2015年湖南省长沙市中考数学试题及解析
2015年长沙市初中毕业生学业考试数学训练试卷(12)
2015年长沙市初中毕业生学业考试数学训练试卷(12)一．选择题（每题3分，共36分）1.下列运算准确是（ ）. A ．632aa = B.()22323-=-⨯ C.21a a a= D.1882-= 2.如图，数轴上A B 、两点对应的实数分别是1和3，若点A 关于点B 的对称点为点C ，则点C 所对应的实数为（ ）.A.231-B.13+C.23+D.231+3.关于x 的一元二次方程2620x x k -+=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）.A.92k ≤B.92k <C. 92k ≥D. 92k > 4.如图，雷达探测器测得六个目标A B C D E F 、、、、、出现.按照规定 的目标表示方法，目标C F 、的位置表示为()()61205210.C F ，°、，°按照此方法在表示目标A B D E 、、、的位置时，其中表示不准确的是（ ）.A ．()530A ，° B. ()290B ，° C. ()4240D ，° D. ()360E ，°第7题图5.阳光公司销售一种进价为21元的电子产品，按标价的九折销售，仍可 获得20%，则这种电子产品的标价为( )A. 26元B. 27元C. 28元D. 29元6、若一元二次方程0632=++-m x x 的一个根为31=x ，则该方程的另一个根是( ) A 、12-=x B 、32-=x C 、52-=x D 、52=x7、随机抽取九年级某班10位同学的年龄情况为：17岁1人，16岁5人，15岁2人，14岁2人。
则这10位同学的年龄的中位数和平均数分别是（单位：岁）( ) A 、16和15 B 、16和15.5 C 、16和16 D 、15.5和15.5 8.下面四个几何体中，主视图与其它几何体的主视图不同的是（ ）A. B. C. D.9.已知函数21y x =与函数2132y x =-+的图象大致如图.若12y y <，则自变量x的取值范围是（ ）.A ．322x -<< B. 322x x ><-或 C. 322x -<< D. 322x x <->或 10.如图3，四边形OABC 为菱形，点A B 、在以点O 为圆心的DE 上，若312OA =∠=∠，，则扇形ODE 的面积为( ) A.3π2 B. 2π C.5π2D. 3π 11.将边长为3cm 的正三角形各边三等分，以这六个分点为顶点构成 一个正六边形，则这个正六边形的面积为( ) A.332cm 2 B.334cm 2 C.338cm 2 D.33cm 212.如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到的.矩形ABCD 沿EF 对开后，再把矩形EFCD 沿MN 对开，依此类推.若各种开本的矩形都相似，那么ABAD等于（ ）. A ．0.618 B. 2C. 2D. 2二、填空题：(每题3分共24分)13.不等式642-<x x 的解集为 ．14.将121222--=x x y 变为n m x a y +-=2)(的形式，则n m ⋅=________。
2015年湖南省长沙市中考数学试卷解析
2015年湖南省长沙市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）（2015•长沙）下列实数中，为无理数的是（）A．0.2 B．C．D．﹣5【考点】M116 无理数．【分析】∵﹣5是整数，∴﹣5是有理数；∵0.2是有限小数，∴0.2是有理数；∵，0.5是有限小数，∴是有理数；∵是无限不循环小数，∴是无理数．【难度】容易题【解答】C．【点评】本题重点考查了无理数和有理数的概念，较为简单，熟练掌握概念是解答本题的关键．2．（3分）（2015•长沙）下列运算中，正确的是（）A．x3+x=x4B．（x2）3=x6 C．3x﹣2x=1 D．（a﹣b）2=a2﹣b2【考点】M11Q 幂的乘方M11R 积的乘方M11U 合并同类项M11L 完全平方公式和平方差公式．【分析】A、x3与x不能合并，错误；B、（x2）3=x6，正确；C、3x﹣2x=x，错误；D、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，错误；【难度】容易题【解答】B．【点评】本题重点考查了幂的乘方、积的乘方、合并同类项以及完全平方公式，比较简单，解题关键是根据法则进行计算．3．（3分）（2015•长沙）2014年，长沙地铁2号线的开通运营，极大地缓解了城市中心的交通压力，为我市再次获评“中国最具幸福感城市”提供了有力支撑，据统计，长沙地铁2号线每天承动力约为185000人次，则数据185000用科学记数法表示为（）A．1.85×105B．1.85×104C．1.8×105D．18.5×104【考点】M11D 科学记数法【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．所以将185000用科学记数法表示为1.85×105．【难度】容易题【解答】A．【点评】本题主要考查了科学记数法，较为简单，解题关键是要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）（2015•长沙）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A． B．C． D．【考点】M411 中心对称图形及轴对称图形．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义可直接得到答案．A、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确；C、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误；D、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误；【难度】容易题【解答】B．【点评】本题重点考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，比较简单，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，而轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．5．（3分）（2015•长沙）下列命题中，为真命题的是（）A．六边形的内角和为360度B．多边形的外角和与边数有关C．矩形的对角线互相垂直 D．三角形两边的和大于第三边【考点】M511 命题、定理和证明M331 多边形的内（外）角和M322 三角形三边的关系M333 矩形的性质与判定．【分析】A、六边形的内角和为720°，错误；B、多边形的外角和与边数无关，都等于360°，错误；C、矩形的对角线相等，错误；D、三角形的两边之和大于第三边，正确；【难度】容易题【解答】D．【点评】本题重点考查了命题的真假性，同时考查了矩形的性质、多边形的内外角和以及三角形三边关系，较为简单，灵活运用相关知识是解题关键．6．（3分）（2015•长沙）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（）A．B．C．D．【考点】M12M 在数轴上表示不等式（组）的解集；M12J 解一元一次不等式（组）．【分析】由x+2＞0得x＞﹣2，由2x﹣6≤0，得x≤3，把解集画在数轴上为：【难度】容易题【解答】A．【点评】本题重点考查了在数轴上表示不等式组的解集以及解一元一次不等式组等知识，比较简单，需要注意的是在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．7．（3分）（2015•长沙）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售【考点】M212 平均数、方差和标准差M214 中位数、众数．【分析】∵众数体现数据的最集中的一点，这样可以确定进货的数量，∴鞋店最喜欢的是众数．【难度】容易题【解答】C．【点评】本题重点考查了平均数、中位数、众数、方差的意义，主要是众数的意义，比较简单，需要考生对统计量合理的选择和恰当的运用．8．（3分）（2015•长沙）下列说法中正确的是（）A．“打开电视机，正在播放《动物世界》”是必然事件B．某种彩票的中奖概率为，说明每买1000张，一定有一张中奖C．抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为D．想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平，宜采用抽样调查【考点】M224 概率的意义、应用；M213 普查、调查；M221 事件；M222 概率的计算．【分析】A、“打开电视机，正在播放《动物世界》”是随机事件，故A错误；B、某种彩票的中奖概率为，说明每买1000张，有可能中奖，也有可能不中奖，故B 错误；C、抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为，故C错误；D、想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平，宜采用抽样调查，故D正确；【难度】容易题【解答】D．【点评】本题综合考查了概率的应用、全面调查与抽样调查、事件以及概率的计算等知识点，较为简单，全面掌握概率的相关知识点是解题关键．9．（3分）（2015•长沙）一次函数y=﹣2x+1的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】M142 一次函数的的图象、性质．【分析】∵一次函数y=﹣2x+1中k=﹣2＜0，b=1＞0，∴此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．【难度】容易题【解答】C．【点评】本题重点考查的是一次函数的的图象、性质，较为简单，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＞0时，函数图象经过一、二、四象限．10．（3分）（2015•长沙）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A．B．C．D．【考点】M324 三角形高线、中线、角平分线、三边的垂直平分线．【分析】根据高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，可知，为△ABC中BC边上的高的是A选项．【难度】容易题【解答】A．【点评】本题重点考查了三角形高线的定义，比较简单，熟记定义是解题的关键．11．（3分）（2015•长沙）如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为（）A．米 B．30sinα米 C．30tanα米 D．30cosα米【考点】M32E 解直角三角形M31D 俯角、仰角、坡角、方向角M32C 锐角三角函数．【分析】在Rt△ABO中，∵BO=30米，∠ABO为α，∴AO=BOtanα=30tanα（米）．【难度】容易题【解答】C．【点评】本题重点考查了解直角三角形的应用、锐角三角函数以及仰角等知识点，较为简单，解答本题的关键是根据已知量构造直角三角形．12．（3分）（2015•长沙）长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利润500元，其利润率为20%．现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为（）A．562.5元B．875元C．550元D．750元【考点】M12F 解二元一次方程组M12G 二元一次方程组的应用．【分析】设该商品的进价为x元，标价为y元，由题意得，解得：x=2500，y=3750．则3750×0.9﹣2500=875（元）．【难度】容易题【解答】B．【点评】本题重点考查二元一次方程在解决实际问题中的运用，较为简单，掌握销售中的基本数量关系是解题关键．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）（2015•长沙）一个不透明的袋子中只装有3个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的条件下，随机从袋中摸出1个球，则摸出白球的概率是．【考点】M222 概率的计算M224 概率的意义、应用．【分析】∵一个不透明的袋子中只装有3个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别，∴随机从袋中摸出1个球，则摸出白球的概率是：=．【难度】容易题【解答】．【点评】本题重点考查了概率的计算，较为简单，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解题关键．14．（3分）（2015•长沙）圆心角是60°且半径为2的扇形面积为（结果保留π）．【考点】M343 扇形、弓形．【分析】由扇形面积公式得：S==π．【难度】容易题【解答】π．【点评】本题重点考查了扇形面积公式的应用，较为简单，牢记扇形的面积公式S=是解题关键．15．（3分）（2015•长沙）把+进行化简，得到的最简结果是（结果保留根号）．【考点】M11J 二次根式混合运算M11E 二次根式的化简．【分析】先进行二次根式的化简，然后合并．所以原式=+=2．【难度】容易题【解答】2．【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，也涉及到了二次根式的化简，较为简单，解答本题的关键是掌握二次根式的性质．16．（3分）（2015•长沙）分式方程=的解是x=．【考点】M12B 解可化为一元一次方程的分式方程．【分析】去分母，得5（x﹣2）=7x，解得：x=﹣5，经检验：x=﹣5是原方程的解．【难度】容易题【解答】﹣5．【点评】本题主要考查了可化为一元一次方程的分式方程的具体解法，即两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程来进行解答，较为简单，须注意要进行验根．17．（3分）（2015•长沙）如图，在△ABC中，DE∥BC，，DE=6，则BC的长是．【考点】M31E 平行线分线段成比例定理．【分析】∵DE∥BC，∴DE：BC=AD：AB=，即6：BC=1：3，∴BC=18．【难度】容易题【解答】18．【点评】本题重点考查了平行线分线段成比例定理，较为简单，解题关键是掌握平行线分线段对应成比例定理．18．（3分）（2015•长沙）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为．【考点】M34B 垂径定理及其推论；M32B 勾股定理．【分析】∵OD⊥BC，∴BD=CD=BC=3，∵OB=AB=5，∴OD==4．【难度】中等题【解答】4．【点评】本题重点考查了垂径定理以及勾股定理，难度适中，熟练掌握三角形与圆的基础知识是解题关键．三、解答题（共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，满分66分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）19．（6分）（2015•长沙）计算：（）﹣1+4cos60°﹣|﹣3|+．【考点】M11A 实数的混合运算；M11O 指数幂；M32D 特殊角三角函数的值；M113 绝对值．【分析】先将每一项的值算出来，第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用算术平方根定义计算，然后再进行实数的运算即可得到结果．【难度】容易题【解答】解：原式=2+4×﹣3+3=4．（6分）【点评】本题是一道计算题，考查了考生的计算功底，做计算类题型时一定要细心运算，防止粗心大意，解决本题的关键是熟练掌握指数幂、特殊角三角函数的值以及绝对值等考点的运算．20．（6分）（2015•长沙）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）+2xy，其中x=（3﹣π）0，y=2．【考点】M11G 整式运算M11O 指数幂M11L 完全平方公式和平方差公式M11U 合并同类项．【分析】首先将原式化简，去括号，合并同类项，最后把x=1，y=2代入化简式进行计算即可．【难度】容易题【解答】解：（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）+2xy=x2﹣y2﹣x2﹣xy+2xy=xy﹣y2，（4分）∵x=（3﹣π）0=1，y=2，∴原式=2﹣4=﹣2．（6分）【点评】本题重点考查了整式运算的知识，比较简单，掌握平方差公式、指数幂以及整式的运算法则是解题关键．21．（8分）（2015•长沙）中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图（1）a=，b=；（2）请补全频数分布直方图；（3）这次比赛成绩的中位数会落在分数段；（4）若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人？【考点】M217 频数（率）分布（表）直方图；M211 总体、个体、样本、容量；M214 中位数、众数．【分析】（1）观察表格，可知第一组的频数是10，频率是0.05，求得数据总数，再用数据总数乘以第四组频率可得a的值，用第三组频数除以数据总数可得b的值；（2）由第（1）问的结果即可补全频数分布直方图；（3）根据中位数的定义，将这组数据按照从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数据（或中间两数据的平均数）即为中位数；（4）利用总数3000乘以“优”等学生的所占的频率即可．【难度】中等题【解答】解：（1）样本容量是：10÷0.05=200，a=200×0.30=60，b=30÷200=0.15；（2分）（2）补全频数分布直方图，如下：（4分）（3）一共有200个数据，按照从小到大的顺序排列后，第100个与第101个数据都落在第四个分数段，所以这次比赛成绩的中位数会落在80≤x＜90分数段；（6分）（4）3000×0.40=1200（人）．即该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等的大约有1200人．故答案为60，0.15；80≤x＜90；1200．(8分)【点评】本题重点考查了频数分布表、频数分布直方图、利用样本估计总体以及中位数的定义，难度适中，需要考生有一定的读图能力，同时要注意的是，从统计图获取信息时，一定要认真观察、分析、研究统计图．22．（8分）（2015•长沙）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，对角线AC、BD 相交于点O，将对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）后得直线l，直线l与AD、BC两边分别相交于点E和点F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）当α=30°时，求线段EF的长度．【考点】M334 菱形的性质与判定；M32A 全等三角形性质与判定；M413 图形的平移与旋转M32E 解直角三角形M32D 特殊角三角函数的值．【分析】（1）要证△AOE≌△COF，首先证明AE=CF，OE=OF，结合AO=CO，利用SSS 证明△AOE≌△COF；（2）结合题意，先画出α=30°时的图形，由菱形的性质得到EF⊥AD，在Rt△AEO中可求出OE的长，从而得到EF的长．【难度】中等题【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AO=OC，∴，∴AE=CF，OE=OF，（2分）在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF．（4分）（2）当α=30°时，即∠AOE=30°，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴∠OAD=60°，∴∠AEO=90°，在Rt△AOB中，sin∠ABO===，∴AO=1，（6分）在Rt△AEO中，cos∠AOE=cos30°==，∴OE=，∴EF=2OE=．（8分）【点评】本题重点考查了全等三角形性质与判定、旋转图形的性质、菱形的性质以及解三角形的知识，难度适中，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定．23．（9分）（2015•长沙）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？【考点】M129 一元二次方程的应用；M126 解一元二次方程；M12K 一元一次不等式（组）的应用．【分析】（1）题目要求的是该快递公司投递总件数的月平均增长率，直接设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可；（2）结合题意，首先求出今年6月份的快递投递任务，再求出21名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较得出该公司不能完成今年6月份的快递投递任务，进而求出至少需要增加业务员的人数．【难度】中等题【解答】解：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意得10（1+x）2=12.1，解得x1=0.1，x2=﹣2.1（不合题意舍去）．答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；（4分）（2）今年6月份的快递投递任务是12.1×（1+10%）=13.31（万件）．∵平均每人每月最多可投递0.6万件，∴21名快递投递业务员能完成的快递投递任务是：0.6×21=12.6＜13.31，∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务∴需要增加业务员（13.31﹣12.6）÷0.6=1≈2（人）．（8分）答：该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加2名业务员．(9分)【点评】本题是一道应用题，主要考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，难度适中，解答此类题型的关键是要学会在题目中找到合适的等量关系并列出方程解答，须注意的是应用题一定要作答．24．（9分）（2015•长沙）如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，﹣），点D在劣弧上，连接BD交x轴于点C，且∠COD=∠CBO．（1）求⊙M的半径；（2）求证：BD平分∠ABO；（3）在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰好为⊙M的切线，求此时点E的坐标．【考点】M342 弦、直径、弧M139 两点之间的距离M344 圆心角与圆周角M318 角平分线的性质与判定M328 等边三角形性质与判定M32D 特殊角三角函数的值M329 直角三角形性质与判定M32B 勾股定理M13B 坐标与图形变化．【分析】（1）要求⊙M的半径，可以先求出直径AB的长，由点A（，0）与点B（0，﹣），可求得线段AB，然后由∠AOB=90°，可得AB是直径，继而求得⊙M的半径；（2）要证BD平分∠ABO，即是证∠ABC=∠CBO，由圆周角定理可得：∠COD=∠ABC，又由∠COD=∠CBO，即可得∠ABC=∠CBO；（3）结合题意，首先过点A作AE⊥AB，交BD的延长线于点E，过点E作EF⊥OA于点F，可得△AEC是等边三角形，再接着求得EF与AF的长，则可求得点E的坐标．【难度】中等题【解答】解：（1）∵点A（，0）与点B（0，﹣），∴OA=，OB=，∴AB==2，∵∠AOB=90°，∴AB是直径，∴⊙M的半径为：；（3分）（2）∵∠COD=∠CBO，∠COD=∠CBA，∴∠CBO=∠CBA，即BD平分∠ABO；（6分）（3）如图，过点A作AE⊥AB，垂足为A，交BD的延长线于点E，过点E作EF⊥OA于点F，即AE是切线，∵在Rt△AOB中，tan∠OAB===，∴∠OAB=30°，∴∠ABO=90°﹣∠OAB=60°，∴∠ABC=∠OBC=∠ABO=30°，∴OC=OB•tan30°=×=，∴AC=OA﹣OC=，∴∠ACE=∠ABC+∠OAB=60°，∴∠EAC=60°，∴△ACE是等边三角形，（7分）∴AE=AC=，∴AF=AE=，EF=AE=，∴OF=OA﹣AF=，∴点E的坐标为：（，）．（9分）【点评】本题重点考查了圆周角定理、角平分线的性质与判定、等边三角形性质与判定、特殊角三角函数的值、直角三角形性质与判定、勾股定理以及坐标与图形变化等众多知识点，难度适中，三角形与圆的综合题属于中考常考知识点，需要考生牢牢掌握相关性质来解题，解题关键在于正确地作出辅助线．25．