术平方根的定义即可求出答案．【解答】解：9的算术平方根是3，故选：C．【点评】本题考查算术平方根，解题的关键是熟练运用算术平方根的定义，本题属于基础题型．2．【分析】直接利用比例的性质，内项之积等于外项之积即可得出答案．【解答】解：∵＝，∴ab＝6．故选：A．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将原式变形是解题关键．3．【分析】直接利用单项式乘多项式运算法则化简，再合并同类项得出答案．【解答】解：原式＝a2+2a﹣2a＝a2．故选：B．【点评】此题主要考查了单项式乘多项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．4．【分析】正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过第一、三象限，则k＞0．【解答】解：∵直线y＝kx（k是常数，k≠0）经过第一、第三象限，∴k＞0．故选：D．【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，先根据题意得出k的取值范围是解答此题的关键．5．【分析】根据等边三角形的性质可得∠ABC＝60°，根据等边三角形三线合一可得∠CBD ＝30°，再根据作图可知BD＝ED，进一步可得∠DEC的度数．【解答】解：在等边△ABC中，∠ABC＝60°，∵BD是AC边上的高，∴BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABC＝30°，∵BD＝ED，∴∠DEC＝∠CBD＝30°，故选：C．【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．6．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2x+2＝x，解得：x＝﹣2，经检验x＝﹣2是分式方程的解，故原方程的解是x＝﹣2．故选：A．【点评】本题考查了解分式方程，掌握转化思想，把分式方程转化为整式方程求解是关键．7．【分析】由折叠可知∠AGE＝∠BGE＝90°，AG＝BG，∠AFH＝∠DFH＝90°，AF＝DF，由同旁内角互补，两直线平行得AD∥GE⊥BC，AB∥FH∥CD，由平行线的性质可得FH ⊥GE，GE＝BC＝4，FH＝AB＝2，OF＝OH，OG＝OE，再根据对角线互相垂直平分的四边形为菱形可知四边形EFGH为菱形，最后利用菱形的面积公式计算即可求解．【解答】解：如图，设EG与FH交于点O，∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AB∥CD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，根据折叠的性质可得，∠AGE＝∠BGE＝90°，AG＝BG，∠AFH＝∠DFH＝90°，AF ＝DF，∴AD∥GE⊥BC，AB∥FH∥CD，∴FH⊥GE，GE＝BC＝4，FH＝AB＝2，OF＝OH，OG＝OE，∴四边形EFGH为菱形，＝＝＝4．∴S菱形EFGH故选：B．【点评】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、菱形的面积公式，熟知折叠的性质和菱形的判定方法是解题关键．8．【分析】根据统计表和扇形统计图给出的数据分别对每一项进行分析，即可得出答案．【解答】解：A、该小组共统计的人数为：10÷10%＝100（人），故不符合题意；B、统计表中m的值为100×5%＝5（人），故不符合题意；C、长寿数学家年龄在92﹣93岁的人数为100×35%＝35，长寿数学家年龄在94﹣95岁的人数为100×14%＝14（人），所以长寿数学家年龄在92﹣93岁的人数最多，故不符合题意；D、《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在96﹣97岁的人数估计有2200×＝242（人），故符合题意．故选：D．【点评】此题考查了统计表和用样本估计总体，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．9．【分析】根据BM⊥CD，得∠CBM＝90°，所以∠ABE+∠FBM＝40°，再根据∠ABE＝∠FBM，得∠ABE＝∠FBM＝20°，即可得∠EBC＝20°+50°＝70°．【解答】解：如图，∵BM⊥CD，∴∠CBM＝90°，∵∠ABC＝50°，∴∠ABE+∠FBM＝180°﹣90°﹣50°＝40°，∵∠ABE＝∠FBM，∴∠ABE＝∠FBM＝20°，∴∠EBC＝20°+50°＝70°．故选：B．【点评】本题主要考查了垂线和角的计算，解题的关键是熟练掌握垂线的性质等知识．10．【分析】根据图2确定M点的横坐标为AB的长度，纵坐标为BE的长度，然后求值即可．【解答】解：由题意可知，当点P在边AB上时，y的值先减小后增大，当点P在边BC上时，y的值逐渐减小，∴M点的横坐标为AB的长度，纵坐标为BE的长度，∵AB＝4，EC＝ED＝AB＝×4＝2，∴BE＝＝＝2，∴M（4，2），故选：C．【点评】本题考查动点问题的函数图象，关键是根据图2确定M点的坐标与正方形的边之间的关系．二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．11．【分析】直接提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式．【解答】解：ax2﹣2ax+a＝a（x2﹣2x+1）＝a（x﹣1）2．故答案为：a（x﹣1）2．【点评】此题主要考查了提取公因式法、公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．12．【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝4﹣16c＞0，解之即可得出c的取值范围，任取其内的一个数即可．