精品_高中数学专题—二次函数巩固
初高中数学衔接知识复习二次函数
初、高中数学衔接知识复习：二次函数一．要点回顾1． 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)配方得：y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b x a )＋c ＝a (x 2＋b x a＋224b a )＋c －24b a 224()24b b ac a x a a-=++， 所以，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以由函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移而得到。
2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的性质：[1] 当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向 ；顶点坐标为 ，对称轴为直线 ；当x 时，y 随着x 的增大而 ；当x 时，y 随着x 的增大而 ；当x 时，函数取最小值 ．[2] 当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向 ；顶点坐标为 ，对称轴为直线 ；当x 时，y 随着x 的增大而 ；当x 时，y 随着x 的增大而 ；当x 时，函数取最大值 ．3．二次函数的三种表示方式[1]二次函数的三种表示方式：(1)．一般式： ； (2)．顶点式： ； (3)．交点式： ． 说明：确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：①给出三点坐标可利用一般式来求；②给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求．③给出三点，其中两点为与x 轴的两个交点)0,(1x .)0,(2x 时可利用交点式来求．2 二次函数图像的变换----------平移二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”． 选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （ ）（A ）y ＝2x 2 （B ）y ＝2x 2－4x ＋2（C ）y ＝2x 2－1 （D ）y ＝2x 2－4x（2）函数y ＝2(x －1)2＋2是将函数y ＝2x 2（ ）（A ）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的 （B ）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的 （C ）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 （D ）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的（3）把函数y ＝－(x －1)2＋4的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得图象对应的解析式为 （ ）（A ）y ＝ (x ＋1)2＋1 （B ）y ＝－(x ＋1)2＋1（C ）y ＝－(x －3)2＋4 （D ）y ＝－(x －3)2＋二．题型演练例1．抛物线()21252y x =--+的顶点坐标是_________，对称轴是_________，开口向_____，当x =_______时，y 有最______值，最大值为 ________。
二次函数-高考数学复习
PART3Fra bibliotek微专题 3
一元二次方程根的分布
目录
解决由一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围
问题，主要从以下三个方面建立关于系数的不等式（组）进行求解：
（1）判别式Δ的符号；
（2）对称轴 x ＝－ 与所给区间的位置关系；
2
（3）区间端点处函数值的符号.
一元二次方程根的分布问题，类型较多，情况较复杂，但
＋2） x ＋ c ，
因为 g （ x ）为偶函数，所以 g （－ x ）＝ g （ x ），
即 x 2－（ b ＋2） x ＋ c ＝ x 2＋（ b ＋2） x ＋ c ，可得 b ＝－2，
所以 f （ x ）＝ x 2－2 x ＋ c ，图象开口向上，对称轴为直线 x ＝1.
若选条件①，因为函数 f （ x ）在区间[－2，2]上的最大值为5，所以 f
A. [－6，2]
B. [—6，1]
C. [0，2]
D. [0，1]
）
解析： 函数 f （ x ）＝－2 x 2＋4 x 的对称轴为直线 x ＝1，则 f
（ x ）在[－1，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，∴ f （ x ）max
＝ f （1）＝2， f （ x ）min＝ f （－1）＝－2－4＝－6，即 f （ x ）的
∴ f （ x ）＝－4 −
1 2
＋8＝－1，解得 a ＝－4，
2
1 2
＋8＝－4 x 2＋4 x ＋7.
2
法三（利用二次函数的零点式）
由已知 f （ x ）＋1＝0的两根为 x 1＝
2， x 2＝－1，
故可设 f （ x ）＋1＝ a （ x －2）（ x ＋1）（ a ≠0），
高中数学二次函数知识点
高中数学二次函数知识点推荐文章数学教师个人学期总结(10篇) 热度：小学数学学习方法热度：初中数学两大复习策略与考试技巧热度：初中数学学习的一般方法热度：浅析初中数学学习方法及调整策略热度：高一数学是高考的基础，掌握数学知识点将对高考复习起到重要作用，为方便同学们复习高一数学，下面小编给大家分享一些高中数学二次函数知识点，希望对大家有所帮助。
高中数学二次函数知识点1I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.)则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h，k)]交点式：y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与x轴有交点A(x?，0)和B(x?，0)的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?，x?=(-b±√b^2-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)2.抛物线有一个顶点P，坐标为P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
高中数学二次函数知识点总结
二次函数知识点和常见题型一.二次函数的三种表示方法：（1）一般式cbx ax y ++=2（2）顶点式nm x a y ++=2)(（3）两根式))((21x x x x a y --=1若()2f x x bx c =++，且()10f =，()30f =，求()1f -的值．变式1：若二次函数()2f x ax bx c =++的图像的顶点坐标为()2,1-，与y 轴的交点坐标为(0,11)，则A．1,4,11a b c ==-=-B．3,12,11ab c ===C．3,6,11a b c ==-=D．3,12,11a b c ==-=变式2：若()()223,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像x=1对称，则c=_______．变式3：若二次函数()2f x ax bx c=++的图像与x 轴有两个不同的交点()1,0A x 、()2,0B x 且2212269x x +=，试问该二次函数的图像由()()231fx x =--的图像向上平移几个单位得到？二．二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)有如下性质：（1）顶点坐标24(,)24b ac b a a --；对称轴2b x a=-；（2）若a>0，且△=b 2-4ac≤0，那么f (x)≥0，2bx a=-时，2min4()4ac b f x a-=；（3）若a>0，且f (x)≥0，那么△≤0；（4）若a>0，且存在x 0∈(-∞，+∞)，使得f (x 0)≤0，那么△≥0;若a<0，有与性质2、3、4类似的性质2将函数()2361f x x x =--+配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像．变式1：已知二次函数()2f x ax bx c=++，如果()()12fx fx =(其中12x x ≠)，则122x x f +⎛⎫=⎪⎝⎭（）A．2b a -B．ba-C．cD．244ac b a -变式2：函数()2fx xp x q=++对任意的x 均有()()11fxfx+=-，那么()0f 、()1f-、()1f的大小关系是（）A．()()()110f f f<-<B．()()()011fff<-<C．()()()101f ff<<-D．()()()101f f f -<<y变式3：已知函数()2fx a x b x c=++的图像如右图所示，请至少写出三个与系数a、b、c 有关的正确命题_________．三．二次函数的单调性：当0>a ，x ∈(－∞，－b 2a ]时递减，x ∈[－b2a ，＋∞)时递增当0<a ，x∈(－∞，－b2a ]时递增，x∈[－b2a，＋∞)时递减3.已知函数()22f x x x =-，()()22[2,4]g x x x x =-∈：(1)求()f x ，()g x的单调区间；(2)求()fx ，()g x 的最小值．变式1：已知函数()242fx x a x =++在区间(),6-∞内单调递减，则a 的取值范围是()A．3a ≥B．3a≤C．3a<-D．