测量不确定度初学者指南如何表述测量答案举例说明不确定度的基本算法(六)
测量不确定度评定与表述指南
一、引言1.1 为保证检测结果的高质量水平，特制定本指南。
1.2测量结果不确定度的评定和表述适用于检测设备的校准、建材试验、工程检测。
二、测量结果与测量不确定度2.1由测量所得的赋予被测量的值称为测量结果。
2.1.1很多情况下，被测量Y不能直接测得，而是由N个其他量X1，X2，……，X N通过广义的函数关系f确定Y = f (X1，X2，……，X N) ……（2.1.1）测量结果，即输出估计值y由输入估计值x1，x2，…，x N代入（2.1.1）式得到，即Y = f (x1，x2，…，x N) ……（2.1.2）【注】表达式（2.1.1）应理解为广义的函数关系。
因为在实际测量中，很多情形下往往无法写出可明确表述的函数关系。
2.1.2上述函数关系描述了一个测量过程，它应包含对测量过程有明显贡献的所有的量（包含环境、人员、设备、方法等多种因素）。
2.2表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数称为测量不确定度。
2.3一般地，测量结果仅仅是被测量的近似估计。
完整的测量结果应当附有定量的不确定度说明。
三、不确定度评定3.1对测量结果的不确定度有贡献的每个不确定度分量用估计的标准偏差来表示，称为标准不确定度。
3.2标准不确定度按照评估方法的不同分为两类：3.2.1用统计分析一系列观测的方法进行不确定度的评定称为不确定度的A 类评定。
3.2.2用不同于统计分析一系列观测值的方法进行不确定度的评定称为不确定度的B 类评定。
3.2.3不确定度A 类与B 类评定仅仅是指评定方法不同，它们同等重要，地位平等。
3.3每个不确定度分量，不管是A 类还是B 类都应包含三个方面的基本信息： a.数值大小 b.分布特征 c.自由度【注】在分析每个不确定度分量时，其数值大小与分布特征是不可忽略的信息，而自由度在一定情形时可忽略（见5.1.1条）3.4不确定度的数值大小可以以绝对方式也可以相对方式（类似于绝对误差、相对误差）给出，但合成时必须注意所有不确定度分量数值大小表述方式的一致性，要么皆为绝对方式要么皆为相对方式，切不可混乱使用（一般说来，长度类测量多使用绝对方式，力学类测量多使用相对方式）。
测量不确定度的计算公式
测量不确定度的计算公式测量不确定度这东西，在很多科学和工程领域那可是相当重要！咱先来说说啥是测量不确定度。
简单来讲，它就是对测量结果可能存在的误差范围的一种描述。
比如说，你测量一个物体的长度，得到的结果是 10 厘米，但实际上，由于各种因素的影响，它真正的长度可能在 9.8 厘米到 10.2 厘米之间波动，这个波动范围就是测量不确定度。
那测量不确定度的计算公式是啥呢？常见的有 A 类评定和 B 类评定两种方法。
先来说说 A 类评定。
这就好比你多次测量同一个量，然后通过对这些测量数据的统计分析来估算不确定度。
比如说，你测量一个房间的温度，测了 10 次，分别是 25.1℃、25.3℃、24.9℃、25.0℃、25.2℃、24.8℃、25.1℃、25.3℃、24.9℃、25.0℃。
那首先要算这 10 个数的平均值，（25.1 + 25.3 + 24.9 + 25.0 + 25.2 + 24.8 + 25.1 + 25.3 + 24.9 + 25.0）÷ 10 = 25.0℃。
然后算每个测量值与平均值的差值，再平方。
比如第一个 25.1℃与平均值 25.0℃的差值是 0.1℃，平方就是 0.01。
把这 10 个平方差加起来，除以测量次数减 1（也就是 9），得到的就是实验标准偏差。
最后再乘以一个包含因子（通常根据测量次数和置信水平来确定），就得到了 A 类评定的不确定度。
再讲讲 B 类评定。
这通常是基于经验、信息或者其他非统计的方法来估算不确定度。
比如说，你用的测量仪器的说明书上说，它的精度是 ±0.5℃，那这 ±0.5℃就是一个 B 类不确定度的来源。
然后把 A 类和 B 类评定得到的不确定度合成，这就用到了合成不确定度的公式。
合成不确定度等于根号下（A 类评定的不确定度的平方 + B 类评定的不确定度的平方）。
举个我自己经历过的事儿吧。
有一次学校组织科学实验比赛，我们小组要测量一个小金属块的密度。
测量不确定度的表示
1、仪器精度较低，偶然误差很小，多次测量读数相同， 不必进行多次测量； 2、对测量的准确程度要求不高，只测一次就够了； 3、因测量条件的限制，不可能多次重复测量。 用单次测量值作为被测量的最佳估计值。 用仪器误差作为的总不确定度，测量结果表示为：
单次测量:
x x测 仪 u r
1 图纸的选择
• 图纸通常有线性直角坐标纸（毫米方格 纸）、对数坐标纸、半对数坐标纸、极坐 标纸等，应根据具体实验情况选取合适的 坐标纸。
2 坐标的分度和标记
• 绘制图线时，总是以自变量作横坐标，以 因变量作纵坐标，并应标明各坐标轴所代 表的物理量，即轴名（可用符号表示）及 其单位。 • 坐标的分度要根据实验数据的有效数字和 对结果的要求来定。
二、图解法
（如：模拟静电场、太阳能伏安特性、非线性 实验） • 在自然科学和工程技术问题中，将具有函数 关系的测量结果绘制成图线，优点是直观简 明，应用方便，能以最醒目的方式显示出测 量量之间的变化规律。特别适合那些尚未找 到适当解析表达式的实验结果。 • 原则：图纸的选择、坐标的分度和标记、标 点与连线、注解和说明等。
