第三章 经济增长

Y K L L L
1/2 1/2
K L
Then substitute y = Y/L and k = K/L to get
y f (k ) k
1/2
A numerical example, cont.
Assume:
• s = 0.3
• = 0.1
• initial value of k = 4.0
第三章 经济增长
• 经济增长是指一国产出水平的提高， 通常情况下，用一国人均GDP的增长 率来衡量一国的经济增长情况。 • 促进经济增长是一国经济政策的核心 目标。 • 本章以索洛模型为基础，对经济增长 进行分析，本章是本篇以及本书的重 点之一。
第一节 资本积累
基本假设 资本积累和稳态 储蓄率对稳态的影响
消费、投资和储蓄
• 我们知道一个封闭的经济体系，而且在这个经济 体系中不存在政府部门，那么第二章中国民收入 恒等式（2.1）可写成：Y=C+I • 国民收入由消费和投资两大部分构成。用人均的 概念来表示可得：
Y C I L L L
• 或者：y=c+I (3.4) • 此式为索洛模型的国民收入恒等式，也就是说， 人均产出y被分为人均消费c=C/L和人均投资i=I/L 两部分。
资本积累和稳态
• 将（3.9）式代入宏观经济均衡方程（3.6） 并加以整理，可得： • Δk=sf(k)-δk (3.10) • 我们在图3.4中把图3.2的投资曲线sf(k)和图 3.3的折旧线δk放在一起，就可以考察 （3.10）式所示的资本存量的变化规律。
y
δk
δk2
sf(k2) sf(k*)=δk*
Y K y F ( , 1) F (k , 1) L L
• 于是，我们得到：
• y=f(k)
（3.3）
• 即人均产出只与人均资本投入有关，是人 均资本使用量的函数。
y
A y。 dY dK 0 k。
f(k)
在图3.1中，我们用横轴表示资本与劳动的比 例,即人均资本量k，用纵轴表示人均产出y， 按照上述假定，就可以画出（3.3）式所示的 索洛模型的人均生产函数。人均生产函数f(k) 表达了人均资本使用量k与人均产量y之间的 联系。当一个经济处在A点时，人均资本使用 量为k0，相应的人均产量为y0 K
0
k1
K*
k2
k
图3.4 资本积累与稳态
图中的A点，此时Δk=0，即人均资本存量保持稳定不变。 我们称这个资本存量水平为资本存量的“稳定状态”（Steady state）或简称“稳态”，记为 人均资本拥有量达到稳态时，即k=k*，（3.10）式则可写成：
sf(k*)=δk*
（3.11）
也就是说，当一个经济处在稳态时，新增投资恰好等于折旧。
基本假设
社会生产 消费、投资和储蓄 投资与资本积累
社会生产
• 讨论一个社会的供给或生产，也就是对生产函数的基本假 设。 • Y=F(K,L) (3.1) • 其中Y是产出，K和L分别代表资本和劳动。 第一个性质是资本的边际产量（MPK）劳动的边际产量 （MPL）大于零且递减，用数学语言来表示也就是：
A
sf(k)
sf(k1)
δk1
从图3.4中可以看出，资本存量越高， 投资和折旧也就越多，但两者变化的 速度并不相同。在储蓄率一定的条件 下，投资的变化遵循资本边际产量递 减规律，它的增量是不断减少的；而 折旧是按照一个固定的比率均速上升， 它的增量是固定不变的。因此，资本 存量的变化量Δk有可能大于0，也可 能小于0，取决于在一定资本存量水平 上投资和折旧的相对大小。
y f(k) c sf(k) y i
0
k
图3.2 人均消费和投资 图3.2中人均投资函数或储蓄函数sf(k)是产出的一个比例，因此位于人均生产 函数曲线f(k)下方，两条曲线的垂直距离代表人均消费水平，即： c=f(k)－sf(k)
随着资本存量的增加，人均消费水平和投资水平都会增加，而两者相对量的 大小则取决于储蓄率的高低。由于资本的边际产量递减，人均消费水平和投 资水平的增量会不断减少。
k
I (
K )K K
（3.8）
其中ΔK/K为资本存量的增长率，即资本积累的速率。用Δk=ΔK/L（在劳动数量 固定不变的情况下，Δk=Δ(K/L)= ΔK/L）表示人均资本的增量，（3.8）式又可 写成人均形式： k
i(
k
)k
（3.9）
因此，在人均资本存量既定的情况下，人均投资i取决于人均资本积累的速率 Δk/k和折旧率δ。
投资与资本积累
• 一个社会的投资会带来资本存量的变化，这是流 量与存量的关系。但资本存量的变化不仅取决于 投资，而且也取决于资本损耗即折旧。折旧就是 资本存量随着使用和时间的变化而受到的损耗和 减少。 • 假设一个经济中所有的资本都以一个固定的比例 δ 折损减少，我们称δ 为平均折旧率。 • 例如，资本平均能够维持20年，那么我们按照折 旧的直线平均法，折旧率就是每年5%，或δ =0.05。 当折旧率为δ 时，每年折旧掉的资本数量为δ K， 是资本存量的函数。如果是人均资本量，那么人 均资本的折旧量为δ k，是人均资本的函数。
假设一个经济由于某种外来冲击（如战争或自然灾害等） 使资本存量大幅度减少，初始资本水平降为图3.4中低于 稳态水平的k1。在这个资本水平上，我们看到，人均投资 曲线位于折旧线的上方，投资大于折旧，即新增投资规模 大于资本的损耗数量：sf(k1) > δk1 • 因此，按照（3.10）式，Δk>0，人均资本存量会不断上升， 经济也会加速增长，直到达到稳定状态k*。 再假设一个经济由于某种外来因素（如大规模引进外资） 使资本存量大幅度增加，初始资本存量水平上升到高于稳 态水平的k2。此时，人均投资曲线位于折旧线的下方，投 资小于折旧，即新增投资规模小于资本的损耗数量： • sf(k2) < δk2 • 因此，Δk<0，人均资本存量会不断下降，这种趋势也要 在达到稳态水平k*时才会停止。
