概率论习题2答案(供参考)
概率论与数理统计第二章习题参考答案]
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(1)设
X
服从二项分布，其分布律为 P{X
=
k}=
C
k n
pk (1−
)p n−k
K=0，1，2，……n，问 K 取何值时 P{X = k}最大？
（2）设 X 服从泊松分布，其分布率为 p{X = k} = λke−λ ，k=0，1，2……
k!
问 K 取何值时 P{X = k}最大？
（1）
解： M
=
N 试确定常数 a
（2）设随机变量 X 的分布律为 P{X = k} = b ⋅ ⎜⎛ 2 ⎟⎞k , k = 1,2.....
⎝3⎠
试确定常数 b
（3）设随机变量 X 的分布律为 P{X = k} = c ⋅ λk , k = 0,1,2......λ > 0 为常数，
k!
试确定常数 c
N
解：（1） ∑ P{X
6、设随机变量 X 的分布律为 P{X = k} = k , k = 1,2,3,4,5
15
其分布函数为 F (x) ，试求：
（1）
P⎨⎧ ⎩
1 2
<
X
<
5 2
⎫ ⎬ ⎭
，
（2） P{1 ≤ X ≤ 2}，
（3） F ⎜⎛ 1 ⎟⎞ ⎝5⎠
解：（1）
P⎨⎧ ⎩
1 2
<
X
<
5⎫
2
⎬ ⎭
=
P{X
= 1}+
0
2
1
x
xdx+
0
1
(2−
x)dx=
2x
−
x2
/
2−1
0< x ≤1 1< x≤2
概率论第二章习题答案
概率论第二章习题答案习题1：离散型随机变量及其分布律设随机变量X表示掷一枚公正的六面骰子得到的点数。
求X的分布律。
解答：随机变量X的可能取值为1, 2, 3, 4, 5, 6。
由于骰子是公正的，每个面出现的概率都是1/6。
因此，X的分布律为：\[ P(X=k) = \frac{1}{6}, \quad k = 1, 2, 3, 4, 5, 6 \]习题2：连续型随机变量及其概率密度函数设随机变量Y表示从标准正态分布中抽取的数值。
求Y的概率密度函数。
解答：标准正态分布的概率密度函数为高斯函数，其形式为：\[ f(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{y^2}{2}}, \quad -\infty < y < \infty \]习题3：随机变量的期望值已知随机变量X的分布律为：\[ P(X=k) = p_k, \quad k = 1, 2, ..., n \]求X的期望值E(X)。
解答：随机变量X的期望值定义为：\[ E(X) = \sum_{k=1}^{n} k \cdot p_k \]习题4：随机变量的方差继续使用习题3中的随机变量X，求X的方差Var(X)。
解答：随机变量X的方差定义为期望值的平方与每个值乘以其概率之和的差：\[ Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \]其中，\( E(X^2) = \sum_{k=1}^{n} k^2 \cdot p_k \)习题5：二项分布设随机变量X表示n次独立伯努利试验中成功的次数，每次试验成功的概率为p。
求X的分布律和期望值。
解答：X服从参数为n和p的二项分布。
其分布律为：\[ P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, ..., n \]X的期望值为：\[ E(X) = np \]结束语：以上是概率论第二章的一些典型习题及其解答。
概率论第三版第2章答案详解
第二章作业题解:2.1 掷一颗匀称的骰子两次, 以X 表示前后两次出现的点数之和, 求X 的概率分布, 并验证其满足(2.2.2) 式.解：由表格知X 的可能取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。
并且，361)12()2(====X P X P ；362)11()3(====X P X P ； 363)10()4(====X P X P ；364)9()5(====X P X P ；365)8()6(====X P X P ；366)7(==X P 。
即36|7|6)(k k X P --== (k =2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)2.2 设离散型随机变量的概率分布为,2,1,}{ ===-k ae k X P k 试确定常数a .解：根据1)(0==∑∞=k k X P ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---eae 。
故1-=e a2.3 甲、乙两人投篮时, 命中率分别为0.7和0.4 , 今甲、乙各投篮两次, 求下列事件的概率：(1) 两人投中的次数相同; (2) 甲比乙投中的次数多.解：分别用)2,1(,=i B A i i 表示甲乙第一、二次投中，则12121212()()0.7,()()0.3,()()0.4,()()0.6,P A P A P A P A P B P B P B P B ========两人两次都未投中的概率为：0324.06.06.03.03.0)(2121=⨯⨯⨯=B B A A P ， 两人各投中一次的概率为：2016.06.04.03.07.04)()()()(1221211212212121=⨯⨯⨯⨯=+++B B A A P B B A A P B B A A P B B A A P 两人各投中两次的概率为：0784.0)(2121=B B A A P 。
所以： （1）两人投中次数相同的概率为3124.00784.02016.00324.0=++ (2) 甲比乙投中的次数多的概率为：12121221121212121212()()()()()20.490.40.60.490.3620.210.360.5628P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B ++++=⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯= 2.4 设离散型随机变量X 的概率分布为5,4,3,2,1,15}{===k kk X P ，求 )31()1(≤≤X P )5.25.0()2(<<X P解：(1)52153152151)31(=++=≤≤X P (2) )2()1()5.25.0(=+==<<X P X P X P 51152151=+=2.5 设离散型随机变量X 的概率分布为,,3,2,1,21}{ ===k k X P k，求 };6,4,2{)1( =X P }3{)2(≥X P解：31)21211(21212121}6,4,2{)1(422642=++⨯=++== X P41}2{}1{1}3{)2(==-=-=≥X P X P X P2.6 设事件A 在每次试验中发生的概率均为0.4 , 当A 发生3 次或3 次以上时, 指示灯发出信号, 求下列事件的概率：(1) 进行4 次独立试验, 指示灯发出信号; (2) 进行5 次独立试验, 指示灯发出信号.解：(1))4()3()3(=+==≥X P X P X P1792.04.06.04.04334=+⨯=C(2) )5()4()3()3(=+=+==≥X P X P X P X P31744.04.06.04.06.04.054452335=+⨯+⨯=C C .2.7 某城市在长度为t (单位：小时) 的时间间隔内发生火灾的次数X 服从参数为0.5t 的泊松分布, 且与时间间隔的起点无关, 求下列事件的概率： (1) 某天中午12 时至下午15 时未发生火灾; (2) 某天中午12 时至下午16 时至少发生两次火灾. 解：(1)()!kP X k e k λλ-==，由题意，0.53 1.5,0k λ=⨯==，所求事件的概率为 1.5e -. (2)0(2)110!1!P X e e e e λλλλλλλ----≥=--=--, 由题意，0.54 1.5λ=⨯=，所求事件的概率为213e --.2.8 为保证设备的正常运行, 必须配备一定数量的设备维修人员. 现有同类设备180 台, 且各台设备工作相互独立, 任一时刻发生故障的概率都是0.01，假设一台设备的故障由一人进行修理,问至少应配备多少名修理人员, 才能保证设备发生故障后能得到及时修理的概率不小于0.99？解：设应配备m 名设备维修人员。
概率论课本答案2(龙版)
第二章 （证明题略）练习2-1练习题1. 2. 3. 见教材P259页解答。
4．解：X: 甲投掷一次后的赌本。
Y ：乙……… 21214020p x 21213010Y p⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=40,14020,2120,0)(F ~x x x x x X ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=30,13010,2110,0)(F ~Y x x x y Y5.解（1）∑∑∑∑=====⇒=⇒=⇒==10011001100110012112121)(i ii i i i ia a a i x p（２）31211112112121)(1111=⇒=--⇒=⇒=⇒=⇒==∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=a a a a ai x p i i i i i i i6.解 21 51 101512 0 25X --p 7．解（１）X:有放回情形下的抽取次数。
P （取到正品）＝107C C 11017=P （取到次品）＝103 107)103( 107)103( 107103,107i 3 2 1X 1-i 2 ⋅p（２）Y:无放回情形下。
778192103 87 92103 97 103 1074 3 2 1 Y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅p8．解54511)5(1)3(1)3P(=-=-=-=-≤-=->X p X p X 542)P(X 0)P(X )2()33()3X P(==+=+-==<<-=<X p X p 107)5()2()3()1()21P(2)1()21X P(=-=+==-<+>=-<++>+=>+X p X p X p X p X X p9．解（１）根据分布函数的性质11)1()(2lim 1lim 1=⇒=⇒=++→→A Ax F x F x x(2))5.0()8.0()8.05.0(F F X P -=≤<225.08.0-=＝0.3910．解：依据分布满足的性质进行判断： （１）+∞<<∞-x单调性：+∞<<<⇒<x x F x F x x 0).()(2121在时不满足。
概率论与数理统计2.第二章练习题(答案)
第二章练习题（答案）一、单项选择题1．已知连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤+<=ππx x b kx x x F ,10,0,0)( 则常数k 和b 分别为 （ A ）（A ）0,1==b k π （B ）π1,0b k = （C ）0,21==b k π （D ）π21,0==b k ． 2.下列函数哪个是某随机变量的分布函数 （ A ）A. f （x ）={xa e −x 22a,x ≥01, x <0(a ＞0); B. f （x ）={12cosx, 0< x <π0, 其他C. f （x ）={cosx, −π2< x <π20, 其他D. f （x ）={sinx, −π2< x <π20, 其他3.若函数()f x 是某随机变量X 的概率密度函数，则一定成立的是 （ C ） A. ()f x 的定义域是[0,1] B. ()f x 的值域为[0,1] C. ()f x 非负 D. ()f x 在(,)-∞+∞内连续4. 设)1,1(~N X ，密度函数为)(x f ，则有（ C ） A.{}{}00>=≤X P X P B. )()(x f x f -= C. {}{}11>=≤X P X P D. )(1)(x F x F --=5. 设随机变量()16,~μN X ，()25,~μN Y ，记()41-<=μX P p ，()52+>=μY P p ，则正确的是 （ A ）.（A ）对任意μ，均有21p p = （B ）对任意μ，均有21p p < （C ）对任意μ，均有21p p > （D ）只对μ的个别值有21p p = 6. 设随机变量2~(10,)X N ，则随着的增加{10}P X （ C ）A.递增B.递减C.不变D.不能确定7.设F 1(x )与F 2(x )分别为随机变量X 1、X 2的分布函数,为使F (x )=aF 1(x )-bF 2(x )是某一随机变量的分布函数,在下列给定的多组数值中应取 ( A )A . a =53, b =52-; B . a =32, b =32;C . 21-=a ， 23=b ; D . 21=a , 23-=b .8.设X 1与X 2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度函数分别为f 1(x )和f 2(x )，分布函数分别为F 1(x )和F 2(x )，则 ( D ) (A) f 1(x )+f 2(x ) 必为某个随机变量的概率密度； （B ）f 1(x )•f 2(x ) 必为某个随机变量的概率密度； （C ）F 1(x )+F 2(x ) 必为某个随机变量的分布函数； (D) F 1(x ) •F 2(x ) 必为某个随机变量的分布函数。
概率论与数理统计 习题参考答案
概率论与数理统计习题二参考答案1、将一颗骰子抛掷两次，以X 1表示两次所得点数之和，以X 2表示两次得到的点数的最小者，试分别求X 1和X 2的分布律。
解：X 1可取2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、123616161)1,1()2(1=×===P X P36261616161)"1,2""2,1(")3(1=×+×=∪==P X P 363616161616161)"1,3""2,2""3,1(")4(1=×+×+×=∪∪==P X P …… 所以X 1的分布律为X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P k 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 X 2可取的数有1、2、3、4、5、6P （X 2=1）=P （）="1,6""1,5""1,4""1,3""1,2""6,1""5,1""4,1""3,1""2,1""1,1"∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪3611所以X 2的分布律为 X 2 1 2 3 4 5 6 P k 11/36 9/36 7/36 5/36 3/36 1/36 2、10只产品中有2只是次品，从中随机地抽取3只，以X 表示取出次品的只数，求X 的分布律。
解：X 可取0、1、2{}310380C C X P ==157={}15713102812===C C C X P {}15123101822===C C C X P3、进行重复独立试验。
概率论第二章习题解答(全)
概率论第二章习题1考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保一年内意外死亡，则公司赔付20万元，若投保人因其它原因死亡，则公司赔付5万元，若投保人在投保期末自下而上，则公司无需传给任何费用。
若投保人在一年内因意外死亡的概率为0.0002，因其它原因死亡的概率为0.0010，求公司赔付金额的分崣上。
解设赔付金额为X ，则X 是一个随机变量，取值为20万，5万，0，其相应的概率为0.0002；0.0010；0.9988，于是得分布律为X20（万）5万0xp 0.00020.00100.99882.（1）一袋中装有5只球，编号为1,2，3,4，5。
在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律（2）将一颗骰子抛掷两次，以X 表示两次中得到的小的点数，试求X 的分布律。
解（1）在袋中同时取3个球，最大的号码是3,4，5。
每次取3个球，其总取法：35541021C ⋅==⋅，若最大号码是3，则有取法只有取到球的编号为1,2，3这一种取法。
因而其概率为22335511{3}10C P X C C ====若最大号码为4，则号码为有1,2，4；1，3,4；2，3，4共3种取法，其概率为23335533{4}10C P X C C ====若最大号码为5，则1，2,5；1,3，5；1，4,5；2,3，5；2,4，5；3,4，5共6种取法其概率为25335566{5}10C P X C C ====一般地3521)(C C x X p x -==，其中21-x C 为最大号码是x 的取法种类数，则随机变量X 的分布律为X 345xp 101103610（2）将一颗骰子抛掷两次，以X 表示两次中得到的小的点数，则样本点为S ＝｛（1,1），（1,2），（1,3），…，（6,6）｝，共有36个基本事件，X 的取值为1,2，3,4，5,6，最小点数为1，的共有11种，即（1,1，），（1,2），（2,1）…，（1,6），（6,1），11{1}36P X ==；最小点数为2的共有9种，即（2,2），（2,3），（3,2），…，（3,6），（6,3），9{2}36P X ==；最小点数为3的共有7种，7{3}36P X ==；最小点数为4的共有5种，5{4}36P X ==；最小点数为5的共有3种，3{5}36P X ==；最小点数为6的共有1种，1{6}36P X ==于是其分布律为X 123456kp 11369367365363361363设在15只同类型的产品中有2只次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品的次数，（1）求X 的分布律；（2）画出分布律的图形。
（完整版）概率论第二章答案
（完整版）概率论第⼆章答案习题2-21. 设A 为任⼀随机事件, 且P (A )=p (01,,0,A X A =??发⽣不发⽣.写出随机变量X 的分布律.解 P {X =1}=p , P {X =0}=1-p . 或者2. 已知随机变量X 只能取-1,0,1,2四个值, 且取这四个值的相应概率依次为cc c c 167,85,43,21. 试确定常数c , 并计算条件概率}0|1{≠13571,24816c c c c+++= 所以3716c=. 所求概率为 P {X <1| X0≠}=258167852121}0{}1{=++=≠-=cc c c X P X P . 3. 设随机变量X 服从参数为2, p 的⼆项分布, 随机变量Y 服从参数为3, p 的⼆项分布, 若{P X ≥51}9 =, 求{P Y ≥1}.解注意p{x=k}=kk n k n C p q -,由题设5{9P X =≥21}1{0}1,P X q =-==-故213qp =-=. 从⽽{P Y ≥32191}1{0}1().327P Y =-==-=4. 在三次独⽴的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知⾄少成功⼀次的概率为1927, 求每次试验成功的概率.解设每次试验成功的概率为p , 由题意知⾄少成功⼀次的概率是2719，那么⼀次都没有成功的概率是278. 即278)1(3=-p , 故 p =31. 5. 若X 服从参数为λ的泊松分布, 且{1}{3}P X P X ===, 求参数λ.解由泊松分布的分布律可知6=λ.6. ⼀袋中装有5只球, 编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只球, 以X 表⽰取出的3只球中的最⼤号码, 写出随机变量X 的分布律.解从1，2，3，4，5中随机取3个，以X 表⽰3个数中的最⼤值，X 的可能取值是3，4，5，在5个数中取3个共有1035=C 种取法.{X =3}表⽰取出的3个数以3为最⼤值，P{X =3}=2235C C =101;{X =4}表⽰取出的3个数以4为最⼤值，P{X =4}=1033523=C C ;{X =5}表⽰取出的3个数以5为最⼤值，P{X =5}=533524=C C .X 的分布律是1. 设X求分布函数解 (1) F (x )=0,1,0.15,10,0.35,01,1,1.x x x x <-??-(2) P {X <0}=P {X =-1}=0.15;(3) P {X <2}= P {X =-1}+P {X =0}+P {X =1}=1; (4) P {-2≤x <1}=P {X =-1}+P {X =0}=0.35. 2. 设随机变量X 的分布函数为F (x ) = A +B arctan x -∞试求: (1) 常数A 与B ; (2) X 落在(-1, 1]内的概率.解 (1) 由于F (-∞) = 0, F (+∞) = 1, 可知()0112,.2()12A B A B A B πππ?+-===?+= 于是 11()arctan ,.2F x x x π=+-∞<<+∞(2) {11}(1)(1)P X F F -<=--≤1111(arctan1)(arctan(1))22ππ=+-+-11111().24242ππππ=+?---=3. 设随机变量X 的分布函数为F (x )=0, 0,01,21,1,,x xx x <求P {X ≤-1}, P {0.3解 P {X 1}(1)0F -=-=≤,P {0.3P {05. 假设随机变量X 的绝对值不⼤于1;11{1},{1}84P X P X =-===; 在事件{11}X -<<出现的条件下, X 在(-1,1)内任⼀⼦区间上取值的条件概率与该区间的长度成正⽐. (1) 求X 的分布函数(){F x P X =≤x }; (2) 求X 取负值的概率p .解 (1) 由条件可知, 当1x <-时, ()0F x =; 当1x =-时,1(1)8F -=;当1x =时, F (1)=P {X ≤1}=P (S )=1. 所以115{11}(1)(1){1}1.848P X F F P X -<<=---==--=易见, 在X 的值属于(1,1)-的条件下, 事件{1}X x -<<的条件概率为{1P X -<≤|11}[(1)]x X k x -<<=--,取x =1得到 1=k (1+1), 所以k =12. 因此{1P X -<≤|11}12x X x -<<=+. 于是, 对于11x -<<, 有 {1P X -<≤}{1x P X =-<≤,11}x X -<<{11}{1|11}≤P X P X x X =-<<-<-<< 5155.8216x x ++=?