《一类恒成立、存在性函数问题的化归》教学设计

《一类恒成立、存在性函数问题的化归》教学设计一类恒成立、存在性函数问题的化归

“恒成立”与“存在性”问题起源于全称量词与存在量词“任意”[知识点的地位作用]:1、

与“存在”，是函数、方程、数列与不等式的结合点之一，也是培养数学能力的良好

素材，同时也是高考的重点与热点。

2、此节内容是在学生学习完高一函数这一章后的一个专题讲座，目的是通

过本节的学习，进一步深化对函数的认识，领悟数形结合的魅力。培养学生各种数学

语言的相互转化的能力。

3、此内容共两个课时，此为第一课时。

1、知识目标:让学生初步能用最值及值域解决一类函数的恒成立、存在性问题。[教学目标]:

,、能力目标:培养学生的观察力，分析、解决问题的能力。归纳概括能力

3 、情感目标:通过本节学习，让学生体会的转化、化归的数学思想，享受数学中的

灵动与和谐之美。

对不同题型，能熟练地转化为不同的最值与值域问题。[教学重点]:

用化归思想灵活转化问题。[教学难点]:

通过生活语言与数学语言对比结合，深入浅出地处理好本节重难点。并通过多种数学[创新点]:

语言巩固，促进学生理解，加深学生印象。

,、活动形式:问答、讨论、思考、总结。[活动设计]:

powerpoint,、教具:投影仪，软件(几何画板，)，课件

[教学设计]: 第一课时

一、引入:

,抛出问题,由学生近期例1:不等式|x-1|-|x+3|,a对于x?R恒成立,求a的取值范围

的易错题及变式题引入～.

并让学生知道～这类问题变式1:存在 x?R，使得不等式 |x-1|-|x+3|>a成立, 则a的取是高考的热点和重点～但值范围是 .我们学习本节知识后～将会非常轻松地解决这几道变式2:方程|x-1|-|x+3|=a有解，则a 的取值范围是题。激发学生的好胜心与求. 知欲 .二、新课:

1、现实生活中存在与恒成立问题:

“1)在某次考试中，我们班有同学数学分数大于,,,分最高

分大于,,,分。

“2)在某次考试中，我们班每一位同学数学分数都高于,,分

最低分大于,,分。

1

“3)在某次考试中，我们班同学数学成绩没有高于130分的最

高分小于等于130分。

,语言对比,由现实生活中的口语来分析和理解现实生活中的一些恒成立问题和有解问题。提高学生学习兴趣～加强学生学习好这节内容的信心～让学生理解数学来源于生活～又高于生活。

2

对x?D,f(x)?[m,n]有:,、推理:

,,推理目的,让学生体验1)、符号语言:不等式f(x)>a，x?D恒成立

从现实生活中的“都”和f(x)>amin

“有”与到数学语境中的

, 图象语言:y=f(x),x?D的图象在直线y=a的上方最低“任意”和“存在”之间

的联系～再向“恒成立”,点都在直线y=a的上方f(x)>amin和“有解”的转化。深入浅

出地处理了本节课的一个

, 日常用语:每一个f(x)值都大于af(x)>amin难点。

,推理意义,让学生理解,2)、符号语言:存在 x?D,使得不等式f(x)>a不等式生活中的“都”和“有”

,“f(x)>a，x?D，有解不等式f(x)>a，x?D，解集非空最终向取值的最高最大和

最低最小的转化～把复杂f(x)>amax的对所有元素或部分元素

的研究～转化到了对最值, 图象语言:y=f(x),x?D的图象有点在直线y=a的上方的研究。体现了将复杂问题

简单化～将未知问题已知,最高点都在直线y=a的上方f(x)>amax

化的化归思想

, 日常用语:有f(x)值比a大f(x)>amax,推理思路,从符号语言、

图形语言和生活的日常用

语三种不同角度来分析和,3)、方程f(x)=a, x?D有解(解集非空) 解决和理解问题。并让学生

自己动手来分析和理解后

a?{f(x)| x?D}两个问题～提高学生动手

能力～加深学生对三种语

,言的理解和转化。图象语言:y=f(x),x?D的图象与直线y=a有交点

a?{f(x)| x?D},推理手段,老师口语表

述～由学生转化为符号语

言～利用几何画板～展示, 日常用语:求函数a=f(x)，x 的值域?Da?{f(x)| 图象特点～构建问题～引

导学生推导图象关系。x?D}

对x?D,f(x)?[m,n]有:？、结论:

,、恒成立问题

,符号语言:函数f(x)>a，x?D恒成立f(x)>amin

3

, 函数f(x)?a，x?D恒成立f(x)?amax

2、存在性问题

,符号语言:存在 x?D,使得函数f(x)>af(x)>a思考:若对max

x?D,f(x)? ( m,

, 存在 x?D,使得函数f(x)?af(x)?amin n )又有怎么样的

结论呢,3、有解问题

由学生得出结论。

符号语言:不等式f(x)>a, x?D有解(解集非空)

, f(x)>a并提出课后思考题～若max

函数无最值～又应该怎

, 不等式f(x)

f(x)?amin样的结论。

, 方程f(x)=a, x?D有解(解集非空)

a?{f(x)| x?D}

4、例题讲解:

例1:不等式|x-1|-|x+3|,a对于x?R恒成立,求a的取值范围

.

,解决问题,现在由学生

回答开课时抛出的一例四变式1:存在 x?R，使得不等式 |x-1|-|x+3|>a成立, 则a的取值

变式的转化形式～引导学范围是 .

生享受胜利的喜悦～感受成变式2:方程|x-1|-|x+3|=a有解，则a 的取值范围是功收获～增强学习数学的信. 变式3:|x-1|-|x+3|? a解集不空, 则a的取值范围是 .心。

变式4:不等式 |x-1|-|x+3| ? a解集为空集, 则a的取值范围

是 .

2 例2::已知函数f(x)=x-ax+a,若存在x?[-1,2]使得f(x)>0,试?求实数a的取值范围。a?R

让学生尝试转化有解问题。解:法一:f(1)=1>0，所以对a?R,均存在x?[-1,2]使得f(x)>0.

1、对有同学思考到法一～要

认真对待并鼓励学生的发散法二:原题同解于:当x?[-1,2]时，f(x),,,即:max 思维。并趁机再次阐述此法 f(-1)>0或f(2)>0对存在与任意两类问题

解决

的区别。即此法对任意性问

代入可得:1+2a>0或,,a>0题行吗, a>-0.5或a<4