3a≤-变式2：已知函数()()215fx x a x =--+在区间(12,1)上为增函数，那么()2f 的取值范围是_________．变式3：已知函数()2f x x k x=-+在[2,4]上是单调函数，求实数k 的取值范围．四．二次函数在给定区间的最值设()()02>++=a c bx axx f，则二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值有如下的分布情况：ab n m 2-<<n abm <-<2即[]n m ab,2∈-n m ab<<-2()()()()n f x f m f x f ==min max ()()(){}()⎪⎭⎫ ⎝⎛-==a b f x f m f n f x f 2,maxminmax ()()()()m f x f n f x f ==min max 对于开口向下的情况，讨论类似．其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：（1）若[]n m a b ,2∈-，则()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n f a b f m f x f ,2,max max()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n f a b f m f x f ,2,min min（2）若[]nmab,2∉-，则()()(){}n f m f x f ,maxmax =，()()(){}n f m f x f ,minmin=另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开对称轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开对称轴轴越远，则对应的函数值越小．4.已知函数()22f x x x =-，()()22[2,4]g x x x x =-∈：(1)求()f x ，()g x 的单调区间；(2)求()f x ，()g x 的最小值．变式1：已知函数()223fx xx =-+在区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是A．[)1,+∞B．[]0,2C．[]1,2D．(),2-∞变式2：若函数234y x=-+的最大值为M，最小值为m，则M +m 的值等于________．变式3：已知函数()224422fx x a x a a =-+-+在区间[0,2]上的最小值为3，求a 的值．变式4：求二次函数2()26f x x x =-+在下列定义域上的值域：(1)定义域为{}03x Z x ∈≤≤；(2)定义域为[]2,1-．变式5：函数()2()2622f x x x x =-+-<<的值域是A．3220,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．()20,4-C．920,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D．920,2⎛⎫- ⎪⎝⎭变式6：函数y=cos2x+sinx 的值域是__________．变式7：已知二次函数f (x)=a x 2+bx（a、b 为常数，且a ≠0），满足条件f (1+x)=f (1－x)，且方程f (x)=x 有等根．(1)求f (x)的解析式；(2)是否存在实数m、n（m <n），使f (x)的定义域和值域分别为[m,n]和[3m,3n]，如果存在，求出m、n 的值，如果不存在，说明理由．五.奇偶性：b ＝0时为偶函数，b ≠0时既非奇函数也非偶函数5.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，()()1f x x x =+．画出函数()f x 的图像，并求出函数的解析式．变式1：若函数()()()22111fx m x mx =-+-+是偶函数，则在区间(],0-∞上()fx是A．增函数B．减函数C．常数D．可能是增函数，也可能是常数变式2：若函数()()2312f x ax bx a b a x a =+++-≤≤是偶函数，则点(),a b 的坐标是________．变式3：设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈．(I)讨论)(x f 的奇偶性；(II)求)(x f 的最小值．六．图像变换：已知2243,30()33,0165,16x x x f x x x x x x ⎧++-≤<⎪=-+≤<⎨⎪-+-≤≤⎩．(1)画出函数的图象；(2)求函数的单调区间；(3)求函数的最大值和最小值．变式1：指出函数223y x x =-++的单调区间．变式2：已知函数)(|2|)(2R x b ax xx f ∈+-=．给下列命题：①)(x f 必是偶函数；②当)2()0(f f =时，)(x f 的图像必关于直线x=1对称；③若02≤-b a ，则)(x f 在区间[a，＋∞)上是增函数；④)(x f 有最大值||2b a-．其中正确的序号是___③变式3：设函数,||)(c bx x x x f ++=给出下列4个命题：①当c=0时，)(x f y =是奇函数；②当b=0，c>0时，方程0)(=x f 只有一个实根；③)(x f y =的图象关于点（0，c）对称；④方程0)(=x f 至多有两个实根．上述命题中正确的序号为————．七.恒成立问题的基本类型：类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。
专题- 二次函数(解析版)
专题03 二次函数知识梳理二次函数在高中数学中占有十分重要的地位，内容相比初中更为具体，解题思路更为抽象，更着重于与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，同时它也是高一第一学期集合部分内容的一个解决问题的主要思路，因此，拓展学习二次函数是初高衔接一个必不可少的部分．知识结构模块一：二次函数的图像与解析式典例剖析1、二次函数的三种解析式形式1）一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2）顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)；3）交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．2、二次函数的图像性质二次函数y＝ax2(a≠0)的图象可以由y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到．在二次函数y＝ax2(a≠0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．（1）当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2ba-时，函数取最小值y ＝244ac b a-．（2）当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝2ba-时，函数取最大值y ＝244ac b a-．【例1】求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象． 【难度】★ 【答案】见解析【解析】∵y ＝－3x 2－6x ＋1＝－3(x ＋1)2＋4，∴函数图象的开口向下； 对称轴是直线x ＝－1； 顶点坐标为(－1，4)；当x ＝－1时，函数y 取最大值y ＝4；当x ＜－1时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞－1时，y 随着x 的增大而减小；采用描点法画图，选顶点A (－1，4))，与x 轴交于点B 和C (，与y 轴的交点为D (0，1)，过这五点画出图象（如图2－5所示）．说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．【例2】某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间关系如下表所示：若日销售量y 是销售价x 的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？ 【难度】★ 【答案】见解析【解析】分析：由于每天的利润＝日销售量y ×(销售价x －120)，日销售量y 又是销售价x 的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x 之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值．解：由于y 是x 的一次函数，于是，设y ＝kx ＋（B ） 将x ＝130，y ＝70；x ＝150，y ＝50代入方程，有70130,50150,k b k b =+⎧⎨=+⎩ 解得 k ＝－1，b ＝200． ∴ y ＝－x ＋200． 设每天的利润为z （元），则z ＝(－x +200)(x －120)＝－x 2＋320x －24000 ＝－(x －160)2＋1600， ∴当x ＝160时，z 取最大值1600．答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元．【例3】把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，求b ，c 的值． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】解法一：y ＝x 2＋bx ＋c ＝(x +2b )224bc +-，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到22(4)224b b y x c =+++-+的图像，也就是函数y ＝x 2的图像，所以，240,220,4bb c ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得b ＝－8，c ＝14．