=对于x ≥1, 有() 1.F x = 从⽽0,1,57(),11,161,1.x x F x x x <-+=-<7{0}(0){0}(0)[(0)(0)](0).16p P X F P X F F F F =<=-==---=-=习题2-41. 选择题 (1) 设2, [0,],()0, [0,].x x c f x x c ∈=如果c =( ), 则()f x 是某⼀随机变量的概率密度函数. (A)13. (B) 12. (C) 1. (D) 32.解由概率密度函数的性质()d 1f x x +∞-∞=?可得02d 1cx x =?, 于是1=c , 故本题应选(C ).(2) 设~(0,1),XN ⼜常数c 满⾜{}{}P X c P X c =<≥, 则c 等于( ).(A) 1. (B) 0. (C) 12. (D) -1.解因为{}{}P X c P X c =<≥, 所以1{}{}P X c P X c -<=<,即2{}1P X c <=, 从⽽{}0.5P X c <=,即()0.5c Φ=, 得c =0. 因此本题应选(B).(3) 下列函数中可以作为某⼀随机变量的概率密度的是( ).(A)cos ,[0,],()0,x x f x π∈=??其它. (B) 1,2,()20,x f x <=其它.(C)22()2,0,()0,0.≥x x f x x µσ--==?可知本题应选(D).(4) 设随机变量2~(,4)XN µ, 2~(,5)Y N µ, 1{X P P =≤4µ-}, {2P P Y =≥5µ+}, 则( ).(A) 对任意的实数12,P P µ=. (B) 对任意的实数12,P P µ<. (C) 只对实数µ的个别值, 有12P P =. (D) 对任意的实数12,P P µ>. 解由正态分布函数的性质可知对任意的实数µ, 有12(1)1(1)P P ΦΦ=-=-=. 因此本题应选(A).(5) 设随机变量X 的概率密度为()f x , 且()()f x f x =-, ⼜F (x )为分布函数, 则对任意实数a , 有( ).(A)()1d ()∫aF a x f x -=-. (B) 01()d 2()∫aF a x f x -=-.(C) ()()F a F a -=. (D) ()2()1F a F a -=-.解由分布函数的⼏何意义及概率密度的性质知答案为(B). (6) 设随机变量X服从正态分布211(,)N µσ,Y服从正态分布222(,)N µσ,且12{1}{1},P X P Y µµ-<>-< 则下式中成⽴的是( ).(A) σ1 < σ2. (B) σ1 > σ2. (C) µ1 <µ2. (D) µ1 >µ2.解答案是(A).(7) 设随机变量X 服从正态分布N (0,1), 对给定的正数)10(<<αα, 数αu 满⾜{}P X u αα>=, 若{}P X x α<=, 则x 等于( ).(A)2u α . (B) 21α-u. (C)1-2u α. (D) α-1u .解答案是(C).2. 设连续型随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 要使1{2}4P k X k <<=成⽴, 应当怎样选择数k ?解因为随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 其分布函数为1e ,0,()0,0.≤x x F x x λ-->=??由题意可知221{2}(2)()(1e )(1e )e e 4k k k k P k X k F k F k λλλλ----=<<=-=---=-.于是ln 2k λ=.3. 设随机变量X 有概率密度34,01,()0,x x f x <<=??其它, 要使{}{}≥P X a P X a =<(其中a >0)成⽴, 应当怎样选择数a ?解由条件变形,得到1{}{}P X a P X a -<=<,可知{}0.5P X a <=, 于是304d 0.5a x x =?,因此a =.4. 设连续型随机变量X 的分布函数为20,0,()01,1,1,,≤≤x F x x x x <=>求: (1) X 的概率密度; (2){0.30.7}P X <<.解 (1) 根据分布函数与概率密度的关系()()F x f x '=,可得2,01,()0,其它.x x f x <(2)22{0.30.7}(0.7)(0.3)0.70.30.4P X F F <<=-=-=.5. 设随机变量X 的概率密度为f (x )＝2,01,0,x x ??≤≤ 其它, 求P {X ≤12}与P {14X ＜≤2}.解{P X ≤12201112d 224}x x x ===?;1{4P X <≤12141152}2d 1164x x x ===?. 6. 设连续型随机变量X 具有概率密度函数,01,(),12,0,x x f x A x x <=-≤≤其它.求: (1) 常数A ；(2) X 的分布函数F (x ).解 (1) 由概率密度的性质可得12221121111d ()d []122x x A x x xAx x A =+-=+-=-??,于是2A =；(2) 由公式()()d x F x f x x -∞=?可得当x ≤0时,()0F x =;当0x <≤1时, 201()d 2xF x x x x ==;当1x <≤2时, 2101()d (2)d 212x x F x x x x x x =+-=--??;当x >2时,()1F x =.所以220,0,1()221, 2.1,021,12x F x x x x x x x =->≤≤,≤,7. 设随机变量X 的概率密度为1(1),02,()40,x x f x+<<=其它,对X 独⽴观察3次, 求⾄少有2次的结果⼤于1的概率.解根据概率密度与分布函数的关系式{P a X <≤}()()()d bab F b F a f x x =-=?,可得2115{1}(1)d 48P X x x >=+=.所以, 3次观察中⾄少有2次的结果⼤于1的概率为223333535175()()()888256C C +=. 8. 设~(0,5)X U , 求关于x 的⽅程24420x Xx ++=有实根的概率.解随机变量X 的概率密度为105,()50,,x f x <=≤其它,若⽅程有实根, 则21632X -≥0, 于是2X ≥2. 故⽅程有实根的概率为 P {2X ≥2}=21{2}P X -<1{P X =-<<1d 5x =-15=-.9. 设随机变量)2,3(~2N X.(1) 计算{25}P X <≤, {410}P X -<≤, {||2}P X >, }3{>X P ； (2) 确定c 使得{}{};P X c P X c >=≤ (3) 设d 满⾜{}0.9P X d >≥, 问d ⾄多为多少？解 (1) 由P {a}()()22222a Xb b a ΦΦ-----<=-≤公式, 得到P {2{||2}P X >={2}P X >+{2}P X <-=123()2Φ--+23()2Φ--=0.6977,}3{>X P =133{3}1()1(0)2P X ΦΦ-=-=-≤=0.5 .(2) 若{}{}≤P X c P X c >=,得1{}{}P X c P x c -=≤≤,所以{}0.5P X c =≤由(0)Φ=0推得30,2c -=于是c =3. (3){}0.9≥P X d > 即13()0.92d Φ--≥, 也就是3()0.9(1.282)2d ΦΦ--=≥,因分布函数是⼀个不减函数, 故(3)1.282,2d --≥ 解得 32( 1.282)0.436d +?-=≤.10. 设随机变量2~(2,)X N σ, 若{04}0.3P X <<=, 求{0}P X <.解因为()~2,X N σ2,所以~(0,1)X Z N µσ-=. 由条件{04}0.3P X <<=可知02242220.3{04}{}()()X P X P ΦΦσσσσσ---=<<=<<=--,于是22()10.3Φσ-=, 从⽽2()0.65Φσ=. 所以{{}2020}P P X X σσ==--<<22()1()0.35ΦΦσσ-=-=. 习题2-51. 选择题(1) 设X 的分布函数为F (x ), 则31Y X =+的分布函数()G y 为( ).(A) 11()33F y -. (B) (31)F y +.(C)3()1F y +. (D)1133()F y -. 解由随机变量函数的分布可得, 本题应选(A).(2) 设()~01,XN ,令2Y X =--, 则~Y ( ).(A)(2,1)N --. (B)(0,1)N . (C)(2,1)N -. (D)(2,1)N .解由正态分布函数的性质可知本题应选(C).2. 设~(1,2),23X N Z X =+, 求Z 所服从的分布及概率密度. 解若随机变量2~(,)X N µσ, 则X 的线性函数Y aX b =+也服从正态分布, 即2~(,()).Y aX b N a b a µσ=++ 这⾥1,µσ==, 所以Z ~(5,8)N .概率密度为()f z=2(5)16,x x ---∞<<+∞.3. 已知随机变量X 的分布律为(1) 求解 (1)(2)4. ()X f x ＝1142ln 20x x <， ， ， 其它，且Y ＝2－X , 试求Y 的概率密度.解先求Y 的分布函数)(y F Y :)(y F Y ={P Y ≤}{2y P X =-≤}{y P X=≥2}y -1{2}P Xy =-<-=1-2()d yX f x x --∞.于是可得Y 的概率密度为()(2)(2)Y X f y f y y '=---=12(2)ln 20,.,124,其它y y -?<-即 121,2(2)ln 20, ,()其它.Y y y f y -<<-?=5. 设随机变量X 服从区间(-2,2)上的均匀分布, 求随机变量2Y X =的概率密度.解由题意可知随机变量X 的概率密度为()0,.1,22,4其它X f x x =?-<因为对于0(){Y F y P Y =≤2}{y P X =≤}{y P =X于是随机变量2YX =的概率密度函数为()Y fy (X X f f =+0 4.y =<<即()04,0,.其它f y y =<总习题⼆1. ⼀批产品中有20%的次品, 现进⾏有放回抽样, 共抽取5件样品. 分别计算这5件样品中恰好有3件次品及⾄多有3件次品的概率.解以X 表⽰抽取的5件样品中含有的次品数. 依题意知~(5,0.2)X B .(1) 恰好有3件次品的概率是P {X =3}=23358.02.0C .(2) ⾄多有3件次品的概率是k k k k C-=∑5358.02.0.2. ⼀办公楼装有5个同类型的供⽔设备. 调查表明, 在任⼀时刻t 每个设备被使⽤的概率为0.1. 问在同⼀时刻(1) 恰有两个设备被使⽤的概率是多少？ (2) ⾄少有1个设备被使⽤的概率是多少？ (3) ⾄多有3个设备被使⽤的概率是多少？(4) ⾄少有3个设备被使⽤的概率是多少？解以X 表⽰同⼀时刻被使⽤的设备的个数，则X ~B (5,0.1),C -559.01.0,k =0,1, (5)(1) 所求的概率是P {X =2}=0729.09.01.03225=C ; (2)所求的概率是P {X ≥1}=140951.0)1.01(5=--;(3) 所求的概率是 P {X ≤3}=1-P{X =4}-P {X =5}=0.99954;(4) 所求的概率是P {X ≥3}=P {X =3}+P {X =4}+P {X =5}=0.00856. 3. 设随机变量X 的概率密度为e ,0,()00,≥，x k x f x x θθ-=且已知1{1}2P X>=, 求常数k , θ.解由概率密度的性质可知e d 1xkx θθ-+∞=?得到k =1.由已知条件111e d 2xx θθ-, 得1ln 2θ=.4. 某产品的某⼀质量指标2~(160,)X N σ, 若要求{120P ≤X ≤200}≥0.8, 问允许σ最⼤是多少?解由{120P ≤X ≤} 200120160160200160{}X P σσσ---=≤≤=404040()(1())2()1ΦΦΦσσσ--=-≥0.8,得到40()Φσ≥0.9, 查表得40σ≥1.29, 由此可得允许σ最⼤值为31.20.5. 设随机变量X 的概率密度为φ(x ) = A e -|x |, -∞试求: (1) 常数A ; (2) P {0解 (1) 由于||()d e d 1,x x x A x ?+∞==?即02e d 1x A x +∞-=?故2A = 1, 得到A =12.所以φ(x ) =12e -|x |.(2) P {011111e e d (e )0.316.0222xxx ----=-=≈?(3) 因为||1()e d ,2xx F x x --∞=得到当x <0时, 11()e d e ,22x x x F x x -∞==?当x ≥0时, 00111()e d e d 1e ,222 x x x xF x x x ---∞=+=-??所以X 的分布函数为 1,0,2()11,0.2x x F x x -?。
概率统计(概率论)第二章练习题答案及解析
第二章习题与答案同学们根据自己作答的实际情况，并结合总正误率和单个题目正误统计以及答案解析来总结和分析习题！！！标红表示正确答案标蓝表示解析1、为掌握商品销售情况，对占该地区商品销售额60%的10家大型商场进行调查，这种调查方式属于( )。
A普查B抽样调查【解析：抽取一部分单位进行调查；习惯上将概率抽样（根据随机原则来抽取样本）称为抽样调查】C重点调查【解析：在调查对象中选择一部分重点单位进行调查的一种非全面调查】D统计报表2、人口普查规定标准时间是为了（）。
A确定调查对象和调查单位B避免资料的重复和遗漏。
C使不同时间的资料具有可比性D便于登记资料【解析：规定时间只是为了统计该时间段内的人口数据，没有不同时间数据对比的需要】3、对一批灯泡的使用寿命进行调查，应该采用( )。
A普查 B重点调查 C典型调查D抽样调查4、分布数列反映( )。
A总体单位标志值在各组的分布状况B总体单位在各组的分布状况【解析：课本30页1.分布数列的概念一段最后一句】C总体单位标志值的差异情况D总体单位的差异情况5、与直方图比较，茎叶图( )。
A没有保留原始数据的信息B保留了原始数据的信息【解析：直方图展示了总体数据的主要分布特征，但它掩盖了各组内数据的具体差异。
为了弥补这一局限，对于未分组的原始数据则可以用茎叶图来观察其分布。
课本P38】C更适合描述分类数据D不能很好反映数据的分布特征6、在累计次数分布中，某组的向上累计次数表明( )。
A大于该组上限的次数是多少B大于该组下限的次数是多少C小于该组上限的次数是多少【解析：向上累计是由变量值小的组向变量值大的组累计各组的次数或频率，各组的累计次数表明小于该组上限的次数或百分数共有多少。
课本P33】D小于该组下限的次数是多少7、对某连续变量编制组距数列，第一组上限为500，第二组组中值是750，则第一组组中值为 ( )。
A. 200B. 250C. 500D. 300【解析：组中值=下限+组距/2=上限+组距/2】8、下列图形中最适合描述一组定量数据分布的是( )。
概率论第二章习题参考解答
概率论第二章习题参考解答1. 用随机变量来描述掷一枚硬币的试验结果. 写出它的概率函数和分布函数. 解: 假设ξ=1对应于"正面朝上",ξ=0对应于反面朝上. 则 P (ξ=0)=P (ξ=1)=0.5 . 其分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=11105.000)(x x x x F 2. 如果ξ服从0-1分布, 又知ξ取1的概率为它取0的概率的两倍, 写出ξ的分布律和分布函数.解: 根据题意有 P (ξ=1)=2P (ξ=0) (1) 并由概率分布的性质知 P (ξ=0)+P (ξ=1)=1 (2) 将(1)代入(2)得3P (ξ=0)=1, 即P (ξ=0)=1/3 再由(1)式得 P (ξ=1)=2/3因此分布律由下表所示ξ0 1 P 1/32/3而分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>=<≤<=11103/100)(x x x x F 3. 如果ξ的概率函数为P {ξ=a }=1, 则称ξ服从退化分布. 写出它的分布函数F (x ), 画出F (x )的图形. 解: ⎩⎨⎧≥<=ax a x x F 10)(, 它的图形为4. 一批产品分一,二,三级, 其中一级品是二级品的两倍, 三级品是二级品的一半, 从这批产品中随机地抽取一个检验质量, 用随机变量描述检验的可能结果, 写出它的概率函数. 解 设ξ取值1,2,3代表取到的产品为一,二,三级, 则根据题意有 P (ξ=1)=2P (ξ=2) (1)P (ξ=3)=P (ξ=2)/2 (2) 由概率论性质可知P (ξ=1)+P (ξ=2)+P (ξ=3)=1 (3)(1),(2)代入(3)得:2P (ξ=2)+P (ξ=2)+P (ξ=2)/2=1解得P (ξ=2)=2/7, 再代回到(1)和(2)得 P (ξ=1)=4/7, P (ξ=3)=1/7 则概率函数为)3,2,1(271)(3=⨯==-i i P i ξ或列表如下:5. 一批产品20个, 其中有5个次品, 从这批产品中随意抽取4个, 求这4个中的次品数ξ的分布律.解: 基本事件总数为420C n =,有利于事件{ξ=i }(i =0,1,2,3,4)的基本事件数为ii i C C n -=4155, 则001.01731911718192051234)4(031.0171952121545171819201234)3(2167.01718191415231212141545171819201234)2(4696.01718191314151231314155171819201234)1(2817.01719137123412131415171819201234)0(445420115354202152542031515420415=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅===C C P C C C P C C C P C C C P C C P ξξξξξ 6. 一批产品包括10件正品, 3件次品, 有放回地抽取, 每次一件, 直到取得正品为止, 假定每件产品被取到的机会相同, 求抽取次数ξ的概率函数.解: 每次抽到正品的概率相同, 均为p =10/13=0.7692, 则每次抽到次品的概率q =1-p =0.2308则ξ服从相应的几何分布, 即有),3,2,1(1331310)(1=⎪⎭⎫⎝⎛⋅===-i pq i P i i ξ7. 上题中如果每次取出一件产品后, 总以一件正品放回去, 直到取得正品为止, 求抽取次数ξ的分布律.解: 这样抽取次数就是有限的, 因为总共只有3件次品, 即使前面三次都抽到次品,第四次抽时次品已经全部代换为正品, 因此必然抽到正品, 这样ξ的取值为1,2,3,4.不难算出,0027.0131132133)4(0328.01312132133)3(1953.01311133)2(7692.01310)1(=⋅⋅===⋅⋅===⋅=====ξξξξP P P Pξ的分布律如下表所示:8. 自动生产线在调整之后出现废品的概率为p , 当在生产过程中出现废品时立即重新进行调整, 求在两次调整之间生产的合格品数ξ的概率函数.解: 事件ξ=i 说明生产了i 次正品后第i +1次出现废品, 这是i +1个独立事件的交(1次发生i 次不发生, 因此有P (ξ=i )=p (1-p )i , (i =0,1,2,…)9. 已知随机变量ξ只能取-1,0,1,2四个值, 相应概率依次为cc c c 167,85,43,21, 确定常数c 并计算P {ξ<1|ξ≠0}.解: 根据概率函数的性质有1}2{}1{}0{}1{==+=+=+-=ξξξξP P P P即1167854321=+++cc c c 得2.3125163716710128167854321==+++=+++=c 设事件A 为ξ<1, B 为ξ≠0, (注: 如果熟练也可以不这样设)则32.0258167852121}2{}1{}1{}1{)0{}01{)()(}0|1{==++==+=+-=-==≠≠⋂<==≠<ξξξξξξξξξP P P P P P B P AB P P 10. 写出第4题及第9题中各随机变量的分布函数. 解: 第4题:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=31327/6217/410)(x x x x x F第9题:当x <-1时: F (x )=P (ξ≤x )=0 当-1≤x <0时: F (x )=P (ξ≤x )=P (ξ=-1)=2162.03125.22121=⨯=c 当0≤x <1时: F (x )=P (ξ≤x )=P (ξ=-1)+P (ξ=0)=5405.03125.243214321=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+c c 当1≤x <2时: F (x )=P (ξ≤x )=P (ξ=-1)+P (ξ=0)+P (ξ=1)=8108.03125.2854321854321=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++c c c 当x ≥2时: F (x )=P (ξ≤x )=1 综上所述, 最后得:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤--<=21218108.0105405.0012162.010)(x x x x x x F 11. 已知ξ~⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它1021)(x xx ϕ, 求ξ的分布函数F (x ), 画出F (x )的图形.解: 当x <0时: F (x )=0;当0≤x <1时:xx xt x t dt t dt t dt dt t x F xxx=-==+-⋅==+==+--∞-∞-⎰⎰⎰⎰00012112121210)()(12102100ϕ 当x ≥1时: F (x )=1 综上所述, 最后得⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=111000)(x x xx x F 图形为12. 已知ξ~⎩⎨⎧<<=其它0102)(x x x ϕ, 求P {ξ≤0.5}; P (ξ=0.5);F (x ).