精品_高中数学专题—二次函数巩固

4 1 (ⅱ)若4－3a 0，即a ，因为对称轴x＝ 0， 3 4 3a 故又分两种情况讨论： 1 1 2 ①当0 ，即a 时， 4 3a 2 3 f x max ＝f 1＝2－2a； 1 1 2 4 ②当 < ，即 <a < 时， f x ＝f 0 ＝a. max 2 4 3a 3 3 综上所述，f x 在 0,1 上的最大值是关 2 2 2a ( a ) 3 于a的函数g a ＝ a(a 2 ) 3
2）最值相关量：
定义域R： 定义域[m,n]：
3）对称轴相关量：
1:对称轴x=-b/2a
2:f(a)=f(b)(a≠b)对称轴x=(a+b)/2
4）二次方程、二次不等式 与x轴的交点坐标是方程 f(x)=0的实根，它在x轴上 的线段长为
| x1 x2 | ( x1 x2 ) 4 x1 x2 |a|
本题考查二次函数及其图象的综合分 析能力，解答中，表面上看，只研究了函 数图象从 [ － 1,1] 上穿过，并没有讨论图象 与x轴无交点的情况．事实上，函数图象若 与x轴无交点，由于图象开口向上，所以在 [ － 1,1] 上每一点 c 都有 f(c)>0. 本题可用间接 法求解，若在 [ － 1,1] 上不存在 c 使 f(c)>0 ， 则在[－1,1]上所有的点x，使f(x)≤0，
2、二次函数研究的四元素： 开口a；对称轴-b/2a；顶点；与坐标轴 的交点
1、配方法 b 4ac b 2 ( , ) 2、顶点公式 2a 4a 3、对称代入法
1、与y轴的交点:(0,c) 2、与x轴的交点：y=0时， 转化成一元二次方程
3、二次函数的相关量
1）单调性的相关量：开口；对称轴
考点四、动二次函数在定区间上的最值
【例4】 已知f(x)＝(4－3a)x2－2x＋a(a∈R)，求 f(x)在[0,1]上的最大值．
4 【解析】 1 若4－3a＝0，则a＝ ，所以 3 4 f x ＝－2x＋ . 3 由于f x 在 0,1 上是减函数， 4 所以 f x max ＝f 0 ＝ 3 . 4 2 若4－3a 0，即a ，分两种情况讨论： 3 4 1 ⅰ若 ( ) 4－3a 0，即a ，因为对称轴x＝ 0， 3 4 3a 所以f x 在 0,1 上是减函数，所以 f x max ＝f 0 ＝a.
高中数学专题
二次函数专题巩固
知识梳理
• 1、二次函数的解析式（待定系数法）
• ①一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)
• ②顶点式：y=a(x－h)2+k,a≠0，其中 (h,k)为抛物线的顶点坐标。 • ③零点式(两根式)：y=a(x－x1)(x－x2)， a≠0其中x1、x2是抛物线与x轴两交点的横 坐标。
二次函数在闭区间上一定存在最 大值和最小值，此类问题与区间和对 称轴有关，一般分为三类： ①定区间，定轴； ②定区间，动轴，本题是这一类； ③动区间，动轴．要认真分析对称轴 与区间的关系，合理地进行分类讨论， 特别要注意二次项系数是否为0.
【练习4】 已知二次函数 f(x) ＝－ x2 ＋ 2ax ＋ 1 － a 在区 间[0,1]上有最大值为2，求实数a的值． 【解析】根据对称轴 x＝ a与区间 [0,1]的关 系讨论： ①当 a<0 时， [f(x)]max ＝ f(0) ＝ 1 － a ＝ 2 ，所 以a＝－1； ②当 0≤a≤1 时， [f(x)]max ＝ f(a) ＝ 2 ，无实数 解； ③当a>1时，[f(x)]max＝f(1)＝a＝2，所以实 数a的值是－1或2.