解法二：把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，等价于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像．由于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝(x －4)2＋2的图像，即为y ＝x 2－8x ＋14的图像，∴函数y ＝x 2－8x ＋14与函数y ＝x 2＋bx ＋c 表示同一个函数，∴b ＝－8，c ＝14．说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律．这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点．今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题．【例4】已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】设该二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得解得 a ＝－2，b ＝12，c ＝－8． 所以，所求的二次函数为y ＝－2x 2＋12x －8．【例5】已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a ．解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为2． 又顶点在直线y ＝x ＋1上， 所以，2＝x ＋1，∴x ＝1． ∴顶点坐标是（1，2）．设该二次函数的解析式为2)1(2+-=x a y ∵二次函数的图像经过点（3，－1）， 代入解得a ＝43-． ∴二次函数的解析式为4523432++-=x x y 说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．【例6】函数()()20f x ax bx c a =++≠的图像关于直线2bx a=-对称，据此可推测，对任意的非零实数,,,,,a b c m n p ，关于x 的方程()()20m f x nf x p ++=⎡⎤⎣⎦的解集都不可能是（ ）A 、{}1,2B 、{}1,4C 、{}1,2,3,4D 、{}1,4,16,64【难度】★★★22,8,842,a b c c a b c -=-+⎧⎪-=⎨⎪=++⎩【答案】D【解析】根据函数()x f y =的对称性，可知方程()()20m f x nf x p ++=⎡⎤⎣⎦的解应满足c bx ax y ++=21，c bx ax y ++=22，进一步再解出x 的值即为方程的根，且方程的根应关于对称轴abx 2-=对称，对于D 中的4个数无论如何组合都找不到满足条件的对称轴，故解集不可能是D .1．设函数()()()20,20x bx c x f x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，若()()40f f -=，()2f -=-2，求关于x 的方程()f x x =的解的个数． 【难度】★★ 【答案】3个．2．若函数()2f x x ax b =--的两个零点是2和3，则函数()21g x bx ax =--的零点是 ．【难度】★★ 【答案】11,23--3．已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2，求此二次函数的表达式． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x 轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)， ∴可设二次函数为y ＝a (x ＋3) (x －1) (a ≠0)， 展开，得 y ＝ax 2＋2ax －3a ，顶点的纵坐标为2212444a a a a--=-， 由于二次函数图象的顶点到x 轴的距离2， ∴|－4a |＝2，即a ＝12±． 对点精练所以，二次函数的表达式为y ＝21322x x +-，或y ＝－21322x x -+．分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x ＝－1，又由顶点到x 轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式．解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线x ＝－1． 又顶点到x 轴的距离为2， ∴顶点的纵坐标为2，或－2．于是可设二次函数为y ＝a (x ＋1)2＋2，或y ＝a (x ＋1)2－2， 由于函数图象过点(1，0)，∴0＝a (1＋1)2＋2，或0＝a (1＋1)2－2． ∴a ＝－12，或a ＝12． 所以，所求的二次函数为y ＝－12(x ＋1)2＋2，或y ＝12(x ＋1)2－2．说明：上述两种解法分别从与x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．4．已知二次函数()f x 的对称轴为2x =，图像顶点为A ，其图像与x 轴交于()1,0B -和C 点，且ABC ∆的面积为18，试确定此二次函数． 【难度】★★ 【答案】()()2223f x x =--或()()22263f x x =--一元二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况．设f x ax bx c a ()()=++≠20，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值．模块二：二次函数的最值典例剖析分析：将f x ()配方，得对称轴方程x ba=-2， 当a >0时，抛物线开口向上，若-∈bam n 2[]，必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值；若-∉b a m n 2[]，，当a >0时，抛物线开口向上，此时函数在[]m n ，上具有单调性，故在离对称轴x b a=-2较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值．当a <0时，同上，作图可得结论，对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：当a >0时⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<-+≥-=))((212)())((212)()(21max 如图如图，，n m a b n f n m a b m f x f ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(543min如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f当a <0时⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(876max 如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f f x f m b a m n f n b a m n ()()()()()()()min =-≥+-<+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪，，如图如图212212910【例7】求下列函数的最大值或最小值．（1）； （2）．5322--=x x y 432+--=x x y【难度】★ 【答案】见解析【解析】分析：由于函数和的自变量x 的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值．解：（1）因为二次函数中的二次项系数2＞0，所以抛物线有最低点，即函数有最小值．因为=，所以当时，函数有最小值是．（2）因为二次函数中的二次项系数-1＜0，所以抛物线有最高点，即函数有最大值．因为=，所以当时，函数有最大值．（1）轴定区间定画出已知区间的图象，找到最高点和最低点即可求出函数的最大值和最小值．【例8】当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值．【难度】★ 【答案】见解析【解析】作出函数的图象．当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-．说明：二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．【例9】当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围． 【难度】★ 【答案】见解析【解析】作出函数2(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象．可以看出：当1x =时，min 1y =-，无最大值．所以，当0x ≥时，函数的取值范围是1y ≥-．5322--=x x y 432+--=x x y 5322--=x x y 5322--=x x y 5322--=x x y 849)43(22--x 43=x 5322--=x x y 849-432+--=x x y 432+--=x x y 432+--=x x y 425)23(2++-x 23-=x 432+--=x x y 425【例10】已知函数2()1,[f x x x x =-∈-，求函数f(x)的最大值与最小值． 