解: 25.005.020)(}5.0{225.0025.005,0|=-==+==≤⎰⎰⎰∞-∞-x xdx dx dx x P ϕξ, 因ξ为连续型随机变量, 因此取任何点的概率均为零, 所以P {ξ=0.5}=0,求F (x ): 当x <0时, F (x )=0 当0≤x <1时, 220|20)()(x t tdt dt dt t x F xxx==+==⎰⎰⎰∞-∞-ϕ 当x ≥1时, F (x )=1 综上所述, 最后得:⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=111000)(2x x x x x F 13. 某型号电子管, 其寿命(以小时计)为一随机变量, 概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≥=其它0100100)(2x x x ϕ, 某一个电子设备内配有3个这样的电子管, 求电子管使用150小时都不需要更换的概率.解: 先求一个电子管使用150小时以上的概率P (ξ≥150)为:3215010012100100)()150(|150121502150==+-===≥∞++-+∞+∞⎰⎰x dx xdx x P ϕξ 则3个这样的电子管构成贝努里独立试验概型, 试验三次发生三次的概率为2963.027832)3(33==⎪⎭⎫⎝⎛=p14. 设连续型随机变量ξ的分布函数为:⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=111000)(2x x Ax x x F 求系数A ; P (0.3<ξ<0.7); 概率密度φ(x ).解: 因ξ是连续型随机变量, 因此F (x )也必是连续曲线, 则其在第二段(0,1)区间的曲线必能和第三段(1,+∞)的曲线接上, 则必有 A ×12=1, 即A =1. 则分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=111000)(2x x x x x F P (0.3<ξ<0.7)=F (0.7)-F (0.3)=0.72-0.32=0.49-0.09=0.4概率密度φ(x )为⎩⎨⎧<≤='=其它0102)()(x x x F x ϕ15. 服从柯西分布的随机变量ξ的分布函数是F (x )=A +B arctg x , 求常数A ,B ;P {|ξ|<1}以及概率密度φ(x ). 解: 由F (-∞)=0, 得A +Barctg (-∞)=02=-πB A(1)再由F (+∞)=1,得12)arctg(=+=+∞+πB A B A(2)综和(1),(2)两式解得π1,21==B A 即x x F arctg 121)(π+=5.0214411111)1()1()11()1|(|==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--==--=--=<<-=<πππππξξarctg arctg F F P P2111)()(x x F x +⋅='=πϕ16. 服从拉普拉斯分布的随机变量ξ的概率密度||)(x Ae x -=ϕ, 求系数A 及分布函数F (x ).解: 这实际上是一个分段函数, φ(x )可重新写为⎩⎨⎧<≥=-0)(x Aex Ae x xxϕ 根据性质1)(=⎰+∞∞-dx x ϕ, 又因φ(x )为偶函数, 因此有1222)(|==-==∞+-+∞-+∞∞-⎰⎰A Aedx Aedx x x xϕ, 则有A =1/2因此⎪⎩⎪⎨⎧<≥==--02102121)(||x e x e ex x x x ϕ.求分布函数F (x ). 当x <0时, 有xxtxt x e e dt e dt t x F 212121)()(====∞-∞-∞-⎰⎰ϕ当x ≥0时, 有x x xtxt t x e e e dt e dt e dt t x F ----∞-∞--=+-=-=+==⎰⎰⎰21121212121212121)()(00ϕ 综上所述, 最后得⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-0211021)(x e x ex F x x17. 已知⎩⎨⎧<<+-=其它01031212)(~2x x x x ϕξ, 计算P {ξ≤0.2|0.1<ξ≤0.5}解: 设事件A ={ξ≤0.2}, B ={0.1<ξ≤0.5}, 则要计算的是条件概率P (A |B ), 而)()()|(B P AB P B A P =, 而事件AB ={ξ≤0.2}∩{0.1<ξ≤0.5}={0.1<ξ≤0.2} 因此有148.03.006.0004.06.024.0032.0)1.0301.06001.04()2.0304.06008.04()364(d )31212()(}2.01.0{)(2.01.0232.01.022.01.0=-+-+-=⨯+⨯-⨯-⨯+⨯-⨯==+-=+-==≤<=⎰⎰x x x xx x dx x P AB P ϕξ256.03.006.0004.05.15.15.0)1.0301.06001.04()5.0325.06125.04()364(d )31212()(}5.01.0{)(5.01.0235.01.025.01.0=-+-+-=⨯+⨯-⨯-⨯+⨯-⨯==+-=+-===≤<=⎰⎰x x x xx x dx x P B P ϕξ最后得5781.0256.0148.0)()()|(}5.01.0|2.0{====≤<≤B P AB P B A P P ξξ18. 已知xxce x +-=2)(~ϕξ, 确定常数c .解: 首先证明普阿松广义积分π=⎰+∞∞--x e xd 2, 因为函数2x e -并不存在原函数, 因此需要一技巧. 令⎰+∞∞--=x eI x d 2, 则⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+-+∞∞--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=y x e x e I y x x d d d )(22222作极坐标代换, 令θθsin ,cos r y r x ==, 则积分区间为全平面, 即θ从0积到2π, r 从0积到+∞, 且θd d d d r r y x =, 因此有πππθπ====∞+-+∞-+∞-⎰⎰⎰020202222)d(212rr r e r e rdr ed I , 所以I =π.现确定常数c , 由性质1)(=⎰+∞∞-dx x ϕ,1d d 41)21(414141212222====⎰⎰⎰+∞∞---+∞∞-+-⋅⋅+-+∞∞-+-πcedx ecex cex cex x x xx得421πe c =19. 已知⎩⎨⎧>>=-其它)0()(~λλϕξλa x e c x x, 求常数c 及P {a -1<ξ≤a +1}.解: 由性质1)(=⎰+∞∞-dx x ϕ得1d d 0)(|==-=+=-∞+-+∞-∞-+∞∞-⎰⎰⎰aax ax ace ce x e c x dx x λλλλϕ 解得 aec λ=, 因此有⎩⎨⎧>>=--其它)0()()(λλϕλa x e x a x则λλλλλλϕξ---+---+--=-==+==+≤<-⎰⎰⎰⎰e e due x ex x x a a P u u a aa x a a a a 1d d 0d )()11(|111)(111求边缘概率分布, 与是否独立?解: 按下表计算ξ与η的边缘分布:得的边缘分布如下表所示:当i =1及j =0时,因202.026.0}0{}1{0}0,1{)2(0)1(110⨯====≠====ηξηξP P p p P p因此ξ与η相互间不独立.21. 假设电子显示牌上有3个灯泡在第一排, 5个灯泡在第二排. 令ξ,η分别表示在某一规定时间内第一排和第二排烧坏的灯泡数. 若ξ与η的联合分布如下表所示: 试计算在规定时间内下列事件的概率: (1) 第一排烧坏的灯泡数不超过一个; (2) 第一排与第二排烧坏的灯泡数相等;(3) 第一排烧坏的灯泡数不超过第二排烧坏的灯泡数.解: 假设事件A 为第一排烧坏的灯泡数不超过一个, B 为第一排与第二排烧坏的灯泡数相等, C 为第一排烧坏的灯光数不超过第二排烧坏的灯泡数. 则事件A 发生的概率为上表中头两排概率之和52.008.006.005.004.002.001.009.007.005.003.001.001.0)(104=++++++++++++==∑∑==i j ij p A P事件B 发生的概率为上表中从0行0列开始的斜对角线之和14.006.005.002.001.0)(3=+++==∑=i ii p B P事件C 发生的概率为上表中斜对角线上右的各个数相加(包括斜对角线上的数), 但为减少运算量, 也可以考虑其逆事件C 的概率, 然后用1减去它. 而C 的概率为上表中斜对角线的左下角的所有概率之和(不包括斜对角线):89.011.01)04.001.003.001.001.001.0(1)(1)(=-=+++++-=-=C P C P22. 袋中装有标上号码1,2,2的3个球, 从中任取一个并且不再放回, 然后再从袋中任取一球, 以ξ, η分别记为第一,二次取到球上的号码数, 求(ξ,η)的分布律(袋中各球被取机会相同).解: 因为有两个2一个1, 因此第一次取到2号的概率为P (ξ=2)=2/3, 第一次取到1号的概率为P (ξ=1)=1/3. 第一次取到2号后还剩下一个2号一个1号, 则在此条件下第二次取到1号的概率P (η=1|ξ=2)=P (η=2|ξ=2)=1/2. 而第一次取到1号后还剩下两个2号, 因此这时P (η=1|ξ=1)=0, P (η=2|ξ=1)=1. 综上所述并用乘法法则可得312132)2|2()2()2,2(312132)2|1()2()1,2(31131)1|2()1()2,1(0031)1|1()1()1,1(22211211=⨯=========⨯=========⨯=========⨯========ξηξηξξηξηξξηξηξξηξηξP P P p P P P p P P P p P P P p23. (ξ , η)只取下列数组中的值：)0,2()31,1()1,1()0,0(--且相应的概率依次为1/6, 1/3, 1/12, 5/12. 列出(ξ,η)的概率分布表, 写出关于η的边缘分布. 解: 从上面数组可知ξ只取-1,0,2这三个值, 而η只取0,31,1这三个值, 因此总共可构成九个. 概率分布表及η的边缘分布计算如下即η的边缘分布率如下表所示24. 袋中装有标上号码1,2,2,3的4个球, 从中任取一个并且不再放回, 然后再从袋中任取一球, 以ξ, η分别记为第一,二次取到球上的号码数, 求(ξ,η)的分布律(袋中各球被取机会相同).解: 第一次取到号码1,2,3的概率为P{ξ=1}=P(ξ=3)=1/4P{ξ=2}=1/2在第一次取到号码i条件下,第二次取到号码j的概率各为P{η=1|ξ=1}=P{η=3|ξ=3}=0P{η=2|ξ=1}=P{η=2|ξ=3}=2/3P{η=3|ξ=1}=P{η=1|ξ=3}=1/3P{η=1|ξ=2}=P{η=3|ξ=2}=1/3P{η=2|ξ=2}=1/3则p11=P{ξ=1,η=1}=P{ξ=1}P{η=1|ξ=1}=0p12=P{ξ=1,η=2}=P{ξ=1}P{η=2|ξ=1}=1/6p13=P{ξ=1,η=3}=P{ξ=1}P{η=3|ξ=1}=1/12p21=P{ξ=2,η=1}=P{ξ=2}P{η=1|ξ=2}=1/6p22=P{ξ=2,η=2}=P{ξ=2}P{η=2|ξ=2}=1/6p23=P{ξ=2,η=3}=P{ξ=2}P{η=3|ξ=2}=1/6p31=P{ξ=3,η=1}=P{ξ=3}P{η=1|ξ=3}=1/12p32=P{ξ=3,η=2}=P{ξ=3}P{η=2|ξ=3}=1/6p33=P{ξ=3,η=3}=P{ξ=3}P{η=3|ξ=3}=025. 表示随机地在1-4的4个整数中取出的一个整数，η表示在1-ξ中随机地取出的一个整数值，求(ξ,η)的联合概率分布.解: 因ξ取四个数中的任何一个概率相等, 因此有P{ξ=i}=1/4, (i=1,2,3,4)而在ξ=i的条件下, (i=1,2,3,4), η取1到i的概率也相同,为1/i, 即P{η=j|ξ=i}=1/i, (i=1,2,3,4;j=1-i)因此有p ij=P{ξ=i,η=j}=P{ξ=i}P{η=j|ξ=i}=1/(4i), (i=1,2,3,4; j=1-i),联合概率分布如下表所示:26. 已知(ξ,η)~⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+=其它04,0)sin(),(πϕy x y x c y x ,试确定常数c 并求η的边缘概率密度.解: 根据性质1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dydx y x ϕ, 有1)12(]220122[)]4sin([sin )]4cos([cos )]cos([)sin(40440404040=-=+--=+-=+-=+-=+⎰⎰⎰⎰c c x x c x x dx c y x dx c dydx y x c ππππππππ解得12)12)(12(12121+=+-+=-=c ,因此,⎪⎩⎪⎨⎧≤≤++=其它04,0)sin()12(),(πϕy x y x y x求η的边缘概率密度: 当40π≤≤y 时:)8sin(22)12()]4cos()[cos 12()cos()12()sin()12(),()(4042ππϕϕκπ+-+==+-+==++-=++==⎰⎰∞+∞-y y y y x dx y x dx y x y上式后一等式利用了三角函数公式2sin 2sin2cos cos A B A B B A -+=-, 而计算三角函数8sin π的值, 又是在已知224cos=π的前提下,利用半角公式2cos 12sin θθ-=得222222124cos18sin-=-=-=ππ当y 取区间]4,0[π之外的值时, 0)(1=y ϕ.因此最后得:⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+=其它040)8sin(22)12()(2ππϕy y y27. 已知ξ服从参数p =0.6的0-1分布, 在ξ=0及ξ=1条件下, 关于η的条件分布分别如下二表所示:求二元随机变量(,)的联合概率分布, 以及在≠1时关于的条件分布. 解: 根据题意已知P {ξ=0}=1-p =1-0.6=0.4, P {ξ=1}=p =0.6 则根据乘法法则有:p 01=P {ξ=0,η=1}=P {ξ=0}P {η=1|ξ=0}=0.4×(1/4)=0.1 p 02=P {ξ=0,η=2}=P {ξ=0}P {η=2|ξ=0}=0.4×(1/2)=0.2 p 03=P {ξ=0,η=3}=P {ξ=0}P {η=3|ξ=0}=0.4×(1/4)=0.1 p 11=P {ξ=1,η=1}=P {ξ=1}P {η=1|ξ=1}=0.6×(1/2)=0.3 p 12=P {ξ=1,η=2}=P {ξ=1}P {η=2|ξ=1}=0.6×(1/6)=0.1 p 13=P {ξ=1,η=3}=P {ξ=1}P {η=3|ξ=1}=0.6×(1/3)=0.2由表中可以算出P {η≠1}=1-P {η=1}=1-(p 01+p 11)=1-0.4=0.6 P {ξ=0,η≠1}=p 02+p 03=0.2+0.1=0.3 P {ξ=1,η≠1}=p 12+p 13=0.1+0.2=0.3 因此有5.06.03.0}1{}1,1{}1|1{5.06.03.0}1{}1,0{}1|0{==≠≠==≠===≠≠==≠=ηηξηξηηξηξP P P P P P则在η≠1时关于ξ的条件分布律如下表所示:28. 第22题中的两个随机变量ξ与η是否独立？当ξ=1时η的条件分布是什么？: , 因为 P {ξ=1}=1/3, P {η=1}=1/3 而P {ξ=1,η=1}=0≠P {ξ=1}P {η=1} 在ξ=1条件下, 因13/13/1}1{}2,1{}1|2{03/10}1{}1,1{}1|1{================ξηξξηξηξξηP P P P P P因此在此条件下η服从单点分布或退化分布, 只取值为2, 取值为2的条件概率为1.=p i (1)p j (2), 算得联合分布律如下表所示 根据此联合分布律可算出43129611211)2/1,2/1()1,1(1)0(1)0(121484481161)1,0()3,2()1(==--==-==-=-=-==+-=≠+==+===+=-===+ηξηξηξηξηξηξηξP P P P P P P30. 测量一矩形土地的长与宽, 测量结果得到如下表所示的分布律(长与宽相互独立), 求周解: 因ζ=2ξ+2η, 可知ζ的取值为96,98,100,102,104, 又因ξ与η独立, 因此有 P {ζ=96}==P {ξ=29}P {η=19}=0.3×0.3=0.09P {ζ=98}=P {ξ=29}P {η=20}+P {ξ=30}P {η=19}=0.3×0.4+0.5×0.3=0.27 P {ζ=100}=P {ξ=29}P {η=21}+P {ξ=30}P {η=20}+P {ξ=31}}P {η=19}==0.3×0.3+0.5×0.4+0.2×0.3=0.35P {ζ=102}=P {ξ=30}P {η=21}+P {ξ=31}P {η=20}=0.3×0.5+0.2×0.4=0.23 P {ζ=104}=P {ξ=31}P {η=21}=0.2×0.3=0.06η的分布.解: 因周长=2πR , 面积=πR , 因此当半径R 取值10,11,12,13时, ξ的取值为62.83, 69.12,32. 一个商店每星期四进货, 以备星期五,六,日3天销售, 根据多周统计, 这3天销售件数 ξ问三天销售总量∑==31i iξη这个随机变量可以取哪些值?如果进货45件, 不够卖的概率是多少? 如果进货40件, 够卖的概率是多少?解: 因η的取值为ξ1,ξ2,ξ3三个随机变量可能取值之和, 因此可能的取值为从10+13+17=40到12+15+19=46之间的每一个整数值, 即40,41,42,43,44,45,46. 因此, 如进货15件, 不够卖的概率在η取值为46时出现, 即 P {η=46}=P {ξ1=12}P {ξ2=15}P {ξ3=19}=0.1×0.1×0.1=0.001 如进货40件, 够卖的概率发生在η取值为40时出现, 即P {η=40}=P {ξ1=10}P {ξ2=13}P {ξ3=17}=0.2×0.3×0.1=0.006 33. 求出第22题中ξ+η的分布律.ξ与η的联合分布律如下表: 则P {+=2}=P {=1,=1}=0P {ξ+η=3}=P {ξ=1,η=2}+P {ξ=2,η=1}=2/3 P {ξ+η=4}=P {ξ=2,η=2}=1/334. 求出第23题中ξ-η的分布律 解: 因(ξ , η)只取下列数组中的值：)0,2()31,1()1,1()0,0(--且相应的概率依次为1/6, 1/3, 1/12, 5/12.因此ξ-η也只取0-0=0, -1-1=-2, -1-1/3=-4/3, 2-0=2这四个值, 相应的概率也还是依次为1/6, 35. 已知P {ξ=k }=a /k , P {η=-k }=b /k (k =1,2,3), ξ与独立, 确定a ,b 的值; 求出(ξ,η)的联合概率分布以及ξ+η的概率分布. 解: 由概率分布的性质有131211}{31=⎪⎭⎫⎝⎛++==∑=a k P k ξ, 解得 5455.0116312111==++=a,191411}{31=⎪⎭⎫⎝⎛++=-=∑=b k P k η 解得 7347.04936914111==++=b 因此有P {ξ=1}=0.5455, P {ξ=2}=0.5455/2=0.2727, P {ξ=3}=0.1818 P {η=-1}=0.7347, P {η=-2}=0.1837, P {η=-3}=0.0816 因ξ与η独立, 则有p 11=P {ξ=1,η=-1}=P {ξ=1}P {η=-1}=0.5455×0.7347=0.4008 p 12=P {ξ=1,η=-2}=P {ξ=1}P {η=-2}=0.5455×0.1837=0.1002 p 13=P {ξ=1,η=-3}=P {ξ=1}P {η=-3}=0.5455×0.0816=0.0445 p 21=P {ξ=2,η=-1}=P {ξ=2}P {η=-1}=0.2727×0.7347=0.2004 p 22=P {ξ=2,η=-2}=P {ξ=2}P {η=-2}=0.2727×0.1837=0.0501 p 23=P {ξ=2,η=-3}=P {ξ=2}P {η=-3}=0.2727×0.0816=0.0223 p 31=P {ξ=3,η=-1}=P {ξ=3}P {η=-1}=0.1818×0.7347=0.1336 p 32=P {ξ=3,η=-2}=P {ξ=3}P {η=-2}=0.1818×0.1837=0.0333 p 33=P {ξ=3,η=-3}=P {ξ=3}P {η=-3}=0.1818×0.0816=0.0148计算+的概率分布: P {ξ+η=-2}=p 13=0.0445P {ξ+η=-1}=p 12+p 23=0.1002+0.0223=0.1225P {ξ+η=0}=p 11+p 22+p 33=0.4008+0.0501+0.0148=0.4657 P {ξ+η=1}=p 21+p 32=0.2004+0.0333=0.2337 P{ξ+η=2}=p 31=0.1336即ξ+η的概率分布率如下表所示36. 已知服从区间[0,1]上的均匀分布, 求的函数=3+1的概率分布. 解: 根据题意知ξ的概率密度φξ(x )为⎩⎨⎧≤≤=其它0101)(x x ξϕ 则η的分布函数为)31(}31{}13{}{)(-=-≤=≤+=≤=x F x P x P x P x F ξηξξη 对其求导得η的概率密度与ξ的概率密度间的关系为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤=-=-'='=其它其它041310131031)31(31)31(31)()(x x x x F x F x ϕϕξηη即η服从在区间[1,4]上的均匀分布.37. 已知ξ～⎪⎩⎪⎨⎧>+=其它0)1(2)(2x x x πϕ, ξηln =, 求η的概率密度.解: 求η的分布函数F η(x )为)(}{}{ln }{)(x x e F e P x P x P x F ξηξξη=≤=≤=≤=因e x 总大于0, 而当x 大于0时F ξ(x )为x t t t dt t x F x xxarctg 2arctg 2d )1(2)()(|002πππϕξ==+==⎰⎰∞- 因此有x x e e F x F arctg 2)()(πξη==则η的概率密度为其分布函数的求导:xx ee x F x 212)()(+⋅='=πϕηη。
概率论与数理统计第二章课后习题及参考答案.
