常微分方程学习指导
《高等数学B(下)80学时》教学大纲
课程简介课程代码：09011260 课程名称：高等数学B（下）学分数： 5 总学时数：80课程内容：高等数学B是工科类本科专业学生的一门必修的重要公共基础理论课程。
其内容包括：（1）向量代数与空间解析几何（2）多元函数微积分学（3）无穷级数（4）常微分方程。
通过这门课程的学习，要使学生系统地获得高等数学的基本知识、必要的基础理论和常用的运算方法。
培养学生具有比较熟练的运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、几何直观和空间想象能力和自学能力；使学生接受到基本概念、理论、方法以及用这些概念、理论、方法解决几何、物理等实际问题，提高学生的科学素养，同时为学习后续课程以及将来进一步自学数学奠定必要的基础知识和方法训练。
教材：刘坤、沈京一、许定亮编，《高等数学》，高等教育出版社，第1版。
后续课程：线性代数、概率论与数理统计等。
教学大纲《高等数学B（下）》教学大纲课程编码:课程名称: 高等数学B（下）学分: 5 总学时: 80适用专业: 工科类本科专业学生一、本课程的性质和任务本课程是工科类本科专业学生的一门必修的公共基础理论课。
通过本课程的学习，使学生系统地获得高等数学的基本知识、必要的基础理论和常用的运算方法。
培养学生具有比较熟练的运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、几何直观和空间想象能力和自学能力；使学生接受到数学的基本概念、理论、方法以及用这些概念、理论、方法解决几何、物理等实际问题，提高学生的科学素养，同时为学习后续课程以及将来进一步自学数学奠定必要的基础知识和方法训练，并能从纷杂的数学数据中，通过数学方法的处理抽象出科学的结论。
二、本课程的教学内容和基本要求一、空间解析几何与向量代数1．教学内容（1）空间直角坐标系；（2）向量及其运算（包括加减法、数乘、点乘、叉乘及混合积）；（3）曲面及其方程；（4）空间曲线及其方程；（5）平面及其方程；（6）空间直线及其方程；（7）二次曲面。
2．基本要求（1）理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示；（2）掌握向量的运算（线性运算、点乘法、叉乘法），了解两个向量垂直、平行的条件；（3）掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法；（4）掌握平面的方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系解有关问题；（5）理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；（6）了解空间曲线的参数方程和一般方程；（7）了解曲面的交线在坐标平面上的投影。
常微分方程学习辅导与习题解答pdf
常微分方程学习辅导与习题解答
pdf
《常微分方程学习辅导与习题解答》是常微分方程的教学参考书，为学习或讲授《常微分方程（第三版）》的师生补充教材以外的参考资料，并提供众多常微分方程模型，供常微分方程应用者和准备参加数学建模竞赛者参考。
该书除了传统的内容总结、学习指导、疑难解答、例题补充和解题外，考虑到常微分方程的广泛应用及其在学科发展中的承上启下作用，增加了常微分方程、历史与图形、考研试题等应用例题。
同时，考虑到学生学习和教师备课的差异，除了内容总结、习题和习题答案外，还分别设置了学习指导和补充提高两项内容。
前者方便初学者自学，后者适合师生进一步探索。
全书按原教材内容顺序依章分为“内容提要”、“学习辅导”、“补充提高”和“习题与习题解答”四个部分。
“内容提要”列出定理、公式等基本内容；“学习辅导”含学习要点或解题指导、例题选讲、测试练习；“补充提高”含补充习题、排疑解惑、应用实例、历史与人物；“习题与习题解答”含《常微分方程学习辅导与习题解答》中的测试练习和补充习题的解答以及《常微分方程（第三版）》中全部习题的解答或提示，为方便读者，与教材同步的习题在解答时同时列出题目。
书中还专章给出“期中、期末及硕士研究生入学试题”（包括套题、半套题及散题）和“数学软件在常微分方程中的应用”。
附录中则列出科学计算自由软件SCILAB的使用和绘制轨线图貌的改进及解题常用的部分函数、微分、积分公式，并有各章排疑解惑、应用例题和历史与人物的细目索引。
2024年高校教师教学个人总结（四篇）
2024年高校教师教学个人总结衷心感谢各位领导提供机会，使我得以向同仁们汇报过去一年在思想、工作等方面的进展。
以下，我将对本人在思想政治、教学、教改与科研三个方面的表现进行简要概述。
一、思想政治表现本人始终秉持对党的忠诚，对人民的热爱，坚定贯彻党的教育方针，忠实履行教育职责。
在服从学校工作安排方面，本人认真负责，全力以赴投入教育教学工作。
我严格遵守国家法律法规及学校规章制度，不断提升政治思想觉悟，自觉抵御不良风气和现象，力求在各方面严格要求自己，以适应教育发展的新形势。
二、教学工作成果为确保教学质量，我注重备课的严谨性，课堂上采用启发式教学法，课后及时为学生提供辅导和答疑，对作业进行全面批改。
针对作业中暴露出的问题，及时调整教学策略、方法和进度。
在过去的一年里，我的教学效果得到了显著提升。
本年度，我承担了____、____等课程，以及六个班的工科《概率论与数理统计》教学任务，同时还负责了____的线性代数、概率课程，以及____的期权定价理论与应用教学。
我指导了____名本科生的毕业论文，其中____篇被评为院系级优秀毕业论文。
下半年，我承担了____、____等课程，以及____、____共____个班的工科线性代数、____班的高数、____的金融工程学教学任务。
尽管教学任务繁重，但我克服了各种困难，顺利完成了各项教学工作。
三、教改与科研成就本年度，我以第一作者身份在国际会议发表了一篇论文（已被ISTP检索），并在中文核心期刊发表了一篇论文及一篇教改论文。
在科研方面，我成功完成了一项青年教师科研基金的结题工作，并顺利完成了第五期大学生科研训练计划项目的结题。
我还成功申报了第六期大学生科研训练计划项目，并正在积极推进。
在过去的一年中，我指导的本科毕业论文获得院系级优秀论文称号，本人也荣获____本科毕业论文院系级优秀指导教师称号。
我指导的学生在____东北三省数学建模联赛中获得二等奖，另有多名学生在全国大学生数学建模竞赛中取得优异成绩，包括国家级二等奖、辽宁赛区一等奖。
常微分方程的思想与方法
第四讲常微分方程的思想方法三、常微分方程的思想方法数学思想是对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点, 它在认识活动中被反复运用, 带有普遍的指导意义, 是建立数学以及应用数学解决问题的指导思想。
数学方法是指提出问题、解决问题过程中所采用的各种方式、手段、途径等, 二者的紧密联系即数学思想方法。
由此可见, 数学思想方法是以具体的教学内容为载体, 又高于具体数学内容的一种指导思想和大范围普遍适用的方法, 是数学的灵魂.（1）挖掘、提炼和概括教材知识中的数学思想，实现由隐到显，体现规律性一般来说, 由于教材的编排必须考虑学科内容的内在联系及逻辑系统性，故数学思想只能从相关内容中去体现，具有隐形态。
知识教学虽然蕴含了思想方法，但是如果没有有意识地被数学思想方法作为教学对象，学生学习数学知识时并不一定注意到数学思想方法。
因此教师应当以数学知识为载体，有意识地引导学生将隐藏在知识背后的数学思想挖掘、提炼、概括出来，使之由隐形态变为显形态，使学生对由对数学知识、数学方法的朦胧感受、死记硬背转化为明晰的理解、掌握和灵活运用，最终完成对数学知识、数学方法的本质认识。
（2）抓住课程中知识发生的过程，及时强化数学思想数学知识的发现过程，实际上也是数学思想方法的发生过程，但对于学生来说，这种发现或发生过程，往往被教材浓缩，甚至隐去。
数学知识的教学是数学认识活动结果的教学，具有静态点型，重在记忆理解；数学思想方法的教学是数学活动过程的教学，呈动态线型，重在思辨操作。
所谓数学活动过程是指：数学概念的形成过程，数学结论的推导过程，数学方法的思考过程，数学规律的被揭示过程，这些过程是数学思想的体现并受某种数学思想的指导，离开数学活动过程，思想方法也就无从谈起。
