数学物理方法-13.1 三类数理方程推导
数学物理方法-13.1 三类数理方程推导
x2 u u 2u 经化简： T2 sin 2 T1 sin 1 T [ | x x2 | x x1 ] T 2 dx x1 x x x
Fx T1 cos 1 T2 cos 2 0
2u Fu T2 sin 2 T1 sin 1 F ( x, t )ds 2 ds A1 A2 A1 A2 t
•
自由振动
强迫振动
三类典型的数理方程
u 热传导方程： a 2 2u f ( x, y, z, t ) t
2u 波动方程： 2 a 2 2u t
2u 2u 2u 位势方程： 2 2 2 0 x y z
三种典型方程简析
物理量关于时间的变化率 1、波动方程含有关于时间t的二阶偏导数， 物理现象随时间剧烈改变。 2、热传导方程含有关于时间t的一阶偏导数 ，物理现象随时间缓慢改变。 3、位势方程不含关于时间t的任何偏导数， 物理现象不随时间而发生改变。
弦的振动方程
• 受力分析 • 水平方向（x轴T2 cos 2 0
• 竖直方向（u轴，牛顿第二定律）
Fu T2 sin 2 T1 sin 1
u 2 ds A1 A2 t
2
A1 A2
F ( x, t )ds
Q1 dt ku dS
t2
dQ1 ku n dSdt
dS dS [cos , cos , cos ] n dS,
t1
S
两处dS的区别，前 者是微元面积，后 者向量
, , 是微元面积外法向向量 与x, y, z轴的夹角
热传导方程：自身产生热量Q3
数学物理方程
• • • • • • 1、基本方程的推导及基本概念(1周) 2、分离变量法(2周) 3、线性偏微分方程的分类与化简(1周) 4、行波法(1周) 5、格林函数法(1周) 6、积分变换法(1周)
三类典型的数学物理方程
1.2 初始条件与边界条件
u n
u
S
f
如果边界条件中的f=0，则称其为齐次边条件，否则称为非 齐次边界条件。
1.3 定解问题的提法
第一章 一些典型方程和定解问题的推导
二阶线性偏微分方程
方程中出现的未知函数的偏导数的最高阶是二阶的、对 于未知函数及其各阶偏导数来说都是线性的。
线性方程示例： 一维波动方程： 二维热传导方程：
1.3 定解问题的提法
解（古典解） 定解条件：边界条件与初始条件的总称 定解问题：将某个偏微分方程和相应的定解
条件合在一起，就构成了一个定解问题。
始值问题（Cauchy问题） 边值问题 混合问题 解的存在性、唯一性、稳定性(定解问题是否符合
实际）
1.3 定解问题的提法
微分方程的适定性
F(x x,t)
x x 密度ρ
以杆上一小段（x，x＋Δx）为研究对象
应用胡克定律，x点在t时刻的应力与x点处的应变
成正比，比值为杨氏模量E
u
小段的相对伸长为x ，在x点处为 在（x＋ Δx）处为 u(x x,t)
u ( x, t ) x
x
小段所受的力为：F F(x x,t) F(x,t)
T1
c h
T2
l
c
h
T1 T2 T0
sin1 tan1 c h sin2 tan2 c (l h) cos1 cos2 1
C
c F0h(l h)
T0l
例：长为l的两端固定的弦，在弦上x=h处，以 横向力F0拉弦，弦的张力为T0 ，达到稳定后放 手任其振动，如下图所示。写出初始条件。
例：长为l 的均质细杆，侧面绝热，一端放在0°的水中，
数理方程知识点总结
数理方程知识点总结数理方程是数学理论中的重要分支，其主要研究方向是解决各种类型的方程，包括一元多项式方程、二元一次方程以及各种变形形式的方程等。
数理方程的解决方法非常多元化，通常采用代数、几何、分析等多种方法进行解决，本文将对数理方程的相关知识点进行总结。
一、一元多项式方程1、一元n次多项式方程形如$f(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + ... + a_{n-1}x + a_n = 0$，其中$a_0 \neq 0$, $n$为任意正整数，求出方程的根$x_1, x_2, ...,x_n$。
求解该方程的方法有以下几种：（1）牛顿迭代法牛顿迭代法的基本思想是：将一元n次多项式方程重新构造成$x = g(x)$的形式，并求该函数在曲线上的切线截距，不断通过切线截距逼近根的值。
具体算法如下：• 任选一个随机数$x_0$作为初值；• 计算$y = f(x)$在$x = x_0$处的导数$f'(x_0)$；• 根据切线公式$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$，计算出当$y = 0$时的$x$值$x_1$，即$x_1 = x_0 - f(x_0) / f'(x_0)$；• 重复上述过程，将$x_1$作为$x_0$，计算出$x_2$；• 重复以上步骤，直到$x_n$接近被求解的根。
（2）二分法二分法的基本思想是根据函数值的符号改变区间的端点，使函数在这个区间内单调递增或递减，从而迅速缩小待求解根所在的“搜索区间”，达到求解根的目的。
算法流程如下：• 选定区间$[a, b]$值满足$f(a)f(b) < 0$，即根在$[a, b]$区间内；• 取区间中点$c = (a + b) / 2$，计算$f(c)$；• 如果$f(c) = 0$，即找到根；• 如果$f(a)f(c) < 0$，即根在区间$[a, c]$内，则将$b$更新为$c$；• 如果$f(b)f(c) < 0$，即根在区间$[c, b]$内，则将$a$更新为$c$；• 重复以上过程，不断缩小区间，直到找到根或直到区间长度足够小时停止。
数理方程
的通解为两个独立解的线性叠加