概率论与数理统计第二章课后习题及参考答案1．离散型随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=≤=．4,1,42,7.0,21,2.0,1,0)()(x x x x x X P x F 求X 的分布律．解：)0()()(000--==x F x F x X P ，∴2.002.0)01()1()1(=-=----=-=F F X P ，5.02.07.0)02()2()2(=-=--==F F X P ，3.07.01)04()4()4(=-=--==F F X P ，∴X 的分布律为2．设k a k X P 32()(==， ,2,1=k ，问a 取何值时才能成为随机变量X 的分布律．解：由规范性，a a a n n k k 2321]32(1[32lim)32(11=--=⋅=+∞→∞+=∑，∴21=a ，此时，k k X P 32(21)(⋅==， ,2,1=k ．3．设离散型随机变量X 的分布律为求：(1)X 的分布函数；(2)21(>X P ；(3))31(≤≤-X P ．解：(1)1-<x 时，0)()(=≤=x X P x F ，11<≤-x 时，2.0)1()()(=-==≤=X P x X P x F ，21<≤x 时，7.0)1()1()()(==+-==≤=X P X P x X P x F ，2≥x 时，1)2()1()1()()(==+=+-==≤=X P X P X P x X P x F ，∴X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=．2,1,21,7.0,11,2.0,1,0)(x x x x x F ．(2)方法1：8.0)2()1()21(==+==>X P X P X P ．方法2：8.02.01)21(121(1)21(=-=-=≤-=>F X P X P ．(3)方法1：1)2()1()1()31(==+=+-==≤≤-X P X P X P X P ．方法2：101)01()3()31(=-=---=≤≤-F F X P ．4．一制药厂分别独立地组织两组技术人员试制不同类型的新药．若每组成功的概率都是0.4，而当第一组成功时，每年的销售额可达40000元；当第二组成功时，每年的销售额可达60000元，若失败则分文全无．以X 记这两种新药的年销售额，求X 的分布律．解：设=i A {第i 组取得成功}，2,1=i ，由题可知，1A ，2A 相互独立，且4.0)()(21==A P A P ．两组技术人员试制不同类型的新药，共有四种可能的情况：21A A ，21A A ，21A A ，21A A ，相对应的X 的值为100000、40000、60000、0，则16.0)()()()100000(2121====A P A P A A P X P ，24.0)()()()40000(2121====A P A P A A P X P ，24.0)()()()60000(2121====A P A P A A P X P ，36.0)()()()0(2121====A P A P A A P X P ，∴X 的分布律为5．对某目标进行独立射击，每次射中的概率为p ，直到射中为止，求：(1)射击次数X 的分布律；(2)脱靶次数Y 的分布律．解：(1)由题设，X 所有可能的取值为1，2，…，k ，…，设=k A {射击时在第k 次命中目标}，则k k A A A A k X 121}{-== ，于是1)1()(--==k p p k X P ，所以X 的分布律为1)1()(--==k p p k X P ， ,2,1=k ．(2)Y 的所有可能取值为0，1，2，…，k ，…，于是Y 的分布律为1)1()(--==k p p k Y P ， ,2,1,0=k ．6．抛掷一枚不均匀的硬币，正面出现的概率为p ，10<<p ，以X 表示直至两个面都出现时的试验次数，求X 的分布律．解：X 所有可能的取值为2，3，…，设=A {k 次试验中出现1-k 次正面，1次反面}，=B {k 次试验中出现1-k 次反面，1次正面}，由题知，B A k X ==}{，=AB ∅，则)1()(1p p A P k -=-，p p B P k 1)1()(--=，p p p p B P A P B A P k X P k k 11)1()1()()()()(---+-=+=== ，于是，X 的分布律为p p p p k X P k k 11)1()1()(---+-==， ,3,2=k ．7．随机变量X 服从泊松分布，且)2()1(===X P X P ，求)4(=X P 及)1(>X P ．X 100000060000400000P0.160.240.240.36解： )2()1(===X P X P ，∴2e e2λλλλ--=，∴2=λ或0=λ(舍去)，∴224e 32e !42)4(--===X P ．)1()0(1)1(1)1(=-=-=≤-=>X P X P X P X P 222e 31e 2e 1----=--=．8．设随机变量X 的分布函数为⎩⎨⎧<≥+-=-．0,0,0,e )1(1)(x x x x F x 求：(1)X 的概率密度；(2))2(≤X P ．解：(1)⎩⎨⎧<≥='=-．0,0,0,e )()(x x x x F x f x ；(2)2e 31)2()2(--==≤F X P ．9．设随机变量X 的概率密度为xx Ax f e e )(+=-，求：(1)常数A ；(2))3ln 210(<<X P ；(3)分布函数)(x F ．解：(1)⎰⎰+∞∞--+∞∞-+==xAx x f xx d e e d )(1A A x A x x x 2|e arctan d e 21e 2π==+=∞+∞-∞+∞-⎰，∴π2=A ．(2)61|e arctan 2d e e 12)3ln 210(3ln 2103ln 210==+=<<⎰-x xx x X P ππ．(3)x xx x xx t t f x F e arctan 2d e e 12d )()(ππ=+==⎰⎰∞--∞-．10．设连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<-+-≤=．a x a x a a x B A a x x F ,1,,arctan ,,0)(其中0>a ，试求：(1)常数A ，B ；(2)概率密度)(x f ．解：(1) 2arcsin (lim )0()(0)(π⋅-=+=+-=-=+-→B A a x B A a F a F a x ，1)(lim )0()(2==+==⋅++→x F a F a F B A a x π，∴21=A ，π1=B ．(2)⎪⎩⎪⎨⎧≥<-='=．a x a x x a x F x f ,0,,1)()(22π．11．设随机变量X 的概率密度曲线如图所示，其中0>a ．(1)写出密度函数的表达式，求出h ；(2)求分布函数)(x F ；(3)求)2(a X aP ≤<．解：(1)由题设知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他．,0,0,)(a x x ah h x f 2d )(d )(10ahx x a h h x x f a=-==⎰⎰+∞∞-，∴ah 2=，从而⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他．,0,0,22)(2a x x a a x f ．y hO a x(2)0<x 时，0d 0d )()(===⎰⎰∞-∞-xxt t t f x F ，a x <≤0时，220202d )22(d 0d )()(a x a x t t a a t t t f x F xx-=-+==⎰⎰⎰∞-∞-，a x ≥时，1)(=x F ，∴X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=．a x a x axa x x x F ,1,0,2,0,0)(22．(3)41411(1)2()()2(=--=-=≤<a F a F a X a P ．12．设随机变量X 在]6,2[上服从均匀分布，现对X 进行三次独立观察，试求至少有两次观测值大于3的概率．解：由题意知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他．,0,62,41)(x x f ，记3}{>=X A ，则43d 41)3()(63==>=⎰x X P A P ，设Y 为对X 进行三次独立观测事件}3{>X 出现的次数，则Y ～43,3(B ，所求概率为)3()2()2(=+==≥Y P Y P Y P )(()(333223A P C A P A P C +=3227)43(41)43(333223=+⋅=C C ．13．设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其他．,0,10,3)(2x x x f 以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件}21{≤X 出现的次数，求：(1)}21{≤X 至少出现一次的概率；(2)}21{≤X 恰好出现两次的概率．解：由题意知Y ～),3(p B ，其中81d 321(2102==≤=⎰x x X P p ，(1)}21{≤X 至少出现一次的概率为512169)811(1)1(1)0(1)1(33=--=--==-=≥p Y P Y P ．(2)}21{≤X 恰好出现两次的概率为51221811(81()1()2(223223=-=-==C p p C Y P ．14．在区间],0[a 上任意投掷一个质点，以X 表示这个质点的坐标．设这个质点落在],0[a 中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例．试求X 的分布函数．解：0<x 时，事件}{x X ≤表示X 落在区间],0[a 之外，是不可能事件，此时0)()(=≤=x X P x F ；a x ≤≤0时，事件}{x X ≤发生的概率等于X 落在区间],0[x 内的概率，它与],0[x 的长度x 成正比，即x k x X P x F =≤=)()(，a x =时，1)(=≤x X P ，所以a k 1=，则此时axx F =)(；a x ≥时，事件}{x X ≤是必然事件，有1)(=x F ，综上，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=，a x a x a x x x F ,1,0,,0,0)(．15．设X ～),2(2σN ，又3.0)42(=<<X P ，求)0(>X P ．解：)24222()42(σσσ-<-<-=<<X P X P 3.0)0(2(=Φ-Φ=σ，∴8.03.0)0()2(=+Φ=Φσ，∴8.0)2()2(1)0(1)0(=Φ=-Φ-=≤-=>σσX P X P ．16．设X ～)4,10(N ，求a ，使得9.0)10(=<-a X P ．解：)10()10(a X a P a X P <-<-=<-)22102(a X a P <-<-=)2()2(a a -Φ-Φ=9.01)2(2=-Φ=a，∴95.0)2(=Φa，查标准正态分布表知645.12=a，∴290.3=a ．17．设X ～)9,60(N ，求分点1x ，2x ，使得X 分别落在),(1x -∞，),(21x x ，),(2∞x 的概率之比为3：4：5．解：由题知5:4:3)(:)(:)(2211=><<<x X P x X x P x X P ，又1)()()(2211=>+<<+<x X P x X x P x X P ，∴25.041)(1==<x X P ，33.031)(21==<<x X x P ，125)(2=>x X P ，则5833.0127)(1)(22==>-=≤x X P x X P ．25.0)360()360360()(111=-Φ=-<-=<x x X P x X P ，查标准正态分布表知03601<-x ，∴03601>--x ，则75.0)360(1)360(11=-Φ-=--Φx x 查标准正态分布表，有7486.0)67.0(=Φ，7517.0)68.0(=Φ，75.02)68.0()67.0(=Φ+Φ，∴675.0268.067.03601=+=--x ，即975.571=x ．5833.0360()360360()(222=-Φ=-≤-=≤x x X P x X P ，查标准正态分布表知5833.0)21.0(=Φ，∴21.03602=-x ，即63.602=x ．18．某高校入学考试的数学成绩近似服从正态分布)100,65(N ，如果85分以上为“优秀”，问数学成绩为“优秀”的考生大致占总人数的百分之几？解：设X 为考生的数学成绩，则X ～)100,65(N ，于是)85(1)85(≤-=>X P X P )1065851065(1-≤--=X P 0228.09772.01)2(1=-=Φ-=，即数学成绩为“优秀”的考生大致占总人数的2.28%．19．设随机变量X 的分布律为求2X Y =的分布律．解：Y 所有可能的取值为0，1，4，9，则51)0()0(====X P Y P ，307)1()1()1(==+-===X P X P Y P ，51)2()4(=-===X P Y P ，3011)3()9(====X P Y P ，∴Y 的分布律为20．设随机变量X 在)1,0(上服从均匀分布，求：(1)X Y e =的概率密度；(2)X Y ln 2-=的概率密度．解：由题设可知⎩⎨⎧<<=其他．,0,10,1)(x x f ，(1)当0≤y 时，=≤}{y Y ∅，X 2-1-013P5161511513011X 0149P51307513011∴0)()(=≤=y Y P y F Y ，0)(=y f Y ；e 0<<y 时，)e ()()(y P y Y P y F X Y ≤=≤=)(ln )ln (y F y X P X =≤=，此时，yy f y y y F y F y f X XY X 1)(ln 1)(ln )(ln )()(=='⋅'='=；e ≥y 时，1)()(=≤=y Y P y F Y ，0)(=y f Y ；∴⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他．,0,e 0,1)(y y y f Y ．(2)当0≤y 时，=≤}{y Y ∅，∴0)()(=≤=y Y P y F Y ，0)(=y f Y ；当0>y 时，)e ()ln 2()()(2y Y X P y X P y Y P y F -≥=≤-=≤=)e (1)e (122y X y F X P ---=<-=，此时，222e 21)e ()e ()()(yy y X Y X F y F y f ---='⋅'-='=；∴⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 21)(2y y y f yY ．21．设X ～)1,0(N ，求：(1)X Y e =的概率密度；(2)122+=X Y 的概率密度；(3)X Y =的概率密度．解：由题知22e 21)(x X xf -=π，+∞<<∞-x ，(1)0≤y 时，=≤=}e {y Y X ∅，∴0)()(=≤=y Y P y F Y ，0)(=y f Y ；0>y 时，)(ln )ln ()e ()()(y F y X P y P y Y P y F X X Y =≤=≤=≤=，此时，2)(ln 2e 21)(ln 1)(ln )(ln )()(y X XY X y f yy y F y F y f -=='⋅'='=π；综上，⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 21)(2)(ln 2y y y f y Y π．(2)1<y 时，=≤+=}12{2y X Y ∅，∴0)()(=≤=y Y P y F Y ；1≥y 时，21()12()()(22-≤=≤+=≤=y X P y X P y Y P y F Y )2121(-≤≤--=y X y P 当1=y 时，0)(=y F Y ，故1≤y 时，0)(=y F Y ，0)(=y f Y ；当1>y 时⎰⎰------==210221212d e22d e21)(22y x y y x Y x x y F ππ，此时，41e)1(21)()(---='=y Y Y y y F y f π，综上，⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=--．1,0,1,e )1(21)(41y y y y f y Y π．(3)0<y 时，=≤=}{y X Y ∅，∴0)()()(=≤=≤=y X P y Y P y F Y ，0≥y 时，)()()()(y X y P y X P y Y P y F Y ≤≤-=≤=≤=)()(y F y F X X --=，0=y 时，0)(=y F Y ，∴0≤y 时，有0)(=y F Y ，0)(=y f Y ；0>y 时，22e 22)()()()()(y X X Y Y Y yf y f y F y F y f -=-+=-'+'=π，综上，⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 22)(22y y y f yY π．22．(1)设随机变量X 的概率密度为)(x f ，+∞<<∞-x ，求3X Y =的概率密度．(2)设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧>=-其他．,00,e )(x x f x 求2X Y =的概率密度．解：(1)0=y 时，0)()(=≤=y Y P y F Y ，0)(=y f Y ；0≠y 时，)()()()()(333y F y X P y X P y Y P y F X Y =≤=≤=≤=，3233331())(()()(-⋅=''='=y y f y y F y F y f XY Y ；∴⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-．0,0,0),(31)(332y y y f y y f Y ．(2)由于02≥=X Y ，故当0<y 时，}{y Y ≤是不可能事件，有0)()(=≤=y Y P y F Y ；当0≥y 时，有)()(()()()(2y F y F y X y P y X P y Y P y F X X Y --=≤≤-=≤=≤=；因为当0=y 时，0)0()0()(=--=X X Y F F y F ，所以当0≤y 时，0)(=y F Y ．将)(y F Y 关于y 求导数，即得Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>-+=．，；，000)](([21)(y y y f y f y y f X X Y ，⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=-．0,0,0),e e (21y y yyy ．23．设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他．,0,0,2)(2ππx xx f 求X Y sin =的概率密度．解：由于X 在),0(π内取值，所以X Y sin =的可能取值区间为)1,0(，在Y 的可能取值区间之外，0)(=y f Y ；当10<<y 时，使}{y Y ≤的x 取值范围是),arcsin []arcsin ,0(ππy y - ，于是}arcsin {}arcsin 0{}{ππ<≤-≤<=≤X y y X y Y ．故)arcsin ()arcsin 0()()(ππ<≤-+≤<=≤=X y P y X P y Y P y F Y ⎰⎰-+=ππyX y X x x f x x f arcsin arcsin 0d )(d )(⎰⎰-+=ππππyy x xx xarcsin 2arcsin 02d 2d 2，上式两边对y 求导，得22222121)arcsin (21arcsin 2)(yyy yyy f Y -=--+-=ππππ；综上，⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他．,0,10,12)(2y y y f Y π．。
概率论与数理统计习题及答案第二章.doc
习题 2-21. 设 A 为任一随机事件 , 且 P ( A )= p (0< p <1). 定义随机变量1, 发生 ,XA0, 不发生 .A写出随机变量 X 的分布律 .解 { =1}= ,{ =0}=1- p .P X p P X或者X 0 1P1- pp2. 已知随机变量X 只能取 -1,0,1,2 四个值 , 且取这四个值的相应概率依次为1 , 3 , 5 , 7. 试确定常数 c ,并计算条件概率 P{ X1 | X0} .2c 4c 8c 16c解 由离散型随机变量的分布律的性质知，1 3 571,2c4c8c 16c37所以 c .161P{ X1}8所求概率为{ <1|X0 }=2c.P XP{ X 0}1 5 7252c 8c 16c3. 设随机变量 X 服从参数为 2, p 的二项分布 , 随机变量 Y 服从参数为 3, p 的二项分布 ,若P{X ≥1}5, 求P{Y ≥1}.9解 注意 p{x=k}=C n k p k q n k , 由题设 5P{ X ≥1}1 P{ X0} 1 q 2 ,9故 q1 p2 从而.3P{Y ≥1} 1 P{ Y 0}1 (2 )3 19 .3 274. 在三次独立 的重复试验中 , 每次试验成功的概率相同 , 已知至少成功一次的概率19为, 求每次试验成功的概率 .27解设每次试验成功的概率为p , 由题意知至少成功一次的概率是19，那么一次都27没有成功的概率是8 . 即 (1 p)38 ,故p = 1 .272735. 若 X 服从参数为的泊松分布 ,且P{X1} P{ X 3}, 求参数 .解 由泊松分布的分布律可知 6 .6. 一袋中装有 5 只球 , 编号为 1,2,3,4,5.在袋中同时取 3 只球, 以 X 表示取出的 3 只球中的最大号码 , 写出随机变量 X 的分布律 .解 从 1，2，3，4，5 中随机取 3 个，以 X 表示 3 个数中的最大值， X 的可能取值是 3，4，5，在 5 个数中取 3 个共有C 5310 种取法 .{ =3} 表示取出的 3 个数以 3 为最大值， P{=3}=C 22= 1;C 53 10{ =4} 表示取出的 3 个数以 4 为最大值， P{=4}=C 323 ;C 53 10 { =5} 表示取出的 3 个数以 5 为最大值， P{=5}=C 423 .5 C 53X 的分布律是X 3 45P13310105习题 2-31. 设 X 的分布律为X -11P求分布函数( ), 并计算概率 { <0},{ <2},{-2 ≤ <1}.F xPXPXPX0, x 1, 解 (1)0.15, 1≤ x 0,F ( x )=0≤ x 1,0.35, 1,x ≥1.(2) P { X <0}= P { X =-1}=; (3) P { X <2}= P { X =-1}+ P { X =0}+P { X =1}=1; (4) P {-2 ≤ x <1}= P { X =-1}+ P { X =0}=.2. 设随机变量 X 的分布 函数为( ) = + arctan x - ∞< <+∞.F xA Bx试求 : (1) 常数 A 与 B ; (2)X 落在 (-1, 1] 内的概率 .解 (1) 由于 (- ∞)=0,(+∞)=1, 可知F FA B()1 12A, B.A B( )122于是F ( x) 1 1arctan x, x .2(2) P{ 1X ≤1} F (1) F ( 1)1 1 1 1arctan( 1))( arctan1) (2 21 1 1 1 () 1 .2424 23. 设随机变量 X 的分布函数为F ( x )=0,x 0, x,0≤x 1,1,x ≥1,求 P { X ≤ -1}, P { < X <}, P {0< X ≤ 2}.解 P {X ≤ 1} F( 1) 0,P {< X <}= F - F {}- P { X =}=, P {0< X ≤2}= F (2)- F (0)=1.5.X 的绝对值不大于1;P{ X1}1 1}1 假设随机变量 ,P{X; 在事件{ 1 X 1} 出现的条件下 ,84X 在 (-1,1) 内任一子区间上取值的条件概率与该区间的长度成正比 . (1) 求 X 的分布函数 F ( x) P{ X ≤ x }; (2)求 X 取负值的概率 p .