【难度】★【答案】24()(3f x x =--所以x =min 4();13f x x =-=-时，max ()f x =（2）轴定区间动讨论已知区间和对称轴之间的从属关系，分类求解．【例11】已知函数y ＝x 2，－2≤x ≤a ，其中a ≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a 的取值进行讨论．解：（1）当a ＝－2时，函数y ＝x 2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x ＝－2；（2）当－2＜a ＜0时，由图2．2－6①可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝a 时，函数取最小值y ＝a 2；（3）当0≤a ＜2时，由图2．2－6②可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0；（4）当a ≥2时，由图2．2－6③可知，当x ＝a 时，函数取最大值y ＝a 2；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0．说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a 的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题．【例12】当1t x t ≤≤+时，求函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)． 【难度】★★【答案】见解析【解析】分析：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．解：函数21522y x x =--的对称轴为1x =．画出其草图． (1) 当对称轴在所给范围左侧．即1t >时：当x t =时，2min 1522y t t =--； (2) 当对称轴在所给范围之间．即1101t t t ≤≤+⇒≤≤时：当1x =时，2min 1511322y =⨯--=-； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即110t t +<⇒<时：当1x t =+时，22min 151(1)(1)3222y t t t =+-+-=-．综上所述：2min 213,023,0115,122t t y t t t t ⎧-<⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-->⎩（3）轴动区间定将运动的对称轴与区间的端点和中点作相应比较，得到几种不同类型的抛物线部分图象．【例13】当10≤≤x 时，求函数122++-=ax x y 的最大值（其中a 为常数）．【难度】★★【答案】见解析【解析】分析：二次函数开口向下，对称轴方程为a x =，对称轴随a 的变化而变化，所以需要比较对称轴与范围的相对位置。
高一数学单元知识点专题讲解5---二次函数的最值问题
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【例 3】当 x ≥ 0时，求函数 y = −x(2 − x)的取值范围．
解：作出函数 y = −x(2 − x) = x2 − 2x 在 x ≥ 0 内的图象．
可以看出：当 x = 1时， ymin = −1，无最大值． 所以，当 x ≥ 0时，函数的取值范围是 y ≥ −1．
【例 4】当t ≤ x ≤ t +1时，求函数 y = 1 x2 − x − 5 的最小值(其中t 为常数)． 分析：由于 x 所给的范围随着t 的变化而2变化，所以2需要比较对称轴与其范围的相对位置．
ymax = 37
当 时， ；当 时， ． (2) a ≥ 0 ymax = 27 + 10a a < 0 ymax = 27 −10a
． ． 2 −2 ≤ m ≤ −1 ． ． 3 a = 2,b = −2
4． a = − 1 或 a = −1． 4
5．当t ≤ 0 时， ymax = 2 − 2t ，此时 x = 1；当t > 0 时， ymax = 2 + 2t ，此时 x = −1．
解：函数 y = 1 x2 − x − 5 的对称轴为 x = 1．画出其草图．
2
2
(1) (2)
当对称轴在所给范围左侧．即t 当对称轴在所给范围之间．即t
> 1时：
当 时， x = t
ymin
时： ≤ 1 ≤ t + 1 ⇒ 0 ≤ t ≤ 1
=
1 t2 2
−t
−
5 2
；
(3)
当当对x称=轴1时在，所给ym范in 围= 右12 ×侧1．2 −即1t−+521
； (1) y = 2x2 − 4x + 5
高中数学中的二次函数知识点总结
高中数学中的二次函数知识点总结二次函数是高中数学中重要且常见的内容之一。
它的形式可以用一般式和顶点式表示，具有许多特性和性质。
下面将对二次函数的基本定义、图像特征、方程解法以及应用等知识点进行总结。
一、基本定义二次函数的一般式表示为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，而a不等于0。
我们称y = ax^2 + bx + c为二次函数的标准形式。
在这个形式中，二次项系数a决定了函数的凹凸性质，常数项c则是函数图像与y轴的纵截距。
二、图像特征1. 抛物线的开口方向：- 当a > 0时，抛物线开口向上，形状类似于一个U型；- 当a < 0时，抛物线开口向下，形状类似于一个倒置的U型。
2. 顶点坐标：二次函数的顶点坐标可以通过顶点公式(-b/2a, f(-b/2a))求得，其中f(x)表示二次函数的值。
3. 对称轴：对称轴是垂直于x轴的一条直线，它通过二次函数的顶点。
对称轴的方程为x = -b/2a。
4. 零点：二次函数与x轴的交点称为零点或根。
求二次函数的零点可以通过解二次方程ax^2 + bx + c = 0来实现。
使用配方法、求根公式或图像法等方法，可以得到二次函数的零点。
三、方程解法解二次方程 ax^2 + bx + c = 0 通常有以下三种方法：1. 配方法：当二次方程的系数较为复杂时，可以使用配方法将其化简为完全平方的形式，进而求解方程。
2. 求根公式：对于一般的二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以使用求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)来求解。
3. 利用图像法：通过绘制二次函数的图像，可以大致估算出它的零点的位置。
四、应用二次函数在实际生活中有广泛的应用，例如：1. 物体运动的模拟：二次函数可以模拟抛物线形状的物体运动，如抛体运动的轨迹、炮弹的飞行轨迹等。
2. 经济学和金融学中的应用：二次函数可以描述成本、利润、市场需求等经济学和金融学中的概念。
高中数学必修课1《二 次函数》必备知识点与章节小结
高中数学必修课1《二次函数》必备知识点与章节小结二次函数二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质例题1：已知函数y＝f(x)＝3x2＋2x＋1.(1)求这个函数图像的顶点坐标和对称轴；(2)已知，不计算函数值，求f(0)；(3)不直接计算函数值，试比较的大小.点拨：解：总结：1．已知二次函数的解析式求顶点坐标及对称轴，一般先用配方法把二次函数解析式写成顶点式：y＝a(x＋h)2＋k，进而确定顶点坐标为(－h，k)，对称轴为x＝－h.2．比较两点函数值的大小，可以先比较两点离对称轴的距离大小，然后结合二次函数的开口方向，从而得到它们的大小关系，也可以将要比较的两个点转化到同一单调区间上，利用函数的单调性比较它们的大小．练习：1．已知二次函数f(x)＝－x2＋2ax，分别在下列条件下求实数a的取值(范围)．(1)f(x)在(－∞，2)上是增函数；(2)f(x)的递增区间为(－∞，2)．【解】∵函数f(x)＝－(x－a)2＋a2的图像开口向下，对称轴为x＝a，∴f(x)的单调递增区间为(－∞，a]．(1)由题意知(－∞，2)⊆(－∞，a]，∴a≥2，即实数a的取值范围是[2，＋∞)．(2)由题意知，对称轴x＝a＝2，即实数a的取值为2.二次函数的实际应用例题2某企业生产一种电器的固定成本(即固定投资)为0.5万元，每生产一台这种电器还需可变成本(即另增加投资)25元，市场对这种电器的年需求量为5百台．已知这种电器的销售收入(R)与销售量(t)的关系用抛物线段表示，如图2-4-2.(年产量与销售量的单位：百台；纯收益的单位：万元，生产成本＝固定成本＋可变成本，精确到1台和0.01万元)(1)写出如图的销售收入(R)与销售量(t)之间的函数关系R＝f(t)；(2)认定销售收入减去生产成本为纯收益，写出纯收益与去年生产量的函数关系式，并求去年生产量是多少时纯收益最大．点拨：解答本题可先由图求出销售收入与销售量之间的函数关系式，即R＝f(t)，然后建立纯收益与销售量之间的函数关系式，进而求出纯收益的最大值．解：小结：求解实际问题“四部曲”：读题：分为读懂和深刻理解两个层次，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系（目标与条件的关系）。
二次函数的练习题及答案
二次函数的练习题及答案二次函数是高中数学中的重要内容，也是考试中常考的知识点之一。
掌握好二次函数的相关概念和解题方法，对于提高数学成绩和解决实际问题都有很大的帮助。
本文将通过一些练习题和答案的形式，帮助读者巩固和加深对二次函数的理解。
1. 练习题一：已知二次函数y = ax^2 + bx + c的图像经过点（1，4）和（2，1），求a、b、c的值。
解法：根据已知条件，将点（1，4）和（2，1）带入二次函数的方程，得到两个方程：a +b +c = 44a + 2b + c = 1解这个方程组，可以得到a、b、c的值。
2. 练习题二：已知二次函数y = ax^2 + bx + c的图像与x轴有两个交点，且交点的横坐标分别为2和5，求a、b、c的值。