【解答】解：∵方程x2+2x+4c＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝22﹣16c＞0，解得：c＜．故答案为：0（答案不唯一）．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．13．【分析】根据正数与负数的实际意义即可得出答案．【解答】解：∵海平面以上9050米记作“+9050米”，∴海平面以下10907米记作“﹣10907米”，故答案为：﹣10907米．【点评】本题考查正数与负数的实际意义，正数和负数是一对具有相反意义的量，此为基础知识点，必须熟练掌握．14．【分析】根据圆周角定理和三角形的内角和定理即可得到结论．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝∠D＝55°，∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝35°，故答案为：35．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：熟练掌握三角形的外心的定义与性质．也考查了圆周角定理．15．【分析】连接BD交AC于O，则AO＝CO，BO＝OD根据菱形的性质得到AD＝AB，∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠BCA，AC⊥BD，求得BD＝AB＝6cm，根据勾股定理得到AC＝2AO＝2×＝6（cm），求得AE＝CF，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：连接BD交AC于O，则AO＝CO，BO＝OD∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠BCA，AC⊥BD，∵∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠BCA＝30°，∴BD＝AB＝6cm，∴AO＝＝3（cm），∴AC＝2AO＝6（cm），∵BE⊥AB，DF⊥CD，∴∠CDF＝∠ABE＝90°，∴△CDF≌△ABE（ASA），∴AE＝CF，∵AE＝CF＝（cm），∴EF＝AE+CF﹣AC＝2（cm），故答案为：2．【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．16．【分析】根据弧长公式直接代入数值求解．【解答】解：＝（米）．故答案为：5π．【点评】本题主要考查了学生对弧长公式的掌握情况，难度不大，认真计算即可．三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算，进而得出答案．【解答】解：原式＝3××2﹣6＝12﹣6＝6．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．18．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：由x＞﹣6﹣2x得：x＞﹣2，由x≤得：x≤1，则不等式组的解集为﹣2＜x≤1．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19．【分析】根据分式的混合运算法则，先算乘除再算加减，进而得出答案．【解答】解：原式＝﹣•＝﹣＝．【点评】此题主要考查了分式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．20．【分析】根据题中的步骤作图．【解答】解：如图：点G、D、H即为所求．【点评】本题考查了作图的应用与设计，掌握圆心角、弧及弦的关系是解题的关键、．21．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中小亮和小刚两人都抽到卡片C的结果有1种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）小亮从中随机抽到卡片A的概率为；（2）画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中小亮和小刚两人都抽到卡片C的结果有1种，∴两人都抽到卡片C的概率是．【点评】此题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．22．【分析】过点A作AF⊥MN，垂足为F，设BF＝xcm，则CF＝（x+9）cm，然后在Rt △ABF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，再在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．【解答】解：过点A作AF⊥MN，垂足为F，设BF＝xcm，∵BC＝9cm，∴CF＝BC+BF＝（x+9）cm，在Rt△ABF中，∠ABF＝∠DBN＝35°，∴AF＝BF•tan35°≈0.7x（cm），在Rt△ACF中，∠ACF＝∠ECN＝22°，∴AF＝CF•tan22°≈0.4（x+9）cm，∴0.7x＝0.4（x+9），解得：x＝12，∴AF＝0.7x＝8.4（cm），∴新生物A处到皮肤的距离约为8.4cm．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．23．【分析】（1）根据中位数的定义可得m的值；（2）用200乘样本中下学期期末地理成绩达到优秀的学生所占比例即可；（3）比较平均数、众数和中位数可得答案．【解答】解：（1）把八年级上学期40名学生的地理成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为16，16，故中位数m＝＝16．