解 (1) 由条件可知 ,当 x1时,F ( x) 0 ;当 x 1 时 , F ( 1) 1;当 x 1时 , 8F (1)= P { X ≤ 1}= P ( S )=1.所以P{ 1 X1} F (1) F ( 1)P{X 1}1 1 514.88易见 , 在 X 的值属于 (1,1) 的条件下 , 事件 { 1 X x} 的条件概率为P{ 1 X ≤ x | 1X 1} k[ x( 1)],取 x =1 得到 1= k (1+1),所以 k = 1.2x 1 . 因此P{ 1 X ≤x | 1 X 1}于是 , 对于1 x 1 ,有2P{ 1X ≤ x} P{ 1X ≤ x, 1 X 1}P{ 1 X 1} P{ 1 X ≤ x | 1 X 1}5 x 1 5x 5 . 对于 x ≥1,8 2 16有 F ( x) 1. 从而0, x 1, F ( x)5x 7 , 1x 1,161, ≥x1.(2) X 取负值的概率p P{ X0} F(0) P{ X0} F (0) [F(0)F (0 )] F (0 )7 . 习题 2-4161. 选择题设 f ( x)2x, x [0, c],则 f ( x) 是某一随机变量的概率(1)0,x如果 c =(),[0, c].密度函数 .(A)1(B)1.(C) 1.(D)3.2.3c2f ( x)dx 11 ,于是 c 1解 由概率密度函数的性质可得2xdx, 故本题应选 (C ).(2) 设 X ~ N (0,1), 又常数 c 满足 P{ X ≥ c} P{ X c} , 则 c 等于 ( ).(A) 1.(B) 0.(C)1 (D) -1..2解因为P{ X ≥ c} P{ X c} ,所以 1 P{ X c} P{ X c} , 即2P{ Xc} 1, 从而 P{X c} 0.5 , 即 ( c) 0.5 , 得 c =0. 因此本题应选 (B).(3) 下列函数中可以作为某一随机变量的概率密度的是( ).cos x, x [0, ],1x2,(A)f (x)(B)f (x),0,其它 .20,其它 .1( x) 2x≥22e,≥ 0,e , x0, (C)f (x) (D)f ( x)20, x0.0,x 0.解 由概率密度函数的性质f ( x)dx 1 可知本题应选 (D).(4) 设随机变量X ~ N(,42) , Y~N(,52), P 1P{X ≤4 },P 2 PY ≥ 5 }, 则( ).(A) 对任意的实数 , P 1P 2 . (B) 对任意的实数 , P 1 P 2 .(C) 只对实数的个别值 ,有P 1 P 2 . (D) 对任意的实数 , P P .12解 由正态分布函数的性质可知对任意的实数, 有P 1( 1) 1 (1) P 2 .因此本题应选 (A).Xf xf (x)f ( x)F x(5) 设随机变量 的概率密度为 , 且 , 又( )为分布函数 , 则对任意实数 a , 有 ( ).a(A)F ( a) 1∫0 f (x)dx .(B)F ( a)(C) F ( a)F ( a) . (D) Fa解由分布函数的几何意义及概率密度的性质知答案为1 a2 ∫0f ( x)dx.2F ( a) 1 .(B).(6) 设随机变量X 服从正态分布N (1, 12 ) , Y 服从正态分布 N ( 2, 22) ,且P{ X11} P{ Y21},则下式中成立的是 (). (A) σ1 < σ2 .(B)σ 1 > σ 2 .(C)μ1 <μ2 .(D)μ1 >μ2 .解 答案是 (A). XN(0 1)u 满足(7) 设随机变量 服从正态分布对给定的正数, 数(0,1),P{ X u }, 若P{X x}, 则 x 等于 ().(A)u .(B)u.(C)u 1-.(D)u 1.2122解 答案是 (C).2. 设连续型随机变量 X 服从参数为的指数分布 ,要使P{ kX 2k}1成立 ,4应当怎样选择数 k ?解 因为随机变量 X 服从参数为的指数分布 , 其分布函数为F ( x)1 e x , x 0,0,x ≤ 0.由题意可知1 P{ k X 2k} F(2k) F ( k) (1 e2 k )(1 e k ) e k e 2 k .4于是kln 2.3. 设随机变量 X 有概率密度f ( x) 4 x 3 , 0 x 1, 0,其它 ,要使 P{ X ≥ a}P{ Xa} ( 其中 a >0) 成立 , 应当怎样选择数 a ?解由条件变形 , 得到 1P{ Xa} P{ Xa},可知P{ X a} 0.5 ,于是a3dx 0.5,因此 a14x.424. 设连续型随机变量 X 的分布函数为0,x 0,F ( x)x 2 , 0≤x ≤1,1,x 1,求: (1)X 的概率密度 ; (2) P{0.3 X 0.7} .解 (1)根据分布函数与概率密度的关系F ( x)f ( x) ,可得f (x)2x, 0 x 1,0, 其它 .(2)P{0.3 X0.7}F (0.7) F (0.3) 0.720.320.4 .5. 设随机变量 X 的概率密度为2x,0≤ x ≤1,f ( x ) ＝其它 ,0,求P {X ≤ 1}与P {1＜ X ≤2}.241}11 1解P{X ≤ 22xdx x 22 ;24P{ 1 X ≤2}1 2 xdx x 2 1 15 .1444 166. 设连续型随机变量 X 具有概率密度函数x,0 x ≤1,f ( x) Ax,1x ≤2,0,其它 .求 : (1) 常数 A ； (2) X 的分布函数 F ( x ).解 (1) 由概率密度的性质可得11 2( A x)dx1 x2xdx12于是A 2；(2) 由公式 F ( x) xf ( x)dx可得当 x ≤0 时 , F ( x) 0 ; 当 0x ≤1时 ,F( x)x1 x2 ;xdx2当 1x ≤2时 ,F ( x)1x(2xdx1当 x >2 时,F ( x) 1.0,1 x2 , 所以F ( x)2 x 22x1,2112[ Ax x 2]A 1,21x 2 x)dx 2x1;2x ≤ 0,0 x ≤ 1,1 x ≤ 2,1,x2.7. 设随机变量 X 的概率密度为1f ( x) 4( x 1), 0 x 2,0, 其它 ,对 X 独立观察 3 次, 求至少有 2 次的结果大于 1 的概率 . 解根据概率密度与分布函数的关系式P{ a X ≤ b} F (b) F ( a)b f ( x)dx ,a可得P{ X 1} 21 ( x 1)dx 54.1 8 所以 , 3 次观察中至少有2 次的结果大于 1 的概率为C 2(5)2(3) C 3 ( 5)3 175 .8 8 2568 4x 2 8. 设 X ~U(0,5) , 求关于 x 的方程 4 Xx 2 0 有实根的概率 .解 随机变量 X 的概率密度为1, ≤ x 5,f ( x)50, 其它 ,若方程有实根 , 则16 X 232≥0, 于是 X 2 ≥ 2. 故方程有实根的概率为P { X 2 ≥2}= 1P{ X 2 2}1 P{2 X2}1 21dx0 512 .59. 设随机变量 X ~ N(3,22) .(1)计算 P{2 X ≤5} , P{ 4 X ≤10}, P{| X | 2}, P{X 3}；(2)确定 c 使得P{ X c} P{ X ≤ c}; (3) 设 d 满足 P{ X d}≥0.9 , 问 d 至多为多少？解 (1) 由 P { a <x ≤ b }= P { a3 X 3 ≤ b 3 } Φ( b 3 ) Φ( a 3)公式,得到2 2 2 22XΦ(1) Φ( 0.5) 0.5328P,{2< ≤5}=P {-4< X ≤10}= Φ(3.5) Φ( 3.5) 0.9996,P{|X|2}=P{X2} +P{X2}=1 2 32 3Φ() +Φ(2 ) =,2P{ X 3} =1 P{ X ≤3} 1Φ( 3 3 ) 1 Φ(0) = .2(2) 若P{Xc}P{ X ≤ c} , 得 1P{ X ≤ c}P{ x ≤ c} ,所以P{ X ≤ c} 0.5由 Φ(0) =0 推得c3 0, 于是 c =3.2 Φ(d3(3)P{ X d}≥ 0.9 即1)≥ 0.9 , 也就是2Φ( d 3 )≥ 0.9 Φ(1.282) ,2因分布函数是一个不减函数, 故(d 3)≥ 1.282,2解得d ≤ 3 2 ( 1.282) 0.436 .10. 设随机变量 X ~ N (2, 2) , 若 P{0 X4} 0.3 , 求 P{X 0} .解 因为X ~ N2,所以 ZX~ N(0,1). 由条件 P{0 X4} 0.3可知0.3 P{0 X4}0 2X 24 22(2P{}( )) ,于是 222 ( )10.3从而 ( )0.65 .,P{X 0}P{X202}(22 所以) 1( ) 0.35.习题 2-5 1. 选择题(1) 设 X 的分布函数为 F ( x ), 则 Y 3 X 1 的分布函数 G y 为( ).(A) F (1 1 (B)F (3 y 1) .y) .3311(C)3F ( y) 1.(D)F ( y).3 3解 由随机变量函数的分布可得 , 本题应选 (A).(2) 设X~N 01 ,令YX 2, 则Y ~().(A)N( 2, 1). (B)N(0,1) . (C) N( 2,1) . (D)N (2,1) .解 由正态分布函数的性质可知本题应选 (C).2. 设 X ~ N(1,2), Z 2X 3 , 求 Z 所服从的分布及概率密度 . 解 若随机变量 X ~ N(,2) , 则 X 的线性函数 YaX b 也服从正态分布 , 即Y aX b ~ N( a b,( a ) 2). 这里 1,2 , 所以 Z ~ N(5,8) .概率密度为1 ( x 5) 2f (z)16,x.e43. 已知随机变量 X 的分布律为X -1137P(1) 求 ＝2－ X 的分布律； (2) 求 ＝3＋ 2分布律 .YYX解 (1)2－X-5-1123P(2)3＋X 23 41252P4. 已知随机变量 X 的概率密度为1， 1 x 4，f X ( x)＝2 x ln 20，其它，且 Y ＝2－ X , 试求 Y 的概率密度 .解 先求Y的分布函数F Y ( y):F Y ( y) = P{ Y ≤ y}P{2X ≤ y}P{X ≥2 y}2 y1 P{ X 2y} =1-f X ( x)dx.于是可得 Y 的概率密度为1, 1 2 y4,f Y ( y)f X (2y)(2 y)=2(2 y) ln 20,其它 .1, 2 y1,f Y ( y)即2(2 y) ln 20,其它 .5. 设随机变量 X 服从区间 (-2,2) 上的均匀分 布, 求随机变量 YX 2 的概率密度 .解 由题意可知随机变量 X 的概率密度为f X ( x)1 ,2 x2,40, 其它 .因为对于 0<y <4,F Y ( y) P{ Y ≤ y} P{ X 2 ≤ y} P{y ≤ X ≤ y }F X ( y ) F X ( y ) .于是随机变量YX 2 的概率密度函数为f Y ( y)1 f X ( y )11 , 0 y 4.f X ( y )y4 2 y2 yf ( y)1 , 0 y 4,即4 y0,其它 .总习题二1. 一批产品中有 20%的次品 , 现进行有放回抽样 , 共抽取 5 件样品 . 分别计算这 5 件样品中恰好有 3 件次品及至多有 3 件次品的概率 .解 以 X 表示抽取的 5 件样品中含有的次品数 . 依题意知 X ~ B(5,0.2) .(1) 恰好有 3 件次品的概率是 P X C 5 0.2 3 0.8 .{ =3}= 3 23(2) 至多有 3 件次品的概率是C 5k 0.2k 0.85 k .k 02. 一办公楼装有 5 个同类型的供水设备 . 调查表明 , 在任一时刻 t 每个设备被使用 的概率为 . 问在同一时刻(1) 恰有两个设备被使用的概率是多少？ (2) 至少有 1 个设备被使用的概率是多少？ (3) 至多有 3 个设备被使用的概率是多少？(4) 至少有 3 个设备被使用的概率是多少？解 以 X 表示同一时刻被使用的设备的个数，则X ~B (5,,{ = }=k k5 kP X kC 50.1 0.9, k =0,1, ,5.(1) 所求的概率是 P XC 50.1 0.90.0729 ;{ =2}=223(2)所求的概率是 P X(1 0.1)5 0.40951 ;{ ≥ 1}=1(3)所求的概率是{ ≤ 3}=1-P{ =4}- { =5}=;P XXP X(4) 所求的概率是 P { X ≥ 3}= P { X =3}+ P { X =4}+ P { X =5}=.3. 设随机变量 X 的概率密度为xkf ( x)e , x ≥0,0， x0,1且已知k θ, 求常数.,2k x解由概率密度的性质可知dx1得到 k =1.e1x1由已知条件1, 得.1 e dx2ln 24. 某产品的某一质量指标 X ~ N(160, 2 ) , 若要求 P{120 ≤X ≤ 200} ≥, 问允许最大是多少 ?解 由P{120 ≤ ≤ 200} P{ 120 160 X160 200 160X≤ ≤ }= ( 404040) (1( ))2 ( ) 1≥,( 40 ) ≥ , 40最大值为 .得到 查表得 ≥ , 由此可得允许5.设随机变量 X 的概率密度为( x ) = e -| x | , - ∞< <+∞.φX A x试求 : (1) 常数 ; (2) {0< <1}; (3)的分布函数 .AP X解 (1)由于(x)dxAe |x|dx 1, 即2 Ae x dx 1故 2A = 1, 得1到A = .2所以φ( x ) =1 e -|x |.2(2) P {0< X <1} = 11 xdx1 ( e x 11 e 10.316.e2 ) 220 (3)因为 F ( x)x1 e |x| 得到2 dx,11当 x <0 时 , F ( x)x x x ,2 e dx 2e当 x ≥0 时,F ( x)1 0x1 xe x1 x,2e dx2dx 1 e21e x ,x0,所以 X 的分布函数为F ( x)21 ex,1 x ≥ 0.2。
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答案仅供参考习题2参考答案2.1 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36 2.2解根据10kkXP得10kkae即1111eae。
故1ea 2.3解用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数XB20.7 用Y表示乙在两次投篮中所投中的次数YB20.4 1 两人投中的次数相同PXY PX0Y0 PX1Y1 PX2Y2 0011220202111120202222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124CCCCCC2甲比乙投中的次数多PXgtY PX1Y0 PX2Y0 PX2Y1 1020211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628CCCCCC2.4解:1P1≤X≤3 PX1 PX2 PX312321515155 2 P0.5ltXlt2.5PX1 PX212115155 2.5解1PX246…246211112222k1111441314kklim 答案仅供参考2PX≥31―PXlt31―PX1- PX21111244 2.6解设iA表示第i次取出的是次品X的所有可能取值为012 123412131241230PXPAAAAPAPAAPAAAPAAAA18171615122019181719 112341234234123412181716182171618182161817162322019181720191817201918172 019181795PXPAAAAPAAAAPAAAAPAAAA 1232321011199595PXPXPX 2.7解1设X表示4次独立试验中A发生的次数则XB40.4343140443340.40.60.40.60.1792PXPXPXCC 2设Y表示5次独立试验中A发生的次数则YB50.4 34532415055533450.40.60.40.60.40.60.31744PXPXPXPXCCC 2.81XPλP0.5×3 P1.5 01.51.500PXe1.5e 2XPλP0.5×4 P2 0122222210111301PXPXPXeee 2.9解设应配备m名设备维修人员。
概率论与数理统计第二章习题答案（PDF）
第二章 随机变量及其分布习题2.11． 口袋中有5个球，编号为1, 2, 3, 4, 5．从中任取3只，以X 表示取出的3个球中的最大号码．（1）试求X 的分布列；（2）写出X 的分布函数，并作图． 解：样本点总数1012334535=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，（1）X 的全部可能取值为3, 4, 5，且事件“X = 3”所含样本点个数为k 1 = 1，有1.0101}3{===X P ， 事件“X = 4”所含样本点个数为31223232=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，有3.0103}4{===X P ， 事件“X = 5”所含样本点个数为61234243=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，有6.0106}5{===X P ， 故X 的分布列为6.03.01.0543P X；（2）因分布函数F (x ) = P {X ≤ x }，分段点为x = 3, 4, 5，当x < 3时，F (x ) = P {X ≤ x } = P (∅) = 0，当3 ≤ x < 4时，F (x ) = P {X ≤ x } = P {X = 3} = 0.1，当4 ≤ x < 5时，F (x ) = P {X ≤ x } = P {X = 3} + P {X = 4} = 0.1 + 0.3 = 0.4，当x ≥ 5时，F (x ) = P {X ≤ x } = P {X = 3} + P {X = 4} + P {X = 5} = 0.1 + 0.3 + 0.6 = 1，故X 的分布函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=.5,1;54,4.0;43,1.0;3,0)(x x x x x F2． 一颗骰子抛两次，以X 表示两次中所得的最小点数．（1）试求X 的分布列； （2）写出X 的分布函数． 解：样本点总数n = 62 = 36，（1）X 的全部可能取值为1, 2, 3, 4, 5, 6，且事件“X = 1”所含样本点个数为k 1 = 62 − 52 = 11，有3611}1{==X P ， 事件“X = 2”所含样本点个数为k 2 = 52 − 42 = 9，有369}2{==X P ，事件“X = 3”所含样本点个数为k 3 = 42 − 32 = 7，有367}3{==X P ，事件“X = 4”所含样本点个数为k 4 = 32 − 22 = 5，有365}4{==X P ，事件“X = 5”所含样本点个数为k 5 = 22 − 1 = 3，有363}5{==X P ， 事件“X = 6”所含样本点个数为k 6 = 1，有361}6{==X P ， 故X 的分布列为3613633653673693611654321PX ； （2）因分布函数F (x ) = P {X ≤ x }，分段点为x = 1, 2, 3, 4, 5, 6，当x < 1时，F (x ) = P {X ≤ x } = P (∅) = 0，当1 ≤ x < 2时，3611}1{}{)(===≤=X P x X P x F ， 当2 ≤ x < 3时，36203693611}2{}1{}{)(=+==+==≤=X P X P x X P x F ， 当3 ≤ x < 4时，36273673693611}3{}2{}1{}{)(=++==+=+==≤=X P X P X P x X P x F ，当4 ≤ x < 5时，36323653673693611}{}{)(41=+++===≤=∑=k k X P x X P x F ， 当5 ≤ x < 6时，36353633653673693611}{}{)(51=++++===≤=∑=k k X P x X P x F ， 当x ≥ 6时，F (x ) = P {X ≤ x } = P (Ω) = 1，故X 的分布函数⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<≤<≤<=.6,1;65,3635;54,3632;43,3627;32,3620;21,3611;1,0)(x x x x x x x x F 3． 口袋中有7个白球、3个黑球．（1）每次从中任取一个不放回，求首次取出白球的取球次数X 的概率分布列；（2）如果取出的是黑球则不放回，而另外放入一个白球，此时X 的概率分布列如何． 解：（1）X 的全部可能取值为1, 2, 3, 4，且107}1{==X P ，30797103}2{=×==X P ，12078792103}3{=××==X P ， 1201778192103}4{=×××==X P ， 故X 的概率分布列为120112073071074321PX ；（2）X 的全部可能取值仍为1, 2, 3, 4，且7.0107}1{===X P ，24.0108103}2{=×==X P ，054.0109102103}3{=××==X P ， 006.01010101102103}4{=×××==X P ，故X 的概率分布列为006.0054.024.07.04321P X ．4． 有3个盒子，第一个盒子装有1个白球、4个黑球；第二个盒子装有2个白球、3个黑球；第三个盒子装有3个白球、2个黑球．现任取一个盒子，从中任取3个球．以X 表示所取到的白球数． （1）试求X 的概率分布列；（2）取到的白球数不少于2个的概率是多少？解：设A 1 , A 2 , A 3分别表示“取到第一个、第二个、第三个盒子”，（1）X 的全部可能取值为0, 1, 2, 3，且P {X = 0} = P (A 1) P {X = 0 | A 1} + P (A 2) P {X = 0 | A 2} + P (A 3) P {X = 0 | A 3}610301304031353331353431=++=×+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×=， P {X = 1} = P (A 1) P {X = 1 | A 1} + P (A 2) P {X = 1 | A 2} + P (A 3) P {X = 1 | A 3}2130330630635221331352312313524131=++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛××=， P {X = 2} = P (A 1) P {X = 2 | A 1} + P (A 2) P {X = 2 | A 2} + P (A 3) P {X = 2 | A 3}10330630303512233135132231031=++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×+×=， P {X = 3} = P (A 1) P {X = 3 | A 1} + P (A 2) P {X = 3 | A 2} + P (A 3) P {X = 3 | A 3}30130100353331031031=++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×+×+×=， 故X 的概率分布列为30110321613210PX ； （2）所求概率为3130********}3{}2{}2{==+==+==≥X P X P X P ． 5． 一批产品共有100件，其中10件是不合格品．根据验收规则，从中任取5件产品进行质量检验，假如5件中无不合格品，则这批产品被接受，否则就要重新对这批产品逐个检验． （1）试求5件产品中不合格品数X 的分布列； （2）需要对这批产品进行逐个检验的概率是多少？