3、标点和连线
• 根据测量数据，用“”记号标出各测点在 坐标纸上的位置，记号的交点应是测量点 的坐标位置，横、竖线段可以表示测量点 的误差范围 。 4、注释和说明 • 在图线的明显位置处应写清图的名称，在 图名下方可写上必不可少的实验条件和图 注。当需要从图线上读取点值时，应在图 线上用特殊的记号标明该点的位置，并在 其旁标明它的坐标值。
ur
u
3. B类分量(仪器误差)： 4.合成不确定度为： 5.相对不确定度为：
100 % 0.5%
(0.686 0.004)cm
测量不确定度评定的方法以及实例
测量不确定度评定的方法以及实例1.标准不确定度方法：U =sqrt(∑(xi-x̅)^2/(n-1))其中，xi表示测量值，x̅表示测量值的平均值，n表示测量次数。
标准不确定度包含随机误差和系统误差等。
例如，对一组长度进行测量，测得的数据为10.2、10.3、10.1、10.2、10.3，计算平均值为10.22，标准差为0.069、则标准不确定度为0.069/√5≈0.031，即U=0.0312.扩展不确定度方法：扩展不确定度是在标准不确定度的基础上，考虑到误差的正态分布，对标准不确定度进行扩展得到的结果，通常以U'表示。
其计算公式如下：U'=kU其中，k表示不确定度的覆盖因子，代表了误差分布的概率密度曲线下的面积，一般取k=2例如，对上述例子中的长度进行测量，标准不确定度为0.031，取k=2，则扩展不确定度为0.031×2=0.062，即U'=0.0623.组合不确定度方法：4.直接测量法：直接测量法是通过多次测量同一物理量，统计测得值的离散程度来评估测量的不确定度。
该方法适用于一些简单的测量，如长度、质量等物理量的测量。
例如，对一些小球的直径进行测量，测得的数据为2.51 cm、2.49 cm、2.52 cm、2.50 cm，计算平均值为2.505 cm，标准差为0.013 cm。
则标准不确定度为0.013/√4≈0.007 cm，即U=0.0075.间接测量法：间接测量法是通过已知物理量之间的数学关系，求解未知物理量的方法来评估测量的不确定度。
该方法适用于一些复杂的测量，如测量速度、加速度等物理量的测量。
例如，测量物体的速度v，则有v=S/t，其中S为位移，t为时间。
若S的不确定度为U_S，t的不确定度为U_t，则根据误差传递法则，计算得到v的不确定度为U_v = sqrt(U_S^2 + (U_t * (∂v/∂t))^2 )。
总之，测量不确定度评定的方法包括标准不确定度方法、扩展不确定度方法、组合不确定度方法、直接测量法和间接测量法。
不确定度的计算方法
测量结果的正确表达
被测量X的测量结果应表达为：'- !
其中是测量值的平均值，是不确定度。
例如：用最小刻度为cm的直尺测量一长度最终结果为：L=(0.750 ±.005cm；测量金属丝杨氏模量的最终结果为：E=(1.15 0.07 >1011Pa。
1.不确定度的计算方法
直接测量不确定度的计算方法
; ------ _
其中：为标准差；
是仪器误差，一般按仪器最小分度的一半计算，但是游标卡尺和角游标按最小分度计算。
也可按仪器级别计算或查表。
间接测量不确定度的合成方法
间接测量’的平均值公式为：•；
不确定度合成公式为：。
也可根据表1中的公式计算间接测量的不确定度。
表1常用函数不确定度合成公式
1.在函数关系是乘除法时，先计算相对不确定度（＞比较方便.例如表中第二行的公式•
2.不确定度合成公式可以联合使用.
sin & u
例如:若，令，则根据表中第二行公式，有：；
U = iVu1 = W7
根据表中第一行公式，有：；根据表中第三行公式，有：•
U t 所以，
普八（与
sin 3 0
皿i
1」
1sin0 0
U
、
U^= cos X U。
(完整word版)不确定度的计算方法.docx
测量结果的正确表达被测量 X 的测量结果应表达为：X X U (单位 )其中 X 是测量值的平均值，U 是不确定度。
例如：用最小刻度为cm 的直尺测量一长度最终结果为：L=(0.750 ± 0.005)cm；测量金属丝杨氏模量的最终结果为：E=(1.15 ±0.07) ×1011Pa。
1.不确定度的计算方法直接测量不确定度的计算方法U S22仪( X i X )2其中： S为标准差；n 1仪是仪器误差，一般按仪器最小分度的一半计算，但是游标卡尺和角游标按最小分度计算。
也可按仪器级别计算或查表。
间接测量不确定度的合成方法间接测量N f ( x, y, z,）的平均值公式为：N f ( x, y, z,；）不确定度合成公式为： U N( N) 2 U X2(N )2U Y2( N )2U Z2。
X Y Z也可根据表 1 中的公式计算间接测量的不确定度。
表 1 常用函数不确定度合成公式函数表达式合成公式1N aX bY cZ U N a 2U X2b2U Y2c2U Z22X αY βU N2U X)22U Y)22U Z)2 NNα (Xβ (Yγ (ZγZ 3N sin X U N cosX U X注:U1.在函数关系是乘除法时 , 先计算相对不确定度 ( N )比较方便 .例如表中第二行N的公式 .2. 不确定度合成公式可以联合使用.例如 :若τsin θsin θ，wuφ ,令u3φ则τ.3w根据表中第二行公式,有 :Uτ(U u)2( U w)2;τu w根据表中第一行公式,有 :U w32U φ23U φ;根据表中第三行公式,有 :U u cosθ U θ.所以 , Uτcosθ U θ23Uφ2cosθ U θ2U φ2τ ()()τ ()( )sin θ3φsin θφ。