故答案为：16；（2）200×＝35（人），即这200名学生八年级下学期期末地理成绩达到优秀的约有35人．故答案为：35；（3）该校八年级学生的期末地理成绩下学期比上学期有提高，理由如下：因为该校八年级学生的期末地理成绩下学期的平均数、众数和中位数均比上学期大，所以该校八年级学生的期末地理成绩下学期比上学期有提高．【点评】本题考查条形统计图，样本估计总体的思想，中位数，众数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24．【分析】（1）由反比例函数的解析式即可求得的B的坐标；（2）把B（3，2）代入y＝mx+n即可求得用m的代数式表示n的式子；（3）利用三角形面积求得n的值，进一步求得m的值．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象过点B（3，a），∴a＝＝2，∴点B的坐标为（3，2）；（2）∵一次函数y＝mx+n的图象过点B，∴2＝3m+n，∴n＝2﹣3m；（3）∵△OAB的面积为9，∴，∴n＝6，∴A（0，﹣6），∴﹣6＝2﹣3m，∴m＝，∴一次函数的表达式是y＝x﹣6．【点评】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟知函数图象上点的坐标特征满足解析式是解题的关键．25．【分析】（1）根据“过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线”进行证明；（2）根据三角函数的意义及勾股定理求解．【解答】（1）证明：∵CE⊥AD，∴∠E＝90°，∵CO平分∠BCD，∴∠OCB＝∠OCD，∵OB＝OC，∴∠B＝∠BCO＝∠D，∴∠D＝∠OCD，∴∠OCE＝∠E＝90°，∵OC是圆的半径，∴CE是⊙O的切线；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵sin B＝＝，∴AC＝6，∵∠OCE＝∠ACO+∠OCB＝∠ACO+∠ACE＝90°，∴∠ACE＝∠OCB＝∠B，∴sin∠ACE＝sin B＝＝，解得：AE＝3.6，∴CE＝＝4.8．【点评】本题考查了切线的判定和性质，掌握三角函数的意义及勾股定理是解题的关键．26．【分析】（1）①根据△ABC和△BDE都是等边三角形推出判定△ABE和△CBD全等，然后根据全等三角形的对应边相等即可得证；②根据等边三角形的性质和对称的性质即可推出线段AD，BD，DF的数量关系；（2）过点B作BE⊥AD于E，根据等腰直角三角形的性质推出判定△ABE∽△CBD，然后根据等腰直角三角形的性质和对称性即可推出线段AD，BD，DF的数量关系；（3）过点A作AG⊥BD于G，推出△ADG是等腰直角三角形，求出AG、FG、AF的长后即可求出cos∠AFB的值．【解答】（1）证明：①∵△ABC和△BDE都是等边三角形，∴AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝60°，∴∠ABE＝∠CBD，∴△ABE≌△CBD，∴AE＝CD；②解：AD＝BD+DF．理由如下：∵△BDE是等边三角形，∵点C与点F关于AD对称，∴CD＝DF，∵AD＝AE+DE，∴AD＝BD+DF；（2）BD+DF＝AD．理由如下：如图1，过点B作BE⊥AD于E，∵点C与点F关于AD对称，∴∠ADC＝∠ADB，又∵CD⊥BD，∴∠ADC＝∠ADB＝45°，又∵BE⊥AD，∴△BDE是等腰直角三角形，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴，∠ABC＝∠EBD＝45°，∴∠ABE＝∠CBD，∴△ABE∽△CBD，∴，CD＝DF，∴DF＝AE，∵△BDE是等腰直角三角形，∴BD＝，∴BD+DF＝，即：BD+DF＝AD．（3）解：如图2，过点A作AG⊥BD于G，又∵∠ADB＝45°，∴△AGD是等腰直角三角形，又∵AD＝4，∴AG＝DG＝4，BD+DF＝AD＝8，∵BD＝3CD，CD＝DF，∴DF＝2，又∵DG＝4，∴FG＝DG﹣DF＝2，在Rt△AFG中，由勾股定理得：，∴cos∠AFB＝．【点评】本题是几何变换综合题，主要考查等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理，深入理解题意是解决问题的关键．27．【分析】（1）利用待定系数法将B点坐标代入抛物线y＝﹣x2+bx中，即可求解．（2）作辅助线，根据题意，求出PD的长，PD＝OC，PD∥OC，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证．（3）作出图，证明△CBP≌△MOQ（SAS），CP+BQ的最小值为MB，根据勾股定理求出MB即可解答．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx过点B（4，﹣4），∴﹣16﹣4b＝﹣4，∴b＝3，∴y＝﹣x2+3x．答：抛物线的表达式为y＝﹣x2+3x．（2）四边形OCPD是平行四边形，理由如下：如图1，作PD⊥OA交x轴于点H，连接PC、OD，∵点P在y＝﹣x上，∴OH＝PH，∠POH＝45°，连接BC，∵OC＝BC＝4，∴．∴，∴，∴，当x D＝2时，DH＝y D＝﹣4+3×2＝2，∴PD＝DH+PH＝2+2＝4，∵C（0，﹣4），∴OC＝4，∴PD＝OC，∵OC⊥x轴，PD⊥x轴，∴PD∥OC，∴四边形OCPD是平行四边形．在OA上方作△OMQ，使得∠MOQ＝45°，OM＝BC，∵OC＝BC＝4，BC⊥OC，∴∠CBP＝45°，∴∠CBP＝∠MOQ，∵BP＝OQ，∠CBP＝∠MOQ，BC＝OM，∴△CBP≌△MOQ（SAS），∴CP＝MQ，∴CP+BQ＝MQ+BQ≥MB（当M，Q，B三点共线时最短），∴CP+BQ的最小值为MB，∵∠MOB＝∠MOQ+∠BOQ＝45°+45°＝90°，∴，即CP+BQ的最小值为4．答：CP+BQ的最小值为4．【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题。

