“江淮十校”高三第一次联考

“江淮十校”2016届高三第一次联考
数学（理科）试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）
1.已知全集R ，集合{
}{
}
023|,12|2
≤+-=≥=x x x B x A x
，则=⋂B C A R （ ） A.{}0|≤x x B.{}21|≤≤x x C.{}210|><≤x x x 或 D.{}
210|≥<≤x x x 或
2.已知10,0≠>>a b a 且，则0log >b a 是()()011>--b a 的（ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 3.若某市8所中学参加中学生比赛的得分用茎叶图表示（如图）其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的平均数和方程分别是（ ）
A.91 5.5
B.91 5
C.92 5.5
D.92 5
4.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ） A.3 B.
2
3
C.0
D.3-
5.在等腰ABC ∆中，→→→→====︒=∠AE AC BD BC AC AB BAC 32,2,90，
，则→
→⋅BE AD 的值为（ ）
A.34-
B.3
1
- C.31 D.34
6.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，其中侧视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（ ）
A.32cm
B.3
3cm C.3
33cm D.3
3cm
7.已知函数⎪⎭
⎫
⎝
⎛<+=2)2sin(2πϕϕx y 图像经过点()1,0，
则该函数的一条对称轴方程为（ ） A.12
π
-
=x B.6
π
-
=x C.12
π
=
x D .6
π
=
x
8.设不等式组⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧≥-≥-≤+022y y x y x 所表示的区域为M ，函数21x y -=的图像与x 轴所围成的
区域为N ，向M 内随机投一个点，则该点落在N 内的概率为（ ）
A.
π2 B.4π C.8
π
D.16π
9.函数()x x
x f ln |1
+=的图像大致为（ ）
10.已知映射()(
)
()0,0,,:'
≥≥→n m n m P
n m P f ，设点()()2,2,3,1B A ，点M 是线段
AB 上一动点，':M M f →。

当M 在线段AB 上从点A 开始运动到点B 结束时，点M 对
应点'
M 所经过的路线长度为（ ） A.
12π B.6π C.4π D.3
π
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11.在数列{}n a 中，()
+
-∈≥+==N n n a a a n n ,223,211，则通项=n a 。

12.已知P 是直线01343:=++y x l 的动点，PA 是圆0222:2
2=---+y x y x C 的一条切线，A 是切点，那么PAC ∆的面积的最小值是 。

13.已知()b a ,max 表示b a ,两数中的最大值。

若(){
}2
,max -=x x
e
e x
f ，则()x f 的最小值
为 。

14.已知函数()x a x a x f cos 123sin 321⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，将()x f 图像向右平移3π个单位长度得到函数()x g 的图像，若对任意R x ∈，都有()⎪⎭
⎫
⎝⎛≤4πg x g 成立，则a 的值为 。

15.已知{}
+
++∈∈=<<=N n N m m x x x A n n n ,,3,22|1，若n A 表示集合n A 中元素的个数
则=+++10321A A A A 。

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
16.（本小题满分12分）
已知圆03242
2
=-+-+y x y x 和圆外一点()8,4-M 。

（1）求圆心坐标和半径长；
（2）过点M 作直线与圆交于B A ,两点，若4=AB ，求直线AB 的方程。

已知函数()⎪⎭
⎫
⎝
⎛
+=3cos cos πx x x f 。

（1）求()x f 的最小正周期；
（2）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若()2,4
1
=-=a C f ，且ABC ∆的面积为32，求边长c 的值。

18.（本小题满分12分）
某种产品按质量标准分成五个等级，等级编号x 一次为5,4,3,2,1，现从一批产品中随机抽取20件，对其等级编号进行统计分析，得到频率分布表如下：
（1）若抽取的20件产品中，等级编号为4的恰有2件，等级编辑为5的恰有4件，求c b a ,,的值；
（2）在（1）的条件下，将等级编辑为4的2件产品记为21,x x ，等级编辑为5的4件产品记为4321,,,y y y y ，现从432121,,,,y y y y x x 这6件产品中人去两件（假定每件产品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件产品的等级编号恰好相同的概率。

如图，在四面体ABCD 中，已知2,60==︒=∠=∠BC AB CBD ABD （1）求证：BD AC ⊥
（2）若平面⊥ABD 平面CBD ，且2
5
=
BD ，求二面角B AD C --的余弦值。

20.（本小题满分13分） 已知函数()(
)()01,0lg >>>>-=b a k kb
a x f x
x
的定义域为()∞+，0，问是否存在这样的
b a ,，使()x f 恰在()∞+，
1上取正值，且()4lg 3=f ，若存在，求出b a ,指；若不存在，说明理由。

在xOy 平面上有一系列点()()() ,,,,,,222111n n n y x P y x P y x P 对每个正整数n ，点n P 位于函数()02
≥=x x y 的图像上，以点n P 为圆心的圆n P 与x 轴都相切，且圆n P 与圆1+n P 又彼此
外切。

若11=x ，且()
+
+∈<N n x x n n 1。

（1）求证：数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧n x 1是等差数列 （2）设圆n P 的面积为n n n S S S T S +++= 21,，求证：2
3π
<
n T 。