二次函数的零点分布也即二次方程实 根分布，若两个零点分布在同一区间，则 其充要条件包含三个方面，即判别式大于 等于0、对称轴在该区间上、区间端点的函 数值的符号 ( 根据图象判断 ) ；若两个零点 分布在两个不同区间，则其充要条件包含 一个方面，即区间端点的函数值的符号(根 据图象判断)．
【练习2】 已知函数 f(x) ＝ x2 ＋ 2mx ＋ 2m ＋ 1 的 在区间 ( － 1,0) 和 (1,2) 内各有一个零 点，求实数m的取值范围．
定二次函数在动区间上的最值， 一般是对区间与对称轴的位置关系 进行讨论，讨论要按照顺序，不重 复，不遗漏．
【练习3】 已知函数 f(x) ＝ x2 － 6x ＋ 8 ， x∈[1 ， a] 的最小值为 f(a) ，则实数 a 的取值范围 是______________ (1,3] 【解析】利用函数 f(x) ＝ x2 － 6x ＋ 8 ， x∈[1，a]的图象，知实数a的取值范围 是(1,3]．
有相异两 实根x1,x2 (x1<x2)
一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a> x<x 或x>x x≠－b/2a 1 2 0)的解集 一元二次不等式 ax2+bx+c<0(a> 0)的解集
有相等两实 没有实根 根x1＝ x2 ＝－b/2a
R
x1<x<x2
Φ
Φ
考点一、二次函数的解析式
【例1】 已知函数 f(x) ＝ ax2 ＋ a2x ＋ 2b － a3 ，当 x∈( － 2,6) 时， f(x)>0 ，当 x∈( － ∞ ，－ 2)∪(6，＋∞)时，f(x)<0，且f(0)＝48， 求f(x)．
2 【解析】 1 设函数 f x ＝ ax ＋bx＋1(a 0)，
则a( x＋1) 2＋b( x＋1)＋1＝ax 2＋bx＋1＋2x， 2a b b 2 a 1 整理得 ，解得 . a b 1 1 b 1 所以f x ＝x 2－x＋1.
f (2) 0 于是设f x ＝a( x－2) ＋c.由 ， f (0) 48 16a c 0 a 4 即 ，得 ， 4a c 48 c 64 所以f x ＝－4x 2＋16x＋48.
2
【练习1】 已知二次函数 f(x) 满足 f(x ＋ 1) － f(x) ＝ 2x，且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式； (2) 在区间 [ － 1,1] 上，函数 f(x) 的图象 恒在直线y＝2x＋m的上方，求实数m 的取值范围．
【解析】函数f x ＝x 2＋2mx＋2m＋1的零点都在 区间 0,1 上，即函数f x ＝x 2＋2mx＋2m＋1的图 象与x轴的交点都在 0,1 上，根据图象列出不等 0 m 1 2或m 1 2 0 m 1 式组 ，解得 1 m 0 ， f (0) 0 1 Βιβλιοθήκη Baidum f (1) 0 2 1 所以－ m 1－ 2, 2 1 所以实数m的取值范围是(－ ,1－ 2] 2
考点五、二次函数综合应用
【例5】 二次函数 f(x) ＝ 4x2 － 2(p － 2)x － p － 5 在区间 [ － 1,1] 上至少存在实数 c ，使 f(c)>0，求实数p的取值范围．
【解析】只需函数 f(x) 的图象从 [ － 1,1] 上 穿 过 ( 或 f(x)>0( － 1≤x≤1) 恒 成 立)，等价条件是f(－1)>0或f(1)>0. 因为f(－1)＝4＋2(p－2)－p－5＝p－ 5>0，或f(1)＝4－2p＋4－p－5＝3－ 3p>0， 所以p∈(－∞，1)∪(5，＋∞)．
【练习5】 若函数f(x)＝(m－2)x2－4mx＋2m－6的 图象与 x轴的负半轴有交点，求实数 m 的取值范围．
【解析】 1 若m＝2，则f x ＝－8x－2，它的 1 图象与x轴的交点是(－ ，，符合要求． 0) 4 2 若m 2，用间接法：当f x 的图象与x轴 的非负半轴有两个交点 x1, 0 、 x2, 0 或与x轴无 4m x1 x2 m 2 0 2m 6 交点时，有 x1 x2 0 , m2 16m 2 4(m 2)(2m 6) 0
【解析】依题意知函数f x 的图象是抛物 线，且开口向下，故a 0，且x＝－2和x ＝6是f x ＝0的两个根， 则设函数f x ＝a ( x＋2)( x－6)＝ax 2－4ax－12a，
2 a 4 a 4a 比较得 ，解得 . 3 b 8 2b a 12a 所以f x ＝－4x 2＋16x＋48.
