江苏省南京市金陵中学2020-2021学年高三上学期10月学情调研测试数学试题
南京市2020届高三年级学情调研卷参考答案和评分标准(答案)
南京市2020届高三年级学情调研数学参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．1．[1，＋∞） 2．10 3．4 4．0.018 5．236．3 7．23 3 8．[－1，2] 9．3410．(1，＋∞)11．20 12．6 13．[－2，2] 14．(34，2)二、解答题：本大题共6小题，共90分． 15．解：（1）因为a sin2B ＝2b sin A ，由正弦定理 a sin A ＝bsin B 得 2sin A sin B cos B ＝2sin B sin A ． ………………… 3分因为A ，B 为△ABC 的内角，所以sin A ≠0，sin B ≠0，所以cos B ＝22． …………………………… 5分 又因为B 为△ABC 的内角，所以0＜B ＜π，所以B ＝π4． …………………………… 7分（2）因为cos C ＝55，C ∈(0，π)， 所以sin C ＝1－cos 2C ＝1－(55)2＝255， …………………………… 9分 所以sin2C ＝2sin C cos C ＝2×255×55＝45，cos2C ＝2cos 2C －1＝2×(55)2－1＝－35． ………………………… 11分 因为B ＝π4，所以A ＋C ＝3π4，从而A －C ＝(3π4－C )－C ＝3π4－2C ，因此 sin(A －C )＝sin(3π4－2C )＝sin 3π4cos2C －cos 3π4sin2C＝22×(－35)－(－22)×45＝210．…………………………… 14分16．证明：（1）在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1，AB ＝A 1B 1．因为E ，F 分别为AB 和A 1B 1的中点， 所以AE ∥FB 1，AE ＝FB 1，所以四边形AEB 1F 是平行四边形， 所以AF ∥EB 1． ………………………… 4分 因为AF ⊄平面B 1CE ，B 1E ⊂平面B 1CE ，所以AF ∥平面B 1CE ．……………………… 7分 （2）因为AB ∥A 1B 1，A 1B 1⊥B 1C ，所以AB ⊥B 1C ．在△ABC 中，因为AC ＝BC ，E 为AB 的中点，所以AB ⊥CE ． …………………………… 10分 因为AB ⊥B 1C ，AB ⊥CE ，B 1C ∩CE ＝C ，B 1C ⊂平面B 1CE ，CE ⊂平面B 1CE ，所以AB ⊥平面B 1CE ． …………………………… 12分 因为AB ⊂平面ABC ，所以平面B 1CE ⊥平面ABC ． …………………………… 14分17．解：（1）因为p (t )＝⎩⎨⎧1800－15(9－t )2， 4≤t ＜9，1800， 9≤t ≤15，其中t ∈N ．所以当载客人数不超过1500人时，4≤t ＜9， 此时p (t )＝1800－15(9－t )2随着t 的增大而增大．当t ＝4时，p (4)＝1800－15(9－4)2＝1425＜1500，符合题意；当5≤t ＜9时，p (t )≥p (5)＝1800－15(9－5)2＝1560＞1500，不符合题意． 因此，发车时间间隔t 的值为4． …………………………… 5分 （2）因为Q ＝6p (t )－7920t－100，所以当9≤t ≤15时，Q ＝6×1800－7920t －100＝2880t－100．由于Q 的值随着t 的增大而减少，故t ＝9时Q 取得最大值，此时Q max ＝220． …………………………… 7分1（第16题图）当4≤t ＜9时，Q ＝6p (t )－7920t－100＝6[1800－15(9－t )2]－7920t－100＝－90t 2＋1620t －4410t－100＝1520－90(t ＋49t) …………………………… 9分≤1520－90×2t ×49t＝260，当且仅当t ＝49t，即t ＝7时取得最大值． …………………………… 11分由于260＞220，故t ＝7时Q 取得最大值．答：当发车时间间隔为7分钟时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大，最大净收益为260元． …………………………… 14分18．解：（1）因为(a2，3e )和(b ，3e )都在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上，所以 ⎩⎨⎧14＋9e2b2＝1， ①b 2a2＋3e 2b2＝1． ②…………………………… 2分由①整理得，e 2b 2＝112．代入②得，b 2a 2＝1－3×112＝34． …………………………… 4分因为e ＝c a，其中c 2＝a 2－b 2，可得b 2＝3c ，a 2＝4c ，从而c 2＝a 2－b 2＝c ，解得c ＝1，即a 2＝4，b 2＝3， 故椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1． …………………………… 6分（2）由（1）可知A (－2，0)，B (2，0)．解法一：因为C 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，所以直线BC 的斜率存在且不为0．设直线BC 的方程为y ＝k (x －2)，k ≠0．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1y ＝k (x －2)，消去y ，得 (3＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0．解得x ＝2或x ＝8k 2－63＋4k 2，从而C (8k 2－63＋4k 2，－12k 3＋4k 2)． …………………… 9分因为P 是BC 的中点，所以P (8k 23＋4k 2，－6k3＋4k2)．因为PQ ⊥BC ，所以直线PQ 的方程为y －(－6k 3＋4k 2)＝－1k (x －8k23＋4k2)，化简得y ＝－x k ＋2k3＋4k 2． ③由A (－2，0)，C (8k 2－63＋4k 2，－12k 3＋4k 2)，可得直线AC 的斜率为－12k 3＋4k 28k 2－63＋4k 2＋2＝－34k， 从而直线AC 的方程为y ＝－34k(x ＋2)． ④ 联立直线PQ ，AC 的方程③④，消去y 得－x k ＋2k 3＋4k 2＝－34k(x ＋2)， 解得x ＝32k 2＋183＋4k 2，即点Q 的横坐标为32k 2＋183＋4k 2． …………………… 14分因为→OB ＝(2，0)，所以→OB ·→PQ ＝2(32k 2＋183＋4k 2－8k 23＋4k2)＝12，即→OB ·→PQ 为定值12． …………………………… 16分解法二：设C (x 0，y 0)，其中x 0≠±2，y 0≠0，则由P 是BC 的中点，得P (x 0＋22，y 02)． 直线AC ，BC 的斜率均存在且不为0，直线BC 的斜率为y 0x 0－2．因为PQ ⊥BC ，所以直线PQ 的方程为y －y 02＝－x 0－2y 0(x －x 0＋22)，即y ＝－x 0－2y 0x ＋x 02－42y 0＋y 02．③ …………………………… 9分又直线AC 的斜率为y 0x 0＋2，从而直线AC 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)．④联立直线PQ ，AC 的方程③④，消去y ，得 －x 0－2y 0x ＋x 02－42y 0＋y 02＝y 0x 0＋2(x ＋2)，两边同乘以y 0，得 (2－x 0)x ＋x 02－42＋y 022＝y 02x 0＋2(x ＋2)．由x 024＋y 023＝1，得y 02＝3－3x 024， 代入化简得(2－x 0)x ＋x 02－48＝34(2－x 0)(x ＋2)．因为x 0≠2，解得x ＝x 0＋142，即点Q 的横坐标为x 0＋142． …………… 14分因为→OB ＝(2，0)，所以→OB ·→PQ ＝2(x 0＋142－x 0＋22)＝12，即→OB ·→PQ 为定值． …………………………… 16分19．解：（1）由f (x )＝2ln x ＋ax 2－bx ，得f ′(x )＝2ax 2－bx ＋2x，因为曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线为y ＝2x －3， 所以f (1)＝a －b ＝－1， f ′(1)＝2a －b ＋2＝2，解得a ＝1，b ＝2． …………………………… 3分 （2）因为a ＝0，所以f (x )＝2ln x －bx ，x ∈(0，＋∞)；由f (x )≤－2得2ln x －bx ≤－2，即b ≥2＋2ln xx． …………………………… 5分设g (x )＝2＋2ln x x ，x ＞0，则g ′(x )＝－2ln x x2，由g ′(x )＝0得x ＝1．当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0，当x ＞1时，g ′(x )＜0， 则g (x )在(0，1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减， 所以当x ＝1时，g (x )有最大值g (1)＝2．于是b ≥2，即实数b 的取值范围为[2，＋∞) ． ……………………… 8分 （3）函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，当b ＝4时f ′(x )＝2ax 2－4x ＋2x．①当a ＝0时，f ′(x )＝－4x ＋2x，由f ′(x )＞0得0＜x ＜12；由f ′(x )＜0得x ＞12，所以f (x )的增区间为(0，12)，减区间为(12，＋∞)； ……………………… 9分②当a ＜0时，由f ′(x )＞0得0＜x ＜1－1－a a ；由f ′(x )＜0得x ＞1－1－aa，所以f (x )的增区间为(0，1－1－a a )，减区间为(1－1－aa，＋∞)；……………………………11分③当0＜a ＜1时，由f ′(x )＞0，得0＜x ＜1－1－a a 或x ＞1＋1－aa；由f ′(x )＜0，得1－1－a a ＜x ＜1＋1－a a，所以f (x )的增区间为(0，1－1－a a )和(1＋1－aa，＋∞)，减区间为(1－1－a a ，1＋1－aa)； ……………………… 13分④当a ≥1时，f ′(x )≥0恒成立，于是f (x )的增区间为(0，＋∞)，无减区间； 综上，当a ＜0时，f (x )的增区间为(0，1－1－a a )，减区间为(1－1－aa，＋∞)；当a ＝0时，f (x )的增区间为(0，12)，减区间为(12，＋∞)；当0＜a ＜1时，f (x )的增区间为(0，1－1－a a )和(1＋1－aa，＋∞)，减区间为(1－1－a a ，1＋1－aa)；当a ≥1时，f (x )的增区间为(0，＋∞)，无减区间．…………………………… 16分20．解：（1）因为数列{S n n }是以12为公差的等差数列，所以S n n ＝S 11＋12(n －1)＝a 1＋12(n －1)＝n ＋32，即S n ＝n (n ＋3)2．…………… 2分所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n (n ＋3)2－(n －1)(n ＋2)2＝n ＋1，又a 1＝2＝1＋1，所以a n ＝n ＋1，n ∈N *. …………………………… 4分 （2）①因为b n ＝2n a n ＝(n ＋1)2n，所以T n ＝2×21＋3×22＋…＋(n ＋1)2n， 因此2T n ＝2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)2n ＋1，两式相减，得－T n ＝2×21＋22＋23＋ (2)－(n ＋1)2n ＋1＝2＋2×1－2n1－2－(n ＋1)2n ＋1＝－n·2n ＋1， …………………… 6分所以T n ＝n·2n ＋1，因此T n n ＝2n ＋1，从而T n ＋1n ＋1T nn＝2，故数列{T n n}是以4为首项，2为公比的等比数列. …………………… 8分 ② 因为T m T n ＝m (S m ＋λ)n (S n ＋λ)，所以m ·2m ＋1n·2n ＋1＝m [m (m ＋3)2＋λ]n [n (n ＋3)2＋λ]，即m 2＋3m ＋2λ2m ＝n 2＋3n ＋2λ2n，…………… 10分 设f (n )＝n 2＋3n ＋2λ2n，n ∈N *，则f (n ＋1)－f (n )＝n 2＋5n ＋4＋2λ2n ＋1－n 2＋3n ＋2λ2n＝－n 2－n ＋4－2λ2n ＋1，当n ≥3时，－n 2－n ＋4－2λ≤－32－3＋4－2λ＝－8－2λ≤－8－2(－2)＝－4＜0， 所以当n ≥3时，f (n ＋1)＜f (n )，因此当m ＞n ≥3时，f (n )＞f (m )，与f (n )＝f (m )相矛盾，又n ＞1，于是n ＝2， 所以m 2＋3m ＋2λ2m＝5＋λ2． ………………… 12分 当m ≥5时，m 2＋3m ＋2λ2m≤52＋3×5＋2λ25＝20＋λ16，又20＋λ16－5＋λ2＝－20－7λ16≤－20－7×(－2)16＝－38＜0，即20＋λ16＜5＋λ2， 所以当m ≥5时，m 2＋3m ＋2λ2m＜5＋λ2，与m 2＋3m ＋2λ2m＝5＋λ2相矛盾．又m ＞n ＝2，所以m ＝3或4． ………………… 14分 当m ＝3时，32＋3×3＋2λ23＝5＋λ2，解得λ＝－1； 当m ＝4时，42＋3×4＋2λ24＝5＋λ2，解得λ＝－2； 因此λ的所有可能值为－1和－2. …………………………… 16分南京市2020届高三学情调研考试数学附加题参考答案及评分标准 2019．0921．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共20分． A ．选修4—2：矩阵与变换 解：（1）解法一：因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤232 1，设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则由A －1A ＝E ，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，所以⎩⎨⎧2a ＋2b ＝1，3a ＋b ＝0，2c ＋2d ＝0，3c ＋d ＝1．…………………………… 2分解得a ＝－14，b ＝34，c ＝12，d ＝－12，从而A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14 34 12 －12． …………………………… 4分 解法二：因为矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d (ad －bc ≠0)的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －bad －bc －c ad －bc a ad －bc ，………………………… 2分又A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 321，所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1434 12 －12． …………………………… 4分 （2）设曲线C 上任意一点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 321 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋3y 2x ＋y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ＋3y ，y ′＝2x ＋y ． ……………………7分 因为(x ′，y ′)在曲线C ′上，所以x ′2－3y ′2＝1， 代入得(2x ＋3y )2－3(2x ＋y )2＝1，化简得6y 2－8x 2＝1，即曲线C 的方程为6y 2－8x 2＝1． ………………… 10分B ．选修4—4：坐标系与参数方程解：将直线l 的参数方程化为普通方程，得ax －4y ＝－4，即ax －4y ＋4＝0．…………………………… 2分将曲线C 的参数方程化为普通方程得(x －2)2＋y 2＝1， …………………… 4分 所以曲线C 是以(2，0)为圆心，1为半径的圆， 所以曲线C 上的点P 到直线l 的距离的最大值为|2a ＋4|a 2＋16＋1．…………… 6分又因为曲线C 上的点P 到直线l 的距离的最大值为3， 所以|2a ＋4|a 2＋16＋1＝3，即(a ＋2)2＝a 2＋16， ………………………… 8分 所以4a ＋4＝16，解得a ＝3． ………………………… 10分 C ．选修4—5：不等式选讲解：当x ≥1时，原不等式化为x 2＋2(x －1)＜6，即x 2＋2x －8＜0，解得－4＜x ＜2，所以1≤x ＜2； …………………………… 4分 当x ＜1时，原不等式化为x 2－2(x －1)＜6， 即x 2－2x －4＜0，解得1－5＜x ＜1＋5，所以1－5＜x ＜1． ………………………… 8分 综上1－5＜x ＜2．所以不等式的解集为(1－5，2)． …………………………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分． 22．解：（1）因为底面ABCD 是矩形，且PA ⊥平面ABCD ，故以{→AB ，→AD ，→AP }为正交基底建立空间直角坐标系A －xyz ．设AB ＝a ． 因为PA ＝AD ＝2，E ，F 分别为PA ，AB 的中点，所以C (a ，2，0)，D (0，2，0)，F (a2，0，0)，E (0，0，1)，所以DF →＝(a 2，－2，0)，CE →＝(－a ，－2，1)， ………………………… 2分因为DF ⊥CE ，所以DF →·CE →＝0， 即 a2×(－a )＋(－2)×(－2)＋0×1＝0， 解得a ＝22，所以AB 的长为22．………………… 4分 （2）因为a ＝22，所以DF →＝(2，－2，0)， EF →＝(2，0，－1)．设平面DEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EF →＝0，n ·DF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x －z ＝0，2x －2y ＝0，取n ＝(2，1，2)． …………………………… 6分 又CF →＝(－2，－2，0)，所以cos ＜CF →，n ＞＝CF →·n |CF →||n |＝－2×2－2×1＋0×26×7＝－24221．………………………… 8分记直线CF 与平面DEF 所成角为α， 则sin α＝| cos ＜CF →，n ＞|＝24221，即直线CF 与平面DEF 所成角的正弦值为24221． ……………………… 10分23．解：（1）当n ＝5时，B ＝{1，2，3，4，5}．随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4．P (X ＝1)＝1C 34C 35＝140； P (X ＝2)＝3＋3C 34C 35＝320； P (X ＝3)＝9＋6C 34C 35＝38； P (X ＝4)＝18C 34C 35＝920． …………………………… 4分因此随机变量X 的概率分布如下表：随机变量X E (X )＝1×140＋2×320＋3×38＋4×920＝134． …………………………… 6分（2）由题意知，当S ＝1时，T ＝n －2，此时，符合要求的取法共有C 23C 2n －3种；当S ＝2时，T ＝n －1，此时，符合要求的取法共有C 22C 2n －2种．………… 8分 故P (X ＝n －3)＝ C 23C 2n －3＋C 22C 2n －2 C 34C 3n＝3(n －3)(2n －7)2n (n －1)(n －2)． …………… 10分。
江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高三上学期10月联合调研数学试题(解析版)
2023—2024学年第一学期10月六校联合调研试题高三数学2023.10一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}|2,x A y y x ==∈R ，{}|ln(1)B x y x ==+，则A B = （ ）A. (1,)-+∞B. ∅C. RD. (0,)+∞【答案】D 【解析】【分析】根据指数函数值域和对数函数定义域求出集合A ，B ，然后由交集运算可得.【详解】由指数函数性质可知，()0,A =+∞，由10x +>得1x >-，所以()1,B =-+∞，所以()()()0,1,0,A B ∞∞∞⋂=+⋂-+=+.故选：D2. 设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（ ）A. 12B. 24C. 30D. 32【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a q a a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q++=++=++==.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．3. 下列求导正确的是（ ）A. ππsin sin cos sin 66x x '⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ B. ()()221221x x '⎡⎤+=+⎣⎦C. ()21log ln 2x x '= D. ()2222x x x x'+=+【答案】C 【解析】【分析】根据基本函数的求导公式，及导数的运算法则和复合函数的求导法则，进行运算即可判断选项.【详解】对于A ，()ππsin sin sin sin cos 66x x x ''⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B ，根据复合函数的求导法则，()()()()22122121421x x x x ''⎡⎤+=++=+⎣⎦，故B 错误；对于C ，()21log ln 2x x '=，故C 正确；对于D ，()()()22222ln 22x x x x x x '''+=+=+，故D 错误.故选：C.4. 已知角α终边上有一点5π5π(sin ,cos 66P ，则πα-是（ ）A. 第一象限角 B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角【答案】C 【解析】【分析】根据5π6所在象限可判断点P 所在象限，然后根据对称性可得.【详解】因为5π6是第二象限角，所以5π5πsin0,cos 066><，所以点P 在第四象限，即角α为第四象限角，所以α-为第一象限角，所以πα-为第三象限角.故选：C5. 已知直线:10l x y λλ--+=和圆22:40C x y y +-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ）A. 2B.C. 4D. 【答案】D 【解析】【分析】求出直线l 过定点()1,1，再利用弦长公式即可得到最小值.【详解】():110l x y λ--+=，令1x =，则1y =，所以直线l 过定点()1,1，当1,1x y ==得22114120+-⨯=-<，则()1,1在圆内，则直线l 与圆必有两交点，因为圆心()0,2到直线l 的距离d ≤=，所以AB =≥故选：D .6. 已知样本数据131x +，231x +，331x +，431x +，531x +，631x +的平均数为16，方差为9，则另一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，12的方差为（ ）．A.467B.477C.487D. 7【答案】C 【解析】【分析】由均值、方差性质求数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 的平均数、方差，应用平均数、方差公式求新数据方差.【详解】设数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 的平均数为x ，方差为2s ，由3116x +=，299s =，得61156i i x x ===∑，2261(56)11i i x s ==-=∑，则1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，12的平均数为561267⨯+=，方差为()6221(6)1267ii x =-+-∑621(51)367ii x =--+=∑66211(5)2(5)16367ii i i x x ==---+⨯+=∑∑66211(5)21027ii i i x x ==--+=∑∑26261024877s x -⨯+==．故选：C7. 已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x -=-+，则下列说法正确的是（ ）A 3522f f ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. 函数()f x 的一个周期为2C. ()20230f =D. 函数()f x 的图象关于直线1x =对称【答案】C.【解析】【分析】根据已知等式判断函数的对称性，结合偶函数的性质判断函数的周期，最后逐一判断即可.【详解】()()11,f x f x -=-+∴ 函数()f x 关于点()1,0中心对称，因此选项D 不正确；又因为函数()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，由()()()()()()()1124f x f x f x f x f x f x f x -=-+⇒+=--=-⇒+=，所以函数()f x 的周期为4，所以选项B 不正确；因为函数()f x 是周期为4的偶函数，所以355222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因此选项A 不正确；在()()11f x f x -=-+中，令0x =，得()10f =，因为函数()f x 的周期为()()()()4,20233110f f f f ∴==-==，因此选项C 正确，故选：C8. 已知点,M N 是抛物线24y x =上不同的两点，F 为抛物线的焦点，且满足23MFN π∠=，弦MN 的中点P 到直线1:16l y =-的距离记为d ，若不等式22λ≥MN d 恒成立，则λ的取值范围（ ）A. (-∞ B. (],2-∞C. (,1-∞+ D. (],3-∞【答案】D 【解析】【分析】令||,||MF a NF b ==，利用余弦定理表示出弦MN 的长，再利用抛物线定义结合梯形中位线定理表示出d ，然后利用均值不等式求解作答.【详解】在MFN △中，令||,||MF a NF b ==，由余弦定理得222||||||2||||cos MN MF NF MF NF MFN =+-⋅∠，则有222||MN a b ab =++，显然直线1:16l y =-是抛物线24y x =的准线，过,,M P N 作直线l 的垂线，垂足分别为,,A B C ，如图，而P 为弦MN 的中点，PB 为梯形MACN 的中位线，由抛物线定义知，11||(||||)()22d PB MA NC a b ==+=+，因此22222222||4444443222MN a b ab ab a b d a b ab a b ab b a ++=⋅=-=-≥=++++++，当且仅当a b =时取等号，又不等式22λ≥MN d 恒成立，等价于22MN dλ≤恒成立，则3λ≤，所以λ的取值范围是(,3]-∞.故选：D【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9. 设复数z 满足3i 1z z +=--，则下列说法错误的是（ ）A. z 为纯虚数B. z 的虚部为2iC. 在复平面内，z 对应的点位于第二象限D. ||z【答案】ABC 【解析】【分析】由复数的乘法和除法运算化简复数z ，再对选项一一判断即可得出答案.【详解】设复数i z a b =+，由3i 1z z +=--得()3i 1z z +=--，则()()()()22i 31i i 3i i 33i 4i 2=2i 11i 1i 1i 1i 2z -----+-====-++--，故A错误；z 的虚部为2，故B 错误；复平面内，z 对应的点为()1,2--，z 对应的点位于第三象限，故C 错误；z ==D 正确.故选：ABC .10 已知向量()1,3a =-，(),2b x = ，且()2a b a -⊥ ，则（ ）A. ()1,2b =B. 225a b -=C. 向量a 与向量b的夹角是45 D. 向量a 在向量b上的投影向量坐标是()1,2【答案】ACD 【解析】【分析】根据向量垂直的坐标公式求出向量b判断A ，利用向量模的坐标运算判断B ，利用数量积的夹角坐标公式求解判断C ，利用数量积的几何意义求解判断D.【详解】因为向量()1,3a =- ，(),2b x = ，所以()212,1a b x -=---，由()2a b a -⊥ 得1230x +-=，解得1x =，所以()1,2b =，故A 正确；又()23,4a b -=-r r ，所以25a =r ，故B 错误；设向量a 与向量b的夹角为θ，因为()1,3a =- ，()1,2b = ，所以cos a b a bθ⋅===⋅ ，又0180θ≤≤ ，所以45θ= ，即向量a 与向量b的夹角是45 ，故C 正确；向量a 在向量b上的投影向量坐标是()1,2a b b b b b⋅⋅==，故D 正确.故选：ACD.11.已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>，下列说法正确的是（ ）A. 函数()f x 的值域为[]22-,B. 若存在12,x x ∈R ，使得对x ∀∈R 都有()()()12f x f x f x ≤≤，则12x x -的最小值为2πωC. 若函数()f x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.D. 