中考数学二次函数综合题含答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0），C （0，3）三点，其顶点为D ，对称轴是直线l ，l 与x 轴交于点H ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点，求△PBC 周长的最小值；

（3）如图（2），若E 是线段AD 上的一个动点（ E 与A 、D 不重合），过E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F ，交x 轴于点G ，设点E 的横坐标为m ，△ADF 的面积为S ． ①求S 与m 的函数关系式；

②S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E 的坐标； 若不存在，请说明理由．

【答案】（1）2

y x 2x 3=--+.

（2）3210. （3）①2S m 4m 3=---.

②当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）. 【解析】 【分析】

（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可.

（2）根据BC 是定值，得到当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可.

（3）设点E 的横坐标为m ，表示出E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+），最后表示出EF 的长，从而表示出S 于m 的函数关系，然后求二次函数的最值即可. 【详解】

解：（1）∵抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0）， ∴可设抛物线交点式为()()y a x 3x 1=+-.

又∵抛物线2y ax bx c =++经过C （0，3），∴a 1=-. ∴抛物线的解析式为：()()y x 3x 1=-+-，即2y x 2x 3=--+. （2）∵△PBC 的周长为：PB+PC+BC ，且BC 是定值. ∴当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小. ∵点A 、点B 关于对称轴I 对称，

∴连接AC 交l 于点P ，即点P 为所求的点.

∵AP=BP ，∴△PBC 的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC.

∵A （－3，0），B （1，0），C （0，3），∴AC=32，BC=10. ∴△PBC 的周长最小是：3210+.

（3）①∵抛物线2

y x 2x 3=--+顶点D 的坐标为（﹣1，4），A （﹣3，0），

∴直线AD 的解析式为y=2x+6

∵点E 的横坐标为m ，∴E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+） ∴()2

2

EF m 2m 32m 6m 4m 3=--+-+=---.

∴

()

22DEF AEF 1111

S S S EF GH EF AG EF AH m 4m 32m 4m 3

2222

∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅=⋅---⋅=---.

∴S 与m 的函数关系式为2S m 4m 3=---. ②()2

2S m 4m 3m 21=---=-++，

∴当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）.

2．（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线2239y ax ax a =--与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中C （0，3），∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D ，交BC 于点E ，过点D 的直线l 与射线AC ，AB 分别交于点M ，N ．

（1）直接写出a 的值、点A 的坐标及抛物线的对称轴；

（2）点P 为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD 为等腰三角形，求出点P 的坐标； （3）证明：当直线l 绕点D 旋转时，

11

AM AN

+均为定值，并求出该定值．

【答案】（1）a =13

-，A 30），抛物线的对称轴为x 32）点P 的坐标为

04）；（3）2

． 【解析】

试题分析：（1）由点C 的坐标为（0，3），可知﹣9a =3，故此可求得a 的值，然后令y =0得到关于x 的方程，解关于x 的方程可得到点A 和点B 的坐标，最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴；

（2）利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO =60°，依据AE 为∠BAC 的角平分线可求得∠DAO =30°，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD =1，则可得到点D 的坐标．设点P 的

，a ）．依据两点的距离公式可求得AD 、AP 、DP 的长，然后分为AD =PA 、AD =DP 、AP =DP 三种情况列方程求解即可；

（3）设直线MN 的解析式为y =kx +1，接下来求得点M 和点N 的横坐标，于是可得到AN 的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM 的长，最后将AM 和AN 的长代入化简即可．

试题解析：（1）∵C （0，3），∴﹣9a =3，解得：a =13

-．

令y =0得：290ax a --=，∵a ≠0，∴290x --=，解得：x =

x =∴点A 0），B （0），∴抛物线的对称轴为x

（2）∵OA OC =3，∴tan ∠CAO ∴∠CAO =60°．

∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠DAO =30°，∴DO =3

AO =1，∴点D 的坐标为（0，1）．

设点P a ）．

依据两点间的距离公式可知：AD 2=4，AP 2=12+a 2，DP 2=3+（a ﹣1）2． 当AD =PA 时，4=12+a 2，方程无解．

当AD =DP 时，4=3+（a ﹣1）2，解得a =0或a =2（舍去），∴点P 0）．

当AP =DP 时，12+a 2=3+（a ﹣1）2，解得a =﹣4，∴点P ，﹣4）．

综上所述，点P 04）．

（3）设直线AC 的解析式为y =mx +3，将点A 的坐标代入得：30+=，解得：

m ∴直线AC 的解析式为3y =+． 设直线MN 的解析式为y =kx +1．

把y =0代入y =kx +1得：kx +1=0，解得：x =1k -，∴点N 的坐标为（1

k

-，0），

∴AN =1

k

-

．

将3y =+与y =kx +1联立解得：x

，∴点M ．