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精品教育2012年甘肃省中考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，将此选项的代号填入题后的括号内．1．（2012•白银）=（）A．3B．﹣3C．﹣2D ．22．（2012•白银）将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是（）A．B．C．D．3．（2012•白银）下列调查中，适合用普查（全面调查）方式的是（）A．了解一批袋装食品是否含有防腐剂B．了解某班学生“50米跑”的成绩C．了解江苏卫视“非诚勿扰”节目的收视率D．了解一批灯泡的使用寿命4．（2012•白银）方程的解是（）A．x=±1B．x=1C．x=﹣1D．x=05．（2012•白银）将如图所示的Rt△ACB绕直角边AC旋转一周，所得几何体的主视图（正视图）是（）A．B．C．D．6．（2012•白银）地球的水资源越来越枯竭，全世界都提倡节约用水，小明把自己家1月至6月份的用水量绘制成折线图，那么小明家这6个月的月平均用水量是（）A．10吨B．9吨C．8吨D．7吨7．（2009•安徽）如图，直线l1∥l2，则∠α为（）A．150°B．140°C．130°D．120°8．（2012•白银）如图，边长为（m+3）的正方形纸片，剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是（）A．m+3B．m+6C．2m+3D．2m+69．（2012•白银）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是（）A．x＜﹣1B．x＞3C．﹣1＜x＜3D．x＜﹣1或x＞3 10．（2009•北京）如图，C为⊙O直径AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D，E两点，且∠ACD=45°，DF⊥AB 于点F，EG⊥AB于点G，当点C在AB上运动时，设AF=x，DE=y，下列中图象中，能表示y与x的函数关系式的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．把答案写在题中的横线上．11．（2011•宁夏）分解因式：a3﹣a= _________ ．12．（2012•白银）不等式2﹣2x＜x﹣4的解集是_________ ．13．已知两圆的半径分别为3cm和4cm，这两圆的圆心距为1cm，则这两个圆的位置关系是_________ ．14．（2012•白银）如图，在△ABC中，AC=BC，△ABC的外角∠ACE=100°，则∠A=_________ 度．15．（2012•白银）某学校为了了解学生课间体育活动情况，随机抽取本校100名学生进行调查．整理收集到的数据，绘制成如图所示的统计图．若该校共有1200名学生，则估计该校喜欢“踢毽子”的学生有_________ 人．16．（2011•昭通）如图所示，已知点A、D、B、F在一条直线上，AC=EF，AD=FB，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是_________ ．（只需填一个即可）17．（2011•遵义）如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中BC边上的高是_________ ．18．（2011•益阳）在﹣1，1，2这三个数中任选2个数分别作为P点的横坐标和纵坐标，过P点画双曲线，该双曲线位于第一、三象限的概率是_________ ．三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．19．（2012•白银）计算：|﹣1|﹣2sin30°+（π﹣3.14）0+．20．（2012•白银）若方程组的解是，求（a+b）2﹣（a﹣b）（a+b）21．（2011•綦江县）为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B 村、C村的村委会所在地的距离都相等（A、B、C不在同一直线上，地理位置如下图），请你用尺规作图的方法确定点P的位置．要求：写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹．22．（2011•防城港）假日，小强在广场放风筝．如图，小强为了计算风筝离地面的高度，他测得风筝的仰角为60°，已知风筝线BC的长为10米，小强的身高AB为1.55米，请你帮小强画出测量示意图，并计算出风筝离地面的高度．（结果精确到1米，参考数据≈1.41，≈1.73 ）23．（2012•白银）衬衫系列大都采用国家5.4标准号、型（通过抽样分析取的平均值）．“号”指人的身高，“型”指人的净胸围，码数指衬衫的领围（领子大小），单位均为：厘米．下表是男士衬衫的部分号、型和码数的对应关系：号/型…170/84170/88175/92175/96180/100…四、解答题（二）本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．24．（2011•黔南州）某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“30元”的字样．规定：顾客在本商场同一日内，每消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回），商场根据两小球所标金额的和返还相应价格的购物券，可以重新在本商场消费，某顾客刚好消费200元．（1）该顾客至少可得到_________ 元购物券，至多可得到_________ 元购物券；（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概率．