中考数学第21讲 矩形、菱形和正方形

(1)求证：四边形DEBF是平行四边形； (2)当DE＝DF时，求EF的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，∴∠DFO＝∠BEO， 又∵OD＝OB，∠DOF＝∠BOE， ∴△DOF≌△BOE(AAS)，∴DF＝BE，又∵DF∥BE， ∴四边形DEBF是平行四边形；
(2)解：∵DE＝DF，四边形 BEDF 是平行四边形， ∴四边形 BEDF 是菱形，∴DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF，设 AE＝x， 则 DE＝BE＝8－x.在 Rt△ADE 中，根据勾股定理，有 AE2＋AD2＝DE2，∴
数学
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第21讲 矩形、菱形和正方形
1. (2020·襄阳)已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，
下列结论错误的是( B )
A. OA＝OC，OB＝OD B. 当AB＝CD时，四边形ABCD是菱形 C. 当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形 D. 当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
①CQ＝CD； ②四边形 CMPN 是菱形； ③P，A 重合时，MN＝2 5 ； ④△PQM 的面积 S 的取值范围是 3≤S≤5. 其中正确的是___②__③____(把正确结论的序号都填上).
9. (2020·连云港)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂 直平分线与边AD，BC分别相交于点M，N.
例3 (2019·广西北部湾)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于 点O，过点A作2A4H⊥BC于点H，已知BO＝4，S菱形ABCD＝24， 则AH＝______5____.
例4 如图，在平行四边形ABCD中，线段AC的垂直平分线交AC于点 O，分别交BC，AD于点E，F，连接AE，CF.
N，连接 BN.若 BF·AD＝15，tan
∠BNF＝
5 2
，则矩形
ABCD 的面积为
___1_5___5___.
3. (人教八下P55练习2题改编)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于 点O，△OAB是等边三角形，AB＝4.
(1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)求四边形ABCD的面积．
(1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，△AOB 是等边三角形， ∴OA＝OB＝OC＝OD，∴AC＝BD，∴▱ABCD 是矩形； (2)矩形 ABCD 的面积为 16 3 .
上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH 的长为_______23_4__．
8. (2019·咸宁)如图，有一张矩形纸片 ABCD，AB＝4，BC＝8，点 M，N 分别在矩形的边 AD，BC 上，将矩形纸片沿直线 MN 折叠，使点 C 落在矩形 的边 AD 上，记为点 P，点 D 落在 G 处，连接 PC，交 MN 于点 Q，连接 CM. 下列结论：
(1)证明：∵四边形 ABCD 是菱形，∴BD⊥AC，∠DAO＝∠BAO，∵E 是 AD 的中点，∴AE＝OE＝12 AD，
∴∠EAO＝∠AOE，∴∠AOE＝∠BAO，∴OE∥FG， ∵OG∥EF，∴四边形 OEFG 是平行四边形， ∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°， ∴四边形 OEFG 是矩形；
∠OAD＝55°，则∠OAB的度数为(
)A
A. 35° B. 40°
C. 45° D. 50°
例2 (2020·北京)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD 的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF.
(1)求证：四边形OEFG是矩形； (2)若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
(2)解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，∴∠AOD＝90°， ∵E 是 AD 的中点，∴OE＝AE＝12 AD＝5； 由(1)知，四边形 OEFG 是矩形，∴FG＝OE＝5， ∵AE＝5，EF＝4，∴AF＝ AE2－EF2 ＝3， ∴BG＝AB－AF－FG＝10－3－5＝2.
失分点
菱形的判定定理用错 对于“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”这一判定定理，注意其 中两个条件：一是对角线互相垂直；二是平行四边形(即对角线互相平 分)，两条件缺一不可．
4. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，BD＝16， tan ∠ABD＝34 ，则线段 AB 的长为( B )
(2)解：∵由(1)得：EF∥BD， ∴∠G＝∠BDC＝∠ADO， ∴tan G＝tan ∠ADO＝OODA ＝12 ，∴OA＝12 OD，∵BD＝4，∴OD＝ 2，∴OA＝1.
(1)证明：四边形AECF是菱形； (2)在(1)的条件下，如果AC⊥AB，∠B＝30°，AE＝2，求四边形 AECF的面积．
【分析】(1)证△AOF≌△COE(ASA)，得出 AF＝CE，则四边形 AECF 是平行四边形，由 EF⊥AC，得出四边形 AECF 是菱形；
(2)由菱形的性质得出 CE＝AE＝2，OA＝OC，OE＝OF，证 EF∥AB， 由平行线的性质得出∠OEC＝∠B＝30°，由直角三角形的性质得出 OC＝12 CE，OE＝ 3 OC，则 AC＝2OC，EF＝2OE，由菱形面积公式即可得出答案．
2. (2019·绵阳)如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 为菱形，O(0， 0)，A(4，0)，∠AOC＝60°，则对角线交点 E 的坐标为( D )
A. (2， 3 ) B. ( 3 ，2) C. ( 3 ，3) D. (3， 3 )
3. (2020·怀化)在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面 积为2，则矩形ABCD的面积为( C )
(1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE， ∵EF 是线段 AC 的垂直平分线， ∴OA＝OC，EF⊥AC，
在△AOF 和△COE 中，∠OAO＝AFO＝C，∠OCE， ∠AOF＝∠COE，
∵△AOF≌△COE(ASA)，∴AF＝CE， ∵AF∥CE，∴四边形 AECF 是平行四边形， 又∵EF⊥AC，∴四边形 AECF 是菱形；
1. 如图，在矩形 ABCD 中，AB＝3，对角线 AC，BD 相交于点 O，
AE 垂直平分 OB 于点 E，则 AD 的长为( B )
A. 4 B. 3 3 C. 5 D. 5 2
2. (2020·襄阳)如图，在矩形 ABCD 中，E 为边 AB 上一点，将△ADE
沿 DE 折叠，使点 A 的对应点 F 恰好落在边 BC 上，连接 AF 交 DE 于点
x2＋62＝(8－x)2，解得 x＝74 ，∴DE＝8－74 ＝245 ，在 Rt△ABD 中，根据勾
股定理，有 AB2＋AD2＝BD2，∴BD＝ 62＋82 ＝10，∴OD＝12 BD＝5，在
Rt△DOE 中，根据勾股定理，有 DE2－OD2＝OE2，∴OE＝ （245）2－52 ＝
15 4
，∴EF＝2OE＝125
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
4. (2019·黄石)如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的
边AB在x轴上，AB边的中点是坐标原点O，将正方形绕点C按逆时针方向
旋转90°后，点B的对应点B′的坐标是( C )
A．(－1，2) B．(1，4)
C．(3，2)
D．(－1，0)
5. (2020·菏泽)如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形， 那么原来四边形的对角线一定满足的条件是( C )
.
