相交线平行线培优-
初一下数学寒假培优训练一（余角、补角以及三线八角、平行线的判定）
一、考点讲解：
1余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角. 2. 补角：如果两个角的和是平角，那.么称这两个角互为补角.
3?对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角. 4.互为余角的有关性质：① / 1 + Z 2=90 °，则/ 1、/ 2互余.反过来，若/ 1,7 2互余.则/ 1 + Z
2=90°.②同角或等角的余角相等，如果/ I 十/ 2=90° , / 1 + / 3= 90 °，则/ 2= / 3 .
5?互为补角的有关性质：①若/ A +/B=180°则/ A 、/ B 互补，反过来，若/ A 、/ B 互补，则/ A+/ B =
180。.②同角或等角的补角相等.如果/ A + / C=18 0°，/ A+/ B=18 0 °，则/ B=/ C.
6.对顶角的性质：对顶角相等.
项目
定义
性质
图形
互余角
两个角和等于90 （直角）
1 2 90
冋角或等角的余角相等
互补角
两个角和等于180 （平角）
1 2 180
冋角或等角的补角相等
对顶角
两直线相交而成的一个角两边
分别是另一角两边反向延长线
对顶角相等
1 2
5
例1 .已知一个角的余角比它的补角的
还少4，求这个角。
13
例2.如图所示，AOB 是一条直线， AOC 90 , DOE 90，问图中互余的角有哪几对？哪些角是相
例3.如图I — 2- 1，直线AB, CD 相交于点 0, OEL AB 于点0, OF 平分/ AOE / 1 = 15°30'则下列结论 中不正确的
是（ ）
A ./ 2 =45 °
B . / 1 = / 3
C . / AO
D 与/ 1 互为补角 D . / 1 的余角等于 75°30' 解：D 点拨：此题考查
了互为余角，互为补角和对顶角之间的综合运用知识. 四、巩固练习：
1. ______ _________________ 的余角相等， 的补角相等.
2. / 1 和/2 互余，/ 2 和/ 3 互补，/ 仁63°,/ 3=__
3.
下列说法中正确的是（ ）A .两个互补的角中必有一个是钝角 B .一个角的补角一定
比这个角大
C .互补的两个角中至少有一个角大于或等于直角
D .相等的角一定互余
4. 轮船航行到 C 处测得小岛A 的方向为北偏东32。，那么从A 处观测到C 处的方向为（）
等的?
C
A O B
A .南偏西32° B.东偏南32° C .南偏西58°
5. 若/ 1=2 / 2,且/ 1 + Z 2=90°则/ 1=___，/ 2=___.
6.
一个角的余角比它的补角的九分之二多 1 °,求这个角的度数.
7. Z 1 和/ 2 互余，/ 2 和/ 3 互补，/ 3=153。，/ l=_ &如果一个角的补角是 9.一个角的余角（
B 、4对
14.下列说法正确的是（ 16.为下面推理填写理由。 90 , B C 90 (已知)，???/ A=Z B (
1. 共同点：都是两条直线被第三条直线所截得到的不具有共公顶点的两个角之间的关系，这两个角有
条边在同一直线上。
2.
不同点：同位角在两条直线的“同方” ，第三条直线的“同
侧”，（简称：位置相同的角，形状呈“ 字形）。
内错角的两条直线“内侧”，第三条直线“两旁”（位置错开，形状呈“ Z ”字形）。 同旁内角在两直线之间，第三条直线“同旁”
（形状呈“ C'字形）。
另外注意：寻找“三线八角”关键是找准截线，截线是公共边所在的那条直线。
D.东偏南58°
150°，那么这个角的余角是
A 、一定是钝角
B
，定是锐角 C
、可能是锐角，也可能是钝角
D 、以上答案都不对 10.若两个角互补，则（
）A 、这两个都是锐角 B 、这两个角都是钝角
C 、这两个角一个是锐角,
一个是钝角 D 、以上结论都不对
11. 一个角等于它的余角的 2倍，那么这个角等于它补角的（
B 、1
倍
2
C 、5倍
12.下列说法中正确的是（
A 、相等的角是对顶角
B 、不是对顶角的角不相等
C 、对顶角必相等
D 有公共顶点的角是对顶角
13.三条直线相交于一点, 所成对顶角有（
A 、不相等的角一定不是对顶角
B 、 互补的两个角是邻补角
C 、两条直线相交所成的角是对顶角
D 、 互补且有一条公共边的两个角是邻补角
15.如图所示，AOE 是 一条直线，
AOB COD 90，则
(1)如果 1 30 ,那么 2
（2 ）和1互为余角的角有 1相等的角有
(1)
互为余角（已知），
90
(2) 如图所示, AB CD 相交于点0 （已知），
(3) 2, 2 3 （已知），
(4)
五、关于同位角、
内错角和同旁内角 F ”
D B
六、角位置的确定巩固练习：
1如图1所示，直线a、b、c两两相交，共构成对对顶角。
2.如图2,能与/ 1构成同位角的角有( )A、2个B 、3个
C 、4个
D 、5个
3.如图2,能与/ 1构成同旁内角的角有( )A、2个B、3个C、4个D、5个
4.如图3所示，已知四条直线AB, BC, CD D吕
问：①/ 1, Z 2是直线_____ 和直线________ 被直线 _____ 所截而成的___ 角.