若函数()f x 在区间()0,π上恰有3个极值点和2个零点，则ω的取值范围为138,63⎛⎤⎥⎝⎦【答案】ACD 【解析】【分析】化简()f x 的解析式，根据三角函数的值域、最值、周期、单调性、极值点等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】已知函数()π2sin 3f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，可知其值域为[]22-,，故选项A 正确；若存在12,x x ∈R ，使得对x ∀∈R 都有()()()12f x f x f x ≤≤，所以12x x -的最小值为π2T ω=，故选项B 错误；函数()f x 的单调递增区间为πππ2π2π232k x k ω-≤+≤+，()5ππ2π2π66,Z k k x k ωω⎡⎤-+⎢⎥∈∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以5π2ππ66π2ππ63k k ωω⎧-⎪≤-⎪⎪⎨⎪+⎪≥⎪⎩，令0k =，则10,2ωω<≤∴的取值范围为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，故选项C 正确；若函数()f x 在区间()0,π上恰有3个极值点和2个零点，πππ,π333x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，由如图可得：5ππ138π3π2363ωω<+≤⇒<≤，ω∴的取值范围为138,63⎛⎤⎥⎝⎦，故选项D 正确；故选：ACD12. 已知函数()()()1ln R 1a x f x x a x +=-∈-，则下列说法正确的是（ ）A. 当0a >时，()f x 在(1,)+∞上单调递增B. 若()f x 的图象在2x =处的切线与直线250x y +-=垂直，则实数34a =C. 当10a -<<时，()f x 不存在极值D. 当0a >时，()f x 有且仅有两个零点12,x x ，且121=x x 【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，利用导数即可判断；对于B ，根据导数的几何意义可判断；对于C ，取12a =-，根据导数判断此时函数的单调性，说明极值情况，即可判断；对于D ，结合函数单调性，利用零点存在定理说明()f x 有且仅有两个零点12,x x ，继而由()0f x =可推出10f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，即可证明结论，即可判断.【详解】因为()()()1ln R 1a x f x x a x +=-∈-，定义域为{|0x x >且1}x ≠，所以()()2121af x x x '=+-，对于A ，当0a >时，()0f x '>，所以()f x 在(01),和(1,)+∞上单调递增，故A 正确；对于B ，因为直线250x y +-=的斜率为12-，又因为()f x 的图象在2x =处的切线与直线250x y +-=垂直，故令1(2)222f a '=+=，解得34a =，故B 正确；对于C ，当10a -<<时，不妨取12a =-，则()()()222113111x x f x x x x x -+'=-=--，令()0f x '=，则有231=0x x -+，解得123322x x =-=+，当0,32x ⎛∈- ⎝时，()0f x ¢>，()f x 在0,32⎛ ⎝上单调递增；当331,22x ⎛⎫⎛∈⋃+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝时，()0f x '<，()f x在33,1,22⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝上分别单调递减；所以此时函数有极值，故C 错误；对于D ，由A 可知，当0a >时，()f x 在(01),和(1,)+∞上单调递增，当1x >时，22(e )10e 1e 1aa aaf a a ⎛⎫=-+=-< ⎪--⎝⎭，()()()()313131313131e 1e 12e 311e 1e 1a a a a a a a f a a ++++++--+⎛⎫=+-+-=⎪-⎝⎭()()()31313131313e 1e 12e20e 1e 1a a a a a a a a +++++--+->=>--，所以()f x 在(1,)+∞上有一个零点，又因为当01x <<时，22(e 10e 1e 1aa a af a a --⎛⎫--+=> ⎪--⎝⎭=) ，()1313313122e e311311e 11e a a a a f a a a a -+---+⎛⎫⎛⎫=---+=---+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭()()()3131313131311e e 11e 311e 1e a a a a a a a a a ++++++-+++=---⋅=---()()31313131e e 11e a a a a a +++-++=--()3131313122e 42e01e e 1a a a a a a a ++++--=-=<--，所以()f x 在(01),上有一个零点，所以()f x 有两个零点，分别位于(01),和(1,)+∞内；设1201x x <<<，令()0f x =，则有()1ln 01a x x x +-=-，则1f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭()11111ln ln ln 1111x a a a x x x x x x x x x x⎛⎫++⋅ ⎪+⎝⎭-=--=-+---()1[ln ]01a x x x +=--=-，所以()0f x =的两根互为倒数，所以121=x x ，故D 正确．故选：ABD【点睛】难点点睛：本题综合考查了导数知识的应用，综合性较，解答的难点在于选项D 的判断，要结合函数的单调性，利用零点存在定理判断零点个数，难就难在计算量较大并且计算复杂，证明121=x x 时，要注意推出10f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，进而证明结论三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 在()()54+21x y -的展开式中，32x y 的系数为______．【答案】240【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式即可.【详解】在()5+2x 的展开式中，3x 的系数为325C 2=40⋅；在()41y -的展开式中，2y 的系数为224C 1=6⋅；所以在()()54+21x y -的展开式中，32x y 的系数为32254C 2C =240⋅；故答案为：24014. 2023年杭州亚运会招募志愿者，现从某高校的6名志愿者中任意选出3名，分别担任语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲、乙2人不能担任语言服务工作，则不同的选法共有_______种.【答案】80【解析】分析】应用排列组合知识及计数原理可得答案.【详解】先从甲、乙之外的4人中选取1人担任语言服务工作，再从剩下的5人中选取2人分别担任人员引导、应急救助工作，则不同的选法共有1245C A 454=⨯⨯80=种.故答案为：80.15. 已知22,1()e ,1xx x f x x ->-⎧=⎨≤-⎩，若a b <，()()f a f b =，则实数2a b -的取值范围是______．【【答案】(1,3e ⎤-∞--⎥⎦【解析】【分析】作出函数图象，设()()t f a f b ==，数形结合可知t 的范围，2a b -转化为关于t 的函数，利用导数求最值即可.【详解】作函数()f x 图象，如图，设()()t f a f b ==，则10et <≤，e ,,2e 1112a b a b +<∴≤-<≤ ，又()(),e 22af a t f b b t ===-= ，()1ln 2,2a t b t ∴==+，2ln 2a b t t ∴-=--，设()()110,,1ln 21e t g t t t t g t t t -'=--<≤=-=，当10et <≤时，()0g t '>，函数()g t 为增函数，()1111ln 23e e e e g t g ⎛⎫∴≤=--=-- ⎪⎝⎭，即实数2a b -的取值范围是(1,3e ⎤-∞--⎥⎦故答案为：(1,3e ⎤-∞--⎥⎦16. 在正三棱锥A BCD -中，底面BCD △的边长为4，E 为AD 的中点，AB CE ^，则以D 为球心，AD 为半径的球截该棱锥各面所得交线长为________．π【解析】【分析】首先证明,,AC AB AD 两两垂直，再求出所对应的圆心角，则计算出其弧长，即可得到交线长.【详解】记CD 中点为F ，作AO ⊥平面BCD ，垂足为O ，由正三棱锥性质可知，O 为正三角形BCD 的中心，所以O 在BF 上，因为CD ⊂平面BCD ，所以AO CD ⊥，由正三角形性质可知，BF CD ⊥，又BF AO O ⋂=，,BF AO ⊂平面ABO ，所以CD ⊥平面ABO ，因为AB ⊂平面ABO ，所以AB CD ⊥，又,,,CE AB CE CD C CE CD ⊥⋂=⊂平面ACD ，所以AB ⊥平面ACD ，因为AC ⊂平面ACD ，所以AC AB⊥由正三棱锥性质可知，,,AC AB AD 两两垂直，且AB AC AD ==，则AD ==，如图，易知以D 为球心，AD 为半径的球截该棱锥各面所得交线，是以D 为圆心，AD 为半径的三段圆弧，则π4ADC ADB ∠=∠=，π3BDC ∠=，则其圆心角分别为πππ,,443，所以其交线长为πππ443⨯⨯+⨯=.【点睛】关键点睛：本题的关键是利用线面垂直的判定与性质得到,,AC AB AD 两两垂直，再求出所对应的三段弧长即可得到交线长.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足52215a a =+，981S =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足,3,n n n a n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．【答案】（1）21n a n =- （2）129928n n n +--+【解析】【分析】（1）利用等差数的性质，结合通项公式与前项和公式即可得解；（2）利用分组求和差，结合等差数列与等比数列的前项和公式即可得解.【小问1详解】（1）设数列等差数列{}n a 的公差为d ，因为981S =，所以()59199812a a a +==，则59a =，因为52215a a =+，即21815a =+，所以23a =，所以52932523a a d --===-，121a a d =-=，所以()112n a n =+-⨯，即21n a n =- .【小问2详解】因为,3,n n n a n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，所以21,3,n n n n b n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，所以()()()24221353433nn T n =++++⋅⋅⋅+-+()()2421543333n n =++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+()231919n ⨯-=+-129928n n n +-=-+．18. 已知函数()ππsin 2cos sin 122f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,（1）求函数()f x 的最值；（2）设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()2f A =，2b =，且2sin sin B C A +=，求ABC 的面积．【答案】（1）最大值为2，最小值为2-（2【解析】【分析】(1)把()f x 化为“一角一函数”的形式：先用诱导公式把角化为x ，再用二倍角公式把二次项化为一次项，同时把角化为2x ，最后用辅助角公式把函数名化为正弦，即可求出函数的最值；(2)先求出角A ，由余弦定理得到关于,a c 的方程，再由正弦定理把已知的方程化简为含,a c 的方程，联立方程组即可解出,a c 的值，再代入三角形的面积公式即可.【小问1详解】因为()sin 2cos sin 122f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 2cos 12cos 2x x x x x=-+=-2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()f x 的最大值为2，最小值为2-．【小问2详解】结合(1)可知()2sin 226f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以sin 216A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．因为()0,A π∈，所以112,666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则263A A ππ-==．由余弦定理得2222241cos 242b c a c a A bc c +-+-===，化简得2224a c c =-+①．又2sin sin B C A +=，由正弦定理可得2b c +=，即4c +=②．结合①②得3a c ==或23a c ==．3c =时，1sin 2ABC S bc A == 23c =时，1sin 2ABC S bc A ==△．综上，ABC ．19. 在三棱锥S ABC -中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA SC ==，M 、N 分别为AB SB 、的中点．（1）证明：AC SB ⊥；（2）求二面角N CM B --正弦值的大小.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）取AC 得中点O ，得SO AC ⊥，BO AC ⊥，可知AC ⊥平面SBO ，进而得结论；（2）建立空间直角坐标系，求出平面CMN 与平面MBC 的法向量，根据向量的夹角公式求解.【小问1详解】取AC 得中点O ，连接SO ，OB ，SA SC = ，AB BC =，SO AC ∴⊥，BO AC ⊥，又SO ，BO 交于点O ，SO ⊂平面SBO ，BO ⊂平面SBO ，于是可知AC ⊥平面SBO ，又SB ⊂平面SBO ，AC SB ∴⊥；【小问2详解】∵平面SAC ⊥平面ABC ，平面SAC 平面ABC AC =，SO ⊂平面SAC ，SO AC ⊥，∴SO ⊥平面ABC ，以OA 为x 轴，OB 为y 轴，OS 为z 轴建立空间直角坐标系O xyz -,那么(00)(200)(000)(0B C S M N -,,,,,,,,,，∴(30),(10CM MN ==- ,，设(),,n x y z = 为平面CMN 的一个法向量，那么30=0CM n x MN n x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅-+=⎪⎩ ，取1z =，那么==x y ，∴n = ，又(0,0,OS = 为平面MBC一个法向量，的1cos ,3n OS n OS n OS ⋅∴==，sin ,n OS ∴= ，即二面角N CM B --.20. 为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目A “毛毛虫旱地龙舟”和项目B “袋鼠接力跳”．甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛．每一个比赛项目均采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束），假设在项目A 中甲班每一局获胜的概率为23，在项目B 中甲班每一局获胜的概率为12，且每一局之间没有影响．（1）求甲班在项目A 中获胜的概率；（2）设甲班获胜的项目个数为X ，求X 的分布列及数学期望．【答案】（1）6481（2）分布列见解析，209162【解析】【分析】（1）记“甲班在项目A 中获胜”为事件A ，利用独立事件的乘法公式求解即可；（2）先算出“甲班在项目B 中获胜”的概率，然后利用独立事件的乘法公式得到X 的分布列，即可算出期望【小问1详解】记“甲班在项目A 中获胜”为事件A ，则()222223422221221264C C 33333333381P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以甲班在项目A 中获胜的概率为6481【小问2详解】记“甲班在项目B 中获胜”为事件B ，则()34522341111C C 2222P B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，X 的可能取值为0，1，2，则()()()()171170812162P X P AB P A P B ====⨯=，()()()()64132281281P X P AB P A P B ====⨯=，()()()111022P X P X P X ==-=-==．所以X 的分布列为X 012P 17162123281()17132209012162281162E X =⨯+⨯+⨯=．所以甲班获胜的项目个数的数学期望为20916221. 已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设1a <-.如果对任意12,(0,)x x ∈+∞，()()12124f x f x x x -≥-，求a 的取值范围．【答案】（1）当a ≥0时，()f x '＞0，故f (x )在(0，+∞)单调增加；当a ≤－1时，()f x '＜0， 故f (x )在(0，+∞)单调减少；当－1＜a ＜0时，f (x )在（0，+∞）（2）a ≤－2【解析】【详解】（1） f (x )的定义域为(0，+∞)，2121()2a ax a f x ax x x '+++=+=.当a ≥0时，()f x '＞0，故f (x )在(0，+∞)单调增加；当a ≤－1时，()f x '＜0， 故f (x )在(0，+∞)单调减少；当－1＜a ＜0时，令()f x '＝0，解得x .当x ∈(0)时，()f x '＞0；x ∈，+∞)时，()f x '＜0， 故f (x )在（0，+∞）单调减少.（2）不妨假设x 1≥x 2.由于a ≤－2，故f (x )在（0，+∞）单调减少.所以1212()()4f x f x x x -≥-等价于21()()f x f x -≥4x 1－4x 2，，即f (x 2)+ 4x 2≥f (x 1)+ 4x 1.令g (x )=f (x )+4x ，则1()2a g x ax x +'=++4＝2241ax x a x+++.于是()g x '≤2441x x x -+-＝2(21)x x--≤0.从而g (x )在（0，+∞）单调减少，故g (x 1) ≤g (x 2)，即f (x 1)+ 4x 1≤f (x 2)+ 4x 2，故对任意x 1，x 2∈(0，+∞) ，1212()()4f x f x x x -≥-22. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>过点(4,3)A，离心率e =.（1）求双曲线C 的方程；（2）过点(1,0)B 的直线l 交双曲线C 于点M ，N ，直线MA ，NA 分别交直线1x =于点P ，Q ，求||||PB QB 的值.【答案】（1）22143x y -= （2）||=1||PB QB 【解析】【分析】（1）根据已知列关于a ,b ,c 的方程组求解即可；（2）直线联立双曲线方程，写出直线MA ，NA 的方程，然后可得点P ，Q 坐标，将比值问题转化为纵坐标关系，利用韦达定理可得0P Q y y +=，然后可得.【小问1详解】由题知222221691a b c a a b c⎧-=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪+=⎪⎩，解得24a =，23b =，27c =，22143y x ∴-=；【小问2详解】.设直线:(1)l y k x =-，1122(,),(,)M x y N x y ，联立22143(1)x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，则2222(34)84120k x k x k -+--=，则2=144144k ∆-，2122834k x x k -+=-，212241234k x x k --=- ，设直线113:3(4)4y MA y x x --=--，223:3(4)4y NA y x x --=--，令1x =，113334P y y x -=--，223334Q y y x -=--，则12123363()44P Q y y y y x x --+=-+--，因为121212121233(3)(4)(4)(3)44(4)(4)y y y x x y x x x x ----+--+=----1212122(35)()8(3)=(4)(4)kx x k x x k x x -++++--222222222(412)(35)(8)8(3)(34)7272==2(412)4(8)16(34)3636k k k k k k k k k k k ---+-++--=----+--所以12123363()=044P Q y y y y x x --+=-+--，B 为PQ 的中点，所以||=1||PB QB .【点睛】本题难点在于能将所求转化为证明0P Q y y +=的问题，可以通过取特殊方程求解，然后进行合理推测，或者尽量标准作图，通过图象进行猜测，从而确定求解方向.。
南京市金陵中学2020届高三数学检测卷(10)
S←1 For i from 1 to 4 S←S+i End For Print S（第11题）金陵中学2020届高三数学检测卷（10）数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1.已知集合A ＝{x | |x |≤1，x ∈Z }，B ＝{x |0≤x ≤2}，则A ∩B ＝ ▲ ．2.若(a ＋b i)(3－4i)＝25(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a 2＋b 2的值为 ▲ ．3.在某频率分布直方图中，从左往右有10个小矩形，若第一个 小矩形的面积等于其余9个小矩形的面积和的15，且第一组数 据的频数为25，则样本容量为 ▲ ．4.如图伪代码的输出结果为 ▲ ．5.将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为 ▲ ．6．已知函数f (x )＝a sin x ＋b ，x ∈[0，7π6]，的值域为[2，5]，则ab 的值是 ▲ ． 7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2－y 24＝1的一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为 ▲ ．8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ log 2(x ＋1)，x ＞3， 2x －3＋1，x ≤3满足f (a )＝3，则a ＝ ▲ ． 9．在三棱锥P －ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D －ABE 的体积为V 1，三棱锥P －ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝ ▲ ． 10．设点P 是△ABC 所在平面上的一点，点D 是BC 的中点，且BC →＋2BA →＝3BP →，设PD →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝ ▲ ．11．将函数y ＝3sin(π4x )的图象向左平移3个单位，得函数 y ＝3sin(π4x ＋φ)(|φ|＜π)的图象(如图)，点M ，N 分别是函 数f (x )图象上y 轴两侧相邻的最高点和最低点，设∠MON ＝θ，则tan(φ－θ)的值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O :x 2＋y 2＝1，直线1:y ＝x ＋a ，过直线l 上点P 作圆O 的切线PA ，PB ，切点分别为A ､B ，若存在点P 使得PA →＋PB →＝32PO →，则实数a 的取值范围是_____13．已知函数f (x )＝|x ＋1x |－|x －1x|，关于x 的方程f 2(x )＋a |f (x )|＋b ＝0（a ，b ∈R ）恰有6个不同实数解，则a 的取值范围是 ．14．已知f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋ax ，x ≤12ax －5，x ＞1， 若∃x 1，x 2∈R ，x 1≠qx 2，使得f (x 1)＝f (x 2)成立，则实数a 的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos A ＝34，C ＝2A ． (1)求cos B 的值；(2)若ac ＝24，求△ABC 的周长．16．(本小题满分14分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，E ，F 分别是BC ，A 1C 1的中点．(1)证明：EF ∥平面AA 1B 1B ；(2)证明：AB ⊥A 1C ．17．(本小题满分14分)某汽车厂有一条价值为a 万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值．经过市场调查，产品的增加值y 万元与技术改造投入的x万元之间满足：①y 与(a －x )和x 2的乘积成正比；②x ∈(0，2am 2m ＋1]，其中m 是常数．若x ＝a 2时，y ＝a 3． (1)求产品增加值y 关于x 的表达式；(2)求产品增加值y 的最大值及相应的x 的值．18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝4，椭圆C :x 24＋y 2＝1，A 为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴 的直线与椭圆C 交于B ，C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中D (−65，0)．设直线AB ，AC 的斜率分别为k 1，k 2． (1)求k 1k 2的值；(2)记直线PQ ，BC 的斜率分别为k PQ ，k BC ，是否存在常数λ，使得k PQ ＝λk BC ?若存在，求λ值；若不存在，说明理由；(3)求证：直线AC 必过点Q ．19．(本小题满分16分)已知正项数列{a n }的前三项分别为1，3，5，S n 为数列的前n 项和，满足：nS 2n ＋1－(n ＋1)S 2n ＝(n ＋1)(3n 3＋An 2＋Bn )(A ，B ∈R ，n ∈N *)．(1)求A ，B 的值；(2)求数列{S 2n n }的通项公式；(参考公式：12＋22＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)) (3)若数列{b n }满足(n ＋1)a n ＝b 12＋b 222＋…＋b n 2n (n ∈N ＋)，求数列{b n }的通项公式． 20．(本小题满分16分)设a 为实数，已知函数f (x )＝axe x ，g (x )＝x ＋ln x ．(1)当a ＜0时，求函数f (x )的单调区间；(2)设b 为实数，若不等式f (x )≥2x 2＋bx 对任意的a ≥1及任意的x ＞0恒成立，求b 的取值范围；(3)若函数h (x )＝f (x )＋g (x )(x ＞0，x ∈R )有两个相异的零点，求a 的取值范围．15．(1) cos C ＝18． s in A ＝74，sin C ＝378，所以cos B ＝916．(2) a ＝4，c ＝6．b ＝5．16．证明:(1)取AB 的中点O ，连接OE ，OA 1，(2)连接OC ，17．(1)设y ＝f (x )＝k (a －x )x 2，因为当x ＝a 2时，y ＝a 3，所以k ＝8， ·························································· 2分 所以f (x )＝8(a －x )x 2，x ∈(0，2am 2m ＋1]． ······················································· 4分 (2)因为f ′(x )＝－24x 2＋16ax ，令f ′(x )＝0，则x ＝0(舍)，x ＝2a 3． 因为a 2≤2am 2m ＋1，所以m ≥12． ··································································· 6分 ①当2am 2m ＋1≥2a 3，即m ≥1时， 当x ∈(0，2a 3)时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，2a 3)上是增函数， 当x ∈(2a 3，2am 2m ＋1)时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(2a 3，2am 2m ＋1)上是减函数， 所以y max ＝f (2a 3)＝3227a 3； ········································································· 9分 ②当a 2≥2am 2m ＋1＜2a 3，即12≤m ＜1时， 当x ∈(0，2am 2m ＋1)时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，2am 2m ＋1)上是增函数， 所以y max ＝f (2am 2m ＋1)＝32m 2(2m ＋1)3a 3， ·························································· 12分 综上，当m ≥1时，投入2a 3万元，最大增加值3227a 3． 