（13.1.17） ） 但是在满足自然边界（即要求定解问题在边界上有限） 但是在满足自然边界（即要求定解问题在边界上有限） 的形式容易看出， 的形式容易看出，它在端点 故必须取常数 处是无界的， 处是无界的，
．从而勒让德方程的解就只有
第一类勒让德函数即勒让德多项式： 第一类勒让德函数即勒让德多项式：
代入方程以逐个确定系数． 代入方程以逐个确定系数．
幂级数解法是一个比较普遍的方法，适用范围较广， 幂级数解法是一个比较普遍的方法，适用范围较广， 可借助于解析函数的理论进行讨论． 进行讨论． 求得的解既然是级数， 的问题． 求得的解既然是级数，就有是否收敛以及收敛范围的问题．
尽管幂级数解法较为繁琐， 尽管幂级数解法较为繁琐，但它可广泛应用于微分方程的 求解问题中． 求解问题中．
有界解的情况下)求解，则勒让德方程的解只有第一 有界解的情况下 求解，则勒让德方程的解只有第一 求解 类勒让德函数即勒让德多项式 ．因为第二类
勒让德函数
在闭区间
上是无界的． 上是无界的．
13.1.3 奇点邻域的级数解法：贝塞尔方程的求解 奇点邻域的级数解法：
前一章分离变量法中，我们引出了贝塞尔方程， 前一章分离变量法中，我们引出了贝塞尔方程，本节我 我们来讨论这个方程的幂级数解法．按惯例， 我们来讨论这个方程的幂级数解法．按惯例，仍以 表示自变量， 表示自变量，以 表示未知函数， 表示未知函数，则 阶贝塞尔方程为
与后面将介绍的贝塞尔函数的母函数有关
运用下列恒等式
使分母简化，从而，使（13.1.19）中一般项的系数变成 分母简化，从而， ）中一般项的系数变成
（13.1.24） ） 以（13.1.24）代入（13.1.19）得到贝塞尔方 ）代入（ ） 程（13.1.18）的一个特解 ）的一个特解
第一大节：课程介绍与三类典型方程的导出
声波在三维弹性介质中 传播，介质的运动类似：
弹性介质受到微小扰动后的运动方程（波动方程）一般可表述为：
三个典型方程的导出-弦的横振动方程
提问一： 如果弦在粘稠的液体中运动，受到一与速度成正比的阻尼，其 运动方程会有什么变化？
u b t
其中拉格朗日余项
f ( n 1) ( ) Rn ( x ) ( x x0 ) n 1 (n 1)!
(在x0 与x之间)
三个典型方程的导出-弦的横振动方程
2 2u u 2 a f (t , x) 2 2 t x
令a
T
f (t , x)
g (t , x)
三个典型方程的导出-弦的横振动方程
（3）讨论任意一段 x 在
t
时刻的受力情况
外力
三个典型方程的导出-弦的横振动方程
（4）根据牛顿第二定律写出在
t 时刻运动方程
（5）消掉未知量并化简，考虑利用胡克定律
x x
M 1M 2
x
1 (u x ) 2
由于位移很小，相对位移（相邻两点Hale Waihona Puke 移之差与两点距离的比）也很小，所以：
长江大学地物学院教学课件
《数学物理方程》
《Mathematical Equations for Physics》
课程介绍
主讲教师：王婧慈 电子邮箱：851211wjc@
课程介绍
本课程的研究对象 物理问题中提出的数学方程，本课程中讨论的主要是偏微分 方程(Partial Differential Equation)：含有多元未知函数的 偏导数的方程 。 它们反映了未知函数关于时间的导数和关于空间变量的导数 之间的制约关系，同时刻画了物理现象和物理过程的基本规律。 数学物理方程的概念 数学物理方程是指从物理、工程问题中，导出的反映客观物 理量在各个地点、时刻之间相互制约关系的一些偏微分方程。
数理方程总结完整版
此方程的特征函数和特征值分别为：
②“左一右二”齐次边界条件的齐次方程： 2 2u u 2 a , 0 x l , t 0, 2 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x 1 1 1 则
u ( x, t ) (Cn cos
sin
(n 1/ 2) x l
③：“左二右一”齐次边界条件的齐次方程：
2 u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t x 0, x
则u(x,t)= Cne
n 1
③“左二右一”的齐次边界条件的齐次方程：
2 2u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x 1 1
则
2 2 ( n 1/ 2) ( n 1/ 2) 2 此方程的特征函数和特征值分别为： X ( x) cos x, = = , n 1,2,3... 2 l l
②：“左一右二”齐次边界条件的齐次方程：
2 u u 2 a , 0 x l , t 0, 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x
则u(x,t)= Cne
n 1
a 2 ( n1/2 )2 2 t l2
(n ) a (n ) a (n ) 2 2 2 u ( x, t ) (Cn cos t Dn sin t ) cos x l l l n 1
1
④“左二右二”的齐次边界条件的齐次方程：
2 2u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t 2 x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x x
数理方程中典型方程和定解条件的推导PPT课件
P i di
●
Gdx v dv
x
●
x dx
第16页/共87页
电路准备知识 电容元件：
du
i C C
C
dt
q Cu
i dq d(Cu) C du
dt dt
dt
q idt
电感元件：
uL
L
diL dt
uL
dL dt