解法：根据已知条件，可以得到两个方程：4a + 2b + c = 025a + 5b + c = 0同样地，解这个方程组，可以得到a、b、c的值。
3. 练习题三：已知二次函数y = ax^2 + bx + c的图像经过点（-1，0），且在点（2，3）处的切线斜率为4，求a、b、c的值。
解法：根据已知条件，可以得到两个方程：a -b +c = 04a + 2b + c = 3同样地，解这个方程组，可以得到a、b、c的值。
通过以上几个练习题，我们可以看到，解二次函数的题目，关键在于将已知条件转化为方程，然后通过解方程组得到未知数的值。
这是一个基本的解题思路，需要我们熟练掌握。
除了解题方法，我们还可以通过一些图像来加深对二次函数的理解。
例如，我们可以画出二次函数y = x^2 + x - 2的图像，观察图像的开口方向、顶点位置以及与x轴的交点等特征。
这样可以帮助我们更好地理解二次函数的性质和特点。
此外，二次函数还有一些重要的应用，例如在物理学中，二次函数可以用来描述自由落体运动的轨迹；在经济学中，二次函数可以用来描述成本、收益等与产量之间的关系。
通过了解这些应用，我们可以将抽象的数学知识与实际问题联系起来，提高数学的应用能力。
2022版新高考数学总复习真题专题--二次函数与幂函数(解析版)
2022版新高考数学总复习--§2.3 二次函数与幂函数— 五年高考 —考点1 二次函数1.(2019浙江,16,4分)已知a ∈R ,函数f (x )=ax 3-x.若存在t ∈R ,使得|f (t +2)-f (t )|≤23,则实数a 的最大值是 . 答案432.(2019上海春,10,5分)如图,正方形OABC 的边长为a (a >1),函数y =3x 2的图象交AB 于点Q ,函数y =x -12的图象交BC 于点P ,则当|AQ |+|CP |最小时,a 的值为 .答案 √33.(2018天津文,14,5分)已知a ∈R ,函数f (x )={x 2+2x +a -2,x ≤0,-x 2+2x -2a ,x >0.若对任意x ∈[-3,+∞), f (x )≤|x |恒成立,则a 的取值范围是 . 答案 [18,2]4.(2018天津理,14,5分)已知a >0,函数f (x )={x 2+2ax +a ,x ≤0,-x 2+2ax -2a , x >0.若关于x 的方程f (x )=ax 恰有2个互异的实数解,则a 的取值范围是 . 答案 (4,8)考点2 幂函数1.(2019上海春,13,5分)下列函数中,值域为[0,+∞)的是 ( ) A.y =2xB.y =x 12C.y =tan xD.y =cos x答案 B2.(2018上海,7,5分)已知α∈-2,-1,-12,12,1,2,3.若幂函数f (x )=x α为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α= .答案 -1以下为教师用书专用(2016课标Ⅲ文,7,5分)已知a =243,b =323,c =2513,则 ( )A.b <a <cB.a <b <cC.b <c <aD.c <a <b答案 A a =243=423,c =2513=523,而函数y =x 23在(0,+∞)上单调递增,所以323<423<523,即b <a <c ,故选A . 评析 本题主要考查幂函数的性质,属中档题.— 三年模拟 — A 组 考点基础题组考点1 二次函数1.(2021江苏南京秦淮中学开学考,3)已知a ,b ,c ∈R ,函数f (x )=ax 2+bx +c.若f (0)=f (4)>f (1),则 ( ) A.a >0,4a +b =0 B.a <0,4a +b =0 C.a >0,2a +b =0 D.a <0,2a +b =0 答案 A2.(2021广东深圳一模,13)已知函数的图象关于y 轴对称,且与直线y =x 相切,则满足上述条件的二次函数可以为f (x )= . 答案 x 2+14(答案不唯一)3.(2020湖南炎陵一中仿真考试)已知f (x )=√1-x2为奇函数,则g (x )=x 2+ax +b 的单调递增区间为 . 答案 (-12,+∞)考点2 幂函数1.(2021河北唐山二模,3)不等式(12)x≤√x 的解集是 ()A.[0,12]B.[12,+∞) C.[0,√22] D.[√22,+∞)答案 B2.(2020湘赣皖十五校第一次联考)设a =ln 12,b =-5-12,c =lo g 132,则 ( )A.c <b <aB.a <c <bC.c <a <bD.b <a <c 答案 B3.(2020广东揭阳三中第一次月考,7)如图的曲线是幂函数y =x n在第一象限内的图象.已知n 分别取±2,±12四个值,与曲线C 1,C 2,C 3,C 4相应的n 依次为 ( )A.2,12,-12,-2B.2,12,-2,-12 C.-12,-2,2,12 D.-2,-12,12,2 答案 A4.(2021上海松江一模,10)从以下七个函数:y =x ,y =1x ,y =x 2,y =2x,y =log 2x ,y =sin x ,y =cos x 中选取两个函数记为f (x )和g (x ),构成函数F (x )=f (x )+g (x ),若F (x )的图象如图所示,则F (x )= .答案 2x+sin xB 组 综合应用题组时间:50分钟 分值:60分一、单项选择题(每小题5分,共20分)1.(2020湖北武汉3月质量检测)已知a =0.80.4,b =0.40.8,c =log 84,则 ( )A.b <a <cB.a <c <bC.c <a <bD.b <c <a答案 D2.(2020百校联盟普通高中教育教学质量监测,7)已知函数f (x )=lo g 12(x 2-ax +a )在(12,+∞)上为减函数,则实数a 的取值范围是 ( )A.(-∞,1]B.[-12,1]C.(-12,1]D.(-12,+∞) 答案 B3.(2020辽宁葫芦岛兴城高级中学模拟)已知函数g (x )是R 上的奇函数.当x <0时,g (x )=-ln (1-x ),且f (x )={-x 2,x ≤0,g (x ),x >0.若f (2-x 2)>f (x ),则实数x 的取值范围为 ( )A.(-1,2)B.(1,2)C.(-2,-1)D.(-2,1) 答案 D4.(2021河北石家庄一模,8)若f (x )的图象上存在两点A ,B 关于原点对称,则点对[A ,B ]称为函数f (x )的“友情点对”(点对[A ,B ]与[B ,A ]视为同一个“友情点对”).若f (x )={x 3e x,x≥0,ax 2,x <0恰有两个“友情点对”,则实数a 的取值范围是 ( )A.(-1e ,0) B.(0,1e )C.(0,1)D.(-1,0) 答案 A二、多项选择题(共5分)5.(2021辽宁百校联盟质检,9)下列函数中,在区间(2,4)上是减函数的是 ( )A.y =(13)x B.y =log 2(x 2+3x )C.y =1x -2 D.y =cos x 答案 AC三、填空题(每小题5分,共10分)6.(2021上海黄浦一模,12)已知a 、b ∈R ,函数f (x )=x 2+ax +b +|x 2-ax -b |(x ∈R ),若函数f (x )的最小值为2b 2,则实数b 的取值范围是 . 答案 [0,1]7.(2020上海复兴高级中学期中,12)对于问题:当x >0时,均有[(a -1)x -1](x 2-ax -1)≥0,求实数 a 的所有可能值.几位同学提供了自己的想法.甲:解含参不等式,其解集包含正实数集; 乙:研究函数y =[(a -1)x -1](x 2-ax -1);丙:分别研究两个函数y 1=(a -1)x -1与y 2=x 2-ax -1;丁:尝试能否参变量分离研究最值问题.你可以选择其中某位同学的想法,也可以用自己的想法,可以得出正确的答案为 . 答案 32四、解答题(共25分)8.(2021江苏南通海门一中期末,21)已知函数g (x )=ax 2-2ax +1+b (a >0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1. (1)求a ,b 的值;(2)若存在x ∈[3,4],使g (x )<2m 2-tm +7对任意的t ∈[0,5]都成立,求m 的取值范围;(3)设f (x )=g (x )x,若不等式f (2x )-k ·2x ≥0在x ∈[-1,1]上有解,求实数k 的取值范围.解析 (1)g (x )=ax 2-2ax +1+b =a (x -1)2+1+b -a. ∵a >0,∴g (x )在[2,3]上单调递增,∴{g (2)=1,g (3)=4⇒{1+b =1,9a -6a +1+b =4⇒{a =1,b =0.(2)由(1)得g (x )=x 2-2x +1,∵存在x ∈[3,4],使g (x )<2m 2-tm +7对任意的t ∈[0,5]都成立, ∴g (x )min =g (3)=4<2m 2-tm +7对任意的t ∈[0,5]都成立,即-mt +2m 2+3>0对任意的t ∈[0,5]都成立,其中t 看作自变量,m 看作参数,所以{2m 2+3>0,-5m +2m 2+3>0,解得m ∈(-∞,1)∪(32,+∞). (3)由(1)得f (x )=g (x )x =x 2-2x+1x =x +1x -2, ∴f (2x)-k ·2x=2x+12x -2-k ·2x≥0,令2x=t (12≤t ≤2),则不等式可化为k ≤1+1t2-2t ,∵不等式f (2x)-k ·2x≥0在x ∈[-1,1]上有解,∴k ≤(1+1t 2-2t )max ,又∵1+1t 2-2t =(1t-1)2, 12≤t ≤2⇒12≤1t ≤2,∴(1+1t2-2t )max =1, ∴k ≤1,即实数k 的取值范围是(-∞,1].思路分析 (1)利用二次函数的性质,即可求出a ,b 的值;(2)题目可转化为2m 2-tm +7>g (x )min =g (3)对任意的t ∈[0,5]都成立,再利用变换主元的方法,把t 看作自变量,m 看作参数,即可求解.