（10分）（2015•长沙）在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之（1）求函数y=x+2的图象上所有“中国结”的坐标；（2）若函数y=（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k的值与相应“中国结”的坐标；（3）若二次函数y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k为常数）的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？【考点】M116 无理数M137 不同位置的点的坐标的特征M152 反比例函数的的图象、性质M162 二次函数的的图象、性质【分析】（1）首先明确横坐标，纵坐标均为整数的点为“中国结”，所以x是整数，当x≠0时，x是一个无理数，x≠0时，x+2不是整数，所以x=0，y=2，据此求出函数y=x+2的图象上所有“中国结”的坐标即可．（2）联系题意，首先判断出当k=1时，函数y=（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，1）、（﹣1、﹣1）；当k=﹣1时，函数y=（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”（1，﹣1）、（﹣1，1），再判断出当k≠±1时，函数y=（k≠0，k为常数）的图象上最少有4个“中国结”，据此求出常数k的值与相应“中国结”的坐标即可．（3）此问有一定难度，先令（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k=0，则[（k﹣1）x+k][（k ﹣2）x+（k﹣1）]=0，求出x1、x2的值；再根据x1、x2的值是整数，求出k的值；最后根据横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”，判断出该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”即可．【难度】较难题【解答】解：（1）∵x是整数，x≠0时，x是一个无理数，∴x≠0时，x+2不是整数，∴x=0，y=2，即函数y=x+2的图象上“中国结”的坐标是（0，2）．（3分）（2）①当k=1时，函数y=（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，1）、（﹣1、﹣1）；②当k=﹣1时，函数y=（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，﹣1）、（﹣1，1）．③当k≠±1时，函数y=（k≠0，k为常数）的图象上最少有4个“中国结”：（1，k）、（﹣1，﹣k）、（k，1）、（﹣k，﹣1），这与函数y=（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”矛盾，综上可得，k=1时，函数y=（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，1）、（﹣1、﹣1）；k=﹣1时，函数y=（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，﹣1）、（﹣1、1）．（6分）（3）令（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k=0，则[（k﹣1）x+k][（k﹣2）x+（k﹣1）]=0，∴∴k=，整理，可得x1x2+2x2+1=0，∴x2（x1+2）=﹣1，∵x1、x2都是整数，∴或∴或①当时，∵，∴k=；②当时，∵，∴k=k﹣1，无解；综上，可得k=，x1=﹣3，x2=1，y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k=[2﹣3×+2]x2+[2×（）2﹣4×+1]x+（）2﹣=﹣x2﹣x①当x=﹣2时，y=﹣x2﹣x=×（﹣2）2×（﹣2）+=②当x=﹣1时，y=﹣x2﹣x=×（﹣1）2×（﹣1）+=1③当x=0时，y=，另外，该函数的图象与x轴所围成的平面图形中x轴上的“中国结”有3个：（﹣2，0）、（﹣1、0）、（0，0）．综上，可得若二次函数y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k为常数）的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”，该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有6个“中国结”：（﹣3，0）、（﹣2，0）、（﹣1，0）（﹣1，1）、（0，0）、（1，0）．（10分）【点评】本题重点考查了反比例函数问题，同时也考查了二次函数的的图象、性质，有一定难度，解题过程中要注意分类讨论思想的应用，明确横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”是解题关键，熟练掌握反比例函数的图象和性质也有助于解题．26．（10分）（2015•长沙）若关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a＞0，c＞0，a，b，c是常数）与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），与y轴交于点P，其图象顶点为点M，点O为坐标原点．（1）当x1=c=2，a=时，求x2与b的值；（2）当x1=2c时，试问△ABM能否为等边三角形？判断并证明你的结论；（3）当x1=mc（m＞0）时，记△MAB，△PAB的面积分别为S1，S2，若△BPO∽△PAO，且S1=S2，求m的值．【考点】M162 二次函数的的图象、性质M126 解一元二次方程M127 一元二次方程根与系数的关系M328 等边三角形性质与判定M32H 相似三角形性质与判定M325 三角形的面积、周长M137 不同位置的点的坐标的特征．直接设ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，将a、c值代入得：【分析】（1）已知x1=c=2，a=，x2+bx+2=0，根据x1=2是它的一个根，求出b，再根据x2﹣x+2=0，即可求出另一个根，（2）当x1=2c时，求出x2=，得到b=﹣（2ac+），4ac=﹣2b﹣1，根据M的坐标为（﹣，），得出当△ABM为等边三角形时||=（﹣2c），求得b1=﹣1，b2=2﹣1（舍去），最后根据4ac=﹣2b﹣1=1，得出2c=，A、B重合，所以△ABM不可能为等边三角形；（3）由△BPO∽△PAO，得=，ac=1，根据S1=S2得到b2=4a•2c=8ac=8，求出b=﹣2，最后根据x2﹣2x+c=0得出x=（﹣1）c，从而求出m．【难度】容易题【解答】解：（1）设ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，把a=，c=2代入得：x2+bx+2=0，∵x1=2是它的一个根，∴×22+2b+2=0，（1分）解得：b=﹣，（2分）∴方程为：x2﹣x+2=0，∴另一个根为x2=3；（3分）（2）当x1=2c时，x2==，此时b=﹣a（x1+x2）=﹣（2ac+），4ac=﹣2b﹣1，∵M（﹣，），当△ABM为等边三角形时||=AB，即||=（﹣2c），∴||=•，（4分）∴b2+2b+1=（1+2b+1），解得：b1=﹣1，b2=2﹣1（舍去），此时4ac=﹣2b﹣1=1，即2c=，A、B重合，∴△ABM不可能为等边三角形；（6分）（3）∵△BPO∽△PAO，∴=，即x1x2=c2=，∴ac=1，由S1=S2得c=||=﹣c，∴b2=4a•2c=8ac=8，∴b1=﹣2，b2=2（舍去），（8分）方程可解为x2﹣2x+c=0，∴x1===（﹣1）c，∴m=﹣1．（10分）【点评】本题综合性较强，主要考查了二次函数的的图象、性质、一元二次方程根与系数的关系、等边三角形性质与判定、相似三角形的性质、三角形的面积以及不同位置的点的坐标的特征等众多知识点，难度较大，解题关键是学会运用数形结合的思想，同时也要注意把不符合题意的解舍去．。
2015年长沙中考数学模拟试卷------全8套
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45
（2）若商店计划投入资金少于 4 000 元，
且销售完这批商品后获利多于 1 135 元，请问有哪几种购货方案？并指出获利最
大的购货方案.
24．如图，已知以 Rt△ABC 的直角边 AB 为直径作⊙O 与斜边 AC 交于点 D， E 为 BC 边的中点，连接 DE． （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）连接 OE，当∠CAB 为何值时，四边形 AOED 是平行四 边形？ （3）请在（2）的条件下探索 OBED 的形状.
25．已知：如图①，在 Rt△ACB 中，C 90 ， AC 4 cm ， BC 3 cm ，点 P 由 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动，速度为 1 cm/s；点 Q 由 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动， 速度为 2 cm/s；连接 PQ ．若设运动的时间为 t(s) （ 0 t 2 ），解答下列问题：
考证号、考室和座位号； 2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6、本学科试卷共 26 个小题，考试时量 120 分钟，满分 120 分。
16．如图，在△ABC 中，点 E、F 分别为 AB、AC 的中点．若 EF 的长为 2，则 BC 的长为
___________．
第 16 题图
第 17 题图
第 18 题图
17．如图，等腰△ABC 的周长为 27 cm，底边 BC＝7 cm，AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点
D，交 AC 于点 E，则△BEC 的周长为
C．2a＋1
2015年湖南省长沙市中考数学试题与解析
2015年湖南省长沙市中考数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）3．（3分）（2015•长沙）2014年，长沙地铁2号线的开通运营，极大地缓解了城市中心的交通压力，为我市再次获评“中国最具幸福感城市”提供了有力支撑，据统计，长沙地铁2号线B6．（3分）（2015•长沙）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（ ）B7．（3分）（2015•长沙）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售某种彩票的中奖概率为，说明每买抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为10．（3分）（2015•长沙）如图，过△ABC 的顶点A ，作BC 边上的高，以下作法正确的是 B11．（3分）（2015•长沙）如图，为测量一棵与地面垂直的树OA 的高度，在距离树的底端30米的B 处，测得树顶A 的仰角∠ABO 为α，则树OA 的高度为（ ）米B 12．（3分）（2015•长沙）长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利润500元，其利润率为20%．现如果按同一标价打九折销售该电器二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 13．（3分）（2015•长沙）一个不透明的袋子中只装有3个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的条件下，随机从袋中摸出1个球，则摸出白球的概率是 ． 14．（3分）（2015•长沙）圆心角是60°且半径为2的扇形面积为 （结果保留π）．15．（3分）（2015•长沙）把+进行化简，得到的最简结果是 （结果保留根号）．16．（3分）（2015•长沙）分式方程=的解是x= ．17．（3分）（2015•长沙）如图，在△ABC中，DE∥BC，，DE=6，则BC的长是．18．（3分）（2015•长沙）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为．三、解答题（共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，满分66分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）19．（6分）（2015•长沙）计算：（）﹣1+4cos60°﹣|﹣3|+．20．（6分）（2015•长沙）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）+2xy，其中x=（3﹣π）0，y=2．21．（8分）（2015•长沙）中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图（1）a=，b=；（2）请补全频数分布直方图；（3）这次比赛成绩的中位数会落在分数段；（4）若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人？22．（8分）（2015•长沙）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，对角线AC、BD 相交于点O，将对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）后得直线l，直线l与AD、BC两边分别相交于点E和点F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）当α=30°时，求线段EF的长度．23．（9分）（2015•长沙）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？24．（9分）（2015•长沙）如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，﹣），点D在劣弧上，连接BD交x轴于点C，且∠COD=∠CBO．（1）求⊙M的半径；（2）求证：BD平分∠ABO；（3）在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰好为⊙M的切线，求此时点E的坐标．25．（10分）（2015•长沙）在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”．（1）求函数y=x+2的图象上所有“中国结”的坐标；（2）若函数y=（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k的值与相应“中国结”的坐标；（3）若二次函数y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k为常数）的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？26．（10分）（2015•长沙）若关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a＞0，c＞0，a，b，c是常数）与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），与y轴交于点P，其图象顶点为点M，点O为坐标原点．（1）当x1=c=2，a=时，求x2与b的值；（2）当x1=2c时，试问△ABM能否为等边三角形？判断并证明你的结论；（3）当x1=mc（m＞0）时，记△MAB，△PAB的面积分别为S1，S2，若△BPO∽△PAO，且S1=S2，求m的值．2015年湖南省长沙市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）是有理数；3．（3分）（2015•长沙）2014年，长沙地铁2号线的开通运营，极大地缓解了城市中心的交通压力，为我市再次获评“中国最具幸福感城市”提供了有力支撑，据统计，长沙地铁2号线B6．（3分）（2015•长沙）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（）B，再分别表示在数轴上即可得7．（3分）（2015•长沙）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售，说明每买、某种彩票的中奖概率为，说明每买、抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为，故10．（3分）（2015•长沙）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是B11．（3分）（2015•长沙）如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为（）B米12．（3分）（2015•长沙）长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利润500元，其利润率为20%．现如果按同一标价打九折销售该电器二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）（2015•长沙）一个不透明的袋子中只装有3个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的条件下，随机从袋中摸出1个球，则摸出白球的概率是．个球，则摸出白球的概率是：=故答案为：．14．（3分）（2015•长沙）圆心角是60°且半径为2的扇形面积为π（结果保留π）．S=π故答案为：π．15．（3分）（2015•长沙）把+进行化简，得到的最简结果是2（结果保留根号）．．16．（3分）（2015•长沙）分式方程=的解是x=﹣5．17．（3分）（2015•长沙）如图，在△ABC中，DE∥BC，，DE=6，则BC的长是18．，18．（3分）（2015•长沙）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为4．BD=CD=AB=5=4三、解答题（共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，满分66分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）19．（6分）（2015•长沙）计算：（）﹣1+4cos60°﹣|﹣3|+．×﹣20．（6分）（2015•长沙）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）+2xy，其中x=（3﹣π）0，y=2．21．（8分）（2015•长沙）中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图（1）a=60，b=0.15；（2）请补全频数分布直方图；（3）这次比赛成绩的中位数会落在80≤x＜90分数段；（4）若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人？22．（8分）（2015•长沙）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，对角线AC、BD 相交于点O，将对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）后得直线l，直线l与AD、BC两边分别相交于点E和点F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）当α=30°时，求线段EF的长度．==，==，EF=2OE=23．（9分）（2015•长沙）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？≈24．（9分）（2015•长沙）如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，﹣），点D在劣弧上，连接BD交x轴于点C，且∠COD=∠CBO．（1）求⊙M的半径；（2）求证：BD平分∠ABO；（3）在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰好为⊙M的切线，求此时点E的坐标．，），，﹣），，=2的半径为：OAB==，OBC=∠×=，AE=EF=AE=，，25．（10分）（2015•长沙）在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”．（1）求函数y=x+2的图象上所有“中国结”的坐标；（2）若函数y=（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k的值与相应“中国结”的坐标；（3）若二次函数y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k为常数）的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？x时，x+2y=（y=x时，x+2y=y=（（（y=，；，=[×+2）×）﹣x xx x2×x x2×，26．（10分）（2015•长沙）若关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a＞0，c＞0，a，b，c是常数）与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），与y轴交于点P，其图象顶点为点M，点O为坐标原点．（1）当x1=c=2，a=时，求x2与b的值；（2）当x1=2c时，试问△ABM能否为等边三角形？判断并证明你的结论；（3）当x1=mc（m＞0）时，记△MAB，△PAB的面积分别为S1，S2，若△BPO∽△PAO，且S1=S2，求m的值．代入得：x，再根据﹣，得出2ac+，为等边三角形时（﹣﹣，，得出，2x2（，代入得：x×，∴方程为：x x+2=0=2ac+（﹣）|AB=﹣=，+2b+1==2，=，﹣2=2方程可解为x x+c=0=﹣。
2015年湖南省长沙市中考数学试题及