当12≤m ＜1时，投入2am 2m ＋1万元，最大增加值32m 2(2m ＋1)3a 3． ··························· 14分 18．(1)设B (x 0，y 0)，则C (－x 0，－y 0)，x 204＋y 02＝1， 所以k 1k 2＝y 0x 0－2•y 0x 0＋2＝y 20x 20－4＝1－14x 20x 20－2＝−14； ·············································· 2分 (2)联立⎩⎨⎧ y ＝k 1(x －2) x 2＋y 2＝4得(1＋k 21)x 2−4k 21x ＋4(k 21−1)＝0， 解得x P ＝2(k 21－1)1＋k 21，y P ＝k 1(x P −2)＝－4k 11＋k 21， ··················································· 4分 联立⎩⎨⎧ y ＝k 1(x －2) x 2＋4y 2＝4得(1＋4k 21)x 2−16k 21x ＋4(4k 21−1)＝0， 解得x B ＝2(4k 21－1)1＋4k 21，y B ＝k 1(x B −2)＝－4k 11＋4k 21， ·············································· 6分所以k BC ＝y B x B ＝－2k 14k 21－1，k PQ ＝y P x P ＋65＝－4k 11＋k 212(k 21－1)1＋k 21＋65＝－5k 14k 21－1， ···························· 8分 所以k PQ ＝52k BC ， 故存在常数λ＝52，使得k PQ ＝52k B C ． ························································· 10分 (3)证明:当直线PQ 与x 轴垂直时，Q (−65，−85)， 则k AQ ＝－85－65－2＝12＝k 2，所以直线AC 必过点Q ． ······································ 12分 当直线PQ 与x 轴不垂直时，直线PQ 方程为:y ＝－5k 14k 21－1(x ＋65)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－5k 14k 21－1(x ＋65) x 2＋y 2＝4，解得x Q ＝－2(16k 21－1)16k 21＋1，y Q ＝16k 116k 21＋1， ····················································· 14分 所以k AQ ＝16k 116k 21＋1－2(16k 21－1)16k 21＋1－2＝−14k 1＝k 2， 故直线AC 必过点Q ． ·········································································· 16分19．(1)∵正项数列{a n }的前三项分别为1，3，5，S n 为数列的前n 项和，满足：nS 2n ＋1－(n ＋1)S 2n ＝(n ＋1)(3n 3＋An 2＋Bn )(A ，B ∈R ，n ∈N *)．分别令n ＝1，2，可得:S 22－2S 21＝2(3＋A ＋B )，2S 23－3S 22＝3(24＋4A ＋2B )，又S 1＝a 1＝1，a 2＝3，a 3＝5，S 2＝4，S 3＝9．∴42－2×1＝2(3＋A ＋B )，2×92－3×42＝3(24＋4A ＋2B )，化为:⎩⎨⎧ A ＋B ＝4 2A ＋B ＝7，解得A ＝3，B ＝1． ······················································· 4分 (2)由(1)可得:nS 2n ＋1－(n ＋1)S 2n ＝(n ＋1)(3n 3＋3n 2＋n )化为:S 2n ＋1n ＋1－S 2n n＝3n 2＋3n ＋1． ∴当n ≥2时，S 2n n ＝(S 2n n −S 2n －1n －1)＋(S 2n －1n －1−S 2n －2n －2)＋…＋(S 222−S 211)＋S 21 ＝3[(n －1)2＋(n －2)2＋…＋12]＋3(1＋2＋…＋n －1)＋n＝3×(n －1)n (2n －1)6＋3×n (n －1)2＋n ＝n 3． ··········································· 8分 又S 211＝1符合上式，所以S 2n n＝n 3．······························································· 9分(3)由(2)可得：S 2n n＝n 3，S n ＞0，∴S n ＝n 2． n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1． ··········································· 11分∵数列{b n }满足(n ＋1)a n ＝b 12＋b 222＋…＋b n 2n (n ∈N ＋)， 即(n ＋1)(2n －1)＝b 12＋b 222＋…＋b n 2n(n ∈N ＋)， ··············································· 12分 ∴n ＝1时，2＝b 12，解得b 1＝4． ····························································· 14分 当n ≥2时，n (2n －3)＝b 12＋b 222＋…＋b n －12n －1， 可得:b n 2n ＝4n －1，即b n ＝(4n －1)•2n ． ∴b n ＝⎩⎨⎧4，n ＝1，(4n －1)•2n ，n ≥2．····································································· 16分 20．(1)当a ＜0时，因为f ′(x )＝a (x ＋1)e x ，当x ＜－1时，f ′(x )＞0；当x ＞－1时，f ′(x )＜0．所以函数f (x )单调减区间为(－∞，－1)，单调增区间为(－1，＋∞)． ······························································································· 2分(2)由f (x )≥2x 2＋bx ，得axe x ≥2x 2＋bx ，由于x ＞0，所以ae x ≥2x ＋b 对任意的a ≥1及任意的x ＞0恒成立． ································· 3分 由于e x ＞0，所以ae x ≥e x ，所以e x －2x ≥b 对任意的x ＞0恒成立．··················· 5分 设φ(x )＝e x －2x ，x ＞0，则φ′(x )＝e x －2，所以函数φ(x )在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，＋∞)上单调递增，所以φ(x )min ＝φ(ln2)＝2－2ln2，所以b ≤2－2ln2． ··················································································· 8分(3)由h (x )＝axe x ＋x ＋ln x ，得h ′(x )＝a (x ＋1)e x＋1＋1x ＝(x ＋1)(axe x ＋1)x ，其中x ＞0． ①若a ≥0时，则h ′(x )＞0，所以函数h (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以函数h (x )至多有一个零点，不合题意； ········································································ 9分。
2020届江苏省南京市高三数学上学期期初学情调研考试试题Word版含解析
2020届江苏省南京市高三上学期期初学情调研考试数学试题一、填空题1．若集合P ＝{－1，0，1，2}，Q ＝{0，2，3}，则P ∩Q =__________. 【答案】{0，2}【解析】因为交集就是由两个集合的公共元素组成的集合，集合P ＝{－1，0，1，2}，Q ＝{0，2，3}，所以{}0,2P Q ⋂=，故答案为{}0,2.2．若(a ＋b i)(3－4i)＝25 (a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为__________． 【答案】7【解析】()()()()i 34i 3434i=25a b a b b a +-=++-， 34253{{ 3404a b a b a b +==∴⇒-==， 7a b +=，故答案为7.3．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取40名学生进行调查，则应从丙专业抽取的学生人数为__________． 【答案】16 【解析】试题分析：因为高校甲乙丙丁四个专业分别有150150400300，，，名学生，所以本校共有学生1000名，因为用分层抽样的方法从该校四个专业共抽取40名学生进行调查，所以每个个体被抽到的概率是401100025=，因为丙专业有400人，所以要抽取14001625⨯=人．【考点】分层抽样．4．如图所示的算法流程图，若输出y 的值为，则输入x 的值为__________．【解析】该程序框图表示的是函数()()22,0{log ,0x x f x x x <=-≥，若()21log 2x -=，则0x =≥，不合题意，若1log22x =，则0x =<合题意，故输入的x值为，故答案为. 5．记函数f (x )＝的定义域为D ．若在区间[－5，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率为__________． 【答案】12【解析】由2430x x --≥，得23x -≤≤，因为[]4,1D =-，所以由几何概型概率公式得，在区间上随机取一个数x ，则x D ∈的概率()()411552P --==--，故答案为12.【方法点睛】本题題主要考查“区间型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，区间型，求与区间有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总区间以及事件的区间；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.6．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线－＝1的焦点到其渐近线的距离为__________． 【答案】3【解析】双曲线方程为221169x y -=， 216925c ∴=+=，焦点坐标为()5,0，渐近线方程为 340x y -=，由点到直线距离公式得双曲线221169x y -=的焦点到其渐近线的距离为： 15035d -==，故答案为3.7．已知实数x ，y 满足条件则z =3x －2y 的最大值为__________．【答案】6【解析】画出24{3 8x y x y ≤≤≥+≤表示的可行域如图，平移直线3122y x z =+，由图知，当直线过点()4,3A 时， 32z x y=-有最大值6，故答案为6.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8．将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为27πcm 3，则该圆柱的侧面积为___________cm 2. 【答案】18【解析】设正方体棱长为a ，则正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为2327,3a a a a πππ⨯===，圆柱侧面积22218S a a a πππ=⨯==，故答案为18π.9．若函数f (x )＝A sin(x ＋)(A ＞0，＞0，||)的部分图象如图所示，则f (－π)的值为__________．【答案】-1【解析】由图可知， 2A =，322,34443T T πππππωω=-===⇒=，又由2034πϕ⨯+=，得6πϕ=-， ()()222,213636f x sin x f sin ππππ⎛⎫⎛⎫∴=--=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为1-.【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图像求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用利用图像先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求出ϕ，正确求ωϕ，使解题的关键.求解析时求参数ϕ是确定函数解析式的关键，由特殊点求ϕ时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点， 用五点法求ϕ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点) 时0x ωϕ+=；“第二点”(即图象的“峰点”) 时2x πωϕ+=；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点) 时x ωϕπ+=；“第四点”(即图象的“谷点”) 时32x πωϕ+=；“第五点”时2x ωϕπ+=.10．记等差数列{a n }前n 项和为S n ．若a m ＝10，S 2m －1＝110， 则m 的值为__________．【答案】6 【解析】{}n a 是等差数列，()()()2112212110211102m m m a a S m m a m -+∴=⨯-=-=-=，可得6m =，故答案为6.11．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在(－∞，0]上为单调增函数．若f (－1)＝－2，则满足f (2x －3)≤2的x 的取值范围是__________． 【答案】(－∞，2] 【解析】()f x 是定义在R 上的奇函数，且在(－∞，0]上为单调增函数， ()f x ∴在()0,+∞也是增函数，即()f x 在R 上递增，又()()()()12,12,2321f f f x f -=-∴=∴-≤=， 231,2x x -≤≤，即满足()232f x -≤的x 的取值范围是(],2-∞，故答案为(],2-∞.12．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120＝λ．若·＝－，则实数λ的值为__________．【答案】13【解析】3,2,120A B A C B A C ==∠=,∴由余弦定理可得BC =，又根据余弦定理可得cosABC ∠=， ()2AM BC BM BA BC BC BA BC λ⋅=-⋅=-⋅ 171933λ=-=-，解得13λ=，故答案为13. 13．在平面直角坐标系xOy 中，若圆(x －2)2＋(y －2)2＝1上存在点M ，使得点M 关于x 轴的对称点N 在直线kx ＋y ＋3＝0上，则实数k 的最小值为__________． 【答案】－43【解析】M 在()()22221x y -+-=， ∴可设()2cos ,2M sin θθ++，可得()2cos ,2N sin θθ+--，将N 的坐标代入30kx y ++=，可得cos 21sin k k θθ-=+， 21k +≤，化为得24340,03k k k +≤-≤≤， k 的最小值为43-，故答案为43-.14．已知函数f (x )＝若存在唯一的整数x ，使得＞0成立，则实数a 的取值范围为__________．【答案】[0，2]∪[3，8]【解析】()()0f x a f x a xx --=-表示()y f x =上的点()(),x f x 与()0,a 在线的斜率，做出()y f x =的图象，由图可知， []0,2a ∈时，有一个点整数点()()1,1f 满足()00f x a x ->-，符合题意， ()2,3a ∈时，有两个整数点()()()()1,1,1,1f f --满足()00f x a x ->-，不合题意， []3,8a ∈时，只有一个点()()1,1f --满足()00f x a x ->-符合题意，当8a >时，至少存在两点()()()()1,1,2,2f f ----满足()00f x a x ->-不合题意，故答案为[][]0,23,8⋃.【方法点睛】本题主要考查不等式的整数解、数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.二、解答题 15．（本小题满分14分）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，E 是BC 的中点，求证： （Ⅰ）平面AB 1E ⊥平面B 1BCC 1； （Ⅱ）A 1C //平面AB 1E ．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）先根据直棱柱的性质，可得AE ⊥平面ABC ，可得1CC AE ⊥，再根据等腰三角形性质可得AE BC ⊥，从而可得AE ⊥平面11B BCC ，进而得出结果；（2）连接1A B ，设11A B AB F ⋂=，连接EF ，由平行四边形的性质结合中位线定理可得1//EF A C .根据线面平行的判定定理可得结果. 试题解析：（1）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1ABC ．因为AE ⊥平面ABC ，所以CC 1⊥AE ．因为AB ＝AC ，E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC ． 因为BC 在平面B 1BCC 1，内，CC 1在平面B 1BCC 1内 且BC ∩CC 1＝C ，所以AE ⊥平面B 1BCC 1． 因为AE 在平面AB 1E 内所以平面AB 1E ⊥平面B 1BCC 1. （2）连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1＝F ，连接EF ．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形AA 1B 1B 为平行四边形， 所以F 为A 1B 的中点． 又因为E 是BC 的中点，所以EF ∥A 1C ．因为EF 在平面AB 1E 内，A 1C 不在平面AB 1E 内， 所以A 1C ∥平面AB 1E .【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理以及线面垂直、面面垂直的判定，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（2）是就是利用方法①证明的. 16．（本小题满分14分） 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos B ＝． （Ⅰ）若c ＝2a ，求的值；（Ⅱ）若C －B ＝，求sin A 的值．【答案】（1（2【解析】试题分析：（1）由余弦定理结合2c a =；可得10，再由正弦定理可得结果；（2）先由4cos 5B =，根据二倍角公式可得73cos2,2255B sin B ==，则3s i n 24A s i n B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据两角差的正弦公式可得结果. 试题解析：（1）解法1在△ABC 中，因为cos B ＝，所以＝．因为c ＝2a ，所以＝，即＝，所以＝．又由正弦定理得＝，所以＝．解法2因为cos B ＝，B ∈(0)，所以sin B ＝＝．因为c ＝2a ，由正弦定理得sin C ＝2sin A ，所以sin C ＝2sin(B ＋C )＝cos C ＋sin C ， 即－sin C ＝2cos C ． 又因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，sin C ＞0，解得sin C ＝，所以＝．（2）因为cos B ＝，所以cos2B ＝2cos 2B －1＝． 又0＜B ＜π，所以sin B ＝＝，所以sin2B ＝2sin B cos B ＝2××＝． 因为C －B ＝，即C ＝B ＋，所以A ＝π－(B ＋C )＝－2B ，所以sin A ＝sin(－2B ) ＝sin cos2B －cossin2B＝×－(－)×＝．17．（本小题满分14分）某工厂有100名工人接受了生产1000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置．现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x 人，他们加工完甲型装置所需时间为t 1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t 2小时． 设f (x )＝t 1＋t 2．（Ⅰ）求f (x )的解析式，并写出其定义域； （Ⅱ）当x 等于多少时，f (x )取得最小值？ 【答案】（1）f (x )＝t 1＋t 2＝9000x ＋1000100x-，定义域为{x |1≤x ≤99，x ∈N}（2）75 【解析】试题分析：（1）由19000t x =且()2300010003100100t x x ==--， 可得()1290001000100f x t t x x=+=+-,根据实际意义可得定义域；（2）()f x 化为()()910091101001010100100x x x x x x x x ⎡⎤-⎛⎫⎡⎤+-+=++⎢⎥ ⎪⎣⎦--⎝⎭⎣⎦，根据基本不等式可得结果. 试题解析：（1）因为t 1＝，t 2＝＝， 所以f (x )＝t 1＋t 2＝＋，定义域为{x |1≤x ≤99，x ∈N}． （2）f (x )＝1000(＋)＝10[x ＋(100－x )](＋)＝10[10＋＋]．因为1≤x ≤99，x ∈N ，所以＞0，＞0，所以＋≥2＝6，当且仅当＝，即当x ＝75时取等号．答：当x ＝75时，f (x )取得最小值．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0)的离心率为，且过点(1，)．过椭圆C的左顶点A 作直线交椭圆C 于另一点P ，交直线l ：x ＝m (m ＞a )于点M ．已知点B (1，0)，直线PB 交l 于点N ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若MB 是线段PN 的垂直平分线，求实数m 的值．【答案】（1）24x ＋y 2＝1（2【解析】试题分析：（1）根据题意列出关于a 、b 、c 的方程组，结合性质222a b c =+ ， 222a c b =+ ，求出a 、b 、c ，即可得结果；（2）设()00,P x y ，则()002,N x y --,所以02x m -=．可得直线AP 的方程为()0022y y x x =++，根据1PB MB k k ⋅=-可得231040m m -+=，解方程即可得结果. 试题解析：（1）因为椭圆C 的离心率为，所以a 2＝4b 2．又因为椭圆C 过点(1，)，所以＋＝1，解得a 2＝4，b 2＝1．所以椭圆C 的方程为＋y 2＝1． （2）解法1设P (x 0，y 0)，－2＜x 0＜2， x 0≠1，则＋y 02＝1．因为MB 是PN 的垂直平分线，所以P 关于B 的对称点N (2－x 0，－y 0)， 所以2－x 0＝m ． 由A (－2，0)，P (x 0，y 0)，可得直线AP 的方程为y ＝ (x ＋2)，令x ＝m ，得y ＝，即M (m ，)．因为PB ⊥MB ，所以k PB ·k MB ＝－1，所以k PB ·k MB ＝·＝－1， 即＝－1．因为＋y 02＝1．所以＝1．因为x 0＝2－m ，所以化简得3m 2－10m ＋4＝0， 解得m ＝．因为m ＞2，所以m ＝．解法2①当AP 的斜率不存在或为0时，不满足条件． ②设AP 斜率为k ，则AP ：y ＝k (x ＋2)，联立消去y 得(4k 2＋1)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0．因为x A ＝－2，所以x P ＝，所以y P ＝，所以P (，)．因为PN 的中点为B ，所以m ＝2－＝．()因为AP 交直线l 于点M ，所以M (m ，k (m ＋2))， 因为直线PB 与x 轴不垂直，所以≠1，即k 2≠，所以k PB ＝＝，k MB ＝．因为PB ⊥MB ，所以k PB ·k MB ＝－1， 所以·＝－1．（）将()代入（），化简得48k 4－32k 2＋1＝0， 解得k 2＝，所以m ＝＝．又因为m ＞2，所以m ＝．19．（本小题满分16分） 已知函数f (x )＝2x 3－3(a +1)x 2＋6ax ，a ∈R ．（Ⅰ）曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为3，求a 的值；（Ⅱ）若对于任意x ∈(0，+∞)，f (x )＋f (－x )≥12ln x 恒成立，求a 的取值范围； （Ⅲ）若a ＞1，设函数f (x )在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M (a )、m (a )， 记h (a )＝M (a )－m (a )，求h (a )的最小值． 【答案】（1）12（2）(－∞，－1－1e ]（3）827【解析】试题分析：（1）求出()'f x ，由()'063f a==可得结果；（2）对于任意()()()0,,12ln x f x f x x ∈+∞+-≥恒成立等价于()()22ln 1xa g x x -+≥=，利用导数研究函数的单调性，求得()max 1g x ge ==，从而可得结果；（3）分三种情况讨论：①当513a <≤，②当523a <<，③当2a ≥分别求出()h a 的最小值，再比较大小即可得结果.试题解析：（1）因为f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ，所以f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ，所以曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线斜率k ＝f ′(0)＝6a ， 所以6a ＝3，所以a ＝．（2）f(x)＋f(－x)＝－6(a＋1)x2≥12ln x对任意x∈(0，+∞)恒成立，所以－(a＋1)≥．令g(x)＝，x＞0，则g(x)＝．令g(x)＝0，解得x＝．当x∈(0，)时，g(x)＞0，所以g(x)在(0，)上单调递增；当x∈(，＋∞)时，g(x)＜0，所以g(x)在(，＋∞)上单调递减．所以g(x)max＝g()＝，所以－(a＋1)≥，即a≤－1－，所以a的取值范围为(－∞，－1－]．（3）因为f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax，所以f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－1)(x－a)，f(1)＝3a－1，f(2)＝4．令f′(x)＝0，则x＝1或a．f(1)＝3a－1，f(2)＝4．①当1＜a≤时，当x∈(1，a)时，f (x)＜0，所以f(x)在(1，a)上单调递减；当x∈(a，2)时，f (x)＞0，所以f(x)在(a，2)上单调递增．又因为f(1)≤f(2)，所以M(a)＝f(2)＝4，m(a)＝f(a)＝－a3＋3a2，所以h(a)＝M(a)－m(a)＝4－(－a3＋3a2)＝a3－3a2＋4．因为h (a)＝3a2－6a＝3a(a－2)＜0，所以h(a)在(1，]上单调递减，所以当a∈(1，]时，h(a)最小值为h()＝．②当＜a＜2时，当x∈(1，a)时，f (x)＜0，所以f(x)在(1，a)上单调递减；当x∈(a，2)时，f (x)＞0，所以f(x)在(a，2)上单调递增．又因为f(1)＞f(2)，所以M(a)＝f(1)＝3a－1，m(a)＝f(a)＝－a3＋3a2，所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a－1－(－a3＋3a2)＝a3－3a2＋3a－1．因为h (a)＝3a2－6a＋3＝3(a－1)2≥0．所以h(a)在(，2)上单调递增，所以当a∈(，2)时，h(a)＞h()＝．③当a≥2时，当x ∈(1，2)时，f (x )＜0，所以f (x )在(1，2)上单调递减， 所以M (a )＝f (1)＝3a －1，m (a )＝f (2)＝4， 所以h (a )＝M (a )－m (a )＝3a －1－4＝3a －5， 所以h (a )在[2，＋∞)上的最小值为h (2)＝1． 综上，h (a )的最小值为．【方法点晴】本题主要考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x =图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数.20．(本小题满分16分)已知数列{a n }的各项均为正数，记数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n 2}的前n 项和为T n ，且3T n ＝S n 2＋2S n ，n ∈N ．（Ⅰ）求a 1的值；（Ⅱ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅲ）若k ，t ∈N ，且S 1，S k －S 1，S t －S k 成等比数列，求k 和t 的值．