(3)由(1)得出了函数解析式,令2x=t (12≤t ≤2),再分离参数k ,即可求解.9.(2020山西平遥中学第一次月考,18)已知二次函数f (x )满足f (x )=f (-4-x ), f (0)=3,若x 1,x 2是f (x )的两个零点,且|x 1-x 2|=2. (1)求f (x )的解析式;(2)若x >0,求g (x )=xf (x )的最大值. 解析 (1)∵二次函数满足f (x )=f (-4-x ), ∴f (x )的图象的对称轴为直线x =-2,∵x 1,x 2是f (x )的两个零点,且|x 1-x 2|=2, ∴{x 1=-3,x 2=-1或{x 1=-1,x 2=-3. 设f (x )=a (x +3)(x +1)(a ≠0). 由f (0)=3a =3得a =1, ∴f (x )=x 2+4x +3.(2)由(1)得g (x )=xf (x )=xx 2+4x+3=1x+3x +4(x >0),∵x >0,∴1x+3x +4≤14+2√3=1-√32,当且仅当x =3x ,即x =√3时等号成立. ∴g (x )的最大值是1-√32.— 一年原创 —1.(2021 5·3原创题)2020年,新型冠状病毒肺炎在全球蔓延,防控形势异常严峻,佩戴口罩成为最基础最必要的防护,正因为如此,口罩一度脱销,成了年度最紧俏商品.为了解决口罩供应问题,某地区甲、乙两个口罩生产厂家不断扩大生产规模.已知2月份甲、乙厂家均月产口罩a 万个,此后甲厂产量逐月增加,并且增加量都是m (m >0)万个,乙厂产量也是逐月增加的,并且每月增加的百分率都是x.若2020年8月份两厂的产量也相同,则关于5月份的产量,下列说法正确的是 ( )A.5月份甲厂产量高于乙厂B.5月份甲厂产量低于乙厂C.5月份甲、乙两厂产量相同D.5月甲、乙两厂产量多少不能比较 答案 A2.(多选题)(2021 5·3原创题)若函数y =x 2-4x -4在区间[0,a )上既有最大值又有最小值,则正整数a 的值可能是 ( )A.2B.3C.4D.5 答案 BC3.(2021 5·3原创题)已知函数f (x )=ax 2-12x -34(a >0),且f (12)≥-1516.(1)是否存在实数a ,使得f (x )最小值的最大值是-1?若存在,求出a 的值;若不存在,请说明理由; (2)在(1)的条件下,证明对于任意区间长度是2的闭区间上,总存在两点x 1,x 2,使|f (x 1)-f (x 2)|≥14恒成立. 解析 (1)因为f (x )=ax2-12x -34=a (x -14a )2-(34+116a ),a >0,所以f (x )min =-34-116a ,有-34-116a ≤-1,解得a ≤14,由f (12)=a 4-14-34≥-1516,解得a ≥14,所以a =14.(2)证明:由(1)知,a =14, f (x )=14(x -1)2-1,设任意长度为2的闭区间为[t -1,t +1].当t ≥1时, f (x )=14(x -1)2-1在[t ,t +1]上单调递增,则f (t +1)=14t 2-1, f (t )=14t 2-12t -34,令x 1=t ,x 2=t +1,则|f (x 1)-f (x 2)|=f (t +1)-f (t )=12t -14≥14.当t <1时, f (x )=14(x -1)2-1在[t -1,t ]上单调递减,则f (t -1)=14t 2-t , f (t )=14t 2-12t -34,令x 1=t -1,x 2=t ,则|f (x 1)-f (x 2)|=f (t -1)-f (t )=34-12t >14.综上所述,对于任意区间长度是2的闭区间上,总存在两点x 1,x 2,使|f (x 1)-f (x 2)|≥14恒成立.。
高中数学二次函数知识点总结
高中数学二次函数知识点总结二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在数学和实际问题中有着广泛的应用。
本文将对二次函数的基本知识点进行总结和归纳，帮助读者更好地理解和掌握这一内容。
一、基本定义与性质1. 二次函数的定义：二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
a称为二次函数的二次项系数，b称为一次项系数，c称为常数项。
2. 基本性质：a) 对称轴：二次函数的对称轴是一个垂直于x轴的直线，它通过抛物线的顶点。
对称轴的方程可以通过x = -b/2a来确定。
b) 顶点：二次函数的顶点是抛物线上最高或最低的点，它对应于函数的最值。
顶点的坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
c) 开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定。
若a > 0，则抛物线开口向上；若a < 0，则抛物线开口向下。
二、图像与轨迹1. 抛物线的图像：二次函数的图像是一个抛物线，其形状、开口方向和位置由函数的系数决定。
a) 当a > 0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；b) 当a < 0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点；c) 若a的绝对值较大，则抛物线较为扁平，开口较为宽；d) 若a的绝对值较小，则抛物线较为狭长，开口较为窄。
2. 轨迹与参数：通过调整二次函数的系数可以改变抛物线的形状和位置，从而得到不同的轨迹。
a) a的变化：改变a的值可以使抛物线的开口方向和形状发生变化；b) b的变化：改变b的值可以使抛物线在x轴方向上发生平移，即改变对称轴位置；c) c的变化：改变c的值可以使抛物线在y轴方向上发生平移，即改变抛物线在y轴上的截距。
三、二次函数的解析式1. 一般式：二次函数的一般式形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
a) 一般式可以直观地表示二次函数的系数和常数项，并可用于进行系数之间的比较和运算；b) 一般式中的a不等于0，通过a的正负可以确定抛物线的开口方向。
二次函数知识点总结最新8篇
二次函数知识点总结最新8篇高中二次函数知识点总结篇一1、按部就班，环环相扣数学是环环相扣的一门学科，哪一个环节脱节都会影响整个学习的进程。
所以，平时学习不应贪快，要一章一章过关，不要轻易留下自己不明白或者理解不深刻的问题，一定要把每一个环节都学牢。
2、概念记清，基础夯实千万不要忽视最基本的概念、公理、定理和公式，每新学一个定理或者定义的时候，都要在理解的基础上去深挖每一个字眼，有时候少说一两个字，都可能导致结果的不同。
要在刚开始学概念的时候就弄清楚，通过读一读、抄一抄加深印象，特别是容易混淆的概念更要彻底搞清，不留隐患。
3、适当做题，巧做为主学习数学是不能缺少训练的，平时多做一些难度适中的练习，当然莫要陷入死钻难题的误区，要熟悉中考的题型，训练要做到有的放矢。
有的同学埋头题海苦苦挣扎，辅导书做掉一大堆却鲜有提高，这就是陷入了做题的误区。
数学需要实践，需要大量做题，但要“埋下头去做题，抬起头来想题”，在做题中关注思路、方法、技巧，要“苦做”更要“巧做”。
考试中时间最宝贵，掌握了好的思路、方法、技巧，不仅解题速度快，而且也不容易犯错。
4、记录错题，避免再犯俗话说，“一朝被蛇咬，十年怕井绳”，可是同学们常会一次又一次地掉入相似甚至相同的“陷阱”里。
因此，建议大家在平时的做题中就要及时记录错题，更重要的是还要想一想为什么会错、以后要特别注意哪些地方，这样就能避免不必要的失分。
毕竟，中考或者在平时考试当中是“分分必争”，一分也失不得。
这样复习时，这个错题本也就成了宝贵的复习资料。
5、集中兵力，攻下弱点每个人都有自己的“软肋”，如果试题中涉及到你的薄弱环节，一定会成为你的最痛。
因此一定要通过短时间的专题学习，集中优势兵力，打一场漂亮的歼灭战，避免变成“瘸腿”。
初中二次函数知识点总结篇二教学目标：(1)能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。
(2)注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯教学重点：能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。
《二次函数——二次函数的图象与性质》数学教学PPT课件(9篇)
y3>y2>y1
关系为___________．
导引：因为a>1，所以0<a－1<a<a＋1, 所以这三个点
都在函数y＝x2的图象的对称轴的右侧．根据
“当x>0时，y随x的增大而增大”的性质，可得
y3>y2>y1.
（来自《点拨》）
知2－讲
总 结
当所比较的点都在抛物线的对称轴的同一侧时，
y值都随x值的增大而增大
D．当x<0时，函数y＝x2，y的值随x值的增大的变化情况与当x>0
时，函数y＝－x2，y的值随x值的增大的变化情况相同
（来自《典中点》）
知2－练
4 如图，一次函数y1＝kx＋b的图象与二次函数y2＝
x2的图象交于A(－1，1)和B(2，4)两点，则当y1<y2时，x的取
值范围是( D )
1
(1，2
), 可知, 其中有两点在第一象限, 一
点在第四象限, 排除B,
1
C；在第一象限内,
y1的对应
2
点(1, 2)在上, y3的对应点(1， )在下, 排除A.
知1－练
1 关于二次函数y＝3x2的图象，下列说法错误的是( C )
A．它是一条抛物线
B．它的开口向上，且关于y轴对称
C．它的顶点是抛物线的最高点
可直接利用函数的增减性进行大小比较．
（来自《点拨》）
知2－练
1 已知点(x1，y1)，(x2，y2)是二次函数y＝－x2的图象
上的两点，当x1<x2<0时，y1与y2的大小关系为
y1＜y2
________．
高中数学二次函数的讲解(学习复习参考)课件
由题 kf (1) 0, k (2k 2 3k 2) 0, （ k k 4）>0即 k 0或k 4.