（3）把握知识的内在联系，注意数学思想方法的内在结构，使之系统化数学思想方法的教学与具体的数学知识的教学一样，只有成为系统，建立自己的结构，才能发挥它的整体效益。
常微分方程中的几种非线性方程的解法1
2015年度本科生毕业论文（设计）常微分方程中几种非线性方程的解法教学系：数学学院专业：数学与应用数学年级：2011级姓名：杨艺芳学号：20110701011053导师及职称：刘常福教授2015年5月毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经撰写或发表过的研究成果。
对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。
作者签名：日期：毕业论文（设计）授权使用说明本论文（设计）作者完全了解文山学院有关保留、使用学生毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版。
有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅。
学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。
保密的论文（设计）在解密后适用本规定。
作者签名：指导教师签名：日期：日期：杨艺芳毕业论文（设计）答辩委员会(答辩小组)成员名单姓名职称单位备注主任（组长）摘要非线性常微分方程是常微分方程中重要的一部分，源于应用数学、物理学、化学等许多科学领域，高阶微分方程比二阶微分方程研究要困难得多，并且研究还不成熟。
鉴于非线性微分方程在理论上和实践上的重要意义。
本文将采用列举法，对非线性常微分方程的一些解题方法进行分析。
如“利用初等积分法与引入变量法”、“首次积分法”“常数变易法”、“化为线性微分方程求解法”等方法。
在说明这些方法的同时，说明这些方法的特点以及解题思路，随之附上应用对应方法的例题，在例题的基础上理解方法的精髓。
这种对非线性方程地学习，对未来研究非线性方程地解法具有一定的参考价值。
关键词：常微分方程；非线性常微分方程；通解英文目录一、引言 (1)二、线性微分方程与非线性微分方程的区别 (1)2.1线性微分方程 (1)2.2非线性微分方程 (1)三、非线性微分方程的解法 (2)3.1利用初等积分与引入新变量法 (2)3.1.1形如()(),0n F x y =型的方程分的两种情形............................23.1.2形如()()',,...,0n F y y y =型的方程. (3)3.1.3形如()()',,...,0n F x y y =型的方程........................................43.2首次积分法 (4)3.3常数变易法 (5)3.3.1引用定理3.1 (5)3.3.2形如dy y y g dx x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭型的方程............................................63.3.3形如()()'y y P x e Q x +=型的方程 (6)3.3.4形如'x y xy y+=型的方程..................................................73.4可化为线性方程法 (7)3.4.1通过变换方程化为线性方程的方程 (7)3.4.2通过求导运算化为线性的方程 (8)3.4.3伯努利方程 (8)3.4.4黎卡提方程 (8)3.4.5二阶非线性方程()''',,,0F x y y y =或()''',,y f x y y =型 (9)四、结束语.....................................................................................10参考文献........................................................................................10致谢. (11)1一、引言在学习了常微分方程的基础上，我们接触了非线性常微分方程，非线性微分方程对于当代大学生来说，是一个难点。
实验报告七常微分方程初值问题的数值解法
浙江大学城市学院实验报告课程名称数值计算方法实验项目名称常微分方程初值问题的数值解法 实验成绩指导老师签名日期2015/12/16 一.实验目的和要求1． 用Matlab 软件掌握求微分方程数值解的欧拉方法和龙格－库塔方法； 2． 通过实例学习用微分方程模型解决简化的实际问题;二.实验内容和原理编程题2-1要求写出Matlab 源程序m 文件,并有适当的注释语句；分析应用题2-2,2-3,2-4,2-5要求将问题的分析过程、Matlab 源程序和运行结果和结果的解释、算法的分析写在实验报告上; 2-1 编程编写用向前欧拉公式和改进欧拉公式求微分方程数值解的Matlab 程序,问题如下：在区间[],a b 内(1)N +个等距点处,逼近下列初值问题的解,并对程序的每一句添上注释语句; Euler 法y=eulera,b,n,y0,f,f1,b1改进Euler 法y=eulerproa,b,n,y0,f,f1,b1 2-2 分析应用题假设等分区间数100n =,用欧拉法和改进欧拉法在区间[0,10]t ∈内求解初值问题()()20(0)10y t y t y '=-⎧⎨=⎩并作出解的曲线图形,同时将方程的解析解也画在同一张图上,并作比较,分析这两种方法的精度; 2-3 分析应用题用以下三种不同的方法求下述微分方程的数值解,取10h = 画出解的图形,与精确值比较并进行分析; 1欧拉法； 2改进欧拉法； 3龙格－库塔方法；2-4 分析应用题考虑一个涉及到社会上与众不同的人的繁衍问题模型;假设在时刻t 单位为年,社会上有人口()x t 人,又假设所有与众不同的人与别的与众不同的人结婚后所生后代也是与众不同的人;而固定比例为r 的所有其他的后代也是与众不同的人;如果对所有人来说出生率假定为常数b ,又如果普通的人和与众不同的人的婚配是任意的,则此问题可以用微分方程表示为：其中变量()()()i p t x t x t =表示在时刻t 社会上与众不同的人的比例,()i x t 表示在时刻t 人口中与众不同的人的数量;1假定(0)0.01,0.02p b ==和0.1r =,当步长为1h =年时,求从0t =到50t =解()p t 的近似值,并作出近似解的曲线图形;2精确求出微分方程的解()p t ,并将你当50t =时在分题b 中得到的结果与此时的精确值进行比较; MATLAB 相关函数求微分方程的解析解及其数值的代入dsolve‘egn1’,‘egn2’,‘x ’ subsexpr,{x,y,…},{x1,y1,…}其中‘egn i ’表示第i 个方程,‘x ’表示微分方程中的自变量,默认时自变量为t ; subs 命令中的expr 、x 、y 为符合型表达式,x 、y 分别用数值x1、x2代入; >>symsxyz>>subs'x+y+z',{x,y,z},{1,2,3} ans= 6>>symsx>>subs'x^2',x,2 ans= 4>>s=dsolve‘12Dy y ∧=+’,‘(0)1y =’,‘x ’ ans= >>symsx >>subss,x,2 ans=右端函数(,)f x y 的自动生成f=inline ‘expr ’,’var1’,‘var2’,……其中’expr ’表示函数的表达式,’var1’,‘var2’表示函数表达式中的变量,运行该函数,生成一个新的函数表达式为fvar1,var2,……; >>f=inline'x+3y','x','y' f=Inlinefunction: fx,y=x+3y >>f2,3 ans= 114,5阶龙格－库塔方法求解微分方程数值解t,x=ode45f,ts,x0,options其中f 是由待解方程写成的m 文件名；x0为函数的初值；t,x 分别为输出的自变量和函数值列向量,t的步长是程序根据误差限自动选定的;若ts=t0,t1,t2,…,tf,则输出在自变量指定值,等步长时用ts=t0:k:tf,输出在等分点；options 用于设定误差限可以缺省,缺省时设定为相对误差310-,绝对误差610-,程序为：options=odeset ‘reltol ’,rt,’abstol ’,at,这里rt,at 分别为设定的相对误差和绝对误差;常用选项见下表;选项名 功能 可选值 省缺值 AbsTol 设定绝对误差正数 RelTol 设定相对误差 正数InitialStep 设定初始步长 正数 自动 MaxStep设定步长上界正数MaxOrder 设定ode15s 的最高阶数 1,2,3,4,5 5 Stats 显示计算成本统计 on,off off BDF 设定ode15s 是否用反向差分on,offoff例：在命令窗口执行>>odefun =inline ‘2*y t y -’,‘t ’,‘y ’；>>[],45(,[0,4],1)t y ode odefun =；ans=>>t y ‘o-’,%解函数图形表示>>45(,[0,4],1)ode odefun %不用输出变量,则直接输出图形 >>[],45(,0:4,1)t y ode odefun =；[],t yans=三.