【答案】（1）1（2）a n ＝2n －1，n ∈N(3) k ＝2，t ＝3【解析】试题分析：（1）由211132T S S =+，得2211132a a a =+，解方程即可得结果；（2）因为2211132,32n n n n n n T S S T S S +++=+=+，两式相减可得1132n n n a S S ++=++再得22132n n n a S S +++=++，再相减可得{}n a 是等差数列，从而可得结果；(3)由(2)可知21nn S =-，根据11,,k t k S S S S S --成等比数列可得()221222321t k k ---=-⨯+，只需证明以上等式无整数解即可.试题解析：（1）由3T 1＝S 12＋2S 1，得3a 12＝a 12＋2a 1，即a 12－a 1＝0． 因为a 1＞0，所以a 1＝1．（2）因为3T n ＝S n 2＋2S n ， ①所以3T n ＋1＝S n ＋12＋2S n ＋1，②②－①，得3a n ＋12＝S n ＋12－S n 2＋2a n ＋1． 因为a n ＋1＞0，所以3a n ＋1＝S n ＋1＋S n ＋2， ③ 所以3a n ＋2=S n ＋2＋S n ＋1＋2，④④－③，得3a n ＋2－3a n ＋1＝a n ＋2＋a n ＋1，即a n ＋2＝2a n ＋1， 所以当n ≥2时，＝2．又由3T 2＝S 22＋2S 2，得3(1＋a 22)＝(1＋a 2)2＋2(1＋a 2)，即a 22－2a 2＝0．因为a 2＞0，所以a 2＝2，所以＝2，所以对n ∈N ，都有＝2成立，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N ．(3)由(2)可知S n ＝2n－1．因为S 1，S k －S 1，S t －S k 成等比数列，所以(S k －S 1)2＝S 1(S t －S k )，即(2k －2)2＝2t －2k，所以2t ＝(2k )2－32k ＋4，即2t －2＝(2k －1)2－32k －2＋1()． 由于S k －S 1≠0，所以k ≠1，即k ≥2．当k ＝2时，2t＝8，得t ＝3．当k ≥3时，由()，得(2k －1)2－32k －2＋1为奇数，所以t －2＝0，即t ＝2，代入()得22k －2－32k －2＝0，即2k＝3，此时k 无正整数解． 综上，k ＝2，t ＝3． 21．(1)．选修4—1：几何证明选讲如图，CD 是圆O 的切线，切点为D ，CA 是过圆心O 的割线且交圆O 于点B ，DA ＝DC ．求证： CA ＝3CB ．(2)．选修4—2：矩阵与变换 设二阶矩阵A ＝．（Ⅰ）求A －1；（Ⅱ）若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下得到曲线C 6x 2－y 2＝1，求曲线C 的方程．(3)．选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数），圆C 的参数方程为（θ为参数）．若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．(4)．选修4—5：不等式选讲 解不等式：|x －2|＋|x ＋1|≥5．【答案】（1）见解析（2）（Ⅰ）213122-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）8y 2－3x 2＝1（3）14）(－∞，－2]∪[3，＋∞). 【解析】试题分析：（1）连接OD ，,DA DC DAO C =∴∠=∠, CD 为圆O 的切线，90ODC ∴∠=， 从而90DOC C +=,可得,3CB OB CA CB =∴=，进而可得结果；（2）曲线C 上任意一点(),P x y 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(),P x y ， 2{ 34x x yy x y=+=+，代入2261x y -=，即可得结果；（3）先求直线l 的普通方程与圆C 的普通方程，利用圆心到直线的距离等于半径可得结果；（4）分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得结果.试题解析：（1）证明：连接OD ，因为DA =DC ，所以∠DAO=∠C．在圆O中，AO=DO，所以∠DAO=∠ADO，所以∠DOC=2∠DAO=2∠C．因为CD为圆O的切线，所以∠ODC=90°，DOC C＝90°，即2∠C＋∠C＝90°，故∠C＝30°，所以OC＝2OD＝2OB，所以CB＝OB，所以CA＝3CB．（2）（Ⅰ）根据逆矩阵公式，可得A－1＝．（Ⅱ）设曲线C上任意一点P(x，y)在矩阵A对应的变换作用下得到点P (x，y)，则＝＝，所以因为(x y)在曲线C6x2－y2＝1，代入6(x＋2y)2－(3x＋4y)2＝1，化简得8y2－3x2＝1，所以曲线C的方程为8y2－3x2＝1（3）由直线l的参数方程为，得直线l的普通方程为x－y＋1＝0．由圆C的参数方程为，得圆C的普通方程为(x－a)2+(y－2a)2＝1．因为直线l与圆C相切，所以＝1，解得a＝1±．所以实数a的值为1±．（4）(1)当x＜－1时，不等式可化为－x＋2－x－1≥5，解得x≤－2；(2)当－1≤x≤2时，不等式可化为－x＋2＋x＋1≥5，此时不等式无解；(3)当x＞2时，不等式可化为x－2＋x＋1≥5，解得x≥3；所以原不等式的解集为(－∞，－2]∪[3，＋∞).22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，AP＝AB＝AD＝1．（Ⅰ）若直线PB与CD所成角的大小为，求BC的长；（Ⅱ）求二面角B－PD－A的余弦值．【答案】（1）2（2【解析】试题分析：（1）以{},,AB AD AP 为单位正交基底，建立空间直角坐标系A xyz -．设()1,,0C y ，则()()1,0,1,1,1,0PB CD y =-=--，利用空间向量夹角余弦公式列方程求解即可；（2）分别求出平面PBD 与平面PAD 的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.试题解析：以{},,AB AD AP 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ．因为AP ＝AB ＝AD ＝1，所以A (0，0，0)，B (1，0，0)，D (0，1，0)，P (0，0，1)．设C (1，y ，0)，则＝(1，0，－1)，＝(－1，1－y ，0)． …………………2分因为直线PB 与CD 所成角大小为，所以|cos ＜，＞|＝||＝，即＝，解得y ＝2或y ＝0（舍）， 所以C (1，2，0)，所以BC 的长为2．（2）设平面PBD 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )． 因为＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1)，则即令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，所以n 1＝(1，1，1)． 因为平面PAD 的一个法向量为n 2＝(1，0，0)， 所以cos ＜n 1，n 2＞＝＝，所以，由图可知二面角B －PD －A 的余弦值为．23．（本小题满分10分）袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有4个，分别编号为1，2，3，4．现从袋中随机取两个球．（Ⅰ）若两个球颜色不同，求不同取法的种数；（Ⅱ）在（1）的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量X ，求随机变量X 的概率分布与数学期望． 【答案】（1）96（2）见解析 【解析】试题分析：（1）利用组合知识及分步计数乘法原理可得结果；（2）随机变量X 所有可能的值为0，1，2，3．分别求出各随机变量的概率，从而可得分布列，由期望公式可得结果. 试题解析：（1）两个球颜色不同的情况共有C 42＝96(种).（2）随机变量X 所有可能的值为0，1，2，3．P (X ＝0)＝＝，P (X ＝1)＝＝，P (X ＝2)＝＝，P (X ＝3)＝＝．所以随机变量X 的概率分布列为：所以E (X )＝0＋1＋2＋3＝．。
2021届江苏省南京市金陵中学高三上学期学情调研测试(一)数学试题含答案
金陵中学2021届高三年级学情调研测试（一）数学试卷命题人：审核：一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上．1. 已知集合A ＝{x |x 2－3x －4＞0}，B ＝{x |ln x ＞0}，则(∁R A )∩B ＝ ( )A ．B ．(0，4]C ．(1，4]D ．(4，＋∞)2. 设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的 ( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3. 下列命题中正确的是 ( )A ．若a ＞b ，则ac ＞bcB ．若a ＞b ，c ＞d ，则a －c ＞b －dC ．若ab ＞0，a ＞b ，则1a ＜1bD ．若a ＞b ，c ＞d ，则a c ＞bd4. 已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18，S 3－a 1＝34，则S 5＝ ( )A ．3132B ．3116C ．318D ．3145. (x －1)(2x ＋1)10的展开式中x 10的系数为 ( )A ．－512B ．1024C ．4096D ．51206. 某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N (105，σ2)(σ＞0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为( ) A ．150B ．200C ．300D ．4007. 如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝6，则此抛物线方程为 ( ) A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3x D ．y 2＝3x8. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为P ，直线l ：4x －3y ＝0与椭圆C 相交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝6，点P 到直线l 的距离不小于65，则椭圆离心率的取值范围是 ( ) A ．(0，59]B ．(0，32]C ．(0，53]D ．(13，32]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9. 若函数f (x )＝sin(2x －π3)与g (x )＝cos(x ＋π4)都在区间(a ，b )(0＜a ＜b ＜π)上单调递减，则b －a 的可能取值为 ( ) A ．π6B ．π3C ．π2D ．5π1210. 下列说法中正确的是 ( )A ．设随机变量X 服从二项分布B ⎝⎛⎭⎫6，12，则P (X ＝3)＝516B ．已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)且P (X ＜4)＝0.9，则P (0＜X ＜2)＝0.4C ．E (2X ＋3)＝2E (X )＋3；D (2X ＋3)＝2D (X )＋3D ．已知随机变量ξ满足P (ξ＝0)＝x ，P (ξ＝1)＝1－x ，若0＜x ＜12，则E (ξ)随着x 的增大而减小，D (ξ)随着x 的增大而增大11. 下列四个命题中，是真命题的是 ( )A ．∀x ∈R ，且x ≠0，x ＋1x ≥2 B ．若x ＞0，y ＞0，则x 2＋y 22≥2xy x ＋yC ．函数f (x )＝x ＋2－x 2值域为[－2，2]D ．已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋9x ＋a －a 在区间[1，9]上的最大值是10，则实数a 的取值范围为[－8，＋∞)12. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是 ( ) A ．a 6＝8B ．S 7＝33C ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2019＝a 2022D ．a 21＋a 22＋…＋a 22019a 2019＝a 2020三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知向量→a ＝(2，－6)，→b ＝(3，m )，若|→a ＋→b |＝|→a －→b |，则m ＝▲________．14. 三月份抗疫期间，我校团委安排高一学生2人、高二学生2人、高三学生1人参加A 、B 、C 三个社区志愿点的活动，要求每个活动点至少1人，最多2人参与，同一个年级的学生不去同一个志愿点，高三学生不去A 志愿点，则不同的安排方法有▲________种(用数字作答)．15. 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个与各个面均相切的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，则AA 1的长度为▲________．16. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧k (1－2x)，x ＜0，x 2－2k ，x ≥0，若函数g (x )＝f (－x )＋f (x )有且仅有四个不同的零点，则实数k的取值范围是▲________．四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分．17. 现给出两个条件：①2c －3b ＝2a cos B ，②(2b －3c )cos A ＝3a cos C ，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，________． (1)求A ；(2)若a ＝3－1，求△ABC 周长的最大值．18. 已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S n 2＝a n (S n －12)．(1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n2n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n ．19. 如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点． (1)证明：MN ∥平面PAB ；(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．20. 成都市现在已是拥有1 400多万人口的城市，机动车保有量已达450多万辆，成年人中约40%拥有机动车驾驶证．为了解本市成年人的交通安全意识情况，某中学的同学利用国庆假期进行了一次全市成年人安全知识抽样调查．先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了200名成年人，然后对这200人进行问卷调查．这200人所得的分数都分布在[30，100]范围内，规定分数在80以上(含80)的为“具有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如图所示．拥有驾驶证 没有驾驶证 总计具有很强安全意识 不具有很强安全意识58 总计200驾驶证有关?(2)将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取4人，记“具有很强安全意识”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．附表及公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ．21. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，点(1，32)在椭圆C上，点A (－3c ，0)满足以AF 2为直径的圆过椭圆的上顶点B ． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线过右焦点F 2且与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在点P (t ，0)使得PM →·PN →为定值?如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由．22. 已知f (x )＝ax 3－3x 2＋1(a ＞0)，定义h (x )＝max{f (x )，g (x )}＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≥g (x )，g (x )，f (x )＜g (x )． (1)求函数f (x )的极小值；(2)若g (x )＝xf '(x )，且存在x ∈[1，2]使h (x )＝f (x )，求实数a 的取值范围； (3)若g (x )＝ln x ，试讨论函数h (x )(x ＞0)的零点个数．金陵中学高三年级学情调研测试（一）数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上．1. 已知集合A ＝{x |x 2－3x －4＞0}，B ＝{x |ln x ＞0}，则(∁R A )∩B ＝( )A ．B ．(0，4]C ．(1，4]D ．(4，＋∞)答案：C2. 设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案：C3. 下列命题中正确的是( )A ．若a ＞b ，则ac ＞bcB ．若a ＞b ，c ＞d ，则a －c ＞b －dC ．若ab ＞0，a ＞b ，则1a ＜1bD ．若a ＞b ，c ＞d ，则a c ＞bd答案：C4. 已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18，S 3－a 1＝34，则S 5＝( )A ．3132B ．3116C ．318D ．314答案：B5. (x －1)(2x ＋1)10的展开式中x 10的系数为( )A ．－512B ．1024C ．4096D ．5120答案：C6. 某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N (105，σ2)(σ＞0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为( ) A ．150B ．200C ．300D ．400答案：C7. 如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝6，则此抛物线方程为( ) A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x答案：B8. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为P ，直线l ：4x －3y ＝0与椭圆C 相交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝6，点P 到直线l 的距离不小于65，则椭圆离心率的取值范围是( ) A ．(0，59]B ．(0，32]C ．(0，53]D ．(13，32]答案：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9. 若函数f (x )＝sin(2x －π3)与g (x )＝cos(x ＋π4)都在区间(a ，b )(0＜a ＜b ＜π)上单调递减，则b －a 的可能取值为( ) A ．π6B ．π3C ．π2D ．5π12答案：AB10. 下列说法中正确的是( )A ．设随机变量X 服从二项分布B ⎝⎛⎭⎫6，12，则P (X ＝3)＝516B ．已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)且P (X ＜4)＝0.9，则P (0＜X ＜2)＝0.4C ．E (2X ＋3)＝2E (X )＋3；D (2X ＋3)＝2D (X )＋3D ．已知随机变量ξ满足P (ξ＝0)＝x ，P (ξ＝1)＝1－x ，若0＜x ＜12，则E (ξ)随着x 的增大而减小，D (ξ)随着x 的增大而增大 答案：ABD11. 下列四个命题中，是真命题的是( )A ．∀x ∈R ，且x ≠0，x ＋1x ≥2 B ．若x ＞0，y ＞0，则x 2＋y 22≥2xy x ＋yC ．函数f (x )＝x ＋2－x 2值域为[－2，2]D ．已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋9x ＋a －a 在区间[1，9]上的最大值是10，则实数a 的取值范围为[－8，＋∞) 答案：BCD12. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是( ) A ．a 6＝8B ．S 7＝33C ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2019＝a 2022D ．a 21＋a 22＋…＋a 22019a 2019＝a 2020 答案：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知向量→a ＝(2，－6)，→b ＝(3，m )，若|→a ＋→b |＝|→a －→b |，则m ＝▲________． 答案：114. 三月份抗疫期间，我校团委安排高一学生2人、高二学生2人、高三学生1人参加A 、B 、C 三个社区志愿点的活动，要求每个活动点至少1人，最多2人参与，同一个年级的学生不去同一个志愿点，高三学生不去A 志愿点，则不同的安排方法有▲________种(用数字作答)． 答案：4015. 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个与各个面均相切的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，则AA 1的长度为▲________． 答案：416. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧k (1－2x)，x ＜0，x 2－2k ，x ≥0，若函数g (x )＝f (－x )＋f (x )有且仅有四个不同的零点，则实数k的取值范围是▲________． 答案：(27，＋∞)四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分．17. 现给出两个条件：①2c －3b ＝2a cos B ，②(2b －3c )cos A ＝3a cos C ，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，________． (1)求A ；(2)若a ＝3－1，求△ABC 周长的最大值．解析：若选择条件①2c －3b ＝2a cos B ．(1)由余弦定理可得2c －3b ＝2a cos B ＝2a ·a 2＋c 2－b 22ac ，整理得c 2＋b 2－a 2＝3bc ，………2分可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3bc 2bc ＝32．…………………………………………………3分 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π6． …………………………………………………………5分 (2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得(3－1)2＝b 2＋c 2－2bc ·32，………6分 即4－23＝b 2＋c 2－3bc ＝(b ＋c )2－(2＋3)bc ，亦即(2＋3)bc ＝(b ＋c )2－(4－23)， 因为bc ≤(b ＋c )24，当且仅当b ＝c 时取等号， 所以(b ＋c )2－(4－23)≤(2＋3)×(b ＋c )24，解得b ＋c ≤22，…………………………………………………………8分 当且仅当b ＝c ＝2时取等号． 所以a ＋b ＋c ≤22＋3－1，即△ABC 周长的最大值为22＋3－1．…………………………………………………10分 若选择条件②(2b －3c )cos A ＝3a cos C ． (1)由条件得2b cos A ＝3a cos C ＋3c cos A ，由正弦定理得2sin B cos A ＝3(sin A cos C ＋sin C cos A )＝3sin(A ＋C )＝3sin B ．………2分 因为sin B ≠0，所以cos A ＝32，…………………………………………………3分 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π6． (2)同上18. 已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S n 2＝a n (S n －12)．(1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n2n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 解析：(1)因为S n 2＝a n (S n －12)，当n ≥2时，S n 2＝(S n －S n －1)(S n －12)，即2S n －1S n ＝S n －1－S n ．①…………2分 由题意得S n －1·S n ≠0，所以1S n －1S n －1＝2， 即数列{1S n }是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列．…………5分所以1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，得S n ＝12n －1． …………………………………………7分(2)易得b n ＝S n 2n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)……………………………8分 ＝12(12n －1－12n ＋1)，……………………………10分所以T n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12(1－12n ＋1)＝n2n ＋1． …………………………………12分19. 如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点． (1)证明：MN ∥平面PAB ；(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．(1)证明：取BP 的中点T ，连接AT ，TN ．由N 为PC 的中点，知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2．又AD ∥BC ，AM ＝23AD ＝2，所以TN _∥AM ，因此四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT ． …………………………………3分因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB ． …………………………………5分(2)取BC 的中点E ，连接AE ．由AB ＝AC ，得AE ⊥BC ，因为AD ∥BC ，所以AE ⊥AD ，AE ＝AB 2－BE 2＝AB 2－⎝⎛⎭⎫BC 22＝5．以A 为原点，AE ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A －xyz ．由题意知，P (0，0，4)，M (0，2，0)，C (5，2，0)，N ⎝⎛⎭⎫52，1，2，PM →＝(0，2，－4)，PN →＝⎝⎛⎭⎫52，1，－2，AN →＝⎝⎛⎭⎫52，1，2．…………………………………7分设n ＝(x ，y ，z )为平面PMN 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PM →＝0，n ·PN →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －4z ＝0，52x ＋y －2z ＝0，可取n ＝(0，2，1)．……………………………………………………………………9分于是|cos ＜n ，AN →＞|＝|n ·AN →||n |·|AN →|＝8525．…………………………………11分设AN 与平面PMN 所成角为θ，则sin θ＝8525，即直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为8525． …………………………………12分20. 成都市现在已是拥有1 400多万人口的城市，机动车保有量已达450多万辆，成年人中约40%拥有机动车驾驶证．为了解本市成年人的交通安全意识情况，某中学的同学利用国庆假期进行了一次全市成年人安全知识抽样调查．先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了200名成年人，然后对这200人进行问卷调查．这200人所得的分数都分布在[30，100]范围内，规定分数在80以上(含80)的为“具有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如图所示．拥有驾驶证 没有驾驶证 总计具有很强安全意识 不具有很强安全意识58 总计200(1)补全上面的驾驶证有关?(2)将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取4人，记“具有很强安全意识”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．附表及公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ．