高一数学三角函数综合提升讲义

3.若 α为第一象限角，那么 sin2α， cos2α， sinα2， cosα2中必定为正值的有 (
)
A ． 0 个 B． 1 个 C．2 个 D． 3 个 解析： 由于 α为第一象限角，所以 2α为第一或二象限角， sin2α>0，cos2α符号不确定， α2为第一或三象限角， sinα2， cosα2的符号均不确定．故选 B.
3k ① 4
2k 1 ② 8
① 2 2 ② ，整理得 9k 2 8k 20 0 ，
解得 k1 2， k2
10 ．
9
当 k 2 时，原方程变为 8 x2 12x 5 0 ，
144 160 0 ，
∴ 原方程无解， k 2 舍去．
将k
10 代入②，得 sin ·cos
sin ·sin
9
11 ，
72
∴ sin ，sin 异号，应有 sin 0 或 sin 0 ，实际上 sin 0 ， sin 0 ，
函数
1 倍（纵坐标不变） ，得到
y sin x 的图象；再将函数 y sin x 的图象上所有点向左（右）平移
个单位长度，
得到函数 y sin x
的图象；再将函数 y sin x
的图象上所有点的纵坐标伸
长（缩短）到原来的
倍（横坐标不变） ，得到函数 y sin x
的图象．
10. 正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
1 2sin 70 cos70 =
cos70 sin 70
(sin 70 cos70 )2 =
cos70 sin 70
sin 70 cos70
=
=－ 1．
cos70 sin 70
1 8.已知 cos(75° ) ， 是第三象限角，求 cos(15° ) sin(
3 解： cos(15° ) sin(75° ) ， 又 是第三象限角， ∴ sin(75° ) 0 ．
1.若角 与 终边相同，则一定有（
）．
A．
180
B．
0
C．
k 360 , k Z D．
k 360 , k Z
2.设角 、 满足 180
180 ，则
的范围是 ___________．
( 360 ,0 ) ∵
，∴
0 ，又 180
180 ， 180
180 ，
∴ 360
360 ．综上可知
的范围是 360
0．
虑内层函数与外层函数各自的特性以及它们的相互制约关系
.
【解】 （ 1）由题意得 sinx－ cosx＞ 0，即 2 sin( x－π4 )＞ 0
从而得
2kπ＜
x－
π 4
＜
2k
π＋
π，所以函数的定义域为（
2k
π＋
π 4
，
2k
π＋
5π 4
）
(k∈
Z
)
∵
0＜
sin(x－
π 4
)≤
1，∴
0＜
sinx－
cosx≤
3
tan
x
4
11 cos(
9 ) sin(
) sin cos
4
2
2
已知 cosα= 1 ， cos（ α+β） =1，求证： cos（ 2α+β） = 1 ．
3
3
证明：∵ cos（ α+β） =1，∴ α+β=2kπ．
∴ cos（ 2α+β）=cos（ α+α+β） =cos（ α+2 kπ） =cosα= 1 ． 3
A 1 (4 2) 3
2
，故函数的最大值为 3，最小值为－ 3
1 c (4 2) 1
2
∵ 2 2 8∴ 3
∴ T 12 把 x=12,y=4 代入上式，得 6
所以，函数的解析式
2
为： y 3cos x 1 6
（2）设所求函数的图像上任一点（ x,y) 关于直线 x 2 的对称点为（ x , y ），则
2
即有 log 1 (sinx－cosx)≥ log 1
1 2 ＝－ 2 .故函数的值域是［－
1 2 ， +∞ ).
2
2
（ 2）∵ sin x－cosx＝
2
sin（
x－
π 4
)在
f(x)的定义域上的单调递增区间为
π （ 2kπ＋ 4 ，2kπ
＋3π 4
）
(k∈
Z
)，函数
f(x)的递减区间为（
π
3π
2kπ＋4 ， 2kπ＋ 4 ） (k∈ Z).