操作方法与实验步骤包括实验数据记录和处理2-1编程编写用向前欧拉公式和改进欧拉公式求微分方程数值解的Matlab 程序,问题如下：在区间[],a b 内(1)N +个等距点处,逼近下列初值问题的解,并对程序的每一句添上注释语句; Euler 法y=eulera,b,n,y0,f,f1,b1改进Euler 法y=eulerproa,b,n,y0,f,f1,b1Euler 法y=eulera,b,n,y0,f,f1,b1 y=zeros1,n+1; y1=y0; h=b-a/n; x=a:h:b; fori=1:n; yi+1=yi+hfxi,yi; end plotx,y holdon%求微分方程的精确解 x1=linspacea,b,100; '精确解为' s=dsolvef1,b1,'x' symsxy1=zeros1,100; for i=1:100y1i=subss,x,x1i; endplotx1,y1,'r'title'红色代表精确解'改进Euler 法y=eulerproa,b,n,y0,f,f1,b1 %求微分方程的数值解 y=zeros1,n+1; y1=y0; h=b-a/n; x=a:h:b; fori=1:n; T1=fxi,yi; T2=fxi+1,yi+hT1; yi+1=yi+h/2T1+T2; end plotx,y holdon%求微分方程的精确解 x1=linspacea,b,100; '精确解为' s=dsolvef1,b1,'x' symsxy1=zeros1,100; fori=1:100 y1i=subss,x,x1i; endplotx1,y1,'r'title'红色代表精确解' 2-2分析应用题假设等分区间数100n =,用欧拉法和改进欧拉法在区间[0,10]t ∈内求解初值问题()()20(0)10y t y t y '=-⎧⎨=⎩并作出解的曲线图形,同时将方程的解析解也画在同一张图上,并作比较,分析这两种方法的精度;1向前欧拉法>>euler0,10,100,10,inline'y-20','x','y','Dy=y-20','y0=10' ans= 精确解为 s= 20-10expx ans= +005Columns1through8（2）改进欧拉法>>eulerpro0,10,100,10,inline'y-20','x','y','Dy=y-20','y0=10' ans= 精确解为 s= 20-10expx ans= +005Columns1through8改进欧拉法的精度比向前欧拉法更高; 2-3分析应用题用以下三种不同的方法求下述微分方程的数值解,取10h = 画出解的图形,与精确值比较并进行分析; 1欧拉法； 2改进欧拉法；2-4分析应用题考虑一个涉及到社会上与众不同的人的繁衍问题模型;假设在时刻t 单位为年,社会上有人口()x t 人,又假设所有与众不同的人与别的与众不同的人结婚后所生后代也是与众不同的人;而固定比例为r 的所有其他的后代也是与众不同的人;如果对所有人来说出生率假定为常数b ,又如果普通的人和与众不同的人的婚配是任意的,则此问题可以用微分方程表示为：其中变量()()()i p t x t x t =表示在时刻t 社会上与众不同的人的比例,()i x t 表示在时刻t 人口中与众不同的人的数量;1假定(0)0.01,0.02p b ==和0.1r =,当步长为1h =年时,求从0t =到50t =解()p t 的近似值,并作出近似解的曲线图形;2精确求出微分方程的解()p t ,并将你当50t =时在分题b 中得到的结果与此时的精确值进行比较;1>>euler0,50,50,,inline'','t','p','Dp=','p0= 1' ans= 精确解为 s=1-99/100expx/500 ans=Columns1through82>>dsolve'Dp=','p0=','t' ans=1-99/100expt/500 >>1-99/100exp ans=与欧拉法求得的精确值差0,0001四.实验结果与分析。
常微分方程差分解法、入门、多解法
毕业论文题目抛物型方程的差分解法学院数学科学学院专业信息与计算科学班级计算0802学生王丹丹学号20080901045指导教师王宣欣二〇一二年五月二十五日摘要偏微分方程的数值解法在数值分析中占有重要的地位，很多科学技术问题的数值计算包括了偏微分方程的数值解问题【1】。
近三十多年来，数值解法的理论和方法都有了很大的发展，而且在各个科学技术的领域中应用也愈来愈广泛。
本文的研究主要集中在依赖于时间的问题，借助于简单的常系数扩散方程，介绍抛物型方程的差分解法。
本文以基本概念和基本方法为主，同时结合算例实现算法。
第一部分介绍偏微分方程及差分解法的基本概念，引入本文的研究对象——常系数扩散方程：22,,0 u ua x R tt x∂∂=∈>∂∂第二部分介绍上述方程的几种差分格式及每种格式的相容性、收敛性与稳定性。
第三部分通过算例检验每种差分格式的可行性。
关键词：偏微分方程；抛物型；差分格式；收敛性；稳定性；算例ABSTRACTThe numerical solution of partial differential equation holds an important role in numerical analysis .Many problems of compution in the field of science and techology include the numerical solution of partial differential equation. For more than 30 years, the theory and method of the numerical computation made a great development and its applications in various fields of science and technology are more and more widely. This paper focuses on the problems based on time. I will use object-constant diffusion equation to introduces the finite difference method of parabolic equation. This paper mainly focus on the basic concept ,basic method and simple numerical example.The first part of this paper introduces partial differential equations and basic concepts of finite difference method.I will introduce the object-constant diffusion equation for thefirst time.22,,0 u ua x R tt x∂∂=∈>∂∂The second part of this paper