解：(1)200人中拥有驾驶证的占40%，有80人，没有驾驶证的有120人；具有很强安全意识的占20%，有40人，不具有很强安全意识的有160人．补全的2×2列联表如表所示：计算得K 2＝200×(22×102－18×58)240×80×160×120＝7516＝4.6875＞3.841， 所以有超过95%的把握认为“具有很强安全意识”与拥有驾驶证有关． …………………………………5分(2)由频率分布直方图中数据可知，抽到的每个成年人“具有很强安全意识”的概率为15，所以X ＝0，1，2，3，4，且X ~B ⎝⎛⎭⎫4，15．于是P (X ＝k )＝C k 4·⎝⎛⎭⎫15k ·⎝⎛⎭⎫454－k(k ＝0，1，2，3，4)，X 的分布列为0分 所以E (X )＝4×15＝45．答：X 的数学期望为45． …………………………………12分 21. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，点(1，32)在椭圆C上，点A (－3c ，0)满足以AF 2为直径的圆过椭圆的上顶点B ． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线过右焦点F 2且与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在点P (t ，0)使得PM →·PN →为定值?如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由． 解析：(1)因为点(1，32)在椭圆C 上，所以1a 2＋94b 2＝1．又点A (－3c ，0)满足以AF 2为直径的圆过椭圆的上顶点B ，所以AB ⊥BF 2，即AB →·BF 2→＝(3c ，b )·(c ，－b )＝0，即b 2＝3c 2．又a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝3．所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1． …………………………………4分 (2)易得右焦点F 2(1，0)，假设存在点P (t ，0)满足要求．①当直线MN 的斜率不为0时，设直线MM 的方程为x ＝my ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧x ＝my ＋1，3x 2＋4y 2＝1，整理可得(4＋3m 2)y 2＋6my －9＝0，则y 1＋y 2＝－6m 4＋3m 2，y 1·y 2＝－94＋3m 2，所以x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝84＋3m 2，x 1x 2＝m 2y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＋1＝－9m 24＋3m 2＋－6m 24＋3m 2＋1＝4－12m 24＋3m 2．…………………………………6分因为PM →·PN →＝(x 1－t ，y 1)·(x 2－t ，y 2)＝x 1x 2－t (x 1＋x 2)＋t 2＋y 1y 2＝4－12m 24＋3m 2－8t 4＋3m 2＋t 2－94＋3m 2 ＝t 2(4＋3m 2)－12m 2－8t －54＋3m 2＝3m 2(t 2－4)＋4t 2－8t －54＋3m 2．…………………………………9分 要使PM →·PN →为定值，则t 2－41＝4t 2－8t －54，解得t ＝118，此时PM →·PN →＝－13564为定值． …………………………………11分②当直线MM 的斜率为0时，则M (－2，0)，N (2，0)，P (118，0)，此时PM →·PN →＝(－2－118，0)·(2－118，0)＝－13564． …………………………………12分综上，所以存在P (118，0)，使PM →·PN →为定值．22. 已知f (x )＝ax 3－3x 2＋1(a ＞0)，定义h (x )＝max{f (x )，g (x )}＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≥g (x )，g (x )，f (x )＜g (x )． (1)求函数f (x )的极小值；(2)若g (x )＝xf'(x )，且存在x ∈[1，2]使h (x )＝f (x )，求实数a 的取值范围； (3)若g (x )＝ln x ，试讨论函数h (x )(x ＞0)的零点个数．解析：(1)求导得f'(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)，令f'(x )＝0，得x 1＝0或x 2＝2a ．…………………………………1分因为a ＞0，所以x 1＜x 2，列表如下：所以f (x )的极小值为f ⎝⎛⎭⎫2a ＝8a 2－12a 2＋1＝1－4a 2．…………………………………3分(2)g (x )＝xf'(x )＝3ax 3－6x 2．因为存在x ∈[1，2]使h (x )＝f (x )，所以f (x )≥g (x )在x ∈[1，2]上有解，即ax 3－3x 2＋1≥3ax 3－6x 2在x ∈[1，2]上有解，即不等式2a ≤1x 3＋3x 在x ∈[1，2]上有解．………………………5分设y ＝1x 3＋3x ＝3x 2＋1x 3，x ∈[1，2]．因为y'＝－3x 2－3x 4＜0对x ∈[1，2]恒成立，所以y ＝1x 3＋3x 在[1，2]上递减，故当x ＝1时，y max＝4．所以2a ≤4，即a ≤2，故a 的取值范围为(－∞，2]．…………………………………7分(3)由(1)知，f (x )在(0，＋∞)上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫2a ＝1－4a 2．①当1－4a 2＞0，即a ＞2时，f (x )＞0在(0，＋∞)上恒成立，所以h (x )＝max{f (x )，g (x )}≥f (x )＞0，因此h (x )在(0，＋∞)上无零点．…………………………………8分②当1－4a 2＝0，即a ＝2时，f (x )min ＝f (1)＝0，又g (1)＝0，所以h (x )＝max{f (x )，g (x )}在(0，＋∞)上有且仅有一个零点．…………………………………9分③当1－4a 2＜0，即0＜a ＜2时，设φ(x )＝f (x )－g (x )＝ax 3－3x 2＋1－ln x ，0＜x ＜1． 因为φ'(x )＝3ax 2－6x －1x ＜6x (x －1)－1x ＜0，所以φ(x )在(0，1)上单调递减．又φ(1)＝a －2＜0，φ⎝⎛⎭⎫1e ＝a e 3＋2e 2－3e 2＞0，所以存在唯一的x 0∈⎝⎛⎭⎫1e ，1，使得φ(x 0)＝0． (i )当0＜x ≤x 0时，因为φ(x )＝f (x )－g (x )≥φ(x 0)＝0，所以h (x )＝f (x )且h (x )为减函数． 又h (x 0)＝f (x 0)＝g (x 0)＝ln x 0＜ln1＝0，f (0)＝1＞0，所以h (x )在(0，x 0)上有一个零点． (ii )当x 0＜x ＜1时，因为φ(x )＝f (x )－g (x )＜φ(x 0)＝0，所以h (x )＝g (x )且h (x )为增函数．因为g(1)＝0，又h(x)＝max{f(x)，g(x)}≥g(x)＝ln x＞0在x＞1上恒成立，所以h(x)在(x0，＋∞)上有且仅有一个零点．从而h(x)＝max{f(x)，g(x)}在(0，＋∞)上有两个零点．综上，当0＜a＜2时，h(x)有两个零点；当a＝2时，h(x)有一个零点；当a＞2时，h(x)无零点．…………………………………12分。
南京市金陵中学2020届高三数学检测卷(3)
第 17 题图
18．(本小题满分 16 分)
︵ 如图，有一块半径为 R 的半圆形广场，M 为AB的中点．现要在该广场内以 OM 为中轴
线划出一块扇形区域 OPQ，并在扇形区域内建两个圆形花圃(圆 N 和圆 S)，使得圆 N 内切
于扇形 OPQ，圆 S 与扇形 OPQ 的两条半径相切，且与圆 N 外切．
3．随机抽取 100 名年龄在[10，20)，[20，30)，…， [50，60)年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率 分布直方图如图所示，从不小于 40 岁的人中按年龄段分层 抽样的方法随机抽取 8 人，则在[50，60)年龄段抽取的人数 为___▲_____．
4．一只口袋中有大出 2 只球，2 只球颜色不同的概率为____▲____．
若ssiinn AB＝25bc，sin B＝ 47，S△ABC＝54 7，则 b 的值为___▲_____． 13．已知圆 x2＋y2＝4，点 M(4，0)，过原点的直线(不与 x 轴重合)与圆 O 交于 A，B
两点，则 ΔABM 的外接圆的面积的最小值为___▲_____． 14．已知关于 x 的方程 xlnx－a(x2－1)＝0 在(0，＋∞)上有且只有一个实数根，则 a 的
如图，在平面直角坐标系
xOy
中，已知椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的离心率为
2，两条准 2
线之间的距离为 4 2．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知椭圆的左顶点为 A，点 M 在圆 x2＋y2＝89上，
直线 AM 与椭圆相交于另一点 B，且△AOB 的面积是
△AOM 的面积的 2 倍，求直线 AB 的方程．
··········································································································1 分 此时首项 a1＝1，公差 d＝a2－a1＝a－1，数列{an}的前 n 项和是 Sn＝n＋12n(n－1)(a－1)， ········································································3 分
江苏金陵中学2020届高考数学检测卷及答案及评分标准
江苏金陵中学2020届高考数学检测卷数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．已知全集U ＝{－1，0，2，3}，集合A ＝{－1，2，3}，则∁U A ＝▲________．2．若复数z ＝(1＋3i)2，其中i 为虚数单位，则z 的模为▲________．3．执行如图所示的算法流程图，则输出的b 的值为▲________．4．如图，这是甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图， 则平均成绩较小的那一位同学的平均成绩为▲________．5．将黑、白两个小球随机放入编号分别为1，2，3的三个盒子 中，则黑、白两个小球在同一个盒子里的概率为▲________．6．关于x 的不等式lg(2x －4)＜1的解集为▲________．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为▲________．8．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0≤φ＜π)图象的一条对称轴是直线x ＝π6，则f (2φ)的值为▲________．9．在公差d 不为零的等差数列{a n }中，a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1d的值为▲________． (第4题) (第3题)10．在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 满足→DC ＝2→BD ，则→AD ·→DC 的值为▲_____．11．已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为6π，则该圆锥的体积等于▲________．12．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1，则x ＋2xy 的最小值为▲________．13．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：kx －y ＋5k ＝0与圆C ：x 2＋y 2－10x ＝0交于点A ，B ，M 为弦AB 的中点，则点M 的横坐标的取值范围是▲________．14．已知函数f (x )＝e x (e 为自然对数的底数)，g (x )＝a x ．若对任意的x 1∈R ，存在x 2＞x 1，使得f (x 1)＝g (x 2)，且x 2－x 1的最小值为ln22，则实数a 的值为▲________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，且AF ⊥CD ． (1)求证：平面ADF ⊥平面ABCD ； (2)求证：CD ∥EF ．16．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个钝角α，β，它们的终边分别与单位圆交于点A ，B ．已知点A ，B 的横坐标分别为－31010，－210． (1)求cos(α－β)的值；(第15题)(2)求2α－β的值．17．(本小题满分14分)某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x (x ∈N *)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10(a －3x500)万元(a ＞0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x %．(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？18．(本小题满分16分)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a ＞b ＞0)的离心率为12，右准线方程为x ＝4，A ，B 分别是椭圆C 的左，右顶点，过右焦点F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点（其中，M 在x 轴上方）．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设线段MN 的中点为D ，若直线OD 的斜率为－12，求k 的值；(3)记△AFM ，△BFN 的面积分别为S 1，S 2，若S 1S ＝32，求M 的坐标．(第18题)19．(本小题满分16分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1－2S n ＝1 (n ∈N *)． (1)求证：数列{a n }为等比数列；(2)若数列{b n }满足：b 1＝1，b n ＋1＝b n 2＋1a n ＋1．①求证：数列{2n －1b n }为等差数列，并求出{b n }的通项公式；②是否存在正整数n ，使得i ＝1n∑b i ＝4－n 成立?若存在，求出所有n 的值；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝e x －a (x ＋1)，其中e 自然对数的底数，a ∈R ． (1)讨论函数f (x )的单调性，并写出相应的单调区间；(2)已知a ＞0，b ∈R ，若f (x )≥b 对任意x ∈R 都成立，求ab 的最大值；(3)设g (x )＝(a ＋e )x ，若存在x 0∈R ，使得f (x 0)＝g (x 0)成立，求a 的取值范围．数学Ⅱ(附加题)21．本题包括A 、B 两小题，请在相应的答题区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，若点P (0，3)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x3y对应的变换作用下得到点Q (6，12)，求M －1．B ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)已知椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．若点P 在椭圆C 上，求点P 到直线l ：x ＋y －8＝0的距离d 的最大值．[必做题]第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)某高校的综合评价面试中，考生都要经过三个独立项目A ，B ，C 的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录取．若甲、乙、丙三人通过A ，B ，C每个项目测试的概率都是12．(1)求甲恰好通过两个项目测试的概率；(2)设甲、乙、丙三人中被录取的人数为X ，求X 的概率分布和数学期望．23．(本小题满分10分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PB⊥底面ABCD，AB⊥BC，AD∥BC，BC ＝2，BA＝1，AD＝3，PB＝3．(1)求二面角P－CD－A的平面角的余弦值；(2)若点E在棱P A上，且BE⊥平面P AD，求直线BE和平面PCD所成角的正弦值．(第23题)阶段性检测 数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．{0} 2．10 3．16 4．90 5．13 6．(2，7) 7．2 8．12 9．1 10．－4311．3π12．解析：因为x ＋y ＝1，所以x ＋2xy ＝x ＋2(x ＋y )xy ＝3x ＋2y xy ＝2x ＋3y ＝(2x ＋3y )(x ＋y )＝2y x ＋3xy＋5≥5＋26，当且仅当⎩⎨⎧2y x ＝3x y x ＋y ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6－2y ＝3－6时取“＝”．13．解析：因为直线l ：kx －y ＋5k ＝0过定点P (－5，0)，且CM ⊥MP ，所以点M 在以CP 为直径的圆上．设点M (x ，y )，则x 2＋y 2＝25．联立⎩⎨⎧x 2＋y 2＝25x 2＋y 2－10x ＝0，解得x ＝52．又因为点M 在圆C 内，所以点M 的横坐标的取值范围为(52，5]．14．解析：令f (x 1)＝g (x 2)＝t ，则e x 1＝a x 2＝t ，故x 1＝ln t ，x 2＝t2a2．令h (t )＝x 2－x 1＝t 2a 2－ln t ，则h’(t )＝2t a 2－1t ．令h’(t )＝0得t ＝22a ．当t ＞22a 时，h’(t )＞0，h (t )单调递增；当0＜t ＜22a 时，h’(t )＜0，h (t )单调递减．因此，[h (t )]min ＝h (22a )＝12－ln(22a )＝ln22，解得a ＝e ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(1)因为四边形ABCD 为矩形，所以AD ⊥CD ． ··············· 2分又AF ⊥CD ，AF ∩AD ＝A ，AF ，AD ⊂平面ADF ，所以CD ⊥平面ADF ， ·············································· 5分 又CD ⊂平面ABCD ，所以平面ADF ⊥平面ABCD ． ···································· 7分 (2)因为四边形ABCD 为矩形，所以AB ∥CD ， ··············· 9分 又AB ⊂平面ABEF ，CD ⊄平面ABEF ，所以CD ∥平面ABEF ， ·········································· 11分 又CD ⊂平面DCEF ，平面DCEF ∩平面ABEF ＝EF ， ∴CD ∥EF ． ························································· 14分16．(1)因为点A ，B 的横坐标分别为－31010，－210，结合三角函数的定义得cos α＝－31010，cos β＝－210． ···· 2分因为α，β均为钝角，所以sin α＝1－cos 2α＝1010，sin β＝1－cos 2β＝7102， ·· 4分所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝(－31010)×(－210)＋1010×7102＝55．················································································· 6分(2)(方法一)sin2α＝2sin αcos α＝－35，cos2α＝cos 2α－sin 2α＝45，8分因为α∈(π2，π)，2α∈(π，2π)，且sin2α＜0，cos2α＞0，所以2α∈(32π，2π)，又β∈(π2，π)，所以2α－β∈(π2，32π)．10分又sin(2α－β)＝sin2αcos β－cos2αsin β＝(－35)×(－210)－45×7102＝－22， 12分所以2α－β＝54π． ·················································· 14分(方法二)因为α，β∈(π2，π)，cos α＝－31010＜cos β＝－210，所以π2＜β＜α＜π，所以0＜α－β＜π2．由(1)知sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝255， ···················· 8分所以sin(2α－β)＝sin[(α－β)＋α]＝sin(α－β)cos α＋cos(α－β)sin α＝255×(－31010)＋55×1010＝－22．10分因为0＜α－β＜π2，π2＜α＜π，所以2α－β∈(π2，32π)， ····· 12分所以2α－β＝54π． ·················································· 14分17．(1)由题意得，10(1000－x )(1＋0.2x %)≥10×1000， ········ 2分即x 2－500x ≤0，又x ＞0，故0＜x ≤500． ···················· 4分 即最多调整500名员工从事第三产业．························· 5分 (2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10(a －3x500)x 万元，从事原来产业的员工的年总利润为10(1000－x )(1＋1500x )万元，则10(a －3x 500)x ≤10(1000－x )(1＋1500x )， ······················· 8分故ax －3x 2500≤1000＋2x －x －1500x 2，故ax ≤2x 2500＋1000＋x ，即a ≤2x 500＋1000x＋1恒成立． ·································· 10分因2x 500＋1000x ≥22x 500·1000x＝4， 当且仅当2x 500＝1000x ，即x ＝500时等号成立，故a ≤5， · 12分又a ＞0，故0＜a ≤5．故a 的取值范围为(0，5]． ·········18．(1)设椭圆的焦距为2c (c ＞0)． 依题意，c a ＝12，且a 2c＝4，解得a ＝故b 2＝a 2－c 2＝3．所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y23＝1(2)设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 124＋y 123＝1，x 224＋y 223＝1．6分两式相减，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)4＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)3＝0，14＋13·y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝0，所以14＋13·k ·(－12)＝0，得k ＝32． ·································· 8分(3)由题意，S 1S 2＝32，即12·|AF |·|y 1| 12·|BF |·|y 2|＝32，整理可得|y 1||y 2|＝12， 10分所以→NF ＝2→FM ．代入坐标，可得⎩⎨⎧1－x 2＝2(x 1－1)－y 2＝2y 1，即⎩⎨⎧x 2＝3－2x 1y 2＝－2y 1． ······· 12分又点M ，N 在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 124＋y 123＝1(3－2x 1)24＋(－2y 1)23＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝74y ＝385．所以M 的坐标为(74，358) ． ··································· 16分19．(1)由S n ＋1－2S n ＝1，得S n －2S n －1＝1 (n ≥2)，两式相减，得a n ＋1－2a n ＝0，即a n ＋1a n ＝2 (n ≥2)． ············ 2分因为a 1＝1，由(a 1＋a 2)－2a 1＝1，得a 2＝2，所以a2a 1＝2，所以a n ＋1a n＝2对任意n ∈N *都成立，所以数列{a n }为等比数列，首项为1，公比为2． ·········· 4分 (2)① 由(1)知，a n ＝2n －1，由b n ＋1＝b n 2＋1a n ＋1，得b n ＋1＝b n 2＋12n ， ·························· 6分即2n b n ＋1＝2n －1b n ＋1，即2n b n ＋1－2n －1b n ＝1， 因为b 1＝1，所以数列{2n －1b n }是首项为1，公差为1的等差数列． 8分 所以2n －1b n ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以b n ＝n2n －1． ···················································· 10分 ② 设T n ＝i ＝1n∑b i ， 则 T n ＝1×(12)0＋2×(12)1＋3×(12)2＋…＋n ×(12)n －1，所以12T n ＝ 1×(12)1＋2×(12)2＋…＋(n －1)×(12)n －1＋n ×(12)n ，两式相减，得12T n ＝(12)0＋(12)1＋(12)2＋…＋(12)n －1－n ×(12)n ＝1－(12)n1－12－n ×(12)n ＝2－(n ＋2)×(12)n，所以T n ＝4－(2n ＋4)×(12)n ． ··································· 12分由i ＝1n∑b i＝4－n ，得4－(2n ＋4)×(12)n ＝4－n ，即n ＋2n ＝2n －1． 显然当n ＝2时，上式成立，设f (n )＝n ＋2n －2n －1 ( n ∈N *)，即f (2)＝0．因为f (n ＋1)－f (n )＝(n ＋3n ＋1－2n )－(n ＋2n －2n －1)＝[2n (n ＋1)＋2n －1]＜0，所以数列{f (n )}单调递减， 所以f (n )＝0只有唯一解n ＝2，所以存在唯一正整数n ＝2，使得i ＝1n∑b i ＝4－n 成立． ······ 16分 20．(1)由f (x )＝e x －a (x ＋1)，知f’(x )＝e x －a ．若a ≤0，则f’(x )＞0恒成立，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增； 2分 若a ＞0，令f’(x )＝0，得x ＝ln a ，当x ＜ln a 时，f’(x )＜0，当x ＞ln a 时，f’(x )＞0，所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减；在(ln a ，＋∞)上单调递增． 4分 (2)由(1)知，当a ＞0时，f min (x )＝f (ln a )＝－a ln a ．因为f (x )≥b 对任意x ∈R 都成立，所以b ≤－a ln a ，所以ab ≤－a 2ln a ． 6分设t (a )＝－a 2ln a ，(a ＞0)，由t’(a )＝－(2a ln a ＋a 2·1a)＝－a (2ln a ＋1)，令t’(a )＝0，得a ＝e －12，当0＜a ＜e －12时，t’(a )＞0，所以t (a )在(0，e －12)上单调递增；当a ＞e －12时，t’(a )＜0，所以t (a )在(e －12，＋∞)上单调递减，所以t (a )在a ＝e －12处取最大值，且最大值为12e．所以ab ≤－a 2ln a ≤12e ，当且仅当a ＝e －12，b ＝12e －12时，ab 取得最大值为12e ．··············································································· 10分(3)设F (x )＝f (x )－g (x )，即F (x )＝e x －ex －2ax －a ， 题设等价于函数F (x )有零点时的a 的取值范围．① 当a ≥0时，由F (1)＝－3a ≤0，F (－1)＝e －1＋e ＋a ＞0，所以F (x )有零点． ········································································· 12分② 当－e2≤a ＜0时，若x ≤0，由e ＋2a ≥0，得F (x )＝e x －(e ＋2a )x －a ＞0；若x ＞0，由(1)知，F (x )＝－a (2x ＋1)＞0，所以F (x )无零点． 14分 ③ 当a ＜－e2时，F (0)＝1－a ＞0，又存在x 0＝1－ae ＋2a ＜0，F (x 0)＜1－(e ＋2a )x 0－a ＝0，所以F (x )有零点．综上，a 的取值范围是a ＜－e2或a ≥0． ······················ 16分数学Ⅱ(附加题)21．A ．[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)依题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x 3y ⎣⎢⎡⎦⎥⎤03＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤612，解得⎩⎨⎧x ＝2y ＝4，即M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234， ·· 5分 因为det(M )＝1×4－2×3＝－2≠0，所以M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4－2 －2－2－3－21－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2132－12． ················ 10分 B ．[选修4－4：坐标系与参数方程]设P (3cos θ，sin θ)， 则点P 到直线l 的距离d ＝|3cos θ＋sin θ－8|2 ················································ 5分＝|2cos(θ－π6)－8|2，所以当θ＝7π6时，d 取到最大值102＝52． ·················· 10分22．(1)设甲恰好通过两个项目测试的事件为A ．P (A )＝C 23(12)2(1－12)＝38．答：甲恰好通过两个项目测试的概率为38． ···················· 2分(2)X 的所有可能取值为0，1，2，3．因为每人可被录取的概率为C 23(12)2(1－12)＋(12)3＝12， ········ 4分所以P (X ＝0)＝(1－12)3＝18，P (X ＝1)＝C 13(12)(1－12)2＝38，P (X ＝2)＝C 23(12)2(1－12)＝38，P (X ＝3)＝(12)3＝18．故X 的概率分布列为····················· 8分 所以X 的数学期望为E (X )＝0×18＋1×38＋2×38＋3×18＝32．10分23．(1)以B 为原点，BA ，BC ，BP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz ．因为A (1，0，0)，B (0，0，0)，C (0，2，0)，D (1，3，0)，P (0，0，3)， 所以→CD ＝(1，1，0)，→PC ＝(0，2，－3)．易知平面ACD 的一个法向量为n ＝(0，0，1)． ·············· 1分 设平面PCD 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·→CD ＝0m ·→PC ＝0，即⎩⎨⎧x ＋y ＝02y ＝3z ．取z ＝2，则m ＝(－3，3，2)．设二面角P －CD －A 的平面角为α，可知α为锐角， ······· 3分 则cos α＝|cos ＜n ，m ＞|＝|n ·m ||n |·|m |＝2 3＋3＋4＝105，即二面角P －CD －A 的平面角的余弦值为105． ············· 5分 (2)因为点E 在棱P A 上，所以设→AE ＝λ→AP ，λ∈[0，1]． 因为→AP ＝(－1，0，3)，所以→AE ＝(－λ，0，3λ)， 故→BE ＝→BA ＋→AE ＝(1－λ，0，3λ)．因为BE ⊥平面P AD ，AP ⊂平面P AD ，所以BE ⊥AP ． 因为→AP ＝(－1，0，3)，所以→BE ·→AP ＝0，即λ－1＋3λ＝0，解得λ＝14， ·············· 7分所以→BE＝(34，0，34)，所以BE＝|→BE|＝32．设直线BE和平面PCD所成的角为β，可知β为锐角．因为m为平面PCD的一个法向量，则sinβ＝|cos＜→BE，m＞|＝343＋3＋4×32＝1020，即直线BE与平面PCD所成角的正弦值为1020．··········· 10分。