2015年湖南省长沙市中考数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）3．（3分）（2015•长沙）2014年，长沙地铁2号线的开通运营，极大地缓解了城市中心的交通压力，为我市再次获评“中国最具幸福感城市”提供了有力支撑，据统计，长沙地铁2号线B6．（3分）（2015•长沙）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（ ）B7．（3分）（2015•长沙）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售，说明每买10．（3分）（2015•长沙）如图，过△ABC 的顶点A ，作BC 边上的高，以下作法正确的是 B11．（3分）（2015•长沙）如图，为测量一棵与地面垂直的树OA 的高度，在距离树的底端30米的B 处，测得树顶A 的仰角∠ABO 为α，则树OA 的高度为（ ）米B 12．（3分）（2015•长沙）长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利润500元，其利润率为20%．现如果按同一标价打九折销售该电器二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 13．（3分）（2015•长沙）一个不透明的袋子中只装有3个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的条件下，随机从袋中摸出1个球，则摸出白球的概率是 ． 14．（3分）（2015•长沙）圆心角是60°且半径为2的扇形面积为 （结果保留π）．15．（3分）（2015•长沙）把+进行化简，得到的最简结果是 （结果保留根号）．16．（3分）（2015•长沙）分式方程=的解是x= ．17．（3分）（2015•长沙）如图，在△ABC中，DE∥BC，，DE=6，则BC的长是．18．（3分）（2015•长沙）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为．三、解答题（共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，满分66分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）19．（6分）（2015•长沙）计算：（）﹣1+4cos60°﹣|﹣3|+．20．（6分）（2015•长沙）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）+2xy，其中x=（3﹣π）0，y=2．21．（8分）（2015•长沙）中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图（1）a=，b=；（2）请补全频数分布直方图；（3）这次比赛成绩的中位数会落在分数段；（4）若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人？22．（8分）（2015•长沙）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，对角线AC、BD 相交于点O，将对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）后得直线l，直线l与AD、BC两边分别相交于点E和点F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）当α=30°时，求线段EF的长度．23．（9分）（2015•长沙）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？24．（9分）（2015•长沙）如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，﹣），点D在劣弧上，连接BD交x轴于点C，且∠COD=∠CBO．（1）求⊙M的半径；（2）求证：BD平分∠ABO；（3）在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰好为⊙M的切线，求此时点E的坐标．25．（10分）（2015•长沙）在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”．（1）求函数y=x+2的图象上所有“中国结”的坐标；（2）若函数y=（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k的值与相应“中国结”的坐标；（3）若二次函数y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k为常数）的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？26．（10分）（2015•长沙）若关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a＞0，c＞0，a，b，c是常数）与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），与y轴交于点P，其图象顶点为点M，点O为坐标原点．（1）当x1=c=2，a=时，求x2与b的值；（2）当x1=2c时，试问△ABM能否为等边三角形？判断并证明你的结论；（3）当x1=mc（m＞0）时，记△MAB，△PAB的面积分别为S1，S2，若△BPO∽△PAO，且S1=S2，求m的值．2015年湖南省长沙市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）是有理数；3．（3分）（2015•长沙）2014年，长沙地铁2号线的开通运营，极大地缓解了城市中心的交通压力，为我市再次获评“中国最具幸福感城市”提供了有力支撑，据统计，长沙地铁2号线B6．（3分）（2015•长沙）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（）B，再分别表示在数轴上即可得7．（3分）（2015•长沙）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售，说明每买、某种彩票的中奖概率为，说明每买、抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为，故10．（3分）（2015•长沙）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是B11．（3分）（2015•长沙）如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为（）B米12．（3分）（2015•长沙）长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利润500元，其利润率为20%．现如果按同一标价打九折销售该电器二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）（2015•长沙）一个不透明的袋子中只装有3个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的条件下，随机从袋中摸出1个球，则摸出白球的概率是．个球，则摸出白球的概率是：=故答案为：．14．（3分）（2015•长沙）圆心角是60°且半径为2的扇形面积为π（结果保留π）．S=π故答案为：π．15．（3分）（2015•长沙）把+进行化简，得到的最简结果是2（结果保留根号）．．16．（3分）（2015•长沙）分式方程=的解是x=﹣5．17．（3分）（2015•长沙）如图，在△ABC中，DE∥BC，，DE=6，则BC的长是18．，18．（3分）（2015•长沙）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为4．BD=CD=AB=5=4三、解答题（共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，满分66分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）19．（6分）（2015•长沙）计算：（）﹣1+4cos60°﹣|﹣3|+．×﹣20．（6分）（2015•长沙）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）+2xy，其中x=（3﹣π）0，y=2．21．（8分）（2015•长沙）中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图（1）a=60，b=0.15；（2）请补全频数分布直方图；（3）这次比赛成绩的中位数会落在80≤x＜90分数段；（4）若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人？22．（8分）（2015•长沙）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，对角线AC、BD 相交于点O，将对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）后得直线l，直线l与AD、BC两边分别相交于点E和点F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）当α=30°时，求线段EF的长度．==，==，EF=2OE=23．（9分）（2015•长沙）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？≈24．（9分）（2015•长沙）如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，﹣），点D在劣弧上，连接BD交x轴于点C，且∠COD=∠CBO．（1）求⊙M的半径；（2）求证：BD平分∠ABO；（3）在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰好为⊙M的切线，求此时点E的坐标．，），，﹣），，=2的半径为：OAB==，OBC=∠×=，AE=EF=AE=，，25．（10分）（2015•长沙）在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”．（1）求函数y=x+2的图象上所有“中国结”的坐标；（2）若函数y=（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k的值与相应“中国结”的坐标；（3）若二次函数y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k为常数）的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？x时，x+2y=（y=x时，x+2y=y=（（（y=，；，=[×+2）×）﹣x xx x2×x x2×，26．（10分）（2015•长沙）若关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a＞0，c＞0，a，b，c是常数）与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），与y轴交于点P，其图象顶点为点M，点O为坐标原点．（1）当x1=c=2，a=时，求x2与b的值；（2）当x1=2c时，试问△ABM能否为等边三角形？判断并证明你的结论；（3）当x1=mc（m＞0）时，记△MAB，△PAB的面积分别为S1，S2，若△BPO∽△PAO，且S1=S2，求m的值．代入得：x，再根据﹣，得出2ac+，为等边三角形时（﹣﹣，，得出，2x2（，代入得：x×，∴方程为：x x+2=0=2ac+（﹣）|AB=﹣=，+2b+1==2，=，﹣2=2方程可解为x x+c=0=﹣。
长沙2015中考黑白卷狂押到底(数学)含答案解析
扫扫刊——数学特殊题型猜押题型一 四边形的性质1.顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得图形一定是 （ ）A .平行四边形B .矩形C .菱形D 正方形2.若四边形的对角线互相垂直且相等，则它一定是 （ ）A .菱形B .平行四边形C .正方形D .以上说法均不正确 题型二 旋转、图形识别1.如图，该图形绕其旋转中心旋转一定角度后与自身重合，则旋转的度数可能是（ ）A.150°B.120°C.90°D.60°第1题图 第2题图2.如图是一个旋转对称图形，要使它旋转后与自身重合，那么至少应将它绕旋转中心逆时针方向旋转的度数为 （ ）A.180°B.120°C.60°D.30°题型三 三视图1.下列几何体的主视图、左视图、俯视图的图形完全相同的是 （ ）A .三棱锥B .长方体C .三棱柱D .球体2.下列几何体中，三视图既有圆又有长方形的是 （ ）A .棱柱B .圆柱C .圆锥D .球题型四 新概念阅读理解题1.我们知道，对于二次函数2()y a x m k =++的图象，可由函数2y ax =的图象进行向左（或向右）平移||m 个单位，再向上（或向下）平移||k 个单位得到，我们称函数2y ax=为“基本函数”，而称它平移得到的二次函数2()y a x m k =++为“基本函数” 2y ax=的“朋友函数”.22m k +称为朋友距离.如一次函数25y x =-是基本函数2y x =的朋友函数，由252(1)3y x x =-=--可知朋友路径可以是向右平移1个单位，再向下平移3个单位，朋22(1)310-+（1）探究一：小明同学经过思考后，为函数25y x =-又找到了一条朋友路径为由基本函数2y x =先向 ，再向下平移7个单位，相应的朋友距离为 ； （2）探究二：将函数y =431x x --化成y= ，使它和基本函数y=1x 成为基本 函数，并写出路径和相应的朋友距离；（3）探究三：将二次函数23y x =先向 平移 个单位，再向 平移 个单位，得到朋友函数23(2)5y x =-+，相应的朋友距离为 .2.对某一个函数给出如下定义：若存在实数0M >，对于任意的函数值y ，都满足-M ≤ y ≤M 则称这个函数是有界函数.在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的边界值.例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1.第2题图（1）分别判断函数1(0)y x x=>和1(42)y x x =+-<≤是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；（2）若函数1(,)y x a x b b a =-+≤≤>的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b 的取值范围；（3）将函数2(1,0)y x x m m =-≤≤≥的图象向下平移m 个单位，得到的函数的边界值是t ，当m 在什么范围时，满足314t ≤≤？ 创新题猜押1.12-的绝对值的相反数是（ ） A.21 B.21- C.2 D.-2 2.若121442=⋅-+-w aa ）（，则w =（ ） A.2(2)a a +≠- B.2(2)a a -+≠±C.2(2)a a -≠D.2(2)a a --≠±名校内部模拟题命题点 三视图（2015邵阳市模拟考试7题3分）如图，直线AB 、CD 被BC 所截，若AB ∥CD ，∠1=45°，∠2=35°，则∠3的大小是（ ）A .80°B .70°C .90°D .100°命题点 实数的运算（2015邵阳市模拟考试19题8分）计算：︒-+60cos 49201510）（. 扫扫刊——数学答案 特殊题型猜押题型一 四边形的性质【答案】1.C 2.C题型二 旋转、图形识别【答案】1.B 2.C题型三 三视图【答案】1.D 2.C题型四 新概念阅读理解题1.解：（1）左平移1个单位，52【解答提示】∵y =2x -5化为y =2(x +1)-7的形式，∴基本函数y =2x 先向左平移1个单位，再向下平移7个单位，相应的朋友距离=221752+=.（2）1+41x -;【解答提示】y =431411411x x x x x ---==+--（）+1，因此函数可化为y =1+41x - 朋友函数为先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，相应的朋友距离为221+4=17;（3）右，2，上，5，29.【解答提示】将二次函数23y x =先向右平移2个单位，再向上平移5个单位得到朋友函数23(2)5y x =-+，相应的朋友距离为222529+=.2.解：（1）1(0)y x x=>没有最大值与最小值，所以不是有界函数； 1(42)y x x =+-<≤是有界函数，边界为-3;（2）∵1(,)y x a x b b a =-+≤≤>，∴y 随着x 的增大而减小，当x a =时，max 1y a =-+，又∵max 2y =，∴12a -+=，∴1a =-，当x b =时，min 1y b =-+，则2121b b -≤-+≤⎧⎨>-⎩， ∴13b -<≤;（3）当m >1时，函数2y x =的图象向下平移m 个单位后，其解析式为2'y x m =-. 当0x =时，函数的最小值小于1-，故此时函数的边界大于1，与题中1t ≤不符，故m 的取值范围为1m ≤.对于函数2(1,0)y x x m m =-≤≤≥，2max (1)1y =-=，2min 00y ==.故平移后的函数2'y x m =-满足2max '(1)1y m m =--=-，2min '0y m m =-=-. ∵边界t 满足314t ≤≤， ∴max 3'14y ≤≤，min 31'4y -≤≤-，即3114m ≤-≤，314m -≤-≤-， 故m 的取值范围为104m ≤≤或314m ≤≤. 创新题猜押【答案】1.B 2.D名校内部模拟题命题点 三视图【答案】A命题点 实数的运算解：原式=1+3-4×12=1+3-2=2.狂押到底·扫扫刊——数学特殊题型猜押题型一四边形的性质1.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A.对角相等B.对边相等C.对角线相等D.对角线互相平分2.菱形具有而矩形不具有的性质是（）A.对角相等B.四边相等C.对角线互相平分D.四角相等题型二旋转、图形识别1.如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案重合，其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同，它是（）A B C D2.下列图案中，可以由一个“基本图案”连续旋转45°得到的是（）A B C D题型三三视图1.下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（）A.圆柱体B.圆锥C.三棱柱D.长方体2.下列几何体中，主视图是三角形的是（）A.圆B.圆锥C.正方体D.圆柱题型四新概念阅读理解题把一条线段关于原点位似变换，如果原线段的两个端点坐标分别是（a，b）与（c，d），前后两条线段的位似比是1: k，易得位似变换后的线段的两个端点的坐标分别是（ka，kb）与（kc，kd），或者是（－ka，－kb）与（－kc，－kd），把从点（a，b）到（ka，kb）的变换称为正向变换，点（a，b）到（－ka，－kb）的变换称为反向变换，运用位似变换可以把常见的图形，如三角形、四边形与圆等位似变换，得出图形顶点或圆心的坐标，下面我们把几种函数图象关于原点进行位似变换，探究位似变换后函数图象的解析式：（1）反比例函数y =1x 图象关于原点O 位似变换，前后两个函数图象的位似比是1: 4，判断正向与反向位似变换后函数图象是否一致？通过计算加以说明.（2）把一次函数y =kx +b （k ≠0）图象关于原点O 作正向位似变换，使得前后函数图象的位似比是1: m （m ≠0），确定变换后函数图象的解析式.（3）已知抛物线解析式是y = x 2－2x ＋2，如果关于点M （－2，－1）作位似变换，使得变换前后两条抛物线的位似比是1:2，确定正向位似变换后抛物线的解析式，并直接运用中心对称的性质，写出反向位似变换后，所得抛物线的对称轴与顶点坐标.创新题猜押1.若关于x 的不等式13a x ->（）的解集为ax -<13，则a 的取值范围是 （ ） A.1<a B.1>a C.1≠a D.1-<a2.下列图形中，阴影部分面积最大的是 （ ）A B C D 名校内部模拟题命题点 整式的化简求值（2015常德模拟考试18题5分）先化简，再求值：2)2()1(4)32(32-+---+x x x x x ）（，其中3-=x ．命题点 三视图（2015邵阳模拟考试3题4分）如图，是由七个相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ）A B C D狂押到底·扫扫刊——数学答案特殊题型猜押题型一 四边形的性质1.【答案】C2.【答案】B题型二 旋转、图形识别1.【答案】A2.【答案】B题型三 三视图1.【答案】D2.【答案】B题型四 新概念阅读理解题解：（1）在反比例函数y =1x图象上取点A （1，1），按照题目中的要求，正向位似变换后，点A 对应点B 1坐标是（4，4），反向变换后对应点坐标是B 2（－4，－4）， 设经过点B 1、B 2 的反比例函数的解析式y =1k x 、y =2k x； 因此k 1=4×4=16，k 2=（－4）×（－4）=16.显然都是y =16x ，所以正向与反向位似变换后的图象一致，都是y =16x. （2）在一次函数y =kx +b （k ≠0）图象上取两点A （b k -，0）、B （0，b ）， 把线段AB 关于原点正向位似变换，前后线段位似比是1:m （m ≠0），则线段对应端点坐标分别是C （bm k-，0）、D （0，mb ）. 设经过C 、D 两点的一次函数解析式是y =px ＋q ，则0q mb bm p mb k ⎧⎪⎨⎪⎩==（-）＋，解得p =k . 因此位似变换后经过两点C 、D 的一次函数解析式是y =kx ＋mb .（3）如图，抛物线解析式y = x 2－2x ＋2，变化为顶点式为2(1)1y x =-+，顶点坐标是A （1，1），在图象上取一点B （2，2），连接MA 、MB 并分别延长，在MB 延长线上截取BB '=MB ，在MA 延长线上截取AA '=MA ，过点A 、B 、A ' 、B '分别作经点M 所引的x 轴的平行线的垂线，垂足分别是点C 、E 、D 、F ，根据三角形相似，因此得出MF =2ME ，DM =2CM ，B F '=2BE ，A D '=2AC ，设点A '坐标是（x 1，y 1），点B '坐标是（x 2，y 2），点M 坐标是（－2，－1），因此有：x 1＋2=2×（1＋2）、y 1＋1=2（1＋1）；解得x 1=4，y 1=3，x 2＋2=2×（2＋2）、y 2＋1=2（2＋1）；解得x 2=6，y 2=5，则点A '坐标是（4，3），点B '坐标是（6，5），设经过点A '、B '的抛物线解析式是y =a （x －4）2＋3，代入点B '坐标（6，5），则a ·（6－4）2＋3=5，解得a =12， 因此位似变换后抛物线的解析式是21(4)32y x =-+，即是y =12x 2－4x ＋11. 根据中心对称的性质，点A '坐标是（4，3）关于点M （－2，－1）的中心对称点是A ''（－8，－5），因此反向位似变换后抛物线的对称轴是直线x =－8，顶点坐标是A ''（－8，－5）.创新题猜押1.【答案】B2.【答案】C名校内部模拟题命题点 整式的化简求值解：原式=222494444x x x x x --++-+=25x -.当3x =-时，25x -=2352--=-（）. 命题点 三视图的判断【答案】C。
历年长沙市初三数学中考试题及答案
长沙市中考数学试题(毕业)1．2．本试卷共六道大题， 27道小题，满分 100 分，时间 120分钟．、填空题 (本题共 10个小题，每小题 2分，满分20 分)一 2 的绝对值为．因式分解：3．1化简：1x22xy -xy=1x1随着工业的发展和人口数量的增加，我国的淡水消耗量逐年增大．据国家统计局《 2003 年国民经济和社会发展统计公报》发布的数据， 2003 年我国全年总用水量达 54100000 万立方米 , 用科学记数法表示这一数据为万立方米．k5．反比例函数 y= k (k ≠0)的图像经过点 P，如图所示．根据图像可知，x 反比例函数的解析式为6．如图是一个正方体纸盒的展开图，在其中的四个正方形内标有数字2、3 和一 3．要在其余正方形内分别填上 -1 、 -2 ，使得按虚线折成正方体后，相对面上的两数互为相反数，则 A 处应填． 7．请用“如果⋯⋯，那么⋯⋯”的形式写一个命题： 8．∠AOB如图所示，请用直尺和圆规作出∠ AOB 的平分线 ( 要求保留作图痕迹，4．9．已知圆锥的底面半径为圆心角为度． 10．探索规律：3 1=3，个位数字是3 4=81，个位数字是的个位数字二，选择题(本题共10个小题，每小题 3分．满分 30 分) 11. 下列运算中，正确的是 ( )2 3 6 3 3 3A ．x·x=XB ．(ab) =a bC ．3a+2a=5 a ：D．(a-1) 12．下列一元二次方程中，有实数根的是( )2 2 2 2A ． x2-x+1=0B ． x2 -2x+3=0C ． x2+x-1=0D ． x 2+4=02cm，母线长为 6cm(如图 ) ，则圆锥的侧面展开图的3；1；3 2=9，个位数字是 9 ； 3 3=27，个位数字是7；3 5=243 ，个位数字是 3； 3 6=729，个位数字是 9； 320的个位数字是．22=a -113．设 a= 15 ，则实数 a 在数轴上对应的点的大致位置是三、(本题共 4个小题．每小题 5分，满分 20 分)21．计算 23+2 3+(6- π)0- 12 ．14．若两圆的半径分别为 3cm ． 5cm ，圆心距为 2cm ，则两圆的位置关系为 ( ) A ．外切 B ．相交 C ．内切 D ．内含a 值为 2 ，则输出的结果应为 ( ) 15．如图是一个数值转换机，若输入的 16．如图，已知 l 1∥l 2∥l 3，若 AB=1，BC=2，DE=1．5，则 EF 的长为 ( ) A ．1．5 B. C ．2．5 D ．317．用科学计算器计算锐角 a 的三角函数值时， 不能直接计算出来的三角 函数值是 ( ) A ． cota B ． tana C ． cosa D ． sina18．某商店进了一批商品，每件商品的进价为 a 元，若要获利 20％，则每件商品的零售价 应定为( ) A ． 20%a （元 ） B ．（1 — 20%）a （元） C ． a （ 1 20% 19．如图，已知 MB=ND ，∠ MBA ∠= NDC ，下列哪个条件不能判定△ D ．（1+20 ％）a（ 元 ） ABM ≌△ CDN （ ） A ．∠ M=∠N B ． AB=CD C.AM=CN D.AM ∥CN 。
2015年湖南省长沙市中考数学试卷(含详细答案)
说明每买 1000 张，有可能中奖，也有可能不中奖，故 B 错误；C，抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正 面朝上的概率为 1 ，故 C 错误；D，想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平，宜采用抽样调查，故D
2
正确；故选：D。 【考点】统计和概率的知识
9.【答案】C
【解析】∵一次函数 y 2x 1中 k 2＜0 ， b 1＞0 ，∴此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第
坐标原点. 1 2 1 2
(1)当 x c 2，a 1
12
(2)当 x 2c 时,试问△ABM 能否为等边三角形？判断并证明你的结论；
(3)当
1
x
mc(m
0)
时,记
△MAB,△PAB
的面积分别为
S
,
S
,若△BPO∽△PAO ,
且S
11
S
2
,求
m
的值.
12
数学试卷 第 6 页（共 22 页）
湖南省长沙市 2015 年初中学业水平考试
,
AD AB
1 3
,
DE
6 ,则 BC
的长是
.
18.如图, AB 是 O 的直径,点 C 是 O 上的一点,若 BC 6, AB 10，OD BC 于点 D ,
则 OD 的长为
.