(2) 已知二次方程 (m 2) x2 mx (2m 1) 0 的两根 分别属于（ 1， 0）和（， 1 2）求 m 的取值范围.
f (-1)f (0) 0 (2m 1)(2m 1) 0 解：由题 f (1)f (2) 0 (4m 1)(8m 7) 0 1 1 m 1 1 2 2 m 4 2 1 m 7 8 4
m
h k
m
h k
例5： 已知函数y=x2+2x-3 且x [-2，2],
求函数的最值？
例6：已知函数y=-x2-2x+3且x[0，2],
求函数的最值？
二、含参变量的二次函数最值问题 1、轴动区间定 2、轴定区间动 例7：求函数y=x2+2ax+3在x[-2,2]时的 最值？
-a
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
1 二次方程有两异号实数根的充要条件是x1 x2
c 0； a
0 b 2 有 两正 实数根的充要条件是 x x 0； 1 2 a c x1 x2 0 a 0 b 3 有 两负 实数根的 充要条件是 x x 0. 1 2 a c x1 x2 0 a
3.实根分布问题
★一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)
(1)、当x为全体实数时的根
(1)当 b 2 4ac 0时， 方程有两个不相等的实数根
(2)当 b 2 4ac 0时， 方程有两个相等的实数根 2 (3)当 b 4ac 0时， 方程没有实数根
初高中数学衔接知识(二次函数)
2a
4a
今后解决二次函数 问题时，要善于借助
函数图像，利用数形
结合的思想方法解决
问题．
（2）当 a 0时，函数 y ax2 bx c 图象开口向下，顶点坐标为( b , 4ac b2 ) ，对称轴为 2a 4a
直线 x b .在对称轴的左侧， y 随着 x 的增大而增大；在对称轴的右侧， y 随着 x 的增大而减小； 2a
2020年5月25日星期一
三、二次函数的最值问题
【例 5】当 2 x 2 时，求函数 y x2 2x 3 的最大值和最小值．
解：作出函数的图象．当 x 1时， ymin 4 ，当 x 2 时， ymax 5 ．
【例 6】当1 x 2 时，求函数 y x2 x 1 的最大值和最小值． 解：作出函数的图象．当 x 1时， ymax 1，当 x 2 时， ymin 5 ．
1．一般式： y ax2 bx c (a 0) . 2．顶点式： y a(x h)2 k(a 0) ，顶点坐标是 (h, k) ． 3．交点式： y a(x x1)(x x2 ) (a 0) ，其中 x1， x2 是二次函数图象与 x 轴交点的横坐标．
【例 2】已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．
解：∵ y 3x2 6x 1 3(x 1)2 4 .
∴函数图象的开口向下，
对称轴方程 x 1，顶点坐标为(－1，4)， 当 x 1时， ymax 4 . 在对称轴的左侧，y 随着 x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着 x 的增大而减小 (如图) .
2020年5月25日星期一
二、二次函数的三种表示方式
【例 3】 已知二次函数的最大值为 2，图像的顶点在直线 y x 1上，并且图象经过点（3，－1），
高中数学-二次函数
二次函数专题专题必要性：高考中的很多题，往往最后都能转化为二次函数、一元二次方程和一元二次不等式问题，因此二次函数贯穿整个高考中，需深度掌握。
基础知识回顾1.给出函数表达式()2f x ax bx c =++，首先需要考虑a 是否等于0，若0a =，则函数不是二次函数. 2.二次函数的三种表现形式1）一般式：2(0)y ax bx c a =++¹2）顶点式：2()(0),)y a x h k a h k =-+¹此时二次函数的顶点坐标为此时二次函数的顶点坐标为((；3）分解式：12()()y a x x x x =-- 其中1x 、2x 是二次函数的与x 轴的两个交点的横坐标，此时二次函数的对称轴为直线122x x x +=. 3.二次函数的图像与性质①开口方向：当0a >，函数开口方向向上；当0a <，函数开口方向向下；，函数开口方向向下； ②对称轴：2bx a=-； ③顶点坐标：（2b a -，244ac b a-）；若图象与x 轴有两个交点，分别为11(,0)M x ，22(,0)M x ，则12M M =12x x -=a D. ④增减性④增减性⑤最值()x R Î：当0a >时，函数有最小值，并且当2b x a =-，min y =244ac b a-；当0a <时，函数有最大值，并且当2bx a =-时，2max 44ac b y a-=；⑥与x 轴的交点个数：当24b ac D =->0时，函数与x 轴有两个不同的交点；D <0时，函数x 轴没有交点；D =0时，函数与x 轴有一个交点. 4.二次函数根的由来——配方法二次函数根的由来——配方法对20(0)ax bx c a ++=¹进行配方，变换为2b c xx++=，由于完全平方是：()2222a ab b a b ++=+即2222()x ax a x a ++=+，所以要变换为22222044b b b cx x a a aa ++-+=，变换的关键点：一次项系数除以2再整体平方.∴222224()244b b c b ac x a a a a -+=-=.从而得到，在240b ac -³时有解，242b b a c x a-±-=；若240b ac -£，此时无解. 5.有关一元二次方程判别式24b ac D =-，联系韦达定理1）D >0有两个不等实根；D =0表示有两个相等实根，D <0表示没有实数根，实际就是()2,0x a p p +=<的情况. 2）a 、c 异号，此方程一定有两个解，且一根为正一根为负. 3）a 、b 异号时，两根相加为正数，表明两根在数轴上的中点大于0. 4）a 、b 同号时，两根相加为负数，表明两根在数轴上的中点小于0. 6.对于2y x =的特点和图象（幂函数的一种）1)开口朝上的抛物线图形，从原点（0,0）开始，1x <时，曲线变化缓慢，比y x =要小（分数或小数相乘，越乘结果越小），当过（1,1）点之后，图象加速上升，越向上越陡峭，斜率随x 的绝对值增大而增加. 2)图象关于y 轴对称. 3)(0,0)是图象的拐点，(,0]-¥上是减函数，(0,)+¥上是增函数. 4)图象与x 轴只有一个交点（0,0）。
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2 当x [－1,1]时，由x 2－x＋1 2x＋m，
得x 2－3x m－1.当x＝1时， ( x 2－3x) min＝－2， 所以m－1 －2，则m －1.故实数m的取值 范围是(－，－1)．
考点二、二次函数的零点分布
【例2】 已知函数 f(x)＝x2 ＋ 2mx＋2m ＋1的 零点都在区间(0,1)上，求实数m的 取值范围．
高中数学专题
二次函数专题巩固
知识梳理
• 1、二次函数的解析式（待定系数法）
• ①一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)
• ②顶点式：y=a(x－h)2+k,a≠0，其中 (h,k)为抛物线的顶点坐标。 • ③零点式(两根式)：y=a(x－x1)(x－x2)， a≠0其中x1、x2是抛物线与x轴两交点的横 坐标。
2 【解析】 1 设函数 f x ＝ ax ＋bx＋1(a 0)，
则a( x＋1) 2＋b( x＋1)＋1＝ax 2＋bx＋1＋2x， 2a b b 2 a 1 整理得 ，解得 . a b 1 1 b 1 所以f x ＝x 2－x＋1.
f (2) 0 于是设f x ＝a( x－2) ＋c.由 ， f (0) 48 16a c 0 a 4 即 ，得 ， 4a c 48 c 64 所以f x ＝－4x 2＋16x＋48.
2
【练习1】 已知二次函数 f(x) 满足 f(x ＋ 1) － f(x) ＝ 2x，且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式； (2) 在区间 [ － 1,1] 上，函数 f(x) 的图象 恒在直线y＝2x＋m的上方，求实数m 的取值范围．
③当t 2时，函数f x 在区间[t，t＋1]上 递减，此时g t ＝f t ＝－t 2＋4t－1， t 2 2t 2(t 1) 综上，g t ＝3(1 t 2) t 2 4t 1(t 2)
2 利用图象解得g t 的最大值是3.
二次函数在闭区间上一定存在最 大值和最小值，此类问题与区间和对 称轴有关，一般分为三类： ①定区间，定轴； ②定区间，动轴，本题是这一类； ③动区间，动轴．要认真分析对称轴 与区间的关系，合理地进行分类讨论， 特别要注意二次项系数是否为0.