25．（2011•巴彦淖尔）某玩具店购进一种儿童玩具，计划每个售价36元，能盈利80%，在销售中出现了滞销，于是先后两次降价，售价降为25元．（1）求这种玩具的进价；（2）求平均每次降价的百分率（精确到0.1%）．26．（2010•厦门）如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；（2）若BF=EF，求证：AE=AD．27．（2011•黔南州）如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB=AC，AD与BC相交于点E，AE=ED，延长DB到点F，使FB=BD，连接AF．（1）证明：△BDE∽△FDA；（2）试判断直线AF与⊙O的位置关系，并给出证明．28．已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2．若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内．将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．（1）求点C的坐标；（2）若抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；（3）若上述抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一动点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M，问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．2012年甘肃省白银市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，将此选项的代号填入题后的括号内．1．（2012•白银）=（）A．3B．﹣3C．﹣2D．2考点：立方根。

分析：根据立方根的定义解答．解答：解：∵33=27，∴=3．故选A．点评：本题考查了立方根的定义，是基础题，找出立方等于27的数是3是解题的关键．2．（2012•白银）将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是（）A．B．C．D．考点：生活中的平移现象。

分析：根据平移只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小解答．解答：解：观察各选项图形可知，A选项的图案可以通过平移得到．故选A．点评：本题考查了生活中的平移现象，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转．3．（2012•白银）下列调查中，适合用普查（全面调查）方式的是（）A．了解一批袋装食品是否含有防腐剂B．了解某班学生“50米跑”的成绩C．了解江苏卫视“非诚勿扰”节目的收视率D．了解一批灯泡的使用寿命考点：全面调查与抽样调查。

分析：适合普查的方式一般有以下几种：①范围较小；②容易掌控；③不具有破坏性；④可操作性较强．解答：解：A 、要了解一批袋装食品是否含有防腐剂，具有破坏性，宜采用抽查方式；B、了解某班学生“50米跑”的成绩，数量小，准确度高，往往选用全面调查；C、了解江苏卫视“非诚勿扰”节目的收视率，普查的意义或价值不大，应选择抽样调查；D、了解一批灯泡的使用寿命，具有破坏性，宜采用抽查方式．故选B．点评：本题考查的是普查和抽样调查的选择．调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．4．（2012•白银）方程的解是（）A．x=±1B．x=1C．x=﹣1D．x=0考点：解分式方程。

分析：观察可得最简公分母是（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．解答：解：方程的两边同乘（x+1），得x2﹣1=0，即（x+1）（x﹣1）=0，解得：x1=﹣1，x2=1．检验：把x=﹣1代入（x+1）=0，即x=﹣1不是原分式方程的解；把x=1代入（x+1）=2≠0，即x=1是原分式方程的解．则原方程的解为：x=1．故选B．点评：此题考查了分式方程的求解方法．此题难度不大，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根．5．（2012•白银）将如图所示的Rt△ACB绕直角边AC旋转一周，所得几何体的主视图（正视图）是（）A．B．C．D．考点：简单几何体的三视图；点、线、面、体。

分析：首先判断直角三角形ACB绕直角边AC旋转一周所得到的几何体是圆锥，再找出圆锥的主视图即可．解答：解：Rt△ACB绕直角边AC旋转一周，所得几何体是圆锥，主视图是等腰三角形．故选：D．点评：此题主要考查了面动成体，以及简单几何体的三视图，关键是正确判断出Rt△ACB绕直角边AC旋转一周所得到的几何体的形状．6．（2012•白银）地球的水资源越来越枯竭，全世界都提倡节约用水，小明把自己家1月至6月份的用水量绘制成折线图，那么小明家这6个月的月平均用水量是（）A．10吨B．9吨C．8吨D．7吨考点：折线统计图；算术平均数。

分析：从图中得到6天用水量的6个数据，然后根据平均数的概念计算这6个数据的平均数就可得到平均用水量．解答：解：这6天的平均用水量：（8+12+10+15+6+9）÷6=10吨，故选：A．点评：此题主要考查了折线图的应用以及平均数求法，要熟悉统计图，读懂统计图，熟练掌握平均数的计算方法是解题关键．7．（2009•安徽）如图，直线l1∥l2，则∠α为（）A．150°B．140°C．130°D．120°考点：平行线的性质；对顶角、邻补角；同位角、内错角、同旁内角。

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