三、解答题(本大题共 8 小题,共 66 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.(本小题满分 6 分)
答
为 185000 人次,则数据 185000 用科学计数法表示为
--------------------
()
__ __
A.1.85 105
B.1.85 104
2015年湖南省长沙市岳麓区麓山国际学校中考直升数学试卷和解析答案
2015年湖南省长沙市岳麓区麓山国际学校中考直升数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）﹣5地倒数是（）A．5 B．C．﹣5 D．2．（3分）下列四个数﹣2，0，0.5，中，属于无理数地是（）A．﹣2 B．0 C．0.5 D．3．（3分）下列等式成立地是（）A．a2•a5=a10B．C．（﹣a3）6=a18 D．4．（3分）如图所示地几何体地俯视图是（）A．B．C．D．5．（3分）某射击小组有20人，教练根据他们某次射击地数据绘制成如图所示地统计图，则这组数据地众数和中位数分别是（）A．7，7 B．8，7.5 C．7，7.5 D．8，6.56．（3分）下列函数中，y随x地增大而减小地是（）A．y=x B．y=x2 C．y= D．y=（x＜0）7．（3分）如图，AC是旗杆AB地一根拉线，测得BC=6米，∠ACB=50°，则拉线AC地长为（）A．6sin50°B．6cos50°C．D．8．（3分）如图，直线l1∥l2，∠1=35°，∠2=75°，则∠3等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°9．（3分）如图，线段AB是圆O地直径，弦CD⊥AB，如果∠BOC=70°，那么∠BAD等于（）A．20°B．30°C．35°D．70°10．（3分）在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，大于AB地长为半径画弧，相交于两点M，N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若CD=BC，∠A=35°，则∠C=（）A．40°B．50°C．60°D．70°11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，将△ABC绕点C 逆时针旋转至△A′B′C′，使得点A′恰好落在AB上，A′B′与BC交于点D，则△A′CD地面积为（）A．1 B．C．D．212．（3分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16，点P是斜边AB上任意一点，过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP=x，△APQ地面积为y，则y与x之间地函数图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）单项式地次数是．14．（3分）在函数y=中，自变量x地取值范围是．15．（3分）生物学家发现一种病毒地长度约为0.00000043mm，用科学记数法表示这个数为mm．16．（3分）某花园内有一块五边形地空地如图所示，为了美化环境，现计划在五边形各顶点为圆心，2m长为半径地扇形区域（阴影部分）种上花草，那么种上花草地扇形区域总面积是．17．（3分）平行四边形中，AC、BD是两条对角线，现从以下四个关系中（1）AB=BC（2）AC=BD（3）AC⊥BD（4）AB⊥BC中任取一个作为条件，即可推出平行四边形ABCD是菱形地概率为．18．（3分）已知m、n是方程x2+2x+1=0地两根，则代数式值为．三、解答题（共8小题，满分66分）19．（6分）计算：2﹣2﹣2cos60°+|﹣|+（3.14﹣π）0．20．（6分）解不等式组：，并写出它地所有整数解．21．（8分）某校举办初中生演讲比赛，每班派两名学生参赛，现某班有A、B、C三名学生竞选，他们地笔试成绩和口试成绩（单位：分）分别用两种方式进行了统计，如表和图（1）：（1）m=，并将图（1）补充完整；（2）竞选地最后一个程序是由本校地300名学生代表进行投票，每票计1分，三名候选人地得分情况如图（2）（没有弃权票，每名学生只能推荐一人）；①若将笔试、口试、得票三项测试得分按4：3：3地比例确定最后成绩，请计算学生A地最后成绩；②若A、B、C三名学生中有一名男生，两名女生，选其中两名学生参赛，求恰好选中一男一女地概率．（要求用树状图或列表法写出分析过程）22．（8分）如图，△ABC中，∠BCA=90°，CD是边AB上地中线，分别过点C，D作BA，BC地平行线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若AB=10，tan∠BAC=，求菱形ADCE地面积．23．（9分）某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队地投标书．甲工程队每天施工费需12万元，乙工程队每天施工费需5万元．工程领导小组根据甲、乙两队地投标书测得，有如下三种方案：①由甲队单独完成这项工程，刚好如期完全；②由乙队单独完成这项工程，要比规定日期多用6天；③先由甲、乙两队合做3天，余下地工程再由乙队单独做，正好如期完成．试问：（1）这项工程地工期是多少天？（2）在不耽误工期前提下，你觉得哪一种施工方案所需费用最节省？请说明理由．24．（9分）如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，AC为直径地⊙O分别交AB、BC 于点M，N，点P在AB地延长线上，且∠CAB=2∠BCP．（1）求证：直线CP是⊙O地切线；（2）若BC=2，sin∠BCP=，求△ACP地周长．25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，b′），给出如下定义：若b′=，则称点Q为点P地限变点．例如：点（2，3）地限变点地坐标是（2，3），点（﹣2，5）地限变点地坐标是（﹣2，﹣5）．（1）①点地限变点地坐标是；②在点A（﹣2，﹣1），B（﹣1，2）中有一个点是函数图象上某一个点地限变点，这个点是；（2）若点P在函数y=﹣x+3（﹣2≤x≤k，k＞﹣2）地图象上，其限变点Q地纵坐标b′地取值范围是﹣5≤b′≤2，求k地取值范围；（3）若点P在关于x地二次函数y=x2﹣2tx+t2+t地图象上，其限变点Q地纵坐标b′地取值范围是b′≥m或b′＜n，其中m＞n．令s=m﹣n，求s关于t地函数解析式及s地取值范围．26．（10分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）地图象经过点A，B，C，已知点A地坐标为（﹣3，0），点B坐标为（1，0），点C在y轴地正半轴，且∠CAB=30°．（1）求抛物线地函数解析式；（2）若直线l：y=x+m从点C开始沿y轴向下平移，分别交x轴、y轴于点D、E．①当m＞0时，在线段AC上否存在点P，使得点P，D，E构成等腰直角三角形？若存在，求出点P地坐标；若不存在，请说明理由．②以动直线l为对称轴，线段AC关于直线l地对称线段A′C′与二次函数图象有交点，请直接写出m地取值范围．2015年湖南省长沙市岳麓区麓山国际学校中考直升数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）﹣5地倒数是（）A．5 B．C．﹣5 D．【解答】解：﹣5与﹣地乘积是1，所以﹣5地倒数是﹣．故选：D．2．（3分）下列四个数﹣2，0，0.5，中，属于无理数地是（）A．﹣2 B．0 C．0.5 D．【解答】解：无理数为．故选D．3．（3分）下列等式成立地是（）A．a2•a5=a10B．C．（﹣a3）6=a18 D．【解答】解：A、a2•a5=a7，故选项错误；B、当a=b=1时，≠+，故选项错误；C、正确；D、当a＜0时，=﹣a，故选项错误．故选C．4．（3分）如图所示地几何体地俯视图是（）A．B．C．D．【解答】解：从上往下看，该几何体是从左到右排成一排地三个长方形，其中左右两个长方形是一样大小，故选B5．（3分）某射击小组有20人，教练根据他们某次射击地数据绘制成如图所示地统计图，则这组数据地众数和中位数分别是（）A．7，7 B．8，7.5 C．7，7.5 D．8，6.5【解答】解：由条形统计图中出现频数最大条形最高地数据是在第三组，7环，故众数是7（环）；因图中是按从小到大地顺序排列地，最中间地环数是7（环）、8（环），故中位数是7.5（环）．故选C．6．（3分）下列函数中，y随x地增大而减小地是（）A．y=x B．y=x2 C．y= D．y=（x＜0）【解答】解：A、∵一次函数y=x中，k=1＞0，∴y随x地增大而增大，故本选项错误；B、∵二次函数y=x2中a=1＞0，开口向上，∴在对称轴地右侧y随x地增大而减小，故本选项错误；C、∵反比例函数y=中，k=2＞0，∴在每一象限内，y随x地增大而减小，故本选项错误；D、∵反比例函数y=中，k=4＞0，∴当x＜0时，y随x地增大而减小，故本选项正确．故选D．7．（3分）如图，AC是旗杆AB地一根拉线，测得BC=6米，∠ACB=50°，则拉线AC地长为（）A．6sin50°B．6cos50°C．D．【解答】解：∵BC=6米，∠ACB=50°，∴拉线AC地长为=，故选：D．8．（3分）如图，直线l1∥l2，∠1=35°，∠2=75°，则∠3等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°【解答】解：∵l1∥l2，∴∠4=∠2=75°，∴∠3=180°﹣∠1﹣∠4=180°﹣35°﹣75°=70°．故选D．9．（3分）如图，线段AB是圆O地直径，弦CD⊥AB，如果∠BOC=70°，那么∠BAD等于（）A．20°B．30°C．35°D．70°【解答】解：∵弦CD⊥直径AB，∴=，∴∠BAD=∠BOC=×70°=35°．故选C．10．（3分）在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，大于AB地长为半径画弧，相交于两点M，N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若CD=BC，∠A=35°，则∠C=（）A．40°B．50°C．60°D．70°【解答】解：∵根据作图过程和痕迹发现MN垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠DBA=∠A=35°，∵CD=BC，∴∠CDB=∠CBD=2∠A=70°，∴∠C=40°，故选A．11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，将△ABC绕点C 逆时针旋转至△A′B′C′，使得点A′恰好落在AB上，A′B′与BC交于点D，则△A′CD 地面积为（）A．1 B．C．D．2【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=2，∠ABC=30°，∴AB=2AC=4，BC===2，∵∠A=90°﹣∠B=60°，CA=CA′，∴△ACA′是等边三角形，∴AA′=AC=A′C=2，∴A′C=A′B=2，∴∠A′CB=∠B=30°，∵∠CA′B′=60°，∴∠CDA′=180°﹣∠A′CD﹣∠CA′D=90°，∴A′D=A′C=1，CD==，=×1×=．∴S△A′CD故选B．12．（3分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16，点P是斜边AB上任意一点，过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP=x，△APQ地面积为y，则y与x之间地函数图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：当点Q在AC上时，∵∠A=30°，AP=x，∴PQ=xtan30°=x，∴y=×AP×PQ=×x×x=x2；当点Q在BC上时，如下图所示：∵AP=x，AB=16，∠A=30°，∴BP=16﹣x，∠B=60°，∴PQ=BP•tan60°=（16﹣x）．∴S△APQ=AP•PQ=x•（16﹣x）=﹣x2+8x，∴该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下，故选：D．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）单项式地次数是3．【解答】解：地次数是2+1=3，故答案为：3．14．（3分）在函数y=中，自变量x地取值范围是x＞2．【解答】解：由题意得，x﹣2＞0，解得x＞2．故答案为：x＞2．15．（3分）生物学家发现一种病毒地长度约为0.00000043mm，用科学记数法表示这个数为 4.3×10﹣7mm．【解答】解：0.000 00043=4.3×10﹣7；故答案为：4.3×10﹣7．16．（3分）某花园内有一块五边形地空地如图所示，为了美化环境，现计划在五边形各顶点为圆心，2m长为半径地扇形区域（阴影部分）种上花草，那么种上花草地扇形区域总面积是6πm2．【解答】解：∵五边形地内角和=（5﹣2）×180°=540°，∴五个扇形地面积和==6π，∴种上花草地扇形区域总面积6πm2．故答案为6πm2．17．（3分）平行四边形中，AC、BD是两条对角线，现从以下四个关系中（1）AB=BC（2）AC=BD（3）AC⊥BD（4）AB⊥BC中任取一个作为条件，即可推出平行四边形ABCD是菱形地概率为．【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，（1）若AB=BC，则AB=BC=CD=AD，符合“有一组邻边相等地平行四边形是菱形”地判定定理，故此小题正确；（2）若AC=BD，则此平行四边形是矩形，故此小题错误；（3）若AC⊥BD，符合“对角线互相垂直地平行四边形是菱形”地判定定理，此小题正确；（4）若AB⊥BC，则此平行四边形是矩形，故此小题错误．故正确地有（1）、（3）两个，所以可推出平行四边形ABCD是菱形地概率为：=．故答案为：．18．（3分）已知m、n是方程x2+2x+1=0地两根，则代数式值为3．【解答】解：∵m、n是方程x2+2x+1=0地两根，∴m+n=﹣2，mn=1，∴===3．故答案为：3．三、解答题（共8小题，满分66分）19．（6分）计算：2﹣2﹣2cos60°+|﹣|+（3.14﹣π）0．【解答】解：原式=﹣2×+2+1=+2．20．（6分）解不等式组：，并写出它地所有整数解．【解答】解：解不等式①，得x＜2解不等式②，得x＞﹣1即：原不等式组地解为：﹣1＜x＜2故满足条件地整数解为：0，121．（8分）某校举办初中生演讲比赛，每班派两名学生参赛，现某班有A、B、C三名学生竞选，他们地笔试成绩和口试成绩（单位：分）分别用两种方式进行了统计，如表和图（1）：（1）m=90，并将图（1）补充完整；（2）竞选地最后一个程序是由本校地300名学生代表进行投票，每票计1分，三名候选人地得分情况如图（2）（没有弃权票，每名学生只能推荐一人）；①若将笔试、口试、得票三项测试得分按4：3：3地比例确定最后成绩，请计算学生A地最后成绩；②若A、B、C三名学生中有一名男生，两名女生，选其中两名学生参赛，求恰好选中一男一女地概率．（要求用树状图或列表法写出分析过程）【解答】解：（1）m=90，如图，故答案为90；（2）①学生A地最后成绩=85×0.4+90×0.3+300×35%×0.3=92.5（分）；②画树状图：共有6种等可能地结果数，其中一男一女地结果数为4，所以恰好选中一男一女地概率==．22．（8分）如图，△ABC中，∠BCA=90°，CD是边AB上地中线，分别过点C，D作BA，BC地平行线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若AB=10，tan∠BAC=，求菱形ADCE地面积．【解答】解：（1）∵DE∥BC，EC∥AB，∴四边形DBCE是平行四边形，∴EC∥DB，且EC=DB，在Rt△ABC中，CD是边AB上地中线，∴AD=DB=CD，∴EC=AD，∴四边形ADCE是平行四边形，∴ED∥BC，∴∠AOD=∠ACB，∴∠ACB=90°，∴∠AOD=∠ACB=90°，∴四边形ADCE是菱形；（2）在Rt△ABC中，tan∠BAC==，设BC=x，∴AC=2BC=2x，由勾股定理得：x2+（2x）2=102，解得：x=2，∵四边形DBCE是平行四边形，∴DE=BC=2，∴S ADCE=×AC×DE=×4×2=20．23．（9分）某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队地投标书．甲工程队每天施工费需12万元，乙工程队每天施工费需5万元．工程领导小组根据甲、乙两队地投标书测得，有如下三种方案：①由甲队单独完成这项工程，刚好如期完全；②由乙队单独完成这项工程，要比规定日期多用6天；③先由甲、乙两队合做3天，余下地工程再由乙队单独做，正好如期完成．试问：（1）这项工程地工期是多少天？（2）在不耽误工期前提下，你觉得哪一种施工方案所需费用最节省？请说明理由．【解答】解：（1）设这项工程规定日期是x天，由题意得：+=1，解得：x=6，经检验：x=6是分式方程地解，答：这项工程规定日期是6天；（2）方案①：甲队单独完成地费用：6×12=72（万元），方案②：延误工期，故舍去，方案③：3×12+6×5=66（万元），答：方案③最节省工程款．24．（9分）如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，AC为直径地⊙O分别交AB、BC 于点M，N，点P在AB地延长线上，且∠CAB=2∠BCP．（1）求证：直线CP是⊙O地切线；（2）若BC=2，sin∠BCP=，求△ACP地周长．【解答】（1）证明：连接AN，∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∵AC是⊙O地直径，∴AN⊥BC，∴∠CAN=∠BAN，BN=CN，∵∠CAB=2∠BCP，∴∠CAN=∠BCP．∵∠CAN+∠ACN=90°，∴∠BCP+∠ACN=90°，∴CP⊥AC∵OC是⊙O地半径∴CP是⊙O地切线；（2）解：∵∠ANC=90°，sin∠BCP=，∴=，∴AC=5，∴⊙O地半径为如图，过点B作BD⊥AC于点D．由（1）得BN=CN=BC=，在Rt△CAN中，AN==2，在△CAN和△CBD中，∠ANC=∠BDC=90°，∠ACN=∠BCD，∴△CAN∽△CBD，∴=，∴BD=4．在Rt△BCD中，CD==2，∴AD=AC﹣CD=5﹣2=3，∵BD∥CP，∴=，=∴CP=，BP=∴△APC地周长是AC+PC+AP=20．25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，b′），给出如下定义：若b′=，则称点Q为点P地限变点．例如：点（2，3）地限变点地坐标是（2，3），点（﹣2，5）地限变点地坐标是（﹣2，﹣5）．（1）①点地限变点地坐标是（，1）；②在点A（﹣2，﹣1），B（﹣1，2）中有一个点是函数图象上某一个点地限变点，这个点是点B；（2）若点P在函数y=﹣x+3（﹣2≤x≤k，k＞﹣2）地图象上，其限变点Q地纵坐标b′地取值范围是﹣5≤b′≤2，求k地取值范围5≤k≤8；（3）若点P在关于x地二次函数y=x2﹣2tx+t2+t地图象上，其限变点Q地纵坐标b′地取值范围是b′≥m或b′＜n，其中m＞n．令s=m﹣n，求s关于t地函数解析式及s地取值范围s≥2．【解答】解：（1）①根据限变点地定义可知点地限变点地坐标为（，1）；②（﹣1，﹣2）限变点为（﹣1，2），即这个点是点B．（2）依题意，y=﹣x+3（x≥﹣2）图象上地点P地限变点必在函数y=地图象上．∴b′≤2，即当x=1时，b′取最大值2．当b′=﹣2时，﹣2=﹣x+3．∴x=5．当b′=﹣5时，﹣5=x﹣3或﹣5=﹣x+3．∴x=﹣2或x=8．∵﹣5≤b′≤2，由图象可知，k地取值范围是5≤k≤8．（3）∵y=x2﹣2tx+t2+t=（x﹣t）2+t，∴顶点坐标为（t，t）．若t＜1，b′地取值范围是b′≥m或b′＜n，与题意不符．若t≥1，当x≥1时，y地最小值为t，即m=t；当x＜1时，y地值小于﹣[（1﹣t）2+t]，即n=﹣[（1﹣t）2+t]．∴s=m﹣n=t+（1﹣t）2+t=t2+1．∴s关于t地函数解析式为s=t2+1（t≥1），当t=1时，s取最小值2，∴s地取值范围是s≥2．故答案为（，1）；点B；5≤k≤8；s≥2．26．（10分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）地图象经过点A，B，C，已知点A地坐标为（﹣3，0），点B坐标为（1，0），点C在y轴地正半轴，且∠CAB=30°．（1）求抛物线地函数解析式；（2）若直线l：y=x+m从点C开始沿y轴向下平移，分别交x轴、y轴于点D、E．①当m＞0时，在线段AC上否存在点P，使得点P，D，E构成等腰直角三角形？若存在，求出点P地坐标；若不存在，请说明理由．②以动直线l为对称轴，线段AC关于直线l地对称线段A′C′与二次函数图象有交点，请直接写出m地取值范围．【解答】解：（1）如图1，连结AC，在Rt△AOC中，∠CAB=30°，∵A（﹣3，0），即OA=3，∴OC=，即C（0，），设抛物线解析式为，将A（﹣3，0），B（1，0）代入得．解得．∴；（2）①由题意可知，OE=m，OD=，∠DEO=30°，由A（﹣3，0），C（0，）得到直线AC地解析式为：y=x+（i）如图2，当PD⊥DE，DP=DE，作PQ⊥x轴∴∠PQD=∠EOD=90°，∠PDQ+∠EDO=90°，∠EDO+∠DEO=90°，∴∠DEO=∠PDQ=30°，在△DPQ与△EDO中，，∴△DPQ≌△EDO（AAS），∴DQ=OE=m，∴AQ=DQ=m，∴OA=2m+=3，∴；此时P（，）（ii）如图3，当PE⊥DE，PE=DE，作PQ⊥y轴，同理可得CQ=EQ=OD=，∵OC=m+=，∴；此时P（3﹣6，3﹣）（iii）如图4，当DP⊥PE，DP=PE，作DM⊥AC，EN⊥AC，同理可得AP=AD=，PN=DM=，CN=∴AC=++=，∴；此时P（，）．综上所述，点P地坐标是（，）或（3﹣6，3﹣）或（，）．②当x=0，y=时，=0+m，解得m=；当x=0，y=﹣时，﹣=0+m，解得m=﹣．故m地取值范围为：．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
中考数学自主招生考试试卷(2)(含解析)