江苏省南京市金陵中学2021-2022学年高三上学期学情检测热身数学试卷(解析版)
攒尖．也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑．辽宁省实验中学校园内的 明心亭，为一个八角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正八棱锥，设正八棱锥 的侧面等腰三角形的顶角为 2θ，它的侧棱与底面内切圆半径的长度之比为（ ）
A．
B．
C．
Байду номын сангаасD．
7．已知定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（x）＝f（2﹣x），当 x∈[﹣1，1]时，f（x）＝3x，
辽宁省实验中学校园内的明心亭为一个八角攒尖它的主要部分的轮廓可近似看作一个正八棱锥设正八棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2它的侧棱与底面内切圆半径的长度之比为为正八棱锥sabcdefgh底面内切圆的圆心连接oaob取ab的中点m连接smom则om是底面内切圆半径r如图所示
2021-2022 学年江苏省南京市金陵中学高三（上）学情检测热身
若函数 g（x）＝f（x）﹣k（x﹣2）的所有零点为 xi（i＝1，2，3，…，n），当
时，
＝（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
8．已知实数 m，n 满足（m+5）2+n2＝1，则对于任意实数 a，（a2﹣m）2+（a﹣n）2 的最小
值为（ ）
A．4
B．16
C．17
D．25
二、多项选择题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.每题全选对的得 5 分，部分选对的
21．已知点 B（﹣2，0），C（2，0），△ABC 的周长等于 4+4 ，点 M 满足 ＝2 ． （1）求点 M 的轨迹 E 的方程； （2）是否存在过原点的直线 l 与曲线 E 交于 P，Q 两点，与圆 F：（x﹣ ）2+y2＝ 交 于 R，S 两点（其中点 R 在线段 PQ 上），且|PR|＝|QS|，若存在，求出直线 l 的方程；若 不存在，请说明理由．
南京市2020届高三年级学情调研卷及答案
南京市2020届高三年级学情调研数 学 2019.09注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 参考公式：柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高． 球的体积公式：V ＝43πR 3，其中R 为球体的半径．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．函数f (x )＝x －1的定义域为 ▲ ．2．已知复数z 满足(z －2)i ＝1＋i ，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为 ▲ ． 3．某算法的流程图如图所示，则输出的n 的值为 ▲ ．4．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，则图中x 的值为 ▲ ．5．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自选择其中一个参加，且每位同学参加各个兴趣小组的可能性相同，则这两位同学参加了不同的兴趣小组的概率为 ▲ ．6．把一个底面半径为3 cm ，高为4 cm 的钢质实心圆柱熔化，然后铸成一个实心钢球（不计损耗），则该钢球的半径为 ▲ cm ． 7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条准线与两条渐近线恰能围成一个等边三角形，则该双曲线的离心率为 ▲ ．8．若函数f (x )＝2sin(ωx －π6)(ω＞0)的最小正周期为π，则当x ∈[0，π2]时，f (x )的值域为▲ ．9．若锐角α满足tan(α＋π4)＝3tan α＋1，则tan2α的值为 ▲ ．10．已知函数f (x )＝x1＋|x |，则不等式f (x －3)＋f (2x )＞0的解集为 ▲ ．11．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ．已知a 1＋a 4＋a 7＝99，a 2＋a 5＋a 8＝93，若存在正整数k ，使得对任意n ∈N*，都有S n ≤S k 恒成立，则k 的值为 ▲ ． 12．在△ABC 中，P 是边AB 的中点，已知CA ＝4，CP ＝3，∠ACB ＝2π3，则CP →·CA →的值为 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M ：(x －a )2＋(y －2a )2＝4，圆N ：(x －2)2＋(y ＋1)2＝4．若圆M 上存在一点P ，使得以点P 为圆心，1为半径的圆与圆N 有公共点，则实数a 的取值范围为 ▲ ．14. 已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋1，g (x )＝⎩⎨⎧|2x －1|＋1， x ＞0，－14x 2－x ， x ≤0．若函数y ＝g [f (x )]－a 有6个零点（互不相同），则实数a 的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a sin2B ＝2b sin A ．（1）求B 的大小； （2）若cos C ＝55，求sin(A －C )的值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ，E ，F 分别为AB ，A 1B 1的中点． （1）求证：AF ∥平面B 1CE ；（2）若A 1B 1⊥B 1C ，求证：平面B 1CE ⊥平面ABC ．17．（本小题满分14分）随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利．根据大数据统计，某条地铁线路运行时，发车时间间隔t （单位：分钟）满足：4≤t ≤15，t ∈N ，平均每趟地铁的载客人数p (t )（单位：人）与发车时间间隔t 近似地满足下列函数关系：1（第16题图）p (t )＝⎩⎨⎧1800－15(9－t )2， 4≤t ＜9，1800， 9≤t ≤15，其中t ∈N ．（1）若平均每趟地铁的载客人数不超过1500人，试求发车时间间隔t 的值； （2）若平均每趟地铁每分钟的净收益为Q ＝6p (t )－7920t－100（单位：元），问当发车时间间隔t 为多少时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大？并求出最大净收益．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，点(a2，3e )和(b ，3e )都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点C 是椭圆上异于左、右顶点的任一点，线段BC 的垂直平分线与直线BC ，AC 分别交于点P ，Q ，求证：→OB ·→PQ 为定值．19．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝2ln x ＋ax 2－bx ，a ，b ∈R ．（1）若曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线为y ＝2x －3，求实数a ，b 的值； （2）若a ＝0，且f (x )≤－2对一切正实数x 恒成立，求实数b 的取值范围； （3）若b ＝4，求函数f (x )的单调区间．20．（本小题满分16分）（第18题图）已知数列{a n }的首项a 1＝2，前n 项和为S n ，且数列{S nn }是以12为公差的等差数列.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝2n a n ，n ∈N*，数列{b n }的前n 项和为T n ， ①求证：数列{T n n}为等比数列；②若存在整数m ，n (m ＞n ＞1)，使得T m T n＝m (S m ＋λ)n (S n ＋λ)，其中λ为常数，且λ≥－2，求λ的所有可能值.南京市2020届高三年级学情调研数学附加题 2019.09注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡．．．指定区域内．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知二阶矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 32 1．（1）求A －1；（2）若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下得到曲线C ′：x 2－3y 2＝1，求曲线C 的方程．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：⎩⎨⎧x ＝4t ，y ＝1＋at (t 为参数，a 为常数)，曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．若曲线C 上的点P 到直线l 的距离的最大值为3，求a 的值．C ．选修4—5：不等式选讲解不等式x 2＋2|x －1|＜6．（第22题图）A BCDPEF【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝2，E ，F 分别为PA ，AB 的中点，且DF ⊥CE ．（1）求AB 的长；（2）求直线CF 与平面DEF 所成角的正弦值．23．（本小题满分10分）已知集合A ＝{1，2，3，4}和集合B ＝{1，2，3，…，n }，其中n ≥5，n ∈N*．从集合A 中任取三个不同的元素，其中最小的元素用S 表示；从集合B 中任取三个不同的元素，其中最大的元素用T 表示．记X ＝T －S ．（1）当n ＝5时，求随机变量X 的概率分布和数学期望E (X )； （2）求P (X ＝n －3)．南京市2020届高三年级学情调研数学参考答案及评分标准 2019.09一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分． 1．[1，＋∞） 2．10 3．4 4．0.018 5．236．3 7．233 8．[－1，2] 9．3410．(1，＋∞)11．20 12．6 13．[－2，2] 14．(34，2)二、解答题：本大题共6小题，共90分． 15．解：（1）因为a sin2B ＝2b sin A ，由正弦定理a sin A ＝bsin B得 2sin A sin B cos B ＝2sin B sin A ． ………………… 3分因为A ，B 为△ABC 的内角，所以sin A ≠0，sin B ≠0，所以cos B ＝22． …………………………… 5分又因为B 为△ABC 的内角，所以0＜B ＜π，所以B ＝π4． …………………………… 7分（2）因为cos C ＝55，C ∈(0，π)，所以sin C ＝1－cos 2C ＝1－(55)2＝255， …………………………… 9分 所以sin2C ＝2sin C cos C ＝2×255×55＝45， cos2C ＝2cos 2C －1＝2×(55)2－1＝－35． ………………………… 11分 因为B ＝π4，所以A ＋C ＝3π4，从而A －C ＝(3π4－C )－C ＝3π4－2C ，因此 sin(A －C )＝sin(3π4－2C )＝sin 3π4cos2C －cos 3π4sin2C＝22×(－35)－(－ 22)×45＝210．…………………………… 14分16．证明：（1）在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1，AB ＝A 1B 1．因为E ，F 分别为AB 和A 1B 1的中点， 所以AE ∥FB 1，AE ＝FB 1，所以四边形AEB 1F 是平行四边形， 所以AF ∥EB 1． ………………………… 4分 因为AF ⊄平面B 1CE ，B 1E ⊂平面B 1CE ， 所以AF ∥平面B 1CE ．……………………… 7分 （2）因为AB ∥A 1B 1，A 1B 1⊥B 1C ，所以AB ⊥B 1C ．在△ABC 中，因为AC ＝BC ，E 为AB 的中点，所以AB ⊥CE ． …………………………… 10分 因为AB ⊥B 1C ，AB ⊥CE ，B 1C ∩CE ＝C ，B 1C ⊂平面B 1CE ，CE ⊂平面B 1CE ， 所以AB ⊥平面B 1CE ． …………………………… 12分 因为AB ⊂平面ABC ，所以平面B 1CE ⊥平面ABC ． …………………………… 14分17．解：（1）因为p (t )＝⎩⎨⎧1800－15(9－t )2， 4≤t ＜9，1800， 9≤t ≤15，其中t ∈N ．所以当载客人数不超过1500人时，4≤t ＜9， 此时p (t )＝1800－15(9－t )2随着t 的增大而增大．当t ＝4时，p (4)＝1800－15(9－4)2＝1425＜1500，符合题意；当5≤t ＜9时，p (t )≥p (5)＝1800－15(9－5)2＝1560＞1500，不符合题意． 因此，发车时间间隔t 的值为4． …………………………… 5分1（第16题图）（2）因为Q ＝6p (t )－7920t－100，所以当9≤t ≤15时，Q ＝6×1800－7920t －100＝2880t－100．由于Q 的值随着t 的增大而减少，故t ＝9时Q 取得最大值，此时Q max ＝220． …………………………… 7分 当4≤t ＜9时，Q ＝6p (t )－7920t－100＝6[1800－15(9－t )2]－7920t－100＝－90t 2＋1620t －4410t－100＝1520－90(t ＋49t) …………………………… 9分≤1520－90×2t ×49t＝260，当且仅当t ＝49t，即t ＝7时取得最大值． …………………………… 11分由于260＞220，故t ＝7时Q 取得最大值．答：当发车时间间隔为7分钟时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大，最大净收益为260元． …………………………… 14分18．解：（1）因为(a2，3e )和(b ，3e )都在椭圆x 2a _x001F_2＋y 2b 2＝1上，所以 ⎩⎨⎧14＋9e 2b2＝1， ①b 2a 2＋3e2b 2＝1． ②…………………………… 2分由①整理得，e 2b 2＝112．代入②得，b 2a _x001F_2＝1－3×112＝34． …………………………… 4分因为e ＝ca，其中c 2＝a 2－b 2，可得b 2＝3c ，a 2＝4c ，从而c 2＝a 2－b 2＝c ，解得c ＝1，即a 2＝4，b 2＝3， 故椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1． …………………………… 6分（2）由（1）可知A (－2，0)，B (2，0)．解法一：因为C 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，所以直线BC 的斜率存在且不为0．设直线BC 的方程为y ＝k (x －2)，k ≠0．联立⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1y ＝k (x －2)，消去y ，得 (3＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0．解得x ＝2或x ＝8k 2－63＋4k 2，从而C (8k 2－63＋4k 2，－12k3＋4k 2)． …………………… 9分因为P 是BC 的中点，所以P (8k 23＋4k 2，－6k3＋4k 2)．因为PQ ⊥BC，所以直线PQ 的方程为y －(－6k3＋4k 2)＝－1k (x －8k 23＋4k 2)，化简得y ＝－xk ＋2k3＋4k 2． ③由A (－2，0)，C (8k 2－63＋4k 2，－12k 3＋4k 2)，可得直线AC 的斜率为－12k3＋4k 28k 2－63＋4k 2＋2＝－34k，从而直线AC 的方程为y ＝－34k(x ＋2)． ④联立直线PQ ，AC 的方程③④，消去y 得－x k ＋2k 3＋4k 2＝－34k (x ＋2)，解得x ＝32k 2＋183＋4k 2，即点Q 的横坐标为32k 2＋183＋4k 2． …………………… 14分因为→OB ＝(2，0)，所以→OB ·→PQ ＝2(32k 2＋183＋4k 2－8k 23＋4k 2)＝12，即→OB ·→PQ 为定值12． …………………………… 16分解法二：设C (x 0，y 0)，其中x 0≠±2，y 0≠0，则由P 是BC 的中点，得P (x 0＋22，y 02)． 直线AC ，BC 的斜率均存在且不为0，直线BC 的斜率为y 0x 0－2．因为PQ ⊥BC，所以直线PQ 的方程为y －y 02＝－x 0－2y 0(x －x 0＋22)，即y ＝－x 0－2y 0x ＋x 02－42y 0＋y 02．③ …………………………… 9分又直线AC 的斜率为y 0x 0＋2，从而直线AC 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)．④联立直线PQ ，AC 的方程③④，消去y ，得 －x 0－2y 0x ＋x 02－42y 0＋y 02＝y 0x 0＋2(x ＋2)，两边同乘以y 0，得 (2－x 0)x ＋x 02－42＋y 022＝y 02x 0＋2(x ＋2)．由x 024＋y 023＝1，得y 02＝3－3x 024， 代入化简得(2－x 0)x ＋x 02－48＝34(2－x 0)(x ＋2)．因为x 0≠2，解得x ＝x 0＋142，即点Q 的横坐标为x 0＋142． …………… 14分因为→OB ＝(2，0)，所以→OB ·→PQ ＝2(x 0＋142－x 0＋22)＝12，即→OB ·→PQ 为定值． …………………………… 16分19．解：（1）由f (x )＝2ln x ＋ax 2－bx ，得f ′(x )＝2ax 2－bx ＋2x，因为曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线为y ＝2x －3， 所以f (1)＝a －b ＝－1， f ′(1)＝2a －b ＋2＝2，解得a ＝1，b ＝2． …………………………… 3分 （2）因为a ＝0，所以f (x )＝2ln x －bx ，x ∈(0，＋∞)；由f (x )≤－2得2ln x －bx ≤－2，即b ≥2＋2ln xx． …………………………… 5分设g (x )＝2＋2ln x x ，x ＞0，则g ′(x )＝－2ln x x2，由g ′(x )＝0得x ＝1．当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0，当x ＞1时，g ′(x )＜0， 则g (x )在(0，1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减， 所以当x ＝1时，g (x )有最大值g (1)＝2．于是b ≥2，即实数b 的取值范围为[2，＋∞) ． ……………………… 8分 （3）函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，当b ＝4时f ′(x )＝2ax 2－4x ＋2x．①当a ＝0时，f ′(x )＝－4x ＋2x，由f ′(x )＞0得0＜x ＜12；由f ′(x )＜0得x ＞12，所以f (x )的增区间为(0，12)，减区间为(12，＋∞)； ……………………… 9分②当a ＜0时，由f ′(x )＞0得0＜x ＜1－1－a a ；由f ′(x )＜0得x ＞1－1－aa，所以f (x )的增区间为(0，1－1－a a)，减区间为(1－1－aa，＋∞)；……………………………11分③当0＜a ＜1时，由f ′(x )＞0，得0＜x ＜1－1－a a 或x ＞1＋1－aa；由f ′(x )＜0，得1－1－a a ＜x ＜1＋1－aa，所以f (x )的增区间为(0，1－1－a a)和(1＋1－aa，＋∞)， 减区间为(1－1－a a，1＋1－aa)； ……………………… 13分④当a ≥1时，f ′(x )≥0恒成立，于是f (x )的增区间为(0，＋∞)，无减区间； 综上，当a ＜0时，f (x )的增区间为(0，1－1－a a )，减区间为(1－1－aa，＋∞)；当a ＝0时，f (x )的增区间为(0，12)，减区间为(12，＋∞)；当0＜a ＜1时，f (x )的增区间为(0，1－1－a a )和(1＋1－aa，＋∞)，减区间为(1－1－a a，1＋1－aa)；当a ≥1时，f (x )的增区间为(0，＋∞)，无减区间．…………………………… 16分20．解：（1）因为数列{S nn }是以12为公差的等差数列，所以S n n ＝S 11＋12(n －1)＝a 1＋12(n －1)＝n ＋32，即S n ＝n (n ＋3)2．…………… 2分所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n (n ＋3)2－(n －1)(n ＋2)2＝n ＋1，又a 1＝2＝1＋1，所以a n ＝n ＋1，n ∈N*. …………………………… 4分 （2）①因为b n ＝2n a n ＝(n ＋1)2n ，所以T n ＝2×21＋3×22＋…＋(n ＋1)2n ， 因此2T n ＝2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)2n ＋1， 两式相减，得－T n ＝2×21＋22＋23＋…＋2n －(n ＋1)2n ＋1 ＝2＋2×1－2n 1－2－(n ＋1)2n ＋1＝－n ·2n ＋1， …………………… 6分所以T n＝n ·2n ＋1，因此T n n＝2n ＋1，从而T n ＋1n ＋1T n n＝2，故数列{T n n}是以4为首项，2为公比的等比数列. …………………… 8分② 因为T m T n＝m (S m ＋λ)n (S n ＋λ)，所以m ·2m ＋1n ·2n ＋1＝m [m (m ＋3)2＋λ]n [n (n ＋3)2＋λ]，即m 2＋3m ＋2λ2m＝n 2＋3n ＋2λ2n，…………… 10分设f (n )＝n 2＋3n ＋2λ2n，n ∈N*，则f (n ＋1)－f (n )＝n 2＋5n ＋4＋2λ2n ＋1－n 2＋3n ＋2λ2n＝－n 2－n ＋4－2λ2n ＋1，当n ≥3时，－n 2－n ＋4－2λ≤－32－3＋4－2λ＝－8－2λ≤－8－2(－2)＝－4＜0， 所以当n ≥3时，f (n ＋1)＜f (n )，因此当m ＞n ≥3时，f (n )＞f (m )，与f (n )＝f (m )相矛盾， 又n ＞1，于是n ＝2， 所以m 2＋3m ＋2λ2m＝5＋λ2． ………………… 12分当m ≥5时，m 2＋3m ＋2λ2m≤52＋3×5＋2λ25＝20＋λ16，又20＋λ16－5＋λ2＝－20－7λ16≤－20－7×(－2)16＝－38＜0，即20＋λ16＜5＋λ2，所以当m ≥5时，m 2＋3m ＋2λ2m＜5＋λ2，与m 2＋3m ＋2λ2m＝5＋λ2相矛盾．又m ＞n ＝2，所以m ＝3或4． ………………… 14分 当m ＝3时，32＋3×3＋2λ23＝5＋λ2，解得λ＝－1；当m ＝4时，42＋3×4＋2λ24＝5＋λ2，解得λ＝－2；因此λ的所有可能值为－1和－2. …………………………… 16分南京市2020届高三学情调研考试数学附加题参考答案及评分标准 2019．0921．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共20分． A ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）解法一：因为A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 32 1，设A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ，则由A －1A ＝E ，得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 32 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋2b ＝1，3a ＋b ＝0，2c ＋2d ＝0，3c ＋d ＝1．…………………………… 2分解得a ＝－14，b ＝34，c ＝12，d ＝－12，从而A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14 3412－12． …………………………… 4分 解法二：因为矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d (ad －bc ≠0)的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dad －bc －bad －bc －c ad －bc a ad －bc ， ………………………… 2分又A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 32 1，所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14 3412－12． …………………………… 4分 （2）设曲线C 上任意一点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 32 1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2x ＋3y 2x ＋y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ＋3y ，y ′＝2x ＋y ．……………………7分 因为(x ′，y ′)在曲线C ′上，所以x ′2－3y ′2＝1， 代入得(2x ＋3y )2－3(2x ＋y )2＝1，化简得6y 2－8x 2＝1，即曲线C 的方程为6y 2－8x 2＝1． ………………… 10分B ．选修4—4：坐标系与参数方程解：将直线l 的参数方程化为普通方程，得ax －4y ＝－4，即ax －4y ＋4＝0．…………………………… 2分将曲线C 的参数方程化为普通方程得(x －2)2＋y 2＝1， …………………… 4分所以曲线C 是以(2，0)为圆心，1为半径的圆， 所以曲线C 上的点P 到直线l 的距离的最大值为|2a ＋4|a 2＋16＋1．…………… 6分又因为曲线C 上的点P 到直线l 的距离的最大值为3， 所以|2a ＋4|a 2＋16＋1＝3，即(a ＋2)2＝a 2＋16， ………………………… 8分所以4a ＋4＝16，解得a ＝3． ………………………… 10分 C ．选修4—5：不等式选讲解：当x ≥1时，原不等式化为x 2＋2(x －1)＜6，即x 2＋2x －8＜0，解得－4＜x ＜2，所以1≤x ＜2； …………………………… 4分 当x ＜1时，原不等式化为x 2－2(x －1)＜6， 即x 2－2x －4＜0，解得1－5＜x ＜1＋5，所以1－5＜x ＜1． ………………………… 8分 综上1－5＜x ＜2．所以不等式的解集为(1－5，2)． …………………………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分． 22．解：（1）因为底面ABCD 是矩形，且PA ⊥平面ABCD ，故以{→AB ，→AD ，→AP }为正交基底建立空间直角坐标系A －xyz ．设AB ＝a ． 因为PA ＝AD ＝2，E ，F 分别为PA ，AB 的中点，所以C (a ，2，0)，D (0，2，0)，F (a2，0，0)，E (0，0，1)，所以DF →＝(a2，－2，0)，CE →＝(－a ，－2，1)， ………………………… 2分因为DF ⊥CE ，所以DF →·CE →＝0， 即 a2×(－a )＋(－2)×(－2)＋0×1＝0， 解得a ＝22，所以AB 的长为22．………………… 4分（2）因为a ＝22，所以DF →＝(2，－2，0)， EF →＝(2，0，－1)．设平面DEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EF →＝0，n ·DF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x －z ＝0，2x －2y ＝0，取n ＝(2，1，2)． …………………………… 6分 又CF →＝(－2，－2，0)， 所以cos ＜CF →，n ＞＝CF →·n|CF →||n |＝－2×2－2×1＋0×26×7＝－24221．………………………… 8分记直线CF 与平面DEF 所成角为α， 则sin α＝| cos ＜CF →，n ＞|＝24221，即直线CF 与平面DEF 所成角的正弦值为24221． ……………………… 10分23．解：（1）当n ＝5时，B ＝{1，2，3，4，5}．随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4． P (X ＝1)＝1C 34C 35＝140； P (X ＝2)＝3＋3C 34C 35＝320；P (X ＝3)＝9＋6C 34C 35＝38； P (X ＝4)＝18C 34C 35＝920．…………………………… 4分因此随机变量X 的概率分布如下表：随机变量X E (X )＝1×140＋2×320＋3×38＋4×920＝134． …………………………… 6分 （2）由题意知，当S ＝1时，T ＝n －2，此时，符合要求的取法共有C 23C 2n －3种；当S ＝2时，T ＝n －1，此时，符合要求的取法共有C 22C 2n －2种．………… 8分故P (X ＝n －3)＝ C 23C 2n －3＋C 22C 2n －2C 34C 3n＝3(n －3)(2n －7)2n (n －1)(n －2)． …………… 10分。