sin 2 sin cos 2(sin 2 cos2 )
3sin 2 sin cos
sin 2 cos2
2
3tan
tan 2
tan2 1
2cos 2
2
11
3
2
22
2
1 1
13 ． 5
2
6.已知 sin （1） tan
cos ；
1 ，
5 （2） sin
(0， π) ，求下列各式的值．
cos ；
（3） sin 3
奇函数
在 2k
, 2k
2
2
在 2k
, 2k k
上
单k
上是增函数；在
调
性
3
2k
, 2k
2
2
是 增函数 ；
2k , 2k
k
上是减函数．
在 在k k
,k
2
2
上是增函数．
k
上是减函数．
对称中心 k ,0 k
对
称对
称
性
xk
k
2
对 轴
k
称
中
,0 k 2
对
称
中
心
心
k ,0 k
2
无对称轴
对称轴 x k k
二．典例精析 基础题：
∴ sin(cosθ) ·cos(sinθ)>0.
θ所取的范围． 2
tan(cosθ)>0， tan(cosθ)<0，
(2)由题知
或
tan(sinθ)>0
tan(sinθ)<0.
0<cosθ<1，
－ 1<cosθ<0，
wk.baidu.com
∴
或
即 θ在第一或第三象限；
0<sin θ<1
－ 1<sinθ<0，
若 θ在第一象限， 则θ2的取值范围如图 ① 所示； 若 θ在第三象限， 则 θ2的取值范围如图 ②
∴ sin(75 ° )
22 ．
3
而 sin( 15°) cos(75° )
1 ．
3
∴ 原式
22 1 33
22 1 3
15°) 的值 ．
9.已知角
cos(
终边上一点 P（－ 4， 3），求
2
11
cos(
2
) sin( )sin( 9
2
)
的值
)
cos( ) sin(
【解】∵ tan
y
3
∴
2
)
sin sin
答案： B
4.解答下列问题：
(1)若 θ在第四象限，试判断 sin(cosθ) ·cos(sinθ)的符号；
(2)若 tan(cosθ) ·tan(sinθ)>0，试指出 θ所在象限，并用图形表示出
解： (1)∵ θ在第四象限，
∴
0<cosθ<1<
π2，－
π 2<
－
1<sin
θ<0
，
∴ sin(cosθ)>0， cos(sinθ)>0 ，
个单位长度，得到函数 y sin x
的图
象；再将函数 y sin x
的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
1 倍（纵坐
标不变），得到函数 y sin x
的图象；再将函数 y sin x
的图象上所有点的
纵坐标伸长（缩短）到原来的
倍（横坐标不变） ，得到函数 y
sin x
的图象．
函数 y sin x 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
k 180 , k
终边在 y 轴上的角的集合为
k 180 90 ,k
终边在坐标轴上的角的集合为
k 90 , k
与角 终边相同的角的集合为
k 360 , k
2. 已知 是第几象限角， 确定 n n
* 所在象限的方法： 先把各象限均分 n 等份，再从 x
轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则
7.
同
角
三
角
函
数
的
基
本
关
系
：
1 sin 2 cos2 1
s 2i
n
21
c2 o
s
2 ；,
c
o
s
sin 2
cos
tan sin
tan cos ,cos
sin ． tan
8. 三角函数的诱导公式：
1 sin 2k
sin ， cos 2k
cos ， tan 2k
tan k
．
2 sin
sin ， cos
cos ， tan
所示 (见阴影部分，不含边界 )．
tan 5.已知
1 ，求下列各式的值：
tan 1
（1） sin 3cos ； sin cos
（2） sin 2 sin cos 2 ．
解：由已知，得 tan
1 ，则
2
（1） sin 3cos sin cos
13
tan 3 2
5；
tan
1
1 1
3
2
（2） sin 2 sin cos 2
的终边上任意一点
的坐标是 x, y ，它与原点的距离是
r r x2 y2 0 ，则 sin
y ， cos
r
x ， tan
r
y x 0．
x
6. 三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第
四象限余弦为正．
7. 三角函数线： sin
， cos
， tan
．
y
PT
O MA x
2 对称的函数解析式为：
（2）函数 y 的单调递增区间
1 37 7 ． 5 25 125
7.化简： 1 2 sin 290 cos 430 ． sin 250 cos 790
解： 1 2 sin 290 cos 430 sin 250 cos 790