2015年湖南省长沙市南雅中学自主招生考试数学试卷（2）一、选择题（本大题共8题，每小题4分，共32分）1．计算（a2）3÷（a2）2的结果是（）A．a B．a2C．a3D．a42．向如图所示的正三角形区域扔沙包（区域中每一个小正三角形除颜色外完全相同），假设沙包击中每一个小三角形是等可能的，扔沙包1次击中阴影区域的概率等于（）A．B．C．D．3．已知m、n是方程x2+2x+1=0的两根，则代数式的值为（）A．9 B．±3 C．3 D．54．在如图所示的三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下a，b两个情境：情境a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本再去学校；情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进．则情境a，b所对应的函数图象分别是（）A．③、②B．②、③C．①、③D．③、①5．如果，，那么等于（）A．1 B．2 C．3 D．46．若关于x的方程无解，则a的值为（）A．或﹣2 B．或﹣1 C．或﹣2或﹣1 D．﹣2或﹣17．已知，，，那么a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b8．已知，在面积为7的梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=4，P为边AD上不与A、D重合的一动点，Q是边BC上的任意一点，连结AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F．则△PEF 面积的最大值是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）9．计算： = ．10．规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[]=0，[3.14]=3．按此规定的值为．11．定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα=，根据上述角的余切概念，则ctan30°=．12．如图，一次函数y1=ax+b（a≠0）与反比例函数的图象交于A（1，4）、B（4，1）两点，若使y1＞y2，则x的取值范围是．13．已知关于x的不等式组的整数解仅为1，2，3，若m，n为整数，则代数式的值是．14．若一次函数y=kx+b，当﹣3≤x≤1时，对应的y值为1≤y≤9，则一次函数的解析式为．15．如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数．若在此平面直角坐标系内移动点A，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点A的横坐标仍是整数，则移动后点A的坐标为．16．在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB=∠MBC，则tan∠ABM= ．三、解答题（本大题共4道题，共48分）17．某实验学校为开展研究性学习，准备购买一定数量的两人学习桌和三人学习桌，如果购买3张两人学习桌，1张三人学习桌需220元；如果购买2张两人学习桌，3张三人学习桌需310元．（1）求两人学习桌和三人学习桌的单价；（2）学校欲投入资金不超过6000元，购买两种学习桌共98张，以至少满足248名学生的需求，设购买两人学习桌x张，购买两人学习桌和三人学习桌的总费用为W 元，求出W与x的函数关系式；求出所有的购买方案．18．设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于任何一个二次函数，它在给定的闭区间上都有最小值．（1）函数y=﹣x2+4x﹣2在区间[0，5]上的最小值是（2）求函数在区间上的最小值．（3）求函数y=x2﹣4x﹣4在区间[t﹣2，t﹣1]（t为任意实数）上的最小值y min的解析式．19．如图，P为等边△ABC内一点，PA、PB、PC的长为正整数，且PA2+PB2=PC2，设PA=m，n为大于5的实数，满m2n+30m+9n≤5m2+6mn+45，求△ABC的面积．20．已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E 与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t 之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．2015年湖南省长沙市南雅中学高中自主招生考试数学试卷（2）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8题，每小题4分，共32分）1．计算（a2）3÷（a2）2的结果是（）A．a B．a2C．a3D．a4【考点】整式的除法．【分析】根据幂的乘方首先进行化简，再利用同底数幂的除法的运算法则计算后直接选取答案．【解答】解：（a2）3÷（a2）2=a6÷a4=a2．故选：B．【点评】本题考查了幂的乘方和同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键．2．向如图所示的正三角形区域扔沙包（区域中每一个小正三角形除颜色外完全相同），假设沙包击中每一个小三角形是等可能的，扔沙包1次击中阴影区域的概率等于（）A．B．C．D．【考点】几何概率．【分析】求出阴影部分的面积与三角形的面积的比值即可解答．【解答】解：因为阴影部分的面积与三角形的面积的比值是=，所以扔沙包1次击中阴影区域的概率等于．故选C．【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．3．已知m、n是方程x2+2x+1=0的两根，则代数式的值为（）A．9 B．±3 C．3 D．5【考点】根与系数的关系；二次根式的化简求值．【专题】整体思想．【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系得到m+n=﹣2，mn=1，再变形得，然后把m+n=﹣2，mn=1整体代入计算即可．【解答】解：∵m、n是方程x2+2x+1=0的两根，∴m+n=﹣2，mn=1，∴====3．故选C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两根分别为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了二次根式的化简求值．4．在如图所示的三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下a，b两个情境：情境a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本再去学校；情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进．则情境a，b所对应的函数图象分别是（）A．③、②B．②、③C．①、③D．③、①【考点】函数的图象．【分析】根据图象，一段一段的分析，再一个一个的排除，即可得出答案；【解答】解：∵情境a：小芳离开家不久，即离家一段路程，此时①②③都符合，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本，即又返回家，离家的距离是0，此时②③又去学校，即离家越来越远，此时只有③返回，∴只有③符合情境a；∵情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进，即离家越来越远，且没有停留，∴只有①符合，故选D【点评】此题考查函数图象问题，主要考查学生的观察图象的能力，同时也考查了学生的叙述能力，用了数形结合思想，题型比较好，但是一道比较容易出错的题目．5．如果，，那么等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】分式的化简求值．【分析】所求分式涉及字母a、c，故要消除b，根据两个已知等式中b的倒数关系消除b，再把所得等式变形即可．【解答】解：由已知得=1﹣a，b=1﹣，两式相乘，得（1﹣a）（1﹣）=1，展开，得1﹣﹣a+=1去分母，得ac+2=2a两边同除以a，得c+=2．故选B．【点评】本题考查了分式等式的变形，消元法的数学思想，需要灵活运用这种变形方法．6．若关于x的方程无解，则a的值为（）A．或﹣2 B．或﹣1 C．或﹣2或﹣1 D．﹣2或﹣1【考点】分式方程的解．【分析】先去分母得到关于x的整式方程，然后根据分式方程无解得到关于a的方程，从而求得a【解答】解：去分母得：x﹣2+a（x﹣1）=2a+2．整理得：（a+1）x=3a+4．当a+1=0时，解得：a=﹣1，此时分式方程无解；当a+1≠0时，x=．当x=1时， =1．解得：a=﹣，此时分式方程无解；当x=2时， =2，解得：a=﹣2，此时分式方程无解．故选：C．【点评】本题主要考查的是分式方程的解，掌握分式方程无解的条件是解题的关键．7．已知，，，那么a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【考点】实数大小比较．【分析】利用作差法比较a和b、b和c、a和c的大小，再比较a、b、c三者的大小．【解答】解：∵a﹣b=﹣1﹣（2﹣）=﹣（1+）≈2.449﹣2.414＞0，∴a＞b；∵a﹣c=﹣1﹣（﹣2）=+1﹣≈2.414﹣2.449＜0，∴a＜c；于是b＜a＜c，故选B．【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，其中比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较n次方的方法等．实数大小比较法则：（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数；（2）两个负数，绝对值大的反而小．8．已知，在面积为7的梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=4，P为边AD上不与A、D重合的一动点，Q是边BC上的任意一点，连结AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F．则△PEF 面积的最大值是（）A．B．C．D．【考点】面积及等积变换．【分析】设PD=x，S△PEF=y．根据平行线的性质、全等三角形的判定及相似三角形的判定，证明△PEF ≌△QFE、△AEP∽△AQD、△PDF∽△ADQ，相似三角形的面积比是相似比的平方，再由三角形AQD与梯形ABCD的面积公式求得梯形的高，代入S△PEF=（S△AQD﹣S△DPF﹣S△APE）÷2，得出关于x的二次函数方程，根据顶点坐标公式，求得则△PEF面积最大值．【解答】解：设PD=x，S△PEF=y，S△AQD=z，梯形ABCD的高为h，∵AD=3，BC=4，梯形ABCD面积为7，∴，解得：，∵PE∥DQ，∴∠PEF=∠QFE，∠EPF=∠PFD，又∵PF∥AQ，∴∠PFD=∠EQF，∴∠EPF=∠EQF，∵EF=FE，∴△PEF≌△QFE（AAS），∵PE∥DQ，∴△AEP∽△AQD，同理，△DPF∽△DAQ，∴=（）2， =（）2，∵S△AQD=3，∴S△DPF=x2，S△APE=（3﹣x）2，∴S△PEF=（S△AQD﹣S△DPF﹣S△APE）÷2，∴y=[3﹣x2﹣（3﹣x）2]×=﹣x2+x，∵y最大值==，即y最大值=．∴△PEF面积最大值是，故选：D．【点评】本题综合考查了二次函数的最值、三角形的面积、梯形的面积以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质及用含x的代数式表示出三角形的面积是解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）9．计算： = 2﹣2 ．【考点】二次根式的混合运算．【专题】计算题．【分析】先利用二次根式的除法法则和分母有理化计算，然后化简后合并即可．【解答】解：原式=2﹣2（+1）=4﹣2﹣2=2﹣2．故答案为．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．10．规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[]=0，[3.14]=3．按此规定的值为 3 ．【考点】估算无理数的大小．【分析】先据算出的大小，然后求得7﹣的范围，从而可求得的值．【解答】解：∵9＜13＜16，∴3．∴﹣3＞﹣4．∴4＞7﹣＞3．故的值为3．故答案为：3．【点评】本题主要考查的是无算无理数的大小，估算出的范围是解题的关键．11．定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα=，根据上述角的余切概念，则ctan30°=．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】新定义．【分析】根据在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，可得答案．【解答】解：ctan30°=，故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切．12．如图，一次函数y1=ax+b（a≠0）与反比例函数的图象交于A（1，4）、B（4，1）两点，若使y1＞y2，则x的取值范围是x＜0或1＜x＜4 ．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】压轴题；数形结合．【分析】根据图形，找出一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围即可．【解答】解：根据图形，当x＜0或1＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象上方，y1＞y2．故答案为：x＜0或1＜x＜4．【点评】本题考查了反比例函数一次函数的交点问题，要注意y轴左边的部分，一次函数图象在第二象限，反比例函数图象在第三象限，这也是本题容易忽视而导致出错的地方．13．已知关于x的不等式组的整数解仅为1，2，3，若m，n为整数，则代数式的值是．【考点】分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解．【专题】计算题；分式．【分析】表示出不等式组的解集，根据不等式组的整数解确定出m与n的值，原式第二项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把m与n的值代入计算即可求出值．【解答】解：不等式整理得：，即n≤x＜m，由不等式组的整数解仅有1，2，3，得到m=4，n=1，则原式=1﹣•=1﹣==，当m=4，n=1时，原式=．故答案为：．【点评】此题考查了分式的化简求值，以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．若一次函数y=kx+b，当﹣3≤x≤1时，对应的y值为1≤y≤9，则一次函数的解析式为y=2x+7或y=﹣2x+3 ．【考点】待定系数法求一次函数解析式．【分析】根据一次函数是单调函数，因为知道函数定义域为﹣3≤x≤1，值域为1≤y≤9，进行分类讨论k大于0还是小于0，列出二元一次方程组求出k和b的值．【解答】解：（Ⅰ）当k＞0时，，解得：，此时y=2x+7，（Ⅱ）当k＜0时，，解得：，此时y=﹣2x+3，综上，所求的函数解析式为：y=2x+7或y=﹣2x+3．【点评】本题主要考查待定系数法求一次函数的解析式的知识，解答本题的关键是熟练掌握一次函数的性质：在定义域上是单调函数，本题难度不大．15．如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数．若在此平面直角坐标系内移动点A，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点A的横坐标仍是整数，则移动后点A的坐标为（﹣1，1），（﹣2，﹣2），（0，2），（﹣2，﹣3）．【考点】利用轴对称设计图案．【专题】压轴题．【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，把A进行移动可得到点的坐标，注意考虑全面．【解答】解：如图所示：A1（﹣1，1），A2（﹣2，﹣2），A3（0，2），A4（﹣2，﹣3），（﹣3，2）（此时不是四边形，舍去），故答案为：（﹣1，1），（﹣2，﹣2），（0，2），（﹣2，﹣3）．【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形的定义，根据3个定点所在位置，找出A的位置．16．在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB=∠MBC，则tan∠ABM= ．【考点】解直角三角形；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】计算题．【分析】根据∠NMB=∠MBC，延长MN，BC相交于T，得到等腰△TBM，连接点T和MB的中点，得到相似三角形，然后由相似三角形的性质进行计算，求出∠ABM的正切．【解答】解：如图：延长MN交BC的延长线于T，设MB的中点为O，连TO，则OT⊥BM，∵∠ABM+∠MBT=90°，∠OTB+∠MBT=90°，∴∠ABM=∠OTB，则△BAM∽△TOB，∴=，即=，即MB2=2AM•BT ①令DN=1，CT=MD=K，则：AM=2﹣K，BM=，BT=2+K，代入①中得：4+（2﹣K）2=2（2﹣K）（2+K），解方程得：K1=0（舍去），K2=．∴AM=2﹣=．tan∠ABM===．故答案是：．【点评】本题考查的是解直角三角形，运用正方形的性质，根据题目中角的关系，判断两个三角形相似，然后用相似三角形的性质进行计算，求出直角三角形中边的长度，再用正切的定义求出角的正切值．三、解答题（本大题共4道题，共48分）17．某实验学校为开展研究性学习，准备购买一定数量的两人学习桌和三人学习桌，如果购买3张两人学习桌，1张三人学习桌需220元；如果购买2张两人学习桌，3张三人学习桌需310元．（1）求两人学习桌和三人学习桌的单价；（2）学校欲投入资金不超过6000元，购买两种学习桌共98张，以至少满足248名学生的需求，设购买两人学习桌x张，购买两人学习桌和三人学习桌的总费用为W 元，求出W与x的函数关系式；求出所有的购买方案．【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用．【分析】（1）设每张两人学习桌单价为a元和每张三人学习桌单价为b元，根据如果购买3张两人学习桌，1张三人学习桌需220元；如果购买2张两人学习桌，3张三人学习桌需310元分别得出等式方程，组成方程组求出即可；（2）根据购买两种学习桌共98张，设购买两人学习桌x张，则购买3人学习桌（98﹣x）张，根据以至少满足248名学生的需求，以及学校欲投入资金不超过6000元得出不等式，进而求出即可．【解答】解：（1）设每张两人学习桌单价为a元和每张三人学习桌单价为b元，根据题意得出：，解得：，答：两人学习桌和三人学习桌的单价分别为50元，70元；（2）设购买两人学习桌x张，则购买3人学习桌（98﹣x）张，购买两人学习桌和三人学习桌的总费用为W 元，则W与x的函数关系式为：W=50x+70（98﹣x）=﹣20x+6860；根据题意得出：，由50x+70（98﹣x）≤6000，解得：x≥43，由2x+3（98﹣x）≥248，解得：x≤46，故不等式组的解集为：43≤x≤46，故所有购买方案为：当购买两人桌43张时，购买三人桌55张，当购买两人桌44张时，购买三人桌54张，当购买两人桌45张时，购买三人桌53张，当购买两人桌46张时，购买三人桌52张．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．18．设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于任何一个二次函数，它在给定的闭区间上都有最小值．（1）函数y=﹣x2+4x﹣2在区间[0，5]上的最小值是﹣7（2）求函数在区间上的最小值．（3）求函数y=x2﹣4x﹣4在区间[t﹣2，t﹣1]（t为任意实数）上的最小值y min的解析式．【考点】二次函数的最值．【专题】新定义．【分析】（1）先求得抛物线的对称轴、顶点坐标，然后画出抛物线的大致图象，根据函数图象可知当x=﹣5时，函数值最小；（2）先画出函数的大致图象，然后根据函数图象可知当x=0时，函数值最小；（3）先求得抛物线的对称轴，然后根据抛物线的对称轴在区间[t﹣2，t﹣1]的左侧、区间内、区间右侧分类讨论即可．【解答】解：（1）y=﹣x2+4x﹣2其对称轴为直线为x=2，顶点坐标为（2，2），函数图象开口向下．函数图大致象如图1所示：当x=5时，函数有最小值，最小值为﹣7．故答案为：﹣7．（2），其对称轴为直线，顶点坐标，且图象开口向上．其顶点横坐标不在区间内，如图2所示．当x=0时，函数y有最小值．（3）将二次函数配方得：y=x2﹣4x﹣4=（x﹣2）2﹣8其对称轴为直线：x=2，顶点坐标为（2，﹣8），图象开口向上若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣1]左侧，则2＜t﹣2，即t＞4．当x=t﹣2时，函数取得最小值：若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣1]上，则t﹣2≤2≤t﹣1，即3≤t≤4．当x=2时，函数取得最小值：y min=﹣8若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣1]右侧，则t﹣1＜2，即t＜3．当x=t﹣1时，函数取得最小值：综上讨论，得．【点评】本题主要考查的是二次函数的最值，根据函数解析式画出函数的图象，然后根据对称轴是否在区间内进行分类讨论是解题的关键．19．（10分）（2015•长沙校级自主招生）如图，P为等边△ABC内一点，PA、PB、PC的长为正整数，且PA2+PB2=PC2，设PA=m，n为大于5的实数，满m2n+30m+9n≤5m2+6mn+45，求△ABC的面积．【考点】勾股定理的逆定理；因式分解﹣提公因式法；解一元二次方程﹣公式法；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】由已知求出PA、PB、PC的长度，设∠PAB=Q，等边三角形的边长是a，∠PAC=60°﹣Q，根据锐角三角函数（余弦定理）求出cosQ和cos（60°﹣Q）的值，即可求出a的长度，过A作AD⊥BC于D，求出AD的长度，根据三角形的面积公式即可求出答案．【解答】解：m2n+30m+9n≤5m2+6mn+45，∴分解因式得：（n﹣5）（m﹣3）2≤0，∵n为大于5的实数，∴m﹣3=0，∵即：PA=m=3，∵PA2+PB2=PC2，PA、PB、PC的长为正整数，∴PB=4，PC=5，设∠PAB=Q，等边三角形的边长是a，则∠PAC=60°﹣Q，由余弦定理得：cosQ==，（1）cos（60°﹣Q）==，（2）而cos（60°﹣Q）=cos60°cosQ﹣sin60°sinQ，=﹣=，（3）将（1）代入（3）得：﹣=，解得：sinQ=，∵（sinQ）2+（cosQ）2=1，∴+=1，令a2=t，∴+=1，解得：t1=25+12，t2=25﹣12，由（1）知a＞0，cosQ＞0，即＞0，a2＞7，∴t2=25﹣12＜7，不合题意舍去，∴t=25+12，即a2=25﹣12，过A作AD⊥BC于D，∵等边△ABC，∴BD=CD=a，由勾股定理得：AD=，∴S△ABC=•a•==9+．答：△ABC的面积是9+．【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，用公式法解一元二次方程，用提取公因式法分解因式，余弦定理等知识点，运用余弦定理求等边三角形的边长是解此题的关键．题型较好但难度较大．20．已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E 与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t 之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；直角梯形．【专题】代数几何综合题；压轴题．【分析】（1）首先设正方形BEFG的边长为x，易得△AGF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长；（2）首先利用△MEC∽△ABC与勾股定理，求得B′M，DM与B′D的平方，然后分别从若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2去分析，即可得到方程，解方程即可求得答案；（3）分别从当0≤t≤时，当＜t≤2时，当2＜t≤时，当＜t≤4时去分析求解即可求得答案．【解答】解：（1）如图①，设正方形BEFG的边长为x，则BE=FG=BG=x，∵AB=3，BC=6，∴AG=AB﹣BG=3﹣x，∵GF∥BE，∴△AGF∽△ABC，∴，即，解得：x=2，即BE=2；（2）存在满足条件的t，理由：如图②，过点D作DH⊥BC于H，则BH=AD=2，DH=AB=3，由题意得：BB′=HE=t，HB′=|t﹣2|，EC=4﹣t，∵EF∥AB，∴△MEC∽△ABC，∴，即，∴ME=2﹣t，在Rt△B′ME中，B′M2=ME2+B′E2=22+（2﹣t）2=t2﹣2t+8，在Rt△DHB′中，B′D2=DH2+B′H2=32+（t﹣2）2=t2﹣4t+13，过点M作MN⊥DH于N，则MN=HE=t，NH=ME=2﹣t，∴DN=DH﹣NH=3﹣（2﹣t）=t+1，在Rt△DMN中，DM2=DN2+MN2=t2+t+1，（Ⅰ）若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，即t2+t+1=（t2﹣2t+8）+（t2﹣4t+13），解得：t=，（Ⅱ）若∠B′MD=90°，则B′D2=B′M2+DM2，即t2﹣4t+13=（t2﹣2t+8）+（t2+t+1），解得：t1=﹣3+，t2=﹣3﹣（舍去），∴t=﹣3+；（Ⅲ）若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2，即： t2﹣2t+8=（t2﹣4t+13）+（t2+t+1），此方程无解，综上所述，当t=或﹣3+时，△B′DM是直角三角形；（3）①如图③，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH，即2：3=CE：4，∴CE=，∴t=BB′=BC﹣B′E﹣EC=6﹣2﹣=，∵ME=2﹣t，∴FM=t，当0≤t≤时，S=S△FMN=×t×t=t2，②如图④，当G在AC上时，t=2，∵EK=EC•tan∠DCB=EC•=（4﹣t）=3﹣t，∴FK=2﹣EK=t﹣1，∵NL=AD=，∴FL=t﹣，∴当＜t≤2时，S=S△FMN﹣S△FKL=t2﹣（t﹣）（t﹣1）=﹣t2+t﹣；③如图⑤，当G在CD上时，B′C：CH=B′G：DH，即B′C：4=2：3，解得：B′C=，∴EC=4﹣t=B′C﹣2=，∴t=，∵B′N=B′C=（6﹣t）=3﹣t，∵GN=GB′﹣B′N=t﹣1，∴当2＜t ≤时，S=S 梯形GNMF ﹣S △FKL =×2×（t ﹣1+t ）﹣（t ﹣）（t ﹣1）=﹣t 2+2t ﹣，④如图⑥，当＜t ≤4时，∵B′L=B′C=（6﹣t ），EK=EC=（4﹣t ），B′N=B′C=（6﹣t ），EM=EC=（4﹣t ），S=S 梯形MNLK =S 梯形B′EKL ﹣S 梯形B′EMN =﹣t+．综上所述：当0≤t ≤时，S=t 2，当＜t ≤2时，S=﹣t 2+t ﹣；当2＜t ≤时，S=﹣t 2+2t ﹣，当＜t ≤4时，S=﹣t+．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、直角梯形的性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意数形结合思想、方程思想与分类讨论思想的应用，注意辅助线的作法．。
[精品]2015年湖南省长沙市长郡双语中学中考直升数学试卷与参考答案