测量不确定度的方法
测量不确定度的方法测量不确定度评定U,p,k,u代表什么？当测量不确定度用标准偏差σ表示时，称为标准不确定度，统一规定用小写拉丁字母“u”表示，这是测量不确定度的第一种表示方式。
但由于标准偏差所对应的置信水准(也称为置信概率)通常还不够高，在正态分布情况下仅为68.27%，因此还规定测量不确定度也可以用第二种方式来表示，即可以用标准偏差的倍数kσ来表示。
这种不确定度称为扩展不确定度，统一规定用大写拉丁字母U表示。
于是可得标准不确定度和扩展不确定度之间的关系:U=kσ=ku式中k为包含因子。
扩展不确定度U表示具有较大置信水准区间的半宽度。
包含因子有时也写成kp的形式，它与合成标准不确定度uc(y)相乘后，得到对应于置信水准为p的扩展不确定度Up=kpuc(y)。
在不确定度评定中，有关各种不确定度的符号均是统一规定的，为避免他人的误解，一般不要自行随便更改。
在实际使用中，往往希望知道测量结果的置信区间，因此还规定测量不确定度也可以用第三种表示方式，即说明了置信水准的区间的半宽度a来表示。
实际上它也是一种扩展不确定度，当规定的置信水准为p时，扩展不确定度可以用符号Up表示。
测量不确定度评定步骤？评定与表示测量不确定度的步骤可归纳为1）分析测量不确定度的来源，列出对测量结果影响显著的不确定度分量。
2）评定标注不确定度分量，并给出其数值ui和自由度vi。
3）分析所有不确定度分量的相关性，确定各相关系数ρij。
4）求测量结果的合成标准不确定度，则将合成标准不确定度uc 及自由度v .5）若需要给出展伸不确定度，则将合成标准不确定度uc乘以包含因子k，得展伸不确定度U=kuc。
6）给出不确定度的最后报告，以规定的方式报告被测量的估计值y及合成标准不确定度uc或展伸不确定度U，并说明获得它们的细节。
根据以上测量不确定度计算步骤，下面通过实例说明不确定度评定方法的应用。
我们单位的不确定度都是我写，其实计算不确定度，并写出报告，整体来说也就分几个步骤，一、概述二、数学模型三、输入量的标准不确定度评定这里面就包括数学模型里所有影响结果的参量，找出所有影响因素，计算各个影响量的标准不确定度，其中又分为A类评定和B类评定这个按B类评定进行计算，影响万用表的因素也很多，比如万用表的仪器设备检定证书中如果有不确定度，可以直接用，如果没有，就看给出的允许误是多少，用这个数字除以根号3，得出误差的标准不确定度。
测量不确定度的基本概念_评定方法及应用实例
如果式(4)中所有的偏导数值(灵敏系数)等于 1，则式(4)可
பைடு நூலகம்
变为：
n
姨Σ uc(y)=
u2(xi)
i=1
(5)
3.5 扩展不确定度的确定
扩展不确定度用 U 表示如下：
U=kuc(y)
(6)
包含因子 k 表示在某些涉及安全、卫生健康检测的领域，
为了提高不确定度的置性水平而将误差极限放宽所采用的系
数。当数据为正态分布，k 为 2 时的不确定度置性水平约为
3 测量不确定度的评定方法和程序
3.1 建立数学模型
被测量值取决于输入的数据，被测量值的不确定度也取
决于输入数据的不确定度，因此，首先用数学式表示其相互关
系，即建立数学模型：
Y=f(X1,X2,…，Xi,…,Xn)
(1)
例如，欧姆定律中电压等于电阻乘以电流，用数学式表
示为：
V=f(R,I)=R·I
3.2 确定不确定度来源
2 测量不确定度的基本概念
测量不确定度是用以表征测量过程中各项误差综合影响 测量结果分散程度的一个误差限，或者说它是各项误差综合 影响测量结果对其真值可能偏离的一个区间。测量不确定度 越小，测量结果就越接近真值，反之就越偏离真值。
我们把测量结果与被测量真值之差称之为误差，通常有 系统误差和偶然误差两种。在进行各种测量时不可能得到真 值，也就是说无法得到真误差。我们只是在特定条件下寻求最 佳的真值近似值，并称之为约定真值。但这个最佳值是在不断 变化着的，测量结果也会在一定范围内变化着，因此在给出测 量结果时必须给出测量不确定度，用以确定测量结果的可信 程度，这样附有测量不确定度的测量结果才是完整并具有实 际意义的。
摘 要：该文简单介绍了测量不确定度的基本概念，着重介绍和探讨了测量不确定度的评定方法和
测量不确定度的评估方法
测量不确定度的评估方法发布日期：2009-12-29 来源：原创北京医院卫生部临床检验中心周琦李小鹏徐建平谢伟李少男杨振华测量不确定度(uncertainty of measurement) 定义为表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数。
被测量之值的最佳估计值是测量结果，常用平均值表示。
参数可以是标准偏差、标准偏差的倍数或说明了置信水准区间的半宽度。
标准不确定度（standard uncertainty）是以标准偏差表示的测量不确定度，合成标准不确定度（combined standard uncertainty）是各标准不确定度分量的合成。
扩展不确定度(expanded uncertainty）是确定测量结果区间的量，合理赋予被测量之值分布的大部分可望含于此区间。