②/ 1, Z 3是直线 ____ 和直线_____ 被直线_____ 所截而成的____ 角.
③/ 4, Z 5是直线_____ 和直线________ 被直线 _____ 所截而成的___ 角.
④/ 2, Z 5是直线_____ 和直线________ 被直线 _____ 所截而成的___ 角.
例3 (1) 如图所示，直线AB CD被直线EF所截，如果/ 仁/ 2，/ CNF=/ BME那么AB// CD, MP/ NQ
(3)已知：如图，AD丄BC, EF 丄BC / 1 = / 2,求证：AB// GF
5?如图4所示，下列各组判断错误的是【
(A)Z 2和/3是同位角
(C)Z 2和/4是同旁内角
(B)
(D)
】.
和/3是内错角
和/2是内错角
七、直线平行的条件(又叫平行线的判定)
.同位角相等，两直线平行; .内错角相等，两直线平行;
.同旁内角互补，两直线平行;
例1 .如图所示，
4呢？1和
1和4是什么角?
A呢？A和2呢？
.同时平行于第三条直线的两条直线也互相平行。
由哪两条直线被什么样的第三条直线所截？2和3呢?
AB、CD两相交直线与EF、MN两平行直线与EF、MN两平行直线相交，试问一共可以得到请说明理由。
⑵ 如图所示，直线a,b被直线C所截, 1的3倍等于2, 3是1的余角，求证:
例2 .如图所示,
B
D
F
N
a //
b
八、巩固练习
1给下列证明过程填写理由:
已知：如图所示，AB丄BC于B, CDL BC于C, / 1 = / 2,
求证：BE// CF.
证明：??? AB丄BC于B, CDL BC于C,( )
???/ 1+Z 3=90°,/ 2+Z 4=90°()
???/ 1与/ 3互余，/ 2与/ 4互余.()
又???/ 仁/ 2,( )
C ?- _____ = _______ .( )
? BE/ CF.( )
2.如图，已知/ B+/ C+/ D=360°,贝U AB/ ED为什么?
3?如图所示，已知 B 25 , BCD 45 , CDE 10，试说明，AB与EF有怎样的位置
关系？并说说你判断的理
由。
，求证：AA 4.已知：如图，/ B + Z B2=/ A I +Z Aa+Z A（即向左凸出的角的和等于向右凸出的角的和）
//
BA
5.下列说法正确的是（）A、同位角相等B、同旁内角互补
C、若1 2 3 180，则1, 2, 3互补D 、对顶角相等
6?同一平面内有三条直线a,b,c，若a b,b c，则a 与c (
A、平行
B、垂直
C、相交D重合
7.—个人从A点出发向北偏东60方向走了4m到B点，两从B点向南偏西15的方向走了3m到C点，那么ABC等于（)A、45 B 、75 C、105 D、135
180，可以判定那两条直线
AOD,
&如图所示，根据下列条件:
平行，并说明判定的依据。
F
9.已知：如图，FEL AB, CDL AB,Z 1 = / 2,求证：Z AGDZ ACB
10.如图2-11，直线AB CD相交于O点，/ AOD与/ BOD叫做____________ 角；/ AOD与/ BOC叫叫______角；若/ AOD=2/ BOD 则/ BOD= ________ ，/ AOC= ______ .
11.如图2-14，直线AD BC被CE所截，/ C的同位角是 ___________ ，同旁内角是______ ; Z 1与/ 2是、
被截得的角；AB CD被AD所截，/ A的内错角是，/ A和/ ADC是角；AB CD被BD所截，和是内错角.
12.如图2-15 ,v AOLOC OBLOD??/ 1 ___________ /2 ( )
COD是直线，且/ 仁/ 3,说明AOB三点在一条直线的理由可以写成:
2.已知：如图2-18 ,
解：??? AB丄
CD
COB=
??? COD是一条
直线
1+ /
2=
( )
+ Z 3= ? A、OB在一条直线上.
直线AB
（已
知）
仁27° （已
知）
3=
2+Z FOB=
FOB=
CD EF交于点O, AB丄CD / 1=27 .求：/ 2,Z FOB的度数.
13.已知：如图2-17 ,