L Li
di uL L dt
i
1 L
udt
换路定理: 在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。
a2ux x utt
第14页/共87页
一维波动方程
二. 传输线方程(电报方程)的建立
现在考虑电流一来一往的高频传输线，它被当作具有分布参数的导体, 每单位长导线所具有的电阻、电感、电容、电导分别以 R、L、C、G 表示。
对于直流电或低频的交流电,电路的基尔霍夫（Kirchhoff）定律指出, 同一支路中的电流相等。但对于较高频率的电流（指频率还未高到显著 辐射电磁波出去的程度），电路导线中的自感和电容的效应不能被忽视， 因而同一支路中电流呈现瞬态变化。
g)
②一般说来，ut t g ， 将 g 略去，上式变为
T
u x
xdx T
u x
x
ds ut t
T( u x
u xdx x
x ) d x ut t
第12页/共87页
T T
T( u x
u xdx x
x ) d x ut t
T T 指出，即张力不随地点 而异，它在整根弦中取 同一数值。
“今考虑一来一往的高频传输线，每单位长一来一往所具有的电阻，电感，电容， 电漏分别记以 R，L，C，G。于是
数理方程
a11uxx + 2a12uxy + a22uyy + b1ux + b2uy + cu = f
2 a12 − a11a22 > 0 2 a12 − a11a22 = 0 2 a12 − a11a22 < 0
双曲型 抛物型 椭圆型
线性、非线性？ 线性、非线性？ 阶数？ 阶数？ 齐次、非齐次？ 齐次、非齐次？
utt − a u xx = 0
2
utt − a2uxx = f (x,t)
输运方程：一维扩散问题； 输运方程：一维扩散问题；热传导问题
ut − a u xx = f ( x, t )
2
ut − a 2u xx = 0
恒定场方程：二维温度分布问题、 恒定场方程：二维温度分布问题、静电场问题
∇ 2u = ∂u ∂u + 2 =0 2 ∂x ∂y
定解问题＝泛定方程 定解条件 定解问题＝泛定方程+定解条件
数学物理方法
定解问题的适定性：解的存在性、解的唯一性和解的稳定性； 定解问题的适定性：解的存在性、解的唯一性和解的稳定性； 若一个定解问题存在唯一且稳定的解，则此问题称为适定的。 若一个定解问题存在唯一且稳定的解，则此问题称为适定的。
数学物理方程的分类
数学物理方法
分离变量(傅立叶级数) 分离变量(傅立叶级数)法
基本思想：把偏微分方程分解成几个常微分方程， 基本思想：把偏微分方程分解成几个常微分方程，其中的 常微分方程带有附加条件而构成本征值问题。 常微分方程带有附加条件而构成本征值问题。 一、三类典型线性偏微分方程 波动方程：一维弦振动；杆的纵振动； 波动方程：一维弦振动；杆的纵振动；电波传播
数理方程课件
一阶常微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
一阶常微分方程可以用于描述各种实际问题中变量的变化规律，如物理中的自由落体运动、电路中的电流变化等。在经济学中，一阶常微分方程可以用于描述供求关系的变化、消费和储蓄的动态过程等。在工程学中，一阶常微分方程也广泛应用于控制系统、化学反应动力学等领域。
数理方程可以根据其形式和性质进行分类。
总结词
根据其形式和性质，数理方程可以分为线性与非线性、自治与非自治、常系数与变系数等多种类型。这些分类有助于更好地理解和研究数理方程的性质和应用。
详细描述
数理方程的分类
总结词
数理方程在各个领域都有广泛的应用。
详细描述
数理方程在物理学、工程学、经济学、生物学等许多领域都有重要的应用。例如，在物理学中，描述波动、热传导、引力场等问题的方程都是数理方程。在工程学中，流体动力学、电磁学等领域的问题也都可以通过数理方程来描述和解决。
总结词
一阶常微分方程的定义
一阶常微分方程的解法
求解一阶常微分方程的方法主要有分离变量法、积分因子法、常数变易法和线性化法等。
总结词
分离变量法是将方程中的变量分离出来，使方程变为可求解的形式。积分因子法是通过引入一个因子，使方程变为全微分方程，从而简化求解过程。常数变易法适用于形式为y' = f(x)y的方程，通过代入可求解。线性化法则是将非线性方程转化为线性方程，便于求解。
分离变量法
有限差分法
有限元法
变分法
用离散的差分近似代替连续的微分，适用于求解初值问题和边界问题。
将连续的求解区域离散化为有限个小的子区域，适用于求解复杂的几何形状和边界条件。
通过求某个泛函的极值来求解偏微分方程，适用于求解某些特殊类型的方程。
山大 数学物理方法 总结
utt a u f
2
2.以扩散问题为代表的抛物型偏微分方程：
ut Du f
2
3. 以描绘稳定过程的泊松方程为代表的椭圆型偏微分方程：
u f
三、数理方程导出的一般步骤: 1. 从研究系统中划出一小部分，分析邻近部分与这一小部分作用 2. 根据物理学规律，以算式表达这一作用。 3. 化简、整理，即得所研究问题满足的数理方程。 四、数理方程研究物理问题的一般步骤: 1. 导出定解问题，一般包括数理方程和定解条件两部分。 2. 求解已导出的定解问题。 3. 对求得的解答讨论其适定性（解是否存在，唯一且稳定）
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
数理方程的定解问题
一、基本要求: 1.掌握用数理方程描绘研究物理问题的一般步骤： 2.掌握三类典型数理方程的推导过程和建立数理方程的一般 方法、步骤，特别是要掌握弦的微小横振动的推导过程！ 3.正确写出一些典型物理问题的定解问题和定解条件。