测量不确定度评价的步骤和算法如下：一、确定被测量注明被测量和被测量所依赖的输入量，如被测数量、常数和校准标准值等。
二、建立数学模型被测量Y和所有各影响量X i（i=1，2，•••，n）之间的具体函数关系，一般表达形式为Y=f（X1，X2，•••，X n）。
若被测量Y的估计值是y，输入量Xi的估计值是x i，则表达形式是y=f(x1，x2，•••，x n）。
三、求测量数据的最佳估计值最佳估计值的确定大体上可分为两类，一类是通过实验测量得到，另一类是通过信息来源等获得。
四、列出不确定度的来源在实践中，测量不确定度的典型来源有1. 取样；2. 存储条件；3. 仪器的影响；4. 试剂纯度；5. 假设的化学反应定量关系；6. 测量条件；7. 样品的影响；8. 计算影响；9. 空白修正；10. 操作人员的影响；11. 随机影响。
五、标准不确定度分量的确定被测量y的不确定度取决于各输入量最佳估计值xi的不确定度。
有A类评定（type A evaluation of uncertainty）和B类评定(type B evaluation of uncertainty)。
测量不确定度基本评定方法
(5) 测量不确定度分析 ①数学模型 直接测量 y = R ②测量不确定度来源 • 数字多用表不准 • 由于各种随机因素使读数不重复 ③标准不确定度评定 • 读数重复性引入的标准不确定度
34
用A类评定 S = √∑(R i –R)2 /10-1 =0.261kΩ u1 = S /√10 = 0.261/√10 =0.082 kΩ • 由多用表不准引入的标准不确定度 u2 用B类评定 由最大允许误差区间的半宽 a为 a =（0.005%R+3×0.01 kΩ = 0.0796 kΩ u2=a/1.73 =0.046 kΩ(认为服从均匀分布)
测量次数较少时,应采用极差法计算,因贝 塞尔公式计算的自由度偏大.
14
4 输入量标准不确定度的B类评定 B类评定的信息来源： 校准证书、检定证书；技术使用说 明书；技术标准、规程；手册、图 表；以前测量数据；掌握测量仪器 特性的知识和经验等（没有测量例）
15
某输入量 x ，B类评定为： u（x）= a / k • a---输入量 x 的不确定度（或误差） 区间 的一半宽度，即“半宽”。 • k--- x 在其不确定度 区间内 的分布， 根据不同的分布，可以得到相应 k值
23
• •
• •
不确定度的相对表示 标准不确定度u(x),uc(y) ------ 绝对表示 相对标准不确定度 urel (x) = u(x) / x uc rel (y) = uc(y) / y -------相对表示 绝对与相对表示按需要随时可转换 当数学模型为 y=f(x--) = c x1p¹x2p²---xNpи uc rel (y) = uc(y) / y=√∑[pi u ( xi ) /xi]2
• 报告不带概率扩展不确定度, 一般只需报告k.
测量的不确定度(初学者)
测量不确定初学者指南1．测量1．1什么是测量？测量告知我们关于某物的属性。
它可以告诉我们某物体有多重，或者有多热，或者有多长。
测量就赋予这种属性一个数。
测量总是用某种仪器来实现的。
尺子、秒表、称重称，以及温度计都是测量仪器。
测量结果通常有两部分组成：一个数和一个测量单位，例如"这有多长？ (2)米"。
1．2什么不是测量？有些过程看起来像是测量，然而并不是。
例如，两根绳子做比较，看那一根长些，这实际上就不是测量。
计数通常也不认为是测量。
检测（test）往往不是测量；检测通常要得出"是或非"的答案，或者"合格或不合格"的结果。
（但是，测量可以是检测的局部过程，逐而得出检测结果）。
2．测量不确定度2．1 什么是测量不确定度？测量不确定度是对任何测量的结果存有怀疑。
你也许认为制作良好的尺子、钟表和温度计应该是可靠的，并应给出正确答案。
但对每一次测量，即使是最仔细的，总是会有怀疑的余量。
在日常说话中，这可以表述为"出入"，例如一根绳子可能2米长，由1cm的"出入"。
2．2 测量不确定度的表述由于对任何测量总是存在怀疑的余量，所以我们需要回答"余量有多大？"和"怀疑有多差？"这样，为了给不确定度定量实际上需要有两个数。
一个是该余量（或称区间）的宽度；另一个是置信概率，说明我们对"真值"在该余量范围内有多大把握。
例如：我们可以说某棍子的长度测定为20厘米加或减1厘米，由95%的置信概率。
这结果可以写成：20cm±1cm，置信概率为95%。
这个表述是说我们对棍子长度在19厘米到12厘米时间由95%的把握。
还有其他一些表述置信概率的方式，对此将在下文第7节中再说。
2．3误差与不确定度的比较不要混淆术语"误差"和"不确定度"是很重要的。
不确定度的计算方法
测量结果的正确表达被测量X的测量结果应表达为：X二X _ U (单位)其中X是测量值的平均值，U是不确定度。
例如：用最小刻度为cm的直尺测量一长度最终结果为：L=(0.750 ± 0.005)cm ; 测量金属丝杨氏模量的最终结果为：E=(1.15 ±.07) X O11Pa。
直接测量不确定度的计算方法U 二S?二仪 2 其中：s=F区—江为标准差；V n-1厶仪是仪器误差，一般按仪器最小分度的一半计算，但是游标卡尺和角游标按最小分度计算。
也可按仪器级别计算或查表。
间接测量不确定度的合成方法间接测量N二f(x,y,z,=)的平均值公式为：N二f(x, y, z,：=…：)；不确定度合成公式为：U N = j(¥)2u X +(弓)2U；+(^)2U；+…。
