数学物理方法-13.1 三类数理方程推导

x2 u u 2u 经化简： T2 sin 2 T1 sin 1 T [ | x x2 | x x1 ] T 2 dx x1 x x x
Fx T1 源自文库os 1 T2 cos 2 0
2u Fu T2 sin 2 T1 sin 1 F ( x, t )ds 2 ds A1 A2 A1 A2 t
《数量方程》之特点
• 数学物理方程的显著特点 （1）广泛运用了数学诸多领域的成果。 研究的问题也是复杂的、多样的 要应用不同的数学工具来解决性质不同的问题。
（2）数学物理方程源于工程实际问题 自然现象所蕴含的规律，对求解思路有着重要的 启迪 许多求解方法，都可在自然现象中找到来源。


C
u dvdt t
曲面积分和体积分的关系（奥高公式），将曲面积分Q1化 为体积积分
Q1 dt ku dS [ k 2udv]dt
t1 t2 t2
最终导出热传导方程（扩散方程） 其中，参数为 a 2 k / C
u a 2 2 u f ( x, y , z , t ) t
假设在单位时间内单位体积中产生的热量F(x, y, z, t),则时 间段[t1, t2]内、在Ω中所产生的热量为
Q3
t2 t1


F ( x, y, z, t )dvdt
建模采用的等量关系： Q1+Q2=Q3
Q1 dt ku dS
t1 S t2
Q2
t2
t1
弦的振动方程
• 受力分析 • 水平方向（x轴） 张力的方向和弧的切线一致
Fx T1 cos 1 T2 cos 2 0
• 竖直方向（u轴，牛顿第二定律）
Fu T2 sin 2 T1 sin 1
u 2 ds A1 A2 t
2
A1 A2
F ( x, t )ds
热传导方程的推导
建模采用的方法 微（单）元体方法，考虑任意一个区域Ω，其表面是S。 建模采用的等量关系 热量守恒：任意时段内[t1,t2]，温度变化所需的热量Q2 + 流出区域Ω的热量Q1 ＝区域自身产生的热量Q3。
Q2 +Q1 ＝Q3
温度变化所需的热量：与物体的比热有关 流出热量：根据Fourier定律表示 自身产生的热量： Ω本身是热源
• 一维：
•
2 2u u 2 a 2 t x 2
2 2u u 2 a f ( x, t ) 2 2 t x
2 2u 2u 2 u a 2 f ( x, y, t ) 2 2 t y x
2u 2u 二维： 2 u a 2 2 2 2 t x y
u 0或 2u 0
波动方程（弦的横振动方程）
• 弦的微小横振动方程 • [问题]设有一根理想化的细弦，其横截面的直径与 弦的长度相比非常小。研究弦作微小横向振动的 规律。
弦的振动方程
• 弦振动如何描述 • 弦是连续的而非离散的质点组， • 弦是横向振动的，在时刻t，弦的形状是曲线u(x, t) • 它的运动应符合牛顿运动定律，简化假设如下： 设弦在未受扰动时平衡位置是x轴； 两端分别固定在x=0及x=l处，而其上各点均以该点 的横坐标表示； 轻，忽略重力；质量均匀分布； 柔软，张力方向与弦相切；无内力抵抗弯曲变形
•
自由振动
强迫振动
三类典型的数理方程
u 热传导方程： a 2 2u f ( x, y, z, t ) t
2u 波动方程： 2 a 2 2u t
2u 2u 2u 位势方程： 2 2 2 0 x y z
三种典型方程简析
物理量关于时间的变化率 1、波动方程含有关于时间t的二阶偏导数， 物理现象随时间剧烈改变。 2、热传导方程含有关于时间t的一阶偏导数 ，物理现象随时间缓慢改变。 3、位势方程不含关于时间t的任何偏导数， 物理现象不随时间而发生改变。
S
t1