解：样本点总数7528752012345969798991005100=××××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ， （1）X 的全部可能取值为0, 1, 2, 3, 4, 5，且事件“X = 0”所含样本点个数为439492681234586878889905900=××××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ， 事件“X = 1”所含样本点个数为25551900123487888990104901101=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ， 事件“X = 2”所含样本点个数为5286600123888990129103902102=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，事件“X = 3”所含样本点个数为48060012899012389102903103=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，事件“X = 4”所含样本点个数为18900901234789101904104=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，事件“X = 5”所含样本点个数为252123456789105105=××××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，则583752.07528752043949268}0{===X P ，339391.07528752025551900}1{===X P ，070219.0752875205286600}2{===X P ，006384.075287520480600}3{===X P ，000251.07528752018900}4{===X P ，000003.075287520252}5{===X P ，故X 的分布列为000003.0000251.0006384.0070219.0339391.0583752.0543210P X ；（2）所求概率为P {X > 0} = 1 − P {X = 0} = 1 − 0.583752 = 0.416248． 6． 设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<=.6,1;63,21;31,31;10,41;0,0)(x x x x x x F试求X 的概率分布列及P {X < 3}，P {X ≤ 3}，P {X > 1}，P {X ≥ 1}． 解：X 的全部可能取值为其分布函数F (x ) 的分段点0, 1, 3, 6，且41041)00()0(}0{=−=−−==F F X P ，1214131)01()1(}1{=−=−−==F F X P ， 613121)03()3(}3{=−=−−==F F X P ，21211)06()6(}6{=−=−−==F F X P ，故X 的概率分布列为2161121413210PX ； 且31)03(}3{=−=<F X P ；21)3(}3{==≤F X P ；32311)1(1}1{1}1{=−=−=≤−=>F X P X P ； 43411)01(1}1{1}1{=−=−−=<−=≥F X P X P ．7． 设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.e ,1e;1,ln ;1,0)(x x x x x F试求P {X < 2}，P {0 < X ≤ 3}，P {2 < X < 2.5}．解：P {X < 2} = F (2 − 0) = ln 2；P {0 < X ≤ 3} = F (3) − F (0) = 1 − 0 = 1；P {2 < X < 2.5} = F (2.5 − 0) − F (2) = ln 2.5 − ln 2 = ln 1.25．8． 若P {X ≥ x 1} = 1 − α ，P {X ≤ x 2} = 1 − β ，其中x 1 < x 2 ，试求P {x 1 ≤ X ≤ x 2}．解：P {x 1 ≤ X ≤ x 2} = P {X ≤ x 2} − P {X < x 1} = P {X ≤ x 2} + P {X ≥ x 1} − 1 = 1 − β + 1 − α − 1 = 1 − α − β ． 9． 从1, 2, 3, 4, 5五个数字中任取三个，按大小排列记为x 1 < x 2 < x 3 ，令X = x 2 ，试求（1）X 的分布函数；（2）P {X < 2}及P {X > 4}．解：样本点总数1012334535=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，（1）X 的全部可能取值为2, 3, 4，且事件“X = 2”所含样本点个数为k 1 = 3，有3.0103}2{===X P ， 事件“X = 3”所含样本点个数为k 2 = 2 × 2 = 4，有4.0104}3{===X P ，事件“X = 4”所含样本点个数为k 3 = 3，有3.0103}4{===X P ，因分布函数F (x ) = P {X ≤ x }，分段点为x = 2, 3, 4， 当x < 2时，F (x ) = P {X ≤ x } = P (∅) = 0，当2 ≤ x < 3时，F (x ) = P {X ≤ x } = P {X = 2} = 0.3，当3 ≤ x < 4时，F (x ) = P {X ≤ x } = P {X = 2} + P {X = 3} = 0.3 +0.4 = 0.7， 当x ≥ 4时，F (x ) = P {X ≤ x } = P (Ω) = 1，故X 的分布函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=;4,1;43,7.0;32,3.0;2,0)(x x x x x F（2）P {X < 2} = P (∅) = 0，P {X > 4} = P (∅) = 0．10．设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤−−=.,0;11|,|1)(其他x x x p试求X 的分布函数．解：分布函数F (x ) = P {X ≤ x }，分段点为x = −1, 0, 1，当x < −1时，F (x ) = P {X ≤ x } = P (∅) = 0，当−1 ≤ x < 0时，21221122)](1[)()(22121++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=−−==−−∞−∫∫x x x x u u du u du u p x F xxx， 当0 ≤ x < 1时，xxxu u u u du u du u du u p x F 021200122)1()](1[)()(⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=−+−−==−−∞−∫∫∫21202211022++−=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−−=x x x x ， 当x ≥ 1时，F (x ) = P {X ≤ x } = P (Ω) = 1，故X 的分布函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤++−<≤−++−<=.1,1;10,212;01,212;1,0)(22x x x x x x x x x F11．如果X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≤−<≤=.,0;21,2;10,)(其他x x x x x p试求P {X ≤ 1.5}． 解：16132325.13021222)2()(}5.1{25.112125.11105.1=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=−+==≤∫∫∫∞−x x x dx x xdx dx x p X P ． 12．设随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=.2π||,0;2π||,cos )(x x x A x p 试求（1）系数A ；（2）X 落在区间 (0, π /4) 内的概率． 解：（1）由密度函数正则性知122πsin 2πsinsin cos )(2π2π2π2π==⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−===−−∞+∞−∫∫A A A xA xdx A dx x p ， 故21=A ；（2）所求概率为4204πsin 21sin 21cos 21}4π0{4π04π=−===<<∫x xdx X P ．13．设连续随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1;10,;0,0)(2x x Ax x x F试求（1）系数A ；（2）X 落在区间 (0.3, 0.7) 内的概率； （3）X 的密度函数．解：（1）由连续随机变量分布函数的连续性知A A x F F F x =⋅==−==−→211)(lim )01()1(1，故A = 1； （2）所求概率为P {0.3 < X < 0.7} = F (0.7) − F (0.3) = 0.7 2 − 0.3 2 = 0.4；（3）密度函数p (x ) = F ′(x )，当x < 0时，F (x ) = 0，有p (x ) = F ′(x ) = 0，当0 ≤ x < 1时，F (x ) = x 2，有p (x ) = F ′(x ) = 2x ， 当x ≥ 1时，F (x ) = 1，有p (x ) = F ′(x ) = 0，故X 的密度函数为⎩⎨⎧<≤=.,0;10,2)(其他x x x p 14．学生完成一道作业的时间X 是一个随机变量，单位为小时．它的密度函数为⎩⎨⎧≤≤+=.,0;5.00,)(2其他x x cx x p （1）确定常数c ；（2）写出X 的分布函数；（3）试求在20min 内完成一道作业的概率； （4）试求10min 以上完成一道作业的概率． 解：（1）由密度函数正则性知1812423)()(5.00235.002=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=+=∫∫∞+∞−c x x c dx x cx dx x p ，故c = 21； （2）分布函数F (x ) = P {X ≤ x }，分段点为x = 0, 0.5，当x < 0时，F (x ) = P {X ≤ x } = P (∅) = 0，当0 ≤ x < 0.5时，2727)21()()(2302302x x u u du u u du u p x F xxx+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=+==∫∫∞−，当x ≥ 0.5时，F (x ) = P {X ≤ x } = P (Ω) = 1，故X 的分布函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤+<=;5.0,1;5.00,27;0,0)(23x x x x x x F（3）所求概率为5417181277312131731}316020{23=+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛×+⎟⎠⎞⎜⎝⎛×=⎟⎠⎞⎜⎝⎛==≤F X P ；（4）所求概率为1081037212167161216171611}616010{23=−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛×−⎟⎠⎞⎜⎝⎛×−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−==≥F X P ． 15．设随机变量X 和Y 同分布，X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0;20,83)(2其他x x x p 已知事件A = {X > a }和B = {Y > a }独立，且P (A ∪B ) = 3/4，求常数a ． 解：由于事件A 和B 独立，且显然有P (A ) = P (B )，则43)]([)(2)()()()()()()()(2=−=−+=−+=A P A P B P A P B P A P AB P B P A P B A P ∪， 可得21)(=A P 或23)(=A P （舍去）， 显然0 < a < 2，有218181d 83}{)(32322=−===>=∫a x x x a X P A P a a ， 故34=a ．16．设连续随机变量X 的密度函数p (x ) 是一个偶函数，F (x ) 为X 的分布函数，求证对任意实数a > 0，有（1）∫−=−=−adx x p a F a F 0)(5.0)(1)(；（2）P {| X | < a } = 2F (a ) − 1；（3）P {| X | > a } = 2[1 − F (a )]． 证：（1）因p (x ) 为偶函数，有∫∫+∞−∞−=a a dx x p dx x p )()(且5.0)(0=∫∞−dx x p ，则∫∫∫∫+=+==∞−∞−a aa dx x p dx x p dx x p dx x p a F 0)(5.0)()()()(，故∫∫∫∫−=−=−===−∞−+∞−∞−a aadx x p a F dx x p dx x p dx x p a F 0)(5.0)(1)(1)()()(；（2）P {| X | < a } = P {−a < X < a } = F (a ) − F (−a ) = F (a ) − [1 − F (a )] = 2 F (a ) − 1； （3）P {| X | > a } = 1 − P {| X | ≤ a } = 1 − P {| X | < a } = 1 − [2 F (a ) − 1] = 2 − 2 F (a )．习题2.21． 设离散型随机变量X 的分布列为3.03.04.0202P X −试求E (X ) 和E (3X + 5)．解：E (X ) = (−2) × 0.4 + 0 × 0.3 + 2 × 0.3 = −0.2；E (3X + 5) = (−1) × 0.4 + 5 × 0.3 + 11 × 0.3 = 4.4． 2． 某服装店根据历年销售资料得知：一位顾客在商店中购买服装的件数X 的分布列为04.009.013.031.033.010.0543210P X试求顾客在商店平均购买服装件数．解：平均购买服装件数为E (X ) = 0 × 0.10 + 1 × 0.33 + 2 × 0.31 + 3 × 0.13 + 4 × 0.09 + 5 × 0.04 = 1.9． 3． 某地区一个月内发生重大交通事故数X 服从如下分布002.0006.0026.0087.0216.0362.0301.06543210P X试求该地区发生重大交通事故的月平均数． 解：月平均数E (X ) = 0 × 0.301 + 1 × 0.362 + 2 × 0.216 + 3 × 0.087 + 4 × 0.026 + 5 × 0.006 + 6 × 0.002 = 1.201． 4． 一海运货船的甲板上放着20个装有化学原料的圆桶，现已知其中有5桶被海水污染了．若从中随机抽取8桶，记X 为8桶中被污染的桶数，试求X 的分布列，并求E (X )．解：样本点总数125970820=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，X 的全部可能取值为0, 1, 2, 3, 4, 5，且事件“X = 0”所含样本点个数64358150=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，有0511.01259706435}0{===X P ， 事件“X = 1”所含样本点个数32175715151=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，有2554.012597032175}1{===X P ， 事件“X = 2”所含样本点个数50050615252=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，有3973.012597050050}2{===X P ， 事件“X = 3”所含样本点个数30030515353=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，有2384.012597030030}3{===X P ， 事件“X = 4”所含样本点个数6825415454=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，有0542.01259706825}4{===X P ， 事件“X = 5”所含样本点个数455315555=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，有0036.0125970455}5{===X P ， 故X 的分布列为0036.00542.02384.03973.02554.00511.0543210PX且E (X ) = 0 × 0.0511 + 1 × 0.2554 + 2 × 0.3973 + 3 × 0.2384 + 4 × 0.0542 + 5 × 0.0036 = 2． 5． 用天平称某种物品的质量（砝码仅允许放在一个盘中），现有三组砝码：（甲）1, 2, 2, 5, 10（g ）；（乙）1, 2, 3, 4, 10（g ）；（丙）1, 1, 2, 5, 10（g ），称重时只能使用一组砝码．问：当物品的质量为1g 、2g 、…、 10g 的概率是相同的，用哪一组砝码称重所用的平均砝码数最少？ 解：设X 1 , X 2 , X 3分别表示使用甲、乙、丙组砝码称重时需要的砝码个数，当物品的质量为1g 、2g 、…、10g 时，有X 1 = 1、1、2、2、1、2、2、3、3、1，即P {X 1 = 1} = 0.4，P {X 1 = 2} = 0.4，P {X 1 = 3} = 0.2， X 2 = 1、1、1、1、2、2、2、3、3、1，即P {X 2 = 1} = 0.5，P {X 2 = 2} = 0.3，P {X 2 = 3} = 0.2， X 3 = 1、1、2、3、1、2、2、3、4、1，即P {X 3 = 1} = 0.4，P {X 3 = 2} = 0.3，P {X 3 = 3} = 0.2，P {X 3 = 4} = 0.1，则平均砝码数E (X 1 ) = 1 × 0.4 + 2 × 0.4 + 3 × 0.2 = 1.8，E (X 2 ) = 1 × 0.5 + 2 × 0.3 + 3 × 0.2 = 1.7， E (X 3 ) = 1 × 0.4 + 2 × 0.3 + 3 × 0.2 + 4 × 0.1 = 2， 故用乙组砝码称重所用的平均砝码数最少．6． 假设有十只同种电器元件，其中有两只不合格品．装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是不合格品，则扔掉重新任取一只；如仍是不合格品，则扔掉再取一只，试求在取到合格品之前，已取出的不合格品只数的数学期望．解：设X 表示在取到合格品之前已取出的不合格品只数，X 的全部可能取值为0, 1, 2，则54108}0{===X P ，45898102}1{=×==X P ，4518891102}2{=××==X P ， 故9245124581540)(=×+×+×=X E ．7． 对一批产品进行检查，如查到第a 件全为合格品，就认为这批产品合格；若在前a 件中发现不合格品即停止检查，且认为这批产品不合格．设产品的数量很大，可以认为每次查到不合格品的概率都是p ．问每批产品平均要查多少件？解：设X 表示检查一批产品要查的件数，X 的全部可能取值为1, 2, …, a – 1, a ，则P {X = 1} = p ，P {X = 2} = (1 – p )p ，…，P {X = a – 1} = (1 – p ) a − 2 p ，P {X = a } = (1 – p ) a − 1， 即E (X ) = 1 ⋅ p + 2 (1 – p ) p + … + (a – 1) (1 – p ) a − 2 p + a (1 – p ) a − 1，有(1 – p )E (X ) = 1 ⋅ (1 – p ) p + 2 (1 – p )2 p + … + (a – 2) (1 – p ) a − 2 p + (a – 1) (1 – p ) a − 1 p + a (1 – p ) a ， 得E (X ) – (1 – p )E (X ) = p + (1 – p ) p + … + (1 – p ) a − 2 p + a (1 – p ) a − 1 – (a – 1) (1 – p ) a − 1 p – a (1 – p ) a ，即)]1()1([)1()1(1])1(1[)(11p a p a a p p p p X pE a a −−−−−+−−−−=−−= 1 – (1 – p ) a − 1 + (1 – p ) a − 1 ⋅ p = 1 – (1 – p ) a − 1 ⋅ (1 – p ) = 1 – (1 – p ) a ，故pp X E a)1(1)(−−=．8． 某厂推土机发生故障后的维修时间T 是一个随机变量（单位：h ），其密度函数为⎩⎨⎧≤>=−.0,0;0,e 02.0)(02.0t t t p t 试求平均维修时间． 解：平均维修时间5002.0e e e )e (e 02.0)(002.0002.0002.0002.0002.0=−=+−=−=⋅=+∞−∞+−∞+−∞+−∞+−∫∫∫tttt t dt t d t dt t T E ．9． 某新产品在未来市场上的占有率X 是仅在区间 (0, 1) 上取值的随机变量，它的密度函数为⎩⎨⎧<<−=.,0;10,)1(4)(3其他x x x p 试求平均市场占有率．解：平均市场占有率∫∫−+−=−⋅=143213)412124()1(4)(dx x x x x dx x x X E5154342105432=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+−=x x x x ．10．设随机变量X 的密度函数如下，试求E (2 X + 5)．⎩⎨⎧≤>=−.0,0;0,e )(x x x p x 解：7e 25e 2e )52()e )(52(e )52()52(0=−=++−=−+=+=++∞−+∞−+∞−+∞−+∞−∫∫∫xx xx x dx x d x dx x X E ．11．设随机变量X 的分布函数如下，试求E ( X )．⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥−<≤<=−−.1,e 211;10,21;0,2e )()1(21x x x x F x x解：因分布函数F (x ) 是连续函数，有X 为连续型，密度函数p (x ) = F ′(x )，当x < 0时，2e )()(xx F x p =′=，当0 < x < 1时，p (x ) = F ′(x ) = 0，当x > 1时，)1(21e 41)()(−−=′=x x F x p ，∫∫∞+−−∞−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅+⋅=1)1210][e 21)(e 21x x d x d x 则∫∫∫∫∫∞+−−∞−∞+−−∞−∞+∞−+=⋅+⋅==1)12101)1(210e 41e 21e 412e )()(dx x dx x dx x dx x dx x xp X E x x x x ，因1e 0e e )(e e 00000−=−=−⋅=⋅=∞−∞−∞−∞−∞−∫∫∫xx xx x dx x d x dx x ， 6e42e2e2][e2e1)1211)1(211)1(211)1(211)1(21=−=+−=⋅−=+∞−−∞+−−+∞−−∞+−−∞+−−∫∫∫x x x x x dx x d x dx x ，故1641)1(21)(=×+−×=X E ．12．某工程队完成某项工程的时间X （单位：月）是一个随机变量，它的分布列为1.02.03.04.013121110P X（1）试求该工程队完成此项工程的平均月数；（2）设该工程队所获利润为Y = 50(13 – X )，单位为万元．试求该工程队的平均利润； （3）若该工程队调整安排，完成该项工程的时间X （单位：月）的分布为1.04.05.0121110P X则其平均利润可增加多少？