江苏省南京市2021届高三年级学情调研数学试卷(解析版)含解析
南京市2021届高三年级学情调研数学2020.09注意事项：1．本试卷共6页，包括单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题(第13题~第16题）、解答题(第17题~第22题)四部分．本试卷满分为150分,考试时间为120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置．3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在其他位置作答一律无效．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．已知集合A＝{x|x2－x－2＜0｝，B＝｛x｜1＜x＜3 }，则A∩B ＝A．｛x|－1＜x＜3} B．｛x｜－1＜x＜1} C．｛x｜1＜x＜2｝D．｛x|2＜x＜3｝2．已知(3－4i）z＝1＋i，其中i为虚数单位，则在复平面内z对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知向量a，b满足｜a｜＝1，|b|＝2，且|a＋b|＝错误!，则a与b的夹角为A．错误!B．错误!C．错误! D．错误!4．在平面直角坐标系xOy中,若点P(4错误!,0）到双曲线C：错误!－错误!＝1的一条渐近线的距离为6,则双曲线C的离心率为A．2 B．4 C． 2 D．错误! 5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b,c．若2b cos C≤2a －c,则角B的取值范围是A．(0,错误!] B．(0，错误!] C．［错误!，π) D．[错误!，π）6．设a＝log4 9，b＝2－1。
2,c＝(错误!)－错误!,则A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b7．在平面直角坐标系xOy中,已知圆A:(x－1)2＋y2＝1，点B(3，0），过动点P引圆A的切线，切点为T．若PT＝错误!PB，则动点P 的轨迹方程为A．x2＋y2－14x＋18＝0 B．x2＋y2＋14x＋18＝0C．x2＋y2－10x＋18＝0 D．x2＋y2＋10x ＋18＝08．已知奇函数f (x）的定义域为R,且f (1＋x)＝f (1－x)．若当x∈（0，1]时，f（x）＝log2（2x＋3)，则f（错误!)的值是A．－3 B．－2 C．2D．3二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分．9．5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应，间接带动国民经济各行业的发展,创造出更多的经济增加值．如图,某单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产出做出预测．由上图提供的信息可知A．运营商的经济产出逐年增加B．设备制造商的经济产出前期增长较快,后期放缓C．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势10．将函数f(x）＝sin2x的图象向左平移错误!个单位后，得到函数y＝g（x）的图象，则A．函数g（x）的图象关于直线x＝错误!对称B．函数g（x）的图象关于点（错误!，0)对称C．函数g(x)在区间(－错误!，－错误!）上单调递增D．函数g（x)在区间(0，错误!）上有2个零点11．已知（2＋x)（1－2x）5＝a0＋a1x＋a2x错误!＋a3x错误!＋a4x错误!＋a5x错误!＋a6x错误!，则A．a0的值为2 B．a5的值为16 C．a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6的值为－5 D．a1＋a3＋a5的值为12012．记函数f(x）与g（x）的定义域的交集为I．若存在x0∈I,使得对任意x∈I,不等式[f(x）－g（x）]（x－x0）≥0恒成立，则称（f（x），g（x))构成“M函数对”．下列所给的两个函数能构成“M函数对”的有（）A．f（x)＝ln x，g（x）＝错误!B．f(x）＝e x,g （x）＝e xC．f（x）＝x3，g（x)＝x2 D．f(x)＝x＋错误!，g(x）＝3错误!三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球（小球完全浸入水中）升高错误!，则错误!＝▲ ．14．被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前287－前212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积,等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝4与抛物线C：y＝错误!x2交于A，B两点，则弦AB与抛物线C所围成的封闭图形的面积为▲ ．15．已知数列{a n｝的各项均为正数，其前n项和为S n，且2S n＝a n a n，n∈N＊，则a4＝▲ ；若a1＝2，则S20＝▲ ．（本＋1题第一空2分，第二空3分）16．若不等式（ax2＋bx＋1)e x≤1对一切x∈R恒成立,其中a，b∈R，e为自然对数的底数，则a＋b的取值范围是▲ ．四、解答题：本大题共6小题,共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知向量m＝（2cos x，－1），n＝(3sin x，2cos2x)，x∈R．设函数f(x）＝m·n＋1．（1)求函数f(x）的最小正周期;（2）若α∈[错误!，错误!]，且f（α)＝错误!，求cos2α的值．18．（本小题满分12分)已知数列{a n}是公比为2的等比数列，其前n项和为S n．(1）在①S1＋S3＝2S2＋2,②S3＝错误!,③a2a3＝4a4这三个条件中任选一个，补充到上述题干中．求数列｛a n}的通项公式，并判断此时数列{a n}是否满足条件P：任意m，n∈N*,a m a n均为数列｛a n}中的项，说明理由；(2）设数列｛b n}满足b n＝n（错误!）n－1，n∈N*，求数列｛b n}的前n项和T n．注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（本小题满分12分）为调查某校学生的课外阅读情况，随机抽取了该校100名学生(男生60人，女生40人），统计了他们的课外阅读达标情况（一个学期中课外阅读是否达到规定时间）,结果如下:E DAP（1）是否有99%的把握认为课外阅读达标与性别有关？附：χ2＝错误! ,（2)如果用这100名学生生中男生和女生课外阅读“达标”的频率分别代替该校男生和女生课外阅读“达标”的概率，且每位学生是否“达标”相互独立．现从该校学生中随机抽取3人（2男1女），设随机变量X 表示“3人中课外阅读达标的人数”，试求X 的分布列和数学期望．20．（本小题满分12分）如图,在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AD //BC ，AB ＝BC ＝PA ＝1,AD ＝2，∠PAD ＝∠DAB ＝90°，点E 在棱PC 上，设CE ＝λCP ．（1)求证:CD ⊥AE ；（2)记二面角C －AE －D 的平面角为θ，且｜cosθ|＝错误!,求实数λ的值．21．(本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x24＋y2＝1．(1）设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2,T是椭圆C上的一个动点，求错误!·错误!的取值范围；（2）设A(0，－1),与坐标轴不垂直．．．的直线l交椭圆C于B，D 两点．若△ABD是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l 的方程．22．（本小题满分12分）已知函数f (x）＝kx－x ln x，k∈R．（1）当k＝2时，求函数f（x）的单调区间；（2）当0＜x≤1时,f（x）≤k恒成立，求k的取值范围；（3)设n∈N*，求证：错误!＋错误!＋…＋错误!≤错误!．南京市2021届高三年级学情调研测试数学试卷考点扫描一、单项选择题：整体分析：1-6题较为基础;第7题需要掌握切线长的转换,进而表示PA与PB的表达式，通过设P点求出轨迹方程;第8题需要利用已知条件中的关系式（关于直线x=1对称）、奇函数得出周期,进而求出对应区间的函数值。
金陵中学高三10月学情调研
52 2 金陵中学高三年级学情调研测试数学试卷考试时间：120 分钟 满分 150 分一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合 A = {0 , 1 , 2}， B = {x x 2- 3x ≤ 0}，则 A B 等于（ ）A. {1 , 2}B. {0 , 1 , 2}C. {0 , 1 , 2 , 3}D. {x 0 ≤ x ≤ 3}2. 已知复数 z 满足(2 - i )z = 1 + 2i （ i 为虚数单位），那么 z 的虚部为（ ）A.1B. -1C. 0D. i5x 2 y 23. 若两个正数 a , b 的等差中项为 2，等比中项为 ，且 a > b ，则双曲线 - a 2 b 2 = 1的离心率 e 等于（ ）1 5 A.B.C.D.33334. 马林·梅森（Marin Mersenne ，1588-1648）是 17 世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人数，梅森在欧几里得、费马瞪等人研究的基础上对 2 p-1作出了大量的计算、验证工作，人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2 p-1（其中 p 是素数）的素数，成为梅森素数. 在不超过40 的素数中，随机选取两个不同的数，至少有一个为梅森素数的概率是（ ）5191A.B.C.D.116 22 22 5. 若函数 f (x )= sin ⎛ 1 x +θ⎫ - 3 cos ⎛ 1 x +θ⎫⎛ θ < π⎫的图像关于原点对称，则θ的值为（）⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎪ ⎪ ⎭⎝⎭A. -πB.π C. -π D.π663 36. 已知 ∆ABC 的面积为 S ，角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ，若2S = (a + b )2- c 2，则 tan C 的值是（ ）A.4 B. -4 C.3 D. - 333447. 若过抛物线 y 2= 4x 的焦点作两条互相垂直的弦 AB ， CD ，则四边形 ABCD 的面积的最小值为（ ）A. 8B.16C. 32D. 646 13 2x 2 2 2 3 3 8. 已知点 P 为函数 f (x )= 1x 2+ 2ax 与 g (x )= 3a 2ln x + b (a > 0)的图像的公共点，若以点 P 为切点可作2直线与两个函数的图像都相切，则实数b 的最大值为（ ）A. 2e 33B. 3 e 32 C. 2 e 23 D. 3 e 22二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.9. 已知圆C : x 2+ y 2- 2x = 0，点 A 是直线 y = kx - 3上任意一点，若以点 A 为圆心，半径为1的圆 A 与圆C 没有公共点，则整数 k 的值可能为（ ） A. - 2B. -1C. 0D.110. 下列说法正确的是（ ）A. 若 x , y > 0 ， x + y = 2 ，则2x+ 2 y的最大值为4B. 若 x < 1，则函数 y = 2x +212x -1的最大值为-1 C. 若 x , y > 0 ， x + y + xy = 3，则 xy 的最小值为1 D. 函数 y =1 + sin2 x 4cos 2 x的最小值为9 11. 已知集合 M ={(x , y ) y = f (x )}，若对于任意(x , y 1)∈ M ，存在(x2, y 2 )∈ M ，使得 x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0成 立 ， 则 称 集 合 M 是 “ 完 美 对 点 集 ” . 给 出 下 列 四 个 集 合 ： ① M =⎧(x , y ) y = 1 ⎫ ； ②⎨ ⎬ ⎩⎭M = {(x , y ) y = sin x + 1}；③ M = {(x , y ) y = log x }；④M = {(x , y ) y = e x- 2}；其中是“完美对点集”的序号为（ ） A.①B.②C.③D.④12. 已知在棱长为1的正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，点 E ， F ， H 分别是 AB ， DD 1 ， BC 1 的中点，下列结论中正确的是（ ）A. D 1C 1 // 平面CHDB. AC 1 ⊥ 平面 BDA 113 ⎨ C. 三棱锥 D - BA C 的体积为 51 16D. 直线 EF 与 BC 1 所成角为30︒三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 若等比数列{a n }的前 n 项和为 S n ，且满足 S 2 = 3， S 3 - S 1 = 6，则 a 6 =.14. 已知二项式⎛ x 2 + ⎝a⎫6⎪ ⎭ 的展开式中含 x 3 项的系数是160 ，则实数 a 的值是.15. 已知正三棱锥 S - ABC 的侧棱长为4 ，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是.16. 已知函数 f (x )= ⎪⎧ ln x , 0 < x ≤ e，若 a , b , c 互不相等，且 f (a )= ⎪⎩2 - ln x , x > ef (b )= f (c )，则 a + b + c 的取值范围是.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （ 本 小 题 满 分 10 分 ） 在 ∆ABC 中 ， 分 a , b , c 别 为 内 角 A , B , C 的 对 边 ， 且 满 足(b - a )(sin B + sin A )= c ( 3 sin B - sin C ).（1）求 A 的大小；（2）再在① a = 2 ，② B = π，③ c = 43b ，这三个条件中，选出两个使 ∆ABC 唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题，若 ，，求 ∆ABC 的面积.x2 n n2n18. （本小题满分 12 分）设 n ∈ N *，数列{a }的前n 项和为 S ，已知 S= S + a + 2 ， a , a , a 成等nnn +1nn125比数列（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b }满足b = (-1)na + ( 2 )1+a n，求数列{b }的前2n 项的和T .19. （本小题满分 12 分）如图，四棱锥 S - ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 倍，P 为侧棱 SD 上的点（1）求证： AC ⊥ SD（2）若 SD ⊥ 平面 PAC ，求二面角 P - AC - S 的大小；n n15020. （本小题满分 12 分）某公司开发了一种产品，有一项质量指标为“长度”（记为l ，单位： cm ）先从中随机抽取100 件，测量发现全部介于85cm 和155cm 之间，得到如下频数分布表：已知该批产品的该项质量指标值服从正态分布 N (μ,σ2)μσ2近似为样本方 差s 2 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.（1）求 P (132.2 < l < 144.4)；（2）公司规定；当l ≥ 115 时，产品为正品；当l < 115 时，产品为次品，公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利 90 元；若是次品，则亏损 30 元，记ξ为生产一件这种产品的利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望.参考数据： ≈ 12.2若 X ~ N (μ,σ2)，则 P (μ-σ< X ≤ μ+σ)≈ 0.6827 ， P (μ- 2σ< X ≤ μ+ 2σ)≈ 0.9545，P (μ- 3σ< X ≤ μ+ 3σ)≈ 0.9973 .分组 [85 , 95) [95 , 105) [105 , 115) [115 , 125) [125 , 135) [135 , 145) [145 , 155]频数292233248221.（本小题满分12分）已知函数f(x)=x ln x，g(x)=λ(x2-1)（λ为常数）（1）当λ=1 时，证明：对任意x ∈[1 , +∞)，不等式f (x)≤g(x)恒成立；2（2）若对任意x ∈[1 , +∞)，不等式f (x)≤g(x)恒成立，求实数λ的取值范围.x2+y 2=(>>)=122.（本小题满分12 分）如图，已知椭圆C :a2F1的距离的最大值为3.（1）求椭圆C 的方程；1 a bb20 的离心率e ，椭圆上的点到左焦点2（2）求椭圆C 的外切矩形ABCD 的面积S 的取值范围.。
2024-2025学年江苏省南京市金陵中学高一(上)学情调研数学试卷(10月份)(含答案)
2024-2025学年江苏省南京市金陵中学高一（上）学情调研数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设a，b∈R，集合A={0,a}，集合B={−1,b}，若A=B，则a+b的值为( )A. 1B. 0C. −1D. −22.命题“∀x>1，x2+x−2>0”的否定为( )A. ∃x>1，x2+x−2≤0B. ∃x≤1，x2+x−2≤0C. ∀x≤1，x2+x−2≤0D. ∀x>1，x2+x−2≤03.设x>0，y>0且x+y=2，则4x +1y的最小值为( )A. 9B. 52C. 4 D. 924.满足{a1,a2}⊆A⊆{a1,a2,a3,a4,a5}的集合A的个数为( )A. 5B. 4C. 8D. 75.设全集U=A∪B={1,2,3,5,8}，A∩(∁U B)={1,5}，B∩(∁U A)={2}，则集合A为( )A. {1,2,5}B. {1,3,5,8}C. {3,8}D. {1,5}6.若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )A. a2+b2>2abB. a+b≥2abC. 1a +1b>2abD. ba+ab≥27.已知关于x的不等式(a−2)x2+2(a−2)x+1≤0的解集是⌀，则实数a的取值范围是( )A. [2,3)B. (−∞,2)∪(3,+∞)C. (2,3)D. (−∞,2]∪(3，+∞)8.设集合A={x|(x−2)(x−a)≤0}，B={x|3<x<7}，若A∩B中恰含有3个整数，则实数a的取值范围是( )A. (5,6]B. [6,+∞)C. [6,7)D. (6,7]二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a>b>c>0，下列不等式一定成立的是( )A. b<a+b2<a B. ca>cbC. ba−b>cb−cD. ab>a+cb+c10.下列叙述正确的是( )A. 已知a，b，c是实数，则“ac2>bc2”成立的充分不必要条件是“a>b”B. “x∈A∩B”是“x∈A∪B”的充分不必要条件C. “x>0且y>0”是“xy>0”的充分不必要条件D. “a2>1”是“a>1”的必要不充分条件11.关于x的不等式|x−a|≤2成立的必要不充分条件是−3<x≤316，则下列叙述正确的是( )A. 4−a+94−a的最小值为6B. 关于x的不等式x2−2ax+a2+a+1≤0的解集为⌀C. 关于x的不等式(x−a)(x−8)<0的解集中整数解最少3个D. {x|x≤a+1}∪{x|x≥2a−136}=R三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
南京市2021届高三年级学情调研(数学)参考答案
南京市2021届高三年级学情调研 数学参考答案 2020.09一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．C 2．B 3．D 4．A 5．A 6．C 7．C 8．B 二、多项选择题：本大题共4小题，每题5分，共20分． 9．ABD 10．ACD 11．ABC 12．AC 三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．13．2 14．643 15．4；220 16．(－∞，－1]四、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．（本小题满分10分）解：因为 m ＝(2cos x ，－1)，n ＝(3sin x ，2cos 2x )，所以f (x )＝m ·n ＋1＝23sin x cos x －2cos 2x ＋1＝3sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π6)． ……………………… 4分（1）T ＝2π2＝π． ……………………… 5分（2）由f (α)＝85，得sin(2α－π6)＝45．由α∈[π3，7π12]，得π2≤2α－π6≤π，所以cos(2α－π6)＝－1－sin 2(2α－π6)＝－1－(45)2＝－35，……………… 7分从而 cos2α＝cos[(2α－π6)＋π6]＝cos(2α－π6)cos π6－sin(2α－π6)sin π6＝－35×32－45×12＝－4－3310． …………………… 10分18．（本小题满分12分） 解：（1）选①，因为S 1＋S 3＝2S 2＋2，所以S 3－S 2＝S 2－S 1＋2，即a 3＝a 2＋2， 又数列{a n }是公比为2的等比数列，所以4a 1＝2a 1＋2，解得a 1＝1，因此a n ＝1×2n －1＝2n －1． …………………………………… 4分此时任意m ，n ∈N *，a m a n ＝2m －1·2n －1＝2m＋n －2，由于m ＋n －1∈N *，所以a m a n 是数列{a n }的第m ＋n －1项，因此数列{a n }满足条件P ． ……………………………………7分 选②，因为S 3＝73，即a 1＋a 2＋a 3＝73，又数列{a n }是公比为2的等比数列， 所以a 1＋2a 1＋4a 1＝73，解得a 1＝13，因此a n ＝13×2n －1． ………………………………… 4分此时a 1a 2＝29＜a 1≤a n ，即a 1a 2不为数列{a n }中的项，因此数列{a n }不满足条件P ． ………………………………… 7分 选③，因为a 2a 3＝4a 4，又数列{a n }是公比为2的等比数列，所以2a 1×4a 1＝4×8a 1，又a 1≠0，故a 1＝4，因此a n ＝4×2n －1＝2n ＋1． …………………………………4分 此时任意m ，n ∈N *，a m a n ＝2m ＋1·2n ＋1＝2m＋n ＋2，由于m ＋n ＋1∈N *，所以a m a n 是为数列{a n }的第m ＋n ＋1项，因此数列{a n }满足条件P ． ……………………………………7分 （2）因为数列{a n }是公比为2的等比数列，所以a n ＋1a n＝2，因此b n ＝n ×2n －1．所以T n ＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n ×2n －1，则2T n ＝ 1×21＋2×22＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n ，两式相减得－T n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ×2n ………………………10分 ＝1－2n1－2－n ×2n＝(1－n )2n －1，所以T n ＝(n －1)2n ＋1． ……………………………………12分19．（本小题满分12分）解：（1）假设H 0：课外阅读达标与性别无关，根据列联表，求得χ2＝100×(36×30－24×10)2(36＋24)×(10＋30)×(36＋10)×(24＋30)＝2450207≈11.836＞6.635，因为当H 0成立时，χ2≥6.635的概率约为0.01，所以有99%以上的把握认为课外阅读达标与性别有关． …………………… 4分 （2）记事件A 为：从该校男生中随机抽取1人，课外阅读达标；事件B 为：从该校女生中随机抽取1人，课外阅读达标．由题意知：P (A )＝2460＝25，P (B )＝3040＝34． ……………………… 6分随机变量X 的取值可能为0，1，2，3． P (X ＝0)＝(1－25)2×(1－34)＝9100，P (X ＝1)＝C 12×25×(1－25)×(1－34)＋34×(1－25)2＝39100， P (X ＝2)＝(25)2×(1－34)＋C 12×25×(1－25)×34＝25， P (X ＝3)＝(25)2×34＝325．所以随机变量X 的分布列为：………………………… 10分 期望E (X )＝0×9100＋1×39100＋2×25＋3×325＝1.55． ………………………… 12分20．（本小题满分12分）（1）证明：因为∠P AD ＝90°，所以P A ⊥AD ．因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，P A ⊂平面P AD ， 所以P A ⊥平面ABCD ． ………………………… 2分 又CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥P A ．在四边形ABCD 中，AD //BC ，∠DAB ＝90°，所以∠ABC ＝90°，又AB ＝BC ＝1，所以△ABC 是等腰直角三角形，即∠BAC ＝∠CAD ＝45°，AC ＝2．在△CAD 中，∠CAD ＝45°，AC ＝2，AD ＝2，所以CD ＝ AC 2＋AD 2－2×AC ×AD ×cos ∠CAD ＝2，从而AC 2＋CD 2＝4＝AD 2．