V cX cY cZ也可根据表1中的公式计算间接测量的不确定度。
1. 在函数关系是乘除法时，先计算相对不确定度(山)比较方便•例如表中第二行N的公式.2. 不确定度合成公式可以联合使用•sin 0 u例如：若T ------------ ，令u = sin 0, w=3©贝U T=—.3 © w:根据表中第二行公式，有:(U u)2(U w)2;T \u w根据表中第一行公式，有：U w二32U ： = 3U ©根据表中第三行公式，有：U u = cos 0 U 0所以，Ucos 0 U o’ 3U ©)2 (3© )sin 0(-cos0U 0 o U © 2)() sin 0©1.不确定度的计算方法函数表达式合成公式1N 二aX 一bY 一cZ V 2 2 2 2 2 2UN.Ja U x +b U Y+ c U ZX ^Y B U N 2/U x、2 2/U Y、2 2/U Z、2 2N -Y-a ( ) ■ B ( ) Y ()Z Y N X Y Z 3N 二sinX U N = cosX U X表1常用函数不确定度合成公式注:。
测量不确定度初学者指南如何表述测量答案举例说明不确定度的基本算法（六）
测量不确定度初学者指南如何表述测量答案举例说明不确定度的基本算法（六）测量不确定度初学者指南如何表述测量答案举例说明不确定度的基本算法（六）8．如何表述测量答案表述测量答案是重要的，以便阅读者可以使用这个信息。
要注意的主要事项有：●测量结果要与不确定度值一起表述，例如"棍子长度为20cm±1cm"。
●对包含因子和置信概率作说明。
推荐的说法为："报告的不确定度是根据标准不确定度乘以包含因子k=2，提供的置信概率约为95%"。
●不确定度是如何估计的（你可以参考有阐述此法的出版物，如UKAS出版物M3003）。
9．举例--不确定度的基本算法以下举的是一个简单的不确定度分析例子。
例子太详细并不显示，不过这意思是说简单有清晰的例子足以说明方法了。
首先是阐述测量和不确定度分析。
其次吧不确定度分析表示在一张表格上（"填表模省?"或"不确定度汇总表"）9．1测量--一根绳子有多长？假定你要仔细估计一根绳子的长度，按照6.2节所列步骤，过程如下。
---------------------------------------------------------------------------------------------------例3计算一根绳子长度的不确定度步骤一：确定你从你的测量中需要得到的是什么，为产生最终结果，要决定需要什么样的实际测量和计算。
你要测量长度而使卷尺。
除了在卷尺上的实际长度读数外，你也许有必要考虑：● 卷尺的可能误差◇卷尺是否需要修正或者是否有了表明其正确读数的校准◇那么校准的不确定度是多少？◇卷尺易于拉长吗？◇可能因弯曲而使其缩短吗？从它校准以来，它会改变多少？◇分辨力是多少？即卷尺上得分度值是多少？（如mm）● 由于被测对象的可能误差◇绳子伸直了吗？欠直还是过直？◇通常的温度或湿度（或任何其它因素）会影响其实际长度吗？◇绳的两端是界限清晰的，还是两端是破损的？● 由于测量过程和测量人员的可能误差◇绳的起始端玉娟尺的起始端你能对的有多齐？◇卷尺能放的与绳子完全平行吗？◇测量如何能重复？◇你还能想到其它问题吗？步骤2：实施所需要的测量。
不确定度的计算方法
测量结果的正确表达被测量X 的测量结果应表达为：)(单位U X X ±= 其中X 是测量值的平均值，U 是不确定度。
例如：用最小刻度为cm 的直尺测量一长度最终结果为：L =(0.750±0.005)cm ； 测量金属丝杨氏模量的最终结果为：E =(1.15±0.07)×1011Pa 。
1. 不确定度的计算方法直接测量不确定度的计算方法22仪∆+=S U其中： 1)(2--=∑n X XS i为标准差；仪∆是仪器误差，一般按仪器最小分度的一半计算，但是游标卡尺和角游标按最小分度计算。
也可按仪器级别计算或查表。
间接测量不确定度的合成方法间接测量）⋯⋯=,,,(z y x f N 的平均值公式为：）⋯⋯=,,,(z y x f N ； 不确定度合成公式为： +⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=222222)()()(Z Y X N U ZN U Y N U X N U 。
也可根据表1中的公式计算间接测量的不确定度。
表1 常用函数不确定度合成公式2γβαZ Y X N = 222222)()()(ZUY U X U N U Z Y X N γβα++= 注:1. 在函数关系是乘除法时,先计算相对不确定度(NU N)比较方便.例如表中第二行的公式.2. 不确定度合成公式可以联合使用.例如:若φθτ3sin =,令θsin =u ，φ3=w 则w u =τ.根据表中第二行公式,有:22)()(wUu U U w u +=ττ; 根据表中第一行公式,有: φφU U U w 3322==; 根据表中第三行公式,有: θθU U u ⋅=cos . 所以, 2222)()sin cos ()33()sin cos (φθθτφθθτφθφθτU U U U U +⋅⋅=+⋅⋅=。
测量不确定度初学者指南测量及测量不确定度
测量不确定度初学者指南测量及测量不确定度（一）1．测量1． 1什么是测量？测量告知我们关于某物的属性。