解：（1）平均月数E (X ) = 10 × 0.4 + 11 × 0.3 + 12 × 0.2 + 13 × 0.1 = 11．（2）平均利润为E (Y ) = E [50 (13 – X )] = 150 × 0.4 + 100 × 0.3 + 50 × 0.2 + 0 × 0.1 = 100（万元）； （3）因E (Y 1) = E [50 (13 – X 1)] = 150 × 0.5 + 100 × 0.4 + 50 × 0.1 = 120，有E (Y 1) – E (Y ) = 20，故平均利润增加20万元．13．设随机变量X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.,0π;0,2cos 21)(其他x x x p 对X 独立重复观察4次，Y 表示观察值大于π /3的次数，求Y 2的数学期望．解：Y 的全部可能取值为0, 1, 2, 3, 4，因216πsin 2πsin2sin2cos 21}3π{π3ππ3π=−===>=∫x dx x X P p ， 则161)1(}0{4=−==p Y P ，164)1(14}1{3=−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==p p Y P ，166)1(24}2{22=−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==p p Y P ， 164)1(34}1{3=−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==p p Y P ，161}4{4===p Y P ， 故5168016141643166216411610)(222222==×+×+×+×+×=Y E ．14．设随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0;20,83)(2其他x x x p 试求21X 的数学期望． 解：438383112020222==⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∫∫dx dx x x X E ．15．设X 为仅取非负整数的离散随机变量，若其数学期望存在，证明∑+∞=≥=1}{)(k k X P X E ．证：)(}{}{}{}{11111X E n X nP n X P n X P k X P n n nk k kn k =======≥∑∑∑∑∑∑+∞=+∞==+∞=+∞=+∞=．16．设连续随机变量X 的分布函数为F (x )，且数学期望存在，证明∫∫∞−+∞−−=0)()](1[)(dx x F dx x F X E ．证：设X 的密度函数为p (x )，有p (x ) = F ′(x )，故∫∫∫∫∞−∞−+∞+∞∞−+∞+−−−−=−−000)]([)()](1[)](1[)()](1[x F xd x xF x F xd x F x dx x F dx x F)()()()()(0)]([00000X E dx x xp dx x xp dx x xp dx x xp dx x p x ==+=+−−−=∫∫∫∫∫+∞∞−∞−+∞∞−+∞．习题2.31． 设随机变量X 满足E (X ) = Var (X ) = λ ，已知E [(X − 1) (X − 2)] = 1，试求λ ． 解：因E (X ) = Var (X ) = λ ，有E (X 2) = Var (X ) + [E (X )]2 = λ + λ 2 ，则E [(X − 1) (X − 2)] = E (X 2 – 3X + 2) = E (X 2) – 3E (X ) + 2 = λ + λ 2 – 3λ + 2 = λ 2 – 2λ + 2 = 1， 得λ 2 – 2λ + 1 = 0，即 (λ – 1)2 = 0， 故λ = 1．2． 假设有10只同种电器元件，其中有两只不合格品．装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是不合格品，则扔掉重新任取一只；如仍是不合格品，则扔掉再取一只，试求在取到合格品之前，已取出的不合格品数的方差．解：设X 表示在取到合格品之前已取出的不合格品只数，X 的全部可能取值为0, 1, 2，则54108}0{===X P ，45898102}1{=×==X P ，4518891102}2{=××==X P ， 得9245124581540)(=×+×+×=X E ，且154451245124581540)(2222==×+×+×=X E ， 故4058892154)]([)()Var(222=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=X E X E X ． 3． 已知E (X ) = –2，E (X 2) = 5，求Var (1 – 3X )．解：因Var (X ) = E (X 2) – [E (X )]2 = 5 – (–2) 2 = 1，故Var (1 – 3X ) = (–3)2 Var (X ) = 9 × 1 = 9． 4． 设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥−<≤<=−−.1,e 211;10,21;0,2e )()1(21x x x x F x x试求Var (X )．解：因分布函数F (x ) 是连续函数，有X 为连续型，密度函数p (x ) = F ′(x )，当x < 0时，2e )()(xx F x p =′=，当0 < x < 1时，p (x ) = F ′(x ) = 0， 当x > 1时，)1(21e 41)()(−−=′=x x F x p ，则∫∫∫∫∫∞+−−∞−∞+−−∞−∞+∞−+=⋅+⋅==1)12101)1(21e 41e 21e 412e )()(dx x dx x dx x dx x dx x xp X E x x x x ，因1e 0e e )(e e 00000−=−=−⋅=⋅=∞−∞−∞−∞−∞−∫∫∫xx xx x dx x d x dx x ， 6e42e2e2][e2e1)1211)1(211)1(211)1(211)1(21=−=+−=⋅−=+∞−−∞+−−+∞−−∞+−−∞+−−∫∫∫x x x x x dx x d x dx x ，可得1641)1(21)(=×+−×=X E ，且∫∫∫∫∫∞+−−∞−∞+−−∞−∞+∞−+=⋅+⋅==1)1(212021)1(2120222e 41e 21e 412e )()(dx x dx x dx x dx x dx x p x X E x x x x因2e 202e e )(e e 00020202=−=⋅−⋅=⋅=∫∫∫∫∞−∞−∞−∞−∞−dx x xdx x d x dx x x x xx x ，∫∫∫∞+−−+∞−−∞+−−∞+−−⋅+−=⋅−=1)1(211)1(2121)1(2121)1(2122e2e2][e2exdx x d x dx x x x x x26642e421)1(21=×+=+=∫∞+−−dx x x ，可得2152641221)(2=×+×=X E ，故2131215)]([)()Var(222=−=−=X E X E X ．5． 设随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤<−≤<−+=.,0;10,1;01,1)(其他x x x x x p试求Var (3X + 2)．解：因061613232)1()1()()(13201321001=+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=−++==−−∞+∞−∫∫∫x x x x dx x x dx x x dx x xp X E ， 且611211214343)1()1()()(1043014310201222=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=−++==−−∞+∞−∫∫∫x x x x dx x x dx x x dx x p x X E ， 则61)]([)()Var(22=−=X E X E X ， 故23619)Var(9)23Var(=×==+X X ．6． 试证：对任意的常数c ≠ E (X )，有Var (X ) = E (X – E (X ))2 < E (X – c )2．证：因E (X – c )2 = E (X 2 – 2cX + c 2) = E (X 2) – 2c E (X ) + c 2 = E (X 2) – [E (X )]2 + [E (X )]2 – 2c E (X ) + c 2= E (X – E (X ))2 + [E (X ) – c ]2 > E (X – E (X ))2 = Var (X )．7． 设随机变量X 仅在区间[a , b ]上取值，试证a ≤ E(X) ≤ b ，22)Var(⎟⎠⎞⎜⎝⎛−≤a b X ．证：因X ≥ a ，有X – a ≥ 0，得E (X – a ) = E (X ) – a ≥ 0，即E (X ) ≥ a ，又因X ≤ b ，同理可得E (X ) ≤ b ，故a ≤ E (X ) ≤ b ；因a ≤ X ≤ b ，有222a b b a X a b −≤+−≤−−，得2222⎟⎠⎞⎜⎝⎛−≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−a b b a X ， 则022222222≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−a b b a X E a b b a X E ，即2222⎟⎠⎞⎜⎝⎛−≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−a b b a X E ， 故22222))(()Var(⎟⎠⎞⎜⎝⎛−≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−≤−=a b b a X E X E X E X ．8． 设随机变量X 取值x 1 ≤ … ≤ x n 的概率分别是p 1 , …, p n ，11=∑=nk k p ．证明212)Var(⎟⎠⎞⎜⎝⎛−≤x x X n ．证：因x 1 ≤ X ≤ x n ，有222111x x x x X x x n n n −≤+−≤−−，得212122⎟⎠⎞⎜⎝⎛−≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−x x x x X n n ，故2121212222))(()Var(⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−≤−=x x x x E x x X E X E X E X n n n ．9． 设g (x ) 为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数，且E (g (X )) 存在，证明：对任意的ε > 0，有)())((}{εεg X g E X P ≤>．注：此题应要求g (ε ) ≠ 0．证：以连续型随机变量为例加以证明，设连续型随机变量X 的密度函数为p (x )，因g (x ) 为非负不减函数，当x > ε 时，有g (x ) ≥ g (ε ) > 0，即1)()(≥εg x g ， 故)())(()()()()()()()()()(}{εεεεεεεg X g E g X g E dx x p g x g dx x p g x g dx x p X P =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=≤≤=>∫∫∫∞+∞−∞+∞+． 10．设X 为非负随机变量，a > 0．若E (e aX)存在，证明：对任意的x > 0，有axaX E x X P e )(e }{≤≥．证：以连续型随机变量为例加以证明，设连续型随机变量X 的密度函数为p (x )，故ax aX ax aX ax au xax auxE E du u p du u p du u p x X P e )(e e e )(e e )(e e )(}{=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=≤≤=≥∫∫∫∞+∞−∞+∞+． 11．已知正常成人男性每升血液中的白细胞数平均是7.3 × 10 9，标准差是0.7 × 10 9．试利用切比雪夫不等式估计每升血液中的白细胞数在5.2 × 10 9至9.4 × 10 9之间的概率的下界． 解：设X 表示“每升血液中的白细胞数”，有E (X ) = 7.3 × 10 9，Var (X ) = (0.7 × 10 9) 2 = 0.49 × 10 18，则P {5.2 × 10 9 ≤ X ≤ 9.4 × 10 9} = P {–2.1 × 10 9 ≤ X – 7.3 × 10 9 ≤ 2.1 × 10 9} = P { | X – E (X ) | ≤ 2.1 × 10 9}989111041.41049.01)101.2()Var(1181829=−=××−=×−≥X ，故所求概率的下界为98．习题2.41． 一批产品中有10%的不合格品，现从中任取3件，求其中至多有一件不合格品的概率． 解：设X 表示“取到的不合格品个数”，有X 服从二项分布b (3, 0.1)，故所求概率为972.09.01.0139.0}1{}0{}1{23=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+==+==≤X P X P X P ． 2． 一条自动化生产线上产品的一级品率为0.8，现检查5件，求至少有2件一级品的概率． 解：设X 表示“检查到的一级品个数”，有X 服从二项分布b (5, 0.8)，故所求概率为99328.02.08.0152.01}1{}0{1}2{45=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−==−=−=≥X P X P X P ． 3． 某优秀射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3．试求该射手三次射击所得的环数不少于29环的概率．解：设X 表示“三次射击所中的10环次数”，有X 服从二项分布b (3, 0.7)，故所求概率为784.07.03.07.023}3{}2{}2{32=+××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==+==≥X P X P X P ．4． 经验表明：预定餐厅座位而不来就餐的顾客比例为20%．如今餐厅有50个座位，但预定给了52位 顾客，问到时顾客来到餐厅而没有座位的概率是多少？ 解：设X 表示“到时来到餐厅的顾客人数”，有X 服从二项分布b (52, 0.8)，故所求概率为0001279.08.02.08.05152}52{}51{}51{5251=+××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==+==≥X P X P X P ．5． 设随机变量X ~ b (n , p )，已知E (X ) = 2.4，Var (X ) = 1.44，求两个参数n 与p 各为多少？ 解：因X ~ b (n , p )，有E (X ) = np = 2.4，Var (X ) = np (1 – p ) = 1.44，有6.04.244.11==−p ， 故p = 0.4，64.04.2==n ． 6． 设随机变量X 服从二项分布b (2, p )，随机变量Y 服从二项分布b (4, p )．若P {X ≥ 1} = 8/9，试求P {Y ≥ 1}．解：因X 服从二项分布b (2, p )，有98)1(1}0{1}1{2=−−==−=≥p X P X P ，即32=p ，故8180311)1(1}0{1}1{44=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−−==−=≥p Y P Y P ．7． 一批产品的不合格率为0.02，现从中任取40件进行检查，若发现两件或两件以上不合格品就拒收这批产品．分别用以下方法求拒收的概率：（1）用二项分布作精确计算；（2）用泊松分布作近似计算． 解：设X 表示“发现的不合格品个数”，有X 服从二项分布b (40, 0.02)，（1）所求概率为1905.098.002.014098.01}1{}0{1}2{3940=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−==−=−=≥X P X P X P ；（2）因n = 40较大，p = 0.02很小，取λ = np = 0.8，有)8.0(~P X ，故查表可得所求概率为191.0809.01}1{1}2{=−=≤−=≥X P X P ． 8． 设X 服从泊松分布，且已知P {X = 1} = P {X = 2}，求P {X = 4}． 解：设X 服从泊松分布P (λ )，有λ > 0，则λλλλλ−−=====e 2}2{e 1}1{21P X P ，得22λλ=，即λ = 2，故查表可得P {X = 4} = P {X ≤ 4} – P {X ≤ 3} = 0.947 – 0.857 = 0.090．9． 已知某商场一天来的顾客数X 服从参数为λ 的泊松分布，而每个来到商场的顾客购物的概率为p ，证明：此商场一天内购物的顾客数服从参数为λ p 的泊松分布． 证：设Y 表示“该商场一天内购买商品的顾客人数”，Y 的全部可能取值为0, 1, 2, …，有∑∑∞=−−∞=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅======rk rk r k rk p p r k k k X r Y P k X P r Y P )1(!e }|{}{}{λλ ∑∑∑∞=+−∞=−−∞=−−−=−−=−−⋅⋅=0!)1(!e )!()1(!e )1()!(!!!e n nr n r rk rk k r rk rk r k n p r p r k p r p p p r k r k k λλλλλλpr p r n n r r r p r p n p r p λλλλλλλλ−−−−∞=−=⋅=−=∑e !)(e !e )(!)]1([!e )1(0， r = 0, 1, 2, …， 故Y 服从参数为λ p 的泊松分布．10．从一个装有m 个白球、n 个黑球的袋子中返回地摸球，直到摸到白球时停止．试求取到黑球数的期望． 解：设X 表示“取到的黑球数”，有X + 1服从参数为n m mp +=的几何分布，有mn m p X E +==+1)1(， 故mnm n m X E =−+=1)(． 11．某种产品上的缺陷数X 服从下列分布列：121}{+==k k X P ，k = 0, 1, …，求此种产品上的平均缺陷数．解：因X + 1服从参数为21=p 的几何分布⎟⎠⎞⎜⎝⎛21Ge ，有21)1(==+p X E ，故E (X ) = 2 – 1 = 1． 12．设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=.,0;10,2)(其他x x x p 以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件{X ≤ 1/2}出现的次数，试求P {Y = 2}．解：因412}21{212210===≤∫x xdx X P ，有Y 服从二项分布⎟⎠⎞⎜⎝⎛41,3b ， 故649434123}2{2=⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==Y P ．13．某产品的不合格品率为0.1，每次随机抽取10件进行检查，若发现其中不合格品数多于1，就去调整设备．若检验员每天检查4次，试问每天平均要调整几次设备． 解：设X 表示“所取10件中的不合格品数”，有X 服从二项分布b (10, 0.1)，则需要调整设备的概率为2639.09.01.01109.01}1{}0{1}2{910=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−==−=−=≥X P X P X P ， 设Y 表示“每天调整设备的次数”，有X 服从二项分布b (4, 0.2639)， 故E (X ) = 4 × 0.2639 = 1.0556，即每天平均要调整1.0556次设备．习题2.51． 设随机变量X 服从区间 (2, 5)上的均匀分布，求对X 进行3次独立观察中，至少有2次的观察值大于3的概率． 解：设Y 表示“X 大于3的次数”，有Y 服从二项分布b (3, p )，且322535}3{=−−=>=X P p ， 故所求概率为272032313223}2{32=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=≥Y P ． 2． 在 (0, 1)上任取一点记为X ，试求⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥+−081432X X P ．解：因X 服从区间 (0, 1)上的均匀分布，且021*******≥⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=+−X X X X ，即41≤X 或21≥X ，故432110412141081432=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥+−X X P X X P 或．3． 设K 服从 (1, 6)上的均匀分布，求方程x 2 + Kx + 1 = 0有实根的概率．解：因方程x 2 + Kx + 1 = 0有实根，有判别式 ∆ = K 2 – 4 ≥ 0，即K ≤ – 2或K ≥ 2，故所求概率为5416260}22{=−−+=≥−≤K K P 或． 4． 设流经一个2 Ω 电阻上的电流I 是一个随机变量，它均匀分布在9A 至11A 之间．试求此电阻上消耗的平均功率，其中功率W = 2I 2．解：因电流I 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0,119,21)(其他x x p故平均功率36023212)(2)2()(1193119222==⋅===∫∫∞+∞−x dx x dx x p x I E W E ． 5． 某种圆盘的直径在区间 (a , b )上服从均匀分布，试求此种圆盘的平均面积． 解：设d 表示“圆盘的直径”，S 表示“圆盘的面积”，有2π41d S =， 因直径d 密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<−=.,0,,1)(其他b x a ab x p 故平均面积)(4π)(4π1π41)(π41π41)(223222b ab a a b x dx a b x dx x p x d E S E ba b a ++=−=−⋅==⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∫∫∞+∞−． 6． 设某种商品每周的需求量X 服从区间 (10, 30)上的均匀分布，而商店进货数为区间 (10, 30)中的某一整数，商店每销售1单位商品可获利500元；若供大于求则削价处理，每处理1单位商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每一单位商品仅获利300元．为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最少进货量．解：因X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=,,0,3010,201)(其它x x p 并设每周进货量为a 单位商品，商店所获利润为Y 元，当X ≤ a 时，Y = 500X − 100 (a − X ) = 600X − 100a ；当X > a 时，Y = 500a + 300 (X − a ) = 300X + 200a ，即⎩⎨⎧>+≤−==,,200300,,100600)(a X a X a X a X X g Y则∫∫∫++−==+∞∞−3010201)200300(201)100600()()()(a adx a x dx a x dx x p x g Y E5250350215)10215()515(2302102++−=++−=a a ax x ax x a a ，要使得92805250350215)(2≥++−=a a Y E ，有040303502152≤+−a a ，可得26362≤≤a ，故a 可取21, 22, 23, 24, 25, 26，即最少进货量为21单位商品． 7． 已知X ~ Exp (λ )，试在λ = 0.1下求P {5 ≤ X ≤ 20}．解：因X 的密度函数为⎩⎨⎧<≥=−,0,0,0,e )(x x x p x λλ 故4712.0e e )e (e 1.0e }205{25.02051.02051.0205=−=−===≤≤−−−−−∫∫x x x dx dx X P λλ．8． 统计调查表明，英格兰在1875年至1951年期间，在矿山发生10人或10人以上死亡的两次事故之间的时间T （以日计）服从均值为241的指数分布．试求P {50 ≤ T ≤ 100}．解：因T 服从指数分布，且2411)(==λT E ，有T 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=−,0,0,0,e 2411)(241t t t p t故1523.0ee)e(e 2411}10050{241100241501005024110050241=−=−==≤≤−−−−∫x t dt T P ．9． 若一次电话通话时间X （单位：min ）服从参数为0.25的指数分布，试求一次通话的平均时间． 解：因X 服从参数为λ = 0.25的指数分布，故一次通话的平均时间41)(==λX E ．10．某种设备的使用寿命X （以年计）服从指数分布，其平均寿命为4年．制造此种设备的厂家规定，若设备在使用一年之内损坏，则可以予以调换．如果设备制造厂每售出一台设备可盈利100元，而调换一台设备需花费300元．试求每台设备的平均利润．解：因X 服从指数分布，且41)(==λX E ，有X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=−,0,0,0,e 41)(4x x x p x设Y 表示“每台设备的利润”，当X ≤ 1时，Y = 100 − 300 = −200；当X > 1时，Y = 100．故平均利润∫∫∞+−−+−=>+≤−=14104e 41100e 41200}1{100}1{200)(dx dx X P X P Y E xx 6402.33200e 300e100)e 1(200)e (100)e (2004141411414=−=+−−=−+−−=−−−+∞−−x x．11．设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以min 计）服从指数分布，其密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>=−.,0,0,e 51)(5其他x x p x某顾客在窗口等待服务，若超过10min ，他就离开．他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未。
