高中数学函数难题小题练习4

小题练习：

10.已知ABC ∆是边长为的正三角形，EF 为ABC ∆的外接圆O 的一条直径，M 为ABC ∆的边上的动点，则ME FM •的最大值为（ ）

A ．3

B ．4 C.5 D ．6

11.已知双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，,A B 是圆222()4x c y c ++=与C 位于x 轴上方的两个交点，且12//F A F B ，则双曲线C 的离心率为（ ）

A

12.若对,m n R ∀∈，有()()()3g m n g m g n +=+-，求()()f x g x =的最大值与最小值之和是（ ）

A ．4

B ．6 C.8 D ．10

综合题1、面积有关

2、定值、定点

1.已知椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M (0,2)是椭圆的一个顶点，△F 1MF 2是等腰直角三角形．

(1)求椭圆的方程；

(2)过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为k 1，k 2，

且k 1＋k 2＝8，证明：直线AB 过定点⎝⎛⎭

⎫－12，－2.

解(1)因为b ＝2，△F 1MF 2是等腰直角三角形，所以c ＝2，所以a ＝22，故椭圆的方程为x 28＋y 24

＝1. (2)证明：①若直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，A 点坐标为(x 1，y 1)，B 点坐标为(x 2，y 2)，

联立方程得，⎩⎪⎨⎪⎧

x 28＋y 24＝1，y ＝kx ＋m ，

消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0，则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－81＋2k 2

. 由题知k 1＋k 2＝y 1－2x 1＋y 2－2x 2＝8，所以kx 1＋m －2x 1＋kx 2＋m －2x 2＝8，即2k ＋(m －2)x 1＋x 2x 1x 2

＝8. 所以k －mk m ＋2

＝4，整理得m ＝12k －2.故直线AB 的方程为y ＝kx ＋12k －2，即y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋12－2. 所以直线AB 过定点⎝⎛⎭

⎫－12，－2. ②若直线AB 的斜率不存在，设直线AB 的方程为x ＝x 0，A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)，

则由题知y 0－2x 0＋－y 0－2x 0

＝8， 得x 0＝－12.此时直线AB 的方程为x ＝－12

，显然直线AB 过点⎝⎛⎭⎫－12，－2. 综上可知，直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫－12，－2.

借题发挥2如图，已知椭圆的两个焦点F 1、F 2在y 轴上，短轴长为22，离心率为22，点P 是椭圆上一点，且在第一象限内，1PF ·2PF ＝1，过点P 作关于直线PF 1对称的两条直线PA 、PB ，分别交椭圆于A 、B 两点．

(1)求点P 的坐标；

(2)求证：直线AB 的斜率为定值．

解：(1)设椭圆方程为y 2a 2＋x 2

b 2＝1(a >b >0)． 因为椭圆的短轴长为22，离心率为22，所以2b ＝22，

c a ＝22

， 解得a ＝2，b ＝2，c ＝2，所以椭圆的方程为y 24＋x 2

2

＝1. 所以F 1(0，2)，F 2(0，－2)．设P (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则1PF ＝(－x 0，2－y 0)，2

PF ＝(－x 0，－2－y 0)，所以1PF ·2PF ＝x 20－(2－y 20)＝1.

又点P (x 0，y 0)在椭圆上，则x 202＋y 204＝1，所以x 20＝4－y 202，从而4－y 202

－(2－y 20)＝1， 解得y 0＝2或y 0＝－2(舍去)，则点P 的坐标为(1，2)．

(2)证明：由(1)知PF 1∥x 轴，所以直线PA 、PB 的斜率互为相反数．设直线PB 的斜率为k ，不妨令k >0，

则直线PB 的方程为y －2＝k (x －1)，

由⎩⎪⎨⎪⎧ y －2＝k (x －1)，x 22＋y 24＝1，

得(2＋k 2)x 2＋2k (2－k )x ＋(2－k )2－4＝0. 设B (x B ，y B )，则x B ＝(2－k )2－42＋k 2＝k 2－22k －22＋k 2，同理可得x A ＝k 2＋22k －22＋k 2

. 所以x A －x B ＝42k 2＋k 2，y A －y B ＝－k (x A －1)－k (x B －1)＝8k 2＋k 2

. 所以直线AB 的斜率k AB ＝

y A －y B x A －x B ＝2为定值．

3、存在性问题

4、与圆有关的问题

1.（2011年高考山东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆

2

2

:1

3

x

C y

+=.如

图所示，斜率为(0)

k k＞且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线

3

x=-于点(3,)

D m

-.

（Ⅰ）求22

m k

+的最小值；

（Ⅱ）若2

OG OD

=∙OE，

（i）求证：直线l过定点；

（ii）试问点B，G能否关于x轴对称？

若能，求出此时ABG的外接圆方程；若不能，

请说明理由.