11. (2020·甘肃)如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上， 且∠MAN＝45°.把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE.
(1)求证：△AEM≌△ANM； (2)若BM＝3，DN＝2，求正方形ABCD的边长．
(1)证明：∵△ADN≌△ABE， ∴∠DAN＝∠BAE，DN＝BE， ∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°， ∴∠MAE＝∠BAE＋∠BAM＝∠DAN＋∠BAM＝45°，∴∠MAE＝ ∠MAN， ∵MA＝MA，∴△AEM≌△ANM(SAS)；
A. 7 B. 10 C. 5 D. 2 7
5. (2020·常州)数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主 张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD中，AB＝2， ∠DAB＝120°.如图，建立平面直角坐标系xOy，使得边AB在x轴正半轴 上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是________(2_，__. 3 )
(2)解：设CD＝BC＝x，则CM＝x－3，CN＝x－2， ∵△AEM≌△ANM，∴EM＝MN，∵BE＝DN，∴MN＝BM＋DN＝5， ∵∠C＝90°，∴MN2＝CM2＋CN2，∴25＝(x－2)2＋(x－3)2，解得，x＝6 或x＝－1(舍弃)，∴ຫໍສະໝຸດ Baidu方形ABCD的边长为6.
例1 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD，
(2)解：∵四边形 BNDM 是菱形，BD＝24，MN＝10， ∴BM＝BN＝DM＝DN，OB＝12 BD＝12，OM＝12 MN＝5，在 Rt △BOM 中，由勾股定理得：BM＝ OM2＋OB2 ＝ 52＋122 ＝13， ∴菱形 BNDM 的周长为 4×13＝52.
10. (2019·鄂州)如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角 线BD的中点，过点O的直线分别交AB，CD边于点E，F.
与矩形性质有关的计算 1．若题目中涉及矩形的折叠，要注意折叠前后对应线段相等，即被折叠 的直角与折叠之后在任何位置依旧是直角． 2．矩形四个角都是直角，则想到将所求或涉及的线段放在直角三角形中 ，即常用到勾股定理、特殊角的三角函数值计算． 3．常结合矩形对角线相等且互相平分的性质，故可根据矩形对角线的关 系运用全等三角形的判定或等腰三角形的性质进行求解．
6. (2019·北京)如图，在菱形 ABCD 中，AC 为对角线，点 E，F 分别 在 AB，AD 上，BE＝DF，连接 EF.
(1)求证：AC⊥EF； (2)延长 EF 交 CD 的延长线于点 G，连接 BD 交 AC 于点 O.若 BD＝ 4，tan G＝12 ，求 AO 的长．
(1)证明：连接BD交AC于点O，如解图，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝ AD，AC⊥BD，OB＝OD，∵BE＝DF，∴AB∶BE＝AD∶DF， ∴EF∥BD，∴AC⊥EF；
A. 互相平分 B. 相等 C. 互相垂直 D. 互相垂直平分
6. (2020·哈尔滨)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在 线段BO上，连接AE，若CD＝2BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则线段AE 的长为______2__2__.
7. (2018·青岛)如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在AD，DC
(1)求证：四边形BNDM是菱形； (2)若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长．
(1)证明：∵AD∥BC，∴∠DMO＝∠BNO，∵MN 是对角线 BD 的垂直 平分线，∴OB＝OD，MN⊥BD，在△MOD 和△NOB 中，
∠∠MDMODO＝＝∠∠BNNOOB，， OD＝OB，
∴△MOD≌△NOB(AAS)，∴OM＝ON，∵OB＝OD， ∴四边形 BNDM 是平行四边形，∵MN⊥BD，∴四边形 BNDM 是菱形；
(2)解：由(1)得：四边形 AECF 是菱形，EF⊥AC， ∴CE＝AE＝2，OA＝OC，OE＝OF， ∵AC⊥AB，∴EF∥AB，∴∠OEC＝∠B＝30°，
∴OC＝12 CE＝1，OE＝ 3 OC＝ 3 ， ∴AC＝2OC＝2，EF＝2OE＝2 3 ， ∴S 四边形 AECF＝12 AC·EF＝12 ×2×2 3 ＝2 3 .
【分析】(1)根据菱形的性质得到 BD⊥AC，∠DAO＝∠BAO，得到 AE ＝OE＝12 AD，推出 OE∥FG，求得四边形 OEFG 是平行四边形，根据矩 形的判定定理即可得到结论；(2)根据菱形的性质得到 BD⊥AC，AB＝AD ＝10，得到 OE＝AE＝12 AD；由(1)知，四边形 OEFG 是矩形，求得 FG＝ OE，根据勾股定理得到 AF，从而得到结论．