introduces several difference schemes of the above equation and their compatibility ,convergence and stability.The third part tests the accuracy of each scheme.Key words:partial differential equation；parabolic；difference scheme；convergence；stability；application目录摘要 (I)ABSTRACT (II)目录 (III)1前言 (1)2基本概念和定理 (2)2.1抛物型方程的基本概念 (2)2.1.1偏微分方程的定义 (2)2.1.2抛物型方程的定义 (2)2.1.3初边值条件的定义 (3)2.2 差分方法的基本思想 (3)2.3网格剖分 (4)2.4截断误差的基本概念 (5)2.5相容性的基本概念 (7)2.6收敛性的基本概念 (7)2.7稳定性的基本概念 (8)2.7.1判断稳定性的直接法 (8)2.7.2判断稳定性的Fourier方法 (9)3常系数扩散方程的差分格式及其相容性、收敛性和稳定性分析 (12)3.1向前差分格式 (12)3.2向后差分格式 (13)3.3 Crank-Nicolson格式 (14)3.4 Richardson格式 (16)4差分解法的应用 (18)结论 (25)参考文献..................................................... .................. .. (26)致谢 (27)附录 (28)1前言微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程[2]。
《高等数学》课程教案
《高等数学》课程教案一、课程简介《高等数学》是工科、理科以及部分经济管理科学专业的一门基础课程。
通过本课程的学习，使学生掌握数学分析、线性代数、概率论等基本理论和方法，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学目标1. 理解并掌握高等数学的基本概念、原理和方法。
2. 能够熟练运用高等数学知识解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和创新意识。
三、教学内容第一章：极限与连续1. 极限的概念与性质2. 函数的连续性3. 极限的运算法则4. 无穷小与无穷大5. 极限存在的条件第二章：导数与微分1. 导数的概念2. 基本导数公式3. 导数的运算法则4. 高阶导数5. 微分第三章：积分与不定积分1. 积分概念2. 基本积分公式3. 积分的运算法则4. 不定积分5. 定积分第四章：级数1. 数项级数概念2. 收敛性与发散性3. 级数的运算法则4. 幂级数5. 傅里叶级数第五章：常微分方程1. 微分方程的概念2. 一阶微分方程的解法3. 高阶微分方程4. 线性微分方程5. 微分方程的应用四、教学方法采用讲授、讨论、实践相结合的方法，引导学生主动探索、积极参与，培养学生的动手能力和创新能力。
五、教学评价1. 平时成绩：包括作业、小测、课堂表现等，占总评的40%。
2. 期中考试：测试学生对高等数学知识的掌握程度，占总评的30%。
3. 期末考试：全面测试学生的综合素质，占总评的30%。
六、多元函数微分学1. 多元函数的概念2. 多元函数的求导法则3. 偏导数4. 全微分5. 多元函数微分学在实际问题中的应用七、重积分1. 二重积分概念及性质2. 二重积分的计算3. 三重积分概念及性质4. 三重积分的计算5. 重积分的应用八、向量分析1. 空间解析几何基础2. 向量的概念及运算3. 空间向量的线性运算4. 空间向量的数量积与角积5. 空间向量的坐标运算及其应用九、常微分方程初步1. 微分方程的概念与分类2. 常微分方程的解法3. 常微分方程的数值解法4. 常微分方程的应用5. 常微分方程在工程与科学计算中的重要性十、线性代数的应用1. 线性方程组及其解法2. 矩阵的概念与运算3. 特征值与特征向量4. 二次型及其判定5. 线性代数在实际问题中的应用十一、概率论与数理统计1. 随机事件及其概率2. 随机变量及其分布3. 数学期望与方差4. 大数定律与中心极限定理5. 数理统计的基本方法十二、数学软件与应用1. MATLAB软件简介2. MATLAB在高等数学中的应用3. Mathematica软件简介4. Mathematica在高等数学中的应用5. 数学软件在实际问题中的应用教学方法：1. 通过案例分析、实际应用问题引导学生理解和掌握理论知识。
2013《常微分方程课程设计》指导书 1-2
第1章 引 言1.1 课程设计的意义高等学校的实践教学一般包括课程实验、综合性设计(课程设计)、课外科技活动、社会实践、毕业设计等，基本上可以分为三个层次：第一，紧扣课堂教学内容，以掌握和巩固课程教学内容为主的课程实验和综合性设计； 第二，以社会体验和科学研究体验为主的社会实践和课外科技活动； 第三，以综合应用专业知识和全面检验专业知识应用能力的毕业设计。
课程实践(含课程实验和课程设计)是大学教育中最重要也最基础的实践环节，直接影响后继课程的学习以及后继实践的质量。
由于课程设计是以培养学生的系统设计与分析能力为目标，通过团队式合作、研究式分析、工程化设计完成较大型系统或软件的设计题目的，因此课程设计不仅有利于学生巩固、提高和融合所学的专业课程知识，更重的是能够培养学生多方面的能力，如综合设计能力、动手能力、文献检索能力、团队合作能力、工程化能力、研究性学习能力、创新能力等。
《常微分方程课程设计》（Curriculum Design of the Ordinary Differential Equations ）是一门继《数学实验》和《常微分方程》（ODE ）之后开设的实验性课程，主要是指导性的讲解方程求解的数值方法和软件编程(如MATLAB ，MATHMATIC ，FORTRAN 等)并实现方程的解析解与数值解可视化分析的一个集中实践教学环节。
其宗旨在于培养学生运用计算机分析求解方程的能力，了解通过数学模型去解决实际问题的全过程，提高常微分方程课堂教学后的理解和应用效果，同时激发和提高同学们对于具有工程背景的科学研究的热情。
课程设计不仅仅是以实现相应的程序为目标，更重要的是在完成课程设计的过程中逐步培养今后遇到问题而去解决问题的能力，培养从事计算机应用开发所需要的各种能力与素质。
因此，在课程设计实施中，不仅需要完成程序并进行测试，还需要撰写相应的课程设计报告。
课程设计报告不仅是对课程设计的总结，也是对软件文档写作能力的初步训练。
第一、二章 基本概念及初等积分法 复习
第一、二章基本概念及初等积分法微分方程的古典内容主要是求方程的解，用积分的方法求常微分方程的解，叫做初等积分法，而可用积分法求解的方程叫做可积类型。
初等积分法一直被认为是常微分方程中非常有用的基本解题方法之一，也是初学者必须接受的最基本训练之一。
在学习过程中，首先要学会准确判断方程的可积类型，然后要熟练掌握针对不同可积类型的5种解法，最后在学习指导书的帮助下，总结一下初等积分法中的各种解法与特点与内在联系，以提高自己的解题能力与技巧。
主要内容回顾一、主要概念微分方程：含有未知函数的导数（或微分）的等式。
常微分方程：未知函数是一个变元的函数，由这样的函数及其导数构成的等式。
偏微分方程：未知函数是两个或两个以上变元的函数，由这样的未知函数及其偏导数构成的等式。
微分方程的阶：在微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数，称为方程的阶。
微分方程的解：一个函数代入微分方程中去，使得它成为关于自变量的恒等式，称此函数为微分方程的解。
通解：n阶方程，其解中含有n个（独立的）任意常数，此解称为方程的通解。
由隐式表示的通解称为通积分。
特解：给通解中的任意常数以定值，所得到的解称为特解，由隐式给出的特解称为特积分。
初值问题：求微分方程满足初值条件的解的问题。
变量可分离方程：形如 )()(y g x f dxdy =或 dy y N x M dx y N x M )()()()(2211= 的方程称为变量可分离方程。
齐次微分方程：形如)(xy dx dy ϕ=的方程，称为齐次微分方程。