它可以告诉我们某物体有多重，或者有多热，或者有多长。
测量就是赋予这种属性的一个数。
测量总是用某种仪器来实现的。
尺子、秒表、称重称，以及温度计都是测量仪器。
测量结果通常有两部分组成：一个数和一个测量单位，例如"这有多长？……2米"。
1． 2什么不是测量？有些过程看起来像是测量，然而并不是。
例如，两根绳子做比较，看那一根长些，这实际上就不是测量。
计数通常也不认为是测量。
检测（test）往往不是测量；检测通常要得出"是或非"的答案，或者"合格或不合格"的结果。
（但是，测量可以是检测的局部过程，逐而得出检测结果）。
2．测量不确定度2．1 什么是测量不确定度？测量不确定度是对任何测量的结果存有怀疑。
你也许认为制作良好的尺子、钟表和温度计应该是可靠的，并应给出正确答案。
但对每一次测量，即使是最仔细的，总是会有怀疑的余量。
在日常说话中，这可以表述为"出入"，例如一根绳子可能2米长，有1cm的"出入"。
2．2 测量不确定度的表述由于对任何测量总是存在怀疑的余量，所以我们需要回答"余量有多大？"和"怀疑有多差？"这样，为了给不确定度定量，实际上需要有两个数：一个是该余量（或称区间）的宽度；另一个是置信概率，说明我们对"真值"在该余量范围内有多大把握。
例如：我们可以说某棍子的长度测定为20厘米加或减1厘米，由95%的置信概率。
这结果可以写成：20cm±1cm，置信概率为95%。
这个表述是说我们对棍子长度在19厘米到21厘米之间由95%的把握。
还有其他一些表述置信概率的方式，对此将在下文第7节中再说。
2．3误差与不确定度的比较不要混淆术语"误差"和"不确定度"是很重要的。
不确定度的计算
不确定度的计算测量误差与不确定度评定测量误差1、测量误差和相对误差（1）、测量误差测量结果减去被测量的真值所得的差，称为测量误差，简称误差。
这个定义从20世纪70年代以来没有发⽣过变化，以公式可表⽰为：测量误差＝测量结果－真值。
测量结果是由测量所得到的赋予被测量的值，是客观存在的量的实验表现，仅是对测量所得被测量之值的近似或估计，显然它是⼈们认识的结果，不仅与量的本⾝有关，⽽且与测量程序、测量仪器、测量环境以及测量⼈员等有关。
真值是量的定义的完整体现，是与给定的特定量的定义完全⼀致的值，它是通过完善的或完美⽆缺的测量，才能获得的值。
所以，真值反映了⼈们⼒求接近的理想⽬标或客观真理，本质上是不能确定的，量⼦效应排除了唯⼀真值的存在，实际上⽤的是约定真值，须以测量不确定度来表征其所处的范围。
因⽽，作为测量结果与真值之差的测量误差，也是⽆法准确得到或确切获知的。
过去⼈们有时会误⽤误差⼀词，即通过误差分析给出的往往是被测量值不能确定的范围，⽽不是真正的误差值。
误差与测量结果有关，即不同的测量结果有不同的误差，合理赋予的被测量之值各有其误差并不存在⼀个共同的误差。
⼀个测量结果的误差，若不是正值（正误差）就是负值（负误差），它取决于这个结果是⼤于还是⼩于真值。
实际上，误差可表⽰为：误差＝测量结果－真值＝（测量结果－总体均值）＋（总体均值－真值）＝随机误差＋系统误差（2）、相对误差测量误差除以被测量的真值所得的商，称为相对误差。
2、随机误差和系统误差（1）、随机误差测量结果与重复性条件下，对同⼀被测量进⾏⽆限多次测量所得结果的平均值之差，称为随机误差。
随机误差＝测量结果－多次测量的算术平均值（总体均值）重复性条件是指在尽量相同的条件下，包括测量程序、⼈员、仪器、环境等，以及尽量短的时间间隔内完成重复测量任务。
此前，随机误差曾被定义为：在同⼀量的多次测量过程中，以不可预知⽅式变化的测量误差的分量。
随机误差的统计规律性：○1对称性：绝对值相等⽽符号相反的误差，出现的次数⼤致相等，也即测得值是以它们的算术平均值为中⼼⽽对称分布的。
测量不确定度计算
测量不确定度评定1 标准不确定度（用于输入估计值）1.1 概念用标准差表示的测量不确定度，称为标准不确定度，用符号u 表示。
1.2 标准不确定度的A 类评定 1.2.1概念：用对观测列进行统计分析的方法来评定标准不确定度，称为不确定度的A 类评定。
即当在相同的测量条件下，对某一输入量进行若干次独立的观测时，可采用标准不确定度的A 类评定方法。
1.2.2评定公式第一种情况：用平均值的实验标准差)(q s 评定 （1）计算n 次测量值i q 的算术平均值q ，nqq ni i∑==1（2）计算实验方差，1)()(122--=∑=n q qq s ni ii（3）计算测量值算术平均值的最佳估计值，即实验方差nq s q s i )()(22=（4）用实验标准差表示标准不确定度)1()()()()(12--===∑=n n q qnq s q s q u ni ii第二种情况：用合并样本标准差评定进行m 组测量，每组测量次数是n 。
第一组测量的样本标准差是1s ，第二组测量的样本标准差是2s ，…，第m 组测量的样本标准差是m s 。
各组样本标准差无显著差异。
（1） 计算合并样本标准差mss mi ip ∑==1（2） 用合并标准差表示标准不确定度ns x u p =)(1.3 标准不确定度的B 类评定 1.3.1第一种情况：已知扩展不确定度)(i x U 和包含因子k ，则标准不确定度)(i x u 为：kx U x u i i )()(=1.3.2第二种情况：已知扩展不确定度和置信水平的正态分布。