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2015年湖南省长沙市长郡双语中学中考直升数学试卷一、选择题：每小题3分，共36分．1．（3分）6的相反数是（）A．﹣6 B．C．±6 D．2．（3分）下列计算正确的是（）A．x4+x2=x6B．x4﹣x2=x2C．x4•x2=x8D．（x4）2=x83．（3分）同学们，你们知道“大白”吗？你们看过美国著名动画电影《超能陆战队》吗？该片在3月26日宣告内地票房累积达5.01亿，创造了迪士尼动画电影在中国内地的最高票房纪录，数据“5.01亿”用科学记数法表示为（）A．5.01×107B．5.01×108C．5.01×109D．50.1×1074．（3分）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（﹣2，a2+1），则点P所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．（3分）下列图案中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．6．（3分）如图，正方形OABC的边长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（）A．1 B．C．1.5 D．27．（3分）如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1=40°，则∠2的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．140°8．（3分）如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是（）A．B．C．abπD．acπ9．（3分）⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定10．（3分）小伟5次引体向上的测试成绩（单位：个）分别为：16、18、20、18、18，对此成绩描述错误的是（）A．平均数为18 B．众数为18 C．方差为0 D．极差为411．（3分）一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数是（）A．5 B．6 C．7 D．812．（3分）如图，在等边△ABC中，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN=1，那么△ABC的面积为（）A．3 B．C．4 D．二、填空题：每小题3分，共18分．13．（3分）已知∠α=13°，则∠α的余角大小是．14．（3分）已知2a﹣3b2=5，则10﹣2a+3b2的值是．15．（3分）有一个能自由转动的转盘如图，盘面被分成8个大小与形状都相同的扇形，颜色分为黑白两种，将指针的位置固定，让转盘自由转动，当它停止后，指针指向白色扇形的概率是．16．（3分）如图，A、B两处被池塘隔开，为了测量A、B两处的距离，在AB外选一适当的点C，连接AC、BC，并分别取线段AC、BC的中点E、F，测得EF=20m，则AB=m．17．（3分）元旦期间，商业大厦推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为1000元的商品，共节省280元，则用贵宾卡又享受了折优惠．18．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象可知：当k 时，方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根．三、解答题：本题8个小题，共66分．19．（6分）计算：2sin60°+2﹣1﹣20150﹣|1﹣|．20．（6分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．21．（8分）某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A．篮球B．乒乓球C．羽毛球D．足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：（1）这次被调查的学生共有人；（2）请你将条形统计图（2）补充完整；（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）22．（8分）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．（1）求证：OE=OF；（2）若BC=2，求AB的长．23．（9分）某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：（1）该商场购进A、B两种商品各多少件；（2）商场第二次以原进价购进A、B两种商品．购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是第一次的2倍，A种商品按原售价出售，而B种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于81600元，B种商品最低售价为每件多少元？24．（9分）已知AB是⊙O的直径，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于点F，交BP 于点G，E在CD的延长线上，EP=EG．（1）求证：直线EP为⊙O的切线；（2）点P在劣弧上运动，其他条件不变，若BG2=BF•BO，⊙O的半径为3，sinB=，求弦CD的长．25．（10分）甲乙两车从A市去往B市，甲比乙早出发了2个小时，甲到达B市后停留一段时间返回，乙到达B市后立即返回．甲车往返的速度都为40千米/时，乙车往返的速度都为20千米/时，下图是两车距A市的路程S（千米）与行驶时间t（小时）之间的函数图象．请结合图象回答下列问题：（1）A、B两市的距离是千米，甲到B市后，小时乙到达B市；（2）求甲车返回时的路程S（千米）与时间t（小时）之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）请直接写出甲车从B市往回返后再经过几小时两车相距15千米．26．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点C的坐标为（4，3），反比例函数y=（k＞0）的图象与矩形AOBC的边AC、BC分别相交于点E、F，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上．（1）求证：△AOE与△BOF的面积相等；（2）求反比例函数的解析式；（3）如图2，P点坐标为（2，﹣3），在反比例函数y=的图象上是否存在点M、N（M在N的左侧），使得以O、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M、N的坐标；若不存在，请说明理由．2015年湖南省长沙市长郡双语中学中考直升数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题3分，共36分．1．（3分）6的相反数是（）A．﹣6 B．C．±6 D．【解答】解：6的相反数就是在6的前面添上“﹣”号，即﹣6．故选A．2．（3分）下列计算正确的是（）A．x4+x2=x6B．x4﹣x2=x2C．x4•x2=x8D．（x4）2=x8【解答】解：A、x4、x2不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、同A，故本选项错误；C、应为x4•x2=x4+2=x6，故本选项错误；D、（x4）2=x4×2=x8，故本选项正确；故选D．3．（3分）同学们，你们知道“大白”吗？你们看过美国著名动画电影《超能陆战队》吗？该片在3月26日宣告内地票房累积达5.01亿，创造了迪士尼动画电影在中国内地的最高票房纪录，数据“5.01亿”用科学记数法表示为（）A．5.01×107B．5.01×108C．5.01×109D．50.1×107【解答】解：5.01亿=501 000 000=5.01×108．故选：B．4．（3分）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（﹣2，a2+1），则点P所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵a2为非负数，∴a2+1为正数，∴点P的符号为（﹣，+）∴点P在第二象限．故选：B．5．（3分）下列图案中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选A．6．（3分）如图，正方形OABC的边长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（）A．1 B．C．1.5 D．2【解答】解：应用勾股定理得，正方形的对角线的长度为：，OA为圆的半径，则OD=，所以数轴上的点A表示的数为．故选B．7．（3分）如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1=40°，则∠2的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．140°【解答】解：∵AB∥CD，∠1=40°，∴∠3=∠1=40°，∵DB⊥BC，∴∠2=90°﹣∠3=90°﹣40°=50°．故选B．8．（3分）如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是（）A．B．C．abπD．acπ【解答】解：由题意得底面直径为a，母线长为c，∴几何体的侧面积为acπ，故选B．9．（3分）⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定【解答】解：∵圆心O到直线l的距离d=3，⊙O的半径R=4，则d＜R，∴直线和圆相交．故选A．10．（3分）小伟5次引体向上的测试成绩（单位：个）分别为：16、18、20、18、18，对此成绩描述错误的是（）A．平均数为18 B．众数为18 C．方差为0 D．极差为4【解答】解：16、18、20、18、18的平均数是（16+18=20+18+18）÷5=18；18出现了三次，出现的次数最多，则众数为18；方差=[（16﹣18）2+（18﹣18）2+（20﹣18）2+（18﹣18）2+（18﹣18）2]=；极差为：20﹣16=4；故选C．11．（3分）一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：多边形的内角和是2×360+180=900度，设这个多边形的边数是n，根据题意得：（n﹣2）180°=900°，解得n=7，即这个多边形的边数是7．故选C．12．（3分）如图，在等边△ABC中，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN=1，那么△ABC的面积为（）A．3 B．C．4 D．【解答】解：∵⊙O是等边△ABC的外接圆，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，∴M、N分别是AC、AB的中点，∴MN是等边△ABC的中位线，∵MN=1，∴AB=AC=BC=2MN=2，=×2×2×sin60°=2×=．∴S△ABC故选：B．二、填空题：每小题3分，共18分．13．（3分）已知∠α=13°，则∠α的余角大小是77°．【解答】解：∵∠α=13°，∴∠α的余角=90°﹣13°=77°．故答案为：77°．14．（3分）已知2a﹣3b2=5，则10﹣2a+3b2的值是5．【解答】解：10﹣2a+3b2=10﹣（2a﹣3b2），又∵2a﹣3b2=5，∴10﹣2a+3b2=10﹣（2a﹣3b2）=10﹣5=5．故答案为：5．15．（3分）有一个能自由转动的转盘如图，盘面被分成8个大小与形状都相同的扇形，颜色分为黑白两种，将指针的位置固定，让转盘自由转动，当它停止后，指针指向白色扇形的概率是．【解答】解：∵每个扇形大小相同，因此阴影面积与空白的面积相等，∴落在白色扇形部分的概率为：=．故答案为：．16．（3分）如图，A、B两处被池塘隔开，为了测量A、B两处的距离，在AB外选一适当的点C，连接AC、BC，并分别取线段AC、BC的中点E、F，测得EF=20m，则AB=40m．【解答】解：∵E、F是AC，AB的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF=AB∵EF=20m，∴AB=40m．故答案为40．17．（3分）元旦期间，商业大厦推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为1000元的商品，共节省280元，则用贵宾卡又享受了九折优惠．【解答】解：设用贵宾卡又享受了x折优惠，依题意得：1000﹣1000×80%x=280，解得：x=0.9．即用贵宾卡又享受了九折优惠．故答案为：九．18．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象可知：当k ＜2时，方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根．【解答】解：由二次函数和一元二次方程的关系可知y的最大值即为k的最大值，因此当k＜2时，方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根．三、解答题：本题8个小题，共66分．19．（6分）计算：2sin60°+2﹣1﹣20150﹣|1﹣|．【解答】解：原式=2×+﹣1﹣+1=．20．（6分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【解答】解：，解不等式2x+3＜9，得：x＜3，解不等式﹣x﹣1≤2，得：x≥﹣2，则不等式组的解集为：﹣2≤x＜3，将不等式解集表示在数轴上如图：21．（8分）某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A．篮球B．乒乓球C．羽毛球D．足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：（1）这次被调查的学生共有200人；（2）请你将条形统计图（2）补充完整；（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）【解答】解：（1）根据题意得：20÷=200（人），则这次被调查的学生共有200人；（2）补全图形，如图所示：（3）列表如下：所有等可能的结果为12种，其中符合要求的只有2种，则P==．22．（8分）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．（1）求证：OE=OF；（2）若BC=2，求AB的长．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AB∥CD，∴∠BAC=∠FCO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE=OF；（2）解：如图，连接OB，∵BE=BF，OE=OF，∴BO⊥EF，∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC，∴∠BAC=∠ABO，又∵∠BEF=2∠BAC，即2∠BAC+∠BAC=90°，解得∠BAC=30°，∵BC=2，∴AC=2BC=4，∴AB===6．23．（9分）某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：（1）该商场购进A、B两种商品各多少件；（2）商场第二次以原进价购进A、B两种商品．购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是第一次的2倍，A种商品按原售价出售，而B种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于81600元，B种商品最低售价为每件多少元？【解答】解：（1）设购进A种商品x件，B种商品y件，根据题意得化简得，解之得．答：该商场购进A、B两种商品分别为200件和120件．（2）由于第二次A商品购进400件，获利为（1380﹣1200）×400=72000（元）从而B商品售完获利应不少于81600﹣72000=9600（元）设B商品每件售价为z元，则120（z﹣1000）≥9600解之得z≥1080所以B种商品最低售价为每件1080元．24．（9分）已知AB是⊙O的直径，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于点F，交BP 于点G，E在CD的延长线上，EP=EG．（1）求证：直线EP为⊙O的切线；（2）点P在劣弧上运动，其他条件不变，若BG2=BF•BO，⊙O的半径为3，sinB=，求弦CD的长．【解答】（1）证明：连接OP，如下图所示：∵OP=OB，∴∠OPB=∠B，∵EP=EG，∴∠EPG=∠EGP又∵∠EGP=∠BGF，∠BGF+∠B=90°∴∠OPB+∠EPG=90°，又∵OP经过圆心，∴直线EP为⊙O的切线；（2）解：∵BG2=BF•BO∴又∵∠GBF=∠OBG∴△BGF∽△OBG∴∠GFB=∠OGB=90°在Rt△OGB中．sinB===∴OG=由勾股定理得BG==由题意可知：BG2=BF•BO∴BF==2，∴OF=1连接OD，在Rt△OFD中，FD=2∵OF⊥CD，FO经过圆心，∴FD=FC∴CD=2FD=425．（10分）甲乙两车从A市去往B市，甲比乙早出发了2个小时，甲到达B市后停留一段时间返回，乙到达B市后立即返回．甲车往返的速度都为40千米/时，乙车往返的速度都为20千米/时，下图是两车距A市的路程S（千米）与行驶时间t（小时）之间的函数图象．请结合图象回答下列问题：（1）A、B两市的距离是120千米，甲到B市后，5小时乙到达B市；（2）求甲车返回时的路程S（千米）与时间t（小时）之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）请直接写出甲车从B市往回返后再经过几小时两车相距15千米．【解答】解：（1）由题意，得40×3=120km．120÷20﹣3+2=5小时，故答案为：120，5；（2）∵AB两地的距离是120km，∴A（3，120），B（10，120），D（13，0）．设线段BD的解析式为S1=k1t+b1，由题意，得．，解得：，∴S1=﹣40t+520．t的取值范围为：10≤t≤13；（3）设EF的解析式为s2=k2t+b2，由题意，得，解得：，S2=﹣20t+280．当﹣20t+280﹣（﹣40t+520）=15时，t=；∴﹣10=（小时），当﹣40t+520﹣（﹣20t+280）=15时，t=，∴﹣10=（小时），当120﹣20（t﹣8）=15时，t=，∴﹣10=（小时），答：甲车从B市往回返后再经过小时或小时或两车相距15千米．26．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点C的坐标为（4，3），反比例函数y=（k＞0）的图象与矩形AOBC的边AC、BC分别相交于点E、F，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上．（1）求证：△AOE与△BOF的面积相等；（2）求反比例函数的解析式；（3）如图2，P点坐标为（2，﹣3），在反比例函数y=的图象上是否存在点M、N（M在N的左侧），使得以O、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M、N的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵点E、F均是反比例函数y=上的点，四边形AOBC是矩形，∴AE⊥y轴，BC⊥x轴，=S△BOF=；∴S△AOE（2）∵C坐标为（4，3），∴设E（，3），F（4，），如图1，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边上的G点，作EH⊥OB，垂足为H，∵∠EGH+∠HEG=90°∠EGH+∠FGB=90°，∴∠HEG=∠FGB，又∵∠EHG=∠GBF=90°，∴△EGH∽△GFB，∴=，∴GB==，在Rt△GBF中，GF2=GB2+BF2，即（3﹣）2=（）2+（）2，解得k=，∴反比例函数的解析式为：y=；（3）存在．当OP是平行四边形的边时，如图2所示：平行四边形OPMN，可以看成线段PN沿PO的方向平移至OM处所得．设N（a，），∵P（2，﹣3）的对应点O（0，0），∴M（a﹣2，+3），代入反比例解析式得：（a﹣2）（+3）=，整理得4a2﹣8a﹣7=0，解得a=，当a=时，==，﹣2=，+3=，∴N（，），M（，）（舍去）或N（，），M（，）．当OP为对角线时，如图3所示：设M（a，），N（b，），∵P（2，﹣3），∴，解得，，∴M（，），N（，）（舍去）或M（，），N（，），综上所述：M（，）N（，）；或M（，），N（，）．。
2015年长沙市初中生毕业学业水平考试模拟试卷 数学(五)
2015年长沙市初中毕业学业水平考试模拟试卷数 学（五）注意事项：1、答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁;5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；6、本学科试卷共26个小题，考试时量120分钟，满分120分。
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。
请在答题卡中填涂符合题意的选项。
本题共12个小题，每小题3分，共36分） 1．2015的倒数是A ．-2015B ．2015C ．12015D ．12015-2．下列计算正确的是 A ．133-=- B5=±C ．1243)(ab ab =D ．235x x x =÷3．下列命题中，是真命题的是 A ．相等的角是对顶角 B ．同位角相等C ．同角或等角的余角相等D ．圆周角等于圆心角的一半 4．下列因式分解正确的是 A ．2244(2)x x x ++=+B ．22242(2)ax ax a x x +=+C ．232(1)(2)x x x x ++=--D ．442222()()x y x y x y -=+- 5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的形状是 A ．圆锥 B ．四棱锥 C ．正方体 D ．圆柱第5题图 第6题图6．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AO =5，则AC 的长为 A ．5 B ．6 C ．8 D ．10 7．正八边形的内角和是 A ．720° B ．900° C ．1 080° D ．1 440° 8．下列图象中，直线与两坐标轴所围成的三角形的面积等于3的是A9．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是姓名 准考证号A ．平行四边形B ．正五边形C ．矩形D ．直角梯形10．已知18x x -=，则2216x x+-的值是A ．60B ．64C ．66D ．7211．函数y =的自变量的取值范围是A ．3x ≠B ．x ≥-2C ．x ≥-2，且3x ≠D ．x ≥312．若二次函数y ＝x 2-6x ＋c 的图象过A (-1，y 1)、B (2，y 2)、C (3y 3)三点,则y 1、y 2、y 3的大小关系是 A ．y 1＞y 2＞y 3 B ．y 1＞y 3＞y 2 C ．y 2＞y 1＞y 3 D ．y 3＞y 1＞y 2二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分） 13．已知∠1=33°，则∠1的余角是 度．14．把抛物线2x y =向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是 ． 15．在一个不透明的口袋中装有6个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，6，从中摸出一个小球，其标号大于4的概率为 ．16．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 是AB 的中点，CD =6，则AB = ．第16题图 第17题图 第18题图17．如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的角平分线相交于点O ，过点O 作DE ∥BC 且分别交AB 、AC 于点D 、E ，AB =8，AC =6，则△ADE 的周长是 ．18．如图，货轮在海上以20海里/时的速度由B 向C 航行，在B 处测得灯塔A 的方位角为北偏东70°，测得C 处的方位角为南偏东35°，航行3小时后到达C 处，在C 处测得A 的方位角为北偏东10°，则C 到A 的距离是 海里．三、解答题（本题共8个小题，第19、20小题每小题6分，第21、22小题每小题8分，第23、24小题每小题9分，第25、26小题每小题10分，共66分）19．计算：120151(1)302-⎛⎫- ⎪⎝⎭．20．先化简，再求值：22()()()2m n m n m n n --+--，其中1m =，2n =．21．某校2 000名学生参加“校园安全知识竞赛”，为了了解本次知识竞赛的成绩分布情况，随机抽取了200名学生的得分作为样本进行整理（将得分转换为等级），得到下列不完整的统计图表．请根据所给信息解答以下问题： （1）请补全频数分布直方图；（2）请估计全校参加竞赛的同学中，成绩等级为“A ”的有多少人？（3）如果随机抽查一名参赛学生的成绩等级，该生的成绩等级为哪一级的可能性最大？请说明理由．22．如图，在正方形ABCD 的外侧，以CD 为一边作等边△CDE ，连接AE 、BE ． （1）求证：AE =BE ；（2）已知BE =10，求△ABE 的面积．23．长沙市马王堆蔬菜批发市场某批发商计划以每千克10元的单价对外批发销售某种蔬菜．为了加快销售，该批发商对价格进行两次下调后，售价降为每千克6.4元． （1）求平均每次下调的百分率；（2）某大型超市准备到该批发商处购买2吨该蔬菜，因数量多，该批发商决定再给予两种优惠方案以供选择．方案一：打八折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金1000元．试问超市采购员选择哪种方案更优惠？请说明理由．24．如图，⊙O 与Rt △ABC 的斜边AB 相切于点D ，与直角边AC 交于点E ，且DE ∥BC ，连接OD ， 与BC 相交于点F ．（1）求证：△ADE ∽△FBD ； （2）已知⊙O 的半径为32，AE=AC=，求BC 的长．25．某公司生产某环保产品的成本为每件40元，经过市场调研发现：这件产品在未来两个月（60天）的日销量m （件）与时间t （天）的关系如图所示．未来两个月（60天）该商品每天的价格y （元/件）与时间t （天）的函数关系式为：根据以上信息，解决以下问题： （1）请分别确定130t ≤≤和3160t ≤≤时该产品的日销量m （件）与时间t （天）之间的函数关系式；（2）请预测未来第一个月日销售利润W 1（元）的最小值是多少？第二个月日销售利润W 2（元）的最大值是多少？18013041t 9031t 603t t t y t ⎧+⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩（≤≤，为整数）-（≤≤，为整数）（3）为创建“两型社会”，政府决定大力扶持该环保产品的生产和销售，从第二个月开始每销售一件该产品就补贴a元．有了政府补贴以后，第二个月内该产品日销售利润W3（元）随时间t（天）的增大而增大，求a的最小值．26．如图，已知抛物线经过A(1，0)，B(0，3)两点，对称轴是x=﹣1．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形？②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．。