二、方程的分类: 1.以波动方程为代表的双曲型偏微分方程：
4
七、达朗贝尔公式，行波法 1.掌握达朗贝尔公式的应用及物理意义。
2. 会用行波法解题并学会用它求解某些定解问题。
并作适当的物理解释。
3 五、数理方程的求解方法：
1. 行波法 2. 分离变量法 3. 积分变换法 4. Green函数法 5. 保角变换法 6. 变分法 六、三类定解问题： 1. 初值问题：由泛定方程和初始条件构成，又称Cauchy问题 2. 边值问题：由泛定方程和边界条件构成。 3. 混合问题：由泛定方程、初始条件和边界条件共同构成。
数学物理方法--数学物理方程
9.1 数学建模 数学建模----波动方程类型的建立 波动方程类型的建立
弦的横振动 波动方 程的数理方 程的建立 讨 论 定解
的
振动
9.1.1波动方程的建立 9.1.1波动方程的建立 1. 弦的微小横振动
考察一根长为 l 且两端固定、水平拉紧的弦． 且两端固定、水平拉紧的弦． 讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题．要 讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题． 确定弦的运动方程，需要明确： 确定弦的运动方程，需要明确： (1)要研究的物理量是什么？ 要研究的物理量是什么？ 要研究的物理量是什么 弦沿垂直方向的位移 u(x,t) 确定 弦的 运动 方程 （2）被研究的物理量遵循哪些 ） 物理定理？牛顿第二定律. 物理定理？牛顿第二定律 （3）按物理定理写出数学物 ） 理方程（即建立泛定方程） 理方程（即建立泛定方程）
热传导（或扩散） 9.2.2 热传导（或扩散）方程的定解条件
1 初始条件 热传导方程的初始条件一般为
u ( x, y , z , 0) = ϕ ( x, y , z )
2 边界条件
（9.2.6）
第一类: 第一类 已知任意时刻 t (t ≥ 0) 边界面 Σ 上的温度分布
u ( x, y, z , t ) |Σ = f (Σ, t )
T = T2 = T 故有 1
x
而变， 而变， 可记为
T(ux x+dx −ux x ) − λgdx = λutt dx
变化量
(9.1.5)
dx 可以取得很小，根据微分知识有下式成立
∂ux ux x+dx − ux x = dx = uxxdx ∂x
这样， 这样，
ABC
段的运动方程(9.1.5)就成为 段的运动方程(9.1.5)就成为 (9.1.5)
数学物理方程课件 一些典型方程和定解条件的推导
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
简化假设：
(1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。
(2)振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。 牛顿运动定律： 横向： T cos T 'cos ' 纵向： T sin T 'sin ' gds ma 其中：cos 1 cos ' 1
u |x0 0,
或： u (a, t ) 0
(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。
T
u x
0
xa
u x
0
xa
ux (a, t ) 0
(3) 弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧支承。
u T x
x a
k u x a
或
u u 0 x xa
u /
2
泊松方程 拉普拉斯方程(无源场)
2u 0
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
例4、热传导
热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有 热量从高温处流向低温处。 所要研究的物理量： 温度 u ( x, y, z, t ) 根据热学中的傅里叶实验定律
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
H 2 ) 由此得： H ( t t
2 2 2 拉普拉斯算子： 2 2 2 2 x y z
E H t H E t E 0 H 0
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
思考 判断下列方程的类型
u 2 u a 2 x 2 t x
数理方程
第一章 一些典型方程和定解条件的推导一维齐次波动方程：22222xu a t u ∂∂=∂∂;(其中ρ/2T a =) 一维非齐次波动方程：),(22222t x f xu a t u +∂∂=∂∂（其中),(t x f 称为自由项） 三维波动方程：)(22222222222zu y u x u a u a t u ∂∂+∂∂+∂∂=∇=∂∂（对于电磁场εμ/12=a ） 泊松方程（有源场）：ερ-=∇u 2（非齐次方程） 拉普拉斯方程（无源场）：02=∇u （齐次方程） *拉普拉斯方程和泊松方程都是用来描述稳恒场的。
一维热传导方程：222xu a t u ∂∂=∂∂;(其中ρc k a /2=) 三维热传导方程：)(222222222zu y u x u a u a t u ∂∂+∂∂+∂∂=∇=∂∂ 以上方程都叫做二阶线性偏微分方程边界条件：第一类：在边界上给出了未知函数u 的数值 1|f u s = 第二类：在边界上给出了未知函数u 的外法线方向的倒数2|f nus =∂∂ 第三类：在边界上给出了未知函数u 的外法线方向的倒数某种线性组合的值 3|)(f u nus =+∂∂σ 初始条件和边界条件一起构成定解条件，只有初始条件，没有边界条件的问题称为始值问题（柯西问题）；没有初始条件，只有边界条件的问题叫做边值问题。