给出i x 在一定置信水平p 下的置信区间的半宽，即扩展不确定度p U ，以及置信水平p 下的包含因子p k 。
则标准不确定度为：pp i k U x u =)(常用置信水平p 与包含因子p k 关系表：1.3.3其他几种常见分布：t 分布，均匀分布，反正弦分布，三角分布，梯形分布，两点分布。
若只知道估计值i x 分散区间的上限和下限分别为为+a 和-a ，则只能保守假定变量X 在上下限之间的概率分布为均匀分布。
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测量不确定度初学者指南如何表述测量答案举例说明不确定度的基本算法（六）8．如何表述测量答案表述测量答案是重要的，以便阅读者可以使用这个信息。
要注意的主要事项有：●测量结果要与不确定度值一起表述，例如"棍子长度为20cm±1cm"。
●对包含因子和置信概率作说明。
推荐的说法为："报告的不确定度是根据标准不确定度乘以包含因子k=2，提供的置信概率约为95%"。
●不确定度是如何估计的（你可以参考有阐述此法的出版物，如UKAS出版物M3003）。
9．举例--不确定度的基本算法以下举的是一个简单的不确定度分析例子。
例子太详细并不显示，不过这意思是说简单有清晰的例子足以说明方法了。
首先是阐述测量和不确定度分析。
其次吧不确定度分析表示在一张表格上（"填表模省?"或"不确定度汇总表"）9．1测量--一根绳子有多长？假定你要仔细估计一根绳子的长度，按照6.2节所列步骤，过程如下。
---------------------------------------------------------------------------------------------------例3计算一根绳子长度的不确定度步骤一：确定你从你的测量中需要得到的是什么，为产生最终结果，要决定需要什么样的实际测量和计算。
你要测量长度而使卷尺。
除了在卷尺上的实际长度读数外，你也许有必要考虑：● 卷尺的可能误差◇卷尺是否需要修正或者是否有了表明其正确读数的校准◇那么校准的不确定度是多少？◇卷尺易于拉长吗？◇可能因弯曲而使其缩短吗？从它校准以来，它会改变多少？◇分辨力是多少？即卷尺上得分度值是多少？（如mm）● 由于被测对象的可能误差◇绳子伸直了吗？欠直还是过直？◇通常的温度或湿度（或任何其它因素）会影响其实际长度吗？◇绳的两端是界限清晰的，还是两端是破损的？● 由于测量过程和测量人员的可能误差◇绳的起始端玉娟尺的起始端你能对的有多齐？◇卷尺能放的与绳子完全平行吗？◇测量如何能重复？◇你还能想到其它问题吗？步骤2：实施所需要的测量。
你实施并纪录你的长度测量。
为了格外充分，你进行重复测量总计10次，每一次都重新对准卷尺（实际上也许并不十分合理）。
让我们假设你计算的平均值为5.017米，估计的标准不确定度为0.0021m（即2.1mm）。
对于仔细测量你还可以记录：◇你在什么时间测量的◇你是如何测的，如沿着地面还是竖直的，卷尺反向测量与否，以及你如何使卷尺对准绳子的其它详细情况◇你使用的是哪一个卷尺◇环境条件（如果你认为会影响你测量结果的那些条件）◇其它可能相关的事项步骤3：估计供给最终结果的各输入量的不确定度。
以同类项（标准不确定度）表述所有的不确定度。
你要检查所有的不确定度可能来源，并估计其每一项大小。
假定是这样的情况：◇卷尺已校准过。
虽然它没有修正必要，但校准不确定度是读数的0.1%，包含因子k=2（对正态分布）。
在此情况下，5.017m的0.1%接近5mm。
再除以2就给出标准不确定度(k=2)为u=2.55mm。
◇卷尺上得分度值为毫米。
靠近分度线的读数给出的误差不大于±0.5mm。
我们可以取其为均匀分布的不确定度（真值读数可能处在1mm间隔内的任何地方--即±0.5mm）。
为求的标准不确定度u，我们将半宽（0.5mm）除以根号3，得到近似值u=0.3mm。
◇卷尺处于伸直状态，假定绳子不可避免地有一点点弯。
所以测量很可能偏低估计绳子的长度。
假定偏低估计约为0.2%。
这就是说，我们应该用加上0.2%（即10mm）来修正测量结果。
由于缺少更合适的信息，就假设不确定度是均匀分布。
用不确定的半宽（10mm）除以根号3，得出标准不确定度u=5.8mm(取到最接近的0.1mm)。
以上是全部B类评定，下面是A类评定。
◇标准偏差告诉我们的是卷尺位置可重复到什么程度，及其对平均值的不确定度贡献了多少。
10次读数平均值的估计的标准偏差用3.6节的公式来求：让我们假定在本例中不需要考虑其它不确定度了。
（实际上，很可能需要计入其它一些问题）。
步骤4：确定各输入量的误差是否彼此不相关。
（如果你认为有相关的，那么就需要某些额外的计算和信息）按本例情况，我们就说输入量都不相关。
步骤5：计算你的测量结果（包括对校准等事项的已知修正值）。
改测量结构取自平均读数值，加上卷尺放的稍歪的必要修正值，即5.017m+0.010m=5.027m步骤6：根据所有各个方面情况求合成标准不确定度。
求测量结果所用的唯一计算是加修正值，所以能以最简单的方式采用平房和法（7.2.1节所采用的公式）。
标准不确定度被合成如下：合成标准不确定度=步骤7：用包含因子（参见7.4节），与不确定度范围的大小一起，表述不确定度。
并说明置信概率。
对包含因子k=2，就用2乘以合成标准不确定度，则给出扩展不确定度为12.8 mm（即0.0128m）。