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第二个性质是规模报酬不变，即生产函数满足一 次齐次性： • λY=F(λK, λL) (3.2) • 对任意的正数λ成立。这实际上也是生产技术的一 个方面的特征，这一特征保证了生产要素按其边 际产量进行分配。 第三个性质是资本（或劳动）趋向于零时，资本 （或劳动）的边际产量趋向于无穷大；资本（或 劳动）趋向于无穷大时，资本（或劳动）的边际 产量趋向于零，即：
储蓄率对稳态的影响
y sf(k2*)=δk2* sf(k1*)=δk1* B δk s2f(k) s1f(k) A
0
k k1* k2* 图3.5 储蓄率变化对稳态的影响
我们假设一个经济中最初的储蓄率为s1，那么这个经济的稳态资本存量就是k1*， 长期增长的均衡点为A。在A点，新增投资恰好等于资本损耗，经济达到一种动态 的稳定。如果这个经济的政策制定者通过采取鼓励储蓄等政策，把储蓄率从s1提 高到s2，那么人均储蓄曲线会相应地由s1f(k)上移至s2f(k)。新的储蓄曲线s2f(k)与 资本折旧线δk相交于B点，此时，投资等于折旧，相应的资本存量的稳态水平为k2*。 显然，在这种情况下，k1*就不再是一个稳态的资本存量，因为在A点，投资大于折 旧，资本存量会持续上升，直到k=k2*。因此，k2*是对应储蓄率s2的新的资本稳态 存量，这个稳态与原来的稳态相比，代表着较高的产出水平。
• 一个经济中的国民储蓄可分为私人储蓄和公共储蓄两大部 分，如果不存在政府部门，国民储蓄S就等于私人储蓄 （Y－C）。用s=S/Y表示储蓄率，即储蓄在总收入中所占 的比重，该经济中的消费函数则可以定义为：c=(1-s)y • 其中0≤s≤1。该消费函数表明消费是与收入成比例的，即 每单位收入中(1-s)用于消费，而s用于储蓄。 • 如果用(1-s)y代替国民收入恒等式（3.4）中的c，则得： • y=(1-s)y+i
Approaching the Steady State: A Numerical Example
Year 1 2 3 k 4.000 4.200 4.395 y 2.000 2.049 2.096 c 1.400 1.435 1.467 i 0.600 0.615 0.629
k
0.400 0.420 0.440
δk δk
按照上述分析，投资与资本存量有如 下关系：
I K K
（3.7）
即投资I等于资本存量的变化量ΔK加上 资本存量的折旧量δK。也就是说，一个 社会新增投资可以分解为两部分：一部分 构成资本存量的增量，另一部分用于替换 现有资本的损耗。 将（3.7）式加以整理可得：
0 图3.3 折旧与人均资本量
k
0.200 0.195 0.189
Approaching the Steady State: A Numerical Example
Year 1 2 3 4 … 10 … 25 … 100 … k 4.000 4.200 4.395 4.584 5.602 7.351 8.962 9.000 y 2.000 2.049 2.096 2.141 2.367 2.706 2.994 3.000 c 1.400 1.435 1.467 1.499 1.657 1.894 2.096 2.100 i 0.600 0.615 0.629 0.642 0.710 0.812 0.898 0.900
International Evidence on Investment Rates and Income per Person Incom e pe r
lim FK lim FL ; lim FK lim FL 0
K 0 L 0
K 0 L 0
• 这个条件也称为“稻田条件”（Inada Conditions）。
• 令（3.2）式中的λ等于1/L，并用小写字母 表示人均数量，如y=Y/L代表人均产出， k=K/L表示人均资本使用量，那么新古典生 产函数（3.1）可以写成：
Use the equation of motion k = s f(k) k to solve for the steady-state values of k, y, and c.
日本和德国的增长奇迹
• 1945年战败 • 1948－1972 日本8.2% • 德国5.7% • 国美2.2% • 中国？
图3.1 人均生产函数 随着人均资本使用量（每个劳动力配备的机器设备数量）的增加，人均的 产量会不断提高，但人均产量的增量即人均边际产量会不断减少，这是因 为资本的边际产量是递减的。由于劳动人数既定不变，因此人均生产函数 曲线上每一点的斜率代表资本的边际产量（dY/dK），随着人均资本投入 量的增加，曲线越来越平坦，表明资本的边际产量不断减少。
A numerical example
Production function (aggregate):
Y F (K , L) K L K
1/2
1/ 2 1/ 2
L
To derive the per-worker production function, divide through by L:
F ( K , L) MPK FK 0, K MPK 2 F ( K , L) 0; 2 K K
F ( K , L) MPL FL 0, L
MPL 2 F ( K , L) 0 2 L L
• 即生产函数对各要素的一阶偏导数大于零，二阶偏导数小 于零。
• 因此：i=sy （3.5） （3.5）式表明，一个经济按劳动人数平均的投资量i是每 个劳动力产出的一个比例。把人均生产函数f(k)代入（3.5） 式，投资就成了人均资本量 k的函数： i=sf(k) （3.6） • 新古典生产函数是增函数，因此人均资本k越高，产出f(k) 从而投资sf(k)就越多。
k
0.400 0.420 0.440 0.458 0.560 0.732 0.896 0.900
k
0.200 0.195 0.189 0.184 0.150 0.080 0.002 0.000
Exercise: solve for the steady state
Continue to assume s = 0.3, = 0.1, and y = k 1/2