两种条件都有的叫做混合问题。
第二章 分离变量法（驻波法）分离变量法核心：令)()(),(t T x X t x u =，带入方程；再由定解条件确定特征值。
形式一（一维波动方程（第一类边界条件（固定端）））：22222xu a t u ∂∂=∂∂；0|,0|0====l x x u u ；)(|),(|00x u u x u t t ψϕ=∂∂=== 通解：x ln t l a n D t l a n C t x u n n n πππsin )sin cos(),(1∑∞=+= （其中⎰=l n xdx l n x l C 0sin)(2πϕ，⎰=l n xdx ln x a n C 0sin )(2πψπ）形式二（一维波动方程（第二类边界条件（自由端）））：22222x u a t u ∂∂=∂∂；0|,0|0=∂∂===l x x x u u ；)(|),(|00x u u x u t t ψϕ=∂∂=== 通解：x ln t l a n D t l a n C t x u n n n πππ)12(sin ))12(sin )12(cos(),(1++++=∑∞= （其中⎰=l n xdx l n x l C 0sin )(2πϕ，⎰=l n xdx ln x a n C 0sin )(2πψπ） 形式三（一维热传导方程（第三类边界条件（自由散热端）））：222xu a t u ∂∂=∂∂；0|)(,0|0=+∂∂===l x x u x u u ；)(|0x u t ϕ== 通解：x e C t x u n t a n n n ββsin ),(231-∞=∑=（其中⎰=l n nn xdx x L C 0sin )(1βϕ，⎰=ln n xdx L 02sin β，） 形式四（圆域内拉普拉斯方程）0)(1)(12222=∂∂+∂∂∂∂=∇θρρρρρuu u ；)(),(0θθρf u =通解:)sin cos (2),(120θθρθρn b n a a u n n n ++=∑∞=(其中θθππd f a ⎰=200)(1)；θθθπρπd n f a n n ⎰=200cos )(1；θθθπρπd n f b n n ⎰=200sin )(1）非齐次方程解法：核心将其分为其次部分和非齐次部分，分别求解，然后相加。
数理方程部分 第1章 典型方程和定解条件的推导
1.1 波动方程及其定解条件
2）自由端点，即这个端点不受位移方向的外力 （即自由端点的定义），从而这个端点弦在位移 方向的张力为零（导出的结论），由前面的推 导可知边界条件满足： 2
T sin F u x 0
xa
u t 2
( 0, F 0) T
u x
2u [( q y ) y (q y ) y dy ]xzt k 2 xyzt. y
△t时间内沿z方向流入六面体的热量
2u [( qz ) z (qz ) z dz ]yxt k 2 xyzt. x
u k 2 u 0. t c
1.2 热传导方程及其定解条件
如果六面体没有其他热量来源，根据热量守恒定律，净流入
的热量等于介质在此时间内温度升高所需热量，
2u 2u 2u k ( 2 2 2 )xyzt xyz c u x y z
3）整理化简得方程
u k 2 u 0. t c
1）在介质内部隔离出一平行六面体（见图1.3），六个面 都和坐标面重合。
图1.3
[( q y ) y (q y ) y dy ]xzt [( k
1.2 热传导方程及其定解条件
2）分析建立等式
u u 2u ) y dy (k ) y ]xzt k 2 xyzt. y y y
2 0, cos1 1, cos 2 1,
tan 1
u sin 1 tan 1 , 2 x x 1 tan 1 u sin 2 tan 2 2 x 1 tan 2 tan 2 ,
x dx
1.1 波动方程及其定解条件
则方程可以写成
数学物理方程
⎧y ⎪
t=0
=d
= v0
⎨
⎪⎩ y t=0 = d ' = 0
⇒ vy = v0 − gt
⇒
y
=
v0t
−
1 2
gt 2
(2) 对斜向上抛：
⎧⎪x t=0 = v0 cosθ = c
⎨ ⎪⎩x
t=0
=
c'
=
0
⇒ vx = v0 cosθ ⇒ x = (v0 cosθ )t
⎧y ⎪
t =0
=
d
=
v0
sin θ
x
= SY[∂u(x + dx,t) − ∂u ] = SY ∂ [u(x + dx,t) − u(x,t)]= SY
∂ [u(x + dx,t) − u(x,t) dx] = SY
∂x
dx
∂2u ∂x2
dx
由牛顿第二定律： ma = F (a = ∂2u , m = ρdv = ρ sdx)
⇒ vy = v0 sinθ − gt
⎨ ⎪⎩ y t=0 = d ' = 0
⇒
y
=
v0
sin θ
t
−
1 2
gt 2
5
结论：不同的初始条件 ⇒ 不同的运动状态，但都服从
牛顿第二定律。
综上所述，定解问题的完整提法： 在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理
规律，解出某个物理量u 在给定的区域里随着地点(x,y,z) 和时刻t怎样变化，即求u(x,y,z,t)。
20
(3) 第三类边界条件：给出边界上未知数u及其法向导 数之间的线性关系
例：杆在x=0端固定，在x=l端受到弹性系数为k的弹簧 的拉力，其边界条件为
偏微分方程基本概念与三类典型方程的导出
nv
它所包围的区域记为 .