f ( x, y, z, t ) F ( x, y, z, t ) / C
Laplace方程、位势方程
考虑无热源的热传导问题，经过了相当长时间后，温度 趋于稳定，则 u
t 0
热传导方程变为
2u 2u 2u 2 2 0 2 x y z
称为Laplace方程，或位势方程，记为
Q1 dt ku dS
t2
dQ1 ku n dSdt

dS dS [cos , cos , cos ] n dS,
t1
S
两处dS的区别，前 者是微元面积，后 者向量
, , 是微元面积外法向向量 与x, y, z轴的夹角
热传导方程：自身产生热量Q3
《数量方程》之概述
• 常微分方程（组）描述的是孤立质点(系)的 运动或演变规律。 • 连续体的变化规律如何描述？ • 含有某未知多元函数偏导数的方程称为偏 微分方程。 • 表示物理量在空间或时间中变化规律的偏 微分方程称为数学物理方程。
《数量方程》之基本任务
• 数物方程的基本任务 • 以物理学、力学及工程技术中的具体问题 为研究对象，基本任务有： （1）建立描绘某类物理现象的数学模型， 并提供这些问题的求解方法； （2）通过理论分析，研究客观问题变化发 展的一般规律。
数学物理方程
• • • • • • 1、基本方程的推导及基本概念(1周) 2、分离变量法(2周) 3、线性偏微分方程的分类与化简(1周) 4、行波法(1周) 5、格林函数法(1周) 6、积分变换法(1周)
数理方程是指在物理学、力学、工程技术等问题中 经过一些简化后所得到的、反映客观世界物理量之 间关系的一些偏微分方程。
热传导方程：流进（出）Ω的热量Q1
傅立叶定律 温度梯度的定义： u u x , u y , u z 热流强度矢量：q（单位时间流经单位面积的热量）
q ku
比例系数k>0称为导热率，与材料有关，一般视为常数 符号表示热流方向和温度增大的方向相反。 计算t到t+dt时间内，在点(x, y, z)流经微元面积dS的热量 其中，n为微元面积dS的外法线向量。t1至t2时间内流出S 的热量为
热传导（扩散）方程的推导
• 问题描述和分析 如果空间某物体G内各点处的温度不同，则热量就会从 温度较高的点向温度较低的点流动，这种现象就叫做 热传导。 热量传递如何用数学语言表示：由于热量的传导过程 总是表现为温度随时间和空间的变化，因此，热传导 问题求解本质上是求温度的分布。 若用u(x, y, z, t)表示物体G内一点(x, y, z)在t时刻的温度, 记为u(M, t), 点M(x, y, z) 热传导问题的建模既是建立温度函数u(x, y, z, t)所满足 的偏微分方程！
• 三维：
2 2 2 2 2 2 2 u u u u 2u u u u 2 2 a 2 2 f ( x, y, z, t ) a 2 2 2 2 2 2 t z t x y z x y
热传导方程：温度变化与热量的关系
温度变化需要的热量Q2 Q CT
热量（吸收或释放） 比热 密度 温度差
从t到t+dt时间内，点(x, y, z)处的温度自u(x, y, z, t)变为 u(x, y, z, t+dt)，在[t, t+dt]微元时间段，温差如何表示? u u ( x, y, z , t dt ) u ( x, y, z , t ) dt t [t, t+dt]时间内，区域Ω温度变化所需热量为 u C [ u ( x , y , z , t dt ) u ( x , y , z , t )] dv C t dvdt t2 u 在[t1, t2]时间内，温度变化 Q2 C dvdt t1 所需要的热量为 t
弦的振动方程
u u • 最后的结论： T 2 2 F ( x, t ) x t
2 2
• 进一步假设： a
2
T

f ( x, t ) F ( x, t ) / T
• 弦的横振动方程 2 2 u 2 u a f ( x, t ) 2 2 t x
波动方程
外力，方向和u一致
线密度
弦的振动方程
T T1 T2 • 应用模型假设得到的结论：
u ( x, t ) sin 1 tan 1 x u 2 ds 1 ( ) dx dx x
平 衡 方 程
u ( x dx, t ) sin 2 tan 2 x