1 2sin( 70 360 ) cos(70 360 ) =
sin(180 70 ) cos(70 2 360 )
x 4 x, y
y 代入 y 3 cos x 1中得 y 3cos( 2
6
3
x) 1 6
∴ 与 函 数 y 3c o s x 1 的 图 像 关 于 直 线 x 6
2 y 3cos(
3
x )1
6
1 13.已知函数 y sin x
2
1 3 cos x ，求：
2
（1）函数 y 的最大值，最小值及最小正周期；
10.是否存在一个实数 k ，使方程 8 x2 6kx 2k 1 0 的两个根是一个直角三角形的两个锐角 的正弦？
解：设直角三角形两个锐角为
， ，则 sin ，sin 是方程 8 x2 6kx 2k 1 0 的两个根．
∵
90°， ∴ sin cos ．
由根与系数的关系，得
sin cos sin ·cos
原来是第几象限对应的标
号即为 终边所落在的区域．
n
3. 弧度制与角度制的换算公式： 2 360 ， 1
， 1 180
180
57.3 ．
4. 若扇形的圆心角为
为弧度制 ，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ，则
lr
，C
2r l ， S
1 lr
1
r2．
22
5. 设 是一个任意大小的角，
解得 sin
4 ，或 sin
5
3 （舍去）．
5
∴ sin 4 ， cos
3 ． ∴ tan
4．
5
5
3
（2） ∵ sin cos
(sin cos )2 1 2sin ·cos
24 7
1
．
25 5
（3） sin 3 cos3 (sin cos )(sin 2 cos2 sin ·cos )
1 12 1
5 25
tan ．
3 sin
sin ， cos
cos ， tan
tan ．
4 sin
sin ， cos
口诀：函数名称不变，符号看象限．
cos ， tan
tan ．
5 sin 2
cos ， cos 2
sin ．
6 sin 2
cos ， cos 2
口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．
sin ．
9. 函数 y sin x 的图象上所有点向左平移
(3)∵ f(x)的定义域在数轴上对应的点不关于原点对称， ∴函数 f (x）是非奇非偶函数 .
（ 4） f(x＋ 2π)＝ log 1 ［ sin(x＋ 2π)－ cos(x＋ 2π)］＝ log 1 （ sinx－ cosx)＝ f(x).
2
2
∴函数 f (x)是周期函数， 2π是它的一个周期 .
10
∴k
不满足题意， ∴ k 值不存在．
9
11.已知函数 f(x)＝ log 1 (sinx－ cosx)
2
（ 1）求它的定义域和值域； （ 2）求它的单调减区间；
（ 3）判断它的奇偶性； （4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的一个周期
.
【分析】 研究复合函数的性质（定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性）应同时考
12.如下图为函数 y A sin( x ) c( A 0, 0, 0) 图像的一部分
（1）求此函数的周期及最大值和最小值
（2）求与这个函数图像关于直线 x 2 对称的函数解析式
【解】（ 1）由图可知， 从 4～ 12 的的图像是函数 y A sin( x ) c( A 0, 0, 0)
的三分之二个周期的图像，所以
性 质 函 数 y sin x
y cosx
y tan x
图 象
定
义
R
R
域
值
1,1
1,1
域
当 x 2k
k 2
当 x 2k k
时，
最 时 ， ymax 1 ； 当
值
ymax 1；当 x 2k
x 2k
2
k
时， ymin
1．
k
时， ymin
1．
周
2
期
性
奇
奇函数
偶
性
2
偶函数
xx k
,k
2
R
既无最大值也无最小值
高一数学三角函数综合提升讲义
一．重难点整合：
1. 第一象限角的集合为
k 360
k 360 90 , k
第二象限角的集合为
k 360 90 k 360 180 , k
第三象限角的集合为
k 360 180
k 360 270 , k
第四象限角的集合为
k 360 270
k 360 360 , k
终边在 x 轴上的角的集合为
cos3 ．
解：（ 1） ∵ sin
cos
1 ，(
5
∴ (sin cos ) 2 1 2sin ·cos
∴ sin ·cos
12 0 ． ∴ sin
25
(0， π)) ， 1 ． 25
0 ， cos 0 ．
sin 联合
sin 2
cos cos2
1， 5
1，
整理可得 25sin 2 5sin 12 0 ．