G
由热传导的 Fourier 实验定律知，
S
热场
在[t, t+dt] 时间内，流过曲面 ds 的热量 dQ 为
dQ
k
(x,
y,
z)
u
dsdt
k
u
v dSdt
n
24
其中 n 为曲面 ds 的外法向向量，k为热传导系数。
故从t1 到t2 这段时刻流入曲面内部的热量为
Q1
其质量为 x, 所以由Newton第二定律知
T
sin
T sin
F (x,t)x
2u t 2
(x,t)x
17
因为假设弦作微小的横向振动，故振动过程 中，弦上的切线倾斜角也很小。这时有
（1）由于 cos 1 2 4 L
24
略去 , 的高于一次方的各项有
cos cos 1.
（2）
sin tg u (x,t)
t2
t1
c
u t
(
x,
y,
z,
t)dxdydz
dt
其中c为比热， 为质量密度。
由能量守恒定律，有
Q1 Q2.
26
由Gauss公式有
S
k
u n
dS
S
ku
v dS
ku
dxdydz
kudxdydz.
故有
t2
t1
c
u t
dxdydz
dt
t2
t1
kudxdydz dt.
以上推导过程实际上就是将微元运动满足的物理 定律翻译成用已知函数、未知函数及其偏导数 表示的数学式子。弦振动中的基本物理定律是 牛顿第二定律和胡克定律。弹性杆的纵振动、 弹性模的横振动、声波在空气中的传播等，都 可用类似方法导出同一类型的方程
数理方程公式总结
数理方程公式总结数理方程是描述自然界中各种物理现象的数学模型。
它在物理学、工程学、经济学等领域中起着重要作用。
数理方程的研究内容包括方程的分类、解析方法、数值方法等。
在实际应用中，我们经常遇到各种各样的数理方程，比如常微分方程、偏微分方程、积分方程等。
本文将总结几个常见的数理方程，并介绍它们的一些解析方法和数值方法。
1. 常微分方程常微分方程是描述一个未知函数与其导数之间的关系的方程。
根据方程中的未知函数的个数和导数的阶数，常微分方程可以分为一阶、二阶、高阶等。
常见的解析方法包括分离变量法、常系数线性微分方程的特征方程法、变系数线性微分方程的待定系数法等。
数值方法包括欧拉法、梯形法、龙格-库塔法等。
2. 偏微分方程偏微分方程是描述未知函数与其偏导数之间关系的方程。
它的求解通常需要给出适当的边界条件和初值条件。
根据方程的类型和性质，偏微分方程可以分为椭圆型、双曲型、抛物型等。
常见的解析方法包括分离变量法、变量替换法、特征线法等。
数值方法包括有限差分法、有限元法、谱方法等。
3. 积分方程积分方程是未知函数与其积分之间的关系的方程。
它可以看作是微分方程的一种推广。
积分方程能够描述一些涉及积分的物理问题，如电磁场问题、弹性力学问题等。
常见的解析方法包括变量分离法、奇异积分方程的分析法、积分变换法等。
数值方法包括数值逼近法、数值积分法、有限元法等。
总之，数理方程是对自然界中各种物理现象进行数学建模的有效工具。
在实际应用中，我们需要根据问题的具体性质选择适当的数理方程，并采用相应的解析方法或数值方法进行求解。
解析方法能够给出精确解，但对于复杂问题往往难以求解；数值方法能够给出近似解，并且在计算机上容易实现，但对于精度要求较高的问题需要选用更精细的网格或更高阶的方法。
因此，在实际应用中，我们需要权衡解析方法和数值方法的优劣，选择适当的方法求解数理方程。
数学物理方法
数学物理方法Mathematical Method in Physics西北师范大学物理与电子工程学院豆福全第一章 波动方程和行波法引言数理方法（泛定方程）（三类）在物理学的研究中起着重要作用，即研究如何从物理学的实际问题中导出数理方程呢？我们先从弦振动方程入手。
基本步骤：（物理模型−−−−→定量化数学模型） 1.建立坐标系（时间，空间）2.选择表征所研究过程的物理量u （一个或几个）。
表征物理量的选择常常是建立一个新方程的起点。
3.寻找（猜测）物理过程所遵守的物理定律（物理公理）4.写出物理定律的表达式，即数学模型。
1.1 弦振动方程1.1.1 弦的横振动方程（均匀弦的微小横振动）演奏弦乐用（二胡，提琴）的人用弓在弦上来回拉动，弓所接触的是弦的很小的一段，似乎只能引起这个小段的振动，实际上振动总是传播到整个弦，弦的各处都振动起来。
振动如何传播呢？1. 物理模型实际问题：设有一根细长而柔软的弦，紧绷于A ，B 两点之间，在平衡位置附近产生振幅极为微小的横振动（以某种方式激发，在同一个平面内，弦上各点的振动方向相互平行，且与波的传播方向（弦的长度方向）垂直），求弦上各点的运动规律。
2.分析：弦是柔软的，即在放松的条件下，把弦弯成任意的形状，它都保持静止。
绷紧后，相邻小段之间有拉力，这种拉力称为弦中的张力，张力沿线的切线方向。
由于张力的作用，一个小段的振动必带动它的邻段，邻段又带动它自己的邻段…，这样一个小段的振动必然传播到整个弦，这种振动传播现象叫作波。
弦是轻质弦（其质量只有张力的几万分之一）。
根张力相比，弦的质量完全可以略去。
① 模型实际上就是：柔软轻质细弦（“没有质量”的弦） ② 将无质量的弦紧绷，不振动时是一根直线，取为X 轴。
③ 将弦上个点的横向位移记为u 。