线性微分方程：未知函数和它的导数都是一次的微分方程。
一阶线性微分方程：一阶线性微分方程的形式是 )()(x f y x p dxdy =+ 如果0)(≡x f ,即0)(=+y x p dxdy 称为一阶线性齐次方程。
如果)(x f 不恒为零，则称)()(x f y x p dxdy =+为一阶线性非齐次方程。
伯努利（Bernoulli ）方程：形如n y x f y x p dxdy )()(=+ (1,0≠n ) 的方程，称为伯努利方程。
微分方程求解-解微分方程
微分方程求解-解微分方程微分方程求解求解微分方程：简单地说，就是去微分，将方程化成自变量与因变量关系的方程。
近来做毕业设计遇到微分方程问题，搞懂后，特发此文，来帮广大同学，网友。
1.最简单的例子：——————》求微分方程的通解。
dx解方程是可分离变量的，分离变量后得两端积分：得：从而：又因为。
仍是任意常数，可以记作C 。
非齐次线性方程2y 求方程的通解解：非齐次线性方程。
先求对应的齐次方程的通解。
5，，用常数变易法：把C换成u(x)，即令则有，dx12，代入原方程式中得两端积分，得。
33再代入式即得所求方程通解。
3法二：假设待求的微分方程是:我们可以直接应用下式得到方程的通解，其中，2，代入积分同样可得方程通解5，3232.微分方程的相关概念：(看完后你会懂得各类微分方程)一阶微分方程：或可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为的形式，解法：得：称为隐式通解。
，即写成的函数，解法：dxxydydududxduy设，则，，分离变量，积分后将代替u，齐次方程：一阶微分方程可以写成即得齐次方程通解。
一阶线性微分方程：当时,为齐次方程，当时，为非齐次方程，，全微分方程：如果中左端是某函数的全微分方程，即：应该是该全微分方程的通解。
二阶微分方程：时为齐次时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：，其中p,q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：，其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中的系数；2、求出式的两个根r1,r23、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：，p,q为常数型，为常数；型3.工程中的解法：四阶定步长Runge-Kutta算法其中h 为计算步长，在实际应用中该步长是一个常数，这样由四阶Runge-Kutta算法可以由当前状态变量Xt 的值求解出下状态变量Xt +1 的值亲们，你们满意吗？一阶微分方程的解一阶微分方程的常数变易法的应用探析The exploration of linear ordinary differential equation of first order with method of leadingvariables作者：刘*专业：数学与应用数学指导老师：杜* *完成时间：2016年9月1号摘要常数变易法是作为求解一阶线性方程的解法给出的。
二阶变系数齐次常微分方程的解法及其应用
2011届本科毕业论文二阶变系数齐次常微分方程的解法及其应用所在学院：数学科学学院专业班级：数学07-(4)实验班学生姓名：曼则热古丽．图尔荪指导教师：吐尔洪.艾尔米丁答辩日期：2011年5月11日新疆师范大学教务处目录引言................................................................................................................. 错误！未定义书签。
1 二阶变系数齐次常微分方程的通解及其应用..................................... 错误！未定义书签。
2 二阶变系数齐次方程的两个解法及其应用............................................. 错误！未定义书签。
2.1利用常数变易法解二阶变系数齐次线性微分方程....................... 错误！未定义书签。
2.2未知函数代换................................................................................... 错误！未定义书签。
3二阶变系数线性微分方程的一般求解法及其应用.................................. 错误！未定义书签。
3.1二阶变系数线性微分方程的一般求解法....................................... 错误！未定义书签。
3.2应用................................................................................................... 错误！未定义书签。
4 总结............................................................................................................. 错误！未定义书签。
常微分方程的奇解的求法
2011届本科毕业论文常微分方程的奇解的求法学院：数学科学学院专业班级：数学07-4（实验）班学生姓名：哈丽古丽.穆塔力菩指导教师：伊里夏提答辩日期：2011年5月10日新疆师范大学教务目录1 引言 (1)2 奇解的定义 (1)3 不存在奇解的判别法 (1)4 自然法 (2)5 拾遗法 (2)6 包络线及奇解的求法 (2)6.2 C-判别曲线 (3)6.3 P-判别曲线 (5)6.4 C-P判别法 (7)总结 (8)参考文献 (1)致谢 (2)常微分方程的奇解的求法摘要：该文章我们主要讨论的是常微分方程奇解的求法。
一个常微分方程有没有它的奇解，有了奇解怎么求是该文章的主要目的。
在这里我们讨论不存在奇解的判别法。
如果方程有了它的奇解，一般有五种方法可以求它的奇解，即自然法，拾遗法，C -判别曲线(C-消去法)，P-判别曲线（P-消去法），C-P判别法。
我们最常用的，方便的方法是后面的三个，在这里对这三个方法进行详细的讨论。
关键词：奇解，判别式，包络线。
1 引言我们看到对某些微分方程，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这方程的积分曲线族。
但是，在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和它在此点相切。
在几何学上，这条特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络。
在微分方程里，这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解。
若一个微分方程它有奇解，那我们怎么求它的奇解是该文章主要讨论的问题。
2 奇解的定义定义 如果方程存在某一节，在它所对应的积分曲线上每一点处，解的唯一性都被破坏，则称此解为微分方程的奇解。
奇解对应的积分曲线称为奇积分曲线。
3 不存在奇解的判别法每一个微分方程都有它的奇解吗？答案是：不一定。
那我们怎么知道，微分方程有没有它的奇解呢？下面我们介绍不存在奇解的两种判别法。
方法1 假设方程(,)dyf x y dx= （1） 的右端函数2),(R D y x f ⊆在区域上有定义，如果),(y x f 在D 上连续且),(y x f y '在D 上有界（或连续），那么由解的存在唯一性定理，方程的任一解是唯一的，从而在D 内一定不存在奇解。
数学物理方程学习指导书第7章数理方程求解中出现的几个特殊类型的常微分方程