2015学年湖南省长沙中考数学年试题
数学试卷 第1页（共6页） 数学试卷 第2页（共6页）绝密★启用前江苏省南京市2015年初中毕业生学业考试数 学本试卷满分120分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共12分)一、选择题(本大题共6小题,每小题2分,共12分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.计算|53|-+的结果是 ( ) A .2- B .2 C .8- D .8 2.计算32()xy -的结果是( )A .26x yB .26x y -C .29x yD .29x y - 3.如图,在ABC △中,DE BC ∥,12AD DB =,则下列结论中正确的是( )A.AE AC =B .2DE DB = C .1=3ADC ABC △的周长△的周长 D .1=3ADC ABC △的面积△的面积 4.某市2013年底机动车的数量是6210⨯辆,2014年新增5310⨯辆.用科学记数法表示该市2014年底机动车的数量是( )A .52.310⨯辆B .53.210⨯辆C .62.310⨯辆D .63.210⨯辆 5.( )A .0.4与0.5之间B .0.5与0.6之间C .0.6与0.7之间D .0.7与0.8之间6.如图,在矩形ABCD 中,4AB =,5AD =,AD ,AB ,BC 分别与O 相切于E ,F ,G 三点,过点D 作O 的切线交BC于点M ,切点为N ,则DM 的长为 ( ) A .133 B .92CD.第Ⅱ卷(非选择题 共108分)二、填空题(本大题共10小题,每小2分,共20分.把答案填写在题中的横线上) 7.4的平方根是 ；4的算术平方根是 .8.,则x 的取值范围是 .9.的结果是 . 10.分解因式()(4)a b a b ab --+的结果是 .11.不等式组211,213x x +⎧⎨+⎩＞-＜的解集是 .12.已知方程230x mx ++=的一个根是1,则它的另一个根是 ,m 的值是 .13.在平面直角坐标系中,点A 的坐标是(2,3)-,作点A 关于x 轴的对称点,得到点A ',再作点A '关于y 轴的对称点,得到点A '',则点A ''的坐标是( , ).14.某工程队有14名员工,他们的工种及相应每人每月工资如下表所示.现该工程队进行了人员调整：减少木工2名,增加电工、瓦工各1名.与调整前相比,该工程队员工月工资的方差 (填“变小”“不变”或“变大”).15.如图,在O 的内接五边形ABCDE 中,35CAD ∠=,则B E ∠+∠= o .16.如图,过原点O 的直线与反比例函数1y ,2y 的图像在第一象限内分别交于点,A B ,且A 为OB 的中点.若函数11y x=,则2y 与x 的函数表达式是 .毕业学校_____________ 姓名________________考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共6页） 数学试卷 第4页（共6页）三、解答题(本大题共11小题,88分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分6分) 解不等式2(1)132x x +-+≥,并把它的解集在数轴上表示出来.18.(本小题满分7分)解方程233x x=-.19.(本小题满分7分)计算：22221()aa b a ab a b-÷--+.20.(本小题满分8分)如图,ABC △中,CD 是边AB 上的高,且AD CDCD BD=. (1)求证：ACD CBD △∽△； (2)求ACB ∠的大小.21.(本小题满分8分)为了了解2014年某地区10万名大、中、小学生50米跑成绩情况,教育部门从这三类学生群体中各抽取了10％的学生进行检测.整理样本数据,并结合2010年抽样结果,得到下列统计图.2014年某地区抽样学生人数分布扇形统计图2010年、2014年某地区抽样学生50米跑成绩合格率条形统计图(1)本次检测抽取了大、中、小学生共 名,其中小学生 名；(2)根据抽样的结果,估计2014年该地区10万名大、中、小学生中,50米跑成绩合格的中学生人数为 名；(3)比较2010年与2014年抽样学生50米跑成绩合格率情况,写出一条正确的结论.22.(本小题满分8分)某人的钱包内有10元、20元和50元的纸币各1张.从中随机取出2张纸币. (1)求取出纸币的总额是30元的概率；(2)求取出纸币的总额可购买一件51元的商品的概率.23.(本小题满分8分)如图,轮船甲位于码头O 的正西方向A 处,轮船乙位于码头O 的正北方向C 处,测得45CAO ∠=.轮船甲自西向东匀速行驶,同时轮船乙沿正北方向匀速行驶,它们的速度分别为45km/h 和36km/h .经过0.1h ,轮船甲行驶至B 处,轮船乙行驶至D 位,测得58DBO ∠=,此时B 处距离码头O 有多远？(参考数据：sin580.85,cos580.53,tan58 1.60≈≈≈)24.(本小题满分8分)如图,AB CD ∥,点,E F 分别在,AB CD 上,连接EF .,AEF CFE ∠∠的平分线交于点G ,,BEF DFE ∠∠的平分线交于点H .(1)求证：四边形EGFH 是矩形.(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索.过G作MN EF ∥,分别交,AB CD 于点,M N ,过H 作PQ EF ∥,分别交,AB CD 于点,P Q ,得到四边形MNQP .此时,他猜想四边形MNQP 是菱形,请在下列框图中补全他的证明思路.小明的证明思路数学试卷 第5页（共6页） 数学试卷 第6页（共6页）25.(本小题满分10分)如图,在边长为4的正方形ABCD 中,请画出以A 为一个顶点,另外两个顶点在正方形ABCD 的边上,且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形.(要求：只要画出示意图,并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3).26.(本小题满分8分)如图,四边形ABCD 是O 的内接四边形,BC 的延长线与AD 的延长线交于点E ,且DC DE =.(1)求证：A AEB ∠=∠.(2)连接OE ,交CD 于点F ,OE CD ⊥.求证：ABE △是等边三角形.27.(本小题满分10分)某企业生产并销售某种产品,假设销售量与产量相等.下图中的折线ABD 、线段CD 分别表示该产品每千克生产成本1y (单位：元)、销售价2y (单位：元)与产量x (单位：kg )之间的函数关系.(1)请解释图中点D 的横坐标、纵坐标的实际意义； (2)求线段AB 所表示的1y 与x 之间的函数表达式；(3)当该产品产量为多少时,获得的利润最大？最大利润是多少？毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------。
湖南省长沙市中考数学试题及解析(2015)
湖南省长沙市中考数学试卷(2015)一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）C D3．2014年，长沙地铁2号线的开通运营，极大地缓解了城市中心的交通压力，为我市再次”提供了有力支撑，据统计，长沙地铁2号线每天承动力约为获评“中国最具幸福感城市C D6．在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（）C D30双，各种尺码鞋的销售量如下表所示，你认为7．一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋，说明每买抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为C D11．如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为（）米12．长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利润500元，其利润率为20%．现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．一个不透明的袋子中只装有3个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的条件下，随机从袋中摸出1个球，则摸出白球的概率是．14．圆心角是60°且半径为2的扇形面积为（结果保留π）．15．把+进行化简，得到的最简结果是（结果保留根号）．16．分式方程=的解是x=．17．如图，在△ABC中，DE∥BC，，DE=6，则BC的长是．18．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为．三、解答题（共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，满分66分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）19．计算：（）﹣1+4cos60°﹣|﹣3|+．20．先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）+2xy，其中x=（3﹣π）0，y=2．21．中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x（1）a=，b=；（2）请补全频数分布直方图；（3）这次比赛成绩的中位数会落在分数段；（4）若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人？22．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，对角线AC、BD相交于点O，将对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）后得直线l，直线l与AD、BC两边分别相交于点E和点F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）当α=30°时，求线段EF的长度．23．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？24．如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，﹣），点D在劣弧上，连接BD交x轴于点C，且∠COD=∠CBO．（1）求⊙M的半径；（2）求证：BD平分∠ABO；（3）在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰好为⊙M的切线，求此时点E的坐标．25．在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”．（1）求函数y=x+2的图象上所有“中国结”的坐标；（2）若函数y=（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k的值与相应“中国结”的坐标；（3）若二次函数y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k为常数）的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？26．若关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a＞0，c＞0，a，b，c是常数）与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），与y轴交于点P，其图象顶点为点M，点O为坐标原点．（1）当x1=c=2，a=时，求x2与b的值；（2）当x1=2c时，试问△ABM能否为等边三角形？判断并证明你的结论；（3）当x1=mc（m＞0）时，记△MAB，△PAB的面积分别为S1，S2，若△BPO∽△PAO，且S1=S2，求m的值．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）C D，是有理数；是无理数．3．2014年，长沙地铁2号线的开通运营，极大地缓解了城市中心的交通压力，为我市再次获评“中国最具幸福感城市”提供了有力支撑，据统计，长沙地铁2号线每天承动力约为C D6．在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（）C D，说明每买抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为、某种彩票的中奖概率为、抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为C D11．如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为（）米12．长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利润500元，其利润率为20%．现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利13．一个不透明的袋子中只装有3个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的条件下，随机从袋中摸出1个球，则摸出白球的概率是．个球，则摸出白球的概率是：=．故答案为：．14．圆心角是60°且半径为2的扇形面积为π（结果保留π）．=故答案为：π15．把+进行化简，得到的最简结果是2（结果保留根号）．+．．16．分式方程=的解是x=﹣5．17．如图，在△ABC中，DE∥BC，，DE=6，则BC的长是18．，18．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为4．BD=CD=BC=3OB=OD=三、解答题（共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，满分66分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）19．计算：（）﹣1+4cos60°﹣|﹣3|+．×21．中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x请根据所给信息，解答下列问题：（1）a=60，b=0.15；（2）请补全频数分布直方图；（3）这次比赛成绩的中位数会落在80≤x＜90分数段；（4）若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人？22．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，对角线AC、BD相交于点O，将对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）后得直线l，直线l与AD、BC两边分别相交于点E和点F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）当α=30°时，求线段EF的长度．，ABO====，EF=2OE=．23．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否0.6=124．如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，﹣），点D在劣弧上，连接BD交x轴于点C，且∠COD=∠CBO．（1）求⊙M的半径；（2）求证：BD平分∠ABO；（3）在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰好为⊙M的切线，求此时点E的坐标．，）OA=，AB=，的半径为：OAB===OBC=∠×=AE=AC=AE=，EF=，，（1）求函数y=x+2的图象上所有“中国结”的坐标；（2）若函数y=（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k的值与相应“中国结”的坐标；（3）若二次函数y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k为常数）的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共xx+2y=（（（（y=（，或或，；，，=[×+2）×+1）﹣x﹣xx﹣x×2x﹣x×2y=26．若关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a＞0，c＞0，a，b，c是常数）与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），与y轴交于点P，其图象顶点为点M，点O为坐标原点．（1）当x1=c=2，a=时，求x2与b的值；（2）当x1=2c时，试问△ABM能否为等边三角形？判断并证明你的结论；（3）当x1=mc（m＞0）时，记△MAB，△PAB的面积分别为S1，S2，若△BPO∽△PAO，且S1=S2，求m的值．，代入得：x×，∴方程为：x x+2=0=2ac+）（﹣，||==（=，+2b+1=2c==，即，|=方程可解为x2=﹣﹣。
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2015年湖南省长沙市中考数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）（2015•长沙）下列实数中，为无理数的是（）A．0.2 B．C．D．﹣52．（3分）（2015•长沙）下列运算中，正确的是（）A．x3+x=x4B．（x2）3=x6C．3x﹣2x=1 D．（a﹣b）2=a2﹣b23．（3分）（2015•长沙）2014年，长沙地铁2号线的开通运营，极大地缓解了城市中心的交通压力，为我市再次获评“中国最具幸福感城市”提供了有力支撑，据统计，长沙地铁2号线每天承动力约为185000人次，则数据185000用科学记数法表示为（）A．1.85×105B．1.85×104C．1.8×105D．18.5×1044．（3分）（2015•长沙）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．（3分）（2015•长沙）下列命题中，为真命题的是（）A．六边形的内角和为360度B．多边形的外角和与边数有关C．矩形的对角线互相垂直D．三角形两边的和大于第三边6．（3分）（2015•长沙）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（）A．B．C．D．7．（3分）（2015•长沙）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如下表所示，你认为商家更应该关注鞋子尺码的（）尺码/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25销售量/双 4 6 6 10 2 1 1A．平均数B．中位数C．众数D．方差8．（3分）（2015•长沙）下列说法中正确的是（）A．“打开电视机，正在播放《动物世界》”是必然事件B．某种彩票的中奖概率为，说明每买1000张，一定有一张中奖C．抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为D．想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平，宜采用抽样调查9．（3分）（2015•长沙）一次函数y=﹣2x+1的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10．（3分）（2015•长沙）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A．B．C．D．11．（3分）（2015•长沙）如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为（）B．30sinα米C．30tanα米D．30cosα米A．米12．（3分）（2015•长沙）长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利润500元，其利润率为20%．现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为（）A．562.5元B．875元C．550元D．750元二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）（2015•长沙）一个不透明的袋子中只装有3个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的条件下，随机从袋中摸出1个球，则摸出白球的概率是．14．（3分）（2015•长沙）圆心角是60°且半径为2的扇形面积为（结果保留π）．15．（3分）（2015•长沙）把+进行化简，得到的最简结果是（结果保留根号）．16．（3分）（2015•长沙）分式方程=的解是x=．17．（3分）（2015•长沙）如图，在△ABC中，DE∥BC，，DE=6，则BC的长是．18．（3分）（2015•长沙）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为．三、解答题（共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，满分66分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）19．（6分）（2015•长沙）计算：（）﹣1+4cos60°﹣|﹣3|+．20．（6分）（2015•长沙）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）+2xy，其中x=（3﹣π）0，y=2．21．（8分）（2015•长沙）中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：成绩x/分频数频率50≤x＜60 10 0.0560≤x＜70 20 0.1070≤x＜80 30 b80≤x＜90 a 0.3090≤x≤100 80 0.40请根据所给信息，解答下列问题：（1）a=，b=；（2）请补全频数分布直方图；（3）这次比赛成绩的中位数会落在分数段；（4）若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人？22．