(,)u u x t = ④ 已知：线密度(,)()x t t ρρ=，重量不计，张力(,)T x t 切线方向，不随x 变化，弦中个点的张力相等（小振动下T 与地无关）⑤ 研究方法：连续介质，微积分思想，任意性。
三类数理方程的导出
Mathematical Methods for Physics第六章定解问题Mathematical Problem§6.2 三类数理方程的导出the derivation of three types of mathematical equations for physics一、弦的横振动：§6.2 三类数理方程的导出x x细长而柔软的弦线，紧绷于A 、B 两点之间，作振幅极微小的横振动，求其运动规律。
2、分析： （1） 研究的问题：u (x , t ) - 弦的位移（2） 已知：a . 密度ρ (x , t ) = b. 无抗弯力ρ (t ), 重力p = 0;c. 张力T 沿切向；d. u 是小量，u 2≈ 0 （3） 研究方法：微积分思想、任意性。
♦一、弦的横振动： 3、建立方程：(1) 考虑任意段 ⊗x x ：♣- T 1 cos α1 ♥T 2 cos α 2 M ♣- T 1 sin α1 ♠ ♦T 2 sin α 2 ♠F （x +η ⊗x , t ) ⋅ ⊗x (0 ≤ η ≤ 1)X♥1 1单位长度所受外力（2）按牛顿运动定律写出方程§6.2 三类数理方程的导出y ： α（3）化简整理3、建立方程：（2）按牛顿运动定律写出方程T2cosα2-T1cosα1= 0(1)T2sin α2-T1sin α1+F (x +η1⊗x, t)⊗x=utt(x+η2⊗x, t)ρ⊗x(2)（3）化简整理得－弦的横振动2T g⋅cm / s2cm 2其中a=ρ，量纲：g / cm=（）sf =F－单位质量所受力（即力密度）+fxx2=a uutta u a u 22注意：（1）f=0称为齐次方程u tt = xx → u tt = xx（2）三维波动方程：（3）建立方程的步骤： A.从内部划出一小块B.由物理规律写出算式C.化简整理得方程2= a ⊗u + fu tt + f附：复习热量的几个概念：§6.2 三类数理方程的导出F = Q：Q -热量, S - 面积,V - 体积, t -时间，ρ -密度，T - 温度则： （1）比热：单位物质，温度升高一度所需热量（2）热流密度：（3） 富里叶实验定理 k 热流密度与温度的下降率成正比（4）热源强度：单位时间，单位体积放出热量 - 导热率Q (ρV )T C =q = QtS1、物理模型：截面积为A 的均匀细杆，侧面绝热，沿杆长方向有温差，求热量的流动。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
线密度
弦的振动方程
T T1 T2 • 应用模型假设得到的结论：
u ( x, t ) sin 1 tan 1 x u 2 ds 1 ( ) dx dx x
平 衡 方 程
u ( x dx, t ) sin 2 tan 2 x
《数量方程》之特点
• 数学物理方程的显著特点 （1）广泛运用了数学诸多领域的成果。 研究的问题也是复杂的、多样的 要应用不同的数学工具来解决性质不同的问题。
（2）数学物理方程源于工程实际问题 自然现象所蕴含的规律，对求解思路有着重要的 启迪 许多求解方法，都可在自然现象中找到来源。
热传导（扩散）方程的推导
• 问题描述和分析 如果空间某物体G内各点处的温度不同，则热量就会从 温度较高的点向温度较低的点流动，这种现象就叫做 热传导。 热量传递如何用数学语言表示：由于热量的传导过程 总是表现为温度随时间和空间的变化，因此，热传导 问题求解本质上是求温度的分布。 若用u(x, y, z, t)表示物体G内一点(x, y, z)在t时刻的温度, 记为u(M, t), 点M(x, y, z) 热传导问题的建模既是建立温度函数u(x, y, z, t)所满足 的偏微分方程！
热传导方程的推导
建模采用的方法 微（单）元体方法，考虑任意一个区域Ω，其表面是S。 建模采用的等量关系 热量守恒：任意时段内[t1,t2]，温度变化所需的热量Q2 + 流出区域Ω的热量Q1 ＝区域自身产生的热量Q3。
Q2 +Q1 ＝Q3
温度变化所需的热量：与物体的比热有关 流出热量：根据Fourier定律表示 自身产生的热量： Ω本身是热源
假设在单位时间内单位体积中产生的热量F(x, y, z, t),则时 间段[t1, t2]内、在Ω中所产生的热量为
Q3
t2 t1
F ( x, y, z, t )dvdt
建模采用的等量关系： Q1+Q2=Q3
Q1 dt ku dS
t1 S t2
Q2
t2
t1
u 0或 2u 0
波动方程（弦的横振动方程）
• 弦的微小横振动方程 • [问题]设有一根理想化的细弦，其横截面的直径与 弦的长度相比非常小。研究弦作微小横向振动的 规律。
弦的振动方程
• 弦振动如何描述 • 弦是连续的而非离散的质点组， • 弦是横向振动的，在时刻t，弦的形状是曲线u(x, t) • 它的运动应符合牛顿运动定律，简化假设如下： 设弦在未受扰动时平衡位置是x轴； 两端分别固定在x=0及x=l处，而其上各点均以该点 的横坐标表示； 轻，忽略重力；质量均匀分布； 柔软，张力方向与弦相切；无内力抵抗弯曲变形