第7章 数理方程求解中出现的几个特殊类型的常微分方程在第5章中，我们用分离变量法求解了一些定解问题，从5.3可以看出，当我们采用极坐标系以后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程.在那里，由于我们只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程.如果我们不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程，本章我们将通过在柱坐标和球坐标系中对定解问题进行分离变量，引出贝塞尔方程与勒让德方程，由于这两个方程都属施特姆-刘维尔型的，所以在本章我们还要简要地介绍一下施特姆-刘维尔特征理论，这个理论是分离变量法的基础.7．1 贝塞尔方程的引出下面我们以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程，设有半径为R 的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零度，且初始温度为已知，求圆盘内的瞬时温度分布规律.这个问题可以归结为求解下述定解问题22222220;(7.1)(,);(7.2)0.(7.3)t x y R u u ut x y u x y u ϕ=+=⎧∂∂∂=+⎪∂∂∂⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩用分离变量法解这个问题，先令(,,)(,)(),u x y t V x y T t =代入方程(7.1)得2222,V V VT T xy ⎛⎫∂∂'=+ ⎪∂∂⎝⎭或2222(0).V VT x y T Vλλ∂∂+'∂∂==->由此我们得到下面关于函数()T t 和(,)V x y 的方程()()0,T t T t λ'+= (7.4) 22220.V VV x yλ∂∂++=∂∂ (7.5)从(7.4)得().t T t Ae λ-=方程(7.5)称为亥姆霍兹（Helmhotz ）方程，为了求出这个方程满足条件2220x y R V+== （7.6）的固有值与固有函数，我们引用平面上的极坐系.将方程(7.5)与条件(7.6)写成极坐标形式得22222110,;(7.7)0.(7.8)R V V VV R V ρλρρρρρθ=⎧∂∂∂+++=<⎪∂∂∂⎨⎪=⎩再令 (,)()V R ρθρ=Θ(θ)， 代入(7.7)并分离变量可得()()0θμθ'Θ+Θ= （7.9）22''()'()()()0.R R R ρρρρλρμρ++-= (7.10)由于(,,)u x y t 是单值函数，所以(,)V x y 也必是单值的，因此()θΘ应该是以π2为周期的周期函数，这就决定了μ只能等于如下的数：2220,1,2,3,.对应于这些数2,n n μ=有0()θΘ=2a （为常数）， ()n θΘ=cos sin n n a nb n θθ+ (1,2,3,n =).以2n n μ=代入方程(7.10)，并作代换r =，则得222()()()()0.r F r rF r r n F r '''+--= (7.11)其中().F r R =这是一个变系数的线性常微分方程，称为n 阶贝塞尔（Bessel ）方程.原定解问题的最后解决就归结为求贝塞尔方程(7.11)的固有值与固有函数.贝塞尔方程的解将在下一章讨论.7．2 勒让德方程的引出现在我们对球坐标系中的拉普拉斯方程进行分离变量.在球坐标系中拉普拉斯方程为2222222111sin 0.sin sin u u ur r r r r r θθθθθϕ∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭(7.12)令 (,,)()u r R r θϕ=()()θϕΘΦ， 代入(5.12)得2222222111sin 0.sin sin d dR d d d r R R r dr dr r d d r d θθθθθϕΘΦ⎛⎫⎛⎫ΘΦ+Φ+Θ= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 以2r R ΦΘ乘上式各项得 2222111sin 0sin sin d dR d d d r R dr dr d d d θθθθθϕΘΦ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ΘΦ⎝⎭⎝⎭ 或2222111sin ,sin sin d dR d d d r R dr dr d d d θθθθθϕΘΦ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ΘΦ⎝⎭⎝⎭上式左端只与r 有关，右端只与,θϕ有关，要它们相等只有当它们都是常数时才有可能.为了以后的需要，我们把这个常数写成(1)n n +的形式（这是可以做到的，因为任何一个实数总可以写成这种形式，这里的n 可能为实数，也有可能为复数），则得21(1),d dR r n n R dr dr ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(7.13) 22211sin (1).sin sin d d d n n d d d θθθθθϕΘΦ⎛⎫+=-+ ⎪ΘΦ⎝⎭(7.14)将方程(7.13)左端的导数计算出来，即有2222(1)0.d R dRr r n n R dr dr+-+= 这是一个欧拉方程，这的通解为(1)12(),n n R r A r A r -+=+其中12,A A 为任意常数.以2sin θ乘方程(7.14)的两端得22211sin sin (1)sin 0,d d d n n d d d θθθθθϕΘΦ⎛⎫+++= ⎪ΘΦ⎝⎭即22211sin sin (1)sin .d d d n n d d d θθθθθϕΘΦ⎛⎫++=- ⎪ΘΦ⎝⎭此式的左端只与θ有关，而右端只与ϕ有关，因此只有当它们均为常数时才有可能相等，同时由对方程(7.9)的讨论可知，这个常数必须等于2(1,2,3,)m m =，从而得221sin sin (1)sin ,d d n n m d d θθθθθΘ⎛⎫++= ⎪Θ⎝⎭（7.15） 2221.d m d ϕΦ=-Φ (7.16) 由方程(7.16)得12()cos sin .B m B m φϕϕΦ=+至于()θΘ所满足的微分方程可写为221sin (1)0.sin sin d d m n n d d θθθθθΘ⎛⎫-++Θ= ⎪⎝⎭ 把上式第一项中的导数计算出来，并化简得2222(1)0,sin d d m ctg n n d d θθθθ⎡⎤ΘΘ+++-Θ=⎢⎥⎣⎦(7.17) 这个方程称为连带的勒让德(Legendre)方程.如果引用cos x θ=为自变量(11),x -≤≤并将()θΘ改记成()P x ，则(7.17)变成22222(1)2(1)0.1d P dP m x x n n P dx dx x ⎡⎤--++-=⎢⎥-⎣⎦(7.18)若(,,)u r θϕ与ϕ无关，则从(7.16)可知0m =，这时(7.18)简化成222(1)2(1)0.d P dP x x n n P dx dx--++= (7.19)方程(7.19)称为勒让德方程，因此定解问题的解决也归结为求勒让德方程的固有值与固有函数.这个方程的解将在下一章讨论.7．3 施特姆-刘维尔理论简述前面两节我们已从不同的物理模型引出了两个特殊类型的微分方程（当然从其他的物理模型还可引出其他一些特殊方程），一些定解问题的解决都归结为求这两个方程的固有值与固有函数.本节我们就更一般的微分方程()()()0(),d dy k x q x y x y a x b dx dx λρ⎡⎤-+=<<⎢⎥⎣⎦(7.20)阐述固有值问题的一些结论，不难看出，方程(7.11)、(7.18)、(7.19)都是这个方程的特例.事实上，若取2(),(),(),0,,n k x x q x x x a b R xρ=====则(7.20)就变成贝塞尔方程 20;d dy n x y xy dx dx x λ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦若取2()1,()0,()1,1,1,k x x q x x a b ρ=-===-=则方程(7.20)就成为勒让德方程2(1)0;d dy x y dx dx λ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦ 若取222()1,(),()1,1,1,1m k x x q x x a b x ρ=-===-=-则方程(7.20)就变成连带的勒让德方程222(1)0.1d dy m x y y dx dx x λ⎡⎤--+=⎢⎥-⎣⎦方程(7.20)称为施特姆-刘维尔（Sturm-Liouville ）型方程（任一个二阶线性常微分方程012'''p y p y p y ly ++=乘以适当函数后总可以化成这种形式）.