（8分）（2015•长沙）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，对角线AC、BD 相交于点O，将对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）后得直线l，直线l与AD、BC两边分别相交于点E和点F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）当α=30°时，求线段EF的长度．23．（9分）（2015•长沙）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？24．（9分）（2015•长沙）如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，﹣），点D在劣弧上，连接BD交x轴于点C，且∠COD=∠CBO．（1）求⊙M的半径；（2）求证：BD平分∠ABO；（3）在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰好为⊙M的切线，求此时点E的坐标．25．（10分）（2015•长沙）在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”．（1）求函数y=x+2的图象上所有“中国结”的坐标；（2）若函数y=（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k的值与相应“中国结”的坐标；（3）若二次函数y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k为常数）的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？26．（10分）（2015•长沙）若关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a＞0，c＞0，a，b，c是常数）与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），与y轴交于点P，其图象顶点为点M，点O为坐标原点．（1）当x1=c=2，a=时，求x2与b的值；（2）当x1=2c时，试问△ABM能否为等边三角形？判断并证明你的结论；（3）当x1=mc（m＞0）时，记△MAB，△PAB的面积分别为S1，S2，若△BPO∽△PAO，且S1=S2，求m的值．2015年湖南省长沙市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）（2015•长沙）下列实数中，为无理数的是（）A．0.2 B．C．D．﹣5考点：无理数．分析：有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数，据此判断出无理数有哪些即可．解答：解：∵﹣5是整数，∴﹣5是有理数；∵0.2是有限小数，∴0.2是有理数；∵，0.5是有限小数，∴是有理数；∵是无限不循环小数，∴是无理数．故选：C．点评：此题主要考查了无理数和有理数的特征和区别，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数．2．（3分）（2015•长沙）下列运算中，正确的是（）A．x3+x=x4B．（x2）3=x6C．3x﹣2x=1 D．（a﹣b）2=a2﹣b2考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；完全平方公式．分析：根据同类项、幂的乘方和完全平方公式计算即可．解答：解：A、x3与x不能合并，错误；B、（x2）3=x6，正确；C、3x﹣2x=x，错误；D、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，错误；故选B点评：此题考查同类项、幂的乘方和完全平方公式，关键是根据法则进行计算．3．（3分）（2015•长沙）2014年，长沙地铁2号线的开通运营，极大地缓解了城市中心的交通压力，为我市再次获评“中国最具幸福感城市”提供了有力支撑，据统计，长沙地铁2号线每天承动力约为185000人次，则数据185000用科学记数法表示为（）A．1.85×105B．1.85×104C．1.8×105D．18.5×104考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将185000用科学记数法表示为1.85×105．故选A．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）（2015•长沙）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．考点：中心对称图形；轴对称图形．分析：根据轴对称图形和中心对称图形的定义可直接得到答案．解答：解：A、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确；C、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误；D、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5．（3分）（2015•长沙）下列命题中，为真命题的是（）A．六边形的内角和为360度B．多边形的外角和与边数有关C．矩形的对角线互相垂直D．三角形两边的和大于第三边考点：命题与定理．分析：根据六边形的内角和、多边形的外角和、矩形的性质和三角形三边关系判断即可．解答：解：A、六边形的内角和为720°，错误；B、多边形的外角和与边数无关，都等于360°，错误；C、矩形的对角线相等，错误；D、三角形的两边之和大于第三边，正确；故选D．点评：本题考查命题的真假性，是易错题．注意对六边形的内角和、多边形的外角和、矩形的性质和三角形三边关系的准确掌握．6．（3分）（2015•长沙）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（）A．B．C．D．考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．分析：先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．本题解不等式组得：，再分别表示在数轴上即可得解．解答：解：由x+2＞0得x＞﹣2，由2x﹣6≤0，得x≤3，把解集画在数轴上为：故选A．点评：本题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．7．（3分）（2015•长沙）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如下表所示，你认为商家更应该关注鞋子尺码的（）尺码/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25销售量/双 4 6 6 10 2 1 1A．平均数B．中位数C．众数D．方差考点：统计量的选择．分析：根据平均数、中位数、众数、方差的意义分析判断即可，得出鞋店老板最关心的数据．解答：解：∵众数体现数据的最集中的一点，这样可以确定进货的数量，∴鞋店最喜欢的是众数．故选：C．点评：此题主要考查了统计的有关知识，主要是众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．8．（3分）（2015•长沙）下列说法中正确的是（）A．“打开电视机，正在播放《动物世界》”是必然事件B．某种彩票的中奖概率为，说明每买1000张，一定有一张中奖C．抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为D．想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平，宜采用抽样调查考点：概率的意义；全面调查与抽样调查；随机事件；概率公式．分析：根据随机事件，可判断A；根据概率的意义，可判断B、C；根据调查方式，可判断D．解答：解：A、“打开电视机，正在播放《动物世界》”是随机事件，故A错误；B 、某种彩票的中奖概率为，说明每买1000张，有可能中奖，也有可能不中奖，故B错误；C 、抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为，故C错误；D、想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平，宜采用抽样调查，故D正确；故选：D．点评：本题考查了全面调查与抽样调查，正确区分全面调查与抽样调查是解题关键，注意概率时事件发生可能性的大小，并不一定发生．9．（3分）（2015•长沙）一次函数y=﹣2x+1的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：一次函数图象与系数的关系．分析：先根据一次函数y=﹣2x+1中k=﹣2，b=1判断出函数图象经过的象限，进而可得出结论．解答：解：∵一次函数y=﹣2x+1中k=﹣2＜0，b=1＞0，∴此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．故选C点评：本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＞0时，函数图象经过一、二、四象限．10．（3分）（2015•长沙）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A．B．C．D．考点：三角形的角平分线、中线和高．分析：根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．解答：解：为△ABC中BC边上的高的是A选项．故选A．点评：本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．11．（3分）（2015•长沙）如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为（）A．B．30sinα米C．30tanα米D．30cosα米米考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：根据题意，在Rt△ABO中，BO=30米，∠ABO为α，利用三角函数求解．解答：解：在Rt△ABO中，∵BO=30米，∠ABO为α，∴AO=BOtanα=30tanα（米）．故选C．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．12．（3分）（2015•长沙）长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利润500元，其利润率为20%．现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为（）A．562.5元B．875元C．550元D．750元考点：一元一次方程的应用．分析：设进价为x元，则该商品的标价为1.5x元，根据“按标价打八折销售该电器一件，则可获利润500元”可以得到x的值；然后计算打九折销售该电器一件所获得的利润．解答：解：设进价为x元，则该商品的标价为1.5x元，由题意得1.5x×0.8﹣x=500，解得：x=2500．则标价为1.5×2500=3750（元）．则3750×0.9﹣2500=875（元）．故选：B．点评：此题考查一元一次方程的实际运用，掌握销售中的基本数量关系是解决问题的关键．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）（2015•长沙）一个不透明的袋子中只装有3个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的条件下，随机从袋中摸出1个球，则摸出白球的概率是．考点：概率公式．分析：由一个不透明的袋子中只装有3个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别，直接利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：∵一个不透明的袋子中只装有3个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别，∴随机从袋中摸出1个球，则摸出白球的概率是：=．故答案为：．点评：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．（3分）（2015•长沙）圆心角是60°且半径为2的扇形面积为π（结果保留π）．考点：扇形面积的计算．分析：根据扇形的面积公式代入，再求出即可．解答：解：由扇形面积公式得：S==π．故答案为：π．点评：本题考查了扇形面积公式的应用，注意：圆心角为n°，半径为r的扇形的面积为S=．15．（3分）（2015•长沙）把+进行化简，得到的最简结果是2（结果保留根号）．考点：二次根式的混合运算．分析：先进行二次根式的化简，然后合并．解答：解：原式=+=2．故答案为：2．点评：本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简．16．（3分）（2015•长沙）分式方程=的解是x=﹣5．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：本题考查解分式方程的能力，观察可得方程最简公分母为x（x﹣2），去分母，化为整式方程求解．解答：解：去分母，得5（x﹣2）=7x，解得：x=﹣5，经检验：x=﹣5是原方程的解．点评：解分式方程的关键是两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，易错点是忽视检验．17．（3分）（2015•长沙）如图，在△ABC中，DE∥BC，，DE=6，则BC的长是18．考点：相似三角形的判定与性质．分析：由平行可得到DE：BC=AD：AB，由DE=6可求得BC．解答：解：∵DE∥BC，∴DE：BC=AD：AB=，即6：BC=1：3，∴BC=18．故答案为：18．点评：本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．18．（3分）（2015•长沙）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为4．考点：垂径定理；勾股定理．分析：根据垂径定理求得BD，然后根据勾股定理求得即可．解答：解：∵OD⊥BC，∴BD=CD=BC=3，∵OB=AB=5，∴OD==4．故答案为4．点评：题考查了垂径定理、勾股定理，本题非常重要，学生要熟练掌握．三、解答题（共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，满分66分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）19．（6分）（2015•长沙）计算：（）﹣1+4cos60°﹣|﹣3|+．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．分析：原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用算术平方根定义计算即可得到结果．解答：解：原式=2+4×﹣3+3=4．点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（6分）（2015•长沙）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）+2xy，其中x=（3﹣π）0，y=2．考点：整式的混合运算—化简求值；零指数幂．分析：首先去掉括号，然后合并同类项，最后把x=1，y=2代入化简式进行计算即可．解答：解：（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）+2xy=x2﹣y2﹣x2﹣xy+2xy=xy﹣y2，∵x=（3﹣π）0=1，y=2，∴原式=2﹣4=﹣2．点评：本题主要考查了整式的化简求值的知识，解答本题的关键是掌握平方差公式以及单项式乘以多项式的运算法则，此题难度不大．21．（8分）（2015•长沙）中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：成绩x/分频数频率50≤x＜60 10 0.0560≤x＜70 20 0.1070≤x＜80 30 b80≤x＜90 a 0.3090≤x≤100 80 0.40请根据所给信息，解答下列问题：（1）a=60，b=0.15；（2）请补全频数分布直方图；（3）这次比赛成绩的中位数会落在80≤x＜90分数段；（4）若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人？考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表；中位数．分析：（1）根据第一组的频数是10，频率是0.05，求得数据总数，再用数据总数乘以第四组频率可得a的值，用第三组频数除以数据总数可得b的值；（2）根据（1）的计算结果即可补全频数分布直方图；（3）根据中位数的定义，将这组数据按照从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数据（或中间两数据的平均数）即为中位数；（4）利用总数3000乘以“优”等学生的所占的频率即可．解答：解：（1）样本容量是：10÷0.05=200，a=200×0.30=60，b=30÷200=0.15；（2）补全频数分布直方图，如下：（3）一共有200个数据，按照从小到大的顺序排列后，第100个与第101个数据都落在第四个分数段，所以这次比赛成绩的中位数会落在80≤x＜90分数段；（4）3000×0.40=1200（人）．即该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等的大约有1200人．故答案为60，0.15；80≤x＜90；1200．点评：本题考查读频数（率）分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了中位数和利用样本估计总体．22．（8分）（2015•长沙）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，对角线AC、BD 相交于点O，将对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）后得直线l，直线l与AD、BC两边分别相交于点E和点F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）当α=30°时，求线段EF的长度．考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．分析：（1）首先证明AE=CF，OE=OF，结合AO=CO，利用SSS证明△AOE≌△COF；（2）首先画出α=30°时的图形，根据菱形的性质得到EF⊥AD，解三角形即可求出OE的长，进而得到EF的长．解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AO=OC，∴，∴AE=CF，OE=OF，在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF．（2）当α=30°时，即∠AOE=30°，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴∠OAD=60°，∴∠AEO=90°，在Rt△AOB中，sin∠ABO===，∴AO=1，在Rt△AEO中，cos∠AOE=cos30°==，∴OE=，∴EF=2OE=．点评：本题主要考查了菱形的性质以及解三角形的知识，解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质，解答（2）问时需要正确作出图形，此题难度不大．23．（9分）（2015•长沙）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．专题：增长率问题．分析：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可；（2）首先求出今年6月份的快递投递任务，再求出21名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较得出该公司不能完成今年6月份的快递投递任务，进而求出至少需要增加业务员的人数．解答：解：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意得10（1+x）2=12.1，解得x1=0.1，x2=﹣2.2（不合题意舍去）．答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；（2）今年6月份的快递投递任务是12.1×（1+10%）=13.31（万件）．∵平均每人每月最多可投递0.6万件，∴21名快递投递业务员能完成的快递投递任务是：0.6×21=12.6＜13.31，∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务∴需要增加业务员（13.31﹣12.6）÷0.6=1≈2（人）．答：该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加2名业务员．点评：本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．24．（9分）（2015•长沙）如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，﹣），点D在劣弧上，连接BD交x轴于点C，且∠COD=∠CBO．（1）求⊙M的半径；（2）求证：BD平分∠ABO；（3）在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰好为⊙M的切线，求此时点E的坐标．考点：圆的综合题．分析：（1）由点A（，0）与点B（0，﹣），可求得线段AB的长，然后由∠AOB=90°，可得AB是直径，继而求得⊙M的半径；（2）由圆周角定理可得：∠COD=∠ABC，又由∠COD=∠CBO，即可得BD平分∠ABO；（3）首先过点A作AE⊥AB，垂足为A，交BD的延长线于点E，过点E作EF⊥OA 于点F，易得△AEC是等边三角形，继而求得EF与AF的长，则可求得点E的坐标．解答：解：（1）∵点A（，0）与点B（0，﹣），∴OA=，OB=，∴AB==2，∵∠AOB=90°，∴AB是直径，∴⊙M的半径为：；（2）∵∠COD=∠CBO，∠COD=∠CBA，∴∠CBO=∠CBA，即BD平分∠ABO；（3）如图，过点A作AE⊥AB，垂足为A，交BD的延长线于点E，过点E作EF⊥OA 于点F，即AE是切线，∵在Rt△AOB中，tan∠OAB===，∴∠OAB=30°，∴∠ABO=90°﹣∠OAB=60°，∴∠ABC=∠OBC=∠ABO=30°，∴OC=OB•tan30°=×=，∴AC=OA﹣OC=，∴∠ACE=∠ABC+∠OAB=60°，∴△ACE是等边三角形，∴AE=AC=，∴AF=AE=，EF=AE=，∴OF=OA﹣AF=，∴点E的坐标为：（，）．点评：此题属于一次函数的综合题，考查了勾股定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．25．（10分）（2015•长沙）在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”．（1）求函数y=x+2的图象上所有“中国结”的坐标；（2）若函数y=（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k的值与相应“中国结”的坐标；（3）若二次函数y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k为常数）的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？考点：反比例函数综合题．分析：（1）因为x是整数，x≠0时，x是一个无理数，所以x≠0时，x+2不是整数，所以x=0，y=2，据此求出函数y=x+2的图象上所有“中国结”的坐标即可．（2）首先判断出当k=1时，函数y=（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，1）、（﹣1、﹣1）；然后判断出当k≠1时，函数y=（k≠0，k为常数）的图象上最少有4个“中国结”，据此求出常数k的值与相应“中国结”的坐标即可．（3）首先令（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k=0，则[（k﹣1）x+k][（k﹣2）x+（k﹣1）]=0，求出x1、x2的值是多少；然后根据x1、x2的值是整数，求出k的值是多少；最后根据横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”，判断出该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”即可．解答：解：（1）∵x是整数，x≠0时，x是一个无理数，∴x≠0时，x+2不是整数，。