热传导方程：流进（出）Ω的热量Q1
傅立叶定律 温度梯度的定义： u u x , u y , u z 热流强度矢量：q（单位时间流经单位面积的热量）
q ku
比例系数k>0称为导热率，与材料有关，一般视为常数 符号表示热流方向和温度增大的方向相反。 计算t到t+dt时间内，在点(x, y, z)流经微元面积dS的热量 其中，n为微元面积dS的外法线向量。t1至t2时间内流出S 的热量为
S
t1
f ( x, y, z, t ) F ( x, y, z, t ) / C
Laplace方程、位势方程
考虑无热源的热传导问题，经过了相当长时间后，温度 趋于稳定，则 u
t 0
热传导方程变为
2u 2u 2u 2 2 0 2 x y z
称为Laplace方程，或位势方程，记为
热传导方程：温度变化与热量的关系
温度变化需要的热量Q2 Q CT
热量（吸收或释放） 比热 密度 温度差
从t到t+dt时间内，点(x, y, z)处的温度自u(x, y, z, t)变为 u(x, y, z, t+dt)，在[t, t+dt]微元时间段，温差如何表示? u u ( x, y, z , t dt ) u ( x, y, z , t ) dt t [t, t+dt]时间内，区域Ω温度变化所需热量为 u C [ u ( x , y , z , t dt ) u ( x , y , z , t )] dv C t dvdt t2 u 在[t1, t2]时间内，温度变化 Q2 C dvdt t1 所需要的热量为 t
《数量方程》之概述
• 常微分方程（组）描述的是孤立质点(系)的 运动或演变规律。 • 连续体的变化规律如何描述？ • 含有某未知多元函数偏导数的方程称为偏 微分方程。 • 表示物理量在空间或时间中变化规律的偏 微分方程称为数学物理方程。
《数量方程》之基本任务
• 数物方程的基本任务 • 以物理学、力学及工程技术中的具体问题 为研究对象，基本任务有： （1）建立描绘某类物理现象的数学模型， 并提供这些问题的求解方法； （2）通过理论分析，研究客观问题变化发 展的一般规律。
•
自由振动
强迫振动
三类典型的数理方程
u 热传导方程： a 2 2u f ( x, y, z, t ) t
2u 波动方程： 2 a 2 2u t
2u 2u 2u 位势方程： 2 2 2 0 x y z
三种典型方程简析
物理量关于时间的变化率 1、波动方程含有关于时间t的二阶偏导数， 物理现象随时间剧烈改变。 2、热传导方程含有关于时间t的一阶偏导数 ，物理现象随时间缓慢改变。 3、位势方程不含关于时间t的任何偏导数， 物理现象不随时间而发生改变。
弦的振动方程
• 受力分析 • 水平方向（x轴） 张力的方向和弧的切线一致
Fx T1 cos 1 T2 cos 2 0
• 竖直方向（u轴，牛顿第二定律）
Fu T2 sin 2 T1 sin 1
u 2 ds A1 A2 t
2
A1 A2
F ( x, t )ds
x2 u u 2u 经化简： T2 sin 2 T1 sin 1 T [ | x x2 | x x1 ] T 2 dx x1 x x x
Fx T1 cos 1 T2 cos 2 0
2u Fu T2 sin 2 T1 sin 1 F ( x, t )ds 2 ds A1 A2 A1 A2 t
• 三维：
2 2 2 2 2 2 2 u u u u 2u u u u 2 2 a 2 2 f ( x, y, z, t ) a 2 2 2 2 2 2 t z t x y z x y
• 一维：
•
2 2u u 2 a 2 t x 2
2 2u u 2 a f ( x, t ) 2 2 t x
2 2u 2u 2 u a 2 f ( x, y, t ) 2 2 t y x
2u 2u 二维： 2 u a 2 2 2 2 t x y
Q1 dt ku dS
t2
dQ1 ku n dSdt
dS dS [cos , cos , cos ] n dS,
t1
S
Байду номын сангаас两处dS的区别，前 者是微元面积，后 者向量
, , 是微元面积外法向向量 与x, y, z轴的夹角
热传导方程：自身产生热量Q3
C
u dvdt t
曲面积分和体积分的关系（奥高公式），将曲面积分Q1化 为体积积分
Q1 dt ku dS [ k 2udv]dt
t1 t2 t2
最终导出热传导方程（扩散方程） 其中，参数为 a 2 k / C
u a 2 2 u f ( x, y , z , t ) t
数学物理方程
• • • • • • 1、基本方程的推导及基本概念(1周) 2、分离变量法(2周) 3、线性偏微分方程的分类与化简(1周) 4、行波法(1周) 5、格林函数法(1周) 6、积分变换法(1周)
数理方程是指在物理学、力学、工程技术等问题中 经过一些简化后所得到的、反映客观世界物理量之 间关系的一些偏微分方程。
弦的振动方程
u u • 最后的结论： T 2 2 F ( x, t ) x t
2 2
• 进一步假设： a
2
T
f ( x, t ) F ( x, t ) / T
• 弦的横振动方程 2 2 u 2 u a f ( x, t ) 2 2 t x
波动方程