本节所要叙述的施特姆-刘维尔理论，就是有关方程(7.20)的固有值问题的一些结论.为了论述方程(7.20)的固有值问题，我们对方程(7.20)中函数()k x 及()q x 作一些假定.设函数()k x 及其导数在闭区间[,]a b 上均连续，当a x b <≤时()0k x >，而()0;()k a q x =或者在闭区间[,]a b 上连续，或者在开区间(,)a b 内连续而在区间的端点处有一阶极点（贝塞尔方程、勒让德方程及连带的勒让德方程中的系数都满足这些条件），在这些条件下，方程(7.20)的固有值问题的提法为：求此方程满足条件()0;()y b y a =<∞*）*）这样的边界条件称为自然边界条件，在§2.3中已经遇到过这样的条件，如果k(b)=0，则在这点亦应将条件y(b)=0换成自然边界条件y(b)＜0换成自然边界条件y(b)＜∞，如果在a,b 两点k(x)都为零，则在这的非零解（固有函数）及对应于非零解的λ值（固有值）.关于这个固有值问题有以下几点结论：1、存在无穷多个实的固有值，它们构成一个递增数列，即1231n n λλλλλ+≤≤≤≤≤对应于这无穷多个固有值有无穷多个固有函数123(),(),(),y x y x yx2、当()0q x ≥时，所有固有值均不为负，即(1,2,3,)n n λ≥=3、设m n λλ≠是任意两个不相同的固有值，对应于这两个固有值的固有函数记为()m y x 与()n y x ，则()()()0.bm n ax y x y x dx ρ=⎰这个结论可以表述为：对应于不同固有值的固有函数在区间[,]a b 上以权函数()x ρ互相正交.4、固有函数123(),(),(),,(),n y x y x y x y x 在区间[,]a b 上构成一个完备系.即任意一个具有一阶连续导数及分段连续二阶导数的函数()f x ，只要它满足固有值问题中的边界条件，则它一定可以按固有函数系}{()n y x 展开为绝对一致收敛的级数1()(),n n n f x f y x ∞==∑其中2()()()()()bn anbnax f x y x dxf x y x dxρρ=⎰⎰结论1与4的证明超出了本书的范围，需要用到积分方程的理论，结论2与3的证明并不困难，下面我们仅给出结论3的证明，这个证明的方法具有启发性，凡是要证明某一特定的固有函数系的正交性都可采用这个方法.下面我们就来证明当m n λλ≠时，下列关系()()()0bm n ax y x y x dx ρ=⎰(7.21)成立.证 因为固有函数()m y x 与()n y x 分别是方程(7.20)当m λλ=与n λλ=时的非零解，两点均应提自然边界条件.所以有()()()()()()0,m m m m dy x d k x q x y x x y x dx dx λρ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦ (7.22) ()()()()()()0.n n n n dy x d k x q x y x x y x dx dx λρ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦(7.23) 以()n y x 乘（7 .22）减去()m y x 乘（7.23）得()()()()()()m n n m dy x dy x d d y x k x y x k x dx dx dx dx ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()()()()0.m n m n x y x y x λλρ+-=对这个等式从a 到b 对x 积分得()()0()()()()bb m n n m aa dy x dy x d d y x k x dx y x k x dx dx dx dx dx ⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰()()()()bm n m n ax y x y x dx λλρ+-⎰()()()()()()bm nn m ady x dy x k x y x k x y x dx dx ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦()()()()()()bb m n n m a a dy x dy x dy x dy x k x dx k x dxdx dx dx dx-+⎰⎰()()()()bm n m n ax y x y x dx λλρ+-⎰()()()()()m m n m dy x dy b k b y b y b dx dx ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦()()()()()m n n m dy a dy a k a y a y a dx dx ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦()()()(),bm n m n ax y x y x dx λλρ+-⎰ (7,24)此处符号()n dy a dx 表示()n dy x dx在x a =处的值，其余类似.(7.24)式右端前两项的值可以分几种情况来讨论：(i)在端点b 加有第一类边界条件()0,y b =这时有()()0,m n y b y b ==从而()()()()()0.m n n m dy b dy b k b y b y b dx dx ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦(ii)在端点b 加有第二类边界条件()0,dy b dx= 这时有()()0,m n dy b dy b dx dx==从而 ()()()()()0.m n n m dy b dy b k b y b y b dx dx ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦(iii)在端点b 加有第三类边界条件，()()0,dy b y b hdx+= 这时有()()0,()()0.m m nndy b y b h dxdy b y b h dx ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩由这两式可得()()()()0,m n n m dy b dy b y b y b dx dx-= 从而()()()()()0.m n n m dy b dy b k b y b y b dx dx ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦(iv) 在端点b 加有自然边界条件(),y b <∞这时必有()0,k b =从而()()()()()0.m n n m dy b dy b k b y b y b dx dx ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦综合上述，不论在b 点加哪一种边界条件，(7.24)右端第一项总是等于零.同理，对端点a 也有()()()()()0.m n n m dy a dy a k a y a y a dx dx ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦因此，最后可得()()()()0.bm n m n ax y x y x dx λλρ-=⎰但m n λλ≠，所以()()()0.bm n ax y x y x dx ρ=⎰正交性得到了证明.上面四个结论是分离变量法的理论基础，在第二章我们用分离变量法求解定解问题时，已经假定定解问题的解能够展成固有函数的级数，至于为什么能这样展开，当时没有说明，现在利用固有函数系的完备性就足以说明以前的有关运算是允许的.下面两章还要用到这里所讲的结论.习 题 七1、在平面极坐标系中将二维波动方程2222222u u u a t xy ⎛⎫∂∂∂=+ ⎪∂∂∂⎝⎭ 进行分离变量，写出各常微分方程.2、在球坐标系中，将三维波动方程222222222u u u u a t xy z ⎛⎫∂∂∂∂=++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 进行分离变量，写出各常微分方程.3、在柱面坐标系中，将三维拉普拉斯方程进行分离变量，写出各常微分方程.。