这赋予的置信概率约为95%。
步骤8：记下测量结果和不确定度，并说明你是如何得到它们的。
你可以记述如下："绳子的长度为5.027m±0.013m。
报告的扩展不确定度是根据标准不确定度乘以包含因子k =2得出的，提供的置信概率约为95%。
""报告的长度是对水平放置的绳子做10次重复测量的平均值。
估计了测量时绳子放置不完全直的影响，而对测量结果作了修正。
不确定度是按《测量不确定度初学者指南》的方法估算的?----------------------------------------------------------------------------------------------------9．2不确定度的分析--数据表格模式为了有助于计算过程，按下表1填表方式总结不确定度分析或称"不确定度汇总表"。
表1表示成"不确定度汇总表"的数据表格模式不确定度来源数值概率分布除数标准不确定度校准不确定度5.0mm 正态2 2.5mm分辨力（分度大小）0.5mm* 矩形根号3 0.3mm绳子放置不完全值10.0mm* 矩形根号3 5.8mm10次重复读数平均值的标准不确定度0.7mm 正态1 0.7mm合成标准不确定度假设的正态6.4mm扩展不确定度假设的正态（k=2）12.8mm测量不确定度初学者指南其它说明（例如对技术规范的符合性）（七）10．其它说明（例如对技术规范的符合性）在根据测量结果做出结论时，一定不要忘记测量不确定度。
这在用测量结果检验是否符合技术规范时是很重要的。
有时测量结果虽然清楚地落在技术规范限值的范围内或外，但不确定度会交叠在限值上。
图7种的例解说明了四种结果。
图7测量结果及其不确定度相对于规定的技术规范限值所处位置的四种情况。
（同样，不确定度还可能与规定的下限交叠）情况（a），测量结果和不确定度都落在规定的上下限内，这归为"合格"类。
情况（b），无论测量结果还是不确定度范围的任何部分都没有落在规定的限值内，这就归为"不合格"类。
情况（b）和（c）即不完全在限值内，也非完全显现之外，对符合与否不能做出明确结论。
在说明是否符合技术规范以前，总要核对一下技术规范。
有是规范还包含多种性能，诸如外观、电接头、互换性等等，这些与已测的内容毫无关系。
测量不确定度初学者指南如何降低测量中的不确定度和一些良好的测量习惯（八）11．如何降低测量中的不确定度始终要记住，使不确定度降至最低与队不确定度定量通常都一样重要。
由一些好的做法能有助于在一般做测量中降低不确定度，现推荐如下几点：●校准测量仪器（或者你已有校准过的仪器）并使用证书上给出的校准的修正值。
●对你知道的任何（其它）误差做修正来补偿。
●使你的测量溯源到国家标准--采用校准方法，这可以通过不间断地测量链溯源到国家标准。
如果通过测量认可（英国由UKAS负责）对测量做了质量保证，你对测量的溯源性就可特别信任。
●选择最好的测量仪器，并使用具有最小不确定度的校准设备。
●通过重复测量或不时地请他人做重复测量来检查测量，也可用其它检查方法。
用不同方法进行检查可能是最好的方法。
●审核计算，并将数据另外抄录下来，再对其审核。
●用不确定度汇总表识别出最差的不确定度，并将它们提出来。
●要注意，在逐级的校准链中，不确定度是逐级增大的。
12．其它的一些良好的测量习惯总的说来，要养成测量中公认的好习惯。
●要按照生产厂的说明书来使用和保养仪器。
●要用有经验的人员，并为测量提供培训。
●要对软件做核查或证实其有效，以确信其工作无误。
●在你的计算中要采用正确的修约方法。
（参见13.4节）●对你的测量和计算要保有良好纪录。
测量中随时记下读书。
要保持对可能有关系的任意额外信息的记载。
如果在什么时候产生对过去测量的怀疑。
这种记载就会非常有用。
在别处还详述了许多其它的测良好习惯。
例如国际标准ISO/IEC17025《检测和校准实验室能力的通用要求》。
参见16节"进一步读物"测量不确定度初学者指南计算器的使用（九）13．计算器的使用在用计算器和计算机计算不确定度时，你必须了解如何在使用中避免出错。
13．1计算器的按键（x杠）键给的是你输入计算器储存的数值的平均值（算术平均值）（西格玛n减一）键（有时用符号s）给的是在你有限样本基础上的"总体"估计的标准偏差。
（实际上，任何一组读数都是可能读数的"无限总体"中的一个小样本。
），或者s，是标准偏差的估计值，这对本指南7.11节的"A类评定"在计算不确定度时是你应当采取的。
你的计算器可能还会有标有的键。
对不确定度的估算你通常不会使用：给出的是样本本身的标准偏差，并不给出对你想要表征的较大"总体"的"估计值"。
对非常多的读数。
就非常接近。
但是对只有适度次数读数的实际测量情况，你就用不着。
13．2计算器和软件的误差计算器能出错？！实际上，在处理非常长的数字时，它们有时会给出意想不到的结果。
例如有的计算器给出如下结果：0.0 0002X0.000 0002=0（确实如此）而正确答案是0.000 000 000 0004。
（当然，这最好表述成。
）甚至计算机也会由这种修约误差的缺点。
为了识别这个问题，就应通过典型的"手"算来检查数据表格软件已正式这两种方法是否相吻合。
要避免这些修约方面的问题，在你的计算中采用"变换"数字是切实可行的（这种换算有时也叫比例换算或数字编码）。
13．3比例换算例4所示是如何做比例换算来避免软件和计算器的误差，而且在你计算中如果没有计算器，如何使你运算更容易。