所以CD ⊥AC ． ………………………… 4分 又AC ∩P A ＝A ，AC ，P A ⊂平面P AC ，所以CD ⊥平面P AC ．又AE ⊂平面P AC ，所以CD ⊥AE ． ………………………… 6分 （2）解：因为P A ⊥平面ABCD ，BA ⊥AD ，故以{→AB ，→AD ，→AP }为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．因为AB ＝BC ＝P A ＝1，AD ＝2， 所以 A (0，0，0)，P (0，0，1)，C (1，1，0)，D (0，2，0)， 则→CD ＝(－1，1，0)，→AD ＝(0，2，0)．因为点E 在棱PC 上，且CE ＝λCP ， 所以→CE ＝λ→CP ，设E (x ，y ，z )，则(x －1，y －1，z )＝λ(－1，－1，1)，故E (1－λ，1－λ，λ)，所以→AE ＝(1－λ，1－λ，λ)．由（1）知，CD ⊥平面P AC ，所以平面ACE 的一个法向量为n ＝→CD ＝(－1，1，0)． 设平面AED 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·→AE ＝0，m ·→AD ＝0，得⎩⎨⎧(1－λ)x 1＋(1－λ)y 1＋λz 1＝0，y 1＝0，令z 1＝1－λ，所以平面AED 的一个法向量为m ＝(－λ，0，1－λ)．………………………… 9分因此 |cos θ|＝|cos<m ，n >|＝|m ·n|m ||n ||＝|λ2·λ2＋(1－λ)2|＝105，化简得3λ2－8λ＋4＝0，解得λ＝23或2．因为E 在棱PC 上，所以λ∈[0，1]，所以λ＝23．所以当|cos θ|＝105时，实数λ的值为23． ………………………… 12分 21．（本小题满分12分）解：（1）因为椭圆C ：x 24＋y 2＝1，所以F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设T (x 0，y 0)，则 TF 1→·TF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 02＋y 02－3．因为点T (x 0，y 0)在椭圆C 上，即x 024＋y 02＝1，所以TF 1→·TF 2→＝34x 02－2，且x 02∈[0，4]，所以TF 1→·TF 2→的取值范围是[－2，1]． ………………………… 4分 （2）因为直线l 与坐标轴不垂直，故设直线l 方程y ＝kx ＋m (m ≠－1，k ≠0)．设B (x 1，y 1)，Ｄ(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1．得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1) 1＋4k 2． ………………………… 6分因为△ABD 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，所以AB ⊥AD ，即 AB →·AD →＝0， 因此 (y 1＋1)( y 2＋1)＋x 1x 2＝0，即(kx 1＋m ＋1)( kx 2＋m ＋1)＋x 1x 2＝0， 从而 (1＋k 2) x 1x 2＋k (m ＋1)( x 1＋x 2)＋(m ＋1)2＝0， 即(1＋k 2)×4(m 2－1)1＋4k 2－k (m ＋1)×8km1＋4k2＋(m ＋1)2＝0， 也即 4(1＋k 2)( m －1)－8k 2m ＋(1＋4k 2) (m ＋1)＝0，解得m ＝35． ………………………… 9分又线段BD 的中点M (－4km 1＋4k 2，m1＋4k 2)，且AM ⊥BD ，所以m1＋4k 2＋1－4km 1＋4k 2＝－1k ，即3m ＝1＋4k 2，解得k ＝± 5 5．又当k ＝±5 5，m ＝35时，△＝64k 2m 2－4(1＋4k 2)( 4m 2－4)＝57625＞0， 所以满足条件的直线l 的方程为y ＝± 5 5x ＋35. ……………………… 12分 22．（本小题满分12分）解：（1）当k ＝2时，f (x )＝2x －x ln x ，f ′(x )＝1－ln x ， 由f ′(x )＞0，解得0＜x ＜e ；由f ′(x )＜0，解得x ＞e ，因此函数f (x )单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)．……… 2分 （2）f (x )＝kx －x ln x ，故f ′(x )＝k －1－ln x ．当k ≥1时，因为0＜x ≤1，所以k －1≥0≥ln x ， 因此f ′(x )≥0恒成立，即f (x )在(0，1]上单调递增，所以f (x )≤f (1)＝k 恒成立． …………………………… 4分 当k ＜1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝e k －1∈(0，1)．当x ∈(0，e k －1)，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(e k －1，1)，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 于是f (e k －1)＞f (1)＝k ，与f (x )≤k 恒成立相矛盾．综上，k 的取值范围为[1，＋∞)． …………………………… 7分 （3）由（2）知，当0＜x ≤1时，x －x ln x ≤1．令x ＝1n 2(n ∈N *)，则 1n 2＋2n 2ln n ≤1，即2ln n ≤n 2－1，因此ln n n ＋1≤n －12． ……………………………………10分所以ln12＋ln23＋…＋ln n n ＋1≤02＋12＋…＋n －12＝n (n －1)4． …………………12分。
江苏省南京市2021届高三年级学情调研数学试卷(解析版)
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A
D
B
C
高三数学试题第 4页
21．（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x2＋ y2＝ 1． 4 （1）设椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1，F2，T 是椭圆 C 上的一个动点，求T→F1·→ TF2的
取值范围； （2）设 A(0，－1)，与坐标轴不．垂．直．的直线 l 交椭圆 C 于 B，D 两点．若△ABD 是以 A
升高r，则R＝ ▲ ． 3r
r 3
r
14．被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前 287－前 212），是古希腊伟大的物理学家、数学
家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的
封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三
分之二．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在
2．已知(3－4i)z＝1＋i，其中 i 为虚数单位，则在复平面内 z 对应的点位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝2，且|a＋b|＝ 3，则 a 与 b 的夹角为
A．π 6
B．π 3
C．5π 6
D．2π 3
4．在平面直角坐标系 xOy 中，若点 P(4 3，0)到双曲线 C：ax22－y92＝1 的一条渐近线的距离
2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置． 3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用 2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信
息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，
江苏省南京市六校联合体2024-2025学年高三上学期10月联合调研数学试题及答案
2024-2025学年第一学期六校联合体10月联合调研高三数学2024.10.22注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x| x 2－2x －8＜0}，B ＝{x| x ≤4 }，则“x ∈A ”是“x ∈B ”A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 2．若复数z 满足－z ＝2－i3＋i，则|z |＝A ．510 B ．102 C ．22 D ．123．甲、乙、丙、丁去听同时举行的3个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为A ．6B ．12C ． 18D ． 24 4．已知等比数列{a n }满足a 4a 5a 6＝64，则a 2a 4＋a 6a 8的最小值为A ．48B ．32C ．24D ．85．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－13x 3＋ax 2－a －4(x ≥0)ax －sin x (x ＜0)在R 上单调，则实数a 的取值范围为A ．()－∞，－1B ．(]－∞，－1C ．[)－4，－1D ．[]－4，－1 6．已知圆(x －2)2＋y 2＝1与双曲线x 2a 2－y 2b21(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线交于A ，B 两点，且|AB |＝1，则该双曲线的离心率为A ．2B ．13C ．21313D ．413137．已知函数f (x )＝(x －4)3 cos ωx (ω＞0)，存在常数a ∈R ，使f (x ＋a )为偶函数，则ω的最小值为A ．π12B ．π8C ．π4D ． π28．已知2024m ＝2025，2023m ＝x ＋2024 ，2025m ＝y ＋2026，则A ．0＜x ＜yB ．x ＜y ＜0C ．y ＜x ＜0D ．x ＜0＜y二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法中正确的是A ．若随机变量X ~B (10，p )，且E (X )＝3，则D (X )＝2.1B ．某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，7，9，5，这组数据的75百分位数为7C ．若随机变量ξ～N (μ，σ2)，且P (ξ＞3)＝P (ξ＜－1)＝p ，则P (1≤ξ≤3)＝12－pD ．若变量y 关于变量x 的线性回归方程为^y ＝x ＋t ，且－x ＝4，－y ＝2t ，则t ＝4310．已知棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，球O 是该正方体的内切球，E ，F ，P 分别是棱AA 1，BC ，C 1D 1的中点，M 是正方形BCC 1B 1的中心，则 A ．球O 与该正方体的表面积之比为π6B ．直线EF 与OM 所成的角的正切值为2C ．直线EP 被球O 截得的线段的长度为22D ．球O 的球面与平面APM 的交线长为4π11．已知函数f (x )＝x 3＋mx ＋1，则A ．当m ＝－1时，过点(2，2)可作3条直线与函数f (x )的图象相切B ．对任意实数m ，函数f (x )的图象都关于(0，1)对称C ．若f (x )存在极值点x 0，当f (x 1)＝f (x 0)且x 1≠x 0，则x 1＋320＝0D ．若有唯一正方形使其4个顶点都在函数f (x )的图象上，则m ＝－22三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知向量a ，b 满足a ＋b ＝(2，1)，a －b ＝(－2，4)，则|a |－|b |＝_______．13．某个软件公司对软件进行升级， 将序列A ＝(a 1，a 2，a 3，···)升级为新序列A*＝(a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3，···)， A*中的第n 项为a n +1－a n ， 若(A*)*的所有项都是3，且a 4＝11， a 5＝18，则a 1＝_______．14．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点D (－1，0)的直线l 在第一象限与C 交于A ，B 两点，且BF 为∠AFD 的平分线，则直线l 的方程为_______．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．（本题满分13分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，AB ⊥AD ，PA ＝PD ， AB ＝2，AD ＝8，AC ＝CD ＝5(1)求证：平面PCD ⊥平面PAB ；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．16．（本题满分15分）已知△ABC 的角A ，B ，C 对的边分别为a ，b ，c ，2b cos A ＝2c －3a (1)求B ；(2)若cos A ＝sin C －1，CA →＝4CD →，BD ＝37，求△ABC 的面积．17．（本题满分15分）某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话．聊天机器人的开发主要采用RLHF （人类反馈强化学习）技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为80%，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为40%．(1)在某次测试中输入了8个问题，聊天机器人的回答有5个被采纳，现从这8个问题中抽取4个，以X 表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求X 的分布列和数学期望； (2)设输入的问题出现语法错误的概率为p ，若聊天机器人的回答被采纳的概率为70%，求p 的值．18．（本题满分17分） 已知f (x )＝ln(x ＋1)(1) 设h (x )＝x f (x －1)，求h (x )的极值．(2) 若f (x )≤ax 在[0，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围．(3) 若存在常数M ，使得对任意x ∈I ，f (x )≤M 恒成立，则称f (x )在I 上有上界M ，函数f (x )称为有上界函数．如y ＝e x 是在R 上没有上界的函数， y ＝ln x 是在(0，＋∞)上没有上界的函数；y ＝－e x ，y ＝－x 2都是在R 上有上界的函数．若g (n )＝1＋12＋13＋···＋1n (n ∈N *)，则g (n )是否在N *上有上界? 若有，求出上界；若没有，给出证明．19．（本题满分17分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，C 的上顶点为B ，左右顶点分别为A 1、A 2，左焦点为F 1，离心率为12．过F 1作垂直于x 轴的直线与C 交于D ，E 两点，且| DE |＝3．(1)求C 的方程；(2)若M ，N 是C 上任意两点①若点M (1，32)，点N 位于x 轴下方，直线MN 交x 轴于点G ，设△M A 1G 和△NA 2G的面积分别为S 1，S 2，若2S 1－2S 2＝3，求线段MN 的长度；②若直线MN 与坐标轴不垂直，H 为线段MN 的中点，直线OH 与C 交于P ，Q 两点，已知P ，Q ，M ，N 四点共圆， 求证：线段MN 的长度不大于14．2024-2025学年第一学期六校联合体10月联合调研高三数学参考答案 2024.10一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1．C 2．C 3．A 4．B 5．D 6．D 7．B 8．D二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分． 9． AC 10．ACD 11．ABD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12．0 13．8 14．y =32x ＋32四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）解：（1）∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =， 且AB AD ⊥，AB ⊂平面ABCD ，∴AB ⊥平面PAD ，………………...........................2分 ∵PD ⊂平面PAD ，∴AB PD ⊥，又PD PA ⊥，且PA AB A =，,PA AB ⊂平面PAB ， ∴PD ⊥平面PAB ；…………................................……..4分又PD ⊂平面PAD ，所以平面⊥PCD 平面PAB ………………..6分 （2）取AD 中点为O ，连接CO ，PO 又因为PD PA =，所以AD PO ⊥ 则4==PO AO因为5==CD AC ，所以AD CO ⊥，则322=−=AO AC CO以O 为坐标原点，分别以OP OA OC ,,所在直线为z y x ,,轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O −则)4,0,0(),0,4,0(),0,0,3(),0,4,2(),0,4,0(P D C B A −,)4,4,0(),4,0,3(−−=−=PD PC ，)4,4,2(−=PB ......................................……..8分设),,(z y x n =是平面PCD 的一个法向量，则,00⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅PD n PC n 得⎩⎨⎧=+=−043z y z x ，令,3=z 则3,4−==y x ， 所以)3,3,4(−=n ……………............................................…..10分设PB 与平面PCD 所成的角为θ则51344363416sin =⋅−==θ 所以PB 与平面PCD 所成的角的正弦值为51344………………..13分16．（本小题满分15分）解：因为2cos 2b A c =，所以2sin cos 2sin B A C A =2sin cos 2sin()2sin cos 2cos sin B A A B A A B A B A =+=+所以B A A cos sin 2sin 3=…………..3分 在ABC ∆中，0sin ≠A ,所以23cos =B ，所以6π=B …………..5分 （2）由1sin cos −=C A ，得1sin -65cos −=C C ）（π， 1sin sin 65sin cos 65cos−=+C C C ππ，1)3sin(=+πC ………..7分 因为π<<C 0,所以3433πππ<+<C ，所以23ππ=+C ，所以6π=C …………..9分所以c b A ==，32π在ABD ∆中, ,4CD CA =所以b AD 43=A AD AB AD AB BD cos 237222⋅−+==)21(43216922−⋅⋅−+=b b b b ，得4==c b ，…………………………………………………………....13分 所以ABC ∆的面积.34234421sin 21=⋅⋅⋅=⋅=A AC AB S ………………..15分17．（本小题满分15分）（1）由题可知X 的所有取值为1，2，3，4，P (X ＝1)＝C 15C 33C 48＝570＝114P (X ＝2)＝C 25C 23C 48＝3070＝37P (X ＝3)＝C 35C 13C 48＝3070＝37P (X ＝4)＝C 45C 03C 48＝570＝114………………………………8分故X 的分布列为：则E (X )＝1×1142×37＋3×37＋4×114＝52．………………………………9分（2）记“输入的问题没有语法错误”为事件A ，记“输入的问题有语法错误”为事件B ，记“回答被采纳”为事件C ，…………………………………………………………10分由已知得，P (C )＝0.7，P (C |A )＝0.8，P (C |B )＝0.4，P (B )＝p ，P (A )＝1－p ， 所以由全概率公式得P (C )＝P (A )·P (C |A )＋P (B )·P (C |B )＝0.8(1－p )＋0.4p ＝0.8－0.4p ＝0.7，…………14分 解得p ＝0.25．……………………………………………………………………15分18．（本小题满分17分） 解：(1) h ′(x )＝ln x ＋1(x ＞0)令h ′(x )＝0则x ＝1e ……………………………………………………………2分所以在(0，1e 上h ′(x ) ＜0，h (x )递减；在(1e，＋∞)上，h ′(x )＞0，h (x )递增； 所以函数h (x )有极小值h (1e )＝－1e ，函数没有极大值．（未写极大值扣1分）…………4分(2)设m (x )＝ln(x ＋1)－ax (x ≥0)，m (0)＝0 m ′(x )＝1x +1－a 当a ≤0时, m ′(x )＞0, m (x )单调递增，m (x )≥0，显然不满足. …………………………6分 当0＜a ＜1时,令 m ′(x ) ＝0, x 0使m ′(x 0)＝0，在(0，x 0)上，m (x )单调递增；在( x 0，＋∞)上，m (x )单调递减，显然不成立；…………………………………………………………8分 当a ≥1时，m ′(x )＜0，m (x )单调递减，m (x )≤m (0)=0；…………………………………10分 综上：a ≥1. ………………………………………………………………………………11分(3)没有上界，理由如下：由(1)可知，ln(x ＋1)≤x 在[0，＋∞)上恒成立，令x ＝1n ，则ln(1n 1)≤1n，…………………………………………………………………13分所以ln(11＋1)＜11，ln(12＋1)＜12，ln(13＋1)＜13．．．ln(1n ＋1)＜1n ，…………………………15分将上式相加，ln(n ＋1)＜1＋12＋13＋．．．＋1ng (n )由于ln(n ＋1)没有上界，故g (n )也没有上界. …………………………………………17分19．（本小题满分17分）解：（1）由离心率为12，得b 2 a 2＝34，由DE ＝3得2b 2a ＝3，解得a ＝2，b ＝3所以故椭圆C 的方程为x 24＋y 231…………………………………………………………3分（2）由（1）可得A 2(2,0)，连接MA 2，因为S 1－S 2=S △M A 1A 2－S △M NA 2=32，S △M A 1O =32， 所以S △NGA 2=S △M OG ，得S △NMA 2=S △M OA 2;所以ON ∥MA 2，所以直线ON 的方程为，y ＝－32x,……………………………………6分由⎩⎨⎧y ＝－32x ，x 24＋y 23＝1．得N (1,－32)，N (－1,32)（舍去）. 所以|MN |=3 …………………………………………………8分（3）设直线MN :y ＝kx ＋m ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2),P (x 3，y 3)，H (x 0，y 0)则Q (－x 3，－y 3).联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1．可得，(3+4k 2)x 2+8mkx+4m 2－12＝0， 所以，x 1＋x 2＝－8mk 4k 2+3，x 1x 2＝4m 2－124k 2+3，………………………………………10分y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝6m4k 2+3Δ＝64m 2k 2＋16(m 2－3)(4k 2+3)＞0,得m 2－3－4k 2<0． 所以中点H 的坐标为(－4mk 4k 2+3，3m 4k 2+3)，所以k OH ＝－34k, 故直线OH ：y ＝－34k x. ………………………………………12分由P ，Q ，M ，N 四点共圆，则|HM |·|HN |＝|HP |·|HQ |,………………………………14分由|HM |·|HN |=14|MN |2=14(1+k 2)[(x 1＋x 2)2－x 1x 2]=12(1+k 2).4k 2+3－m 2(4k 2+3)2; 联立⎩⎨⎧y ＝－34k x ，x 24＋y 23＝1．可得，x 2＝16k24k 2+3，所以x23＝16k 24k 2+3，所以|HP |·|HQ |=(1+916k 2)|x 20－x 23|=(9+16k 2).4k 2+3－m 2(4k 2+3)2, 所以12(1+k 2)=9+16k 2得，k =±32……………………………………………………16分 所有m 2<3+4k 2=6，得m ∈(－ 6 ,6)，|MN |2=48(1+k 2).4k 2+3－m 2(4k 2+3)2=42－7m 23 ≤14 即|MN |≤14…………………………………………………………………………17分。
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江苏省南京市金陵中学2020-2021学年高三上学期
10月学情调研测试数学试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 若集合，，则（）A．B．C．D．
2. 已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（）
A．1 B．-1 C．0 D．
3. 两正数的等差中项为，等比中项为，且，则双曲线
的离心率为（）
A．B．C．D．
4. 马林·梅森(MarinMersenne，1588-1648)是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物.梅森在欧几里得?费马等人研究的基础上对作了大量的计算?验证工作，人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如(其中是素数)的素数，称为梅森素数.在不超过40的素数中，随机选取两个不同的数，至少有一个为梅森素数的概率是（）
A．B．C．D．
5. 设函数的图像关于原点对称，则的值为（）
A．B．C．D．
6. 的面积为，角的对边分别为，若，则
的值是（）
A．B．C．D．
7. 过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，，则四边形面积的最小值为（）
A．8 B．16 C．32 D．64
8. 设点为函数与的图像的公共点，以为切点可作直线与两曲线都相切，则实数的最大值为（）
A．B．C．D．
二、多选题
9. 已知圆C：，点A是直线上任意一点，若以点A为圆心，半径为1的圆A与圆C没有公共点，则整数k的值可能为（）A．B．C．0 D．1
10. 下列说法正确的是（）
A．若x，y>0，x+y=2，则的最大值为4；
B．若，则函数y=的最大值为-1；
C．若x,y>0，x+y+xy=3，则xy的最小值为1;
D．函数的最小值为9.
11. 已知集合，若对于任意，存在
，使得成立，则称集合M是“完美对点集”.给出下列四个集合：
①；
②；
③；
④.
其中是“完美对点集”的序号为（）
A．①B．②C．③D．④
12. 如图，已知在棱长为1的正方体中，点E，F，H分别是
，，的中点，下列结论中正确的是（）
A．平面
B．平面
C．三棱锥的体积为
D．直线与所成的角为30°
三、填空题
13. 若等比数列的前n项的和为，且满足，，则
=__________.
14. 已知二项式的展开式中含项的系数是160，则实数a的值是
______.
15. 已知正三棱锥的侧棱长为，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是________.
16. 已知函数，若互不相等，且
，则的取值范围是______．
四、解答题
17. 在中，，，分别为内角，，的对边，且满
.
（1）求的大小；
（2）再在①，②，③这三个条件中，选出两个使唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题.若________，________，求的面积.
18. 设，数列的前n项和为，已知，，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项的和.
19. 如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的
倍，P为侧棱上的点.
（1）求证：；
（2）若平面，求二面角的大小.
20. 某公司开发了一种产品，有一项质量指标为“长度”（记为l，单
位:cm)，先从中随机抽取100件，测量发现全部介于 85 cm和155 cm之
分
组
频
2 9 22 3
3 2
4 8 2 数
已知该批产品的该项质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本方差 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表). （1）求；
（2）公司规定:当时，产品为正品:当时，产品为次品，公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元;若是次品，则亏损30元.记为生产一件这种产品的利润，求随机变量的分布列和数学期望.
参考数据：，若，则，
，
21. 已知函数，(为常数).
（1）当时，证明：对任意，不等式恒成立；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
22. 设椭圆的离心率，椭圆上的点到左焦点的距离的最大值为3.
（1）求椭圆的方程；
（2）求椭圆的外切矩形的面积的取值范围.。