【练习4】 已知二次函数 f(x) ＝－ x2 ＋ 2ax ＋ 1 － a 在区 间[0,1]上有最大值为2，求实数a的值． 【解析】根据对称轴 x＝ a与区间 [0,1]的关 系讨论： ①当 a<0 时， [f(x)]max ＝ f(0) ＝ 1 － a ＝ 2 ，所 以a＝－1； ②当 0≤a≤1 时， [f(x)]max ＝ f(a) ＝ 2 ，无实数 解； ③当a>1时，[f(x)]max＝f(1)＝a＝2，所以实 数a的值是－1或2.
考点五、二次函数综合应用
【例5】 二次函数 f(x) ＝ 4x2 － 2(p － 2)x － p － 5 在区间 [ － 1,1] 上至少存在实数 c ，使 f(c)>0，求实数p的取值范围．
【解析】只需函数 f(x) 的图象从 [ － 1,1] 上 穿 过 ( 或 f(x)>0( － 1≤x≤1) 恒 成 立)，等价条件是f(－1)>0或f(1)>0. 因为f(－1)＝4＋2(p－2)－p－5＝p－ 5>0，或f(1)＝4－2p＋4－p－5＝3－ 3p>0， 所以p∈(－∞，1)∪(5，＋∞)．
考点四、动二次函数在定区间上的最值
【例4】 已知f(x)＝(4－3a)x2－2x＋a(a∈R)，求 f(x)在[0,1]上的最大值．
4 【解析】 1 若4－3a＝0，则a＝ ，所以 3 4 f x ＝－2x＋ . 3 由于f x 在 0,1 上是减函数， 4 所以 f x max ＝f 0 ＝ 3 . 4 2 若4－3a 0，即a ，分两种情况讨论： 3 4 1 ⅰ若 ( ) 4－3a 0，即a ，因为对称轴x＝ 0， 3 4 3a 所以f x 在 0,1 上是减函数，所以 f x max ＝f 0 ＝a.
4 1 (ⅱ)若4－3a 0，即a ，因为对称轴x＝ 0， 3 4 3a 故又分两种情况讨论： 1 1 2 ①当0 ，即a 时， 4 3a 2 3 f x max ＝f 1＝2－2a； 1 1 2 4 ②当 < ，即 <a < 时， f x ＝f 0 ＝a. max 2 4 3a 3 3 综上所述，f x 在 0,1 上的最大值是关 2 2 2a ( a ) 3 于a的函数g a ＝ a(a 2 ) 3
2、二次函数研究的四元素： 开口a；对称轴-b/2a；顶点；与坐标轴 的交点
1、配方法 b 4ac b 2 ( , ) 2、顶点公式 2a 4a 3、对称代入法
1、与y轴的交点:(0,c) 2、与x轴的交点：y=0时， 转化成一元二次方程
3、二次函数的相关量
1）单调性的相关量：开口；对称轴
二次函数的零点分布也即二次方程实 根分布，若两个零点分布在同一区间，则 其充要条件包含三个方面，即判别式大于 等于0、对称轴在该区间上、区间端点的函 数值的符号 ( 根据图象判断 ) ；若两个零点 分布在两个不同区间，则其充要条件包含 一个方面，即区间端点的函数值的符号(根 据图象判断)．
【练习2】 已知函数 f(x) ＝ x2 ＋ 2mx ＋ 2m ＋ 1 的 在区间 ( － 1,0) 和 (1,2) 内各有一个零 点，求实数m的取值范围．
2）最值相关量：
定义域R： 定义域[m,n]：
3）对称轴相关量：
1:对称轴x=-b/2a
2:f(a)=f(b)(a≠b)对称轴x=(a+b)/2
4）二次方程、二次不等式 与x轴的交点坐标是方程 f(x)=0的实根，它在x轴上 的线段长为
| x1 x2 | ( x1 x2 ) 4 x1 x2 |a|
【解析】函数f x ＝x 2＋2mx＋2m＋1的零点分 别在区间(－1,0)和 1, 2 上，即函数f x ＝x 2＋ 2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点一个在(－1,0) 上，一个在 1, 2 上，根据图象列出不等式组 f 1 2 0 1 m f 0 2m 1 0 2 , 解得 ， f 1 4m 2 0 m 5 6 f 2 6m 5 0 5 1 所以－ m － , 6 2 5 1 所以实数m的取值范围是(－ ，－ )． 6 2
【解析】函数f x ＝x 2＋2mx＋2m＋1的零点都在 区间 0,1 上，即函数f x ＝x 2＋2mx＋2m＋1的图 象与x轴的交点都在 0,1 上，根据图象列出不等 0 m 1 2或m 1 2 0 m 1 式组 ，解得 1 m 0 ， f (0) 0 1 m f (1) 0 2 1 所以－ m 1－ 2, 2 1 所以实数m的取值范围是(－ ,1－ 2] 2
【练习5】 若函数f(x)＝(m－2)x2－4mx＋2m－6的 图象与 x轴的负半轴有交点，求实数 m 的取值范围．
【解析】 1 若m＝2，则f x ＝－8x－2，它的 1 图象与x轴的交点是(－ ，，符合要求． 0) 4 2 若m 2，用间接法：当f x 的图象与x轴 的非负半轴有两个交点 x1, 0 、 x2, 0 或与x轴无 4m x1 x2 m 2 0 2m 6 交点时，有 x1 x2 0 , m2 16m 2 4(m 2)(2m 6) 0
【解析】依题意知函数f x 的图象是抛物 线，且开口向下，故a 0，且x＝－2和x ＝6是f x ＝0的两个根， 则设函数f x ＝a ( x＋2)( x－6)＝ax 2－4ax－12a，
2 a 4 a 4a 比较得 ，解得 . 3 b 8 2b a 12a 所以f x ＝－4x 2＋16x＋48.
本题考查二次函数及其图象的综合分 析能力，解答中，表面上看，只研究了函 数图象从 [ － 1,1] 上穿过，并没有讨论图象 与x轴无交点的情况．事实上，函数图象若 与x轴无交点，由于图象开口向上，所以在 [ － 1,1] 上每一点 c 都有 f(c)>0. 本题可用间接 法求解，若在 [ － 1,1] 上不存在 c 使 f(c)>0 ， 则在[－1,1]上所有的点x，使f(x)≤0，
考点三、二次函数在动区间上的最值
【例3】 函数f(x)＝－x2＋4x－1在区间[t，t＋1](t∈R) 上的最大值记为g(t)． (1)求g(t)的解析式； (2)求g(t)的最大值
【解析】(1)对区间[t，t＋1](t∈R)与对称 轴x＝2的位置关系进行讨论： ①当 t ＋ 1<2 ，即 t<1 时，函数 f(x) 在区间 [t ， t＋1]上递增， 此时g(t)＝f(t＋1)＝－t2＋2t＋2； ②当 t≤2≤t ＋ 1 ，即 1≤t≤2 时，函数 f(x) 在区 间[t，t＋1]上先增后减， 此时g(t)＝f(2)＝3；
2
2、突现函数图象，研究二次方程ax2+bx+c=0的根 的分布问题： ①二次项系数a的符号； ②判别式的符号； ③区间端点函数值的正负； ④对称轴x=－b/2a与区间端点的关系
注：方程、不等式问题等价转化图形问题 等价转化简单不等式组
Δ= b2－4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数 f(x)=ax2+bx+c (a>0) 的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的根
有相异两 实根x1,x2 (x1<x2)
一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a> x<x 或x>x x≠－b/2a 1 2 0)的解集 一元二次不等式 ax2+bx+c<0(a> 0)的解集