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12 32 3 P{ X = 2} = 1 − P{ X = 0} − P{ X = 1} = 1− − = 19 95 95
2.7 解：(1)设 X 表示 4 次独立试验中 A 发生的次数，则 X~B(4,0.4) P ( X ≥ 3) = P ( X = 3) + P ( X = 4) = C 40.430.61 + C 40.44 0.60 = 0.1792 (2)设 Y 表示 5 次独立试验中 A 发生的次数，则 Y~B(5,0.4)
P{ X = P{ A1 A2 A3 A4 } + P{ A1 A2 A3 A4 } + P{ A1 A2 A3 A4 } + P{ A1 A2 A3 A4 } 1} = = 2 18 17 16 18 2 17 16 18 18 2 16 18 17 16 2 32 × × × + × × × + × × × + × × × = 20 19 18 17 20 19 18 17 20 19 18 17 20 19 18 17 95
0
1
1
2
2
(2)甲比乙投中的次数多 P{X>Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=
C
1 2
0.710.31 × C 20.40 0.62 + C 20.7 2 0.30 × C 20.40 0.62 + C 20.7 2 0.30 × C 20.410.61 = 0.5628
a ≈ 184 厘米
2.19 解：X 的可能取值为 1,2,3。
2 C4 6 因为 P ( X = 1) = 3 = = 0.6 ； C 5 10
概率论第二章练习答案
概率论第二章练习答案 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】《概率论》第二章练习答案一、填空题：1．设随机变量X 的密度函数为f(x)=⎩⎨⎧02x 其它1〈⨯〈o 则用Y 表示对X 的3次独立重复的观察中事件(X≤21)出现的次数，则P （Y ＝2）＝ 。
2. 设连续型随机变量的概率密度函数为： ax+b 0<x<1f (x) =0 其他且EX ＝31，则a = _____-2___________， b = _____2___________。
3. 已知随机变量X 在[ 10，22 ] 上服从均匀分布，则EX= 16 ， DX= 124. 设=+==）（，则，为随机变量，1041132ξξξξE E E 22104=+ξE 5. 已知X 的密度为=)(x ϕb ax + 且其他,10<<x P （31<x ）=P(X>31) ， 则a = , b =⎰⎰⎰+=+⇒==+∞∞-10133131311dx b ax dx b ax x P x P dx x ）（）（）〉（）〈（）（ϕ联立解得：6．若f(x)为连续型随机变量X 的分布密度，则⎰+∞∞-=dx x f )(＿＿1＿＿＿＿。
7. 设连续型随机变量ξ的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=2,110,4/0,0)(2x x x x x F ，则P （ξ=）= 0 ；)62.0(<<ξP = 。
8. 某型号电子管，其寿命（以小时记）为一随机变量，概率密度)(x ϕ＝()⎪⎩⎪⎨⎧≥)(01001002其他x x ，某一个电子设备内配有3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不需要更换的概率为＿＿＿8/27＿＿＿＿＿。
2100xx≥100 ∴ ϕ(x)= 0 其它P （ξ≥150）=1－F(150)=1－⎰⎰=-+=+=150100150100232132********x dx x [P(ξ≥150)]3=(32)3=2789. 设随机变量X 服从B （n, p ）分布，已知EX ＝，DX ＝，则参数n ＝___________，P ＝_________________。
(完整版)概率论第二章随机变量及其分布答案
概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第二章 随机变量及其分布（一）一．选择题：1．设X 是离散型随机变量，以下可以作为X 的概率分布是 [ B ]（A ）1234111124816Xx x x x p （B ） 123411112488X x x x x p （C ）1234111123412Xx x x x p（D ） 1234111123412X x x x x p -2．设随机变量ξ的分布列为 01230.10.30.40.2X p )(x F 为其分布函数，则)2(F =[ C ]（A ）0.2 （B ）0.4 （C ）0.8 （D ）1 二、填空题：1．设随机变量X 的概率分布为0120.20.5X p a ，则a = 0.32．某产品15件，其中有次品2件。
现从中任取3件，则抽得次品数X 的概率分布为 P{X=0}=22/35;P{X=1}=12/35; P{X=2}=1/353．设射手每次击中目标的概率为0.7,连续射击10次，则击中目标次数X 的概率分布为 P{X=k}=k kkC -⨯10103.07.0,10,,0Λ=k 或X~B(10,0.7)三、计算题：1．同时掷两颗骰子，设随机变量X 为“两颗骰子点数之和”求： （1）X 的概率分布； （2）(3)P X ≤； （3）(12)P X >(1) P{X=2}= P{X=12}=1/36; P{X=3}= P{X=11}=1/18;P{X=4}= P{X=10}=1/12; P{X=5}= P{X=9}=1/9;P{X=6}= P{X=8}=5/36;P{X=7}=1/6(2) P{X=2}=1/36; P{X=3}=1/18 (3) P{X>12}=02．产品有一、二、三等品及废品四种，其中一、二、三等品及废品率分别为60%，10%，20%及10%，任取一个产品检查其质量，试用随机变量X 描述检查结果。
概率论与数理统计习题二答案
概率论与数理统计习题二答案概率论与数理统计习题二答案概率论与数理统计是一门重要的数学学科，广泛应用于各个领域。
习题是学习这门学科的重要方式之一，通过解答习题可以巩固理论知识，提高问题解决能力。
本文将针对概率论与数理统计习题二给出详细的答案解析。
1. 设事件A和事件B为两个相互独立的事件，且P(A) = 0.3，P(B) = 0.4。
求P(A并B)和P(A或B)。
解析：由于事件A和事件B是相互独立的，所以P(A并B) = P(A) * P(B) = 0.3 * 0.4 = 0.12。
而P(A或B) = P(A) + P(B) - P(A并B) = 0.3 + 0.4 - 0.12 = 0.58。
2. 一批产品中有10%的次品，从中随机抽取5个产品进行检验，求恰好有3个次品的概率。
解析：设事件A为恰好有3个次品，事件B为抽取的5个产品中有3个次品。
根据二项分布的概率公式，P(B) = C(5, 3) * (0.1)^3 * (0.9)^2 = 10 * 0.001 * 0.81 = 0.0081。
因此，恰好有3个次品的概率为0.0081。
3. 一批产品的质量服从正态分布，已知平均值为μ，标准差为σ。
从中随机抽取一个样本，样本容量为n。
求样本均值的期望值和方差。
解析：样本均值的期望值为总体均值μ，样本均值的方差为总体方差除以样本容量n。
因此，样本均值的期望值为μ，方差为σ^2/n。
4. 设X和Y是两个随机变量，它们的协方差为Cov(X, Y) = 5，方差分别为Var(X) = 9，Var(Y) = 16。
求随机变量Z = 2X + 3Y的方差。
解析：根据随机变量的性质，Var(Z) = Var(2X + 3Y) = 4Var(X) + 9Var(Y) +12Cov(X, Y) = 4 * 9 + 9 * 16 + 12 * 5 = 36 + 144 + 60 = 240。
5. 设X服从参数为λ的指数分布，即X ~ Exp(λ)。
概率论第二版习题答案
概率论第二版习题答案概率论是一门研究随机现象的数学分支，它在统计学、金融学、工程学等多个领域都有广泛的应用。
第二版的概率论教材通常会在第一版的基础上进行修订和补充，以反映最新的研究成果和教学方法。
以下是一些概率论习题的答案示例，这些答案仅供参考，具体习题的答案可能会根据教材的不同而有所变化。
第一章：概率空间1. 习题1：描述一个概率空间的基本元素。
- 答案：一个概率空间由三个基本元素组成：样本空间(Ω)，事件集合(F)，以及概率测度(P)。
样本空间包含了所有可能的结果，事件集合是样本空间的子集，概率测度为每个事件分配一个介于0和1之间的实数，表示事件发生的可能性。
2. 习题2：证明如果事件A和事件B互斥，那么P(A∪B) = P(A) +P(B)。
- 答案：由于A和B互斥，即A∩B = ∅，根据概率测度的性质，P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
由于A和B互斥，P(A∩B) = 0，因此P(A∪B) = P(A) + P(B)。
第二章：随机变量及其分布1. 习题1：定义离散型随机变量和连续型随机变量。
- 答案：离散型随机变量是其取值可以列举的随机变量，其概率分布可以用概率质量函数来描述。
连续型随机变量是其取值无法一一列举的随机变量，其概率分布可以用概率密度函数来描述。
2. 习题2：如果X是一个随机变量，求E(X)和Var(X)。
- 答案：期望E(X)是随机变量X的平均值，定义为E(X) = ∑x *P(X = x)（对于离散型随机变量）或E(X) = ∫x * f(x) d x（对于连续型随机变量）。
方差Var(X)是随机变量X的离散程度的度量，定义为Var(X) = E[(X - E(X))^2]。
第三章：多维随机变量及其分布1. 习题1：描述联合分布函数和边缘分布函数的关系。
- 答案：联合分布函数给出了两个或多个随机变量同时取特定值的概率，而边缘分布函数是通过对联合分布函数进行积分或求和得到的，它给出了单个随机变量的分布。
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习题22.1 （2）抛掷一颗匀称质骰子两次， 以X 表示前后两次出现点数之和，求X 的概率分布，并验证其满足（2.2.2）式。
2.1解：样本空间为{})6,6(),....,1,2(),16(),...,2,1(),1,1(=Ω，且每个样本点出现的概率均为361，X 的所有可能的取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，且有 {}{}{}363)2,2(),1,3(),3,1()4(,362)1,2(),2,1()3(,361)1,1()2(=========P X P P X P P X P类似地,365)6(,364)5(====X P X P ,365)8(,366)7(====X P X P ,363)10(,364)9(====X P X P ,361)12(,362)11(====X P X PX 的概率分布为36118112191365613659112118136112111098765432kp X 满足：1362/652636543212366)(122=⨯⨯+=+++++==∑=k k X P 2.2设离散随机变量X 的概率分布为 {}kP X k ae -==， k=1，2,…，试确定常数.a2.2解：由于11111)(1--∞=-∞=-====∑∑e e a aek X P k kk ，故1111-=-=--e ee a2.3 甲、乙两人投篮，命中率分别为0.7,和0.4，今甲、乙两人各投篮两次，求下列事件的概率：（1）两人投中的次数相同 ； （2）甲比乙投中的次数多。
2.3解：设Y X ,分别为甲、乙投中的次数，则有)4.0,2(~),7.0,2(~B Y B X ，因此有2,1,0,)6.0()4.0()(,)3.0()7.0()(2222=====--k C k Y P C k X P k k kk k k（1） 两人投中次数相同的概率为∑======23142.0)()()(k k Y P k X P Y X P（2） 甲比乙投中次数多的概率为5628.0)]1()0()[2()0()1()()()(2==+==+===<==>∑=Y P Y P X P Y P X P k Y P k X P Y X P k 2.4设离散随机变量X 的概率分布为 {}12kP X k ==， k=1，2，….求 （1）{}2,4,6,...P X =； （2）{}2.5P X ≥；2.4解：（1）{}4.015615321)3()2()1(31==++==+=+==≤≤X P X P X P X P （2）{}2.01531521)2()1(5.25.0==+==+==<<X P X P X P2.5设离散随机变量X 的概率分布为 {}15kk X P ==， k=1，2，3，4，5.求（1）{}13P X ≤≤； （2）{}0.5 2.5P X <<；2.5解：（1）{}314/114/14121)2(,...6,4,21121=-======∑∑∑∞=∞=∞=k k k k k k X P X P （2）25.0412/118/121)()3(33==-====≥∑∑∞=∞=k kk k X P X P 2.6 设事件A 在每次试验中发生的概率为0.4，当A 发生3次或3次以上时，指示灯发出信号，求下列事件的概率.（1）进行4次独立试验，指示灯发出信号； （2）进行5次独立试验，指示灯发出信号；2.6解：设X 为4次独立试验时事件A 发生的次数，设Y 为5次独立试验时事件A 发生的次数，则有)4.0,5(~),4.0,4(~B Y B X （1）所求概率为：1792.04.06.04.04)4.01(4.0)4.01(4.0)4()3()3(434444434334=+⨯⨯=-+-==+==≥--C C X P X P X P（2）所求概率为：31744.04.06.04.056.04.010)4.01(4.0)4.01(4.0)4.01(4.0)5()4()3()3(5423555554544535335=+⨯⨯+⨯⨯=-+-+-==+=+==≥---C C C Y P Y P Y P Y P2.7 某城市在长度为t （单位：小时）的时间间隔内发生火灾的次数X 服从参数为0.5t 的泊松分布，且与时间间隔的2无关，求下列事件的概率. （1）某天中午12点到下午15点末发生火灾；（2）某天中午12点到下午16点至小发生两次火灾。
2.7解：（1）设X 为中午12点到下午15点发生火灾的次数，根据题意可知，X 服从参数为5.15.03=⨯=λ的泊松分布，所求概率为22313.0!05.1)0(5.15.10≈===--e e X P（2）设Y 为中午12点到下午16点发生火灾的次数，根据题意可知，Y 服从参数为25.04=⨯=λ的泊松分布，所求概率为59399.031!12!021)]1()0([1)1(1)2(22120≈-=--==+=-=≤-=≥---e e e Y P Y P Y P Y P 2.8 为保证设备正常运行，必须配备一定数量的设备维修人员，现有同类设备180台，且各设备工作相互独立，任一时间设备发生故障的概率都是0.01。
假定一台设备由一人进行修理，问至小配备多小设备维修人员，才能保证设备发生故障后得到及时维修的概率不小于0.99？.2.8解：设X 为180台机器同时发生故障的台数，则)8.1()01.0,180(~P B X ≈，设需要n 个维修人员才能保证{}99.0≥≤n X P ，即01.0)1(≤+>n X P ，现在8.1!8.1)(-==e k k X P k ，于是1.0)(1==∑∞+=n k k X P ，查表得6,71==+n n ，即6个维修人员可满足要求。
其它2.9 某种元件的寿命X(单位：小时)的概率密度函数为：210001000,,()1000.0,x f x x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩求5个元件使用1500小时后，恰有2个元件失效的概率。
2.9解：设事件A 为元件寿命大于1500小时，则3215001000|10001000)()1500()(1500150015002==-===≥==∞∞∞⎰⎰x dx x dx x f X P A P p 设Y 为5个元件中寿命不大于1500小时的元件个数，则)3/1,5(~B Y ，所求概率为：24380929110)3/11()3/1()2(3325225=⨯⨯=-==-C Y P2.10 设某地区每天的用电量X(单位：百万千瓦)是一连续型随机变量，概率密度函数为： 120(1),01,()0,.x x x f x -<<⎧=⎨⎩其它假设每天供电量仅有80万千瓦时，求该地区每天的供电量不足的概率。
若每天供电量上升到90万千瓦时，每天的供电量不足的概率是多小？2.10解：（1）若供电量为80万千瓦小时，则供电量不足的概率为：0272.0)2(12)1(12)()8.0(18.0328.018.02=+-=-==>⎰⎰⎰∞dx x x x dx x x dx x f X P（2）若供电量为90万千瓦小时，则供电量不足的概率为：0237.0)2(12)1(12)()9.0(19.0329.019.02=+-=-==>⎰⎰⎰∞dx x x x dx x x dx x f X P2.11设随机变量~(2,4)K U -，求方程22230x Kx K +++=有实根的概率.2.11解：K 的密度函数为：⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他，,0,42,61)(x x f则方程有实根的概率为：{}{}{}{}{}3161616161)1()3(0)3(,0)1(0)3(,0)1(0)3)(1(0320)32(44431222=+=+=-≤+≥=≤-≤++≥-≥+=≥-+=≥--=≥+-=⎰⎰--dx dx K P K P K K P K K P K K P K K P K K P p2.12 设某型号的飞机雷达发射管的寿命X （单位：小时）服从参数为0.005的指数分布，求下列事件的概率：（1）发射管的寿命不超过100小时； （2）发射管的寿命超过300小时。
（3）一只发射管的寿命不超过100小时，另一只发射管的寿命在100至300小时之间。
2.12解：X 的密度函数为：⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,0,0,2001)(200/x x e x f x（1） 所求概率为 39341.01|)()100(5.01001000200/≈-=-==≤--⎰e e dx xf X P x （2） 所求概率为 22313.0|)()300(5.1300300200/≈=-==>-∞∞-⎰e e dx xf X P x（3） 由于两个事件相互独立，故所求概率为 15.0]][1[)300100()100(5.15.05.0≈--=<<<---e e eX P X P2.13 设每人每次打电话的时间X （单位：分钟）服从参数为0.5的指数分布，求282人次所打电话中，有两次或两次以上超过10分钟的概率。
2.13解：设A 为事件“打电话时间超过10分钟”，X 为打电话时间，则X 服从参数5.0=λ的指数分布，即)5.0(~Exp X ，于是00674.0|5.0)()10()(51010105.05.0≈=-===>==-∞∞∞--⎰⎰e e dx e dx x f X P A P p x x设Y 为282人中“打电话时间超过10分钟”的人次，则)9.1()282(),282(~P p P p B Y =≈。
所求概率为56625.09.219.11)1()0(1)1(1)2(9.19.19.1=-=--≈=-=-=≤-=≥---eeeY P Y P Y P Y P2.14 某高校女生的收缩压X （单位：毫米汞柱）服从2(110,12)N ,求该校某名女生： （1）收缩压不超过105的概率；（2）收缩压在100至120之间的概率。
2.14解：（1）收缩压不超过105的概率为：3372.06628.01)42.0(1)42.0(10110105)105()105(=-=Φ-=-Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ==≤F X P （2）收缩压在100至120之间的概率为：5934.017967.021)83.0(2)83.0()83.0(1011010010110120)100()120()120100(=-⨯=-Φ=-Φ-Φ=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=-=≤<F F X P 2.15 公共汽车门的高度按成年男性与车门碰头的机会不超过0.01设计的，设成年男性的身高X （单位：厘米）服从正态分布2(170,6)N ，问车门的最低高度应为多小？ 2.15解：设车门最低高度为a ，则01.0)(≤≥a X P ，即99.0617099.0)()(01.0)(1≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ≥<=≤<-a a X P a F a X P 反查标准正态分布函数表得33.26/)170(≥-a ，即18498.18333.26170≈=⨯+≥a ，即车门最低高度为184厘米。