2 当x [－1,1]时，由x 2－x＋1 2x＋m，
得x 2－3x m－1.当x＝1时， ( x 2－3x) min＝－2， 所以m－1 －2，则m －1.故实数m的取值 范围是(－，－1)．
考点二、二次函数的零点分布
【例2】 已知函数 f(x)＝x2 ＋ 2mx＋2m ＋1的 零点都在区间(0,1)上，求实数m的 取值范围．
f (1) 0 3 3 p 0 于是只需考察 ，即 ， f (1) 0 p 5 0 得1 p 5.故满足条件的p的取值范围是 ( －， 1) (5，＋)．本题容易出现分析 上的偏差，认为方程f x ＝ 0在－ [ 1,1]上 有一根或两根，再根据根的分布去做， 注意理解清楚这两种不同的问题．
2
2、突现函数图象，研究二次方程ax2+bx+c=0的根 的分布问题： ①二次项系数a的符号； ②判别式的符号； ③区间端点函数值的正负； ④对称轴x=－b/2a与区间端点的关系
注：方程、不等式问题等价转化图形问题 等价转化简单不等式组
Δ= b2－4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数 f(x)=ax2+bx+c (a>0) 的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的根
③当t 2时，函数f x 在区间[t，t＋1]上 递减，此时g t ＝f t ＝－t 2＋4t－1， t 2 2t 2(t 1) 综上，g t ＝3(1 t 2) t 2 4t 1(t 2)
2 利用图象解得g t 的最大值是3.
考点三、二次函数在动区间上的最值
【例3】 函数f(x)＝－x2＋4x－1在区间[t，t＋1](t∈R) 上的最大值记为g(t)． (1)求g(t)的解析式； (2)求g(t)的最大值
【解析】(1)对区间[t，t＋1](t∈R)与对称 轴x＝2的位置关系进行讨论： ①当 t ＋ 1<2 ，即 t<1 时，函数 f(x) 在区间 [t ， t＋1]上递增， 此时g(t)＝f(t＋1)＝－t2＋2t＋2； ②当 t≤2≤t ＋ 1 ，即 1≤t≤2 时，函数 f(x) 在区 间[t，t＋1]上先增后减， 此时g(t)＝f(2)＝3；
【解析】函数f x ＝x 2＋2mx＋2m＋1的零点分 别在区间(－1,0)和 1, 2 上，即函数f x ＝x 2＋ 2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点一个在(－1,0) 上，一个在 1, 2 上，根据图象列出不等式组 f 1 2 0 1 m f 0 2m 1 0 2 , 解得 ， f 1 4m 2 0 m 5 6 f 2 6m 5 0 5 1 所以－ m － , 6 2 5 1 所以实数m的取值范围是(－ ，－ )． 6 2
二次函数的表示方法有三种：一般 式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：y＝ a(x－b)2＋c(a≠0)；交点式y＝a(x－x1)(x － x2)(a≠0) ．根据条件可任选一种来表 示二次函数．本题采用了交点式．根据 题目条件，也可以采用顶点式，因为 x ＝－2或 6是 f(x)＝0的两个根，所以 x＝ 2 是其对称轴方程，