等几何分析

等几何分析研究进展

摘要等几何分析是一种刚刚兴起的数值分析方法，对现有的CAE产生了很大的影响。等几何分析法的出现于发展，缓解和消除了困扰CAE多年的难题，开启了一条结合设计、分析和优化等三方面的途径。本文阐述了等几何分析产生的背景、意义和相关的定义，还介绍了等几何分析从首先提出到现如今的10年发展历程，包括基础理论体系的发展与完善，新型样条的构建，网格细分方法的研究，计算效率的提高，以及其他方面（如边界条件的施加、接触分析、结构优化等）的进展，展示了等几何分析相对于基于拉格朗日插值的有限元法的优势。

关键字等几何分析有限元 NURBS 发展现状

1 前言

有限元分析是目前应用最广泛的一种数值分析方法，且由于结合了能够高速运算的计算机，有限元法得到了大多数人的支持。有限元法是将连续的物体离散成有限个单元，单元之间通过节点连接在一起，并将节点处的未知量作为基本未知量，使得无限自由度问题转换成了有限自由度的问题，在利用力学原理近似的求解出未知量。这一突出优点使得有限元法得到广泛应用，各类有限元软件也层出不穷，如ABAQUS、ANSYS、LS-DYNA、HyperMesh等。不过这一突出的优点也大大的限制了有限元的进一步发展。

首先，有限元法求得的结果的精确度与网格的细化程度有关，网格越细，则计算结果的精度越高，而计算时间和计算所需的内存也将随之增加，而以目前的水平来看，还无法做到超高精度的细化网格。Sandia国家实验室曾做过一项统计，在汽车、航空航天和造船行业，大约全部分析时间的80%用于网格划分及划分前的几何模型准备[1]。其次，网格划分使得应力不连续，且在处理大变形问题中，单元的过度扭曲导致精度严重损失。第三，网格划分工具对几何形状的识别精度较低，特别是划分复杂高级曲面时无法精确划分，容易划分出大变形网格。再者，网格划分是建立在几何模型的基础上，若几何模型发生改变，那么须得重新划分网格，花费大量时间。最后，在处理网格畸变、网格移动如动态裂纹扩展、冲压成型等问题时需要进行网格重构，不仅浪费计算时间，还会损害计算精度[2]。网格是有限元分析的基础，而以上缺陷都是网格划分造成的，是有限元法无法避免的。

基于以上原因，在2005年，Hughes等[3]提出等几何分析的思想。该方法直接结合了CAD中的几何模型，将其中的几何信息作为有限元分析的输入信息，大大地节省划分网格的时间。等几何分析与有限元法有许多相同之处，可以说是有限元法的发展，但其具有一套独立的理论体系。该方法采用描述几何形状的NURBS函数作为基函数，具有几何精确特性，且离散的几何形状不随单元的稀疏而改变，这意味着即使是比较稀疏的网格划分，也能精确描述研究对象的几何形状，具有很高的数值精度[4]。NURBS本身就具有网格，一个NURBS实体包含若干个NURBS单元，分析时，这些单元成为精确描述几何形状的实体单元。另外，类似于有限元的网格，NURBS单元也可以细分，基函数的次数也可提高，计算结果更加精确，但几何形状不改变。于是，Hughes将其命名为等几何分析。

2 等几何分析简介

2.1 B 样条基函数

由于NURBS 基函数是B 样条基函数的线性组合[5]，这里先讨论B 样条基函数的构造。B 样条基函数由节点矢量构建，如 ，式中u i 为节点，n 和p 分别是B 样条基函数的个数和阶数。基函数由Cox-de Boor 递推公式定义为[6]：

当p =0时，

()⎩⎨⎧<<=+其他

,0,110,i i i u u u u N 当p >0时，

()()()u N u u u u u N u u u u u N p i i p i p i p i i p i i p i 1,11

111,,-++++++-+--+--= 由基函数N i,p (u )和控制点P i 可表示出B 样条曲线：

()()11,+=≤≤=∑n p n i i

p i u u u P u N u C

由于B 样条曲线具有局部性质，因而，可将上面的p 次B 样条曲线方程改写为分段表示形式：

()()[][]

11,,,++-=⊂∈=

∑n p i i i p i j j p i u u u u u P u N u C 若给定(m +1)×(n +1)个控制点P i,j （i =1, 2, …, m ，j =1, 2, …, n ）的阵列，构成一张控制网格。又分别给定参数u 和v 的阶数p 和q ，以及两个节点矢量 和V = ，这样，就定义了一张p ×q 次张量积B 样条曲面，方程为：

()()()1010,,,,,+=+=≤≤≤≤=∑∑n q m i m p n j j

i q j p i v v v u u u P v N u N v u S

由于B 样条曲面也具有局部性质，可将其分段表示为：

()()()[][][][]1

11

1,,,,,,,,+++-=+-=⊂∈⊂∈=

∑∑n q f f m p e p e i e e f q f j j i q j p i u u v v v u u u u u P v N u N v u S 2.2 NURBS 曲线和曲面

2.2.1 NURBS 曲线

一条p 次NURBS 曲线可以表示为一分段有理多项式矢函数：

{}1

21,,,++=p n u u u U {,1u U ={}121,,,++q n v v v }12,,++p m u u

()()()∑∑===n i p

i i n i i

p i i u N P u N u C 0,0

,ωω

式中， 被称作权或全因子，分别与控制点

相联系。 2.2.2 NURBS 曲面

类似于B 样条曲面，NURBS 曲面也可分段表示为：

()()()()()∑∑∑∑=====m i n

j j i q

j p i m i n j j i j i q

j p i v N u N P v N u N v u S 00,,,00

,,,,,ω

ω 同样的，一个三变量NURBS 实体也可表示为：

()()()()()()()∑∑∑∑∑∑=======m i n j l

k k

j i r

k q j p i m i n j l k k j i k j i r

k q j p i w N v N u N P w N v N u N w v u V 000,,,,,000

,,,,,,,,,ωω 2.3 计算流程

基于NURBS 的等几何分析法的分析思路如下[3]：

1）由节点向量积确定NURBS 片；

2）通过节点插值将计算域细分为单元；

3）每个基函数的支撑域包含少量单元；

4）由基函数的控制点定义几何模型；

5）采用等参概念，即场变量与几何模型采用相同的基函数表示，而基函数的系数即为自由度或控制变量；

6）通过节点插值或基函数阶数可进一步细化单元，有h 型细化、p 型细化和k 型细化；

7）采用类似于有限元的方法，可将等参NURBS 片构建的数组组装成全局数组；

8）施加Dirichlet 边界条件有几种方法。最粗糙的方法是加在控制变量上，这种近似法会导致比较大的误差。然而，对于一些特殊情况，如齐次边界条件，该方法能满足精确度要求。此外，Dirichlet 边界条件常常通过变分近似法或几何近似法施加。

3 等几何分析的发展

3.1 基础理论体系

Hughes 等提出了等几何分析的概念后，Bazilevs 等[7]用数学的知识对其进行分析和误差估计，证明了等几何分析的收敛性和稳定性等特征，这个结论为之后等几何分析的发展奠定了扎实的理论基础。Cottrell 和Hughes [8]研究了等几何分析中网格的细化和近似连续性。Gomez 等[9]通过等几何分析研究了Cahn-Hilliard

),,2,1(n i i =ω),,2,1(n i P i =