信息与计算科学专业本科人才培养方案
信息与计算科学专业本科人才培养方案（2018版）一、培养目标培养德、智、体全面发展，具有扎实的数学基础，掌握信息与计算科学基本理论和方法，受到科学研究和专业技能训练，能够运用所学知识解决信息和工程计算领域的一些实际问题，能在科技、教育和经济等部门从事研究、教学、应用开发及管理工作的复合型专门人才。
二、培养要求1. 热爱中国共产党，热爱社会主义祖国，积极践行社会主义核心价值观；具有爱岗敬业、艰苦奋斗、热爱劳动、遵纪守法、团结合作的优秀品质；热爱信息与计算相关行业工作。
2. 具有扎实的数学基础，掌握信息科学和计算科学的基本理论与基本知识,具备在本专业领域从事科学研究、软件开发、信息处理及计算编程的能力，能用所学知识解决一些实际问题。
3. 掌握文献检索、资料查询的基本方法，具有了解信息与计算科学领域新成果的能力。
掌握一门外语，能够较顺利地阅读本专业的外文书刊。
4. 具有健康的体魄和一定的军事基本理论和技能，养成良好的体育锻炼和卫生习惯，达到国家规定的大学生体育合格标准。
三、专业主干课程数学分析，高等代数，解析几何，常微分方程，概率论，数理统计，离散数学，点集拓扑，计算方法，C语言程序设计，信息论基础，运筹学。
四、学制与学位学制：基本学制4年，实行3—6年弹性学制授予学位：理学学士学位五、课程结构周课时六、教学计划表完成一次实践调查并提交调查报告或完成一篇学术论文（3000字以上）；2. 参加院级及以上的文体比赛/学科知识技能竞赛并成功参赛，或参加大学生科技创新项目并结题。
3. 1-3学年每学年参加四次以上学术活动（报告、讲座等）。
七、通识选修课程学分要求八、专业主干课程简介1.课程名称：数学分析（Mathematical Analysis）（1）课程代码：Z3804001, Z3804007, Z3804014（2）课程简介：数学分析是专业核心课程，是微分几何、微分方程、复变函数、实变函数、泛函分析等课程必备的基础。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
微 积 分 下 册
第四章 常微分方程
一、学习要求与内容提要
（一）基本要求
1．了解微分方程和微分方程的阶、解、通解、初始条件与特解等概念.
2．掌握可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程的解法.
3．会用微分方程解决一些简单的实际问题.
重点 微分方程的通解与特解等概念，一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变易法。
难点 一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变易法。
（二）内容提要
10.⒈ 微分方程的基本概念
微分方程的定义，微分方程的阶、解与通解，初始条件与特解。
10.2 一阶微分方程
变量可分离的微分方程，齐次微分方程，一阶线性微分方程。
10.3高阶微分方程
二阶线性微分方程解的结构，二阶常系数齐次线性微分方程，二阶常系数非齐次线性微分方程，几类特殊的高阶微分方程的降阶法。
二、主要解题方法
1．一阶微分方程的解法
例1 求微分方程 y y x y x y xy d d d d 2+=+ 满足条件20==x y
的特解.
解 这是可以分离变量的微分方程，将方程分离变量，有 x x y y y d 11d 1
2-=- 两边积分，得 =-⎰y y y d 12⎰-x x d 11
求积分得 121ln 1ln 2
1C x y +-=-，1222)1ln(1ln C x y +-=- 1222e )1(1C x y -=-，222)1(e 11-±=-x y C
记 0e 12≠=±C C ，得方程的解 22)1(1-=-x C y .
可以验证 0=C 时，1±=y ，它们也是原方程的解，因此，式22)1(1-=-x C y 中的C 可 以为任意常数，所以原方程的通解为 22)1(1-=-x C y （C 为任意常数）.
代入初始条件 20==x y 得 3=C ，所以特解为 22)1(31-=-x y .
例2 求下列微分方程的通解：
（1）x y y y +='； （2） x xy y x cos e 22
=-'. （1）解一 原方程可化为
1d d +=x
y x y
x y 令 x y u =，则 1
d d +=+u u x u x u 即
x x u u u d d 12
-=+ 两边取积分 ⎰⎰-=+x x u u u d 1d )11(2 积分得 C x u u ln ln ln 1-=-，将x
y u =代入原方程，整理得原方程的通解为 y x C y e = （C 为任意常数）
解二 原方程可化为 11d d =-x y
y x 为一阶线性微分方程，用常数变易法.解原方程所对应的齐次方程 01d d =-x y
y x 得其通解为 y C x =.
设y y C x )(=为原方程的解，代入原方程，化简得 1)(='y y C ，1ln
)(C y y C =， 所以原方程的通解为 1ln C y y x =，即y x
C y e = （C 为任意常数）.
（2）解一 原方程对应的齐次方程 02d d =-xy x
y 分离变量得
xy x y 2d d =， x x y
y d 2d = 两边积分，得 x x y y ⎰⎰=d 2d ，2ln ln y x C =+
)e ln(ln e ln ln 22x x C C y =+=，2
e x C y =
用常数变易法.设2e )(x x C y =代入原方程，得 x x C x x cos e e )(2
2='
即 x x C cos )(='
两边积分，得 C x x x x C +==⎰sin d cos )(
故原方程的通解为 )(sin e 2C x y x += （C 为任意常数）.
解二 这里x x P 2)(-=，x x Q x cos e )(2
=代入通解的公式得
)d e cos e (e d 2d 22⎰+⎰⋅⎰=---C x x y x x x x x =)d e cos e (e 222C x x x x x +⋅⎰-=)d cos (e 2C x x x +⎰=)(sin e 2
C x x +（C 为任意常数）. 小结 一阶微分方程的解法主要有两种：分离变量法，常数变易法.常数变易法主要适用线性的一阶微分方程，若方程能化为标准形式 )()(x Q y x P y =+'，也可直接利用公式
C x x Q y x x P x x P +⎰⎰=⎰
-d e )((e d )(d )(）求通解. 因此求曲线)(x y y =的问题，转化为求解微分方程的定解问题 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-'=1
111x y y x y ，的特解. 由公式 C x x Q y x x P x x P +⎰⎰=⎰
-d e )((e d )(d )(，得 )d e )1((e
d 1d 1C x y x x x x +⎰-⎰=-⎰=ln x x Cx -+ 代入11==x y 得 1=C ，故所求曲线方程为 (1ln )y x x =-.
三、学法建议
1．本章重点为微分方程的通解与特解等概念，一阶微分方程的分离变量法，一阶线性 微分方程的常数变易法.
2．本章中所讲的一些微分方程，它们的求解方法和步骤都已规范化，要掌握这些求
解法，读者首先要善于正确地识别方程的类型，所以必须熟悉本课程中讲了哪些标准型，每种标准型有什么特征，以便“对号入座”，还应熟记每一标准型的解法，即“对症下药”.同时，建议读者再做足够的习题加以巩固.。